Užduotis B7 pateikia išraišką, kurią reikia supaprastinti. Rezultatas turi būti įprastas skaičius, kurį galima įrašyti atsakymų lape. Visos išraiškos sąlygiškai suskirstytos į tris tipus:

1. logaritminis,
2. Demonstracija,
3. Kombinuotas.

Eksponentinės ir logaritminės išraiškos gryna forma beveik nerandamos. Tačiau svarbu žinoti, kaip jie apskaičiuojami.

Apskritai, problema B7 išspręsta gana paprastai ir yra gana prieinama vidutiniam absolventui. Aiškių algoritmų trūkumą kompensuoja jo standartas ir vienodumas. Galite išmokti išspręsti tokias problemas paprasčiausiai didelis skaičius treniruotes.

Logaritminės išraiškos

Didžioji dauguma B7 uždavinių turi viena ar kita forma logaritmus. Ši tema tradiciškai laikoma sudėtinga, nes ji paprastai nagrinėjama 11 klasėje - masinio pasiruošimo baigiamiesiems egzaminams eroje. Todėl daugelis absolventų turi labai miglotą supratimą apie logaritmus.

Tačiau šioje užduotyje niekam nereikia gilių teorinių žinių. Sutiksime tik paprasčiausius posakius, kuriems reikia tiesių samprotavimų ir kuriuos galima įvaldyti savarankiškai. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės, kurias turite žinoti, kad galėtumėte dirbti su logaritmais:

Be to, reikia mokėti šaknis ir trupmenas pakeisti laipsniais racionaliuoju rodikliu, kitaip kai kuriose išraiškose tiesiog nebus ką ištraukti iš po logaritmo ženklo. Pakeitimo formulės:

Užduotis. Rasti išraiškos reikšmes:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

Pirmosios dvi išraiškos konvertuojamos kaip logaritmų skirtumas:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Norėdami apskaičiuoti trečiąją išraišką, turėsite pasirinkti laipsnius - tiek bazėje, tiek argumente. Pirmiausia suraskime vidinį logaritmą:

Tada - išorinis:

Tokios konstrukcijos kaip log a log b x daugeliui atrodo sudėtingos ir nesuprantamos. Tuo tarpu tai tik logaritmo logaritmas, t.y. log a (log b x ). Pirmiausia apskaičiuojamas vidinis logaritmas (įdėkite log b x = c ), o tada išorinis: log a c .

eksponentinės išraiškos

Eksponentine išraiška vadinsime bet kurią formos a k konstrukciją, kur skaičiai a ir k yra savavališkos konstantos, o a > 0. Darbo su tokiomis išraiškomis metodai yra gana paprasti ir nagrinėjami 8 klasės algebros pamokose.

Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės, kurias turite žinoti. Šių formulių taikymas praktikoje, kaip taisyklė, nesukelia problemų.

1. a n a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n m;
4. (a b) n = a n b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Jei susitiko sudėtinga išraiška su laipsniais, o kaip prieiti neaišku, jie naudoja universalią techniką – skaidymą į pirminius veiksnius. Dėl to dideli skaičiai laipsnių bazėse pakeičiami paprastais ir suprantamais elementais. Tada belieka taikyti aukščiau pateiktas formules - ir problema bus išspręsta.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmes: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Sprendimas. Visas galių bazes išskaidome į pirminius veiksnius:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinuotos užduotys

Jei žinote formules, visos eksponentinės ir logaritminės išraiškos išsprendžiamos pažodžiui vienoje eilutėje. Tačiau B7 uždavinyje laipsnius ir logaritmus galima derinti, kad susidarytų gana stiprios kombinacijos.

Vienas iš primityvaus lygio algebros elementų yra logaritmas. Pavadinimas kilęs iš graikų kalbos iš žodžio „skaičius“ arba „laipsnis“ ir reiškia laipsnį, iki kurio reikia pakelti skaičių prie pagrindo, norint rasti galutinį skaičių.

Logaritmų tipai

• log a b yra skaičiaus b logaritmas bazei a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - dešimtainis logaritmas (logaritmo bazė 10, a = 10);
• ln b - natūralusis logaritmas (logaritmo bazė e, a = e).

Kaip išspręsti logaritmus?

Skaičiaus b logaritmas iki pagrindo a yra eksponentas, kuris reikalauja, kad bazė a būtų padidinta iki skaičiaus b. Rezultatas tariamas taip: „b logaritmas iki a pagrindo“. Logaritminių uždavinių sprendimas yra tas, kad jums reikia nustatyti nurodytą laipsnį pagal skaičius pagal nurodytus skaičius. Yra keletas pagrindinių logaritmo nustatymo ar sprendimo taisyklių, taip pat paties žymėjimo transformavimo. Jais naudojant sprendžiamos logaritminės lygtys, randamos išvestinės, sprendžiami integralai, atliekama daug kitų operacijų. Iš esmės paties logaritmo sprendimas yra supaprastintas jo žymėjimas. Žemiau pateikiamos pagrindinės formulės ir savybės:

Bet kokiam a ; a > 0; a ≠ 1 ir bet kuriam x ; y > 0.

• a log a b = b yra pagrindinė logaritminė tapatybė
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , kai k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - perėjimo prie naujos bazės formulė
• log a x = 1/log x a

Kaip išspręsti logaritmus - žingsnis po žingsnio sprendimo instrukcijos

• Pirmiausia užrašykite reikiamą lygtį.

Atkreipkite dėmesį: jei bazinis logaritmas yra 10, tada įrašas sutrumpinamas, gaunamas dešimtainis logaritmas. Jei verta natūralusis skaičius e, tada užrašome, sumažindami iki natūraliojo logaritmo. Tai reiškia, kad visų logaritmų rezultatas yra laipsnis, iki kurio pakeliamas bazinis skaičius, norint gauti skaičių b.

Tiesiogiai sprendimas slypi apskaičiuojant šį laipsnį. Prieš sprendžiant išraišką logaritmu, ją reikia supaprastinti pagal taisyklę, tai yra, naudojant formules. Pagrindines tapatybes galite rasti šiek tiek grįžę į straipsnį.

Sudėdami ir atimdami logaritmus su dviem skirtingais skaičiais, bet su tuo pačiu pagrindu, pakeiskite vienu logaritmu atitinkamai skaičių b ir c sandauga arba padalijimu. Tokiu atveju perėjimo formulę galite pritaikyti kitai bazei (žr. aukščiau).

Jei naudojate išraiškas logaritmui supaprastinti, reikia žinoti kai kuriuos apribojimus. Ir tai yra: tik logaritmo a pagrindas teigiamas skaičius, bet nelygu vienam. Skaičius b, kaip ir a, turi būti didesnis už nulį.

Pasitaiko atvejų, kai supaprastinę išraišką negalėsite apskaičiuoti logaritmo skaitine forma. Pasitaiko, kad tokia išraiška neturi prasmės, nes daugelis laipsnių yra neracionalūs skaičiai. Esant šiai sąlygai, palikite skaičiaus laipsnį kaip logaritmą.

Kaip žinote, dauginant išraiškas su laipsniais, jų rodikliai visada sumuojasi (a b * a c = a b + c). Šį matematinį dėsnį išvedė Archimedas, o vėliau, VIII amžiuje, matematikas Virasenas sukūrė sveikųjų skaičių rodiklių lentelę. Būtent jie pasitarnavo tolesniam logaritmų atradimui. Šios funkcijos naudojimo pavyzdžių galima rasti beveik visur, kur reikia supaprastinti sudėtingą daugybą iki paprasto sudėjimo. Jei skaitydami šį straipsnį skirsite 10 minučių, paaiškinsime, kas yra logaritmai ir kaip su jais dirbti. Paprasta ir prieinama kalba.

Apibrėžimas matematikoje

Logaritmas yra tokios formos išraiška: log a b=c, tai yra, bet kurio neneigiamo skaičiaus (ty bet kurio teigiamo) "b" logaritmas pagal jo bazę "a" laikomas "c" galia. “, iki kurio reikia pakelti bazę „a“, kad galiausiai gautumėte reikšmę „b“. Išanalizuokime logaritmą naudodami pavyzdžius, tarkime, kad yra išraiška log 2 8. Kaip rasti atsakymą? Tai labai paprasta, reikia rasti tokį laipsnį, kad nuo 2 iki reikiamo laipsnio gautum 8. Mintyse atlikę tam tikrus skaičiavimus, gauname skaičių 3! Ir teisingai, nes 2 iki 3 laipsnio atsakyme suteikia skaičių 8.

Logaritmų atmainos

Daugeliui mokinių ir studentų ši tema atrodo sudėtinga ir nesuprantama, tačiau iš tikrųjų logaritmai nėra tokie baisūs, svarbiausia suprasti jų bendrą reikšmę ir atsiminti jų savybes bei kai kurias taisykles. Yra trys tam tikrų tipų logaritminės išraiškos:

1. Natūralusis logaritmas ln a, kur bazė yra Eulerio skaičius (e = 2,7).
2. Dešimtainė a, kur bazė yra 10.
3. Bet kurio skaičiaus b logaritmas bazei a>1.

Kiekvienas iš jų yra nuspręstas standartiniu būdu, kuris apima supaprastinimą, sumažinimą ir vėlesnį redukavimą iki vieno logaritmo naudojant logaritmines teoremas. Norint gauti teisingas logaritmų reikšmes, reikia atsiminti jų savybes ir veiksmų eiliškumą priimant sprendimus.

Taisyklės ir kai kurie apribojimai

Matematikoje yra keletas taisyklių-ribojimų, kurie priimami kaip aksioma, tai yra, jie nėra diskutuojami ir yra teisingi. Pavyzdžiui, jūs negalite padalyti skaičių iš nulio, taip pat neįmanoma paimti lygiosios šaknies iš neigiami skaičiai. Logaritmai taip pat turi savo taisykles, kuriomis vadovaudamiesi galite lengvai išmokti dirbti net su ilgomis ir talpiomis logaritminėmis išraiškomis:

• bazė "a" visada turi būti didesnė už nulį ir tuo pačiu metu negali būti lygi 1, kitaip išraiška praras savo reikšmę, nes "1" ir "0" bet kokiu laipsniu visada yra lygūs jų reikšmėms;
• jei a > 0, tai a b > 0, išeina, kad „c“ turi būti didesnis už nulį.

Kaip išspręsti logaritmus?

Pavyzdžiui, buvo duota užduotis rasti atsakymą į lygtį 10 x \u003d 100. Tai labai paprasta, reikia pasirinkti tokią galią, pakeliant skaičių dešimt, iki kurio gauname 100. Tai, žinoma, yra 10 2 \u003d 100.

Dabar pavaizduokime šią išraišką kaip logaritminę. Gauname log 10 100 = 2. Sprendžiant logaritmus visi veiksmai praktiškai suartėja, kad būtų nustatytas laipsnis, iki kurio reikia įvesti logaritmo bazę, kad gautume duotą skaičių.

Norėdami tiksliai nustatyti nežinomo laipsnio reikšmę, turite išmokti dirbti su laipsnių lentele. Tai atrodo taip:

Kaip matote, kai kuriuos eksponentus galima atspėti intuityviai, jei turite techninį mąstymą ir išmanote daugybos lentelę. Tačiau už didelės vertės jums reikia laipsnių lentelės. Ją gali naudoti net tie, kurie visiškai nieko nesupranta sudėtingose ​​matematinėse temose. Kairiajame stulpelyje yra skaičiai (bazė a), viršutinėje skaičių eilutėje yra laipsnio c reikšmė, iki kurios pakeliamas skaičius a. Ląstelių sankirtoje nustatomos skaičių reikšmės, kurios yra atsakymas (a c = b). Paimkime, pavyzdžiui, patį pirmąjį langelį su skaičiumi 10 ir padėkite jį kvadratu, gausime reikšmę 100, kuri yra nurodyta mūsų dviejų langelių sankirtoje. Viskas taip paprasta ir lengva, kad supras net pats tikriausias humanistas!

Lygtys ir nelygybės

Pasirodo, tam tikromis sąlygomis eksponentas yra logaritmas. Todėl bet kurios matematinės skaitinės išraiškos gali būti parašytos kaip logaritminė lygtis. Pavyzdžiui, 3 4 =81 galima parašyti kaip logaritmą nuo 81 iki 3 bazės, kuri yra keturi (log 3 81 = 4). Neigiamų galių taisyklės tos pačios: 2 -5 = 1/32 rašome logaritmu, gauname log 2 (1/32) = -5. Viena patraukliausių matematikos skyrių yra „logaritmų“ tema. Lygčių pavyzdžius ir sprendimus svarstysime šiek tiek žemiau, iš karto ištyrę jų savybes. Dabar pažiūrėkime, kaip atrodo nelygybės ir kaip jas atskirti nuo lygčių.

Pateikiama tokios formos išraiška: log 2 (x-1) > 3 - tai logaritminė nelygybė, nes nežinoma reikšmė "x" yra po logaritmo ženklu. Taip pat išraiškoje lyginami du dydžiai: norimo skaičiaus logaritmas bazėje du yra didesnis nei skaičius trys.

Svarbiausias skirtumas tarp logaritminių lygčių ir nelygybių yra tas, kad lygtys su logaritmais (pavyzdžiui, logaritmas 2 x = √9) atsakyme reiškia vieną ar daugiau konkrečių skaitinių reikšmių, o sprendžiant nelygybę, tiek priimtinos reikšmės ir taškai, pažeidžiantys šią funkciją. Todėl atsakymas yra ne paprasta atskirų skaičių rinkinys, kaip lygties atsakyme, o ištisinė skaičių serija arba rinkinys.

Pagrindinės teoremos apie logaritmus

Sprendžiant primityvias užduotis ieškant logaritmo reikšmių, jo savybės gali būti nežinomos. Tačiau kalbant apie logaritmines lygtis ar nelygybes, pirmiausia reikia aiškiai suprasti ir praktiškai pritaikyti visas pagrindines logaritmų savybes. Su lygčių pavyzdžiais susipažinsime vėliau, pirmiausia išanalizuokime kiekvieną savybę išsamiau.

1. Pagrindinė tapatybė atrodo taip: a logaB =B. Jis taikomas tik tuo atveju, jei a yra didesnis nei 0, nelygus vienetui, o B yra didesnis už nulį.
2. Produkto logaritmą galima pavaizduoti tokia formule: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Šiuo atveju būtina sąlyga: d, s 1 ir s 2 > 0; a≠1. Galite pateikti šios logaritmų formulės įrodymą su pavyzdžiais ir sprendimu. Tegu log a s 1 = f 1 ir log a s 2 = f 2, tada a f1 = s 1, a f2 = s 2. Gauname, kad s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (laipsnio savybės ), o toliau pagal apibrėžimą: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, kurį reikėjo įrodyti.
3. Dalinio logaritmas atrodo taip: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema formulės pavidalu įgauna tokią formą: log a q b n = n/q log a b.

Ši formulė vadinama „logaritmo laipsnio savybe“. Tai primena įprastų laipsnių savybes, ir tai nenuostabu, nes visa matematika remiasi įprastais postulatais. Pažiūrėkime į įrodymą.

Leiskite įregistruoti a b \u003d t, pasirodo, a t \u003d b. Jei abi dalis pakelsite laipsniu m: a tn = b n ;

bet kadangi a tn = (a q) nt/q = b n , vadinasi, log a q b n = (n*t)/t, tai log a q b n = n/q log a b. Teorema įrodyta.

Problemų ir nelygybių pavyzdžiai

Dažniausiai pasitaikantys logaritmų uždaviniai yra lygčių ir nelygybių pavyzdžiai. Jie yra beveik visose probleminėse knygose, taip pat yra įtraukti į privalomą matematikos egzaminų dalį. Dėl stojimo į universitetą ar išlaikymo stojamieji egzaminai matematikoje reikia mokėti teisingai išspręsti tokius uždavinius.

Deja, vieną planą ar schemą spręsti ir nustatyti nežinoma vertė logaritmo nėra, tačiau kiekvienai matematinei nelygybei ar logaritminei lygčiai gali būti taikomos tam tikros taisyklės. Visų pirma turėtumėte išsiaiškinti, ar išraišką galima supaprastinti arba sumažinti iki bendras vaizdas. Galite supaprastinti ilgas logaritmines išraiškas, jei teisingai naudojate jų savybes. Greitai su jais susipažinkime.

Sprendžiant logaritmines lygtis, būtina nustatyti, kokį logaritmą turime prieš mus: išraiškos pavyzdyje gali būti natūralusis logaritmas arba dešimtainis.

Štai pavyzdžiai ln100, ln1026. Jų sprendimas yra susijęs su tuo, kad reikia nustatyti, kokiu laipsniu bazė 10 bus lygi atitinkamai 100 ir 1026. Dėl sprendimų natūralūs logaritmai reikia taikyti logaritminius tapatumus arba jų savybes. Pažvelkime į įvairių tipų logaritminių uždavinių sprendimo pavyzdžius.

Kaip naudoti logaritmo formules: su pavyzdžiais ir sprendimais

Taigi, pažvelkime į pagrindinių logaritmų teoremų naudojimo pavyzdžius.

1. Produkto logaritmo savybė gali būti naudojama atliekant užduotis, kur reikia plėsti didelę reikšmę skaičius b į paprastesnius veiksnius. Pavyzdžiui, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Atsakymas yra 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - kaip matote, naudojant ketvirtąją logaritmo laipsnio savybę, mums pavyko išspręsti iš pirmo žvilgsnio sudėtingą ir neišsprendžiamą išraišką. Pakanka tik koeficientuoti bazę ir išimti eksponentų reikšmes iš logaritmo ženklo.

Užduotys iš egzamino

Logaritmai dažnai aptinkami stojamuosiuose egzaminuose, ypač daug logaritminių uždavinių Vieningajame valstybiniame egzamine (valstybinis egzaminas visiems abiturientams). Paprastai šios užduotys pateikiamos ne tik A dalyje (lengviausia bandomoji dalis egzaminą), bet ir C dalyje (sunkiausios ir apimčiausios užduotys). Egzaminas reiškia tikslią ir nepriekaištingą temos „Natūralūs logaritmai“ išmanymą.

Pavyzdžiai ir problemų sprendimai paimti iš oficialaus NAUDOTI parinktis. Pažiūrėkime, kaip tokios užduotys sprendžiamos.

Duotas log 2 (2x-1) = 4. Sprendimas:
perrašykime išraišką, šiek tiek supaprastindami log 2 (2x-1) = 2 2 , pagal logaritmo apibrėžimą gauname, kad 2x-1 = 2 4 , todėl 2x = 17; x = 8,5.

• Visus logaritmus geriausia sumažinti iki tos pačios bazės, kad sprendimas nebūtų sudėtingas ir painus.
• Visos raiškos po logaritmo ženklu nurodomos kaip teigiamos, todėl išimant reiškinio, esančio po logaritmo ženklą, rodiklį ir kaip jo bazę, po logaritmu likusi išraiška turi būti teigiama.

Šiuo vaizdo įrašu pradedu ilgą pamokų apie logaritmines lygtis seriją. Dabar iš karto turite tris pavyzdžius, kurių pagrindu išmoksime išspręsti paprasčiausias užduotis, kurios vadinamos taip - pirmuonys.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Leiskite jums priminti, kad paprasčiausia logaritminė lygtis yra tokia:

log a f(x) = b

Svarbu, kad kintamasis x būtų tik argumento viduje, ty tik funkcijoje f(x). O skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcijos, turinčios kintamąjį x.

Pagrindiniai sprendimo būdai

Yra daug būdų, kaip išspręsti tokias struktūras. Pavyzdžiui, dauguma mokytojų mokykloje siūlo tokį būdą: Nedelsdami išreikškite funkciją f ( x ) naudodami formulę f( x ) = a b . Tai yra, kai sutinkate paprasčiausią konstrukciją, galite iš karto pereiti prie sprendimo be papildomų veiksmų ir konstrukcijų.

Taip, žinoma, sprendimas bus teisingas. Tačiau šios formulės problema yra ta, kad dauguma studentų nesuprasti, iš kur ji atsiranda ir kodėl būtent a raidę keliame į raidę b.

Dėl to dažnai pastebiu labai įžeidžiančias klaidas, kai, pavyzdžiui, šios raidės yra sukeičiamos. Šią formulę reikia arba suprasti, arba įsiminti, o antrasis metodas priveda prie klaidų pačiais netinkamiausiais ir svarbiausiais momentais: egzaminuose, testuose ir pan.

Todėl siūlau visiems savo mokiniams atsisakyti standartinės mokyklos formulės ir sprendžiant logaritmines lygtis antrąjį metodą, kuris, kaip tikriausiai atspėjote iš pavadinimo, vadinasi kanoninė forma.

Idėja kanoninė forma paprastas. Dar kartą pažvelkime į savo užduotį: kairėje pusėje yra log a , o raidė a reiškia tiksliai skaičių ir jokiu būdu ne funkciją, kurioje yra kintamasis x. Todėl šiai raidei taikomi visi apribojimai, taikomi logaritmo pagrindui. būtent:

1 ≠ a > 0

Kita vertus, iš tos pačios lygties matome, kad logaritmas turi būti yra lygus skaičiui b , ir šiai raidei nėra taikomi jokie apribojimai, nes ji gali turėti bet kokią reikšmę – tiek teigiamą, tiek neigiamą. Viskas priklauso nuo to, kokias reikšmes įgyja funkcija f(x).

Ir čia mes prisimename mūsų nuostabią taisyklę, kad bet kuris skaičius b gali būti pavaizduotas kaip logaritmas bazėje a nuo a iki b laipsnio:

b = log a a b

Kaip atsiminti šią formulę? Taip, labai paprasta. Parašykime tokią konstrukciją:

b = b 1 = b log a a

Žinoma, tokiu atveju atsiranda visi apribojimai, kuriuos užsirašėme pradžioje. O dabar pasinaudokime pagrindine logaritmo savybe ir įveskime koeficientą b kaip a laipsnį. Mes gauname:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Dėl to pradinė lygtis bus perrašyta tokia forma:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Tai viskas. Naujojoje funkcijoje nebėra logaritmo ir ji išsprendžiama standartiniais algebriniais metodais.

Aišku, dabar kas nors paprieštaraus: kam išvis reikėjo sugalvoti kažkokią kanoninę formulę, kam atlikti du papildomus nereikalingus žingsnius, jei buvo galima iš karto pereiti nuo pradinės konstrukcijos prie galutinės formulės? Taip, jei tik todėl, kad dauguma studentų nesupranta, iš kur atsiranda ši formulė, ir dėl to reguliariai klysta ją taikydami.

Tačiau tokia veiksmų seka, susidedanti iš trijų žingsnių, leidžia išspręsti pradinę logaritminę lygtį, net jei nesupranti, iš kur ta galutinė formulė. Beje, šis įrašas vadinamas kanonine formule:

log a f(x) = log a a b

Kanoninės formos patogumas slypi ir tame, kad ja galima išspręsti labai plačią logaritminių lygčių klasę, o ne tik pačias paprasčiausias, kurias šiandien svarstome.

Sprendimo pavyzdžiai

O dabar pasvarstykime tikrų pavyzdžių. Taigi nuspręskime:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Perrašykime taip:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Daugelis studentų skuba ir stengiasi iš karto pakelti skaičių 0,5 iki galios, kuri mums kilo iš pradinės problemos. Ir iš tiesų, kai jau esate gerai apmokytas spręsti tokias problemas, galite iš karto atlikti šį veiksmą.

Tačiau jei dabar tik pradedate nagrinėti šią temą, geriau niekur neskubėkite, kad nepadarytumėte įžeidžiančių klaidų. Taigi turime kanoninę formą. Mes turime:

3x - 1 = 0,5 -3

Tai jau ne logaritminė lygtis, o tiesinė lygtis kintamojo x atžvilgiu. Norėdami tai išspręsti, pirmiausia panagrinėkime skaičių 0,5 iki −3 laipsnio. Atminkite, kad 0,5 yra 1/2.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Visi po kablelio konvertuoti į normalią, kai išsprendžiate logaritminę lygtį.

Perrašome ir gauname:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Visi mes gavome atsakymą. Pirmoji užduotis išspręsta.

Antra užduotis

Pereikime prie antrosios užduoties:

Kaip matote, ši lygtis nebėra pati paprasčiausia. Jei tik todėl, kad skirtumas yra kairėje, o ne vienas logaritmas vienoje bazėje.

Todėl jūs turite kažkaip atsikratyti šio skirtumo. Šiuo atveju viskas labai paprasta. Pažvelkime atidžiau į pagrindus: kairėje yra skaičius po šaknimi:

Bendra rekomendacija: visose logaritminėse lygtyse stenkitės atsikratyti radikalų, t.y. įrašų su šaknimis, ir pereikite prie galios funkcijos, vien todėl, kad šių laipsnių rodikliai lengvai išimami iš logaritmo ženklo, o galiausiai toks žymėjimas labai supaprastina ir pagreitina skaičiavimus. Parašykime taip:

Dabar primename nepaprastą logaritmo savybę: iš argumento, taip pat iš pagrindo, galite išskirti laipsnius. Kalbant apie bazes, atsitinka taip:

log a k b = 1/k loga b

Kitaip tariant, skaičius, kuris stovėjo pagrindo laipsnyje, pakeliamas į priekį ir tuo pačiu apsiverčia, t.y. atvirkštinis skaičius. Mūsų atveju buvo bazinis laipsnis, kurio rodiklis buvo 1/2. Todėl galime jį išimti kaip 2/1. Mes gauname:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Atkreipkite dėmesį: šiame žingsnyje jokiu būdu neturėtumėte atsikratyti logaritmų. Prisiminkite 4-5 klasės matematiką ir operacijų eiliškumą: pirmiausia atliekama daugyba, o tik po to atliekama sudėjimas ir atėmimas. Šiuo atveju iš 10 elementų atimame vieną iš tų pačių elementų:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Dabar mūsų lygtis atrodo taip, kaip turėtų. Tai paprasčiausias dizainas, ir mes tai išsprendžiame kanonine forma:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Tai viskas. Antroji problema išspręsta.

Trečias pavyzdys

Pereikime prie trečios užduoties:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Prisiminkite šią formulę:

log b = log 10 b

Jei dėl kokių nors priežasčių susipainiojate rašydami lg b , tada atlikdami visus skaičiavimus galite tiesiog parašyti log 10 b . Su dešimtainiais logaritmais galite dirbti taip pat, kaip ir su kitais: išimkite laipsnius, sudėkite ir bet kurį skaičių pavaizduokite kaip lg 10.

Būtent šias savybes dabar naudosime spręsdami problemą, nes tai nėra pati paprasčiausia, kurią užsirašėme pačioje pamokos pradžioje.

Pirmiausia atkreipkite dėmesį, kad koeficientas 2 prieš lg 5 gali būti įterptas ir tampa 5 bazės laipsniu. Be to, laisvasis terminas 3 taip pat gali būti pavaizduotas kaip logaritmas – tai labai lengva pastebėti iš mūsų žymėjimo.

Spręskite patys: bet koks skaičius gali būti pavaizduotas kaip žurnalas iki 10 bazės:

3 = log 10 10 3 = log 10 3

Perrašykime pradinę problemą, atsižvelgdami į gautus pakeitimus:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = 25 000 lg

Prieš mus vėl kanoninė forma, ir mes ją gavome apeidami transformacijų etapą, t.y., paprasčiausia logaritminė lygtis mums niekur neatsirado.

Apie tai ir kalbėjau pačioje pamokos pradžioje. Kanoninė forma leidžia išspręsti platesnę užduočių klasę nei standartinė mokyklos formulė, kurią pateikia dauguma mokyklos mokytojų.

Tai viskas, atsikratome dešimtainio logaritmo ženklo ir gauname paprastą tiesinę konstrukciją:

x + 3 = 25 000
x = 24997

Viskas! Problema išspręsta.

Pastaba apie taikymo sritį

Čia norėčiau pateikti svarbią pastabą apie apibrėžimo sritį. Tikrai dabar yra mokinių ir mokytojų, kurie sakys: „Kai sprendžiame išraiškas logaritmais, būtina atsiminti, kad argumentas f (x) turi būti didesnis už nulį! Šiuo atžvilgiu kyla logiškas klausimas: kodėl nė vienoje iš nagrinėjamų problemų nereikalavome, kad ši nelygybė būtų patenkinta?

Nesijaudink. Tokiais atvejais neatsiras papildomų šaknų. Ir tai dar vienas puikus triukas, leidžiantis paspartinti sprendimą. Tik žinokite, kad jeigu uždavinyje kintamasis x pasitaiko tik vienoje vietoje (tiksliau, viename ir vieninteliame vieno ir vienintelio logaritmo argumente), o niekur kitur mūsų atveju kintamasis x nepasitaiko, tada parašykite domeną nereikia nes jis veiks automatiškai.

Spręskite patys: pirmoje lygtyje gavome, kad 3x - 1, t.y. argumentas turi būti lygus 8. Tai automatiškai reiškia, kad 3x - 1 bus didesnis už nulį.

Su ta pačia sėkme galime rašyti, kad antruoju atveju x turi būti lygus 5 2, t.y., jis tikrai didesnis už nulį. Ir trečiuoju atveju, kur x + 3 = 25 000, t.y., vėlgi, akivaizdžiai didesnis už nulį. Kitaip tariant, apimtis yra automatinė, bet tik tuo atveju, jei x yra tik vieno logaritmo argumente.

Tai viskas, ką reikia žinoti norint išspręsti paprastas problemas. Vien ši taisyklė kartu su transformacijos taisyklėmis leis išspręsti labai plačią problemų klasę.

Bet būkime sąžiningi: norėdami pagaliau susidoroti su šia technika, norėdami išmokti taikyti kanoninę formą logaritminė lygtis Nepakanka tik žiūrėti vieną vaizdo įrašą. Todėl dabar atsisiųskite nepriklausomo sprendimo parinktis, kurios pridedamos prie šios vaizdo pamokos, ir pradėkite spręsti bent vieną iš šių dviejų nepriklausomų darbų.

Tai užtruks vos kelias minutes. Tačiau tokio mokymo poveikis bus daug didesnis, palyginti su tuo, jei ką tik žiūrėjote šį vaizdo įrašą.

Tikiuosi, kad ši pamoka padės suprasti logaritmines lygtis. Taikykite kanoninę formą, supaprastinkite išraiškas naudodamiesi darbo su logaritmais taisyklėmis - ir jūs nebijosite jokių užduočių. Ir tai viskas, ką šiandien turiu.

Apimties svarstymas

Dabar pakalbėkime apie logaritminės funkcijos sritį, taip pat apie tai, kaip tai veikia logaritminių lygčių sprendimą. Apsvarstykite formos konstrukciją

log a f(x) = b

Tokia išraiška vadinama paprasčiausia – ji turi tik vieną funkciją, o skaičiai a ir b yra tik skaičiai ir jokiu būdu nėra funkcija, kuri priklauso nuo kintamojo x. Tai išspręsta labai paprastai. Jums tereikia naudoti formulę:

b = log a a b

Ši formulė yra viena iš pagrindinių logaritmo savybių, o pakeitę pradinę išraišką gauname:

log a f(x) = log a a b

f(x) = a b

Tai jau pažįstama formulė iš mokyklinių vadovėlių. Daugeliui mokinių tikriausiai kils klausimas: kadangi funkcija f ( x ) pradinėje išraiškoje yra po log ženklu, jai taikomi tokie apribojimai:

f(x) > 0

Šis apribojimas galioja, nes neigiamų skaičių logaritmas neegzistuoja. Taigi, galbūt dėl ​​šio apribojimo turėtumėte įvesti atsakymų patikrinimą? Galbūt juos reikia pakeisti šaltinyje?

Ne, paprasčiausiose logaritminėse lygtyse papildomas tikrinimas nereikalingas. Ir todėl. Pažvelkite į mūsų galutinę formulę:

f(x) = a b

Faktas yra tas, kad skaičius a bet kuriuo atveju yra didesnis nei 0 - šį reikalavimą taip pat nustato logaritmas. Skaičius a yra pagrindas. Šiuo atveju skaičiui b netaikomi jokie apribojimai. Bet tai nesvarbu, nes nesvarbu, kokiu laipsniu padidintume teigiamą skaičių, vis tiek gausime teigiamą skaičių išvestyje. Taigi reikalavimas f (x) > 0 yra įvykdytas automatiškai.

Tikrai verta patikrinti funkcijos apimtį po žurnalo ženklu. Gali būti gana sudėtingų dizainų, ir juos spręsdami būtinai turite jų laikytis. Pažiūrėkime.

Pirma užduotis:

Pirmas žingsnis: konvertuokite dešinėje esančią trupmeną. Mes gauname:

Atsikratome logaritmo ženklo ir gauname įprastą neracionalią lygtį:

Iš gautų šaknų mums tinka tik pirmoji, nes antroji šaknis mažesnė už nulį. Vienintelis atsakymas bus skaičius 9. Štai ir viskas, problema išspręsta. Jokių papildomų patikrinimų, ar išraiška po logaritmo ženklu yra didesnė už 0, nereikia, nes ji ne tik didesnė už 0, bet pagal lygties sąlygą lygi 2. Todėl reikalavimas „didesnis už nulį“ yra automatiškai patenkintas.

Pereikime prie antrosios užduoties:

Čia viskas taip pat. Perrašome konstrukciją, pakeisdami trigubą:

Atsikratome logaritmo ženklų ir gauname neracionalią lygtį:

Atsižvelgdami į apribojimus, išlyginkite abi dalis ir gauname:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Gautą lygtį išsprendžiame per diskriminantą:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = -1

x 2 \u003d -6

Bet x = −6 mums netinka, nes jei šį skaičių pakeisime į savo nelygybę, gausime:

−6 + 4 = −2 < 0

Mūsų atveju reikalaujama, kad jis būtų didesnis nei 0 arba, kraštutiniais atvejais, lygus. Bet x = −1 mums tinka:

−1 + 4 = 3 > 0

Vienintelis atsakymas mūsų atveju yra x = −1. Štai ir visas sprendimas. Grįžkime į pačią mūsų skaičiavimo pradžią.

Pagrindinė šios pamokos išvada yra ta, kad nereikia tikrinti funkcijos ribų paprasčiausiose logaritminėse lygtyse. Nes sprendžiant visus apribojimus vykdomi automatiškai.

Tačiau tai jokiu būdu nereiškia, kad galite visiškai pamiršti apie patikrinimą. Darbo su logaritmine lygtimi procese ji gali virsti neracionalia, kuri turės savo apribojimus ir reikalavimus dešinei pusei, kurią šiandien matėme dviejuose skirtinguose pavyzdžiuose.

Nedvejodami spręskite tokias problemas ir būkite ypač atsargūs, jei ginče yra šaknis.

Logaritminės lygtys su skirtingais pagrindais

Toliau tiriame logaritmines lygtis ir analizuojame dar du gana įdomius triukus, su kuriais madinga išspręsti daugiau sudėtingos struktūros. Tačiau pirmiausia prisiminkime, kaip sprendžiamos paprasčiausios užduotys:

log a f(x) = b

Šiame žymėjime a ir b yra tik skaičiai, o funkcijoje f (x) turi būti kintamasis x ir tik ten, tai yra, x turi būti tik argumente. Tokias logaritmines lygtis transformuosime naudodami kanoninę formą. Dėl to atkreipiame dėmesį į tai

b = log a a b

O a b yra tik argumentas. Perrašykime šią išraišką taip:

log a f(x) = log a a b

Būtent to ir siekiame, kad ir kairėje, ir dešinėje būtų logaritmas iki pagrindo a. Šiuo atveju, vaizdžiai tariant, rąsto ženklus galime nubraukti, o matematikos požiūriu galime teigti, kad argumentus tiesiog sulyginame:

f(x) = a b

Dėl to gauname naują išraišką, kuri bus išspręsta daug lengviau. Taikykime šią taisyklę savo užduotims šiandien.

Taigi pirmasis dizainas:

Visų pirma atkreipiu dėmesį, kad dešinėje yra trupmena, kurios vardiklis yra log. Kai matote tokią išraišką, verta prisiminti nuostabią logaritmų savybę:

Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia, kad bet kurį logaritmą galima pavaizduoti kaip dviejų logaritmų su bet kuria baze c koeficientą. Žinoma, 0< с ≠ 1.

Taigi: ši formulė turi vieną nuostabų ypatingą atvejį, kai kintamasis c yra lygus kintamajam b. Tokiu atveju gauname formos konstrukciją:

Būtent šią konstrukciją mes stebime iš ženklo dešinėje mūsų lygtyje. Pakeiskime šią konstrukciją log a b , gausime:

Kitaip tariant, palyginus su pradine užduotimi, mes sukeitėme argumentą ir logaritmo bazę. Vietoj to, mes turėjome apversti trupmeną.

Primename, kad bet koks laipsnis gali būti pašalintas iš bazės pagal šią taisyklę:

Kitaip tariant, koeficientas k, kuris yra bazės laipsnis, išimamas kaip atvirkštinė trupmena. Išimkime ją kaip apverstą trupmeną:

Trupmeninio koeficiento negalima palikti priekyje, nes tokiu atveju šio įrašo negalėsime pavaizduoti kaip kanoninės formos (juk kanoninėje formoje prieš antrąjį logaritmą papildomo koeficiento nėra). Todėl argumente kaip laipsnį įdėkime trupmeną 1/4:

Dabar sulyginame argumentus, kurių pagrindai yra vienodi (ir mes tikrai turime tuos pačius pagrindus), ir rašome:

x + 5 = 1

x = −4

Tai viskas. Gavome atsakymą į pirmąją logaritminę lygtį. Atkreipkite dėmesį: pradinėje užduotyje kintamasis x yra tik viename žurnale ir yra jo argumente. Todėl nereikia tikrinti domeno, o mūsų skaičius x = −4 iš tikrųjų yra atsakymas.

Dabar pereikime prie antrosios išraiškos:

log 56 = log 2 log 2 7 – 3 log (x + 4)

Čia, be įprastų logaritmų, teks dirbti su lg f (x). Kaip išspręsti tokią lygtį? Nepasiruošusiam mokiniui gali atrodyti, kad tai kažkokia skarda, bet iš tikrųjų viskas išspręsta elementariai.

Atidžiai pažvelkite į terminą lg 2 log 2 7. Ką apie tai galime pasakyti? Log ir lg pagrindai ir argumentai yra vienodi, ir tai turėtų duoti užuominų. Dar kartą prisiminkime, kaip laipsniai išimami iš po logaritmo ženklo:

log a b n = nlog a b

Kitaip tariant, kokia buvo skaičiaus b galia argumente, tampa veiksniu prieš patį logą. Šią formulę pritaikykime reiškiniui lg 2 log 2 7. Nebijokite lg 2 – tai dažniausiai pasitaikanti išraiška. Galite perrašyti taip:

Jam galioja visos taisyklės, kurios galioja bet kuriam kitam logaritmui. Visų pirma, priešais esantis veiksnys gali būti įtrauktas į argumento galią. Parašykime:

Labai dažnai studentai tuščiu tašku nemato šio veiksmo, nes nėra gerai įvesti vieną žurnalą po kito ženklu. Tiesą sakant, tame nėra nieko nusikalstamo. Be to, gauname formulę, kurią lengva apskaičiuoti, jei atsimenate svarbią taisyklę:

Šią formulę galima laikyti ir apibrėžimu, ir viena iš jos savybių. Bet kokiu atveju, jei konvertuojate logaritminę lygtį, šią formulę turėtumėte žinoti taip pat, kaip ir bet kurio skaičiaus atvaizdavimą žurnalo forma.

Grįžtame prie savo užduoties. Perrašome atsižvelgdami į tai, kad pirmasis lygybės ženklo dešinėje esantis narys bus tiesiog lygus lg 7. Turime:

lg 56 = lg 7–3 lg (x + 4)

Perkelkime lg 7 į kairę, gausime:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Atimame kairėje esančias išraiškas, nes jų pagrindas yra tas pats:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Dabar atidžiau pažvelkime į gautą lygtį. Tai praktiškai kanoninė forma, tačiau dešinėje yra koeficientas −3. Įveskime jį į tinkamą lg argumentą:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl išbraukiame lg ženklus ir sulyginame argumentus:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Tai viskas! Išsprendėme antrąją logaritminę lygtį. Šiuo atveju papildomų patikrinimų nereikia, nes pradinėje užduotyje x buvo tik viename argumente.

Išvardysiu dar kartą Pagrindiniai klausimaišią pamoką.

Pagrindinė formulė, kuri nagrinėjama visose šio puslapio pamokose, skirtose logaritminėms lygtims spręsti, yra kanoninė forma. Ir nesijaudinkite dėl to, kad daugumoje mokyklinių vadovėlių mokoma, kaip tokias problemas spręsti kitaip. Šis įrankis veikia labai efektyviai ir leidžia išspręsti daug platesnę užduočių grupę nei pačios paprasčiausios, kurias nagrinėjome pačioje pamokos pradžioje.

Be to, norint išspręsti logaritmines lygtis, bus naudinga žinoti pagrindines savybes. Būtent:

1. Perėjimo į vieną bazę formulė ir specialus atvejis, kai apverčiame žurnalą (tai mums labai pravertė atliekant pirmąją užduotį);
2. Formulė galių įvedimui ir išėmimui iš po logaritmo ženklo. Čia daugelis studentų įstringa ir nemato, kad išimtoje ir įvestoje galioje gali būti log f (x). Nieko blogo tame. Vieną rąstą galime įvesti pagal kito ženklą ir tuo pačiu gerokai supaprastinti problemos sprendimą, ką ir stebime antruoju atveju.

Baigdamas noriu pridurti, kad kiekvienu iš šių atvejų nebūtina tikrinti apimties, nes visur kintamasis x yra tik viename log ženkle ir tuo pačiu yra jo argumente. Todėl visi domeno reikalavimai tenkinami automatiškai.

Problemos su kintamu pagrindu

Šiandien nagrinėsime logaritmines lygtis, kurios daugeliui studentų atrodo nestandartinės, jei ne visiškai neišsprendžiamos. Kalbame apie išraiškas, kurios pagrįstos ne skaičiais, o kintamaisiais ir net funkcijomis. Tokias konstrukcijas spręsime naudodami standartinę techniką, būtent per kanoninę formą.

Pirmiausia prisiminkime, kaip išsprendžiamos paprasčiausios problemos, pagrįstos įprastais skaičiais. Taigi, vadinama paprasčiausia konstrukcija

log a f(x) = b

Norėdami išspręsti tokias problemas, galime naudoti šią formulę:

b = log a a b

Perrašome savo pradinę išraišką ir gauname:

log a f(x) = log a a b

Tada sulyginame argumentus, t.y. rašome:

f(x) = a b

Taip atsikratome rąsto ženklo ir išsprendžiame įprastą problemą. Šiuo atveju sprendime gautos šaknys bus pradinės logaritminės lygties šaknys. Be to, įrašas, kai ir kairė, ir dešinė yra tame pačiame logaritme su tuo pačiu pagrindu, vadinamas kanonine forma. Būtent iki šio rekordo ir stengsimės sumažinti šiandienines statybas. Taigi eime.

Pirma užduotis:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

Pakeiskite 1 log x − 2 (x − 2) 1 . Laipsnis, kurį stebime argumente, iš tikrųjų yra skaičius b , kuris buvo lygybės ženklo dešinėje. Taigi perrašykime savo išraišką. Mes gauname:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Ką mes matome? Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma, todėl galime saugiai sulyginti argumentus. Mes gauname:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Tačiau sprendimas tuo nesibaigia, nes ši lygtis nėra lygiavertė pradinei. Galų gale, gauta konstrukcija susideda iš funkcijų, kurios yra apibrėžtos visoje skaičių eilutėje, o mūsų pradiniai logaritmai yra apibrėžti ne visur ir ne visada.

Todėl apibrėžimo sritį turime užrašyti atskirai. Nebūkime išmintingesni ir pirmiausia surašykime visus reikalavimus:

Pirma, kiekvieno logaritmo argumentas turi būti didesnis nei 0:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Antra, bazė turi būti ne tik didesnė nei 0, bet ir skirtis nuo 1:

x – 2 ≠ 1

Dėl to gauname sistemą:

Tačiau neišsigąskite: apdorojant logaritmines lygtis tokia sistema gali būti labai supaprastinta.

Spręskite patys: viena vertus, iš mūsų reikalaujama, kad kvadratinė funkcija būtų didesnė už nulį, kita vertus, ši kvadratinė funkcija prilyginama kokiai nors tiesinei išraiškai, kuri taip pat reikalaujama, kad ji būtų didesnė už nulį.

Tokiu atveju, jei reikalaujame, kad x − 2 > 0, tai reikalavimas 2x 2 − 13x + 18 > 0 bus automatiškai įvykdytas, todėl nelygybę, kurioje yra kvadratinė funkcija. Taigi mūsų sistemoje esančių išraiškų skaičius bus sumažintas iki trijų.

Žinoma, mes taip pat galime užbraukti tiesinė nelygybė, ty nubraukti x − 2 > 0 ir reikalauti, kad 2x 2 − 13x + 18 > 0. Tačiau reikia sutikti, kad paprasčiausią tiesinę nelygybę išspręsti daug greičiau ir lengviau, nei ši sistema gauname tas pačias šaknis.

Apskritai, kai tik įmanoma, stenkitės optimizuoti skaičiavimus. O logaritminių lygčių atveju išbraukite sunkiausias nelygybes.

Perrašykime savo sistemą:

Štai tokia trijų posakių sistema, iš kurių dvi iš tikrųjų jau išsiaiškinome. Parašykime atskirai kvadratinė lygtis ir išspręsk:

2x2 – 14x + 20 = 0

x2 – 7x + 10 = 0

Prieš mus yra sumažintas kvadratinis trinaris, todėl galime naudoti Vieta formules. Mes gauname:

(x - 5) (x - 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Dabar, grįžtant prie mūsų sistemos, matome, kad x = 2 mums netinka, nes iš mūsų reikalaujama, kad x būtų griežtai didesnis nei 2.

Bet x \u003d 5 mums tinka gana gerai: skaičius 5 yra didesnis nei 2, o tuo pačiu metu 5 nėra lygus 3. Todėl vienintelis šios sistemos sprendimas bus x \u003d 5.

Viskas, užduotis išspręsta, įskaitant atsižvelgiant į ODZ. Pereikime prie antrosios lygties. Čia laukiame įdomesnių ir prasmingesnių skaičiavimų:

Pirmas žingsnis: kaip ir paskutinį kartą, visą šį verslą perkeliame į kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, skaičių 9 galime parašyti taip:

Pagrindo su šaknimi liesti negalima, bet argumentą geriau transformuoti. Pereikime nuo šaknies prie laipsnio su racionaliuoju rodikliu. Parašykime:

Leiskite man neperrašyti visos mūsų didelės logaritminės lygties, o tiesiog iš karto sulyginti argumentus:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Prieš mus vėl yra sumažintas kvadratinis trinaris, naudosime Vieta formules ir parašysime:

(x + 3) (x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Taigi, gavome šaknis, bet niekas negarantavo, kad jos atitiks pradinę logaritminę lygtį. Juk rąstų ženklai kelia papildomus apribojimus (čia tektų užrašyti sistemą, bet dėl ​​visos konstrukcijos gremėzdiškumo nusprendžiau apibrėžimo sritį skaičiuoti atskirai).

Visų pirma, atminkite, kad argumentai turi būti didesni nei 0, būtent:

Tai yra apibrėžimo srities keliami reikalavimai.

Iš karto pastebime, kad kadangi pirmąsias dvi sistemos išraiškas prilyginame viena kitai, bet kurią iš jų galime išbraukti. Pirmąjį išbraukime, nes jis atrodo grėsmingesnis nei antrasis.

Be to, atkreipkite dėmesį, kad antrosios ir trečiosios nelygybių sprendiniai bus tos pačios aibės (kai kurio skaičiaus kubas yra didesnis už nulį, jei pats skaičius didesnis už nulį; panašiai ir su trečiojo laipsnio šaknimi - šios nelygybės yra visiškai panašus, todėl vieną iš jų galime užbraukti).

Tačiau su trečiąja nelygybe tai neveiks. Atsikratykime kairėje esančio radikalo ženklo, kuriam abi dalis pakeliame į kubą. Mes gauname:

Taigi gauname šiuos reikalavimus:

−2 ≠ x > −3

Kuri iš mūsų šaknų: x 1 = -3 arba x 2 = -1 atitinka šiuos reikalavimus? Akivaizdu, kad tik x = −1, nes x = −3 netenkina pirmosios nelygybės (nes mūsų nelygybė yra griežta). Iš viso, grįžtant prie uždavinio, gauname vieną šaknį: x = −1. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Vėlgi, pagrindiniai šios užduoties punktai:

1. Nedvejodami pritaikykite ir spręskite logaritmines lygtis naudodami kanoninę formą. Studentai, kurie daro tokį įrašą ir nepereina tiesiai nuo pradinės problemos prie tokios konstrukcijos kaip log a f ( x ) = b , daro daug mažiau klaidų nei tie, kurie kažkur skuba, praleidžia tarpinius skaičiavimo žingsnius;
2. Kai tik logaritme atsiranda kintamoji bazė, problema nustoja būti pati paprasčiausia. Todėl ją sprendžiant būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį: argumentai turi būti didesni už nulį, o pagrindai turi būti ne tik didesni už 0, bet ir nelygūs 1.

Paskutinius reikalavimus galutiniams atsakymams galite kelti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, galima išspręsti visą sistemą, kurioje yra visi domeno reikalavimai. Kita vertus, pirmiausia galite išspręsti pačią problemą, o tada prisiminti apibrėžimo sritį, ją atskirai išsiaiškinti sistemos pavidalu ir pritaikyti gautoms šaknims.

Kurį būdą pasirinkti sprendžiant tam tikrą logaritminę lygtį, priklauso nuo jūsų. Bet kuriuo atveju atsakymas bus tas pats.

Jūsų privatumas mums svarbus. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Perskaitykite mūsų privatumo politiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją, norėdami išsiųsti jums svarbius pranešimus ir pranešimus.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate loterijoje, konkurse ar panašioje paskatoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų, teismo tvarka, teisminio proceso tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Mes taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais viešojo intereso tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo palaikymas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugos praktiką ir griežtai vykdome privatumo praktiką.