Středoškoláci a studenti matematických oborů na tuto otázku pravděpodobně snadno odpoví. Ale pro ty, kteří k tomu mají profesí daleko, to bude těžší. co to vlastně je?

Esence a označení

Racionální čísla jsou ta, která mohou být reprezentována jako zlomek. V této sadě jsou také zahrnuty kladné, záporné a nulové hodnoty. Čitatel zlomku musí být celé číslo a jmenovatel musí být

Tato množina se v matematice označuje jako Q a nazývá se „pole racionální čísla". Zahrnuje všechna celá a přirozená čísla, označovaná příslušně jako Z a N. Samotná množina Q je zahrnuta v množině R. Právě toto písmeno označuje tzv. reálné resp.

Výkon

Jak již bylo zmíněno, racionální čísla jsou množinou, která zahrnuje všechny celočíselné a zlomkové hodnoty. Mohou být prezentovány v různé formy. Nejprve ve tvaru obyčejného zlomku: 5/7, 1/5, 11/15 atd. Samozřejmě lze v podobném tvaru psát i celá čísla: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 atd. Za druhé, jiný druh reprezentace je desetinný s koncovou zlomkovou částí: 0,01, -15,001006 atd. Toto je možná jedna z nejběžnějších forem.

Existuje ale i třetí – periodický zlomek. Tento typ není příliš běžný, ale stále se používá. Například zlomek 10/3 lze zapsat jako 3,33333... nebo 3,(3). V tomto případě budou různá zobrazení považována za podobná čísla. Stejné zlomky budeme také nazývat například 3/5 a 6/10. Zdá se, že se ukázalo, co jsou racionální čísla. Ale proč se pro ně používá tento termín?

původ jména

Slovo „racionální“ má v moderní ruštině obecně trochu jiný význam. Je to spíše „rozumné“, „uvážené“. Ale matematické termíny jsou blízké přímému významu tohoto.V latině je „poměr“ „poměr“, „zlomek“ nebo „dělení“. Název tedy odráží podstatu toho, co jsou racionální čísla. Nicméně druhý význam

není daleko od pravdy.

Akce s nimi

Při řešení matematických úloh se neustále setkáváme s racionálními čísly, aniž bychom to sami znali. A mají řadu zajímavých vlastností. Všechny vyplývají buď z definice množiny nebo z akcí.

Za prvé, racionální čísla mají vlastnost vztahu pořadí. To znamená, že mezi dvěma čísly může existovat pouze jeden poměr – buď jsou si navzájem rovna, nebo jedno je větší či menší než druhé. tj.:

nebo a = b nebo a > b nebo A< b.

Kromě toho tato vlastnost také implikuje tranzitivitu vztahu. Tedy pokud A více b, b více C, pak A více C. V jazyce matematiky to vypadá takto:

(a > b) ^ (b > c) => (a > c).

Za druhé jsou to aritmetické operace s racionálními čísly, tedy sčítání, odčítání, dělení a samozřejmě násobení. Zároveň lze v procesu transformací rozlišit také řadu vlastností.

• a + b = b + a (záměna členů, komutativnost);
• 0 + a = a + 0;
• (a + b) + c = a + (b + c) (asociativita);
• a + (-a) = 0;
• ab=ba;
• (ab)c = a(bc) (distributivity);
• a x 1 = 1 x a = a;
• a x (1 / a) = 1 (v tomto případě a není rovno 0);
• (a + b) c = ac + ab;
• (a > b) ^ (c > 0) => (ac > bc).

Pokud jde o obyčejná a nikoli celá čísla, operace s nimi mohou způsobit určité potíže. Sčítání a odčítání jsou tedy možné pouze tehdy, jsou-li jmenovatelé rovni. Pokud se zpočátku liší, měli byste najít společnou pomocí vynásobení celého zlomku určitými čísly. Srovnání je také nejčastěji možné pouze při splnění této podmínky.

Dělení a násobení obyčejných zlomků se provádí v souladu s dostatečným jednoduchá pravidla. Redukce na společného jmenovatele není nutná. Čitatele a jmenovatele se násobí odděleně, přičemž v procesu provádění akce by se měl zlomek pokud možno zmenšit a co nejvíce zjednodušit.

Pokud jde o rozdělení, tato akce je podobná první s malým rozdílem. Pro druhý zlomek byste měli najít reciproční, tj.

"obrať to. Čitatel prvního zlomku tedy bude potřeba vynásobit jmenovatelem druhého a naopak.

A konečně další vlastnost vlastní racionálním číslům se nazývá Archimédův axiom. V literatuře se také často vyskytuje termín „princip“. Platí pro celou množinu reálných čísel, ale ne všude. Tento princip tedy u některých kolekcí racionálních funkcí nefunguje. Tento axiom v podstatě znamená, že vzhledem k existenci dvou veličin a a b můžete vždy vzít dost a, abyste překonali b.

Oblast použití

Takže pro ty, kteří se naučili nebo si zapamatovali, co jsou racionální čísla, je jasné, že se používají všude: v účetnictví, ekonomii, statistice, fyzice, chemii a dalších vědách. Své místo mají přirozeně i v matematice. Ne vždy s vědomím, že s nimi máme co do činění, neustále používáme racionální čísla. Setkávají se s nimi i malé děti, které se učí počítat předměty, krájí jablko na kousky nebo provádějí jiné jednoduché úkony. Doslova nás obklopují. A přesto nestačí k vyřešení některých problémů, zejména pomocí Pythagorovy věty jako příkladu lze pochopit potřebu zavedení konceptu

Téma racionálních čísel je poměrně rozsáhlé. Můžete o tom mluvit donekonečna a psát celá díla, pokaždé vás překvapí nové čipy.

Abychom se v budoucnu vyvarovali chyb, v této lekci se trochu ponoříme do tématu racionálních čísel, načerpáme z něj potřebné informace a půjdeme dál.

Obsah lekce

Co je racionální číslo

Racionální číslo je číslo, které lze vyjádřit jako zlomek, kde a - je čitatel zlomku b je jmenovatel zlomku. A b nesmí být nula, protože dělení nulou není povoleno.

Racionální čísla zahrnují následující kategorie čísel:

• celá čísla (například -2, -1, 0 1, 2 atd.)

• desetinné zlomky (například 0,2 atd.)

• nekonečné periodické zlomky (například 0, (3) atd.)

Každé číslo v této kategorii může být reprezentováno jako zlomek.

Příklad 1 Celé číslo 2 může být reprezentováno jako zlomek. Číslo 2 tedy platí nejen pro celá čísla, ale i pro racionální.

Příklad 2 Smíšené číslo může být reprezentováno jako zlomek. Tento zlomek se získá převodem smíšeného čísla na nesprávný zlomek.

Prostředek smíšené číslo odkazuje na racionální čísla.

Příklad 3 Desetinná 0,2 může být reprezentována jako zlomek. Tento zlomek byl získán převedením desetinného zlomku 0,2 na obyčejný zlomek. Pokud máte v tomto okamžiku potíže, opakujte téma.

Protože desetinný zlomek 0,2 může být reprezentován zlomkem, znamená to, že platí i pro racionální čísla.

Příklad 4 Nekonečný periodický zlomek 0, (3) může být reprezentován jako zlomek . Tato frakce se získává přeměnou čisté periodické frakce na obyčejnou frakci. Pokud máte v tomto okamžiku potíže, opakujte téma.

Protože nekonečný periodický zlomek 0, (3) může být reprezentován zlomkem, znamená to, že patří také k racionálním číslům.

V budoucnu všechna čísla, která mohou být reprezentována jako zlomek, budeme stále častěji nazývat jednou frází - racionální čísla.

Racionální čísla na souřadnicové čáře

Uvažovali jsme o souřadnicové linii, když jsme studovali záporná čísla. Připomeňme, že se jedná o přímku, na které leží mnoho bodů. Jak následuje:

Tento obrázek ukazuje malý fragment souřadnicové čáry od -5 do 5.

Označit na souřadnicové čáře celá čísla ve tvaru 2, 0, −3 není těžké.

Hodně zajímavější věci situace je se zbytkem čísel: s obyčejnými zlomky, smíšenými čísly, desetinnými zlomky atd. Tato čísla leží mezi celými čísly a těchto čísel je nekonečně mnoho.

Vyznačme si například racionální číslo na souřadnicové čáře. Toto číslo je přesně mezi nulou a jedničkou.

Zkusme pochopit, proč se zlomek najednou nachází mezi nulou a jedničkou.

Jak bylo uvedeno výše, mezi celými čísly leží další čísla - obyčejné zlomky, desetinné zlomky, smíšená čísla atd. Pokud například zvětšíte část souřadnicové čáry z 0 na 1, uvidíte následující obrázek

Je vidět, že mezi celými čísly 0 a 1 jsou již další racionální čísla, což jsou nám známé desetinné zlomky. Je zde vidět i náš zlomek, který se nachází na stejném místě jako desetinný zlomek 0,5. Pečlivé zkoumání tohoto obrázku dává odpověď na otázku, proč se zlomek nachází právě tam.

Zlomek znamená dělit 1 2. A když 1 dělíme 2, dostaneme 0,5

Desetinný zlomek 0,5 lze zamaskovat jako jiné zlomky. Ze základní vlastnosti zlomku víme, že pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí nebo vydělí stejným číslem, pak se hodnota zlomku nezmění.

Pokud se čitatel a jmenovatel zlomku vynásobí libovolným číslem, například číslem 4, pak dostaneme nový zlomek a tento zlomek je také roven 0,5

To znamená, že na souřadnicové čáře lze zlomek umístit na stejné místo, kde se zlomek nacházel

Příklad 2 Zkusme na souřadnici vyznačit racionální číslo. Toto číslo se nachází přesně mezi čísly 1 a 2

Hodnota zlomku je 1,5

Pokud zvětšíme řez souřadnicové čáry z 1 na 2, uvidíme následující obrázek:

Je vidět, že mezi celými čísly 1 a 2 jsou již další racionální čísla, což jsou nám známé desetinné zlomky. Je zde vidět i náš zlomek, který se nachází na stejném místě jako desetinný zlomek 1,5.

Zvětšili jsme určité segmenty na souřadnicové čáře, abychom viděli zbývající čísla ležící na tomto segmentu. V důsledku toho jsme našli desetinné zlomky, které měly jednu číslici za desetinnou čárkou.

Nebyla to však jediná čísla ležící na těchto segmentech. Na souřadnicové čáře leží nekonečně mnoho čísel.

Je snadné uhodnout, že mezi desetinnými zlomky, které mají jednu číslici za desetinnou čárkou, již existují další desetinné zlomky, které mají za desetinnou čárkou dvě číslice. Jinými slovy, setiny segmentu.

Zkusme se například podívat na čísla, která leží mezi desetinnými zlomky 0,1 a 0,2

Další příklad. Desetinná čísla, která mají za desetinnou čárkou dvě číslice a leží mezi nulou a racionálním číslem 0,1, vypadají takto:

Příklad 3 Na souřadnici označíme racionální číslo. Toto racionální číslo bude velmi blízké nule.

Hodnota zlomku je 0,02

Pokud zvětšíme segment z 0 na 0,1, uvidíme, kde se přesně nachází racionální číslo

Je vidět, že naše racionální číslo se nachází na stejném místě jako desetinný zlomek 0,02.

Příklad 4 Označme racionální číslo 0 na souřadnicové čáře, (3)

Racionální číslo 0, (3) je nekonečný periodický zlomek. Jeho zlomková část nikdy nekončí, je nekonečná

A protože číslo 0, (3) má nekonečnou zlomkovou část, znamená to, že nebudeme schopni najít přesné místo na souřadnicové čáře, kde se toto číslo nachází. Toto místo můžeme naznačit pouze přibližně.

Racionální číslo 0,33333… bude velmi blízké obvyklé desetinné 0,3

Tento obrázek neukazuje přesné umístění čísla 0,(3). Toto je pouze ilustrace ukazující, jak blízko může být periodický zlomek 0.(3) běžné desetinné 0,3.

Příklad 5 Na souřadnici označíme racionální číslo. Toto racionální číslo se bude nacházet uprostřed mezi čísly 2 a 3

To je 2 (dvě celá čísla) a (jedna sekunda). Zlomek se také nazývá „polovina“. Na souřadnici jsme tedy označili dva celé segmenty a další polovinu segmentu.

Převedeme-li smíšené číslo na nevlastní zlomek, dostaneme obyčejný zlomek. Tento zlomek na souřadnicové čáře bude umístěn na stejném místě jako zlomek

Hodnota zlomku je 2,5

Pokud zvětšíme řez souřadnicové čáry z 2 na 3, uvidíme následující obrázek:

Je vidět, že naše racionální číslo se nachází na stejném místě jako desetinný zlomek 2,5

Mínus před racionálním číslem

V předchozí lekci, která se jmenovala, jsme se naučili dělit celá čísla. Dividenda a dělitel mohou být kladná i záporná čísla.

Zvažte nejjednodušší výraz

(−6) : 2 = −3

V tomto výrazu je dividenda (−6) záporné číslo.

Nyní zvažte druhý výraz

6: (−2) = −3

Zde je již dělitel (−2) záporné číslo. Ale v obou případech dostaneme stejnou odpověď -3.

Vzhledem k tomu, že jakékoli dělení lze zapsat jako zlomek, můžeme také výše uvedené příklady zapsat jako zlomek:

A protože v obou případech je hodnota zlomku stejná, mínus stojící buď v čitateli, nebo ve jmenovateli může být společné tím, že se umístí před zlomek.

Proto mezi výrazy a a můžete vložit rovnítko, protože mají stejnou hodnotu

Pokud v budoucnu, při práci se zlomky, narazíme na mínus v čitateli nebo ve jmenovateli, uděláme toto mínus společné a umístíme ho před zlomek.

Opačná racionální čísla

Stejně jako celé číslo má i racionální číslo své opačné číslo.

Například pro racionální číslo je opačné číslo . Je umístěn na souřadnicové čáře symetricky k umístění vzhledem k počátku. Jinými slovy, obě tato čísla jsou stejně vzdálená od počátku

Převeďte smíšená čísla na nesprávné zlomky

Víme, že aby bylo možné převést smíšené číslo na nesprávný zlomek, musíte vynásobit část celého čísla jmenovatelem zlomkové části a přidat k čitateli zlomkové části. Výsledné číslo bude čitatelem nového zlomku, přičemž jmenovatel zůstane stejný.

Převeďme například smíšené číslo na nesprávný zlomek

Vynásobte celočíselnou část jmenovatelem zlomkové části a přidejte čitatele zlomkové části:

Spočítejme si tento výraz:

(2 × 2) + 1 = 4 + 1 = 5

Výsledné číslo 5 bude čitatelem nového zlomku a jmenovatel zůstane stejný:

Celý proces je napsán následovně:

Chcete-li vrátit původní smíšené číslo, stačí vybrat část celého čísla ve zlomku

Tento způsob převodu smíšeného čísla na nesprávný zlomek je však použitelný pouze v případě, že je smíšené číslo kladné. Pro záporné číslo tato metoda nebude fungovat.

Uvažujme zlomek. Vezměme si celočíselnou část tohoto zlomku. Dostat

Chcete-li vrátit původní zlomek, musíte smíšené číslo převést na nesprávný zlomek. Pokud ale použijeme staré pravidlo, totiž vynásobíme celočíselnou část jmenovatelem zlomkové části a k ​​výslednému číslu přidáme čitatel zlomkové části, dostaneme následující rozpor:

Dostali jsme zlomek, ale měli jsme dostat zlomek.

Došli jsme k závěru, že smíšené číslo bylo přeloženo nesprávně na nesprávný zlomek

Chcete-li správně převést záporné smíšené číslo na nesprávný zlomek, musíte vynásobit část celého čísla jmenovatelem zlomkové části a z výsledného čísla odčítat zlomkový čitatel. V tomto případě vše zapadne na své místo

Záporné smíšené číslo je opakem smíšeného čísla. Pokud se kladné smíšené číslo nachází na pravé straně a vypadá takto

Racionální čísla

čtvrtletí

1. Uspořádanost. A a b existuje pravidlo, které vám umožňuje jednoznačně identifikovat mezi nimi jeden a pouze jeden ze tří vztahů: “< », « >' nebo ' = '. Toto pravidlo se nazývá pravidlo objednávky a je formulován takto: dva záporná čísla a souvisí stejným vztahem jako dvě celá čísla a ; dva ne kladná čísla A a b souvisí stejným vztahem jako dvě nezáporná čísla a ; kdyby náhle A nezáporné a b- tedy negativní A > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

   

   sčítání zlomků

2. operace sčítání. Pro jakákoli racionální čísla A a b existuje tzv sumační pravidlo C. Nicméně samotné číslo C volala součetčísla A a b a je označeno a proces hledání takového čísla se nazývá shrnutí. Součtové pravidlo má následující podobu: .
3. operace násobení. Pro jakákoli racionální čísla A a b existuje tzv pravidlo násobení, což je dává do korespondence s nějakým racionálním číslem C. Nicméně samotné číslo C volala prácečísla A a b a je označeno a proces hledání takového čísla se také nazývá násobení. Pravidlo násobení je následující: .
4. Tranzitivita objednávkového vztahu. Pro libovolnou trojici racionálních čísel A , b a C-li A méně b a b méně C, pak A méně C, co když A rovná se b a b rovná se C, pak A rovná se C. 6435">Komutivita sčítání. Součet se nemění změnou místa racionálních členů.
5. Asociativita sčítání. Pořadí, ve kterém jsou sečtena tři racionální čísla, neovlivňuje výsledek.
6. Přítomnost nuly. Existuje racionální číslo 0, které při sečtení zachovává každé druhé racionální číslo.
7. Přítomnost opačných čísel. Každé racionální číslo má opačné racionální číslo, které po sečtení dává 0.
8. Komutativnost násobení. Změnou míst racionálních faktorů se produkt nemění.
9. Asociativita násobení. Pořadí, ve kterém se násobí tři racionální čísla, neovlivňuje výsledek.
10. Přítomnost jednotky. Existuje racionální číslo 1, které po vynásobení zachovává každé druhé racionální číslo.
11. Přítomnost recipročních. Každé racionální číslo má inverzní racionální číslo, které po vynásobení dává 1.
12. Distributivita násobení vzhledem ke sčítání. Operace násobení je konzistentní s operací sčítání prostřednictvím distribučního zákona:
13. Spojení objednávkového vztahu s operací sčítání. Doleva a doprava racionální nerovnost můžete přidat stejné racionální číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
14. Archimédův axiom. Bez ohledu na racionální číslo A, můžete si vzít tolik jednotek, že jejich součet přesáhne A. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Další vlastnosti

Všechny ostatní vlastnosti vlastní racionálním číslům nejsou vyčleněny jako základní, protože obecně řečeno již nevycházejí přímo z vlastností celých čísel, ale lze je dokázat na základě daných základních vlastností nebo přímo definicí nějaký matematický objekt. Takových doplňkových vlastností je celá řada. Zde má smysl uvést jen některé z nich.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Nastavte počitatelnost

Číslování racionálních čísel

Chcete-li odhadnout počet racionálních čísel, musíte najít mohutnost jejich množiny. Je snadné dokázat, že množina racionálních čísel je spočetná. K tomu stačí dát algoritmus, který vyjmenovává racionální čísla, to znamená, že stanoví bijekci mezi množinami racionálních a přirozených čísel.

Nejjednodušší z těchto algoritmů je následující. Na každém je sestavena nekonečná tabulka obyčejných zlomků i-tý řádek v každém j sloupec, jehož je zlomek. Pro jednoznačnost se předpokládá, že řádky a sloupce této tabulky jsou číslovány od jedné. Buňky tabulky jsou označeny , kde i- číslo řádku tabulky, ve které se buňka nachází, a j- číslo sloupce.

Výsledná tabulka je spravována "hadem" podle následujícího formálního algoritmu.

Tato pravidla se prohledávají odshora dolů a další pozice se vybírá podle prvního zápasu.

V procesu takového bypassu je každé nové racionální číslo přiřazeno dalšímu přirozenému číslu. To znamená, že zlomky 1 / 1 mají přiřazeno číslo 1, zlomky 2 / 1 - číslo 2 atd. Je třeba poznamenat, že jsou číslovány pouze neredukovatelné zlomky. Formálním znakem neredukovatelnosti je rovnost k jednotě největšího společného dělitele čitatele a jmenovatele zlomku.

Podle tohoto algoritmu lze vyčíslit všechna kladná racionální čísla. To znamená, že množina kladných racionálních čísel je spočetná. Je snadné vytvořit bijekci mezi množinami kladných a záporných racionálních čísel jednoduše tím, že každému racionálnímu číslu přiřadíme jeho opak. Že. množina záporných racionálních čísel je také spočetná. Jejich spojení je také počitatelné pomocí vlastnosti počitatelných množin. Množina racionálních čísel je také spočetná jako sjednocení spočetné množiny s konečnou.

Tvrzení o spočetnosti množiny racionálních čísel může způsobit zmatek, protože na první pohled má člověk dojem, že je mnohem větší než množina přirozených čísel. Ve skutečnosti tomu tak není a přirozených čísel je dostatek na to, abychom vyjmenovali všechna racionální.

Nedostatek racionálních čísel

Přepona takového trojúhelníku není vyjádřena žádným racionálním číslem

Racionální čísla tvaru 1 / n na svobodě n lze měřit libovolně malá množství. Tato skutečnost vytváří klamný dojem, že racionální čísla mohou měřit jakékoli geometrické vzdálenosti obecně. Je snadné ukázat, že to není pravda.

Poznámky

Literatura

• I. Kušnír. Příručka matematiky pro školáky. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
• P. S. Alexandrov. Úvod do teorie množin a obecné topologie. - M.: hlava. vyd. Fyzikální matematika lit. vyd. "Věda", 1977
• I. L. Chmelnický. Úvod do teorie algebraických systémů

Odkazy

Nadace Wikimedia. 2010 .

) jsou čísla s kladným nebo záporným znaménkem (celé a zlomkové) a nulou. Přesnější koncept racionálních čísel zní takto:

racionální číslo- číslo, které je reprezentováno jednoduchým zlomkem m/n, kde je čitatel m jsou celá čísla a jmenovatel n- celá čísla, například 2/3.

Nekonečné neperiodické zlomky NEJSOU zahrnuty do množiny racionálních čísel.

a/b, kde A∈ Z (A patří k celým číslům) b∈ N (b patří k přirozeným číslům).

Použití racionálních čísel v reálném životě.

V reálný život množina racionálních čísel se používá k počítání částí některých celočíselně dělitelných objektů, například, koláče nebo jiné potraviny, které jsou před konzumací nakrájeny na kousky, nebo pro hrubý odhad prostorových vztahů rozšířených objektů.

Vlastnosti racionálních čísel.

Základní vlastnosti racionálních čísel.

1. uspořádanost A a b existuje pravidlo, které vám umožňuje jednoznačně identifikovat mezi nimi 1, ale pouze jeden ze 3 vztahů: “<», «>" nebo "=". Toto pravidlo je - pravidlo objednávky a formuluj to takto:

• 2 kladná čísla a=m a /n a a b=mb/nb souvisí stejným vztahem jako 2 celá čísla m a⋅ nb a m b⋅ n a;
• 2 záporná čísla A a b souvisí stejným vztahem jako 2 kladná čísla |b| a |a|;
• když A pozitivní a b- tedy negativní a>b.

∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)

2. Operace sčítání. Pro všechna racionální čísla A a b tady je sumační pravidlo, což je dává do korespondence s určitým racionálním číslem C. Nicméně samotné číslo C- tohle je součetčísla A a b a je označován jako (a+b) shrnutí.

Sumační pravidlo vypadá takto:

m a/n a + mb/nb = (m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).

∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q

3. operace násobení. Pro všechna racionální čísla A a b tady je pravidlo násobení, spojuje je s určitým racionálním číslem C. Volá se číslo c prácečísla A a b a označují (a⋅b), a nazývá se proces nalezení tohoto čísla násobení.

pravidlo násobení vypadá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.

∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q

4. Tranzitivita objednávkového vztahu. Pro libovolná tři racionální čísla A, b a C-li A méně b a b méně C, pak A méně C, co když A rovná se b a b rovná se C, pak A rovná se C.

∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ A ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)

5. Komutativnost sčítání. Od změny míst racionálních termínů se součet nemění.

∀ a,b∈ Qa+b=b+a

6. Asociativita sčítání. Pořadí sčítání 3 racionálních čísel nemá vliv na výsledek.

∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)

7. Přítomnost nuly. Existuje racionální číslo 0, při sečtení zachovává každé druhé racionální číslo.

∃ 0 ∈ Q∀ A∈ Qa+0=a

8. Přítomnost opačných čísel. Každé racionální číslo má opačné racionální číslo, jejich sečtením vznikne 0.

∀ A∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0

9. Komutativnost násobení. Změnou míst racionálních faktorů se produkt nemění.

∀ a,b∈ Q a⋅ b=b⋅ A

10. Asociativita násobení. Pořadí násobení 3 racionálních čísel nemá vliv na výsledek.

∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ C)

11. Dostupnost jednotky. Existuje racionální číslo 1, zachovává každé druhé racionální číslo v procesu násobení.

∃ 1 ∈ Q∀ A∈ Q a⋅ 1=a

12. Dostupnost reciproční čísla . Každé racionální číslo jiné než nula má inverzní racionální číslo, jehož vynásobením dostaneme 1 .

∀ A∈ Q∃ a−1∈ Q a⋅ a-1=1

13. Distributivita násobení vzhledem ke sčítání. Operace násobení souvisí se sčítáním pomocí distribučního zákona:

∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ C

14. Spojení objednávkového vztahu s operací sčítání. K levé a pravé straně racionální nerovnosti se přidá stejné racionální číslo.

∀ a,b,c∈ Q a ⇒ a+c

15. Spojení řádového vztahu s operací násobení. Levou a pravou stranu racionální nerovnosti lze vynásobit stejným nezáporným racionálním číslem.

∀ a,b,c∈ Qc > 0∧ A ⇒ A⋅ C ⋅ C

16. Archimédův axiom. Bez ohledu na racionální číslo A, je snadné vzít tolik jednotek, že jejich součet bude větší A.

V tomto článku začneme studovat racionální čísla. Zde uvádíme definice racionálních čísel, poskytneme potřebná vysvětlení a uvedeme příklady racionálních čísel. Poté se zaměříme na to, jak určit zda dané číslo racionální nebo ne.

Navigace na stránce.

Definice a příklady racionálních čísel

V této podsekci uvádíme několik definic racionálních čísel. Navzdory rozdílům ve znění mají všechny tyto definice stejný význam: racionální čísla spojují celá čísla a zlomková čísla, stejně jako celá čísla spojují přirozená čísla, jejich protikladná čísla a číslo nula. Jinými slovy, racionální čísla zobecňují celá a zlomková čísla.

Začněme s definice racionálních čísel který je vnímán jako nejpřirozenější.

Ze znějící definice vyplývá, že racionální číslo je:

• Jakékoli přirozené číslo n . Jakékoli přirozené číslo může být skutečně reprezentováno jako obyčejný zlomek, například 3=3/1.
• Jakékoli celé číslo, zejména číslo nula. Jakékoli celé číslo lze skutečně zapsat buď jako kladný společný zlomek, nebo jako záporný společný zlomek nebo jako nulu. Například 26=26/1 , .
• Jakýkoli běžný zlomek (kladný nebo záporný). Přímo to říká daná definice racionálních čísel.
• Jakékoli smíšené číslo. Ve skutečnosti je vždy možné reprezentovat smíšené číslo jako nevlastní společný zlomek. Například a .
• Libovolný konečný desetinný nebo nekonečný periodický zlomek. Je tomu tak proto, že zadané desetinné zlomky jsou převedeny na běžné zlomky. Například , a 0,(3)=1/3.

Je také jasné, že žádné nekonečné neopakující se desetinné číslo NENÍ racionální číslo, protože jej nelze reprezentovat jako společný zlomek.

Nyní můžeme snadno přinést příklady racionálních čísel. Čísla 4, 903, 100 321 jsou racionální čísla, protože jsou to přirozená čísla. Celá čísla 58 , −72 , 0 , −833 333 333 jsou také příklady racionálních čísel. Obyčejné zlomky 4/9, 99/3 jsou také příklady racionálních čísel. Racionální čísla jsou také čísla.

Výše uvedené příklady ukazují, že existují kladná i záporná racionální čísla a racionální číslo nula není ani kladné, ani záporné.

Výše uvedená definice racionálních čísel může být formulována ve stručnější podobě.

Definice.

Racionální čísla volací čísla, která lze zapsat jako zlomek z/n, kde z je celé číslo a n je přirozené číslo.

Dokažme, že tato definice racionálních čísel je ekvivalentní s předchozí definicí. Víme, že čárku zlomku můžeme považovat za znak dělení, pak z vlastností dělení celých čísel a pravidel pro dělení celých čísel vyplývají následující rovnosti a . Což je tedy důkaz.

Uveďme příklady racionálních čísel na základě tato definice. Čísla −5 , 0 , 3 a jsou racionální čísla, protože je lze zapsat jako zlomky s celočíselným čitatelem a přirozeným jmenovatelem tvaru resp.

Definici racionálních čísel lze uvést i v následující formulaci.

Definice.

Racionální čísla jsou čísla, která lze zapsat jako konečný nebo nekonečný periodický desetinný zlomek.

Tato definice je také ekvivalentní první definici, protože každý obyčejný zlomek odpovídá konečnému nebo periodickému desetinnému zlomku a naopak a jakékoli celé číslo může být spojeno s desetinným zlomkem s nulami za desetinnou čárkou.

Například čísla 5 , 0 , −13 , jsou příklady racionálních čísel, protože je lze zapsat jako následující desetinná místa 5.0 , 0.0 , −13.0 , 0.8 a −7,(18) .

Teorii této části zakončíme následujícími tvrzeními:

• celá a zlomková čísla (kladná a záporná) tvoří množinu racionálních čísel;
• každé racionální číslo může být reprezentováno jako zlomek s celočíselným čitatelem a přirozeným jmenovatelem a každý takový zlomek je racionální číslo;
• každé racionální číslo může být reprezentováno jako konečný nebo nekonečný periodický desetinný zlomek a každý takový zlomek představuje nějaké racionální číslo.

Je toto číslo racionální?

V předchozím odstavci jsme zjistili, že jakékoli přirozené číslo, jakékoli celé číslo, jakýkoli obyčejný zlomek, jakékoli smíšené číslo, jakýkoli konečný desetinný zlomek a také jakýkoli periodický desetinný zlomek je racionální číslo. Tato znalost nám umožňuje „rozpoznat“ racionální čísla z množiny zapsaných čísel.

Ale co když je číslo zadáno jako nějaké , nebo jako , atd., jak odpovědět na otázku, je dané číslo racionální? V mnoha případech je velmi těžké na ni odpovědět. Ukažme si některé směry myšlenkového běhu.

Pokud je číslo uvedeno jako číselný výraz, který obsahuje pouze racionální čísla a znaménka aritmetických operací (+, −, · a:), pak hodnotou tohoto výrazu je racionální číslo. To vyplývá z toho, jak jsou definovány operace s racionálními čísly. Například po provedení všech operací ve výrazu dostaneme racionální číslo 18 .

Někdy, po zjednodušení výrazů a složitější formě, je možné určit, zda je dané číslo racionální.

Pojďme dále. Číslo 2 je racionální číslo, protože každé přirozené číslo je racionální. A co číslo? Je to racionální? Ukazuje se, že ne - není to racionální číslo, je to iracionální číslo (důkaz této skutečnosti kontradikcí je uveden v učebnici algebry pro ročník 8, uvedené níže v seznamu literatury). To se také prokázalo Odmocnina z přirozené číslo je racionální číslo pouze v případě, že kořen je číslo, které je dokonalou druhou mocninou nějakého přirozeného čísla. Například a jsou racionální čísla, protože 81=9 2 a 1024=32 2 a čísla a nejsou racionální, protože čísla 7 a 199 nejsou dokonalé čtverce přirozených čísel.

Je číslo racionální nebo ne? V tomto případě je snadné vidět, že toto číslo je tedy racionální. Je číslo racionální? Je dokázáno, že k-tá odmocnina celého čísla je racionálním číslem pouze tehdy, je-li číslo pod znaménkem odmocniny k-tou mocninou nějakého celého čísla. Není to tedy racionální číslo, protože neexistuje celé číslo, jehož pátá mocnina je 121.

Metoda rozporu nám umožňuje dokázat, že logaritmy některých čísel z nějakého důvodu nejsou racionálními čísly. Například, dokažme, že - není racionální číslo.

Předpokládejme opak, tj. předpokládejme, že se jedná o racionální číslo a lze jej zapsat jako obyčejný zlomek m/n. Potom a dejte následující rovnosti: . Poslední rovnost je nemožná, protože na její levé straně existuje ne sudé číslo 5 n a na pravé straně je sudé číslo 2 m . Náš předpoklad je tedy chybný, nejde tedy o racionální číslo.

Na závěr je vhodné zdůraznit, že při objasňování racionality či iracionality čísel je třeba se zdržet náhlých závěrů.

Například bychom neměli hned tvrdit, že součin iracionálních čísel π a e je iracionální číslo, to je „jakoby zřejmé“, ale není to dokázané. To vyvolává otázku: „Proč by součin byl racionální číslo“? A proč ne, protože můžete uvést příklad iracionálních čísel, jejichž součin dává racionální číslo:.

Není také známo, zda čísla a mnoho dalších čísel jsou racionální nebo ne. Například existují iracionální čísla, jejichž iracionální síla je racionální číslo. Pro ilustraci uveďme stupeň tvaru , základ tohoto stupně a exponent nejsou racionální čísla, ale , a 3 je racionální číslo.

Bibliografie.

• Matematika. 6. třída: učebnice. pro všeobecné vzdělání instituce / [N. Ya, Vilenkin a další]. - 22. vydání, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: učebnice pro 8 buněk. obecné vzdělání instituce / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdělávání, 2008. - 271 s. : nemocný. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.