दूरी और लंबाई इकाइयों कनवर्टर क्षेत्र इकाइयों कनवर्टर शामिल हों © 2011-2017 मिखाइल डोवज़िक सामग्री की प्रतिलिपि बनाना प्रतिबंधित है। ऑनलाइन कैलकुलेटर में, आप माप की समान इकाइयों में मानों का उपयोग कर सकते हैं! यदि आपको माप की इकाइयों को परिवर्तित करने में परेशानी होती है, तो दूरी और लंबाई इकाई कनवर्टर और क्षेत्र इकाई कनवर्टर का उपयोग करें। चतुर्भुज क्षेत्र कैलकुलेटर की अतिरिक्त विशेषताएं

• आप कीबोर्ड पर दाएँ और बाएँ कुंजियाँ दबाकर इनपुट फ़ील्ड के बीच जा सकते हैं।

लिखित। चतुर्भुज का क्षेत्रफल एक चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है जिसमें चार बिंदु (कोने) होते हैं, जिनमें से कोई भी तीन एक ही सीधी रेखा पर नहीं होते हैं, और चार खंड (पक्ष) इन बिंदुओं को जोड़े में जोड़ते हैं। एक चतुर्भुज उत्तल कहलाता है यदि इस चतुर्भुज के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड उसके अंदर होगा।

बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

क्षेत्र का निर्धारण करने के लिए सूत्र बहुभुज AB के प्रत्येक किनारे को लेकर और कोने के निर्देशांक के माध्यम से मूल O पर एक शीर्ष के साथ त्रिभुज ABO के क्षेत्र की गणना करके निर्धारित किया जाता है। बहुभुज के चारों ओर घूमते समय, त्रिभुज बनते हैं, जिसमें बहुभुज के अंदर और उसके बाहर स्थित होते हैं। इन क्षेत्रों के योग के बीच का अंतर स्वयं बहुभुज का क्षेत्रफल है।

इसलिए, सूत्र को सर्वेक्षक का सूत्र कहा जाता है, क्योंकि "कार्टोग्राफर" मूल में है; यदि यह क्षेत्र वामावर्त चलता है, तो क्षेत्रफल जोड़ा जाता है यदि यह बाईं ओर है और घटाया जाता है यदि यह मूल के संदर्भ में दाईं ओर है। क्षेत्र सूत्र किसी भी गैर-प्रतिच्छेद (सरल) बहुभुज के लिए मान्य है, जो उत्तल या अवतल हो सकता है। विषय

• 1 परिभाषा
• 2 उदाहरण
• 3 अधिक जटिल उदाहरण
• 4 नाम स्पष्टीकरण
• 5 देखें

बहुभुज क्षेत्र

ध्यान

यह हो सकता था:

• त्रिकोण;
• चतुर्भुज;
• पांच- या षट्भुज और इतने पर।

ऐसा आंकड़ा निश्चित रूप से दो पदों की विशेषता होगी:

1. आसन्न भुजाएँ एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं।
2. गैर-आसन्न वाले में कोई सामान्य बिंदु नहीं होते हैं, अर्थात वे प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

यह समझने के लिए कि कौन से शीर्ष आसन्न हैं, आपको यह देखना होगा कि क्या वे एक ही भुजा के हैं। यदि हां, तो पड़ोसी। अन्यथा, उन्हें एक खंड द्वारा जोड़ा जा सकता है, जिसे विकर्ण कहा जाना चाहिए। उन्हें केवल उन बहुभुजों में खींचा जा सकता है जिनमें तीन से अधिक शीर्ष होते हैं।

उनमें से किस प्रकार मौजूद हैं? चार से अधिक कोनों वाला बहुभुज उत्तल या अवतल हो सकता है। उत्तरार्द्ध का अंतर यह है कि इसके कुछ कोने बहुभुज के एक मनमाना पक्ष के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा के विभिन्न पक्षों पर स्थित हो सकते हैं।

एक नियमित और अनियमित षट्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

• भुजा की लंबाई जानने के बाद, इसे 6 से गुणा करें और षट्भुज की परिधि प्राप्त करें: 10 सेमी x 6 \u003d 60 सेमी
• परिणामों को हमारे सूत्र में बदलें:
क्षेत्र \u003d 1/2 * परिधि * एपोथेमा क्षेत्र \u003d ½ * 60cm * 5√3 हल करें: अब यह वर्गमूल से छुटकारा पाने के लिए उत्तर को सरल बनाने के लिए बनी हुई है, और परिणाम को वर्ग सेंटीमीटर में इंगित करें: ½ * 60 सेमी * 5 3 सेमी \u003d 30 * 5√3 सेमी =150 √3 सेमी = 259.8 सेमी² एक नियमित षट्भुज के क्षेत्र को खोजने के तरीके पर वीडियो एक अनियमित षट्भुज के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए कई विकल्प हैं:

• ट्रेपोजॉइड विधि।
• निर्देशांक अक्ष का उपयोग करके अनियमित बहुभुजों के क्षेत्रफल की गणना करने की एक विधि।
• एक षट्भुज को अन्य आकृतियों में विभाजित करने की एक विधि।

प्रारंभिक डेटा के आधार पर जो आपको पता चल जाएगा, उपयुक्त विधि का चयन किया जाता है।

महत्वपूर्ण

कुछ अनियमित षट्भुज में दो समांतर चतुर्भुज होते हैं। एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, उसकी लंबाई को उसकी चौड़ाई से गुणा करें और फिर पहले से ज्ञात दो क्षेत्रों को जोड़ें। बहुभुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें इस पर वीडियो एक समबाहु षट्भुज की छह बराबर भुजाएँ होती हैं और यह एक नियमित षट्भुज है।

एक समबाहु षट्भुज का क्षेत्रफल उन त्रिभुजों के 6 क्षेत्रफलों के बराबर होता है जिनमें एक नियमित षट्भुज आकृति विभाजित होती है। एक नियमित षट्भुज में सभी त्रिभुज समान होते हैं, इसलिए ऐसे षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कम से कम एक त्रिभुज का क्षेत्रफल जानना पर्याप्त होगा। एक समभुज षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, निश्चित रूप से, ऊपर वर्णित एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है।

404 नहीं मिला

घर की सजावट, कपड़े, चित्र बनाना ज्यामिति के क्षेत्र में सूचना के निर्माण और संचय की प्रक्रिया में योगदान देता है, जिसे उस समय के लोगों ने अनुभवजन्य रूप से प्राप्त किया, थोड़ा-थोड़ा करके और पीढ़ी से पीढ़ी तक पारित किया। आज एक कटर, एक निर्माता, एक वास्तुकार, और रोजमर्रा की जिंदगी में हर सामान्य व्यक्ति के लिए ज्यामिति का ज्ञान आवश्यक है। इसलिए, आपको सीखना होगा कि विभिन्न आंकड़ों के क्षेत्र की गणना कैसे करें, और याद रखें कि प्रत्येक सूत्र बाद में अभ्यास में उपयोगी हो सकता है, जिसमें नियमित षट्भुज का सूत्र भी शामिल है।
एक षट्भुज एक ऐसी बहुभुज आकृति है, जिसके कोणों की कुल संख्या छह होती है। एक नियमित षट्भुज एक षट्कोणीय आकृति है जिसमें समान भुजाएँ होती हैं। एक नियमित षट्भुज के कोण भी एक दूसरे के बराबर होते हैं।
रोजमर्रा की जिंदगी में, हम अक्सर ऐसी वस्तुएं पा सकते हैं जिनमें एक नियमित षट्भुज का आकार होता है।

पक्षों द्वारा अनियमित बहुभुज क्षेत्र कैलकुलेटर

आपको चाहिये होगा

• - रूले;
• - इलेक्ट्रॉनिक रेंजफाइंडर;
• - कागज की एक शीट और एक पेंसिल;
• - कैलकुलेटर।

निर्देश 1 यदि आपको किसी अपार्टमेंट या अलग कमरे के कुल क्षेत्रफल की आवश्यकता है, तो बस अपार्टमेंट या घर के लिए तकनीकी पासपोर्ट पढ़ें, यह प्रत्येक कमरे के फुटेज और अपार्टमेंट के कुल फुटेज को दिखाता है। 2 आयताकार या वर्गाकार कमरे के क्षेत्रफल को मापने के लिए एक टेप माप या एक इलेक्ट्रॉनिक रेंजफाइंडर लें और दीवारों की लंबाई को मापें। रेंजफाइंडर के साथ दूरियों को मापते समय, सुनिश्चित करें कि बीम की दिशा लंबवत है, अन्यथा माप परिणाम विकृत हो सकते हैं। 3 फिर कमरे की परिणामी लंबाई (मीटर में) को चौड़ाई (मीटर में) से गुणा करें। परिणामी मूल्य फर्श क्षेत्र होगा, इसे वर्ग मीटर में मापा जाता है।

गॉस क्षेत्र सूत्र

यदि आपको अधिक जटिल संरचना के फर्श क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है, जैसे कि एक पंचकोणीय कमरा या एक गोल मेहराब वाला कमरा, कागज के एक टुकड़े पर एक योजनाबद्ध स्केच स्केच करें। फिर जटिल आकृति को कई साधारण आकृतियों में विभाजित करें, जैसे कि एक वर्ग और एक त्रिभुज, या एक आयत और एक अर्धवृत्त। एक टेप माप या रेंजफाइंडर के साथ परिणामी आंकड़ों के सभी पक्षों के आकार को मापें (एक सर्कल के लिए आपको व्यास जानने की जरूरत है) और अपने ड्राइंग पर परिणाम दर्ज करें।

5 अब प्रत्येक आकृति के क्षेत्रफल की अलग-अलग गणना करें। आयतों और वर्गों के क्षेत्रफल की गणना भुजाओं को गुणा करके की जाती है। एक वृत्त के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, व्यास को आधा और वर्ग में विभाजित करें (इसे अपने आप से गुणा करें), फिर परिणाम को 3.14 से गुणा करें।
यदि आप केवल आधा वृत्त चाहते हैं, तो परिणामी क्षेत्र को आधे में विभाजित करें। किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सभी भुजाओं के योग को 2 से भाग देकर P ज्ञात कीजिए।

एक अनियमित बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र

यदि बिंदुओं को क्रमानुसार वामावर्त दिशा में क्रमांकित किया जाता है, तो उपरोक्त सूत्र में निर्धारक धनात्मक होते हैं और इसमें मापांक छोड़ा जा सकता है; यदि उन्हें दक्षिणावर्त दिशा में क्रमांकित किया जाता है, तो निर्धारक ऋणात्मक होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि सूत्र को ग्रीन के प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। सूत्र को लागू करने के लिए, आपको कार्तीय तल में बहुभुज शीर्षों के निर्देशांकों को जानना होगा।

उदाहरण के लिए, आइए निर्देशांक ((2, 1), (4, 5), (7, 8)) के साथ एक त्रिभुज लें। पहले शीर्ष का पहला x-निर्देशांक लें और इसे दूसरे शीर्ष के y-निर्देशांक से गुणा करें, और फिर दूसरे शीर्ष के x-निर्देशांक को तीसरे के y-निर्देशांक से गुणा करें। हम इस प्रक्रिया को सभी शीर्षों के लिए दोहराते हैं। परिणाम निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है: एक त्रि।

एक अनियमित चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र

ए) _(\text(tri.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) जहां xi और y संबंधित निर्देशांक को दर्शाते हैं। यह सूत्र स्थिति n = 3 के लिए सामान्य सूत्र में कोष्ठक खोलकर प्राप्त किया जा सकता है। इस सूत्र का उपयोग करके, आप पा सकते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल 10 + 32 + 7 - 4 के योग के आधे के बराबर है - 35 - 16, जो 3 देता है। सूत्र में चरों की संख्या बहुभुज की भुजाओं की संख्या पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, एक पंचभुज के क्षेत्रफल का सूत्र x5 और y5 तक के चर का उपयोग करेगा: एक पेंट। = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 - x 2 y 1 - x 3 y 2 - x 4 y 3 - x 5 y 4 - x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (ए) _(\text(पेंट.))=(1 \ओवर 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A क्वाड के लिए - x4 और y4 तक के चर: एक क्वाड।

एक षट्भुज या षट्भुज एक नियमित बहुभुज है जिसकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और प्रत्येक कोण ठीक 120 डिग्री का होता है। एक षट्भुज कभी-कभी मानव दैनिक जीवन में पाया जाता है, इसलिए आपको न केवल स्कूल की समस्याओं में बल्कि वास्तविक जीवन में भी इसके क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

उत्तल षट्भुज

Heskagon एक नियमित उत्तल बहुभुज है, इसके सभी कोण समान हैं, सभी भुजाएँ समान हैं, और यदि आप दो आसन्न शीर्षों के माध्यम से एक खंड बनाते हैं, तो पूरी आकृति इस खंड के एक तरफ होगी। किसी भी नियमित एन-गॉन की तरह, षट्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है या उसके अंदर अंकित किया जा सकता है। एक षट्भुज की मुख्य विशेषता यह है कि परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या की लंबाई बहुभुज की भुजा की लंबाई के साथ मेल खाती है। इस गुण के लिए धन्यवाद, आप सूत्र का उपयोग करके आसानी से एक षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

एस \u003d 2.59 आर 2 \u003d 2.59 ए 2.

इसके अलावा, खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या आकृति की भुजा से संबंधित है:

यह इस प्रकार है कि एक षट्भुज के क्षेत्र को चुनने के लिए तीन चरों में से एक का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

hexagram

तारकीय नियमित षट्भुज हमारे सामने छह-बिंदु वाले तारे के रूप में प्रकट होता है। ऐसी आकृति दो समबाहु त्रिभुजों को एक दूसरे के ऊपर आरोपित करने से बनती है। सबसे प्रसिद्ध वास्तविक हेक्साग्राम डेविड का सितारा है - यहूदी लोगों का प्रतीक।

षट्कोणीय संख्या

संख्या सिद्धांत में, कुछ ज्यामितीय आकृतियों से जुड़ी आलंकारिक संख्याएँ होती हैं। सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले त्रिकोणीय और वर्ग, साथ ही टेट्राहेड्रल और पिरामिड संख्याएं हैं, जिनके उपयोग से वास्तविक वस्तुओं का उपयोग करके ज्यामितीय आकृतियों को रखना आसान है। उदाहरण के लिए, पिरामिड संख्याएं आपको बताएगी कि कैसे तोप के गोले को एक स्थिर पिरामिड में ढेर करना है। हेक्सागोनल संख्याएं भी हैं जो षट्भुज बनाने के लिए आवश्यक बिंदुओं की संख्या निर्धारित करती हैं।

हकीकत में षट्भुज

वास्तविक जीवन में अक्सर हेक्सागोन्स देखे जाते हैं। उदाहरण के लिए, नट या पेंसिल के खंड हेक्सागोनल हैं, जो वस्तु पर एक आरामदायक पकड़ प्रदान करते हैं। षट्भुज एक प्रभावी ज्यामितीय आकृति है जो बिना अंतराल या ओवरलैप के एक विमान को टाइल करने में सक्षम है। यही कारण है कि सजावटी परिष्करण सामग्री, उदाहरण के लिए, टाइलें और फ़र्श वाले स्लैब या प्लास्टरबोर्ड पैनल, अक्सर एक हेक्सागोनल आकार होते हैं।

षट्भुज की दक्षता इसे प्रकृति में भी लोकप्रिय बनाती है। छत्ते का आकार बिल्कुल षट्कोणीय होता है, जिसके कारण छत्ते का स्थान बिना अंतराल के भर जाता है। एक विमान के हेक्सागोनल टाइलिंग का एक और उदाहरण जायंट्स ट्रेल है, जो ज्वालामुखी विस्फोट के दौरान बना एक वन्यजीव स्मारक है। ज्वालामुखीय राख को हेक्सागोनल स्तंभों में संकुचित किया गया था जो उत्तरी आयरलैंड के तट की सतह को प्रशस्त करता था।

एक विमान पर पैकिंग सर्कल

और षट्भुज की प्रभावशीलता के बारे में थोड़ा और। गेंदों को पैक करना एक क्लासिक कॉम्बीनेटरियल ज्योमेट्री समस्या है जिसके लिए गैर-अंतर्विभाजक गेंदों को पैक करने का सबसे अच्छा तरीका खोजने की आवश्यकता होती है। व्यवहार में, यह कार्य संतरे, सेब, तोप के गोले, या किसी अन्य गोलाकार वस्तु को पैक करने की एक तार्किक समस्या में बदल जाता है जिसे यथासंभव कसकर पैक करने की आवश्यकता होती है। हेस्कागन इस समस्या का समाधान है।

यह ज्ञात है कि द्वि-आयामी अंतरिक्ष में वृत्तों की सबसे कुशल व्यवस्था वृत्तों के केंद्रों को षट्भुजों के शीर्षों पर रखना है जो विमान को बिना अंतराल के भरते हैं। 3डी वास्तविकता में, गेंदों को रखने की समस्या को षट्कोणीय रूप से वस्तुओं को ढेर करके हल किया जाता है।

हमारे कैलकुलेटर का उपयोग करके, आप एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना उसके पक्ष या संबंधित वृत्तों की त्रिज्या को जानकर कर सकते हैं। आइए वास्तविक उदाहरणों का उपयोग करके हेक्सागोन्स के क्षेत्रों की गणना करने का प्रयास करें।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

विशाल षट्भुज

विशाल षट्भुज शनि पर एक अद्वितीय वायुमंडलीय घटना है जो एक नियमित षट्भुज के आकार में एक भव्य बवंडर की तरह दिखता है। यह ज्ञात है कि विशाल षट्भुज का किनारा 13,800 किमी है, जिसकी बदौलत हम "बादल" के क्षेत्र का निर्धारण कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, कैलकुलेटर फॉर्म में बस पक्ष का मान दर्ज करें और परिणाम प्राप्त करें:

इस प्रकार शनि पर वायुमंडलीय भंवर का क्षेत्रफल लगभग 494,777,633 वर्ग किलोमीटर है। वास्तव में प्रभावशाली।

षट्कोणीय शतरंज

हम सभी 64 वर्ग कोशिकाओं में विभाजित शतरंज के मैदान के आदी हैं। हालांकि, हेक्सागोनल शतरंज भी हैं, जिनमें से खेल का मैदान 91 नियमित हेक्सागोन्स में बांटा गया है। आइए प्रसिद्ध गेम के हेक्सागोनल संस्करण के लिए गेम बोर्ड का क्षेत्र निर्धारित करें। माना सेल की भुजा 2 सेंटीमीटर है। एक गेम सेल का क्षेत्रफल होगा :

तब पूरे बोर्ड का क्षेत्रफल 91 × 10.39 = 945.49 वर्ग सेंटीमीटर के बराबर होगा।

निष्कर्ष

षट्भुज अक्सर वास्तविकता में पाया जाता है, हालांकि हम इसे नोटिस नहीं करते हैं। दैनिक या स्कूल की समस्याओं के लिए हेक्सागोन्स के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए हमारे ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग करें।

एक षट्भुज एक बहुभुज है जिसमें 6 भुजाएँ और 6 कोण होते हैं। एक षट्भुज नियमित है या नहीं, इसके आधार पर इसका क्षेत्रफल ज्ञात करने की कई विधियाँ हैं। हम हर चीज की समीक्षा करेंगे।

एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक नियमित षट्भुज के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र - छह समान पक्षों के साथ उत्तल बहुभुज।

दी गई भुजा की लंबाई:

• क्षेत्र सूत्र: एस = (3√3*a²)/2
• यदि भुजा a की लंबाई ज्ञात हो, तो इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करके, हम आसानी से आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।
• अन्यथा, परिधि और एपोथेम के माध्यम से पक्ष की लंबाई पाई जा सकती है।
• यदि परिमाप दिया गया है, तो हम इसे केवल 6 से विभाजित करते हैं और एक भुजा की लंबाई प्राप्त करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि परिमाप 24 है, तो भुजा की लंबाई 24/6 = 4 होगी।
• एपोथेम केंद्र से एक तरफ खींचा गया लंबवत है। एक भुजा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम एपोथेम की लंबाई को सूत्र a = 2*m/√3 में प्रतिस्थापित करते हैं। अर्थात्, यदि एपोथेम m = 2√3, तो भुजा की लंबाई a = 2*2√3/√3 = 4 है।

एक एपोटेम दिया गया:

• क्षेत्र सूत्र: S = 1/2*p*m, जहाँ p परिधि है, m एपोथेम है।
• आइए हम एपोथेम के माध्यम से षट्भुज की परिधि का पता लगाएं। पिछले पैराग्राफ में, हमने एपोथेम के माध्यम से एक तरफ की लंबाई का पता लगाना सीखा: a \u003d 2 * m / 3। यह केवल इस परिणाम को 6 से गुणा करने के लिए रहता है। हमें परिधि सूत्र मिलता है: p \u003d 12 * m / 3।

परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या को देखते हुए:

• एक नियमित षट्भुज के चारों ओर परिचालित एक वृत्त की त्रिज्या इस षट्भुज की भुजा के बराबर होती है।
  क्षेत्र सूत्र: एस = (3√3*a²)/2

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या को देखते हुए:

• क्षेत्र सूत्र: S = 3√3*r², जहाँ r = √3*a/2 (a बहुभुज की एक भुजा है)।

एक अनियमित षट्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें

एक अनियमित षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र - एक बहुभुज जिसकी भुजाएँ एक दूसरे के बराबर नहीं होती हैं।

ट्रेपेज़ विधि:

• हम षट्भुज को मनमाने ट्रैपेज़ॉइड में विभाजित करते हैं, उनमें से प्रत्येक के क्षेत्र की गणना करते हैं और उन्हें जोड़ते हैं।
• समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए मूल सूत्र: S = 1/2*(a + b)*h, जहाँ a और b समलम्ब चतुर्भुज के आधार हैं, h ऊँचाई है।
  S = h*m, जहाँ h ऊँचाई है, m मध्य रेखा है।

षट्भुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हैं:

• शुरू करने के लिए, आइए बिंदुओं के निर्देशांक लिखें, इसके अलावा, उन्हें अराजक क्रम में नहीं, बल्कि क्रमिक रूप से एक के बाद एक रखें। उदाहरण के लिए:
  ए: (-3, -2)
  बी: (-1, 4)
  सी: (6, 1)
  डी: (3, 10)
  ई: (-4, 9)
  एफ: (-5, 6)
• अगला, ध्यान से, प्रत्येक बिंदु के x-निर्देशांक को अगले बिंदु के y-निर्देशांक से गुणा करें:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  परिणाम जोड़ें:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  इसके बाद, प्रत्येक बिंदु के y-निर्देशांक को अगले बिंदु के x-निर्देशांक से गुणा करें।
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  परिणाम जोड़ें:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  पहले परिणाम से दूसरा घटाएं:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  परिणामी संख्या को दो से विभाजित किया जाता है:
  134/2 = 67
  उत्तर : 67 वर्ग इकाई।

• इसके अलावा, एक षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आप इसे त्रिभुजों, वर्गों, आयतों, समांतर चतुर्भुजों आदि में तोड़ सकते हैं। इसकी घटक आकृतियों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और उन्हें जोड़िए।

इसलिए, सभी अवसरों के लिए एक षट्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने की विधियों का अध्ययन किया गया है। अब आगे बढ़ें और जो सीखा है उसे लागू करें! आपको कामयाबी मिले!

बहुभुज के विषय को स्कूली पाठ्यक्रम में शामिल किया जाता है, लेकिन वे इस पर पर्याप्त ध्यान नहीं देते हैं। इस बीच, यह दिलचस्प है, और यह एक नियमित षट्भुज या षट्भुज के लिए विशेष रूप से सच है - आखिरकार, कई प्राकृतिक वस्तुओं का यह आकार होता है। इनमें मधुकोश और बहुत कुछ शामिल हैं। यह फॉर्म व्यवहार में बहुत अच्छी तरह से लागू होता है।

परिभाषा और निर्माण

एक नियमित षट्भुज एक समतल आकृति है जिसमें छह भुजाएँ समान लंबाई और समान कोणों की संख्या समान होती हैं।

यदि हम एक बहुभुज के कोणों के योग के सूत्र को याद करें

यह पता चला है कि इस आंकड़े में यह 720 ° के बराबर है। खैर, चूंकि आकृति के सभी कोण समान हैं, इसलिए यह गणना करना आसान है कि उनमें से प्रत्येक 120 ° के बराबर है।

एक षट्भुज बनाना बहुत सरल है, आपको केवल एक कम्पास और एक शासक की आवश्यकता है।

चरण-दर-चरण निर्देश इस तरह दिखेगा:

यदि वांछित है, तो आप समान त्रिज्या के पांच वृत्त खींचकर एक रेखा के बिना कर सकते हैं।

इस प्रकार प्राप्त आकृति एक नियमित षट्भुज होगी, और इसे नीचे सिद्ध किया जा सकता है।

गुण सरल और दिलचस्प हैं

एक नियमित षट्भुज के गुणों को समझने के लिए, इसे छह त्रिकोणों में तोड़ना समझ में आता है:

यह भविष्य में इसके गुणों को और अधिक स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने में मदद करेगा, जिनमें से मुख्य हैं:

1. परिचालित वृत्त व्यास;
2. खुदा सर्कल का व्यास;
3. वर्ग;
4. परिमाप।

परिचालित चक्र और निर्माण की संभावना

एक षट्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करना संभव है, और इसके अलावा, केवल एक। चूंकि यह आंकड़ा सही है, आप इसे काफी सरलता से कर सकते हैं: अंदर दो आसन्न कोणों से एक द्विभाजक बनाएं। वे बिंदु O पर प्रतिच्छेद करते हैं, और उनके बीच की भुजा के साथ मिलकर एक त्रिभुज बनाते हैं।

षट्भुज की भुजा और समद्विभाजक के बीच का कोण 60° होगा, इसलिए हम निश्चित रूप से कह सकते हैं कि एक त्रिभुज, उदाहरण के लिए, AOB, समद्विबाहु है। और चूँकि तीसरा कोण भी 60° के बराबर होगा, यह भी समबाहु है। यह इस प्रकार है कि खंड OA और OB बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि वे वृत्त की त्रिज्या के रूप में कार्य कर सकते हैं।

उसके बाद, आप अगली भुजा पर जा सकते हैं, और बिंदु C पर कोण से एक समद्विभाजक भी खींच सकते हैं। यह एक और समबाहु त्रिभुज बनाएगा, और भुजा AB एक ही बार में दो के लिए उभयनिष्ठ होगी, और OS अगला त्रिज्या होगा जिसके माध्यम से एक ही वृत्त जाता है। कुल छह ऐसे त्रिभुज होंगे, और उनके पास बिंदु O पर एक सामान्य शीर्ष होगा। यह पता चला है कि वृत्त का वर्णन करना संभव होगा, और यह केवल एक है, और इसकी त्रिज्या षट्भुज की भुजा के बराबर है :

इसलिए इस आकृति को कंपास और रूलर की सहायता से बनाना संभव है।

खैर, इस सर्कल का क्षेत्रफल मानक होगा:

अंकित वृत्त

परिचालित वृत्त का केंद्र खुदा हुआ के केंद्र के साथ मेल खाता है। इसे सत्यापित करने के लिए, हम बिंदु O से षट्भुज की भुजाओं पर लंब खींच सकते हैं। वे उन त्रिभुजों की ऊँचाइयाँ होंगी जो षट्भुज बनाते हैं। और एक समद्विबाहु त्रिभुज में, ऊँचाई उस भुजा के सापेक्ष माध्यिका होती है जिस पर वह टिकी होती है। इस प्रकार, यह ऊंचाई और कुछ नहीं बल्कि लंबवत समद्विभाजक है, जो खुदा हुआ वृत्त की त्रिज्या है।

एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई की गणना सरलता से की जाती है:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

और चूंकि R=a और r=h, यह पता चला है कि

आर = आर (√3) / 2.

इस प्रकार, उत्कीर्ण वृत्त एक नियमित षट्भुज की भुजाओं के केंद्रों से होकर गुजरता है।

इसका क्षेत्रफल होगा:

एस = 3πए² / 4,

अर्थात्, उसका तीन-चौथाई वर्णन किया गया है।

परिधि और क्षेत्र

परिधि के साथ सब कुछ स्पष्ट है, यह पक्षों की लंबाई का योग है:

पी=6ए, या पी=6आर

लेकिन क्षेत्रफल उन सभी छह त्रिभुजों के योग के बराबर होगा जिनमें षट्भुज को विभाजित किया जा सकता है। चूँकि त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना आधार और ऊँचाई के आधे गुणनफल के रूप में की जाती है, तो:

एस \u003d 6 (ए / 2) (ए (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2या

एस = 3 आर² (√3) / 2

जो लोग खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के माध्यम से इस क्षेत्र की गणना करना चाहते हैं, वे इस प्रकार कर सकते हैं:

एस=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

मनोरंजक निर्माण

एक त्रिभुज को एक षट्भुज में अंकित किया जा सकता है, जिसके किनारे एक के माध्यम से कोने को जोड़ेंगे:

उनमें से कुल मिलाकर दो होंगे, और उनका एक दूसरे पर थोपना डेविड का सितारा देगा। इनमें से प्रत्येक त्रिभुज समबाहु है। यह सत्यापित करना आसान है। अगर आप AC की तरफ देखें, तो यह एक साथ दो त्रिभुजों - BAC और AEC से संबंधित है। यदि उनमें से पहले में AB \u003d BC, और उनके बीच का कोण 120 ° है, तो शेष में से प्रत्येक 30 ° होगा। इससे हम तार्किक निष्कर्ष निकाल सकते हैं:

1. शीर्ष B से ABC की ऊंचाई षट्भुज की आधी भुजा के बराबर होगी, क्योंकि sin30°=1/2. जो लोग इसे सत्यापित करना चाहते हैं उन्हें पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार पुनर्गणना करने की सलाह दी जा सकती है, यह यहां पूरी तरह से फिट बैठता है।
2. एसी पक्ष खुदा हुआ सर्कल के दो त्रिज्या के बराबर होगा, जिसकी गणना फिर से उसी प्रमेय का उपयोग करके की जाती है। अर्थात्, AC=2(a(√3)/2)=а(√3)।
3. त्रिभुज ABC, CDE और AEF दो भुजाओं और उनके बीच के कोण में बराबर हैं, और इसलिए भुजाओं AC, CE और EA की समानता इस प्रकार है।

एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हुए, त्रिभुज एक नया षट्भुज बनाते हैं, और यह नियमित भी होता है। यह साबित करना आसान है:

इस प्रकार, आकृति एक नियमित षट्भुज के संकेतों से मिलती है - इसमें छह समान भुजाएँ और कोण होते हैं। शीर्षों पर त्रिभुजों की समानता से, नए षट्भुज की भुजा की लंबाई निकालना आसान है:

डी = ए (√3) / 3

यह इसके चारों ओर वर्णित वृत्त की त्रिज्या भी होगी। खुदा हुआ की त्रिज्या बड़े षट्भुज की आधी भुजा होगी, जो त्रिभुज ABC पर विचार करने पर सिद्ध हो गई थी। इसकी ऊँचाई भुजा की ठीक आधी है, इसलिए, दूसरा आधा छोटे षट्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या है:

आर=ए/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

यह पता चला है कि डेविड के तारे के अंदर षट्भुज का क्षेत्रफल उस बड़े तारे से तीन गुना छोटा है जिसमें तारा खुदा हुआ है।

सिद्धांत से अभ्यास तक

षट्भुज के गुण प्रकृति में और मानव गतिविधि के विभिन्न क्षेत्रों में बहुत सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। सबसे पहले, यह बोल्ट और नट्स पर लागू होता है - पहले और दूसरे की टोपियां एक नियमित षट्भुज से ज्यादा कुछ नहीं हैं, अगर आप चामर को ध्यान में नहीं रखते हैं। रिंच का आकार खुदे हुए सर्कल के व्यास से मेल खाता है - यानी विपरीत चेहरों के बीच की दूरी।

इसके आवेदन और हेक्सागोनल टाइल्स मिल गए हैं। यह चतुर्भुज की तुलना में बहुत कम आम है, लेकिन इसे रखना अधिक सुविधाजनक है: तीन टाइलें एक बिंदु पर मिलती हैं, चार नहीं। रचनाएँ बहुत दिलचस्प हो सकती हैं:

कंक्रीट फ़र्श स्लैब भी बनाए जाते हैं।

प्रकृति में षट्भुज की व्यापकता को सरलता से समझाया गया है। इस प्रकार, हलकों और गेंदों को एक समतल पर कसकर फिट करना सबसे आसान है यदि उनका व्यास समान है। इस वजह से, छत्ते का ऐसा आकार होता है।

गणितीय गुण

एक नियमित षट्भुज की एक विशेषता इसकी भुजा की समानता और परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या है, क्योंकि

सभी कोण 120° हैं।

उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है:

एक नियमित षट्भुज की परिधि है:

एक नियमित षट्भुज के क्षेत्रफल की गणना सूत्रों द्वारा की जाती है:

विमान को समतल करने वाले हेक्सागोन, अर्थात्, वे बिना अंतराल और ओवरलैप के विमान को भर सकते हैं, तथाकथित लकड़ी की छत का निर्माण कर सकते हैं।

हेक्सागोनल लकड़ी की छत (हेक्सागोनल लकड़ी की छत)- अगल-बगल स्थित समान नियमित षट्भुज के साथ विमान का टेसेलेशन।

हेक्सागोनल लकड़ी की छत त्रिकोणीय लकड़ी की छत के लिए दोहरी है: यदि आप आसन्न हेक्सागोन के केंद्रों को जोड़ते हैं, तो खींचे गए खंड त्रिकोणीय लकड़ी की छत देंगे। एक हेक्सागोनल लकड़ी की छत का श्लाफली प्रतीक (6,3) है, जिसका अर्थ है कि तीन हेक्सागोन लकड़ी की छत के प्रत्येक शीर्ष पर अभिसरण करते हैं।

हेक्सागोनल लकड़ी की छत विमान पर मंडलियों की सबसे घनी पैकिंग है। द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, सबसे अच्छा भरना नियमित हेक्सागोन्स द्वारा गठित लकड़ी की छत के शीर्ष पर मंडलियों के केंद्रों को रखना है, जिसमें प्रत्येक सर्कल छह अन्य से घिरा हुआ है। इस पैकिंग का घनत्व है। 1940 में यह साबित हो गया था कि यह पैकिंग सबसे घनी है।

एक पक्ष के साथ एक नियमित षट्भुज एक सार्वभौमिक आवरण है, अर्थात व्यास के किसी भी सेट को एक नियमित षट्भुज द्वारा एक पक्ष (पाल की लेम्मा) के साथ कवर किया जा सकता है।

एक कंपास और सीधा किनारे का उपयोग करके एक नियमित षट्भुज का निर्माण किया जा सकता है। तत्वों में यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित निर्माण विधि, पुस्तक IV, प्रमेय 15 नीचे दी गई है।

प्रकृति, प्रौद्योगिकी और संस्कृति में नियमित षट्भुज

समतल के विभाजन को नियमित षट्भुज में दिखाइए। दूसरों की तुलना में अधिक हेक्सागोनल आकार आपको दीवारों पर बचाने की अनुमति देता है, यानी ऐसी कोशिकाओं के साथ छत्ते पर कम मोम खर्च किया जाएगा।

कुछ जटिल क्रिस्टल और अणु, जैसे ग्रेफाइट, में एक षट्कोणीय क्रिस्टल जालक होता है।

यह तब बनता है जब बादलों में पानी की सूक्ष्म बूंदें धूल के कणों की ओर आकर्षित होती हैं और जम जाती हैं। इस मामले में दिखाई देने वाले बर्फ के क्रिस्टल, जो पहले व्यास में 0.1 मिमी से अधिक नहीं होते हैं, नीचे गिरते हैं और उन पर हवा से नमी के संघनन के परिणामस्वरूप बढ़ते हैं। इस मामले में, छह-नुकीले क्रिस्टलीय रूप बनते हैं। पानी के अणुओं की संरचना के कारण क्रिस्टल की किरणों के बीच केवल 60° और 120° कोण ही संभव हैं। मुख्य जल क्रिस्टल में समतल में एक नियमित षट्भुज का आकार होता है। फिर ऐसे षट्भुज के शीर्ष पर नए क्रिस्टल जमा किए जाते हैं, उन पर नए क्रिस्टल जमा किए जाते हैं, और इस प्रकार विभिन्न प्रकार के हिमपात तारे प्राप्त होते हैं।

ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के वैज्ञानिक प्रयोगशाला में इस तरह के षट्भुज के उद्भव का अनुकरण करने में सक्षम थे। यह पता लगाने के लिए कि इस तरह का गठन कैसे होता है, शोधकर्ताओं ने एक टर्नटेबल पर 30 लीटर पानी की बोतल रखी। उसने शनि के वातावरण और उसके सामान्य घूर्णन का मॉडल तैयार किया। अंदर, वैज्ञानिकों ने छोटे छल्ले रखे जो कंटेनर की तुलना में तेजी से घूमते हैं। इससे लघु एडी और जेट उत्पन्न हुए, जिन्हें प्रयोगकर्ताओं ने हरे रंग से देखा। रिंग जितनी तेजी से घूमती है, एडीज उतनी ही बड़ी होती जाती है, जिससे पास की धारा एक गोलाकार आकार से विचलित हो जाती है। इस प्रकार, प्रयोग के लेखक विभिन्न आकार प्राप्त करने में कामयाब रहे - अंडाकार, त्रिकोण, वर्ग और निश्चित रूप से, वांछित षट्भुज।

लगभग 40,000 परस्पर जुड़े बेसाल्ट (शायद ही कभी औरसाइटिक) स्तंभों का एक प्राकृतिक स्मारक, जो एक प्राचीन ज्वालामुखी विस्फोट के परिणामस्वरूप बना है। बुशमिल्स शहर से 3 किमी उत्तर में उत्तरी आयरलैंड के उत्तर-पूर्व में स्थित है।

स्तंभों के शीर्ष एक प्रकार का स्प्रिंगबोर्ड बनाते हैं, जो चट्टान के तल से शुरू होता है और समुद्र की सतह के नीचे गायब हो जाता है। अधिकांश स्तंभ षट्कोणीय हैं, हालांकि कुछ में चार, पांच, सात या आठ कोने हैं। सबसे ऊँचा स्तंभ लगभग 12 मीटर ऊँचा है।

लगभग 50-60 मिलियन वर्ष पहले, पैलियोजीन काल के दौरान, एंट्रीम साइट तीव्र ज्वालामुखी गतिविधि के अधीन थी, जब पिघला हुआ बेसाल्ट व्यापक लावा पठारों का निर्माण करते हुए जमा के माध्यम से प्रवेश करता था। तेजी से ठंडा होने पर, पदार्थ की मात्रा कम हो जाती है (यह तब देखा जाता है जब मिट्टी सूख जाती है)। क्षैतिज संपीड़न के परिणामस्वरूप हेक्सागोनल स्तंभों की विशेषता संरचना हुई।

अखरोट के क्रॉस सेक्शन में एक नियमित षट्भुज का रूप होता है।