शक्तियों के साथ समीकरणों के सूत्र। घातीय समीकरण। घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

स्वास्थ्य

यह पाठ उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो अभी-अभी घातांकीय समीकरण सीखना शुरू कर रहे हैं। हमेशा की तरह, आइए एक परिभाषा और सरल उदाहरणों से शुरू करें।

यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो मुझे संदेह है कि आपको पहले से ही सरलतम समीकरणों की कम से कम समझ है - रैखिक और वर्ग: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ आदि। इस तरह के निर्माणों को हल करने में सक्षम होने के लिए अब जिस विषय पर चर्चा की जाएगी, उसमें "लटका" न करने के लिए नितांत आवश्यक है।

तो, घातीय समीकरण। मैं आपको कुछ उदाहरण देता हूं:

\[(((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

उनमें से कुछ आपको अधिक जटिल लग सकते हैं, उनमें से कुछ, इसके विपरीत, बहुत सरल हैं। लेकिन वे सभी एक महत्वपूर्ण विशेषता से एकजुट हैं: उनमें एक घातीय फ़ंक्शन $f\left(x \right)=((a)^(x))$ होता है। इस प्रकार, हम परिभाषा पेश करते हैं:

एक घातीय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें एक घातीय कार्य होता है, अर्थात। $((a)^(x))$ फॉर्म की अभिव्यक्ति। निर्दिष्ट फ़ंक्शन के अलावा, ऐसे समीकरणों में कोई अन्य बीजीय निर्माण शामिल हो सकते हैं - बहुपद, जड़ें, त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि।

ठीक है फिर। परिभाषा समझी। अब सवाल यह है कि इस सारी बकवास को कैसे सुलझाया जाए? उत्तर एक ही समय में सरल और जटिल दोनों है।

आइए खुशखबरी के साथ शुरू करें: कई छात्रों के साथ अपने अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि उनमें से अधिकांश के लिए, घातीय समीकरण समान लघुगणक की तुलना में बहुत आसान हैं, और इससे भी अधिक त्रिकोणमिति।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: कभी-कभी सभी प्रकार की पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं के लिए समस्याओं के संकलनकर्ता "प्रेरणा" के पास जाते हैं, और उनका नशा-ग्रस्त मस्तिष्क ऐसे क्रूर समीकरण उत्पन्न करने लगता है कि न केवल छात्रों के लिए उन्हें हल करना समस्याग्रस्त हो जाता है - यहां तक कि कई शिक्षक ऐसी समस्याओं पर फंस जाते हैं।

हालांकि, आइए दुखद चीजों के बारे में बात न करें। और आइए उन तीन समीकरणों पर लौटते हैं जो कहानी की शुरुआत में दिए गए थे। आइए उनमें से प्रत्येक को हल करने का प्रयास करें।

पहला समीकरण: $((2)^(x))=4$। अच्छा, संख्या 4 प्राप्त करने के लिए संख्या 2 को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? शायद दूसरा? आखिरकार, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — और हमने सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की है, अर्थात। वास्तव में $x=2$। खैर, धन्यवाद, टोपी, लेकिन यह समीकरण इतना आसान था कि मेरी बिल्ली भी इसे हल कर सकती थी। :)

आइए निम्नलिखित समीकरण को देखें:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

लेकिन यहां यह थोड़ा और मुश्किल है। कई छात्र जानते हैं कि $((5)^(2))=25$ गुणन तालिका है। कुछ को यह भी संदेह है कि $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ अनिवार्य रूप से नकारात्मक घातांक की परिभाषा है (सूत्र $((a)^(-n))= \ के समान फ्रैक(1)(((ए)^(एन)))$)।

अंत में, केवल कुछ चुनिंदा अनुमान लगाते हैं कि इन तथ्यों को जोड़ा जा सकता है और आउटपुट निम्न परिणाम है:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

इस प्रकार, हमारे मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

और अब यह पहले से ही पूरी तरह से हल हो गया है! समीकरण के बाईं ओर एक घातीय कार्य है, समीकरण के दाईं ओर एक घातीय कार्य है, उनके अलावा कहीं और कुछ नहीं है। इसलिए, आधारों को "त्याग" करना और संकेतकों को मूर्खतापूर्ण रूप से समान करना संभव है:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला है जिसे कोई भी छात्र केवल दो पंक्तियों में हल कर सकता है। ठीक है, चार पंक्तियों में:

\[\शुरू (संरेखित) और 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

यदि आप समझ नहीं पा रहे हैं कि पिछली चार पंक्तियों में क्या हुआ, तो "रैखिक समीकरण" विषय पर वापस आना सुनिश्चित करें और इसे दोहराएं। क्योंकि इस विषय को स्पष्ट रूप से आत्मसात किए बिना, आपके लिए घातीय समीकरणों को लेना जल्दबाजी होगी।

\[((9)^(x))=-3\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? पहला विचार: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, इसलिए मूल समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \दाएं))^(x))=-3\]

फिर हम याद करते हैं कि जब एक घात की डिग्री बढ़ाते हैं, तो संकेतक गुणा किए जाते हैं:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\शुरू (संरेखित) और 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

और इस तरह के निर्णय के लिए, हमें ईमानदारी से योग्य ड्यूस मिलता है। हमारे लिए, पोकेमोन की समता के साथ, तीनों के सामने माइनस साइन को इन तीनों की शक्ति के लिए भेजा। और आप ऐसा नहीं कर सकते। और यही कारण है। पर एक नज़र डालें अलग डिग्रीतीन गुना:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)() 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

इस टैबलेट को संकलित करते हुए, मैंने जैसे ही किया, मैंने विकृत नहीं किया: मैंने सकारात्मक डिग्री, और नकारात्मक वाले, और यहां तक कि आंशिक वाले भी माना ... ठीक है, यहां कम से कम एक नकारात्मक संख्या कहां है? वह नहीं है! और ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि घातांकीय फलन $y=((a)^(x))$, सबसे पहले, हमेशा केवल लेता है सकारात्मक मूल्य(कितने एक को गुणा नहीं करते या दो से भाग नहीं देते - यह तब भी रहेगा सकारात्मक संख्या), और दूसरी बात, ऐसे फ़ंक्शन का आधार, संख्या $a$, परिभाषा के अनुसार एक सकारात्मक संख्या है!

खैर, फिर समीकरण $((9)^(x))=-3$ कैसे हल करें? नहीं, कोई जड़ें नहीं हैं। और इस अर्थ में, घातीय समीकरण द्विघात समीकरणों के समान हैं - कोई मूल भी नहीं हो सकता है। लेकिन अगर द्विघात समीकरणों में जड़ों की संख्या विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है (विभेदक सकारात्मक है - 2 जड़ें, नकारात्मक - कोई जड़ें नहीं), तो घातीय समीकरणों में यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि बराबर चिह्न के दाईं ओर क्या है।

इस प्रकार, हम मुख्य निष्कर्ष तैयार करते हैं: फॉर्म का सबसे सरल घातीय समीकरण $((a)^(x))=b$ का मूल होता है अगर और केवल अगर $b>0$। इस सरल तथ्य को जानकर, आप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि आपके लिए प्रस्तावित समीकरण की जड़ें हैं या नहीं। वे। क्या यह बिल्कुल हल करने लायक है या तुरंत लिख लें कि कोई जड़ें नहीं हैं।

जब हमें अधिक जटिल समस्याओं को हल करना होगा तो यह ज्ञान हमें कई बार मदद करेगा। इस बीच, पर्याप्त गीत - यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल एल्गोरिदम का अध्ययन करने का समय है।

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

तो, चलिए समस्या तैयार करते हैं। घातीय समीकरण को हल करना आवश्यक है:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

"बेवकूफ" एल्गोरिथ्म के अनुसार जो हमने पहले इस्तेमाल किया था, संख्या $b$ को संख्या $a$ की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है:

इसके अलावा, यदि चर $x$ के बजाय कोई अभिव्यक्ति है, तो हमें एक नया समीकरण मिलेगा, जिसे पहले ही हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

और अजीब तरह से, यह योजना लगभग 90% मामलों में काम करती है। फिर बाकी 10% का क्या? शेष 10% फॉर्म के थोड़े "सिज़ोफ्रेनिक" घातीय समीकरण हैं:

\[(((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

3 प्राप्त करने के लिए आपको 2 को किस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है? पहली बार में? लेकिन नहीं: $((2)^(1))=2$ पर्याप्त नहीं है। क्षण में? न तो: $((2)^(2))=4$ बहुत अधिक है। फिर क्या?

जानकार छात्रों ने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया है: ऐसे मामलों में, जब "खूबसूरती से" हल करना असंभव है, "भारी तोपखाने" मामले से जुड़ा हुआ है - लघुगणक। मैं आपको याद दिला दूं कि लघुगणक का उपयोग करके, किसी भी धनात्मक संख्या को किसी अन्य धनात्मक संख्या (एक को छोड़कर) की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह सूत्र याद है? जब मैं अपने छात्रों को लघुगणक के बारे में बताता हूं, तो मैं हमेशा आपको चेतावनी देता हूं: यह सूत्र (यह मूल लघुगणकीय पहचान भी है या, यदि आप चाहें, तो लघुगणक की परिभाषा) आपको बहुत लंबे समय तक परेशान करेंगे और सबसे अधिक "उभरेंगे" अप्रत्याशित स्थान। खैर, वह सामने आई। आइए हमारे समीकरण और इस सूत्र को देखें:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

यदि हम मानते हैं कि $a=3$ दाईं ओर हमारी मूल संख्या है, और $b=2$ घातीय फ़ंक्शन का बहुत आधार है, जिसके लिए हम दाईं ओर लाना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3)\Rightarrow x=( (\ लॉग)_(2))3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हमें थोड़ा अजीब जवाब मिला: $x=((\log )_(2))3$। किसी अन्य कार्य में, इस तरह के उत्तर के साथ, बहुत से लोग संदेह करेंगे और अपने समाधान को दोबारा जांचना शुरू कर देंगे: क्या होगा अगर कहीं कोई गलती हो? मैं आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करता हूं: यहां कोई त्रुटि नहीं है, और घातीय समीकरणों की जड़ों में लॉगरिदम काफी विशिष्ट स्थिति है। तो इसकी आदत डालें। :)

अब हम सादृश्य द्वारा शेष दो समीकरणों को हल करते हैं:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! वैसे, अंतिम उत्तर अलग तरह से लिखा जा सकता है:

यह हम थे जिन्होंने गुणक को लघुगणक के तर्क में पेश किया। लेकिन हमें इस कारक को आधार से जोड़ने से कोई नहीं रोकता है:

इस मामले में, तीनों विकल्प सही हैं - यह सही है अलग - अलग रूपएक ही नंबर का रिकॉर्ड इस निर्णय में किसे चुनना और लिखना है, यह आप पर निर्भर है।

इस प्रकार, हमने $((a)^(x))=b$ फॉर्म के किसी भी घातीय समीकरण को हल करना सीख लिया है, जहां संख्या $a$ और $b$ सख्ती से सकारात्मक हैं। हालाँकि, हमारी दुनिया की कठोर वास्तविकता यह है कि ऐसे सरल कार्य आपको बहुत कम ही मिलेंगे। अधिक बार आप कुछ इस तरह से आएंगे:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? क्या इसे बिल्कुल हल किया जा सकता है? और अगर ऐसा है तो कैसे?

घबराए नहीं। ये सभी समीकरण जल्दी और सरलता से उन सरल सूत्रों तक सीमित हो जाते हैं जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। आपको केवल बीजगणित पाठ्यक्रम से कुछ तरकीबों को याद रखने के लिए जानने की जरूरत है। और हां, यहां डिग्री के साथ काम करने के लिए कोई नियम नहीं हैं। मैं अब इस सब के बारे में बात करूंगा। :)

घातीय समीकरणों का परिवर्तन

याद रखने वाली पहली बात यह है कि कोई भी घातीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, एक तरह से या किसी अन्य को सरलतम समीकरणों में कम किया जाना चाहिए - वही जिन्हें हमने पहले ही माना है और जिन्हें हम हल करना जानते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी घातीय समीकरण को हल करने की योजना इस तरह दिखती है:

मूल समीकरण लिखिए। उदाहरण के लिए: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
कुछ बेवकूफी करो। या कुछ बकवास भी कहा जाता है "समीकरण को बदलना";
आउटपुट पर, $((4)^(x))=4$ या उसके जैसा कुछ और फ़ॉर्म के सरलतम भाव प्राप्त करें। इसके अलावा, एक प्रारंभिक समीकरण एक साथ कई ऐसे व्यंजक दे सकता है।

पहले बिंदु के साथ, सब कुछ स्पष्ट है - मेरी बिल्ली भी एक पत्ते पर समीकरण लिख सकती है। तीसरे बिंदु के साथ, ऐसा लगता है, यह कमोबेश स्पष्ट है - हमने पहले ही ऐसे समीकरणों का एक पूरा समूह हल कर लिया है।

लेकिन दूसरे बिंदु का क्या? रूपांतरण क्या हैं? क्या बदलना है? और कैसे?

खैर, आइए इसका पता लगाते हैं। सबसे पहले, मैं निम्नलिखित का उल्लेख करना चाहूंगा। सभी घातीय समीकरण दो प्रकारों में विभाजित हैं:

समीकरण एक ही आधार के साथ घातीय कार्यों से बना है। उदाहरण: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
सूत्र में विभिन्न आधारों के साथ घातीय कार्य होते हैं। उदाहरण: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ और $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$।

आइए पहले प्रकार के समीकरणों से शुरू करें - वे हल करने में सबसे आसान हैं। और उनके समाधान में हमें स्थिर अभिव्यक्तियों के चयन जैसी तकनीक से मदद मिलेगी।

एक स्थिर अभिव्यक्ति को हाइलाइट करना

आइए इस समीकरण को फिर से देखें:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

हम क्या देखते हैं? चारों को अलग-अलग डिग्री तक उठाया जाता है। लेकिन ये सभी शक्तियां अन्य संख्याओं के साथ चर $x$ के साधारण योग हैं। इसलिए, डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना आवश्यक है:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(वाई)))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, घातांक के योग को शक्तियों के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है, और घटाव को आसानी से विभाजन में परिवर्तित किया जा सकता है। आइए इन सूत्रों को हमारे समीकरण से शक्तियों पर लागू करने का प्रयास करें:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\अंत (संरेखित करें)\]

हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं, और फिर हम बाईं ओर के सभी शब्दों को एकत्रित करते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -ग्यारह; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\अंत (संरेखित करें)\]

पहले चार शब्दों में $((4)^(x))$ तत्व शामिल है - आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यह समीकरण के दोनों भागों को अंश $-\frac(11)(4)$ से विभाजित करने के लिए रहता है, अर्थात। उल्टे अंश से अनिवार्य रूप से गुणा करें - $-\frac(4)(11)$। हम पाते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \बाएं(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमने मूल समीकरण को सरलतम में घटा दिया और अंतिम उत्तर प्राप्त कर लिया।

उसी समय, हल करने की प्रक्रिया में, हमने सामान्य कारक $((4)^(x))$ की खोज की (और यहां तक कि कोष्ठक से बाहर भी ले लिया) - यह स्थिर अभिव्यक्ति है। इसे एक नए चर के रूप में नामित किया जा सकता है, या आप इसे केवल सटीक रूप से व्यक्त कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। किसी भी मामले में, समाधान का मुख्य सिद्धांत इस प्रकार है:

मूल समीकरण में एक स्थिर व्यंजक खोजें जिसमें एक चर हो जो सभी घातांकीय कार्यों से आसानी से अलग हो।

अच्छी खबर यह है कि लगभग हर घातीय समीकरण ऐसी स्थिर अभिव्यक्ति को स्वीकार करता है।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: इस तरह के भाव बहुत मुश्किल हो सकते हैं, और उन्हें अलग करना काफी मुश्किल हो सकता है। तो आइए एक और समस्या देखें:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

शायद अब किसी के मन में यह सवाल होगा: “पाशा, क्या तुम पथराव कर रहे हो? यहाँ विभिन्न आधार हैं - 5 और 0.2। लेकिन आइए आधार 0.2 के साथ एक शक्ति को परिवर्तित करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए दशमलव अंश से छुटकारा पाएं, इसे सामान्य पर लाएं:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 5 अभी भी दिखाई दी, यद्यपि हर में। उसी समय, संकेतक को नकारात्मक के रूप में फिर से लिखा गया था। और अब हम डिग्री के साथ काम करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण नियमों में से एक को याद करते हैं:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\बाएं(x+1 \right)))=((\बाएं(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

यहाँ, निश्चित रूप से, मैंने थोड़ा धोखा दिया। क्योंकि पूरी तरह से समझने के लिए, नकारात्मक संकेतकों से छुटकारा पाने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाना था:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\बाएं(\frac(1)(5)\right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ दाएं))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

दूसरी ओर, कुछ भी हमें केवल एक अंश के साथ काम करने से नहीं रोकता है:

\[((\बाएं(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\बाएं(((5)^(-1)) \ दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं)))=((5)^(\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) ))=((5)^(x+1))\]

लेकिन इस मामले में, आपको एक डिग्री को दूसरी डिग्री तक बढ़ाने में सक्षम होना चाहिए (मैं आपको याद दिलाता हूं: इस मामले में, संकेतक जोड़े जाते हैं)। लेकिन मुझे अंशों को "फ्लिप" नहीं करना था - शायद किसी के लिए यह आसान होगा। :)

किसी भी स्थिति में, मूल घातांक समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

तो यह पता चला है कि मूल समीकरण को पहले की तुलना में हल करना और भी आसान है: यहां आपको एक स्थिर अभिव्यक्ति को एकल करने की भी आवश्यकता नहीं है - सब कुछ अपने आप कम हो गया है। यह केवल याद रखना है कि $1=((5)^(0))$, जहां से हमें मिलता है:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यही है पूरा समाधान! हमें अंतिम उत्तर मिला: $x=-2$। उसी समय, मैं एक तरकीब पर ध्यान देना चाहूंगा जिसने हमारे लिए सभी गणनाओं को बहुत सरल बना दिया:

घातांकीय समीकरणों में, से छुटकारा पाना सुनिश्चित करें दशमलव भाग, उन्हें सामान्य में परिवर्तित करें। यह आपको डिग्री के समान आधारों को देखने की अनुमति देगा और समाधान को बहुत सरल करेगा।

अब आइए अधिक जटिल समीकरणों पर चलते हैं जिनमें विभिन्न आधार होते हैं, जो आम तौर पर शक्तियों का उपयोग करके एक-दूसरे के लिए कम नहीं होते हैं।

घातांक संपत्ति का उपयोग करना

मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास दो और विशेष रूप से कठोर समीकरण हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यहां मुख्य कठिनाई यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किस आधार पर और किस आधार पर नेतृत्व करना है। कहाँ पे भाव सेट करें? सामान्य आधार कहाँ हैं? इसमें से कोई नहीं है।

लेकिन चलिए दूसरे रास्ते पर जाने की कोशिश करते हैं। यदि कोई तैयार किए गए समान आधार नहीं हैं, तो आप उपलब्ध आधारों को फैक्टर करके उन्हें खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए पहले समीकरण से शुरू करें:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ सीडॉट ((3)^(3x))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन आखिरकार, आप इसके विपरीत कर सकते हैं - संख्या 7 और 3 से संख्या 21 बनाएं। बाईं ओर ऐसा करना विशेष रूप से आसान है, क्योंकि दोनों डिग्री के संकेतक समान हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& एक्स = 3। \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! आपने गुणनफल से घातांक निकाल लिया और तुरंत एक सुंदर समीकरण प्राप्त कर लिया जिसे दो पंक्तियों में हल किया जा सकता है।

अब दूसरे समीकरण से निपटते हैं। यहाँ सब कुछ बहुत अधिक जटिल है:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\बाएं(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

इस मामले में, अंश अघुलनशील निकले, लेकिन अगर कुछ कम किया जा सकता है, तो इसे कम करना सुनिश्चित करें। यह अक्सर दिलचस्प आधारों का परिणाम देगा जिनके साथ आप पहले से ही काम कर सकते हैं।

दुर्भाग्य से, हम कुछ भी लेकर नहीं आए हैं। लेकिन हम देखते हैं कि उत्पाद में बाईं ओर के घातांक विपरीत हैं:

मैं आपको याद दिला दूं: घातांक में ऋण चिह्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको अंश को "फ्लिप" करने की आवश्यकता है। तो चलिए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\बाएं(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\बाएं(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी पंक्ति में, हमने नियम $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) के अनुसार उत्पाद से कुल ब्रैकेट किया है। ))^ (x))$, और बाद में उन्होंने संख्या 100 को एक भिन्न से गुणा किया।

अब ध्यान दें कि बाईं ओर (आधार पर) और दाईं ओर की संख्याएँ कुछ हद तक समान हैं। कैसे? हाँ, ज़ाहिर है: वे एक ही संख्या की शक्तियाँ हैं! हमारे पास है:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \दाएं))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \दाएं))^(2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, हमारे समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \दाएं))^(2))\]

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

उसी समय, दाईं ओर, आप उसी आधार के साथ एक डिग्री भी प्राप्त कर सकते हैं, जिसके लिए यह केवल अंश को "फ्लिप" करने के लिए पर्याप्त है:

\[((\बाएं(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

अंत में, हमारा समीकरण रूप लेगा:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

वह पूरा समाधान है। उनका मुख्य विचार यह है कि भले ही विभिन्न आधार x हम इन आधारों को एक समान करने के लिए हुक या बदमाश द्वारा प्रयास कर रहे हैं। इसमें हमें समीकरणों के प्राथमिक परिवर्तनों और शक्तियों के साथ काम करने के नियमों से मदद मिलती है।

लेकिन क्या नियम और कब उपयोग करना है? कैसे समझें कि एक समीकरण में आपको दोनों पक्षों को किसी चीज़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, और दूसरे में - घातीय फ़ंक्शन के आधार को कारकों में विघटित करने के लिए?

इस प्रश्न का उत्तर अनुभव के साथ मिलेगा। पहले अपना हाथ आजमाएं सरल समीकरण, और फिर धीरे-धीरे कार्यों को जटिल बनाते हैं - और बहुत जल्द ही आपका कौशल उसी यूएसई या किसी भी स्वतंत्र / परीक्षण कार्य से किसी भी घातीय समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त होगा।

और इस कठिन कार्य में आपकी सहायता करने के लिए, मैं एक स्वतंत्र समाधान के लिए मेरी वेबसाइट पर समीकरणों का एक सेट डाउनलोड करने का सुझाव देता हूं। सभी समीकरणों के उत्तर होते हैं, इसलिए आप हमेशा स्वयं की जांच कर सकते हैं।

उपकरण:

एक कंप्यूटर,
मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर,
स्क्रीन,
अनुलग्नक 1(PowerPoint में स्लाइड प्रस्तुति) "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके"
परिशिष्ट 2(वर्ड में "डिग्री के तीन अलग-अलग आधार" जैसे समीकरण का समाधान)
परिशिष्ट 3(व्यावहारिक कार्य के लिए वर्ड में हैंडआउट)।
परिशिष्ट 4(होमवर्क के लिए वर्ड में हैंडआउट)।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक चरण

पाठ के विषय का संदेश (बोर्ड पर लिखा हुआ),
कक्षा 10-11 में एक सामान्यीकरण पाठ की आवश्यकता:

ज्ञान के सक्रिय आत्मसात के लिए छात्रों को तैयार करने का चरण

दुहराव

परिभाषा।

एक घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में एक चर होता है (छात्र उत्तर देता है)।

शिक्षक का नोट। घातीय समीकरण ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के वर्ग से संबंधित हैं। यह कठिन-से-उच्चारण नाम बताता है कि ऐसे समीकरण, सामान्यतया, सूत्रों के रूप में हल नहीं किए जा सकते हैं।

उन्हें कंप्यूटर पर लगभग संख्यात्मक तरीकों से ही हल किया जा सकता है। लेकिन परीक्षा के सवालों का क्या? पूरी चाल यह है कि परीक्षक समस्या की रचना इस तरह करता है कि वह सिर्फ एक विश्लेषणात्मक समाधान स्वीकार करता है। दूसरे शब्दों में, आप ऐसे समान परिवर्तन कर सकते हैं (और चाहिए!) जो दिए गए घातीय समीकरण को सरलतम घातीय समीकरण में कम करते हैं। यह सबसे सरल समीकरण है और इसे कहा जाता है: सबसे सरल घातीय समीकरण। यह हल हो गया है लघुगणक

एक घातीय समीकरण के समाधान के साथ स्थिति एक भूलभुलैया के माध्यम से एक यात्रा के समान होती है, जिसे विशेष रूप से समस्या के संकलक द्वारा आविष्कार किया गया था। इन बहुत ही सामान्य विचारों से, काफी विशिष्ट सिफारिशें अनुसरण करती हैं।

घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. न केवल सभी घातीय पहचानों को सक्रिय रूप से जानते हैं, बल्कि उन चर के मूल्यों के सेट भी ढूंढते हैं जिन पर इन पहचानों को परिभाषित किया जाता है, ताकि इन पहचानों का उपयोग करते समय, कोई अनावश्यक जड़ों को प्राप्त न करे, और इससे भी ज्यादा, खो न जाए समीकरण के समाधान।

2. सक्रिय रूप से सभी घातीय पहचानों को जानें।

3. स्पष्ट रूप से, विस्तार से और त्रुटियों के बिना, समीकरणों के गणितीय परिवर्तन करें (समीकरण के एक भाग से दूसरे में शब्दों को स्थानांतरित करें, चिह्न को बदलना न भूलें, भिन्न को एक सामान्य हर में कम करें, आदि)। इसे गणितीय संस्कृति कहते हैं। उसी समय, गणना स्वयं हाथों से की जानी चाहिए, और सिर को समाधान के सामान्य मार्गदर्शक सूत्र के बारे में सोचना चाहिए। परिवर्तनों को यथासंभव सावधानीपूर्वक और विस्तार से करना आवश्यक है। केवल यह एक सही, त्रुटि मुक्त समाधान की गारंटी देगा। और याद रखें: एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि केवल एक पारलौकिक समीकरण बना सकती है, जिसे सिद्धांत रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह पता चला है कि आप अपना रास्ता भटक गए और भूलभुलैया की दीवार में भाग गए।

4. समस्याओं को हल करने के तरीकों को जानें (अर्थात समाधान की भूलभुलैया के माध्यम से सभी रास्तों को जानें)। प्रत्येक चरण में सही अभिविन्यास के लिए, आपको (होशपूर्वक या सहज रूप से!) करना होगा:

परिभाषित करना समीकरण प्रकार;
संबंधित प्रकार याद रखें समाधान विधिकार्य।

अध्ययन की गई सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का चरण।

शिक्षक, छात्रों के साथ, कंप्यूटर की भागीदारी के साथ, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों का अवलोकन पुनरावृत्ति करता है, और एक सामान्य योजना तैयार करता है। (L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" के प्रशिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग किया जाता है, PowerPoint प्रस्तुति के लेखक T.N. Kuptsova हैं।)

चावल। एक।यह आंकड़ा सभी प्रकार के घातीय समीकरणों की एक सामान्य योजना दिखाता है।

जैसा कि इस आरेख से देखा जा सकता है, घातीय समीकरणों को हल करने की रणनीति इस घातीय समीकरण को समीकरण में कम करना है, सबसे पहले, एक ही आधार के साथ , और फिर - और समान प्रतिपादकों के साथ।

समान आधारों और घातांक के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इस डिग्री को एक नए चर के साथ बदलते हैं और इस नए चर के संबंध में एक साधारण बीजीय समीकरण (आमतौर पर भिन्नात्मक तर्कसंगत या द्विघात) प्राप्त करते हैं।

इस समीकरण को हल करके और उलटा प्रतिस्थापन करके, आप सरल घातीय समीकरणों के एक सेट के साथ समाप्त होते हैं जिन्हें हल किया जाता है सामान्य दृष्टि सेलघुगणक का उपयोग करना।

समीकरण अलग खड़े होते हैं जिसमें केवल (निजी) शक्तियों के उत्पाद होते हैं। घातांकीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, इन समीकरणों को तुरंत एक आधार पर लाना संभव है, विशेष रूप से, सरलतम घातांकीय समीकरण में।

विचार करें कि डिग्री के तीन अलग-अलग आधारों के साथ एक घातीय समीकरण कैसे हल किया जाता है।

(यदि शिक्षक के पास L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" द्वारा एक शिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम है, तो स्वाभाविक रूप से हम डिस्क के साथ काम करते हैं, यदि नहीं, तो आप नीचे प्रस्तुत किए गए प्रत्येक डेस्क के लिए इस प्रकार के समीकरण का प्रिंट आउट ले सकते हैं। ।)

चावल। 2.समीकरण समाधान योजना।

चावल। 3.समीकरण को हल करने की शुरुआत

चावल। चार।समीकरण के हल का अंत।

व्यावहारिक कार्य करना

समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें और इसे हल करें।

1.
2.
3. 0,125
4.
5.
6.

पाठ को सारांशित करना

एक सबक ग्रेडिंग।

पाठ का अंत

शिक्षक के लिए

व्यावहारिक कार्य उत्तर की योजना।

व्यायाम:समीकरणों की सूची से, निर्दिष्ट प्रकार के समीकरणों का चयन करें (उत्तर की संख्या तालिका में डालें):

तीन अलग-अलग आधार
दो अलग-अलग आधार - अलग-अलग घातांक
शक्तियों के आधार - एक संख्या की शक्तियाँ
समान आधार, भिन्न घातांक
समान घातांक आधार - समान घातांक
शक्तियों का उत्पाद
डिग्री के दो अलग-अलग आधार - एक ही संकेतक
सबसे सरल घातीय समीकरण

1. (शक्तियों का उत्पाद)

2. (एक ही आधार - विभिन्न घातांक)

अंतिम परीक्षा की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है" घातीय समीकरण". पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि इस तरह के कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत को ध्यान से मास्टर करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्यों से निपटने के लिए सीखने के बाद, स्नातक गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करते समय उच्च स्कोर पर भरोसा करने में सक्षम होंगे।

शकोलकोवो के साथ मिलकर परीक्षा परीक्षण के लिए तैयार हो जाइए!

कवर की गई सामग्री को दोहराते समय, कई छात्रों को समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है। एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा हाथ में नहीं होती है, और इंटरनेट पर किसी विषय पर आवश्यक जानकारी के चयन में लंबा समय लगता है।

शकोल्कोवो शैक्षिक पोर्टल छात्रों को हमारे ज्ञानकोष का उपयोग करने के लिए आमंत्रित करता है। हम पूरी तरह से लागू करते हैं नई विधिअंतिम परीक्षा की तैयारी। हमारी साइट पर अध्ययन करके, आप ज्ञान में अंतराल की पहचान करने और उन कार्यों पर ध्यान देने में सक्षम होंगे जो सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं।

"श्कोल्कोवो" के शिक्षकों ने सफल वितरण के लिए आवश्यक सब कुछ एकत्र, व्यवस्थित और प्रस्तुत किया सामग्री का उपयोग करेंसबसे सरल और सुलभ तरीके से।

मुख्य परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सत्रीय कार्यों का अभ्यास करें। गणना एल्गोरिदम को समझने के लिए इस पृष्ठ पर प्रस्तुत समाधानों के साथ घातीय समीकरणों के उदाहरणों की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें। उसके बाद, "कैटलॉग" अनुभाग में कार्यों के साथ आगे बढ़ें। आप सबसे आसान कार्यों से शुरू कर सकते हैं या कई अज्ञात या के साथ जटिल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए सीधे जा सकते हैं। हमारी वेबसाइट पर अभ्यास का डेटाबेस लगातार पूरक और अद्यतन किया जाता है।

संकेतकों के साथ वे उदाहरण जिनके कारण आपको कठिनाई हुई, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। तो आप उन्हें जल्दी से ढूंढ सकते हैं और शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने के लिए, हर दिन शकोल्कोवो पोर्टल पर अध्ययन करें!

उदाहरण:

$4^x=32$
$5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8$
$(\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0$

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

किसी भी घातीय समीकरण को हल करते समय, हम इसे $a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) $ के रूप में लाने का प्रयास करते हैं, और फिर संकेतकों की समानता के लिए संक्रमण करते हैं, अर्थात्:

$a^(f(x))=a^(g(x))$ $⇔$ $f(x)=g(x)$

उदाहरण के लिए:$2^(x+1)=2^2$ $⇔$ $x+1=2$

महत्वपूर्ण! एक ही तर्क से, इस तरह के संक्रमण के लिए दो आवश्यकताओं का पालन किया जाता है:
- में संख्या बाएँ और दाएँ समान होना चाहिए;
- बाएँ और दाएँ डिग्री "शुद्ध" होनी चाहिए, अर्थात्, कोई, गुणा, भाग आदि नहीं होना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

समीकरण को $a^(f(x))=a^(g(x))$ के रूप में लाने के लिए और उपयोग किया जाता है।

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें $\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$
समाधान:

$\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

हम जानते हैं कि $27 = 3^3$। इसे ध्यान में रखते हुए, हम समीकरण को बदलते हैं।

$\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)$

जड़ के गुण से $\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))$ हम पाते हैं कि $\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))$. इसके अलावा, डिग्री गुण $(a^b)^c=a^(bc)$ का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं $((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))$.

$3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)$

हम यह भी जानते हैं कि $a^b a^c=a^(b+c)$। इसे बाईं ओर लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1.5 + x-1)=3^(x+0.5)$।

$3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)$

अब याद रखें कि: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$। इस फॉर्मूले का इस्तेमाल उल्टा भी किया जा सकता है: $\frac(1)(a^n) =a^(-n)$। फिर $\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)$।

$3^(x+0.5)=(3^(-1))^(2x)$

गुण $(a^b)^c=a^(bc)$ को दाईं ओर लगाने पर, हमें प्राप्त होता है: $(3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)$।

$3^(x+0.5)=3^(-2x)$

और अब हमारे पास आधार समान हैं और कोई हस्तक्षेप करने वाले गुणांक आदि नहीं हैं। तो हम संक्रमण कर सकते हैं।

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें $4^(x+0.5)-5 2^x+2=0$
समाधान:

$4^(x+0,5)-5 2^x+2=0$		हम फिर से डिग्री गुण $a^b \cdot a^c=a^(b+c)$ का उपयोग करते हैं विपरीत दिशा.
$4^x 4^(0,5)-5 2^x+2=0$		अब याद रखें कि $4=2^2$।
$(2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0$		डिग्री के गुणों का उपयोग करते हुए, हम रूपांतरित करते हैं: $(2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2$ $(2^2)^(0.5)=2^(2 0.5)=2^1=2.$
$2 (2^x)^2-5 2^x+2=0$		हम समीकरण को ध्यान से देखते हैं, और हम देखते हैं कि प्रतिस्थापन $t=2^x$ स्वयं यहां सुझाव देता है।

$t_1=2$ $t_2=\frac(1)(2)$		हालाँकि, हमें मान $t$ मिले, और हमें $x$ की आवश्यकता है। हम रिवर्स प्रतिस्थापन करते हुए, एक्स पर लौटते हैं।
$2^x=2$ $2^x=\frac(1)(2)$		ऋणात्मक शक्ति गुण का उपयोग करके दूसरे समीकरण को रूपांतरित करें...
$2^x=2^1$ $2^x=2^(-1)$		... और उत्तर तक हल करें।
$x_1=1$ $x_2=-1$

उत्तर : $-1; 1$.

प्रश्न बना रहता है - कैसे समझें कि किस विधि को कब लागू किया जाए? यह अनुभव के साथ आता है। इस बीच, आपने इसे हल नहीं किया है, जटिल समस्याओं को हल करने के लिए सामान्य अनुशंसा का उपयोग करें - "यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है - वह करें जो आप कर सकते हैं।" यही है, देखें कि आप सिद्धांत रूप में समीकरण को कैसे बदल सकते हैं, और इसे करने का प्रयास करें - क्या होगा यदि यह बाहर आता है? मुख्य बात केवल गणितीय रूप से उचित परिवर्तन करना है।

समाधान के बिना घातीय समीकरण

आइए दो और स्थितियों को देखें जो अक्सर छात्रों को भ्रमित करती हैं:
- घात के लिए एक धनात्मक संख्या शून्य के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, $2^x=0$;
- सकारात्मक संख्या घात के बराबर होती है ऋणात्मक संख्या, उदाहरण के लिए, $2^x=-4$।

आइए इसे क्रूर बल द्वारा हल करने का प्रयास करें। यदि x एक धनात्मक संख्या है, तो जैसे-जैसे x बढ़ता है, पूरी शक्ति $2^x$ ही बढ़ेगी:

$x=1$; $2^1=2$
$x=2$; $2^2=4$
$x=3$; $2^3=8$।

$x=0$; $2^0=1$

अतीत भी। नकारात्मक x हैं। संपत्ति को याद रखना $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$, हम जांचते हैं:

$x=-1$; $2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)$
$x=-2$; $2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)$
$x=-3$; $2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)$

इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक चरण के साथ संख्या छोटी हो जाती है, यह कभी भी शून्य तक नहीं पहुंच पाएगी। तो नकारात्मक डिग्री ने हमें भी नहीं बचाया। हम एक तार्किक निष्कर्ष पर आते हैं:

किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या बनी रहेगी।

इस प्रकार, उपरोक्त दोनों समीकरणों का कोई हल नहीं है।

विभिन्न आधारों के साथ घातीय समीकरण

व्यवहार में, कभी-कभी अलग-अलग आधारों के साथ घातीय समीकरण होते हैं जो एक दूसरे के लिए कम नहीं होते हैं, और एक ही समय में एक ही घातांक के साथ होते हैं। वे इस तरह दिखते हैं: $a^(f(x))=b^(f(x))$, जहां $a$ और $b$ सकारात्मक संख्याएं हैं।

उदाहरण के लिए:

$7^(x)=11^(x)$
$5^(x+2)=3^(x+2)$
$15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)$

इस तरह के समीकरणों को समीकरण के किसी भी भाग से विभाजित करके आसानी से हल किया जा सकता है (आमतौर पर दाईं ओर से विभाजित करके, यानी \ (b ^ (f (x)) \) से विभाजित किया जा सकता है। आप इस तरह विभाजित कर सकते हैं, क्योंकि एक सकारात्मक संख्या किसी भी अंश तक धनात्मक होती है (अर्थात हम शून्य से भाग नहीं देते हैं।) हमें प्राप्त होता है:

$\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))$ $=1$

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें $5^(x+7)=3^(x+7)$
समाधान:

$5^(x+7)=3^(x+7)$		यहां हम पांच को तीन में नहीं बदल सकते हैं, या इसके विपरीत (कम से कम उपयोग किए बिना)। इसलिए हम $a^(f(x))=a^(g(x))$ के रूप में नहीं आ सकते। इसी समय, संकेतक समान हैं। आइए समीकरण को दाईं ओर से विभाजित करें, यानी $3^(x+7)$ (हम ऐसा कर सकते हैं, क्योंकि हम जानते हैं कि ट्रिपल किसी भी डिग्री में शून्य नहीं होगा)।
$\frac(5^(x+7))(3^(x+7))$ $=$$\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )$		अब गुण याद रखें $(\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)$ और इसे बाईं ओर से विपरीत दिशा में उपयोग करें। दाईं ओर, हम केवल भिन्न को कम करते हैं।
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=1$		ऐसा लग रहा था कि यह बेहतर नहीं हुआ। लेकिन डिग्री की एक और संपत्ति याद रखें: $a^0=1$, दूसरे शब्दों में: "शून्य शक्ति के लिए कोई भी संख्या $1$" के बराबर है। इसका विलोम भी सत्य है: "एक इकाई को शून्य के घात तक किसी भी संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है।" हम इसका उपयोग दाईं ओर के आधार को बाईं ओर वाले के समान बनाकर करते हैं।
$(\frac(5)(3))^(x+7)$ $=$ $(\frac(5)(3))^0$		वोइला! हम नींव से छुटकारा पाते हैं।
		हम उत्तर लिखते हैं।

उत्तर : $-7$.

कभी-कभी प्रतिपादकों की "समानता" स्पष्ट नहीं होती है, लेकिन डिग्री के गुणों का कुशल उपयोग इस मुद्दे को हल करता है।

उदाहरण . घातांकीय समीकरण को हल करें $7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$
समाधान:

$7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		समीकरण काफी उदास लग रहा है... न केवल आधारों को एक ही संख्या में कम नहीं किया जा सकता है (सात $\frac(1)(3)$ के बराबर नहीं होंगे), इसलिए संकेतक भी अलग हैं... हालांकि, चलो लेफ्ट एक्सपोनेंट ड्यूस में।
$7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		संपत्ति को ध्यान में रखते हुए $(a^b)^c=a^(b c)$ , बाईं ओर रूपांतरित करें: $7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)$।
$49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)$		अब, ऋणात्मक शक्ति गुण $a^(-n)=\frac(1)(a)^n$ को याद करते हुए, हम दाईं ओर रूपांतरित करते हैं: $(\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)$
$49^(x-2)=3^(x-2)$		हलेलुजाह! अंक समान हैं! पहले से परिचित योजना के अनुसार कार्य करते हुए, हम उत्तर से पहले निर्णय लेते हैं।

उत्तर : $2$.

प्रथम स्तर

घातीय समीकरण। व्यापक गाइड (2019)

नमस्ते! आज हम आपके साथ चर्चा करेंगे कि समीकरणों को कैसे हल किया जाए जो दोनों प्राथमिक हो सकते हैं (और मुझे आशा है कि इस लेख को पढ़ने के बाद, उनमें से लगभग सभी आपके लिए ऐसा ही होंगे), और जिन्हें आमतौर पर "बैकफिल" दिया जाता है। जाहिर है, पूरी तरह से सो जाना। लेकिन मैं अपनी तरफ से पूरी कोशिश करूंगा ताकि अब इस तरह के समीकरण का सामना करने पर आपको परेशानी न हो। मैं अब झाड़ी के चारों ओर नहीं मारूंगा, लेकिन मैं तुरंत थोड़ा रहस्य प्रकट करूंगा: आज हम अध्ययन करेंगे घातीय समीकरण।

उन्हें हल करने के तरीकों के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, मैं तुरंत आपके लिए प्रश्नों के एक चक्र की रूपरेखा तैयार करूंगा (काफी छोटा) जिसे आपको इस विषय पर तूफान लाने से पहले दोहराना चाहिए। तो, पाने के लिए सर्वोत्तम परिणाम, कृपया, दोहराना:

गुण और
समाधान और समीकरण

दोहराया गया? अद्भुत! तब आपके लिए यह नोटिस करना कठिन नहीं होगा कि समीकरण का मूल एक संख्या है। क्या आप सुनिश्चित हैं कि आप समझते हैं कि मैंने यह कैसे किया? सत्य? फिर हम जारी रखते हैं। अब मेरे प्रश्न का उत्तर दें, तीसरी शक्ति के बराबर क्या है? आप बिल्कुल सही कह रहे है: । आठ क्या दो की शक्ति है? यह सही है - तीसरा! इसलिये। खैर, अब निम्नलिखित समस्या को हल करने का प्रयास करते हैं: मुझे संख्या को एक बार अपने आप से गुणा करने दें और परिणाम प्राप्त करें। सवाल यह है कि मैंने कितनी बार खुद से गुणा किया है? आप निश्चित रूप से इसे सीधे देख सकते हैं:

\begin(align) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( संरेखित करें)

तब आप यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मैंने अपने आप से कई गुना गुणा किया। इसे और कैसे सत्यापित किया जा सकता है? और यहां बताया गया है: सीधे डिग्री की परिभाषा के अनुसार: . लेकिन, आपको स्वीकार करना होगा, अगर मैंने पूछा कि प्राप्त करने के लिए कितनी बार दो को अपने आप से गुणा करना चाहिए, तो आप मुझे बताएंगे: मैं अपने आप को मूर्ख नहीं बनाऊंगा और जब तक मेरा चेहरा नीला नहीं हो जाता, तब तक मैं खुद से गुणा नहीं करूंगा। और वह बिल्कुल सही होगा। क्योंकि आप कैसे कर सकते हैं सभी क्रियाओं को संक्षेप में लिखें(और संक्षिप्तता प्रतिभा की बहन है)

कहाँ - यह बहुत है "समय"जब आप अपने आप गुणा करते हैं।

मुझे लगता है कि आप जानते हैं (और यदि आप नहीं जानते हैं, तो तत्काल, बहुत तत्काल डिग्री दोहराएं!) कि तब मेरी समस्या फॉर्म में लिखी जाएगी:

आप यथोचित रूप से यह कैसे निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

तो, चुपचाप, मैंने सबसे सरल लिख दिया घातीय समीकरण:

और मिल भी गया जड़. क्या आपको नहीं लगता कि सब कुछ काफी तुच्छ है? ठीक ऐसा ही मैं भी सोचता हूँ। यहां आपके लिए एक और उदाहरण दिया गया है:

पर क्या करूँ! आखिरकार, इसे (उचित) संख्या की डिग्री के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। आइए निराश न हों और ध्यान दें कि ये दोनों संख्याएँ एक ही संख्या की शक्ति के संदर्भ में पूरी तरह से व्यक्त की जाती हैं। क्या? सही: । फिर मूल समीकरण को रूप में बदल दिया जाता है:

जहाँ से, जैसा कि आप पहले ही समझ चुके हैं, . आइए अब और न खींचे और लिखें परिभाषा:

आपके साथ हमारे मामले में: .

इन समीकरणों को फॉर्म में कम करके हल किया जाता है:

समीकरण के बाद के समाधान के साथ

हमने, वास्तव में, पिछले उदाहरण में ऐसा किया था: हमें वह मिल गया। और हमने आपके साथ सबसे सरल समीकरण हल किया।

ऐसा लगता है कि कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? आइए पहले सबसे सरल पर अभ्यास करें। उदाहरण:

हम फिर से देखते हैं कि समीकरण के दाएं और बाएं पक्षों को एक संख्या की शक्ति के रूप में दर्शाया जाना चाहिए। सच है, यह पहले से ही बाईं ओर किया जा चुका है, लेकिन दाईं ओर एक संख्या है। लेकिन, यह ठीक है, आखिरकार, और मेरा समीकरण चमत्कारिक रूप से इसमें बदल जाता है:

मुझे यहाँ क्या करना था? क्या नियम? पावर टू पावर रूलजो पढ़ता है:

क्या हो अगर:

इस प्रश्न का उत्तर देने से पहले, आइए निम्नलिखित तालिका को अपने साथ भरें:

हमारे लिए यह नोटिस करना मुश्किल नहीं है कि जितना छोटा, उतना छोटा मान, लेकिन फिर भी, ये सभी मान शून्य से अधिक हैं। और यह हमेशा ऐसा ही रहेगा !!! किसी भी सूचकांक के साथ किसी भी आधार के लिए एक ही संपत्ति सच है !! (किसी के लिए और)। तब हम समीकरण के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? और यहाँ एक है: it कोई जड़ नहीं है! जैसे किसी भी समीकरण की कोई जड़ नहीं होती। अब अभ्यास करते हैं और आइए कुछ सरल उदाहरण हल करें:

चलो देखते है:

1. शक्तियों के गुणों को जानने के अलावा आपको यहां कुछ भी नहीं चाहिए (जो, वैसे, मैंने आपको दोहराने के लिए कहा!) एक नियम के रूप में, सब कुछ सबसे छोटे आधार की ओर जाता है: ,। तब मूल समीकरण निम्नलिखित के बराबर होगा: मुझे केवल शक्तियों के गुणों का उपयोग करने की आवश्यकता है: एक ही आधार से संख्याओं को गुणा करते समय, घातांक जोड़े जाते हैं, और विभाजित होने पर वे घटाए जाते हैं।तब मुझे मिलेगा: ठीक है, अब एक स्पष्ट विवेक के साथ मैं घातीय समीकरण से रैखिक एक की ओर बढ़ूंगा: \begin(align)
और 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
और 2x+1+2x+4-3x=5 \\
और एक्स = 0। \\
\ अंत (संरेखित करें)

2. दूसरे उदाहरण में, आपको अधिक सावधान रहने की आवश्यकता है: समस्या यह है कि बाईं ओर, हम समान संख्या को घात के रूप में भी प्रदर्शित नहीं कर सकते हैं। इस मामले में यह कभी-कभी उपयोगी होता है विभिन्न आधारों के साथ शक्तियों के उत्पाद के रूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन एक ही घातांक:

समीकरण का बायां पक्ष रूप लेगा: इसने हमें क्या दिया? और यहाँ क्या है: विभिन्न आधारों वाली संख्याएँ लेकिन एक ही घातांक को गुणा किया जा सकता है।इस मामले में, आधारों को गुणा किया जाता है, लेकिन घातांक नहीं बदलता है:

मेरी स्थिति पर लागू, यह देगा:

\ शुरू (संरेखित करें)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
और 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
और ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
और ((1600) ^ (एक्स)) = 1600, \\
और एक्स = 1। \\
\ अंत (संरेखित करें)

बुरा नहीं है, है ना?

3. मुझे यह पसंद नहीं है, जब विशेष आवश्यकता के बिना, मेरे पास समीकरण के एक तरफ दो शब्द हैं, और दूसरे पर कोई नहीं (कभी-कभी, निश्चित रूप से, यह उचित है, लेकिन अब ऐसा नहीं है)। माइनस टर्म को दाईं ओर ले जाएं:

अब मैं पहले की तरह त्रिगुण की शक्तियों से सब कुछ लिखूंगा:

मैं बाईं ओर की शक्तियों को जोड़ता हूं और एक समान समीकरण प्राप्त करता हूं

आप इसकी जड़ आसानी से पा सकते हैं:

4. उदाहरण के तौर पर तीन में, माइनस वाला पद दाईं ओर है!

बाईं ओर, मेरे साथ लगभग सब कुछ ठीक है, सिवाय इसके कि क्या? हां, ड्यूस की "गलत डिग्री" मुझे परेशान करती है। लेकिन मैं इसे लिखकर आसानी से ठीक कर सकता हूं: . यूरेका - बाईं ओर, सभी आधार अलग हैं, लेकिन सभी डिग्री समान हैं! हम जल्दी से गुणा करते हैं!

यहां फिर से, सब कुछ स्पष्ट है: (यदि आपको समझ में नहीं आया कि मुझे जादुई रूप से अंतिम समानता कैसे मिली, तो एक मिनट के लिए ब्रेक लें, ब्रेक लें और डिग्री के गुणों को फिर से बहुत ध्यान से पढ़ें। किसने कहा कि आप छोड़ सकते हैं एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री? ठीक है, यहाँ मैं उसी के बारे में हूँ जैसा कोई नहीं)। अब मुझे मिलेगा:

\ शुरू (संरेखित करें)
और ((2)^(4\बाएं((एक्स) -9 \दाएं)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9)=-1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\ अंत (संरेखित करें)

यहां आपके लिए अभ्यास करने के लिए कार्य हैं, जिनके उत्तर मैं केवल (लेकिन "मिश्रित" रूप में) दूंगा। उन्हें हल करें, जांचें, और हम अपना शोध जारी रखेंगे!

तैयार? जवाबइन की तरह:

कोई संख्या

ठीक है, ठीक है, मैं मजाक कर रहा था! यहां समाधानों की रूपरेखा दी गई है (कुछ काफी संक्षिप्त हैं!)

क्या आपको नहीं लगता कि यह कोई संयोग नहीं है कि बाईं ओर का एक अंश दूसरा "उल्टा" है? इसका उपयोग न करना पाप होगा:

घातांकीय समीकरणों को हल करते समय इस नियम का बहुत बार उपयोग किया जाता है, इसे अच्छी तरह याद रखें!

तब मूल समीकरण बन जाता है:

इसे हल करना द्विघात समीकरण, आपको निम्नलिखित जड़ें मिलेंगी:

2. दूसरा समाधान: समीकरण के दोनों भागों को बाएँ (या दाएँ) व्यंजक से विभाजित करना। जो दाईं ओर है, उससे मैं भाग दूंगा, तब मुझे मिलेगा:

कहाँ क्यों?!)

3. मैं दोहराना भी नहीं चाहता, सब कुछ पहले से ही "चबाया" है।

4. द्विघात समीकरण के तुल्य, मूल

5. आपको पहले कार्य में दिए गए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है, तब आपको वह मिलेगा:

समीकरण एक तुच्छ पहचान में बदल गया है, जो किसी के लिए भी सही है। तो उत्तर कोई वास्तविक संख्या है।

ठीक है, आप यहाँ हैं और निर्णय लेने के लिए अभ्यास किया है सबसे सरल घातीय समीकरण।अब मैं आपको कुछ जीवन उदाहरण देना चाहता हूं जो आपको यह समझने में मदद करेंगे कि सिद्धांत रूप में उनकी आवश्यकता क्यों है। यहां मैं दो उदाहरण दूंगा। उनमें से एक काफी दैनिक है, लेकिन दूसरा व्यावहारिक रुचि से अधिक वैज्ञानिक है।

उदाहरण 1 (व्यापारिक)आपके पास रूबल हैं, लेकिन आप इसे रूबल में बदलना चाहते हैं। बैंक आपको मासिक पूंजीकरण (मासिक उपार्जन) के साथ वार्षिक ब्याज दर पर आपसे यह पैसा लेने की पेशकश करता है। सवाल यह है कि वांछित अंतिम राशि एकत्र करने के लिए आपको कितने महीनों के लिए जमा राशि खोलने की आवश्यकता है? काफी सांसारिक कार्य, है ना? फिर भी, इसका समाधान संबंधित घातीय समीकरण के निर्माण से जुड़ा हुआ है: चलो - प्रारंभिक राशि, - अंतिम राशि, - अवधि के लिए ब्याज दर, - अवधियों की संख्या। फिर:

हमारे मामले में (यदि दर प्रति वर्ष है, तो इसकी गणना प्रति माह की जाती है)। इसे क्यों विभाजित किया गया है? यदि आप इस प्रश्न का उत्तर नहीं जानते हैं, तो विषय "" याद रखें! तब हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

यह घातांकीय समीकरण पहले से ही केवल एक कैलकुलेटर के साथ हल किया जा सकता है (इसका दिखावटइस पर संकेत देता है, और इसके लिए लघुगणक के ज्ञान की आवश्यकता होती है, जिसे हम थोड़ी देर बाद परिचित करेंगे), जो मैं करूँगा: ... इस प्रकार, एक मिलियन प्राप्त करने के लिए, हमें एक महीने के लिए जमा करना होगा (बहुत तेज़ नहीं , सही?)।

उदाहरण 2 (बल्कि वैज्ञानिक)।उसके बावजूद, कुछ "अलगाव", मैं अनुशंसा करता हूं कि आप उस पर ध्यान दें: वह नियमित रूप से "परीक्षा में फिसल जाता है !! (कार्य "वास्तविक" संस्करण से लिया गया है) एक रेडियोधर्मी समस्थानिक के क्षय के दौरान, इसका द्रव्यमान कानून के अनुसार कम हो जाता है, जहां (मिलीग्राम) आइसोटोप का प्रारंभिक द्रव्यमान है, (मिनट) समय से बीता हुआ है प्रारंभिक क्षण, (मिनट) आधा जीवन है। समय के प्रारंभिक क्षण में, समस्थानिक का द्रव्यमान mg होता है। इसका आधा जीवन मिन है। कितने मिनट में समस्थानिक का द्रव्यमान mg के बराबर होगा? यह ठीक है: हम बस हमारे लिए प्रस्तावित सूत्र में सभी डेटा लेते हैं और उन्हें प्रतिस्थापित करते हैं:

आइए दोनों भागों को "आशा में" से विभाजित करें कि बाईं ओर हमें कुछ सुपाच्य मिले:

खैर, हम बहुत भाग्यशाली हैं! यह बाईं ओर खड़ा है, तो चलिए समतुल्य समीकरण पर चलते हैं:

जहां मि.

जैसा कि आप देख सकते हैं, घातीय समीकरणों का व्यवहार में बहुत वास्तविक अनुप्रयोग है। अब मैं आपके साथ घातीय समीकरणों को हल करने के लिए एक और (सरल) तरीके पर चर्चा करना चाहता हूं, जो सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालने और फिर शब्दों को समूहीकृत करने पर आधारित है। मेरे शब्दों से डरो मत, जब आप बहुपदों का अध्ययन करते हैं तो आप 7 वीं कक्षा में पहले ही इस पद्धति का सामना कर चुके हैं। उदाहरण के लिए, यदि आपको अभिव्यक्ति को कारक बनाने की आवश्यकता है:

आइए समूह बनाएं: पहला और तीसरा पद, साथ ही दूसरा और चौथा। यह स्पष्ट है कि पहले और तीसरे वर्ग के अंतर हैं:

और दूसरे और चौथे में तीन का एक सामान्य कारक है:

तब मूल अभिव्यक्ति इसके बराबर है:

जहां सामान्य कारक निकालना अब मुश्किल नहीं है:

फलस्वरूप,

यह लगभग है कि हम घातीय समीकरणों को हल करते समय कैसे कार्य करेंगे: शर्तों के बीच "सामान्यता" की तलाश करें और इसे कोष्ठक से बाहर निकालें, और फिर - जो हो सकता है, मुझे विश्वास है कि हम भाग्यशाली होंगे =)) उदाहरण के लिए:

दाईं ओर सात की शक्ति से दूर है (मैंने जाँच की!) और बाईं ओर - थोड़ा बेहतर, आप निश्चित रूप से, पहले कार्यकाल से और दूसरे से कारक को "काट" सकते हैं, और फिर निपट सकते हैं परिणामी एक, लेकिन चलिए आपके साथ अधिक विवेकपूर्ण तरीके से करते हैं। मैं उन अंशों से निपटना नहीं चाहता जो अनिवार्य रूप से "चयन" द्वारा निर्मित होते हैं, इसलिए क्या मुझे सहन करने से बेहतर नहीं होना चाहिए? तब मेरे पास अंश नहीं होंगे: जैसा कि वे कहते हैं, दोनों भेड़िये भरे हुए हैं और भेड़ें सुरक्षित हैं:

कोष्ठक में व्यंजक गिनें। जादुई रूप से, जादुई रूप से, यह पता चला है कि (आश्चर्यजनक रूप से, हालांकि हम और क्या उम्मीद कर सकते हैं?)

फिर हम इस कारक द्वारा समीकरण के दोनों पक्षों को कम करते हैं। हमें मिलता है: कहाँ।

यहाँ एक अधिक जटिल उदाहरण है (काफी थोड़ा, वास्तव में):

यहाँ परेशानी है! हमारे यहां कोई आम जमीन नहीं है! यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि अब क्या करना है। और हम वह कर सकते हैं जो हम कर सकते हैं: सबसे पहले, हम "चौकों" को एक दिशा में, और "फाइव्स" को दूसरी दिशा में आगे बढ़ाएंगे:

अब बाएँ और दाएँ "सामान्य" को निकालते हैं:

तो अब क्या? इस तरह के बेवकूफ समूह का क्या फायदा है? पहली नज़र में, यह बिल्कुल दिखाई नहीं देता है, लेकिन आइए गहराई से देखें:

खैर, अब इसे बनाते हैं ताकि बाईं ओर हमारे पास केवल अभिव्यक्ति c हो, और दाईं ओर - बाकी सब कुछ। हम यह कैसे कर सकते हैं? और यहां बताया गया है: पहले समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित करें (ताकि हम दाईं ओर घातांक से छुटकारा पाएं), और फिर दोनों पक्षों को विभाजित करें (ताकि हम बाईं ओर संख्यात्मक कारक से छुटकारा पाएं)। अंत में हमें मिलता है:

अविश्वसनीय! बाईं ओर हमारे पास एक अभिव्यक्ति है, और दाईं ओर - बस। तब हम तुरंत यह निष्कर्ष निकालते हैं कि

सुदृढ़ करने के लिए यहां एक और उदाहरण दिया गया है:

मैं उसका संक्षिप्त समाधान दूंगा (वास्तव में समझाने की जहमत नहीं उठा रहा), समाधान की सभी "सूक्ष्मताओं" को स्वयं जानने का प्रयास करें।

अब कवर की गई सामग्री का अंतिम समेकन। निम्नलिखित समस्याओं को स्वयं हल करने का प्रयास करें। मैं उन्हें हल करने के लिए केवल संक्षिप्त सिफारिशें और सुझाव दूंगा:

आइए सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालें:
हम पहले व्यंजक को इस रूप में निरूपित करते हैं: , दोनों भागों को विभाजित करें और प्राप्त करें
, फिर मूल समीकरण को रूप में बदल दिया जाता है: ठीक है, अब एक संकेत - देखें कि आपने और मैंने इस समीकरण को पहले ही कहाँ हल कर लिया है!
कल्पना कीजिए कि कैसे, कैसे, आह, ठीक है, फिर दोनों भागों को विभाजित करें, ताकि आपको सबसे सरल घातीय समीकरण मिल जाए।
इसे कोष्ठक से बाहर निकालें।
इसे कोष्ठक से बाहर निकालें।

एक्सपोशनल समीकरण। औसत स्तर

मुझे लगता है कि पहला लेख पढ़ने के बाद, जिसने बताया घातीय समीकरण क्या हैं और उन्हें कैसे हल करें, आपने सरलतम उदाहरणों को हल करने के लिए आवश्यक आवश्यक न्यूनतम ज्ञान में महारत हासिल कर ली है।

अब मैं घातांकीय समीकरणों को हल करने के लिए एक अन्य विधि का विश्लेषण करूंगा, यह है

"एक नया चर शुरू करने की विधि" (या प्रतिस्थापन)।वह घातीय समीकरणों (और न केवल समीकरण) के विषय पर अधिकांश "कठिन" समस्याओं को हल करता है। यह विधि व्यवहार में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधियों में से एक है। सबसे पहले, मेरा सुझाव है कि आप इस विषय से खुद को परिचित कर लें।

जैसा कि आप पहले ही नाम से समझ चुके हैं, इस पद्धति का सार चर के इस तरह के परिवर्तन को पेश करना है कि आपका घातीय समीकरण चमत्कारिक रूप से एक में बदल जाएगा जिसे आप पहले से ही आसानी से हल कर सकते हैं। इस "सरलीकृत समीकरण" को हल करने के बाद आपके लिए जो कुछ भी बचा है, वह है "रिवर्स रिप्लेसमेंट" बनाना: यानी बदले हुए से बदले में वापस आना। आइए एक बहुत ही सरल उदाहरण के साथ स्पष्ट करें कि हमने अभी क्या कहा:

उदाहरण 1:

इस समीकरण को "सरल प्रतिस्थापन" द्वारा हल किया जाता है, जैसा कि गणितज्ञ इसे अपमानजनक रूप से कहते हैं। दरअसल, यहां प्रतिस्थापन सबसे स्पष्ट है। बस यही देखने लायक है

तब मूल समीकरण बन जाता है:

यदि हम अतिरिक्त रूप से कल्पना करते हैं कि कैसे, तो यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्या बदलने की आवश्यकता है: बेशक, . तब मूल समीकरण क्या होता है? और यहाँ क्या है:

आप इसकी जड़ों को आसानी से अपने दम पर ढूंढ सकते हैं:। अब हमें क्या करना चाहिए? यह मूल चर पर लौटने का समय है। मैं क्या शामिल करना भूल गया? अर्थात्: एक निश्चित डिग्री को एक नए चर के साथ बदलते समय (अर्थात, एक प्रकार को प्रतिस्थापित करते समय), मुझे इसमें दिलचस्पी होगी केवल सकारात्मक जड़ें!आप स्वयं आसानी से इसका उत्तर दे सकते हैं कि क्यों। इस प्रकार, हमें आप में कोई दिलचस्पी नहीं है, लेकिन दूसरी जड़ हमारे लिए काफी उपयुक्त है:

फिर कहाँ।

उत्तर:

जैसा कि आप देख सकते हैं, पिछले उदाहरण में, प्रतिस्थापन हमारे हाथ मांग रहा था। दुर्भाग्य से ऐसा हमेशा नहीं होता है। हालांकि, आइए सीधे उदास पर न जाएं, बल्कि एक और उदाहरण पर अभ्यास करें, जो काफी सरल प्रतिस्थापन के साथ है

उदाहरण 2

यह स्पष्ट है कि सबसे अधिक संभावना है कि इसे प्रतिस्थापित करना आवश्यक होगा (यह हमारे समीकरण में शामिल शक्तियों में सबसे छोटी है), हालांकि, प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, हमारे समीकरण को इसके लिए "तैयार" करने की आवश्यकता है, अर्थात्: ,। तब आप प्रतिस्थापित कर सकते हैं, परिणामस्वरूप मुझे निम्नलिखित अभिव्यक्ति मिलेगी:

ओह हॉरर: इसके समाधान के लिए बिल्कुल भयानक सूत्रों के साथ एक घन समीकरण (ठीक है, सामान्य शब्दों में बोलना)। लेकिन आइए तुरंत निराश न हों, बल्कि सोचें कि हमें क्या करना चाहिए। मैं धोखाधड़ी का सुझाव दूंगा: हम जानते हैं कि "सुंदर" उत्तर प्राप्त करने के लिए, हमें तीन की शक्ति के रूप में प्राप्त करने की आवश्यकता है (ऐसा क्यों होगा, हुह?) और आइए हमारे समीकरण के कम से कम एक मूल का अनुमान लगाने का प्रयास करें (मैं तीन की शक्तियों से अनुमान लगाना शुरू करूंगा)।

पहला अनुमान। जड़ नहीं है। काश और आह ...

.
बाईं ओर बराबर है।
दाहिना हिस्सा:!
वहाँ है! पहली जड़ का अनुमान लगाया। अब चीजें आसान होंगी!

क्या आप "कोने" विभाजन योजना के बारे में जानते हैं? बेशक आप जानते हैं, आप इसका उपयोग तब करते हैं जब आप एक संख्या को दूसरे से विभाजित करते हैं। लेकिन कम ही लोग जानते हैं कि बहुपदों के साथ भी ऐसा ही किया जा सकता है। एक अद्भुत प्रमेय है:

मेरी स्थिति के लिए लागू यह मुझे बताता है कि शेष के बिना विभाज्य क्या है। विभाजन कैसे किया जाता है? कि कैसे:

मैं देखता हूं कि क्लियर ऑन पाने के लिए मुझे किस मोनोमियल को गुणा करना चाहिए, फिर:

मैं परिणामी अभिव्यक्ति को घटाता हूं, मुझे मिलता है:

अब, मुझे प्राप्त करने के लिए क्या गुणा करने की आवश्यकता है? यह स्पष्ट है कि इसके बाद, मुझे मिलेगा:

और फिर से परिणामी अभिव्यक्ति को शेष से घटाएं:

खैर, अंतिम चरण, मैं गुणा करता हूं, और शेष अभिव्यक्ति से घटाता हूं:

हुर्रे, विभाजन समाप्त हो गया है! हमने अकेले में क्या जमा किया है? अपने आप: ।

तब हमें मूल बहुपद का निम्नलिखित प्रसार प्राप्त होता है:

आइए दूसरा समीकरण हल करें:

इसकी जड़ें हैं:

फिर मूल समीकरण:

तीन जड़ें हैं:

हम, निश्चित रूप से, अंतिम जड़ को त्याग देते हैं, क्योंकि यह शून्य से कम है। और रिवर्स रिप्लेसमेंट के बाद पहले दो हमें दो जड़ें देंगे:

उत्तर: ..

इस उदाहरण से, मैं आपको बिल्कुल भी डराना नहीं चाहता था, बल्कि, मैं यह दिखाने के लिए निकल पड़ा कि यद्यपि हमारे पास काफी सरल प्रतिस्थापन था, फिर भी, इसने एक जटिल समीकरण को जन्म दिया, जिसके समाधान के लिए हमसे कुछ विशेष कौशल की आवश्यकता थी . खैर, इससे कोई अछूता नहीं है। लेकिन इस मामले में बदलाव बहुत स्पष्ट था।

थोड़ा कम स्पष्ट प्रतिस्थापन के साथ यहां एक उदाहरण दिया गया है:

यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि हमें क्या करना चाहिए: समस्या यह है कि हमारे समीकरण में दो अलग-अलग आधार हैं और एक आधार को किसी भी (उचित, स्वाभाविक रूप से) डिग्री तक बढ़ाकर दूसरे से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, हम क्या देखते हैं? दोनों आधार केवल चिन्ह में भिन्न हैं, और उनका गुणनफल एक के बराबर वर्गों का अंतर है:

परिभाषा:

इस प्रकार, हमारे उदाहरण में जो संख्याएँ आधार हैं, वे संयुग्म हैं।

उस स्थिति में, स्मार्ट चाल होगी समीकरण के दोनों पक्षों को संयुग्म संख्या से गुणा करें।

उदाहरण के लिए, पर, तो समीकरण का बायां पक्ष बराबर हो जाएगा, और दायां पक्ष। यदि हम प्रतिस्थापन करते हैं, तो आपके साथ हमारा मूल समीकरण इस प्रकार हो जाएगा:

इसकी जड़ें, तब, लेकिन इसे याद करते हुए, हम इसे प्राप्त करते हैं।

उत्तर: , ।

एक नियम के रूप में, प्रतिस्थापन विधि अधिकांश "स्कूल" घातीय समीकरणों को हल करने के लिए पर्याप्त है। निम्नलिखित कार्य USE C1 से लिए गए हैं ( ऊंचा स्तरकठिनाइयाँ)। आप पहले से ही इतने साक्षर हैं कि इन उदाहरणों को स्वयं हल कर सकते हैं। मैं केवल आवश्यक प्रतिस्थापन दूंगा।

प्रश्न हल करें:
समीकरण की जड़ें खोजें:
प्रश्न हल करें: । इस समीकरण के सभी मूल ज्ञात कीजिए जो इस खंड से संबंधित हैं:

अब कुछ त्वरित स्पष्टीकरण और उत्तरों के लिए:

यहां यह नोट करना पर्याप्त है कि और। तब मूल समीकरण इसके बराबर होगा: इस समीकरण को प्रतिस्थापित करके हल किया जाता है निम्नलिखित गणना स्वयं करें। अंत में, आपका कार्य सरलतम त्रिकोणमितीय (साइन या कोसाइन के आधार पर) को हल करने के लिए कम हो जाएगा। हम ऐसे उदाहरणों के समाधान पर अन्य वर्गों में चर्चा करेंगे।
यहां आप प्रतिस्थापन के बिना भी कर सकते हैं: यह सबट्रेंड को दाईं ओर स्थानांतरित करने और दो की शक्तियों के माध्यम से दोनों आधारों का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त है: और फिर तुरंत द्विघात समीकरण पर जाएं।
तीसरा समीकरण भी एक मानक तरीके से हल किया जाता है: कल्पना कीजिए कि कैसे। फिर, प्रतिस्थापित करने पर हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: तब,
क्या आप पहले से ही जानते हैं कि लघुगणक क्या है? नहीं? फिर तुरंत विषय पढ़ें!

पहली जड़, जाहिर है, खंड से संबंधित नहीं है, और दूसरी समझ से बाहर है! लेकिन हम बहुत जल्द पता लगा लेंगे! तब से, (यह लघुगणक का एक गुण है!) आइए तुलना करें:

दोनों भागों से घटाएं, तो हम प्राप्त करते हैं:

बाईं ओर का प्रतिनिधित्व इस प्रकार किया जा सकता है:

दोनों पक्षों को इससे गुणा करें:

से गुणा किया जा सकता है, तब

तो चलिए तुलना करते हैं:

तब से:

फिर दूसरी जड़ वांछित अंतराल की है

उत्तर:

जैसा कि आप देख रहे हैं, घातांकीय समीकरणों की जड़ों के चयन के लिए लघुगणक के गुणों का काफी गहरा ज्ञान आवश्यक है, इसलिए मैं आपको घातांकीय समीकरणों को हल करते समय यथासंभव सावधान रहने की सलाह देता हूं। जैसा कि आप जानते हैं, गणित में सब कुछ आपस में जुड़ा हुआ है! जैसा कि मेरे गणित के शिक्षक कहते थे: "आप इतिहास की तरह गणित को रातों-रात नहीं पढ़ सकते।"

एक नियम के रूप में, सभी समस्या C1 को हल करने में कठिनाई ठीक समीकरण की जड़ों का चयन है।आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें:

यह स्पष्ट है कि समीकरण स्वयं ही काफी सरलता से हल हो गया है। प्रतिस्थापन करने के बाद, हम अपने मूल समीकरण को निम्न में घटाते हैं:

आइए पहले पहली जड़ को देखें। तुलना करें और: तब से। (लॉगरिदमिक फ़ंक्शन की संपत्ति, पर)। तब यह स्पष्ट होता है कि पहला मूल हमारे अंतराल का भी नहीं है। अब दूसरी जड़: . यह स्पष्ट है कि (चूंकि फलन बढ़ रहा है)। यह तुलना करना बाकी है और

तब से, उसी समय से। इस प्रकार, मैं और के बीच "एक खूंटी चला सकता हूं"। यह खूंटी एक संख्या है। पहला व्यंजक इससे छोटा है और दूसरा इससे बड़ा है। तब दूसरा व्यंजक पहले से बड़ा होता है और मूल अंतराल का होता है।

उत्तर: ।

अंत में, आइए एक समीकरण का एक और उदाहरण देखें जहां प्रतिस्थापन बल्कि गैर-मानक है:

आइए तुरंत शुरू करें कि आप क्या कर सकते हैं, और क्या - सिद्धांत रूप में, आप कर सकते हैं, लेकिन ऐसा न करना बेहतर है। यह संभव है - तीन, दो और छह की शक्तियों के माध्यम से हर चीज का प्रतिनिधित्व करना। यह कहाँ ले जाता है? हां, और कुछ भी नहीं ले जाएगा: डिग्री का एक हौज, जिनमें से कुछ से छुटकारा पाना काफी मुश्किल होगा। फिर क्या चाहिए? आइए ध्यान दें कि a और यह हमें क्या देगा? और तथ्य यह है कि हम इस उदाहरण के समाधान को काफी सरल घातीय समीकरण के समाधान में कम कर सकते हैं! सबसे पहले, आइए अपने समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

अब हम परिणामी समीकरण के दोनों पक्षों को इसमें विभाजित करते हैं:

यूरेका! अब हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं, हमें मिलता है:

खैर, अब प्रदर्शनों के लिए समस्याओं को हल करने की आपकी बारी है, और मैं उन्हें केवल यहां लाऊंगा संक्षिप्त टिप्पणियाँताकि आप खो न जाएं सही तरीका! आपको कामयाबी मिले!

1. सबसे कठिन! यहाँ एक प्रतिस्थापन देखना ओह, कितना बदसूरत है! फिर भी, इस उदाहरण का उपयोग करके पूरी तरह से हल किया जा सकता है एक पूर्ण वर्ग का चयन. इसे हल करने के लिए, यह नोट करना पर्याप्त है कि:

तो यहाँ आपका प्रतिस्थापन है:

(ध्यान दें कि यहां, हमारे प्रतिस्थापन के साथ, हम नकारात्मक जड़ को त्याग नहीं सकते हैं!!! और क्यों, आपको क्या लगता है?)

अब, उदाहरण को हल करने के लिए, आपको दो समीकरणों को हल करना होगा:

उन दोनों को "मानक प्रतिस्थापन" द्वारा हल किया जाता है (लेकिन एक उदाहरण में दूसरा!)

2. इस पर ध्यान दें और एक प्रतिस्थापन करें।

3. संख्या को सहअभाज्य गुणनखंडों में विस्तारित करें और परिणामी व्यंजक को सरल बनाएं।

4. भिन्न के अंश और हर को (या यदि आप चाहें) से विभाजित करें और प्रतिस्थापन करें या।

5. ध्यान दें कि संख्याएँ और संयुग्म हैं।

एक्सपोशनल समीकरण। अग्रवर्ती स्तर

इसके अलावा, आइए एक और तरीका देखें - लघुगणक विधि द्वारा घातीय समीकरणों का समाधान. मैं यह नहीं कह सकता कि इस विधि द्वारा घातांकीय समीकरणों का समाधान बहुत लोकप्रिय है, लेकिन कुछ मामलों में ही यह हमें हमारे समीकरण के सही समाधान तक ले जा सकता है। विशेष रूप से अक्सर इसका उपयोग तथाकथित को हल करने के लिए किया जाता है " मिश्रित समीकरण': यानी वे जहां विभिन्न प्रकार के कार्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण जैसे:

सामान्य स्थिति में, इसे केवल दोनों भागों का लघुगणक (उदाहरण के लिए, आधार द्वारा) लेकर हल किया जा सकता है, जिसमें मूल समीकरण निम्नलिखित में बदल जाता है:

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें:

यह स्पष्ट है कि हम केवल लघुगणकीय फलन के ODZ में रुचि रखते हैं। हालाँकि, यह न केवल लघुगणक के ODZ से, बल्कि किसी अन्य कारण से भी अनुसरण करता है। मुझे लगता है कि आपके लिए यह अनुमान लगाना मुश्किल नहीं होगा कि कौन सा है।

आइए हमारे समीकरण के दोनों पक्षों के लघुगणक को आधार पर ले जाएं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे मूल समीकरण का लघुगणक लेने से हमें तुरंत सही (और सुंदर!) उत्तर मिला। आइए एक और उदाहरण के साथ अभ्यास करें:

यहाँ भी, चिंता की कोई बात नहीं है: हम आधार के रूप में समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं:

आइए एक प्रतिस्थापन करें:

हालाँकि, हम कुछ चूक गए! क्या आपने देखा कि मैंने कहाँ गलती की? आखिर तब:

जो आवश्यकता को पूरा नहीं करता है (सोचें कि यह कहाँ से आया है!)

उत्तर:

घातांकीय समीकरणों के हल को नीचे लिखने का प्रयास करें:

अब इसके साथ अपना समाधान जांचें:

1. हम आधार के दोनों भागों का लघुगणक करते हैं, यह देखते हुए:

(प्रतिस्थापन के कारण दूसरी जड़ हमें शोभा नहीं देती)

2. आधार के लिए लघुगणक:

आइए परिणामी अभिव्यक्ति को निम्न रूप में बदलें:

एक्सपोशनल समीकरण। संक्षिप्त विवरण और बुनियादी सूत्र

घातीय समीकरण

समीकरण टाइप करें:

बुलाया सबसे सरल घातीय समीकरण।

डिग्री गुण

समाधान दृष्टिकोण

एक ही आधार में कमी
एक ही घातांक में कमी
परिवर्तनीय प्रतिस्थापन
व्यंजक को सरल कीजिए और उपरोक्त में से किसी एक को लागू कीजिए।