Primityvus. gražus žodis.) Pradžiai šiek tiek rusiškai. Taip tariamas žodis, o ne "pirminis" kaip gali atrodyti. Antiderivatas yra pagrindinė viso integralinio skaičiavimo sąvoka. Bet kokie integralai – neapibrėžtieji, apibrėžtieji (su jais susipažinsite jau šį semestrą), taip pat dvigubi, trigubieji, kreivieji, paviršiniai (ir tai yra pagrindiniai antrųjų kursų veikėjai) – pastatyti remiantis šia pagrindine sąvoka. Įvaldyti visiškai prasminga. Eik.)

Prieš susipažindami su antidarinio sąvoka, bendrais bruožais prisiminkime dažniausiai pasitaikančius dalykus išvestinė. Nesigilindami į nuobodžią ribų teoriją, argumentų žingsnius ir kitus dalykus, galime teigti, kad radus išvestinę (arba diferenciacija) yra tik matematinė operacija funkcija. Štai ir viskas. Naudojama bet kokia funkcija (pvz. f(x) = x2) ir pagal tam tikras taisykles virsta į nauja funkcija. Ir tai yra vienas nauja funkcija ir paskambino išvestinė.

Mūsų atveju prieš diferenciaciją buvo funkcija f(x) = x2, o po diferenciacijos tapo jau kita funkcija f'(x) = 2x.

Darinys– nes mūsų nauja funkcija f'(x) = 2x įvyko nuo funkcijos f(x) = x2. Dėl diferenciacijos operacijos. Be to, tai yra iš jo, o ne iš kokios nors kitos funkcijos ( x 3, pavyzdžiui).

Apytiksliai kalbant, f(x) = x2- tai mama, f'(x) = 2x– jos mylima dukra.) Tai suprantama. Pirmyn.

Matematikai yra neramūs žmonės. Kiekvienam veiksmui jie stengiasi rasti reakciją. :) Yra sudėjimas - yra ir atimtis. Yra daugyba ir dalijimas. Pakėlimas į galią yra šaknies ištraukimas. Sinusas yra arcsinusas. Yra lygiai tas pats diferenciacija Tai reiškia, kad yra... integracija.)

O dabar iškelkime tokią įdomią problemą. Pavyzdžiui, turime tokią paprastą funkciją f(x) = 1. Ir mes turime atsakyti į šį klausimą:

Funkcijos KAS išvestinė suteikia mums funkcijąf(x) = 1?

Kitaip tariant, pamatę dukrą, naudodami DNR analizę, išsiaiškinkite, kas yra jos mama. :) Taigi nuo ko originalus funkcija (pavadinkime ją F(x)) mūsų išvestinė funkcija f(x) = 1? Arba matematine forma kam funkcija F(x) įvykdoma lygybė:

F'(x) = f(x) = 1?

Elementarus pavyzdys. Pabandžiau.) Tiesiog pasirenkame funkciją F (x), kad lygybė veiktų. :) Na o kaip tu jį pasiėmei? Žinoma! F(x) = x. Nes:

F'(x) = x' = 1 = f(x).

Žinoma, surado mamą F(x) = x jūs turite tai kažkaip pavadinti, taip.) Susipažinkite!

Funkcijai skirtas antidarinysf(x) yra tokia funkcijaF(x), kurios išvestinė lygif(x), t.y. kuriam lygybėF’(x) = f(x).

Tai viskas. Daugiau jokių mokslinių gudrybių. Griežtoje apibrėžtyje pridedama papildoma frazė "tarp x". Tačiau kol kas nesigilinsime į šias subtilybes, nes mūsų pagrindinė užduotis yra išmokti rasti šiuos primityvumus.

Mūsų atveju tiesiog paaiškėja, kad funkcija F(x) = x yra primityvus už funkciją f(x) = 1.

Kodėl? nes F'(x) = f(x) = 1. x išvestinė yra vienybė. Jokių prieštaravimų.)

Sąvoka „pirmapradė“ filistine prasme reiškia „protėvis“, „tėvas“, „protėvis“. Iš karto prisimename brangiausią ir mylimas žmogus.) O pati antidarinio paieška yra pirminės funkcijos atkūrimas pagal žinomą jo vedinį. Kitaip tariant, šis veiksmas atvirkštinė diferenciacija. Štai ir viskas! Pats šis žavus procesas dar vadinamas gana moksliškai – integracija. Bet apie integralai- vėliau. Kantrybės, draugai!

Prisiminti:

Integravimas yra matematinė funkcijos operacija (kaip ir diferenciacija).

Integracija yra atvirkštinė diferenciacija.

Antiderivatas yra integracijos rezultatas.

Dabar apsunkinkime užduotį. Dabar suraskime funkcijos antidarinį f(x) = x. Tai yra, suraskime tokia funkcija F(x) , į jo vedinys būtų lygus x:

F'(x) = x

Kas draugauja su išvestiniais produktais, galbūt į galvą ateis kažkas panašaus:

(x 2)' = 2x.

Na, pagarba ir pagarba tiems, kurie prisimena išvestinių lentelę!) Taip. Tačiau yra viena problema. Mūsų originali funkcija f(x) = x, a (x2)' = 2 x. Du X. Ir po diferenciacijos turėtume gauti tik x. Negerai. Bet…

Mes esame mokslo žmonės. Gavome pažymėjimus.) Ir iš mokyklos žinome, kad abi bet kokios lygybės dalis galima padauginti ir padalyti iš to paties skaičiaus (žinoma, išskyrus nulį)! Taigi sutvarkyta. Pasinaudokime šia galimybe.)

Juk norime, kad švarus X liktų dešinėje, tiesa? O dvejetas trukdo... Taigi imame išvestinės (x 2) '= 2x santykį ir dalijame abi jo dalysšiems dviems:

Taigi, tai paaiškina keletą dalykų. Pirmyn. Žinome, kad gali būti bet kokia konstanta išimkite jį iš vedinio ženklo. Kaip šitas:

Visos matematikos formulės veikia tiek iš kairės į dešinę, tiek atvirkščiai – iš dešinės į kairę. Tai reiškia, kad su tokia pačia sėkme gali būti bet kokia konstanta įterpti po išvestiniu ženklu:

Mūsų atveju šiuos du paslepiame vardiklyje (arba, kas yra tas pats, koeficiente 1/2) po išvestinės ženklu:

Ir dabar atsargiai Pažvelkime į mūsų įrašą. Ką mes matome? Matome lygybę sakant, kad išvestinė iš kažkas(tai yra kažkas- skliausteliuose) lygus x.

Gauta lygybė tiesiog reiškia norimą funkcijos antidarinį f(x) = x atlieka funkciją F(x) = x2/2 . Tas, kuris yra skliausteliuose po brūkšniu. Tiesiogiai pagal antidarinio reikšmę.) Na, patikrinkime rezultatą. Raskime išvestinę:

Puiku! Gavo originalią funkciją f(x) = x. Nuo to, ką jie šoko, prie to grįžo. Tai reiškia, kad mūsų antidarinys rastas teisingai.)

Kas, jeigu f(x) = x2? Kam lygus jos primityvus? Jokiu problemu! Jūs ir aš žinome (vėlgi iš diferenciacijos taisyklių), kad:

3x2 = (x3)'

IR, tai yra,

Supratau? Dabar mes, patys nepastebimai, išmokome skaičiuoti bet kokių antidarinius galios funkcija f(x)=x n. Mintyse.) Imame pradinį rodiklį n, padidinkite jį vienu, o kaip kompensaciją padaliname visą struktūrą iš n+1:

Gauta formulė, beje, galioja ne tik dėl natūralaus rodiklio laipsnių n, bet ir bet kokiam kitam – neigiamam, trupmeniniam. Tai leidžia lengvai rasti antidarinius nuo paprastų trupmenomis ir šaknys.

Pavyzdžiui:

Natūralu, n ≠ -1 , kitu atveju formulės vardiklis lygus nuliui, ir formulė praranda prasmę.) Apie šį ypatingą atvejį n=-1šiek tiek vėliau.)

Kas yra neapibrėžtas integralas? Integralų lentelė.

Tarkime, kokia yra funkcijos išvestinė F(x) = x? Na, vienas, vienas – girdžiu nepatenkintus atsakymus... Teisingai. Vienetas. Bet... Dėl funkcijos G(x) = x+1 išvestinė taip pat bus lygus vienam.:

Be to, funkcijos išvestinė bus lygi vienetui x+1234 , ir funkcijai x-10 , ir bet kuriai kitai formos funkcijai x+C , kur NUO yra bet kokia konstanta. Bet kurios konstantos išvestinė yra lygi nuliui, o pridėjus / atėmus nulį, niekam nėra šalta ar karšta.)

Pasirodo dviprasmiškumas. Pasirodo, kad dėl funkcijos f(x) = 1 tarnauja kaip prototipas ne tik funkcija F(x) = x , bet ir funkcija F 1 (x) = x+1234 ir funkcija F 2 (x) = x-10 ir taip toliau!

Taip. Teisingai.) Visiems ( nuolatinis intervale) funkcijos, yra ne tik vienas antidarinys, bet be galo daug - visa šeima! Ne viena mama ar tėtis, o visas kilmės dokumentas, taip.)

Bet! Visi mūsų primityvūs giminaičiai turi vieną svarbų bendrą turtą. Štai kodėl jie yra giminaičiai.) Turtas yra toks svarbus, kad analizuodami integravimo būdus, mes apie tai prisiminsime ne vieną kartą. Ir mes prisiminsime ilgai.)

Štai, ši nuosavybė:

Bet kokie du primityvūs F 1 (x) irF 2 (x) iš tos pačios funkcijosf(x) skiriasi konstanta:

F 1 (x) - F 2 (x) = C.

Kam rūpi įrodymas – studijuokite literatūrą ar paskaitų konspektus.) Gerai, tebūnie, aš įrodysiu. Laimei, įrodymas čia yra elementarus, vienu žingsniu. Mes priimame lygybę

F 1 (x) - F 2 (x) = C

ir Atskirkime abi dalis. Tai yra, mes tiesiog kvailai darome potėpius:

Tai viskas. Kaip sakoma, CTD. :)

Ką sako šis turtas? Ir tie du skirtingi primityvai iš tos pačios funkcijos f(x) negali skirtis tam tikra išraiška su x . Tik griežtai pastoviai! Kitaip tariant, jei turime tam tikrą grafiką vienas iš pionierių(tebūnie F(x)), tada grafikai Visi kiti mūsų antidarinių yra sudarytos lygiagrečiai perkeliant grafiką F(x) išilgai y ašies.

Pažiūrėkime, kaip tai atrodo pagal pavyzdinę funkciją f(x) = x. Visi jo primityvai, kaip jau žinome, turi bendra forma F(x) = x 2 /2+C . Nuotraukoje atrodo begalinis skaičius parabolių gaunama iš "pagrindinės" parabolės y = x 2 /2, perkeliant aukštyn arba žemyn išilgai OY ašies, priklausomai nuo konstantos vertės NUO.

Prisiminkite, kad mokykla brėžė funkciją y=f(x)+a grafiko pamaina y=f(x)„a“ vienetais išilgai y ašies?) Čia taip pat.)

Ir atkreipkite dėmesį: mūsų parabolės niekur neperžengti! Tai natūralu. Juk dvi skirtingos funkcijos y 1 (x) ir y 2 (x) neišvengiamai atitiks du skirtingos reikšmės konstantos – Nuo 1 ir Nuo 2.

Todėl lygtis y 1 (x) = y 2 (x) niekada neturi sprendinių:

C 1 = C 2

x ∊ ∅ , nes C 1 ≠ C2

Ir dabar sklandžiai artėjame prie antrosios kertinės integralinio skaičiavimo koncepcijos. Kaip ką tik nustatėme, kiekviena funkcija f(x) turi begalinį antidarinių F(x) + C rinkinį, kurie skiriasi viena nuo kitos konstanta. Šis begaliausias rinkinys taip pat turi savo ypatingą pavadinimą.) Na, prašau mylėti ir palankiai!

Kas yra neapibrėžtas integralas?

Visų funkcijos antidarinių rinkinys f(x) vadinamas neapibrėžtas integralas nuo funkcijosf(x).

Tai yra visas apibrėžimas.)

"Nežinoma" - nes visų antidarinių rinkinys tai pačiai funkcijai be galo. Per daug variantų.)

"Integralus" - su išsamiu šio žiauraus žodžio dekodavimu susipažinsime kitame dideliame skyriuje apibrėžtieji integralai . Tuo tarpu, apytiksliai, mes laikysime ką nors neatsiejamu bendras, vienas, visas. Ir integracija asociacija, apibendrinimas, šiuo atveju, perėjimas nuo konkretaus (darinio) prie bendro (antiderivatives). Kažkas panašaus.

Neapibrėžtas integralas žymimas taip:

Rašoma taip pat, kaip parašyta: x de x integralas eff. Arba integralas iš ef iš x de x. Na, supratote mintį.)

Dabar panagrinėkime žymėjimą.

∫ - integruota piktograma. Reikšmė tokia pati, kaip ir išvestinės brūkšnys.)

d - piktogramądiferencialas. Mes nebijome! Kam ten to reikia – šiek tiek žemiau.

f(x) - integrandas(per „s“).

f(x)dx - integrandas. Arba, grubiai tariant, integralo „įdarymas“.

Pagal neapibrėžto integralo reikšmę,

Čia F(x)- tas pats antidarinis už funkciją f(x) kurį mes kažkaip susirado save. Nesvarbu, kaip tiksliai jie tai rado. Pavyzdžiui, mes tai nustatėme F(x) = x2/2 dėl f(x)=x.

"NUO" - savavališka konstanta. Arba moksliškiau, integralinė konstanta. Arba integravimo konstanta. Viskas yra viena.)

Dabar grįžkime prie pirmųjų antiderivatinių pavyzdžių. Kalbant apie neapibrėžtą integralą, dabar galime drąsiai rašyti:

Kas yra integrali konstanta ir kam ji reikalinga?

Klausimas labai įdomus. Ir labai (labai!) svarbu. Integralinė konstanta iš visos begalinės antidarinių rinkinio išskiria tą eilutę, kuri eina per nurodytą tašką.

Koks tikslas. Iš originalaus begalinio antidarinių rinkinio (t.y. neapibrėžtas integralas) reikia pasirinkti kreivę, kuri eis per nurodytą tašką. Su kai kuriais konkrečias koordinates. Su tokia užduotimi visada ir visur tenka susidurti pirminės pažinties su integralais metu. Ir mokykloje, ir universitete.

Tipiška problema:

Iš visų funkcijos f=x antidarinių aibės pasirinkite tą, kuri eina per tašką (2;2).

Mes pradedame mąstyti savo galvomis... Visų primityvų rinkinys - tai reiškia, kad pirmiausia reikia integruoti mūsų pradinę funkciją. Tai yra, x (x). Mes tai padarėme šiek tiek aukščiau ir gavome tokį atsakymą:

Ir dabar mes suprantame, ką tiksliai gavome. Gavome ne tik vieną funkciją, bet visa funkcijų šeima. Kurie? Vida y = x 2 / 2 + C . Priklausomai nuo konstantos C reikšmės. O dabar turime „pagauti“ šią konstantos reikšmę.) Na, pagaukime?)

Mūsų meškerė - kreivių šeima (parabolės) y=x2/2+C.

Konstantos - tai žuvys. Labai. Bet kiekvienas turi savo kabliuką ir masalą.)

O kas yra masalas? Teisingai! Mūsų taškas yra (-2;2).

Taigi savo taško koordinates pakeičiame bendra antidarinių forma! Mes gauname:

y(2) = 2

Iš čia lengva rasti C=0.

Ką reiškia siyo Tai reiškia, kad iš visos begalinės formos parabolių rinkinioy = x 2 / 2 + Ctik parabolė su konstanta C=0 mums tinka! Būtent:y=x2/2. Ir tik ji. Tik ši parabolė praeis per mums reikalingą tašką (-2; 2). Ir įvisos kitos parabolės iš mūsų šeimos praeina šį tašką nebebus. Per kai kuriuos kitus plokštumos taškus – taip, bet per tašką (2; 2) – nebe. Supratau?

Aiškumo dėlei pateikiame jums dvi nuotraukas – visą parabolių (t. y. neapibrėžto integralo) šeimą ir keletą betono parabolė atitinkantis konkreti konstantos reikšmė ir pravažiuojant konkretus punktas:

Pažiūrėkite, kaip svarbu atsižvelgti į konstantą NUO integruojant! Taigi nepamirškite šios raidės „C“ ir nepamirškite priskirti galutiniam atsakymui.

O dabar išsiaiškinkime, kodėl simbolis kabo visur integralų viduje dx . Studentai dažnai apie tai pamiršta... Ir tai, beje, taip pat yra klaida! Ir gana grubus. Esmė ta, kad integracija yra atvirkštinė diferenciacija. Ir kas tiksliai yra diferenciacijos rezultatas? Darinys? Tiesa, bet tikrai ne. Diferencialinis!

Mūsų atveju dėl funkcijos f(x) jo antidarinio skirtumas F(x), bus:

Kas nesupranta šios grandinės - skubiai pakartokite diferencialo apibrėžimą ir reikšmę bei kaip tiksliai jis atskleidžiamas! Priešingu atveju integraluose negailestingai sulėtėsite ....

Leiskite man priminti jums pačia grubiausia filistine forma, kad bet kurios funkcijos diferencialas f (x) yra tiesiog sandauga f'(x)dx. Štai ir viskas! Paimkite išvestinę ir padauginkite ją į argumento skirtumą(t. y. dx). Tai yra, bet koks skirtumas iš tikrųjų yra sumažintas iki įprasto skaičiavimo išvestinė.

Todėl, griežtai kalbant, integralas „imtas“ ne iš funkcijas f(x), kaip paprastai manoma, ir diferencialas f(x)dx! Tačiau supaprastintoje versijoje įprasta tai sakyti "integralas paimtas iš funkcijos". Arba: "Integruoja funkciją f(x)". Tai tas pats. Ir mes pasakysime tą patį. Bet apie ikoną dx Vis dėlto nepamirškime! :)

O dabar aš jums pasakysiu, kaip to nepamiršti įrašant. Pirmiausia įsivaizduokite, kad skaičiuojate įprastą išvestinę x atžvilgiu. Kaip dažniausiai rašai?

Taip: f'(x), y'(x), y'x. Arba dar solidžiau – per diferencialų santykį: dy/dx. Visi šie įrašai rodo, kad išvestinė yra tiksliai x. Ir ne „y“, „te“ ar kokiu nors kitu kintamuoju.)

Tas pats pasakytina ir apie integralus. Įrašymas ∫ f(x)dx mus taip pat tarsi rodo, kad integracija vykdoma tiksliai pagal kintamąjį x. Žinoma, visa tai labai supaprastinta ir neapdorota, bet, tikiuosi, aišku. Ir šansai pamiršti priskirti visur esantį dx smarkiai nukrenta.)

Taigi, kas yra tas pats neapibrėžtas integralas - supratau. Puiku.) Dabar būtų puiku išmokti šiuos labai neapibrėžtus integralus apskaičiuoti. Arba, paprasčiau tariant, „imk“. :) O čia mokinių laukia dvi naujienos - geros ir nelabai. Kol kas pradėkime nuo gero.)

Naujienos geros. Integralams, kaip ir išvestinėms, yra lentelė. Ir visi integralai, kuriuos sutiksime pakeliui, net patys baisiausi ir puošniausi, mes pagal tam tikras taisykles mes kažkaip sumažinsime iki šių labai lentelių.)

Taigi čia ji vientisas stalas!

Štai tokia graži populiariausių funkcijų integralų lentelė. Ypatingą dėmesį rekomenduoju atkreipti į 1-2 formulių grupę (pastovios ir galios funkcija). Tai yra labiausiai paplitusios formulės integraluose!

Trečioji formulių grupė (trigonometrija), kaip galima spėti, gaunama tiesiog apverčiant atitinkamas išvestinių formules.

Pavyzdžiui:

Su ketvirtąja formulių grupe (eksponentine funkcija) – viskas panašiai.

O štai mums paskutinės keturios formulių grupės (5-8). naujas. Iš kur jos atsirado ir už kokius nuopelnus šios egzotiškos funkcijos staiga pateko į pagrindinių integralų lentelę? Kodėl šios funkcijų grupės taip išsiskiria iš kitų funkcijų?

Taigi tai atsitiko istoriškai vystymosi procese integravimo metodai . Kai išmoksime imti pačius įvairiausius integralus, suprasite, kad lentelėje išvardytų funkcijų integralai yra labai labai dažni. Taip dažnai, kad matematikai juos priskyrė prie lentelių.) Per juos išreiškiama labai daug kitų integralų iš sudėtingesnių konstrukcijų.

Įdomumo dėlei galite paimti vieną iš šių baisių formulių ir atskirti. :) Pavyzdžiui, pati žiauriausia 7 formulė.

Viskas gerai. Matematikai neapgavo. :)

Integralų lentelę, taip pat išvestinių lentelę, pageidautina žinoti mintinai. Bet kokiu atveju pirmosios keturios formulių grupės. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo iš pirmo žvilgsnio. Įsiminkite paskutines keturias grupes (su trupmenomis ir šaknimis) Ate ne verta. Šiaip iš pradžių būsite pasimetę, kur rašyti logaritmą, kur arko liestinė, kur arkinio sinuso, kur 1/a, kur 1/2a... Yra tik viena išeitis - išspręsti daugiau pavyzdžių. Tada stalas pamažu įsimins, o abejonės nustos graužti.)

Ypač smalsūs asmenys, atidžiai žvelgdami į lentelę, gali paklausti: kur yra kitų elementarių „mokyklinių“ funkcijų integralai – liestinė, logaritmas, „arkos“? Tarkime, kodėl lentelėje yra sinuso integralas, bet NĖRA, tarkime, liestinės integralo tg x? Arba logaritmo integralo nėra ln x? Iš arcsinuso arcsin x? Kodėl jie blogesni? Bet jame pilna kai kurių „kairiųjų“ funkcijų – su šaknimis, trupmenomis, kvadratais...

Atsakymas. Nieko blogiau.) Tiesiog aukščiau pateikti integralai (iš liestinės, logaritmo, arcsinuso ir kt.) nėra lentelės formos . Ir jie praktiškai aptinkami daug rečiau nei pateikti lentelėje. Taigi žinok širdimi, kuriai jie prilygsta, visai nebūtina. Pakanka žinoti kaip jie apskaičiuotas.)

Ką, kažkas vis dar nepakeliamas? Tebūnie taip, ypač tau!

Na, kaip tu mokysiesi? :) Nedarysi? Ir nereikia.) Bet nesijaudinkite, mes tikrai rasime visus tokius integralus. atitinkamose pamokose. :)

Na, o dabar kreipiamės į neapibrėžto integralo savybes. Taip, nėra ką veikti! Pristatoma nauja koncepcija, iš karto atsižvelgiama į kai kurias jos savybes.

Neapibrėžtinio integralo savybės.

Dabar ne tokios geros naujienos.

Skirtingai nuo diferenciacijos, bendrosios standartinės integravimo taisyklės, šviesus visoms progoms, matematikoje neegzistuoja. Tai fantastiška!

Pavyzdžiui, jūs visi labai gerai (tikiuosi!) tai žinote bet koks dirbti bet koks dvi funkcijos f(x) g(x) yra diferencijuojamos taip:

(f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x).

Bet koks koeficientas diferencijuojamas taip:

Ir bet kuri sudėtinga funkcija, kad ir kokia ji būtų susukta, yra diferencijuojama taip:

Ir kad ir kokios funkcijos būtų paslėptos po raidėmis f ir g, bendros taisyklės vis tiek veiks ir išvestinė, vienaip ar kitaip, bus rasta.

Bet su integralais toks skaičius nebeveiks: sandaugai, daliniui (trupmenai), taip pat sudėtingai bendrųjų integravimo formulių funkcijai. neegzistuoja! Standartinių taisyklių nėra! Atvirkščiai, jie yra. Aš veltui įžeidžiau matematiką.) Bet, pirma, jų yra daug mažiau nei Bendrosios taisyklės skirtumui. Antra, dauguma integravimo metodų, apie kuriuos kalbėsime tolesnėse pamokose, yra labai, labai specifiniai. Ir jie galioja tik tam tikrai, labai ribotai funkcijų klasei. Sakykime tik už trupmeninės racionalios funkcijos. Arba kai kurie kiti.

O kai kurie integralai, nors ir egzistuoja gamtoje, paprastai niekaip neišreiškiami per elementariąsias „mokyklines“ funkcijas! Taip, taip, ir tokių integralų yra daugybė! :)

Štai kodėl integracija yra daug daugiau laiko ir kruopštesnė užduotis nei diferencijavimas. Bet tai turi savo potraukį. Ši veikla yra kūrybinga ir labai įdomi.) Ir, jei gerai įvaldysite integralų lentelę ir įvaldysite bent dvi pagrindines technikas, kurias aptarsime vėliau (ir), tuomet integracija jums tikrai patiks. :)

O dabar iš tikrųjų susipažinkime su neapibrėžtinio integralo savybėmis. Jie yra niekas. Jie yra čia.

Pirmosios dvi savybės yra visiškai analogiškos toms pačioms išvestinių savybėms ir vadinamos neapibrėžto integralo tiesiškumo savybės . Čia viskas paprasta ir logiška: sumos / skirtumo integralas yra lygus integralų sumai / skirtumui, o pastovų koeficientą galima išimti iš integralo ženklo.

Tačiau šios trys savybės mums iš esmės naujos. Išanalizuokime juos išsamiau. Rusiškai jie skamba taip.

Trečia nuosavybė

Integralo išvestinė lygi integrandui

Viskas paprasta, kaip pasakoje. Jei integruosite funkciją ir tada surasite rezultato išvestinę atgal, tada ... gausite pradinį integrandą. :) Šia savybe visada galima (ir reikia) patikrinti galutinį integracijos rezultatą. Apskaičiavome integralą – išskirkite atsakymą! Gavome integrandą – gerai. Jie jo negavo, vadinasi, kažkur susimaišė. Ieškokite klaidos.)

Žinoma, atsakyme galima gauti tokių žiaurių ir gremėzdiškų funkcijų, kad nesinori jų atskirti, taip. Bet geriau, jei įmanoma, pabandyti patikrinti save. Bent jau tuose pavyzdžiuose, kur tai lengva.)

Ketvirtas turtas

Integralo diferencialas lygus integrandui .

Nieko čia ypatingo. Esmė ta pati, tik gale pasirodo dx. Pagal ankstesnę nuosavybę ir diferencialo išplėtimo taisykles.

Penktas turtas

Kai kurios funkcijos diferencialo integralas yra lygus šios funkcijos ir savavališkos konstantos sumai .

Taip pat labai paprasta nuosavybė. Taip pat reguliariai naudosime integralų sprendimo procese. Ypač - ir.

Štai šie naudingų savybių. Aš nesiruošiu nuobodžiauti su jų griežtais įrodymais. Siūlau tiems, kurie nori, tai padaryti patiems. Tiesiogiai pagal išvestinės ir diferencialo reikšmę. Įrodysiu tik paskutinę, penktąją savybę, nes ji mažiau akivaizdi.

Taigi turime pareiškimą:

Išimame integralo „įdarą“ ir atidarome jį pagal diferencialo apibrėžimą:

Tik tuo atveju primenu, kad pagal mūsų išvestinės ir antidarinės žymas, F’(x) = f(x) .

Dabar įterpiame rezultatą atgal į integralą:

Gauta tiksliai neapibrėžto integralo apibrėžimas (tegul rusų kalba man atleidžia)! :)

Tai viskas.)

Na. Tai yra mūsų pradinė įžanga paslaptingas pasaulis Aš laikau integralus galiojančiais. Šiandien siūlau užbaigti. Jau esame pakankamai ginkluoti, kad galėtume vykti į žvalgybą. Jei ne kulkosvaidžiu, tai bent vandens pistoletu su pagrindinėmis savybėmis ir stalu. :) Kitoje pamokoje jau laukiame paprasčiausių nekenksmingų integralų pavyzdžių, skirtų tiesioginiam lentelės ir užrašytų savybių pritaikymui.

Iki!

Yra trys pagrindinės taisyklės, kaip rasti antiderivatines funkcijas. Jos labai panašios į atitinkamas diferenciacijos taisykles.

1 taisyklė

Jei F yra kokios nors funkcijos f antidarinys, o G yra kokios nors funkcijos g antidarinys, tai F + G bus f + g antidarinys.

Pagal antidarinio apibrėžimą F' = f. G' = g. Ir kadangi šios sąlygos yra įvykdytos, pagal funkcijų sumos išvestinės apskaičiavimo taisyklę turėsime:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

2 taisyklė

Jei F yra kokios nors funkcijos f antidarinys, o k yra tam tikra konstanta. Tada k*F yra funkcijos k*f antidarinys. Ši taisyklė išplaukia iš sudėtingos funkcijos išvestinės apskaičiavimo taisyklės.

Turime: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

3 taisyklė

Jei F(x) yra tam tikra f(x) antidarinė, o k ir b yra tam tikros konstantos, o k yra ne nulis, tada (1/k)*F*(k*x+b) bus antidarinė f (k*x+b).

Ši taisyklė išplaukia iš sudėtingos funkcijos išvestinės apskaičiavimo taisyklės:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Pažvelkime į keletą pavyzdžių, kaip taikomos šios taisyklės:

1 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = x^3 +1/x^2 antidarinių bendrąją formą. Funkcijos x^3 viena iš antidarinių bus funkcija (x^4)/4, o funkcijai 1/x^2 viena iš antidarinių bus funkcija -1/x. Naudodami pirmą taisyklę, turime:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

2 pavyzdys. Raskime funkcijos f(x) = 5*cos(x) antidarinių bendrąją formą. Funkcijos cos(x) atveju viena iš antidarinių bus sin(x) funkcija. Jei dabar naudosime antrąją taisyklę, turėsime:

F(x) = 5*sin(x).

3 pavyzdys Raskite vieną iš funkcijos y = sin(3*x-2) antidarinių. Funkcijos sin(x) atveju vienas iš antidarinių bus -cos(x) funkcija. Jei dabar naudosime trečiąją taisyklę, gautume antidarinio išraišką:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

4 pavyzdys. Raskite funkcijos f(x) = 1/(7-3*x)^5 antidarinį

Funkcijos 1/x^5 antidarinė bus funkcija (-1/(4*x^4)). Dabar, naudodamiesi trečiąja taisykle, gauname.

Antiderivatinė funkcija ir neapibrėžtas integralas

Faktas 1. Integravimas yra priešingybė diferenciacijai, būtent funkcijos atkūrimui iš žinomos šios funkcijos išvestinės. Taip atkurta funkcija F(x) vadinamas primityvus už funkciją f(x).

Apibrėžimas 1. Funkcija F(x f(x) tam tikru intervalu X, jei visoms vertybėms x iš šio intervalo lygybė F "(x)=f(x), tai yra ši funkcija f(x) yra antidarinės funkcijos išvestinė F(x). .

Pavyzdžiui, funkcija F(x) = nuodėmė x yra funkcijos antidarinys f(x) = cos x visoje skaičių eilutėje, nes bet kuriai x reikšmei (nuodėmė x)" = (cos x) .

Apibrėžimas 2. Neapibrėžtas funkcijos integralas f(x) yra visų jo antidarinių rinkinys. Tam naudojamas žymėjimas

∫

f(x)dx

,

kur yra ženklas ∫ vadinamas integraliniu ženklu, funkcija f(x) yra integrandas ir f(x)dx yra integrandas.

Taigi, jei F(x) yra tam tikras antidarinys, skirtas f(x), tada

∫

f(x)dx = F(x) +C

kur C - savavališka konstanta (konstanta).

Norint suprasti funkcijos antidarinių aibės, kaip neapibrėžto integralo, reikšmę, tinka tokia analogija. Tebūnie durys (tradicinės medinės durys). Jo funkcija yra „būti durimis“. Iš ko padarytos durys? Iš medžio. Tai reiškia, kad integrando „būti durimis“ antidarinių rinkinys, tai yra jo neapibrėžtas integralas, yra funkcija „būti medžiu + C“, kur C yra konstanta, kuri šiame kontekste gali reikšti, pavyzdžiui, medžių rūšis. Kaip durys yra pagamintos iš medžio su kai kuriais įrankiais, funkcijos išvestinė yra "pagaminta" iš antidarinės funkcijos su formulę, kurią sužinojome studijuodami išvestinę .

Tada įprastų daiktų ir juos atitinkančių primityvų ("būti durimis" - "būti medžiu", "būti šaukštu" - "būti metalu" ir kt.) funkcijų lentelė yra panaši į lentelę. pagrindiniai neapibrėžtieji integralai, kurie bus pateikti toliau. Neapibrėžtų integralų lentelėje išvardintos bendrosios funkcijos, nurodant antidarinius, iš kurių šios funkcijos „pagamintos“. Kaip neapibrėžto integralo radimo problemų dalis pateikiami tokie integralai, kuriuos galima integruoti tiesiogiai be ypatingų pastangų, tai yra pagal neapibrėžtų integralų lentelę. Sudėtingesnėse problemose pirmiausia reikia transformuoti integrandą, kad būtų galima naudoti lentelių integralus.

2 faktas. Atkurdami funkciją kaip antidarinį, turime atsižvelgti į savavališką konstantą (konstantą) C, o kad nerašytum antidarinių su skirtingomis konstantomis nuo 1 iki begalybės sąrašo, reikia užrašyti antidarinių rinkinį su savavališka konstanta C, taip: 5 x³+C. Taigi, savavališka konstanta (konstanta) įtraukiama į antidarinės išraišką, nes antidarinys gali būti funkcija, pavyzdžiui, 5 x³+4 arba 5 x³+3 ir diferencijuojant 4 ar 3 arba bet kuri kita konstanta išnyksta.

Mes nustatome integravimo problemą: duotai funkcijai f(x) rasti tokią funkciją F(x), kurio vedinys yra lygus f(x).

1 pavyzdys Raskite funkcijos antidarinių aibę

Sprendimas. Šiai funkcijai antidarinys yra funkcija

Funkcija F(x) yra vadinamas funkcijos antidariniu f(x) jei išvestinė F(x) yra lygus f(x), arba, kas yra tas pats, diferencialas F(x) yra lygus f(x) dx, t.y.

(2)

Todėl funkcija yra funkcijos antidarinė. Tačiau tai nėra vienintelis antiderivatinis preparatas, skirtas . Jie taip pat yra funkcijos

kur NUO yra savavališka konstanta. Tai galima patikrinti diferencijuojant.

Taigi, jei funkcijai yra viena antidarinė, tada jai yra begalinis antidarinių rinkinys, kuris skiriasi pastovia suma. Visi funkcijos antidariniai parašyti aukščiau pateikta forma. Tai išplaukia iš šios teoremos.

Teorema (2 formalus fakto konstatavimas). Jeigu F(x) yra funkcijos antidarinys f(x) tam tikru intervalu X, tada bet koks kitas antidarinis skirtas f(x) tame pačiame intervale gali būti pavaizduotas kaip F(x) + C, kur NUO yra savavališka konstanta.

Toliau pateiktame pavyzdyje jau kreipiamės į integralų lentelę, kuri bus pateikta 3 pastraipoje po neapibrėžto integralo savybių. Tai darome prieš susipažindami su visa lentele, kad būtų aiški to, kas išdėstyta pirmiau, esmė. O po lentelės ir savybių integruodami naudosime jas visas.

2 pavyzdys Raskite antidarinių rinkinius:

Sprendimas. Randame antiderivatinių funkcijų rinkinius, iš kurių šios funkcijos „pagamintos“. Kalbėdami apie formules iš integralų lentelės, kol kas tiesiog sutikite, kad tokios formulės yra, o neapibrėžtinių integralų lentelę išnagrinėsime šiek tiek toliau.

1) Taikant formulę (7) iš integralų lentelės n= 3, gauname

2) Naudojant (10) formulę iš integralų lentelės n= 1/3, mes turime

3) Nuo tada

tada pagal (7) formulę at n= -1/4 rasti

Po integralo ženklu jie nerašo pačios funkcijos f, o jo produktas pagal diferencialą dx. Tai pirmiausia daroma siekiant nurodyti, kokio kintamojo ieškoma antidarinio. Pavyzdžiui,

, ;

čia abiem atvejais integrandas lygus , bet jo neapibrėžtieji integralai nagrinėjamais atvejais pasirodo skirtingi. Pirmuoju atveju ši funkcija laikoma kintamojo funkcija x, o antrajame - kaip funkcija z .

Funkcijos neapibrėžto integralo radimo procesas vadinamas tos funkcijos integravimu.

Neapibrėžtinio integralo geometrinė reikšmė

Tegu reikalaujama rasti kreivę y=F(x) ir mes jau žinome, kad liestinės nuolydžio liestinė kiekviename jos taške yra duotoji funkcija f(x)šio taško abscisė.

Pagal geometrinę išvestinės reikšmę liestinės nuolydžio liestinė duotame kreivės taške y=F(x) lygi išvestinės priemonės vertei F"(x). Taigi, turime rasti tokią funkciją F(x), kuriam F"(x)=f(x). Būtina funkcija užduotyje F(x) yra kilęs iš f(x). Problemos sąlygą tenkina ne viena kreivė, o kreivių šeima. y=F(x)- viena iš šių kreivių ir bet kuri kita kreivė gali būti gaunama iš jos lygiagrečiai perkeliant išilgai ašies Oy.

Pavadinkime antidarinės funkcijos grafiku f(x) integralinė kreivė. Jeigu F"(x)=f(x), tada funkcijos grafikas y=F(x) yra integrali kreivė.

3 faktas. Neapibrėžtas integralas geometriškai pavaizduotas visų integralų kreivių šeima kaip paveikslėlyje žemiau. Kiekvienos kreivės atstumas nuo pradžios yra nustatomas pagal savavališką integracijos konstantą (konstantą). C.

Neapibrėžtinio integralo savybės

4 faktas. 1 teorema. Neapibrėžtinio integralo išvestinė lygi integrandui, o diferencialas – integrandui.

5 faktas. 2 teorema. Funkcijos diferencialo neapibrėžtasis integralas f(x) yra lygi funkcijai f(x) iki pastovaus termino , t.y.

(3)

1 ir 2 teoremos rodo, kad diferenciacija ir integravimas yra tarpusavyje atvirkštinės operacijos.

6 faktas. 3 teorema. Integrando pastovus veiksnys gali būti paimtas iš neapibrėžtinio integralo ženklo , t.y.

Primityvus.

Antidarinį lengva suprasti pateikus pavyzdį.

Paimkime funkciją y = x 3 . Kaip žinome iš ankstesnių skyrių, vedinys iš X 3 yra 3 X 2:

(X 3)" = 3X 2 .

Todėl iš funkcijos y = x 3 gauname naują funkciją: adresu = 3X 2 .
Vaizdžiai tariant, funkcija adresu = X 3 pagaminta funkcija adresu = 3X 2 ir yra jo „tėvas“. Matematikoje nėra žodžio „tėvas“, tačiau yra su juo susijusi sąvoka: antiderivatyvas.

Tai yra: funkcija y = x 3 yra funkcijos antidarinys adresu = 3X 2 .

Antidarinio apibrėžimas:

Mūsų pavyzdyje ( X 3)" = 3X 2, todėl y = x 3 - antidarinis skirtas adresu = 3X 2 .

Integracija.

Kaip žinote, duotosios funkcijos išvestinės paieškos procesas vadinamas diferencijavimu. Atvirkštinė operacija vadinama integracija.

Aiškinamasis pavyzdys:

adresu = 3X 2+ nuodėmė x.

Sprendimas:

Žinome, kad antidarinys skirtas 3 X 2 yra X 3 .

Antidarinys nuodėmei x yra –cos x.

Pridedame du antidarinius ir gauname tam tikros funkcijos antidarinį:

y = x 3 + (-cos x),

y = x 3 - cos x.

Atsakymas :
už funkciją adresu = 3X 2+ nuodėmė x y = x 3 - cos x.

Aiškinamasis pavyzdys:

Raskime funkcijos antidarinį adresu= 2 nuodėmė x.

Sprendimas:

Atkreipkite dėmesį, kad k = 2. Nuodėmės antidarinys x yra –cos x.

Todėl dėl funkcijos adresu= 2 nuodėmė x antidarinys yra funkcija adresu= -2 cos x.
Koeficientas 2 funkcijoje y \u003d 2 sin x atitinka antidarinio, iš kurio susidarė ši funkcija, koeficientą.

Aiškinamasis pavyzdys:

Raskime funkcijos antidarinį y= nuodėmė 2 x.

Sprendimas:

Mes tai pastebime k= 2. Antidarinys nuodėmei x yra –cos x.

Rasdami funkcijos antidarinį taikome savo formulę y= cos2 x:

1
y= - (–cos 2 x),
2

cos 2 x
y = – ----
2

cos 2 x
Atsakymas: dėl funkcijos y= nuodėmė 2 x antidarinys yra funkcija y = – ----
2

(4)

Aiškinamasis pavyzdys.

Paimkime funkciją iš ankstesnio pavyzdžio: y= nuodėmė 2 x.

Šiai funkcijai visi antidariniai turi tokią formą:

cos 2 x
y = – ---- + C.
2

Paaiškinimas.

Paimkime pirmą eilutę. Jis skamba taip: jei funkcija y = f( x) yra 0, tada jo antidarinys yra 1. Kodėl? Kadangi vienybės išvestinė lygi nuliui: 1" = 0.

Likusios eilutės skaitomos ta pačia tvarka.

Kaip ištraukti duomenis iš lentelės? Paimkime aštuntą eilutę:

(-cos x)" = nuodėmė x

Antrąją dalį rašome išvestiniu ženklu, tada lygybės ženklą ir išvestinę.

Skaitome: nuodėmės funkcijos antidarinys x yra -cos funkcija x.

Arba: funkcija -cos x yra nuodėmės funkcijos antidarinys x.

Ši pamoka yra pirmoji iš vaizdo įrašų apie integraciją serijos. Jame analizuosime, kas yra funkcijos antidarinys, taip pat išnagrinėsime elementarius šių pačių antidarinių skaičiavimo metodus.

Tiesą sakant, čia nėra nieko sudėtingo: iš esmės viskas susiveda į darinio sąvoką, kurią jau turėtumėte žinoti. :)

Iš karto atkreipiu dėmesį į tai, nes tai pati pirmoji mūsų pamoka nauja tema, šiandien nebus sudėtingų skaičiavimų ir formulių, tačiau tai, ką mes tyrinėsime šiandien, bus daug sudėtingesnių skaičiavimų ir struktūrų pagrindas skaičiuojant sudėtingus integralus ir plotus.

Be to, pradėdami studijuoti būtent integraciją ir integralus, netiesiogiai darome prielaidą, kad studentas jau yra bent jau susipažinęs su išvestinės sąvokomis ir turi bent elementarių jų skaičiavimo įgūdžių. Be aiškaus to supratimo, integracijos srityje visiškai nėra ką veikti.

Tačiau čia slypi viena dažniausių ir klastingiausių problemų. Faktas yra tas, kad daugelis studentų, pradėdami skaičiuoti savo pirmuosius antidarinius, painioja juos su dariniais. Dėl to egzaminuose ir savarankiškas darbas daromos kvailos ir įžeidžiančios klaidos.

Todėl dabar nepateiksiu aiškaus antidarinio apibrėžimo. O mainais siūlau pažvelgti, kaip tai vertinama paprastu konkrečiu pavyzdžiu.

Kas yra primityvu ir kaip tai laikoma

Mes žinome šią formulę:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ši išvestinė laikoma elementaria:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Atidžiai pažvelkime į gautą išraišką ir išreikškime $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime )))(3)\]

Bet galime parašyti ir taip, pagal išvestinės apibrėžimą:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

O dabar atkreipkite dėmesį: tai, ką ką tik užsirašėme, yra antidarinio apibrėžimas. Bet norint parašyti teisingai, reikia parašyti taip:

Tokiu pat būdu parašykime šią išraišką:

Jei apibendrinsime šią taisyklę, gausime tokią formulę:

\[((x)^(n))\į \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Dabar galime suformuluoti aiškų apibrėžimą.

Funkcijos antiderivinė yra funkcija, kurios išvestinė yra lygi pradinei funkcijai.

Klausimai apie antiderivatinę funkciją

Atrodytų, gana paprastas ir suprantamas apibrėžimas. Tačiau jį išgirdus dėmesingam mokiniui iš karto kils keli klausimai:

1. Tarkime, ši formulė yra teisinga. Tačiau šiuo atveju, kai $n=1$, turime problemų: vardiklyje atsiranda „nulis“, o padalyti iš „nulio“ neįmanoma.
2. Formulė apsiriboja tik galiomis. Kaip apskaičiuoti antidarinį, pavyzdžiui, sinusą, kosinusą ir bet kurią kitą trigonometriją, taip pat konstantas.
3. Egzistencinis klausimas: ar apskritai visada įmanoma rasti antidarinį? Jei taip, kaip su antiderivatine suma, skirtumu, produktu ir pan.?

Iš karto atsakysiu į paskutinį klausimą. Deja, ne visada atsižvelgiama į antidarinį, skirtingai nei į darinį. Nėra tokios universalios formulės, pagal kurią iš bet kurios pradinės konstrukcijos gautume funkciją, kuri bus lygi šiai panašiai konstrukcijai. Kalbant apie galias ir konstantas, apie tai kalbėsime dabar.

Galios funkcijų problemų sprendimas

\[((x)^(-1))\į \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Kaip matote, ši $((x)^(-1))$ formulė neveikia. Kyla klausimas: kas tada veikia? Ar negalime suskaičiuoti $((x)^(-1))$? Žinoma, kad galime. Pradėkime nuo to:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Dabar pagalvokime: kurios funkcijos išvestinė yra lygi $\frac(1)(x)$. Akivaizdu, kad bet kuris studentas, bent šiek tiek užsiėmęs šia tema, prisimins, kad ši išraiška yra lygi natūralaus logaritmo išvestinei:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Todėl drąsiai galime rašyti štai ką:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Šią formulę reikia žinoti, kaip ir galios funkcijos išvestinę.

Taigi, ką mes žinome iki šiol:

• Galios funkcijai – $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Konstantai - $=const\to \cdot x$
• Ypatingas galios funkcijos atvejis - $\frac(1)(x)\to \ln x$

Ir jei pradedame dauginti ir dalyti paprasčiausias funkcijas, kaip tada skaičiuoti sandaugos antidarinį arba koeficientą. Deja, analogijos su produkto išvestiniu ar koeficientu čia neveikia. Standartinės formulės nėra. Kai kuriems atvejams yra sudėtingos specialios formulės – su jomis susipažinsime būsimuose vaizdo įrašų vadovėliuose.

Tačiau atminkite: nėra bendros formulės, panašios į koeficiento ir sandaugos išvestinės apskaičiavimo formulę.

Realių problemų sprendimas

1 užduotis

Tegul kiekvienas galios funkcijos skaičiuoti atskirai:

\[((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)\]

Grįždami prie mūsų išraiškos, rašome bendrą konstrukciją:

2 užduotis

Kaip jau sakiau, primityvūs kūriniai ir privatūs „tuščias kiauras“ nelaikomi. Tačiau čia galite atlikti šiuos veiksmus:

Trupmeną suskaidėme į dviejų trupmenų sumą.

Paskaičiuokime:

Geros naujienos yra tai, kad kai žinote antidarinių skaičiavimo formules, jau galite apskaičiuoti daugiau sudėtingos struktūros. Tačiau eikime į priekį ir dar šiek tiek praplėskime savo žinias. Faktas yra tas, kad daugelis konstrukcijų ir išraiškų, kurios iš pirmo žvilgsnio neturi nieko bendro su $((x)^(n))$, gali būti pavaizduotos kaip laipsnis su racionaliu eksponentu, būtent:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Visi šie metodai gali ir turi būti derinami. Galios išraiškos gali

• padauginti (galios pridedamos);
• padalinti (laipsniai atimami);
• padauginti iš konstantos;
• ir tt

Reiškių sprendimas su laipsniu su racionaliuoju rodikliu

1 pavyzdys

Suskaičiuokime kiekvieną šaknį atskirai:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x)) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Iš viso visą mūsų konstrukciją galima parašyti taip:

2 pavyzdys

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \right))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Todėl gausime:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\į \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2(x)^(2)))\]

Iš viso, surinkę viską į vieną išraišką, galime parašyti:

3 pavyzdys

Pirma, atkreipkite dėmesį, kad mes jau apskaičiavome $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\į \frac(4(x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\į \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Perrašykime:

Tikiuosi, nieko nenustebinsiu, jei pasakysiu, kad tai, ką mes ką tik studijavome, yra tik paprasčiausi antidarinių skaičiavimai, elementariausios konstrukcijos. Dabar pažvelkime į šiek tiek sudėtingesnius pavyzdžius, kuriuose, be lentelių antidarinių, vis tiek reikia atsiminti mokyklos programą, būtent sutrumpintas daugybos formules.

Sudėtingesnių pavyzdžių sprendimas

1 užduotis

Prisiminkite skirtumo kvadrato formulę:

\[((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Perrašykime savo funkciją:

Dabar turime rasti tokios funkcijos antidarinį:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Viską renkame pagal bendrą dizainą:

2 užduotis

Šiuo atveju turime atidaryti skirtumo kubą. Prisiminkime:

\[((\left(a-b \right))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2)-((b)^(3))\]

Atsižvelgiant į šį faktą, jis gali būti parašytas taip:

Šiek tiek pakeisime savo funkciją:

Mes, kaip visada, atsižvelgiame į kiekvieną terminą atskirai:

\[((x)^(-3))\į \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\į \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\į \ln x\]

Parašykime gautą konstrukciją:

3 užduotis

Viršuje turime sumos kvadratą, atidarykime jį:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x) )+((\left(\sqrt(x) \right))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Parašykime galutinį sprendimą:

O dabar dėmesio! Labai svarbus dalykas, susijęs su didžiąja klaidų ir nesusipratimų dalimi. Faktas yra tas, kad iki šiol skaičiuodami antidarinius išvestinių pagalba, suteikdami transformacijas, negalvojome, kam lygi konstantos išvestinė. Tačiau konstantos išvestinė yra lygi „nuliui“. O tai reiškia, kad galite parašyti šias parinktis:

1. $((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Tai labai svarbu suprasti: jei funkcijos išvestinė visada yra ta pati, tai ta pati funkcija turi begalinį antidarinių skaičių. Mes galime tiesiog pridėti bet kokius pastovius skaičius prie savo primityvų ir gauti naujus.

Neatsitiktinai užduočių, kurias ką tik išsprendėme, paaiškinime buvo parašyta „Užrašykite bendrą antidarinių išvaizdą“. Tie. jau iš anksto manoma, kad jų yra ne vienas, o visa gausybė. Bet iš tikrųjų jie skiriasi tik pastovia $ C $ pabaigoje. Todėl savo užduotyse taisysime tai, ko neatlikome.

Dar kartą perrašome savo konstrukcijas:

Tokiais atvejais reikėtų pridurti, kad $C$ yra konstanta — $C=const$.

Atlikdami antrąją funkciją, gauname tokią konstrukciją:

Ir paskutinis:

Ir dabar mes tikrai gavome tai, ko iš mūsų reikalavo pradinėje problemos sąlygomis.

Problemų sprendimas ieškant antidarinių su tam tikru tašku

Dabar, kai žinome apie konstantas ir apie antidarinių rašymo ypatumus, gana logiškai iškyla tokio tipo problemos, kai iš visų antidarinių aibės reikia rasti vieną ir vienintelį, kuris eitų per tam tikrą tašką. Kokia tai užduotis?

Faktas yra tas, kad visi tam tikros funkcijos antidariniai skiriasi tik tuo, kad jie yra vertikaliai paslinkti tam tikru skaičiumi. O tai reiškia, kad nesvarbu, kurį koordinačių plokštumos tašką paimtume, vienas antidarinys tikrai praeis, o be to, tik vienas.

Taigi užduotys, kurias dabar spręsime, formuluojamos taip: nėra lengva rasti antidarinį, žinant pradinės funkcijos formulę, o pasirinkti tiksliai vieną iš jų, einantį per duotą tašką, kurio koordinatės bus turi būti pateikta problemos sąlygomis.

1 pavyzdys

Pirmiausia apskaičiuokime kiekvieną terminą:

\[((x)^(4))\į \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\į \frac(((x)^(4)))(4)\]

Dabar savo konstrukcijoje pakeičiame šias išraiškas:

Ši funkcija turi praeiti per tašką $M\left(-1;4 \right)$. Ką reiškia, kad jis eina per tašką? Tai reiškia, kad jei vietoje $x$ visur įdėsime $-1$, o vietoj $F\left(x \right)$ - $-4$, tai turėtume gauti teisingą skaitinę lygybę. Padarykime tai:

Matome, kad turime $C$ lygtį, todėl pabandykime ją išspręsti:

Užrašykime patį sprendimą, kurio ieškojome:

2 pavyzdys

Visų pirma, naudojant sutrumpintą daugybos formulę, reikia atidaryti skirtumo kvadratą:

\[((x)^(2))\į \frac(((x)^(3)))(3)\]

Pradinė struktūra bus parašyta taip:

Dabar suraskime $C$: pakeiskite taško $M$ koordinates:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Išreiškiame $C$:

Belieka parodyti galutinę išraišką:

Trigonometrinių uždavinių sprendimas

Kaip baigiamąjį akordą to, ką ką tik analizavome, siūlau apsvarstyti dvi sudėtingesnes problemas, kuriose yra trigonometrijos. Juose lygiai taip pat reikės rasti visų funkcijų antidarinius, tada iš šios aibės pasirinkti vienintelę, kuri eina per tašką $M$ koordinačių plokštumoje.

Žvelgdamas į ateitį, norėčiau pažymėti, kad technika, kurią dabar naudosime trigonometrinių funkcijų antidariniams rasti, iš tikrųjų yra universali savitikros technika.

1 užduotis

Prisiminkime tokią formulę:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Remdamiesi tuo, galime parašyti:

Į savo išraišką pakeisime taško $M$ koordinates:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Perrašykime išraišką turėdami omenyje šį faktą:

2 užduotis

Čia bus šiek tiek sunkiau. Dabar pamatysite kodėl.

Prisiminkime šią formulę:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Norėdami atsikratyti „minuso“, turite atlikti šiuos veiksmus:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Čia yra mūsų dizainas

Pakeiskite taško $M$ koordinates:

Užrašykime galutinę konstrukciją:

Tai viskas, ką šiandien norėjau jums pasakyti. Mes ištyrėme patį terminą antidariniai, kaip juos suskaičiuoti iš elementarių funkcijų, taip pat kaip rasti antidarinį, einantį per konkretų tašką koordinačių plokštumoje.

Tikiuosi, kad ši pamoka jums šiek tiek padės tai suprasti sunki tema. Bet kokiu atveju, būtent ant antidarinių yra statomi neapibrėžtieji ir neapibrėžtieji integralai, todėl juos svarstyti būtina. Tai viskas man. Greitai pasimatysime!