उपकरण:

• एक कंप्यूटर,
• मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर,
• स्क्रीन,
• अनुलग्नक 1(PowerPoint में स्लाइड प्रस्तुति) "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके"
• अनुलग्नक 2("तीन" प्रकार के समीकरण का हल विभिन्न आधारडिग्री" वर्ड में)
• परिशिष्ट 3(शब्द के लिए हैंडआउट व्यावहारिक कार्य).
• परिशिष्ट 4(होमवर्क के लिए वर्ड में हैंडआउट)।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक चरण

• पाठ के विषय का संदेश (बोर्ड पर लिखा हुआ),
• कक्षा 10-11 में एक सामान्यीकरण पाठ की आवश्यकता:

ज्ञान के सक्रिय आत्मसात के लिए छात्रों को तैयार करने का चरण

दुहराव

परिभाषा।

एक घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में एक चर होता है (छात्र उत्तर देता है)।

शिक्षक का नोट। घातीय समीकरण ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के वर्ग से संबंधित हैं। यह कठिन-से-उच्चारण नाम बताता है कि ऐसे समीकरण, सामान्यतया, सूत्रों के रूप में हल नहीं किए जा सकते हैं।

उन्हें कंप्यूटर पर लगभग संख्यात्मक तरीकों से ही हल किया जा सकता है। लेकिन परीक्षा के सवालों का क्या? पूरी चाल यह है कि परीक्षक समस्या को इस तरह से बनाता है कि वह सिर्फ एक विश्लेषणात्मक समाधान स्वीकार करता है। दूसरे शब्दों में, आप ऐसे समान परिवर्तन कर सकते हैं (और चाहिए!) घातीय समीकरणसबसे सरल घातीय समीकरण के लिए। यह सबसे सरल समीकरण है और इसे कहा जाता है: सबसे सरल घातीय समीकरण। यह हल हो गया है लघुगणक

एक घातीय समीकरण के समाधान के साथ स्थिति एक भूलभुलैया के माध्यम से एक यात्रा के समान होती है, जिसे विशेष रूप से समस्या के संकलक द्वारा आविष्कार किया गया था। इन बहुत ही सामान्य विचारों से, काफी विशिष्ट सिफारिशें अनुसरण करती हैं।

घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. न केवल सभी घातीय पहचानों को सक्रिय रूप से जानते हैं, बल्कि उन चर के मूल्यों के सेट भी ढूंढते हैं जिन पर इन पहचानों को परिभाषित किया जाता है, ताकि इन पहचानों का उपयोग करते समय, कोई अनावश्यक जड़ों को प्राप्त न करे, और इससे भी ज्यादा, खो न जाए समीकरण के समाधान।

2. सक्रिय रूप से सभी घातीय पहचानों को जानें।

3. स्पष्ट रूप से, विस्तार से और त्रुटियों के बिना, समीकरणों के गणितीय परिवर्तन करें (समीकरण के एक भाग से दूसरे में शब्दों को स्थानांतरित करें, चिह्न को बदलना न भूलें, भिन्न को एक सामान्य हर में कम करें, आदि)। इसे गणितीय संस्कृति कहते हैं। उसी समय, गणना स्वयं हाथों से की जानी चाहिए, और सिर को समाधान के सामान्य मार्गदर्शक सूत्र के बारे में सोचना चाहिए। परिवर्तनों को यथासंभव सावधानीपूर्वक और विस्तार से करना आवश्यक है। केवल यह एक सही, त्रुटि मुक्त समाधान की गारंटी देगा। और याद रखें: एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि केवल एक पारलौकिक समीकरण बना सकती है, जिसे सिद्धांत रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह पता चला है कि आप अपना रास्ता भटक गए और भूलभुलैया की दीवार में भाग गए।

4. समस्याओं को हल करने के तरीकों को जानें (अर्थात समाधान की भूलभुलैया से गुजरने के सभी तरीके जानें)। प्रत्येक चरण में सही अभिविन्यास के लिए, आपको (होशपूर्वक या सहज रूप से!) करना होगा:

• परिभाषित करना समीकरण प्रकार;
• संबंधित प्रकार याद रखें समाधान विधिकार्य।

अध्ययन की गई सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का चरण।

शिक्षक, छात्रों के साथ, कंप्यूटर की भागीदारी के साथ, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों का अवलोकन पुनरावृत्ति करता है, और एक सामान्य योजना तैयार करता है। (L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" के प्रशिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग किया जाता है, PowerPoint प्रस्तुति के लेखक T.N. Kuptsova हैं।)

चावल। एक।यह आंकड़ा सभी प्रकार के घातीय समीकरणों की सामान्य योजना दिखाता है।

जैसा कि इस आरेख से देखा जा सकता है, घातीय समीकरणों को हल करने की रणनीति इस घातीय समीकरण को समीकरण में कम करना है, सबसे पहले, एक ही आधार के साथ , और फिर - और समान प्रतिपादकों के साथ।

समान आधारों और घातांक के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इस डिग्री को एक नए चर के साथ बदलते हैं और इस नए चर के संबंध में एक साधारण बीजीय समीकरण (आमतौर पर भिन्नात्मक परिमेय या द्विघात) प्राप्त करते हैं।

इस समीकरण को हल करके और उलटा प्रतिस्थापन करके, आप सरल घातीय समीकरणों के एक सेट के साथ समाप्त हो जाते हैं जिन्हें हल किया जाता है सामान्य दृष्टि सेलघुगणक का उपयोग करना।

समीकरण अलग खड़े होते हैं जिसमें केवल (निजी) शक्तियों के उत्पाद होते हैं। घातांकीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, इन समीकरणों को तुरंत एक आधार पर लाना संभव है, विशेष रूप से, सरलतम घातांकीय समीकरण में।

विचार करें कि डिग्री के तीन अलग-अलग आधारों के साथ एक घातीय समीकरण कैसे हल किया जाता है।

(यदि शिक्षक के पास L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" द्वारा एक शिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम है, तो स्वाभाविक रूप से हम डिस्क के साथ काम करते हैं, यदि नहीं, तो आप नीचे प्रस्तुत किए गए प्रत्येक डेस्क के लिए इस प्रकार के समीकरण का प्रिंट आउट ले सकते हैं। ।)

चावल। 2.समीकरण समाधान योजना।

चावल। 3.समीकरण को हल करने की शुरुआत

चावल। चार।समीकरण के हल का अंत।

व्यावहारिक कार्य करना

समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें और इसे हल करें।

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

पाठ को सारांशित करना

एक सबक ग्रेडिंग।

पाठ का अंत

शिक्षक के लिए

व्यावहारिक कार्य उत्तर की योजना।

व्यायाम:समीकरणों की सूची से, निर्दिष्ट प्रकार के समीकरणों का चयन करें (उत्तर की संख्या तालिका में डालें):

1. तीन अलग-अलग आधार
2. दो अलग-अलग आधार - अलग-अलग घातांक
3. शक्तियों के आधार - एक संख्या की शक्तियाँ
4. समान आधार, भिन्न घातांक
5. समान घातांक आधार - समान घातांक
6. शक्तियों का उत्पाद
7. डिग्री के दो अलग-अलग आधार - एक ही संकेतक
8. सबसे सरल घातीय समीकरण

1. (शक्तियों का उत्पाद)

2. (एक ही आधार - विभिन्न घातांक)

व्याख्यान: "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके।"

1 . घातीय समीकरण।

घातांक में अज्ञातों वाले समीकरणों को घातांकीय समीकरण कहते हैं। इनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहाँ a > 0 और a 1 है।

1)बी . के लिए< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 के लिए, फलन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक ही मूल होता है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, ax = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

द्वारा घातीय समीकरण बीजीय परिवर्तनमानक समीकरणों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार में कमी की विधि;

2) मूल्यांकन पद्धति;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चर शुरू करने की विधि;

5) गुणन विधि;

6) घातीय - शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ घातीय।

2 . एक आधार पर कमी की विधि।

यह विधि अंशों के निम्नलिखित गुणधर्म पर आधारित है: यदि दो अंश समान हों और उनके आधार समान हों, तो उनके घातांक बराबर होते हैं, अर्थात् समीकरण को रूप में कम करने का प्रयास करना चाहिए।

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x=81;

आइए 81 = 34 के रूप में समीकरण के दाईं ओर का प्रतिनिधित्व करें और मूल 3 x = 34 के बराबर समीकरण लिखें; एक्स = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> और घातांक के लिए समीकरण पर जाएं 3x+1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0.5 उत्तर: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

ध्यान दें कि संख्याएं 0.2, 0.04, 5, और 25 5 की घात हैं। आइए इसका लाभ उठाएं और मूल समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करें:

, जहाँ से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, जहाँ से हम x = -1 का हल पाते हैं। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x = log35. उत्तर: लॉग 35.

6. 62x+4 = 33x। 2x+8.

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, यानी..png" width="181" height="49 src="> इसलिए x - 4 =0, x = 4 के रूप में फिर से लिखें। उत्तर: चार।

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. घातों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को ई. x+1 = 2, x =1 के रूप में लिखते हैं। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 1.

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = 3।	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
ए3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) कोई जड़ नहीं
	1) 7;1 2) कोई जड़ नहीं 3) -7;1 4) -1;-7
ए5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
ए6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

टेस्ट #2

ए 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
ए2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
ए3	1) 2;-1 2) कोई जड़ नहीं 3) 04) -2;1
ए4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
ए5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 मूल्यांकन पद्धति।

मूल प्रमेय: यदि फलन f (x) अंतराल I पर बढ़ता है (घटता है), संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई भी मान है, तो समीकरण f (x) = a का अंतराल I पर एक ही मूल है।

अनुमान विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन के एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 - x।

समाधान। आइए समीकरण को 4x + x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x \u003d 1, तो 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 सत्य है, तो 1 समीकरण का मूल है।

फलन f(x) = 4x R पर बढ़ रहा है और g(x) = x R पर बढ़ रहा है => h(x)= f(x)+g(x) बढ़ते कार्यों के योग के रूप में R पर बढ़ रहा है, अतः x = 1 समीकरण 4x = 5 - x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

2.

समाधान। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3-सत्य, इसलिए x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध कीजिए कि यह अद्वितीय है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है => h(x) = f(x) + g(x) - योग के रूप में R पर घटता है घटते कार्यों का। तो मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 2. प्रश्न हल करें

क) 4x + 1 = 6 - x;

बी)

ग) 2x - 2 = 1 - x;

4. नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

विधि खंड 2.1 में वर्णित है । एक नए चर (प्रतिस्थापन) की शुरूआत आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद की जाती है। उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण। आरसमीकरण खाओ: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i..png" width="210" ऊंचाई = "45">

समाधान। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

निरूपित करें https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> एक अपरिमेय समीकरण है। ध्यान दें कि

समीकरण का हल x = 2.5 4 है, इसलिए 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर : 2.5.

समाधान। आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करें। हमें समीकरण मिलता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, इसलिए..png" चौड़ाई = "118" ऊंचाई = "56">

द्विघात समीकरण के मूल - t1 = 1 और t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> बदलें।

उत्तर: 0; 0.5.

टास्क बैंक #3। प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट #3 उत्तर के विकल्प के साथ। न्यूनतम स्तर।

ए 1	1) -0.2;2 2) लॉग52 3) -लॉग52 4) 2
2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0।	1) 2;1 2) -1;0 3) कोई जड़ नहीं 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) कोई जड़ नहीं 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

टेस्ट #4 उत्तर के विकल्प के साथ। सामान्य स्तर।

ए 1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
2 2x - (0.5)2x - (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
ए5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) कोई जड़ नहीं

5. गुणनखंडन की विधि।

1. समीकरण को हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24।

Solution..png" width="169" height="69"> , जहां से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2।

समाधान। आइए हम समीकरण के बाईं ओर 6x और दाईं ओर 2x निकालते हैं। हमें समीकरण 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x प्राप्त होता है।

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, हम समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 प्राप्त होता है।

3.

समाधान। हम फैक्टरिंग द्वारा समीकरण को हल करते हैं।

हम द्विपद का वर्ग चुनते हैं

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" चौड़ाई = "500" ऊंचाई = "181">

x = -2 समीकरण का मूल है।

समीकरण x + 1 = 0 "शैली="बॉर्डर-पतन:पतन;बॉर्डर:कोई नहीं">

ए1 5x-1 +5x -5x+1 = -19।

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट #6 सामान्य स्तर।

ए1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
ए2	1) 2.5 2) 3;4 3) लॉग 43/2 4) 0
ए3 2x-1-3x=3x-1-2x+2।	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
ए4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
ए5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. घातीय - शक्ति समीकरण।

घातांकीय समीकरण तथाकथित घातांक-शक्ति समीकरणों से जुड़े होते हैं, यानी फॉर्म के समीकरण (f(x))g(x) = (f(x))h(x)।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) 1, तो समीकरण, घातांक की तरह, घातांक g(x) = f(x) की बराबरी करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय शक्ति समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" चौड़ाई = "182" ऊंचाई = "116 src=">

2.

समाधान। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि एक बहुपद, इसलिए समीकरण सेट के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

बी)

7. मापदंडों के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर p के किन मानों के लिए समीकरण 4 (5 - 3)2 +4p2–3p = 0 (1) का एक अद्वितीय हल है?

समाधान। आइए हम परिवर्तन 2x = t, t > 0 का परिचय दें, फिर समीकरण (1) t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0 का रूप लेगा। (2)

समीकरण (2) का विभेदक D = (5p - 3)2 - 4(4p2 - 3p) = 9(p - 1)2 है।

समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल है यदि समीकरण (2) का एक धनात्मक मूल है। यह निम्नलिखित मामलों में संभव है।

1. यदि D = 0, अर्थात् p = 1, तो समीकरण (2) t2 - 2t + 1 = 0 का रूप लेगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p - 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो भिन्न मूल हैं t1 = p, t2 = 4p - 3. सिस्टम का सेट समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है

सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

समाधान। होने देना तब समीकरण (3) t2 - 6t - a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए हम पैरामीटर a के मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक मूल (4) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

आइए हम फलन f(t) = t2 - 6t - a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

स्थिति 2. समीकरण (4) का एक अद्वितीय सकारात्मक हल है यदि

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1 का रूप लेगा।

स्थिति 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t> 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a 0 पर समीकरण (4) का एक धनात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अद्वितीय हल है

एक के लिए< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = – 9, तो x = – 1;

अगर एक 0, तो

आइए समीकरण (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय एक द्विघात समीकरण में घटा दिया गया था, जिसका विवेचक एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, समीकरण (2) के मूलों को द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा तुरंत परिकलित किया गया और फिर इन मूलों के संबंध में निष्कर्ष निकाला गया। समीकरण (3) को एक द्विघात समीकरण (4) में बदल दिया गया था, जिसका विवेचक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए समीकरण (3) को हल करते समय, एक वर्ग त्रिपद की जड़ों के स्थान पर प्रमेयों का उपयोग करना उचित है और एक ग्राफिकल मॉडल। ध्यान दें कि समीकरण (4) को वियत प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

कार्य 3. समीकरण हल करें

समाधान। ओडीजेड: एक्स1, एक्स2।

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, फिर, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, समीकरण t2 + 2t - 13 - a = 0 का रूप लेगा। (*) a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए कम से कम एक मूल समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > - 13, a 11, a 5, तो यदि a - 13,

a = 11, a = 5, तो कोई मूल नहीं है।

ग्रंथ सूची।

1. शैक्षिक प्रौद्योगिकी की गुज़ीव नींव।

2. गुज़ीव प्रौद्योगिकी: स्वागत से दर्शन तक।

एम। "हेडमास्टर" नंबर 4, 1996

3. गुज़ीव और संगठनात्मक रूपसीख रहा हूँ।

4. गुज़ीव और अभिन्न शैक्षिक प्रौद्योगिकी का अभ्यास।

एम। "पीपुल्स एजुकेशन", 2001

5. पाठ के रूपों से गुज़ीव - संगोष्ठी।

स्कूल नंबर 2, 1987, पीपी। 9 - 11 में गणित।

6. सेलेव्को शैक्षिक प्रौद्योगिकियां।

एम। "पीपुल्स एजुकेशन", 1998

7. एपिशेवा स्कूली बच्चे गणित सीखते हैं।

एम। "ज्ञानोदय", 1990

8. इवानोव पाठ तैयार करने के लिए - कार्यशालाएं।

स्कूल नंबर 6, 1990, पी में गणित। 37-40।

9. गणित पढ़ाने का स्मिरनोव मॉडल।

स्कूल नंबर 1, 1997, पी में गणित। 32-36.

10. तरासेंको व्यावहारिक कार्य के आयोजन के तरीके।

स्कूल नंबर 1, 1993 में गणित, पी। 27 - 28.

11. व्यक्तिगत कार्य के प्रकारों में से एक के बारे में।

स्कूल नंबर 2, 1994 में गणित, पीपी। 63 - 64।

12. खजान्किन रचनात्मक कौशलस्कूली बच्चे

स्कूल नंबर 2, 1989 में गणित, पी। दस।

13. स्कैनवी। प्रकाशक, 1997

14. एट अल बीजगणित और विश्लेषण की शुरुआत। के लिए उपदेशात्मक सामग्री

15. क्रिवोनोगोव गणित में कार्य करता है।

एम। "सितंबर का पहला", 2002

16. चर्कासोव। हाई स्कूल के छात्रों के लिए हैंडबुक और

विश्वविद्यालयों में प्रवेश। "ए एस टी - प्रेस स्कूल", 2002

17. विश्वविद्यालयों के आवेदकों के लिए ज़ेवन्याक।

मिन्स्क और आरएफ "समीक्षा", 1996

18. लिखित डी. गणित में परीक्षा की तैयारी। एम. रॉल्फ, 1999

19. और अन्य। समीकरणों और असमानताओं को हल करना सीखना।

एम। "बुद्धि - केंद्र", 2003

20. और अन्य ई जी ई की तैयारी के लिए शैक्षिक और प्रशिक्षण सामग्री।

एम। "बुद्धि - केंद्र", 2003 और 2004

21 और अन्य सीएमएम के वेरिएंट। रूसी संघ के रक्षा मंत्रालय का परीक्षण केंद्र, 2002, 2003

22. गोल्डबर्ग समीकरण। "क्वांटम" नंबर 3, 1971

23. वोलोविच एम। गणित को सफलतापूर्वक कैसे पढ़ाया जाए।

गणित, 1997 नंबर 3.

24 ओकुनेव पाठ के लिए, बच्चों! एम. ज्ञानोदय, 1988

25. याकिमांस्काया - स्कूल में उन्मुख शिक्षा।

26. लीमेट्स पाठ में काम करते हैं। एम. ज्ञान, 1975

एक घातीय समीकरण क्या है? उदाहरण।

तो, एक घातांकीय समीकरण... समीकरणों की एक विस्तृत विविधता की हमारी सामान्य प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) जैसा कि लगभग हमेशा होता है, किसी भी नए गणितीय शब्द का कीवर्ड संबंधित विशेषण होता है जो इसे दर्शाता है। तो यहाँ भी। कीवर्डशब्द "घातीय समीकरण" में शब्द है "प्रदर्शनकारी". इसका क्या मतलब है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) है किसी भी डिग्री के मामले में।और केवल वहाँ! यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, ये सरल समीकरण:

3 एक्स +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

या ये राक्षस भी:

2 पाप x = 0.5

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण बात पर तुरंत ध्यान देने के लिए कहता हूं: में मैदानडिग्री (नीचे) - केवल संख्या. लेकीन मे संकेतकडिग्री (शीर्ष) - एक्स के साथ अभिव्यक्तियों की एक विस्तृत विविधता। बिल्कुल कोई भी।) सब कुछ विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। यदि, अचानक, x संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में आता है (कहते हैं, 3 x \u003d 18 + x 2), तो ऐसा समीकरण पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। इसलिए, इस पाठ में हम उन पर विचार नहीं करेंगे। छात्रों की खुशी के लिए।) यहां हम केवल "शुद्ध" रूप में घातीय समीकरणों पर विचार करेंगे।

सामान्यतया, यहाँ तक कि शुद्ध घातांकीय समीकरण भी सभी मामलों में स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं और हमेशा नहीं। लेकिन घातीय समीकरणों की समृद्ध विविधता के बीच, कुछ निश्चित प्रकार हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और उन्हें हल किया जाना चाहिए। इस प्रकार के समीकरणों पर हम आपके साथ विचार करेंगे। और हम निश्चित रूप से उदाहरणों को हल करेंगे।) तो हम आराम से और - सड़क पर बस जाते हैं! जैसा कि कंप्यूटर "शूटर" में होता है, हमारी यात्रा स्तरों से होकर गुजरेगी।) प्राथमिक से सरल, सरल से मध्यम और मध्यम से जटिल तक। रास्ते में, आप एक गुप्त स्तर की भी प्रतीक्षा कर रहे होंगे - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए तरकीबें और तरीके। जिनके बारे में आपने अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पढ़ा होगा... खैर, अंत में, निश्चित रूप से, अंतिम बॉस होमवर्क के रूप में आपका इंतजार कर रहा है।)

स्तर 0. सबसे सरल घातांक समीकरण क्या है? सरलतम घातीय समीकरणों का हल।

आरंभ करने के लिए, आइए कुछ स्पष्ट प्राथमिक बातों को देखें। आपको कहीं से शुरुआत करनी होगी, है ना? उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

2 एक्स = 2 2

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल तर्क और सामान्य ज्ञान से, यह स्पष्ट है कि x = 2. अन्यथा, कोई रास्ता नहीं है, है ना? x का कोई अन्य मान अच्छा नहीं है ... अब आइए अपना ध्यान इस ओर मोड़ें निर्णय रिकॉर्डयह शांत घातीय समीकरण:

2 एक्स = 2 2

एक्स = 2

हमें क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ। हम, वास्तव में, ले गए और ... बस एक ही ठिकानों (दो) को बाहर फेंक दिया! पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, बैल की आंख मारो!

हाँ, वास्तव में, यदि बाएँ और दाएँ घातांकीय समीकरण में हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्याएँ, तो इन संख्याओं को त्याग दिया जा सकता है और बस घातांक की बराबरी कर सकते हैं। गणित अनुमति देता है।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और बहुत सरल समीकरण हल कर सकते हैं। यह बढ़िया है, है ना?

यहाँ किसी भी (हाँ, बिल्कुल कोई!) घातीय समीकरण को हल करने का मुख्य विचार है: समान परिवर्तनों की सहायता से यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं वही विभिन्न डिग्री में आधार संख्या। और फिर आप समान आधारों को सुरक्षित रूप से हटा सकते हैं और घातांक की बराबरी कर सकते हैं। और एक सरल समीकरण के साथ काम करें।

और अब हम लोहे के नियम को याद करते हैं: समान आधारों को हटाना संभव है यदि और केवल यदि समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर आधार संख्याएं हैं गर्व अकेलेपन में।

इसका क्या मतलब है, शानदार अलगाव में? इसका मतलब है बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। मैंने समझाया।

उदाहरण के लिए, समीकरण में

3 3 x-5 = 3 2 x +1

आप तीन गुना नहीं हटा सकते! क्यों? क्योंकि बाईं ओर हमारे पास केवल तीन डिग्री का अकेला नहीं है, बल्कि काम 3 3 एक्स-5। एक अतिरिक्त ट्रिपल रास्ते में आता है: एक गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 x = 5 2 x +5 x

यहाँ भी, सभी आधार समान हैं - पाँच। लेकिन दाईं ओर हमारे पास पांच की एक भी डिग्री नहीं है: डिग्री का योग है!

संक्षेप में, हमें समान आधारों को हटाने का अधिकार तभी है जब हमारा घातीय समीकरण इस तरह दिखता है और केवल इस तरह:

एकएफ (एक्स) = एक जी (एक्स)

इस प्रकार के घातांकीय समीकरण को कहा जाता है सबसे साधारण. या वैज्ञानिक रूप से, कैनन का . और कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारे सामने मुड़ समीकरण क्या हो सकता है, एक तरह से या कोई अन्य, हम इसे ऐसे सरल (विहित) रूप में कम कर देंगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए समुच्चयइस तरह के समीकरण। तब हमारे सरलतम समीकरण को सामान्य रूप में निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

एफ (एक्स) = जी (एक्स)

और बस। यह समकक्ष परिवर्तन होगा। साथ ही, एक्स के साथ बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति का उपयोग एफ (एक्स) और जी (एक्स) के रूप में किया जा सकता है। जो कुछ।

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र पूछेगा: पृथ्वी पर हम इतनी आसानी से और आसानी से बाएं और दाएं समान आधारों को क्यों छोड़ देते हैं और प्रतिपादकों की बराबरी करते हैं? अंतर्ज्ञान अंतर्ज्ञान है, लेकिन अचानक, किसी समीकरण में और किसी कारण से, यह दृष्टिकोण गलत हो जाएगा? क्या समान ठिकानों को फेंकना हमेशा कानूनी है?दुर्भाग्य से, इसके कठोर गणितीय उत्तर के लिए ब्याज पूछोआपको कार्यों की संरचना और व्यवहार के सामान्य सिद्धांत में गहराई से और गंभीरता से जाने की जरूरत है। और थोड़ा और विशेष रूप से - घटना में सख्त एकरसता।विशेष रूप से, सख्त एकरसता घातांक प्रकार्यआप= एक एक्स. चूँकि यह घातांकीय फलन और उसके गुण हैं जो घातांकीय समीकरणों के समाधान का आधार हैं, हाँ।) इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर एक अलग विशेष पाठ में दिया जाएगा जो विभिन्न कार्यों की एकरसता का उपयोग करके जटिल गैर-मानक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।)

इस बिंदु को विस्तार से समझाने के लिए अब केवल एक औसत स्कूली बच्चे के दिमाग को निकाल देना है और उसे सूखे और भारी सिद्धांत के साथ समय से पहले डराना है। मैं यह नहीं करूँगा।) हमारे मुख्य के लिए इस पलएक कार्य - घातीय समीकरणों को हल करना सीखें!सबसे सरल! इसलिए, जब तक हम पसीना नहीं बहाते और साहसपूर्वक उन्हीं कारणों को बाहर निकाल देते हैं। यह कर सकते हैं, इसके लिए मेरा शब्द लें!) और फिर हम पहले से ही समतुल्य समीकरण f (x) = g (x) को हल कर लेते हैं। एक नियम के रूप में, यह मूल घातांक की तुलना में सरल है।

यह निश्चित रूप से माना जाता है कि लोग पहले से ही कम से कम , और समीकरणों को हल करना जानते हैं, पहले से ही संकेतक में x के बिना।) जो अभी भी नहीं जानते हैं, इस पृष्ठ को बंद करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, उचित लिंक के साथ चलें और भरें पुराने अंतराल। नहीं तो आपके लिए कठिन समय होगा, हाँ...

मैं तर्कहीन, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में चुप हूं जो आधारों को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकते हैं। लेकिन चिंता न करें, अभी के लिए हम डिग्री के संदर्भ में फ्रैंक टिन पर विचार नहीं करेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सरलतम समीकरणों पर ही प्रशिक्षण देंगे।)

अब उन समीकरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम करने के लिए उन्हें कम करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। उन्हें अलग करने के लिए, आइए उन्हें कॉल करें सरल घातीय समीकरण. तो चलिए अगले स्तर पर चलते हैं!

स्तर 1. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! प्राकृतिक संकेतक।

किसी भी घातांकीय समीकरणों को हल करने के प्रमुख नियम हैं डिग्री से निपटने के नियम. इस ज्ञान और कौशल के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा। काश। इसलिए, अगर डिग्रियों को लेकर कोई समस्या है, तो शुरुआत के लिए आपका स्वागत है। इसके अलावा, हमें भी चाहिए। ये परिवर्तन (अधिक से अधिक दो!) सामान्य रूप से गणित के सभी समीकरणों को हल करने का आधार हैं। और न केवल दिखावा। तो, जो कोई भूल गया, वह भी लिंक पर टहलें: मैंने उन्हें एक कारण से लगाया।

लेकिन केवल शक्तियों और समान परिवर्तनों वाली क्रियाएं पर्याप्त नहीं हैं। इसके लिए व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता की भी आवश्यकता होती है। हमें वही आधार चाहिए, है ना? इसलिए हम उदाहरण की जांच करते हैं और उन्हें एक स्पष्ट या प्रच्छन्न रूप में ढूंढते हैं!

उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

3 2x - 27x +2 = 0

पहले देखो मैदान. वे भिन्न हैं! तीन और सत्ताईस। लेकिन घबराना और निराशा में पड़ना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

27 = 3 3

अंक 3 और 27 डिग्री में रिश्तेदार हैं! इसके अलावा, रिश्तेदार।) इसलिए, हमें लिखने का पूरा अधिकार है:

27 x +2 = (3 3) x+2

और अब हम अपने ज्ञान को के बारे में जोड़ते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाई(और मैंने आपको चेतावनी दी थी!) ऐसा एक बहुत ही उपयोगी सूत्र है:

(एम) एन = एक एमएन

अब यदि आप इसे पाठ्यक्रम में चलाते हैं, तो यह आम तौर पर ठीक हो जाता है:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

मूल उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

3 2 एक्स - 3 3 (एक्स +2) = 0

बढ़िया, डिग्री के आधार संरेखित हैं। जिसके लिए हम प्रयास कर रहे थे। आधा काम हो चुका है।) और अब हम बुनियादी पहचान परिवर्तन शुरू करते हैं - हम 3 3 (x +2) को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया, हाँ।) हमें मिलता है:

3 2 एक्स = 3 3 (एक्स +2)

हमें इस तरह का समीकरण क्या देता है? और तथ्य यह है कि अब हमारा समीकरण कम हो गया है विहित रूप में: बाईं ओर और दाईं ओर समान संख्याएँ (त्रिक) घातों में हैं। और दोनों त्रिगुण - शानदार अलगाव में। हम साहसपूर्वक त्रिगुणों को हटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2x = 3(x+2)

हम इसे हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स = -6

यही सब है इसके लिए। यह सही जवाब है।)

और अब हम निर्णय के पाठ्यक्रम को समझते हैं। इस उदाहरण में हमें क्या बचाया? हम त्रिगुणों की डिग्री के ज्ञान से बच गए थे। बिल्कुल कैसे? हम पहचान कीसंख्या 27 एन्क्रिप्टेड तीन! यह ट्रिक (उसी आधार के तहत एन्क्रिप्शन) अलग संख्या) घातांकीय समीकरणों में सबसे लोकप्रिय में से एक है! जब तक कि यह सबसे लोकप्रिय न हो। हाँ, और वैसे भी। यही कारण है कि घातीय समीकरणों में अवलोकन और संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने की क्षमता इतनी महत्वपूर्ण है!

प्रायोगिक उपकरण:

आपको लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को जानना होगा। चेहरे में!

बेशक, कोई भी दो से सातवीं या तीन से पांचवीं तक बढ़ा सकता है। मेरे दिमाग में नहीं, तो कम से कम एक मसौदे पर। लेकिन घातीय समीकरणों में, शक्ति को बढ़ाने के लिए नहीं, बल्कि, इसके विपरीत, यह पता लगाने के लिए कि संख्या 128 या 243 के पीछे कौन सी संख्या और किस हद तक छिपी हुई है, यह अधिक बार आवश्यक है। और यह पहले से ही अधिक है सरल घातांक की तुलना में जटिल, आप देखते हैं। अंतर महसूस करें, जैसा कि वे कहते हैं!

चूंकि चेहरे में डिग्री पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर उपयोगी है, बल्कि निम्न स्तर पर भी उपयोगी है, यहां आपके लिए एक छोटा सा काम है:

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (बिखरे हुए, निश्चित रूप से):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हाँ हाँ! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों से अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक।

इस स्तर पर, हम पहले से ही डिग्री के अपने ज्ञान का पूरा उपयोग कर रहे हैं। अर्थात्, हम इस आकर्षक प्रक्रिया में नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतक शामिल करते हैं! हाँ हाँ! हमें शक्ति का निर्माण करने की आवश्यकता है, है ना?

उदाहरण के लिए, यह भयानक समीकरण:

फिर से, पहले नींव को देखें। आधार अलग हैं! और इस बार वे दूर-दूर तक एक-दूसरे से मिलते-जुलते भी नहीं हैं! 5 और 0.04... और आधारों को खत्म करने के लिए, वही चाहिए... क्या करें?

कोई बात नहीं! वास्तव में, सब कुछ समान है, बस पांच और 0.04 के बीच का संबंध नेत्रहीन खराब दिखाई देता है। हम कैसे निकलते हैं? और 0.04 की संख्या में सामान्य भिन्न पर चलते हैं! और वहां, आप देखते हैं, सब कुछ बनता है।)

0,04 = 4/100 = 1/25

बहुत खूब! यह पता चला है कि 0.04 1/25 है! अच्छा, किसने सोचा होगा!)

कितनी अच्छी तरह से? अब संख्या 5 और 1/25 के बीच संबंध देखना आसान है? यह वही है...

और अब, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार नकारात्मक संकेतकदृढ़ हाथ से लिखा जा सकता है:

यह बहुत बढ़िया बात है। तो हम एक ही आधार पर पहुँचे - पाँच। अब हम समीकरण में असहज संख्या 0.04 को 5 -2 से बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:

फिर से, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, अब हम लिख सकते हैं:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

बस मामले में, मैं याद दिलाता हूं (अचानक, कौन नहीं जानता) कि जमीन के नियमशक्तियों के साथ कार्रवाई के लिए मान्य हैं कोईसंकेतक! नकारात्मक सहित।) तो बेझिझक लें और संबंधित नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x-1) को गुणा करें। हमारा समीकरण बेहतर और बेहतर होता जाता है:

हर चीज़! बाएँ और दाएँ अंशों में एकाकी पाँचों के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। समीकरण को विहित रूप में घटाया गया है। और फिर - घुमावदार ट्रैक के साथ। हम फाइव को हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5=-2(एक्स-1)

उदाहरण लगभग पूरा हो गया है। मध्यम वर्ग का प्राथमिक गणित बना हुआ है - हम कोष्ठक खोलते हैं (सही ढंग से!) और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5 = -2 एक्स+2

एक्स 2 –4 एक्स+3 = 0

हम इसे हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 3

बस इतना ही।)

अब चलो फिर से सोचते हैं। इस उदाहरण में, हमें फिर से एक ही संख्या को अलग-अलग अंशों में पहचानना पड़ा! अर्थात्, एन्क्रिप्टेड पांच को संख्या 0.04 में देखने के लिए। और इस बार, में नकारात्मक डिग्री!हम इसे कैसे करेंगे? चलते-चलते - कोई रास्ता नहीं। लेकिन से संक्रमण के बाद दशमलव अंश 0.04 से साधारण अंश 1/25 तक सब कुछ हाइलाइट किया गया था! और फिर पूरा निर्णय घड़ी की कल की तरह चला गया।)

इसलिए, एक और हरी व्यावहारिक सलाह।

यदि घातांकीय समीकरण में दशमलव भिन्न हैं, तो हम दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में चले जाते हैं। पर सामान्य भिन्नकई लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को पहचानना बहुत आसान है! मान्यता के बाद, हम भिन्नों से नकारात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं।

ध्यान रखें कि घातांकीय समीकरणों में इस तरह की हलचल बहुत, बहुत बार होती है! और व्यक्ति विषय में नहीं है। उदाहरण के लिए, वह 32 और 0.125 की संख्या में दिखता है और परेशान हो जाता है। यह उसके लिए अज्ञात है कि यह वही ड्यूस है, केवल बदलती डिग्रियां... लेकिन आप पहले से ही इस विषय में हैं!)

प्रश्न हल करें:

में! यह एक शांत आतंक की तरह दिखता है ... हालांकि, दिखावे धोखा दे रहे हैं। यह भयानक होने के बावजूद सबसे सरल घातीय समीकरण है दिखावट. और अब मैं इसे आपको दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, हम आधारों और गुणांकों में बैठे सभी नंबरों से निपटते हैं। वे स्पष्ट रूप से अलग हैं, हाँ। लेकिन हम फिर भी जोखिम उठाते हैं और उन्हें बनाने की कोशिश करते हैं वही! आइए जाने की कोशिश करें अलग-अलग डिग्री में एक ही संख्या. और, अधिमानतः, सबसे छोटी संभव की संख्या। तो, चलिए डिक्रिप्ट करना शुरू करते हैं!

खैर, एक बार में चारों के साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, पहले से ही कुछ।)

0.25 के अंश के साथ - यह अभी तक स्पष्ट नहीं है। देखने की जरूरत है। हम व्यावहारिक सलाह का उपयोग करते हैं - दशमलव से साधारण पर जाएं:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से काफी बेहतर। अभी के लिए यह पहले से ही स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि 1/4 2 -2 है। बढ़िया, और संख्या 0.25 भी एक ड्यूस के समान है।)

अब तक सब ठीक है। लेकिन सबसे खराब संख्या बनी हुई है - दो का वर्गमूल!इस मिर्च का क्या करें? क्या इसे दो की शक्ति के रूप में भी दर्शाया जा सकता है? और कौन जानता है...

खैर, हम फिर से डिग्री के बारे में अपने ज्ञान के खजाने में चढ़ जाते हैं! इस बार हम अपने ज्ञान को भी जोड़ते हैं जड़ों के बारे में. 9वीं कक्षा के दौरान, आपको और मुझे यह सहना पड़ा कि कोई भी जड़, यदि वांछित हो, तो हमेशा एक डिग्री में बदल सकती है अंश के साथ।

ऐशे ही:

हमारे मामले में:

कैसे! यह पता चला है कि दो का वर्गमूल 2 1/2 है। इतना ही!

कोई बात नहीं! हमारे सभी असहज नंबर वास्तव में एक एन्क्रिप्टेड ड्यूस निकले।) मैं तर्क नहीं देता, कहीं बहुत परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम ऐसे सिफर्स को हल करने में अपना प्रोफेशनलिज्म भी बढ़ाते हैं! और फिर सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। हम अपने समीकरण में संख्या 4, 0.25 और दो के मूल को दो की घात से प्रतिस्थापित करते हैं:

हर चीज़! उदाहरण में सभी डिग्री के आधार समान हो गए हैं - दो। और अब डिग्री के साथ मानक क्रियाओं का उपयोग किया जाता है:

पूर्वाह्नएक = पूर्वाह्न + एन

ए एम: ए एन = ए एम-एन

(एम) एन = एक एमएन

बाईं ओर के लिए आपको मिलता है:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

दाईं ओर के लिए होगा:

और अब हमारा बुरा समीकरण इस तरह दिखने लगा:

उन लोगों के लिए जिन्होंने यह पता नहीं लगाया है कि यह समीकरण वास्तव में कैसे निकला, तो सवाल घातीय समीकरणों के बारे में नहीं है। प्रश्न शक्तियों के साथ कार्यों के बारे में है। मैंने तत्काल उन लोगों को दोहराने के लिए कहा जिन्हें समस्या है!

यहाँ फिनिश लाइन है! घातांक समीकरण का विहित रूप प्राप्त होता है! कितनी अच्छी तरह से? क्या मैंने आपको आश्वस्त किया है कि यह इतना डरावना नहीं है? ;) हम ड्यूस हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

यह केवल इस रैखिक समीकरण को हल करने के लिए रहता है। कैसे? निश्चित रूप से समान परिवर्तनों की सहायता से।) जो पहले से मौजूद है उसे हल करें! दोनों भागों को दो से गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), एक्स के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाएं, बिना एक्स के दाईं ओर, समान लाएं, गिनें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ खूबसूरती से निकलना चाहिए:

एक्स = 4

आइए अब निर्णय पर पुनर्विचार करें। इस उदाहरण में, हमें से संक्रमण द्वारा बचाया गया था वर्गमूल प्रति घातांक 1/2 . के साथ डिग्री. इसके अलावा, केवल इस तरह के एक चालाक परिवर्तन ने हमें हर जगह एक ही आधार (ड्यूस) तक पहुंचने में मदद की, जिससे स्थिति बच गई! और, यदि इसके लिए नहीं, तो हमारे पास हमेशा के लिए जमने और इस उदाहरण का सामना करने का हर मौका होगा, हाँ ...

इसलिए, हम अगली व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा नहीं करते हैं:

यदि घातांकीय समीकरण में जड़ें हैं, तो हम मूल से भिन्नात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं। बहुत बार, केवल ऐसा परिवर्तन ही आगे की स्थिति को स्पष्ट करता है।

बेशक, नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियां पहले से कहीं अधिक कठिन हैं। प्राकृतिक डिग्री. कम से कम दृश्य धारणा के संदर्भ में और, विशेष रूप से, दाएं से बाएं की पहचान!

यह स्पष्ट है कि सीधे ऊपर उठाना, उदाहरण के लिए, -3 की शक्ति के लिए दो या -3/2 की शक्ति के लिए एक चार ऐसा नहीं है बड़ी समस्या. जानने वालों के लिए।)

लेकिन जाओ, उदाहरण के लिए, तुरंत महसूस करो कि

0,125 = 2 -3

या

यहाँ केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव का नियम है, हाँ। और, ज़ाहिर है, एक स्पष्ट दृष्टिकोण, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक क्या है।और यह भी - व्यावहारिक सलाह! हाँ, हाँ, वो हरा।) मुझे आशा है कि वे फिर भी आपको सभी प्रकार की डिग्री में बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेंगे और आपकी सफलता की संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाएंगे! तो आइए उनकी उपेक्षा न करें। मैं व्यर्थ नहीं हूँ हरे मेंमैं कभी-कभी लिखता हूं।)

दूसरी ओर, यदि आप नकारात्मक और भिन्नात्मक जैसी विदेशी शक्तियों के साथ भी "आप" बन जाते हैं, तो घातीय समीकरणों को हल करने की आपकी संभावनाएं काफी बढ़ जाएंगी, और आप पहले से ही लगभग किसी भी प्रकार के घातीय समीकरणों को संभालने में सक्षम होंगे। ठीक है, यदि कोई नहीं है, तो सभी घातीय समीकरणों का 80 प्रतिशत - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ!

तो, घातीय समीकरणों के साथ हमारा पहला परिचय अपने तार्किक निष्कर्ष पर आ गया है। और, बीच-बीच में कसरत के रूप में, मैं पारंपरिक रूप से अपने आप को थोड़ा हल करने का सुझाव देता हूं।)

अभ्यास 1।

ताकि नकारात्मक और भिन्नात्मक डिग्री को समझने के बारे में मेरे शब्द व्यर्थ न हों, मैं थोड़ा खेल खेलने का प्रस्ताव करता हूं!

संख्या को दो की शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

हो गई? उत्कृष्ट! फिर हम एक लड़ाकू मिशन करते हैं - हम सबसे सरल और सरल घातीय समीकरणों को हल करते हैं!

कार्य 2.

समीकरण हल करें (सभी उत्तर गड़बड़ हैं!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16x+3 = 0

उत्तर:

एक्स = 16

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 2

एक्स = 5

हो गई? वास्तव में, बहुत आसान!

फिर हम निम्नलिखित गेम को हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

उत्तर:

एक्स 1 = -2; एक्स 2 = 2

एक्स = 0,5

एक्स 1 = 3; एक्स 2 = 5

और एक के ये उदाहरण बचे हैं? उत्कृष्ट! तुम बढ़ रहे हो! फिर आपके लिए नाश्ता करने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

उत्तर:

एक्स = 6

एक्स = 13/31

एक्स = -0,75

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 8/3

और क्या यह तय है? अच्छा, सम्मान! मैं अपनी टोपी उतारता हूं।) तो, पाठ व्यर्थ नहीं था, और घातीय समीकरणों को हल करने के प्रारंभिक स्तर को सफलतापूर्वक महारत हासिल माना जा सकता है। आगे - अगले स्तर और अधिक जटिल समीकरण! और नई तकनीक और दृष्टिकोण। और गैर-मानक उदाहरण। और नए आश्चर्य।) यह सब - अगले पाठ में!

कुछ काम नहीं किया? तो, सबसे अधिक संभावना है, समस्याएं हैं। या में। या दोनों एक ही समय में। यहाँ मैं शक्तिहीन हूँ। मैं एक बार फिर केवल एक ही चीज की पेशकश कर सकता हूं - आलसी मत बनो और लिंक के माध्यम से चलो।)

जारी रहती है।)

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सबसे पहले, आइए डिग्री और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद करें।

एक संख्या का उत्पाद एकस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a… a=a n . के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = एक एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घात (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे होती है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 एक्स *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातांकीय समीकरण कैसे हल किए जाते हैं?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी सुलझ सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष समान होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे लिया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही आधार(अर्थात, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्री हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हमें तलाश थी।

आइए अब हमारे समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

घातीय समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम:
1. जाँच करने की आवश्यकता है वहीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समानताडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

आइए सरल शुरू करें।

बाईं और दाईं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं, ये 3 और 9 हैं।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 . आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 . मिलता है

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब यह स्पष्ट है कि बाईं और दाईं ओर के आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार अलग-अलग हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार चौगुनी को रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनका क्या करें? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम कोष्ठक में से 2 2x डाल सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में व्यंजक की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में, आप तय कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. सबसे छोटी डिग्री वाली संख्या को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

हम सभी डिग्री को x के साथ समीकरण में t के साथ बदलते हैं:

टी 2 - 12टी + 27 \u003d 0
हमें द्विघात समीकरण मिलता है। हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
डी=144-108=36
t1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 x

वह है,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: एक्स 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1.

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घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

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क्या घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक में हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

तुम यहां हो घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्या. पर संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ अभिव्यक्ति की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक x दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। हम अभी उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों का समाधानअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, यहां तक ​​​​कि शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और होना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन्हें हम देख रहे हैं।

सरलतम घातीय समीकरणों का हल।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी से शुरू करते हैं। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी सरल चयन से यह स्पष्ट हो जाता है कि x=2. और कुछ नहीं, है ना!? कोई अन्य x मान रोल नहीं। और अब आइए इस मुश्किल घातांक समीकरण के समाधान को देखें:

हमने क्या किया है? हमने, वास्तव में, बस उन्हीं बॉटम्स (ट्रिपल) को बाहर फेंक दिया। पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

वास्तव में, यदि घातीय समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्या, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और बराबर घातांक। गणित अनुमति देता है। यह एक बहुत ही सरल समीकरण को हल करने के लिए बनी हुई है। यह अच्छा है, है ना?)

हालाँकि, आइए विडंबना याद रखें: आप आधारों को तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , या

आप डबल्स नहीं हटा सकते!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज में महारत हासिल कर ली है। बुराई से कैसे आगे बढ़ें घातीय अभिव्यक्तिसरल समीकरणों के लिए।

"यहाँ वे समय हैं!" - तुम कहो। "नियंत्रण और परीक्षा पर ऐसा आदिम कौन देगा !?"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहाँ जाना है। इसे ध्यान में लाना आवश्यक है, जब समान आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो। तब सब कुछ आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित की क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदलते हैं हममन। गणित के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं शक्तियों के साथ क्रिया।इन क्रियाओं के ज्ञान के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री के साथ कार्यों के लिए, व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को जोड़ना होगा। क्या हमें समान आधार संख्याओं की आवश्यकता है? इसलिए हम उन्हें उदाहरण में स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली नज़र मैदान।वे... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम शक्तियों के साथ क्रियाओं के सूत्र को याद करते हैं:

(ए एन) एम = ए एनएम,

यह आम तौर पर बहुत अच्छा काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण इस तरह दिखता है:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स+1)दाईं ओर (गणित की प्राथमिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (एक्स + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आधार हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीआठ में, एन्क्रिप्टेड ड्यूस। यह तकनीक (विभिन्न संख्याओं के तहत सामान्य आधारों को एन्कोड करना) घातीय समीकरणों में एक बहुत ही लोकप्रिय चाल है! हाँ, लघुगणक में भी। संख्या में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक ​​कि कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 से पांचवीं शक्ति बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन तालिका जानते हैं तो 243 निकलेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, अधिक बार यह आवश्यक है कि एक शक्ति को न बढ़ाया जाए, लेकिन इसके विपरीत ... कितने नंबर से किस हद तकसंख्या 243 के पीछे छिपा है, या कहें, 343... यहाँ कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानना होगा, हाँ ... क्या हम अभ्यास करेंगे?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (एक गड़बड़ में, बिल्कुल!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

गौर से देखेंगे तो देख सकते हैं अजीब तथ्य. सवालों से ज्यादा जवाब हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6 , 4 3 , 8 2 सभी 64 हैं।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम आवेदन करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। जिनमें निम्न-मध्यम वर्ग शामिल हैं। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?

उदाहरण के लिए, घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से अक्सर मदद मिलती है (ग्रेड 7 को नमस्ते!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र - मैदान पर! डिग्री के आधार अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही हों। खैर, इस मामले में, इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री के साथ कार्यों के लिए समान नियमों के अनुसार:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है!? थ्री को बाहर नहीं फेंका जा सकता ... मृत अंत?

बिल्कुल भी नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना सबगणित के कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बनता है)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकते हैंकरना? हाँ, बाईं ओर सीधे कोष्ठक के लिए पूछता है! 3 2x का उभयनिष्ठ गुणनखण्ड इस ओर स्पष्ट संकेत करता है। आइए कोशिश करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता जा रहा है!

हमें याद है कि क्षारकों को समाप्त करने के लिए हमें बिना किसी गुणांक के एक शुद्ध घात की आवश्यकता होती है। 70 की संख्या हमें परेशान करती है। तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

ओप-पा! सब ठीक हो गया!

यह अंतिम उत्तर है।

हालांकि, ऐसा होता है कि उसी आधार पर टैक्सी चलाना प्राप्त होता है, लेकिन उनका परिसमापन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार को प्राप्त करें।

घातांकीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह। आइए आधार पर चलते हैं। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम लटकेंगे। पिछली तरकीबें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी मोड़ लें। हमें एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके के शस्त्रागार से बाहर निकलना होगा। इसे कहते हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में, 2 x) के बजाय, हम दूसरा लिखते हैं, सरल एक (उदाहरण के लिए, टी)। ऐसा प्रतीत होता है कि अर्थहीन प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ बस स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

हम अपने समीकरण में सभी शक्तियों को x द्वारा t से प्रतिस्थापित करते हैं:

अच्छा, यह भोर हो गया?) द्विघातीय समीकरणअभी तक नहीं भूले हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

यहाँ, मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। हम Xs पर लौटते हैं, अर्थात। एक प्रतिस्थापन कर रहा है। टी 1 के लिए पहला:

वह है,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम... बायां 2 x, दायां 1... एक अड़चन? हाँ, बिलकुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (डिग्री वाले कार्यों से, हाँ ...) कि एकता है कोईशून्य से संख्या। कोई। आपको जो चाहिए, हम डाल देंगे। हमें दो चाहिए। माध्यम:

अब बस इतना ही। 2 जड़ें मिलीं:

यही उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में, कभी-कभी कुछ अजीब अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। टाइप:

सात से, एक साधारण डिग्री के माध्यम से एक ड्यूस काम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं ... मैं यहाँ कैसे हो सकता हूँ? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लॉगरिदम क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल कम से कम मुस्कुराएं और एक दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखें:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य पर प्रकाश डालें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले, हम देखते हैं मैदानडिग्री। चलो देखते हैं कि क्या वे नहीं किया जा सकता वही।आइए सक्रिय रूप से उपयोग करके ऐसा करने का प्रयास करें शक्तियों के साथ क्रिया।यह मत भूलो कि एक्स के बिना संख्याएं भी शक्तियों में बदल सकती हैं!

2. हम बाएँ और दाएँ होने पर घातांकीय समीकरण को रूप में लाने का प्रयास करते हैं वहीकिसी भी डिग्री के लिए संख्या। हम उपयोग करते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाईतथा गुणनखंडनसंख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी सलाह काम नहीं करती है, तो हम परिवर्तनशील प्रतिस्थापन को लागू करने का प्रयास करते हैं। परिणाम एक समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। सबसे अधिक बार - वर्ग। या भिन्नात्मक, जो एक वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको कुछ संख्याओं की डिग्री "दृष्टि से" जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातीय समीकरणों को हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 एक्स - 2 0.5 एक्स + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-एक्स + 2 एक्स = 9

हो गई?

खैर, फिर सबसे जटिल उदाहरण (यह हल हो गया है, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई पर काफी खींचना। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सरलता और सबसे अधिक सार्वभौमिक नियमसभी गणित की समस्याएं।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

एक उदाहरण सरल है, विश्राम के लिए):

9 2 x - 4 3 x = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हाँ हाँ! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन पर क्या विचार करें, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, सरलता की जरूरत है ... और हां, सातवीं कक्षा आपकी मदद करेगी (यह एक संकेत है!)

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम से अलग):

एक; 2; 3; चार; कोई समाधान नहीं हैं; 2; -2; -5; चार; 0.

क्या सब कुछ सफल है? उत्कृष्ट।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष धारा 555 में, इन सभी घातांकीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है। क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। इनके साथ ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने घातांकीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में, यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है, वैसे ...

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।