Taigi, mes turime dviejų galių. Jei paimsite skaičių iš apatinės eilutės, galite lengvai rasti galią, iki kurios turite pakelti du, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, norėdami gauti 16, turite pakelti du į ketvirtą laipsnį. O norint gauti 64, reikia pakelti du iki šeštos laipsnio. Tai matyti iš lentelės.

Ir dabar - iš tikrųjų logaritmo apibrėžimas:

Argumento x logaritmas iki pagrindo a yra laipsnis, iki kurio reikia pakelti skaičių a, kad gautume skaičių x.

Žymėjimas: log a x \u003d b, kur a yra bazė, x yra argumentas, b iš tikrųjų yra logaritmas.

Pavyzdžiui, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (bazinis 2 logaritmas iš 8 yra trys, nes 2 3 = 8). Taip pat galėtų log 2 64 = 6 , nes 2 6 = 64 .

Skaičiaus logaritmo pagal tam tikrą bazę radimo operacija vadinama logaritmu. Taigi į savo lentelę įtraukime naują eilutę:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Deja, ne visi logaritmai taip lengvai apmąstomi. Pavyzdžiui, pabandykite rasti žurnalą 2 5 . Skaičiaus 5 lentelėje nėra, bet logika diktuoja, kad logaritmas bus kažkur segmente. Nes 22< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Tokie skaičiai vadinami neracionaliais: skaičiai po kablelio gali būti rašomi neribotą laiką ir jie niekada nesikartoja. Jei logaritmas pasirodo neracionalus, geriau jį palikti taip: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

Svarbu suprasti, kad logaritmas yra išraiška su dviem kintamaisiais (bazė ir argumentas). Iš pradžių daugelis žmonių painioja, kur yra pagrindas, o kur argumentas. Kad išvengtumėte erzinančių nesusipratimų, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Prieš mus yra ne kas kita, kaip logaritmo apibrėžimas. Prisiminti: logaritmas yra galia, kuriai reikia pakelti bazę, kad gautumėte argumentą. Būtent pagrindas yra pakeltas iki galios – paveikslėlyje jis paryškintas raudonai. Pasirodo, pagrindas visada yra apačioje! Šią nuostabią taisyklę pasakoju savo mokiniams jau pirmoje pamokoje – ir nekyla painiavos.

Išsiaiškinom apibrėžimą – belieka išmokti skaičiuoti logaritmus, t.y. atsikratyti „rąsto“ ženklo. Pirmiausia pažymime, kad iš apibrėžimo išplaukia du svarbūs faktai:

1. Argumentas ir bazė visada turi būti didesni už nulį. Tai išplaukia iš laipsnio apibrėžimo racionaliuoju rodikliu, iki kurio logaritmo apibrėžimas sumažinamas.
2. Pagrindas turi skirtis nuo vienybės, nes bet kurios galios vienetas vis tiek yra vienetas. Dėl šios priežasties klausimas „į kokią galią reikia pakelti, kad gautum du“ yra beprasmis. Tokio laipsnio nėra!

Tokie apribojimai vadinami galiojantis diapazonas(ODZ). Pasirodo, kad logaritmo ODZ atrodo taip: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiui b (logaritmo reikšmė) nėra jokių apribojimų. Pavyzdžiui, logaritmas gali būti neigiamas: log 2 0,5 \u003d -1, nes 0,5 = 2 -1 .

Tačiau kol kas tik svarstome skaitinės išraiškos, kur nereikia žinoti logaritmo ODZ. Į visus apribojimus problemų rengėjai jau atsižvelgė. Bet kai jie eina logaritmines lygtis ir nelygybės, DHS reikalavimai taps privalomi. Iš tiesų, pagrinde ir argumente gali būti labai stiprios konstrukcijos, kurios nebūtinai atitinka aukščiau nurodytus apribojimus.

Dabar apsvarstykite bendrą logaritmų skaičiavimo schemą. Jį sudaro trys žingsniai:

1. Išreikškite bazę a ir argumentą x kaip laipsnį, kurio mažiausia bazė yra didesnė už vienetą. Pakeliui geriau atsikratyti dešimtainių trupmenų;
2. Išspręskite kintamojo b lygtį: x = a b ;
3. Gautas skaičius b bus atsakymas.

Tai viskas! Jei logaritmas pasirodys neracionalus, tai bus matyti jau pirmame žingsnyje. Reikalavimas, kad bazė būtų didesnė už vieną, yra labai aktualus: tai sumažina klaidos tikimybę ir labai supaprastina skaičiavimus. Panašus į po kablelio: jei iš karto juos išversite į paprastus, klaidų bus daug kartų mažiau.

Pažiūrėkime, kaip ši schema veikia su konkrečiais pavyzdžiais:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 5 25

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip penkių laipsnį: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

Sudarykime ir išspręskime lygtį:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. Gavo atsakymą: 2.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą:

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 4 64

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Sudarykime ir išspręskime lygtį:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. Gavau atsakymą: 3.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 16 1

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip dviejų laipsnį: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Sudarykime ir išspręskime lygtį:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. Gautas atsakymas: 0.

Užduotis. Apskaičiuokite logaritmą: log 7 14

1. Pavaizduokime bazę ir argumentą kaip septyneto laipsnį: 7 = 7 1 ; 14 nevaizduojamas kaip septynių laipsnis, nes 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Iš ankstesnės pastraipos matyti, kad į logaritmą neatsižvelgiama;
3. Atsakymas nesikeičia: žurnalas 7 14.

Maža pastaba apie paskutinį pavyzdį. Kaip įsitikinti, kad skaičius nėra tiksli kito skaičiaus laipsnis? Labai paprasta – tiesiog išskaidykite jį į pirminius veiksnius. Jei yra bent du skirtingi plėtimosi veiksniai, skaičius nėra tiksli galia.

Užduotis. Išsiaiškinkite, ar tikslios skaičiaus laipsniai yra: 8; 48; 81; 35; keturiolika.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - tikslus laipsnis, nes yra tik vienas daugiklis;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 nėra tiksli galia, nes yra du veiksniai: 3 ir 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - tikslus laipsnis;
35 = 7 5 - vėlgi ne tikslus laipsnis;
14 \u003d 7 2 - vėlgi nėra tikslus laipsnis;

Taip pat atkreipkite dėmesį, kad patys pirminiai skaičiai visada yra tikslios jų galios.

Dešimtainis logaritmas

Kai kurie logaritmai yra tokie įprasti, kad turi specialų pavadinimą ir pavadinimą.

X argumento dešimtainis logaritmas yra 10 bazinis logaritmas, t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių 10, kad gautumėte skaičių x. Pavadinimas: lg x .

Pavyzdžiui, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 ir kt.

Nuo šiol vadovėlyje pasirodžius tokiai frazei kaip „Rasti lg 0,01“, žinokite, kad tai nėra rašybos klaida. Tai yra dešimtainis logaritmas. Tačiau jei nesate įpratę prie tokio pavadinimo, visada galite jį perrašyti:
log x = log 10 x

Viskas, kas tinka įprastiniams logaritmams, galioja ir dešimtainėms dalims.

natūralusis logaritmas

Yra dar vienas logaritmas, turintis savo žymėjimą. Tam tikra prasme tai net svarbesnė nei dešimtainė. Tai natūralus logaritmas.

natūralusis logaritmas argumento x yra log bazė e , t.y. galia, iki kurios reikia pakelti skaičių e, kad gautume skaičių x. Pavadinimas: ln x .

Daugelis paklaus: kas dar yra skaičius e? Tai neracionalus skaičius, jo tikslios reikšmės negalima rasti ir užrašyti. Štai tik pirmieji skaičiai:
e = 2,718281828459...

Mes nesigilinsime, kas yra šis skaičius ir kodėl jis reikalingas. Tiesiog atminkite, kad e yra natūraliojo logaritmo pagrindas:
ln x = log e x

Taigi ln e = 1 ; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 ir kt. Kita vertus, ln 2 yra neracionalus skaičius. Apskritai natūralus logaritmas bet kurio racionalus skaičius neracionalus. Žinoma, išskyrus vienybę: ln 1 = 0.

Natūraliųjų logaritmų atveju galioja visos taisyklės, kurios galioja įprastiems logaritmams.

natūralusis logaritmas

Natūralaus logaritmo funkcijos grafikas. Funkcija pamažu artėja prie teigiamos begalybės as x ir sparčiai artėja prie neigiamos begalybės, kai x linkęs į 0 („lėtas“ ir „greitas“, palyginti su bet kuriuo galios funkcija iš x).

natūralusis logaritmas yra bazinis logaritmas , kur e yra neracionali konstanta, lygi maždaug 2,718281 828 . Natūralus logaritmas paprastai žymimas kaip ln( x), žurnalas e (x) arba kartais tiesiog prisijunk ( x), jei pagrindas e numanoma.

Natūralusis skaičiaus logaritmas x(parašyta kaip žurnalas (x)) yra rodiklis, iki kurio norite padidinti skaičių e, Gauti x. Pavyzdžiui, ln(7 389...) lygus 2, nes e 2 =7,389... . Paties skaičiaus natūralusis logaritmas e (ln(e)) yra lygus 1, nes e 1 = e ir natūralusis logaritmas 1 ( žurnalas (1)) yra 0, nes e 0 = 1.

Natūralųjį logaritmą galima apibrėžti bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui a kaip plotas po kreive y = 1/x nuo 1 iki a. Dėl šio apibrėžimo paprastumo, kuris dera su daugeliu kitų formulių, kuriose naudojamas natūralusis logaritmas, atsirado pavadinimas „natūralus“. Šis apibrėžimas gali būti išplėstas iki kompleksinių skaičių, kurie bus aptarti toliau.

Jei natūralųjį logaritmą laikysime realia tikrojo kintamojo funkcija, tai yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija, kuri lemia tapatybes:

Kaip ir visi logaritmai, natūralusis logaritmas priskiria daugybą ir sudėjimą:

Taigi logaritminė funkcija yra teigiamų realiųjų skaičių grupės izomorfizmas padauginus iš realiųjų skaičių grupės sudėjus, kurią galima pavaizduoti kaip funkciją:

Logaritmas gali būti apibrėžtas bet kuriai teigiamai bazei, išskyrus 1, o ne tik e, tačiau kitų bazių logaritmai nuo natūraliojo logaritmo skiriasi tik pastoviu koeficientu ir dažniausiai apibrėžiami natūraliojo logaritmo požiūriu. Logaritmai yra naudingi sprendžiant lygtis, kuriose nežinomieji yra kaip eksponentas. Pavyzdžiui, logaritmai naudojami norint rasti žinomo pusinės eliminacijos periodo skilimo konstantą arba skilimo laiką sprendžiant radioaktyvumo problemas. Jie vaidina svarbų vaidmenį daugelyje matematikos ir taikomųjų mokslų sričių, yra naudojami finansų srityje sprendžiant daugelį problemų, įskaitant sudėtines palūkanas.

Istorija

Pirmą kartą natūralųjį logaritmą paminėjo Nikolajus Merkatorius savo darbe Logaritmotechnika, išleistas 1668 m., nors matematikos mokytojas Johnas Spydellas natūraliųjų logaritmų lentelę sudarė dar 1619 m. Anksčiau jis buvo vadinamas hiperboliniu logaritmu, nes jis atitinka plotą po hiperbole. Kartais jis vadinamas Napier logaritmu, nors pradinė šio termino reikšmė buvo kiek kitokia.

Žymėjimo konvencijos

Natūralus logaritmas paprastai žymimas "ln( x)“, nuo 10 logaritmų iki „lg( x)“, o kitus pagrindus įprasta aiškiai nurodyti simboliu „rąstas“.

Daugelyje straipsnių apie diskrečiąją matematiką, kibernetiką, informatiką autoriai naudoja žymėjimą „log( x)" logaritmams iki 2 pagrindo, tačiau ši nuostata nėra visuotinai priimta ir ją reikia paaiškinti naudojamų žymėjimų sąraše arba (jei tokio sąrašo nėra) išnašoje arba komentare apie pirmąjį naudojimą.

Skliausteliuose aplink logaritmų argumentą (jei dėl to formulė neperskaitoma klaidingai) paprastai praleidžiami, o keliant logaritmą į laipsnį, eksponentas priskiriamas tiesiai logaritmo ženklui: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Anglo-Amerikos sistema

Matematikai, statistikai ir kai kurie inžinieriai paprastai naudoja arba „log( x)“, arba „ln( x)" ir žymėti logaritmą iki 10 bazės - "log 10 ( x)».

Kai kurie inžinieriai, biologai ir kiti specialistai visada rašo „ln( x)“ (arba kartais „log e ( x)"), kai jie reiškia natūralųjį logaritmą ir žymėjimą "log( x)“ reiškia žurnalą 10 ( x).

žurnalas e yra „natūralus“ logaritmas, nes jis atsiranda automatiškai ir labai dažnai pasitaiko matematikoje. Pavyzdžiui, apsvarstykite logaritminės funkcijos išvestinės problemą:

Jei pagrindas b lygus e, tada išvestinė yra tiesiog 1/ x, ir kada x= 1 ši išvestinė lygi 1. Kitas pagrindimas, kurio pagrindas e logaritmas yra pats natūraliausias, nes jį galima gana paprastai apibrėžti kaip paprastą integralą arba Teiloro eilutę, ko negalima pasakyti apie kitus logaritmus.

Tolimesni natūralumo pagrindimai su skaičiumi nesusiję. Taigi, pavyzdžiui, yra keletas paprastų serijų su natūraliais logaritmais. Pietro Mengoli ir Nicholas Mercator juos pavadino natūralus logaritmas keletą dešimtmečių, kol Niutonas ir Leibnicas sukūrė diferencialinį ir integralinį skaičiavimą.

Apibrėžimas

Formaliai ln( a) gali būti apibrėžtas kaip plotas po grafiko kreive 1/ x nuo 1 iki a, ty kaip integralas:

Tai iš tikrųjų yra logaritmas, nes jis atitinka pagrindinę logaritmo savybę:

Tai galima įrodyti darant prielaidą, kad:

Skaitinė reikšmė

Norėdami apskaičiuoti natūralaus skaičiaus logaritmo skaitinę reikšmę, galite naudoti jo išplėtimą Taylor serijoje tokia forma:

Norėdami gauti geriausią konvergencijos greitį, galite naudoti šią tapatybę:

su sąlyga, kad y = (x−1)/(x+1) ir x > 0.

Dėl ln( x), kur x> 1, tuo vertė artimesnė x iki 1, greitesnis greitis konvergencija. Su logaritmu susietos tapatybės gali būti naudojamos tikslui pasiekti:

Šie metodai buvo naudojami dar prieš atsirandant skaičiuotuvams, kuriems buvo naudojamos skaitinės lentelės ir buvo atliekamos panašios manipuliacijos, kaip aprašyta aukščiau.

Didelis tikslumas

Apskaičiuojant natūralųjį logaritmą su daugybe skaitmenų tikslumo, Taylor serija nėra efektyvi, nes jos konvergencija yra lėta. Alternatyva yra naudoti Niutono metodą, kad būtų galima invertuoti į eksponentinę funkciją, kurios serija suartėja greičiau.

Alternatyva labai dideliam skaičiavimo tikslumui yra formulė:

kur Mžymi 1 ir 4/s aritmetinį-geometrinį vidurkį, ir

m pasirinkta taip p pasiekiami tikslumo ženklai. (Daugeliu atvejų pakanka m reikšmės 8.) Iš tiesų, jei naudojamas šis metodas, norint efektyviai apskaičiuoti eksponentinę funkciją, galima taikyti natūraliojo logaritmo Niutono inversiją. (Konstantos ln 2 ir pi gali būti iš anksto apskaičiuotos norimu tikslumu, naudojant bet kurią iš žinomų greitai susiliejančių eilučių.)

Skaičiavimo sudėtingumas

Natūralių logaritmų skaičiavimo sudėtingumas (naudojant aritmetinį-geometrinį vidurkį) yra O( M(n)ln n). Čia n yra tikslumo skaitmenų, pagal kuriuos turi būti įvertintas natūralusis logaritmas, skaičius ir M(n) yra dviejų padauginimo sudėtingumas n- skaitmenų skaičius.

Tęstinės trupmenos

Nors logaritmui pavaizduoti nėra paprastų tęstinių trupmenų, galima naudoti keletą apibendrintų tęstinių trupmenų, įskaitant:

Sudėtingi logaritmai

Eksponentinė funkcija gali būti išplėsta iki funkcijos, kuri suteikia kompleksinį formos skaičių e x bet kuriam savavališkam kompleksiniam skaičiui x, naudojant begalinę seriją su kompleksu x. Šią eksponentinę funkciją galima apversti ir sudaryti sudėtingą logaritmą, kuris turės daugumą įprastų logaritmų savybių. Tačiau yra du sunkumai: nėra x, kuriam e x= 0, ir paaiškėja, kad e 2pi = 1 = e 0 . Kadangi daugialypumo savybė galioja sudėtingai eksponentinei funkcijai, tada e z = e z+2npi visiems kompleksams z ir visa n.

Logaritmas negali būti apibrėžtas visoje kompleksinėje plokštumoje, ir net tada jis yra daugiareikšmis – bet kurį sudėtingą logaritmą galima pakeisti „ekvivalentišku“ logaritmu, pridedant bet kurį sveikąjį skaičių kartotinį iš 2 pi. Sudėtinis logaritmas gali būti vienreikšmis tik kompleksinės plokštumos pjūvyje. Pavyzdžiui, ln i = 1/2 pi arba 5/2 pi arba −3/2 pi ir tt, ir nors i 4 = 1,4 log i gali būti apibrėžtas kaip 2 pi, arba 10 pi arba -6 pi, ir taip toliau.

taip pat žr

• Johnas Napier - logaritmų išradėjas

Pastabos

1. Matematika fizinei chemijai. – 3-ioji. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, 9 puslapio ištrauka
2. JJ O „Connor ir E. F. Robertson Skaičius e. MacTutor matematikos istorijos archyvas (2001 m. rugsėjis). Suarchyvuota
3. Cajori Florian Matematikos istorija, 5 leidimas. - AMS knygynas, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashmanas, Martinas Integralų įvertinimas naudojant polinomus . Suarchyvuota nuo originalo 2012 m. vasario 12 d.

Kas yra logaritmas?

Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)

Kas yra logaritmas? Kaip išspręsti logaritmus? Šie klausimai glumina daugelį abiturientų. Tradiciškai logaritmų tema laikoma sudėtinga, nesuprantama ir bauginančia. Ypač – lygtys su logaritmais.

Tai visiškai netiesa. absoliučiai! Netiki? Gerai. Dabar kokias 10–20 minučių jūs:

1. Suprask kas yra logaritmas.

2. Išmokite spręsti visą klasę eksponentinės lygtys. Net jei apie juos negirdėjote.

3. Išmokite skaičiuoti paprastus logaritmus.

Be to, tam jums reikės tik žinoti daugybos lentelę ir tai, kaip skaičius pakeliamas iki laipsnio ...

Jaučiu, kad abejoji... Na, laikykis! Pirmyn!

Pirmiausia mintyse išspręskite šią lygtį:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)

galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Tai gali būti, pavyzdžiui, skaičiuotuvas iš pagrindinio „Windows“ operacinės sistemos programų rinkinio. Jo paleidimo nuoroda yra gana paslėpta pagrindiniame OS meniu - atidarykite ją spustelėdami mygtuką "Pradėti", tada atidarykite skyrių "Programos", eikite į poskyrį "Priedai", tada į "Komunalinės paslaugos". skyrių ir galiausiai spustelėkite elementą „Skaičiuoklė“. Galite naudoti klaviatūrą ir programos paleidimo dialogą, o ne pelę ir naršyti meniu – paspauskite klavišų kombinaciją WIN + R, įveskite calc (tai yra skaičiuotuvo vykdomojo failo pavadinimas) ir paspauskite klavišą Enter.

Perjunkite skaičiuotuvo sąsają į išplėstinį režimą, kad galėtumėte . Pagal numatytuosius nustatymus jis atidaromas „įprasta“ forma ir jums reikia „inžinerijos“ arba „“ (priklausomai nuo naudojamos OS versijos). Meniu išskleiskite skyrių „Rodinys“ ir pasirinkite atitinkamą eilutę.

Įveskite argumentą, kurio natūralią vertę reikia apskaičiuoti. Tai galima padaryti ir naudojant klaviatūrą, ir spustelėjus atitinkamus mygtukus ekrano skaičiuotuvo sąsajoje.

Spustelėkite mygtuką, pažymėtą ln – programa apskaičiuos logaritmą pagal e bazę ir parodys rezultatą.

Natūralaus logaritmo vertei apskaičiuoti naudokite vieną iš skaičiuoklių. Pavyzdžiui, esantis adresu http://calc.org.ua. Jo sąsaja itin paprasta – yra vienas įvesties laukas, kuriame reikia įvesti skaičiaus, kurio logaritmą norite apskaičiuoti, reikšmę. Tarp mygtukų raskite ir spustelėkite tą, kuris sako ln. Šios skaičiuoklės scenarijus nereikalauja duomenų siuntimo į serverį ir atsakymo, todėl skaičiavimo rezultatą gausite beveik akimirksniu. Vienintelė funkcija, į kurią reikia atsižvelgti, yra skyriklis tarp trupmenos ir visa dalisįvestas skaičius čia turi būti taškas, o ne .

Terminas " logaritmas“ kilo iš dviejų graikų kalbos žodžių, kurių vienas reiškia „skaičius“, o kitas – „santykis“. Jie žymi matematinę kintamojo (rodiklio) apskaičiavimo operaciją, iki kurios reikia pakelti pastovią reikšmę (bazę), kad gautume po ženklu nurodytą skaičių. logaritmas a. Jei bazė yra lygi matematinei konstantai, vadinamai skaičiumi "e", tada logaritmas vadinamas „natūraliu“.

Jums reikės

• Prieiga prie interneto, Microsoft Office Excel arba skaičiuotuvas.

Instrukcija

Pasinaudokite daugybe internete pateiktų skaičiuotuvų – tai, ko gero, paprastas būdas apskaičiuoti natūralų a. Jums nereikės ieškoti tinkamos paslaugos, nes daugelis paieškos sistemų turi įmontuotus skaičiuotuvus, kurie yra gana tinkami darbui su logaritmas ami. Pavyzdžiui, eikite į didžiausios internetinės paieškos sistemos – Google – pagrindinį puslapį. Čia nereikia mygtukų reikšmėms įvesti ir funkcijoms pasirinkti, tiesiog įveskite norimą matematinį veiksmą užklausos įvesties lauke. Tarkime, paskaičiuoti logaritmas o „e“ bazėje esantys skaičiai 457 įvedami ln 457 – to užteks, kad „Google“ parodytų aštuonių skaitmenų po kablelio tikslumu (6.12468339) net nepaspaudus mygtuko siųsti užklausą serveriui.

Jei reikia apskaičiuoti natūralaus vertę, naudokite atitinkamą įtaisytąją funkciją logaritmas bet atsiranda dirbant su duomenimis populiarioje skaičiuoklių rengyklėje Microsoft Office Excel. Ši funkcija čia vadinama įprastiniu žymėjimu toks logaritmas o didžiosiomis raidėmis - LN. Pasirinkite langelį, kuriame turi būti rodomas skaičiavimo rezultatas, ir įveskite lygybės ženklą – taip šioje lentelėje turėtų prasidėti įrašai langeliuose, esančiuose pagrindinio meniu skilties „Visos programos“ poskyryje „Standartinis“. redaktorius. Perjunkite skaičiuotuvą į funkcionalesnį režimą paspausdami spartųjį klavišą Alt + 2. Tada įveskite natūralią reikšmę logaritmas kurį norite apskaičiuoti, ir spustelėkite mygtuką programos sąsajoje, pažymėtą simboliais ln. Programa atliks skaičiavimą ir parodys rezultatą.

Susiję vaizdo įrašai

Natūralaus logaritmo funkcijos grafikas. Funkcija pamažu artėja prie teigiamos begalybės as x ir sparčiai artėja prie neigiamos begalybės, kai x linkęs į 0 („lėtai“ ir „greitai“, palyginti su bet kokia galios funkcija x).

natūralusis logaritmas yra bazinis logaritmas , kur e (\displaystyle e) yra neracionali konstanta, lygi maždaug 2,72. Jis pažymėtas kaip ln ⁡ x (\displaystyle \ln x), log e ⁡ x (\displaystyle \log _(e)x) arba kartais tiesiog log ⁡ x (\displaystyle \log x) jei pagrindas e (\displaystyle e) numanoma . Kitaip tariant, natūralusis skaičiaus logaritmas x yra eksponentas, iki kurio skaičius turi būti padidintas e, Gauti x. Šis apibrėžimas gali būti išplėstas ir kompleksiniams skaičiams.

ln ⁡ e = 1 (\displaystyle \ln e=1), nes e 1 = e (\displaystyle e^(1)=e); ln⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1 = 0), nes e 0 = 1 (\displaystyle e^(0)=1).

Natūralųjį logaritmą taip pat galima apibrėžti geometriškai bet kuriam teigiamam realiajam skaičiui a kaip plotas po kreive y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x))) tarp [vienas; a ] (\displaystyle ). Šio apibrėžimo paprastumas, atitinkantis daugelį kitų formulių, naudojančių šį logaritmą, paaiškina pavadinimo „natūralus“ kilmę.

Jei natūralųjį logaritmą laikysime realia tikrojo kintamojo funkcija, tai yra atvirkštinė eksponentinės funkcijos funkcija, kuri veda į tapatybes:

e log ⁡ a = a (a > 0) ; (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) log⁡ e a = a (a > 0) . (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

Kaip ir visi logaritmai, natūralusis logaritmas priskiria daugybą ir sudėjimą:

ln⁡xy = ln⁡x + ln⁡y. (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)