सूत्र जोड़ और घटाव की जड़ों के साथ क्रिया। वर्गमूल कैसे जोड़ें और घटाएं

गुण वर्गमूल

अब तक, हमने संख्याओं पर पाँच अंकगणितीय संक्रियाएँ की हैं: जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन और घातांक, और इन संक्रियाओं के विभिन्न गुण गणनाओं में सक्रिय रूप से उपयोग किए गए थे, उदाहरण के लिए, a + b = b + a, an-bn = (ab) n, आदि।

यह अध्याय एक नई संक्रिया का परिचय देता है - एक गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेना। इसका सफलतापूर्वक उपयोग करने के लिए, आपको इस ऑपरेशन के गुणों से परिचित होना होगा, जो हम इस खंड में करेंगे।

सबूत। आइए निम्नलिखित संकेतन का परिचय दें: https://pandia.ru/text/78/290/images/image005_28.jpg" alt="(!LANG:Equality" width="120" height="25 id=">!}.

इस प्रकार हम निम्नलिखित प्रमेय बनाते हैं।

(एक संक्षिप्त सूत्रीकरण जो व्यवहार में उपयोग करने के लिए अधिक सुविधाजनक है: एक अंश की जड़ जड़ों के अंश के बराबर होती है, या भागफल की जड़ जड़ों के भागफल के बराबर होती है।)

इस बार हम सबूत का केवल एक संक्षिप्त रिकॉर्ड देंगे, और आप उन टिप्पणियों के समान उपयुक्त टिप्पणियां करने का प्रयास कर सकते हैं जो प्रमेय 1 के सबूत का सार बनाते हैं।

टिप्पणी 3. बेशक, इस उदाहरण को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है, खासकर यदि आपके पास कैलकुलेटर है: संख्याओं को 36, 64, 9 से गुणा करें, और फिर परिणामी उत्पाद का वर्गमूल लें। हालांकि, आप इस बात से सहमत होंगे कि ऊपर प्रस्तावित समाधान अधिक सांस्कृतिक लगता है।

टिप्पणी 4. पहली विधि में, हमने हेड-ऑन गणनाएँ कीं। दूसरा तरीका अधिक सुरुचिपूर्ण है:
हमने आवेदन किया सूत्र a2 - b2 = (a - b) (a + b) और वर्गमूल के गुण का उपयोग किया।

टिप्पणी 5. कुछ "हॉटहेड्स" कभी-कभी उदाहरण 3 के लिए निम्नलिखित "समाधान" प्रदान करते हैं:

यह, निश्चित रूप से, सच नहीं है: आप देखते हैं - परिणाम हमारे उदाहरण 3 के समान नहीं है। तथ्य यह है कि कोई संपत्ति नहीं है https://pandia.ru/text/78/290/images/image014_6.jpg" alt="(!LANG:Task" width="148" height="26 id=">!}वर्गमूलों के गुणन और विभाजन से संबंधित केवल गुण हैं। सावधान और सावधान रहें, इच्छाधारी सोच न लें।

पैराग्राफ को समाप्त करते हुए, हम एक और अधिक सरल और एक ही समय में महत्वपूर्ण संपत्ति पर ध्यान देते हैं:
अगर ए> 0 और एन - प्राकृतिक संख्या , फिर

स्क्वायर रूट ऑपरेशन वाले अभिव्यक्तियों को परिवर्तित करना

अब तक, हमने केवल रूपांतरण किए हैं तर्कसंगत अभिव्यक्ति, इसके लिए बहुपद और बीजीय भिन्नों पर संचालन के नियमों का उपयोग करते हुए, संक्षिप्त गुणन के सूत्र, आदि। इस अध्याय में, हमने एक नया ऑपरेशन पेश किया - एक वर्गमूल निकालने का संचालन; हमने स्थापित किया है कि

जहां, रिकॉल, ए, बी गैर-ऋणात्मक संख्याएं हैं।

इनका उपयोग करना सूत्रों, आप वर्गमूल संक्रिया वाले व्यंजकों के विभिन्न रूपांतरण कर सकते हैं। आइए कई उदाहरणों पर विचार करें, और सभी उदाहरणों में हम मान लेंगे कि चर केवल गैर-ऋणात्मक मान लेते हैं।

उदाहरण 3वर्गमूल चिह्न के अंतर्गत एक गुणनखंड दर्ज करें:

उदाहरण 6. व्यंजक हल को सरल कीजिए। आइए क्रमिक परिवर्तन करें:

गणित पाठ्यक्रम के स्कूली पाठ्यक्रम में वर्गमूल का विषय अनिवार्य है। द्विघात समीकरणों को हल करते समय आप उनके बिना नहीं कर सकते। और बाद में न केवल जड़ों को निकालना, बल्कि उनके साथ अन्य क्रियाएं करना भी आवश्यक हो जाता है। उनमें से काफी जटिल हैं: घातांक, गुणा और भाग। लेकिन काफी सरल भी हैं: घटाव और जड़ों का जोड़। वैसे, वे पहली नज़र में ही ऐसे लगते हैं। त्रुटियों के बिना उन्हें निष्पादित करना किसी ऐसे व्यक्ति के लिए हमेशा आसान नहीं होता है जो अभी-अभी उनसे परिचित होना शुरू कर रहा है।

गणितीय जड़ क्या है?

यह क्रिया घातांक के विरोध में उठी। गणित दो विपरीत संक्रियाओं की उपस्थिति मानता है। जोड़ने के लिए घटाव है। गुणन विभाजन का विरोध करता है। डिग्री की विपरीत क्रिया संबंधित जड़ का निष्कर्षण है।

यदि घातांक 2 है, तो मूल वर्ग होगा। यह स्कूली गणित में सबसे आम है। इसका कोई संकेत भी नहीं है कि यह वर्गाकार है, अर्थात संख्या 2 इसे नहीं दी गई है। इस संकारक (कट्टरपंथी) का गणितीय अंकन चित्र में दिखाया गया है।

वर्णित क्रिया से, इसकी परिभाषा सुचारू रूप से चलती है। एक निश्चित संख्या का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि स्वयं से गुणा करने पर मूलांक क्या प्राप्त करेगा। यह संख्या वर्गमूल होगी। यदि हम इसे गणितीय रूप से लिखते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलते हैं: x * x \u003d x 2 \u003d y, जिसका अर्थ है y \u003d x।

उनके साथ क्या कार्रवाई की जा सकती है?

इसके मूल में, जड़ एक भिन्नात्मक शक्ति है जिसमें अंश में एक इकाई होती है। और भाजक कुछ भी हो सकता है। उदाहरण के लिए, वर्गमूल का मान दो है। इसलिए, सभी क्रियाएं जो डिग्री के साथ की जा सकती हैं, वे भी जड़ों के लिए मान्य होंगी।

और इन कार्यों के लिए उनकी समान आवश्यकताएं हैं। यदि गुणा, भाग और घात को बढ़ाना छात्रों के लिए कठिनाइयों का सामना नहीं करता है, तो जड़ों का जोड़, साथ ही उनका घटाव, कभी-कभी भ्रम पैदा करता है। और सभी क्योंकि आप रूट के संकेत को देखे बिना इन कार्यों को करना चाहते हैं। और यहीं से गलतियां शुरू होती हैं।

जोड़ और घटाव के नियम क्या हैं?

पहले आपको दो स्पष्ट "नहीं" याद रखने की आवश्यकता है:

• जड़ों का जोड़ और घटाव करना असंभव है, जैसा कि अभाज्य संख्याओं के साथ होता है, अर्थात योग के मूल भावों को एक चिह्न के नीचे लिखना और उनके साथ गणितीय संक्रिया करना असंभव है;
• आप अलग-अलग घातांक, जैसे वर्ग और घन के साथ जड़ों को जोड़ और घटा नहीं सकते।

पहले प्रतिबंध का एक उदाहरण उदाहरण: 6 + √10 √16 लेकिन √(6 + 10) = √16.

दूसरे मामले में, खुद को जड़ों को सरल बनाने के लिए खुद को सीमित करना बेहतर है। और उत्तर में उनकी राशि छोड़ दें।

अब नियमों के लिए

1. समान जड़ों को खोजें और समूहित करें। यानी जिनके पास रेडिकल के तहत न केवल समान संख्याएं हैं, बल्कि उनके पास स्वयं एक संकेतक है।
2. पहली क्रिया द्वारा जड़ों को एक समूह में जोड़ने का कार्य करें। इसे लागू करना आसान है, क्योंकि आपको केवल उन मूल्यों को जोड़ना होगा जो रेडिकल से पहले आते हैं।
3. जड़ों को उन शब्दों में निकालें जिनमें मूलांक अभिव्यक्ति एक पूर्ण वर्ग बनाती है। दूसरे शब्दों में, कट्टरपंथी के संकेत के तहत कुछ भी न छोड़ें।
4. मूल भावों को सरल कीजिए। ऐसा करने के लिए, आपको उन्हें अभाज्य गुणनखंडों में विभाजित करना होगा और देखना होगा कि क्या वे किसी संख्या का वर्ग देते हैं। यह स्पष्ट है कि जब वर्गमूल की बात आती है तो यह सच है। जब घातांक तीन या चार हो, तो अभाज्य गुणनखंडों को घन या संख्या की चौथी घात अवश्य देनी चाहिए।
5. रेडिकल के निशान के नीचे से एक कारक निकालें जो एक पूर्णांक शक्ति देता है।
6. देखें कि क्या समान शब्द फिर से दिखाई देते हैं। यदि हाँ, तो दूसरा चरण फिर से करें।

ऐसी स्थिति में जहां समस्या को मूल के सटीक मान की आवश्यकता नहीं होती है, इसकी गणना कैलकुलेटर पर की जा सकती है। इसकी विंडो में प्रदर्शित होने वाले अनंत दशमलव अंश को पूर्णांकित करें। अधिकतर यह सौवें तक किया जाता है। और फिर दशमलव भिन्नों के लिए सभी ऑपरेशन करें।

जड़ों को जोड़ने के तरीके के बारे में यह सारी जानकारी है। नीचे दिए गए उदाहरण उपरोक्त को स्पष्ट करेंगे।

पहला काम

भावों के मूल्य की गणना करें:

ए) 2 + 3√32 + ½ 128 - 6√18;

बी) 75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

ग) 275 - 10√11 + 2√99 + 396।

a) यदि आप उपरोक्त एल्गोरिथम का पालन करते हैं, तो आप देख सकते हैं कि इस उदाहरण में पहले दो कार्यों के लिए कुछ भी नहीं है। लेकिन आप कुछ मूल भावों को सरल बना सकते हैं।

उदाहरण के लिए, कारक 32 को दो गुणनखंड 2 और 16 में विभाजित करें; 18, 9 और 2 के गुणनफल के बराबर होगा; 128, 2 बटा 64 है। इसे देखते हुए, व्यंजक इस प्रकार लिखा जाएगा:

2 + 3√(2 * 16) + ½ (2 * 64) - 6 (2 * 9)।

अब आपको मूल चिह्न के नीचे से उन कारकों को निकालने की आवश्यकता है जो संख्या का वर्ग देते हैं। यह है 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 । अभिव्यक्ति रूप लेगी:

2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2।

हमें लेखन को थोड़ा सरल करने की जरूरत है। इसके लिए, गुणांकों को जड़ के चिह्नों से पहले गुणा किया जाता है:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

इस अभिव्यक्ति में, सभी शब्द समान निकले। इसलिए, उन्हें बस मोड़ने की जरूरत है। उत्तर होगा: 5√2।

बी) पिछले उदाहरण की तरह, जड़ों का जोड़ उनके सरलीकरण से शुरू होता है। मूल भाव 75, 147, 48 और 300 को निम्नलिखित युग्मों द्वारा दर्शाया जाएगा: 5 और 25, 3 और 49, 3 और 16, 3 और 100। उनमें से प्रत्येक की एक संख्या है जिसे मूल चिह्न के नीचे से निकाला जा सकता है। :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

सरलीकरण के बाद, उत्तर है: 5√5 - 5√3। इसे इस रूप में छोड़ा जा सकता है, लेकिन सामान्य कारक 5 को ब्रैकेट से बाहर करना बेहतर है: 5 (√5 - √3)।

ग) और फिर से गुणनखंडन: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. मूल चिह्न को निकालने के बाद, हमारे पास है:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11। समान पदों को कम करने के बाद, हमें परिणाम मिलता है: 7√11।

भिन्नात्मक उदाहरण

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

निम्नलिखित संख्याओं को गुणनखंड करने की आवश्यकता होगी: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49। इसी तरह पहले से विचार किए गए लोगों के लिए, आपको कारकों को जड़ के नीचे से निकालने की आवश्यकता है अभिव्यक्ति पर हस्ताक्षर करें और सरल करें:

3/2 5 - 2√5 - 5/3 (½) - 7/6 5 + 7 (½) = (3/2 - 2 - 7/6) 5 - (5/3 - 7 ) (½) = - 5/3 5 + 16/3 (½)।

इस अभिव्यक्ति को हर में तर्कहीनता से छुटकारा पाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, दूसरे पद को √2/√2 से गुणा करें:

5/3 √5 + 16/3 (½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2।

क्रिया को पूरा करने के लिए, आपको जड़ों के सामने कारकों के पूर्णांक भाग का चयन करना होगा। पहला 1 है, दूसरा 2 है।

किसी संख्या का मूल कैलकुलेटर का उपयोग करके घटाना सबसे आसान है। लेकिन, अगर आपके पास कैलकुलेटर नहीं है, तो आपको वर्गमूल की गणना के लिए एल्गोरिदम जानने की जरूरत है। तथ्य यह है कि एक वर्ग में एक संख्या जड़ के नीचे बैठती है। उदाहरण के लिए, 4 वर्ग 16 है। यानी 16 का वर्गमूल चार के बराबर होगा। साथ ही, 5 वर्ग 25 है। इसलिए, 25 का मूल 5 होगा। इत्यादि।

यदि संख्या छोटी है, तो इसे मौखिक रूप से आसानी से घटाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 25 का मूल 5 होगा, और 144-12 का मूल होगा। आप कैलकुलेटर पर भी गणना कर सकते हैं, एक विशेष रूट आइकन है, आपको एक संख्या में ड्राइव करने और आइकन पर क्लिक करने की आवश्यकता है।

वर्गमूल तालिका भी मदद करेगी:

ऐसे अन्य तरीके हैं जो अधिक जटिल हैं, लेकिन बहुत प्रभावी हैं:

कैलकुलेटर का उपयोग करके किसी भी संख्या का मूल घटाया जा सकता है, खासकर जब से वे आज हर फोन में हैं।

आप यह पता लगाने की कोशिश कर सकते हैं कि यह कैसे हो सकता है दी गई संख्याएक संख्या को स्वयं से गुणा करके।



किसी संख्या के वर्गमूल की गणना करना मुश्किल नहीं है, खासकर अगर कोई विशेष तालिका हो। बीजगणित पाठों की एक प्रसिद्ध तालिका। इस तरह की संक्रिया को संख्या a का वर्गमूल निकालना, दूसरे शब्दों में, समीकरण को हल करना कहा जाता है। स्मार्टफोन में लगभग सभी कैलकुलेटर का वर्गमूल कार्य होता है।



किसी ज्ञात संख्या का वर्गमूल निकालने का परिणाम दूसरी संख्या होगी, जिसे दूसरी घात (वर्ग) तक बढ़ाने पर वही संख्या मिलेगी जो हम जानते हैं। बस्तियों के विवरणों में से एक पर विचार करें, जो संक्षिप्त और समझने योग्य लगता है:







यहाँ विषय पर एक वीडियो है:

किसी संख्या के वर्गमूल की गणना करने के कई तरीके हैं।

सबसे लोकप्रिय तरीका एक विशेष रूट टेबल (नीचे देखें) का उपयोग करना है।

इसके अलावा प्रत्येक कैलकुलेटर पर एक फ़ंक्शन होता है जिसके साथ आप रूट ढूंढ सकते हैं।

या एक विशेष सूत्र का उपयोग करना।



किसी संख्या का वर्गमूल निकालने के कई तरीके हैं। उनमें से एक कैलकुलेटर का उपयोग करते हुए सबसे तेज़ है।

लेकिन अगर कोई कैलकुलेटर नहीं है, तो आप इसे मैन्युअल रूप से कर सकते हैं।

परिणाम सटीक होगा।

सिद्धांत लगभग एक स्तंभ द्वारा विभाजन के समान है:



















आइए कैलकुलेटर के बिना किसी संख्या के वर्गमूल का मान ज्ञात करने का प्रयास करें, उदाहरण के लिए, 190969।







इस प्रकार, सब कुछ बेहद सरल है। गणना में, मुख्य बात निश्चित का पालन करना है सरल नियमऔर तार्किक रूप से सोचें।

इसके लिए आपको वर्गों की एक तालिका चाहिए



उदाहरण के लिए, 100 का मूल = 10, 20 का = 400 का 43 = 1849

अब लगभग सभी कैलकुलेटर, जिनमें स्मार्टफोन भी शामिल हैं, किसी संख्या के वर्गमूल की गणना कर सकते हैं। लेकिन अगर आपके पास कैलकुलेटर नहीं है, तो आप कई आसान तरीकों से संख्या का मूल ढूंढ सकते हैं:

मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया



मूल संख्या को उन गुणनखंडों में विभाजित करें जो वर्ग संख्याएँ हैं। मूल संख्या के आधार पर, आपको अनुमानित या सटीक उत्तर मिलेगा। वर्ग संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनसे पूरा वर्गमूल लिया जा सकता है। किसी संख्या के गुणनखंड जो गुणा करने पर मूल संख्या देते हैं। उदाहरण के लिए, संख्या 8 के गुणनखंड 2 और 4 हैं, क्योंकि 2 x 4 = 8, संख्याएँ 25, 36, 49 वर्ग संख्याएँ हैं, क्योंकि 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7 वर्ग गुणनखंड हैं। वर्ग संख्याएँ हैं। सबसे पहले, मूल संख्या को वर्ग गुणनखंडों में गुणनखंडित करने का प्रयास करें।

उदाहरण के लिए, 400 (मैन्युअल रूप से) के वर्गमूल की गणना करें। पहले 400 को वर्ग गुणनखंडों में विभाजित करने का प्रयास करें। 400, 100 का गुणज है, जो एक वर्ग संख्या है जो 25 से विभाज्य है। 400 को 25 से भाग देने पर आपको 16 प्राप्त होता है, जो एक वर्ग संख्या भी है। इस प्रकार, 400 को 25 और 16 के वर्ग गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है, अर्थात 25 x 16 = 400.

इसे इस प्रकार लिखें: 400 = (25 x 16)।



कुछ पदों के गुणनफल का वर्गमूल प्रत्येक पद के वर्गमूल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात (a x b) = a x b। इस नियम का उपयोग करते हुए, प्रत्येक वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लें और उत्तर खोजने के लिए परिणामों को गुणा करें।

हमारे उदाहरण में, 25 और 16 का वर्गमूल लें।



यदि मूल संख्या दो वर्ग गुणनखंडों में कारक नहीं है (और यह ज्यादातर मामलों में होता है), तो आप पूर्णांक के रूप में सटीक उत्तर नहीं खोज पाएंगे। लेकिन आप मूल संख्या को एक वर्ग गुणनखंड और एक साधारण गुणनखंड (एक ऐसी संख्या जिससे पूरा वर्गमूल नहीं लिया जा सकता) में विघटित करके समस्या को सरल बना सकते हैं। फिर आप वर्ग गुणनखंड का वर्गमूल लेंगे और आप साधारण गुणनखंड का मूल लेंगे।

उदाहरण के लिए, संख्या 147 के वर्गमूल की गणना करें। संख्या 147 को दो वर्ग कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, लेकिन इसे निम्नलिखित कारकों में विभाजित किया जा सकता है: 49 और 3. समस्या को निम्नानुसार हल करें:



अब आप मूल संख्या के निकटतम (संख्या रेखा के दोनों किनारों पर) वर्गमूल के मानों के साथ तुलना करके रूट के मान (अनुमानित मान का पता लगाएं) का मूल्यांकन कर सकते हैं। आपको रूट का मान इस प्रकार मिलेगा दशमलव अंश, जिसे मूल चिह्न के पीछे की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए।

आइए अपने उदाहरण पर वापस जाएं। मूल संख्या 3 है। इसकी निकटतम वर्ग संख्याएँ संख्याएँ 1 (1 \u003d 1) और 4 (4 \u003d 2) होंगी। इस प्रकार, 3 का मान 1 और 2 के बीच है। चूँकि 3 का मान संभवतः 1 से 2 के अधिक निकट है, हमारा अनुमान है: 3 = 1.7। हम इस मान को मूल चिह्न पर संख्या से गुणा करते हैं: 7 x 1.7 \u003d 11.9। यदि आप कैलकुलेटर पर गणना करते हैं, तो आपको 12.13 मिलता है, जो हमारे उत्तर के काफी करीब है।

यह विधि बड़ी संख्या के साथ भी काम करती है। उदाहरण के लिए, 35 पर विचार करें। मूल संख्या 35 है। इसके निकटतम वर्ग संख्याएँ 25 (25 = 5) और 36 (36 = 6) हैं। इस प्रकार, मान 35, 5 और 6 के बीच है। चूँकि मान 35, 5 की तुलना में 6 के अधिक करीब है (क्योंकि 35, 36 से केवल 1 कम है), हम कह सकते हैं कि 35, 6 से थोड़ा कम है। कैलकुलेटर पर जाँच करने से पता चलता है कि हमें उत्तर 5.92 - हम सही थे।



दूसरा तरीका यह है कि मूल संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित किया जाए। किसी संख्या के अभाज्य गुणनखंड जो केवल 1 और स्वयं से विभाज्य हैं। अभाज्य गुणनखंडों को एक पंक्ति में लिखिए और समान गुणनखंडों के युग्म ज्ञात कीजिए। ऐसे कारकों को जड़ के चिन्ह से बाहर निकाला जा सकता है।

उदाहरण के लिए, 45 के वर्गमूल की गणना करें। हम मूल संख्या को प्रमुख कारकों में विभाजित करते हैं: 45 \u003d 9 x 5, और 9 \u003d 3 x 3. इस प्रकार, 45 \u003d (3 x 3 x 5)। 3 को मूल चिह्न से निकाला जा सकता है: 45 = 35। अब हम 5 का अनुमान लगा सकते हैं।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11)। आपको तीन गुणक 2s मिले हैं; उनमें से कुछ ले लो और उन्हें जड़ के चिन्ह से बाहर निकालो।

2(2 x 11) = 22 x 11. अब आप 2 और 11 का मूल्यांकन कर सकते हैं और अनुमानित उत्तर ढूंढ सकते हैं।

यह ट्यूटोरियल वीडियो भी मददगार हो सकता है:

किसी संख्या से मूल निकालने के लिए, आपको एक कैलकुलेटर का उपयोग करना चाहिए, या यदि कोई उपयुक्त नहीं है, तो मैं आपको इस साइट पर जाने और समस्या का समाधान करने की सलाह देता हूं। ऑनलाइन कैलकुलेटर, जो सेकंड में सही मान देगा।

विषय:

वर्गमूलों को जोड़ना और घटाना तभी संभव है जब उनका मूल व्यंजक समान हो, यानी आप 2√3 और 4√3 को जोड़ या घटा सकते हैं, लेकिन 2√3 और 2√5 नहीं। आप मूल व्यंजक को समान मूलक व्यंजक के साथ मूल में बदलने के लिए सरल कर सकते हैं (और फिर उन्हें जोड़ या घटा सकते हैं)।

कदम

भाग 1 मूल बातें समझना

1. 1 (मूल के चिन्ह के नीचे अभिव्यक्ति)।ऐसा करने के लिए, मूल संख्या को दो कारकों में विभाजित करें, जिनमें से एक वर्ग संख्या है (एक संख्या जिसमें से पूरी जड़ निकाली जा सकती है, उदाहरण के लिए, 25 या 9)। उसके बाद, वर्ग संख्या का मूल लें और पाया गया मान मूल चिह्न के सामने लिखें (दूसरा कारक मूल चिह्न के नीचे रहेगा)। उदाहरण के लिए, 6√50 - 2√8 + 5√12। मूल चिह्न के सामने की संख्याएँ संगत मूलों के गुणनखंड हैं, और मूल चिह्न के नीचे की संख्याएँ मूल संख्याएँ (व्यंजक) हैं। यहाँ इस समस्या को हल करने का तरीका बताया गया है:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2। यहां आप 50 को गुणनखंड 25 और 2 में रखते हैं; फिर 25 में से 5 के बराबर जड़ निकालो, और जड़ के नीचे से 5 निकालो। फिर 5 को 6 से गुणा करें (मूल पर गुणनखंड) और 30√2 प्राप्त करें।
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2। यहां आप 8 को गुणनखंड 4 और 2 में रखते हैं; फिर 4 में से आप 2 के बराबर जड़ निकाल लें, और जड़ के नीचे से 2 निकाल लें। फिर आप 2 को 2 से गुणा करते हैं (मूल पर गुणनखंड) और आपको 4√2 मिलता है।
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3। यहां आप 12 को गुणनखंड 4 और 3 में रखते हैं; फिर 4 में से 2 के बराबर जड़ निकालें, और जड़ के नीचे से 2 निकाल लें। फिर आप 2 को 5 से गुणा करते हैं (मूल पर गुणनखंड) और आपको 10√3 मिलता है।
2. 2 उन मूलों को रेखांकित कीजिए जिनके मूल व्यंजक समान हैं।हमारे उदाहरण में, सरलीकृत व्यंजक है: 30√2 - 4√2 + 10√3। इसमें आपको पहले और दूसरे टर्म को अंडरलाइन करना होगा ( 30√2 तथा 4√2 ), क्योंकि उनका मूल संख्या 2 समान है। केवल ऐसे मूल ही आप जोड़ और घटा सकते हैं।
3. 3 यदि आपको बड़ी संख्या में पदों के साथ एक अभिव्यक्ति दी गई है, जिनमें से कई में समान मूल अभिव्यक्तियां हैं, तो इस अभिव्यक्ति को हल करना आसान बनाने के लिए ऐसे शब्दों को इंगित करने के लिए सिंगल, डबल, ट्रिपल अंडरस्कोर का उपयोग करें।
4. 4 उन मूलों पर जिनके मूलांक समान हैं, मूल चिह्न के सामने गुणनखंड जोड़ें या घटाएं, और मूलांक व्यंजक को वही रहने दें (मूलांकों को जोड़ें या घटाएं नहीं!) विचार यह दिखाने के लिए है कि इस अभिव्यक्ति में एक निश्चित कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के साथ कितनी जड़ें हैं।
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

भाग 2 उदाहरणों के साथ अभ्यास करना

1. 1 उदाहरण 1: √(45) + 4√5.
   • (45) को सरल कीजिए। कारक 45: (45) = √(9 x 5)।
   • जड़ के नीचे से 3 को बाहर निकालें (√9 = 3): (45) = 3√5।
   • अब गुणनखंडों को मूल में जोड़ें: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 उदाहरण 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • 6√(40) को सरल कीजिए। कारक 40: 6√(40) = 6√(4 x 10)।
   • जड़ के नीचे से 2 को बाहर निकालें (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10।
   • मूल से पहले गुणनखंडों को गुणा करें और 12√10 प्राप्त करें।
   • अब व्यंजक को 12√10 - 3√(10) + √5 के रूप में लिखा जा सकता है। चूँकि पहले दो पदों में समान मूलांक हैं, आप पहले से दूसरे पद को घटा सकते हैं, और पहले को अपरिवर्तित छोड़ सकते हैं।
   • आप प्राप्त करेंगे: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + 5।
3. 3 उदाहरण 3 9√5 -2√3 - 4√5। यहां, किसी भी मूल भाव को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इस अभिव्यक्ति को सरल बनाने से काम नहीं चलेगा। आप तीसरे पद को पहले से घटा सकते हैं (क्योंकि उनके पास एक ही मूल संख्या है) और दूसरे पद को अपरिवर्तित छोड़ दें। आप प्राप्त करेंगे: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3।
4. 4 उदाहरण 4 √9 + √4 - 3√2.
   • 9 = (3 x 3) = 3.
   • 4 = (2 x 2) = 2.
   • अब आप केवल 3 + 2 जोड़कर 5 प्राप्त कर सकते हैं।
   • अंतिम उत्तर: 5 - 3√2।
5. 5 उदाहरण 5एक व्यंजक को हल करें जिसमें मूल और भिन्न हों। आप केवल उन भिन्नों को जोड़ और परिकलित कर सकते हैं जिनमें एक समान (समान) हर होता है। व्यंजक (√2)/4 + (√2)/2 दिया गया है।
   • इन भिन्नों का सबसे छोटा सार्व भाजक ज्ञात कीजिए। यह एक ऐसी संख्या है जो प्रत्येक हर से समान रूप से विभाज्य है। हमारे उदाहरण में, संख्या 4, 4 और 2 से विभाज्य है।
   • अब दूसरी भिन्न को 2/2 से गुणा करें (इसे एक सामान्य हर में लाने के लिए; पहला अंश पहले ही घटा दिया गया है): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4।
   • अंशों को जोड़ें और हर को वही छोड़ दें: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• मूल जोड़ने या घटाने से पहले, मूल भावों को सरल (यदि संभव हो) करना सुनिश्चित करें।

चेतावनी

• अलग-अलग मूल भावों के साथ जड़ों को कभी भी जोड़ें या घटाएं नहीं।
• उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक और एक रूट को कभी भी जोड़ें या घटाएं नहीं, 3 + (2x) 1/2 .
  • नोट: "x" से दूसरी घात और "x" का वर्गमूल एक ही चीज़ है (अर्थात x 1/2 = x)।

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• हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि ऑडिट करना, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना ताकि हम प्रदान की जाने वाली सेवाओं में सुधार कर सकें और आपको हमारी सेवाओं के बारे में सिफारिशें प्रदान कर सकें।
• यदि आप एक पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रोत्साहन में प्रवेश करते हैं, तो हम आपके द्वारा प्रदान की जाने वाली जानकारी का उपयोग ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए कर सकते हैं।

तीसरे पक्ष के लिए प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को नहीं बताते हैं।

अपवाद:

• यदि आवश्यक हो - कानून के अनुसार, न्यायिक आदेश, कानूनी कार्यवाही में, और / या सार्वजनिक अनुरोधों या अनुरोधों के आधार पर सरकारी संस्थाएंरूसी संघ के क्षेत्र में - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करें। हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक हित उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उपयुक्त है।
• पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम अपने द्वारा एकत्रित की गई व्यक्तिगत जानकारी को संबंधित तृतीय पक्ष उत्तराधिकारी को स्थानांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को नुकसान, चोरी और दुरुपयोग से बचाने के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए - प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानी बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता बनाए रखना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा प्रथाओं के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।