Jak násobit obyčejné zlomky. Zlomky. Násobení a dělení zlomků
Násobení celého čísla zlomkem není obtížný úkol. Existují však jemnosti, které jste ve škole pravděpodobně pochopili, ale od té doby jste je zapomněli.
Jak vynásobit celé číslo zlomkem - několik členů
Pokud si pamatujete, co je čitatel a jmenovatel a jak se správný zlomek liší od nesprávného zlomku, přeskočte tento odstavec. Je pro ty, kteří úplně zapomněli na teorii.
Čitatel je horní část zlomku - to, co dělíme. Jmenovatel je nižší. Tím se rozdělujeme.
Správný zlomek je ten, jehož čitatel je menší než jeho jmenovatel. Nevlastní zlomek je zlomek, jehož čitatel je větší nebo roven jeho jmenovateli.
Jak vynásobit celé číslo zlomkem
Pravidlo pro násobení celého čísla zlomkem je velmi jednoduché – násobíme čitatel celým číslem, ale jmenovatele se nedotýkáme. Například: dvě vynásobené jednou pětinou – dostaneme dvě pětiny. Čtyři vynásobené třemi šestnáctinami se rovná dvanácti šestnáctinám.
Redukce
Ve druhém příkladu lze výsledný zlomek snížit.
Co to znamená? Upozorňujeme, že čitatel i jmenovatel tohoto zlomku jsou dělitelné čtyřmi. Vydělte obě čísla společný dělitel a tomu se říká zmenšení zlomku. Dostáváme tři čtvrtiny.
Nepravé zlomky
Ale předpokládejme, že vynásobíme čtyři dvěma pětiny. Vyšlo to na osm pětin. Toto je nesprávný zlomek.
Rozhodně je potřeba to uvést do správné podoby. Chcete-li to provést, musíte z něj vybrat celý díl.
Zde je třeba použít dělení se zbytkem. Dostaneme jedničku a tři jako zbytek.
Jeden celek a tři pětiny je náš správný zlomek.
Uvést pětatřicet osmin do správného tvaru je o něco složitější.Nejbližší číslo třiceti sedmi, které je dělitelné osmi, je třicet dva. Po rozdělení dostaneme čtyři. Odečteme třicet dva od třiceti pěti a dostaneme tři. Výsledek: čtyři celé a tři osminy.
Rovnost čitatele a jmenovatele. A zde je vše velmi jednoduché a krásné. Pokud se čitatel a jmenovatel rovnají, výsledek je prostě jeden.
Další operací, kterou lze provést s obyčejnými zlomky, je násobení. Pokusíme se vysvětlit jeho základní pravidla při řešení úloh, ukážeme, jak se obyčejný zlomek násobí přirozeným číslem a jak správně násobit tři obyčejné zlomky a více.
Nejprve si napišme základní pravidlo:
Definice 1
Pokud vynásobíme jeden obyčejný zlomek, pak se čitatel výsledného zlomku bude rovnat součinu čitatelů původních zlomků a jmenovatel se bude rovnat součinu jejich jmenovatelů. V doslovné formě to lze pro dva zlomky a/bac/d vyjádřit jako ab · c d = a · c b · d.
Podívejme se na příklad, jak správně toto pravidlo aplikovat. Řekněme, že máme čtverec, jehož strana je rovna jedné číselné jednotce. Potom bude plocha obrázku 1 čtverec. jednotka. Pokud čtverec rozdělíme na stejné obdélníky se stranami rovnými 1 4 a 1 8 číselným jednotkám, dostaneme, že se nyní skládá z 32 obdélníků (protože 8 4 = 32). V souladu s tím bude plocha každého z nich rovna 1 32 plochy celého obrázku, tj. 132 čtverečních Jednotky.
Máme stínovaný fragment se stranami rovnými 5 8 číselným jednotkám a 3 4 číselným jednotkám. Podle toho, abyste vypočítali jeho plochu, musíte vynásobit první zlomek druhým. Bude se rovnat 5 8 · 3 4 čtverečních. Jednotky. Ale můžeme jednoduše spočítat, kolik obdélníků je součástí fragmentu: je jich 15, což znamená celková plocha je 15 32 čtverečních jednotek.
Protože 5 3 = 15 a 8 4 = 32, můžeme napsat následující rovnost:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Potvrzuje to pravidlo, které jsme formulovali pro násobení obyčejných zlomků, které je vyjádřeno jako a b · c d = a · c b · d. Funguje to stejně pro správné i nevlastní zlomky; Lze jej použít k násobení zlomků s různými i stejnými jmenovateli.
Podívejme se na řešení několika problémů zahrnujících násobení obyčejných zlomků.
Příklad 1
Vynásobte 7 11 9 8.
Řešení
Nejprve vypočítejme součin čitatelů uvedených zlomků vynásobením 7 9. Máme 63. Pak vypočítáme součin jmenovatelů a dostaneme: 11 · 8 = 88. Složme dvě čísla a odpověď je: 63 88.
Celé řešení lze napsat takto:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Odpovědět: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Pokud v naší odpovědi dostaneme redukovatelný zlomek, musíme dokončit výpočet a provést jeho redukci. Pokud dostaneme nesprávný zlomek, musíme z něj oddělit celou část.
Příklad 2
Vypočítejte součin zlomků 415 a 556.
Řešení
Podle výše uvedeného pravidla musíme vynásobit čitatele čitatele a jmenovatele jmenovatele. Záznam řešení bude vypadat takto:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Dostali jsme redukovatelný zlomek, tzn. ten, který je dělitelný 10.
Zmenšeme zlomek: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. V důsledku toho jsme dostali nesprávný zlomek, ze kterého vybereme celou část a dostaneme smíšené číslo: 22 9 = 2 4 9.
Odpovědět: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Pro usnadnění výpočtu můžeme také původní zlomky před provedením operace násobení zmenšit, k čemuž potřebujeme zlomek zmenšit do tvaru a · c b · d. Rozložme hodnoty proměnných na jednoduché faktory a tytéž redukujeme.
Pojďme si vysvětlit, jak to vypadá pomocí dat z konkrétní úlohy.
Příklad 3
Vypočítejte součin 4 15 55 6.
Řešení
Zapišme si výpočty na základě pravidla násobení. Dostaneme:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Protože 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 a 6 = 2 3, pak 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odpovědět: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Číselné vyjádření, ve kterém dochází k násobení obyčejných zlomků, má komutativní vlastnost, to znamená, že v případě potřeby můžeme změnit pořadí faktorů:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Jak vynásobit zlomek přirozeným číslem
Pojďme si hned sepsat základní pravidlo, a pak si ho zkusit vysvětlit v praxi.
Definice 2
Chcete-li vynásobit společný zlomek přirozeným číslem, musíte vynásobit čitatel tohoto zlomku tímto číslem. V tomto případě bude jmenovatel konečného zlomku roven jmenovateli původního obyčejného zlomku. Násobení určitého zlomku a b přirozeným číslem n lze zapsat jako vzorec a b · n = a · n b.
Je snadné pochopit tento vzorec, pokud si pamatujete, že jakékoli přirozené číslo může být reprezentováno jako obyčejný zlomek se jmenovatelem rovným jedné, tedy:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Pojďme si naši představu vysvětlit na konkrétních příkladech.
Příklad 4
Vypočítejte součin 2 27 krát 5.
Řešení
V důsledku vynásobení čitatele původního zlomku druhým faktorem dostaneme 10. Na základě výše uvedeného pravidla dostaneme jako výsledek 10 27. Celé řešení je uvedeno v tomto příspěvku:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Odpovědět: 2 27 5 = 10 27
Když vynásobíme přirozené číslo zlomkem, často musíme výsledek zkrátit nebo jej reprezentovat jako smíšené číslo.
Příklad 5
Podmínka: vypočítejte součin 8 krát 5 12.
Řešení
Podle výše uvedeného pravidla vynásobíme přirozené číslo čitatelem. Výsledkem je, že 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Konečný zlomek má znaky dělitelnosti 2, takže jej musíme zmenšit:
LCM (40, 12) = 4, tedy 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Nyní zbývá jen vybrat celou část a zapsat připravenou odpověď: 10 3 = 3 1 3.
V tomto záznamu můžete vidět celé řešení: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Také bychom mohli zlomek zmenšit rozdělením čitatele a jmenovatele na prvočinitele a výsledek by byl úplně stejný.
Odpovědět: 5 12 8 = 3 1 3.
Číselný výraz, ve kterém je přirozené číslo násobeno zlomkem, má také vlastnost posunutí, to znamená, že pořadí faktorů neovlivňuje výsledek:
a b · n = n · a b = a · n b
Jak násobit tři nebo více běžných zlomků
Stejné vlastnosti, které jsou charakteristické pro násobení, můžeme rozšířit i na násobení obyčejných zlomků přirozená čísla. Vyplývá to ze samotné definice těchto pojmů.
Díky znalosti kombinačních a komutačních vlastností můžete násobit tři i více obyčejných zlomků. Je přijatelné změnit uspořádání faktorů pro větší pohodlí nebo uspořádat závorky způsobem, který usnadňuje počítání.
Ukažme si na příkladu, jak se to dělá.
Příklad 6
Vynásobte čtyři běžné zlomky 1 20, 12 5, 3 7 a 5 8.
Řešení: Nejprve si práci zaznamenejme. Dostaneme 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Musíme vynásobit všechny čitatele a všechny jmenovatele dohromady: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Než začneme násobit, můžeme si věci trochu usnadnit a zahrnout některá čísla do prvočinitelů pro další snížení. Bude to jednodušší než zmenšit výsledný zlomek, který je již připraven.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Odpovědět: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9 280.
Příklad 7
Vynásobte 5 čísel 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
Řešení
Pro usnadnění můžeme zlomek 7 8 seskupit s číslem 8 a číslo 12 se zlomkem 5 36, protože budoucí zkratky nám budou zřejmé. V důsledku toho získáme:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 351 3 = 7 5 351 3 = 7 5 351 10 3 2 3
Odpovědět: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter
V tomto článku se podíváme na násobení smíšených čísel. Nejprve si nastíníme pravidlo pro násobení smíšených čísel a zvážíme použití tohoto pravidla při řešení příkladů. Dále si povíme o násobení smíšeného čísla a přirozeného čísla. Nakonec se naučíme, jak násobit smíšené číslo a společný zlomek.
Navigace na stránce.
Násobení smíšených čísel.
Násobení smíšených čísel lze redukovat na násobení obyčejných zlomků. K tomu stačí převést smíšená čísla na nesprávné zlomky.
Pojďme to napsat smíšené pravidlo násobení čísel:
- Za prvé, smíšená čísla, která se násobí, musí být nahrazena nesprávnými zlomky;
- Za druhé, musíte použít pravidlo pro násobení zlomků zlomky.
Podívejme se na příklady použití tohoto pravidla při násobení smíšeného čísla smíšeným číslem.
Proveďte násobení smíšených čísel a .
Nejprve si představme smíšená čísla násobená jako nesprávné zlomky: 
A 
. Nyní můžeme násobení smíšených čísel nahradit násobením obyčejných zlomků: 
. Aplikováním pravidla pro násobení zlomků dostaneme 
. Výsledný zlomek je neredukovatelný (viz redukovatelné a neredukovatelné zlomky), ale je nevlastní (viz vlastní a nevlastní zlomky), proto pro získání konečné odpovědi zbývá izolovat celou část od nevlastního zlomku: .
Zapišme celé řešení na jeden řádek: .
.
Chcete-li posílit dovednosti násobení smíšených čísel, zvažte řešení jiného příkladu.
Proveďte násobení.
Legrační čísla a jsou rovny zlomkům 13/5 a 10/9. Pak 
. V této fázi je na čase si vzpomenout na redukci zlomku: nahraďte všechna čísla ve zlomku jejich rozkladem na prvočinitele a proveďte redukci identických faktorů.
Násobení smíšeného čísla a přirozeného čísla
Po nahrazení smíšeného čísla nesprávným zlomkem násobení smíšeného čísla a přirozeného čísla vede k násobení obyčejného zlomku a přirozeného čísla.
Vynásobte smíšené číslo a přirozené číslo 45.
Smíšené číslo se tedy rovná zlomku 
. Nahradíme čísla ve výsledném zlomku jejich rozklady na prvočinitele, provedeme redukci a poté vybereme celou část: .
.
Násobení smíšeného čísla a přirozeného čísla se někdy pohodlně provádí pomocí distribuční vlastnosti násobení vzhledem k sčítání. V tomto případě je součin smíšeného čísla a přirozeného čísla roven součtu součinů celé části daným přirozeným číslem a zlomkové části daným přirozeným číslem, tzn. 
.
Vypočítejte produkt.
Nahraďme smíšené číslo součtem celých a zlomkových částí, načež aplikujeme distributivní vlastnost násobení: .
Násobení smíšených čísel a zlomků Nejvhodnější je zredukovat jej na násobení obyčejných zlomků tak, že smíšené číslo násobíme jako nevlastní zlomek.
Vynásobte smíšené číslo společným zlomkem 4/15.
Nahradíme smíšené číslo zlomkem, dostaneme 
.
www.cleverstudents.ru
Násobení zlomků
§ 140. Definice. 1) Násobení zlomku celým číslem je definováno stejným způsobem jako násobení celých čísel, konkrétně: násobit číslo (násobitel) celým číslem (faktorem) znamená sestavit součet identických členů, ve kterých je každý člen roven násobku a počet členů je roven násobiteli.
Takže vynásobení 5 znamená nalezení součtu:
2) Vynásobení čísla (násobku) zlomkem (faktorem) znamená nalezení tohoto zlomku násobku.
Nalezení zlomku daného čísla, které jsme uvažovali dříve, tedy nyní nazveme násobením zlomkem.
3) Násobit číslo (násobitel) smíšeným číslem (faktorem) znamená vynásobit násobitel nejprve celým číslem násobitele, poté zlomkem násobitele a výsledky těchto dvou násobení sečíst dohromady.
Například:
Číslo získané po vynásobení ve všech těchto případech se nazývá práce, tedy stejně jako při násobení celých čísel.
Z těchto definic je zřejmé, že násobení zlomkových čísel je vždy možný a vždy jednoznačný děj.
§ 141. Účelnost těchto definic. Abychom pochopili vhodnost zavedení posledních dvou definic násobení do aritmetiky, uveďme následující problém:
Úkol. Vlak, pohybující se rovnoměrně, urazí 40 km za hodinu; jak zjistit, kolik kilometrů tento vlak ujede dané číslo hodiny?
Pokud bychom zůstali u jediné definice násobení, která je uvedena v celočíselné aritmetice (sčítání stejných členů), pak by náš problém měl tři různá řešení, a to:
Pokud je daný počet hodin celé číslo (například 5 hodin), pak k vyřešení problému musíte vynásobit 40 km tímto počtem hodin.
Pokud je daný počet hodin vyjádřen zlomkem (například hodina), pak budete muset najít hodnotu tohoto zlomku ze 40 km.
Nakonec, pokud je daný počet hodin smíchán (například hodin), pak bude třeba 40 km vynásobit celým číslem obsaženým ve smíšeném čísle a k výsledku přidat další zlomek 40 km, který je ve smíšeném číslo.
Definice, které jsme uvedli, nám umožňují dát jednu obecnou odpověď na všechny tyto možné případy:
musíte vynásobit 40 km daným počtem hodin, ať je to cokoliv.
Pokud je tedy problém zastoupen v obecný pohled Tak:
Vlak, který se pohybuje rovnoměrně, urazí v km za hodinu. Kolik kilometrů ujede vlak za t hodin?
pak, bez ohledu na to, jaká jsou čísla v a t, můžeme dát jednu odpověď: požadované číslo je vyjádřeno vzorcem v · t.
Poznámka. Najít nějaký zlomek daného čísla podle naší definice znamená totéž, jako vynásobit dané číslo tímto zlomkem; proto například nalezení 5 % (tj. pěti setin) daného čísla znamená totéž, jako vynásobení daného čísla pomocí nebo pomocí ; najít 125 % daného čísla znamená totéž, jako vynásobit toto číslo číslem nebo číslem atd.
§ 142. Poznámka o tom, kdy číslo od násobení přibývá a kdy klesá.
Násobení vlastním zlomkem číslo snižuje a násobení nesprávným zlomkem číslo zvyšuje, pokud je tento nesprávný zlomek větší než jedna, a zůstává nezměněn, pokud je roven jedné.
Komentář. Při násobení zlomkových čísel i celých čísel se součin rovná nule, pokud je některý z faktorů roven nule, takže .
§ 143. Odvození pravidel násobení.
1) Násobení zlomku celým číslem. Nechť se zlomek vynásobí 5. To znamená zvětšeno 5krát. K pětinásobnému zvětšení zlomku stačí zvětšit jeho čitatel nebo 5násobně snížit jeho jmenovatele (§ 127).
Proto:
Pravidlo 1. Chcete-li vynásobit zlomek celým číslem, musíte vynásobit čitatel tímto celým číslem, ale jmenovatele ponechat stejný; místo toho můžete také vydělit jmenovatele zlomku daným celým číslem (pokud je to možné) a čitatel ponechat stejný.
Komentář. Součin zlomku a jeho jmenovatele se rovná jeho čitateli.
Tak:
Pravidlo 2. Chcete-li vynásobit celé číslo zlomkem, musíte celé číslo vynásobit čitatelem zlomku a učinit tento součin čitatelem a jmenovatele tohoto zlomku podepsat jako jmenovatele.
Pravidlo 3. Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem a vytvořit z prvního součinu čitatele az druhého jmenovatele součinu.
Komentář. Toto pravidlo lze také použít pro násobení zlomku celým číslem a celého čísla zlomkem, pokud celé číslo považujeme za zlomek se jmenovatelem jedna. Tak:
Tři nyní nastíněná pravidla jsou tedy obsažena v jednom, které lze obecně vyjádřit takto:
4) Násobení smíšených čísel.
Pravidlo 4. Chcete-li násobit smíšená čísla, musíte je převést na nesprávné zlomky a poté násobit podle pravidel pro násobení zlomků. Například:
§ 144. Snížení při množení. Při násobení zlomků, pokud je to možné, je nutné provést předběžnou redukci, jak je patrné z následujících příkladů:
Takové snížení lze provést, protože hodnota zlomku se nezmění, pokud se jeho čitatel a jmenovatel sníží stejným počtem opakování.
§ 145. Změna produktu s měnícími se faktory. Když se faktory změní, změní se součin zlomkových čísel úplně stejně jako součin celých čísel (§ 53), a to: pokud zvýšíte (nebo snížíte) kterýkoli faktor několikrát, součin se zvýší (nebo sníží) o stejnou částku.
Takže pokud v příkladu:
Chcete-li vynásobit několik zlomků, musíte vynásobit jejich čitatele navzájem a jmenovatele navzájem a učinit z prvního součinu čitatele az druhého jmenovatele součinu.
Komentář. Toto pravidlo lze aplikovat i na takové součiny, ve kterých jsou některé faktory čísla celočíselné nebo smíšené, pokud celé číslo považujeme za zlomek se jmenovatelem jedna a smíšená čísla převedeme na nesprávné zlomky. Například:
§ 147. Základní vlastnosti násobení. Ty vlastnosti násobení, které jsme uvedli u celých čísel (§ 56, 57, 59), platí i pro násobení zlomkových čísel. Označme tyto vlastnosti.
1) Produkt se při změně faktorů nemění.
Například:
Podle pravidla předchozího odstavce se první součin rovná zlomku a druhý se rovná zlomku. Ale tyto zlomky jsou stejné, protože jejich členy se liší pouze v pořadí celočíselných faktorů a součin celých čísel se nemění, když se mění místa faktorů.
2) Produkt se nezmění, pokud je jakákoli skupina faktorů nahrazena jejich produktem.
Například:
Výsledky jsou stejné.
Z této vlastnosti násobení lze vyvodit následující závěr:
pro vynásobení čísla součinem můžete toto číslo vynásobit prvním faktorem, výsledné číslo vynásobit druhým atd.
Například:
3) Distributivní zákon násobení (ve vztahu ke sčítání). Chcete-li součet vynásobit číslem, můžete vynásobit každý výraz tímto číslem samostatně a sečíst výsledky.
Tento zákon jsme vysvětlili (§ 59) tak, jak se vztahuje na celá čísla. Zůstává pravdivý bez jakýchkoli změn pro zlomková čísla.
Ukažme ve skutečnosti, že rovnost
(a + b + c + .)m = am + bm + cm +.
(distributivní zákon násobení ve vztahu k sčítání) zůstává pravdivý, i když písmena představují zlomková čísla. Uvažujme tři případy.
1) Předpokládejme nejprve, že faktor m je celé číslo, například m = 3 (a, b, c – libovolná čísla). Podle definice násobení celým číslem můžeme psát (pro zjednodušení se omezíme na tři pojmy):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Na základě asociativního zákona sčítání můžeme vynechat všechny závorky na pravé straně; Použitím komutativního zákona sčítání a poté znovu asociativního zákona můžeme samozřejmě přepsat pravou stranu takto:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
To znamená, že distributivní zákon je v tomto případě potvrzen.
Násobení a dělení zlomků
Minule jsme se naučili sčítat a odčítat zlomky (viz lekce „Sčítání a odečítání zlomků“). Nejtěžší na těchto akcích bylo přivést zlomky ke společnému jmenovateli.
Nyní je čas zabývat se násobením a dělením. Dobrou zprávou je, že tyto operace jsou ještě jednodušší než sčítání a odčítání. Nejprve se podívejme na nejjednodušší případ, kdy existují dva kladné zlomky bez oddělené celočíselné části.
Chcete-li vynásobit dva zlomky, musíte samostatně vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. První číslo bude čitatelem nového zlomku a druhé bude jmenovatelem.
Chcete-li rozdělit dva zlomky, musíte vynásobit první zlomek „převráceným“ druhým zlomkem.
Z definice vyplývá, že dělení zlomků redukuje na násobení. Chcete-li zlomek „přehodit“, stačí prohodit čitatele a jmenovatele. V celé lekci se proto budeme zabývat hlavně násobením.
Následkem násobení může vzniknout (a často vzniká) redukovatelný zlomek - ten se samozřejmě musí redukovat. Pokud se po všech zmenšeních zlomek ukáže jako nesprávný, měla by být zvýrazněna celá část. Co se ale násobením rozhodně nestane, je redukce na společného jmenovatele: žádné křížové metody, největší faktory a nejmenší společné násobky.
Podle definice máme:
Násobení zlomků s celými částmi a zápornými zlomky
Pokud je přítomen ve zlomcích celá část, musí být převedeny na nesprávné - a teprve potom vynásobeny podle schémat nastíněných výše.
Pokud je v čitateli zlomku, ve jmenovateli nebo před ním mínus, lze jej z násobení vyjmout nebo úplně odstranit podle následujících pravidel:
- Plus mínus dává mínus;
- Dva zápory potvrzují.
Doposud se s těmito pravidly setkávali pouze při sčítání a odečítání záporných zlomků, kdy bylo nutné se zbavit celé části. Pro práci je lze zobecnit, aby se „spálilo“ několik nevýhod najednou:
- Negativy škrtáme ve dvojicích, dokud úplně nezmizí. V extrémních případech může přežít jeden mínus - ten, pro který nebyl žádný druh;
- Pokud nezůstanou žádné mínusy, operace je dokončena - můžete začít násobit. Pokud se poslední mínus neškrtne, protože na něj nebyl pár, vezmeme ho mimo hranice násobení. Výsledkem je záporný zlomek.
Úkol. Najděte význam výrazu:
Všechny zlomky převedeme na nesprávné a z násobení vyjmeme minusy. To, co zbylo, množíme podle obvyklých pravidel. Dostaneme:
Ještě jednou připomenu, že mínus, které se objeví před zlomkem se zvýrazněnou celou částí, se vztahuje konkrétně na celý zlomek, nikoli pouze na jeho celou část (to platí pro poslední dva příklady).
Také poznamenejte záporná čísla: Při násobení se uzavírají do závorek. To se provádí za účelem oddělení mínusů od znamének násobení a zpřesnění celého zápisu.
Snižování frakcí za chodu
Násobení je velmi pracná operace. Čísla se zde ukazují jako poměrně velká a pro zjednodušení problému se můžete pokusit zlomek dále zmenšit před násobením. Čitatelé a jmenovatelé zlomků jsou v podstatě běžné faktory, a proto je lze redukovat pomocí základní vlastnosti zlomku. Podívejte se na příklady:
Úkol. Najděte význam výrazu:
Podle definice máme:
Ve všech příkladech jsou červeně označena čísla, která byla redukována, a to, co z nich zbylo.
Upozornění: v prvním případě byly násobiče zcela sníženy. Na jejich místě zůstávají jednotky, které, obecně řečeno, není třeba psát. Ve druhém příkladu nebylo možné dosáhnout úplného snížení, ale celkové množství výpočtů se přesto snížilo.
Tuto techniku však nikdy nepoužívejte při sčítání a odčítání zlomků! Ano, občas se vyskytnou podobná čísla, která prostě chcete snížit. Tady, podívej:
To nemůžeš!
K chybě dochází, protože při sčítání čitatel zlomku vytváří součet, nikoli součin čísel. V důsledku toho je nemožné použít základní vlastnost zlomku, protože tato vlastnost se zabývá specificky násobením čísel.
Jiné důvody pro redukci zlomků prostě neexistují, takže správné řešení předchozího problému vypadá takto:
Jak vidíte, správná odpověď se ukázala jako ne tak krásná. Obecně buďte opatrní.
Násobení zlomků.
Chcete-li správně vynásobit zlomek zlomkem nebo zlomek číslem, musíte vědět jednoduchá pravidla. Nyní si tato pravidla podrobně rozebereme.
Násobení běžného zlomku zlomkem.
Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vypočítat součin čitatelů a součin jmenovatelů těchto zlomků.
Podívejme se na příklad:
Čitatele prvního zlomku vynásobíme čitatelem druhého zlomku a také jmenovatele prvního zlomku vynásobíme jmenovatelem druhého zlomku.
Násobení zlomku číslem.
Nejprve si připomeňme pravidlo, nějaké číslo může být reprezentováno jako zlomek \(\bf n = \frac \) .
Použijme toto pravidlo při násobení.
Nesprávný zlomek \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) byl převeden na smíšená frakce.
Jinými slovy, Při násobení čísla zlomkem násobíme číslo čitatelem a jmenovatele ponecháme beze změny. Příklad:
Násobení smíšených zlomků.
Chcete-li násobit smíšené zlomky, musíte nejprve reprezentovat každý smíšený zlomek jako nesprávný zlomek a poté použít pravidlo násobení. Čitatele násobíme čitatelem a násobíme jmenovatele jmenovatelem.
Násobení reciprokých zlomků a čísel.
Související otázky:
Jak vynásobit zlomek zlomkem?
Odpověď: Součin obyčejných zlomků je násobením čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem. Chcete-li získat produkt smíšených zlomků, musíte je převést na nesprávný zlomek a vynásobit podle pravidel.
Jak násobit zlomky s různých jmenovatelů?
Odpověď: nezáleží na tom, zda mají zlomky stejné nebo různé jmenovatele, násobení probíhá podle pravidla hledání součinu čitatele s čitatelem, jmenovatele se jmenovatelem.
Jak násobit smíšené zlomky?
Odpověď: nejprve musíte smíšený zlomek převést na nesprávný zlomek a poté najít součin pomocí pravidel násobení.
Jak vynásobit číslo zlomkem?
Odpověď: číslo vynásobíme čitatelem, ale jmenovatele necháme stejný.
Příklad č. 1:
Vypočítejte součin: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
Příklad č. 2:
Vypočítejte součin čísla a zlomku: a) \(3 \krát \frac \) b) \(\frac \krát 11\)
Příklad č. 3:
Napište převrácenou hodnotu zlomku \(\frac \)?
Odpověď: \(\frac = 3\)
Příklad č. 4:
Vypočítejte součin dvou vzájemně inverzních zlomků: a) \(\frac \times \frac \)
Příklad č. 5:
Mohou být reciproké zlomky:
a) současně s vlastními zlomky;
b) současně nesprávné zlomky;
c) současně přirozená čísla?
Řešení:
a) k zodpovězení první otázky uveďme příklad. Zlomek \(\frac \) je vlastní, jeho inverzní zlomek bude roven \(\frac \) - nevlastní zlomek. Odpověď: ne.
b) téměř u všech výčtů zlomků tato podmínka splněna není, ale existují čísla, která podmínku, že jsou současně nevlastním zlomkem, splňují. Například, nevlastní zlomek je \(\frac \) , jeho inverzní zlomek je roven \(\frac \). Dostaneme dva nevlastní zlomky. Odpověď: ne vždy za určitých podmínek, když se čitatel a jmenovatel rovnají.
c) přirozená čísla jsou čísla, která používáme při počítání např. 1, 2, 3, …. Pokud vezmeme číslo \(3 = \frac \), pak jeho inverzní zlomek bude \(\frac \). Zlomek \(\frac \) není přirozené číslo. Pokud projdeme všechna čísla, převrácená hodnota čísla je vždy zlomek, kromě 1. Pokud vezmeme číslo 1, pak jeho převrácený zlomek bude \(\frac = \frac = 1\). Číslo 1 je přirozené číslo. Odpověď: mohou být současně přirozenými čísly pouze v jednom případě, pokud je toto číslo 1.
Příklad č. 6:
Vytvořte součin smíšených zlomků: a) \(4 \krát 2\frac \) b) \(1\frac \krát 3\frac \)
Řešení:
a) \(4 \krát 2\frac = \frac \krát \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \krát 3\frac = \frac \krát \frac = \frac = 4\frac \)
Příklad č. 7:
Mohou být dvě reciproká čísla současně?
Podívejme se na příklad. Vezměme smíšený zlomek \(1\frac \), najdeme jeho inverzní zlomek, k tomu ho převedeme na nevlastní zlomek \(1\frac = \frac \) . Jeho inverzní zlomek se bude rovnat \(\frac \) . Zlomek \(\frac\) je správný zlomek. Odpověď: Dva zlomky, které jsou vzájemně inverzní, nemohou být současně smíšená čísla.
Násobení desetinného čísla přirozeným číslem
Prezentace na lekci
Pozornost! Náhledy snímků mají pouze informativní charakter a nemusí představovat všechny funkce prezentace. Jestli máte zájem tato práce, stáhněte si prosím plnou verzi.
- Zábavnou formou seznámit studenty s pravidlem pro násobení desetinného zlomku přirozeným číslem, jednotkou hodnoty místa a pravidlem pro vyjádření desetinného zlomku v procentech. Rozvíjet schopnost aplikovat získané znalosti při řešení příkladů a problémů.
- Rozvíjet a aktivovat logické myšlenížáků, schopnost identifikovat vzorce a zobecňovat je, posilovat paměť, schopnost spolupracovat, poskytovat pomoc, hodnotit vlastní práci i práci sebe navzájem.
- Pěstujte zájem o matematiku, aktivitu, mobilitu a komunikační dovednosti.
Zařízení: interaktivní tabule, plakát se cyphergramem, plakáty s výroky matematiků.
- Organizace času.
- Ústní aritmetika – zobecnění dříve probrané látky, příprava na studium nové látky.
- Vysvětlení nového materiálu.
- Zadání domácího úkolu.
- Matematická tělesná výchova.
- Zobecnění a systematizace získaných znalostí v herní forma používat počítač.
- Klasifikace.
2. Kluci, dnes bude naše lekce poněkud neobvyklá, protože ji nebudu učit sám, ale s kamarádem. A můj přítel je také neobvyklý, teď ho uvidíte. (Na obrazovce se objeví kreslený počítač.) Můj přítel má jméno a umí mluvit. Jak se jmenuješ, kamaráde? Komposha odpovídá: "Jmenuji se Komposha." Jste připraveni mi dnes pomoci? ANO! Nuže, začněme lekcí.
Dnes jsem dostal zašifrovaný šifrovací gram, chlapi, který musíme společně vyřešit a rozluštit. (Plakát s slovní počítání o sčítání a odčítání desetinných zlomků, v důsledku čehož děti obdrží následující kód 523914687. )
Komposha pomáhá dešifrovat přijatý kód. Výsledkem dekódování je slovo MULTIPLICATION. Násobení je klíčové slovo témata dnešní lekce. Na monitoru se zobrazí téma lekce: „Násobení desetinného zlomku přirozeným číslem“
Chlapi, víme, jak násobit přirozená čísla. Dnes se podíváme na násobení desetinných čísel přirozeným číslem. Násobení desetinného zlomku přirozeným číslem lze považovat za součet členů, z nichž každý je roven tomuto desetinnému zlomku a počet členů se rovná tomuto přirozenému číslu. Například: 5,21 ·3 = 5,21 + 5,21 + 5,21 = 15,63 Takže 5,21 ·3 = 15,63. Uvedeme-li 5,21 jako společný zlomek k přirozenému číslu, dostaneme
A v tomto případě jsme dostali stejný výsledek: 15,63. Nyní, ignorujte čárku, místo čísla 5,21 vezměte číslo 521 a vynásobte ho tímto přirozeným číslem. Zde musíme pamatovat na to, že v jednom z faktorů byla čárka posunuta o dvě místa doprava. Při vynásobení čísel 5, 21 a 3 dostaneme součin rovný 15,63. Nyní v tomto příkladu přesuneme čárku o dvě místa vlevo. Tedy, o kolik se jeden z faktorů zvýšil, o kolik se snížil produkt. Na základě podobnosti těchto metod vyvodíme závěr.
K množení desetinný pro přirozené číslo potřebujete:
1) bez ohledu na čárku vynásobte přirozená čísla;
2) ve výsledném produktu oddělte zprava čárkou tolik číslic, kolik je v desetinném zlomku.
Na monitoru jsou zobrazeny následující příklady, které analyzujeme společně s Komposhou a kluky: 5,21 ·3 = 15,63 a 7,624 ·15 = 114,34. Potom ukážu násobení zaokrouhleným číslem 12,6 · 50 = 630. Dále přejdu k násobení desetinného zlomku jednotkou hodnoty místa. Ukazuji následující příklady: 7,423 · 100 = 742,3 a 5,2 · 1000 = 5200. Zavádím tedy pravidlo pro násobení desetinného zlomku jednotkou číslice:
Chcete-li vynásobit desetinný zlomek jednotkami číslic 10, 100, 1000 atd., musíte posunout desetinnou čárku v tomto zlomku doprava o tolik míst, kolik je nul v jednotce číslice.
Svůj výklad zakončím vyjádřením desetinného zlomku v procentech. Uvádím pravidlo:
Chcete-li vyjádřit desetinný zlomek v procentech, musíte jej vynásobit 100 a přidat znak %.
Uvedu příklad na počítači: 0,5 100 = 50 nebo 0,5 = 50 %.
4. Na konci vysvětlení dávám chlapům domácí práce, který se také zobrazuje na monitoru počítače: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Aby si kluci trochu odpočinuli, děláme společně s Komposhou matematickou tělocvik na upevnění tématu. Každý se postaví, ukáže řešené příklady třídě a oni musí odpovědět, zda byl příklad vyřešen správně nebo špatně. Pokud je příklad vyřešen správně, pak zvednou ruce nad hlavu a tleskají dlaněmi. Pokud není příklad vyřešen správně, chlapi natahují ruce do stran a natahují prsty.
6. A teď jste si trochu odpočinuli, můžete řešit úkoly. Otevřete si učebnici na straně 205, № 1029. V této úloze musíte vypočítat hodnotu výrazů:
Úkoly se zobrazí v počítači. Po jejich vyřešení se objeví obrázek s obrázkem lodi, která po úplném složení odplouvá.
Řešením tohoto úkolu na počítači se raketa postupně složí, po vyřešení posledního příkladu raketa odletí. Učitel dává žákům malou informaci: „Každý rok z půdy Kazachstánu, z kosmodromu Bajkonur, vzlétají ke hvězdám kosmické lodě. Kazachstán staví svůj nový kosmodrom Baiterek poblíž Bajkonuru.
Jakou vzdálenost ujede osobní automobil za 4 hodiny, je-li rychlost osobního automobilu 74,8 km/h.
Dárkový certifikát Nevíte, čím obdarovat svou drahou polovičku, přátele, zaměstnance, příbuzné? Využijte naši speciální nabídku: „Dárkový certifikát pro hotel Blue Sedge Country Hotel.“ Certifikát dává […]
Minule jsme se naučili sčítat a odčítat zlomky (viz lekce „Sčítání a odčítání zlomků“). Nejtěžší na těchto akcích bylo přivést zlomky ke společnému jmenovateli.
Nyní je čas zabývat se násobením a dělením. Dobrou zprávou je, že tyto operace jsou ještě jednodušší než sčítání a odčítání. Nejprve se podívejme na nejjednodušší případ, kdy existují dva kladné zlomky bez oddělené celočíselné části.
Chcete-li vynásobit dva zlomky, musíte samostatně vynásobit jejich čitatele a jmenovatele. První číslo bude čitatelem nového zlomku a druhé bude jmenovatelem.
Chcete-li rozdělit dva zlomky, musíte vynásobit první zlomek „převráceným“ druhým zlomkem.
Označení:
Z definice vyplývá, že dělení zlomků redukuje na násobení. Chcete-li zlomek „přehodit“, stačí prohodit čitatele a jmenovatele. V celé lekci se proto budeme zabývat hlavně násobením.
Následkem násobení může vzniknout (a často vzniká) redukovatelný zlomek - ten se samozřejmě musí redukovat. Pokud se po všech zmenšeních zlomek ukáže jako nesprávný, měla by být zvýrazněna celá část. Co se ale násobením rozhodně nestane, je redukce na společného jmenovatele: žádné křížové metody, největší faktory a nejmenší společné násobky.
Podle definice máme:
Násobení zlomků s celými částmi a zápornými zlomky
Pokud zlomky obsahují celočíselnou část, musí být převedeny na nesprávné - a teprve potom vynásobeny podle schémat nastíněných výše.
Pokud je v čitateli zlomku, ve jmenovateli nebo před ním mínus, lze jej z násobení vyjmout nebo úplně odstranit podle následujících pravidel:
- Plus mínus dává mínus;
- Dva zápory potvrzují.
Doposud se s těmito pravidly setkávali pouze při sčítání a odečítání záporných zlomků, kdy bylo nutné se zbavit celé části. Pro práci je lze zobecnit, aby se „spálilo“ několik nevýhod najednou:
- Negativy škrtáme ve dvojicích, dokud úplně nezmizí. V extrémních případech může přežít jeden mínus - ten, pro který nebyl žádný druh;
- Pokud nezůstanou žádné mínusy, operace je dokončena - můžete začít násobit. Pokud se poslední mínus neškrtne, protože na něj nebyl pár, vezmeme ho mimo hranice násobení. Výsledkem je záporný zlomek.
Úkol. Najděte význam výrazu:
Všechny zlomky převedeme na nesprávné a z násobení vyjmeme minusy. To, co zbylo, množíme podle obvyklých pravidel. Dostaneme:
Ještě jednou připomenu, že mínus, které se objeví před zlomkem se zvýrazněnou celou částí, se vztahuje konkrétně na celý zlomek, nikoli pouze na jeho celou část (to platí pro poslední dva příklady).
Pozor také na záporná čísla: při násobení jsou uzavřena v závorkách. To se provádí za účelem oddělení mínusů od znamének násobení a zpřesnění celého zápisu.
Snižování frakcí za chodu
Násobení je velmi pracná operace. Čísla se zde ukazují jako poměrně velká a pro zjednodušení problému se můžete pokusit zlomek dále zmenšit před násobením. Čitatelé a jmenovatelé zlomků jsou v podstatě běžné faktory, a proto je lze redukovat pomocí základní vlastnosti zlomku. Podívejte se na příklady:
Úkol. Najděte význam výrazu:
Podle definice máme:
Ve všech příkladech jsou červeně označena čísla, která byla redukována, a to, co z nich zbylo.
Upozornění: v prvním případě byly násobiče zcela sníženy. Na jejich místě zůstávají jednotky, které, obecně řečeno, není třeba psát. Ve druhém příkladu nebylo možné dosáhnout úplného snížení, ale celkové množství výpočtů se přesto snížilo.
Tuto techniku však nikdy nepoužívejte při sčítání a odčítání zlomků! Ano, občas se vyskytnou podobná čísla, která prostě chcete snížit. Tady, podívej:
To nemůžeš!
K chybě dochází, protože při sčítání čitatel zlomku vytváří součet, nikoli součin čísel. V důsledku toho je nemožné použít základní vlastnost zlomku, protože tato vlastnost se zabývá specificky násobením čísel.
Jiné důvody pro redukci zlomků prostě neexistují, takže správné řešení předchozího problému vypadá takto:
Správné řešení:
Jak vidíte, správná odpověď se ukázala jako ne tak krásná. Obecně buďte opatrní.
§ 87. Sčítání zlomků.
Sčítání zlomků má mnoho podobností se sčítáním celých čísel. Sčítání zlomků je akce spočívající v tom, že se několik daných čísel (členů) spojí do jednoho čísla (součtu), obsahujícího všechny jednotky a zlomky jednotek členů.
Postupně zvážíme tři případy:
1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Sčítání smíšených čísel.
1. Sčítání zlomků se stejnými jmenovateli.
Zvažte příklad: 1/5 + 2/5.
Vezměme segment AB (obr. 17), vezměme jej jako jeden a rozdělíme jej na 5 stejných částí, pak část AC tohoto segmentu bude rovna 1/5 segmentu AB a část stejného segmentu CD bude rovna 2/5 AB.
Z výkresu je zřejmé, že pokud vezmeme segment AD, bude se rovnat 3/5 AB; ale segment AD je přesně součtem segmentů AC a CD. Můžeme tedy napsat:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Uvážíme-li tyto členy a výsledný součet, vidíme, že čitatel součtu byl získán sečtením čitatelů členů a jmenovatel zůstal nezměněn.
Z toho dostáváme následující pravidlo: Chcete-li přidat zlomky se stejnými jmenovateli, musíte přidat jejich čitatele a ponechat stejného jmenovatele.
Podívejme se na příklad:
2. Sčítání zlomků s různými jmenovateli.
Sečteme zlomky: 3 / 4 + 3 / 8 Nejprve je třeba je zredukovat na nejmenšího společného jmenovatele:
Mezičlánek 6/8 + 3/8 se nepodařilo zapsat; pro přehlednost jsme to napsali sem.
Chcete-li tedy sečíst zlomky s různými jmenovateli, musíte je nejprve zredukovat na nejnižšího společného jmenovatele, přidat jejich čitatele a označit společného jmenovatele.
Uvažujme příklad (nad odpovídající zlomky napíšeme další faktory):
3. Sčítání smíšených čísel.
Sečteme čísla: 2 3/8 + 3 5/6.
Nejprve přivedeme zlomkové části našich čísel ke společnému jmenovateli a přepíšeme je znovu:
Nyní přidáme postupně celé číslo a zlomkové části:
§ 88. Odečítání zlomků.
Odečítání zlomků je definováno stejným způsobem jako odčítání celých čísel. Jedná se o akci, pomocí které se při součtu dvou termínů a jednoho z nich najde další termín. Podívejme se na tři případy za sebou:
1. Odečítání zlomků se stejnými jmenovateli.
2. Odečítání zlomků s různými jmenovateli.
3. Odečítání smíšených čísel.
1. Odečítání zlomků se stejnými jmenovateli.
Podívejme se na příklad:
13 / 15 - 4 / 15
Vezmeme segment AB (obr. 18), vezmeme jej jako jednotku a rozdělíme na 15 stejných částí; pak část AC tohoto segmentu bude představovat 1/15 AB a část AD stejného segmentu bude odpovídat 13/15 AB. Ponechme stranou další segment ED rovný 4/15 AB.
Musíme odečíst zlomek 4/15 od 13/15. Na výkresu to znamená, že segment ED musí být odečten od segmentu AD. V důsledku toho zůstane segment AE, což je 9/15 segmentu AB. Můžeme tedy napsat:
Příklad, který jsme vytvořili, ukazuje, že čitatel rozdílu byl získán odečtením čitatelů, ale jmenovatel zůstal stejný.
Chcete-li tedy odečíst zlomky s podobnými jmenovateli, musíte odečíst čitatele dílčího bodu od čitatele minuendu a ponechat stejného jmenovatele.
2. Odečítání zlomků s různými jmenovateli.
Příklad. 3/4 - 5/8
Nejprve zredukujeme tyto zlomky na nejnižšího společného jmenovatele:
Střední 6 / 8 - 5 / 8 je zde pro přehlednost napsáno, ale může být později přeskočeno.
Chcete-li tedy odečíst zlomek od zlomku, musíte je nejprve zmenšit na nejnižšího společného jmenovatele, poté odečíst čitatele minuendu od čitatele minuendu a pod jejich rozdíl podepsat společného jmenovatele.
Podívejme se na příklad:
3. Odečítání smíšených čísel.
Příklad. 10 3/4 - 7 2/3.
Zmenšeme zlomkové části minuendu a subtrahendu na nejnižšího společného jmenovatele:
Odečetli jsme celek od celku a zlomek od zlomku. Existují však případy, kdy je zlomková část subtrahendu větší než zlomková část minuendu. V takových případech je třeba vzít jednu jednotku z celé části minuendu, rozdělit ji na ty části, ve kterých je vyjádřena zlomková část, a přidat ji ke zlomkové části minuendu. A poté bude odčítání provedeno stejným způsobem jako v předchozím příkladu:
§ 89. Násobení zlomků.
Při studiu násobení zlomků zvážíme následující otázky:
1. Násobení zlomku celým číslem.
2. Zjištění zlomku daného čísla.
3. Násobení celého čísla zlomkem.
4. Násobení zlomku zlomkem.
5. Násobení smíšených čísel.
6. Pojem úrok.
7. Zjištění procenta daného čísla. Zvažme je postupně.
1. Násobení zlomku celým číslem.
Násobení zlomku celým číslem má stejný význam jako násobení celého čísla celým číslem. Násobit zlomek (násobitel) celým číslem (faktorem) znamená vytvořit součet identických členů, ve kterých je každý člen roven násobku a počet členů je roven násobiteli.
To znamená, že pokud potřebujete vynásobit 1/9 7, lze to provést takto:
Výsledek jsme získali snadno, protože akce byla zredukována na sčítání zlomků se stejnými jmenovateli. Proto,
Zvážení této akce ukazuje, že vynásobení zlomku celým číslem se rovná zvýšení tohoto zlomku tolikrát, kolikrát je jednotek v celém čísle. A protože zvětšení zlomku se dosáhne buď zvýšením jeho čitatele
nebo snížením jeho jmenovatele 
, pak můžeme čitatel buď vynásobit celým číslem, nebo jím vydělit jmenovatel, pokud je takové dělení možné.
Odtud dostáváme pravidlo:
Chcete-li vynásobit zlomek celým číslem, vynásobíte čitatele tímto celým číslem a jmenovatele ponecháte stejný, nebo pokud je to možné, vydělíte jmenovatele tímto číslem, přičemž čitatel zůstane nezměněn.
Při násobení jsou možné zkratky, například:
2. Zjištění zlomku daného čísla. Existuje mnoho úloh, ve kterých musíte najít nebo vypočítat část daného čísla. Rozdíl mezi těmito problémy a jinými je v tom, že udávají počet některých objektů nebo jednotek měření a musíte najít část tohoto čísla, která je zde také označena určitým zlomkem. Pro usnadnění pochopení uvedeme nejprve příklady takových problémů a poté představíme metodu jejich řešení.
Úkol 1. Měl jsem 60 rublů; 1/3 těchto peněz jsem utratil za nákup knih. Kolik stály knihy?
Úkol 2. Vlak musí ujet vzdálenost mezi městy A a B rovnou 300 km. Už urazil 2/3 této vzdálenosti. Kolik je to kilometrů?
Úkol 3. V obci je 400 domů, z toho 3/4 zděných, ostatní dřevěné. Kolik cihlových domů je celkem?
Toto jsou některé z mnoha problémů, se kterými se setkáváme při hledání části daného čísla. Obvykle se jim říká problémy k nalezení zlomku daného čísla.
Řešení problému 1. Od 60 rublů. 1/3 jsem utratil za knihy; To znamená, že pro zjištění nákladů na knihy musíte vydělit číslo 60 třemi:
Řešení problému 2. Pointa problému je v tom, že potřebujete najít 2/3 z 300 km. Nejprve spočítejme 1/3 z 300; toho je dosaženo vydělením 300 km třemi:
300:3 = 100 (to je 1/3 z 300).
Chcete-li najít dvě třetiny 300, musíte výsledný kvocient zdvojnásobit, tj. vynásobit 2:
100 x 2 = 200 (to jsou 2/3 z 300).
Řešení problému 3. Zde musíte určit počet zděných domů, které tvoří 3/4 ze 400. Nejprve najděte 1/4 ze 400,
400:4 = 100 (to je 1/4 ze 400).
Vypočítat tři čtvrtiny od 400 je třeba výsledný podíl ztrojnásobit, tedy vynásobit 3:
100 x 3 = 300 (to jsou 3/4 ze 400).
Na základě řešení těchto problémů můžeme odvodit následující pravidlo:
Chcete-li zjistit hodnotu zlomku z daného čísla, musíte toto číslo vydělit jmenovatelem zlomku a výsledný podíl vynásobit jeho čitatelem.
3. Násobení celého čísla zlomkem.
Dříve (§ 26) bylo stanoveno, že násobením celých čísel je třeba rozumět sčítání stejných členů (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). V tomto odstavci (bod 1) bylo stanoveno, že vynásobení zlomku celým číslem znamená nalezení součtu identických členů rovný tomuto zlomku.
V obou případech násobení spočívalo v nalezení součtu stejných členů.
Nyní přejdeme k násobení celého čísla zlomkem. Zde se setkáme například s násobením: 9 2 / 3. Je jasné, že předchozí definice násobení na tento případ neplatí. To je zřejmé z toho, že takové násobení nemůžeme nahradit sčítáním stejných čísel.
Kvůli tomu budeme muset dát novou definici násobení, tedy jinými slovy odpovědět na otázku, co se má rozumět násobením zlomkem, jak se má tento děj chápat.
Význam násobení celého čísla zlomkem je jasný z následující definice: vynásobení celého čísla (multiplikandu) zlomkem (multiplikand) znamená nalezení tohoto zlomku multiplikandu.
Totiž vynásobení 9 2/3 znamená nalezení 2/3 z devíti jednotek. V předchozím odstavci byly takové problémy vyřešeny; takže je snadné zjistit, že skončíme s 6.
Ale teď je tu zajímavá a důležitá otázka: proč tak zdánlivě odlišné akce jako hledání sumy stejná čísla a hledání zlomků čísel se v aritmetice nazývá stejným slovem „násobení“?
To se děje proto, že předchozí akce (několikrát opakování čísla s pojmy) a nová akce (nalezení zlomku čísla) dávají odpovědi na homogenní otázky. To znamená, že zde vycházíme z úvah, že homogenní otázky nebo úkoly se řeší stejnou akcí.
Abyste tomu porozuměli, zvažte následující problém: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik budou stát 4 m takové látky?
Tento problém je vyřešen vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (4), tj. 50 x 4 = 200 (rublů).
Vezměme stejný problém, ale v něm bude množství látky vyjádřeno zlomkem: „1 m látky stojí 50 rublů. Kolik bude stát 3/4 m takové látky?"
Tento problém je také třeba vyřešit vynásobením počtu rublů (50) počtem metrů (3/4).
Čísla v něm můžete ještě několikrát změnit, aniž byste změnili význam problému, například vezměte 9/10 m nebo 2 3/10 m atd.
Protože tyto úlohy mají stejný obsah a liší se pouze čísly, nazýváme akce používané při jejich řešení stejným slovem – násobení.
Jak vynásobíte celé číslo zlomkem?
Vezměme si čísla, se kterými jsme se setkali v posledním problému:
Podle definice musíme najít 3/4 z 50. Nejprve najdeme 1/4 z 50 a poté 3/4.
1/4 z 50 je 50/4;
3/4 z čísla 50 je .
Proto.
Uvažujme další příklad: 12 5 / 8 =?
1/8 z čísla 12 je 12/8,
5/8 z čísla 12 je .
Proto,
Odtud dostáváme pravidlo:
Chcete-li vynásobit celé číslo zlomkem, musíte celé číslo vynásobit čitatelem zlomku a učinit tento součin čitatelem a jmenovatele tohoto zlomku podepsat jako jmenovatele.
Napišme toto pravidlo pomocí písmen:
Aby bylo toto pravidlo zcela jasné, je třeba připomenout, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné nalezené pravidlo porovnat s pravidlem pro násobení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38
Je důležité si uvědomit, že před provedením násobení byste měli udělat (pokud je to možné) redukce, Například:
4. Násobení zlomku zlomkem. Násobení zlomku zlomkem má stejný význam jako násobení celého čísla zlomkem, to znamená, že při násobení zlomku zlomkem musíte najít zlomek, který je ve faktoru z prvního zlomku (násobitel).
Totiž vynásobení 3/4 1/2 (polovina) znamená nalezení poloviny 3/4.
Jak vynásobíte zlomek zlomkem?
Vezměme si příklad: 3/4 násobeno 5/7. To znamená, že musíte najít 5/7 ze 3/4. Nejprve najdeme 1/7 ze 3/4 a poté 5/7
1/7 z počtu 3/4 bude vyjádřena takto:
5/7 čísla 3/4 budou vyjádřena takto:
Tím pádem,
Jiný příklad: 5/8 násobeno 4/9.
1/9 z 5/8 je ,
4/9 z počtu 5/8 je .
Tím pádem, 
Z těchto příkladů lze odvodit následující pravidlo:
Chcete-li vynásobit zlomek zlomkem, musíte vynásobit čitatele čitatelem a jmenovatele jmenovatelem a vytvořit z prvního součinu čitatele az druhého součinu jmenovatele součinu.
Toto pravidlo lze zapsat v obecné podobě takto:
Při násobení je nutné provést (pokud možno) redukce. Podívejme se na příklady:
5. Násobení smíšených čísel. Protože smíšená čísla lze snadno nahradit nesprávnými zlomky, tato okolnost se obvykle používá při násobení smíšených čísel. To znamená, že v případech, kdy násobitel nebo násobitel nebo oba faktory jsou vyjádřeny jako smíšená čísla, jsou nahrazeny nesprávnými zlomky. Vynásobme například smíšená čísla: 2 1/2 a 3 1/5. Udělejme každý z nich na nevlastní zlomek a výsledné zlomky pak vynásobme podle pravidla pro násobení zlomku zlomkem:
Pravidlo. Chcete-li násobit smíšená čísla, musíte je nejprve převést na nesprávné zlomky a poté je vynásobit podle pravidla pro násobení zlomků zlomky.
Poznámka. Pokud je jedním z faktorů celé číslo, lze násobení provést na základě distribučního zákona takto:
6. Pojem úrok. Při řešení úloh a provádění různých praktických výpočtů používáme všechny druhy zlomků. Ale je třeba mít na paměti, že mnoho veličin umožňuje ne ledajaké, ale přirozené dělení. Například si můžete vzít jednu setinu (1/100) rublu, bude to kopejka, dvě setiny jsou 2 kopejky, tři setiny jsou 3 kopejky. Můžete si vzít 1/10 rublu, bude to "10 kopejek, nebo desetikopejka. Můžete si vzít čtvrt rublu, t.j. 25 kopejek, půl rublu, t.j. 50 kopejek (padesát kopejek). Ale prakticky neberou například 2/7 rublu, protože rubl není rozdělen na sedminy.
Jednotka hmotnosti, tedy kilogram, umožňuje především desetinná dělení, například 1/10 kg, nebo 100 g. A takové zlomky kilogramu jako 1/6, 1/11, 1/13 nejsou běžné.
Obecně platí, že naše (metrické) míry jsou desetinné a umožňují desetinná dělení.
Je však třeba poznamenat, že je mimořádně užitečné a vhodné v celé řadě případů použít stejnou (jednotnou) metodu dělení veličin. Dlouholeté zkušenosti ukázaly, že takto odůvodněné dělení je dělení „sté“. Podívejme se na několik příkladů týkajících se nejrůznějších oblastí lidské praxe.
1. Cena knih se snížila o 12/100 předchozí ceny.
Příklad. Předchozí cena knihy byla 10 rublů. Snížilo se o 1 rubl. 20 kopejek
2. Spořitelny vyplácejí vkladatelům 2/100 z částky uložené na spoření během roku.
Příklad. V pokladně je uloženo 500 rublů, příjem z této částky za rok je 10 rublů.
3. Počet absolventů jedné školy byl 5/100 z celkového počtu studentů.
PŘÍKLAD Na škole bylo jen 1200 studentů, z toho 60 maturovalo.
Setina čísla se nazývá procento.
Slovo „procento“ je vypůjčeno z latinský jazyk a jeho kořen "cent" znamená sto. Společně s předložkou (pro centum) toto slovo znamená „za sto“. Význam takového výrazu vyplývá z toho, že zpočátku v starověký Římúroky byly peníze, které dlužník zaplatil věřiteli „za každou stovku“. Slovo „cent“ je slyšet v takových známých slovech: centner (sto kilogramů), centimetr (řekněme centimetr).
Například místo toho, abychom řekli, že za poslední měsíc závod vyrobil 1/100 všech výrobků, které vyrobil, byla vadná, řekneme toto: za poslední měsíc závod vyrobil jedno procento vad. Místo toho, abychom řekli: závod vyrobil o 4/100 více výrobků, než byl stanovený plán, řekneme: závod překročil plán o 4 procenta.
Výše uvedené příklady lze vyjádřit různě:
1. Cena knih se snížila o 12 procent z předchozí ceny.
2. Spořitelny vyplácejí vkladatelům 2 procenta ročně z částky uložené na spoření.
3. Počet absolventů jedné školy byl 5 procent všech studentů školy.
Pro zkrácení písmene je zvykem psát místo slova „procento“ symbol %.
Je však třeba pamatovat na to, že při výpočtech se znaménko % obvykle nezapisuje, ale může být zapsáno v prohlášení o problému a v konečném výsledku. Při provádění výpočtů je třeba místo celého čísla s tímto symbolem zapsat zlomek se jmenovatelem 100.
Musíte být schopni nahradit celé číslo uvedenou ikonou zlomkem se jmenovatelem 100:
Naopak je potřeba si zvyknout psát celé číslo s uvedeným symbolem místo zlomku se jmenovatelem 100:
7. Zjištění procenta daného čísla.
Úkol 1.Škola dostala 200 kubíků. m palivového dřeva, přičemž březové palivové dříví tvoří 30 %. Kolik tam bylo březového dříví?
Smyslem tohoto problému je, že březové palivové dříví tvořilo pouze část palivového dříví, které bylo škole dodáno a tato část je vyjádřena zlomkem 30/100. To znamená, že máme za úkol najít zlomek čísla. Abychom to vyřešili, musíme vynásobit 200 30/100 (problémy s nalezením zlomku čísla řešíme vynásobením čísla zlomkem.).
To znamená, že 30 % z 200 se rovná 60.
Zlomek 30/100 vyskytující se v tomto problému lze zmenšit o 10. Toto snížení by bylo možné provést od samého začátku; řešení problému by se nezměnilo.
Úkol 2. V táboře bylo 300 dětí různého věku. Děti 11leté tvořily 21 %, děti 12 let tvořily 61 % a nakonec 13leté děti tvořily 18 %. Kolik dětí každého věku bylo v táboře?
V tomto problému musíte provést tři výpočty, tj. postupně najít počet dětí ve věku 11 let, poté ve věku 12 let a nakonec ve věku 13 let.
To znamená, že zde budete muset třikrát najít zlomek čísla. Pojďme na to:
1) Kolik tam bylo 11letých dětí?
2) Kolik tam bylo 12letých dětí?
3) Kolik tam bylo 13letých dětí?
Po vyřešení úlohy je užitečné sečíst nalezená čísla; jejich součet by měl být 300:
63 + 183 + 54 = 300
Je třeba také poznamenat, že součet procent uvedených v problémovém prohlášení je 100:
21% + 61% + 18% = 100%
To naznačuje, že celkový počet dětí v táboře byl brán jako 100 %.
3 a d a h a 3. Dělník dostával 1 200 rublů měsíčně. Z toho 65 % utratil za jídlo, 6 % za byty a vytápění, 4 % za plyn, elektřinu a rozhlas, 10 % za kulturní potřeby a 15 % ušetřil. Kolik peněz bylo vynaloženo na potřeby uvedené v úkolu?
Chcete-li tento problém vyřešit, musíte 5krát najít zlomek 1 200. Udělejme to.
1) Kolik peněz bylo utraceno za jídlo? Problém říká, že tento výdaj je 65 % celkových výdělků, tedy 65/100 z čísla 1 200. Udělejme výpočet:
2) Kolik peněz jste zaplatili za byt s vytápěním? Podobně jako v předchozím případě dojdeme k následujícímu výpočtu:
3) Kolik peněz jste zaplatili za plyn, elektřinu a rádio?
4) Kolik peněz bylo vynaloženo na kulturní potřeby?
5) Kolik peněz pracovník ušetřil?
Pro kontrolu je užitečné sečíst čísla nalezená v těchto 5 otázkách. Částka by měla být 1 200 rublů. Všechny výdělky jsou brány jako 100 %, což lze snadno zkontrolovat sečtením procentních čísel uvedených v prohlášení o problému.
Vyřešili jsme tři problémy. I přesto, že tyto problémy řešily různé věci (dodávka palivového dříví do školy, počet dětí různého věku, útrata dělníka), byly řešeny stejně. Stalo se tak proto, že ve všech úlohách bylo nutné najít několik procent daných čísel.
§ 90. Dělení zlomků.
Při studiu dělení zlomků budeme zvažovat následující otázky:
1. Vydělte celé číslo celým číslem.
2. Dělení zlomku celým číslem
3. Dělení celého čísla zlomkem.
4. Dělení zlomku zlomkem.
5. Dělení smíšených čísel.
6. Nalezení čísla z jeho daného zlomku.
7. Nalezení čísla podle jeho procenta.
Zvažme je postupně.
1. Vydělte celé číslo celým číslem.
Jak bylo naznačeno v oddělení celých čísel, dělení je děj, který spočívá v tom, že při součinu dvou faktorů (dividenda) a jednoho z těchto faktorů (dělitel) je nalezen další faktor.
Podívali jsme se na dělení celého čísla celým číslem v sekci o celých číslech. Setkali jsme se tam se dvěma případy dělení: dělením beze zbytku neboli „celkem“ (150 : 10 = 15) a dělením se zbytkem (100 : 9 = 11 a 1 zbytek). Můžeme tedy říci, že v oboru celých čísel není přesné dělení vždy možné, protože dělenec není vždy součinem dělitele celým číslem. Po zavedení násobení zlomkem můžeme považovat za možný jakýkoli případ dělení celých čísel (vyloučeno je pouze dělení nulou).
Například dělení 7 12 znamená nalezení čísla, jehož součin 12 by se rovnal 7. Takovým číslem je zlomek 7 / 12, protože 7 / 12 12 = 7. Jiný příklad: 14: 25 = 14 / 25, protože 14 / 25 25 = 14.
Chcete-li tedy vydělit celé číslo celým číslem, musíte vytvořit zlomek, jehož čitatel se rovná dělenci a jmenovatel se rovná děliteli.
2. Dělení zlomku celým číslem.
Vydělte zlomek 6 / 7 3. Podle výše uvedené definice dělení zde máme součin (6 / 7) a jeden z faktorů (3); je potřeba najít druhý faktor, který by po vynásobení 3 dal danému součinu 6/7. Je zřejmé, že by měl být třikrát menší než tento produkt. To znamená, že naším úkolem bylo zmenšit zlomek 6/7 3krát.
Již víme, že zmenšení zlomku lze provést buď snížením jeho čitatele, nebo zvýšením jeho jmenovatele. Proto můžete napsat:
V tomto případě je čitatel 6 dělitelný 3, takže by se měl čitatel zmenšit 3krát.
Vezměme si další příklad: 5 / 8 děleno 2. Zde čitatel 5 není dělitelný 2, což znamená, že jmenovatel bude muset být vynásoben tímto číslem:
Na základě toho lze vytvořit pravidlo: Chcete-li vydělit zlomek celým číslem, musíte vydělit čitatel zlomku tímto celým číslem.(Pokud možno), ponecháme stejného jmenovatele, nebo vynásobíme jmenovatele zlomku tímto číslem a ponecháme stejný čitatel.
3. Dělení celého čísla zlomkem.
Nechť je třeba vydělit 5 1/2, tj. najít číslo, které po vynásobení 1/2 dá součin 5. Toto číslo musí být samozřejmě větší než 5, protože 1/2 je vlastní zlomek a při násobení čísla musí být součin správného zlomku menší než součin, který se násobí. Aby to bylo jasnější, zapišme naše akce takto: 5: 1 / 2 = X , což znamená x 1/2 = 5.
Takové číslo musíme najít X , což při vynásobení 1/2 by dalo 5. Protože vynásobení určitého čísla 1/2 znamená nalezení 1/2 tohoto čísla, pak tedy 1/2 neznámého čísla X je rovno 5 a celé číslo X dvakrát tolik, tj. 5 2 = 10.
Takže 5: 1/2 = 5 2 = 10
Pojďme zkontrolovat: 
Podívejme se na další příklad. Řekněme, že chcete vydělit 6 2/3. Zkusme nejprve najít požadovaný výsledek pomocí nákresu (obr. 19).
Obr.19
Nakreslete úsečku AB rovnající se 6 jednotkám a rozdělme každou jednotku na 3 stejné části. V každé jednotce jsou tři třetiny (3/3) celého segmentu AB 6x větší, tzn. e. 18/3. Pomocí malých závorek spojíme 18 výsledných segmentů po 2; Bude pouze 9 segmentů. To znamená, že zlomek 2/3 je obsažen v 6 jednotkách 9krát, nebo jinými slovy, zlomek 2/3 je 9krát menší než 6 celých jednotek. Proto,
Jak získat tento výsledek bez výkresu pouze pomocí výpočtů? Uvažujme takto: potřebujeme vydělit 6 2/3, tj. musíme odpovědět na otázku, kolikrát je 2/3 obsaženo v 6. Nejprve si ujasněme: kolikrát 1/3 je obsaženo v 6? V celé jednotce jsou 3 třetiny a v 6 jednotkách 6krát více, tj. 18 třetin; abychom toto číslo našli, musíme vynásobit 6 3. To znamená, že 1/3 je obsažena v b jednotkách 18krát a 2/3 jsou obsaženy v b jednotkách ne 18krát, ale polovičně, tj. 18: 2 = 9 Proto jsme při dělení 6 2/3 provedli následující:
Odtud dostaneme pravidlo pro dělení celého čísla zlomkem. Chcete-li vydělit celé číslo zlomkem, musíte toto celé číslo vynásobit jmenovatelem daného zlomku a udělat z tohoto součinu čitatel a vydělit jej čitatelem daného zlomku.
Napišme pravidlo pomocí písmen:
Aby bylo toto pravidlo zcela jasné, je třeba připomenout, že zlomek lze považovat za podíl. Proto je užitečné nalezené pravidlo porovnat s pravidlem pro dělení čísla podílem, které bylo stanoveno v § 38. Upozorňujeme, že tam byl získán stejný vzorec.
Při dělení jsou možné zkratky, například:
4. Dělení zlomku zlomkem.
Řekněme, že potřebujeme vydělit 3/4 3/8. Co bude znamenat číslo, které vyplývá z dělení? Odpoví na otázku, kolikrát je zlomek 3/8 obsažen ve zlomku 3/4. Pro pochopení této problematiky si udělejme nákres (obr. 20).
Vezmeme úsečku AB, vezměme ji jako jednu, rozdělíme ji na 4 stejné části a označíme 3 takové části. Segment AC se bude rovnat 3/4 segmentu AB. Rozdělme nyní každý ze čtyř původních segmentů na polovinu, pak segment AB bude rozdělen na 8 stejných částí a každá taková část bude rovna 1/8 segmentu AB. Spojme 3 takové segmenty oblouky, pak každý ze segmentů AD a DC bude roven 3/8 segmentu AB. Výkres ukazuje, že segment rovný 3/8 je obsažen v segmentu rovném 3/4 přesně 2krát; To znamená, že výsledek dělení lze zapsat takto:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Podívejme se na další příklad. Řekněme, že potřebujeme vydělit 15/16 3/32:
Můžeme uvažovat takto: potřebujeme najít číslo, které po vynásobení 3/32 dostane součin rovný 15/16. Zapišme výpočty takto:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 neznámé číslo X jsou 15/16
1/32 neznámého čísla X je ,
32/32 čísel X makeup .
Proto,
Chcete-li tedy zlomek vydělit zlomkem, musíte vynásobit čitatel prvního zlomku jmenovatelem druhého a vynásobit jmenovatele prvního zlomku čitatelem druhého a udělat z prvního součinu čitatel, a druhý jmenovatel.
Napišme pravidlo pomocí písmen:
Při dělení jsou možné zkratky, například:
5. Dělení smíšených čísel.
Při dělení smíšených čísel je třeba je nejprve převést na nevlastní zlomky a výsledné zlomky pak rozdělit podle pravidel pro dělení zlomků. Podívejme se na příklad:
Převedeme smíšená čísla na nesprávné zlomky:
Nyní se rozdělme:
Chcete-li tedy rozdělit smíšená čísla, musíte je převést na nesprávné zlomky a poté dělit pomocí pravidla pro dělení zlomků.
6. Nalezení čísla z jeho daného zlomku.
Mezi různé úkoly na zlomcích se někdy vyskytují takové, ve kterých je uvedena hodnota nějakého zlomku neznámého čísla a je potřeba toto číslo najít. Tento typ problému bude opakem problému hledání zlomku daného čísla; tam bylo zadáno číslo a bylo požadováno najít nějaký zlomek tohoto čísla, zde byl zadán zlomek čísla a bylo nutné toto číslo najít samo. Tato myšlenka bude ještě jasnější, pokud se obrátíme na řešení tohoto typu problému.
Úkol 1. První den sklenáři zasklili 50 oken, což je 1/3 všech oken postaveného domu. Kolik oken je v tomto domě?
Řešení. Problém říká, že 50 zasklených oken tvoří 1/3 všech oken domu, což znamená, že celkem je oken 3x více, tzn.
Dům měl 150 oken.
Úkol 2. Prodejna prodala 1500 kg mouky, což jsou 3/8 celkových zásob mouky, které obchod měl. Jaké byly počáteční zásoby mouky v obchodě?
Řešení. Z podmínek problému je zřejmé, že 1500 kg prodané mouky tvoří 3/8 celkových zásob; To znamená, že 1/8 této rezervy bude 3krát méně, tj. pro její výpočet je třeba snížit 1500 3krát:
1 500: 3 = 500 (to je 1/8 rezervy).
Je zřejmé, že celá zásoba bude 8krát větší. Proto,
500 8 = 4 000 (kg).
Počáteční zásoba mouky v obchodě byla 4000 kg.
Z uvážení tohoto problému lze odvodit následující pravidlo.
K nalezení čísla z dané hodnoty jeho zlomku stačí tuto hodnotu vydělit čitatelem zlomku a výsledek vynásobit jmenovatelem zlomku.
Vyřešili jsme dva problémy s nalezením čísla daného zlomkem. Takové problémy, jak je zvláště jasně vidět z posledního, se řeší dvěma akcemi: dělením (když je nalezena jedna část) a násobením (když je nalezeno celé číslo).
Poté, co jsme se však naučili dělení zlomků, lze výše uvedené problémy vyřešit jednou akcí, a to: dělením zlomkem.
Například poslední úkol lze vyřešit jednou akcí takto:
V budoucnu budeme řešit problémy hledání čísla z jeho zlomku jednou akcí - dělením.
7. Nalezení čísla podle jeho procenta.
V těchto problémech budete muset najít číslo, které znáte několik procent tohoto čísla.
Úkol 1. Nejprve aktuální rok Dostal jsem od spořitelny 60 rublů. příjem z částky, kterou jsem před rokem vložil do spoření. Kolik peněz jsem vložil do spořitelny? (Pokladny poskytují vkladatelům výnos 2 % ročně.)
Problém je v tom, že jsem vložil určitou částku peněz do spořitelny a zůstal tam rok. Po roce jsem od ní dostal 60 rublů. příjem, což jsou 2/100 peněz, které jsem vložil. Kolik peněz jsem vložil?
Když tedy známe část těchto peněz, vyjádřenou dvěma způsoby (v rublech a zlomcích), musíme najít celou, dosud neznámou částku. Toto je běžný problém najít číslo dané jeho zlomkem. Následující problémy se řeší dělením:
To znamená, že ve spořitelně bylo uloženo 3 000 rublů.
Úkol 2. Rybáři splnili měsíční plán za dva týdny na 64 %, vylovili 512 tun ryb. Jaký byl jejich plán?
Z podmínek problému je známo, že rybáři dokončili část plánu. Tato část se rovná 512 tunám, což je 64 % plánu. Nevíme, kolik tun ryb je třeba připravit podle plánu. Nalezení tohoto čísla bude řešením problému.
Takové problémy se řeší rozdělením:
To znamená, že podle plánu je potřeba připravit 800 tun ryb.
Úkol 3. Vlak jel z Rigy do Moskvy. Když projel 276. kilometr, jeden z cestujících se zeptal projíždějícího průvodčího, jakou část cesty už mají za sebou. Na to průvodčí odpověděl: "Už máme za sebou 30 % celé cesty." Jaká je vzdálenost z Riga do Moskvy?
Z problémových podmínek je zřejmé, že 30 % trasy z Rigy do Moskvy je 276 km. Musíme najít celou vzdálenost mezi těmito městy, tj. pro tuto část najít celek:
§ 91. Vzájemná čísla. Nahrazení dělení násobením.
Vezměme zlomek 2/3 a místo jmenovatele nahradíme čitatele, dostaneme 3/2. Dostali jsme převrácenou hodnotu tohoto zlomku.
Abyste získali převrácenou hodnotu daného zlomku, musíte místo jmenovatele umístit jeho čitatel a místo čitatele jmenovatele. Tímto způsobem můžeme získat převrácenou hodnotu libovolného zlomku. Například:
3/4, rub 4/3; 5/6, obráceně 6/5
Dva zlomky, které mají vlastnost, že čitatel prvního je jmenovatelem druhého a jmenovatel prvního je čitatelem druhého, se nazývají vzájemně inverzní.
Nyní se zamysleme nad tím, jaký zlomek bude převrácená hodnota 1/2. Je zřejmé, že to bude 2 / 1, nebo jen 2. Hledáním převráceného zlomku daného zlomku jsme dostali celé číslo. A tento případ není ojedinělý; naopak pro všechny zlomky s čitatelem 1 (jedna) budou převrácené hodnoty celá čísla, například:
1/3, rub 3; 1/5, obráceně 5
Protože při hledání reciprokých zlomků jsme se setkali i s celými čísly, nebudeme v dalším hovořit o reciprokých zlomcích, ale o reciproční čísla.
Pojďme přijít na to, jak napsat inverzní k celému číslu. U zlomků to lze vyřešit jednoduše: musíte místo čitatele umístit jmenovatele. Stejným způsobem můžete získat převrácenou hodnotu celého čísla, protože jakékoli celé číslo může mít jmenovatel 1. To znamená, že převrácená hodnota 7 bude 1/7, protože 7 = 7/1; pro číslo 10 bude inverzní 1/10, protože 10 = 10/1
Tato myšlenka se dá vyjádřit různě: převrácená hodnota daného čísla se získá vydělením jedničky daným číslem. Toto tvrzení platí nejen pro celá čísla, ale i pro zlomky. Ve skutečnosti, pokud potřebujeme napsat převrácenou hodnotu zlomku 5/9, pak můžeme vzít 1 a vydělit ji 5/9, tzn.
Nyní upozorněme na jednu věc vlastnictví reciproká čísla, která se nám budou hodit: součin reciprokých čísel je roven jedné. Vskutku:
Pomocí této vlastnosti můžeme najít reciproká čísla následujícím způsobem. Řekněme, že potřebujeme najít převrácenou hodnotu 8.
Označme to písmenem X , pak 8 X = 1, tedy X = 1/8. Najdeme jiné číslo, které je inverzní k 7/12 a označíme ho písmenem X , pak 7.12 X = 1, tedy X = 1:7/12 nebo X = 12 / 7 .
Zavedli jsme zde pojem reciproká čísla, abychom mírně doplnili informace o dělení zlomků.
Když vydělíme číslo 6 3/5, uděláme následující:
Prosím zaplať Speciální pozornost k výrazu a porovnejte jej s daným: .
Vezmeme-li výraz samostatně, bez souvislosti s předchozím, pak nelze vyřešit otázku, odkud se vzal: z dělení 6 3/5 nebo z násobení 6 5/3. V obou případech se děje to samé. Proto můžeme říci že dělení jednoho čísla druhým lze nahradit vynásobením děliče převrácenou hodnotou dělitele.
Níže uvedené příklady tento závěr plně potvrzují.
