So finden Sie Nodes und Noks einfacher. Größter gemeinsamer Teiler (GCD) - Definition, Beispiele und Eigenschaften
Größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest geteilt werden, genannt größter gemeinsamer Teiler diese Nummern. Bezeichne ggT(a, b).
Betrachten Sie die Ermittlung des ggT am Beispiel zweier natürlicher Zahlen 18 und 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 Und 432
Zerlegen wir die Zahlen in Primfaktoren:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Streichen Sie von der ersten Zahl, deren Faktoren nicht in der zweiten und dritten Zahl enthalten sind, erhalten wir:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Als Ergebnis von GCD ( 324 , 111 , 432 )=3
GCD mit Euklids Algorithmus finden
Der zweite Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden Euklids Algorithmus. Euklids Algorithmus ist der beste effektiver Weg finden GCD, damit müssen Sie ständig den Rest der Zahlenteilung finden und anwenden wiederkehrende Formel.
Wiederkehrende Formel für GCD, ggT(a, b)=ggT(b, a mod b), wobei a mod b der Rest der Division von a durch b ist.
Euklids Algorithmus
Beispiel Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen 7920 Und 594
Lassen Sie uns GCD finden ( 7920 , 594 ) unter Verwendung des Euklid-Algorithmus berechnen wir den Rest der Division mit einem Taschenrechner.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Als Ergebnis erhalten wir GCD( 7920 , 594 ) = 198
Kleinstes gemeinsames Vielfaches
Beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen einen gemeinsamen Nenner finden verschiedene Nenner muss man wissen und rechnen können kleinstes gemeinsames Vielfaches(NOZ).
Ein Vielfaches der Zahl „a“ ist eine Zahl, die selbst ohne Rest durch die Zahl „a“ teilbar ist.
Zahlen, die Vielfache von 8 sind (d. h. diese Zahlen werden ohne Rest durch 8 geteilt): Dies sind die Zahlen 16, 24, 32 ...
Vielfache von 9: 18, 27, 36, 45 …
Es gibt unendlich viele Vielfache einer gegebenen Zahl a, im Gegensatz zu den Teilern derselben Zahl. Teiler - eine endliche Zahl.
Ein gemeinsames Vielfaches zweier natürlicher Zahlen ist eine Zahl, die durch beide Zahlen ohne Rest teilbar ist..
Kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) von zwei oder mehr natürlichen Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die selbst durch jede dieser Zahlen teilbar ist.
So finden Sie das NOC
LCM kann auf zwei Arten gefunden und geschrieben werden.
Der erste Weg, um das LCM zu finden
Diese Methode wird normalerweise für kleine Zahlen verwendet.
- Wir schreiben die Vielfachen für jede der Zahlen in einer Zeile, bis es ein Vielfaches gibt, das für beide Zahlen gleich ist.
- Ein Vielfaches der Zahl „a“ wird durch einen Großbuchstaben „K“ gekennzeichnet.
Beispiel. Finden Sie LCM 6 und 8.
Der zweite Weg, um das LCM zu finden
Diese Methode ist praktisch, um das LCM für drei oder mehr Zahlen zu finden.
Die Anzahl identischer Faktoren in den Zahlenentwicklungen kann unterschiedlich sein.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Antwort: LCM (24, 60) = 120
Sie können das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) auch wie folgt formalisieren. Lassen Sie uns das LCM (12, 16, 24) finden.
24 = 2 2 2 3
Wie wir aus der Entwicklung der Zahlen sehen können, sind alle Faktoren von 12 in der Entwicklung von 24 (der größten der Zahlen) enthalten, also fügen wir nur eine 2 von der Entwicklung der Zahl 16 zum LCM hinzu.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Antwort: LCM (12, 16, 24) = 48
Sonderfälle beim Auffinden von NOCs
Beispiel: LCM(60, 15) = 60
Da teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primteiler haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen.
Auf unserer Website können Sie auch einen speziellen Rechner verwenden, um das kleinste gemeinsame Vielfache online zu finden, um Ihre Berechnungen zu überprüfen.
Wenn eine natürliche Zahl nur durch 1 und sich selbst teilbar ist, dann heißt sie Primzahl.
Jede natürliche Zahl ist immer durch 1 und sich selbst teilbar.
Die Zahl 2 ist die kleinste Primzahl. Dies ist die einzige gerade Primzahl, die restlichen Primzahlen sind ungerade.
Es gibt viele Primzahlen, und die erste unter ihnen ist die Zahl 2. Es gibt jedoch keine letzte Primzahl. Im Bereich "Zum Studium" können Sie eine Tabelle mit Primzahlen bis 997 herunterladen.
Aber viele natürliche Zahlen sind durch andere natürliche Zahlen ohne Rest teilbar.
- die Zahl 12 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12;
- 36 ist teilbar durch 1, durch 2, durch 3, durch 4, durch 6, durch 12, durch 18, durch 36.
- die Teiler von Zahlen in Primfaktoren zerlegen;
Die Zahlen, durch die die Zahl ohne Rest teilbar ist (bei 12 sind das 1, 2, 3, 4, 6 und 12), heißen Teiler der Zahl.
Der Teiler einer natürlichen Zahl a ist die natürliche Zahl, die teilt angegebene Nummer"a" ohne Rest.
Eine natürliche Zahl, die mehr als zwei Teiler hat, nennt man zusammengesetzte Zahl.
Beachten Sie, dass die Zahlen 12 und 36 gemeinsame Teiler haben. Das sind Zahlen: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Der größte Teiler dieser Zahlen ist 12.
Der gemeinsame Teiler zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die Zahl, durch die beide gegebenen Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest geteilt werden.
Größter gemeinsamer Teiler(ggT) zweier gegebener Zahlen „a“ und „b“ ist die größte Zahl, durch die beide Zahlen „a“ und „b“ ohne Rest teilbar sind.
Kurz gesagt wird der größte gemeinsame Teiler der Zahlen "a" und "b" wie folgt geschrieben:
Beispiel: ggT (12; 36) = 12 .
Die Teiler von Zahlen im Lösungsdatensatz werden durch einen Großbuchstaben „D“ gekennzeichnet.
Die Zahlen 7 und 9 haben nur einen gemeinsamen Teiler – die Zahl 1. Solche Nummern werden angerufen teilerfremde Zahlen.
Koprime-Zahlen sind natürliche Zahlen, die nur einen gemeinsamen Teiler haben - die Zahl 1. Ihr GCD ist 1.
So finden Sie den größten gemeinsamen Teiler
Um den ggT von zwei oder mehr natürlichen Zahlen zu finden, benötigen Sie:
Berechnungen werden bequem mit einem vertikalen Balken geschrieben. Schreiben Sie links von der Zeile zuerst den Dividenden auf, rechts den Divisor. Weiter in der linken Spalte schreiben wir die Werte von privat auf.
Lassen Sie es uns gleich an einem Beispiel erklären. Zerlegen wir die Zahlen 28 und 64 in Primfaktoren.
- Unterstreiche in beiden Zahlen dieselben Primfaktoren.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Wir finden das Produkt identischer Primfaktoren und schreiben die Antwort auf;
ggT (28; 64) = 2 2 = 4
Antwort: ggT (28; 64) = 4
Sie können die Position des GCD auf zwei Arten anordnen: in einer Spalte (wie oben) oder „in einer Zeile“.
Der erste Weg, GCD zu schreiben
Finden Sie GCD 48 und 36.
ggT (48; 36) = 2 2 3 = 12
Die zweite Möglichkeit, GCD zu schreiben
Lassen Sie uns nun die GCD-Suchlösung in eine Zeile schreiben. Finden Sie GCD 10 und 15.
Auf unserer Informationsseite können Sie den größten gemeinsamen Teiler auch online finden, indem Sie das Hilfsprogramm verwenden, um Ihre Berechnungen zu überprüfen.
Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, Methoden, Beispiele zum Finden des LCM.
Das unten dargestellte Material ist eine logische Fortsetzung der Theorie aus dem Artikel unter der Überschrift LCM - Kleinstes gemeinsames Vielfaches, Definition, Beispiele, Beziehung zwischen LCM und GCD. Hier werden wir darüber sprechen Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM), Und Besondere Aufmerksamkeit Schauen wir uns die Beispiele an. Lassen Sie uns zunächst zeigen, wie das LCM zweier Zahlen in Bezug auf den ggT dieser Zahlen berechnet wird. Überlege als Nächstes, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem du Zahlen in Primfaktoren zerlegst. Danach konzentrieren wir uns darauf, das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, und achten auch auf die Berechnung des LCM von negativen Zahlen.
Seitennavigation.
Berechnung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) durch ggT
Eine Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, basiert auf der Beziehung zwischen LCM und ggT. Die bestehende Beziehung zwischen LCM und ggT ermöglicht es Ihnen, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier positiver ganzer Zahlen durch den bekannten größten gemeinsamen Teiler zu berechnen. Die zugehörige Formel hat die Form LCM(a, b)=a b: ggT(a, b). Betrachten Sie Beispiele zum Finden des LCM gemäß der obigen Formel.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen 126 und 70 .
In diesem Beispiel a=126 , b=70 . Verwenden wir die Verknüpfung von LCM mit GCD, die durch die Formel LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) ausgedrückt wird. Das heißt, wir müssen zuerst den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 70 und 126 finden, danach können wir das LCM dieser Zahlen nach der geschriebenen Formel berechnen.
Finden Sie ggT(126, 70) mit dem Euklid-Algorithmus: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , also ggT(126, 70)=14 .
Nun finden wir das benötigte kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Was ist LCM(68, 34)?
Da 68 ohne Rest durch 34 teilbar ist, ist ggT(68, 34)=34 . Jetzt berechnen wir das kleinste gemeinsame Vielfache: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Beachten Sie, dass das vorherige Beispiel der folgenden Regel zum Ermitteln des LCM für positive ganze Zahlen a und b entspricht: Wenn die Zahl a durch b teilbar ist, dann ist das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen a .
Ermitteln des LCM durch Faktorisieren von Zahlen in Primfaktoren
Eine andere Möglichkeit, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, besteht darin, Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen. Wenn wir ein Produkt aus allen Primfaktoren dieser Zahlen bilden und anschließend alle gemeinsamen Primfaktoren, die in den Erweiterungen dieser Zahlen vorhanden sind, aus diesem Produkt ausschließen, dann ist das resultierende Produkt gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen dieser Zahlen.
Aus der Gleichheit LCM(a, b)=a b : GCD(a, b) folgt die angekündigte Regel zur Bestimmung des LCM. Tatsächlich ist das Produkt der Zahlen a und b gleich dem Produkt aller Faktoren, die an der Entwicklung der Zahlen a und b beteiligt sind. ggT(a, b) wiederum ist gleich dem Produkt aller Primfaktoren, die gleichzeitig in den Erweiterungen der Zahlen a und b vorkommen (was im Abschnitt über die Ermittlung des ggT durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschrieben wird). ).
Nehmen wir ein Beispiel. Lassen Sie uns wissen, dass 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Bilden Sie das Produkt aller Faktoren dieser Erweiterungen: 2 3 3 5 5 5 7 . Jetzt schließen wir aus diesem Produkt alle Faktoren aus, die sowohl in der Erweiterung der Zahl 75 als auch in der Erweiterung der Zahl 210 vorhanden sind (solche Faktoren sind 3 und 5), dann nimmt das Produkt die Form 2 3 5 5 7 an. Der Wert dieses Produkts ist gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 75 und 210 , also LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Nachdem du die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren zerlegt hast, finde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.
Zerlegen wir die Zahlen 441 und 700 in Primfaktoren: 
Wir erhalten 441=3 3 7 7 und 700=2 2 5 5 7 .
Lassen Sie uns nun ein Produkt aus allen Faktoren bilden, die an der Erweiterung dieser Zahlen beteiligt sind: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Lassen Sie uns aus diesem Produkt alle Faktoren ausschließen, die gleichzeitig in beiden Erweiterungen vorhanden sind (es gibt nur einen solchen Faktor - dies ist die Zahl 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Also LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Die Regel zur Ermittlung des LCM durch Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren kann etwas anders formuliert werden. Wenn wir die fehlenden Faktoren aus der Entwicklung der Zahl b zu den Faktoren aus der Entwicklung der Zahl a addieren, dann ist der Wert des resultierenden Produkts gleich dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen a und b.
Nehmen wir zum Beispiel alle gleichen Zahlen 75 und 210, ihre Erweiterungen in Primfaktoren sind wie folgt: 75=3 5 5 und 210=2 3 5 7 . Zu den Faktoren 3, 5 und 5 aus der Zerlegung der Zahl 75 addieren wir die fehlenden Faktoren 2 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 210, wir erhalten das Produkt 2 3 5 5 7 , dessen Wert LCM(75 , 210).
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache von 84 und 648.
Wir erhalten zunächst die Zerlegung der Zahlen 84 und 648 in Primfaktoren. Sie sehen aus wie 84=2 2 3 7 und 648=2 2 2 3 3 3 3 . Zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 aus der Zerlegung der Zahl 84 addieren wir die fehlenden Faktoren 2, 3, 3 und 3 aus der Zerlegung der Zahl 648, wir erhalten das Produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , was gleich 4 536 ist. Somit ist das gewünschte kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 84 und 648 4.536.
Ermitteln des LCM von drei oder mehr Zahlen
Das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen kann man finden, indem man nacheinander das LCM von zwei Zahlen findet. Erinnern Sie sich an den entsprechenden Satz, mit dem Sie das LCM von drei oder mehr Zahlen finden können.
Seien positive ganze Zahlen a 1 , a 2 , …, a k gegeben, das kleinste gemeinsame Vielfache m k dieser Zahlen findet sich in der Folgerechnung m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM(m k−1 , a k) .
Betrachten Sie die Anwendung dieses Satzes am Beispiel der Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von vier Zahlen.
Finden Sie das LCM der vier Zahlen 140, 9, 54 und 250.
Zuerst finden wir m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Dazu bestimmen wir mit dem euklidischen Algorithmus ggT(140, 9) , wir haben 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , also ggT( 140, 9)=1 , also LCM(140, 9)=140 9: ggT(140, 9)= 140 9:1=1 260 . Das heißt, m 2 = 1 260 .
Nun finden wir m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Berechnen wir es durch ggT(1 260, 54) , was auch durch den Euklid-Algorithmus bestimmt wird: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Dann ggT(1 260, 54)=18 , also LCM(1 260, 54)= 1 260 54:ggT(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Das heißt, m 3 \u003d 3 780.
Es bleibt m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) zu finden. Dazu finden wir ggT(3 780, 250) mit dem Euklid-Algorithmus: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Daher ist ggT(3 780, 250)=10 , also LCM(3 780, 250)= 3 780 250:ggT(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Das heißt, m 4 \u003d 94 500.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der ursprünglichen vier Zahlen ist also 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .
In vielen Fällen wird das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen bequem durch Primfaktorzerlegung gegebener Zahlen gefunden. In diesem Fall sollte die folgende Regel befolgt werden. Das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen ist gleich dem Produkt, das sich wie folgt zusammensetzt: Die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl werden zu allen Faktoren aus der Erweiterung der ersten Zahl addiert, die fehlenden Faktoren aus der Erweiterung von die dritte Zahl wird zu den erhaltenen Faktoren addiert und so weiter.
Betrachten Sie ein Beispiel für das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen mithilfe der Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.
Finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von fünf Zahlen 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .
Zuerst erhalten wir Zerlegungen dieser Zahlen in Primfaktoren: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 ist eine Primzahl, sie fällt mit ihrer Zerlegung in Primfaktoren zusammen) und 143=11 13 .
Um das LCM dieser Zahlen zu finden, müssen Sie zu den Faktoren der ersten Zahl 84 (das sind 2 , 2 , 3 und 7) die fehlenden Faktoren aus der Zerlegung der zweiten Zahl 6 hinzufügen. Die Erweiterung der Zahl 6 enthält keine fehlenden Faktoren, da sowohl 2 als auch 3 bereits in der Erweiterung der ersten Zahl 84 vorhanden sind. Fügen wir zu den Faktoren 2, 2, 3 und 7 die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der dritten Zahl 48 hinzu, erhalten wir eine Reihe von Faktoren 2, 2, 2, 2, 3 und 7. Zu dieser Menge müssen im nächsten Schritt keine Faktoren hinzugefügt werden, da 7 bereits darin enthalten ist. Schließlich ergänzen wir zu den Faktoren 2 , 2 , 2 , 2 , 3 und 7 die fehlenden Faktoren 11 und 13 aus der Erweiterung der Zahl 143 . Wir erhalten das Produkt 2 2 2 2 3 7 11 13 , was 48 048 entspricht.
Daher LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .
Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen von negativen Zahlen
Manchmal gibt es Aufgaben, bei denen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache von Zahlen finden müssen, von denen eine, mehrere oder alle Zahlen negativ sind. In diesen Fällen alle negative Zahlen Sie müssen sie durch ihre entgegengesetzten Zahlen ersetzen und dann das LCM positiver Zahlen finden. Dies ist der Weg, um das kgV von negativen Zahlen zu finden. Zum Beispiel LCM(54, –34)=LCM(54, 34) und LCM(–622, –46, –54, –888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
Wir können dies tun, weil die Menge der Vielfachen von a dieselbe ist wie die Menge der Vielfachen von −a (a und −a sind entgegengesetzte Zahlen). In der Tat, sei b ein Vielfaches von a, dann ist b durch a teilbar, und das Konzept der Teilbarkeit behauptet die Existenz einer solchen ganzen Zahl q, dass b=a q . Aber auch die Gleichheit b=(−a)·(−q) gilt, was aufgrund desselben Teilbarkeitsbegriffs bedeutet, dass b durch −a teilbar ist, also ein Vielfaches von −a ist. Auch die umgekehrte Aussage gilt: Wenn b ein Vielfaches von −a ist, dann ist auch b ein Vielfaches von a .
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen Zahlen −145 und −45.
Lassen Sie uns die negativen Zahlen −145 und −45 durch ihre entgegengesetzten Zahlen 145 und 45 ersetzen. Wir haben LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nachdem wir ggT(145, 45)=5 bestimmt haben (beispielsweise unter Verwendung des Euklid-Algorithmus), berechnen wir LCM(145, 45)=145 45:ggT(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Somit ist das kleinste gemeinsame Vielfache der negativen ganzen Zahlen –145 und –45 1.305 .
www.cleverstudents.ru
Wir studieren weiterhin die Teilung. In dieser Lektion werden wir uns mit Konzepten wie z GCD Und NOK.
GCD ist der größte gemeinsame Teiler.
NOK ist das kleinste gemeinsame Vielfache.
Das Thema ist ziemlich langweilig, aber es ist notwendig, es zu verstehen. Ohne dieses Thema zu verstehen, werden Sie nicht in der Lage sein, effektiv mit Brüchen zu arbeiten, die in der Mathematik ein echtes Hindernis darstellen.
Größter gemeinsamer Teiler
Definition. Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen A Und B A Und B ohne Rest geteilt.
Um diese Definition gut zu verstehen, ersetzen wir statt Variablen A Und B statt einer Variablen beispielsweise zwei beliebige Zahlen A Ersetzen Sie die Zahl 12 und anstelle der Variablen B Nummer 9. Versuchen wir nun, diese Definition zu lesen:
Größter gemeinsamer Teiler von Zahlen 12 Und 9 ist die größte Zahl, um die 12 Und 9 ohne Rest geteilt.
Aus der Definition geht hervor, dass es sich um einen gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9 handelt, und dieser Teiler ist der größte aller existierenden Teiler. Dieser größte gemeinsame Teiler (ggT) muss gefunden werden.
Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu finden, werden drei Methoden verwendet. Die erste Methode ist ziemlich zeitaufwändig, aber sie ermöglicht es Ihnen, die Essenz des Themas gut zu verstehen und seine ganze Bedeutung zu spüren.
Die zweite und dritte Methode sind recht einfach und ermöglichen ein schnelles Auffinden des GCD. Wir werden alle drei Methoden betrachten. Und was in der Praxis anzuwenden ist, entscheiden Sie.
Der erste Weg besteht darin, alle möglichen Teiler zweier Zahlen zu finden und den größten davon zu wählen. Betrachten wir diese Methode im folgenden Beispiel: Finden Sie den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 12 und 9.
Zuerst finden wir alle möglichen Teiler der Zahl 12. Dazu teilen wir 12 in alle Teiler im Bereich von 1 bis 12. Wenn der Divisor es erlaubt, 12 ohne Rest zu teilen, dann markieren wir ihn blau und bilden eine entsprechende Erklärung in Klammern.
12: 1 = 12
(12 geteilt durch 1 ohne Rest, also ist 1 ein Teiler von 12)
12: 2 = 6
(12 geteilt durch 2 ohne Rest, also ist 2 ein Teiler von 12)
12: 3 = 4
(12 geteilt durch 3 ohne Rest, also ist 3 ein Teiler von 12)
12: 4 = 3
(12 geteilt durch 4 ohne Rest, also ist 4 ein Teiler von 12)
12:5 = 2 (2 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 5 geteilt, also ist 5 kein Teiler von 12)
12: 6 = 2
(12 geteilt durch 6 ohne Rest, also ist 6 ein Teiler von 12)
12: 7 = 1 (5 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 7 geteilt, also ist 7 kein Teiler von 12)
12: 8 = 1 (4 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 8 geteilt, also ist 8 kein Teiler von 12)
12:9 = 1 (3 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 9 geteilt, also ist 9 kein Teiler von 12)
12: 10 = 1 (2 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 10 geteilt, also ist 10 kein Teiler von 12)
12:11 = 1 (1 übrig)
(12 wird nicht ohne Rest durch 11 geteilt, also ist 11 kein Teiler von 12)
12: 12 = 1
(12 geteilt durch 12 ohne Rest, also ist 12 ein Teiler von 12)
Lassen Sie uns nun die Teiler der Zahl 9 finden. Überprüfen Sie dazu alle Teiler von 1 bis 9
9: 1 = 9
(9 ohne Rest durch 1 geteilt, also ist 1 ein Teiler von 9)
9: 2 = 4 (1 links)
(9 wird nicht ohne Rest durch 2 geteilt, also ist 2 kein Teiler von 9)
9: 3 = 3
(9 ohne Rest durch 3 geteilt, also ist 3 ein Teiler von 9)
9: 4 = 2 (1 links)
(9 wird nicht ohne Rest durch 4 geteilt, also ist 4 kein Teiler von 9)
9:5 = 1 (4 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 5 geteilt, also ist 5 kein Teiler von 9)
9: 6 = 1 (3 übrig)
(9 lässt sich nicht ohne Rest durch 6 teilen, also ist 6 kein Teiler von 9)
9:7 = 1 (2 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 7 geteilt, also ist 7 kein Teiler von 9)
9:8 = 1 (1 übrig)
(9 wird nicht ohne Rest durch 8 geteilt, also ist 8 kein Teiler von 9)
9: 9 = 1
(9 geteilt durch 9 ohne Rest, also ist 9 ein Teiler von 9)
Schreibe nun die Teiler beider Zahlen auf. Die blau markierten Zahlen sind die Teiler. Schreiben wir sie auf:
Nachdem Sie die Teiler ausgeschrieben haben, können Sie sofort feststellen, welcher der größte und häufigste ist.
Per Definition ist der größte gemeinsame Teiler von 12 und 9 die Zahl, durch die 12 und 9 ohne Restzahl teilbar sind. Der größte und gemeinsame Teiler der Zahlen 12 und 9 ist die Zahl 3
Sowohl die Zahl 12 als auch die Zahl 9 sind ohne Rest durch 3 teilbar:
Also ggT (12 und 9) = 3
Der zweite Weg, um GCD zu finden
Betrachten Sie nun den zweiten Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Wesen diese Methode besteht darin, beide Zahlen in Primfaktoren zu zerlegen und die gemeinsamen zu multiplizieren.
Beispiel 1. Finden Sie GCD der Nummern 24 und 18
Lassen Sie uns zunächst beide Zahlen in Primfaktoren zerlegen:
Jetzt multiplizieren wir ihre gemeinsamen Faktoren. Um nicht verwirrt zu werden, können die gemeinsamen Faktoren unterstrichen werden.
Wir betrachten die Zerlegung der Zahl 24. Ihr erster Faktor ist 2. Wir suchen den gleichen Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und stellen fest, dass er auch da ist. Wir unterstreichen beide Zweien:
Wieder schauen wir uns die Zerlegung der Zahl 24 an. Ihr zweiter Faktor ist ebenfalls 2. Wir suchen den gleichen Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und sehen, dass er zum zweiten Mal nicht da ist. Dann markieren wir nichts.
Die nächsten zwei in der Erweiterung der Zahl 24 fehlen auch in der Erweiterung der Zahl 18.
Wir gehen zum letzten Faktor in der Zerlegung der Zahl 24 über. Dies ist der Faktor 3. Wir suchen nach demselben Faktor in der Zerlegung der Zahl 18 und sehen, dass er auch dort ist. Wir betonen beide Drei:
Die gemeinsamen Faktoren der Zahlen 24 und 18 sind also die Faktoren 2 und 3. Um den ggT zu erhalten, müssen diese Faktoren multipliziert werden:
Also ggT (24 und 18) = 6
Der dritte Weg, um GCD zu finden
Betrachten Sie nun den dritten Weg, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden. Der Kern dieser Methode liegt darin, dass die nach dem größten gemeinsamen Teiler zu suchenden Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden. Dann werden aus der Zerlegung der ersten Zahl Faktoren gestrichen, die nicht in der Zerlegung der zweiten Zahl enthalten sind. Die restlichen Zahlen in der ersten Erweiterung werden multipliziert und erhalten ggT.
Lassen Sie uns zum Beispiel auf diese Weise den ggT für die Zahlen 28 und 16 finden. Zunächst zerlegen wir diese Zahlen in Primfaktoren:
Wir haben zwei Erweiterungen: und
Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl schließt sieben nicht ein. Wir werden es aus der ersten Erweiterung löschen:
Nun multiplizieren wir die restlichen Faktoren und erhalten den ggT:
Die Zahl 4 ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 28 und 16. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 4 teilbar:
Beispiel 2 Finden Sie GCD der Zahlen 100 und 40
Die Zahl 100 ausklammern
Die Zahl 40 ausklammern
Wir haben zwei Erweiterungen:
Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl enthält keine Fünf (es gibt nur eine Fünf). Wir löschen es aus der ersten Zerlegung
Multiplizieren Sie die restlichen Zahlen:
Wir haben die Antwort 20 bekommen. Die Zahl 20 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 100 und 40. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 20 teilbar:
ggT (100 und 40) = 20.
Beispiel 3 Finde den ggT der Zahlen 72 und 128
Die Zahl 72 ausklammern
Die Zahl 128 ausklammern
2×2×2×2×2×2×2
Nun streichen wir aus der Entwicklung der ersten Zahl die Faktoren, die nicht in der Entwicklung der zweiten Zahl enthalten sind. Die Erweiterung der zweiten Zahl enthält keine zwei Drillinge (es gibt überhaupt keine). Wir löschen sie aus der ersten Zerlegung:
Wir haben die Antwort 8 bekommen. Die Zahl 8 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 72 und 128. Diese beiden Zahlen sind ohne Rest durch 8 teilbar:
GCD (72 und 128) = 8
GCD für mehrere Zahlen finden
Den größten gemeinsamen Teiler findet man für mehrere Zahlen, nicht nur für zwei. Dazu werden die zu findenden Zahlen für den größten gemeinsamen Teiler in Primfaktoren zerlegt, dann wird das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren dieser Zahlen gefunden.
Lassen Sie uns zum Beispiel den ggT für die Zahlen 18, 24 und 36 finden
Faktorisierung der Zahl 18
Faktorisieren der Zahl 24
Faktorisieren der Zahl 36
Wir haben drei Erweiterungen:
Jetzt wählen und unterstreichen wir die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen. Gemeinsame Faktoren müssen in allen drei Zahlen enthalten sein:
Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 18, 24 und 36 die Faktoren 2 und 3 sind. Durch Multiplikation dieser Faktoren erhalten wir den gesuchten ggT:
Wir haben die Antwort 6 bekommen. Die Zahl 6 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 18, 24 und 36. Diese drei Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:
GCD (18, 24 und 36) = 6
Beispiel 2 Finden Sie ggT für die Zahlen 12, 24, 36 und 42
Lassen Sie uns jede Zahl faktorisieren. Dann finden wir das Produkt der gemeinsamen Faktoren dieser Zahlen.
Faktorisierung der Zahl 12
Faktorisieren Sie die Zahl 42
Wir haben vier Erweiterungen:
Jetzt wählen und unterstreichen wir die gemeinsamen Faktoren in diesen Zahlen. Gemeinsame Faktoren müssen in allen vier Zahlen enthalten sein:
Wir sehen, dass die gemeinsamen Faktoren für die Zahlen 12, 24, 36 und 42 die Faktoren 2 und 3 sind. Durch Multiplikation dieser Faktoren erhalten wir den gesuchten ggT:
Wir haben die Antwort 6 bekommen. Die Zahl 6 ist also der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 12, 24, 36 und 42. Diese Zahlen sind ohne Rest durch 6 teilbar:
ggT(12, 24, 36 und 42) = 6
Aus der vorherigen Lektion wissen wir, dass wenn eine Zahl ohne Rest durch eine andere geteilt wird, man sie als Vielfaches dieser Zahl bezeichnet.
Es stellt sich heraus, dass ein Vielfaches mehreren Zahlen gemeinsam sein kann. Und jetzt interessiert uns ein Vielfaches von zwei Zahlen, wobei es möglichst klein sein sollte.
Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen A Und B- A Und B A und Nummer B.
Die Definition enthält zwei Variablen A Und B. Lassen Sie uns diese Variablen durch zwei beliebige Zahlen ersetzen. Beispielsweise anstelle einer Variablen A Ersetzen Sie die Zahl 9 und anstelle der Variablen B Lassen Sie uns die Zahl 12 ersetzen. Versuchen wir nun, die Definition zu lesen:
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) von Zahlen 9 Und 12 - Das kleinste Zahl, was ein Vielfaches ist 9 Und 12 . Mit anderen Worten, es ist eine so kleine Zahl, die ohne Rest durch die Zahl teilbar ist 9 und auf die Nummer 12 .
Aus der Definition geht hervor, dass das LCM die kleinste Zahl ist, die ohne Rest durch 9 und 12 teilbar ist. Dieses LCM muss gefunden werden.
Es gibt zwei Möglichkeiten, das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) zu finden. Die erste Möglichkeit besteht darin, dass Sie die ersten Vielfachen zweier Zahlen aufschreiben und dann unter diesen Vielfachen eine solche Zahl auswählen können, die beiden Zahlen gemeinsam und klein ist. Wenden wir diese Methode an.
Finden wir zunächst die ersten Vielfachen der Zahl 9. Um die Vielfachen der Zahl 9 zu finden, multiplizieren Sie diese Neun der Reihe nach mit den Zahlen von 1 bis 9. Die Antworten, die Sie erhalten, sind Vielfache der Zahl 9. Also , Lasst uns beginnen. Vielfache werden rot hervorgehoben:
Nun finden wir Vielfache für die Zahl 12. Dazu multiplizieren wir 12 der Reihe nach mit allen Zahlen 1 bis 12.
Definition. Man nennt die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind größter gemeinsamer Teiler (ggT) diese Nummern.
Finden wir den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen 24 und 35.
Die Teiler von 24 sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 und die Teiler von 35 sind die Zahlen 1, 5, 7, 35.
Wir sehen, dass die Zahlen 24 und 35 nur einen gemeinsamen Teiler haben - die Zahl 1. Solche Zahlen werden genannt teilerfremd.
Definition. Die natürlichen Zahlen werden aufgerufen teilerfremd wenn ihr größter gemeinsamer Teiler (ggT) 1 ist.
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) kann gefunden werden, ohne alle Teiler der gegebenen Zahlen auszuschreiben.
Wenn wir die Zahlen 48 und 36 faktorisieren, erhalten wir:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Von den Faktoren, die in der Erweiterung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, löschen wir diejenigen, die nicht in der Erweiterung der zweiten Zahl enthalten sind (d. h. zwei Zweien).
Übrig bleiben die Faktoren 2 * 2 * 3. Ihr Produkt ist 12. Diese Zahl ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 48 und 36. Auch der größte gemeinsame Teiler von drei oder mehr Zahlen wird gefunden.
Finden größter gemeinsamer Teiler
2) von den Faktoren, die in der Erweiterung einer dieser Zahlen enthalten sind, diejenigen streichen, die nicht in der Erweiterung anderer Zahlen enthalten sind;
3) Finden Sie das Produkt der verbleibenden Faktoren.
Wenn alle gegebenen Zahlen durch eine von ihnen teilbar sind, dann ist diese Zahl größter gemeinsamer Teiler gegebenen Zahlen.
Zum Beispiel ist der größte gemeinsame Teiler von 15, 45, 75 und 180 15, da er alle anderen Zahlen teilt: 45, 75 und 180.
Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM)
Definition. Kleinstes gemeinsames Vielfaches (LCM) Die natürlichen Zahlen a und b sind die kleinsten natürlichen Zahlen, die ein Vielfaches von a und b sind. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) der Zahlen 75 und 60 kann gefunden werden, ohne ein Vielfaches dieser Zahlen hintereinander auszuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in einfache Faktoren: 75 \u003d 3 * 5 * 5 und 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Wir schreiben die Faktoren aus, die in der Erweiterung der ersten dieser Zahlen enthalten sind, und fügen die fehlenden Faktoren 2 und 2 aus der Erweiterung der zweiten Zahl hinzu (dh wir kombinieren die Faktoren).
Wir erhalten fünf Faktoren 2 * 2 * 3 * 5 * 5, deren Produkt 300 ist. Diese Zahl ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60.
Finde auch das kleinste gemeinsame Vielfache von drei oder mehr Zahlen.
Zu Finde das kleinste gemeinsame Vielfache mehrere natürliche Zahlen benötigen Sie:
1) sie in Primfaktoren zerlegen;
2) schreiben Sie die Faktoren auf, die in der Erweiterung einer der Zahlen enthalten sind;
3) füge ihnen die fehlenden Faktoren aus den Erweiterungen der verbleibenden Zahlen hinzu;
4) Finden Sie das Produkt der resultierenden Faktoren.
Beachten Sie, dass, wenn eine dieser Zahlen durch alle anderen Zahlen teilbar ist, diese Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist.
Zum Beispiel wäre das kleinste gemeinsame Vielfache von 12, 15, 20 und 60 60, da es durch alle gegebenen Zahlen teilbar ist.
Pythagoras (6. Jahrhundert v. Chr.) und seine Schüler beschäftigten sich mit der Frage der Teilbarkeit von Zahlen. Eine Zahl gleich der Summe aller ihrer Teiler (ohne die Zahl selbst), nannten sie die perfekte Zahl. Zum Beispiel sind die Zahlen 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) perfekt. Die nächsten vollkommenen Zahlen sind 496, 8128, 33 550 336. Die Pythagoräer kannten nur die ersten drei vollkommenen Zahlen. Die vierte - 8128 - wurde im 1. Jahrhundert bekannt. N. e. Die fünfte – 33 550 336 – wurde im 15. Jahrhundert gefunden. 1983 waren bereits 27 vollkommene Zahlen bekannt. Aber bis jetzt wissen Wissenschaftler nicht, ob es ungerade vollkommene Zahlen gibt, ob es die größte vollkommene Zahl gibt.
Das Interesse der alten Mathematiker an Primzahlen rührt daher, dass jede Zahl entweder eine Primzahl ist oder als Produkt von Primzahlen dargestellt werden kann, d. h. Primzahlen sind wie Bausteine, aus denen die restlichen natürlichen Zahlen aufgebaut sind.
Sie haben wahrscheinlich bemerkt, dass Primzahlen in der Reihe der natürlichen Zahlen ungleichmäßig vorkommen - in einigen Teilen der Reihe gibt es mehr davon, in anderen weniger. Aber je weiter wir uns entlang der Zahlenreihe bewegen, desto seltener werden die Primzahlen. Es stellt sich die Frage: Gibt es die letzte (größte) Primzahl? Der antike griechische Mathematiker Euklid (3. Jahrhundert v. Chr.) bewies in seinem Buch „Anfänge“, das zweitausend Jahre lang das Hauptlehrbuch der Mathematik war, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, das heißt, hinter jeder Primzahl steht eine gerade Zahl größere Primzahl.
Um Primzahlen zu finden, entwickelte ein anderer griechischer Mathematiker zur gleichen Zeit, Eratosthenes, eine solche Methode. Er schrieb alle Zahlen von 1 bis zu einer Zahl auf und strich dann die Einheit durch, die weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl ist, und strich dann alle Zahlen nach 2 durch (Zahlen, die ein Vielfaches von 2 sind, z. B. 4, 6, 8 usw.). Die erste verbleibende Zahl nach 2 war 3. Dann wurden nach 2 alle Zahlen nach 3 durchgestrichen (Zahlen, die Vielfache von 3 sind, also 6, 9, 12 usw.). am Ende blieben nur die Primzahlen undurchgestrichen.
Eine der Aufgaben, die modernen Schulkindern, die daran gewöhnt sind, in Geräten eingebaute Taschenrechner an Ort und Stelle zu verwenden, ein Problem bereiten, besteht darin, den größten gemeinsamen Teiler (ggT) von zwei oder mehr Zahlen zu finden.
Es ist unmöglich, ein mathematisches Problem zu lösen, wenn nicht bekannt ist, was tatsächlich gefragt wird. Dazu müssen Sie wissen, was dieser oder jener Ausdruck bedeutet. in der Mathematik verwendet.
Muss wissen:
- Wenn eine bestimmte Zahl verwendet werden kann, um verschiedene Objekte zu zählen, zum Beispiel neun Säulen, sechzehn Häuser, dann ist es natürlich. Der kleinste von ihnen wird einer sein.
- Wenn eine natürliche Zahl durch eine andere natürliche Zahl teilbar ist, wird die kleinere Zahl als Teiler der größeren bezeichnet.
- Wenn zwei oder mehr verschiedene Zahlen durch eine bestimmte Zahl ohne Rest teilbar sind, dann sagen sie, dass letztere ihr gemeinsamer Teiler (OD) sein wird.
- Die größte der ODs wird als größter gemeinsamer Teiler (ggT) bezeichnet.
- Wenn in einem solchen Fall eine Zahl nur zwei natürliche Teiler (sich selbst und einen) hat, wird sie als Primzahl bezeichnet. Die kleinste unter ihnen ist eine Zwei, außerdem ist sie die einzige gerade Zahl in ihrer Reihe.
- Wenn zwei Zahlen einen maximalen gemeinsamen Teiler von eins haben, dann sind sie teilerfremd.
- Eine Zahl mit mehr als zwei Teilern nennt man zusammengesetzte Zahl.
- Der Vorgang, wenn alle Primfaktoren gefunden sind, die miteinander multipliziert den Ausgangswert des Produkts in der Mathematik ergeben, wird als Zerlegung in Primfaktoren bezeichnet. Außerdem können die gleichen Faktoren in der Expansion mehr als einmal auftreten.
In der Mathematik werden die folgenden Notationen akzeptiert:
- Teiler D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
- OD (8;18) = (1;2).
- ggT (8;18) = 2.
Verschiedene Möglichkeiten, GCD zu finden
Die am einfachsten zu beantwortende Frage So finden Sie NOD wenn die kleinere Zahl ein Teiler der größeren ist. In diesem Fall ist es der größte gemeinsame Teiler.
Zum Beispiel GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.
Solche Fälle in der Mathematik sind jedoch sehr selten, daher werden komplexere Techniken verwendet, um den ggT zu finden, obwohl es dennoch dringend empfohlen wird, diese Option vor Beginn der Arbeit zu überprüfen.
Methode der Zerlegung in Primfaktoren
Wenn Sie den ggT von zwei oder mehr verschiedenen Zahlen finden müssen, reicht es aus, jeden von ihnen in einfache Faktoren zu zerlegen und dann den Prozess der Multiplikation derjenigen durchzuführen, die in jeder der Zahlen enthalten sind.
Beispiel 1
Überlegen Sie, wie Sie GCD 36 und 90 finden:
- 36 = 1*2*2*3*3;
- 90 = 1*2*3*3*5;
ggT (36;90) = 1*2*3*3 = 18.
Nun wollen wir sehen, wie man dasselbe findet bei drei Nummern, nehmen Sie zum Beispiel 54; 162; 42.
Wir wissen bereits, wie man 36 zerlegt, kümmern wir uns um den Rest:
- 162 = 1*2*3*3*3*3;
- 42 = 1*2*3*7;
Somit ist ggT (36;162;42) = 1*2*3 = 6.
Es ist zu beachten, dass es absolut optional ist, die Einheit in die Dekomposition zu schreiben.
Bedenke den Weg wie einfach es ist zu faktorisieren, dafür schreiben wir links die Zahl, die wir brauchen, und rechts schreiben wir einfache Teiler.
Spalten können entweder durch ein Trennzeichen oder einen einfachen senkrechten Strich getrennt werden.
- 36 / 2 werden wir unseren Teilungsprozess fortsetzen;
- 18/2 weiter;
- 9/3 und wieder;
- 3/3 ist jetzt ganz elementar;
- 1 - das Ergebnis ist fertig.
Die gewünschten 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3.
Euklidischer Weg
Diese Option ist der Menschheit seit der Zeit der antiken griechischen Zivilisation bekannt, sie ist viel einfacher und wird dem großen Mathematiker Euklid zugeschrieben, obwohl früher sehr ähnliche Algorithmen verwendet wurden. Dieses Verfahren besteht darin, den folgenden Algorithmus zu verwenden, teilen wir die größere Zahl mit einem Rest durch die kleinere. Dann dividieren wir unseren Divisor durch den Rest und fahren so im Kreis fort, bis die Division vollständig ist. Der letzte Wert wird sich als der gewünschte größte gemeinsame Teiler herausstellen.
Lassen Sie uns ein Beispiel für die Verwendung dieses Algorithmus geben:
Versuchen wir herauszufinden, welcher GCD für 816 und 252 gilt:
- 816 / 252 = 3 und der Rest ist 60. Jetzt teilen wir 252 durch 60;
- 252 / 60 = 4, der Rest wird diesmal 12 sein. Setzen wir unseren kreisförmigen Prozess fort, teilen Sie sechzig durch zwölf;
- 60 / 12 = 5. Da wir diesmal keinen Rest erhalten haben, haben wir das Ergebnis parat, zwölf wird der gesuchte Wert sein.
Also am Ende unseres Prozesses Wir haben NOD (816;252) = 12.
Aktionen, wenn es notwendig ist, den GCD zu bestimmen, wenn mehr als zwei Werte angegeben werden
Wir haben bereits herausgefunden, was zu tun ist, wenn es zwei verschiedene Zahlen gibt, jetzt lernen wir, wie wir uns verhalten, wenn es welche gibt. 3 oder mehr.
Trotz der scheinbaren Komplexität gestellte Aufgabe keine Probleme mehr für uns. Jetzt wählen wir zwei beliebige Zahlen aus und bestimmen den Wert, den wir für sie suchen. Der nächste Schritt besteht darin, den ggT für das erhaltene Ergebnis und den dritten der gegebenen Werte zu finden. Dann verfahren wir wieder nach dem uns bereits bekannten Prinzip für die vierte Quinte und so weiter.
Abschluss
Bei der scheinbar großen Komplexität der vor uns gestellten Aufgabe ist also eigentlich alles einfach, die Hauptsache ist, den Teilungsvorgang fehlerfrei durchführen zu können und halten Sie sich an einen der beiden oben beschriebenen Algorithmen.
Obwohl beide Methoden vollkommen akzeptabel sind, in allgemeinbildende Schule Die erste Methode wird viel häufiger verwendet.. Dies liegt daran, dass beim Studium des nächsten Bildungsthemas - der Definition des größten gemeinsamen Vielfachen (LCM) - eine Zerlegung in Primfaktoren erforderlich ist. Dennoch sei noch einmal darauf hingewiesen, dass die Verwendung des Euklid-Algorithmus in keiner Weise als fehlerhaft angesehen werden kann.
Video
Mit Hilfe des Videos kannst du lernen, wie du den größten gemeinsamen Teiler findest.
Sie haben keine Antwort auf Ihre Frage erhalten? Schlagen Sie den Autoren ein Thema vor.
Zweite Nummer: b=
Zifferntrennzeichen Kein Leerzeichen " ´
Ergebnis:
Größter gemeinsamer Teiler ggT( A,B)=6
Kleinstes gemeinsames Vielfaches von LCM( A,B)=468
Man nennt die größte natürliche Zahl, durch die die Zahlen a und b ohne Rest teilbar sind größter gemeinsamer Teiler(gcd) dieser Zahlen. Bezeichnet ggT(a,b), (a,b), ggT(a,b) oder hcf(a,b).
Kleinstes gemeinsames Vielfaches(LCM) zweier ganzer Zahlen a und b ist die kleinste natürliche Zahl, die ohne Rest durch a und b teilbar ist. Bezeichnet LCM(a,b) oder lcm(a,b).
Die ganzen Zahlen a und b werden aufgerufen teilerfremd wenn sie außer +1 und −1 keine gemeinsamen Teiler haben.
Größter gemeinsamer Teiler
Gegeben seien zwei positive Zahlen A 1 und A 2 1). Es ist erforderlich, einen gemeinsamen Teiler dieser Zahlen zu finden, d.h. Finde eine solche Nummer λ , die die Zahlen dividiert A 1 und A 2 gleichzeitig. Lassen Sie uns den Algorithmus beschreiben.
1) In diesem Artikel bedeutet das Wort Zahl eine ganze Zahl.
Lassen A 1 ≥ A 2 und lassen
Wo M 1 , A 3 sind einige ganze Zahlen, A 3 <A 2 (Rest aus der Teilung A 1 an A 2 sollte weniger sein A 2).
Stellen wir uns das vor λ teilt A 1 und A 2 dann λ teilt M 1 A 2 und λ teilt A 1 −M 1 A 2 =A 3 (Behauptung 2 des Artikels "Teilbarkeit von Zahlen. Zeichen der Teilbarkeit"). Daraus folgt, dass jeder gemeinsame Teiler A 1 und A 2 ist ein gemeinsamer Teiler A 2 und A 3 . Die Umkehrung gilt auch, wenn λ gemeinsamer Teiler A 2 und A 3 dann M 1 A 2 und A 1 =M 1 A 2 +A 3 sind auch unterteilt in λ . Daher der gemeinsame Teiler A 2 und A 3 ist auch ein gemeinsamer Teiler A 1 und A 2. Als A 3 <A 2 ≤A 1 , dann können wir sagen, dass die Lösung des Problems, einen gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden A 1 und A 2 reduziert auf ein einfacheres Problem, einen gemeinsamen Teiler von Zahlen zu finden A 2 und A 3 .
Wenn A 3 ≠ 0, dann können wir dividieren A 2 weiter A 3 . Dann
,
Wo M 1 und A 4 sind einige ganze Zahlen, ( A 4 Rest der Division A 2 weiter A 3 (A 4 <A 3)). Durch ähnliche Überlegungen kommen wir zu dem Schluss, dass die gemeinsamen Teiler von Zahlen A 3 und A 4 ist dasselbe wie gemeinsame Teiler von Zahlen A 2 und A 3 , und auch mit gemeinsamen Teilern A 1 und A 2. Als A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... Zahlen, die ständig kleiner werden, und da dazwischen endlich viele ganze Zahlen liegen A 2 und 0, dann irgendwann N, Rest der Division A n an A n+1 wird gleich Null sein ( A n+2=0).
.
Jeder gemeinsame Teiler λ Zahlen A 1 und A 2 ist auch ein Teiler von Zahlen A 2 und A 3 , A 3 und A 4 , .... A n und A n+1 . Das Gegenteil ist auch wahr, gemeinsame Teiler von Zahlen A n und A n+1 sind auch Teiler von Zahlen A n−1 und A N , .... , A 2 und A 3 , A 1 und A 2. Sondern der gemeinsame Teiler A n und A n+1 ist eine Zahl A n+1 , weil A n und A n+1 sind teilbar durch A n+1 (erinnern Sie sich daran A n+2=0). Somit A n+1 ist auch ein Teiler von Zahlen A 1 und A 2 .
Beachten Sie, dass die Nummer A n+1 ist der größte Zahlenteiler A n und A n+1 , da der größte Teiler A n+1 ist es selbst A n+1 . Wenn A n + 1 kann als Produkt ganzer Zahlen dargestellt werden, dann sind diese Zahlen auch gemeinsame Teiler von Zahlen A 1 und A 2. Nummer A n+1 werden aufgerufen größter gemeinsamer Teiler Zahlen A 1 und A 2 .
Zahlen A 1 und A 2 kann sowohl positive als auch negative Zahlen sein. Wenn eine der Zahlen gleich Null ist, dann ist der größte gemeinsame Teiler dieser Zahlen gleich dem absoluten Wert der anderen Zahl. Der größte gemeinsame Teiler von Nullzahlen ist nicht definiert.
Der obige Algorithmus wird aufgerufen Euklids Algorithmus um den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen zu finden.
Ein Beispiel für das Finden des größten gemeinsamen Teilers zweier Zahlen
Finde den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen 630 und 434.
- Schritt 1. Teilen Sie die Zahl 630 durch 434. Der Rest ist 196.
- Schritt 2. Teilen Sie die Zahl 434 durch 196. Der Rest ist 42.
- Schritt 3. Teilen Sie die Zahl 196 durch 42. Der Rest ist 28.
- Schritt 4. Teilen Sie die Zahl 42 durch 28. Der Rest ist 14.
- Schritt 5. Teilen Sie die Zahl 28 durch 14. Der Rest ist 0.
Bei Schritt 5 ist der Rest der Division 0. Daher ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 630 und 434 14. Beachten Sie, dass die Zahlen 2 und 7 auch Teiler der Zahlen 630 und 434 sind.
Koprime-Zahlen
Definition 1. Lassen Sie den größten gemeinsamen Teiler von Zahlen A 1 und A 2 ist gleich eins. Dann werden diese Nummern angerufen teilerfremde Zahlen die keinen gemeinsamen Teiler haben.
Satz 1. Wenn A 1 und A 2 relativ Primzahlen und λ irgendeine Zahl, dann irgendein gemeinsamer Teiler von Zahlen λa 1 und A 2 ist auch ein gemeinsamer Teiler von Zahlen λ Und A 2 .
Nachweisen. Betrachten Sie Euklids Algorithmus zum Ermitteln des größten gemeinsamen Teilers von Zahlen A 1 und A 2 (siehe oben).
.
Aus den Bedingungen des Satzes folgt, dass der größte gemeinsame Teiler von Zahlen A 1 und A 2 und daher A n und A n+1 ist 1. D.h. A n+1=1.
Lassen Sie uns alle diese Gleichheiten mit multiplizieren λ , Dann
.
Lassen Sie den gemeinsamen Teiler A 1 λ Und A 2 ist δ . Dann δ geht als Faktor ein A 1 λ , M 1 A 2 λ und in A 1 λ -M 1 A 2 λ =A 3 λ (Siehe „Teilbarkeit von Zahlen“, Aussage 2). Weiter δ geht als Faktor ein A 2 λ Und M 2 A 3 λ , und geht somit als Faktor in ein A 2 λ -M 2 A 3 λ =A 4 λ .
Indem wir auf diese Weise argumentieren, sind wir davon überzeugt δ geht als Faktor ein A n-1 λ Und M n-1 A N λ , und damit hinein A n-1 λ −M n-1 A N λ =A n+1 λ . Als A n+1 = 1, dann δ geht als Faktor ein λ . Daher die Nummer δ ist ein gemeinsamer Teiler von Zahlen λ Und A 2 .
Betrachten Sie Spezialfälle von Theorem 1.
Folge 1. Lassen A Und C Primzahlen sind relativ B. Dann ihr Produkt ac ist eine Primzahl bzgl B.
Wirklich. Aus Satz 1 ac Und B haben die gleichen gemeinsamen Teiler wie C Und B. Aber die Zahlen C Und B teilerfremd, d.h. einen einzigen gemeinsamen Teiler 1 haben. Dann ac Und B haben auch einen einzigen gemeinsamen Teiler 1. Daher ac Und B gegenseitig einfach.
Folge 2. Lassen A Und B teilerfremde Zahlen und let B teilt ja. Dann B teilt und k.
Wirklich. Aus der Behauptungsbedingung ja Und B einen gemeinsamen Teiler haben B. Aufgrund von Satz 1 gilt B muss ein gemeinsamer Teiler sein B Und k. Somit B teilt k.
Korollar 1 kann verallgemeinert werden.
Folge 3. 1. Lassen Sie die Zahlen A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sind Primzahlen relativ zur Zahl B. Dann A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , das Produkt dieser Zahlen ist eine Primzahl in Bezug auf die Zahl B.
2. Angenommen, wir haben zwei Zahlenreihen
so dass jede Zahl in der ersten Reihe in Bezug auf jede Zahl in der zweiten Reihe eine Primzahl ist. Dann das Produkt
Es ist erforderlich, solche Zahlen zu finden, die durch jede dieser Zahlen teilbar sind.
Wenn die Zahl durch teilbar ist A 1 , dann sieht es so aus sa 1, wo S irgendeine Zahl. Wenn Q ist der größte gemeinsame Teiler von Zahlen A 1 und A 2 dann
Wo S 1 ist eine ganze Zahl. Dann
Ist kleinstes gemeinsames Vielfaches von Zahlen A 1 und A 2 .
A 1 und A 2 teilerfremd, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen A 1 und A 2:
Finde das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen.
Daraus folgt, dass jedes Vielfache der Zahlen A 1 , A 2 , A 3 muss ein Vielfaches von Zahlen sein ε Und A 3 und umgekehrt. Lassen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ε Und A 3 ist ε 1 . Ferner ein Vielfaches von Zahlen A 1 , A 2 , A 3 , A 4 muss ein Vielfaches von Zahlen sein ε 1 und A 4 . Lassen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen ε 1 und A 4 ist ε 2. So haben wir herausgefunden, dass alle Vielfachen von Zahlen sind A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m stimmen mit Vielfachen einer bestimmten Zahl überein ε n , das das kleinste gemeinsame Vielfache der gegebenen Zahlen genannt wird.
Im besonderen Fall, wenn die Zahlen A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m teilerfremd, dann das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen A 1 , A 2 hat wie oben gezeigt die Form (3). Weiter seit A 3 prime in Bezug auf Zahlen A 1 , A 2 dann A 3 ist eine relative Primzahl A 1 · A 2 (Ergänzung 1). Also das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen A 1 ,A 2 ,A 3 ist eine Zahl A 1 · A 2 · A 3 . In ähnlicher Weise argumentierend, kommen wir zu folgenden Behauptungen.
Stellungnahme 1. Kleinstes gemeinsames Vielfaches von teilerfremden Zahlen A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m ist gleich ihrem Produkt A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .
Stellungnahme 2. Jede Zahl, die durch jede der teilerfremden Zahlen teilbar ist A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m ist auch durch ihr Produkt teilbar A 1 · A 2 · A 3 ··· A M .
