Algebra 11 klasė

Tema: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“

Pamokos tikslai:

edukacinis: kurti žinias apie Skirtingi keliai logaritminių lygčių sprendimas, gebėjimas jas taikyti kiekvienoje konkrečioje situacijoje ir pasirinkti bet kokį sprendimo būdą;

kuriant: gebėjimų stebėti, lyginti, taikyti žinias naujoje situacijoje, nustatyti modelius, apibendrinti ugdymas; savikontrolės ir savikontrolės įgūdžių formavimas;

edukacinis: ugdyti atsakingą požiūrį į ugdomąjį darbą, atidų pamokos medžiagos suvokimą, apskaitos tikslumą.

Pamokos tipas : susipažinimo su nauja medžiaga pamoka.

„Logaritmų išradimas, sutrumpinęs astronomo darbą, pailgino jo gyvenimą.
Prancūzų matematikas ir astronomas P.S. Laplasas

Per užsiėmimus

I. Pamokos tikslo nustatymas

Ištirtas logaritmo apibrėžimas, logaritmų savybės ir logaritminė funkcija leis išspręsti logaritmines lygtis. Visos logaritminės lygtys, kad ir kokios sudėtingos jos būtų, sprendžiamos naudojant tuos pačius algoritmus. Šiuos algoritmus aptarsime šiandien pamokoje. Jų nedaug. Jei juos įvaldysite, bet kokia logaritmų lygtis bus įmanoma kiekvienam iš jūsų.

Užsirašykite į sąsiuvinį pamokos temą: „Logaritminių lygčių sprendimo būdai“. Kviečiu visus bendradarbiauti.

II. Pagrindinių žinių atnaujinimas

Pasiruoškime studijuoti pamokos temą. Jūs išsprendžiate kiekvieną užduotį ir užsirašote atsakymą, negalite parašyti sąlygos. Dirbti porose.

1) Kokioms x reikšmėms funkcija prasminga:

A)

b)

V)

e)

(Kiekvienos skaidrės atsakymai tikrinami ir klaidos išrūšiuojamos)

2) Ar funkcijų grafikai sutampa?

a) y = x ir

b)Ir

3) Perrašykite lygybes į logaritmines lygybes:

4) Parašykite skaičius kaip logaritmus su 2 baze:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Apskaičiuokite :

6) Pabandykite atkurti arba užbaigti trūkstamus elementus šiose lygybėse.

III. Įvadas į naują medžiagą

Ekrane rodomas pareiškimas:

"Lygtis yra auksinis raktas, kuris atrakina visą matematinį sezamą."
Šiuolaikinis lenkų matematikas S. Kovalis

Pabandykite suformuluoti logaritminės lygties apibrėžimą. (Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu ).

ApsvarstykitePaprasčiausia logaritminė lygtis: žurnalas A x = b (kur a>0, a ≠ 1). Kadangi logaritminė funkcija rinkinyje didėja (arba mažėja). teigiami skaičiai ir ima visas realias reikšmes, tada pagal šaknies teoremą išplaukia, kad bet kuriai b ši lygtis turi, be to, tik vieną sprendinį ir teigiamą.

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą. (Skaičiaus x logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti bazę a, kad gautume skaičių x ). Iš logaritmo apibrėžimo iš karto išplaukia, kadA V yra toks sprendimas.

Užsirašykite pavadinimą:Logaritminių lygčių sprendimo būdai

1. Pagal logaritmo apibrėžimą .

Taip susidaro paprasčiausios formos lygtys.

ApsvarstykiteNr. 514(a ): Išspręskite lygtį

Kaip siūlote ją išspręsti? (Pagal logaritmo apibrėžimą )

Sprendimas . , Vadinasi, 2x - 4 = 4; x = 4.

Atsakymas: 4.

Šioje užduotyje 2x - 4 > 0, nes> 0, todėl negali atsirasti pašalinių šaknų, irtikrinimas nebūtinas . Sąlygos 2x - 4 > 0 šioje užduotyje išrašyti nebūtina.

2. Potencija (perėjimas nuo pateiktos išraiškos logaritmo prie šios išraiškos).

ApsvarstykiteNr. 519(g): žurnalas 5 ( x 2 +8)- žurnalas 5 ( x+1)=3 žurnalas 5 2

Kokią savybę pastebėjote?(Pagrindai yra vienodi, o abiejų išraiškų logaritmai yra vienodi) . Ką galima padaryti?(galioja).

Šiuo atveju reikia atsižvelgti į tai, kad bet koks sprendimas yra tarp visų x, kurių logaritmų išraiškos yra teigiamos.

Sprendimas: ODZ:

X 2 +8>0 papildoma nelygybė

žurnalas 5 ( x 2 +8) = žurnalas 5 2 3 + žurnalas 5 ( x+1)

žurnalas 5 ( x 2 +8)= žurnalas 5 (8 x+8)

Sustiprinkite pradinę lygtį

x 2 +8= 8 x+8

gauname lygtįx 2 +8= 8 x+8

Išspręskime:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Atsakymas: 0; 8

Apskritaipereiti prie lygiavertės sistemos :

Lygtis

(Sistemoje yra perteklinė sąlyga – vienos iš nelygybių galima nepaisyti).

Klausimas klasei : Kuris iš šių trijų sprendimų jums patiko labiausiai? (Metodų aptarimas).

Jūs turite teisę nuspręsti bet kokiu būdu.

3. Naujo kintamojo įvedimas .

ApsvarstykiteNr. 520 (g) . .

ką pastebėjai? (Tai kvadratinė lygtis palyginti su log3x) Jūsų pasiūlymai? (Įvesti naują kintamąjį)

Sprendimas . ODZ: x > 0.

Leisti, tada lygtis bus tokia:. Diskriminantas D > 0. Šaknys pagal Vietos teoremą:.

Grįžti į pakeitimą:arba.

Išspręsdami paprasčiausias logaritmines lygtis, gauname:

; .

Atsakymas : 27;

4. Abiejų lygties pusių logaritmas.

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas : ODZ: x>0, imame abiejų lygties pusių logaritmą 10 bazėje:

. Taikykite laipsnio logaritmo savybę:

(lgx + 3) lgx =

(lgx + 3) lgx = 4

Tegul lgx = y, tada (y + 3)y = 4

, (D > 0) šaknys pagal Vietos teoremą: y1 = -4 ir y2 = 1.

Grįžkime prie pakeitimo, gauname: lgx = -4,; logx = 1,. . Tai yra taip: jei viena iš funkcijų y = f(x) didėja ir kita y = g(x) mažėja intervale X, tada lygtis f(x)=g(x) turi daugiausia vieną šaknį intervale X .

Jei yra šaknis, tai galima atspėti. .

Atsakymas : 2

„Galima išmokti teisingai taikyti metodus,
tik pritaikius juos įvairiems pavyzdžiams.
Danų matematikos istorikas G. G. Zeitenas

aš v. Namų darbai

P. 39 apsvarstykite 3 pavyzdį, spręskite Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Apibendrinant pamoką

Kokius logaritminių lygčių sprendimo būdus nagrinėjome pamokoje?

Kitose pamokose apžvelgsime sudėtingesnes lygtis. Norint juos išspręsti, naudingi tiriami metodai.

Rodoma paskutinė skaidrė:

„Kas yra daugiau už viską pasaulyje?
Erdvė.
Kas yra išmintingiausias?
Laikas.
Kas yra maloniausia?
Pasiekite tai, ko norite“.
Taliai

Noriu, kad kiekvienas pasiektų tai, ko nori. Dėkojame už bendradarbiavimą ir supratingumą.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų, teismo tvarka, teisminio proceso tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Paskutiniai vaizdo įrašai iš ilgos logaritminių lygčių sprendimo pamokų serijos. Šį kartą visų pirma dirbsime su logaritmu ODZ – būtent dėl ​​neteisingos apibrėžimo srities apskaitos (ar net ignoravimo) sprendžiant tokias problemas pasitaiko daugiausia klaidų.

Šioje trumpoje vaizdo pamokoje mes analizuosime logaritmų sudėties ir atimties formulių taikymą, taip pat nagrinėsime trupmenines racionaliąsias lygtis, dėl kurių daugelis studentų taip pat turi problemų.

Kas bus aptariama? Pagrindinė formulė, su kuria norėčiau susidoroti, atrodo taip:

log a (f g ) = log a f + log a g

Tai yra standartinis perėjimas nuo sandaugos prie logaritmų sumos ir atvirkščiai. Jūs tikriausiai žinote šią formulę nuo pat logaritmų tyrimo pradžios. Tačiau čia yra viena kliūtis.

Kol kintamieji a , f ir g yra įprasti skaičiai, problemų nėra. Ši formulė puikiai veikia.

Tačiau kai tik vietoj f ir g atsiranda funkcijos, iškyla apibrėžimo srities išplėtimo arba susiaurinimo problema, priklausomai nuo to, kokiu būdu konvertuoti. Spręskite patys: kairėje parašytame logaritme apibrėžimo sritis yra tokia:

fg > 0

Tačiau dešinėje parašytoje sumoje apibrėžimo sritis jau šiek tiek skiriasi:

f > 0

g > 0

Šis reikalavimų rinkinys yra griežtesnis nei pradinis. Pirmuoju atveju mus tenkins variantas f< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 vykdomas).

Taigi, pereinant nuo kairiosios konstrukcijos prie dešiniosios, apibrėžimo sritis siaurėja. Jei iš pradžių turėtume sumą ir ją perrašytume kaip sandaugą, tada apibrėžimo sritis išsiplečia.

Kitaip tariant, pirmuoju atveju galime netekti šaknų, o antruoju – gauti papildomų. Į tai reikia atsižvelgti sprendžiant realias logaritmines lygtis.

Taigi pirmoji užduotis yra tokia:

[Paveikslo antraštė]

Kairėje matome logaritmų sumą toje pačioje bazėje. Todėl šiuos logaritmus galima pridėti:

[Paveikslo antraštė]

Kaip matote, dešinėje mes pakeitėme nulį pagal formulę:

a = log b b a

Dar šiek tiek pertvarkykime savo lygtį:

log 4 (x – 5) 2 = log 4 1

Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, galime išbraukti log ženklą ir sulyginti argumentus:

(x – 5) 2 = 1

|x−5| = 1

Atkreipkite dėmesį: iš kur atsirado modulis? Leiskite jums priminti, kad tikslaus kvadrato šaknis yra tiksliai lygi moduliui:

[Paveikslo antraštė]

Tada išsprendžiame klasikinę lygtį su moduliu:

|f| = g (g > 0) ⇒f = ±g

x − 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 − 1 = 4; x 2 = 5 + 1 = 6

Štai du kandidatai į atsakymą. Ar jie yra pradinės logaritminės lygties sprendiniai? Negali būti!

Mes neturime teisės palikti visko taip ir užsirašyti atsakymą. Pažvelkite į žingsnį, kai logaritmų sumą pakeičiame vienu argumentų sandaugos logaritmu. Problema ta, kad originaliose išraiškose turime funkcijas. Todėl turėtų būti reikalaujama:

x(x − 5) > 0; (x – 5)/x > 0.

Kai transformavome gaminį, gaudami tikslų kvadratą, pasikeitė reikalavimai:

(x – 5) 2 > 0

Kada šis reikalavimas įvykdytas? Taip, beveik visada! Išskyrus atvejį, kai x − 5 = 0. Tai yra, nelygybė bus sumažinta iki vieno taško:

x − 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ 5

Kaip matote, apibrėžimo sritis išsiplėtė, apie kurią kalbėjome pačioje pamokos pradžioje. Todėl gali atsirasti ir papildomų šaknų.

Kaip išvengti šių papildomų šaknų atsiradimo? Tai labai paprasta: žiūrime į gautas šaknis ir lyginame jas su pradinės lygties sritimi. Suskaičiuokime:

x (x − 5) > 0

Išspręsime intervalo metodu:

x (x − 5) = 0 ⇒ x = 0; x = 5

Gautus skaičius pažymime tiesia linija. Visi taškai yra perbraukti, nes nelygybė yra griežta. Imame bet kokį skaičių, didesnį nei 5, ir pakeičiame:

[Paveikslo antraštė]

Mus domina intervalai (−∞; 0) ∪ (5; ∞). Jei atkarpoje pažymėsime savo šaknis, pamatysime, kad x = 4 mums netinka, nes ši šaknis yra už pradinės logaritminės lygties srities.

Grįžtame prie populiacijos, išbraukiame šaknį x \u003d 4 ir užrašome atsakymą: x \u003d 6. Tai galutinis atsakymas į pradinę logaritminę lygtį. Viskas, užduotis išspręsta.

Mes pereiname prie antrosios logaritminės lygties:

[Paveikslo antraštė]

Mes tai išsprendžiame. Atkreipkite dėmesį, kad pirmasis narys yra trupmena, o antrasis yra ta pati trupmena, bet apversta. Neišsigąskite lgx išraiškos – tai tik 10 bazinių logaritmų, galime parašyti:

lgx = log 10 x

Kadangi turime dvi apverstas trupmenas, siūlau įvesti naują kintamąjį:

[Paveikslo antraštė]

Todėl mūsų lygtis gali būti perrašyta taip:

t + 1/t = 2;

t + 1/t - 2 = 0;

(t 2 – 2t + 1)/t = 0;

(t − 1) 2 /t = 0.

Kaip matote, trupmenos skaitiklis yra tikslus kvadratas. Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis:

(t – 1) 2 = 0; t ≠ 0

Išsprendžiame pirmąją lygtį:

t − 1 = 0;

t = 1.

Ši vertė atitinka antrąjį reikalavimą. Todėl galima teigti, kad mes visiškai išsprendėme savo lygtį, bet tik kintamojo t atžvilgiu. Dabar prisiminkime, kas yra t:

[Paveikslo antraštė]

Gavome santykį:

lgx = 2 lgx + 1

2 lgx − lgx = −1

logx = −1

Pateikiame šią lygtį kanoninė forma:

lgx = lg 10 −1

x = 10 −1 = 0,1

Dėl to mes gavome vienintelę šaknį, kuri teoriškai yra pradinės lygties sprendimas. Tačiau žaiskime saugiai ir išrašykime pradinės lygties sritį:

[Paveikslo antraštė]

Todėl mūsų šaknis atitinka visus reikalavimus. Mes radome pradinės logaritminės lygties sprendimą. Atsakymas: x = 0,1. Problema išspręsta.

Šiandienos pamokoje yra tik vienas esminis dalykas: naudodamiesi perėjimo nuo sandaugos prie sumos formulę ir atvirkščiai, nepamirškite, kad apibrėžimo sritis gali susiaurėti arba išplėsti, priklausomai nuo to, kuria kryptimi pereinama.

Kaip suprasti, kas vyksta: susitraukimas ar išsiplėtimas? Labai paprasta. Jei anksčiau funkcijos buvo kartu, o dabar tapo atskiros, tai apibrėžimo apimtis susiaurėjo (nes atsirado daugiau reikalavimų). Jei iš pradžių funkcijos buvo atskiros, o dabar yra kartu, tada apibrėžimo sritis išplečiama (produktui keliama mažiau reikalavimų nei atskiriems veiksniams).

Atsižvelgdamas į šią pastabą, norėčiau pastebėti, kad antrajai logaritminei lygčiai šių transformacijų visiškai nereikia, t.y. argumentų niekur nesudedame ir nedauginame. Tačiau čia norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į dar vieną nuostabų triuką, leidžiantį gerokai supaprastinti sprendimą. Kalbama apie kintamojo keitimą.

Tačiau atminkite, kad joks pakeitimas neišlaisvina mūsų nuo taikymo srities. Štai kodėl radę visas šaknis, mes nebuvome pernelyg tingūs ir grįžome prie pradinės lygties, kad surastume jos ODZ.

Dažnai keičiant kintamąjį erzina klaida, kai mokiniai randa t reikšmę ir mano, kad sprendimas baigtas. Negali būti!

Suradę t reikšmę, turite grįžti prie pradinės lygties ir pamatyti, ką tiksliai pažymėjome šia raide. Dėl to turime išspręsti dar vieną lygtį, kuri vis dėlto bus daug paprastesnė nei pradinė.

Būtent tai yra naujo kintamojo įvedimo esmė. Pradinę lygtį padalijome į dvi tarpines, kurių kiekviena išsprendžiama daug lengviau.

Kaip išspręsti „įdėtas“ logaritmines lygtis

Šiandien mes toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuojame konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito logaritmo ženklu. Abi lygtis išspręsime naudodami kanoninę formą.

Šiandien mes toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuojame konstrukcijas, kai vienas logaritmas yra po kito ženklu. Abi lygtis išspręsime naudodami kanoninę formą. Leiskite jums priminti, kad jei turime paprasčiausią logaritminę lygtį log a f (x) \u003d b, tada tokiai lygčiai išspręsti atliekame šiuos veiksmus. Pirmiausia turime pakeisti skaičių b :

b = log a a b

Atkreipkite dėmesį, kad a b yra argumentas. Panašiai ir pradinėje lygtyje argumentas yra funkcija f(x). Tada perrašome lygtį ir gauname tokią konstrukciją:

log a f(x) = log a a b

Po to galime atlikti trečią veiksmą – atsikratyti logaritmo ženklo ir tiesiog parašyti:

f(x) = a b

Dėl to gauname naują lygtį. Šiuo atveju funkcijai f(x) netaikomi jokie apribojimai. Pavyzdžiui, jo vietoje taip pat gali būti logaritminė funkcija. Ir tada vėl gauname logaritminę lygtį, kurią vėl sumažiname iki paprasčiausios ir išsprendžiame kanonine forma.

Bet užteks dainų žodžių. Išspręskime tikrąją problemą. Taigi užduotis numeris 1:

2 log (1 + 3 log 2 x ) = 2

Kaip matote, turime paprastą logaritminę lygtį. F (x) vaidmuo yra konstrukcija 1 + 3 log 2 x, o skaičius b yra skaičius 2 (a vaidmuo taip pat yra du). Perrašykime šiuos du taip:

Svarbu suprasti, kad pirmieji du dvejetai atėjo pas mus iš logaritmo pagrindo, tai yra, jei pradinėje lygtyje būtų 5, tada gautume, kad 2 = log 5 5 2. Apskritai bazė priklauso tik nuo logaritmo, kuris iš pradžių pateikiamas uždavinyje. O mūsų atveju šis skaičius yra 2.

Taigi, mes perrašome savo logaritminę lygtį, atsižvelgdami į tai, kad du, kurie yra dešinėje, iš tikrųjų taip pat yra logaritmas. Mes gauname:

log 2 (1 + 3 log 2 x ) = log 2 4

Mes pereiname prie paskutinio mūsų schemos žingsnio - atsikratome kanoninės formos. Galima sakyti, tiesiog nubraukite rąsto ženklus. Tačiau matematikos požiūriu neįmanoma „išbraukti rąsto“ - teisingiau sakyti, kad mes tiesiog sulyginame argumentus:

1 + 3 log 2 x = 4

Iš čia lengva rasti 3 log 2 x :

3 log 2 x = 3

log 2 x = 1

Vėl gavome paprasčiausią logaritminę lygtį, grąžinkime ją į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, turime atlikti šiuos pakeitimus:

1 = log 2 2 1 = log 2 2

Kodėl bazėje yra deuce? Kadangi mūsų kanoninėje lygtyje kairėje logaritmas yra tiksliai 2 bazėje. Perrašome uždavinį atsižvelgdami į šį faktą:

log 2 x = log 2 2

Vėlgi, atsikratome logaritmo ženklo, t.y., argumentus tiesiog sulyginame. Turime teisę tai padaryti, nes pagrindai yra vienodi ir daugiau jokių papildomų veiksmų nebuvo atlikta nei dešinėje, nei kairėje:

Tai viskas! Problema išspręsta. Mes radome logaritminės lygties sprendimą.

Pastaba! Nors kintamasis x yra argumente (tai yra, yra reikalavimai apibrėžimo sričiai), mes nekelsime jokių papildomų reikalavimų.

Kaip minėjau aukščiau, šis patikrinimas yra nereikalingas, jei kintamasis yra tik viename tik vieno logaritmo argumente. Mūsų atveju x tikrai yra tik argumente ir tik po vienu žurnalo ženklu. Todėl papildomų patikrinimų nereikia.

Tačiau jei nepasitikite šiuo metodu, galite lengvai patikrinti, ar x = 2 tikrai yra šaknis. Pakanka pakeisti šį skaičių į pradinę lygtį.

Pereikime prie antrosios lygties, ji šiek tiek įdomiau:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = 1

Jei išraišką didžiojo logaritmo viduje pažymėsime funkcija f (x), gautume paprasčiausią logaritminę lygtį, su kuria pradėjome šiandienos vaizdo pamoką. Todėl galima taikyti kanoninę formą, kuriai vienetą reikia pavaizduoti forma log 2 2 1 = log 2 2.

Perrašant mūsų didžiąją lygtį:

log 2 (log 1/2 (2x − 1) + log 2 4) = log 2 2

Atsikratome logaritmo ženklo, sulygindami argumentus. Mes turime teisę tai padaryti, nes pagrindai yra vienodi kairėje ir dešinėje. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad log 2 4 = 2:

log 1/2 (2x − 1) + 2 = 2

log 1/2 (2x − 1) = 0

Prieš mus vėl yra paprasčiausia logaritminė lygtis log a f (x) \u003d b. Mes pereiname prie kanoninės formos, ty nulį pavaizduojame formoje log 1/2 (1/2)0 = log 1/2 1.

Perrašome savo lygtį ir atsikratome žurnalo ženklo sulygindami argumentus:

log 1/2 (2x − 1) = log 1/2 1

2x − 1 = 1

Vėlgi, iškart gavome atsakymą. Jokių papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje lygtyje tik viename logaritme yra funkcija argumente.

Todėl papildomų patikrinimų nereikia. Galime drąsiai teigti, kad x = 1 yra vienintelė šios lygties šaknis.

Bet jei antrajame logaritme vietoj keturių būtų kokia x funkcija (arba 2x būtų ne argumente, o bazėje) - tada reiktų patikrinti apibrėžimo sritį. Priešingu atveju yra didelė tikimybė patekti į papildomas šaknis.

Iš kur atsiranda šios papildomos šaknys? Šį dalyką reikia suprasti labai aiškiai. Pažiūrėkite į pradines lygtis: visur funkcija x yra po logaritmo ženklu. Todėl, kadangi įrašėme log 2 x , automatiškai nustatome reikalavimą x > 0. Priešingu atveju šis įrašas tiesiog neturi prasmės.

Tačiau, sprendžiant logaritminę lygtį, atsikratome visų rąsto ženklų ir gauname paprastas konstrukcijas. Čia jau nėra nustatyti jokie apribojimai, nes tiesinė funkcija yra apibrėžta bet kuriai x reikšmei.

Būtent dėl ​​šios problemos, kai galutinė funkcija apibrėžiama visur ir visada, o pradinė – anaiptol ne visur ir ne visada, todėl logaritminių lygčių sprendime labai dažnai atsiranda papildomų šaknų.

Bet dar kartą kartoju: tai atsitinka tik tada, kai funkcija yra arba keliuose logaritmuose, arba vieno iš jų pagrindu. Problemose, kurias šiandien svarstome, iš esmės nėra problemų plečiant apibrėžimo sritį.

Skirtingo pagrindo atvejai

Ši pamoka skirta sudėtingos struktūros. Šiandieninėse lygtyse logaritmai nebebus sprendžiami „tušti“ – pirmiausia reikia atlikti kai kurias transformacijas.

Pradedame spręsti logaritmines lygtis su visiškai skirtingomis bazėmis, kurios nėra tikslios viena kitos laipsniai. Neišsigąskite tokių užduočių – jas išspręsti nėra sunkiau nei daugumą paprasti dizainai kuriuos aptarėme aukščiau.

Tačiau prieš pereinant tiesiai prie uždavinių, leiskite man priminti paprasčiausių logaritminių lygčių sprendimo formulę naudojant kanoninę formą. Apsvarstykite tokią problemą:

log a f(x) = b

Svarbu, kad funkcija f (x) būtų tik funkcija, o skaičiai a ir b būtų tiksliai tokie skaičiai (be kintamųjų x). Žinoma, pažodžiui po minutės apsvarstysime ir tokius atvejus, kai vietoj kintamųjų a ir b yra funkcijos, bet dabar ne apie tai.

Kaip prisimename, skaičius b turi būti pakeistas logaritmu toje pačioje bazėje a, kuri yra kairėje. Tai daroma labai paprastai:

b = log a a b

Žinoma, žodžiai „bet koks skaičius b“ ir „bet koks skaičius a“ reiškia tokias reikšmes, kurios atitinka apibrėžimo sritį. Visų pirma, ši lygtis susijusi tik su baze a > 0 ir a ≠ 1.

Tačiau šis reikalavimas įvykdomas automatiškai, nes pradiniame uždavinyje jau yra logaritmas bazei a – jis tikrai bus didesnis už 0 ir nelygus 1. Todėl tęsiame logaritminės lygties sprendimą:

log a f(x) = log a a b

Toks žymėjimas vadinamas kanonine forma. Jo patogumas yra tas, kad galime iš karto atsikratyti rąsto ženklo, sulygindami argumentus:

f(x) = a b

Būtent šią techniką dabar naudosime sprendžiant logaritmines lygtis su kintamu pagrindu. Taigi eikime!

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 0,5 0,125

Kas toliau? Kažkas dabar pasakys, kad reikia apskaičiuoti teisingą logaritmą arba sumažinti juos iki vienos bazės ar dar kažko. Ir iš tiesų, dabar reikia suvesti abi bazes į tą pačią formą - arba 2, arba 0,5. Bet kartą ir visiems laikams išmokime šią taisyklę:

Jei logaritminėje lygtyje yra po kablelio, būtinai konvertuokite šias trupmenas iš dešimtainių į įprastas. Tokia transformacija gali gerokai supaprastinti sprendimą.

Toks perėjimas turi būti atliktas nedelsiant, net prieš atliekant bet kokius veiksmus ir transformacijas. Pažiūrėkime:

log 2 (x 2 + 4x + 11) = log 1/2 1/8

Ką mums duoda toks rekordas? 1/2 ir 1/8 galime pavaizduoti kaip neigiamą eksponentą:

[Paveikslo antraštė]

Mes turime kanoninę formą. Sulyginkite argumentus ir gaukite klasikinę kvadratinę lygtį:

x 2 + 4x + 11 = 8

x 2 + 4x + 3 = 0

Prieš mus yra duota kvadratinė lygtis, kurią lengva išspręsti naudojant Vieta formules. Panašius skaičiavimus vidurinėje mokykloje turėtumėte pamatyti tiesiog žodžiu:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Tai viskas! Išspręsta pradinė logaritminė lygtis. Mes turime dvi šaknis.

Leiskite jums priminti, kad šiuo atveju nereikia apibrėžti apimties, nes funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Todėl apimtis atliekama automatiškai.

Taigi pirmoji lygtis išspręsta. Pereikime prie antrojo:

log 0,5 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 1/9

log 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = log 3 9 −1

Ir dabar atkreipkite dėmesį, kad pirmojo logaritmo argumentas taip pat gali būti parašytas kaip laipsnis su neigiamu rodikliu: 1/2 = 2 −1. Tada galite paimti abiejų lygties pusių galias ir padalyti viską iš −1:

[Paveikslo antraštė]

Ir dabar mes baigėme labai svarbų logaritminės lygties sprendimo žingsnį. Galbūt kažkas kažko nepastebėjo, todėl paaiškinsiu.

Pažvelkite į mūsų lygtį: log yra kairėje ir dešinėje, bet 2 bazinis logaritmas yra kairėje, o 3 bazinis logaritmas yra dešinėje.

Todėl tai yra logaritmai su skirtingais pagrindais, kurie nėra redukuojami vienas į kitą paprastu eksponentu. Vienintelis būdas išspręsti tokias problemas yra atsikratyti vieno iš šių logaritmų. Šiuo atveju, kadangi vis dar svarstome gana paprastas problemas, dešinėje esantis logaritmas buvo tiesiog apskaičiuotas ir gavome paprasčiausią lygtį – būtent tą, apie kurią kalbėjome pačioje šios dienos pamokos pradžioje.

Pavaizduokime skaičių 2, kuris yra dešinėje, kaip log 2 2 2 = log 2 4. Ir tada atsikratykite logaritmo ženklo, po kurio mums lieka tik kvadratinė lygtis:

2 žurnalas (5x 2 + 9x + 2) = log 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x − 2 = 0

Prieš mus yra įprasta kvadratinė lygtis, tačiau ji nėra sumažinta, nes koeficientas, esantis x 2, skiriasi nuo vienybės. Todėl mes ją išspręsime naudodami diskriminantą:

D = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2

Tai viskas! Mes radome abi šaknis, o tai reiškia, kad gavome pradinės logaritminės lygties sprendimą. Iš tikrųjų pradinėje užduotyje funkcija su kintamuoju x yra tik viename argumente. Vadinasi, nereikia jokių papildomų patikrų apibrėžimo srityje – abi mūsų rastos šaknys tikrai atitinka visus galimus apribojimus.

Tai galėtų būti šios dienos vaizdo pamokos pabaiga, tačiau pabaigai norėčiau dar kartą pasakyti: spręsdami logaritmines lygtis būtinai konvertuokite visas dešimtaines trupmenas į paprastas. Daugeliu atvejų tai labai supaprastina jų sprendimą.

Retai, labai retai pasitaiko problemų, kai atsikratant dešimtainių trupmenų skaičiavimai tik apsunkinami. Tačiau tokiose lygtyse, kaip taisyklė, iš pradžių aišku, kad nebūtina atsikratyti dešimtainių trupmenų.

Daugeliu kitų atvejų (ypač jei tik pradedate treniruotis spręsti logaritmines lygtis) nedvejodami atsikratykite dešimtainių trupmenų ir išverskite jas į įprastas. Kadangi praktika rodo, kad tokiu būdu jūs labai supaprastinsite tolesnį sprendimą ir skaičiavimus.

Sprendimo subtilybės ir gudrybės

Šiandien pereiname prie sudėtingesnių problemų ir išspręsime logaritminę lygtį, kuri remiasi ne skaičiumi, o funkcija.

Ir net jei ši funkcija yra tiesinė, sprendinio schemoje reikės atlikti nedidelius pakeitimus, kurių prasmė susiveda į papildomus logaritmo apibrėžimo srities reikalavimus.

Sunkios užduotys

Ši pamoka bus gana ilga. Jame analizuosime dvi gana rimtas logaritmines lygtis, kurias spręsdami klysta daug mokinių. Per savo matematikos mokytojo praktiką nuolat susidurdavau su dviejų tipų klaidomis:

1. Papildomų šaknų atsiradimas dėl logaritmų apibrėžimo srities išplėtimo. Kad nepadarytumėte tokių įžeidžiančių klaidų, tiesiog atidžiai stebėkite kiekvieną transformaciją;
2. Šaknų praradimas dėl to, kad studentas pamiršo apsvarstyti kai kuriuos „subtilius“ atvejus – būtent į tokias situacijas šiandien ir skirsime dėmesį.

Tai paskutinė logaritminių lygčių pamoka. Tai bus ilga, analizuosime sudėtingas logaritmines lygtis. Įsitaisykite patogiai, išsivirkite arbatos ir pradėsime.

Pirmoji lygtis atrodo gana standartinė:

log x + 1 (x - 0,5) = log x - 0,5 (x + 1)

Iš karto pastebime, kad abu logaritmai yra atvirkštinės vienas kito kopijos. Prisiminkime nuostabią formulę:

log a b = 1/log b a

Tačiau ši formulė turi keletą apribojimų, atsirandančių, jei vietoj skaičių a ir b yra kintamojo x funkcijos:

b > 0

1 ≠ a > 0

Šie reikalavimai keliami logaritmo pagrindu. Kita vertus, trupmenoje privalome turėti 1 ≠ a > 0, nes ne tik kintamasis a yra logaritmo argumente (taigi, a > 0), bet ir pats logaritmas yra vardiklyje trupmena. Bet log b 1 = 0, o vardiklis turi būti ne nulis, taigi a ≠ 1.

Taigi, kintamojo a apribojimai išsaugomi. Bet kas atsitiks su kintamuoju b? Viena vertus, iš bazės seka b > 0, kita vertus, kintamasis b ≠ 1, nes logaritmo bazė turi skirtis nuo 1. Iš viso iš dešinės formulės pusės išplaukia, kad 1 ≠ b > 0.

Tačiau čia yra problema: antrojo reikalavimo (b ≠ 1) trūksta pirmojoje nelygybėje kairiajame logaritme. Kitaip tariant, atlikdami šią transformaciją, privalome patikrinti atskirai kad argumentas b skiriasi nuo vieno!

Štai, patikrinkime. Taikykime savo formulę:

[Paveikslo antraštė]

1 ≠ x - 0,5 > 0; 1 ≠ x + 1 > 0

Taigi jau iš pradinės logaritminės lygties gavome, kad ir a, ir b turi būti didesni už 0, o ne lygūs 1. Taigi logaritminę lygtį galime lengvai apversti:

Siūlau įvesti naują kintamąjį:

log x + 1 (x − 0,5) = t

Tokiu atveju mūsų konstrukcija bus perrašyta taip:

(t 2 − 1)/t = 0

Atkreipkite dėmesį, kad skaitiklyje turime kvadratų skirtumą. Kvadratų skirtumą atskleidžiame naudodami sutrumpintą daugybos formulę:

(t – 1)(t + 1)/t = 0

Trupmena yra lygi nuliui, kai jos skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis – ne nulis. Tačiau skaitiklyje yra sandauga, todėl kiekvieną veiksnį prilyginame nuliui:

t1 = 1;

t2 = -1;

t ≠ 0.

Kaip matote, abi kintamojo t reikšmės mums tinka. Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes reikia rasti ne t , o x reikšmę. Grįžtame prie logaritmo ir gauname:

log x + 1 (x - 0,5) = 1;

log x + 1 (x - 0,5) = -1.

Perkelkime kiekvieną iš šių lygčių į kanoninę formą:

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) 1

log x + 1 (x - 0,5) = log x + 1 (x + 1) -1

Pirmuoju atveju atsikratome logaritmo ženklo ir sulyginame argumentus:

x − 0,5 = x + 1;

x - x \u003d 1 + 0,5;

Tokia lygtis neturi šaknų, todėl pirmoji logaritminė lygtis taip pat neturi šaknų. Bet su antrąja lygtimi viskas yra daug įdomiau:

(x – 0,5)/1 = 1/(x + 1)

Išsprendžiame proporciją - gauname:

(x – 0,5) (x + 1) = 1

Primenu, kad sprendžiant logaritmines lygtis daug patogiau duoti visas bendrąsias dešimtaines trupmenas, tad perrašykime savo lygtį taip:

(x – 1/2) (x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

x 2 + 1/2x - 3/2 = 0.

Prieš mus yra duota kvadratinė lygtis, ji lengvai išsprendžiama naudojant Vieta formules:

(x + 3/2) (x - 1) = 0;

x 1 \u003d -1,5;

x2 = 1.

Gavome dvi šaknis – jos yra kandidatės į pradinę logaritminę lygtį. Kad suprastume, kokios šaknys iš tikrųjų glūdi atsakymui, grįžkime prie pradinės problemos. Dabar patikrinsime kiekvieną savo šaknį, kad pamatytume, ar jos atitinka taikymo sritį:

1,5 ≠ x > 0,5; 0 ≠ x > –1.

Šie reikalavimai prilygsta dvigubai nelygybei:

1 ≠ x > 0,5

Iš čia iš karto matome, kad šaknis x = −1,5 mums netinka, bet x = 1 yra gana patenkinta. Todėl x = 1 yra galutinis logaritminės lygties sprendimas.

Pereikime prie antrosios užduoties:

log x 25 + log 125 x 5 = log 25 x 625

Iš pirmo žvilgsnio gali atrodyti, kad visi logaritmai skirtingi pagrindai ir įvairių argumentų. Ką daryti su tokiomis struktūromis? Visų pirma, atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 25, 5 ir 625 yra 5 laipsniai:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

O dabar naudosime nepaprastą logaritmo savybę. Faktas yra tas, kad iš argumento laipsnius galite išskirti faktorių forma:

log a b n = n ∙ log a b

Šiai transformacijai taip pat taikomi apribojimai, kai vietoje b yra funkcija. Bet pas mus b yra tik skaičius ir jokių papildomų apribojimų nekyla. Perrašykime savo lygtį:

2 ∙ rąstas x 5 + rąstas 125 x 5 = 4 ∙ rąstas 25 x 5

Gavome lygtį su trimis terminais, kuriuose yra žurnalo ženklas. Be to, visų trijų logaritmų argumentai yra lygūs.

Atėjo laikas apversti logaritmus, kad jie būtų vienodi – 5. Kadangi kintamasis b yra konstanta, apimtis nesikeičia. Mes tiesiog perrašome:

[Paveikslo antraštė]

Kaip ir tikėtasi, vardiklyje „nuskaityti“ tie patys logaritmai. Siūlau pakeisti kintamąjį:

log 5 x = t

Tokiu atveju mūsų lygtis bus perrašyta taip:

Išrašykime skaitiklį ir atidarykime skliaustus:

2 (t + 3) (t + 2) + t (t + 2) - 4 t (t + 3) = 2 (t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t 2 + 2 t - 4 t 2 - 12 t = -t 2 + 12

Grįžtame į savo frakciją. Skaitiklis turi būti lygus nuliui:

[Paveikslo antraštė]

Ir vardiklis skiriasi nuo nulio:

t ≠ 0; t ≠ –3; t ≠ –2

Paskutiniai reikalavimai įvykdomi automatiškai, nes jie visi yra „susieti“ su sveikaisiais skaičiais, o visi atsakymai yra neracionalūs.

Taigi, trupmeninė-racionali lygtis išspręsta, randamos kintamojo t reikšmės. Grįžtame prie logaritminės lygties sprendimo ir prisimename, kas yra t:

[Paveikslo antraštė]

Perkeliame šią lygtį į kanoninę formą, gauname skaičių su neracionaliu laipsniu. Tegul tai jūsų nesupainioja – netgi tokie argumentai gali būti tapatinami:

[Paveikslo antraštė]

Mes turime dvi šaknis. Tiksliau, du kandidatai į atsakymus – patikrinkime, ar jie atitinka apimtį. Kadangi logaritmo pagrindas yra kintamasis x, mums reikia:

1 ≠ x > 0;

Su ta pačia sėkme tvirtiname, kad x ≠ 1/125, kitaip antrojo logaritmo bazė pavirs vienu. Galiausiai x ≠ 1/25 trečiajam logaritmui.

Iš viso turime keturis apribojimus:

1 ≠ x > 0; x ≠ 1/125; x ≠ 1/25

Dabar kyla klausimas: ar mūsų šaknys atitinka šiuos reikalavimus? Tikrai patenkinta! Kadangi 5 bet kokiam laipsniui bus didesnis už nulį, o reikalavimas x > 0 yra automatiškai įvykdytas.

Kita vertus, 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3, o tai reiškia, kad šie apribojimai mūsų šaknims (kurie, priminsiu, turi neracionalų skaičių rodiklis) taip pat atitinka, ir abu atsakymai yra problemos sprendimai.

Taigi mes turime galutinį atsakymą. Pagrindiniai klausimaiŠioje dalyje yra dvi užduotys:

1. Būkite atsargūs keisdami logaritmą, kai argumentas ir bazė yra atvirkščiai. Tokios transformacijos nustato nereikalingus apibrėžimo srities apribojimus.
2. Nebijokite konvertuoti logaritmų: galite juos ne tik apversti, bet ir atidaryti pagal sumos formulę ir apskritai keisti pagal bet kokias formules, kurias studijavote spręsdami logaritmines išraiškas. Tačiau visada atminkite, kad kai kurios transformacijos išplečia taikymo sritį, o kai kurios ją susiaurina.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir žinutėms siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Jei tai būtina – pagal įstatymus, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valstybinių institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas dėl saugumo, teisėsaugos ar kitų viešojo intereso priežasčių.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Instrukcija

Užsirašykite duotą logaritminė išraiška. Jei išraiška naudoja 10 logaritmą, tada jo žymėjimas sutrumpinamas ir atrodo taip: lg b yra dešimtainis logaritmas. Jei logaritmo pagrindas yra skaičius e, tada išraiška rašoma: ln b - natūralusis logaritmas. Suprantama, kad bet kurio rezultatas yra laipsnis, iki kurio turi būti padidintas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Surandant dviejų funkcijų sumą, tereikia jas atskirti po vieną ir sudėti rezultatus: (u+v)" = u"+v";

Surandant dviejų funkcijų sandaugos išvestinę, reikia padauginti pirmosios funkcijos išvestinę iš antrosios ir pridėti antrosios funkcijos išvestinę, padaugintą iš pirmosios funkcijos: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Norint rasti dviejų funkcijų dalinio išvestinę, iš dividendo išvestinės sandaugos, padauginto iš daliklio funkcijos, reikia atimti daliklio išvestinės sandaugą, padaugintą iš daliklio funkcijos, ir padalyti visa tai daliklio funkcija kvadratu. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Jeigu duota kompleksinė funkcija, tai reikia padauginti vidinės funkcijos išvestinę ir išorinės išvestinę. Tegul y=u(v(x)), tada y"(x)=y"(u)*v"(x).

Naudodamiesi aukščiau pateikta informacija, galite atskirti beveik bet kurią funkciją. Taigi pažvelkime į keletą pavyzdžių:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Taip pat yra užduočių, skirtų išvestinei taške apskaičiuoti. Tegu funkcija y=e^(x^2+6x+5) duota, reikia rasti funkcijos reikšmę taške x=1.
1) Raskite funkcijos išvestinę: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Apskaičiuokite funkcijos reikšmę duotame taške y"(1)=8*e^0=8

Susiję vaizdo įrašai

Naudingas patarimas

Išmok elementariųjų išvestinių lentelę. Taip sutaupysite daug laiko.

Šaltiniai:

• pastovioji išvestinė

Taigi, kuo skiriasi neracionali lygtis nuo racionalios? Jei nežinomas kintamasis yra po ženklu kvadratinė šaknis, tada lygtis laikoma neracionalia.

Instrukcija

Pagrindinis tokių lygčių sprendimo būdas yra abiejų pusių pakėlimo metodas lygtysį aikštę. Tačiau. tai natūralu, pirmiausia reikia atsikratyti ženklo. Techniškai šis metodas nėra sunkus, tačiau kartais gali kilti problemų. Pavyzdžiui, lygtis v(2x-5)=v(4x-7). Padalinus abi puses kvadratu, gaunama 2x-5=4x-7. Tokią lygtį nesunku išspręsti; x=1. Bet numeris 1 nebus suteiktas lygtys. Kodėl? Vietoj x reikšmės lygtyje pakeiskite vienetą, o dešinėje ir kairėje pusėje bus išraiškos, kurios neturi prasmės, tai yra. Tokia reikšmė negalioja kvadratinei šakniai. Todėl 1 yra pašalinė šaknis, todėl ši lygtis neturi šaknų.

Taigi, neracionali lygtis išspręsta naudojant abiejų jos dalių kvadratūros metodą. Ir išsprendus lygtį, reikia nupjauti pašalines šaknis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite rastas šaknis į pradinę lygtį.

Apsvarstykite kitą.
2x+vx-3=0
Žinoma, šią lygtį galima išspręsti naudojant tą pačią lygtį kaip ir ankstesnė. Perkėlimo junginiai lygtys, kurie neturi kvadratinės šaknies, į dešinę pusę ir tada naudokite kvadrato metodą. išspręskite gautą racionaliąją lygtį ir šaknis. Bet kitas, elegantiškesnis. Įveskite naują kintamąjį; vx=y. Atitinkamai gausite tokią lygtį kaip 2y2+y-3=0. Tai yra įprasta kvadratinė lygtis. Raskite jo šaknis; y1=1 ir y2=-3/2. Tada išspręskite du lygtys vx=1; vx \u003d -3/2. Antroji lygtis neturi šaknų, iš pirmosios matome, kad x=1. Nepamirškite apie būtinybę patikrinti šaknis.

Išspręsti tapatybes yra gana paprasta. Tam reikia atlikti identiškas transformacijas, kol bus pasiektas tikslas. Taigi, paprasčiausių aritmetinių veiksmų pagalba bus išspręsta užduotis.

Jums reikės

• - popierius;
• - rašiklis.

Instrukcija

Paprasčiausios tokios transformacijos yra algebrinės sutrumpintos daugybos (pavyzdžiui, sumos kvadratas (skirtumas), kvadratų skirtumas, suma (skirtumas), sumos (skirtumo) kubas). Be to, yra daug trigonometrines formules, kurios iš esmės yra tos pačios tapatybės.

Iš tiesų, dviejų narių sumos kvadratas yra lygus pirmojo kvadratui plius du kartus pirmojo ir antrojo sandaugai plius antrojo kvadratui, tai yra (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Supaprastinkite abu

Bendrieji sprendimo principai

Pakartokite iš matematinės analizės arba aukštosios matematikos vadovėlio, kuris yra neabejotinas integralas. Kaip žinote, sprendimas apibrėžtasis integralas yra funkcija, kurios išvestinė duos integrandą. Ši funkcija vadinama antiderivatine. Pagal šį principą konstruojami pagrindiniai integralai.
Pagal integrando formą nustatykite, kuris iš lentelės integralų tinka šiuo atveju. Ne visada tai įmanoma iš karto nustatyti. Dažnai lentelės forma tampa pastebima tik po kelių transformacijų, siekiant supaprastinti integrandą.

Kintamojo pakeitimo metodas

Jei integrandas yra trigonometrinė funkcija, kurios argumentas yra polinomas, pabandykite naudoti kintamųjų keitimo metodą. Norėdami tai padaryti, pakeiskite daugianarį integrando argumente nauju kintamuoju. Remdamiesi naujojo ir senojo kintamojo santykiu, nustatykite naujas integracijos ribas. Išskirdami šią išraišką, raskite naują skirtumą . Taip jūs gausite naujos rūšies buvęs integralas, artimas ar net atitinkantis bet kurią lentelę.

Antrosios rūšies integralų sprendimas

Jei integralas yra antrojo tipo integralas, vektoriaus integrando forma, tuomet turėsite naudoti taisykles, kaip pereiti nuo šių integralų prie skaliarinių. Viena iš tokių taisyklių yra Ostrogradskio ir Gauso santykis. Šis dėsnis leidžia pereiti nuo tam tikros vektorinės funkcijos rotoriaus srauto į trigubą integralą per tam tikro vektoriaus lauko divergenciją.

Integracijos ribų pakeitimas

Radus antidarinį, būtina pakeisti integracijos ribas. Pirma, viršutinės ribos reikšmę pakeiskite antidarinio išraiška. Jūs gausite tam tikrą numerį. Tada iš gauto skaičiaus atimkite kitą skaičių, gautą apatinę antidarinio ribą. Jei viena iš integravimo ribų yra begalybė, pakeiskite ją į antiderivatinė funkcija reikia eiti iki ribos ir rasti tai, į ką linksta posakis.
Jei integralas yra dvimatis arba trimatis, tuomet turėsite pavaizduoti geometrines integracijos ribas, kad suprastumėte, kaip apskaičiuoti integralą. Iš tiesų, tarkime, trimačio integralo atveju, integravimo ribos gali būti ištisos plokštumos, ribojančios integruojamą tūrį.