Manekenų logaritminių lygčių sprendimas. Logaritminės lygtys

Nėštumas

Sprendimas logaritmines lygtis. 1 dalis.

Logaritminė lygtis yra lygtis, kurioje nežinomasis yra po logaritmo ženklu (ypač logaritmo pagrindu).

Paprasčiausias logaritminė lygtis turi formą:

Bet kurios logaritminės lygties sprendimas apima perėjimą nuo logaritmų prie išraiškų logaritmų ženklu. Tačiau šis veiksmas išplečia leistinų lygties verčių diapazoną ir gali sukelti pašalinių šaknų atsiradimą. Kad neatsirastų svetimų šaknų, galite tai padaryti vienu iš trijų būdų:

1. Atlikite lygiavertį perėjimą nuo pradinės lygties iki sistemos, apimančios

priklausomai nuo to, kuri nelygybė ar paprastesnė.

Jei lygtyje yra nežinomasis logaritmo bazėje:

tada einame į sistemą:

2. Atskirai raskite priimtinų lygties verčių diapazoną, tada išspręskite lygtį ir patikrinkite, ar rasti sprendiniai atitinka lygtį.

3. Išspręskite lygtį ir tada patikrinti: rastus sprendinius pakeiskite į pradinę lygtį ir patikrinkite, ar gauname teisingą lygybę.

Bet kokio sudėtingumo logaritminė lygtis galiausiai visada redukuojama iki paprasčiausios logaritminės lygties.

Visas logaritmines lygtis galima suskirstyti į keturis tipus:

1 . Lygtys, kuriose yra logaritmų tik iki pirmos laipsnio. Transformacijų ir panaudojimo pagalba jie įvedami į formą

Pavyzdys. Išspręskime lygtį:

Sulyginkime po logaritmo ženklu esančias išraiškas:

Patikrinkime, ar mūsų lygties šaknis tenkina:

Taip, tai tenkina.

Atsakymas: x=5

2 . Lygtys, kuriose yra logaritmų laipsniams, išskyrus 1 (ypač trupmenos vardiklyje). Tokias lygtis galima išspręsti naudojant įvedant kintamojo pakeitimą.

Pavyzdys. Išspręskime lygtį:

Raskime ODZ lygtį:

Lygtyje yra logaritmų kvadratas, todėl ją galima išspręsti pakeitus kintamąjį.

Svarbu! Prieš įvesdami pakeitimą, turite „išskirti“ logaritmus, kurie yra lygties dalis, į „plytas“, naudodami logaritmų savybes.

„Ištraukiant“ logaritmus, svarbu labai atsargiai naudoti logaritmų savybes:

Be to, čia yra dar vienas subtilus taškas, o norėdami išvengti dažnos klaidos, naudosime tarpinę lygybę: logaritmo laipsnį parašysime tokia forma:

Taip pat,

Pakeiskime gautas išraiškas į pradinę lygtį. Mes gauname:

Dabar matome, kad nežinomasis yra lygtyje kaip dalis . Pristatome pakaitalą: . Kadangi jis gali turėti bet kokią realią reikšmę, kintamajam netaikome jokių apribojimų.

Algebra 11 klasė

Tema: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“

Pamokos tikslai:

edukacinis: kurti žinias apie įvairiais būdais logaritminių lygčių sprendimas, gebėjimas jas taikyti kiekvienoje konkrečioje situacijoje ir pasirinkti bet kokį sprendimo būdą;

kuriant: gebėjimų stebėti, lyginti, taikyti žinias naujoje situacijoje, nustatyti šablonus, apibendrinti ugdymas; savitarpio kontrolės ir savikontrolės įgūdžių ugdymas;

edukacinis: ugdyti atsakingą požiūrį į ugdomąjį darbą, dėmesingą pamokos medžiagos suvokimą, kruopštų užrašymą.

Pamokos tipas : pamoka apie naujos medžiagos įvedimą.

„Logaritmų išradimas, nors ir sumažino astronomo darbą, prailgino jo gyvenimą.
Prancūzų matematikas ir astronomas P.S. Laplasas

Per užsiėmimus

I. Pamokos tikslo nustatymas

Ištirtas logaritmo apibrėžimas, logaritmų savybės ir logaritminė funkcija leis išspręsti logaritmines lygtis. Visos logaritminės lygtys, kad ir kokios sudėtingos jos būtų, sprendžiamos naudojant vienodus algoritmus. Šiandienos pamokoje apžvelgsime šiuos algoritmus. Jų nėra daug. Jei juos įvaldysite, bet kokia logaritmų lygtis bus įmanoma kiekvienam iš jūsų.

Užsirašykite į sąsiuvinį pamokos temą: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“. Kviečiu visus bendradarbiauti.

II. Informacinių žinių atnaujinimas

Pasiruoškime studijuoti pamokos temą. Išspręsi kiekvieną užduotį ir užrašai atsakymą; sąlygos rašyti nereikia. Dirbti porose.

1) Kokioms x reikšmėms funkcija prasminga:

(Kiekvienos skaidrės atsakymai tikrinami ir klaidos išrūšiuojamos)

2) Ar funkcijų grafikai sutampa?

a) y = x ir

b)Ir

3) Perrašykite lygybes į logaritmines lygybes:

4) Parašykite skaičius kaip logaritmus su 2 baze:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) Apskaičiuokite :

6) Pabandykite atkurti arba papildyti trūkstamus elementus šiose lygybėse.

III. Įvadas į naują medžiagą

Ekrane rodomas toks teiginys:

"Lygtis yra auksinis raktas, kuris atveria visus matematinius sezamus."
Šiuolaikinis lenkų matematikas S. Kowal

Pabandykite suformuluoti logaritminės lygties apibrėžimą. (Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu ).

PasvarstykimePaprasčiausia logaritminė lygtis: žurnalas A x = b (kur a>0, a ≠ 1). Kadangi logaritminė funkcija didėja (arba mažėja) teigiamų skaičių aibėje ir įgauna visas tikrąsias reikšmes, tada iš šaknies teoremos išplaukia, kad bet kuriai b ši lygtis turi ir tik vieną sprendimą ir teigiamą.

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą. (Skaičiaus x logaritmas bazei a yra galios, iki kurios reikia pakelti bazę a, rodiklis, norint gauti skaičių x ). Iš logaritmo apibrėžimo iš karto išplaukia, kadA V yra toks sprendimas.

Užsirašykite pavadinimą:Logaritminių lygčių sprendimo būdai

1. Pagal logaritmo apibrėžimą .

Taip išsprendžiamos paprasčiausios formos lygtys.

PasvarstykimeNr. 514(a) ): Išspręskite lygtį

Kaip siūlote ją išspręsti? (Pagal logaritmo apibrėžimą )

Sprendimas . , Vadinasi, 2x – 4 = 4; x = 4.

Atsakymas: 4.

Šioje užduotyje 2x – 4 > 0, kadangi> 0, todėl negali atsirasti pašalinių šaknų, irnereikia tikrinti . Šioje užduotyje sąlygos 2x – 4 > 0 išrašyti nereikia.

2. Potencija (perėjimas nuo nurodytos išraiškos logaritmo prie šios išraiškos).

PasvarstykimeNr. 519(g): žurnalas 5 ( x 2 +8)- žurnalas 5 ( x+1)=3 žurnalas 5 2

Kokią savybę pastebėjote?(Pagrindai yra vienodi, o abiejų išraiškų logaritmai yra vienodi) . Ką galima padaryti?(Potencializuoti).

Reikėtų atsižvelgti į tai, kad bet koks sprendimas yra tarp visų x, kurių logaritminės išraiškos yra teigiamos.

Sprendimas: ODZ:

X 2 +8>0 nereikalinga nelygybė

žurnalas 5 ( x 2 +8) = žurnalas 5 2 3 + žurnalas 5 ( x+1)

žurnalas 5 ( x 2 +8)= žurnalas 5 (8 x+8)

Sustiprinkime pradinę lygtį

x 2 +8= 8 x+8

gauname lygtįx 2 +8= 8 x+8

Išspręskime:x 2 -8 x=0

x=0, x=8

Atsakymas: 0; 8

IN bendras vaizdas pereiti prie lygiavertės sistemos :

Lygtis

(Sistemoje yra perteklinė sąlyga – į vieną iš nelygybių nereikia atsižvelgti).

Klausimas klasei : Kuris iš šių trijų sprendimų jums patiko labiausiai? (Metodų aptarimas).

Jūs turite teisę nuspręsti bet kokiu būdu.

3. Naujo kintamojo įvedimas .

PasvarstykimeNr. 520 (g) . .

Ką pastebėjai? (Tai kvadratinė lygtis palyginti su log3x) Jūsų pasiūlymai? (Įveskite naują kintamąjį)

Sprendimas . ODZ: x > 0.

Leisti, tada lygtis bus tokia:. Diskriminantas D > 0. Šaknys pagal Vietos teoremą:.

Grįžkime prie pakeitimo:arba.

Išsprendę paprasčiausias logaritmines lygtis, gauname:

; .

Atsakymas : 27;

4. Logaritmas abi lygties puses.

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas : ODZ: x>0, paimkime abiejų lygties pusių logaritmą 10 bazėje:

. Taikykime laipsnio logaritmo savybę:

(lgx + 3) lgx =

(logx + 3) logx = 4

Tegu logx = y, tada (y + 3)y = 4

, (D > 0) šaknys pagal Vietos teoremą: y1 = -4 ir y2 = 1.

Grįžkime prie pakeitimo, gauname: lgx = -4,; logx = 1,. . Tai yra taip: jei viena iš funkcijų y = f(x) didėja, o kita y = g(x) mažėja intervale X, tada lygtis f(x)= g(x) turi daugiausia vieną šaknį intervale X .

Jei yra šaknis, tai galima atspėti. .

Atsakymas : 2

„Teisingai taikyti metodus galima išmokti
tik pritaikius juos įvairiems pavyzdžiams“.
Danų matematikos istorikas G. G. Zeitenas

aš V. Namų darbai

P. 39 apsvarstykite 3 pavyzdį, išspręskite Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Apibendrinant pamoką

Kokius logaritminių lygčių sprendimo būdus apžvelgėme klasėje?

Kitose pamokose apžvelgsime sudėtingesnes lygtis. Norint juos išspręsti, bus naudingi tiriami metodai.

Paskutinė parodyta skaidrė:

„Kas yra daugiau už viską pasaulyje?
Erdvė.
Kas yra išmintingiausia?
Laikas.
Kokia geriausia dalis?
Pasiekite tai, ko norite“.
Taliai

Linkiu kiekvienam pasiekti tai, ko nori. Dėkojame už bendradarbiavimą ir supratingumą.

Algebra 11 klasė

Tema: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“

Pamokos tikslai:

edukacinis: žinių apie įvairius logaritminių lygčių sprendimo būdus formavimas, gebėjimas jas taikyti kiekvienoje konkrečioje situacijoje ir pasirinkti bet kokį sprendimo būdą;

ugdyti: ugdyti gebėjimus stebėti, lyginti, taikyti žinias naujoje situacijoje, nustatyti modelius, apibendrinti; savitarpio kontrolės ir savikontrolės įgūdžių ugdymas;

ugdomasis: ugdyti atsakingą požiūrį į ugdomąjį darbą, dėmesingą pamokos medžiagos suvokimą, kruopštų užrašymą.

Pamokos tipas: pamoka apie naujos medžiagos įvedimą.

„Logaritmų išradimas, nors ir sumažino astronomo darbą, prailgino jo gyvenimą.
Prancūzų matematikas ir astronomas P.S. Laplasas

Per užsiėmimus

I. Pamokos tikslo nustatymas

Užsirašykite į sąsiuvinį pamokos temą: „Logaritminių lygčių sprendimo metodai“. Kviečiu visus bendradarbiauti.

II. Informacinių žinių atnaujinimas

Pasiruoškime studijuoti pamokos temą. Išspręsi kiekvieną užduotį ir užrašai atsakymą; sąlygos rašyti nereikia. Dirbti porose.

1) Kokioms x reikšmėms funkcija prasminga:

(Kiekvienos skaidrės atsakymai tikrinami ir klaidos išrūšiuojamos)

2) Ar funkcijų grafikai sutampa?

3) Perrašykite lygybes į logaritmines lygybes:

4) Parašykite skaičius kaip logaritmus su 2 baze:

5) Apskaičiuokite:

6) Pabandykite atkurti arba papildyti trūkstamus elementus šiose lygybėse.

III. Įvadas į naują medžiagą

Ekrane rodomas toks teiginys:

"Lygtis yra auksinis raktas, kuris atveria visus matematinius sezamus."
Šiuolaikinis lenkų matematikas S. Kowal

Pabandykite suformuluoti logaritminės lygties apibrėžimą. (Lygtis, kurioje yra nežinomasis po logaritmo ženklu).

Pasvarstykime Paprasčiausia logaritminė lygtis:žurnalasAx = b(kur a>0, a ≠ 1). Kadangi logaritminė funkcija didėja (arba mažėja) teigiamų skaičių aibėje ir įgauna visas tikrąsias reikšmes, tada iš šaknies teoremos išplaukia, kad bet kuriai b ši lygtis turi ir tik vieną sprendimą ir teigiamą.

Prisiminkite logaritmo apibrėžimą. (Skaičiaus x logaritmas bazei a yra galios, iki kurios reikia pakelti bazę a, rodiklis, norint gauti skaičių x). Iš logaritmo apibrėžimo iš karto išplaukia, kad AV yra toks sprendimas.

Užsirašykite pavadinimą: Logaritminių lygčių sprendimo būdai

1. Pagal logaritmo apibrėžimą.

Taip išsprendžiamos paprasčiausios formos lygtys.

Pasvarstykime Nr. 514(a)): Išspręskite lygtį

Kaip siūlote ją išspręsti? (Pagal logaritmo apibrėžimą)

Sprendimas. , Vadinasi, 2x - 4 = 4; x = 4.

Šioje užduotyje 2x - 4 > 0, nes > 0, todėl negali atsirasti pašalinių šaknų ir nereikia tikrinti. Šioje užduotyje sąlygos 2x - 4 > 0 išrašyti nereikia.

2. Potencija(perėjimas nuo nurodytos išraiškos logaritmo prie šios išraiškos).

Pasvarstykime Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Kokią savybę pastebėjote? (Pagrindai yra vienodi, o abiejų išraiškų logaritmai yra vienodi.) Ką galima padaryti? (Potencializuoti).

Reikėtų atsižvelgti į tai, kad bet koks sprendimas yra tarp visų x, kurių logaritminės išraiškos yra teigiamos.

Sprendimas: ODZ:

X2+8>0 yra nereikalinga nelygybė

log5(x2+8) =log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)= log5 (8 x+8)

Sustiprinkime pradinę lygtį

gauname lygtį x2+8= 8x+8

Išspręskime: x2-8x=0

Atsakymas: 0; 8

Apskritai pereiti prie lygiavertės sistemos:

Lygtis

(Sistemoje yra perteklinė sąlyga – į vieną iš nelygybių nereikia atsižvelgti).

Klausimas klasei: Kuris iš šių trijų sprendimų jums patiko labiausiai? (Metodų aptarimas).

Jūs turite teisę nuspręsti bet kokiu būdu.

3. Naujo kintamojo įvedimas.

Pasvarstykime Nr. 520 (g). .

Ką pastebėjai? (Tai kvadratinė lygtis log3x atžvilgiu) Turite pasiūlymų? (Įveskite naują kintamąjį)

Sprendimas. ODZ: x > 0.

Leiskite , tada lygtis įgauna tokią formą:. Diskriminantas D > 0. Šaknys pagal Vietos teoremą:.

Grįžkime prie pakeitimo: arba.

Išsprendę paprasčiausias logaritmines lygtis, gauname:

Atsakymas: 27;

4. Logaritmas abi lygties puses.

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas: ODZ: x>0, paimkite abiejų lygties pusių logaritmą 10 bazėje:

Taikykime laipsnio logaritmo savybę:

(logx + 3) logx = 4

Tegul logx = y, tada (y + 3)y = 4

, (D > 0) šaknys pagal Vietos teoremą: y1 = -4 ir y2 = 1.

Grįžkime prie pakeitimo, gauname: lgx = -4,; lgx = 1, .

Atsakymas: 0,0001; 10.

5. Sumažinimas iki vieno pagrindo.

Nr.523(c). Išspręskite lygtį:

Sprendimas: ODZ: x>0. Pereikime prie 3 bazės.

6. Funkcinis-grafinis metodas.

№ 509 d. Išspręskite lygtį grafiškai: = 3 - x.

Kaip siūlote spręsti? (Naudodami taškus sudarykite dviejų funkcijų y = log2x ir y = 3 - x grafikus ir ieškokite grafikų susikirtimo taškų abscisių).

Pažiūrėkite į savo sprendimą skaidrėje.

Yra būdas išvengti grafikų sudarymo . Tai yra taip : jei viena iš funkcijų y = f(x) didėja, o kita y = g(x) mažėja intervale X, tada lygtis f(x)= g(x) turi daugiausia vieną šaknį intervale X.

Jei yra šaknis, tai galima atspėti.

Mūsų atveju funkcija didėja, kai x>0, o funkcija y = 3 - x mažėja visoms x reikšmėms, įskaitant ir x>0, o tai reiškia, kad lygtis turi ne daugiau kaip vieną šaknį. Atkreipkite dėmesį, kad esant x = 2 lygtis virsta tikra lygybe, nes .

„Teisingai taikyti metodus galima išmokti
tik pritaikius juos įvairiems pavyzdžiams“.
Danų matematikos istorikas G. G. Zeitenas

ašV. Namų darbai

P. 39 apsvarstykite 3 pavyzdį, išspręskite Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Apibendrinant pamoką

Kokius logaritminių lygčių sprendimo būdus apžvelgėme klasėje?

Kitose pamokose apžvelgsime sudėtingesnes lygtis. Norint juos išspręsti, bus naudingi tiriami metodai.

Paskutinė parodyta skaidrė:

„Kas yra daugiau už viską pasaulyje?
Erdvė.
Kas yra išmintingiausia?
Laikas.
Kokia geriausia dalis?
Pasiekite tai, ko norite“.
Taliai

Linkiu kiekvienam pasiekti tai, ko nori. Dėkojame už bendradarbiavimą ir supratingumą.

Šiandien išmoksime išspręsti paprasčiausias logaritmines lygtis, kai nereikia jokių išankstinių transformacijų ar šaknų parinkimo. Bet jei išmoksite išspręsti tokias lygtis, tai bus daug lengviau.

Paprasčiausia logaritminė lygtis yra log a f (x) = b formos lygtis, kur a, b yra skaičiai (a > 0, a ≠ 1), f (x) yra tam tikra funkcija.

Išskirtinis visų logaritminių lygčių bruožas yra kintamojo x buvimas po logaritmo ženklu. Jei tai yra lygtis, kuri iš pradžių buvo pateikta užduotyje, ji vadinama paprasčiausia. Visos kitos logaritminės lygtys specialiomis transformacijomis sumažinamos iki paprasčiausių (žr. „Pagrindinės logaritmų savybės“). Tačiau reikia atsižvelgti į daugybę subtilybių: gali atsirasti papildomų šaknų, todėl sudėtingos logaritminės lygtys bus nagrinėjamos atskirai.

Kaip išspręsti tokias lygtis? Pakanka skaičių, esantį dešinėje lygybės ženklo, pakeisti logaritmu toje pačioje bazėje kaip ir kairėje. Tada galite atsikratyti logaritmo ženklo. Mes gauname:

log a f (x) = b ⇒ log a f (x) = log a a b ⇒ f (x) = a b

Gavome įprastą lygtį. Jo šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Išima laipsnius

Dažnai logaritminės lygtys, kurios išoriškai atrodo sudėtingos ir grėsmingos, išsprendžiamos vos keliomis eilutėmis, nenaudojant sudėtingų formulių. Šiandien panagrinėsime būtent tokias problemas, kur iš jūsų tereikia kruopščiai redukuoti formulę iki kanoninės formos ir nesusipainioti ieškant logaritmų apibrėžimo srities.

Šiandien, kaip tikriausiai atspėjote iš pavadinimo, logaritmines lygtis spręsime naudodami perėjimo prie kanoninės formos formules. Pagrindinė šios vaizdo pamokos „gudrybė“ bus darbas su laipsniais, tiksliau, laipsnio išvedimas iš pagrindo ir argumento. Pažiūrėkime į taisyklę:

Panašiai galite gauti laipsnį iš pagrindo:

Kaip matome, jei pašalinus laipsnį iš logaritmo argumento, tiesiog priekyje yra papildomas veiksnys, tai pašalinus laipsnį iš pagrindo gauname ne tik koeficientą, bet ir atvirkštinį koeficientą. Tai reikia atsiminti.

Pagaliau įdomiausias dalykas. Šias formules galima sujungti, tada gauname:

Žinoma, atliekant šiuos perėjimus, yra tam tikrų spąstų, susijusių su galimu apibrėžimo apimties išplėtimu arba, priešingai, apibrėžimo apimties susiaurėjimu. Spręskite patys:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 x

Jei pirmuoju atveju x galėtų būti bet koks skaičius, išskyrus 0, t.y. reikalavimas x ≠ 0, tai antruoju atveju tenkiname tik x, kurie ne tik nėra lygūs, bet griežtai didesni už 0, nes logaritmo apibrėžimas yra toks, kad argumentas būtų griežtai didesnis už 0. Todėl priminsiu nuostabią formulę iš 8-9 klasių algebros kurso:

Tai yra, mes turime parašyti savo formulę taip:

log 3 x 2 = 2 ∙ log 3 |x |

Tada apibrėžimo apimtis nesusiaurės.

Tačiau šios dienos vaizdo pamokoje kvadratų nebus. Jei pažvelgsite į mūsų užduotis, pamatysite tik šaknis. Todėl šios taisyklės netaikysime, bet vis tiek reikia jos nepamiršti, kad reikiamu momentu, kai pamatysite kvadratinė funkcija argumente arba logaritmo bazėje atsiminsite šią taisyklę ir teisingai atliksite visas transformacijas.

Taigi pirmoji lygtis yra tokia:

Norėdami išspręsti šią problemą, siūlau atidžiai pažvelgti į kiekvieną formulėje pateiktą terminą.

Perrašykime pirmąjį narį kaip laipsnį su racionaliuoju rodikliu:

Žiūrime į antrąjį narį: log 3 (1 − x). Nieko čia daryti nereikia, čia jau viskas transformuota.

Galiausiai 0, 5. Kaip jau sakiau ankstesnėse pamokose, sprendžiant logaritmines lygtis ir formules, labai rekomenduoju nuo dešimtainių trupmenų pereiti prie bendrųjų. Padarykime tai:

0,5 = 5/10 = 1/2

Perrašykime savo pradinę formulę, atsižvelgdami į gautus terminus:

log 3 (1 − x ) = 1

Dabar pereikime prie kanoninės formos:

log 3 (1 − x ) = log 3 3

Atsikratome logaritmo ženklo sulygindami argumentus:

1–x = 3

−x = 2

x = −2

Tai viskas, mes išsprendėme lygtį. Tačiau vis tiek žaiskime saugiai ir raskime apibrėžimo sritį. Norėdami tai padaryti, grįžkime prie pradinės formulės ir pažiūrėkite:

1–x > 0

−x > −1

x< 1

Mūsų šaknis x = −2 tenkina šį reikalavimą, todėl x = −2 yra pradinės lygties sprendimas. Dabar gavome griežtą, aiškų pagrindimą. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Pereikime prie antrosios užduoties:

Pažvelkime į kiekvieną terminą atskirai.

Išrašykime pirmąjį:

Mes pakeitėme pirmąją kadenciją. Dirbame su antruoju terminu:

Galiausiai paskutinis terminas, esantis lygybės ženklo dešinėje:

Gautoje formulėje vietoj terminų pakeičiame gautas išraiškas:

log 3 x = 1

Pereikime prie kanoninės formos:

log 3 x = log 3 3

Atsikratome logaritmo ženklo, sulygindami argumentus ir gauname:

x = 3

Vėlgi, kad būtų saugu, grįžkime prie pradinės lygties ir pažiūrėkime. Pradinėje formulėje kintamasis x yra tik argumente, todėl

x > 0

Antrajame logaritme x yra po šaknimi, bet vėlgi argumente, todėl šaknis turi būti didesnė už 0, t.y. radikalioji išraiška turi būti didesnė už 0. Mes žiūrime į mūsų šaknį x = 3. Akivaizdu, kad ji atitinka šį reikalavimą. Todėl x = 3 yra pradinės logaritminės lygties sprendimas. Štai ir viskas, problema išspręsta.

Šiandienos vaizdo įrašo vadovėlyje yra du pagrindiniai dalykai:

1) nebijokite transformuoti logaritmų ir ypač nebijokite paimti galių iš logaritmo ženklo, prisimindami mūsų pagrindinę formulę: pašalinus laipsnį iš argumento, jis tiesiog išimamas be pakeitimų kaip daugiklis, o atimant galią iš pagrindo, ši galia apverčiama.

2) antrasis taškas susijęs su pačia kanonine forma. Perėjimą prie kanoninės formos padarėme pačioje logaritminės lygties formulės transformacijos pabaigoje. Leiskite jums priminti šią formulę:

a = log b b a

Žinoma, posakiu „bet koks skaičius b“ turiu omenyje tuos skaičius, kurie atitinka logaritmo pagrindui keliamus reikalavimus, t.y.

1 ≠ b > 0

Tokiam b, ir kadangi mes jau žinome pagrindą, šis reikalavimas bus įvykdytas automatiškai. Bet tokiems b – bet kokiems, kurie atitinka šį reikalavimą – šis perėjimas gali būti atliktas, ir mums pavyks kanoninė forma, kuriame galite atsikratyti logaritmo ženklo.

Apibrėžimo srities ir papildomų šaknų išplėtimas

Logaritminių lygčių transformavimo procese gali įvykti numanomas apibrėžimo srities išplėtimas. Dažnai mokiniai to net nepastebi, o tai lemia klaidas ir neteisingus atsakymus.

Pradėkime nuo paprasčiausių dizainų. Paprasčiausia logaritminė lygtis yra tokia:

log a f (x) = b

Atkreipkite dėmesį, kad x yra tik viename logaritmo argumente. Kaip sprendžiame tokias lygtis? Mes naudojame kanoninę formą. Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite skaičių b = log a a b ir mūsų lygtis bus perrašyta taip:

log a f (x) = log a a b

Šis įrašas vadinamas kanonine forma. Būtent į tai turėtumėte sumažinti bet kokią logaritminę lygtį, su kuria susidursite ne tik šios dienos pamokoje, bet ir bet kuriame savarankiškame bei bandomajame darbe.

Kaip pasiekti kanoninę formą ir kokius metodus naudoti, yra praktikos reikalas. Svarbiausia suprasti, kad kai tik gausite tokį įrašą, galite laikyti, kad problema išspręsta. Nes kitas žingsnis yra parašyti:

f (x) = a b

Kitaip tariant, atsikratome logaritmo ženklo ir argumentus tiesiog sulyginame.

Kodėl visos šios kalbos? Faktas yra tas, kad kanoninė forma taikoma ne tik paprasčiausioms problemoms, bet ir bet kurioms kitoms. Visų pirma tie, dėl kurių nuspręsime šiandien. Pažiūrėkime.

Pirma užduotis:

Kokia šios lygties problema? Faktas yra tas, kad funkcija vienu metu yra dviem logaritmams. Uždavinį galima sumažinti iki paprasčiausio, tiesiog atimant vieną logaritmą iš kito. Tačiau kyla problemų dėl apibrėžimo srities: gali atsirasti papildomų šaknų. Taigi tiesiog perkelkime vieną iš logaritmų į dešinę:

Šis įrašas daug panašesnis į kanoninę formą. Tačiau yra dar vienas niuansas: kanoninėje formoje argumentai turi būti vienodi. Ir kairėje turime logaritmą 3 bazėje, o dešinėje - 1/3 bazę. Jis žino, kad šias bazes reikia suvesti į tą patį skaičių. Pavyzdžiui, prisiminkime, kas yra neigiamos galios:

Tada kaip daugiklį naudosime „−1“ eksponentą už žurnalo ribų:

Atkreipkite dėmesį: laipsnis, kuris buvo prie pagrindo, apverčiamas ir virsta trupmena. Atsikratę skirtingų bazių gavome beveik kanoninį žymėjimą, tačiau mainais gavome koeficientą „−1“ dešinėje. Įtraukime šį veiksnį į argumentą, paversdami jį galia:

Žinoma, gavę kanoninę formą, logaritmo ženklą drąsiai perbraukiame ir argumentus lyginame. Tuo pačiu priminsiu, kad pakėlus iki laipsnio „-1“, trupmena tiesiog apverčiama – gaunama proporcija.

Panaudokime pagrindinę proporcijos savybę ir padauginkime ją skersai:

(x - 4) (2x - 1) = (x - 5) (3x - 4)

2x 2 - x - 8x + 4 = 3x 2 - 4x - 15x + 20

2x 2 - 9x + 4 = 3x 2 - 19x + 20

x 2 – 10x + 16 = 0

Prieš mus yra aukščiau pateikta kvadratinė lygtis, todėl ją išsprendžiame naudodami Vietos formules:

(x - 8) (x - 2) = 0

x 1 = 8; x 2 = 2

Tai viskas. Ar manote, kad lygtis išspręsta? Ne! Už tokį sprendimą gausime 0 taškų, nes pradinėje lygtyje yra du logaritmai su kintamuoju x. Todėl būtina atsižvelgti į apibrėžimo sritį.

Ir čia prasideda linksmybės. Dauguma studentų yra sumišę: kokia yra logaritmo apibrėžimo sritis? Žinoma, visi argumentai (turime du) turi būti didesni už nulį:

(x – 4)/(3x – 4) > 0

(x – 5)/(2x – 1) > 0

Kiekviena iš šių nelygybių turi būti išspręsta, pažymėti tiesioje linijoje, susikirsti ir tik tada matyti, kurios šaknys yra sankirtoje.

Būsiu atviras: ši technika turi teisę egzistuoti, ji yra patikima, ir jūs gausite teisingą atsakymą, tačiau joje per daug nereikalingų žingsnių. Taigi dar kartą peržvelkime sprendimą ir pažiūrėkime: kur tiksliai turime taikyti apimtį? Kitaip tariant, jūs turite aiškiai suprasti, kada tiksliai atsiranda papildomos šaknys.

Iš pradžių turėjome du logaritmus. Tada vieną iš jų perkėlėme į dešinę, bet tai neturėjo įtakos apibrėžimo sričiai.
Tada mes pašaliname galią iš pagrindo, bet vis tiek yra du logaritmai ir kiekviename iš jų yra kintamasis x.
Galiausiai nubraukiame logo ženklus ir gauname klasikinę trupmeninę racionaliąją lygtį.

Paskutiniame etape apibrėžimo sritis išplečiama! Kai tik perėjome prie trupmeninės-racionalios lygties, atsikratėme log ženklų, reikalavimai kintamajam x smarkiai pasikeitė!

Vadinasi, apibrėžimo sritis gali būti nagrinėjama ne pačioje sprendimo pradžioje, o tik minėtame žingsnyje – prieš tiesiogiai sutapatinant argumentus.

Čia yra galimybė optimizuoti. Viena vertus, iš mūsų reikalaujama, kad abu argumentai būtų didesni už nulį. Kita vertus, mes toliau lyginame šiuos argumentus. Todėl, jei bent vienas iš jų yra teigiamas, antrasis taip pat bus teigiamas!

Taigi paaiškėja, kad reikalauti, kad dvi nelygybės būtų įvykdytos vienu metu, yra perdėta. Pakanka atsižvelgti tik į vieną iš šių trupmenų. Kuris? Tas, kuris paprastesnis. Pavyzdžiui, pažvelkime į dešiniąją trupmeną:

(x – 5)/(2x – 1) > 0

Tai būdinga trupmeninė racionalioji nelygybė, mes ją išsprendžiame naudodami intervalų metodą:

Kaip dėti ženklus? Paimkime skaičių, kuris akivaizdžiai didesnis už visas mūsų šaknis. Pavyzdžiui, 1 milijardas. Ir mes pakeičiame jo dalį. Mes gauname teigiamas skaičius, t.y. į dešinę nuo šaknies x = 5 bus pliuso ženklas.

Tada ženklai kaitaliojasi, nes niekur nėra net daugybinių šaknų. Mus domina intervalai, kuriuose funkcija yra teigiama. Todėl x ∈ (−∞; −1/2)∪(5; +∞).

Dabar prisiminkime atsakymus: x = 8 ir x = 2. Griežtai kalbant, tai dar ne atsakymai, o tik kandidatai į atsakymą. Kuris iš jų priklauso nurodytam rinkiniui? Žinoma, x = 8. Tačiau x = 2 mums netinka pagal savo apibrėžimo sritį.

Iš viso atsakymas į pirmą logaritminę lygtį bus x = 8. Dabar turime kompetentingą, gerai pagrįstą sprendimą, atsižvelgiant į apibrėžimo sritį.

Pereikime prie antrosios lygties:

log 5 (x - 9) = log 0,5 4 - log 5 (x - 5) + 3

Leiskite jums priminti, kad jei lygtyje yra dešimtainė trupmena, turėtumėte jos atsikratyti. Kitaip tariant, perrašykime 0,5 kaip bendrąją trupmeną. Iš karto pastebime, kad logaritmas, kuriame yra ši bazė, yra lengvai apskaičiuojamas:

Tai labai svarbus momentas! Kai turime laipsnius tiek bazėje, tiek argumente, šių laipsnių rodiklius galime išvesti naudodami formulę:

Grįžkime prie pradinės logaritminės lygties ir perrašykime ją:

log 5 (x - 9) = 1 - log 5 (x - 5)

Gavome dizainą, gana artimą kanoninei formai. Tačiau mus glumina terminai ir minuso ženklas lygybės ženklo dešinėje. Pavaizduokime vieną kaip logaritmą iki 5 bazės:

log 5 (x - 9) = log 5 5 1 - log 5 (x - 5)

Atimkite logaritmus dešinėje (šiuo atveju jų argumentai yra padalinti):

log 5 (x – 9) = log 5 5/(x – 5)

Nuostabu. Taigi gavome kanoninę formą! Nubraukiame rąsto ženklus ir sulyginame argumentus:

(x – 9)/1 = 5/(x – 5)

Tai proporcija, kurią galima lengvai išspręsti padauginus skersai:

(x - 9) (x - 5) = 5 1

x 2 - 9x - 5x + 45 = 5

x 2 – 14x + 40 = 0

Akivaizdu, kad turime sumažintą kvadratinę lygtį. Tai galima lengvai išspręsti naudojant Vietos formules:

(x - 10) (x - 4) = 0

x 1 = 10

x 2 = 4

Turime dvi šaknis. Bet tai ne galutiniai atsakymai, o tik kandidatai, nes logaritminė lygtis taip pat reikalauja patikrinti apibrėžimo sritį.

Primenu: nereikia ieškoti kada kas argumentų bus didesnis už nulį. Pakanka reikalauti, kad vienas argumentas – arba x − 9, arba 5/(x − 5) – būtų didesnis už nulį. Apsvarstykite pirmąjį argumentą:

x − 9 > 0

x > 9

Akivaizdu, kad šį reikalavimą tenkina tik x = 10. Tai galutinis atsakymas. Visa problema išspręsta.

Dar kartą pagrindinės šios dienos pamokos mintys:

Kai tik kintamasis x atsiranda keliuose logaritmuose, lygtis nustoja būti elementari ir jai reikės skaičiuoti apibrėžimo sritį. Priešingu atveju atsakyme galite lengvai įrašyti papildomas šaknis.
Darbas su pačiu domenu gali būti gerokai supaprastintas, jei nelygybę išrašysime ne iš karto, o būtent tą akimirką, kai atsikratysime rąsto ženklų. Juk kai argumentai prilyginami vienas kitam, pakanka reikalauti, kad tik vienas iš jų būtų didesnis už nulį.

Žinoma, mes patys pasirenkame, kokiu argumentu suformuoti nelygybę, todėl logiška pasirinkti patį paprasčiausią. Pavyzdžiui, antroje lygtyje pasirinkome argumentą (x − 9), tiesinę funkciją, o ne trupmeninį racionalųjį antrąjį argumentą. Sutikite, išspręsti nelygybę x − 9 > 0 yra daug lengviau nei 5/(x − 5) > 0. Nors rezultatas toks pat.

Ši pastaba labai supaprastina ODZ paiešką, tačiau būkite atsargūs: vietoj dviejų galite naudoti vieną nelygybę tik tuo atveju, jei argumentai yra tiksliai yra lygūs vienas kitam!

Žinoma, dabar kas nors paklaus: kas atsitinka kitaip? Taip kartais. Pavyzdžiui, pačiame veiksme, kai padauginame du argumentus, kuriuose yra kintamasis, kyla pavojus, kad atsiras nereikalingos šaknys.

Spręskite patys: pirmiausia reikalaujama, kad kiekvienas argumentas būtų didesnis už nulį, bet padauginus pakanka, kad jų sandauga būtų didesnė už nulį. Dėl to atvejis, kai kiekviena iš šių trupmenų yra neigiama, yra praleistas.

Todėl, jei tik pradedate suprasti sudėtingas logaritmines lygtis, jokiu būdu nepadauginkite logaritmų, kuriuose yra kintamasis x - tai pernelyg dažnai sukels nereikalingų šaknų atsiradimą. Geriau žengti vieną papildomą žingsnį, perkelti vieną terminą į kitą pusę ir sukurti kanoninę formą.

Na, o ką daryti, jei neapsieisite be tokių logaritmų dauginimo, aptarsime kitoje video pamokoje. :)

Dar kartą apie lygties galias

Šiandien nagrinėsime gana slidžią temą, susijusią su logaritminėmis lygtimis, o tiksliau, galių pašalinimu iš logaritmų argumentų ir pagrindų.

Netgi sakyčiau, kad kalbėsime apie lyginių laipsnių pašalinimą, nes būtent su lyginiais laipsniais daugiausiai sunkumų kyla sprendžiant realias logaritmines lygtis.

Pradėkime nuo kanoninės formos. Tarkime, kad turime lygtį log a f (x) = b. Šiuo atveju skaičių b perrašome naudodami formulę b = log a a b . Pasirodo taip:

log a f (x) = log a a b

Tada sulyginame argumentus:

f (x) = a b

Priešpaskutinė formulė vadinama kanonine forma. Būtent į tai jie bando sumažinti bet kokią logaritminę lygtį, kad ir kokia sudėtinga ir baisu ji atrodytų iš pirmo žvilgsnio.

Taigi pabandykime. Pradėkime nuo pirmosios užduoties:

Preliminari pastaba: kaip sakiau, viskas po kablelio logaritminėje lygtyje geriau ją paversti įprastomis:

0,5 = 5/10 = 1/2

Perrašykime savo lygtį atsižvelgdami į šį faktą. Atkreipkite dėmesį, kad ir 1/1000, ir 100 yra dešimties laipsniai, tada išimkime laipsnius, kad ir kur jie būtų: iš argumentų ir net iš logaritmų pagrindo:

Ir čia daugeliui studentų kyla klausimas: „Iš kur atsirado modulis dešinėje? Iš tiesų, kodėl gi neparašius (x − 1)? Žinoma, dabar rašysime (x − 1), tačiau atsižvelgiant į apibrėžimo sritį, mums suteikiama teisė į tokį žymėjimą. Juk kitame logaritme jau yra (x − 1), ir ši išraiška turi būti didesnė už nulį.

Bet kai pašaliname kvadratą nuo logaritmo pagrindo, turime palikti būtent modulį prie pagrindo. Leiskite man paaiškinti kodėl.

Faktas yra tas, kad matematiniu požiūriu laipsnio įgijimas prilygsta šaknims. Konkrečiai, kai išraišką (x − 1) 2 padalijame kvadratu, iš esmės gauname antrąją šaknį. Tačiau kvadratinė šaknis yra ne kas kita, kaip modulis. Būtent modulis, nes net jei išraiška x − 1 yra neigiama, pateikus kvadratą „minusas“ vis tiek išdegs. Tolesnis šaknies ištraukimas duos mums teigiamą skaičių – be jokių minusų.

Apskritai, norėdami nepadaryti įžeidžiančių klaidų, kartą ir visiems laikams atsiminkite:

Bet kurios funkcijos lygiosios galios šaknis, pakeltos į tą pačią galią, yra lygi ne pačiai funkcijai, o jos moduliui:

Grįžkime prie mūsų logaritminės lygties. Kalbėdamas apie modulį, aš įrodžiau, kad mes galime jį pašalinti neskausmingai. Tai yra tiesa. Dabar paaiškinsiu kodėl. Griežtai kalbant, turėjome apsvarstyti dvi galimybes:

x − 1 > 0 ⇒ |x − 1| = x − 1
x-1< 0 ⇒ |х − 1| = −х + 1

Reikėtų apsvarstyti kiekvieną iš šių variantų. Tačiau yra viena klaida: pradinėje formulėje jau yra funkcija (x − 1) be jokio modulio. O vadovaudamiesi logaritmų apibrėžimo sritimi, turime teisę iš karto parašyti, kad x − 1 > 0.

Šis reikalavimas turi būti įvykdytas neatsižvelgiant į bet kokius modulius ir kitas transformacijas, kurias atliekame sprendimo procese. Todėl nėra prasmės svarstyti apie antrąjį variantą – jis niekada nekils. Net jei spręsdami šią nelygybės šaką gautume keletą skaičių, jie vis tiek nebus įtraukti į galutinį atsakymą.

Dabar esame tiesiog per žingsnį nuo kanoninės logaritminės lygties formos. Pavaizduokime vienetą taip:

1 = log x − 1 (x − 1) 1

Be to, į argumentą įtraukiame koeficientą −4, kuris yra dešinėje:

log x − 1 10 −4 = log x − 1 (x − 1)

Prieš mus yra kanoninė logaritminės lygties forma. Atsikratome logaritmo ženklo:

10 −4 = x − 1

Bet kadangi bazė buvo funkcija (o ne pirminis skaičius), papildomai reikalaujame, kad ši funkcija būtų didesnė už nulį ir nelygi vienetui. Gauta sistema bus tokia:

Kadangi reikalavimas x − 1 > 0 tenkinamas automatiškai (juk x − 1 = 10 −4), vieną iš nelygybių iš mūsų sistemos galima išbraukti. Antroji sąlyga taip pat gali būti užbraukta, nes x − 1 = 0,0001< 1. Итого получаем:

x = 1 + 0,0001 = 1,0001

Tai vienintelė šaknis, kuri automatiškai tenkina visus logaritmo apibrėžimo srities reikalavimus (tačiau visi reikalavimai buvo pašalinti kaip akivaizdžiai įvykdyti mūsų uždavinio sąlygomis).

Taigi antroji lygtis:

3 log 3 x x = 2 log 9 x x 2

Kuo ši lygtis iš esmės skiriasi nuo ankstesnės? Jei tik tuo, kad logaritmų bazių – 3x ir 9x – nėra natūralūs laipsniai vienas kitą. Todėl perėjimas, kurį naudojome ankstesniame sprendime, neįmanomas.

Atsikratykime bent laipsnių. Mūsų atveju vienintelis laipsnis yra antrame argumente:

3 log 3 x x = 2 ∙ 2 log 9 x |x |

Tačiau modulio ženklą galima pašalinti, nes kintamasis x taip pat yra bazėje, t.y. x > 0 ⇒ |x| = x. Perrašykime savo logaritminę lygtį:

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Gavome logaritmus, kuriuose argumentai yra vienodi, bet skirtingų priežasčių. Ką daryti toliau? Čia yra daug variantų, tačiau mes apsvarstysime tik du iš jų, kurie yra patys logiškiausi, o svarbiausia – tai greiti ir daugumai studentų suprantami metodai.

Pirmąjį variantą jau svarstėme: bet kokioje neaiškioje situacijoje logaritmus su kintamąja baze konvertuokite į kokią nors pastovią bazę. Pavyzdžiui, į dvikovą. Perėjimo formulė paprasta:

Žinoma, kintamojo c vaidmuo turėtų būti normalus skaičius: 1 ≠ c > 0. Tegu mūsų atveju c = 2. Dabar turime įprastą trupmeninę racionaliąją lygtį. Mes renkame visus elementus kairėje:

Akivaizdu, kad log 2 x koeficientą geriau pašalinti, nes jis yra ir pirmoje, ir antroje frakcijoje.

log 2 x = 0;

3 log 2 9x = 4 log 2 3x

Kiekvieną žurnalą suskirstome į du terminus:

log 2 9x = log 2 9 + log 2 x = 2 log 2 3 + log 2 x;

log 2 3x = log 2 3 + log 2 x

Perrašykime abi lygybės puses atsižvelgdami į šiuos faktus:

3 (2 log 2 3 + log 2 x ) = 4 (log 2 3 + log 2 x )

6 log 2 3 + 3 log 2 x = 4 log 2 3 + 4 log 2 x

2 log 2 3 = log 2 x

Dabar belieka įvesti du po logaritmo ženklu (jis pavirs laipsniu: 3 2 = 9):

log 2 9 = log 2 x

Prieš mus yra klasikinė kanoninė forma, atsikratome logaritmo ženklo ir gauname:

Kaip ir tikėtasi, ši šaknis pasirodė esanti didesnė už nulį. Belieka patikrinti apibrėžimo sritį. Pažvelkime į priežastis:

Tačiau šaknis x = 9 atitinka šiuos reikalavimus. Todėl tai yra galutinis sprendimas.

Išvada iš šį sprendimą paprasta: neišsigąskite ilgų maketų! Tiesiog pačioje pradžioje atsitiktinai pasirinkome naują bazę - ir tai labai apsunkino procesą.

Bet tada kyla klausimas: koks yra pagrindas optimalus? Apie tai kalbėsiu antruoju metodu.

Grįžkime prie pradinės lygties:

3 log 3x x = 2 log 9x x 2

3 log 3x x = 2 ∙ 2 log 9x |x |

x > 0 ⇒ |x| = x

3 log 3 x x = 4 log 9 x x

Dabar šiek tiek pagalvokime: koks skaičius ar funkcija būtų optimalus pagrindas? Tai akivaizdu geriausias variantas bus c = x – tai, kas jau yra argumentuose. Šiuo atveju formulė log a b = log c b /log c a bus tokia:

Kitaip tariant, išraiška tiesiog apverčiama. Šiuo atveju argumentas ir pagrindas keičiasi vietomis.

Ši formulė yra labai naudinga ir labai dažnai naudojama sprendžiant sudėtingas logaritmines lygtis. Tačiau naudojant šią formulę yra vienas labai rimtas spąstas. Jei vietoj pagrindo pakeisime kintamąjį x, tada jam taikomi apribojimai, kurių anksčiau nebuvo laikomasi:

Pradinėje lygtyje tokio apribojimo nebuvo. Todėl turėtume atskirai patikrinti atvejį, kai x = 1. Pakeiskite šią reikšmę į mūsų lygtį:

3 log 3 1 = 4 log 9 1

Gauname teisingą skaitinę lygybę. Todėl x = 1 yra šaknis. Lygiai tą pačią šaknį radome ankstesniame metode pačioje sprendimo pradžioje.

Tačiau dabar, kai mes atskirai išnagrinėjome šį konkretų atvejį, galime drąsiai manyti, kad x ≠ 1. Tada mūsų logaritminė lygtis bus perrašyta tokia forma:

3 rąstai x 9x = 4 rąstai x 3x

Abu logaritmus išplečiame naudodami tą pačią formulę kaip ir anksčiau. Atminkite, kad log x x = 1:

3 (log x 9 + log x x ) = 4 (log x 3 + log x x )

3 log x 9 + 3 = 4 log x 3 + 4

3 log x 3 2 – 4 log x 3 = 4 – 3

2 log x 3 = 1

Taigi mes priėjome prie kanoninės formos:

log x 9 = log x x 1

x=9

Gavome antrą šaknį. Jis tenkina reikalavimą x ≠ 1. Todėl x = 9 kartu su x = 1 yra galutinis atsakymas.

Kaip matote, skaičiavimų apimtis šiek tiek sumažėjo. Tačiau sprendžiant realią logaritminę lygtį, žingsnių skaičius bus daug mažesnis ir todėl, kad neprivalote taip išsamiai aprašyti kiekvieno žingsnio.

Pagrindinė šios dienos pamokos taisyklė yra tokia: jei uždavinyje yra lyginis laipsnis, iš kurio išgaunama to paties laipsnio šaknis, tada išvestis bus modulis. Tačiau šį modulį galima pašalinti, jei atkreipsite dėmesį į logaritmų apibrėžimo sritį.

Tačiau būkite atsargūs: po šios pamokos dauguma mokinių galvoja, kad viską supranta. Tačiau spręsdami tikras problemas, jie negali atkurti visos loginės grandinės. Dėl to lygtis įgyja nereikalingas šaknis, o atsakymas pasirodo neteisingas.

pagrindinės savybės.

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

identiškais pagrindais

Log6 4 + log6 9.

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį.

Logaritmų sprendimo pavyzdžiai

Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x >

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Perėjimas prie naujo pagrindo

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Taip pat žiūrėkite:

Pagrindinės logaritmo savybės

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus.

Pagrindinės logaritmų savybės

Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

4. Kur .

2 pavyzdys. Raskite x jei

3 pavyzdys. Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Pagrindinės logaritmų savybės

Logaritmus, kaip ir bet kokius skaičius, galima visais būdais sudėti, atimti ir transformuoti. Bet kadangi logaritmai nėra visiškai įprasti skaičiai, čia yra taisyklės, kurios vadinamos pagrindinės savybės.

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nei vienos rimtos problemos. logaritminis uždavinys. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Pastaba: pagrindinis momentasČia - identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis remiasi šiuo faktu bandomieji darbai. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Žinoma, visos šios taisyklės turi prasmę, jei laikomasi logaritmo ODZ: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ir dar vienas dalykas: išmokite taikyti visas formules ne tik iš kairės į dešinę, bet ir atvirkščiai , t.y. Skaičius prieš logaritmo ženklą galite įvesti į patį logaritmą. Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu.

Logaritminės formulės. Logaritmų sprendimų pavyzdžiai.

Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Dabar pažvelkime į pagrindinę dalį. Skaitiklyje ir vardiklyje yra tas pats skaičius: log2 7. Kadangi log2 7 ≠ 0, tai trupmeną galime sumažinti – vardiklyje liks 2/4. Pagal aritmetikos taisykles keturis galima perkelti į skaitiklį, kas buvo padaryta. Rezultatas buvo atsakymas: 2.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Kalbėdamas apie logaritmų sudėjimo ir atėmimo taisykles, konkrečiai pabrėžiau, kad jos veikia tik su tais pačiais pagrindais. O jei priežastys kitokios? O jei jie nėra tikslūs to paties skaičiaus laipsniai?

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai sutinkamos įprastose skaitinės išraiškos. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia keičiant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Tiesą sakant, kas atsitiks, jei skaičius b padidintas iki tokios laipsnio, kad skaičius b iki šios laipsnio duotų skaičių a? Teisingai: rezultatas yra tas pats skaičius a. Dar kartą atidžiai perskaitykite šią pastraipą – daugeliui žmonių ji įstrigo.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

Baigdamas pateiksiu dvi tapatybes, kurias vargu ar galima pavadinti savybėmis – veikiau tai yra logaritmo apibrėžimo pasekmės. Jie nuolat atsiranda problemų ir, stebėtinai, sukelia problemų net „pažengusiems“ studentams.

logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.

Taip pat žiūrėkite:

B logaritmas iki a pagrindo reiškia išraišką. Apskaičiuoti logaritmą reiškia rasti laipsnį x (), kai lygybė tenkinama

Pagrindinės logaritmo savybės

Būtina žinoti aukščiau pateiktas savybes, nes jų pagrindu išsprendžiamos beveik visos su logaritmais susijusios problemos ir pavyzdžiai. Likusias egzotines savybes galima gauti atliekant matematines manipuliacijas su šiomis formulėmis

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Skaičiuodami logaritmų sumos ir skirtumo formulę (3.4) susiduri gana dažnai. Likusieji yra šiek tiek sudėtingi, tačiau atliekant daugybę užduočių jie yra būtini norint supaprastinti sudėtingas išraiškas ir apskaičiuoti jų reikšmes.

Dažni logaritmų atvejai

Kai kurie įprasti logaritmai yra tie, kurių bazė yra net dešimt, eksponentinė arba dvi.
Logaritmas iki dešimties pagrindo paprastai vadinamas dešimtainiu logaritmu ir tiesiog žymimas lg(x).

Iš įrašo aišku, kad pagrindai įraše neparašyti. Pavyzdžiui

Natūralusis logaritmas yra logaritmas, kurio bazė yra eksponentas (žymimas ln(x)).

Rodiklis yra 2,718281828…. Norėdami prisiminti eksponentą, galite išstudijuoti taisyklę: eksponentas yra lygus 2,7 ir du kartus už Levo Nikolajevičiaus Tolstojaus gimimo metus. Žinodami šią taisyklę, žinosite ir tikslią eksponento vertę, ir Levo Tolstojaus gimimo datą.

Ir dar vienas svarbus logaritmas dviem pagrindams žymimas

Funkcijos logaritmo išvestinė lygi vienetui, padalytam iš kintamojo

Integralinis arba antiderivinis logaritmas nustatomas pagal ryšį

Pateiktos medžiagos pakanka, kad išspręstumėte plačią su logaritmais ir logaritmais susijusių problemų klasę. Kad padėčiau suprasti medžiagą, pateiksiu tik kelis įprastus pavyzdžius iš mokyklos programos ir universitetų.

Logaritmų pavyzdžiai

Logaritminės išraiškos

1 pavyzdys.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Naudodami savybes 3.5 apskaičiuojame

2.
Pagal logaritmų skirtumo savybę turime

3.
Naudodami savybes 3.5 randame

4. Kur .

Pagal išvaizdą sudėtinga išraiška naudojant keletą taisyklių yra supaprastinta forma

Logaritmo reikšmių paieška

2 pavyzdys. Raskite x jei

Sprendimas. Skaičiavimui taikome paskutinio termino 5 ir 13 savybių

Įrašome tai ir gedime

Kadangi bazės yra lygios, išraiškas sulyginame

Logaritmai. Pirmas lygis.

Pateikiame logaritmų reikšmę

Apskaičiuokite log(x), jei

Sprendimas: Paimkime kintamojo logaritmą, kad užrašytume logaritmą per jo terminų sumą

Tai tik mūsų pažinties su logaritmais ir jų savybėmis pradžia. Praktikuokite skaičiavimus, praturtinkite savo praktinius įgūdžius – greitai jums prireiks įgytų žinių sprendžiant logaritmines lygtis. Išstudijavę pagrindinius tokių lygčių sprendimo būdus, jūsų žinias išplėsime į kitą ne mažiau svarbią temą - logaritmines nelygybes...

Pagrindinės logaritmų savybės

Jūs tikrai turite žinoti šias taisykles – be jų nepavyks išspręsti nė vienos rimtos logaritminės problemos. Be to, jų labai mažai – viską gali išmokti per vieną dieną. Taigi pradėkime.

Logaritmų pridėjimas ir atėmimas

Apsvarstykite du logaritmus su tomis pačiomis bazėmis: logax ir logay. Tada juos galima pridėti ir atimti, ir:

logax + logay = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Taigi logaritmų suma lygi sandaugos logaritmui, o skirtumas lygus koeficiento logaritmui. Atkreipkite dėmesį: pagrindinis dalykas čia yra identiškais pagrindais. Jei priežastys skiriasi, šios taisyklės neveikia!

Šios formulės padės apskaičiuoti logaritminę išraišką net tada, kai neatsižvelgiama į atskiras jos dalis (žr. pamoką „Kas yra logaritmas“). Pažvelkite į pavyzdžius ir pamatykite:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log6 4 + log6 9.

Kadangi logaritmai turi tas pačias bazes, naudojame sumos formulę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log2 48 − log2 3.

Pagrindai yra vienodi, mes naudojame skirtumo formulę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log3 135 − log3 5.

Vėlgi bazės yra tos pačios, todėl turime:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kaip matote, pradinės išraiškos yra sudarytos iš „blogų“ logaritmų, kurie nėra skaičiuojami atskirai. Bet po transformacijų gaunami visiškai normalūs skaičiai. Daugelis testų yra pagrįsti šiuo faktu. Taip, vieningo valstybinio egzamino metu į testus panašūs posakiai siūlomi labai rimtai (kartais praktiškai be pakeitimų).

Rodiklio išskyrimas iš logaritmo

Dabar šiek tiek apsunkinkime užduotį. Ką daryti, jei logaritmo pagrindas arba argumentas yra laipsnis? Tada šio laipsnio rodiklis gali būti paimtas iš logaritmo ženklo pagal šias taisykles:

Nesunku pastebėti, kad paskutinė taisyklė seka pirmąsias dvi. Bet vis tiek geriau tai atsiminti - kai kuriais atvejais tai žymiai sumažins skaičiavimų skaičių.

Kaip išspręsti logaritmus

Tai yra tai, ko dažniausiai reikia.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log7 496.

Atsikratykime argumento laipsnio naudodami pirmąją formulę:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad vardiklyje yra logaritmas, kurio pagrindas ir argumentas yra tikslios galios: 16 = 24; 49 = 72. Turime:

Manau, kad paskutinis pavyzdys reikalauja šiek tiek paaiškinimo. Kur dingo logaritmai? Iki pat paskutinės akimirkos dirbame tik su vardikliu. Pateikėme ten stovinčio logaritmo bazę ir argumentą galių pavidalu ir išėmėme eksponentus - gavome „trijų aukštų“ trupmeną.

Perėjimas prie naujo pagrindo

Į pagalbą ateina perėjimo prie naujo pagrindo formulės. Suformuluokime juos teoremos forma:

Pateikiame logaritmo logaksą. Tada bet kurio skaičiaus c, kurio c > 0 ir c ≠ 1, lygybė yra teisinga:

Konkrečiai, jei nustatome c = x, gauname:

Iš antrosios formulės išplaukia, kad logaritmo bazę ir argumentą galima sukeisti vietomis, tačiau tokiu atveju „apverčiama“ visa išraiška, t.y. vardiklyje atsiranda logaritmas.

Šios formulės retai randamos įprastose skaitinėse išraiškose. Įvertinti, kiek jos patogios, galima tik sprendžiant logaritmines lygtis ir nelygybes.

Tačiau yra problemų, kurių niekaip nepavyks išspręsti, išskyrus persikėlimą į naują fondą. Pažvelkime į porą iš šių:

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log5 16 log2 25.

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų logaritmų argumentuose yra tikslios galios. Išimkime rodiklius: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Dabar „apverskime“ antrąjį logaritmą:

Kadangi sandauga nesikeičia keičiant veiksnius, ramiai padauginome keturis ir du, o tada nagrinėjome logaritmus.

Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę: log9 100 lg 3.

Pirmojo logaritmo pagrindas ir argumentas yra tikslios galios. Užsirašykime tai ir atsikratykime rodiklių:

Dabar atsikratykime dešimtainio logaritmo, pereidami prie naujos bazės:

Pagrindinė logaritminė tapatybė

Dažnai sprendimo procese skaičių reikia pateikti kaip logaritmą tam tikram pagrindui. Šiuo atveju mums padės šios formulės:

Pirmuoju atveju skaičius n tampa veiksniu argumente. Skaičius n gali būti visiškai bet koks, nes tai tik logaritmo reikšmė.

Antroji formulė iš tikrųjų yra perfrazuotas apibrėžimas. Taip jis vadinasi:.

Kaip ir formulės, skirtos pereiti prie naujos bazės, pagrindinė logaritminė tapatybė kartais yra vienintelis galimas sprendimas.

Užduotis. Raskite posakio prasmę:

Atkreipkite dėmesį, kad log25 64 = log5 8 – tiesiog paėmė kvadratą iš logaritmo pagrindo ir argumento. Atsižvelgdami į galių dauginimo su ta pačia baze taisykles, gauname:

Jei kas nežino, tai buvo tikra užduotis iš unifikuoto valstybinio egzamino :)

Logaritminis vienetas ir logaritminis nulis

logaa = 1 yra. Vieną kartą ir visiems laikams atsiminkite: logaritmas bet kuriam tos bazės pagrindui a yra lygus vienetui.
loga 1 = 0 yra. Bazė a gali būti bet kokia, bet jei argumente yra vienas, logaritmas lygus nuliui! Kadangi a0 = 1 yra tiesioginė apibrėžimo pasekmė.

Tai visos savybės. Būtinai praktikuokite juos pritaikydami praktiškai! Pamokos pradžioje atsisiųskite cheat lapą, atsispausdinkite ir išspręskite problemas.