Rodiklis naudojamas tam, kad būtų lengviau parašyti skaičiaus dauginimo iš savęs operaciją. Pavyzdžiui, užuot rašę, galite rašyti 4 5 (\displaystyle 4^(5))(tokio perėjimo paaiškinimas pateiktas pirmoje šio straipsnio dalyje). Rodikliai leidžia lengviau rašyti ilgą arba sudėtingos išraiškos arba lygtys; Be to, galios yra lengvai pridedamos ir atimamos, todėl išraiška ar lygtis supaprastėja (pvz., 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Pastaba: jei reikia išspręsti eksponentinę lygtį (tokioje lygtyje nežinomasis yra eksponente), skaitykite.

Žingsniai

Paprastų problemų sprendimas su galiomis

Rodiklio bazę padauginkite iš savęs tiek kartų, kiek yra lygus eksponentui. Jei jums reikia rankiniu būdu išspręsti problemą su eksponentais, perrašykite eksponentą kaip daugybos operaciją, kur laipsnio bazė dauginama iš savęs. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į laipsnį 3 4 (\displaystyle 3^(4)). Šiuo atveju 3 laipsnio bazė turi būti padauginta iš savęs 4 kartus: 3 * 3 * 3 * 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Štai kiti pavyzdžiai:

Pirma, padauginkite pirmuosius du skaičius. Pavyzdžiui, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Nesijaudinkite – skaičiavimo procesas nėra toks sudėtingas, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Pirmiausia padauginkite pirmuosius du keturgubus, o tada pakeiskite juos rezultatu. Kaip šitas:

• 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4)
  • 4 ∗ 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Padauginkite rezultatą (mūsų pavyzdyje 16) iš kito skaičiaus. Kiekvienas paskesnis rezultatas proporcingai didės. Mūsų pavyzdyje padauginkite 16 iš 4. Taip:

   • 4 5 = 16 * 4 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 16 * 4 * 4 * 4)
     • 16 ∗ 4 = 64 (\displaystyle 16*4 = 64)
   • 4 5 = 64 * 4 * 4 (\displaystyle 4^ (5) = 64 * 4 * 4)
     • 64 ∗ 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5) = 256*4)
     • 256 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Pirmųjų dviejų skaičių padauginimo rezultatą toliau dauginkite iš kito skaičiaus, kol gausite galutinį atsakymą. Norėdami tai padaryti, padauginkite pirmuosius du skaičius, o tada padauginkite rezultatą iš kito sekos skaičiaus. Šis metodas tinka bet kokiam laipsniui. Mūsų pavyzdyje turėtumėte gauti: 4 5 = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024 (\displaystyle 4^ (5) = 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 1024) .

2. Išspręskite šias problemas. Patikrinkite savo atsakymą skaičiuotuvu.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. Skaičiuoklėje ieškokite rakto, pažymėto „exp“ arba „ x n (\displaystyle x^(n))“ arba „^“. Naudodami šį klavišą padidinsite skaičių iki laipsnio. Rankiniu būdu apskaičiuoti laipsnį naudojant didelį eksponentą (pavyzdžiui, laipsnį) praktiškai neįmanoma 9 15 (\displaystyle 9^(15))), tačiau skaičiuotuvas gali lengvai susidoroti su šia užduotimi. „Windows 7“ standartinį skaičiuotuvą galima perjungti į inžinerinį režimą; Norėdami tai padaryti, spustelėkite „Peržiūrėti“ -\u003e „Inžinerija“. Norėdami perjungti įprastą režimą, spustelėkite „Peržiūrėti“ -\u003e „Įprastas“.

   • Patikrinkite gautą atsakymą naudodami paieškos variklį („Google“ arba „Yandex“). Kompiuterio klaviatūros mygtuku „^“ įveskite posakį į paieškos variklį, kuris akimirksniu parodys teisingą atsakymą (ir galbūt pasiūlys panašių posakių tyrimui).

   Sudėjimas, atimtis, laipsnių daugyba

   1. Galite pridėti ir atimti galias tik tuo atveju, jei jų bazė yra tokia pati. Jei jums reikia pridėti galias su tomis pačiomis bazėmis ir eksponentais, tada sudėties operaciją galite pakeisti daugybos operacija. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Atminkite, kad laipsnis 4 5 (\displaystyle 4^(5)) gali būti pavaizduotas kaip 1 ∗ 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); taigi, 4 5 + 4 5 = 1 ∗ 4 5 + 1 ∗ 4 5 = 2 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(kur 1 +1 =2). Tai yra, suskaičiuokite panašių laipsnių skaičių ir padauginkite tokį laipsnį iš šio skaičiaus. Mūsų pavyzdyje padidinkite 4 iki penktojo laipsnio, o tada rezultatą padauginkite iš 2. Atminkite, kad sudėjimo operaciją galima pakeisti daugybos operacija, pvz. 3 + 3 = 2 ∗ 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Štai kiti pavyzdžiai:

      • 3 2 + 3 2 = 2 ∗ 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 ∗ 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Dauginant laipsnius su ta pačia baze, pridedami jų eksponentai (pagrindas nesikeičia). Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką x 2 ∗ x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Tokiu atveju tereikia pridėti rodiklius, palikdami pagrindą nepakeistą. Šiuo būdu, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Štai vaizdinis šios taisyklės paaiškinimas:

      Didinant laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami. Pavyzdžiui, suteiktas laipsnis. Kadangi rodikliai yra padauginti, tada (x 2) 5 = x 2 ∗ 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Šios taisyklės prasmė yra ta, kad jūs padauginate galią (x 2) (\displaystyle (x^(2))) ant savęs penkis kartus. Kaip šitas:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Kadangi bazė yra ta pati, eksponentai tiesiog susumuojami: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Rodiklis su neigiamu eksponentu turėtų būti paverstas trupmena (atvirkštine galia). Nesvarbu, jei nežinote, kas yra abipusis santykis. Pavyzdžiui, jei jums suteikiamas laipsnis su neigiamu rodikliu, 3–2 (\displaystyle 3^(-2)), įrašykite šią laipsnį į trupmenos vardiklį (į skaitiklį įdėkite 1), o eksponentą padarykite teigiamą. Mūsų pavyzdyje: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). Štai kiti pavyzdžiai:

      Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami (bazė nekinta). Dalybos operacija yra priešinga daugybos operacijai. Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Atimkite vardiklyje esantį rodiklį iš skaitiklio laipsnio (pagrindo nekeiskite). Šiuo būdu, 4 4 4 2 = 4 4 − 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4)))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Vardiklio laipsnį galima parašyti taip: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4–2 (\displaystyle 4^(-2)). Atminkite, kad trupmena yra skaičius (laipsnis, išraiška) su neigiamu rodikliu.

   4. Žemiau yra keletas posakių, padėsiančių jums sužinoti, kaip išspręsti galios problemas. Aukščiau pateiktos išraiškos apima šiame skyriuje pateiktą medžiagą. Norėdami pamatyti atsakymą, tiesiog pažymėkite tuščią vietą po lygybės ženklo.

   Užduočių sprendimas su trupmeniniais eksponentais

   Laipsnis su trupmeniniu rodikliu (pvz., ) paverčiamas šaknies išskyrimo operacija. Mūsų pavyzdyje: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Nesvarbu, koks skaičius yra trupmeninio rodiklio vardiklyje. Pavyzdžiui, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) yra ketvirtoji "x" šaknis x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. Jei rodiklis yra netinkama trupmena, tada toks eksponentas gali būti išskaidytas į dvi laipsnius, kad būtų supaprastintas problemos sprendimas. Čia nėra nieko sudėtingo – tiesiog atsiminkite galių dauginimo taisyklę. Pavyzdžiui, suteiktas laipsnis. Paverskite tą rodiklį šaknimi, kurios rodiklis yra lygus trupmeninio rodiklio vardikliui, o tada pakelkite tą šaknį iki laipsnio, lygaus trupmeninio rodiklio skaitikliui. Norėdami tai padaryti, atsiminkite tai 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) ∗ 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Mūsų pavyzdyje:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. Kai kuriuose skaičiuotuvuose yra eksponentų skaičiavimo mygtukas (pirmiausia reikia įvesti bazę, tada paspausti mygtuką ir tada įvesti eksponentą). Jis žymimas kaip ^ arba x^y.
   3. Atminkite, kad bet kuris skaičius yra lygus pirmajam laipsniui, pavyzdžiui, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Be to, bet koks skaičius, padaugintas arba padalytas iš vieno, yra lygus sau, pavyzdžiui, 5 ∗ 1 = 5 (\displaystyle 5*1 = 5) ir 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1 = 5).
   4. Žinokite, kad laipsnis 0 0 neegzistuoja (toks laipsnis neturi sprendimo). Kai bandysite išspręsti tokį laipsnį skaičiuotuvu ar kompiuteriu, gausite klaidą. Tačiau atminkite, kad bet kuris skaičius, kurio laipsnis yra nulis, yra lygus 1, pavyzdžiui, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. Aukštojoje matematikoje, kuri veikia su įsivaizduojamais skaičiais: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), kur i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e yra konstanta, maždaug lygi 2,7; a yra savavališka konstanta. Šios lygybės įrodymą galima rasti bet kuriame aukštosios matematikos vadovėlyje.

   Įspėjimai

   • Didėjant eksponentui, jo vertė labai padidėja. Todėl, jei atsakymas jums atrodo neteisingas, iš tikrųjų jis gali pasirodyti teisingas. Tai galite patikrinti nubraižydami bet kurią eksponentinę funkciją, pvz., 2 x .

Į mūsų svetainės „YouTube“ kanalą, kad sužinotumėte apie visas naujas vaizdo įrašų pamokas.

Pirmiausia prisiminkime pagrindines laipsnių formules ir jų savybes.

Skaičiaus sandauga a atsitinka n kartų, šią išraišką galime parašyti kaip a a … a=a n

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. a n a m = a n + m

4. (a n) m = a nm

5. a n b n = (ab) n

7. a n / a m \u003d a n - m

Galios arba eksponentinės lygtys- tai lygtys, kuriose kintamieji yra laipsniais (arba laipsniais), o pagrindas yra skaičius.

Eksponentinių lygčių pavyzdžiai:

Šiame pavyzdyje skaičius 6 yra pagrindas, jis visada yra apačioje ir kintamasis x laipsnis ar matas.

Pateiksime daugiau eksponentinių lygčių pavyzdžių.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Dabar pažiūrėkime, kaip sprendžiamos eksponentinės lygtys?

Paimkime paprastą lygtį:

2 x = 2 3

Tokį pavyzdį galima išspręsti net mintyse. Matyti, kad x=3. Juk norint, kad kairė ir dešinė pusės būtų lygios, vietoj x reikia dėti skaičių 3.
Dabar pažiūrėkime, kaip šis sprendimas turėtų būti priimtas:

2 x = 2 3
x = 3

Norėdami išspręsti šią lygtį, pašalinome tuo pačiu pagrindu(tai yra, deuces) ir surašė, kas liko, tai yra laipsniai. Gavome atsakymą, kurio ieškojome.

Dabar apibendrinkime savo sprendimą.

Sprendimo algoritmas eksponentinė lygtis:
1. Reikia patikrinti tas pats ar lygties pagrindai dešinėje ir kairėje. Jei priežastys nėra vienodos, ieškome variantų, kaip išspręsti šį pavyzdį.
2. Kai pagrindai yra tokie patys, prilyginti laipsnį ir išspręskite gautą naują lygtį.

Dabar išspręskime keletą pavyzdžių:

Pradėkime nuo paprasto.

Kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra lygūs skaičiui 2, o tai reiškia, kad galime atmesti pagrindą ir sulyginti jų laipsnius.

x+2=4 Paaiškėjo paprasčiausia lygtis.
x = 4 - 2
x=2
Atsakymas: x=2

Toliau pateiktame pavyzdyje matote, kad bazės skiriasi, tai yra 3 ir 9.

3 3x - 9 x + 8 = 0

Pirmiausia perkeliame devynis į dešinę pusę, gauname:

Dabar reikia padaryti tuos pačius pagrindus. Žinome, kad 9=3 2 . Naudokime laipsnio formulę (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Gauname 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 dabar aišku, kad kairėje ir dešinėje pusėse esantys pagrindai yra vienodi ir lygūs trims, o tai reiškia, kad galime juos atmesti ir sulyginti laipsnius.

3x=2x+16 gavo paprasčiausią lygtį
3x-2x=16
x=16
Atsakymas: x=16.

Pažvelkime į tokį pavyzdį:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Visų pirma, mes žiūrime į pagrindus, pagrindai yra skirtingi du ir keturi. Ir mes turime būti tokie patys. Keturkampį transformuojame pagal formulę (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Taip pat naudojame vieną formulę a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Pridėkite prie lygties:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Dėl tų pačių priežasčių pateikėme pavyzdį. Bet mums trukdo kiti skaičiai 10 ir 24. Ką su jais daryti? Atidžiau pažiūrėjus, matosi, kad kairėje pusėje kartojame 2 2x, štai atsakymas – iš skliaustų galime dėti 2 2x:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Apskaičiuokime išraišką skliausteliuose:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Visą lygtį padaliname iš 6:

Įsivaizduokite 4 = 2 2:

2 2x \u003d 2 2 bazės yra vienodos, išmeskite jas ir sulyginkite laipsnius.
2x \u003d 2 pasirodė pati paprasčiausia lygtis. Padalijame iš 2, gauname
x = 1
Atsakymas: x = 1.

Išspręskime lygtį:

9 x - 12*3 x +27 = 0

Transformuokime:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Gauname lygtį:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

Mūsų pagrindai yra vienodi, lygūs trims Šiame pavyzdyje aišku, kad pirmasis trigubas turi laipsnį du kartus (2x) nei antrasis (tik x). Tokiu atveju galite nuspręsti pakeitimo metodas. Skaičius su mažiausiu laipsniu pakeičiamas taip:

Tada 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Lygtyje su t visus laipsnius pakeičiame x:

t 2 - 12t + 27 \u003d 0
Mes gauname kvadratinė lygtis. Išsprendžiame per diskriminantą, gauname:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Atgal į kintamąjį x.

Mes priimame t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Tai yra,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Buvo rasta viena šaknis. Ieškome antrojo, nuo t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Atsakymas: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Svetainėje galite skiltyje PADĖTI SPRENDIMS užduoti dominančius klausimus, mes tikrai jums atsakysime.

Prisijunkite prie grupės

Pirmas lygis

Laipsnis ir jo savybės. Išsamus vadovas (2019 m.)

Kodėl reikalingi laipsniai? Kur tau jų reikia? Kodėl reikia skirti laiko jų studijavimui?

Norėdami sužinoti viską apie laipsnius, kam jie skirti, kaip panaudoti savo žinias Kasdienybė perskaitykite šį straipsnį.

Ir, žinoma, laipsnio žinojimas priartins jus prie sėkmės pravažiavęs OGE arba vieningą valstybinį egzaminą ir įstoti į savo svajonių universitetą.

Eime... (Eime!)

Svarbi pastaba! Jei vietoj formulių matote beprasmybę, išvalykite talpyklą. Norėdami tai padaryti, paspauskite CTRL+F5 („Windows“) arba Cmd+R („Mac“).

PIRMAS LYGIS

Eksponentinis koeficientas yra ta pati matematinė operacija kaip sudėtis, atimtis, daugyba ar dalyba.

Dabar aš viską paaiškinsiu žmonių kalba paprasti pavyzdžiai. Būk atsargus. Pavyzdžiai yra elementarūs, bet paaiškina svarbius dalykus.

Pradėkime nuo papildymo.

Nėra čia ką aiškinti. Tu jau viską žinai: mūsų yra aštuoni. Kiekvienas turi du butelius kolos. Kiek kolos? Teisingai – 16 butelių.

Dabar daugyba.

Tą patį pavyzdį su kola galima parašyti kitaip: . Matematikai yra gudrūs ir tingūs žmonės. Pirmiausia jie pastebi kai kuriuos modelius, o tada sugalvoja, kaip juos greičiau „suskaičiuoti“. Mūsų atveju jie pastebėjo, kad kiekvienas iš aštuonių žmonių turėjo tiek pat butelių kolos ir sugalvojo techniką, vadinamą daugyba. Sutikite, manoma, kad tai lengviau ir greičiau nei.

Taigi, norint suskaičiuoti greičiau, lengviau ir be klaidų, tereikia atsiminti daugybos lentelę. Žinoma, viską galima daryti lėčiau, sunkiau ir su klaidomis! Bet…

Čia yra daugybos lentelė. Pakartokite.

Ir dar vienas gražesnis:

O kokių dar gudrių skaičiavimo gudrybių sugalvojo tingūs matematikai? Teisingai - skaičiaus pakėlimas į laipsnį.

Skaičiaus pakėlimas į laipsnį

Jei jums reikia skaičių padauginti iš savęs penkis kartus, tada matematikai sako, kad jums reikia pakelti šį skaičių iki penktos laipsnio. Pavyzdžiui, . Matematikai prisimena, kad nuo dviejų iki penktos galios yra. Ir tokias problemas jie išsprendžia mintyse – greičiau, lengviau ir be klaidų.

Norėdami tai padaryti, jums tereikia prisiminkite, kas skaičių galių lentelėje paryškinta spalva. Patikėkite, tai labai palengvins jūsų gyvenimą.

Beje, kodėl vadinamas antrasis laipsnis kvadratas skaičiai, o trečiasis kubas? Ką tai reiškia? Labai geras klausimas. Dabar turėsite ir kvadratų, ir kubelių.

1 pavyzdys realiame gyvenime

Pradėkime nuo kvadrato arba antrosios skaičiaus laipsnio.

Įsivaizduokite kvadratinį baseiną, kurio matmenys yra metrai metrais. Baseinas yra jūsų kieme. Karšta ir aš labai noriu maudytis. Bet ... baseinas be dugno! Būtina iškloti baseino dugną plytelėmis. Kiek plytelių jums reikia? Norėdami tai nustatyti, turite žinoti baseino dugno plotą.

Tiesiog bakstelėję pirštu galite suskaičiuoti, kad baseino dugną sudaro metras po metro kubeliai. Jei jūsų plytelės yra metras po metro, jums reikės vienetų. Tai lengva... Bet kur tu matei tokią plytelę? Plytelė greičiau bus cm po cm, o tada jus kankins „skaičiuoti pirštu“. Tada reikia daugintis. Taigi vienoje baseino dugno pusėje klijuosime plyteles (gabalėlius), o kitoje – taip pat plyteles. Padauginus iš, gausite plyteles ().

Ar pastebėjote, kad tą patį skaičių padauginome iš savęs, norėdami nustatyti baseino dugno plotą? Ką tai reiškia? Kadangi tas pats skaičius padauginamas, galime naudoti eksponencijos techniką. (Žinoma, kai turi tik du skaičius, vis tiek reikia juos padauginti arba pakelti į laipsnį. Bet jei jų turi daug, tai pakelti iki laipsnio yra daug lengviau, o skaičiavimuose taip pat yra mažiau klaidų . Egzaminui tai labai svarbu).
Taigi, trisdešimties iki antrojo laipsnio bus (). Arba galite pasakyti, kad bus trisdešimt kvadratų. Kitaip tariant, antrąją skaičiaus laipsnį visada galima pavaizduoti kaip kvadratą. Ir atvirkščiai, jei matote kvadratą, tai VISADA yra antroji kokio nors skaičiaus laipsnė. Kvadratas yra antrosios skaičiaus laipsnio vaizdas.

2 realaus gyvenimo pavyzdys

Štai jums užduotis: suskaičiuokite, kiek langelių yra šachmatų lentoje, naudodami skaičiaus kvadratą... Vienoje langelių pusėje ir kitoje. Norėdami suskaičiuoti jų skaičių, turite aštuonis padauginti iš aštuonių arba ... jei pastebėsite, kad šachmatų lenta yra kvadratas su kraštine, tuomet galite kvadratu aštuonis. Gaukite ląstelių. () Taigi?

3 pavyzdys realiame gyvenime

Dabar kubas arba trečioji skaičiaus laipsnis. Tas pats baseinas. Tačiau dabar reikia išsiaiškinti, kiek vandens teks įpilti į šį baseiną. Reikia apskaičiuoti tūrį. (Tūriai ir skysčiai, beje, matuojami kubiniais metrais. Netikėta, tiesa?) Nubraižykite baseiną: vieno metro dydžio ir metro gylio dugną ir pabandykite suskaičiuoti, kiek kubelių, kurių matmenys metras ir metras pateks į jūsų baseinas.

Tiesiog parodyk pirštu ir skaičiuok! Vienas, du, trys, keturi...dvidešimt du, dvidešimt trys... Kiek išėjo? Ar nepasiklydo? Ar sunku suskaičiuoti pirštu? Taigi tai! Imk pavyzdį iš matematikų. Jie yra tinginiai, todėl pastebėjo, kad norint apskaičiuoti baseino tūrį, reikia padauginti jo ilgį, plotį ir aukštį vieną iš kito. Mūsų atveju baseino tūris bus lygus kubeliams... Lengviau, tiesa?

Dabar įsivaizduokite, kokie tingūs ir gudrūs yra matematikai, jei tai daro per daug lengva. Sumažino viską iki vieno veiksmo. Jie pastebėjo, kad ilgis, plotis ir aukštis yra lygūs ir kad tas pats skaičius padauginamas iš savęs... O ką tai reiškia? Tai reiškia, kad galite naudoti laipsnį. Taigi, ką kažkada suskaičiavote pirštu, jie padaro vienu veiksmu: trys kube yra lygūs. Tai parašyta taip:

Lieka tik įsiminti laipsnių lentelę. Nebent, žinoma, esate toks pat tingus ir gudrus kaip matematikai. Jei mėgstate sunkiai dirbti ir klysti, galite ir toliau skaičiuoti pirštu.

Na, o tam, kad pagaliau jus įtikintumėte, jog laipsnius sugalvojo palaidūnai ir gudruoliai, norėdami išspręsti savo gyvenimo problemas, o ne jums pridaryti problemų, štai dar pora pavyzdžių iš gyvenimo.

4 realaus gyvenimo pavyzdys

Jūs turite milijoną rublių. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate po vieną milijoną. Tai yra, kiekvienas jūsų milijonas kiekvienų metų pradžioje padvigubėja. Kiek pinigų turėsite po metų? Jei dabar sėdi ir „skaičiuoji pirštu“, vadinasi, esi labai darbštus žmogus ir .. kvailas. Bet greičiausiai atsakymą pateiksite per porą sekundžių, nes esate protingas! Taigi, pirmaisiais metais – du kart du... antraisiais – kas atsitiko, dar dviem, trečiais... Stop! Pastebėjote, kad skaičius padauginamas iš savęs vieną kartą. Taigi nuo dviejų iki penktos galios yra milijonas! Dabar įsivaizduokite, kad turite konkursą ir tas, kuris greičiau skaičiuos, gaus šiuos milijonus... Ar verta prisiminti skaičių laipsnius, ką manote?

5 pavyzdys realiame gyvenime

Tu turi milijoną. Kiekvienų metų pradžioje už kiekvieną milijoną uždirbate dar dviem. Tai puiku, tiesa? Kiekvienas milijonas patrigubinamas. Kiek pinigų turėsi per metus? Suskaičiuokime. Pirmi metai - dauginkite iš, paskui rezultatas iš kitų... Jau nuobodu, nes jau viską supratai: trys padauginami iš savęs kartų. Taigi ketvirtoji galia yra milijonas. Jums tereikia atsiminti, kad nuo trijų iki ketvirtos galios yra arba.

Dabar jūs žinote, kad padidinę skaičių iki galios, jūs žymiai palengvinsite savo gyvenimą. Pažvelkime toliau, ką galite padaryti su laipsniais ir ką apie juos reikia žinoti.

Terminai ir sąvokos ... kad nesusipainiotumėte

Taigi, pirmiausia apibrėžkime sąvokas. Ką tu manai, kas yra eksponentas? Tai labai paprasta – tai yra skaičius, kuris yra skaičiaus galios „viršuje“. Ne mokslinis, bet aiškus ir lengvai įsimenamas ...

Na, tuo pačiu ir ką toks laipsnio pagrindas? Dar paprastesnis yra skaičius, kuris yra apačioje, apačioje.

Štai nuotrauka, kad įsitikintumėte.

Na ir į vidų bendras vaizdas apibendrinti ir geriau atsiminti... Laipsnis su baze "" ir laipsniu "" skaitomas kaip "iki laipsnio" ir rašomas taip:

Skaičiaus su natūraliuoju rodikliu galia

Tikriausiai jau atspėjote: nes eksponentas yra natūralusis skaičius. Taip, bet kas yra natūralusis skaičius? Elementaru! Natūralūs skaičiai yra tie, kurie naudojami skaičiuojant surašant elementus: vienas, du, trys ... Kai skaičiuojame elementus, nesakome: „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Mes taip pat nesakome „trečdalis“ ar „nulis taško penkios dešimtosios“. Tai nėra natūralūs skaičiai. Kaip manote, kokie tai skaičiai?

Tokie skaičiai kaip „minus penki“, „minus šeši“, „minus septyni“. Sveiki skaičiai. Apskritai sveikieji skaičiai apima visus natūraliuosius skaičius, skaičius, priešingus natūraliems skaičiams (tai yra, paimtus su minuso ženklu) ir skaičių. Nulį lengva suprasti – tai tada, kai nieko nėra. O ką reiškia neigiami („minusiniai“) skaičiai? Tačiau jie buvo išrasti pirmiausia skoloms žymėti: jei telefone turite likutį rubliais, tai reiškia, kad esate skolingas operatoriui rublių.

Visos trupmenos yra racionalūs numeriai. Kaip manote, kaip jie atsirado? Labai paprasta. Prieš kelis tūkstančius metų mūsų protėviai atrado, kad jiems trūksta natūraliuosius skaičius ilgiui, svoriui, plotui ir kt. Ir jie sugalvojo racionalūs numeriai... Įdomu, ar ne?

Yra ir neracionalių skaičių. Kokie tai skaičiai? Trumpai tariant, be galo dešimtainis. Pavyzdžiui, jei apskritimo perimetrą padalinsite iš jo skersmens, gausite neracionalų skaičių.

Santrauka:

Apibrėžkime laipsnio sąvoką, kurios rodiklis yra natūralusis skaičius (tai yra sveikasis skaičius ir teigiamas).

1. Bet kuris skaičius iki pirmosios laipsnio yra lygus sau:
2. Norėdami padalyti skaičių kvadratu, padauginkite jį iš savęs:
3. Skaičius kubu reiškia jį padauginti iš savęs tris kartus:

Apibrėžimas. Pakelkite skaičių iki natūralus laipsnis reiškia skaičių padauginti iš savęs kartų:
.

Laipsnio savybės

Iš kur atsirado šios savybės? Aš tau parodysiu dabar.

Pažiūrėkime, kas yra ir ?

Pagal apibrėžimą:

Kiek daugiklių iš viso yra?

Tai labai paprasta: prie veiksnių pridėjome veiksnius, o rezultatas yra veiksniai.

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus su laipsniu laipsnis, tai yra: , kurį reikėjo įrodyti.

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas:

Pavyzdys: Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas: Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi būti ta pati priežastis!
Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėtumėte to rašyti.

2. tai yra - skaičiaus laipsnis

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus laipsnis:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti?

Bet tai netiesa, tikrai.

Laipsnis su neigiama baze

Iki šiol mes tik aptarėme, koks turėtų būti eksponentas.

Bet kas turėtų būti pagrindas?

Laipsniais nuo natūralus rodiklis pagrindas gali būti bet koks skaičius. Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai.

Pagalvokime, kokie ženklai ("" arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ? Su pirmuoju viskas aišku: nesvarbu, kiek teigiami skaičiai nepadauginome vienas kito, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš, paaiškėja.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Ar susitvarkei?

Štai atsakymai: pirmuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas.

Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas!

6 praktikos pavyzdžiai

Sprendimo analizė 6 pavyzdžiai

Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas! Mes gauname:

Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų sukeisti, taisyklė galėtų būti taikoma.

Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose.

Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

visasįvardijame natūraliuosius skaičius, jų priešingybes (tai yra paimtus su ženklu "") ir skaičių.

teigiamas sveikasis skaičius, ir tai niekuo nesiskiria nuo natūralaus, tada viskas atrodo lygiai taip pat, kaip ankstesniame skyriuje.

Dabar pažvelkime į naujus atvejus. Pradėkime nuo rodiklio, lygaus.

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui:

Kaip visada, klausiame savęs: kodėl taip yra?

Apsvarstykite tam tikrą galią su pagrindu. Paimkite, pavyzdžiui, ir padauginkite iš:

Taigi, padauginome skaičių iš ir gavome tą patį, koks buvo -. Iš kokio skaičiaus reikia padauginti, kad niekas nepasikeistų? Teisingai, įjungti. Reiškia.

Tą patį galime padaryti su savavališku skaičiumi:

Pakartokime taisyklę:

Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui.

Tačiau iš daugelio taisyklių yra išimčių. Ir čia taip pat yra - tai yra skaičius (kaip pagrindas).

Viena vertus, jis turi būti lygus bet kokiam laipsniui – kad ir kiek padaugintumėte nulį iš savęs, vis tiek gausite nulį, aišku. Tačiau, kita vertus, kaip ir bet kuris skaičius iki nulio laipsnio, jis turi būti lygus. Taigi kokia čia tiesa? Matematikai nusprendė nesikišti ir atsisakė pakelti nulį iki nulinės galios. Tai yra, dabar galime ne tik padalyti iš nulio, bet ir pakelti jį iki nulinės galios.

Eikime toliau. Be natūraliųjų skaičių ir skaičių, sveikieji skaičiai apima ir neigiamus skaičius. Kad suprastume, kas yra neigiamas laipsnis, darykime taip pat, kaip ir praeitą kartą: kokį nors normalų skaičių padauginame iš to paties neigiamo laipsnio:

Iš čia jau lengva išreikšti norimą:

Dabar išplečiame gautą taisyklę iki savavališko laipsnio:

Taigi, suformuluokime taisyklę:

Skaičius neigiamam laipsniui yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui. Bet tuo pačiu bazė negali būti nulinė:(nes padalyti neįmanoma).

Apibendrinkime:

I. Išraiška neapibrėžiama atveju. Jei tada.

II. Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus vienetui: .

III. Skaičius, kuris nėra lygus nuliui neigiamam laipsniui, yra atvirkštinis to paties skaičiaus teigiamam laipsniui: .

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Na, kaip įprasta, nepriklausomo sprendimo pavyzdžiai:

Savarankiško sprendimo užduočių analizė:

Žinau, žinau, skaičiai baisūs, bet per egzaminą turi būti pasiruošęs viskam! Išspręskite šiuos pavyzdžius arba išanalizuokite jų sprendimą, jei nepavyko išspręsti, ir išmoksite, kaip lengvai su jais susidoroti egzamine!

Toliau plėskime skaičių diapazoną, „tinkamą“ kaip eksponentą.

Dabar apsvarstykite racionalūs numeriai. Kokie skaičiai vadinami racionaliais?

Atsakymas: visa tai gali būti pavaizduota trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai.

Norėdami suprasti, kas yra "dalinis laipsnis" Panagrinėkime trupmeną:

Pakelkime abi lygties puses į laipsnį:

Dabar prisimink taisyklę "laipsnis į laipsnį":

Kokį skaičių reikia padidinti iki laipsnio, kad gautume?

Ši formuluotė yra laipsnio šaknies apibrėžimas.

Leiskite jums priminti: skaičiaus () laipsnio šaknis yra skaičius, kuris, pakeltas į laipsnį, yra lygus.

Tai yra, th laipsnio šaknis yra atvirkštinė eksponencijos operacija: .

Paaiškėjo, kad. Akivaizdu, kad šį specialų atvejį galima pratęsti: .

Dabar pridėkite skaitiklį: kas tai yra? Atsakymą nesunku gauti taikant energijos tiekimo taisyklę:

Bet ar bazė gali būti bet koks skaičius? Juk šaknies negalima išgauti iš visų skaičių.

Nė vienas!

Prisiminkite taisyklę: bet koks skaičius, padidintas iki lyginės laipsnio, yra teigiamas skaičius. Tai yra, iš neigiamų skaičių neįmanoma išskirti lyginio laipsnio šaknų!

O tai reiškia, kad tokių skaičių negalima pakelti iki trupmeninės laipsnio su lyginiu vardikliu, tai yra, išraiška neturi prasmės.

O išraiška?

Bet čia iškyla problema.

Skaičius gali būti pavaizduotas kaip kitos, sumažintos trupmenos, pavyzdžiui, arba.

Ir pasirodo, kad jis egzistuoja, bet neegzistuoja, ir tai tik du skirtingi to paties numerio įrašai.

Arba kitas pavyzdys: vieną kartą, tada galite užsirašyti. Bet kai tik užrašome rodiklį kitaip, vėl susiduriame su bėdomis: (tai yra, gavome visiškai kitokį rezultatą!).

Kad išvengtumėte tokių paradoksų, apsvarstykite tik teigiamas bazinis eksponentas su trupmeniniu rodikliu.

Taigi, jei:

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikas skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsniai su racionaliuoju rodikliu yra labai naudingi transformuojant išraiškas su šaknimis, pavyzdžiui:

5 praktikos pavyzdžiai

5 mokymo pavyzdžių analizė

Na, o dabar – sunkiausia. Dabar analizuosime laipsnis su neracionaliuoju rodikliu.

Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnių su racionaliuoju rodikliu, išskyrus

Iš tiesų, pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti kaip trupmeną, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra, neracionalieji skaičiai yra visi tikrieji skaičiai, išskyrus racionalius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais.

Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus;

...nulinė galia- tai tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „tuščias skaičius“ , būtent numeris;

...neigiamas sveikasis rodiklis- tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius buvo ne padaugintas iš savęs, o padalintas.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius.

Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

KUR ESAME TIKRI, KUR JUMS EITI! (jei išmoksi spręsti tokius pavyzdžius :))

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

Sprendimų analizė:

1. Pradėkime nuo jau įprastos laipsnio pakėlimo į laipsnį taisyklės:

Dabar pažiūrėkite į rezultatą. Ar jis tau ką nors primena? Primename kvadratų skirtumo sutrumpinto dauginimo formulę:

Tokiu atveju,

Paaiškėjo, kad:

Atsakymas: .

2. Rodiklio trupmenas sudarome ta pačia forma: arba abi po kablelio, arba abi paprastosios. Mes gauname, pavyzdžiui:

Atsakymas: 16

3. Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:

PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Laipsnio apibrėžimas

Laipsnis yra formos išraiška: , kur:

• — laipsnio pagrindas;
• - eksponentas.

Laipsnis su natūraliuoju rodikliu (n = 1, 2, 3,...)

Padidinti skaičių iki natūraliosios laipsnio n reiškia skaičių padauginti iš savęs iš karto:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu (0, ±1, ±2,...)

Jei eksponentas yra teigiamas sveikasis skaičius numeris:

erekcija iki nulinės galios:

Išraiška yra neapibrėžta, nes, viena vertus, bet kuriuo laipsniu yra tai, o kita vertus, bet koks skaičius iki aštuntojo laipsnio yra tai.

Jei eksponentas yra sveikasis skaičius neigiamas numeris:

(nes padalyti neįmanoma).

Dar kartą apie nulius: atveju išraiška neapibrėžta. Jei tada.

Pavyzdžiai:

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

• - natūralusis skaičius;
• yra sveikas skaičius;

Pavyzdžiai:

Laipsnio savybės

Kad būtų lengviau spręsti problemas, pabandykime suprasti: iš kur atsirado šios savybės? Įrodykime juos.

Pažiūrėkime: kas yra ir?

Pagal apibrėžimą:

Taigi, dešinėje šios išraiškos pusėje gaunamas šis produktas:

Bet pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu, ty:

Q.E.D.

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : .

Pavyzdys : Supaprastinkite išraišką.

Sprendimas : Svarbu pažymėti, kad mūsų taisyklėje būtinai turi turėti tą patį pagrindą. Todėl laipsnius deriname su baze, bet liekame atskiru veiksniu:

Kita svarbi pastaba: ši taisyklė - tik galių produktams!

Jokiu būdu neturėčiau to rašyti.

Kaip ir ankstesnėje savybėje, pereikime prie laipsnio apibrėžimo:

Pertvarkykime taip:

Pasirodo, išraiška padauginama iš savęs vieną kartą, tai yra, pagal apibrėžimą, tai yra skaičiaus --oji galia:

Tiesą sakant, tai gali būti vadinama „indikatoriaus kėlimu“. Bet jūs niekada negalite to padaryti iš viso:!

Prisiminkime sutrumpinto daugybos formules: kiek kartų norėjome parašyti? Bet tai netiesa, tikrai.

Galia su neigiama baze.

Iki šiol aptarėme tik tai, kas turėtų būti indeksas laipsnį. Bet kas turėtų būti pagrindas? Laipsniais nuo natūralus indikatorius pagrindas gali būti bet koks skaičius .

Iš tiesų, galime padauginti bet kurį skaičių vienas iš kito, nesvarbu, ar jie yra teigiami, neigiami ar lyginiai. Pagalvokime, kokie ženklai (" " arba "") turės teigiamų ir neigiamų skaičių laipsnius?

Pavyzdžiui, ar skaičius bus teigiamas ar neigiamas? BET? ?

Su pirmuoju viskas aišku: kad ir kiek teigiamų skaičių padaugintume vienas su kitu, rezultatas bus teigiamas.

Tačiau neigiami dalykai yra šiek tiek įdomesni. Juk iš 6 klasės prisimename paprastą taisyklę: „minusas kartelį minusas duoda pliusą“. Tai yra arba. Bet jei padauginsime iš (), gausime -.

Ir taip toliau iki begalybės: su kiekvienu tolesniu dauginimu ženklas keisis. Galima suformuluoti tokius paprastos taisyklės:

1. net laipsnis, - skaičius teigiamas.
2. Neigiamas skaičius, pastatytas m nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
3. Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
4. Nulis bet kokiam laipsniui yra lygus nuliui.

Pats nustatykite, kokį ženklą turės šie posakiai:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Ar susitvarkei? Štai atsakymai:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Pirmuosiuose keturiuose pavyzdžiuose, tikiuosi, viskas aišku? Tiesiog žiūrime į bazę ir eksponentą ir taikome atitinkamą taisyklę.

5 pavyzdyje) viskas taip pat nėra taip baisu, kaip atrodo: nesvarbu, kam lygi bazė - laipsnis yra lygus, o tai reiškia, kad rezultatas visada bus teigiamas. Na, nebent kai bazė lygi nuliui. Pagrindas ne tas pats, ar ne? Akivaizdu, kad ne, nes (nes).

6 pavyzdys) nebėra toks paprastas. Čia reikia išsiaiškinti, kas mažiau: ar? Jei tai prisimenate, tai tampa aišku, o tai reiškia, kad bazė yra mažesnė už nulį. Tai yra, taikome 2 taisyklę: rezultatas bus neigiamas.

Ir vėl naudojame laipsnio apibrėžimą:

Viskas kaip įprasta - užrašome laipsnių apibrėžimą ir suskirstome juos vienas į kitą, suskirstome į poras ir gauname:

Prieš analizuodami paskutinę taisyklę, išspręskime kelis pavyzdžius.

Apskaičiuokite išraiškų reikšmes:

Sprendimai :

Jei nekreipsime dėmesio į aštuntą laipsnį, ką čia matome? Pažvelkime į 7 klasės programą. Taigi, prisimeni? Tai sutrumpinta daugybos formulė, būtent kvadratų skirtumas!

Mes gauname:

Atidžiai žiūrime į vardiklį. Tai labai panašu į vieną iš skaitiklio veiksnių, bet kas negerai? Neteisinga terminų tvarka. Jei jie būtų pakeisti, būtų galima taikyti 3 taisyklę. Bet kaip tai padaryti? Pasirodo, tai labai paprasta: čia mums padeda lygus vardiklio laipsnis.

Jei padauginsite iš, niekas nepasikeis, tiesa? Bet dabar atrodo taip:

Terminai stebuklingai pasikeitė vietomis. Šis „reiškinys“ taikomas bet kuriai išraiškai tolygiai: galime laisvai keisti ženklus skliausteliuose. Tačiau svarbu atsiminti: visi ženklai keičiasi vienu metu! Jo negalima pakeisti pakeitus tik vieną mums nepriimtiną minusą!

Grįžkime prie pavyzdžio:

Ir vėl formulė:

Taigi dabar paskutinė taisyklė:

Kaip mes tai įrodysime? Žinoma, kaip įprasta: išplėskime laipsnio sąvoką ir supaprastinkime:

Na, dabar atidarykime skliaustus. Kiek bus raidžių? kartų pagal daugiklius – kaip tai atrodo? Tai ne kas kita, kaip operacijos apibrėžimas daugyba: iš viso pasirodė daugikliai. Tai yra, pagal apibrėžimą tai yra skaičiaus laipsnis su eksponentu:

Pavyzdys:

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

Be informacijos apie vidutinio lygio laipsnius, mes analizuosime laipsnį su neracionaliu rodikliu. Visos laipsnių taisyklės ir savybės čia yra lygiai tokios pačios kaip ir laipsnio su racionaliuoju rodikliu, su išimtimi - juk pagal apibrėžimą neracionalieji skaičiai yra skaičiai, kurių negalima pavaizduoti trupmena, kur ir yra sveikieji skaičiai (tai yra , neracionalieji skaičiai yra visi realieji skaičiai, išskyrus racionaliuosius).

Studijuodami laipsnius su natūraliu, sveiku skaičiumi ir racionaliu rodikliu, kiekvieną kartą sukurdavome tam tikrą „vaizdą“, „analogiją“ ar aprašą labiau pažįstamais terminais. Pavyzdžiui, natūralusis rodiklis yra skaičius, padaugintas iš savęs kelis kartus; skaičius iki nulio laipsnio yra tarsi skaičius, padaugintas iš savęs vieną kartą, tai yra, jis dar nepradėtas dauginti, o tai reiškia, kad pats skaičius dar net nepasirodė - todėl rezultatas yra tik tam tikras „numerio paruošimas“, būtent skaičius; laipsnis su sveikuoju neigiamu rodikliu - tarsi įvyko tam tikras „atvirkštinis procesas“, tai yra, skaičius nebuvo padaugintas iš savęs, o padalintas.

Labai sunku įsivaizduoti laipsnį su neracionaliu eksponentu (kaip sunku įsivaizduoti 4-matę erdvę). Greičiau tai yra grynai matematinis objektas, kurį matematikai sukūrė siekdami išplėsti laipsnio sąvoką į visą skaičių erdvę.

Beje, mokslas dažnai naudoja laipsnį su sudėtingu rodikliu, tai yra, rodiklis net nėra tikrasis skaičius. Tačiau mokykloje apie tokius sunkumus negalvojame, jūs turėsite galimybę suprasti šias naujas sąvokas institute.

Taigi, ką daryti, jei matome neracionalų eksponentą? Stengiamės jo atsikratyti! :)

Pavyzdžiui:

Spręskite patys:

1)

2)

3)

Atsakymai:

1. Prisiminkite kvadratų formulės skirtumą. Atsakymas:.
2. Trupmenas sudarome į tą pačią formą: arba abu dešimtainius, arba abu paprastus. Pavyzdžiui, gauname: .
3. Nieko ypatingo, taikome įprastas laipsnių savybes:

SKYRIAUS SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ

Laipsnis vadinama formos išraiška: , kur:

Laipsnis su sveikuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra natūralusis skaičius (t. y. sveikasis skaičius ir teigiamas).

Laipsnis su racionaliuoju rodikliu

laipsnis, kurio rodiklis yra neigiami ir trupmeniniai skaičiai.

Laipsnis su neracionaliuoju rodikliu

rodiklis, kurio rodiklis yra begalinė dešimtainė trupmena arba šaknis.

Laipsnio savybės

Laipsnių ypatumai.

• Neigiamas skaičius padidintas iki net laipsnis, - skaičius teigiamas.
• Neigiamas skaičius padidintas iki nelyginis laipsnis, - skaičius neigiamas.
• Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius yra teigiamas skaičius.
• Nulis yra lygus bet kokiai galiai.
• Bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus.

DABAR TURI ŽODĮ...

Kaip jums patinka straipsnis? Leiskite man žinoti toliau pateiktuose komentaruose, ar jums tai patiko, ar ne.

Papasakokite apie savo patirtį, susijusią su galios savybėmis.

Galbūt turite klausimų. Arba pasiūlymų.

Rašyk komentaruose.

Ir sėkmės egzaminuose!

Išraiškos, išraiškų konvertavimas

Galios išraiškos (išraiškos su galiomis) ir jų transformacija

Šiame straipsnyje kalbėsime apie išraiškų transformavimą su galiomis. Pirmiausia sutelksime dėmesį į transformacijas, kurios atliekamos naudojant bet kokios rūšies išraiškas, įskaitant galios išraiškas, pvz., atidaromus skliaustus, sumažinančius panašius terminus. Tada mes analizuosime transformacijas, būdingas konkrečiai išraiškoms su laipsniais: dirbant su baze ir laipsniu, naudojant laipsnių savybes ir kt.

Puslapio naršymas.

Kas yra galios išraiškos?

Sąvoka „galios išraiškos“ praktiškai nerandama mokykliniuose matematikos vadovėliuose, tačiau ji dažnai atsiranda problemų rinkiniuose, ypač skirtuose, pavyzdžiui, pasirengti vieningam valstybiniam egzaminui ir OGE. Išanalizavus užduotis, kuriose reikia atlikti bet kokius veiksmus su galios išraiškomis, tampa aišku, kad galios išraiškos suprantamos kaip išraiškos, kurių įrašuose yra laipsniai. Todėl patys galite pasirinkti tokį apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Galios išraiškos yra išraiškos, turinčios galių.

Atnešam galios išraiškų pavyzdžiai. Be to, juos pavaizduosime pagal tai, kaip vyksta požiūrių raida nuo laipsnio su natūraliu rodikliu iki laipsnio su realiu rodikliu.

Kaip žinia, pirmiausia susipažįstama su skaičiaus laipsniu su natūraliuoju laipsniu, šiame etape pirmosios paprasčiausios laipsnio išraiškos tipo 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 ir kt.

Šiek tiek vėliau tiriama skaičiaus su sveikuoju laipsniu galia, dėl kurios atsiranda galios išraiškos su neigiamomis sveikųjų skaičių galiomis, pavyzdžiui: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 .

Vyresnėse klasėse jie vėl grįžta prie laipsnių. Ten įvedamas laipsnis su racionaliu eksponentu, dėl kurio atsiranda atitinkamos galios išraiškos: , , ir tt Galiausiai nagrinėjami laipsniai su neracionaliais rodikliais ir juos turinčios išraiškos: , .

Reikalas neapsiriboja išvardytomis galios išraiškomis: toliau kintamasis prasiskverbia į eksponentą, ir yra, pavyzdžiui, tokios išraiškos 2 x 2 +1 arba . O susipažinus pradeda atsirasti išraiškos su laipsniais ir logaritmais, pavyzdžiui, x 2 lgx −5 x lgx.

Taigi, mes išsiaiškinome klausimą, kas yra galios išraiškos. Toliau mes sužinosime, kaip juos pakeisti.

Pagrindiniai galios išraiškų transformacijų tipai

Naudodami galios išraiškas galite atlikti bet kurią iš pagrindinių išraiškų tapatybės transformacijų. Pavyzdžiui, galite atidaryti skliaustus, pakeisti skaitinės išraiškos savo vertybes, panašius terminus ir pan. Natūralu, kad tokiu atveju būtina laikytis priimtos veiksmų atlikimo tvarkos. Pateikime pavyzdžių.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio išraiškos reikšmę 2 3 ·(4 2 −12) .

Sprendimas.

Pagal veiksmų eiliškumą pirmiausia atliekame veiksmus skliausteliuose. Ten, pirma, 4 2 laipsnį pakeičiame jo reikšme 16 (jei reikia žr.), antra, apskaičiuojame skirtumą 16−12=4 . Mes turime 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.

Gautoje išraiškoje 2 3 laipsnį pakeičiame jo reikšme 8, po to apskaičiuojame sandaugą 8·4=32 . Tai yra norima vertė.

Taigi, 2 3 (4 2 -12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4 = 8 4 = 32.

Atsakymas:

2 3 (4 2 -12) = 32 .

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraiškas 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

Sprendimas.

Akivaizdu, kad šioje išraiškoje yra panašių terminų 3 · a 4 · b − 7 ir 2 · a 4 · b − 7 , ir galime juos sumažinti: .

Atsakymas:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką galiomis kaip produktą.

Sprendimas.

Norint susidoroti su užduotimi, skaičių 9 galima pavaizduoti kaip 3 2 laipsnį ir vėliau naudoti sutrumpintą daugybos formulę, kvadratų skirtumą:

Atsakymas:

Taip pat yra keletas identiškų transformacijų, būdingų galios išraiškoms. Toliau mes juos analizuosime.

Darbas su baze ir eksponentu

Yra laipsnių, kurių pagrindas ir (arba) rodiklis yra ne tik skaičiai ar kintamieji, bet ir kai kurios išraiškos. Kaip pavyzdį parašykime (2+0.3 7) 5−3.7 ir (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Dirbant su tokiomis išraiškomis, galima pakeisti tiek laipsnio bazėje, tiek rodiklyje esančią išraišką identiškai lygiaverte jos kintamųjų DPV išraiška. Kitaip tariant, pagal mums žinomas taisykles galime atskirai konvertuoti laipsnio bazę, o atskirai – rodiklį. Akivaizdu, kad dėl šios transformacijos gaunama išraiška, kuri yra identiška pradinei.

Tokios transformacijos leidžia mums supaprastinti posakius su galiomis arba pasiekti kitų mums reikalingų tikslų. Pavyzdžiui, aukščiau paminėtoje laipsnio išraiškoje (2+0,3 7) 5−3,7 galima atlikti operacijas su skaičiais bazėje ir laipsnyje, kurie leis pereiti prie laipsnio 4,1 1,3. O atplėšę skliaustus ir įvedę panašius terminus į laipsnio bazę (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) gauname paprastesnės formos a 2·(x+1) laipsnio išraišką ).

Maitinimo savybių naudojimas

Viena iš pagrindinių priemonių transformuojant išraiškas galiomis yra lygybės, kurios atspindi . Prisiminkime pagrindinius. Bet kokiems teigiamiems skaičiams a ir b ir savavališkiems realiesiems skaičiams r ir s galioja šios galios savybės:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r s .

Atminkite, kad natūraliųjų, sveikųjų ir teigiamų rodiklių apribojimai skaičių a ir b gali būti ne tokie griežti. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių m ir n lygybė a m ·a n =a m+n galioja ne tik teigiamiems a , bet ir neigiamiems, o a=0 .

Mokykloje pagrindinis dėmesys transformuojant galios raiškas yra nukreiptas būtent į gebėjimą rinktis tinkamas turtas ir taikykite jį teisingai. Šiuo atveju laipsnių pagrindai dažniausiai būna teigiami, o tai leidžia be apribojimų naudoti laipsnių savybes. Tas pats pasakytina ir apie reiškinių, turinčių kintamuosius laipsnių bazėse, transformaciją - kintamųjų leistinų reikšmių plotas paprastai yra toks, kad bazės užima tik teigiamas vertes, kuri leidžia laisvai naudotis laipsnių savybėmis. Apskritai reikia nuolat savęs klausti, ar šiuo atveju galima pritaikyti kokią nors laipsnių savybę, nes netikslus savybių panaudojimas gali lemti ODZ susiaurėjimą ir kitas bėdas. Šie punktai išsamiai ir su pavyzdžiais aptariami straipsnyje išraiškų transformacija naudojant laipsnių savybes. Čia apsiribojame keliais paprastais pavyzdžiais.

Pavyzdys.

Išreikškite išraišką a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kaip laipsnį su baze a .

Sprendimas.

Pirma, antrąjį koeficientą (a 2) −3 paverčiame savybe pakelti laipsnį į laipsnį: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. Šiuo atveju pradinė galios išraiška bus a 2.5 ·a −6:a −5.5 . Akivaizdu, kad belieka naudoti galių dauginimo ir padalijimo savybes su ta pačia baze, kurią turime
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a−5,5 =a−3,5:a−5,5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 .

Atsakymas:

a 2,5 (a 2) -3:a -5,5 \u003d a 2.

Galios savybės naudojamos transformuojant galios išraiškas tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę.

Pavyzdys.

Raskite galios išraiškos reikšmę.

Sprendimas.

Lygybė (a·b) r =a r ·b r , taikoma iš dešinės į kairę, leidžia pereiti nuo pradinės išraiškos prie formos sandaugos ir toliau. O padauginus galias su ta pačia baze, rodikliai sumuojasi: .

Pradinės išraiškos transformaciją buvo galima atlikti kitu būdu:

Atsakymas:

.

Pavyzdys.

Atsižvelgiant į galios išraišką a 1,5 −a 0,5 −6 , įveskite naują kintamąjį t=a 0,5 .

Sprendimas.

Laipsnis a 1,5 gali būti pavaizduotas kaip 0,5 3 ir toliau, remiantis laipsnio savybe laipsnyje (a r) s =a r s, taikomas iš dešinės į kairę, konvertuoti jį į formą (a 0,5) 3 . Šiuo būdu, a 1,5 -a 0,5 -6 = (a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Dabar nesunku įvesti naują kintamąjį t=a 0.5 , gauname t 3 −t−6 .

Atsakymas:

t 3 −t−6 .

Trupmenų, turinčių laipsnius, konvertavimas

Galios išraiškos gali turėti trupmenas su laipsniais arba tokias trupmenas atvaizduoti. Bet kurios pagrindinės trupmenos transformacijos, būdingos bet kokios rūšies trupmenoms, yra visiškai taikomos tokioms trupmenoms. Tai yra, trupmenas, kuriose yra laipsniai, galima sumažinti, sumažinti iki naujo vardiklio, dirbti atskirai su jų skaitikliu ir atskirai su vardikliu ir pan. Norėdami iliustruoti aukščiau pateiktus žodžius, apsvarstykite kelių pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Ši galios išraiška yra trupmena. Dirbkime su jo skaitikliu ir vardikliu. Skaitiklyje atveriame skliaustus ir supaprastiname po to gautą išraišką, naudodamiesi galių savybėmis, o vardiklyje pateikiame panašius terminus:

Taip pat keičiame vardiklio ženklą, prieš trupmeną padėdami minusą: .

Atsakymas:

.

Trupmenų, turinčių laipsnius, sumažinimas iki naujo vardiklio atliekamas panašiai kaip racionalių trupmenų sumažinimas iki naujo vardiklio. Tuo pačiu metu taip pat randamas papildomas koeficientas ir iš jo padauginamas trupmenos skaitiklis ir vardiklis. Atliekant šį veiksmą verta atsiminti, kad sumažinimas iki naujo vardiklio gali lemti DPV susiaurėjimą. Kad taip neatsitiktų, būtina, kad jokioms kintamųjų reikšmėms iš pradinės išraiškos ODZ kintamųjų neišnyktų papildomas veiksnys.

Pavyzdys.

Perkelkite trupmenas į naują vardiklį: a) į vardiklį a, b) į vardiklį.

Sprendimas.

a) Tokiu atveju gana nesunku išsiaiškinti, koks papildomas veiksnys padeda pasiekti norimą rezultatą. Tai yra daugiklis a 0,3, nes a 0,7 a 0,3 = a 0,7 + 0,3 = a . Atkreipkite dėmesį, kad kintamojo a priimtinų reikšmių diapazone (tai yra visų teigiamų realiųjų skaičių rinkinys) laipsnis a 0,3 neišnyksta, todėl mes turime teisę padauginti duotosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį. pagal šį papildomą veiksnį:

b) Atidžiau pažvelgę ​​į vardiklį, nustatome, kad

ir padauginus šią išraišką iš gausite kubelių sumą ir , Tai yra, . Ir tai yra naujas vardiklis, į kurį turime įtraukti pradinę trupmeną.

Taigi radome papildomą veiksnį. Išraiška neišnyksta kintamųjų x ir y priimtinų reikšmių diapazone, todėl galime iš jos padauginti trupmenos skaitiklį ir vardiklį:

Atsakymas:

a) , b) .

Taip pat nėra nieko naujo ir laipsnius turinčių trupmenų redukcijoje: skaitiklis ir vardiklis vaizduojami kaip tam tikras faktorių skaičius, o tie patys skaitiklio ir vardiklio koeficientai mažinami.

Pavyzdys.

Sumažinkite trupmeną: a) , b).

Sprendimas.

a) Pirma, skaitiklį ir vardiklį galima sumažinti skaičiais 30 ir 45, kurie yra lygūs 15. Be to, akivaizdu, kad galite sumažinti x 0,5 +1 ir dar . Štai ką mes turime:

b) Šiuo atveju tie patys veiksniai skaitiklyje ir vardiklyje nėra matomi iš karto. Norėdami juos gauti, turite atlikti išankstines transformacijas. Šiuo atveju jie susideda iš vardiklio išskaidymo į veiksnius pagal kvadratų skirtumo formulę:

Atsakymas:

a)

b) .

Trupmenų mažinimas iki naujo vardiklio ir trupmenų mažinimas daugiausia naudojamas trupmenoms atlikti. Veiksmai atliekami pagal žinomas taisykles. Sudedant (atimant) trupmenas, jos sumažinamos iki bendro vardiklio, po to pridedami (atimami) skaitikliai, o vardiklis lieka toks pat. Rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklis yra skaitiklių sandauga, o vardiklis yra vardiklių sandauga. Dalyba iš trupmenos yra daugyba iš jos abipusio skaičiaus.

Pavyzdys.

Sekite žingsnius .

Sprendimas.

Pirma, skliausteliuose atimame trupmenas. Norėdami tai padaryti, mes juos sujungiame į bendrą vardiklį, kuris yra , tada atimkite skaitiklius:

Dabar padauginame trupmenas:

Akivaizdu, kad galima sumažinti galią x 1/2, po to mes turime .

Taip pat galite supaprastinti galios išraišką vardiklyje naudodami kvadratų skirtumo formulę: .

Atsakymas:

Pavyzdys.

Supaprastinkite galios išraišką .

Sprendimas.

Akivaizdu, kad šią trupmeną galima sumažinti (x 2,7 +1) 2, tai suteikia trupmeną . Aišku, kad su x galiomis reikia daryti dar ką nors. Norėdami tai padaryti, gautą frakciją paverčiame produktu. Tai suteikia mums galimybę panaudoti galių dalijimo savybę tais pačiais pagrindais: . O proceso pabaigoje nuo paskutinio produkto pereiname prie frakcijos.

Atsakymas:

.

Ir priduriame, kad galima ir daugeliu atvejų pageidautina perkelti veiksnius su neigiamais rodikliais iš skaitiklio į vardiklį arba iš vardiklio į skaitiklį, keičiant rodiklio ženklą. Tokios transformacijos dažnai supaprastina tolesnius veiksmus. Pavyzdžiui, galios išraišką galima pakeisti .

Posakių konvertavimas su šaknimis ir galiomis

Dažnai išraiškose, kuriose būtinos kai kurios transformacijos, kartu su laipsniais su trupmeniniais eksponentais, yra ir šaknų. Norint konvertuoti tokią išraišką į norimą formą, daugeliu atvejų pakanka pereiti tik prie šaknų arba tik į galias. Bet kadangi su laipsniais dirbti patogiau, jie dažniausiai pereina nuo šaknų iki laipsnių. Tačiau patartina atlikti tokį perėjimą, kai pradinės išraiškos kintamųjų ODZ leidžia pakeisti šaknis laipsniais, nereikia pasiekti modulio arba padalinti ODZ į kelis intervalus (tai išsamiai aptarėme straipsnis, perėjimas nuo šaknų prie laipsnių ir atvirkščiai Susipažinus su laipsniu su racionaliuoju rodikliu, įvedamas laipsnis su iracionaliuoju rodikliu, kuris leidžia kalbėti apie laipsnį su savavališku realiuoju rodikliu. Šiame etape mokykla pradeda mokytis eksponentinė funkcija, kurį analitiškai suteikia laipsnis, kurio pagrindu yra skaičius, o rodiklyje - kintamasis. Taigi susiduriame su galios išraiškomis, kurių laipsnio bazėje yra skaičiai, o laipsnyje - išraiškos su kintamaisiais, ir natūraliai atsiranda poreikis atlikti tokių išraiškų transformacijas.

Reikia pasakyti, kad sprendžiant dažniausiai tenka atlikti nurodyto tipo posakių transformaciją eksponentinės lygtys ir eksponentinės nelygybės, ir šios transformacijos yra gana paprastos. Daugeliu atvejų jie yra pagrįsti laipsnio savybėmis ir dažniausiai yra skirti įvesti naują kintamąjį ateityje. Lygtis leis mums juos parodyti 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Pirma, rodikliai, kurių rodikliuose randama kokio nors kintamojo (arba išraiškos su kintamaisiais) ir skaičiaus suma, pakeičiami sandaugomis. Tai taikoma pirmajai ir paskutinei išraiškos kairėje pusėje:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Tada abi lygybės pusės padalijamos iš išraiškos 7 2 x , kuri ima tik teigiamas ODZ kintamojo x reikšmes pradinei lygčiai (tai yra standartinė tokio pobūdžio lygčių sprendimo technika, mes nekalbame apie tai dabar, todėl sutelkite dėmesį į vėlesnes išraiškų transformacijas su galiomis ):

Dabar trupmenos su galiomis yra panaikintos, o tai suteikia .

Galiausiai laipsnių santykis su tais pačiais rodikliais pakeičiamas santykio laipsniais, todėl gaunama lygtis , kuri yra lygiavertė . Atliktos transformacijos leidžia įvesti naują kintamąjį, kuris sumažina pradinės eksponentinės lygties sprendimą iki kvadratinės lygties sprendinio

I. V. Boikovas, L. D. Romanova Užduočių rinkinys ruošiantis egzaminui. 1 dalis. Penza 2003 m.

Akivaizdu, kad skaičius su galiomis gali būti pridedamas kaip ir kiti dydžiai , pridedant juos po vieną su jų ženklais.

Taigi a 3 ir b 2 suma yra a 3 + b 2 .
A 3 - b n ir h 5 - d 4 suma yra a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Šansai tos pačios tų pačių kintamųjų galios galima pridėti arba atimti.

Taigi 2a 2 ir 3a 2 suma yra 5a 2 .

Taip pat akivaizdu, kad jei paimtume du kvadratus a, tris kvadratus a arba penkis kvadratus a.

Bet laipsniai įvairūs kintamieji ir įvairių laipsnių identiški kintamieji, reikia pridėti juos pridedant prie jų ženklų.

Taigi, a 2 ir a 3 suma yra 2 + a 3 suma.

Akivaizdu, kad a kvadratas ir a kubas yra ne du kartus didesnis už a kvadratą, bet du kartus didesnis už a kubą.

A 3 b n ir 3a 5 b 6 suma yra a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Atimtisįgaliojimai atliekami taip pat, kaip ir sudėjimas, išskyrus tai, kad atitinkamai turi būti pakeisti poskyrio ženklai.

Arba:
2a 4 – (-6a 4) = 8a 4
3h 2b 6 - 4h 2b 6 = -h 2b 6
5 (a – h) 6 – 2 (a – h) 6 = 3 (a – h) 6

Galios dauginimas

Skaičius su laipsniais galima dauginti kaip ir kitus dydžius, rašant juos vieną po kito, su daugybos ženklu tarp jų arba be jo.

Taigi, padauginus a 3 iš b 2, gaunamas a 3 b 2 arba aaabb.

Arba:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Rezultatą paskutiniame pavyzdyje galima rūšiuoti pridedant tuos pačius kintamuosius.
Išraiška bus tokia: a 5 b 5 y 3 .

Palyginę kelis skaičius (kintamuosius) su laipsniais, pamatysime, kad padauginus bet kuriuos du iš jų, gaunamas skaičius (kintamasis), kurio galia lygi suma terminų laipsniai.

Taigi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Čia 5 yra daugybos rezultato laipsnis, lygus 2 + 3, terminų galių suma.

Taigi, a n .a m = a m+n .

Jei a n , a imamas kaip veiksnys tiek kartų, kiek yra n laipsnis;

Ir a m , imamas kaip koeficientas tiek kartų, kiek laipsnis m lygus;

Štai kodėl, galias su tomis pačiomis bazėmis galima padauginti pridedant eksponentus.

Taigi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Ir x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Arba:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Padauginkite (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Atsakymas: x 4 - y 4.
Padauginkite (x 3 + x - 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Ši taisyklė galioja ir skaičiams, kurių eksponentai yra - neigiamas.

1. Taigi, a -2 .a -3 = a -5 . Tai galima parašyti kaip (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y-n .y-m = y-n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Jei a + b padauginami iš a - b, rezultatas bus a 2 - b 2: tai yra

Dviejų skaičių sumos arba skirtumo padauginimo rezultatas yra lygus jų kvadratų sumai arba skirtumui.

Jei dviejų skaičių suma ir skirtumas pakeltos į kvadratas, rezultatas bus lygus šių skaičių sumai arba skirtumui ketvirta laipsnį.

Taigi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 .
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 .
(a 4 – y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 – y 8 .

Valdžių padalijimas

Skaičiai su laipsniais gali būti dalijami kaip ir kiti skaičiai, atimant iš daliklio arba pateikiant juos trupmenos pavidalu.

Taigi a 3 b 2 padalytas iš b 2 yra a 3 .

Arba:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

Rašant 5 padalijus iš 3 atrodo $\frac(a^5)(a^3)$. Bet tai lygu 2. Skaičių serijoje
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
bet kurį skaičių galima padalyti iš kito, o rodiklis bus lygus skirtumas dalijamųjų skaičių rodikliai.

Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų rodikliai atimami..

Taigi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 . Tai yra, $\frac(yyy)(yy) = y$.

Ir a n+1:a = a n+1-1 = a n . Tai yra, $\frac(aa^n)(a) = a^n$.

Arba:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (b + y) n: 3 (b + y) 3 = 4 (b + y) n-3

Taisyklė taip pat galioja skaičiams su neigiamas laipsnių vertės.
-5 padalijus iš -3 rezultatas yra -2 .
Taip pat $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1)(aa)$.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 arba $h^2:\frac(1)(h) = h^2.\frac(h)(1) = h^3$

Būtina labai gerai įvaldyti galių daugybą ir padalijimą, nes tokie veiksmai algebroje yra labai plačiai naudojami.

Pavyzdžiai, kaip išspręsti pavyzdžius su trupmenomis, kuriose yra skaičių su laipsniais

1. Sumažinkite eksponentus $\frac(5a^4)(3a^2)$ Atsakymas: $\frac(5a^2)(3)$.

2. Sumažinkite eksponentus $\frac(6x^6)(3x^5)$. Atsakymas: $\frac(2x)(1)$ arba 2x.

3. Sumažinkite eksponentus a 2 / a 3 ir a -3 / a -4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
a 2 .a -4 yra pirmasis skaitiklis -2.
a 3 .a -3 yra 0 = 1, antrasis skaitiklis.
a 3 .a -4 yra -1 , bendras skaitiklis.
Supaprastinus: a -2 /a -1 ir 1/a -1 .

4. Sumažinkite eksponentus 2a 4 /5a 3 ir 2 /a 4 ir suveskite iki bendro vardiklio.
Atsakymas: 2a 3 / 5a 7 ir 5a 5 / 5a 7 arba 2a 3 / 5a 2 ir 5/5a 2.

5. Padauginkite (a 3 + b)/b 4 iš (a - b)/3.

6. Padauginkite (a 5 + 1)/x 2 iš (b 2 - 1)/(x + a).

7. Padauginkite b 4 /a -2 iš h -3 /x ir a n /y -3 .

8. Padalinkite 4 /y 3 iš 3 /y 2 . Atsakymas: a/y.

9. Padalinkite (h 3 – 1)/d 4 iš (d n + 1)/h.