Toto je poslední a nejdůležitější lekce potřebná k řešení problémů B11. Už víme, jak převádět úhly z radiánové míry na míru míru (viz lekce „Radiánová a stupňová míra úhlu“) a také víme, jak určit znaménko goniometrické funkce se zaměřením na čtvrtiny souřadnic (viz lekce "Znaky goniometrických funkcí").

Záležitost zůstává malá: vypočítat hodnotu samotné funkce - samotné číslo, které je napsáno v odpovědi. Zde přichází na pomoc základní trigonometrická identita.

Základní trigonometrická identita. Pro jakýkoli úhel α platí tvrzení:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Tento vzorec dává do vztahu sinus a kosinus jednoho úhlu. Nyní, když známe sinus, můžeme snadno najít kosinus - a naopak. Stačí vzít druhou odmocninu:

Všimněte si znaku „±“ před kořeny. Faktem je, že ze základní trigonometrické identity není jasné, jaký byl původní sinus a kosinus: kladný nebo záporný. Ostatně kvadratura je sudá funkce, která „spálí“ všechny mínusy (pokud nějaké jsou).

To je důvod, proč ve všech úlohách B11, které se nacházejí v USE v matematice, musí být dodatečné podmínky, které pomáhají zbavit se nejistoty se znameními. Obvykle se jedná o označení čtvrtiny souřadnic, podle které lze znamení určit.

Pozorný čtenář se jistě zeptá: "A co tangens a kotangens?" Je nemožné přímo vypočítat tyto funkce z výše uvedených vzorců. Existují však důležité důsledky ze základní trigonometrické identity, které již tečny a kotangens obsahují. A to:

Důležitý důsledek: pro jakýkoli úhel α lze základní trigonometrickou identitu přepsat takto:

Tyto rovnice lze snadno odvodit ze základní identity - stačí obě strany vydělit cos 2 α (pro získání tečny) nebo sin 2 α (pro kotangens).

Podívejme se na to vše na konkrétních příkladech. Níže jsou uvedeny skutečné problémy B11, které jsou převzaty ze zkoušky POUŽÍVEJTE možnosti v matematice 2012.

Známe kosinus, ale neznáme sinus. Hlavní goniometrická identita (ve své "čisté" podobě) spojuje právě tyto funkce, proto s ní budeme pracovat. My máme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

K vyřešení problému zbývá najít znaménko sinusu. Protože úhel α ∈ (π /2; π ), pak ve stupňové míře se zapisuje takto: α ∈ (90°; 180°).

Úhel α tedy leží ve čtvrtině souřadnic II - všechny sinusy jsou kladné. Proto sin α = 0,1.

Takže známe sinus, ale musíme najít kosinus. Obě tyto funkce jsou v základní goniometrické identitě. Nahradíme:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Zbývá se vypořádat se znakem před zlomkem. Co si vybrat: plus nebo mínus? Podle podmínky náleží úhel α intervalu (π 3π /2). Převedeme úhly z radiánové míry na míru – dostaneme: α ∈ (180°; 270°).

Je zřejmé, že toto je čtvrt souřadnice III, kde jsou všechny kosinusy záporné. Proto cosα = −0,5.

Úkol. Najděte tg α, pokud znáte následující:

Tangenta a kosinus jsou spojeny rovnicí následující ze základní goniometrické identity:

Dostaneme: tg α = ±3. Znaménko tečny je určeno úhlem α. Je známo, že α ∈ (3π /2; 2π ). Převedeme úhly z radiánové míry na míru stupňů - dostaneme α ∈ (270°; 360°).

Je zřejmé, že toto je čtvrt souřadnic IV, kde jsou všechny tečny záporné. Proto tgα = −3.

Úkol. Najděte cos α, pokud znáte následující:

Opět je sinus známý a kosinus neznámý. Zapíšeme hlavní trigonometrickou identitu:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Znaménko je určeno úhlem. Máme: α ∈ (3π /2; 2π ). Převedeme úhly ze stupňů na radiány: α ∈ (270°; 360°) je čtvrt souřadnic IV, kosiny jsou zde kladné. Proto cos α = 0,6.

Úkol. Najděte hřích α, pokud znáte následující:

Napišme vzorec, který vyplývá ze základní goniometrické identity a přímo spojuje sinus a kotangens:

Odtud dostáváme, že sin 2 α = 1/25, tzn. sin α = ±1/5 = ±0,2. Je známo, že úhel α ∈ (0; π /2). Ve stupních se to zapisuje takto: α ∈ (0°; 90°) - I souřadnicová čtvrtina.

Úhel je tedy ve čtvrtině souřadnic I - všechny goniometrické funkce jsou tam kladné, proto sin α \u003d 0,2.

Referenční data pro tečnu (tg x) a kotangensu (ctg x). Geometrické definice, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabulka tečen a kotangens, derivace, integrály, rozšíření řad. Vyjádření prostřednictvím komplexních proměnných. Spojení s hyperbolickými funkcemi.

Geometrická definice

|BD| - délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.

Tangenta ( tgα) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky protějšího ramene |BC| na délku sousedního ramene |AB| .

Kotangens ( ctgα) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku protější nohy |BC| .

Tečna

Kde n- Celý.

V západní literatuře je tečna označena takto:
.
;
;
.

Graf funkce tečny, y = tg x

Kotangens

Kde n- Celý.

V západní literatuře se kotangens označuje takto:
.
Byl také přijat následující zápis:
;
;
.

Graf funkce kotangens, y = ctg x

Vlastnosti tečny a kotangens

Periodicita

Funkce y= tg x a y= ctg x jsou periodické s periodou π.

Parita

Funkce tangens a kotangens jsou liché.

Definiční a hodnotové domény, vzestupné, sestupné

Funkce tangens a kotangens jsou spojité na svém definičním oboru (viz důkaz spojitosti). Hlavní vlastnosti tečny a kotangens jsou uvedeny v tabulce ( n- celé číslo).

	y= tg x	y= ctg x
Rozsah a kontinuita
Rozsah hodnot	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Vzestupně		-
Klesající	-
Extrémy	-	-
Nuly, y= 0
Průsečíky s osou y, x = 0	y= 0	-

Vzorce

Výrazy v pojmech sinus a kosinus

; ;
; ;
;

Vzorce pro tangens a kotangens součtu a rozdílu

Zbytek vzorců lze snadno získat například

Součin tečen

Vzorec pro součet a rozdíl tečen

Tato tabulka ukazuje hodnoty tečen a kotangens pro některé hodnoty argumentu.

Výrazy z hlediska komplexních čísel

Výrazy z hlediska hyperbolických funkcí

;
;

Deriváty

; .

.
Derivace n-tého řádu vzhledem k proměnné x funkce:
.
Odvození vzorců pro tečnu > > > ; pro kotangens >> >

Integrály

Rozšíření do sérií

Chcete-li získat rozšíření tečny v mocninách x, musíte vzít několik členů rozšíření v mocninné řadě pro funkce hřích x a cos x a rozdělit tyto polynomy do sebe navzájem , . Výsledkem jsou následující vzorce.

V .

v .
kde B n- Bernoulliho čísla. Jsou určeny buď ze vztahu opakování:
;
;
kde .
Nebo podle Laplaceova vzorce:

Inverzní funkce

Inverzní funkce k tangens a kotangens jsou arkustangens a arkustangens, v tomto pořadí.

Arctangens, arctg

, kde n- Celý.

Arc tangens, arcctg

, kde n- Celý.

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semenďajev, Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol, Lan, 2009.
G. Korn, Příručka matematiky pro výzkumníky a inženýry, 2012.

Jsou uvedeny poměry mezi hlavními goniometrickými funkcemi - sinus, kosinus, tangens a kotangens. trigonometrické vzorce. A protože mezi goniometrickými funkcemi existuje poměrně mnoho souvislostí, vysvětluje to také hojnost goniometrických vzorců. Některé vzorce spojují goniometrické funkce stejného úhlu, jiné - funkce vícenásobného úhlu, jiné - umožňují snížit stupeň, čtvrtý - vyjádřit všechny funkce prostřednictvím tangens polovičního úhlu atd.

V tomto článku uvádíme v pořadí všechny základní goniometrické vzorce, které stačí k vyřešení naprosté většiny trigonometrických úloh. Pro snadnější zapamatování a použití je seskupíme podle účelu a zaneseme do tabulek.

Navigace na stránce.

Základní goniometrické identity

Základní goniometrické identity nastavte vztah mezi sinusem, kosinusem, tečnou a kotangens jednoho úhlu. Vyplývají z definice sinus, kosinus, tangens a kotangens, stejně jako z pojmu jednotkové kružnice. Umožňují vyjádřit jednu goniometrickou funkci prostřednictvím jakékoli jiné.

Podrobný popis těchto trigonometrických vzorců, jejich odvození a příklady aplikací naleznete v článku.

Odlévat vzorce

Odlévat vzorce vyplývají z vlastností sinus, kosinus, tangens a kotangens, to znamená, že odrážejí vlastnost periodicity goniometrických funkcí, vlastnost symetrie a také vlastnost posunu o daný úhel. Tyto trigonometrické vzorce vám umožňují přejít od práce s libovolnými úhly k práci s úhly v rozsahu od nuly do 90 stupňů.

Zdůvodnění těchto vzorců, mnemotechnické pravidlo pro jejich zapamatování a příklady jejich použití lze prostudovat v článku.

Sčítací vzorce

Goniometrické sčítací vzorce ukázat, jak jsou goniometrické funkce součtu nebo rozdílu dvou úhlů vyjádřeny pomocí goniometrických funkcí těchto úhlů. Tyto vzorce slouží jako základ pro odvození následujících goniometrických vzorců.

Vzorce pro dvojnásobek, trojnásobek atd. roh

Vzorce pro dvojnásobek, trojnásobek atd. úhel (nazývají se také víceúhlové vzorce) ukazují, jak goniometrické funkce dvojité, trojité atd. úhly () jsou vyjádřeny pomocí goniometrických funkcí jednoho úhlu. Jejich odvození je založeno na adičních vzorcích.

Podrobnější informace jsou shromážděny ve vzorcích článku pro dvojité, trojité atd. úhel .

Vzorce polovičního úhlu

Vzorce polovičního úhlu ukázat, jak jsou goniometrické funkce polovičního úhlu vyjádřeny v podmínkách kosinu celočíselného úhlu. Tyto trigonometrické vzorce vycházejí ze vzorců pro dvojitý úhel.

Jejich závěr a příklady aplikace najdete v článku.

Redukční vzorce

Goniometrické vzorce pro klesající stupně navržený tak, aby usnadnil přechod z přirozené stupně goniometrické funkce na sinus a kosinus na první stupeň, ale více úhlů. Jinými slovy, umožňují snížit mocniny goniometrických funkcí na první.

Vzorce pro součet a rozdíl goniometrických funkcí

hlavní cíl součtové a diferenční vzorce pro goniometrické funkce spočívá v přechodu na součin funkcí, což je velmi užitečné při zjednodušování goniometrických výrazů. Tyto vzorce jsou také široce používány při řešení goniometrické rovnice, protože umožňují faktorizovat součet a rozdíl sinů a kosinů.

Vzorce pro součin sinus, kosinus a sinus po kosinu

Přechod od součinu goniometrických funkcí k součtu nebo rozdílu se provádí pomocí vzorců pro součin sinus, kosinus a sinus po kosinu.

Bašmakov M.I. Algebra a počátek analýzy: Proc. pro 10-11 buněk. prům. škola - 3. vyd. - M.: Osvícení, 1993. - 351 s.: nemoc. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra a začátek rozboru: Proc. pro 10-11 buněk. obecné vzdělání instituce / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a další; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osvěta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.

Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (příručka pro uchazeče o technické školy): Proc. příspěvek.- M.; Vyšší škola, 1984.-351 s., ill.

Copyright od šikovných studentů

Všechna práva vyhrazena.
Chráněno autorským zákonem. Žádná část www.site, včetně interních materiálů a vnějšího designu, nesmí být reprodukována v jakékoli formě nebo používána bez předchozího písemného souhlasu držitele autorských práv.

Referenční údaje o goniometrických funkcích sinus (sin x) a kosinus (cos x). Geometrické definice, vlastnosti, grafy, vzorce. Tabulka sinů a kosinů, derivace, integrály, rozšíření řad, sečna, kosekans. Vyjádření prostřednictvím komplexních proměnných. Spojení s hyperbolickými funkcemi.

Geometrická definice sinus a kosinus

|BD|- délka oblouku kružnice se středem v bodě A.
α je úhel vyjádřený v radiánech.

Definice
Sinus je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky protějšího ramene |BC| na délku přepony |AC|.

kosinus (cos α) je goniometrická funkce závislá na úhlu α mezi přeponou a ramenem pravoúhlého trojúhelníku, který se rovná poměru délky sousedního ramene |AB| na délku přepony |AC|.

Přijatá označení

;
;
.

;
;
.

Graf funkce sinus, y = sin x

Graf funkce kosinus, y = cos x

Vlastnosti sinu a kosinu

Periodicita

Funkce y= hřích x a y= cos x periodický s tečkou 2 pí.

Parita

Funkce sinus je lichá. Funkce kosinus je sudá.

Oblast definice a hodnot, extrémy, nárůst, pokles

Funkce sinus a kosinus jsou spojité na svém definičním oboru, tedy pro všechna x (viz důkaz spojitosti). Jejich hlavní vlastnosti jsou uvedeny v tabulce (n - celé číslo).

	y= hřích x	y= cos x
Rozsah a kontinuita	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Rozsah hodnot	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Vzestupně
Klesající
Maximum, y= 1
Minimum, y = - 1
Nuly, y= 0
Průsečíky s osou y, x = 0	y= 0	y= 1

Základní vzorce

Součet druhých mocnin sinus a kosinus

Sinusové a kosinové vzorce pro součet a rozdíl

;
;

Vzorce pro součin sinů a kosinus

Součtové a rozdílové vzorce

Vyjádření sinu přes kosinus

;
;
;
.

Vyjádření kosinu přes sinus

;
;
;
.

Vyjádření z hlediska tečny

; .

Pro , máme:
; .

V :
; .

Tabulka sinů a kosinů, tečen a kotangens

Tato tabulka ukazuje hodnoty sinů a kosinus pro některé hodnoty argumentu.

Vyjádření prostřednictvím komplexních proměnných

;

Eulerův vzorec

{ -∞ < x < +∞ }

Sekant, kosekant

Inverzní funkce

Inverzní funkce k sinus a kosinus jsou arcsinus a arkkosinus.

Arcsine, arcsin

Arccosine, arccos

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semenďajev, Příručka matematiky pro inženýry a studenty vysokých škol, Lan, 2009.

Na samém začátku tohoto článku jsme probrali pojem goniometrické funkce. Hlavním účelem jejich účelu je studium základů trigonometrie a studium periodických procesů. A nekreslili jsme trigonometrický kruh nadarmo, protože ve většině případů jsou goniometrické funkce definovány jako poměr stran trojúhelníku nebo jeho určitých částí v jednotkové kružnici. Zmínil jsem také nepopiratelně velký význam trigonometrie v moderní život. Věda však nestojí, v důsledku toho můžeme výrazně rozšířit rozsah trigonometrie a přenést její ustanovení na reálná a někdy i na komplexní čísla.

Trigonometrické vzorce existuje několik typů. Zvažme je v pořadí.

1. Vztahy goniometrických funkcí stejného úhlu

Zde se dostáváme k úvahám o takovém konceptu jako je základní trigonometrické identity.

Trigonometrická identita je rovnost, která se skládá z goniometrických vztahů a která platí pro všechny hodnoty úhlů, které jsou v ní zahrnuty.

Zvažte nejdůležitější trigonometrické identity a jejich důkazy:

První identita vyplývá ze samotné definice tečny.

Pojďme vzít pravoúhlý trojuhelník, ve kterém je ve vrcholu A ostrý úhel x.



K prokázání identit je nutné použít Pythagorovu větu:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Nyní vydělíme (AB) 2 obě části rovnosti a vzpomeneme si na definice sin a cos úhlu, dostaneme druhou identitu:

(BC)2/(AB)2 + (AC)2/(AB)2 = 1

hřích x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

hřích 2 x + cos 2 x = 1

K prokázání třetí a čtvrté identity používáme předchozí důkaz.

Abychom to udělali, vydělíme obě části druhé identity cos 2 x:

hřích 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x

hřích 2x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Na základě první identity tg x \u003d sin x / cos x získáme třetí:

1 + tg2x = 1/cos2x

Nyní vydělíme druhou identitu hříchem 2 x:

hřích 2 x/ hřích 2 x + cos 2 x/ hřích 2 x = 1/ hřích 2 x

1+ cos 2 x/ hřích 2 x = 1/ hřích 2 x

cos 2 x/ sin 2 x není nic jiného než 1/tg 2 x, takže dostáváme čtvrtou identitu:

1 + 1/tg2x = 1/sin2x

Je čas si vzpomenout na větu o součtu vnitřních úhlů trojúhelníku, která říká, že součet úhlů trojúhelníku \u003d 180 0. Ukazuje se, že ve vrcholu B trojúhelníku je úhel, jehož hodnota je 180 0 - 90 0 - x \u003d 90 0 - x.



Znovu si připomeňme definice hříchu a cos a dostaneme pátou a šestou identitu:

hřích x = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 - x) = sin x

Nyní udělejme následující:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 - x) = cos x

Jak vidíte, vše je zde elementární.

Existují i ​​jiné identity, které se používají při řešení matematických identit, uvedu je jednoduše ve formě informace o pozadí, protože všechny vycházejí z výše uvedeného.



2. Vzájemné vyjádření goniometrických funkcí

   (volba znaménka před kořenem je určena tím, ve které čtvrtině kruhu se roh nachází?)







3. Níže jsou uvedeny vzorce pro sčítání a odečítání úhlů:



4. Vzorce dvojitého, trojitého a polovičního úhlu.

   Podotýkám, že všechny vyplývají z předchozích vzorců.

hřích 2x \u003d 2 hřích x * cos x

cos 2x \u003d cos 2 x -sin 2 x \u003d 1-2sin 2 x \u003d 2cos 2 x -1

tg2x = 2tgx/(1 - tg2x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x \u003d 3sin x - 4sin 3x

cos3x \u003d 4cos 3x - 3cos x

tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)

сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Vzorce pro převod goniometrických výrazů: