Tai paskutinė ir svarbiausia pamoka, reikalinga B11 problemoms spręsti. Mes jau žinome, kaip paversti kampus iš radiano į laipsnio matą (žr. pamoką „Kampo radianas ir laipsnio matas“), taip pat žinome, kaip nustatyti trigonometrinės funkcijos ženklą, sutelkiant dėmesį į koordinačių ketvirčius ( žr. pamoką „Trigonometrinių funkcijų ženklai“).

Belieka apskaičiuoti pačios funkcijos reikšmę – tą patį skaičių, kuris parašytas atsakyme. Čia į pagalbą ateina pagrindinė trigonometrinė tapatybė.

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė. Bet kuriam kampui α yra teisingas šis teiginys:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Ši formulė susieja vieno kampo sinusus ir kosinusus. Dabar, žinodami sinusą, galime nesunkiai rasti kosinusą – ir atvirkščiai. Pakanka paimti kvadratinę šaknį:

Atkreipkite dėmesį į „±“ ženklą priešais šaknis. Faktas yra tas, kad iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės neaišku, kas buvo pradinis sinusas ir kosinusas: teigiamas ar neigiamas. Juk kvadratas yra lygi funkcija, kuri „sudegina“ visus minusus (jei tokių buvo).

Štai kodėl visose uždaviniuose B11, kurie yra vieningame valstybiniame matematikos egzamine, turi būti papildomos sąlygos, kurios padeda atsikratyti netikrumo ženklais. Paprastai tai yra koordinačių ketvirčio, ​​pagal kurį galima nustatyti ženklą, nuoroda.

Dėmesingas skaitytojas tikriausiai paklaus: „O kaip su tangentu ir kotangentu? Iš aukščiau pateiktų formulių šių funkcijų tiesiogiai apskaičiuoti neįmanoma. Tačiau yra svarbių pasekmių iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, kurioje jau yra liestinės ir kotangentai. Būtent:

Svarbi išvada: bet kurio kampo α atveju pagrindinė trigonometrinė tapatybė gali būti perrašyta taip:

Šios lygtys nesunkiai išvedamos iš pagrindinės tapatybės – pakanka abi puses padalinti iš cos 2 α (kad gautume liestinę) arba iš sin 2 α (kad gautume kotangentą).

Pažvelkime į visa tai su konkrečiais pavyzdžiais. Žemiau pateikiamos tikrosios B11 problemos, paimtos iš netikrų Vieningo valstybinio egzamino parinktys matematikoje 2012 m.

Mes žinome kosinusą, bet nežinome sinuso. Pagrindinė trigonometrinė tapatybė („gryna“ forma) jungia tik šias funkcijas, todėl su ja dirbsime. Mes turime:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

Norint išspręsti problemą, belieka rasti sinuso ženklą. Kadangi kampas α ∈ (π /2; π ), tai laipsniu mastu jis rašomas taip: α ∈ (90°; 180°).

Vadinasi, kampas α yra II koordinačių ketvirtyje – visi ten esantys sinusai yra teigiami. Todėl sin α = 0,1.

Taigi, mes žinome sinusą, bet turime rasti kosinusą. Abi šios funkcijos yra pagrindinėje trigonometrinėje tapatybėje. Pakeiskime:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Belieka susidoroti su ženklu prieš trupmeną. Ką pasirinkti: pliusą ar minusą? Pagal sąlygą kampas α priklauso intervalui (π 3π /2). Kampus iš radianinių matų paverskime laipsniais – gauname: α ∈ (180°; 270°).

Akivaizdu, kad tai III koordinačių ketvirtis, kur visi kosinusai yra neigiami. Todėl cos α = −0,5.

Užduotis. Raskite tan α, jei žinoma:

Tangentas ir kosinusas yra susiję su lygtimi, išplaukiančia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės:

Gauname: tan α = ±3. Liestinės ženklas nustatomas pagal kampą α. Yra žinoma, kad α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus iš radianinių matų paverskime laipsniais – gauname α ∈ (270°; 360°).

Akivaizdu, kad tai IV koordinačių ketvirtis, kur visos liestinės yra neigiamos. Todėl tan α = −3.

Užduotis. Raskite cos α, jei žinoma:

Vėlgi sinusas žinomas, o kosinusas – nežinomas. Užrašykime pagrindinę trigonometrinę tapatybę:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Ženklas nustatomas pagal kampą. Turime: α ∈ (3π /2; 2π ). Kampus perverskime iš laipsnių į radianus: α ∈ (270°; 360°) – IV koordinačių ketvirtis, ten esantys kosinusai yra teigiami. Todėl cos α = 0,6.

Užduotis. Raskite sin α, jei žinoma:

Užrašykime formulę, kuri išplaukia iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės ir tiesiogiai jungia sinusą ir kotangentą:

Iš čia gauname, kad nuodėmė 2 α = 1/25, t.y. sin α = ±1/5 = ±0,2. Yra žinoma, kad kampas α ∈ (0; π /2). Laipsnio mastu tai rašoma taip: α ∈ (0°; 90°) - I koordinačių ketvirtis.

Taigi kampas yra I koordinačių kvadrante – ten visos trigonometrinės funkcijos yra teigiamos, taigi sin α = 0,2.

Pamatiniai liestinės (tg x) ir kotangento (ctg x) duomenys. Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Tangentų ir kotangentų, išvestinių, integralų, eilučių plėtinių lentelė. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis apibrėžimas

|BD| - apskritimo lanko, kurio centras yra taške A, ilgis.
α yra kampas, išreikštas radianais.

Tangentas ( įdegis α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki gretimos kojos ilgio |AB| .

Kotangentas ( ctg α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| į priešingos kojos ilgį |BC| .

Tangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje tangentas žymimas taip:
.
;
;
.

Tangentinės funkcijos grafikas, y = tan x

Kotangentas

Kur n- visas.

Vakarų literatūroje kotangentas žymimas taip:
.
Taip pat priimami šie užrašai:
;
;
.

Kotangentinės funkcijos grafikas, y = ctg x

Tangento ir kotangento savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = tg x ir y = ctg x yra periodiniai su periodu π.

Paritetas

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra nelyginės.

Apibrėžimo ir vertybių sritys didėja, mažėja

Tangentinės ir kotangentinės funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės liestinės ir kotangento savybės pateiktos lentelėje ( n- visas).

	y = tg x	y = ctg x
Taikymo sritis ir tęstinumas
Vertybių diapazonas	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Didėja		-
Mažėjantis	-
Kraštutinumai	-	-
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y = 0	-

Formulės

Išraiškos naudojant sinusą ir kosinusą

; ;
; ;
;

Sumos ir skirtumo liestinės ir kotangento formulės

Pavyzdžiui, likusias formules lengva gauti

Tangentų sandauga

Tangentų sumos ir skirtumo formulė

Šioje lentelėje pateikiamos tam tikrų argumento verčių liestinių ir kotangentų reikšmės.

Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius

Išraiškos per hiperbolines funkcijas

;
;

Dariniai

; .

.
N-osios eilės išvestinė funkcijos kintamojo x atžvilgiu:
.
Tangento > > > išvedimo formulės ; kotangentui >>>

Integralai

Serijos išplėtimai

Norėdami gauti x laipsnio liestinės išplėtimą, turite paimti keletą funkcijų plėtimosi laipsnių eilutėje nuodėmė x Ir cos x ir padalinti šiuos daugianario vieni iš kitų, . Taip gaunamos tokios formulės.

Prie .

adresu .
Kur Bn- Bernulio skaičiai. Jie nustatomi iš pasikartojimo santykio:
;
;
Kur.
Arba pagal Laplaso formulę:

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės liestinės ir kotangentinės funkcijos yra atitinkamai arctangentinės ir arkotangentinės.

Arktangentas, arktg

, Kur n- visas.

Arkotangentas, arcctg

, Kur n- visas.

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
G. Korn, Matematikos vadovas mokslininkams ir inžinieriams, 2012 m.

Pateikiami ryšiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – kelių kampų funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.

Šiame straipsnyje paeiliui išvardinsime visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka daugeliui trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.

Puslapio naršymas.

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės

Pagrindinės trigonometrinės tapatybės apibrėžti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją bet kuria kita.

Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Sumažinimo formulės

Sumažinimo formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.

Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, jų įsiminimo mnemoninę taisyklę ir jų taikymo pavyzdžius.

Sudėjimo formulės

Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos tų kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra pagrindas išvesti šias trigonometrines formules.

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.

Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampu

Pusės kampo formulės

Pusės kampo formulės parodykite, kaip trigonometrinės pusės kampo funkcijos išreiškiamos viso kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.

Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.

Laipsnio mažinimo formulės

Trigonometrinės laipsnių mažinimo formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralūs laipsniai trigonometrinės funkcijos sinusams ir kosinusams iki pirmojo laipsnio, bet keli kampai. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.

Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės

Pagrindinis tikslas trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės yra eiti į funkcijų sandaugą, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes jie leidžia koeficientuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.

Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės

Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.

Bašmakovas M. I. Algebra ir analizės pradžia: vadovėlis. 10-11 klasėms. vid. mokykla – 3 leidimas. - M.: Išsilavinimas, 1993. - 351 p.: iliustr. - ISBN 5-09-004617-4.

Algebra ir analizės pradžia: Proc. 10-11 klasėms. bendrojo išsilavinimo institucijos / A. N. Kolmogorovas, A. M. Abramovas, Yu. P. Dudnicynas ir kt.; Red. A. N. Kolmogorovas - 14 leidimas - M.: Švietimas, 2004. - 384 p.: iliustr. - ISBN 5-09-013651-3.

Gusevas V. A., Mordkovičius A. G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas): Proc. pašalpa.- M.; Aukštesnis mokykla, 1984.-351 p., iliustr.

Autorių teisės priklauso protingiems studentams

Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išvaizdą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.

Pamatinė informacija apie trigonometrines funkcijas sinusas (sin x) ir kosinusas (cos x). Geometrinis apibrėžimas, savybės, grafikai, formulės. Sinusų ir kosinusų lentelė, išvestinės, integralai, eilių plėtiniai, sekantas, kosekantas. Išraiškos per sudėtingus kintamuosius. Ryšys su hiperbolinėmis funkcijomis.

Geometrinis sinuso ir kosinuso apibrėžimas

|BD|- apskritimo, kurio centras yra taške, lanko ilgis A.
α - kampas, išreikštas radianais.

Apibrėžimas
Sinusas (sin α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi priešingos kojos ilgio santykiui |BC| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Kosinusas (cos α) yra trigonometrinė funkcija, priklausanti nuo kampo α tarp hipotenuzės ir stačiojo trikampio kojos, lygi gretimos kojos ilgio santykiui |AB| iki hipotenuzės ilgio |AC|.

Priimti užrašai

;
;
.

;
;
.

Sinuso funkcijos grafikas, y = sin x

Kosinuso funkcijos grafikas, y = cos x

Sinuso ir kosinuso savybės

Periodiškumas

Funkcijos y = nuodėmė x ir y = cos x periodinis su periodu 2π.

Paritetas

Sinuso funkcija yra nelyginė. Kosinuso funkcija yra lygi.

Apibrėžimo ir vertybių sritis, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas

Sinuso ir kosinuso funkcijos yra tolydžios savo apibrėžimo srityje, ty visiems x (žr. tęstinumo įrodymą). Pagrindinės jų savybės pateiktos lentelėje (n – sveikas skaičius).

	y = nuodėmė x	y = cos x
Taikymo sritis ir tęstinumas	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Vertybių diapazonas	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Didėja
Mažėjantis
Maxima, y ​​= 1
Minimalus, y = - 1
Nuliai, y = 0
Sukirtimo taškai su ordinačių ašimi, x = 0	y = 0	y = 1

Pagrindinės formulės

Sinuso ir kosinuso kvadratų suma

Sinuso ir kosinuso formulės iš sumos ir skirtumo

;
;

Sinusų ir kosinusų sandaugos formulės

Sumos ir skirtumo formulės

Sinuso išreiškimas per kosinusą

;
;
;
.

Kosinuso išreiškimas per sinusą

;
;
;
.

Išraiška per tangentą

; .

Kada turime:
; .

adresu:
; .

Sinusų ir kosinusų, liestinių ir kotangentų lentelė

Šioje lentelėje parodytos sinusų ir kosinusų reikšmės tam tikroms argumento reikšmėms.

Išraiškos per sudėtingus kintamuosius

;

Eulerio formulė

{ -∞ < x < +∞ }

Sekantas, kosekantas

Atvirkštinės funkcijos

Atvirkštinės sinuso ir kosinuso funkcijos yra atitinkamai arcsinusas ir arkosinusas.

Arčinas, arcsin

Arkosinas, arkosas

Nuorodos:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.

Pačioje šio straipsnio pradžioje nagrinėjome trigonometrinių funkcijų sąvoką. Pagrindinis jų tikslas – studijuoti trigonometrijos pagrindus ir tirti periodinius procesus. Ir ne veltui nubrėžėme trigonometrinį apskritimą, nes dažniausiai trigonometrinės funkcijos apibrėžiamos kaip trikampio arba tam tikrų jo atkarpų kraštinių santykis vienetiniame apskritime. Taip pat paminėjau neabejotinai didžiulę trigonometrijos svarbą šiuolaikinis gyvenimas. Tačiau mokslas nestovi vietoje, todėl galime žymiai išplėsti trigonometrijos taikymo sritį ir perkelti jos nuostatas į tikrus, o kartais ir sudėtingus skaičius.

Trigonometrijos formulės Yra keletas tipų. Pažvelkime į juos eilės tvarka.

1. To paties kampo trigonometrinių funkcijų santykiai

Čia mes apsvarstysime tokią sąvoką kaip pagrindinės trigonometrinės tapatybės.

Trigonometrinė tapatybė yra lygybė, kurią sudaro trigonometriniai santykiai ir kuri galioja visoms į ją įtrauktų kampų reikšmėms.

Pažvelkime į svarbiausius trigonometrinius tapatumus ir jų įrodymus:

Pirmoji tapatybė išplaukia iš paties liestinės apibrėžimo.

Paimkime taisyklingas trikampis, kuriame viršūnėje A yra smailusis kampas x.



Norėdami įrodyti tapatybes, turite naudoti Pitagoro teoremą:

(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2

Dabar padalijame abi lygybės puses iš (AB) 2 ir, prisiminę sin ir cos kampo apibrėžimus, gauname antrą tapatybę:

(BC) 2 / (AB) 2 + (AC) 2 / (AB) 2 = 1

sin x = (BC)/(AB)

cos x = (AC)/(AB)

sin 2 x + cos 2 x = 1

Norėdami įrodyti trečiąją ir ketvirtąją tapatybes, naudojame ankstesnį įrodymą.

Norėdami tai padaryti, padalykite abi antrosios tapatybės puses iš cos 2 x:

sin 2 x / cos 2 x + cos 2 x / cos 2 x = 1 / cos 2 x

sin 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x

Remdamiesi pirmąja tapatybe tg x = sin x /cos x gauname trečiąją:

1 + įdegis 2 x = 1 / cos 2 x

Dabar antrąją tapatybę padalinkime iš nuodėmės 2 x:

sin 2 x/ sin 2 x + cos 2 x/ sin 2 x = 1/ nuodėmė 2 x

1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x

cos 2 x/ sin 2 x yra ne kas kita, kaip 1/tg 2 x, todėl gauname ketvirtąją tapatybę:

1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x

Atėjo laikas prisiminti teoremą apie trikampio vidinių kampų sumą, kuri teigia, kad trikampio kampų suma = 180 0. Pasirodo, trikampio viršūnėje B yra kampas, kurio reikšmė yra 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.



Dar kartą prisiminkime nuodėmės ir cos apibrėžimus ir gaukime penktąją ir šeštąją tapatybes:

sin x = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)

cos(90 0 – x) = sin x

Dabar atlikime šiuos veiksmus:

cos x = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)

sin(90 0 – x) = cos x

Kaip matote, čia viskas elementaru.

Yra ir kitų tapatybių, kurios naudojamos sprendžiant matematinius tapatumus, aš juos pateiksiu tiesiog formoje informacinė informacija, nes jie visi kyla iš pirmiau minėtų dalykų.



2. Trigonometrinių funkcijų išreiškimas viena per kitą

   (Ženklo pasirinkimas priešais šaknį priklauso nuo to, kuriame apskritimo ketvirčiu yra kampas?)







3. Toliau pateikiamos kampų pridėjimo ir atėmimo formulės:



4. Dvigubo, trigubo ir puskampių formulės.

   Atkreipiu dėmesį, kad jie visi kyla iš ankstesnių formulių.

sin 2x =2sin x*cos x

cos 2x = cos 2 x -sin 2 x = 1-2sin 2 x = 2cos 2 x -1

tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)

сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x

sin3x =3sin x - 4sin 3 x

cos3х =4cos 3 x - 3cos x

tg 3x = (3tgx – tg 3x) /(1 - 3tg 2x)

сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) / (3сtg 2 x - 1)









5. Trigonometrinių išraiškų konvertavimo formulės: