समस्या B7 एक अभिव्यक्ति देती है जिसे सरल बनाने की आवश्यकता है। परिणाम एक नियमित संख्या होनी चाहिए जिसे उत्तर पत्रक पर लिखा जा सके। सभी भाव सशर्त रूप से तीन प्रकारों में विभाजित हैं:

1. लघुगणक,
2. प्रदर्शन,
3. संयुक्त।

घातीय और लघुगणकीय व्यंजक अपने शुद्ध रूप में लगभग कभी नहीं पाए जाते हैं। हालाँकि, यह जानना आवश्यक है कि उनकी गणना कैसे की जाती है।

सामान्य तौर पर, समस्या B7 काफी सरलता से हल हो जाती है और औसत स्नातक की शक्ति के भीतर होती है। स्पष्ट एल्गोरिदम की कमी की भरपाई इसके मानक और एकरूपता से होती है। आप इस तरह की समस्याओं को आसानी से हल करना सीख सकते हैं एक बड़ी संख्या मेंकसरत।

लघुगणक व्यंजक

B7 समस्याओं के विशाल बहुमत में किसी न किसी रूप में लघुगणक होते हैं। इस विषय को पारंपरिक रूप से कठिन माना जाता है, क्योंकि इसका अध्ययन, एक नियम के रूप में, 11 वीं कक्षा में आता है - अंतिम परीक्षा के लिए सामूहिक तैयारी का युग। नतीजतन, कई स्नातकों के पास लघुगणक के बारे में बहुत अस्पष्ट विचार है।

लेकिन इस कार्य में किसी को भी गहन सैद्धांतिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। हम केवल सबसे सरल अभिव्यक्तियों से मिलेंगे जिनके लिए सीधे तर्क की आवश्यकता होती है और जिन्हें स्वतंत्र रूप से महारत हासिल किया जा सकता है। लघुगणक से निपटने के लिए आपको जिन बुनियादी सूत्रों को जानना आवश्यक है, वे नीचे दिए गए हैं:

इसके अलावा, किसी को तर्कसंगत घातांक के साथ जड़ों और अंशों को शक्तियों से बदलने में सक्षम होना चाहिए, अन्यथा कुछ अभिव्यक्तियों में लघुगणक के संकेत के नीचे से निकालने के लिए बस कुछ भी नहीं होगा। प्रतिस्थापन सूत्र:

एक कार्य। अभिव्यक्ति मान खोजें:
लॉग 6 270 - लॉग 6 7.5
लॉग 5 775 - लॉग 5 6.2

पहले दो भाव लघुगणक के अंतर के रूप में परिवर्तित होते हैं:
लघुगणक 6 270 - लघुगणक 6 7.5 = लघुगणक 6 (270: 7.5) = लघुगणक 6 36 = 2;
लघुगणक 5 775 - लघुगणक 5 6.2 = लघुगणक 5 (775: 6.2) = लघुगणक 5 125 = 3.

तीसरी अभिव्यक्ति की गणना करने के लिए, आपको डिग्री का चयन करना होगा - आधार और तर्क दोनों में। सबसे पहले, आइए आंतरिक लघुगणक खोजें:

फिर - बाहरी:

लॉग ए लॉग बी एक्स जैसे निर्माण जटिल लगते हैं और कई लोगों को गलत समझा जाता है। इस बीच, यह केवल लघुगणक का लघुगणक है, अर्थात्। लॉग ए (लॉग बी एक्स)। सबसे पहले, आंतरिक लॉगरिदम की गणना की जाती है (लॉग बी एक्स = सी डालें), और फिर बाहरी एक: लॉग ए सी।

घातीय अभिव्यक्ति

हम घातांकीय व्यंजक को k के रूप की कोई भी रचना कहेंगे, जहाँ संख्याएँ a और k स्वेच्छ अचर हैं, और a > 0। ऐसे व्यंजकों के साथ कार्य करने की विधियाँ काफी सरल हैं और इन्हें 8वीं कक्षा के बीजगणित पाठों में माना जाता है।

नीचे मूल सूत्र दिए गए हैं जिन्हें आपको अवश्य जानना चाहिए। इन सूत्रों को व्यवहार में लागू करने से, एक नियम के रूप में, कोई समस्या नहीं होती है।

1. ए एन ए एम = ए एन + एम;
2. ए एन / ए एम = ए एन - एम;
3. (ए एन) एम = ए एन एम;
4. (ए बी) एन = ए एन बी एन;
5. (ए: बी) एन = ए एन: बी एन।

अगर मिले यौगिक अभिव्यक्तिडिग्री के साथ, और यह स्पष्ट नहीं है कि इसे कैसे प्राप्त किया जाए, वे एक सार्वभौमिक तकनीक का उपयोग करते हैं - प्रमुख कारकों में अपघटन। नतीजतन, डिग्री के आधार में बड़ी संख्या को सरल और समझने योग्य तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। तब यह केवल उपरोक्त सूत्रों को लागू करने के लिए रहता है - और समस्या हल हो जाएगी।

एक कार्य। व्यंजक मान ज्ञात कीजिए: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 ।

समाधान। हम शक्तियों के सभी आधारों को अभाज्य कारकों में विघटित करते हैं:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189।
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6।
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

संयुक्त कार्य

यदि आप सूत्रों को जानते हैं, तो सभी घातांक और लघुगणक व्यंजक एक पंक्ति में शाब्दिक रूप से हल हो जाते हैं। हालाँकि, समस्या B7 में, शक्तियों और लघुगणक को एक मजबूत संयोजन बनाने के लिए जोड़ा जा सकता है।

आदिम स्तर के बीजगणित के तत्वों में से एक लघुगणक है। यह नाम ग्रीक भाषा से "नंबर" या "डिग्री" शब्द से आया है और इसका मतलब है कि अंतिम संख्या खोजने के लिए आधार पर संख्या को बढ़ाने के लिए आवश्यक डिग्री है।

लघुगणक के प्रकार

• लॉग ए बी संख्या बी का आधार ए (ए> 0, ए ≠ 1, बी> 0) का लॉगरिदम है;
• एलजी बी - दशमलव लघुगणक (लघुगणक आधार 10, ए = 10);
• एलएन बी - प्राकृतिक लॉगरिदम (लघुगणक आधार ई, ए = ई)।

लघुगणक कैसे हल करें?

संख्या b से आधार a का लघुगणक एक घातांक है, जिसके लिए आधार a को संख्या b तक बढ़ाना आवश्यक है। परिणाम इस तरह उच्चारित किया जाता है: "बी का लॉगरिदम टू बेस ए"। लॉगरिदमिक समस्याओं का समाधान यह है कि आपको निर्दिष्ट संख्याओं द्वारा दी गई डिग्री को संख्याओं द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है। लघुगणक को निर्धारित करने या हल करने के साथ-साथ संकेतन को बदलने के लिए कुछ बुनियादी नियम हैं। उनका उपयोग करके, लॉगरिदमिक समीकरण हल किए जाते हैं, व्युत्पन्न पाए जाते हैं, इंटीग्रल हल किए जाते हैं, और कई अन्य ऑपरेशन किए जाते हैं। मूल रूप से, लघुगणक का समाधान ही इसका सरलीकृत अंकन है। नीचे मुख्य सूत्र और गुण हैं:

किसी के लिए; ए > 0; a 1 और किसी भी x के लिए; वाई> 0।

• a log a b = b मूल लघुगणकीय पहचान है
• लॉग ए 1 = 0
• लॉग ए = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• लॉग a x/ y = लॉग a x – लॉग a y
• लॉग a 1/x = -log a x
• लॉग a x p = p लॉग a x
• लॉग a k x = 1/k लॉग a x , k 0 . के लिए
• लॉग a x = लॉग a c x c
• लॉग ए एक्स \u003d लॉग बी एक्स / लॉग बी ए - एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र
• लॉग एक्स = 1/लॉग एक्स ए

लघुगणक कैसे हल करें - हल करने के लिए चरण दर चरण निर्देश

• सबसे पहले, आवश्यक समीकरण लिखिए।

कृपया ध्यान दें: यदि आधार लघुगणक 10 है, तो रिकॉर्ड छोटा हो जाता है, एक दशमलव लघुगणक प्राप्त होता है। अगर लायक प्राकृतिक संख्याई, फिर हम एक प्राकृतिक लघुगणक को कम करते हुए लिखते हैं। इसका अर्थ है कि सभी लघुगणक का परिणाम वह शक्ति है जिससे संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाया जाता है।

सीधे तौर पर, समाधान इस डिग्री की गणना में निहित है। किसी व्यंजक को लघुगणक के साथ हल करने से पहले, इसे नियम के अनुसार सरल बनाना चाहिए, अर्थात सूत्रों का उपयोग करना। आप लेख में थोड़ा पीछे जाकर मुख्य पहचान पा सकते हैं।

दो अलग-अलग संख्याओं के साथ लेकिन एक ही आधार के साथ लॉगरिदम जोड़ते और घटाते समय, क्रमशः बी और सी के उत्पाद या विभाजन के साथ एकल लॉगरिदम के साथ प्रतिस्थापित करें। इस मामले में, आप संक्रमण सूत्र को दूसरे आधार पर लागू कर सकते हैं (ऊपर देखें)।

यदि आप लघुगणक को सरल बनाने के लिए व्यंजकों का उपयोग कर रहे हैं, तो विचार करने के लिए कुछ सीमाएँ हैं। और वह है: लघुगणक का आधार a - केवल सकारात्मक संख्या, लेकिन एक के बराबर नहीं। संख्या b, जैसे a, शून्य से बड़ी होनी चाहिए।

ऐसे मामले हैं जब अभिव्यक्ति को सरल बनाने के बाद, आप संख्यात्मक रूप में लघुगणक की गणना करने में सक्षम नहीं होंगे। ऐसा होता है कि इस तरह की अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि कई डिग्री अपरिमेय संख्याएं हैं। इस शर्त के तहत, संख्या की शक्ति को लघुगणक के रूप में छोड़ दें।

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां सरल जोड़ के लिए बोझिल गुणा को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट का समय लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे कार्य करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लघुगणक निम्नलिखित रूप का एक व्यंजक है: log a b=c, अर्थात किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या (अर्थात कोई धनात्मक) का लघुगणक "b" उसके आधार "a" से "c" की घात मानी जाती है। , जिससे आधार "ए" उठाया जाना चाहिए, ताकि अंत में "बी" मान प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक व्यंजक है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत आसान है, आपको इतनी डिग्री ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8 मिले। कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही है, क्योंकि 2 का घात 3 उत्तर में 8 अंक देता है।

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना। वहाँ तीन हैं ख़ास तरह केलघुगणक अभिव्यक्तियाँ:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव a, जहाँ आधार 10 है।
3. आधार a>1 से किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक तय है एक मानक तरीके से, जिसमें लॉगरिदमिक प्रमेयों का उपयोग करते हुए सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, आप संख्याओं को शून्य से विभाजित नहीं कर सकते हैं, और इससे एक सम मूल लेना भी असंभव है ऋणात्मक संख्या. लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि लंबी और विशाल लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के साथ भी कैसे काम किया जाए:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री तक हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने का कार्य दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको दस की संख्या बढ़ाकर ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है जिससे हमें 100 मिले। यह निश्चित रूप से 10 2 है। \u003d 100.

अब इस व्यंजक को लघुगणक के रूप में निरूपित करते हैं। हमें लॉग 10 100 = 2 मिलता है। लॉगरिदम को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांक का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है। हालांकि, के लिए बड़े मूल्यआपको डिग्री की एक तालिका चाहिए। इसका उपयोग उनके द्वारा भी किया जा सकता है जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। बाएँ स्तंभ में संख्याएँ (आधार a) हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति घात c का मान है, जिससे संख्या a उठाई जाती है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर, संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c =b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानता

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक व्यंजक को लघुगणक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को आधार 3 के 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो चार है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक शक्तियों के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, हम समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1)> 3 - यह एक लॉगरिदमिक असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लॉगरिदम के संकेत के तहत है। और व्यंजक में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = 9 का लघुगणक) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों की सीमा स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। एक परिणाम के रूप में, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल सकता है। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक गुण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल पहचान इस तरह दिखती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2. इस मामले में, पूर्वापेक्षा है: डी, ​​एस 1 और एस 2> 0; ए≠1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए a s 1 = f 1 लॉग करें और a s 2 = f 2 लॉग करें, फिर a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: लॉग a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1 / एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: log a q b n = n/q log a b।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित नियमित पदों पर टिकी हुई है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t दें, यह a t \u003d b निकलता है। यदि आप दोनों भागों को घात m: a tn = b n तक बढ़ाते हैं;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए a q b n = (n*t)/t लॉग करें, फिर a q b n = n/q log a b लॉग करें। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। विश्वविद्यालय में प्रवेश या उत्तीर्ण होने के लिए प्रवेश परीक्षागणित में, आपको यह जानना होगा कि ऐसी समस्याओं को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, एक ही योजना या योजना को संबोधित करने और निर्धारित करने के लिए अज्ञात मूल्यकोई लघुगणक नहीं है, हालांकि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है या घटाकर सामान्य दृष्टि से. यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं, तो आप लंबे लघुगणकीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। आइए जल्द ही उन्हें जान लेते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लॉगरिदम है: अभिव्यक्ति के उदाहरण में प्राकृतिक लॉगरिदम या दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। समाधान के लिए प्राकृतिक लघुगणकलॉगरिदमिक पहचान या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां विस्तार करना आवश्यक है बहुत महत्वसंख्या बी सरल कारकों में। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की डिग्री की चौथी संपत्ति का उपयोग करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और असफल अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को गुणनखंड करना और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लॉगरिदम अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में बहुत सारी लॉगरिदमिक समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (सबसे आसान .) में मौजूद होते हैं परीक्षण भागपरीक्षा), लेकिन भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी। परीक्षा का तात्पर्य "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान है।

उदाहरण और समस्या समाधान आधिकारिक से लिए गए हैं उपयोग विकल्प. आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लघुगणक 2 (2x-1) = 4. हल:
आइए व्यंजक को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सा सरल करते हुए लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से हमें 2x-1 = 2 4 मिलता है, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर सबसे अच्छा कम किया जाता है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित न हो।
• लघुगणक के चिह्न के तहत सभी भाव सकारात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए, अभिव्यक्ति के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के संकेत के तहत होता है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के तहत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

इस वीडियो के साथ, मैं लघुगणकीय समीकरणों के बारे में पाठों की एक लंबी श्रृंखला शुरू करता हूँ। अब आपके पास एक साथ तीन उदाहरण हैं, जिनके आधार पर हम सरलतम कार्यों को हल करना सीखेंगे, जिन्हें कहा जाता है - प्रोटोजोआ.

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

मैं आपको याद दिला दूं कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण निम्नलिखित है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

यह महत्वपूर्ण है कि चर x केवल तर्क के अंदर मौजूद है, अर्थात केवल फलन f(x) में। और संख्याएँ a और b केवल संख्याएँ हैं, और किसी भी स्थिति में चर x वाले फलन नहीं हैं।

मूल समाधान के तरीके

ऐसी संरचनाओं को हल करने के कई तरीके हैं। उदाहरण के लिए, स्कूल के अधिकांश शिक्षक इस तरह से सुझाव देते हैं: सूत्र का उपयोग करके फ़ंक्शन f (x) को तुरंत व्यक्त करें एफ( एक्स) = एक ख। यही है, जब आप सबसे सरल निर्माण को पूरा करते हैं, तो आप अतिरिक्त कार्यों और निर्माणों के बिना तुरंत समाधान के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

हां, निश्चित तौर पर फैसला सही साबित होगा। हालाँकि, इस फॉर्मूले के साथ समस्या यह है कि अधिकांश छात्र समझ में नहीं आता, यह कहाँ से आता है और हम अक्षर a को अक्षर b तक क्यों बढ़ाते हैं।

नतीजतन, मैं अक्सर बहुत आक्रामक त्रुटियों का निरीक्षण करता हूं, उदाहरण के लिए, इन पत्रों को आपस में बदल दिया जाता है। इस सूत्र को या तो समझा जाना चाहिए या याद रखना चाहिए, और दूसरी विधि सबसे अनुचित और सबसे महत्वपूर्ण क्षणों में त्रुटियों की ओर ले जाती है: परीक्षा, परीक्षण आदि में।

यही कारण है कि मैं अपने सभी छात्रों को मानक स्कूल फॉर्मूले को छोड़ने और लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए दूसरे दृष्टिकोण का उपयोग करने का सुझाव देता हूं, जैसा कि आप शायद नाम से अनुमान लगाते हैं, कहा जाता है कानूनी फॉर्म.

विहित रूप का विचार सरल है। आइए अपने कार्य को फिर से देखें: बाईं ओर हमारे पास लॉग a है, जबकि अक्षर a का अर्थ बिल्कुल संख्या है, और किसी भी स्थिति में चर x युक्त फ़ंक्शन नहीं है। इसलिए, यह पत्र उन सभी प्रतिबंधों के अधीन है जो लघुगणक के आधार पर लगाए गए हैं। अर्थात्:

1 ए > 0

दूसरी ओर, उसी समीकरण से, हम देखते हैं कि लघुगणक अवश्य होना चाहिए संख्या के बराबर हैबी, और इस पत्र पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है, क्योंकि यह कोई भी मूल्य ले सकता है - सकारात्मक और नकारात्मक दोनों। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि f(x) फ़ंक्शन क्या मान लेता है।

और यहाँ हम अपने अद्भुत नियम को याद करते हैं कि किसी भी संख्या b को आधार a से b की घात तक एक लघुगणक के रूप में दर्शाया जा सकता है:

बी = लॉग ए ए बी

इस सूत्र को कैसे याद रखें? हाँ, बहुत सरल। आइए निम्नलिखित निर्माण लिखें:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए

बेशक, इस मामले में, सभी प्रतिबंध जो हमने शुरुआत में लिखे थे, उत्पन्न होते हैं। और अब हम लघुगणक के मूल गुण का उपयोग करते हैं, और गुणनखंड b को a की घात के रूप में दर्ज करते हैं। हम पाते हैं:

बी = बी 1 = बी लॉग ए ए = लॉग ए ए बी

परिणामस्वरूप, मूल समीकरण को निम्न रूप में फिर से लिखा जाएगा:

लॉग a f (x) = log a a b → f (x) = a b

बस इतना ही। नए फ़ंक्शन में अब लॉगरिदम नहीं है और इसे मानक बीजीय तकनीकों द्वारा हल किया जाता है।

बेशक, अब किसी को आपत्ति होगी: किसी प्रकार के विहित सूत्र के साथ आना क्यों आवश्यक था, दो अतिरिक्त अनावश्यक कदम क्यों उठाएं, यदि मूल निर्माण से अंतिम सूत्र तक तुरंत जाना संभव था? हां, यदि केवल इसलिए कि अधिकांश छात्र यह नहीं समझते हैं कि यह सूत्र कहाँ से आता है और परिणामस्वरूप, इसे लागू करते समय नियमित रूप से गलतियाँ करते हैं।

लेकिन क्रियाओं का ऐसा क्रम, जिसमें तीन चरण होते हैं, आपको मूल लघुगणकीय समीकरण को हल करने की अनुमति देता है, भले ही आप यह न समझें कि वह अंतिम सूत्र कहाँ से आता है। वैसे, इस प्रविष्टि को विहित सूत्र कहा जाता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

विहित रूप की सुविधा इस तथ्य में भी निहित है कि इसका उपयोग लॉगरिदमिक समीकरणों के एक बहुत व्यापक वर्ग को हल करने के लिए किया जा सकता है, न कि केवल सबसे सरल जिन्हें हम आज विचार कर रहे हैं।

समाधान उदाहरण

और अब आइए विचार करें वास्तविक उदाहरण. तो चलिए तय करते हैं:

लॉग 0.5 (3x - 1) = -3

आइए इसे इस तरह फिर से लिखें:

लॉग 0.5 (3x - 1) = लॉग 0.5 0.5 -3

बहुत से छात्र जल्दी में हैं और मूल समस्या से हमारे पास आने वाली शक्ति को तुरंत 0.5 की संख्या बढ़ाने की कोशिश करते हैं। और वास्तव में, जब आप ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए पहले से ही अच्छी तरह से प्रशिक्षित हैं, तो आप तुरंत यह कदम उठा सकते हैं।

हालाँकि, यदि आप अभी इस विषय का अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, तो बेहतर है कि कहीं भी जल्दबाजी न करें ताकि आपत्तिजनक गलतियाँ न हों। तो हमारे पास विहित रूप है। हमारे पास है:

3x - 1 = 0.5 -3

यह अब एक लघुगणकीय समीकरण नहीं है, बल्कि चर x के संबंध में एक रैखिक समीकरण है। इसे हल करने के लिए, आइए पहले −3 की घात के लिए 0.5 की संख्या से निपटें। ध्यान दें कि 0.5 1/2 है।

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

सभी दशमलवजब आप एक लघुगणकीय समीकरण को हल करते हैं तो सामान्य में परिवर्तित हो जाते हैं।

हम फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

3x - 1 = 8
3x=9
एक्स = 3

हमें सबका जवाब मिल गया। पहला कार्य हल हो गया है।

दूसरा कार्य

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह समीकरण अब सबसे सरल नहीं है। यदि केवल इसलिए कि अंतर बाईं ओर है, और एक आधार में एक भी लघुगणक नहीं है।

इसलिए, आपको किसी तरह इस अंतर से छुटकारा पाने की जरूरत है। इस मामले में, सब कुछ बहुत सरल है। आइए आधारों पर करीब से नज़र डालें: बाईं ओर जड़ के नीचे की संख्या है:

सामान्य अनुशंसा: सभी लघुगणकीय समीकरणों में, मूलांकों से छुटकारा पाने का प्रयास करें, अर्थात् जड़ों वाली प्रविष्टियाँ और आगे बढ़ें शक्ति कार्य, केवल इसलिए कि इन शक्तियों के प्रतिपादकों को लॉगरिदम के चिन्ह से आसानी से निकाल लिया जाता है, और अंत में, ऐसा संकेतन गणनाओं को बहुत सरल और गति प्रदान करता है। आइए इसे इस तरह लिखें:

अब हम लघुगणक की उल्लेखनीय संपत्ति को याद करते हैं: तर्क से, साथ ही आधार से, आप डिग्री निकाल सकते हैं। आधारों के मामले में, निम्नलिखित होता है:

लॉग a k b = 1/k लोगा b

दूसरे शब्दों में, आधार की डिग्री में खड़ी संख्या को आगे लाया जाता है और साथ ही साथ पलट जाता है, अर्थात बन जाता है रिवर्स नंबर. हमारे मामले में, 1/2 के संकेतक के साथ आधार की डिग्री थी। इसलिए, हम इसे 2/1 के रूप में निकाल सकते हैं। हम पाते हैं:

5 2 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18
10 लघुगणक 5 x - लघुगणक 5 x = 18

कृपया ध्यान दें: किसी भी स्थिति में आपको इस चरण में लघुगणक से छुटकारा नहीं मिलना चाहिए। ग्रेड 4-5 गणित और संचालन के क्रम पर विचार करें: पहले गुणा किया जाता है, और उसके बाद ही जोड़ और घटाव किया जाता है। इस मामले में, हम 10 तत्वों में से एक ही तत्व को घटाते हैं:

9 लघुगणक 5 x = 18
लॉग 5 x = 2

अब हमारा समीकरण वैसा ही दिखता है जैसा होना चाहिए। यह सबसे सरल निर्माण है, और हम इसे विहित रूप का उपयोग करके हल करते हैं:

लघुगणक 5 x = लघुगणक 5 5 2
एक्स = 5 2
एक्स = 25

बस इतना ही। दूसरी समस्या हल हो गई है।

तीसरा उदाहरण

आइए तीसरे कार्य पर चलते हैं:

एलजी (एक्स + 3) = 3 + 2 एलजी 5

निम्नलिखित सूत्र को याद करें:

लॉग बी = लॉग 10 बी

अगर किसी कारण से आप lg b लिखकर भ्रमित हैं, तो सभी गणना करते समय, आप बस लॉग 10 b लिख सकते हैं। आप दशमलव लॉगरिदम के साथ उसी तरह काम कर सकते हैं जैसे दूसरों के साथ: शक्तियों को बाहर निकालें, जोड़ें, और एलजी 10 के रूप में किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करें।

यह ठीक ये गुण हैं जिनका उपयोग अब हम समस्या को हल करने के लिए करेंगे, क्योंकि यह सबसे सरल नहीं है जिसे हमने अपने पाठ की शुरुआत में लिखा था।

शुरू करने के लिए, ध्यान दें कि एलजी 5 से पहले कारक 2 डाला जा सकता है और आधार 5 की शक्ति बन जाता है। इसके अलावा, मुक्त शब्द 3 को लॉगरिदम के रूप में भी दर्शाया जा सकता है - यह हमारे नोटेशन से निरीक्षण करना बहुत आसान है।

अपने लिए न्यायाधीश: किसी भी संख्या को आधार 10 के लॉग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

3 = लघुगणक 10 10 3 = लघुगणक 10 3

आइए प्राप्त परिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए मूल समस्या को फिर से लिखें:

एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 + एलजी 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 1000 25
एलजी (एक्स - 3) = एलजी 25 000

इससे पहले कि हम फिर से विहित रूप हैं, और हमने इसे परिवर्तनों के चरण को दरकिनार करते हुए प्राप्त किया, अर्थात, सबसे सरल लघुगणक समीकरण हमारे साथ कहीं भी नहीं आया।

यही मैं पाठ की शुरुआत में ही बात कर रहा था। विहित रूप मानक स्कूल फॉर्मूले की तुलना में समस्याओं के एक व्यापक वर्ग को हल करने की अनुमति देता है, जो कि अधिकांश स्कूल शिक्षकों द्वारा दिया जाता है।

बस इतना ही, हम दशमलव लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाते हैं, और हमें एक सरल रैखिक निर्माण मिलता है:

एक्स + 3 = 25,000
एक्स = 24997

सभी! समस्या हल हो गई।

दायरे के बारे में एक नोट

यहां मैं परिभाषा के क्षेत्र के बारे में एक महत्वपूर्ण टिप्पणी करना चाहूंगा। निश्चित रूप से अब ऐसे छात्र और शिक्षक हैं जो कहेंगे: "जब हम लघुगणक के साथ व्यंजकों को हल करते हैं, तो यह याद रखना अनिवार्य है कि तर्क f (x) शून्य से बड़ा होना चाहिए!" इस संबंध में, एक तार्किक प्रश्न उठता है: किसी भी विचाराधीन समस्या में हमें इस असमानता को संतुष्ट करने की आवश्यकता क्यों नहीं थी?

चिंता मत करो। इन मामलों में कोई अतिरिक्त जड़ें नहीं दिखाई देंगी। और यह एक और बढ़िया ट्रिक है जो आपको समाधान में तेजी लाने की अनुमति देती है। बस यह जान लें कि यदि समस्या में चर x केवल एक ही स्थान पर होता है (या बल्कि, एक और केवल लघुगणक के एक और एकमात्र तर्क में), और हमारे मामले में कहीं और चर x नहीं होता है, तो डोमेन लिखें कोई ज़रुरत नहीं हैक्योंकि यह स्वचालित रूप से चलेगा।

अपने लिए जज करें: पहले समीकरण में, हमें वह 3x - 1 मिला, यानी, तर्क 8 के बराबर होना चाहिए। इसका स्वचालित रूप से मतलब है कि 3x - 1 शून्य से बड़ा होगा।

उसी सफलता के साथ, हम लिख सकते हैं कि दूसरे मामले में, x को 5 2 के बराबर होना चाहिए, अर्थात यह निश्चित रूप से शून्य से बड़ा है। और तीसरे मामले में, जहां x + 3 = 25,000, यानी, फिर से, स्पष्ट रूप से शून्य से अधिक है। दूसरे शब्दों में, दायरा स्वचालित है, लेकिन केवल अगर x केवल एक लॉगरिदम के तर्क में होता है।

साधारण समस्याओं को हल करने के लिए आपको बस इतना ही पता होना चाहिए। केवल यह नियम, परिवर्तन नियमों के साथ, आपको बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देगा।

लेकिन आइए ईमानदार रहें: अंततः इस तकनीक से निपटने के लिए, यह जानने के लिए कि विहित रूप को कैसे लागू किया जाए लघुगणक समीकरणकेवल एक वीडियो ट्यूटोरियल देखना पर्याप्त नहीं है। इसलिए, अभी, एक स्वतंत्र समाधान के विकल्प डाउनलोड करें जो इस वीडियो ट्यूटोरियल से जुड़े हैं और इन दो स्वतंत्र कार्यों में से कम से कम एक को हल करना शुरू करें।

इसमें आपको बस कुछ ही मिनट लगेंगे। लेकिन इस तरह के प्रशिक्षण का प्रभाव इस वीडियो ट्यूटोरियल को देखने की तुलना में बहुत अधिक होगा।

मुझे आशा है कि यह पाठ आपको लघुगणकीय समीकरणों को समझने में मदद करेगा। विहित रूप लागू करें, लघुगणक के साथ काम करने के नियमों का उपयोग करके अभिव्यक्तियों को सरल बनाएं - और आप किसी भी कार्य से डरेंगे नहीं। और मेरे पास आज के लिए बस इतना ही है।

दायरा विचार

अब बात करते हैं लॉगरिदमिक फंक्शन के डोमेन के बारे में, साथ ही यह कैसे लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान को प्रभावित करता है। फॉर्म के निर्माण पर विचार करें

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस तरह की अभिव्यक्ति को सबसे सरल कहा जाता है - इसमें केवल एक फ़ंक्शन होता है, और संख्याएं ए और बी केवल संख्याएं होती हैं, और किसी भी मामले में एक फ़ंक्शन नहीं होता है जो चर x पर निर्भर करता है। इसे बहुत सरलता से हल किया जाता है। आपको बस सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

यह सूत्र लघुगणक के प्रमुख गुणों में से एक है, और जब हमारी मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

एफ (एक्स) = एक बी

यह पहले से ही स्कूली पाठ्यपुस्तकों का एक परिचित सूत्र है। कई छात्रों के पास शायद एक प्रश्न होगा: चूंकि मूल अभिव्यक्ति में फ़ंक्शन f ( x ) लॉग साइन के तहत है, इस पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए गए हैं:

एफ (एक्स)> 0

यह प्रतिबंध मान्य है क्योंकि ऋणात्मक संख्याओं का लघुगणक मौजूद नहीं है। तो, शायद इस सीमा के कारण, आपको उत्तरों के लिए एक चेक पेश करना चाहिए? शायद उन्हें स्रोत में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है?

नहीं, सरल लघुगणकीय समीकरणों में, एक अतिरिक्त जाँच अनावश्यक है। और यही कारण है। हमारे अंतिम सूत्र पर एक नज़र डालें:

एफ (एक्स) = एक बी

तथ्य यह है कि किसी भी मामले में संख्या 0 से अधिक है - यह आवश्यकता लॉगरिदम द्वारा भी लगाई जाती है। संख्या a आधार है। इस मामले में, संख्या बी पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि हम चाहे कितनी भी सकारात्मक संख्या बढ़ा लें, फिर भी हमें आउटपुट पर एक सकारात्मक संख्या मिलेगी। इस प्रकार, आवश्यकता f (x) > 0 स्वतः ही पूरी हो जाती है।

वास्तव में जाँच के लायक क्या है लॉग साइन के तहत फ़ंक्शन का दायरा। काफी जटिल डिजाइन हो सकते हैं, और उन्हें हल करने की प्रक्रिया में, आपको निश्चित रूप से उनका पालन करना चाहिए। आइए देखते हैं।

पहला काम:

पहला चरण: भिन्न को दाईं ओर रूपांतरित करें। हम पाते हैं:

हम लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं और सामान्य अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

प्राप्त जड़ों में से केवल पहला हमें सूट करता है, क्योंकि दूसरी जड़ शून्य से कम है। इसका एकमात्र उत्तर 9 नंबर होगा। बस, समस्या हल हो गई है। कोई अतिरिक्त जाँच नहीं है कि लघुगणक चिह्न के तहत अभिव्यक्ति 0 से अधिक है, क्योंकि यह केवल 0 से अधिक नहीं है, लेकिन समीकरण की स्थिति से यह 2 के बराबर है। इसलिए, आवश्यकता "शून्य से अधिक" स्वचालित रूप से है संतुष्ट।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

यहॉं सब कुछ वैसा ही है। हम ट्रिपल की जगह, निर्माण को फिर से लिखते हैं:

हम लघुगणक के संकेतों से छुटकारा पाते हैं और एक अपरिमेय समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रतिबंधों को ध्यान में रखते हुए दोनों भागों को चौकोर करते हैं, और हम प्राप्त करते हैं:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

हम परिणामी समीकरण को विवेचक के माध्यम से हल करते हैं:

डी \u003d 49 - 24 \u003d 25

एक्स 1 = -1

एक्स 2 \u003d -6

लेकिन x = −6 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि यदि हम इस संख्या को अपनी असमानता में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

−6 + 4 = −2 < 0

हमारे मामले में, यह आवश्यक है कि यह 0 से अधिक हो या चरम मामलों में बराबर हो। लेकिन x = −1 हमें सूट करता है:

−1 + 4 = 3 > 0

हमारे मामले में एकमात्र उत्तर x = -1 है। यही सब समाधान है। आइए अपनी गणनाओं की शुरुआत में वापस जाएं।

इस पाठ का मुख्य निष्कर्ष यह है कि सरल लघुगणकीय समीकरणों में किसी फ़ंक्शन के लिए सीमाओं की जांच करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि समाधान की प्रक्रिया में सभी बाधाओं को स्वचालित रूप से निष्पादित किया जाता है।

हालांकि, इसका मतलब यह नहीं है कि आप सत्यापन के बारे में पूरी तरह से भूल सकते हैं। एक लघुगणकीय समीकरण पर काम करने की प्रक्रिया में, यह एक अपरिमेय समीकरण में बदल सकता है, जिसकी दाईं ओर की अपनी सीमाएँ और आवश्यकताएं होंगी, जिसे हमने आज दो अलग-अलग उदाहरणों में देखा है।

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें और यदि तर्क में कोई जड़ है तो विशेष रूप से सावधान रहें।

विभिन्न आधारों के साथ लघुगणक समीकरण

हम लॉगरिदमिक समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और दो और दिलचस्प तरकीबों का विश्लेषण करते हैं जिनके साथ अधिक हल करना फैशनेबल है जटिल संरचनाएं. लेकिन पहले, आइए याद रखें कि सबसे सरल कार्यों को कैसे हल किया जाता है:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

इस संकेतन में, a और b केवल संख्याएँ हैं, और फ़ंक्शन f (x) में चर x मौजूद होना चाहिए, और केवल वहाँ, यानी x केवल तर्क में होना चाहिए। हम विहित रूप का उपयोग करके ऐसे लघुगणकीय समीकरणों को रूपांतरित करेंगे। इसके लिए हम ध्यान दें कि

बी = लॉग ए ए बी

और ए बी सिर्फ एक तर्क है। आइए इस अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखें:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

ठीक यही हम हासिल करने की कोशिश कर रहे हैं, ताकि बाईं ओर और दाईं ओर आधार के लिए एक लघुगणक हो। इस मामले में, हम लाक्षणिक रूप से, लॉग के संकेतों को पार कर सकते हैं, और गणित के दृष्टिकोण से, हम कह सकते हैं कि हम केवल तर्कों को समान करते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

नतीजतन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है जिसे बहुत आसान तरीके से हल किया जाएगा। आइए आज इस नियम को अपने कार्यों पर लागू करें।

तो पहला डिजाइन:

सबसे पहले, मैं ध्यान देता हूं कि दाईं ओर एक अंश है, जिसका हर लॉग है। जब आप इस तरह की अभिव्यक्ति देखते हैं, तो यह लॉगरिदम की अद्भुत संपत्ति को याद रखने योग्य है:

रूसी में अनुवादित, इसका मतलब है कि किसी भी लघुगणक को किसी भी आधार c के साथ दो लघुगणक के भागफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। बेशक, 0< с ≠ 1.

तो: इस सूत्र में एक अद्भुत विशेष मामला है जब चर c चर के बराबर है बी। इस मामले में, हमें फॉर्म का निर्माण मिलता है:

यह वह निर्माण है जिसे हम अपने समीकरण में दाईं ओर के चिह्न से देखते हैं। आइए इस निर्माण को log a b से बदलें, हमें मिलता है:

दूसरे शब्दों में, मूल कार्य की तुलना में, हमने तर्क और लघुगणक के आधार की अदला-बदली की है। इसके बजाय, हमें भिन्न को पलटना पड़ा।

हमें याद है कि निम्नलिखित नियम के अनुसार किसी भी डिग्री को आधार से निकाला जा सकता है:

दूसरे शब्दों में, गुणांक k, जो कि आधार की डिग्री है, को उल्टे भिन्न के रूप में निकाला जाता है। आइए इसे एक उल्टे अंश के रूप में निकालते हैं:

भिन्नात्मक कारक को सामने नहीं छोड़ा जा सकता है, क्योंकि इस मामले में हम इस प्रविष्टि को विहित रूप के रूप में प्रस्तुत नहीं कर पाएंगे (आखिरकार, विहित रूप में, दूसरे लघुगणक के सामने कोई अतिरिक्त कारक नहीं है)। इसलिए, आइए तर्क में अंश 1/4 को एक शक्ति के रूप में रखें:

अब हम उन तर्कों की बराबरी करते हैं जिनके आधार समान हैं (और हमारे पास वास्तव में समान आधार हैं), और लिखें:

एक्स + 5 = 1

एक्स = −4

बस इतना ही। हमें पहले लघुगणक समीकरण का उत्तर मिला। ध्यान दें: मूल समस्या में, चर x केवल एक लॉग में होता है, और यह इसके तर्क में होता है। इसलिए, डोमेन की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और हमारी संख्या x = −4 वास्तव में इसका उत्तर है।

अब दूसरी अभिव्यक्ति पर चलते हैं:

लघुगणक 56 = लघुगणक 2 लघुगणक 2 7 - 3 लघुगणक (x + 4)

यहां, सामान्य लघुगणक के अलावा, हमें lg f (x) के साथ काम करना होगा। ऐसे समीकरण को कैसे हल करें? यह एक अप्रस्तुत छात्र को लग सकता है कि यह किसी प्रकार का टिन है, लेकिन वास्तव में सब कुछ प्राथमिक रूप से हल हो गया है।

शब्द एलजी 2 लॉग 2 7 को ध्यान से देखें। हम इसके बारे में क्या कह सकते हैं? लॉग और एलजी के आधार और तर्क समान हैं, और इससे कुछ सुराग मिलना चाहिए। आइए एक बार फिर याद करें कि लघुगणक के चिह्न के नीचे से डिग्री कैसे निकाली जाती हैं:

लॉग a b n = nlog a b

दूसरे शब्दों में, तर्क में संख्या b की शक्ति क्या थी, लॉग के सामने ही एक कारक बन जाता है। आइए इस सूत्र को अभिव्यक्ति lg 2 log 2 7 पर लागू करें। lg 2 से डरो मत - यह सबसे सामान्य अभिव्यक्ति है। आप इसे इस तरह फिर से लिख सकते हैं:

उसके लिए, किसी अन्य लघुगणक पर लागू होने वाले सभी नियम मान्य हैं। विशेष रूप से, सामने वाले कारक को तर्क की शक्ति में पेश किया जा सकता है। चलो लिखते है:

बहुत बार, छात्र बिंदु ब्लैंक इस क्रिया को नहीं देखते हैं, क्योंकि एक लॉग को दूसरे के साइन के तहत दर्ज करना अच्छा नहीं है। दरअसल, इसमें कुछ भी क्रिमिनल नहीं है। इसके अलावा, हमें एक सूत्र मिलता है जिसकी गणना करना आसान है यदि आपको एक महत्वपूर्ण नियम याद है:

इस सूत्र को परिभाषा के रूप में और इसके गुणों में से एक के रूप में माना जा सकता है। किसी भी स्थिति में, यदि आप एक लघुगणकीय समीकरण को रूपांतरित करते हैं, तो आपको इस सूत्र को उसी प्रकार जानना चाहिए जैसे किसी संख्या का लघुगणक के रूप में निरूपण।

हम अपने काम पर लौट आते हैं। हम इसे इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए फिर से लिखते हैं कि बराबर चिह्न के दायीं ओर पहला पद केवल एलजी 7 के बराबर होगा। हमारे पास है:

एलजी 56 = एलजी 7 - 3 एलजी (एक्स + 4)

आइए एलजी 7 को बाईं ओर ले जाएं, हमें मिलता है:

एलजी 56 - एलजी 7 = -3 एलजी (एक्स + 4)

हम बाईं ओर के व्यंजकों को घटाते हैं क्योंकि उनका आधार समान है:

एलजी (56/7) = -3 एलजी (एक्स + 4)

अब आइए हम उस समीकरण पर करीब से नज़र डालें जो हमें मिला है। यह व्यावहारिक रूप से विहित रूप है, लेकिन दाईं ओर एक कारक -3 है। आइए इसे सही एलजी तर्क में रखें:

एलजी 8 = एलजी (एक्स + 4) −3

लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप हमारे सामने है, इसलिए हम lg के संकेतों को पार करते हैं और तर्कों को समान करते हैं:

(एक्स + 4) -3 = 8

एक्स + 4 = 0.5

बस इतना ही! हमने दूसरा लघुगणक समीकरण हल किया है। इस मामले में, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समस्या में x केवल एक तर्क में मौजूद था।

मैं फिर से सूचीबद्ध करूंगा प्रमुख बिंदुयह सबक।

लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित इस पृष्ठ के सभी पाठों में अध्ययन किया जाने वाला मुख्य सूत्र विहित रूप है। और इस तथ्य से विचलित न हों कि अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकें आपको सिखाती हैं कि इस प्रकार की समस्याओं को अलग तरीके से कैसे हल किया जाए। यह उपकरणबहुत कुशलता से काम करता है और आपको हमारे पाठ की शुरुआत में अध्ययन की गई सबसे सरल समस्याओं की तुलना में बहुत व्यापक वर्ग की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है।

इसके अलावा, लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल गुणों को जानना उपयोगी होगा। अर्थात्:

1. जब हम लॉग फ्लिप करते हैं तो एक आधार और एक विशेष मामले में जाने का सूत्र (यह पहले कार्य में हमारे लिए बहुत उपयोगी था);
2. लघुगणक के चिन्ह के नीचे से शक्तियाँ लाने और निकालने का सूत्र। यहां, कई छात्र फंस जाते हैं और बिंदु-रिक्त नहीं देखते हैं कि निकाली गई और लाई गई शक्ति में स्वयं लॉग f (x) हो सकता है। कुछ गलत नहीं है उसके साथ। हम एक लॉग को दूसरे के संकेत के अनुसार पेश कर सकते हैं और साथ ही समस्या के समाधान को काफी सरल बना सकते हैं, जिसे हम दूसरे मामले में देखते हैं।

अंत में, मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि इनमें से प्रत्येक मामले में दायरे की जांच करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि हर जगह चर x लॉग के केवल एक संकेत में मौजूद है, और साथ ही साथ इसके तर्क में भी है। परिणामस्वरूप, सभी डोमेन आवश्यकताएँ स्वचालित रूप से पूरी हो जाती हैं।

परिवर्तनीय आधार के साथ समस्याएं

आज हम लघुगणकीय समीकरणों पर विचार करेंगे, जो कई छात्रों के लिए गैर-मानक प्रतीत होते हैं, यदि पूरी तरह से अघुलनशील नहीं हैं। हम उन भावों के बारे में बात कर रहे हैं जो संख्याओं पर नहीं, बल्कि चर और यहां तक ​​कि कार्यों पर आधारित हैं। हम अपनी मानक तकनीक का उपयोग करके ऐसे निर्माणों को हल करेंगे, अर्थात् विहित रूप के माध्यम से।

आरंभ करने के लिए, आइए याद करें कि साधारण संख्याओं पर आधारित सरलतम समस्याओं को कैसे हल किया जाता है। अतः सरलतम रचना कहलाती है

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

बी = लॉग ए ए बी

हम अपनी मूल अभिव्यक्ति को फिर से लिखते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

फिर हम तर्कों की बराबरी करते हैं, अर्थात हम लिखते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

इस प्रकार, हम लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं और सामान्य समस्या को हल करते हैं। इस स्थिति में, समाधान में प्राप्त मूल मूल लघुगणकीय समीकरण के मूल होंगे। इसके अलावा, जब बाएँ और दाएँ दोनों एक ही आधार के साथ एक ही लघुगणक पर होते हैं, तो रिकॉर्ड को विहित रूप कहा जाता है। यह इस रिकॉर्ड के लिए है कि हम आज के निर्माणों को कम करने का प्रयास करेंगे। तो चलते हैं।

पहला काम:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = 1

1 को लघुगणक x - 2 (x - 2) 1 से बदलें। तर्क में हम जो डिग्री देखते हैं, वह वास्तव में संख्या b है, जो बराबर चिह्न के दाईं ओर थी। तो चलिए अपने एक्सप्रेशन को फिर से लिखते हैं। हम पाते हैं:

लघुगणक x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = लघुगणक x - 2 (x - 2)

हम क्या देखते हैं? हमारे सामने लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप है, इसलिए हम सुरक्षित रूप से तर्कों की बराबरी कर सकते हैं। हम पाते हैं:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

लेकिन समाधान यहीं खत्म नहीं होता है, क्योंकि यह समीकरण मूल समीकरण के बराबर नहीं है। आखिरकार, परिणामी निर्माण में ऐसे कार्य होते हैं जो संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित होते हैं, और हमारे मूल लघुगणक हर जगह परिभाषित नहीं होते हैं और हमेशा नहीं।

इसलिए, हमें परिभाषा के क्षेत्र को अलग से लिखना चाहिए। आइए समझदार न बनें और पहले सभी आवश्यकताओं को लिखें:

सबसे पहले, प्रत्येक लघुगणक का तर्क 0 से बड़ा होना चाहिए:

2x 2 - 13x + 18 > 0

एक्स -2 > 0

दूसरे, आधार न केवल 0 से बड़ा होना चाहिए, बल्कि 1 से भी भिन्न होना चाहिए:

एक्स -2 1

परिणामस्वरूप, हमें सिस्टम मिलता है:

लेकिन चिंतित न हों: लॉगरिदमिक समीकरणों को संसाधित करते समय, ऐसी प्रणाली को बहुत सरल बनाया जा सकता है।

अपने लिए जज करें: एक ओर, हमें यह आवश्यक है कि द्विघात फलन शून्य से बड़ा हो, और दूसरी ओर, यह द्विघात फलन एक निश्चित रैखिक व्यंजक के बराबर होता है, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि यह शून्य से बड़ा हो।

इस स्थिति में, यदि हमें उस x − 2 > 0 की आवश्यकता है, तो आवश्यकता 2x 2 − 13x + 18 > 0 स्वतः ही संतुष्ट हो जाएगी। द्विघात फंक्शन. इस प्रकार, हमारे सिस्टम में निहित अभिव्यक्तियों की संख्या घटकर तीन हो जाएगी।

बेशक, हम भी पार कर सकते हैं रैखिक असमानता, यानी x − 2 > 0 को काट दें और इसके लिए 2x 2 − 13x + 18 > 0 की आवश्यकता होती है। लेकिन आपको इस बात से सहमत होना चाहिए कि इस प्रणाली की तुलना में सरल रैखिक असमानता को हल करना बहुत तेज और आसान है, हमें समान जड़ें मिलती हैं।

सामान्य तौर पर, जब भी संभव हो, गणनाओं को अनुकूलित करने का प्रयास करें। और लघुगणक समीकरणों के मामले में, सबसे कठिन असमानताओं को पार करें।

आइए अपने सिस्टम को फिर से लिखें:

यहां तीन अभिव्यक्तियों की एक ऐसी प्रणाली है, जिनमें से दो, वास्तव में, हम पहले ही समझ चुके हैं। आइए अलग से लिखें द्विघात समीकरणऔर इसे हल करें:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 - 7x + 10 = 0

हमारे सामने एक छोटा वर्ग त्रिपद है और इसलिए, हम Vieta सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हम पाते हैं:

(एक्स - 5)(एक्स - 2) = 0

एक्स 1 = 5

x2 = 2

अब, हमारे सिस्टम पर वापस, हम पाते हैं कि x = 2 हमें शोभा नहीं देता, क्योंकि हमारे लिए x का 2 से अधिक होना आवश्यक है।

लेकिन x \u003d 5 हमें काफी सूट करता है: संख्या 5 2 से अधिक है, और साथ ही 5 3 के बराबर नहीं है। इसलिए, इस प्रणाली का एकमात्र समाधान x \u003d 5 होगा।

ODZ को ध्यान में रखते हुए, सब कुछ, कार्य हल हो गया है। आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं। यहां हम और अधिक रोचक और सार्थक गणनाओं की प्रतीक्षा कर रहे हैं:

पहला कदम: साथ ही पिछली बार, हम इस सभी व्यवसाय को एक विहित रूप में लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम संख्या 9 को इस प्रकार लिख सकते हैं:

जड़ के साथ आधार को छुआ नहीं जा सकता है, लेकिन तर्क को बदलना बेहतर है। आइए एक तर्कसंगत घातांक के साथ जड़ से घात की ओर बढ़ते हैं। चलो लिखते है:

मुझे अपने पूरे बड़े लॉगरिदमिक समीकरण को फिर से नहीं लिखना चाहिए, लेकिन तुरंत तर्कों की बराबरी करनी चाहिए:

x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

इससे पहले कि हम फिर से कम किया गया वर्ग ट्रिनोमियल हो, हम Vieta सूत्रों का उपयोग करेंगे और लिखेंगे:

(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

तो, हमें जड़ें मिल गईं, लेकिन किसी ने हमें गारंटी नहीं दी कि वे मूल लघुगणक समीकरण में फिट होंगे। आखिरकार, लॉग संकेत अतिरिक्त प्रतिबंध लगाते हैं (यहां हमें सिस्टम को लिखना होगा, लेकिन पूरे निर्माण की बोझिलता के कारण, मैंने अलग से परिभाषा के डोमेन की गणना करने का निर्णय लिया)।

सबसे पहले, याद रखें कि तर्क 0 से अधिक होने चाहिए, अर्थात्:

ये परिभाषा के क्षेत्र द्वारा लगाई गई आवश्यकताएं हैं।

हम तुरंत ध्यान देते हैं कि चूंकि हम सिस्टम के पहले दो भावों को एक दूसरे के समान करते हैं, हम उनमें से किसी को भी पार कर सकते हैं। आइए पहले वाले को पार करें क्योंकि यह दूसरे की तुलना में अधिक खतरनाक दिखता है।

इसके अलावा, ध्यान दें कि दूसरी और तीसरी असमानताओं के समाधान समान सेट होंगे (कुछ संख्या का घन शून्य से बड़ा है, यदि यह संख्या स्वयं शून्य से अधिक है, इसी तरह तीसरी डिग्री की जड़ के साथ - ये असमानताएं हैं पूरी तरह से समान है, इसलिए उनमें से एक को हम पार कर सकते हैं)।

लेकिन तीसरी असमानता के साथ, यह काम नहीं करेगा। आइए बाईं ओर रेडिकल के चिन्ह से छुटकारा पाएं, जिसके लिए हम दोनों भागों को एक क्यूब में बढ़ाते हैं। हम पाते हैं:

तो हमें निम्नलिखित आवश्यकताएं मिलती हैं:

−2 ≠ x > −3

हमारी कौन सी जड़ें: x 1 = -3 या x 2 = -1 इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? जाहिर है, केवल x = −1, क्योंकि x = −3 पहली असमानता को संतुष्ट नहीं करता है (क्योंकि हमारी असमानता सख्त है)। कुल मिलाकर, अपनी समस्या पर लौटने पर, हमें एक मूल मिलता है: x = -1। बस इतना ही, समस्या हल हो गई।

एक बार फिर, इस कार्य के प्रमुख बिंदु:

1. विहित रूप का उपयोग करके लॉगरिदमिक समीकरणों को लागू करने और हल करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। जो छात्र इस तरह का रिकॉर्ड बनाते हैं, और मूल समस्या से सीधे लॉग a f ( x ) = b जैसे निर्माण पर नहीं जाते हैं, उन लोगों की तुलना में बहुत कम त्रुटियां करते हैं जो कहीं जल्दी में हैं, गणना के मध्यवर्ती चरणों को छोड़ देते हैं;
2. जैसे ही लघुगणक में एक चर आधार प्रकट होता है, समस्या सबसे सरल हो जाती है। इसलिए, इसे हल करते समय, परिभाषा के क्षेत्र को ध्यान में रखना आवश्यक है: तर्क शून्य से अधिक होना चाहिए, और आधार न केवल 0 से अधिक होना चाहिए, बल्कि यह भी 1 के बराबर नहीं होना चाहिए।

आप अंतिम आवश्यकताओं को अंतिम उत्तरों पर विभिन्न तरीकों से लागू कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, सभी डोमेन आवश्यकताओं वाले पूरे सिस्टम को हल करना संभव है। दूसरी ओर, आप पहले समस्या को स्वयं हल कर सकते हैं, और फिर परिभाषा के क्षेत्र के बारे में याद रख सकते हैं, इसे सिस्टम के रूप में अलग से काम कर सकते हैं और इसे प्राप्त जड़ों पर लागू कर सकते हैं।

किसी विशेष लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते समय कौन सा तरीका चुनना है, यह आप पर निर्भर है। किसी भी मामले में, जवाब वही होगा।

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