विभिन्न डिग्री के समीकरणों को कैसे हल करें। घातीय समीकरण। व्यापक गाइड (2019)

आहार और फिटनेस

अंतिम परीक्षण की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि इस तरह के कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत को सावधानीपूर्वक मास्टर करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्यों से निपटने के लिए सीखने के बाद, स्नातक गणित में परीक्षा उत्तीर्ण करते समय उच्च स्कोर पर भरोसा करने में सक्षम होंगे।

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कवर की गई सामग्री को दोहराते समय, कई छात्रों को समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है। एक स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा हाथ में नहीं होती है, और इंटरनेट पर किसी विषय पर आवश्यक जानकारी के चयन में लंबा समय लगता है।

शकोल्कोवो शैक्षिक पोर्टल छात्रों को हमारे ज्ञानकोष का उपयोग करने के लिए आमंत्रित करता है। हम पूरी तरह से लागू करते हैं नई विधिअंतिम परीक्षा की तैयारी। हमारी साइट पर अध्ययन करके, आप ज्ञान में अंतराल की पहचान करने और उन कार्यों पर ध्यान देने में सक्षम होंगे जो सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं।

"श्कोल्कोवो" के शिक्षकों ने सफल वितरण के लिए आवश्यक सब कुछ एकत्र, व्यवस्थित और प्रस्तुत किया सामग्री का उपयोग करेंसबसे सरल और सुलभ तरीके से।

मुख्य परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सत्रीय कार्यों का अभ्यास करें। इस पृष्ठ पर उदाहरणों पर एक नज़र डालें। घातीय समीकरणगणना एल्गोरिथ्म को समझने के लिए एक समाधान के साथ। उसके बाद, "कैटलॉग" अनुभाग में कार्यों के साथ आगे बढ़ें। आप सबसे आसान कार्यों से शुरू कर सकते हैं या कई अज्ञात या जटिल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए सीधे जा सकते हैं। हमारी वेबसाइट पर अभ्यास का डेटाबेस लगातार पूरक और अद्यतन किया जाता है।

संकेतक के साथ वे उदाहरण जो आपको कठिनाइयों का कारण बने, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। तो आप उन्हें जल्दी से ढूंढ सकते हैं और शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

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व्याख्यान: "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके।"

1 . घातीय समीकरण।

घातांक में अज्ञातों वाले समीकरणों को घातांकीय समीकरण कहते हैं। इनमें से सबसे सरल समीकरण ax = b है, जहाँ a > 0 और a 1 है।

1)बी . के लिए< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) b > 0 के लिए, फलन की एकरसता और मूल प्रमेय का उपयोग करते हुए, समीकरण का एक ही मूल होता है। इसे खोजने के लिए, b को b = aс, ax = bс ó x = c या x = logab के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

द्वारा घातीय समीकरण बीजीय परिवर्तनमानक समीकरणों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें निम्नलिखित विधियों का उपयोग करके हल किया जाता है:

1) एक आधार में कमी की विधि;

2) मूल्यांकन विधि;

3) ग्राफिक विधि;

4) नए चर शुरू करने की विधि;

5) गुणन विधि;

6) घातीय - शक्ति समीकरण;

7) एक पैरामीटर के साथ घातीय।

2 . एक आधार पर घटाने की विधि।

यह विधि अंशों के निम्नलिखित गुणधर्म पर आधारित है: यदि दो अंश समान हों और उनके आधार समान हों, तो उनके घातांक बराबर होते हैं, अर्थात समीकरण को रूप में कम करने का प्रयास करना चाहिए

उदाहरण। प्रश्न हल करें:

1 . 3x=81;

आइए 81 = 34 के रूप में समीकरण के दाईं ओर का प्रतिनिधित्व करें और मूल 3 x = 34 के बराबर समीकरण लिखें; एक्स = 4. उत्तर: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> और घातांक के लिए समीकरण पर जाएं 3x+1 = 3 - 5x; 8x = 4; x = 0.5 उत्तर: 0.5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

ध्यान दें कि संख्याएँ 0.2, 0.04, 5 और 25 5 की घात हैं। आइए इसका उपयोग करें और मूल समीकरण को इस प्रकार रूपांतरित करें:

, जहाँ से 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, जहाँ से हम x = -1 का हल पाते हैं। उत्तर 1।

5. 3x = 5. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, x = log35. उत्तर: लॉग 35.

6. 62x+4 = 33x। 2x+8.

आइए समीकरण को 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, यानी..png" width="181" height="49 src="> इसलिए x - 4 =0, x = 4 के रूप में फिर से लिखें। उत्तर: चार।

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. घातों के गुणों का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को ई. x+1 = 2, x =1 के रूप में लिखते हैं। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 1.

प्रश्न हल करें:

टेस्ट नंबर 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = 3।	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
ए3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) कोई जड़ नहीं
	1) 7;1 2) कोई जड़ नहीं 3) -7;1 4) -1;-7
ए5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
ए6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

टेस्ट #2

ए 1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
ए2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
ए3	1) 2;-1 2) कोई जड़ नहीं 3) 04) -2;1
ए4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
ए5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 मूल्यांकन पद्धति।

मूल प्रमेय: यदि फलन f (x) अंतराल I पर बढ़ता है (घटता है), संख्या a इस अंतराल पर f द्वारा लिया गया कोई भी मान है, तो समीकरण f (x) = a का अंतराल I पर एक ही मूल है।

अनुमान विधि द्वारा समीकरणों को हल करते समय, इस प्रमेय और फ़ंक्शन के एकरसता गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: 1. 4x = 5 - x।

समाधान। आइए समीकरण को 4x + x = 5 के रूप में फिर से लिखें।

1. यदि x \u003d 1, तो 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 सत्य है, तो 1 समीकरण का मूल है।

फलन f(x) = 4x R पर बढ़ रहा है और g(x) = x R पर बढ़ रहा है => h(x)= f(x)+g(x) बढ़ते कार्यों के योग के रूप में R पर बढ़ रहा है, अतः x = 1 समीकरण 4x = 5 - x का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

समाधान। हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं .

1. यदि x = -1, तो , 3 = 3-सत्य, इसलिए x = -1 समीकरण का मूल है।

2. सिद्ध कीजिए कि यह अद्वितीय है।

3. फलन f(x) = - R पर घटता है, और g(x) = - x - R पर घटता है => h(x) = f(x) + g(x) - योग के रूप में R पर घटता है घटते कार्यों का। तो मूल प्रमेय के अनुसार, x = -1 समीकरण का एकमात्र मूल है। उत्तर 1।

बैंक ऑफ टास्क नंबर 2. प्रश्न हल करें

क) 4x + 1 = 6 - x;

बी)

ग) 2x - 2 = 1 - x;

4. नए चरों को प्रस्तुत करने की विधि।

विधि खंड 2.1 में वर्णित है । एक नए चर (प्रतिस्थापन) की शुरूआत आमतौर पर समीकरण की शर्तों के परिवर्तन (सरलीकरण) के बाद की जाती है। उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण। आरसमीकरण खाओ: 1. .

आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i..png" width="210" height = "45">

समाधान। आइए समीकरण को अलग तरीके से फिर से लिखें:

निरूपित करें https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - उपयुक्त नहीं है।

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> एक अपरिमेय समीकरण है। ध्यान दें कि

समीकरण का हल x = 2.5 4 है, इसलिए 2.5 समीकरण का मूल है। उत्तर : 2.5.

समाधान। आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें और दोनों पक्षों को 56x+6 ≠ 0 से विभाजित करें। हमें समीकरण मिलता है

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2 (x2-3x-4) +1, इसलिए..png" चौड़ाई = "118" ऊंचाई = "56">

द्विघात समीकरण के मूल - t1 = 1 और t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

समाधान . हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

और ध्यान दें कि यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय समीकरण है।

समीकरण को 42x से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> बदलें।

उत्तर: 0; 0.5.

टास्क बैंक #3। प्रश्न हल करें

बी)

जी)

टेस्ट #3 उत्तर के विकल्प के साथ। न्यूनतम स्तर।

ए 1	1) -0.2;2 2) लॉग52 3) -लॉग52 4) 2
2 0.52x - 3 0.5x +2 = 0।	1) 2;1 2) -1;0 3) कोई जड़ नहीं 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) कोई जड़ नहीं 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

टेस्ट #4 उत्तर के विकल्प के साथ। सामान्य स्तर।

ए 1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
2 2x - (0.5)2x - (0.5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
ए5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) कोई जड़ नहीं

5. गुणनखंडन की विधि।

1. समीकरण को हल करें: 5x+1 - 5x-1 = 24।

Solution..png" width="169" height="69"> , जहां से

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2।

समाधान। आइए हम समीकरण के बाईं ओर 6x और दाईं ओर 2x निकालते हैं। हमें समीकरण 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x प्राप्त होता है।

चूँकि सभी x के लिए 2x >0, आप समाधान खोने के डर के बिना इस समीकरण के दोनों पक्षों को 2x से विभाजित कर सकते हैं। हमें 3x = 1ó x = 0 प्राप्त होता है।

समाधान। हम फैक्टरिंग द्वारा समीकरण को हल करते हैं।

हम द्विपद का वर्ग चुनते हैं

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" चौड़ाई = "500" ऊंचाई = "181">

x = -2 समीकरण का मूल है।

समीकरण x + 1 = 0 "शैली="बॉर्डर-पतन:पतन;बॉर्डर:कोई नहीं">

ए1 5x-1 +5x -5x+1 = -19।

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1.5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

टेस्ट #6 सामान्य स्तर।

ए1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0.2
ए2	1) 2.5 2) 3;4 3) लॉग 43/2 4) 0
ए3 2x-1-3x=3x-1-2x+2।	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
ए4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
ए5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. घातीय - शक्ति समीकरण।

तथाकथित घातीय-शक्ति समीकरण घातीय समीकरणों से जुड़े होते हैं, यानी फॉर्म के समीकरण (f(x))g(x) = (f(x))h(x)।

यदि यह ज्ञात है कि f(x)>0 और f(x) 1, तो समीकरण, घातांक की तरह, घातांक g(x) = f(x) की बराबरी करके हल किया जाता है।

यदि स्थिति f(x)=0 और f(x)=1 की संभावना को बाहर नहीं करती है, तो हमें घातीय शक्ति समीकरण को हल करते समय इन मामलों पर विचार करना होगा।

1..png" चौड़ाई = "182" ऊंचाई = "116 src=">

समाधान। x2 +2x-8 - किसी भी x के लिए समझ में आता है, क्योंकि एक बहुपद, इसलिए समीकरण सेट के बराबर है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

बी)

7. मापदंडों के साथ घातीय समीकरण।

1. पैरामीटर p के किन मानों के लिए समीकरण 4 (5 - 3)2 +4p2–3p = 0 (1) का एक अद्वितीय हल है?

समाधान। आइए हम परिवर्तन 2x = t, t > 0 का परिचय दें, फिर समीकरण (1) t2 - (5p - 3)t + 4p2 - 3p = 0 का रूप लेगा। (2)

समीकरण (2) का विभेदक D = (5p - 3)2 - 4(4p2 - 3p) = 9(p - 1)2 है।

समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल है यदि समीकरण (2) का एक धनात्मक मूल है। यह निम्नलिखित मामलों में संभव है।

1. यदि D = 0, अर्थात् p = 1, तो समीकरण (2) t2 - 2t + 1 = 0 का रूप लेगा, इसलिए t = 1, इसलिए, समीकरण (1) का एक अद्वितीय हल x = 0 है।

2. यदि p1, तो 9(p - 1)2 > 0, तो समीकरण (2) के दो भिन्न मूल हैं t1 = p, t2 = 4p - 3. सिस्टम का सेट समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है

सिस्टम में t1 और t2 को प्रतिस्थापित करते हुए, हमारे पास है

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

समाधान। होने देना तब समीकरण (3) t2 - 6t - a = 0 का रूप लेगा। (4)

आइए हम पैरामीटर a के मान ज्ञात करें जिसके लिए समीकरण का कम से कम एक मूल (4) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

आइए हम फलन f(t) = t2 - 6t - a का परिचय दें। निम्नलिखित मामले संभव हैं।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

स्थिति 2. समीकरण (4) का एक अद्वितीय सकारात्मक हल है यदि

D = 0, यदि a = - 9, तो समीकरण (4) (t - 3)2 = 0, t = 3, x = - 1 का रूप लेगा।

स्थिति 3. समीकरण (4) के दो मूल हैं, लेकिन उनमें से एक असमानता t> 0 को संतुष्ट नहीं करता है। यह संभव है यदि

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

इस प्रकार, a 0 पर समीकरण (4) का एक धनात्मक मूल है . तब समीकरण (3) का एक अद्वितीय हल है

एक के लिए< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

यदि एक< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
यदि a = – 9, तो x = – 1;

अगर एक  0, तो

आइए समीकरण (1) और (3) को हल करने की विधियों की तुलना करें। ध्यान दें कि समीकरण (1) को हल करते समय इसे एक द्विघात समीकरण में घटा दिया गया था, जिसका विवेचक एक पूर्ण वर्ग है; इस प्रकार, समीकरण (2) के मूलों को द्विघात समीकरण के मूलों के सूत्र द्वारा तुरंत परिकलित किया गया और फिर इन मूलों के संबंध में निष्कर्ष निकाला गया। समीकरण (3) को एक द्विघात समीकरण (4) में बदल दिया गया था, जिसका विवेचक पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए समीकरण (3) को हल करते समय, एक वर्ग त्रिपद की जड़ों के स्थान पर प्रमेयों का उपयोग करने की सलाह दी जाती है और एक ग्राफिकल मॉडल। ध्यान दें कि समीकरण (4) को वियत प्रमेय का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

आइए अधिक जटिल समीकरणों को हल करें।

कार्य 3. समीकरण हल करें

समाधान। ओडीजेड: एक्स1, एक्स2।

आइए एक प्रतिस्थापन का परिचय दें। मान लीजिए 2x = t, t > 0, फिर, परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, समीकरण t2 + 2t - 13 - a = 0 का रूप लेगा। (*) a का मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए कम से कम एक मूल समीकरण (*) शर्त t > 0 को संतुष्ट करता है।

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

उत्तर: यदि a > - 13, a 11, a 5, तो यदि a - 13,

a = 11, a = 5, तो कोई मूल नहीं है।

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यह पाठ उन लोगों के लिए अभिप्रेत है जो अभी-अभी घातांकीय समीकरण सीखना शुरू कर रहे हैं। हमेशा की तरह, आइए एक परिभाषा और सरल उदाहरणों से शुरू करें।

यदि आप इस पाठ को पढ़ रहे हैं, तो मुझे संदेह है कि आपको पहले से ही सरलतम समीकरणों की कम से कम समझ है - रैखिक और वर्ग: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ आदि। इस तरह के निर्माणों को हल करने में सक्षम होने के लिए अब जिस विषय पर चर्चा की जाएगी, उसमें "लटका" न करने के लिए नितांत आवश्यक है।

तो, घातीय समीकरण। मैं आपको कुछ उदाहरण देता हूं:

\[(((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

उनमें से कुछ आपको अधिक जटिल लग सकते हैं, उनमें से कुछ, इसके विपरीत, बहुत सरल हैं। लेकिन वे सभी एक महत्वपूर्ण विशेषता से एकजुट हैं: उनमें एक घातीय फ़ंक्शन $f\left(x \right)=((a)^(x))$ होता है। इस प्रकार, हम परिभाषा पेश करते हैं:

एक घातीय समीकरण कोई भी समीकरण होता है जिसमें एक घातीय कार्य होता है, अर्थात। $((a)^(x))$ फॉर्म की अभिव्यक्ति। निर्दिष्ट फ़ंक्शन के अलावा, ऐसे समीकरणों में कोई अन्य बीजीय निर्माण शामिल हो सकते हैं - बहुपद, जड़ें, त्रिकोणमिति, लघुगणक, आदि।

ठीक है फिर। परिभाषा समझी। अब सवाल यह है कि इस सारी बकवास को कैसे सुलझाया जाए? उत्तर एक ही समय में सरल और जटिल दोनों है।

आइए खुशखबरी के साथ शुरू करें: कई छात्रों के साथ अपने अनुभव से, मैं कह सकता हूं कि उनमें से अधिकांश के लिए, घातीय समीकरण समान लघुगणक की तुलना में बहुत आसान हैं, और इससे भी अधिक त्रिकोणमिति।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: कभी-कभी सभी प्रकार की पाठ्यपुस्तकों और परीक्षाओं के लिए समस्याओं के संकलनकर्ता "प्रेरणा" के पास जाते हैं, और उनका नशा-ग्रस्त मस्तिष्क ऐसे क्रूर समीकरण उत्पन्न करने लगता है कि न केवल छात्रों के लिए उन्हें हल करना समस्याग्रस्त हो जाता है - यहां तक कि कई शिक्षक ऐसी समस्याओं में फंस जाते हैं।

हालांकि, आइए दुखद चीजों के बारे में बात न करें। और आइए उन तीन समीकरणों पर लौटते हैं जो कहानी की शुरुआत में दिए गए थे। आइए उनमें से प्रत्येक को हल करने का प्रयास करें।

पहला समीकरण: $((2)^(x))=4$। अच्छा, संख्या 4 प्राप्त करने के लिए संख्या 2 को किस घात तक बढ़ाया जाना चाहिए? शायद दूसरा? आखिरकार, $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — और हमने सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की है, अर्थात। वास्तव में $x=2$। खैर, धन्यवाद, टोपी, लेकिन यह समीकरण इतना आसान था कि मेरी बिल्ली भी इसे हल कर सकती थी। :)

आइए निम्नलिखित समीकरण को देखें:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

लेकिन यहां यह थोड़ा और मुश्किल है। बहुत से छात्र जानते हैं कि $((5)^(2))=25$ गुणन तालिका है। कुछ को यह भी संदेह है कि $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ अनिवार्य रूप से नकारात्मक घातांक की परिभाषा है (सूत्र $((a)^(-n))= \ के समान फ्रैक(1)(((ए)^(एन)))$)।

अंत में, केवल कुछ चुनिंदा अनुमान लगाते हैं कि इन तथ्यों को जोड़ा जा सकता है और आउटपुट निम्न परिणाम है:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

इस प्रकार, हमारे मूल समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

और अब यह पहले से ही पूरी तरह से हल हो गया है! समीकरण के बाईं ओर एक घातीय कार्य है, समीकरण के दाईं ओर एक घातीय कार्य है, उनके अलावा कहीं और कुछ नहीं है। इसलिए, आधारों को "त्याग" करना और संकेतकों को मूर्खतापूर्ण रूप से समान करना संभव है:

हमें सबसे सरल रैखिक समीकरण मिला है जिसे कोई भी छात्र केवल दो पंक्तियों में हल कर सकता है। ठीक है, चार पंक्तियों में:

\[\शुरू (संरेखित) और 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(align)\]

यदि आपको समझ में नहीं आया कि पिछली चार पंक्तियों में क्या हो रहा था, तो "रैखिक समीकरण" विषय पर वापस आना सुनिश्चित करें और इसे दोहराएं। क्योंकि इस विषय को स्पष्ट रूप से आत्मसात किए बिना, आपके लिए घातीय समीकरणों को लेना जल्दबाजी होगी।

\[((9)^(x))=-3\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? पहला विचार: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, इसलिए मूल समीकरण को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \दाएं))^(x))=-3\]

फिर हम याद करते हैं कि जब एक घात की डिग्री बढ़ाते हैं, तो संकेतक गुणा किए जाते हैं:

\[((\बाएं(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rightarrow ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\शुरू (संरेखित करें) और 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(align)\]

और इस तरह के निर्णय के लिए, हमें ईमानदारी से योग्य ड्यूस मिलता है। हमारे लिए, पोकेमोन की समता के साथ, तीनों के सामने माइनस साइन को इन तीनों की शक्ति के लिए भेजा। और आप ऐसा नहीं कर सकते। और यही कारण है। ट्रिपल की विभिन्न शक्तियों पर एक नज़र डालें:

\[\begin(matrix) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)() 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrix)\]

इस टैबलेट को संकलित करते हुए, मैंने जितनी जल्दी हो सके विकृत नहीं किया: मैंने सकारात्मक डिग्री, और नकारात्मक, और यहां तक कि आंशिक भी माना ... ठीक है, जहां कम से कम एक है एक ऋणात्मक संख्या? वह नहीं है! और ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि घातांकीय फलन $y=((a)^(x))$, सबसे पहले, हमेशा केवल लेता है सकारात्मक मूल्य(कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप एक को कितना गुणा करते हैं या दो से विभाजित करते हैं, यह अभी भी एक सकारात्मक संख्या होगी), और दूसरी बात, इस तरह के फ़ंक्शन का आधार - संख्या $a$ - परिभाषा के अनुसार एक सकारात्मक संख्या है!

खैर, फिर समीकरण $((9)^(x))=-3$ कैसे हल करें? नहीं, कोई जड़ें नहीं हैं। और इस अर्थ में, घातीय समीकरण द्विघात समीकरणों के समान हैं - कोई मूल भी नहीं हो सकता है। लेकिन अगर में द्विघातीय समीकरणजड़ों की संख्या विवेचक द्वारा निर्धारित की जाती है (विभेदक सकारात्मक है - 2 जड़ें, नकारात्मक - कोई जड़ नहीं), फिर घातांक में यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि समान चिह्न के दाईं ओर क्या है।

इस प्रकार, हम मुख्य निष्कर्ष तैयार करते हैं: फॉर्म का सबसे सरल घातीय समीकरण $((a)^(x))=b$ का मूल होता है यदि और केवल यदि $b>0$। इस सरल तथ्य को जानकर, आप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि आपके लिए प्रस्तावित समीकरण की जड़ें हैं या नहीं। वे। क्या यह बिल्कुल हल करने लायक है या तुरंत लिख लें कि कोई जड़ें नहीं हैं।

जब हमें अधिक जटिल समस्याओं को हल करना होगा तो यह ज्ञान हमें कई बार मदद करेगा। इस बीच, पर्याप्त गीत - यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए मूल एल्गोरिदम का अध्ययन करने का समय है।

घातीय समीकरणों को कैसे हल करें

तो, चलिए समस्या तैयार करते हैं। घातीय समीकरण को हल करना आवश्यक है:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

"बेवकूफ" एल्गोरिथ्म के अनुसार जो हमने पहले इस्तेमाल किया था, संख्या $b$ को संख्या $a$ की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है:

इसके अलावा, यदि चर $x$ के बजाय कोई अभिव्यक्ति है, तो हमें एक नया समीकरण मिलेगा, जिसे पहले ही हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(3))\Rightarrow x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rightarrow ((3)^(-x))=((3)^(4))\Rightarrow -x=4\Rightarrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\Rightarrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

और अजीब तरह से, यह योजना लगभग 90% मामलों में काम करती है। फिर बाकी 10% का क्या? शेष 10% फॉर्म के थोड़े "सिज़ोफ्रेनिक" घातीय समीकरण हैं:

\[(((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

3 प्राप्त करने के लिए आपको 2 को किस शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है? पहली बार में? लेकिन नहीं: $((2)^(1))=2$ पर्याप्त नहीं है। क्षण में? न तो: $((2)^(2))=4$ बहुत अधिक है। फिर क्या?

जानकार छात्रों ने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया है: ऐसे मामलों में, जब "खूबसूरती से" हल करना असंभव है, "भारी तोपखाने" मामले से जुड़ा हुआ है - लघुगणक। आपको याद दिला दूं कि लघुगणक की सहायता से किसी भी धनात्मक संख्या को किसी अन्य की घात के रूप में दर्शाया जा सकता है सकारात्मक संख्या(इकाई को छोड़कर):

यह सूत्र याद है? जब मैं अपने छात्रों को लघुगणक के बारे में बताता हूं, तो मैं हमेशा आपको चेतावनी देता हूं: यह सूत्र (यह मूल लघुगणकीय पहचान भी है या, यदि आप चाहें, तो लघुगणक की परिभाषा) आपको बहुत लंबे समय तक परेशान करेंगे और सबसे अधिक "उभरेंगे" अप्रत्याशित स्थान। खैर, वह सामने आई। आइए हमारे समीकरण और इस सूत्र को देखें:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(align) \]

यदि हम मानते हैं कि $a=3$ दाईं ओर हमारी मूल संख्या है, और $b=2$ घातीय फ़ंक्शन का बहुत आधार है, जिसके लिए हम दाईं ओर को कम करना चाहते हैं, तो हमें निम्नलिखित मिलता है:

\[\begin(align)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rightarrow 3=((2)^((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rightarrow ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3)\Rightarrow x=( (\ लॉग)_(2))3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

हमें थोड़ा अजीब जवाब मिला: $x=((\log )_(2))3$। किसी अन्य कार्य में, इस तरह के उत्तर के साथ, बहुत से लोग संदेह करेंगे और अपने समाधान को दोबारा जांचना शुरू कर देंगे: क्या होगा अगर कहीं कोई गलती हो? मैं आपको खुश करने के लिए जल्दबाजी करता हूं: यहां कोई त्रुटि नहीं है, और घातीय समीकरणों की जड़ों में लॉगरिदम काफी विशिष्ट स्थिति है। तो इसकी आदत डालें। :)

अब हम सादृश्य द्वारा शेष दो समीकरणों को हल करते हैं:

\[\begin(align)& ((5)^(x))=15\Rightarrow ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rightarrow ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rightarrow 2x=( (\log )_(4))11\Rightarrow x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! वैसे, अंतिम उत्तर अलग तरह से लिखा जा सकता है:

यह हम थे जिन्होंने गुणक को लघुगणक के तर्क में पेश किया। लेकिन हमें इस कारक को आधार से जोड़ने से कोई नहीं रोकता है:

इस मामले में, तीनों विकल्प सही हैं - यह सही है अलग - अलग रूपएक ही नंबर का रिकॉर्ड इस निर्णय में किसे चुनना और लिखना है, यह आप पर निर्भर है।

इस प्रकार, हमने $((a)^(x))=b$ फॉर्म के किसी भी घातीय समीकरण को हल करना सीख लिया है, जहां संख्या $a$ और $b$ सख्ती से सकारात्मक हैं। हालाँकि, हमारी दुनिया की कठोर वास्तविकता यह है कि ऐसे सरल कार्य आपको बहुत कम ही मिलेंगे। अधिक बार आप कुछ इस तरह से आएंगे:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

अच्छा, आप कैसे तय करते हैं? क्या इसे बिल्कुल हल किया जा सकता है? और अगर ऐसा है तो कैसे?

घबराए नहीं। ये सभी समीकरण जल्दी और सरलता से उन सरल सूत्रों तक सीमित हो जाते हैं जिन पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं। आपको केवल बीजगणित पाठ्यक्रम से कुछ तरकीबों को याद रखने के लिए जानने की जरूरत है। और हां, यहां डिग्री के साथ काम करने के लिए कोई नियम नहीं हैं। मैं अब इस सब के बारे में बात करूंगा। :)

घातीय समीकरणों का परिवर्तन

याद रखने वाली पहली बात यह है कि कोई भी घातीय समीकरण, चाहे वह कितना भी जटिल क्यों न हो, एक तरह से या किसी अन्य को सरलतम समीकरणों में कम किया जाना चाहिए - वही जिन्हें हमने पहले ही माना है और जिन्हें हम हल करना जानते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी भी घातीय समीकरण को हल करने की योजना इस तरह दिखती है:

मूल समीकरण लिखिए। उदाहरण के लिए: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
कुछ बेवकूफी करो। या कुछ बकवास भी कहा जाता है "समीकरण को बदलना";
आउटपुट पर, सरलतम भाव प्राप्त करें जैसे $((4)^(x))=4$ या ऐसा कुछ और। इसके अलावा, एक प्रारंभिक समीकरण एक साथ कई ऐसे व्यंजक दे सकता है।

पहले बिंदु के साथ, सब कुछ स्पष्ट है - मेरी बिल्ली भी एक पत्ते पर समीकरण लिख सकती है। तीसरे बिंदु के साथ, ऐसा लगता है, यह कमोबेश स्पष्ट है - हमने पहले ही ऐसे समीकरणों का एक पूरा समूह हल कर लिया है।

लेकिन दूसरे बिंदु का क्या? रूपांतरण क्या हैं? क्या बदलना है? और कैसे?

खैर, आइए इसका पता लगाते हैं। सबसे पहले, मैं निम्नलिखित का उल्लेख करना चाहूंगा। सभी घातीय समीकरण दो प्रकारों में विभाजित हैं:

समीकरण एक ही आधार के साथ घातीय कार्यों से बना है। उदाहरण: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
सूत्र में विभिन्न आधारों के साथ घातीय कार्य होते हैं। उदाहरण: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ और $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09$।

आइए पहले प्रकार के समीकरणों से शुरू करें - वे हल करने में सबसे आसान हैं। और उनके समाधान में हमें स्थिर अभिव्यक्तियों के चयन जैसी तकनीक से मदद मिलेगी।

एक स्थिर अभिव्यक्ति को हाइलाइट करना

आइए इस समीकरण को फिर से देखें:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

हम क्या देखते हैं? चारों को अलग-अलग डिग्री तक उठाया जाता है। लेकिन ये सभी शक्तियां अन्य संख्याओं के साथ चर $x$ के साधारण योग हैं। इसलिए, डिग्री के साथ काम करने के नियमों को याद रखना आवश्यक है:

\[\begin(align)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(वाई)))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

सीधे शब्दों में कहें, घातांक के जोड़ को शक्तियों के उत्पाद में परिवर्तित किया जा सकता है, और घटाव को आसानी से विभाजन में परिवर्तित किया जा सकता है। आइए इन सूत्रों को हमारे समीकरण से शक्तियों पर लागू करने का प्रयास करें:

\[\begin(align)& ((4)^(x-1))=\frac((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\अंत (संरेखित करें)\]

हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं, और फिर हम बाईं ओर के सभी शब्दों को एकत्रित करते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -ग्यारह; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\अंत (संरेखित करें)\]

पहले चार शब्दों में $((4)^(x))$ तत्व शामिल है - आइए इसे ब्रैकेट से बाहर निकालें:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यह समीकरण के दोनों भागों को अंश $-\frac(11)(4)$ से विभाजित करने के लिए रहता है, अर्थात। उल्टे अंश से अनिवार्य रूप से गुणा करें - $-\frac(4)(11)$। हम पाते हैं:

\[\begin(align)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \बाएं(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! हमने मूल समीकरण को सरलतम में घटा दिया और अंतिम उत्तर प्राप्त कर लिया।

उसी समय, हल करने की प्रक्रिया में, हमने सामान्य कारक $((4)^(x))$ की खोज की (और यहां तक कि कोष्ठक से बाहर भी) - यह स्थिर अभिव्यक्ति है। इसे एक नए चर के रूप में नामित किया जा सकता है, या आप इसे केवल सटीक रूप से व्यक्त कर सकते हैं और उत्तर प्राप्त कर सकते हैं। किसी भी मामले में, समाधान का मुख्य सिद्धांत इस प्रकार है:

मूल समीकरण में एक स्थिर व्यंजक खोजें जिसमें एक चर हो जो सभी घातांकीय कार्यों से आसानी से अलग हो।

अच्छी खबर यह है कि लगभग हर घातीय समीकरण ऐसी स्थिर अभिव्यक्ति को स्वीकार करता है।

लेकिन एक बुरी खबर यह भी है: इस तरह के भाव बहुत मुश्किल हो सकते हैं, और उन्हें अलग करना काफी मुश्किल हो सकता है। तो आइए एक और समस्या देखें:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

शायद अब किसी के मन में यह सवाल होगा: “पाशा, क्या तुम पथराव कर रहे हो? यहाँ विभिन्न आधार हैं - 5 और 0.2। लेकिन आइए आधार 0.2 के साथ एक शक्ति को परिवर्तित करने का प्रयास करें। उदाहरण के लिए, आइए इससे छुटकारा पाएं दशमलव अंश, इसे सामान्य में लाना:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10)) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या 5 अभी भी दिखाई दी, यद्यपि हर में। उसी समय, संकेतक को नकारात्मक के रूप में फिर से लिखा गया था। और अब हम डिग्री के साथ काम करने के लिए सबसे महत्वपूर्ण नियमों में से एक को याद करते हैं:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\बाएं(x+1 \right)))=((\बाएं(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

यहाँ, निश्चित रूप से, मैंने थोड़ा धोखा दिया। क्योंकि पूरी तरह से समझने के लिए, नकारात्मक संकेतकों से छुटकारा पाने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाना था:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rightarrow ((\बाएं(\frac(1)(5)\right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ दाएं))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

दूसरी ओर, कुछ भी हमें केवल एक अंश के साथ काम करने से नहीं रोकता है:

\[((\बाएं(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\बाएं(((5)^(-1)) \ दाएं))^(-\बाएं(x+1 \दाएं)))=((5)^(\बाएं(-1 \दाएं)\cdot \बाएं(-\बाएं(x+1 \दाएं) \दाएं) ))=((5)^(x+1))\]

लेकिन इस मामले में, आपको एक डिग्री को दूसरी डिग्री तक बढ़ाने में सक्षम होना चाहिए (मैं आपको याद दिलाता हूं: इस मामले में, संकेतक जोड़े जाते हैं)। लेकिन मुझे अंशों को "फ्लिप" नहीं करना था - शायद किसी के लिए यह आसान होगा। :)

किसी भी स्थिति में, मूल घातांक समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\अंत (संरेखित करें)\]

तो यह पता चला है कि मूल समीकरण को पहले की तुलना में हल करना और भी आसान है: यहां आपको एक स्थिर अभिव्यक्ति को एकल करने की भी आवश्यकता नहीं है - सब कुछ अपने आप कम हो गया है। यह केवल याद रखना है कि $1=((5)^(0))$, जहां से हमें मिलता है:

\[\begin(align)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यही है पूरा समाधान! हमें अंतिम उत्तर मिला: $x=-2$। उसी समय, मैं एक तरकीब पर ध्यान देना चाहूंगा जिसने हमारे लिए सभी गणनाओं को बहुत सरल बना दिया:

घातीय समीकरणों में, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना सुनिश्चित करें, उन्हें साधारण अंशों में अनुवाद करें। यह आपको डिग्री के समान आधारों को देखने की अनुमति देगा और समाधान को बहुत सरल करेगा।

अब आइए अधिक जटिल समीकरणों पर चलते हैं जिनमें अलग-अलग आधार होते हैं, जो आम तौर पर शक्तियों की सहायता से एक-दूसरे तक कम नहीं होते हैं।

घातांक संपत्ति का उपयोग करना

मैं आपको याद दिला दूं कि हमारे पास दो और विशेष रूप से कठोर समीकरण हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09. \\\अंत (संरेखित करें)\]

यहां मुख्य कठिनाई यह है कि यह स्पष्ट नहीं है कि किस आधार पर और किस आधार पर नेतृत्व करना है। कहाँ पे भाव सेट करें? सामान्य आधार कहाँ हैं? इसमें से कोई नहीं है।

लेकिन चलिए दूसरे रास्ते पर जाने की कोशिश करते हैं। यदि कोई तैयार किए गए समान आधार नहीं हैं, तो आप उपलब्ध आधारों को फैक्टर करके उन्हें खोजने का प्रयास कर सकते हैं।

आइए पहले समीकरण से शुरू करें:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ सीडॉट ((3)^(3x))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

लेकिन आप इसके विपरीत कर सकते हैं - 7 और 3 की संख्या से 21 की संख्या बनाएं। बाईं ओर ऐसा करना विशेष रूप से आसान है, क्योंकि दोनों डिग्री के संकेतक समान हैं:

\[\begin(align)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\अंत (संरेखित करें)\]

बस इतना ही! आपने घातांक को गुणनफल से बाहर निकाला और तुरंत एक सुंदर समीकरण प्राप्त किया जिसे दो पंक्तियों में हल किया जा सकता है।

अब दूसरे समीकरण से निपटते हैं। यहाँ सब कुछ बहुत अधिक जटिल है:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0.09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\बाएं(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

इस मामले में, अंश अप्रासंगिक हो गए, लेकिन अगर कुछ कम किया जा सकता है, तो इसे कम करना सुनिश्चित करें। यह अक्सर दिलचस्प आधारों का परिणाम देगा जिनके साथ आप पहले से ही काम कर सकते हैं।

दुर्भाग्य से, हम कुछ भी लेकर नहीं आए हैं। लेकिन हम देखते हैं कि उत्पाद में बाईं ओर के घातांक विपरीत हैं:

मैं आपको याद दिला दूं: घातांक में ऋण चिह्न से छुटकारा पाने के लिए, आपको अंश को "फ्लिप" करने की आवश्यकता है। तो चलिए मूल समीकरण को फिर से लिखते हैं:

\[\begin(align)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\बाएं(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\बाएं(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

दूसरी पंक्ति में, हमने नियम $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) के अनुसार उत्पाद से कुल ब्रैकेट किया है। ))^ (x))$, और बाद में उन्होंने संख्या 100 को एक भिन्न से गुणा किया।

अब ध्यान दें कि बाईं ओर (आधार पर) और दाईं ओर की संख्याएँ कुछ हद तक समान हैं। कैसे? हाँ, ज़ाहिर है: वे एक ही संख्या की शक्तियाँ हैं! हमारे पास है:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac( 10)(3) \दाएं))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \दाएं))^(2))। \\\अंत (संरेखित करें)\]

इस प्रकार, हमारे समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखा जाएगा:

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \दाएं))^(2))\]

\[((\बाएं(((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

उसी समय, दाईं ओर, आप उसी आधार के साथ एक डिग्री भी प्राप्त कर सकते हैं, जिसके लिए यह केवल अंश को "फ्लिप" करने के लिए पर्याप्त है:

\[((\बाएं(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

अंत में, हमारा समीकरण रूप लेगा:

\[\शुरू (संरेखित करें) और ((\बाएं(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3)। \\\अंत (संरेखित करें)\]

वह पूरा समाधान है। उनका मुख्य विचार यह है कि भले ही विभिन्न आधार x हम इन आधारों को एक समान करने के लिए हुक या बदमाश द्वारा प्रयास कर रहे हैं। इसमें हमें समीकरणों के प्राथमिक परिवर्तनों और शक्तियों के साथ काम करने के नियमों से मदद मिलती है।

लेकिन क्या नियम और कब उपयोग करना है? कैसे समझें कि एक समीकरण में आपको दोनों पक्षों को किसी चीज़ से विभाजित करने की आवश्यकता है, और दूसरे में - घातीय फ़ंक्शन के आधार को कारक बनाने के लिए?

इस प्रश्न का उत्तर अनुभव के साथ मिलेगा। पहले अपना हाथ आजमाएं सरल समीकरण, और फिर धीरे-धीरे कार्यों को जटिल बनाते हैं - और बहुत जल्द ही आपका कौशल उसी यूएसई या किसी भी स्वतंत्र / परीक्षण कार्य से किसी भी घातीय समीकरण को हल करने के लिए पर्याप्त होगा।

और इस कठिन कार्य में आपकी सहायता करने के लिए, मैं एक स्वतंत्र समाधान के लिए मेरी वेबसाइट पर समीकरणों का एक सेट डाउनलोड करने का सुझाव देता हूं। सभी समीकरणों के उत्तर होते हैं, इसलिए आप हमेशा स्वयं की जांच कर सकते हैं।

एक घातीय समीकरण क्या है? उदाहरण।

तो, एक घातांकीय समीकरण... समीकरणों की एक विस्तृत विविधता की हमारी सामान्य प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) जैसा कि लगभग हमेशा होता है, किसी भी नए गणितीय शब्द का कीवर्ड संबंधित विशेषण होता है जो इसे दर्शाता है। तो यहाँ भी। कीवर्डशब्द "घातीय समीकरण" में शब्द है "प्रदर्शनकारी". इसका क्या मतलब है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) है किसी भी डिग्री के मामले में।और केवल वहाँ! यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, ये सरल समीकरण:

3 एक्स +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

या ये राक्षस भी:

2 पाप x = 0.5

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण बात पर तुरंत ध्यान देने के लिए कहता हूं: में मैदानडिग्री (नीचे) - केवल संख्या. लेकीन मे संकेतकडिग्री (शीर्ष) - एक्स के साथ विभिन्न प्रकार के भाव। बिल्कुल कोई भी।) सब कुछ विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। यदि, अचानक, x संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में आता है (कहते हैं, 3 x \u003d 18 + x 2), तो ऐसा समीकरण पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। इसलिए, इस पाठ में हम उन पर विचार नहीं करेंगे। छात्रों की खुशी के लिए।) यहां हम केवल "शुद्ध" रूप में घातीय समीकरणों पर विचार करेंगे।

सामान्यतया, यहाँ तक कि शुद्ध घातांकीय समीकरण भी सभी मामलों में स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं और हमेशा नहीं। लेकिन घातीय समीकरणों की समृद्ध विविधता के बीच, कुछ निश्चित प्रकार हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और उन्हें हल किया जाना चाहिए। इस प्रकार के समीकरणों पर हम आपके साथ विचार करेंगे। और हम निश्चित रूप से उदाहरणों को हल करेंगे।) तो हम आराम से और - सड़क पर बस जाते हैं! जैसा कि कंप्यूटर "शूटर" में होता है, हमारी यात्रा स्तरों से होकर गुजरेगी।) प्राथमिक से सरल, सरल से मध्यम और मध्यम से जटिल तक। रास्ते में, आप एक गुप्त स्तर की भी प्रतीक्षा कर रहे होंगे - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए तरकीबें और तरीके। जिनके बारे में आपने अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पढ़ा होगा... खैर, अंत में, निश्चित रूप से, अंतिम बॉस होमवर्क के रूप में आपका इंतजार कर रहा है।)

स्तर 0. सबसे सरल घातांक समीकरण क्या है? सरलतम घातीय समीकरणों का हल।

आरंभ करने के लिए, आइए कुछ स्पष्ट प्राथमिक बातों को देखें। आपको कहीं से शुरुआत करनी होगी, है ना? उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

2 एक्स = 2 2

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल तर्क और सामान्य ज्ञान से, यह स्पष्ट है कि x = 2. अन्यथा, कोई रास्ता नहीं है, है ना? x का कोई अन्य मान अच्छा नहीं है ... अब आइए अपना ध्यान इस ओर मोड़ें निर्णय प्रविष्टियह शांत घातीय समीकरण:

2 एक्स = 2 2

एक्स = 2

हमें क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ। हम, वास्तव में, ले गए और ... बस एक ही ठिकानों (दो) को बाहर फेंक दिया! पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, बैल की आंख मारो!

हाँ, वास्तव में, यदि बाएँ और दाएँ घातांकीय समीकरण में हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्याएँ, तो इन संख्याओं को त्याग दिया जा सकता है और बस घातांक की बराबरी कर सकते हैं। गणित अनुमति देता है।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और बहुत सरल समीकरण हल कर सकते हैं। यह बढ़िया है, है ना?

यहाँ किसी भी (हाँ, बिल्कुल कोई!) घातीय समीकरण को हल करने का मुख्य विचार है: समान परिवर्तनों की सहायता से यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं वही विभिन्न डिग्री में आधार संख्या। और फिर आप समान आधारों को सुरक्षित रूप से हटा सकते हैं और घातांक की बराबरी कर सकते हैं। और एक सरल समीकरण के साथ काम करें।

और अब हम लोहे के नियम को याद करते हैं: समान आधारों को हटाना संभव है यदि और केवल यदि समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर आधार संख्याएं हैं गर्व अकेलेपन में।

इसका क्या मतलब है, शानदार अलगाव में? इसका मतलब है बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। मैंने समझाया।

उदाहरण के लिए, समीकरण में

3 3 x-5 = 3 2 x +1

आप तीन गुना नहीं हटा सकते! क्यों? क्योंकि बाईं ओर हमारे पास केवल तीन डिग्री का अकेला नहीं है, बल्कि काम 3 3 एक्स-5। एक अतिरिक्त ट्रिपल रास्ते में आता है: एक गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 x = 5 2 x +5 x

यहाँ भी, सभी आधार समान हैं - पाँच। लेकिन दाईं ओर हमारे पास पांच की एक भी डिग्री नहीं है: डिग्री का योग है!

संक्षेप में, हमें समान आधारों को हटाने का अधिकार तभी है जब हमारा घातीय समीकरण इस तरह दिखता है और केवल इस तरह:

एकएफ (एक्स) = एक जी (एक्स)

इस प्रकार के घातांक समीकरण को कहा जाता है सबसे साधारण. या वैज्ञानिक रूप से, कैनन का . और कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारे सामने मुड़ समीकरण क्या हो सकता है, एक तरह से या कोई अन्य, हम इसे ऐसे सरल (विहित) रूप में कम कर देंगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए समुच्चयइस तरह के समीकरण। तब हमारा सरलतम समीकरण हो सकता है सामान्य दृष्टि सेइस तरह फिर से लिखें:

एफ (एक्स) = जी (एक्स)

और बस। यह समकक्ष परिवर्तन होगा। साथ ही, एक्स के साथ बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति का उपयोग एफ (एक्स) और जी (एक्स) के रूप में किया जा सकता है। जो कुछ।

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र पूछेगा: पृथ्वी पर हम इतनी आसानी से और आसानी से बाएं और दाएं समान आधारों को क्यों छोड़ देते हैं और प्रतिपादकों की बराबरी करते हैं? अंतर्ज्ञान अंतर्ज्ञान है, लेकिन अचानक, किसी समीकरण में और किसी कारण से, यह दृष्टिकोण गलत हो जाएगा? क्या समान ठिकानों को फेंकना हमेशा कानूनी है?दुर्भाग्य से, इसके कठोर गणितीय उत्तर के लिए ब्याज पूछोआपको कार्यों की संरचना और व्यवहार के सामान्य सिद्धांत में गहराई से और गंभीरता से जाने की जरूरत है। और थोड़ा और विशेष रूप से - घटना में सख्त एकरसता।विशेष रूप से, सख्त एकरसता घातांक प्रकार्यआप= एक एक्स. चूँकि यह घातांकीय फलन और उसके गुण हैं जो घातांकीय समीकरणों के समाधान का आधार हैं, हाँ।) इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर एक अलग विशेष पाठ में दिया जाएगा जो विभिन्न कार्यों की एकरसता का उपयोग करके जटिल गैर-मानक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।)

इस बिंदु को विस्तार से समझाने के लिए अब केवल एक औसत स्कूली बच्चे के दिमाग को निकाल देना है और उसे सूखे और भारी सिद्धांत के साथ समय से पहले डराना है। मैं यह नहीं करूँगा।) हमारे मुख्य के लिए इस पलएक कार्य - घातीय समीकरणों को हल करना सीखें!सबसे सरल! इसलिए, जब तक हम पसीना नहीं बहाते और साहसपूर्वक उन्हीं कारणों को बाहर निकाल देते हैं। यह कर सकते हैं, इसके लिए मेरा शब्द लें!) और फिर हम पहले से ही समतुल्य समीकरण f (x) = g (x) को हल कर लेते हैं। एक नियम के रूप में, यह मूल घातांक की तुलना में सरल है।

यह निश्चित रूप से माना जाता है कि लोग पहले से ही कम से कम , और समीकरणों को हल करना जानते हैं, पहले से ही संकेतकों में x के बिना।) जो अभी भी नहीं जानते हैं, इस पृष्ठ को बंद करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, उचित लिंक के साथ चलें और भरें पुराने अंतराल। नहीं तो आपके लिए कठिन समय होगा, हाँ...

मैं तर्कहीन, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में चुप हूं जो आधारों को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकते हैं। लेकिन चिंता न करें, अभी के लिए हम डिग्री के संदर्भ में फ्रैंक टिन पर विचार नहीं करेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सरलतम समीकरणों पर ही प्रशिक्षण देंगे।)

अब उन समीकरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम करने के लिए उन्हें कम करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। उन्हें अलग करने के लिए, आइए उन्हें कॉल करें सरल घातीय समीकरण. तो चलिए अगले स्तर पर चलते हैं!

स्तर 1. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! प्राकृतिक संकेतक।

किसी भी घातांकीय समीकरणों को हल करने के प्रमुख नियम हैं डिग्री से निपटने के नियम. इस ज्ञान और कौशल के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा। काश। इसलिए, अगर डिग्रियों को लेकर कोई समस्या है, तो शुरुआत के लिए आपका स्वागत है। इसके अलावा, हमें भी चाहिए। ये परिवर्तन (अधिक से अधिक दो!) सामान्य रूप से गणित के सभी समीकरणों को हल करने का आधार हैं। और न केवल दिखावा। तो, जो कोई भूल गया, वह भी लिंक पर टहलें: मैंने उन्हें एक कारण से लगाया।

लेकिन केवल शक्तियों और समान परिवर्तनों वाली क्रियाएं पर्याप्त नहीं हैं। इसके लिए व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता की भी आवश्यकता होती है। हमें वही आधार चाहिए, है ना? इसलिए हम उदाहरण की जांच करते हैं और उन्हें एक स्पष्ट या प्रच्छन्न रूप में ढूंढते हैं!

उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

3 2x - 27x +2 = 0

पहले देखो मैदान. वे भिन्न हैं! तीन और सत्ताईस। लेकिन घबराना और निराशा में पड़ना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

27 = 3 3

अंक 3 और 27 डिग्री में रिश्तेदार हैं! इसके अलावा, रिश्तेदार।) इसलिए, हमें लिखने का पूरा अधिकार है:

27 x +2 = (3 3) x+2

और अब हम अपने ज्ञान को के बारे में जोड़ते हैं डिग्री के साथ कार्रवाई(और मैंने आपको चेतावनी दी थी!) ऐसा एक बहुत ही उपयोगी सूत्र है:

(एम) एन = एक एमएन

अब यदि आप इसे पाठ्यक्रम में चलाते हैं, तो यह आम तौर पर ठीक हो जाता है:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

मूल उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

3 2 एक्स - 3 3 (एक्स +2) = 0

बढ़िया, डिग्री के आधार संरेखित हैं। जिसके लिए हम प्रयास कर रहे थे। आधा काम हो चुका है।) और अब हम बुनियादी पहचान परिवर्तन शुरू करते हैं - हम 3 3 (x +2) को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया, हाँ।) हमें मिलता है:

3 2 एक्स = 3 3 (एक्स +2)

हमें इस तरह का समीकरण क्या देता है? और तथ्य यह है कि अब हमारा समीकरण कम हो गया है विहित रूप में: बाईं ओर और दाईं ओर समान संख्याएँ (त्रिक) घातों में हैं। और दोनों त्रिगुण - शानदार अलगाव में। हम साहसपूर्वक त्रिगुणों को हटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2x = 3(x+2)

हम इसे हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स = -6

यही सब है इसके लिए। यह सही जवाब है।)

और अब हम निर्णय के पाठ्यक्रम को समझते हैं। इस उदाहरण में हमें क्या बचाया? हम त्रिगुणों की डिग्री के ज्ञान से बच गए थे। बिल्कुल कैसे? हम पहचान कीसंख्या 27 एन्क्रिप्टेड तीन! यह ट्रिक (उसी आधार के तहत एन्क्रिप्शन) अलग संख्या) घातांकीय समीकरणों में सबसे लोकप्रिय में से एक है! जब तक कि यह सबसे लोकप्रिय न हो। हाँ, और वैसे भी। यही कारण है कि घातीय समीकरणों में अवलोकन और संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने की क्षमता इतनी महत्वपूर्ण है!

प्रायोगिक उपकरण:

आपको लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को जानना होगा। चेहरे में!

बेशक, कोई भी दो से सातवीं या तीन से पांचवीं तक बढ़ा सकता है। मेरे दिमाग में नहीं, तो कम से कम एक मसौदे पर। लेकिन घातीय समीकरणों में, शक्ति को बढ़ाने के लिए नहीं, बल्कि, इसके विपरीत, यह पता लगाने के लिए कि संख्या के पीछे कौन सी संख्या और किस हद तक छिपी हुई है, कहते हैं, 128 या 243 अधिक बार आवश्यक है। और यह पहले से ही अधिक है सरल घातांक की तुलना में जटिल, आप देखते हैं। अंतर महसूस करें, जैसा कि वे कहते हैं!

चूंकि चेहरे में डिग्री पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर उपयोगी है, बल्कि निम्न स्तर पर भी उपयोगी है, यहां आपके लिए एक छोटा सा काम है:

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (बिखरे हुए, निश्चित रूप से):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हाँ हाँ! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों से अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक।

इस स्तर पर, हम पहले से ही डिग्री के अपने ज्ञान का पूरा उपयोग कर रहे हैं। अर्थात्, हम इस आकर्षक प्रक्रिया में नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतक शामिल करते हैं! हाँ हाँ! हमें शक्ति का निर्माण करने की आवश्यकता है, है ना?

उदाहरण के लिए, यह भयानक समीकरण:

फिर से, पहले नींव को देखें। आधार अलग हैं! और इस बार वे दूर-दूर तक एक-दूसरे से मिलते-जुलते भी नहीं हैं! 5 और 0.04... और आधारों को खत्म करने के लिए, वही चाहिए... क्या करें?

कोई बात नहीं! वास्तव में, सब कुछ समान है, बस पांच और 0.04 के बीच का संबंध नेत्रहीन खराब दिखाई देता है। हम कैसे निकलते हैं? और 0.04 की संख्या में सामान्य भिन्न पर चलते हैं! और वहां, आप देखते हैं, सब कुछ बनता है।)

0,04 = 4/100 = 1/25

बहुत खूब! यह पता चला है कि 0.04 1/25 है! अच्छा, किसने सोचा होगा!)

कितनी अच्छी तरह से? अब संख्या 5 और 1/25 के बीच संबंध देखना आसान है? यह वही है...

और अब, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार नकारात्मक संकेतकदृढ़ हाथ से लिखा जा सकता है:

यह बहुत बढ़िया बात है। तो हम एक ही आधार पर पहुँचे - पाँच। अब हम समीकरण में असहज संख्या 0.04 को 5 -2 से बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:

फिर से, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, अब हम लिख सकते हैं:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

बस मामले में, मैं याद दिलाता हूं (अचानक, कौन नहीं जानता) कि जमीन के नियमशक्तियों के साथ कार्रवाई के लिए मान्य हैं कोईसंकेतक! नकारात्मक सहित।) तो बेझिझक लें और संबंधित नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x-1) को गुणा करें। हमारा समीकरण बेहतर और बेहतर होता जाता है:

हर चीज़! बाएँ और दाएँ अंशों में एकाकी पाँचों के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। समीकरण को विहित रूप में घटाया गया है। और फिर - घुमावदार ट्रैक के साथ। हम फाइव हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5=-2(एक्स-1)

उदाहरण लगभग पूरा हो गया है। मध्यम वर्ग का प्राथमिक गणित बना हुआ है - हम कोष्ठक खोलते हैं (सही ढंग से!) और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5 = -2 एक्स+2

एक्स 2 –4 एक्स+3 = 0

हम इसे हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 3

बस इतना ही।)

अब चलो फिर से सोचते हैं। इस उदाहरण में, हमें फिर से एक ही संख्या को अलग-अलग अंशों में पहचानना पड़ा! अर्थात्, एन्क्रिप्टेड पांच को संख्या 0.04 में देखने के लिए। और इस बार, में नकारात्मक डिग्री!हम इसे कैसे करेंगे? चलते-चलते - कोई रास्ता नहीं। लेकिन 0.04 के दशमलव अंश से 1/25 के साधारण अंश में संक्रमण के बाद, सब कुछ हाइलाइट किया गया था! और फिर पूरा निर्णय घड़ी की कल की तरह चला गया।)

इसलिए, एक और हरी व्यावहारिक सलाह।

यदि घातांकीय समीकरण में दशमलव भिन्न हैं, तो हम दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में चले जाते हैं। पर सामान्य भिन्नकई लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को पहचानना बहुत आसान है! मान्यता के बाद, हम भिन्नों से नकारात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं।

ध्यान रखें कि घातांकीय समीकरणों में इस तरह की हलचल बहुत, बहुत बार होती है! और व्यक्ति विषय में नहीं है। उदाहरण के लिए, वह 32 और 0.125 की संख्या में दिखता है और परेशान हो जाता है। यह उसके लिए अज्ञात है कि यह एक ही ड्यूस है, केवल अलग-अलग डिग्री में ... लेकिन आप पहले से ही विषय में हैं!)

प्रश्न हल करें:

में! यह एक शांत आतंक की तरह दिखता है ... हालांकि, दिखावे धोखा दे रहे हैं। यह भयानक होने के बावजूद सबसे सरल घातीय समीकरण है दिखावट. और अब मैं इसे आपको दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, हम आधारों और गुणांकों में बैठे सभी नंबरों से निपटते हैं। वे स्पष्ट रूप से भिन्न हैं, हाँ। लेकिन हम फिर भी जोखिम उठाते हैं और उन्हें बनाने की कोशिश करते हैं वही! आइए जाने की कोशिश करें अलग-अलग डिग्री में एक ही संख्या. और, अधिमानतः, सबसे छोटी संभव की संख्या। तो, चलिए डिक्रिप्ट करना शुरू करते हैं!

खैर, एक बार में चारों के साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, पहले से ही कुछ।)

0.25 के अंश के साथ - यह अभी तक स्पष्ट नहीं है। देखने की जरूरत है। हम व्यावहारिक सलाह का उपयोग करते हैं - दशमलव से साधारण पर जाएं:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से काफी बेहतर। अभी के लिए यह पहले से ही स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि 1/4 2 -2 है। बढ़िया, और संख्या 0.25 भी एक ड्यूस के समान है।)

अब तक सब ठीक है। लेकिन सबसे खराब संख्या बनी हुई है - दो का वर्गमूल!इस मिर्च का क्या करें? क्या इसे दो की शक्ति के रूप में भी दर्शाया जा सकता है? और कौन जानता है...

खैर, हम फिर से डिग्री के बारे में अपने ज्ञान के खजाने में चढ़ जाते हैं! इस बार हम अपने ज्ञान को भी जोड़ते हैं जड़ों के बारे में. 9वीं कक्षा के दौरान, आपको और मुझे यह सहना पड़ा कि कोई भी जड़, यदि वांछित हो, तो हमेशा एक डिग्री में बदल सकती है अंश के साथ।

ऐशे ही:

हमारे मामले में:

कैसे! यह पता चला है कि दो का वर्गमूल 2 1/2 है। इतना ही!

कोई बात नहीं! हमारे सभी असहज नंबर वास्तव में एक एन्क्रिप्टेड ड्यूस निकले।) मैं तर्क नहीं देता, कहीं बहुत परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम ऐसे सिफर्स को हल करने में अपना प्रोफेशनलिज्म भी बढ़ाते हैं! और फिर सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। हम अपने समीकरण में संख्या 4, 0.25 और दो के मूल को दो की घात से प्रतिस्थापित करते हैं:

हर चीज़! उदाहरण में सभी डिग्री के आधार समान हो गए हैं - दो। और अब डिग्री के साथ मानक क्रियाओं का उपयोग किया जाता है:

पूर्वाह्नएक = पूर्वाह्न + एन

ए एम: ए एन = ए एम-एन

(एम) एन = एक एमएन

बाईं ओर के लिए आपको मिलता है:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

दाईं ओर के लिए होगा:

और अब हमारा बुरा समीकरण इस तरह दिखने लगा:

उन लोगों के लिए जिन्होंने यह पता नहीं लगाया है कि यह समीकरण कैसे निकला, तो सवाल घातीय समीकरणों के बारे में नहीं है। प्रश्न शक्तियों के साथ कार्यों के बारे में है। मैंने तत्काल उन लोगों को दोहराने के लिए कहा जिन्हें समस्या है!

यहाँ फिनिश लाइन है! घातांक समीकरण का विहित रूप प्राप्त होता है! कितनी अच्छी तरह से? क्या मैंने आपको आश्वस्त किया है कि यह इतना डरावना नहीं है? ;) हम ड्यूस हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

यह केवल इस रैखिक समीकरण को हल करने के लिए रहता है। कैसे? निश्चित रूप से समान परिवर्तनों की सहायता से।) जो पहले से मौजूद है उसे हल करें! दोनों भागों को दो से गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), एक्स के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाएं, बिना एक्स के दाईं ओर, समान लाएं, गिनें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ खूबसूरती से निकलना चाहिए:

एक्स = 4

आइए अब निर्णय पर पुनर्विचार करें। इस उदाहरण में, हमें से संक्रमण द्वारा बचाया गया था वर्गमूल प्रति घातांक 1/2 . के साथ डिग्री. इसके अलावा, केवल इस तरह के एक चालाक परिवर्तन ने हमें हर जगह एक ही आधार (ड्यूस) तक पहुंचने में मदद की, जिससे स्थिति बच गई! और, यदि इसके लिए नहीं, तो हमारे पास हमेशा के लिए जमने और इस उदाहरण का सामना करने का हर मौका होगा, हाँ ...

इसलिए, हम अगली व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा नहीं करते हैं:

यदि घातांकीय समीकरण में जड़ें हैं, तो हम मूल से भिन्नात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं। बहुत बार, केवल ऐसा परिवर्तन ही आगे की स्थिति को स्पष्ट करता है।

बेशक, नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियां पहले से ही अधिक कठिन हैं। प्राकृतिक डिग्री. कम से कम दृश्य धारणा के संदर्भ में और, विशेष रूप से, दाएं से बाएं की पहचान!

यह स्पष्ट है कि सीधे उठाना, उदाहरण के लिए, -3 की शक्ति के लिए दो या -3/2 की शक्ति के लिए एक चार ऐसा नहीं है बड़ी समस्या. जानने वालों के लिए।)

लेकिन जाओ, उदाहरण के लिए, तुरंत महसूस करो कि

0,125 = 2 -3

या

यहाँ केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव का नियम है, हाँ। और, ज़ाहिर है, एक स्पष्ट दृष्टिकोण, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक क्या है।साथ ही - प्रायोगिक उपकरण! हाँ, हाँ, वो हरा।) मुझे आशा है कि वे फिर भी आपको सभी प्रकार की डिग्रियों में बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेंगे और आपकी सफलता की संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाएंगे! तो आइए उनकी उपेक्षा न करें। मैं व्यर्थ नहीं हूँ हरे मेंमैं कभी-कभी लिखता हूं।)

दूसरी ओर, यदि आप नकारात्मक और भिन्नात्मक जैसी विदेशी शक्तियों के साथ भी "आप" बन जाते हैं, तो घातीय समीकरणों को हल करने की आपकी संभावनाओं का जबरदस्त विस्तार होगा, और आप पहले से ही लगभग किसी भी प्रकार के घातीय समीकरणों को संभालने में सक्षम होंगे। ठीक है, यदि कोई नहीं है, तो सभी घातीय समीकरणों का 80 प्रतिशत - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ!

तो, घातीय समीकरणों के साथ हमारा पहला परिचय अपने तार्किक निष्कर्ष पर आ गया है। और, बीच-बीच में कसरत के रूप में, मैं पारंपरिक रूप से अपने आप को थोड़ा हल करने का सुझाव देता हूं।)

अभ्यास 1।

ताकि नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियों को समझने के बारे में मेरे शब्द व्यर्थ न हों, मैं थोड़ा खेल खेलने का सुझाव देता हूं!

संख्या को दो की शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

हो गई? उत्कृष्ट! फिर हम एक लड़ाकू मिशन करते हैं - हम सबसे सरल और सरल घातीय समीकरणों को हल करते हैं!

कार्य 2.

समीकरण हल करें (सभी उत्तर गड़बड़ हैं!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16x+3 = 0

उत्तर:

एक्स = 16

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 2

एक्स = 5

हो गई? वास्तव में, बहुत आसान!

फिर हम निम्नलिखित गेम को हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

उत्तर:

एक्स 1 = -2; एक्स 2 = 2

एक्स = 0,5

एक्स 1 = 3; एक्स 2 = 5

और एक के ये उदाहरण बचे हैं? उत्कृष्ट! तुम बढ़ रहे हो! फिर आपके लिए नाश्ता करने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

उत्तर:

एक्स = 6

एक्स = 13/31

एक्स = -0,75

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 8/3

और क्या यह तय है? अच्छा, सम्मान! मैं अपनी टोपी उतारता हूं।) तो, पाठ व्यर्थ नहीं था, और घातीय समीकरणों को हल करने के प्रारंभिक स्तर को सफलतापूर्वक महारत हासिल माना जा सकता है। आगे - अगले स्तर और अधिक जटिल समीकरण! और नई तकनीक और दृष्टिकोण। और गैर-मानक उदाहरण। और नए आश्चर्य।) यह सब - अगले पाठ में!

कुछ काम नहीं किया? तो, सबसे अधिक संभावना है, समस्याएं हैं। या में। या दोनों एक ही समय में। यहाँ मैं शक्तिहीन हूँ। मैं एक बार फिर केवल एक ही चीज की पेशकश कर सकता हूं - आलसी मत बनो और लिंक के माध्यम से चलो।)

जारी रहती है।)

उपकरण:

एक कंप्यूटर,
मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर,
स्क्रीन,
अनुलग्नक 1(PowerPoint में स्लाइड प्रस्तुति) "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके"
अनुलग्नक 2(वर्ड में "डिग्री के तीन अलग-अलग आधार" जैसे समीकरण का समाधान)
अनुलग्नक 3(शब्द के लिए हैंडआउट व्यावहारिक कार्य).
परिशिष्ट 4(होमवर्क के लिए वर्ड में हैंडआउट)।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक चरण

पाठ के विषय का संदेश (बोर्ड पर लिखा हुआ),
कक्षा 10-11 में एक सामान्यीकरण पाठ की आवश्यकता:

ज्ञान के सक्रिय आत्मसात के लिए छात्रों को तैयार करने का चरण

दुहराव

परिभाषा।

एक घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में एक चर होता है (छात्र उत्तर देता है)।

शिक्षक का नोट। घातीय समीकरण ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के वर्ग से संबंधित हैं। यह कठिन-से-उच्चारण नाम बताता है कि ऐसे समीकरण, सामान्यतया, सूत्रों के रूप में हल नहीं किए जा सकते हैं।

उन्हें कंप्यूटर पर लगभग संख्यात्मक तरीकों से ही हल किया जा सकता है। लेकिन परीक्षा के सवालों का क्या? पूरी चाल यह है कि परीक्षक समस्या को इस तरह से बनाता है कि वह सिर्फ एक विश्लेषणात्मक समाधान स्वीकार करता है। दूसरे शब्दों में, आप ऐसे समान परिवर्तन कर सकते हैं (और चाहिए!) यह सबसे सरल समीकरण है और इसे कहा जाता है: सबसे सरल घातीय समीकरण। यह हल हो गया है लघुगणक

एक घातीय समीकरण के समाधान के साथ स्थिति एक भूलभुलैया के माध्यम से एक यात्रा के समान होती है, जिसे विशेष रूप से समस्या के संकलक द्वारा आविष्कार किया गया था। इन बहुत ही सामान्य विचारों से, काफी विशिष्ट सिफारिशें अनुसरण करती हैं।

घातीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1. न केवल सभी घातीय पहचानों को सक्रिय रूप से जानते हैं, बल्कि उन चर के मूल्यों के सेट भी ढूंढते हैं जिन पर इन पहचानों को परिभाषित किया जाता है, ताकि इन पहचानों का उपयोग करते समय, कोई अनावश्यक जड़ों को प्राप्त न करे, और इससे भी ज्यादा, खो न जाए समीकरण के समाधान।

2. सक्रिय रूप से सभी घातीय पहचानों को जानें।

3. स्पष्ट रूप से, विस्तार से और त्रुटियों के बिना, समीकरणों के गणितीय परिवर्तन करें (समीकरण के एक भाग से दूसरे में शब्दों को स्थानांतरित करें, चिह्न को बदलना न भूलें, भिन्न को एक सामान्य हर में कम करें, आदि)। इसे गणितीय संस्कृति कहते हैं। उसी समय, गणना स्वयं हाथों से की जानी चाहिए, और सिर को समाधान के सामान्य मार्गदर्शक सूत्र के बारे में सोचना चाहिए। परिवर्तनों को यथासंभव सावधानीपूर्वक और विस्तार से करना आवश्यक है। केवल यह एक सही, त्रुटि मुक्त समाधान की गारंटी देगा। और याद रखें: एक छोटी अंकगणितीय त्रुटि केवल एक पारलौकिक समीकरण बना सकती है, जिसे सिद्धांत रूप में, विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह पता चला है कि आप अपना रास्ता भटक गए और भूलभुलैया की दीवार में भाग गए।

4. समस्याओं को हल करने के तरीकों को जानें (अर्थात समाधान की भूलभुलैया के माध्यम से सभी रास्तों को जानें)। प्रत्येक चरण में सही अभिविन्यास के लिए, आपको (होशपूर्वक या सहज रूप से!) करना होगा:

परिभाषित करना समीकरण प्रकार;
संबंधित प्रकार याद रखें समाधान विधिकार्य।

अध्ययन की गई सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का चरण।

शिक्षक, छात्रों के साथ, कंप्यूटर की भागीदारी के साथ, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों का अवलोकन पुनरावृत्ति करता है, और एक सामान्य योजना तैयार करता है। (L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" के प्रशिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग किया जाता है, PowerPoint प्रस्तुति के लेखक T.N. Kuptsova हैं।)

चावल। एक।यह आंकड़ा सभी प्रकार के घातीय समीकरणों की एक सामान्य योजना दिखाता है।

जैसा कि इस आरेख से देखा जा सकता है, घातीय समीकरणों को हल करने की रणनीति इस घातीय समीकरण को समीकरण में कम करना है, सबसे पहले, एक ही आधार के साथ , और फिर - और समान प्रतिपादकों के साथ।

समान आधारों और घातांक के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इस डिग्री को एक नए चर के साथ बदलते हैं और इस नए चर के संबंध में एक साधारण बीजीय समीकरण (आमतौर पर भिन्नात्मक परिमेय या द्विघात) प्राप्त करते हैं।

इस समीकरण को हल करके और उलटा प्रतिस्थापन करके, आप सरल घातीय समीकरणों के एक सेट के साथ समाप्त होते हैं जिसे सामान्य रूप से लॉगरिदम का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

समीकरण अलग खड़े होते हैं जिसमें केवल (निजी) शक्तियों के उत्पाद होते हैं। घातांकीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, इन समीकरणों को तुरंत एक आधार पर लाना संभव है, विशेष रूप से, सरलतम घातांकीय समीकरण में।

विचार करें कि डिग्री के तीन अलग-अलग आधारों के साथ एक घातीय समीकरण कैसे हल किया जाता है।

(यदि शिक्षक के पास L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" द्वारा एक शिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम है, तो स्वाभाविक रूप से हम डिस्क के साथ काम करते हैं, यदि नहीं, तो आप नीचे प्रस्तुत किए गए प्रत्येक डेस्क के लिए इस प्रकार के समीकरण का प्रिंट आउट ले सकते हैं। ।)