In diesem Artikel wird erläutert, wie Sie die Werte mathematischer Ausdrücke finden. Beginnen wir mit einfachen numerischen Ausdrücken und betrachten dann Fälle mit zunehmender Komplexität. Am Ende geben wir einen Ausdruck an, der Buchstabenbezeichnungen, Klammern, Wurzeln, mathematische Sonderzeichen, Grade, Funktionen usw. enthält. Die ganze Theorie wird der Tradition entsprechend mit zahlreichen und detaillierten Beispielen versehen.

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Wie finde ich den Wert eines numerischen Ausdrucks?

Numerische Ausdrücke helfen unter anderem dabei, den Zustand des Problems in mathematischer Sprache zu beschreiben. Im Allgemeinen können mathematische Ausdrücke entweder sehr einfach sein und aus einem Paar Zahlen und arithmetischen Zeichen bestehen, oder sehr komplex sein und Funktionen, Grade, Wurzeln, Klammern usw. enthalten. Als Teil der Aufgabe ist es oft notwendig, den Wert eines Ausdrucks zu finden. Wie das geht, wird weiter unten besprochen.

Die einfachsten Fälle

Dies sind Fälle, in denen der Ausdruck nichts als Zahlen und Arithmetik enthält. Um die Werte solcher Ausdrücke erfolgreich zu finden, benötigen Sie Kenntnisse über die Reihenfolge, in der arithmetische Operationen ohne Klammern ausgeführt werden, sowie die Fähigkeit, Operationen mit unterschiedlichen Zahlen auszuführen.

Enthält der Ausdruck nur Zahlen und Rechenzeichen " + " , " · " , " - " , " ÷ " , werden die Operationen von links nach rechts in folgender Reihenfolge ausgeführt: zuerst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. Lassen Sie uns Beispiele geben.

Beispiel 1. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie es notwendig sein, die Werte des Ausdrucks 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 zu finden.

Machen wir zuerst die Multiplikation und Division. Wir bekommen:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Jetzt subtrahieren wir und erhalten das Endergebnis:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Beispiel 2. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns berechnen: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Zuerst führen wir die Umwandlung von Brüchen, Division und Multiplikation durch:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Jetzt machen wir Addition und Subtraktion. Gruppieren wir die Brüche und bringen sie auf einen gemeinsamen Nenner:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Der gewünschte Wert ist gefunden.

Ausdrücke mit Klammern

Wenn ein Ausdruck Klammern enthält, bestimmen diese die Reihenfolge der Aktionen in diesem Ausdruck. Zuerst werden die Aktionen in Klammern ausgeführt und dann der Rest. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Beispiel 3. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks 0 , 5 · (0 , 76 - 0 , 06) .

Der Ausdruck enthält Klammern, also führen wir zuerst die Subtraktionsoperation in Klammern aus und erst dann die Multiplikation.

0,5 (0,76 - 0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Der Wert von Ausdrücken, die Klammern in Klammern enthalten, wird nach dem gleichen Prinzip gefunden.

Beispiel 4. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Wir werden Aktionen ausführen, die bei den innersten Klammern beginnen und zu den äußeren übergehen.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Beim Auffinden der Werte von Ausdrücken mit Klammern ist es wichtig, der Reihenfolge der Aktionen zu folgen.

Ausdrücke mit Wurzeln

Mathematische Ausdrücke, deren Werte wir finden müssen, können Wurzelzeichen enthalten. Außerdem kann der Ausdruck selbst unter dem Zeichen der Wurzel stehen. Wie soll man in diesem Fall sein? Zuerst müssen Sie den Wert des Ausdrucks unter der Wurzel finden und dann die Wurzel aus der resultierenden Zahl extrahieren. Wenn möglich, ist es besser, Wurzeln in numerischen Ausdrücken zu entfernen und from durch numerische Werte zu ersetzen.

Beispiel 5. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks mit Wurzeln - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Zuerst berechnen wir die Wurzelausdrücke.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Jetzt können wir den Wert des gesamten Ausdrucks berechnen.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Um den Wert eines Ausdrucks mit Wurzeln zu finden, ist es oft notwendig, zuerst den ursprünglichen Ausdruck umzuwandeln. Lassen Sie uns dies an einem anderen Beispiel erläutern.

Beispiel 6. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Was ist 3 + 1 3 - 1 - 1

Wie Sie sehen können, haben wir nicht die Möglichkeit, die Wurzel durch einen exakten Wert zu ersetzen, was den Zählvorgang erschwert. In diesem Fall können Sie jedoch die abgekürzte Multiplikationsformel anwenden.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Auf diese Weise:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Ausdrücke mit Kräften

Wenn der Ausdruck Kräfte enthält, müssen ihre Werte berechnet werden, bevor mit allen anderen Aktionen fortgefahren wird. Es kommt vor, dass der Exponent selbst oder die Basis des Grades Ausdrücke sind. In diesem Fall wird zuerst der Wert dieser Ausdrücke berechnet und dann der Wert des Abschlusses.

Beispiel 7. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Wir fangen an, der Reihe nach zu rechnen.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Es bleibt nur noch die Additionsoperation auszuführen und den Wert des Ausdrucks herauszufinden:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Oft ist es auch ratsam, den Ausdruck über die Eigenschaften des Grades zu vereinfachen.

Beispiel 8. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns den Wert des folgenden Ausdrucks berechnen: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Die Exponenten sind wieder so, dass ihre genauen Zahlenwerte nicht erhalten werden können. Vereinfachen Sie den ursprünglichen Ausdruck, um seinen Wert zu finden.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Ausdrücke mit Brüchen

Wenn ein Ausdruck Brüche enthält, müssen bei der Berechnung eines solchen Ausdrucks alle darin enthaltenen Brüche als dargestellt werden gewöhnliche Brüche und ihre Werte berechnen.

Wenn der Zähler und Nenner des Bruchs Ausdrücke enthalten, werden zuerst die Werte dieser Ausdrücke berechnet und der Endwert des Bruchs selbst aufgezeichnet. Arithmetische Operationen werden in der Standardreihenfolge ausgeführt. Betrachten wir eine Beispiellösung.

Beispiel 9. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks finden, der Brüche enthält: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Wie Sie sehen können, enthält der ursprüngliche Ausdruck drei Brüche. Lassen Sie uns zuerst ihre Werte berechnen.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Lassen Sie uns unseren Ausdruck umschreiben und seinen Wert berechnen:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Beim Ermitteln der Werte von Ausdrücken ist es häufig zweckmäßig, Brüche zu kürzen. Es gibt eine unausgesprochene Regel: Bevor Sie ihren Wert finden, ist es am besten, jeden Ausdruck maximal zu vereinfachen und alle Berechnungen auf die einfachsten Fälle zu reduzieren.

Beispiel 10. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Ausdruck 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Wir können die Wurzel von fünf nicht vollständig ziehen, aber wir können den ursprünglichen Ausdruck durch Transformationen vereinfachen.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Der ursprüngliche Ausdruck hat die Form:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Lassen Sie uns den Wert dieses Ausdrucks berechnen:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Ausdrücke mit Logarithmen

Wenn Logarithmen in einem Ausdruck vorkommen, wird ihr Wert, wenn möglich, von Anfang an berechnet. Beispielsweise können Sie im Ausdruck log 2 4 + 2 4 sofort den Wert dieses Logarithmus anstelle von log 2 4 schreiben und dann alle Aktionen ausführen. Wir erhalten: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Numerische Ausdrücke finden sich auch unter dem Vorzeichen des Logarithmus und an seiner Basis. In diesem Fall besteht der erste Schritt darin, ihre Werte zu finden. Nehmen wir den Ausdruck log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Wir haben:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Wenn es unmöglich ist, den genauen Wert des Logarithmus zu berechnen, hilft das Vereinfachen des Ausdrucks, seinen Wert zu finden.

Beispiel 11. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

Protokoll 2 Protokoll 2 256 = Protokoll 2 8 = 3 .

Nach der Eigenschaft der Logarithmen:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Wenden wir erneut die Eigenschaften von Logarithmen an, erhalten wir für den letzten Bruch im Ausdruck:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Jetzt können Sie mit der Berechnung des Werts des ursprünglichen Ausdrucks fortfahren.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2 .

Ausdrücke mit trigonometrischen Funktionen

Es kommt vor, dass der Ausdruck trigonometrische Funktionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens sowie dazu inverse Funktionen enthält. Daraus werden die Werte errechnet, bevor alle anderen Rechenoperationen durchgeführt werden. Andernfalls wird der Ausdruck vereinfacht.

Beispiel 12. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Finden Sie den Wert des Ausdrucks: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Zuerst berechnen wir die Werte der im Ausdruck enthaltenen trigonometrischen Funktionen.

Sünde - 5 π 2 \u003d - 1

Ersetzen Sie die Werte im Ausdruck und berechnen Sie seinen Wert:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Der Wert des Ausdrucks wird gefunden.

Um den Wert eines Ausdrucks mit trigonometrischen Funktionen zu finden, muss dieser oft zuerst konvertiert werden. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.

Beispiel 13. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Es ist notwendig, den Wert des Ausdrucks cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 zu finden.

Für die Transformation verwenden wir die trigonometrischen Formeln für den Kosinus des Doppelwinkels und den Kosinus der Summe.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Allgemeiner Fall eines numerischen Ausdrucks

Im allgemeinen Fall kann ein trigonometrischer Ausdruck alle oben beschriebenen Elemente enthalten: Klammern, Grade, Wurzeln, Logarithmen, Funktionen. Lassen Sie uns formulieren allgemeine Regel Finden der Werte solcher Ausdrücke.

So finden Sie den Wert eines Ausdrucks

1. Wurzeln, Potenzen, Logarithmen usw. werden durch ihre Werte ersetzt.
2. Die Aktionen in Klammern werden ausgeführt.
3. Die restlichen Schritte werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt. Zuerst - Multiplikation und Division, dann - Addition und Subtraktion.

Nehmen wir ein Beispiel.

Beispiel 14. Der Wert eines numerischen Ausdrucks

Berechnen wir den Wert des Ausdrucks - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Der Ausdruck ist ziemlich komplex und umständlich. Es ist kein Zufall, dass wir gerade ein solches Beispiel gewählt haben und versuchen, alle oben beschriebenen Fälle darin unterzubringen. Wie findet man den Wert eines solchen Ausdrucks?

Es ist bekannt, dass bei der Berechnung des Werts einer komplexen Bruchform zunächst die Werte des Zählers und des Nenners des Bruchs jeweils getrennt ermittelt werden. Wir werden diesen Ausdruck sukzessive transformieren und vereinfachen.

Zunächst berechnen wir den Wert des Wurzelausdrucks 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Dazu müssen Sie den Wert des Sinus und den Ausdruck finden, der das Argument der trigonometrischen Funktion ist.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Jetzt können Sie den Wert des Sinus herausfinden:

Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = Sünde π 6 + 2 π = Sünde π 6 = 1 2 .

Wir berechnen den Wert des Wurzelausdrucks:

2 Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 Sünde π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Mit dem Nenner eines Bruchs ist alles einfacher:

Jetzt können wir den Wert des ganzen Bruchs aufschreiben:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

In diesem Sinne schreiben wir den gesamten Ausdruck:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Endergebnis:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In diesem Fall konnten wir genaue Werte für Wurzeln, Logarithmen, Sinus usw. berechnen. Wenn dies nicht möglich ist, können Sie versuchen, sie durch mathematische Transformationen loszuwerden.

Berechnung von Ausdrücken auf rationale Weise

Numerische Werte müssen konsistent und genau berechnet werden. Dieser Prozess kann rationalisiert und beschleunigt werden, indem verschiedene Eigenschaften von Operationen mit Zahlen verwendet werden. Beispielsweise ist bekannt, dass das Produkt gleich Null ist, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist. Angesichts dieser Eigenschaft können wir sofort sagen, dass der Ausdruck 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 gleich Null ist. In diesem Fall ist es überhaupt nicht erforderlich, die Schritte in der im obigen Artikel beschriebenen Reihenfolge auszuführen.

Es ist auch praktisch, die Subtraktionseigenschaft zu verwenden gleiche Zahlen. Ohne irgendwelche Aktionen auszuführen, ist es möglich zu befehlen, dass der Wert des Ausdrucks 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 ebenfalls gleich Null ist.

Eine weitere Technik, mit der Sie den Prozess beschleunigen können, ist die Verwendung identischer Transformationen, z. B. das Gruppieren von Termen und Faktoren und das Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern. Ein rationaler Ansatz zur Berechnung von Ausdrücken mit Brüchen besteht darin, dieselben Ausdrücke im Zähler und Nenner zu kürzen.

Nehmen wir zum Beispiel den Ausdruck 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Ohne Aktionen in Klammern auszuführen, aber indem wir den Bruch kürzen, können wir sagen, dass der Wert des Ausdrucks 1 3 ist.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Der Wert eines wörtlichen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen wird für bestimmte gegebene Werte von Buchstaben und Variablen gefunden.

Finden der Werte von Ausdrücken mit Variablen

Um den Wert eines wörtlichen Ausdrucks und eines Ausdrucks mit Variablen zu finden, müssen Sie die angegebenen Werte von Buchstaben und Variablen in den ursprünglichen Ausdruck einsetzen und dann den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks berechnen.

Beispiel 15. Der Wert eines Ausdrucks mit Variablen

Berechnen Sie den Wert des Ausdrucks 0, 5 x - y bei x = 2, 4 und y = 5.

Wir setzen die Werte der Variablen in den Ausdruck ein und berechnen:

0 , 5 x - y = 0 , 5 2 , 4 - 5 = 1 , 2 - 5 = - 3 , 8 .

Manchmal ist es möglich, einen Ausdruck so zu transformieren, dass sein Wert unabhängig von den Werten der darin enthaltenen Buchstaben und Variablen erhalten wird. Dazu ist es notwendig, Buchstaben und Variablen im Ausdruck möglichst durch identische Transformationen, Eigenschaften arithmetischer Operationen und alle möglichen anderen Methoden zu entfernen.

Zum Beispiel hat der Ausdruck x + 3 - x offensichtlich den Wert 3, und es ist nicht notwendig, den Wert von x zu kennen, um diesen Wert zu berechnen. Der Wert dieses Ausdrucks ist für alle Werte der Variablen x aus ihrem Bereich gültiger Werte gleich drei.

Noch ein Beispiel. Der Wert des Ausdrucks x x ist für alle positiven x gleich eins.

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Erste Ebene

Ausdruckskonvertierung. Detaillierte Theorie (2019)

Ausdruckskonvertierung

Oft hören wir diesen unangenehmen Satz: "Vereinfachen Sie den Ausdruck." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben. Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu einer (nur!) gewöhnlichen Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit gleichem Buchstabenteil. Zum Beispiel sind in der Summe gleiche Terme und.

Fiel ein?

Gleiche Begriffe bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Objekte bezeichnen. Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil beim Vereinfachen von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meistens faktorisiert, dh als Produkt dargestellt werden. Das ist besonders wichtig bei Brüchen, denn um einen Bruch zu kürzen, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu ein paar Beispiele(auszurechnen):

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen typischen Abkürzungsfehler möchte ich aufmerksam machen. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein schneiden- das heisst teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

"Die Klügsten" werden dies tun:.

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren können, dh durch und dann durch dividieren:

Sie können sofort dividieren durch:

Denken Sie daran, solche Fehler zu vermeiden einfacher Weg So bestimmen Sie, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation". Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben sich nicht sofort zum Schneiden beeilt und? Es war immer noch nicht genug Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte sein, zu faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche ist eine bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Hier verwandeln wir zunächst gemischte Brüche in unechte und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt. Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - Dasselbe. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also ein Analogon zu den einfachen Faktoren, in die Sie Zahlen zerlegen. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide repräsentieren:

Großartig! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Habe es? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an eine Sache erinnern - den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel "Quadrat der Summe" enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Erweiterung der Differenz von Kubikzahlen:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Machen wir es erstmal so Höchstbetrag Faktoren in den Nennern waren die gleichen:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und fügen dann alle Faktoren hinzu, die noch nicht geschrieben wurden, vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei ein Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner dividiert, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts Einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was gebraucht wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur anstelle von arithmetischen Operationen müssen algebraische Operationen durchgeführt werden, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operationen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

OK, jetzt ist alles vorbei. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren. Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die du addierst oder subtrahierst: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
  ;
• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;

Ein numerischer Ausdruck ist ein Satz von Zahlen in Verbindung mit Rechenoperationen und Klammern. Wenn Variablen in einem Ausdruck zusammen mit Zahlen verwendet werden und der gesamte Ausdruck bedeutungsvoll zusammengesetzt ist, spricht man von einem algebraischen (wörtlichen) Ausdruck. Wenn der Ausdruck direkte, abgeleitete, inverse und andere trigonometrische Funktionen enthält, wird der Ausdruck als trigonometrisch bezeichnet. Im Schulmathematikkurs werden viele Beispiele und Aufgaben mit verschiedenen Ausdrücken behandelt.

Die wichtigsten Dinge, die Sie sich merken sollten:

1. Der Wert eines numerischen Ausdrucks ist die Zahl, die durch Ausführen arithmetischer Operationen in diesem Ausdruck erhalten wird. Die Hauptsache ist, Rechenoperationen konsequent auszuführen. Zur Vereinfachung des gesamten Vorgangs können die Schritte nummeriert werden. Wenn der Ausdruck Klammern enthält, führen wir zuerst die Aktion aus, die dem Zeichen in Klammern entspricht. Die Potenzierung wird der nächste Schritt sein. Als nächstes führen wir in erster Linie Multiplikation oder Division durch und erst ganz zum Schluss Addition und Subtraktion.

Lassen Sie uns nun den Wert des numerischen Ausdrucks 5+20*(60-45) ermitteln. Lassen Sie uns zuerst die Klammern loswerden. Wenn wir die Aktion ausführen, erhalten wir 60-45=15. Jetzt haben wir 5+20*15. Die nächste Aktion ist die Multiplikation 20*15=300. Und die letzte Aktion wird Addition sein, wir führen sie aus und erhalten das Endergebnis 5 + 300 = 305.

2. In einem bekannten Winkel? Wenn Sie mit trigonometrischen Ausdrücken arbeiten, benötigen Sie grundlegende Kenntnisse trigonometrische Formeln um den Ausdruck zu vereinfachen. Finden wir den Wert des Ausdrucks cos 12? cos 18? - Sünde 12? Sünde 18?. Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, verwenden wir die Formel cos (? +?) = cos? weil? - Sünde? sin?, dann bekommen wir cos 12? cos 18? - Sünde 12? sin 18? = cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Ausdrücke mit Variablen. Es muss daran erinnert werden, dass der Wert eines algebraischen Ausdrucks direkt von der Variablen abhängt. Variablen können mit Buchstaben des griechischen oder lateinischen Alphabets bezeichnet werden. Wenn wir die gegebenen Parameter eines algebraischen Ausdrucks haben, müssen wir ihn zuerst vereinfachen. Danach ist es notwendig, die gegebenen Variablen zu ersetzen und arithmetische Operationen durchzuführen. Als Ergebnis erhalten wir mit den angegebenen Variablen eine Zahl, die der Wert des algebraischen Ausdrucks ist. Betrachten Sie ein Beispiel, in dem Sie den Wert des Ausdrucks 3(a+y)+2(3a+2y) mit a=4 und y=5 finden müssen. Vereinfachen Sie diesen Ausdruck und erhalten Sie 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Jetzt müssen Sie den Wert der Variablen ersetzen und berechnen, das erhaltene Ergebnis ist der Wert des Ausdrucks. Also haben wir 9a+7y mit a=4 und y=5 bekommen wir 36+35=71. Beachten Sie, dass algebraische Ausdrücke nicht immer sinnvoll sind. Beispielsweise ist der Ausdruck 15:(b-4) für jedes b außer b =4 sinnvoll.

Nachdem wir nun gelernt haben, wie man einzelne Brüche addiert und multipliziert, können wir uns mehr überlegen komplexe Strukturen. Was ist zum Beispiel, wenn Addition, Subtraktion und Multiplikation von Brüchen in einer Aufgabe vorkommen?

Zuerst müssen Sie alle Brüche in unechte umwandeln. Dann führen wir nacheinander die erforderlichen Aktionen aus - in der gleichen Reihenfolge wie bei gewöhnlichen Zahlen. Nämlich:

1. Zuerst wird die Potenzierung durchgeführt - alle Ausdrücke entfernen, die Exponenten enthalten;
2. Dann - Division und Multiplikation;
3. Der letzte Schritt ist Addition und Subtraktion.

Wenn der Ausdruck Klammern enthält, ändert sich natürlich die Reihenfolge der Aktionen - alles, was innerhalb der Klammern steht, muss zuerst berücksichtigt werden. Und denken Sie an unechte Brüche: Sie müssen den ganzen Teil erst auswählen, wenn alle anderen Aktionen bereits abgeschlossen sind.

Lassen Sie uns alle Brüche aus dem ersten Ausdruck in unechte übersetzen und dann die folgenden Aktionen ausführen:

Lassen Sie uns nun den Wert des zweiten Ausdrucks finden. Hier Brüche mit ganzer Teil nein, aber es gibt Klammern, also machen wir zuerst die Addition und erst dann die Division. Beachten Sie, dass 14 = 7 2 . Dann:

Betrachten Sie abschließend das dritte Beispiel. Hier gibt es Klammern und einen Abschluss - es ist besser, sie separat zu zählen. Da 9 = 3 3 ist, haben wir:

Achten Sie auf das letzte Beispiel. Um einen Bruch zu potenzieren, musst du den Zähler separat potenzieren und den Nenner separat.

Sie können sich anders entscheiden. Erinnern wir uns an die Definition des Grades, reduziert sich das Problem auf die übliche Multiplikation von Brüchen:

Mehrstöckige Fraktionen

Bisher haben wir nur "reine" Brüche betrachtet, bei denen Zähler und Nenner gewöhnliche Zahlen sind. Dies steht im Einklang mit der Definition eines numerischen Bruchs, die in der allerersten Lektion gegeben wurde.

Was aber, wenn ein komplexeres Objekt im Zähler oder Nenner platziert wird? Zum Beispiel ein anderer numerischer Bruch? Solche Konstruktionen kommen recht häufig vor, besonders wenn mit langen Ausdrücken gearbeitet wird. Hier sind ein paar Beispiele:

Es gibt nur eine Regel für die Arbeit mit mehrstöckigen Fraktionen: Sie müssen sie sofort loswerden. Das Entfernen von "zusätzlichen" Stockwerken ist ganz einfach, wenn Sie sich daran erinnern, dass der Bruchstrich die Standardteilungsoperation bedeutet. Daher kann jeder Bruch wie folgt umgeschrieben werden:

Mit dieser Tatsache und nach dem Verfahren können wir jeden mehrstöckigen Teil leicht auf einen normalen reduzieren. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Konvertieren Sie mehrstöckige Brüche in gemeinsame Brüche:

In jedem Fall schreiben wir den Hauptbruch um und ersetzen die Trennlinie durch ein Divisionszeichen. Denken Sie auch daran, dass jede ganze Zahl als Bruch mit dem Nenner 1 dargestellt werden kann. Das heißt, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Wir bekommen:

Im letzten Beispiel wurden die Brüche vor der endgültigen Multiplikation gekürzt.

Die Besonderheiten der Arbeit mit mehrstöckigen Fraktionen

Es gibt eine Feinheit bei mehrstöckigen Brüchen, die man sich immer merken muss, sonst kann man die falsche Antwort bekommen, selbst wenn alle Berechnungen richtig waren. Schau mal:

1. Im Zähler gibt es eine separate Zahl 7 und im Nenner - den Bruch 12/5;
2. Der Zähler ist der Bruch 7/12 und der Nenner die einzelne Zahl 5.

Für eine Platte haben wir also zwei völlig unterschiedliche Interpretationen bekommen. Wenn Sie zählen, werden die Antworten auch anders sein:

Damit der Satz immer eindeutig gelesen wird, gilt eine einfache Regel: Der Trennstrich des Hauptbruchs muss länger sein als der Verschachtelungsstrich. Am besten mehrmals.

Wenn Sie diese Regel befolgen, sollten die obigen Brüche wie folgt geschrieben werden:

Ja, es ist wahrscheinlich hässlich und nimmt zu viel Platz ein. Aber Sie werden richtig zählen. Zum Schluss noch ein paar Beispiele, wo mehrstufige Brüche wirklich vorkommen:

Aufgabe. Ausdruckswerte finden:

Arbeiten wir also mit dem ersten Beispiel. Lassen Sie uns alle Brüche in unechte Brüche umwandeln und dann die Additions- und Divisionsoperationen ausführen:

Machen wir dasselbe mit dem zweiten Beispiel. Wandeln Sie alle Brüche in unechte um und führen Sie die erforderlichen Operationen durch. Um den Leser nicht zu langweilen, werde ich einige offensichtliche Berechnungen weglassen. Wir haben:

Da Zähler und Nenner der Hauptbrüche Summen enthalten, wird die Schreibregel für mehrstöckige Brüche automatisch eingehalten. Auch im letzten Beispiel haben wir die Zahl 46/1 bewusst in Form eines Bruchs belassen, um die Division durchzuführen.

Ich stelle auch fest, dass in beiden Beispielen der Bruchstrich tatsächlich die Klammern ersetzt: Zuerst haben wir die Summe gefunden und erst dann - den Quotienten.

Jemand wird sagen, dass der Übergang zu unechten Brüchen im zweiten Beispiel eindeutig überflüssig war. Vielleicht ist es so. Aber so sichern wir uns gegen Fehler ab, denn beim nächsten Mal kann das Beispiel viel komplizierter ausfallen. Entscheiden Sie selbst, was wichtiger ist: Schnelligkeit oder Zuverlässigkeit.

ICH. Ausdrücke, in denen neben Buchstaben Zahlen, Rechenzeichen und Klammern verwendet werden können, nennt man algebraische Ausdrücke.

Beispiele für algebraische Ausdrücke:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0,3a-b · (4a + 2b); a2-2ab;

Da ein Buchstabe in einem algebraischen Ausdruck durch verschiedene Zahlen ersetzt werden kann, wird der Buchstabe als Variable und der Buchstabe selbst bezeichnet Algebraischer Ausdruck- ein Ausdruck mit einer Variablen.

II. Wenn in einem algebraischen Ausdruck die Buchstaben (Variablen) durch ihre Werte ersetzt und die angegebenen Aktionen ausgeführt werden, wird die resultierende Zahl als Wert des algebraischen Ausdrucks bezeichnet.

Beispiele. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks:

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6.

Lösung.

1) a + 2b -c für a = -2; b = 10; c = -3,5. Anstelle von Variablen ersetzen wir ihre Werte. Wir bekommen:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| bei x = -8; y=-5; z = 6. Wir ersetzen die angegebenen Werte. Denken Sie daran, dass das Modul negative Zahl gleich seiner Gegenzahl und dem Modul ist positive Zahl gleich dieser Zahl. Wir bekommen:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Die Werte eines Buchstabens (Variable), für die der algebraische Ausdruck Sinn macht, heißen gültige Werte des Buchstabens (Variable).

Beispiele. Bei welchen Werten der Variablen macht der Ausdruck keinen Sinn?

Lösung. Wir wissen, dass es unmöglich ist, durch Null zu dividieren, daher ergibt jeder dieser Ausdrücke keinen Sinn mit dem Wert des Buchstabens (Variable), der den Nenner des Bruchs auf Null setzt!

In Beispiel 1) ist dies der Wert a = 0. Wenn wir statt a 0 einsetzen, muss die Zahl 6 tatsächlich durch 0 geteilt werden, aber das geht nicht. Antwort: Ausdruck 1) macht keinen Sinn, wenn a = 0 ist.

In Beispiel 2) ist der Nenner x - 4 = 0 bei x = 4, daher ist dieser Wert x = 4 und kann nicht genommen werden. Antwort: Ausdruck 2) macht keinen Sinn für x = 4.

In Beispiel 3) ist der Nenner x + 2 = 0 für x = -2. Antwort: Ausdruck 3) macht bei x = -2 keinen Sinn.

In Beispiel 4) ist der Nenner 5 -|x| = 0 für |x| = 5. Und da |5| = 5 und |-5| \u003d 5, dann können Sie nicht x \u003d 5 und x \u003d -5 nehmen. Antwort: Ausdruck 4) macht keinen Sinn für x = -5 und für x = 5.
IV. Zwei Ausdrücke werden als identisch gleich bezeichnet, wenn für alle zulässigen Werte der Variablen die entsprechenden Werte dieser Ausdrücke gleich sind.

Beispiel: 5 (a – b) und 5a – 5b sind identisch, da die Gleichheit 5 (a – b) = 5a – 5b für beliebige Werte von a und b gilt. Gleichheit 5 (a - b) = 5a - 5b ist eine Identität.

Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Variablen gilt. Beispiele für Ihnen bereits bekannte Identitäten sind zB die Eigenschaften der Addition und Multiplikation, die Verteilungseigenschaft.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet. Identische Transformationen von Ausdrücken mit Variablen werden basierend auf den Eigenschaften von Operationen auf Zahlen durchgeführt.

Beispiele.

A) Konvertieren Sie den Ausdruck mit dem Distributivgesetz der Multiplikation in identisch gleich:

1) 10 (1,2x + 2,3y); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m – 2n + k).

Lösung. Erinnern Sie sich an das Distributivgesetz (Gesetz) der Multiplikation:

(a+b) c=a c+b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Addition: Um die Summe zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie jeden Term mit dieser Zahl multiplizieren und die Ergebnisse addieren).
(a-b) c=a c-b c(Distributivgesetz der Multiplikation in Bezug auf die Subtraktion: Um die Differenz zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, kann man mit dieser gekürzten und subtrahierten Zahl separat multiplizieren und die zweite vom ersten Ergebnis subtrahieren).

1) 10 (1,2x + 2,3y) \u003d 10 1,2x + 10 2,3y \u003d 12x + 23y.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

B) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Addition in identisch gleich um:

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Lösung. Wir wenden die Gesetze (Eigenschaften) der Addition an:

a+b=b+a(Verschiebung: die Summe ändert sich durch die Umordnung der Terme nicht).
(a+b)+c=a+(b+c)(Assoziativ: um eine dritte Zahl zur Summe zweier Terme zu addieren, kann man die Summe der zweiten und dritten Zahl zur ersten Zahl addieren).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

V) wandeln Sie den Ausdruck unter Verwendung der kommutativen und assoziativen Eigenschaften (Gesetze) der Multiplikation in identisch gleich um:

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2 Jahre · (-1); 9) 3a · (-3) · 2s.

Lösung. Wenden wir die Gesetze (Eigenschaften) der Multiplikation an:

ein b=b ein(Verschiebung: Permutation von Faktoren verändert das Produkt nicht).
(ab) c=a (b c)(Kombinativ: Um das Produkt zweier Zahlen mit einer dritten Zahl zu multiplizieren, können Sie die erste Zahl mit dem Produkt der zweiten und dritten Zahl multiplizieren).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2 Jahre · (-1) = 7 Jahre.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Wenn ein algebraischer Ausdruck als reduzierbarer Bruch angegeben wird, kann er mit der Bruchreduktionsregel vereinfacht werden, d.h. Ersetzen Sie identisch gleich durch einen einfacheren Ausdruck.

Beispiele. Vereinfachen Sie, indem Sie die Bruchreduktion verwenden.

Lösung. Einen Bruch kürzen bedeutet, seinen Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl (Ausdruck) außer Null zu dividieren. Bruchteil 10) wird um gekürzt 3b; Bruch 11) reduzieren um A und Bruch 12) reduzieren um 7n. Wir bekommen:

Algebraische Ausdrücke werden verwendet, um Formeln zu formulieren.

Eine Formel ist ein algebraischer Ausdruck, der als Gleichheit geschrieben ist und die Beziehung zwischen zwei oder mehr Variablen ausdrückt. Beispiel: die Pfadformel, die Sie kennen s=v t(s ist die zurückgelegte Strecke, v ist die Geschwindigkeit, t ist die Zeit). Denken Sie daran, welche anderen Formeln Sie kennen.

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