Primitivní. krásné slovo.) Pro začátek trochu ruštiny. Tak se to slovo vyslovuje, ne "prapůvodní" jak se může zdát. Primitivní derivace je základním konceptem celého integrálního počtu. Na tomto klíčovém pojmu jsou postaveny jakékoli integrály - neurčitý, určitý (seznámíte se s nimi již v tomto semestru), dále dvojný, trojný, křivočarý, plošný (a to jsou hlavní znaky druhého ročníku). Zvládnout to dává naprostý smysl. Jít.)

Než se seznámíme s pojmem primitivní, připomeňme si v nejobecnějších pojmech ty nejčastější derivát. Aniž bychom se pouštěli do nudné teorie limit, přírůstků argumentu a dalších věcí, můžeme říci, že nalezení derivace (resp. diferenciace) je pouze matematická operace funkce. A to je vše. Je převzata jakákoli funkce (např. f(x) = x2) A podle určitých pravidel promění v nová vlastnost. A tohle je ten pravý nová vlastnost a zavolal derivát.

V našem případě před diferenciací existovala funkce f(x) = x2, a po diferenciaci se stalo již jinou funkci f'(x) = 2x.

Derivát– protože naše nová funkce f'(x) = 2x Stalo z funkce f(x) = x2. V důsledku operace diferenciace. A navíc je to z něj, a ne z nějaké jiné funkce ( x 3, Například).

Zhruba řečeno, f(x) = x2- to je máma, f'(x) = 2x- její milovaná dcera.) To je pochopitelné. Pokračuj.

Matematici jsou neklidní lidé. Na každou akci se snaží najít reakci. :) Existuje sčítání - existuje i odčítání. Existuje násobení a existuje dělení. Povýšení na sílu znamená vytěžení kořene. Sinus je arkussinus. Je tam úplně to samé diferenciace To znamená, že existuje... integrace.)

A teď si položme takový zajímavý problém. Máme například takovou jednoduchou funkci f(x) = 1. A musíme si odpovědět na tuto otázku:

Derivace JAKÉ funkce nám dává funkciF(X) = 1?

Jinými slovy, vidět dceru, pomocí analýzy DNA zjistit, kdo je její matka. :) Tak z čeho originál funkce (říkejme jí F(x)) naše derivát funkce f(x) = 1? Nebo v matematické podobě, proč funkce F(x) je splněna rovnost:

F'(x) = f(x) = 1?

Elementární příklad. Zkusil jsem.) Prostě zvolíme funkci F (x), aby rovnost fungovala. :) No a jak jsi to sebral? Ano jistě! F(x) = x. Protože:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Samozřejmě, našel mámu F(x) = x musíš tomu nějak říkat, ano.) Seznamte se se mnou!

Primitivní funkce pro funkciF(X) je taková funkceF(X), jehož derivace se rovnáF(X), tj. pro které je rovnostF’(X) = F(X).

To je vše. Už žádné vědecké triky. V přísné definici je přidána další fráze "mezi x". Do těchto jemností se ale zatím nebudeme pouštět, protože naším primárním úkolem je naučit se tyto primitivy najít.

V našem případě se jen ukazuje, že funkce F(x) = x je primitivní pro funkci f(x) = 1.

Proč? Protože F'(x) = f(x) = 1. Derivace x je jednota. Žádné námitky.)

Pojem „prapůvodní“ ve filištínském způsobu znamená „předek“, „rodič“, „předek“. Hned vzpomínáme na nejmilejší a milovaného člověka.) A samotné hledání primitivního prvku je obnovením původní funkce podle jeho známého derivátu. Jinými slovy, tato akce inverzní k diferenciaci. A to je vše! Tento fascinující proces sám o sobě se také nazývá docela vědecky - integrace. Ale asi integrály- Později. Trpělivost, přátelé!

Pamatovat si:

Integrace je matematická operace s funkcí (stejně jako derivace).

Integrace je opakem diferenciace.

Primitivní prvek je výsledkem integrace.

Nyní si úkol zkomplikujeme. Nyní najdeme primitivní prvek funkce f(x) = x. To znamená, pojďme najít takovou funkci F(x) , do jeho derivát by se rovnalo x:

F'(x) = x

Kdo se kamarádí s deriváty, možná ho napadne něco takového:

(x 2)' = 2x.

No, respekt a respekt k těm, kteří si pamatují tabulku derivátů!) Je to tak. Ale je tu jeden problém. Naše původní funkce f(x) = x, A (x2)' = 2 X. Dva X. A po diferenciaci bychom měli dostat jen x. Není v pořádku. Ale…

Jsme vědecký národ. Dostali jsme vysvědčení.) A ze školy víme, že obě části jakékoli rovnosti lze vynásobit a vydělit stejným číslem (samozřejmě kromě nuly)! Tak uspořádány. Využijme této příležitosti.)

Koneckonců chceme, aby čisté X zůstalo napravo, že? A dvojka interferuje ... Takže vezmeme poměr pro derivaci (x 2) '= 2x a vydělíme obě jeho části pro tyto dva:

Takže to vyjasňuje pár věcí. Pokračuj. Víme, že jakákoliv konstanta může být vyjmi to ze znaménka derivace. Takhle:

Všechny vzorce v matematice fungují jak zleva doprava, tak i naopak - zprava doleva. To znamená, že se stejným úspěchem může být jakákoli konstanta vložte pod odvozené znaménko:

V našem případě skryjeme dvojku ve jmenovateli (nebo, který je stejný, koeficient 1/2) pod znaménkem derivace:

A teď pozorně Pojďme se podívat na náš záznam. co vidíme? Vidíme rovnost, která říká, že derivace z něco(Tento něco- v závorkách) se rovná x.

Výsledná rovnost pouze znamená, že požadovaná primitivní funkce pro funkci f(x) = x slouží funkci F(x) = x2/2 . Ten, který je v závorce pod tahem. Přímo podle významu primitivní funkce.) Dobře, zkontrolujeme výsledek. Pojďme najít derivát:

Skvělý! Má původní funkci f(x) = x. Od toho, co tančili, se k tomu vraceli. To znamená, že náš primitivní prvek byl nalezen správně.)

A pokud f(x) = x2? Čemu se rovná jeho primitiv? Žádný problém! Vy i já víme (opět z pravidel rozlišování), že:

3x2 = (x3)'

A, to znamená,

Mám to? Nyní jsme se sami pro sebe nepostřehnutelně naučili počítat primitivní deriváty pro všechny mocninná funkce f(x)=x n. V mysli.) Vezmeme počáteční ukazatel n, zvětšíme o jednu a jako kompenzaci vydělíme celou konstrukci číslem n+1:

Výsledný vzorec je mimochodem platný nejen pro přirozený ukazatel stupně n, ale i pro jakékoliv jiné - negativní, zlomkové. To usnadňuje nalezení primitivních derivátů od jednoduchých zlomky A kořeny.

Například:

Přirozeně, n ≠ -1 , jinak je jmenovatel vzorce nula a vzorec ztrácí smysl.) O tomto speciálním případě n=-1 trochu později.)

Co je to neurčitý integrál? Tabulka integrálů.

Řekněme, jaká je derivace funkce F(x) = x? No, jedna, jedna - slyším nespokojené odpovědi... Je to tak. Jednotka. Ale... Kvůli funkci G(x) = x+1 derivát bude také roven jedné.:

Také derivace bude rovna jedné pro funkci x+1234 a pro funkci x-10 a pro jakoukoli jinou funkci formuláře x+C , Kde S je jakákoli konstanta. Protože derivace jakékoli konstanty je rovna nule a ze sčítání / odečítání nuly není nikdo studený ani horký.)

Ukazuje se nejednoznačnost. Ukazuje se, že pro funkci f(x) = 1 slouží jako prototyp nejen funkce F(x) = x , ale také funkci F1 (x) = x+1234 a funkce F2 (x) = x-10 a tak dále!

Ano. To je pravda.) Pro všechny ( kontinuálně na intervalu) funkce neexistuje pouze jedna primitivní funkce, ale nekonečně mnoho - celá rodina! Ne jednu mámu nebo tátu, ale celý rodokmen, jo.)

Ale! Všichni naši primitivní příbuzní mají společnou jednu důležitou vlastnost. Proto jsou příbuzní.) Vlastnost je tak důležitá, že si na ni v procesu rozboru metod integrace nejednou vzpomeneme. A budeme na to dlouho vzpomínat.)

Tady to je, tato vlastnost:

Jakákoli dvě primitiva F 1 (X) AF 2 (X) ze stejné funkceF(X) se liší konstantou:

F 1 (X) - F 2 (X) = C.

Koho zajímá důkaz - nastudujte si literaturu nebo poznámky z přednášek.) Dobře, tak budiž, dokážu to. Naštěstí je zde důkaz elementární, v jednom kroku. Bereme rovnost

F 1 (X) - F 2 (X) = C

A Rozlišujme obě části. To znamená, že jsme jen hloupě dali tahy:

To je vše. Jak se říká, CTD. :)

Co tato vlastnost říká? A to jsou dva rozdílní primitivové ze stejné funkce f(x) se nemůže lišit nějaký výraz s x . Pouze přísně na konstantní! Jinými slovy, pokud máme nějaký graf jeden z průkopníků(ať je to F(x)), pak grafy všichni ostatní našich primitivních funkcí jsou konstruovány paralelním posunem grafu F(x) podél osy y.

Podívejme se, jak to vypadá na příkladu funkce f(x) = x. Všichni jeho primitivové, jak už víme, mají obecná forma F(x) = x2/2+C . Na obrázku to vypadá nekonečné množství parabol získané z "hlavní" paraboly y = x 2 /2 posunutím nahoru nebo dolů podél osy OY v závislosti na hodnotě konstanty S.

Pamatujte, že škola vykresluje funkci y=f(x)+a posun plánu y=f(x) jednotkami "a" podél osy y?) Zde je to stejné.)

A pozor: naše paraboly nikde nepřecházejte! Je to přirozené. Dvě různé funkce y 1 (x) a y 2 (x) si totiž nevyhnutelně budou odpovídat dva různé významy konstanty – Od 1 A Od 2.

Proto rovnice y 1 (x) = y 2 (x) nikdy nemá řešení:

C1 = C2

x ∊ ∅ , protože C1 ≠ C2

A nyní plynule přistupujeme k druhému základnímu konceptu integrálního počtu. Jak jsme právě zjistili, každá funkce f(x) má nekonečnou množinu primitivních funkcí F(x) + C, které se od sebe liší konstantou. Tato nejnekonečnější sada má také své zvláštní jméno.) No, prosím, lásko a přízeň!

Co je to neurčitý integrál?

Množina všech primitivních funkcí pro funkci F(X) je nazýván neurčitý integrál z funkceF(X).

To je celá definice.)

"Nejistý" - protože množina všech primitivních funkcí pro stejnou funkci nekonečně. Příliš mnoho možností.)

"Integrální" - s podrobným dekódováním tohoto brutálního slova se seznámíme v další velké části na určité integrály . Mezitím v hrubé podobě budeme něco považovat za integrální obecný, jeden, celý. A integrace Svaz, zobecnění, v tomto případě přechod od konkrétního (derivátu) k obecnému (antideriváty). Něco takového.

Neurčitý integrál se označuje takto:

Zní to stejně, jak se píše: integrál eff x de x. Nebo integrální z ef z x de x. No, máte nápad.)

Nyní se pojďme zabývat notací.

∫ - integrální ikona. Význam je stejný jako tah pro derivaci.)

d - ikonarozdíl. My se nebojíme! Proč je to tam potřeba - o něco nižší.

f(x) - integrand(přes "s").

f(x)dx - integrand. Nebo, zhruba řečeno, „vycpanost“ integrálu.

Podle významu neurčitého integrálu

Tady F(x)- ten samý primitivní pro funkci f(x) které jsme nějak se našli. Jak přesně to našli, není důležité. Například jsme to stanovili F(x) = x2/2 Pro f(x)=x.

"S" - libovolná konstanta. Nebo, vědecky, integrální konstanta. Nebo integrační konstanta. Všechno je jedno.)

Nyní se vraťme k našim úplně prvním primitivním příkladům. Pokud jde o neurčitý integrál, můžeme nyní bezpečně psát:

Co je integrální konstanta a proč je potřeba?

Otázka je velmi zajímavá. A velmi (VELMI!) důležité. Integrální konstanta z celé nekonečné množiny primitivních derivátů vymezuje tuto čáru, který prochází daným bodem.

Jaký je smysl. Z původní nekonečné množiny primitivních derivátů (tj. neurčitý integrál) je nutné vybrat křivku, která bude procházet daným bodem. S nějakým konkrétní souřadnice. S takovou úlohou se setkáváme vždy a všude při prvotním seznámení s integrály. Jak ve škole, tak na univerzitě.

Typický problém:

Z množiny všech primitivních funkcí funkce f=x vyberte tu, která prochází bodem (2;2).

Začneme myslet hlavou... Soubor všech primitivů - to znamená, že to musíte nejdřív integrovat naši původní funkci. Tedy x(x). Udělali jsme to trochu výš a dostali jsme následující odpověď:

A teď chápeme, co přesně jsme dostali. Dostali jsme nejen jednu funkci, ale celá rodina funkcí. Kteří? Vida y=x2/2+C . V závislosti na hodnotě konstanty C. A teď musíme tuto hodnotu konstanty "chytit".) No, chytíme to?)

Náš rybářský prut - rodina křivek (paraboly) y=x2/2+C.

Konstanty - to jsou ryby. Mnoho a mnoho. Ale každý má svůj háček a návnadu.)

A jaká je návnada? Že jo! Náš bod je (-2;2).

Dosadíme tedy souřadnice našeho bodu v obecné formě primitivních! Dostaneme:

y(2) = 2

Odtud je snadné jej najít C=0.

Co znamená siyo? To znamená, že z celé nekonečné množiny parabol tvaruy=x2/2+Cpouze parabola s konstantou C=0 sluší nám! A to:y=x2/2. A jen ona. Pouze tato parabola projde bodem, který potřebujeme (-2; 2). A dovnitřvšechny ostatní paraboly z naší rodiny procházejí tento bod už nebude. Přes některé další body roviny – ano, ale přes bod (2; 2) – už ne. Mám to?

Pro názornost jsou zde pro vás dva obrázky - celá rodina parabol (tj. neurčitý integrál) a některé betonová parabola souhlasí s konkrétní hodnota konstanty a procházející konkrétní bod:

Podívejte se, jak důležité je uvažovat o konstantě S při integraci! Nezanedbávejte tedy toto písmeno „C“ a nezapomeňte připsat ke konečné odpovědi.

A teď pojďme zjistit, proč symbol visí všude uvnitř integrálů dx . Studenti na to často zapomínají ... A to je mimochodem také chyba! A pěkně drsný. Jde o to, že integrace je opakem diferenciace. A co přesně je výsledek diferenciace? Derivát? Pravda, ale ne ve skutečnosti. Rozdíl!

V našem případě pro funkci f(x) diferenciál jeho primitivního derivátu F(x), vůle:

Kdo nerozumí tomuto řetězci - naléhavě zopakujte definici a význam diferenciálu a jak přesně je odhalen! Jinak v integrálech nemilosrdně zpomalíte ....

Dovolte mi, abych vám připomněl, v té nejhrubší šosácké formě, že diferenciál jakékoli funkce f (x) je prostě součin f'(x)dx. A to je vše! Vezměte derivaci a vynásobte ji k diferenciálu argumentu(tj. dx). To znamená, že jakýkoli rozdíl je ve skutečnosti redukován na výpočet obvyklého derivát.

Proto, přísně vzato, integrál je „převzat“ nikoli z funkcí f(x), jak se běžně věří, a rozdíl f(x)dx! Ale ve zjednodušené verzi je zvykem říkat to "integrál je převzat z funkce". Nebo: "Integruje funkci f(X)". To je to samé. A my řekneme to samé. Ale o ikoně dx Nezapomínejme však! :)

A teď vám řeknu, jak na to při nahrávání nezapomenout. Nejprve si představte, že počítáte obyčejnou derivaci vzhledem k x. Jak to obvykle píšeš?

Asi takto: f'(x), y'(x), y'x. Nebo pevněji, prostřednictvím poměru diferenciálů: dy/dx. Všechny tyto záznamy nám ukazují, že derivace je vzata přesně podle x. A ne pomocí "y", "te" nebo nějaké jiné proměnné.)

Totéž platí pro integrály. Záznam ∫ f(x)dx my také jako kdyby ukazuje, že integrace je provedena přesně podle proměnné x. To vše je samozřejmě velmi zjednodušené a hrubé, ale doufám, že je to jasné. A šance zapomenout atribut všudypřítomný dx prudce klesnout.)

Takže, co je stejný neurčitý integrál - přišel na to. Skvělé.) Nyní by bylo hezké naučit se tyto velmi neurčité integrály vypočítat. Nebo jednoduše řečeno „vzít“. :) A tady na studenty čekají dvě zprávy - dobré a ne tak dobré. Prozatím začněme tím dobrým.)

Zprávy jsou dobré. Pro integrály, stejně jako pro derivace, existuje tabulka. A všechny ty integrály, které cestou potkáme, i ty nejstrašnější a nejfantastičtější, my podle určitých pravidel nějak zredukujeme na tyto velmi tabulkové.)

Tak tady je integrální stůl!

Zde je taková krásná tabulka integrálů z nejoblíbenějších funkcí. Zvláštní pozornost doporučuji věnovat skupině vzorců 1-2 (konstantní a mocninná funkce). Toto jsou nejběžnější vzorce v integrálech!

Třetí skupina vzorců (trigonometrie), jak asi tušíte, se získá jednoduchým převrácením odpovídajících vzorců pro derivace.

Například:

Se čtvrtou skupinou vzorců (exponenciální funkce) - vše je podobné.

A zde jsou pro nás poslední čtyři skupiny vzorců (5-8). Nový. Odkud se vzaly a za jaké zásluhy se tyto exotické funkce najednou dostaly do tabulky základních integrálů? Proč se tyto skupiny funkcí tolik odlišují od ostatních funkcí?

Stalo se tak historicky v procesu vývoje integrační metody . Když se naučíme brát nejrůznější integrály, pochopíte, že integrály funkcí uvedených v tabulce jsou velmi, velmi běžné. Tak často, že je matematici klasifikovali jako tabulkové.) Je přes ně vyjádřeno mnoho dalších integrálů ze složitějších konstrukcí.

Pro zajímavost si můžete vzít jeden z těchto hrozných vzorců a rozlišovat. :) Třeba nejbrutálnější 7. formule.

Vše je v pořádku. Matematici neklamali. :)

Je žádoucí znát tabulku integrálů, stejně jako tabulku derivací, zpaměti. V každém případě první čtyři skupiny vzorců. Není to tak těžké, jak se na první pohled zdá. Zapamatujte si poslední čtyři skupiny (se zlomky a kořeny) sbohem Nestojí to za to. Každopádně zpočátku budete zmatení, kam napsat logaritmus, kde je arkus tangens, kde je arkus sinus, kde je 1/a, kde je 1/2a ... Existuje pouze jedna cesta ven - vyřešit více příklady. Pak si stůl postupně zapamatuje sám a pochybnosti přestanou okusovat.)

Zvláště zvídavé osoby se při pozorném pohledu na tabulku mohou ptát: kde jsou v tabulce integrály ostatních elementárních "školních" funkcí - tečna, logaritmus, "oblouky"? Řekněme, proč je v tabulce integrál sinusu, ale není tam, řekněme, integrál tečny tg x? Nebo neexistuje integrál z logaritmu ln x? Z arcsinusu arcsin x? Proč jsou horší? Ale je plný některých "levých" funkcí - s odmocninami, zlomky, druhé mocniny ...

Odpovědět. Nic horšího.) Pouze výše uvedené integrály (z tečny, logaritmu, arcsinus atd.) nejsou tabulkové . A v praxi se vyskytují mnohem méně často než ty, které jsou uvedeny v tabulce. Takže vědět srdcem, kterému se rovnají, není vůbec nutné. Jen dost vědět jak se mají vypočítané.)

Co, někdo stále nesnesitelný? Budiž, speciálně pro vás!

No a jak se budeš učit? :) Ty nebudeš? A ne.) Ale nebojte, všechny takové integrály určitě najdeme. v příslušných lekcích. :)

Nyní přejdeme k vlastnostem neurčitého integrálu. Ano, nedá se nic dělat! Je představen nový koncept a některé jeho vlastnosti jsou okamžitě zváženy.

Vlastnosti neurčitého integrálu.

Nyní ne tak dobré zprávy.

Na rozdíl od diferenciace, obecná standardní integrační pravidla, spravedlivý pro všechny příležitosti, v matematice neexistuje. To je fantastické!

To například všichni moc dobře víte (doufám!). žádný práce žádný dvě funkce f(x) g(x) se rozlišují takto:

(f(x) g(x))’ = f’(x) g(x) + f(x) g’(x).

Žádný kvocient se rozlišuje takto:

A každá komplexní funkce, bez ohledu na to, jak může být zkroucená, se rozlišuje takto:

A bez ohledu na to, jaké funkce se skrývají pod písmeny f a g, obecná pravidla budou stále fungovat a derivace, tak či onak, se najde.

Ale s integrály už takové číslo nebude fungovat: pro součin, kvocient (zlomek) a také komplexní funkci obecných integračních vzorců neexistuje! Neexistují žádná standardní pravidla! Spíše jsou. Marně jsem urážel matematiku.) Ale za prvé je jich mnohem méně než hlavní pravidla pro odlišení. A za druhé, většina integračních metod, o kterých budeme hovořit v následujících lekcích, je velmi, velmi specifická. A platí pouze pro určitou, velmi omezenou třídu funkcí. Řekněme pro zlomkové racionální funkce. Nebo některé další.

A některé integrály, ačkoliv v přírodě existují, se obecně nijak nevyjadřují prostřednictvím elementárních „školních“ funkcí! Ano, ano, a takových integrálů je spousta! :)

Proto je integrace mnohem časově náročnější a pracnější než diferenciace. Ale tohle má svou chuť. Tato aktivita je kreativní a velmi vzrušující.) A pokud dobře ovládáte tabulku integrálů a ovládáte alespoň dvě základní techniky, o kterých se budeme bavit později (a), pak se vám integrace bude opravdu líbit. :)

A nyní se pojďme seznámit vlastně s vlastnostmi neurčitého integrálu. Nejsou nic. Zde jsou.

První dvě vlastnosti jsou zcela analogické stejným vlastnostem pro deriváty a nazývají se vlastnosti linearity neurčitého integrálu . Vše je zde jednoduché a logické: integrál součtu/rozdílu se rovná součtu/rozdílu integrálů a ze znaménka integrálu lze vyjmout konstantní faktor.

Ale následující tři vlastnosti jsou pro nás zásadně nové. Pojďme je analyzovat podrobněji. Znějí v ruštině následovně.

Třetí vlastnost

Derivace integrálu se rovná integrandu

Vše je jednoduché, jako v pohádce. Pokud integrujete funkci a pak najdete derivaci výsledku zpět, pak ... dostanete původní integrand. :) Tuto vlastnost lze vždy (a měla by) použít ke kontrole konečného výsledku integrace. Vypočítali jsme integrál - rozlišujte odpověď! Máme integrand - OK. Nedostali to, což znamená, že se někde popletli. Hledejte chybu.)

Samozřejmě v odpovědi lze získat tak brutální a těžkopádné funkce, že se zdráhá je zpětně rozlišovat, že ano. Ale je lepší, pokud je to možné, zkusit se zkontrolovat. Alespoň v těch příkladech, kde je to snadné.)

Čtvrtá nemovitost

Diferenciál integrálu je roven integrandu .

Není tu nic zvláštního. Podstata je stejná, jen se na konci objeví dx. Podle předchozí vlastnosti a pravidel pro rozšíření diferenciálu.

Pátá nemovitost

Integrál diferenciálu nějaké funkce je roven součtu této funkce a libovolné konstanty .

Také velmi jednoduchá vlastnost. Budeme ho také pravidelně používat v procesu řešení integrálů. Zvláště - v a.

Tady jsou tyto prospěšné vlastnosti. Nebudu se zde nudit jejich přísnými důkazy. Doporučuji těm, kteří to chtějí udělat sami. Přímo podle významu derivace a diferenciálu. Dokážu jen poslední, pátou vlastnost, protože je méně patrná.

Takže máme prohlášení:

Vyjmeme „náplň“ našeho integrálu a otevřeme jej podle definice diferenciálu:

Pro každý případ připomínám, že podle našeho zápisu derivace a primitivní funkce F’(X) = F(X) .

Nyní vložíme náš výsledek zpět do integrálu:

Přijato přesně definice neurčitého integrálu (ať mi ruský jazyk odpustí)! :)

To je vše.)

Studna. Toto je náš první úvod tajemný svět Integrály považuji za platné. Dnes navrhuji zaokrouhlit. Už jsme dostatečně vyzbrojeni, abychom mohli pokračovat v průzkumu. Když ne kulometem, tak alespoň vodní pistolí se základními vlastnostmi a stolem. :) V další lekci nás již čekají nejjednodušší neškodné příklady integrálů pro přímou aplikaci tabulky a zapsaných vlastností.

Uvidíme se!

Existují tři základní pravidla pro hledání primitivních funkcí. Jsou velmi podobná odpovídajícím pravidlům diferenciace.

Pravidlo 1

Jestliže F je primitivní prvek pro nějakou funkci f a G je primitivní prvek pro nějakou funkci g, pak F + G bude primitivní prvek pro f + g.

Podle definice primitivní funkce F' = f. G' = g. A protože jsou tyto podmínky splněny, pak podle pravidla pro výpočet derivace pro součet funkcí budeme mít:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Pravidlo 2

Je-li F primitivní funkce pro nějakou funkci, f a k je nějaká konstanta. Potom k*F je primitivní funkce pro funkci k*f. Toto pravidlo vyplývá z pravidla pro výpočet derivace komplexní funkce.

Máme: (k*F)' = k*F' = k*f.

Pravidlo 3

Jestliže F(x) je nějaká primitivní derivace f(x), kab jsou nějaké konstanty a k je nenulová, pak (1/k)*F*(k*x+b) bude primitivní f (k*x+b).

Toto pravidlo vyplývá z pravidla pro výpočet derivace komplexní funkce:

((1/k)*F*(k*x+b))' = (1/k)*F'(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Podívejme se na několik příkladů, jak tato pravidla platí:

Příklad 1. Najděte obecný tvar primitivních funkcí pro funkci f(x) = x^3 +1/x^2. Pro funkci x^3 bude jednou z primitivních funkcí funkce (x^4)/4 a pro funkci 1/x^2 jednou z primitivních funkcí bude funkce -1/x. Pomocí prvního pravidla máme:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Příklad 2. Pojďme najít obecný tvar primitivních funkcí pro funkci f(x) = 5*cos(x). Pro funkci cos(x) bude jednou z primitivních funkcí funkce sin(x). Pokud nyní použijeme druhé pravidlo, budeme mít:

F(x) = 5*sin(x).

Příklad 3 Najděte jednu z primitivních funkcí pro funkci y = sin(3*x-2). Pro funkci sin(x) bude jednou z primitivních funkcí funkce -cos(x). Pokud nyní použijeme třetí pravidlo, dostaneme výraz pro primitivní prvek:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Příklad 4. Najděte primitivní funkci pro funkci f(x) = 1/(7-3*x)^5

Primitivní funkce pro funkci 1/x^5 bude funkce (-1/(4*x^4)). Nyní pomocí třetího pravidla dostáváme.

Primitivní funkce a neurčitý integrál

Fakt 1. Integrace je opakem derivace, totiž obnovení funkce ze známé derivace této funkce. Funkce byla obnovena tímto způsobem F(X) je nazýván primitivní pro funkci F(X).

Definice 1. Funkce F(X F(X) v nějakém intervalu X, pokud pro všechny hodnoty X z tohoto intervalu rovnost F "(X)=F(X), tedy tuto funkci F(X) je derivace primitivní funkce F(X). .

Například funkce F(X) = hřích X je primitivním prvkem funkce F(X) = cos X na celé číselné ose, protože pro libovolnou hodnotu x (hřích X)" = (cos X) .

Definice 2. Neurčitý integrál funkce F(X) je soubor všech jeho primitivních derivátů. Toto používá notaci

∫

F(X)dx

,

kde je znamení ∫ se nazývá integrální znak, funkce F(X) je integrand a F(X)dx je integrand.

Pokud tedy F(X) je nějaký primitivní prvek pro F(X) , Že

∫

F(X)dx = F(X) +C

Kde C - libovolná konstanta (konstanta).

Pro pochopení významu množiny primitivních funkcí funkce jako neurčitého integrálu je vhodná následující analogie. Nechť jsou dveře (tradiční dřevěné dveře). Jeho funkcí je „být dveřmi“. Z čeho jsou dveře vyrobeny? Ze stromu. To znamená, že množinou primitivních derivátů integrandu „být dveřmi“, tedy jeho neurčitého integrálu, je funkce „být stromem + C“, kde C je konstanta, která v tomto kontextu může označovat např. například druh stromu. Stejně jako jsou dveře vyrobeny ze dřeva pomocí některých nástrojů, derivace funkce je „vyrobena“ z primitivní funkce pomocí vzorec, který jsme se naučili studiem derivace .

Pak je tabulka funkcí běžných předmětů a jim odpovídajících primitiv ("být dveřmi" - "být stromem", "být lžící" - "být kovem" atd.) podobná tabulce základní neurčité integrály, které budou uvedeny níže. Tabulka neurčitých integrálů uvádí běžné funkce s uvedením primitivních funkcí, ze kterých jsou tyto funkce „vyrobeny“. V rámci problémů hledání neurčitého integrálu jsou uvedeny takové integrandy, které lze integrovat přímo bez zvláštního úsilí, tedy podle tabulky neurčitých integrálů. Ve složitějších problémech je třeba integrand nejprve transformovat, aby bylo možné použít tabulkové integrály.

Fakt 2. Obnovení funkce jako primitivní funkce, musíme vzít v úvahu libovolnou konstantu (konstantu) C, a abyste nepsali seznam primitivních prvků s různými konstantami od 1 do nekonečna, musíte si zapsat sadu primitivních prvků s libovolnou konstantou C, takhle: 5 X³+C. Takže libovolná konstanta (konstanta) je zahrnuta ve výrazu primitivní funkce, protože primitivní může být funkce, například 5 X³+4 nebo 5 X³+3 a při diferenciaci 4 nebo 3 nebo jakákoli jiná konstanta zmizí.

Nastavíme integrační problém: pro danou funkci F(X) najít takovou funkci F(X), jehož derivát je rovný F(X).

Příklad 1 Najděte množinu primitivních funkcí funkce

Řešení. Pro tuto funkci je primitivním prvkem funkce

Funkce F(X) se nazývá primitivní funkce F(X), pokud je derivát F(X) je rovný F(X), nebo, což je totéž, diferenciál F(X) je rovný F(X) dx, tj.

(2)

Funkce je tedy primitivní pro funkci . Není to však jediný primitivní nástroj pro . Jsou to také funkce

Kde S je libovolná konstanta. To lze ověřit diferenciací.

Existuje-li tedy jedna primitivní funkce pro funkci, pak pro ni existuje nekonečná množina primitivních funkcí, které se liší konstantním součtem. Všechny primitivní funkce pro funkci jsou zapsány ve výše uvedeném tvaru. To vyplývá z následující věty.

Věta (formální konstatování skutečnosti 2). Li F(X) je primitivním prvkem funkce F(X) v nějakém intervalu X, pak jakýkoli jiný primát pro F(X) na stejném intervalu může být reprezentováno jako F(X) + C, Kde S je libovolná konstanta.

V následujícím příkladu se již obracíme k tabulce integrálů, která bude uvedena v odstavci 3, za vlastnostmi neurčitého integrálu. Děláme to předtím, než se seznámíme s celou tabulkou, aby byla jasná podstata výše uvedeného. A po tabulce a vlastnostech je při integraci použijeme celé.

Příklad 2 Najděte sady primitivních derivátů:

Řešení. Najdeme množiny primitivních funkcí, ze kterých jsou tyto funkce „vyrobeny“. Při zmínce o vzorcích z tabulky integrálů se prozatím smiřte s tím, že takové vzorce existují, a tabulku neurčitých integrálů prostudujeme v plném rozsahu o něco dále.

1) Použití vzorce (7) z tabulky integrálů pro n= 3, dostáváme

2) Pomocí vzorce (10) z tabulky integrálů pro n= 1/3, máme

3) Od té doby

potom podle vzorce (7) at n= -1/4 nálezu

Pod znaménko integrálu nezapisují samotnou funkci F a jeho součin diferenciálem dx. To se provádí primárně za účelem označení proměnné, kterou primitivní prvek hledá. Například,

, ;

zde je v obou případech integrand roven , ale jeho neurčité integrály se v uvažovaných případech ukážou být odlišné. V prvním případě je tato funkce považována za funkci proměnné X, a ve druhém - jako funkce z .

Proces hledání neurčitého integrálu funkce se nazývá integrace této funkce.

Geometrický význam neurčitého integrálu

Nechť je požadováno najít křivku y=F(x) a již víme, že tangens sklonu tečny v každém jejím bodě je danou funkcí f(x)úsečka tohoto bodu.

Podle geometrického významu derivace tangens sklonu tečny v daném bodě křivky y=F(x) rovna hodnotě derivátu F"(x). Musíme tedy takovou funkci najít F(x), pro který F"(x)=f(x). Požadovaná funkce v úloze F(x) je odvozeno z f(x). Podmínku problému neplní jedna křivka, ale rodina křivek. y=F(x)- jednu z těchto křivek a jakoukoli jinou křivku z ní lze získat paralelním posunem podél osy Oj.

Nazvěme graf primitivní funkce f(x) integrální křivka. Li F"(x)=f(x), pak graf funkce y=F(x) je integrální křivka.

Fakt 3. Neurčitý integrál je geometricky reprezentován rodinou všech integrálních křivek jako na obrázku níže. Vzdálenost každé křivky od počátku je určena libovolnou konstantou (konstantou) integrace C.

Vlastnosti neurčitého integrálu

Fakt 4. Věta 1. Derivace neurčitého integrálu je rovna integrandu a jeho diferenciál je roven integrandu.

Fakt 5. Věta 2. Neurčitý integrál diferenciálu funkce F(X) se rovná funkci F(X) až do konstantního období , tj.

(3)

Věty 1 a 2 ukazují, že diferenciace a integrace jsou vzájemně inverzní operace.

Fakt 6. Věta 3. Konstantní faktor v integrandu lze vyjmout ze znaménka neurčitého integrálu , tj.

Primitivní.

Primitivní prvek je snadno pochopitelný pomocí příkladu.

Vezměme si funkci y = x 3. Jak víme z předchozích částí, derivát X 3 je 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Proto z funkce y = x 3 získáme novou funkci: na = 3X 2 .
Obrazně řečeno, funkce na = X 3 vyrobené funkce na = 3X 2 a je jeho „rodičem“. V matematice neexistuje slovo „rodič“, ale existuje s ním související pojem: primitivní.

Tedy: funkce y = x 3 je primitivní funkce pro funkci na = 3X 2 .

Definice primitivního derivátu:

V našem příkladu ( X 3)" = 3X 2 tedy y = x 3 - primitivní pro na = 3X 2 .

Integrace.

Jak víte, proces hledání derivace vzhledem k dané funkci se nazývá derivace. Opačná operace se nazývá integrace.

Vysvětlující příklad:

na = 3X 2+ hřích X.

Řešení :

Víme, že primitivní prvek pro 3 X 2 je X 3 .

Antiderivative pro hřích X je -cos X.

Přidáme dvě primitivní funkce a získáme primitivní prvek pro danou funkci:

y = x 3 + (-cos X),

y = x 3 - cos X.

Odpovědět :
pro funkci na = 3X 2+ hřích X y = x 3 - cos X.

Vysvětlující příklad:

Pojďme najít primitivní prvek funkce na= 2 hříchy X.

Řešení :

Všimněte si, že k = 2. Primát pro hřích X je -cos X.

Proto pro funkci na= 2 hříchy X primitivním prvkem je funkce na= -2 cos X.
Koeficient 2 ve funkci y \u003d 2 sin X odpovídá koeficientu primitivní funkce, ze které byla tato funkce vytvořena.

Vysvětlující příklad:

Pojďme najít primitivní prvek funkce y= hřích 2 X.

Řešení :

Všimneme si toho k= 2. Antiderivativ pro hřích X je -cos X.

Náš vzorec použijeme při hledání primitivní funkce pro funkci y= cos2 X:

1
y= - (-cos 2 X),
2

protože 2 X
y = – ----
2

protože 2 X
Odpověď: pro funkci y= hřích 2 X primitivním prvkem je funkce y = – ----
2

(4)

Vysvětlující příklad.

Vezměme si funkci z předchozího příkladu: y= hřích 2 X.

Pro tuto funkci mají všechny primitivní prvky tvar:

protože 2 X
y = – ---- + C.
2

Vysvětlení.

Vezměme první řádek. Zní to takto: pokud funkce y = f( X) je 0, pak jeho primitivní je 1. Proč? Protože derivace jednoty je nula: 1" = 0.

Zbývající řádky se čtou ve stejném pořadí.

Jak extrahovat data z tabulky? Vezměme si osmý řádek:

(-cos X)" = hřích X

Druhou část napíšeme se znaménkem derivace, poté rovnítko a derivaci.

Čteme: primitivní funkce pro funkci hříchu X je funkce -cos X.

Nebo: funkce -cos X je primitivum pro funkci sin X.

Tato lekce je první ze série videí o integraci. V něm budeme analyzovat, co je to primitivní funkce, a také studovat základní metody výpočtu právě těchto primitivních funkcí.

Ve skutečnosti zde není nic složitého: v podstatě vše vychází z konceptu derivátu, se kterým byste již měli být obeznámeni. :)

Poznamenávám to hned, protože je to úplně první lekce v naší lekci nové téma, dnes nebudou žádné složité výpočty a vzorce, ale to, co dnes budeme studovat, bude tvořit základ mnohem složitějších výpočtů a struktur při počítání složitých integrálů a ploch.

Při zahájení studia zejména integrace a integrálů navíc implicitně předpokládáme, že student již zná pojmy derivace a má alespoň elementární dovednosti v jejich počítání. Bez jasného pochopení tohoto nelze v integraci dělat absolutně nic.

Zde však leží jeden z nejčastějších a nejzákeřnějších problémů. Faktem je, že když začínají počítat své první primitivní funkce, mnoho studentů si je plete s deriváty. V důsledku toho u zkoušek a samostatná práce dělají se hloupé a urážlivé chyby.

Proto nyní neuvedu jasnou definici primitivního derivátu. A na oplátku vám navrhuji, abyste se podívali, jak se o tom uvažuje, na jednoduchém konkrétním příkladu.

Co je primitivní a jak se to považuje

Známe tento vzorec:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Tento derivát je považován za elementární:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Podívejme se pozorně na výsledný výraz a vyjádřete $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Ale můžeme to napsat i takto, podle definice derivace:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

A teď pozor: to, co jsme právě napsali, je definice primitivního derivátu. Ale abyste to napsali správně, musíte napsat následující:

Stejným způsobem napíšeme následující výraz:

Pokud toto pravidlo zobecníme, můžeme odvodit následující vzorec:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Nyní můžeme formulovat jasnou definici.

Primitivní funkce je funkce, jejíž derivace je rovna původní funkci.

Otázky k primitivní funkci

Zdálo by se, že jde o poměrně jednoduchou a srozumitelnou definici. Když to však pozorný student uslyší, okamžitě napadne několik otázek:

1. Řekněme, že tento vzorec je správný. Avšak v tomto případě, kdy $n=1$, máme problémy: ve jmenovateli se objeví „nula“ a není možné dělit „nulou“.
2. Vzorec je omezen pouze na pravomoci. Jak vypočítat primitivní, například sinus, kosinus a jakoukoli jinou trigonometrii, stejně jako konstanty.
3. Existenciální otázka: je možné vždy najít primitivní derivát? Pokud ano, jak je to s primitivním součtem, rozdílem, součinem atd.?

Na poslední otázku odpovím hned. Bohužel se s primitivním prvkem, na rozdíl od derivátu, vždy nepočítá. Neexistuje žádný takový univerzální vzorec, podle kterého z jakékoli počáteční konstrukce získáme funkci, která se bude rovnat této podobné konstrukci. Co se týče mocnin a konstant, o tom si teď povíme.

Řešení problémů s výkonovými funkcemi

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Jak vidíte, tento vzorec pro $((x)^(-1))$ nefunguje. Nabízí se otázka: co tedy funguje? Nemůžeme počítat $((x)^(-1))$? Samozřejmě, že můžeme. Začněme tímto:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Nyní si představme: derivace které funkce je rovna $\frac(1)(x)$. Je zřejmé, že každý student, který se alespoň trochu zabýval tímto tématem, si bude pamatovat, že tento výraz je roven derivaci přirozeného logaritmu:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Proto můžeme s jistotou napsat následující:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Tento vzorec je třeba znát, stejně jako derivaci mocninné funkce.

Co tedy zatím víme:

• Pro mocninnou funkci — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Pro konstantu - $=const\to \cdot x$
• Speciální případ mocninné funkce - $\frac(1)(x)\to \ln x$

A když začneme násobit a dělit nejjednodušší funkce, jak potom vypočítat primitivní derivaci součinu nebo kvocient. Bohužel analogie s derivací součinu nebo kvocientu zde nefungují. Neexistuje žádný standardní vzorec. Pro některé případy existují záludné speciální vzorce – seznámíme se s nimi v budoucích videonávodech.

Pamatujte však: neexistuje žádný obecný vzorec podobný vzorci pro výpočet derivace kvocientu a součinu.

Řešení skutečných problémů

Úkol 1

Pojďme každý mocenské funkce počítat zvlášť:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Vrátíme-li se k našemu výrazu, napíšeme obecnou konstrukci:

Úkol č. 2

Jak jsem již řekl, s primitivními pracemi a soukromým „blank through“ se nepočítá. Zde však můžete provést následující:

Rozdělili jsme zlomek na součet dvou zlomků.

Pojďme spočítat:

Dobrou zprávou je, že jakmile znáte vzorce pro výpočet primitivních derivátů, můžete již počítat více složité struktury. Pojďme však dále a rozšiřme své znalosti ještě o něco více. Faktem je, že mnoho konstrukcí a výrazů, které na první pohled nemají nic společného s $((x)^(n))$, lze reprezentovat jako stupeň s racionálním exponentem, konkrétně:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Všechny tyto techniky lze a měly by být kombinovány. Mocenské výrazy mohou

• násobit (mocniny se sčítají);
• dělit (stupně se odečítají);
• násobit konstantou;
• atd.

Řešení výrazů se stupněm s racionálním exponentem

Příklad #1

Počítejme každý kořen zvlášť:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Celkově lze celou naši stavbu napsat takto:

Příklad č. 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac) 1)(2))) \vpravo))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Proto získáme:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Celkově, když vše shromáždíme v jednom výrazu, můžeme napsat:

Příklad č. 3

Nejprve si všimněte, že jsme již vypočítali $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Pojďme přepsat:

Doufám, že nikoho nepřekvapím, když řeknu, že to, co jsme právě studovali, jsou pouze nejjednodušší výpočty primitivních funkcí, nejelementárnější konstrukce. Podívejme se nyní na trochu složitější příklady, ve kterých si kromě tabulkových primitiv je třeba pamatovat ještě školní učivo, totiž zkrácené násobící vzorce.

Řešení složitějších příkladů

Úkol 1

Vzpomeňte si na vzorec pro druhou mocninu rozdílu:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Přepišme naši funkci:

Nyní musíme najít primitivní prvek takové funkce:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Vše shromažďujeme ve společném designu:

Úkol č. 2

V tomto případě musíme otevřít rozdílovou kostku. Připomeňme si:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Vzhledem k této skutečnosti to lze napsat takto:

Upravme trochu naši funkci:

Uvažujeme jako vždy pro každý termín zvlášť:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\to \ln x\]

Zapišme výslednou konstrukci:

Úkol #3

Nahoře máme druhou mocninu součtu, otevřeme to:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Napíšeme konečné řešení:

A teď pozor! Velmi důležitá věc, která je spojena se lvím podílem chyb a nedorozumění. Faktem je, že až dosud jsme při počítání primitivních derivací pomocí derivací, zadávání transformací nepřemýšleli o tom, čemu se rovná derivace konstanty. Ale derivace konstanty je rovna "nule". A to znamená, že můžete napsat následující možnosti:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

To je velmi důležité pochopit: pokud je derivace funkce vždy stejná, pak má stejná funkce nekonečný počet primitivních funkcí. K našim primitivům můžeme jednoduše přidat libovolná konstantní čísla a získat nová.

Není náhodou, že ve vysvětlení úloh, které jsme právě řešili, bylo napsáno "Zapište si obecný vzhled primitiv." Tito. již předem se předpokládá, že jich není jeden, ale celé množství. Ale ve skutečnosti se liší pouze konstantou $C$ na konci. Proto v našich úkolech opravíme, co jsme nestihli.

Opět přepisujeme naše konstrukce:

V takových případech je třeba dodat, že $C$ je konstanta — $C=const$.

V naší druhé funkci dostaneme následující konstrukci:

A ten poslední:

A nyní jsme skutečně dostali to, co se od nás v počátečním stavu problému vyžadovalo.

Řešení úloh při hledání primitivních prvků s daným bodem

Nyní, když víme o konstantách a o zvláštnostech psaní primitivních funkcí, zcela logicky vyvstává následující typ problémů, kdy z množiny všech primitivních funkcí je třeba najít jednu jedinou, která by procházela daným bodem. co je to za úkol?

Faktem je, že všechny primitivní funkce dané funkce se liší pouze tím, že jsou vertikálně posunuty o nějaké číslo. A to znamená, že ať vezmeme jakýkoli bod na souřadnicové rovině, jedna primitivní funkce určitě projde a navíc pouze jedna.

Úlohy, které nyní budeme řešit, jsou tedy formulovány následovně: není snadné najít primitivní při znalosti vzorce původní funkce, ale vybrat právě jednu z nich, která prochází daným bodem, jehož souřadnice budou být uveden ve stavu problému.

Příklad #1

Nejprve si spočítejme každý výraz:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Nyní dosadíme tyto výrazy do naší konstrukce:

Tato funkce musí projít bodem $M\left(-1;4 \right)$. Co to znamená, že prochází bodem? To znamená, že pokud místo $x$ dáme všude $-1$ a místo $F\left(x \right)$ - $-4$, pak bychom měli dostat správnou číselnou rovnost. Pojďme to udělat:

Vidíme, že máme rovnici pro $C$, tak ji zkusme vyřešit:

Pojďme si napsat samotné řešení, které jsme hledali:

Příklad č. 2

Nejprve je nutné otevřít druhou mocninu rozdílu pomocí zkráceného vzorce pro násobení:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Původní struktura bude napsána takto:

Nyní najdeme $C$: dosadíme souřadnice bodu $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Vyjádříme $C$:

Zbývá zobrazit konečný výraz:

Řešení goniometrických úloh

Jako poslední akord k tomu, co jsme právě analyzovali, navrhuji zvážit dva složitější problémy, které obsahují trigonometrii. V nich bude stejně tak potřeba najít primitivní funkce pro všechny funkce, z této množiny pak vybrat tu jedinou, která prochází bodem $M$ na souřadnicové rovině.

Při pohledu do budoucna bych rád poznamenal, že technika, kterou nyní použijeme k nalezení primitivních derivací goniometrických funkcí, je ve skutečnosti univerzální technika pro samokontrolu.

Úkol 1

Připomeňme si následující vzorec:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Na základě toho můžeme napsat:

Dosadíme souřadnice bodu $M$ do našeho výrazu:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Přepišme výraz s ohledem na tuto skutečnost:

Úkol č. 2

Tady to bude trochu složitější. Nyní uvidíte proč.

Zapamatujme si tento vzorec:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Chcete-li se zbavit "mínus", musíte provést následující:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Zde je náš design

Dosaďte souřadnice bodu $M$:

Zapišme si výslednou konstrukci:

To je vše, co jsem vám dnes chtěl říct. Studovali jsme samotný pojem primitivy, jak je počítat z elementárních funkcí a také jak najít primitiv procházející konkrétním bodem na souřadnicové rovině.

Doufám, že vám tato lekce trochu pomůže, abyste to pochopili těžké téma. Každopádně právě na primitivních se staví neurčité a neurčité integrály, takže je bezpodmínečně nutné je uvažovat. To je z mé strany vše. Brzy se uvidíme!