Příklad1 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničené čarami: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3 a x = 2

Postavíme postavu (viz obr.) Postavíme přímku x + 2y - 4 \u003d 0 podél dvou bodů A (4; 0) a B (0; 2). Vyjádříme-li y pomocí x, dostaneme y \u003d -0,5x + 2. Podle vzorce (1), kde f (x) \u003d -0,5x + 2, a \u003d -3, b \u003d 2, nalézt

S \u003d \u003d [-0,25 \u003d 11,25 sq. Jednotky

Příklad 2 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: x - 2y + 4 \u003d 0, x + y - 5 \u003d 0 a y \u003d 0.

Řešení. Postavíme postavu.

Postavme přímku x - 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A (-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).

Sestrojme přímku x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, С(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).

Najděte průsečík přímek řešením soustavy rovnic:

x = 2, y = 3; M(2; 3).

Pro výpočet potřebné plochy rozdělíme trojúhelník AMC na dva trojúhelníky AMN a NMC, protože když se x změní z A na N, je plocha omezena přímkou ​​a když se x změní z N na C, je to přímka

Pro trojúhelník AMN máme: ; y \u003d 0,5x + 2, tj. f (x) \u003d 0,5x + 2, a \u003d - 4, b \u003d 2.

Pro trojúhelník NMC platí: y = - x + 5, tj. f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.

Výpočtem plochy každého z trojúhelníků a přidáním výsledků zjistíme:

sq Jednotky

sq Jednotky

9 + 4, 5 = 13,5 čtverečních. Jednotky Kontrola: = 0,5 AC = 0,5 čtverečních. Jednotky

Příklad 3 Vypočítejte obsah obrázku ohraničeného čarami: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.

V tomto případě je nutné vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku ohraničeného parabolou y = x 2 , přímky x \u003d 2 a x \u003d 3 a osa Ox (viz obr.) Podle vzorce (1) najdeme oblast křivočarého lichoběžníku

= = 6kv. Jednotky

Příklad 4 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d - x 2 + 4 a y = 0

Postavíme postavu. Požadovaná oblast je uzavřena mezi parabolou y \u003d - x 2 + 4 a osa Oh.

Najděte průsečíky paraboly s osou x. Za předpokladu y \u003d 0 najdeme x \u003d Protože toto číslo je symetrické kolem osy Oy, vypočítáme plochu obrázku umístěného napravo od osy Oy a zdvojnásobíme výsledek: \u003d + 4x] čtverec. Jednotky 2 = 2 čtvereční Jednotky

Příklad 5 Vypočítejte plochu obrazce ohraničenou čarami: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Zde je nutné vypočítat plochu křivočarého lichoběžníku ohraničeného horní větví paraboly y 2 \u003d x, osa Ox a přímky x \u003d 1x \u003d 4 (viz obr.)

Podle vzorce (1), kde f(x) = a = 1 a b = 4, máme = (= čtverečních jednotek

Příklad 6 . Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .

Požadovaná oblast je omezena půlvlnnou sinusoidou a osou Ox (viz obr.).

Máme - cosx \u003d - cos \u003d 1 + 1 \u003d 2 metry čtvereční. Jednotky

Příklad 7 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d - 6x, y \u003d 0 a x \u003d 4.

Obrázek je umístěn pod osou Ox (viz obr.).

Proto se jeho plocha zjistí podle vzorce (3)

= =

Příklad 8 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d a x \u003d 2. Vytvoříme křivku y \u003d podle bodů (viz obrázek). Plocha obrázku se tedy nachází podle vzorce (4)

Příklad 9 .

X 2 + y 2 = r 2 .

Zde je potřeba vypočítat plochu ohraničenou kružnicí x 2 + y 2 = r 2 , tj. oblast kruhu o poloměru r se středem v počátku. Najdeme čtvrtou část této oblasti, vezmeme-li hranice integrace od 0

dor; my máme: 1 = = [

Tudíž, 1 =

Příklad 10 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou čarami: y \u003d x 2 a y = 2x

Toto číslo je omezeno parabolou y \u003d x 2 a přímka y \u003d 2x (viz obr.) Pro určení průsečíků daných přímek řešíme soustavu rovnic: x 2 – 2x = 0 x = 0 a x = 2

Pomocí vzorce (5) k nalezení oblasti získáme

= \- -fl - G -1-±L_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Příklad 2. Vypočítejte plochu ohraničenou sinusoidou y = sinXy osa Ox a přímka ( Obr. 87). Použitím vzorce (I) získáme L 2 S \u003d J sinxdx \u003d [-cos x] Q \u003d 0 - (-1) \u003d lf Příklad 3. Vypočítejte plochu ohraničenou obloukem sinusoidy ^y \ u003d sin jc uzavřený mezi dvěma sousedními průsečíky s osou Ox (například mezi počátkem a bodem s úsečkou i). Všimněte si, že z geometrických úvah je jasné, že tato plocha bude dvojnásobná více oblasti předchozí příklad. Udělejme však výpočty: i 5= | s \ nxdx \u003d [ - cosx) * - - cos i- (- cos 0) \u003d 1 + 1 \u003d 2. o Náš předpoklad se skutečně ukázal jako spravedlivý. Příklad 4. Vypočítejte plochu ohraničenou sinusoidou a osou ^ Ox na jedné periodě (obr. 88). Předběžné úsudky ras-figur naznačují, že plocha bude čtyřikrát větší než v pr. 2. Po provedení výpočtů však dostaneme „i G, * i S - \ sin x dx \u003d [- cos x ] 0 = = - cos 2n - (-cos 0) \u003d - 1 + 1 \u003d 0. Tento výsledek vyžaduje objasnění. Abychom objasnili podstatu věci, vypočítáme také oblast ohraničenou stejnou sinusoidou y \u003d sin l: a osou Ox v rozmezí od l do 2n. Použitím vzorce (I) získáme Vidíme tedy, že tato oblast dopadla negativně. Porovnáním s plochou vypočítanou v příkladu 3 zjistíme, že jejich absolutní hodnoty jsou stejné, ale znaménka se liší. Pokud použijeme vlastnost V (viz kap. XI, § 4), dostaneme náhodou. Vždy plocha pod osou x, za předpokladu, že se nezávislá proměnná mění zleva doprava, se získá výpočtem pomocí záporných integrálů. V tomto kurzu budeme vždy zvažovat nepodepsané oblasti. Proto bude odpověď v právě analyzovaném příkladu následující: požadovaná plocha je rovna 2 + |-2| = 4. Příklad 5. Vypočítejme plochu BAB znázorněnou na Obr. 89. Tato oblast je omezena osou Ox, parabolou y = - xr a přímkou ​​y - = -x + \. Plocha křivočarého lichoběžníku Vyhledávaná plocha OAB se skládá ze dvou částí: OAM a MAB. Protože bod A je průsečíkem paraboly a přímky, najdeme jeho souřadnice řešením systému rovnic 3 2 Y \u003d mx. (potřebujeme pouze najít úsečku bodu A). Při řešení soustavy najdeme l; =~. Plochu je proto třeba vypočítat po částech, nejprve pl. OAM, a pak pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 Y 2. QAM-^x (základna křivočarého lichoběžníku) na n stejných dílů; toto rozdělení je proveditelné pomocí bodů x 1 , x 2 , ... x k , ... x n-1 . Narýsujme přímky skrz tyto body rovnoběžné s osou y. Potom bude daný křivočarý lichoběžník rozdělen na n částí, na n úzkých sloupků. Plocha celého lichoběžníku se rovná součtu ploch sloupců.

Uvažujme samostatně k-tý sloupec, tzn. křivočarý lichoběžník, jehož základem je segment. Nahradíme jej obdélníkem se stejnou základnou a výškou rovnou f(x k) (viz obrázek). Oblast obdélníku je \(f(x_k) \cdot \Delta x_k \), kde \(\Delta x_k \) je délka segmentu; je přirozené považovat sestavený produkt za přibližnou hodnotu plochy k-tého sloupce.

Pokud nyní uděláme totéž se všemi ostatními sloupci, dospějeme k následujícímu výsledku: plocha S daného křivočarého lichoběžníku se přibližně rovná ploše S n stupňovitého obrazce složeného z n obdélníků (viz obrázek):
\(S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \tečky + f(x_k)\Delta x_k + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) \)
Zde z důvodu jednotnosti zápisu uvažujeme, že a \u003d x 0, b \u003d x n; \(\Delta x_0 \) - délka segmentu , \(\Delta x_1 \) - délka segmentu atd.; zatímco, jak jsme se shodli výše, \(\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) \)

Takže, \(S \approx S_n \), a tato přibližná rovnost je tím přesnější, čím větší n.
Podle definice se má za to, že požadovaná oblast křivočarého lichoběžníku se rovná limitu sekvence (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Úkol 2(o posunutí bodu)
Hmotný bod se pohybuje po přímce. Závislost rychlosti na čase vyjadřuje vzorec v = v(t). Najděte posunutí bodu za časový interval [a; b].
Řešení. Pokud by byl pohyb rovnoměrný, pak by se úloha vyřešila velmi jednoduše: s = vt, tzn. s = v(b-a). Pro nerovnoměrný pohyb je třeba použít stejné myšlenky, na kterých bylo založeno řešení předchozího problému.
1) Vydělte časový interval [a; b] na n stejných dílů.
2) Uvažujme časový interval a předpokládejme, že během tohoto časového intervalu byla rychlost konstantní, jako například v čase t k . Předpokládáme tedy, že v = v(t k).
3) Najděte přibližnou hodnotu posunutí bodu za časový interval , tuto přibližnou hodnotu označíme s k
\(s_k = v(t_k) \Delta t_k \)
4) Najděte přibližnou hodnotu posunutí s:
\(s \cca S_n \) kde
\(S_n = s_0 + \tečky + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \tečky + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) \)
5) Požadované posunutí se rovná limitě posloupnosti (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Pojďme si to shrnout. Řešení různé úkoly zredukováno na stejný matematický model. Mnoho problémů z různých oblastí vědy a techniky vede v procesu řešení ke stejnému modelu. Tento matematický model by tedy měl být speciálně studován.

Pojem určitého integrálu

Uveďme matematický popis modelu, který byl sestrojen ve třech uvažovaných úlohách pro funkci y = f(x), která je spojitá (ne však nutně nezáporná, jak se v uvažovaných úlohách předpokládalo) na segmentu [ A; b]:
1) rozdělte segment [a; b] na n stejných dílů;
2) součet $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \tečky + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) vypočítejte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

V průběhu matematické analýzy bylo prokázáno, že tato limita existuje v případě spojité (nebo po částech spojité) funkce. Je nazýván určitý integrál funkce y = f(x) přes segment [a; b] a jsou označeny takto:
\(\int\limits_a^b f(x) dx \)
Čísla a a b se nazývají limity integrace (dolní a horní).

Vraťme se k výše probíraným úkolům. Definici oblasti uvedenou v problému 1 lze nyní přepsat takto:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
zde S je oblast křivočarého lichoběžníku znázorněného na obrázku výše. Tohle je co geometrický význam určitého integrálu.

Definici posunutí s bodu pohybujícího se přímočaře rychlostí v = v(t) v časovém intervalu od t = a do t = b, uvedenou v úloze 2, lze přepsat následovně:

Newtonův - Leibnizův vzorec

Pro začátek si odpovězme na otázku: jaký je vztah mezi určitým integrálem a primitivní funkcí?

Odpověď lze nalézt v úloze 2. Na jedné straně posunutí s bodu pohybujícího se po přímce rychlostí v = v(t) za časový interval od t = a do t = b a je vypočteno jako vzorec
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Na druhou stranu, souřadnice pohybujícího se bodu je primitivní pro rychlost - označme ji s(t); proto posunutí s je vyjádřeno vzorcem s = s(b) - s(a). V důsledku toho získáme:
\(S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) \)
kde s(t) je primitivní funkce pro v(t).

Následující věta byla prokázána v průběhu matematické analýzy.
Teorém. Je-li funkce y = f(x) spojitá na segmentu [a; b], pak vzorec
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
kde F(x) je primitivní funkce pro f(x).

Tento vzorec se obvykle nazývá Newtonův-Leibnizův vzorec na počest anglického fyzika Isaaca Newtona (1643-1727) a německého filozofa Gottfrieda Leibnize (1646-1716), kteří jej obdrželi nezávisle na sobě a téměř současně.

V praxi místo psaní F(b) - F(a) používají zápis \(\left. F(x)\right|_a^b \) (někdy se nazývá tzv. dvojitá substituce) a podle toho přepište Newtonův-Leibnizův vzorec do tohoto tvaru:
\(S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b \)

Při výpočtu určitého integrálu nejprve najděte primitivní derivaci a poté proveďte dvojitou substituci.

Na základě Newton-Leibnizova vzorce lze získat dvě vlastnosti určitého integrálu.

Nemovitost 1. Integrál součtu funkcí se rovná součtu integrálů:
\(\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Nemovitost 2. Konstantní faktor lze vyjmout z integrálního znaménka:
\(\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Výpočet ploch rovinných útvarů pomocí určitého integrálu

Pomocí integrálu můžete vypočítat plochu nejen křivočarých lichoběžníků, ale také rovinných obrazců složitějšího typu, jako je ten, který je znázorněn na obrázku. Obrazec P je ohraničen přímkami x = a, x = b a grafy spojitých funkcí y = f(x), y = g(x) a na úsečce [a; b] platí nerovnost \(g(x) \leq f(x) \). Pro výpočet plochy S takového obrázku budeme postupovat následovně:
\(S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = \)
\(= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Takže plocha S obrázku ohraničená přímkami x = a, x = b a grafy funkcí y = f(x), y = g(x), spojité na úsečce a takové, že pro libovolné x od segment [a; b] je splněna nerovnost \(g(x) \leq f(x) \), vypočítá se podle vzorce
\(S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Tabulka neurčitých integrálů (antiderivátů) některých funkcí

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x + C $$

Nechť je funkce nezáporná a spojitá na intervalu . Potom, podle geometrického významu určitého integrálu, plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená shora grafem této funkce, zdola osou , zleva a zprava přímkami a (viz obr. 2 ) se vypočítá podle vzorce

Příklad 9 Najděte oblast obrázku ohraničenou čárou a osa.

Řešení. Graf funkcí je parabola, jejíž větve směřují dolů. Pojďme si ho postavit (obr. 3). Pro určení mezí integrace najdeme průsečíky přímky (paraboly) s osou (přímka). K tomu řešíme soustavu rovnic

Dostaneme: , kde , ; Tudíž, , .

Rýže. 3

Plochu obrázku najdete podle vzorce (5):

Pokud je funkce nekladná a spojitá na segmentu, pak je plocha křivočarého lichoběžníku ohraničená zespodu grafem této funkce, shora osou, zleva a zprava přímkami a , je vypočítané podle vzorce

. (6)

Pokud je funkce spojitá na segmentu a mění znaménko na konečném počtu bodů, pak se plocha stínovaného obrázku (obr. 4) rovná algebraickému součtu odpovídajících určitých integrálů:

Rýže. čtyři

Příklad 10 Vypočítejte plochu obrázku ohraničenou osou a graf funkce pro .

Rýže. 5

Řešení. Udělejme nákres (obr. 5). Požadovaná plocha je součtem ploch a . Pojďme najít každou z těchto oblastí. Nejprve určíme meze integrace řešením systému Dostaneme , . Tudíž:

;

.

Oblast stínovaného obrázku je tedy

(čtverečních jednotek).

Rýže. 6

Nechť je nakonec křivočarý lichoběžník ohraničen shora a zdola grafy funkcí spojitých na úsečce a ,
a vlevo a vpravo - rovné a (obr. 6). Potom se jeho plocha vypočítá podle vzorce

. (8)

Příklad 11. Najděte oblast obrázku ohraničenou čarami a .

Řešení. Tento obrázek je znázorněn na Obr. 7. Jeho plochu vypočítáme pomocí vzorce (8). Řešením soustavy rovnic najdeme , ; Tudíž, , . Na segmentu máme: . Proto ve vzorci (8) bereme jako X, a jako - . Dostaneme:

(čtverečních jednotek).

Složitější problémy výpočtu ploch se řeší rozdělením obrazce na neprotínající se části a vypočítáním plochy celého obrazce jako součet ploch těchto částí.

Rýže. 7

Příklad 12. Najděte plochu obrázku ohraničenou čarami , , .

Řešení. Udělejme nákres (obr. 8). Tento obrazec lze považovat za křivočarý lichoběžník ohraničený zespodu osou , zleva a zprava přímkami a shora grafy funkcí a . Protože je obrazec shora ohraničený grafy dvou funkcí, pak pro výpočet jeho plochy rozdělíme tento rovný obrazec na dvě části (1 je úsečka průsečíku přímek a). Plochu každé z těchto částí zjistíme podle vzorce (4):

(čtverečních jednotek); (čtverečních jednotek). Tudíž:

(čtverečních jednotek).

Rýže. osm

X= j( v)

Rýže. 9

Na závěr si všimneme, že pokud je křivočarý lichoběžník ohraničený přímkami a , osou a spojitým na křivce (obr. 9), pak jeho obsah zjistíme vzorcem

Objem rotačního tělesa

Nechť křivočarý lichoběžník ohraničený grafem funkce spojité na úsečce, ose, přímkách a rotovat kolem osy (obr. 10). Potom se podle vzorce vypočte objem výsledného rotačního tělesa

. (9)

Příklad 13 Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy křivočarého lichoběžníku ohraničeného hyperbolou, přímkami a osou.

Řešení. Udělejme nákres (obr. 11).

Z podmínky problému vyplývá, že , . Podle vzorce (9) dostaneme

.

Rýže. deset

Rýže. jedenáct

Objem tělesa získaný rotací kolem osy OU křivočarý lichoběžník ohraničený přímkami y = c a y = d, osa OU a graf funkce spojité na segmentu (obr. 12), je určen vzorcem

. (10)

X= j( v)

Rýže. 12

Příklad 14. Vypočítejte objem tělesa získaného rotací kolem osy OU křivočarý lichoběžník ohraničený čarami X 2 = 4v, y= 4, x = 0 (obr. 13).

Řešení. V souladu s podmínkou problému nacházíme hranice integrace: , . Podle vzorce (10) dostaneme:

Rýže. 13

Délka oblouku ploché křivky

Nechť křivka daná rovnicí , kde , leží v rovině (obr. 14).

Rýže. čtrnáct

Definice. Délka oblouku je chápána jako limit, ke kterému se blíží délka křivky vepsané do tohoto oblouku, když počet spojnic křivky směřuje k nekonečnu a délka největší spojnice směřuje k nule.

Pokud je funkce a její derivace spojitá na segmentu , pak se délka oblouku křivky vypočítá podle vzorce

. (11)

Příklad 15. Vypočítejte délku oblouku křivky uzavřeného mezi body, pro které .

Řešení. Od stavu problému, který máme . Podle vzorce (11) dostaneme:

.

4. Nevlastní integrály
s nekonečnými hranicemi integrace

Při zavádění pojmu určitého integrálu se předpokládalo, že jsou splněny následující dvě podmínky:

a) limity integrace A a jsou konečné;

b) integrand je ohraničen na segment .

Pokud není splněna alespoň jedna z těchto podmínek, volá se integrál nevhodný.

Uvažujme nejprve nevlastní integrály s nekonečnými limity integrace.

Definice. Nechť je funkce definovaná a spojitá na intervalu a vpravo neohraničené (obr. 15).

Jestliže nevlastní integrál konverguje, pak je tato oblast konečná; jestliže nevlastní integrál diverguje, pak je tato oblast nekonečná.

Rýže. patnáct

Nevlastní integrál s nekonečnou spodní hranicí integrace je definován podobně:

. (13)

Tento integrál konverguje, jestliže limita na pravé straně rovnosti (13) existuje a je konečná; jinak se říká, že integrál je divergentní.

Nevlastní integrál se dvěma nekonečnými limity integrace je definován takto:

, (14)

kde с je libovolný bod intervalu. Integrál konverguje pouze tehdy, když oba integrály konvergují na pravé straně rovnosti (14).

;

G) = [vyberte celý čtverec ve jmenovateli: ] = [výměna, nahrazení:

] =

Nevlastní integrál tedy konverguje a jeho hodnota je rovna .