घातांक का उपयोग किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की संक्रिया को लिखना आसान बनाने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, आप लिखने के बजाय लिख सकते हैं 4 5 (\displaystyle 4^(5))(इस तरह के संक्रमण की व्याख्या इस लेख के पहले खंड में दी गई है)। घातांक लंबा लिखना आसान बनाते हैं या जटिल भावया समीकरण; इसके अलावा, शक्तियों को आसानी से जोड़ा और घटाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप अभिव्यक्ति या समीकरण का सरलीकरण होता है (उदाहरण के लिए, 4 2 ∗ 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

टिप्पणी:यदि आपको एक घातांक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है (ऐसे समीकरण में, अज्ञात घातांक में है), पढ़ें।

कदम

शक्तियों के साथ सरल समस्याओं का समाधान

घातांक के आधार को घातांक के बराबर कई गुना गुणा करें।यदि आपको घातांक के साथ किसी समस्या को मैन्युअल रूप से हल करने की आवश्यकता है, तो घातांक को गुणन संक्रिया के रूप में फिर से लिखें, जहां घातांक का आधार स्वयं से गुणा किया जाता है। उदाहरण के लिए, दी गई डिग्री 3 4 (\displaystyle 3^(4)). इस मामले में, डिग्री 3 के आधार को 4 गुना से गुणा किया जाना चाहिए: 3 3 ∗ 3 ∗ 3 (\displaystyle 3*3*3*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

सबसे पहले, पहले दो नंबरों को गुणा करें।उदाहरण के लिए, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). चिंता न करें - गणना प्रक्रिया उतनी जटिल नहीं है जितनी पहली नज़र में लगती है। पहले पहले दो चौगुनी गुणा करें, और फिर उन्हें परिणाम से बदलें। ऐशे ही:

• 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. परिणाम (हमारे उदाहरण में 16) को अगली संख्या से गुणा करें।प्रत्येक बाद के परिणाम आनुपातिक रूप से बढ़ेंगे। हमारे उदाहरण में, 16 को 4 से गुणा करें। इस प्रकार:

   • 4 5 = 16 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 ∗ 4 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 ∗ 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • अंतिम उत्तर प्राप्त होने तक पहली दो संख्याओं को अगली संख्या से गुणा करने के परिणाम को गुणा करते रहें। ऐसा करने के लिए, पहले दो नंबरों को गुणा करें, और फिर परिणाम को अनुक्रम में अगली संख्या से गुणा करें। यह विधि किसी भी डिग्री के लिए मान्य है। हमारे उदाहरण में, आपको मिलना चाहिए: 4 5 = 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 ∗ 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. निम्नलिखित समस्याओं को हल करें।कैलकुलेटर से अपना उत्तर जांचें।

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\displaystyle 3^(4))
   • 10 7 (\displaystyle 10^(7))

3. कैलकुलेटर पर, "expक्स्प", या " x n (\displaystyle x^(n))", या" ^ "।इस कुंजी से आप किसी संख्या को घात तक बढ़ा सकते हैं। बड़े घातांक के साथ डिग्री की मैन्युअल रूप से गणना करना व्यावहारिक रूप से असंभव है (उदाहरण के लिए, डिग्री 9 15 (\displaystyle 9^(15))), लेकिन कैलकुलेटर आसानी से इस कार्य का सामना कर सकता है। विंडोज 7 में, मानक कैलकुलेटर को इंजीनियरिंग मोड में स्विच किया जा सकता है; ऐसा करने के लिए, "देखें" -\u003e "इंजीनियरिंग" पर क्लिक करें। सामान्य मोड पर स्विच करने के लिए, "देखें" -\u003e "सामान्य" पर क्लिक करें।

   • एक खोज इंजन (गूगल या यांडेक्स) का उपयोग करके प्राप्त उत्तर की जांच करें. कंप्यूटर कीबोर्ड पर "^" कुंजी का उपयोग करके, खोज इंजन में अभिव्यक्ति दर्ज करें, जो तुरंत सही उत्तर प्रदर्शित करेगा (और संभवतः अध्ययन के लिए समान अभिव्यक्तियों का सुझाव देगा)।

   शक्तियों का जोड़, घटाव, गुणा

   1. आप घातों को तभी जोड़ और घटा सकते हैं जब उनका आधार समान हो।यदि आपको समान आधारों और घातांक के साथ घातों को जोड़ने की आवश्यकता है, तो आप जोड़ ऑपरेशन को गुणन ऑपरेशन से बदल सकते हैं। उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). याद रखें कि डिग्री 4 5 (\displaystyle 4^(5))के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है 1 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); इस प्रकार, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(जहाँ 1 +1 = 2)। अर्थात् समान अंशों की संख्या गिनें, और फिर ऐसी घात और इस संख्या को गुणा करें। हमारे उदाहरण में, 4 को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाएं, और फिर परिणाम को 2 से गुणा करें। याद रखें कि जोड़ ऑपरेशन को गुणा ऑपरेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 3 + 3 = 2 3 (\displaystyle 3+3=2*3). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      • 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 − 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 − 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. समान आधार से घातों को गुणा करने पर उनके घातांक जुड़ जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक x 2 x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). इस मामले में, आपको आधार को अपरिवर्तित छोड़कर, संकेतकों को जोड़ने की जरूरत है। इस तरह, x 2 ∗ x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). यहाँ इस नियम की एक दृश्य व्याख्या है:

      किसी घात को घात में बढ़ाते समय, घातांक गुणा किया जाता है।उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई। चूँकि घातांक को गुणा किया जाता है, तब (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). इस नियम का अर्थ यह है कि आप शक्ति को गुणा करें (x 2) (\displaystyle (x^(2)))खुद पर पांच बार। ऐशे ही:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • चूंकि आधार समान है, घातांक बस जोड़ते हैं: (x 2) 5 = x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 ∗ x 2 x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को भिन्न (प्रतिलोम घात में) में परिवर्तित किया जाना चाहिए।इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आप नहीं जानते कि पारस्परिक क्या है। उदाहरण के लिए, यदि आपको एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री दी जाती है, 3 - 2 (\displaystyle 3^(-2)), इस घात को भिन्न के हर में लिखिए (अंश में 1 लगाइए), और घातांक को धनात्मक बनाइए। हमारे उदाहरण में: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2)))). यहाँ अन्य उदाहरण हैं:

      एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं (आधार नहीं बदलता है)।विभाजन संक्रिया गुणन संक्रिया के विपरीत है। उदाहरण के लिए, दिया गया व्यंजक 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). अंश में घातांक से हर में घातांक घटाएं (आधार न बदलें)। इस तरह, 4 4 4 2 = 4 4 - 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • हर में डिग्री को इस प्रकार लिखा जा सकता है: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2)))) = 4 - 2 (\displaystyle 4^(-2)). याद रखें कि भिन्न एक ऋणात्मक घातांक वाली एक संख्या (शक्ति, व्यंजक) है।

   4. बिजली की समस्याओं को हल करने का तरीका जानने में आपकी मदद करने के लिए नीचे कुछ भाव दिए गए हैं।उपरोक्त भाव इस खंड में प्रस्तुत सामग्री को कवर करते हैं। उत्तर देखने के लिए, बराबर चिह्न के बाद रिक्त स्थान को हाइलाइट करें।

   भिन्नात्मक घातांक के साथ समस्याओं का समाधान

   भिन्नात्मक घातांक वाली डिग्री (उदाहरण के लिए, ) को रूट एक्सट्रैक्शन ऑपरेशन में बदल दिया जाता है।हमारे उदाहरण में: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि भिन्नात्मक घातांक के हर में कौन सी संख्या है। उदाहरण के लिए, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4)))"x" की चौथी जड़ है x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

   1. यदि घातांक एक अनुचित भिन्न है, तो समस्या के समाधान को सरल बनाने के लिए ऐसे घातांक को दो घातों में विघटित किया जा सकता है। इसमें कुछ भी जटिल नहीं है - बस शक्तियों को गुणा करने का नियम याद रखें। उदाहरण के लिए, एक डिग्री दी गई। उस घातांक को एक मूल में बदल दें जिसका घातांक भिन्नात्मक घातांक के हर के बराबर हो, और फिर उस मूल को भिन्नात्मक घातांक के अंश के बराबर घातांक तक बढ़ाएँ। ऐसा करने के लिए, याद रखें कि 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). हमारे उदाहरण में:

      • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
      • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
      • x 5 3 = x 5 ∗ x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
   2. कुछ कैलकुलेटर में घातांक की गणना के लिए एक बटन होता है (पहले आपको आधार दर्ज करने की आवश्यकता होती है, फिर बटन दबाएं, और फिर घातांक दर्ज करें)। इसे ^ या x^y के रूप में दर्शाया जाता है।
   3. याद रखें कि कोई भी संख्या पहली घात के बराबर होती है, उदाहरण के लिए, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.)इसके अलावा, किसी भी संख्या को एक से गुणा या विभाजित करना स्वयं के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, 5 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5)तथा 5/1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
   4. जान लें कि डिग्री 0 0 मौजूद नहीं है (ऐसी डिग्री का कोई हल नहीं है)। जब आप कैलकुलेटर या कंप्यूटर पर इस तरह की डिग्री को हल करने का प्रयास करते हैं, तो आपको एक त्रुटि मिलेगी। लेकिन याद रखें कि शून्य के घात का कोई भी अंक 1 के बराबर होता है, उदाहरण के लिए, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
   5. उच्च गणित में, जो काल्पनिक संख्याओं से संचालित होता है: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), कहाँ पे i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); ई लगभग 2.7 के बराबर एक स्थिरांक है; a एक मनमाना स्थिरांक है। इस समानता का प्रमाण उच्च गणित की किसी भी पाठ्यपुस्तक में पाया जा सकता है।

   चेतावनी

   • जैसे-जैसे घातांक बढ़ता है, इसका मान बहुत बढ़ जाता है। इसलिए, यदि उत्तर आपको गलत लगता है, तो वास्तव में यह सच हो सकता है। आप इसे किसी भी घातांकीय फलन, जैसे कि 2 x, को आलेखित करके देख सकते हैं।

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सबसे पहले, आइए डिग्री और उनके गुणों के मूल सूत्रों को याद करें।

एक संख्या का उत्पाद एकस्वयं n बार होता है, हम इस व्यंजक को a… a=a n . के रूप में लिख सकते हैं

1. ए 0 = 1 (ए 0)

3. ए एन ए एम = ए एन + एम

4. (ए ​​एन) एम = एक एनएम

5. ए एन बी एन = (एबी) एन

7. ए एन / ए एम \u003d ए एन - एम

शक्ति या घातीय समीकरण- ये ऐसे समीकरण हैं जिनमें चर घात (या घातांक) में हैं, और आधार एक संख्या है।

घातीय समीकरणों के उदाहरण:

इस उदाहरण में, संख्या 6 आधार है, यह हमेशा सबसे नीचे होती है, और चर एक्सडिग्री या माप।

आइए हम घातीय समीकरणों के और उदाहरण दें।
2 एक्स *5=10
16x-4x-6=0

अब देखते हैं कि घातांकीय समीकरण कैसे हल किए जाते हैं?

आइए एक साधारण समीकरण लें:

2 एक्स = 2 3

ऐसा उदाहरण मन में भी सुलझ सकता है। यह देखा जा सकता है कि x=3. आखिरकार, बाएँ और दाएँ पक्ष समान होने के लिए, आपको x के बजाय संख्या 3 डालने की आवश्यकता है।
अब देखते हैं कि यह निर्णय कैसे लिया जाना चाहिए:

2 एक्स = 2 3
एक्स = 3

इस समीकरण को हल करने के लिए, हमने हटा दिया एक ही आधार(अर्थात, ड्यूस) और जो बचा था उसे लिख दिया, ये डिग्री हैं। हमें वह उत्तर मिल गया जिसकी हमें तलाश थी।

आइए अब हमारे समाधान को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं।

समाधान एल्गोरिथ्म घातीय समीकरण:
1. जाँच करने की आवश्यकता है वहीक्या समीकरण के आधार दाईं ओर और बाईं ओर हैं। यदि आधार समान नहीं हैं, तो हम इस उदाहरण को हल करने के लिए विकल्पों की तलाश कर रहे हैं।
2. आधार समान होने के बाद, समानताडिग्री और परिणामी नए समीकरण को हल करें।

अब कुछ उदाहरण हल करते हैं:

आइए सरल शुरू करें।

बाईं और दाईं ओर के आधार संख्या 2 के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम आधार को त्याग सकते हैं और उनकी डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

x+2=4 सबसे सरल समीकरण निकला है।
एक्स = 4 - 2
एक्स = 2
उत्तर: x=2

निम्नलिखित उदाहरण में, आप देख सकते हैं कि आधार भिन्न हैं, ये 3 और 9 हैं।

3 3x - 9 x + 8 = 0

आरंभ करने के लिए, हम नौ को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

अब आपको वही आधार बनाने की जरूरत है। हम जानते हैं कि 9=3 2 . आइए शक्ति सूत्र (a n) m = a nm का उपयोग करें।

3 3x \u003d (3 2) x + 8

हमें 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16 . मिलता है

3 3x \u003d 3 2x + 16 अब यह स्पष्ट है कि बाईं और दाईं ओर के आधार समान हैं और तीन के बराबर हैं, जिसका अर्थ है कि हम उन्हें त्याग सकते हैं और डिग्री की बराबरी कर सकते हैं।

3x=2x+16 को सबसे सरल समीकरण मिला
3x-2x=16
एक्स = 16
उत्तर: एक्स = 16।

आइए निम्नलिखित उदाहरण देखें:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

सबसे पहले, हम आधारों को देखते हैं, आधार दो और चार अलग-अलग हैं। और हमें वही होना चाहिए। हम सूत्र (a n) m = a nm के अनुसार चौगुनी को रूपांतरित करते हैं।

4 x = (2 2) x = 2 2x

और हम एक सूत्र a n a m = a n + m का भी उपयोग करते हैं:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

समीकरण में जोड़ें:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। लेकिन अन्य संख्याएँ 10 और 24 हमारे साथ हस्तक्षेप करती हैं। उनका क्या करें? यदि आप बारीकी से देखें, तो आप देख सकते हैं कि बाईं ओर हम 2 2x दोहराते हैं, यहाँ उत्तर है - हम कोष्ठक में से 2 2x डाल सकते हैं:

2 2x (2 4 - 10) = 24

आइए कोष्ठक में व्यंजक की गणना करें:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

हम पूरे समीकरण को 6 से विभाजित करते हैं:

कल्पना कीजिए 4=2 2:

2 2x \u003d 2 2 आधार समान हैं, उन्हें त्यागें और डिग्री की बराबरी करें।
2x \u003d 2 सबसे सरल समीकरण निकला। हम इसे 2 से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है
एक्स = 1
उत्तर: एक्स = 1।

आइए समीकरण को हल करें:

9 x - 12*3 x +27= 0

आइए रूपांतरित करें:
9 x = (3 2) x = 3 2x

हमें समीकरण मिलता है:
3 2x - 12 3 x +27 = 0

हमारे आधार समान हैं, तीन के बराबर। इस उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि पहले ट्रिपल में दूसरे (सिर्फ x) की तुलना में दो बार (2x) डिग्री है। इस मामले में, आप तय कर सकते हैं प्रतिस्थापन विधि. सबसे छोटी डिग्री वाली संख्या को इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

फिर 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

हम सभी डिग्री को x के साथ समीकरण में t के साथ बदलते हैं:

टी 2 - 12टी + 27 \u003d 0
हम पाते हैं द्विघात समीकरण. हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:
डी=144-108=36
t1 = 9
टी2 = 3

वेरिएबल पर वापस जाएं एक्स.

हम टी 1 लेते हैं:
टी 1 \u003d 9 \u003d 3 x

वह है,

3 एक्स = 9
3 एक्स = 3 2
एक्स 1 = 2

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:
टी 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 एक्स = 3 1
एक्स 2 = 1
उत्तर: एक्स 1 \u003d 2; एक्स 2 = 1.

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प्रथम स्तर

घातांक जोड़, घटाव, गुणा या भाग के समान गणितीय संक्रिया है।

अब मैं सब कुछ मानव भाषा में बहुत ही आसान तरीके से समझाऊंगा सरल उदाहरण. ध्यान से। उदाहरण प्राथमिक हैं, लेकिन महत्वपूर्ण बातें समझाते हैं।

आइए इसके अलावा शुरू करते हैं।

यहां समझाने के लिए कुछ नहीं है। आप पहले से ही सब कुछ जानते हैं: हम में से आठ हैं। प्रत्येक के पास कोला की दो बोतलें हैं। कितना कोला? यह सही है - 16 बोतलें।

अब गुणा।

कोला के साथ एक ही उदाहरण को अलग तरीके से लिखा जा सकता है: . गणितज्ञ चालाक और आलसी लोग होते हैं। वे पहले कुछ पैटर्न देखते हैं, और फिर उन्हें तेजी से "गिनने" का एक तरीका लेकर आते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक के पास कोला की बोतलों की संख्या समान थी और गुणन नामक एक तकनीक के साथ आए। सहमत हूं, इसे आसान और तेज माना जाता है।

इसलिए, तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना गिनने के लिए, आपको बस याद रखने की आवश्यकता है पहाड़ा. बेशक, आप सब कुछ धीमा, कठिन और गलतियों के साथ कर सकते हैं! परंतु…

यहाँ गुणन तालिका है। दोहराना।

और दूसरा, सुंदर एक:

और आलसी गणितज्ञों ने और कौन-सी पेचीदा गिनने की तरकीबें निकालीं? सही ढंग से - एक संख्या को एक शक्ति में बढ़ाना.

किसी संख्या को घात में बढ़ाना

यदि आपको किसी संख्या को अपने आप से पांच गुना गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणितज्ञ कहते हैं कि आपको इस संख्या को पांचवीं शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणितज्ञों को याद है कि दो से पांचवीं शक्ति है। और वे ऐसी समस्याओं को अपने दिमाग में हल करते हैं - तेज, आसान और त्रुटियों के बिना।

ऐसा करने के लिए, आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की शक्तियों की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है. मेरा विश्वास करो, यह आपके जीवन को बहुत आसान बना देगा।

वैसे दूसरी डिग्री को क्यों कहा जाता है वर्गसंख्या, और तीसरा घनक्षेत्र? इसका क्या मतलब है? एक बहुत अच्छा प्रश्न। अब आपके पास वर्ग और घन दोनों होंगे।

वास्तविक जीवन का उदाहरण #1

आइए किसी संख्या के वर्ग या दूसरी घात से शुरू करें।

मीटर से मीटर मापने वाले एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके पिछवाड़े में है। यह गर्म है और मैं वास्तव में तैरना चाहता हूं। लेकिन ... बिना तल का एक पूल! पूल के तल को टाइलों से ढकना आवश्यक है। आपको कितनी टाइलें चाहिए? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के तल के क्षेत्र को जानना होगा।

आप बस अपनी उंगली पोक करके गिन सकते हैं कि पूल के नीचे क्यूब मीटर बाय मीटर है। यदि आपकी टाइलें मीटर दर मीटर हैं, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है... लेकिन आपने ऐसी टाइल कहाँ देखी? टाइल बल्कि सेमी से सेमी होगी और फिर आपको "अपनी उंगली से गिनने" से पीड़ा होगी। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के तल के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और दूसरी तरफ, टाइल्स भी फिट करेंगे। से गुणा करने पर आपको टाइलें () प्राप्त होती हैं।

क्या आपने देखा कि हमने पूल के तल का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? चूंकि एक ही संख्या को गुणा किया जाता है, हम घातांक तकनीक का उपयोग कर सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएँ होती हैं, तब भी आपको उन्हें गुणा करने या उन्हें एक घात तक बढ़ाने की आवश्यकता होती है। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत सारे हैं, तो एक घात को बढ़ाना बहुत आसान है और गणना में कम त्रुटियाँ भी हैं। परीक्षा के लिए, यह बहुत महत्वपूर्ण है)।
तो, तीस से दूसरी डिग्री () होगी। या आप कह सकते हैं कि तीस वर्ग होगा। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या की दूसरी घात को हमेशा एक वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं, तो यह हमेशा किसी संख्या की दूसरी शक्ति होती है। एक वर्ग एक संख्या की दूसरी शक्ति की एक छवि है।

वास्तविक जीवन उदाहरण #2

यहां आपके लिए एक कार्य है, संख्या के वर्ग का उपयोग करके गिनें कि शतरंज की बिसात पर कितने वर्ग हैं ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी संख्या गिनने के लिए, आपको आठ को आठ से गुणा करना होगा, या ... यदि आप देखते हैं कि एक बिसात एक भुजा वाला वर्ग है, तो आप आठ का वर्ग कर सकते हैं। सेल प्राप्त करें। () इसलिए?

वास्तविक जीवन का उदाहरण #3

अब घन या किसी संख्या का तीसरा घात। वही तालाब। लेकिन अब आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि इस कुंड में कितना पानी डालना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वैसे, आयतन और तरल पदार्थ, घन मीटर में मापा जाता है। अप्रत्याशित, है ना?) एक पूल बनाएं: एक मीटर आकार में एक नीचे और एक मीटर गहरा और गणना करने का प्रयास करें कि कितने मीटर मीटर क्यूब आपके पूल में प्रवेश करेंगे।

बस अपनी उंगली इंगित करें और गिनें! एक, दो, तीन, चार... बाईस, तेईस... कितना निकला? खो नहीं गया? क्या उंगली से गिनना मुश्किल है? ताकि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। वे आलसी हैं, इसलिए उन्होंने देखा कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, आपको इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को एक दूसरे से गुणा करना होगा। हमारे मामले में, पूल का आयतन क्यूब्स के बराबर होगा ... आसान, है ना?

अब कल्पना कीजिए कि अगर वे इसे बहुत आसान बना देते हैं तो गणितज्ञ कितने आलसी और चालाक होते हैं। सब कुछ एक क्रिया में कम कर दिया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है और उसी संख्या को अपने आप से गुणा किया जाता है ... और इसका क्या मतलब है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का उपयोग कर सकते हैं। तो, आप एक बार एक उंगली से क्या गिनते हैं, वे एक क्रिया में करते हैं: एक घन में तीन बराबर होता है। यह इस प्रकार लिखा गया है:

ही रहता है डिग्री की तालिका याद रखें. जब तक, निश्चित रूप से, आप गणितज्ञों की तरह आलसी और चालाक नहीं हैं। अगर आपको कड़ी मेहनत करना और गलतियाँ करना पसंद है, तो आप अपनी उंगली से गिनती जारी रख सकते हैं।

खैर, अंत में आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री का आविष्कार आवारा और चालाक लोगों ने अपने जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया था, न कि आपके लिए समस्याएं पैदा करने के लिए, यहां जीवन से कुछ और उदाहरण दिए गए हैं।

वास्तविक जीवन उदाहरण #4

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए एक और मिलियन कमाते हैं। यानी हर साल की शुरुआत में आपका एक लाख दोगुना हो जाता है। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अभी बैठे हैं और "अपनी उंगली से गिन रहे हैं", तो आप बहुत मेहनती और .. मूर्ख हैं। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले साल में - दो गुना दो ... दूसरे साल में - क्या हुआ, दो और से, तीसरे साल में ... रुक जाओ! आपने देखा कि संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है। तो दो से पांचवीं शक्ति एक लाख है! अब कल्पना कीजिए कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और जो तेजी से गणना करता है उसे ये लाखों मिलेंगे ... क्या संख्याओं की डिग्री याद रखने लायक है, आपको क्या लगता है?

वास्तविक जीवन उदाहरण #5

आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में, आप प्रत्येक मिलियन के लिए दो और कमाते हैं। यह बहुत अच्छा है ना? हर मिलियन तीन गुना है। आपके पास एक साल में कितना पैसा होगा? गिनती करते हैं। पहला वर्ष - गुणा करें, फिर परिणाम दूसरे से ... यह पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सब कुछ समझ चुके हैं: तीन को अपने आप से गुणा किया जाता है। तो चौथी शक्ति एक लाख है। आपको बस यह याद रखने की जरूरत है कि तीन से चौथी घात या है।

अब आप जानते हैं कि किसी संख्या को एक शक्ति तक बढ़ाकर, आप अपने जीवन को बहुत आसान बना देंगे। आइए आगे देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और आपको उनके बारे में क्या जानने की जरूरत है।

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हों

तो, पहले, आइए अवधारणाओं को परिभाषित करें। तुम क्या सोचते हो, घातांक क्या है?? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की शक्ति के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन स्पष्ट और याद रखने में आसान...

खैर, उसी समय, क्या डिग्री का ऐसा आधार? और भी सरल वह संख्या है जो नीचे, आधार पर है।

आपके लिए सुनिश्चित करने के लिए यहां एक तस्वीर है।

अच्छी तरह से और में सामान्य दृष्टि सेसामान्यीकरण और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार "" और एक प्रतिपादक "" के साथ एक डिग्री को "डिग्री तक" पढ़ा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है:

एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की शक्ति

आप शायद पहले ही इसका अनुमान लगा चुके हैं: क्योंकि घातांक है प्राकृतिक संख्या. हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक संख्याएँ वे हैं जिनका उपयोग वस्तुओं को सूचीबद्ध करते समय गिनने में किया जाता है: एक, दो, तीन ... जब हम वस्तुओं की गिनती करते हैं, तो हम यह नहीं कहते हैं: "माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम "एक तिहाई" या "शून्य दशमलव पांच दसवां" भी नहीं कहते हैं। ये प्राकृतिक संख्याएँ नहीं हैं। आपको क्या लगता है ये संख्याएँ क्या हैं?

"माइनस फाइव", "माइनस सिक्स", "माइनस सात" जैसी संख्याएं संदर्भित करती हैं पूर्ण संख्याएं।सामान्य तौर पर, पूर्णांक में सभी प्राकृतिक संख्याएँ, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत संख्याएँ (अर्थात ऋण चिह्न के साथ ली गई), और एक संख्या शामिल होती है। शून्य को समझना आसान है - यह तब है जब कुछ भी नहीं है। और ऋणात्मक ("ऋण") संख्याओं का क्या अर्थ है? लेकिन उनका आविष्कार मुख्य रूप से ऋणों को इंगित करने के लिए किया गया था: यदि आपके पास रूबल में आपके फोन पर शेष राशि है, तो इसका मतलब है कि आप ऑपरेटर के रूबल का भुगतान करते हैं।

सभी भिन्न हैं परिमेय संख्या. वे कैसे आए, क्या आपको लगता है? बहुत आसान। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि उनमें कमी थी प्राकृतिक संख्यालंबाई, वजन, क्षेत्रफल आदि मापने के लिए और वे साथ आए परिमेय संख्या... दिलचस्प है, है ना?

अपरिमेय संख्याएँ भी हैं। ये संख्याएँ क्या हैं? संक्षेप में, अंतहीन दशमलव. उदाहरण के लिए, यदि आप किसी वृत्त की परिधि को उसके व्यास से विभाजित करते हैं, तो आपको एक अपरिमेय संख्या प्राप्त होती है।

सारांश:

आइए डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करें, जिसका घातांक एक प्राकृतिक संख्या है (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक)।

1. पहली घात का कोई भी अंक स्वयं के बराबर होता है:
2. किसी संख्या का वर्ग करने के लिए उसे अपने आप से गुणा करना है:
3. किसी संख्या को घन करने के लिए उसे अपने आप से तीन गुना गुणा करना है:

परिभाषा।करने के लिए एक संख्या बढ़ाएँ प्राकृतिक डिग्रीकिसी संख्या को अपने आप से गुणा करने का अर्थ है:
.

डिग्री गुण

ये संपत्तियां कहां से आईं? मैं आपको अभी दिखाऊंगा।

आइए देखें क्या है तथा ?

परिभाषा से:

कुल कितने गुणक होते हैं?

यह बहुत आसान है: हमने कारकों में कारक जोड़े हैं, और परिणाम कारक है।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, जो कि: है, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण: व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान:

उदाहरण:अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

समाधान:यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में आवश्यक रूप सेएक ही कारण होना चाहिए!
इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी परिस्थिति में आपको ऐसा नहीं लिखना चाहिए।

2. वह है -एक संख्या की शक्ति

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति एक बार अपने आप से गुणा की जाती है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन यह सच नहीं है, सच में।

एक नकारात्मक आधार के साथ डिग्री

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि घातांक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

डिग्री में प्राकृतिक संकेतकआधार हो सकता है कोई संख्या. वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों।

आइए विचार करें कि किन चिह्नों (" " या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ? पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे कितना भी हो सकारात्मक संख्याहमने एक दूसरे को गुणा नहीं किया, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम से गुणा करें, तो यह पता चला है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

क्या आप संभाल पाओगे?

यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

6 अभ्यास उदाहरण

समाधान का विश्लेषण 6 उदाहरण

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उनकी अदला-बदली की जाती है, तो नियम लागू हो सकता है।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

पूरेहम प्राकृतिक संख्याओं को नाम देते हैं, उनके विपरीत (अर्थात, "" चिह्न के साथ लिया जाता है) और संख्या।

सकारात्मक पूर्णांक, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ बिल्कुल पिछले खंड जैसा दिखता है।

अब नए मामलों पर नजर डालते हैं। आइए एक संकेतक के साथ शुरू करें के बराबर।

शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है:

हमेशा की तरह, हम खुद से पूछते हैं: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ कुछ शक्ति पर विचार करें। उदाहरण के लिए, लें और इससे गुणा करें:

इसलिए, हमने संख्या को इससे गुणा किया, और जैसा था - वैसा ही मिला। किस संख्या से गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी न बदले? यह सही है, चालू। माध्यम।

हम मनमाना संख्या के साथ भी ऐसा ही कर सकते हैं:

आइए नियम दोहराएं:

शून्य घात के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर होती है।

लेकिन कई नियमों के अपवाद हैं। और यहाँ यह भी है - यह एक संख्या है (आधार के रूप में)।

एक तरफ, यह किसी भी डिग्री के बराबर होना चाहिए - आप शून्य को अपने आप से कितना भी गुणा करें, फिर भी आपको शून्य मिलता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी ओर, किसी भी संख्या की तरह शून्य डिग्री तक, यह बराबर होना चाहिए। तो इस बात का सच क्या है? गणितज्ञों ने इसमें शामिल नहीं होने का फैसला किया और शून्य को शून्य तक बढ़ाने से इनकार कर दिया। यानी अब हम न सिर्फ जीरो से डिवाइड कर सकते हैं, बल्कि जीरो पावर तक बढ़ा भी सकते हैं।

चलिए और आगे बढ़ते हैं। प्राकृत संख्याओं और संख्याओं के अतिरिक्त, पूर्णांकों में ऋणात्मक संख्याएँ भी शामिल होती हैं। यह समझने के लिए कि ऋणात्मक डिग्री क्या है, आइए पिछली बार की तरह ही करें: हम कुछ सामान्य संख्या को उसी से ऋणात्मक डिग्री में गुणा करते हैं:

यहां से वांछित को व्यक्त करना पहले से ही आसान है:

अब हम परिणामी नियम को एक मनमाना डिग्री तक बढ़ाते हैं:

तो, चलिए नियम बनाते हैं:

एक नकारात्मक शक्ति के लिए एक संख्या एक सकारात्मक शक्ति के लिए समान संख्या का व्युत्क्रम है। लेकिन साथ ही आधार शून्य नहीं हो सकता:(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

आइए संक्षेप करें:

I. अभिव्यक्ति को परिभाषित नहीं किया गया है। तो अगर।

द्वितीय. शून्य घात का कोई भी अंक एक के बराबर होता है: .

III. एक संख्या जो शून्य से ऋणात्मक घात के बराबर नहीं है, उसी संख्या का धनात्मक घात का व्युत्क्रम है: .

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

खैर, हमेशा की तरह, एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण:

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्यों का विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएँ डरावनी हैं, लेकिन परीक्षा में आपको किसी भी चीज़ के लिए तैयार रहना होगा! इन उदाहरणों को हल करें या उनके समाधान का विश्लेषण करें यदि आप इसे हल नहीं कर सके और आप सीखेंगे कि परीक्षा में उनसे आसानी से कैसे निपटें!

आइए एक घातांक के रूप में "उपयुक्त" संख्याओं के वृत्त का विस्तार करना जारी रखें।

अब विचार करें परिमेय संख्या।किन संख्याओं को परिमेय कहा जाता है?

उत्तर: वह सब जिसे एक भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं, इसके अलावा।

क्या है समझने के लिए "आंशिक डिग्री"आइए एक अंश पर विचार करें:

आइए समीकरण के दोनों पक्षों को एक शक्ति तक बढ़ाएं:

अब नियम याद रखें "डिग्री से डिग्री":

किसी घात को प्राप्त करने के लिए कौन सी संख्या बढ़ानी चाहिए?

यह सूत्रीकरण वें डिग्री की जड़ की परिभाषा है।

मैं आपको याद दिला दूं: किसी संख्या () की वें घात का मूल एक ऐसी संख्या है, जिसे जब घात तक बढ़ाया जाता है, तो वह बराबर होती है।

अर्थात्, वें डिग्री का मूल घातांक का व्युत्क्रम संक्रिया है: .

परिणाम यह निकला। जाहिर है, इस विशेष मामले को बढ़ाया जा सकता है:।

अब अंश जोड़ें: यह क्या है? पावर-टू-पावर नियम के साथ उत्तर प्राप्त करना आसान है:

लेकिन क्या आधार कोई संख्या हो सकता है? आखिरकार, सभी नंबरों से रूट नहीं निकाला जा सकता है।

कोई भी नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी संख्या को सम घात तक बढ़ाए जाने पर एक धनात्मक संख्या होती है। अर्थात् ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश की जड़ें निकालना असंभव है!

और इसका अर्थ यह है कि ऐसी संख्याओं को एक सम भाजक के साथ भिन्नात्मक घात तक नहीं बढ़ाया जा सकता है, अर्थात व्यंजक का कोई अर्थ नहीं है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन यहां एक समस्या पैदा हो जाती है।

संख्या को अन्य, कम किए गए अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला कि यह मौजूद है, लेकिन मौजूद नहीं है, और ये एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या दूसरा उदाहरण: एक बार, फिर आप इसे लिख सकते हैं। लेकिन जैसे ही हम संकेतक को अलग तरीके से लिखते हैं, हमें फिर से परेशानी होती है: (यानी, हमें पूरी तरह से अलग परिणाम मिला!)।

ऐसे विरोधाभासों से बचने के लिए विचार करें भिन्नात्मक घातांक के साथ केवल धनात्मक आधार घातांक.

तो अगर:

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

परिमेय घातांक वाली घातें व्यंजकों को जड़ों से बदलने के लिए बहुत उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए:

5 अभ्यास उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे कठिन। अब हम विश्लेषण करेंगे एक अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री.

डिग्री के सभी नियम और गुण ठीक उसी तरह हैं जैसे डिग्री के लिए एक तर्कसंगत घातांक के साथ, के अपवाद के साथ

वास्तव में, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिन्हें भिन्न के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहाँ और पूर्णांक हैं (अर्थात अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है;

...शून्य शक्ति- यह, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक निश्चित "तैयारी" है एक संख्या", अर्थात् एक संख्या;

...ऋणात्मक पूर्णांक घातांक- ऐसा लगता है जैसे एक निश्चित "रिवर्स प्रोसेस" हुआ है, यानी संख्या को अपने आप से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है।

लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

हमें यकीन है कि आप कहां जाएंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

समाधानों का विश्लेषण:

1. आइए डिग्री को एक डिग्री तक बढ़ाने के लिए पहले से ही सामान्य नियम से शुरू करें:

अब स्कोर देखिए। क्या वह आपको कुछ याद दिलाता है? हम वर्गों के अंतर के संक्षिप्त गुणन के सूत्र को याद करते हैं:

इस मामले में,

परिणाम यह निकला:

उत्तर: .

2. हम घातांक में भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दशमलव या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16

3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

अग्रवर्ती स्तर

डिग्री की परिभाषा

डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति है: , जहां:

• — डिग्री का आधार;
• - प्रतिपादक।

प्राकृतिक घातांक के साथ घात (n = 1, 2, 3,...)

किसी संख्या को प्राकृतिक घात n तक बढ़ाने का अर्थ है संख्या को अपने आप से गुणा करना:

पूर्णांक घातांक के साथ शक्ति (0, ±1, ±2,...)

यदि घातांक है सकारात्मक पूर्णांकसंख्या:

निर्माण शून्य शक्ति के लिए:

व्यंजक अनिश्चित है, क्योंकि एक ओर तो किसी भी हद तक यह है, और दूसरी ओर, वें अंश तक कोई भी संख्या यह है।

यदि घातांक है पूर्णांक ऋणात्मकसंख्या:

(क्योंकि विभाजित करना असंभव है)।

नल के बारे में एक बार और: मामले में अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

• - प्राकृतिक संख्या;
• एक पूर्णांक है;

उदाहरण:

डिग्री गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहाँ से आए? आइए उन्हें साबित करें।

आइए देखें: क्या है और?

परिभाषा से:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाईं ओर, निम्नलिखित उत्पाद प्राप्त होता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक घातांक वाली संख्या की घात है, अर्थात्:

क्यू.ई.डी.

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : .

उदाहरण : व्यंजक को सरल कीजिए।

समाधान : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे नियम में आवश्यक रूप सेएक ही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम डिग्री को आधार के साथ जोड़ते हैं, लेकिन एक अलग कारक बने रहते हैं:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह नियम - केवल शक्तियों के उत्पादों के लिए!

किसी भी हालत में मुझे यह नहीं लिखना चाहिए।

पिछली संपत्ति की तरह, आइए डिग्री की परिभाषा की ओर मुड़ें:

आइए इसे इस तरह पुनर्व्यवस्थित करें:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात परिभाषा के अनुसार, यह संख्या की शक्ति है:

वास्तव में, इसे "इंडिकेटर ब्रैकेटिंग" कहा जा सकता है। लेकिन आप इसे कुल मिलाकर कभी नहीं कर सकते:!

आइए संक्षिप्त गुणन के सूत्रों को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह सच नहीं है, सच में।

एक नकारात्मक आधार के साथ शक्ति।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की है कि क्या होना चाहिए अनुक्रमणिकाडिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? डिग्री में प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

वास्तव में, हम किसी भी संख्या को एक दूसरे से गुणा कर सकते हैं, चाहे वे धनात्मक हों, ऋणात्मक हों या सम हों। आइए विचार करें कि किन चिह्नों (" " या "") में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, क्या संख्या धनात्मक होगी या ऋणात्मक? लेकिन? ?

पहले के साथ, सब कुछ स्पष्ट है: चाहे हम कितनी भी सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा करें, परिणाम सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक वाले थोड़े अधिक दिलचस्प हैं। आखिरकार, हमें 6 वीं कक्षा का एक सरल नियम याद है: "माइनस गुना माइनस एक प्लस देता है।" यानी या। लेकिन अगर हम () से गुणा करते हैं, तो हमें - मिलता है।

और इसी तरह एड इनफिनिटम: प्रत्येक बाद के गुणन के साथ, चिन्ह बदल जाएगा। ऐसा बनाना संभव है सरल नियम:

1. यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
2. एक ऋणात्मक संख्या, में खड़ा किया गया अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
4. किसी भी घात के लिए शून्य शून्य के बराबर होता है।

अपने लिए निर्धारित करें कि निम्नलिखित भावों में कौन सा चिन्ह होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

क्या आप संभाल पाओगे? यहाँ उत्तर हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? हम केवल आधार और घातांक को देखते हैं, और उपयुक्त नियम लागू करते हैं।

उदाहरण 5 में, सब कुछ भी उतना डरावना नहीं है जितना लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार क्या है - डिग्री सम है, जिसका अर्थ है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। ठीक है, सिवाय इसके कि जब आधार शून्य हो। आधार वही नहीं है, है ना? जाहिर है नहीं, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना सरल नहीं है। यहां आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि कौन सा कम है: या? यदि आप इसे याद रखें तो यह स्पष्ट हो जाता है कि, जिसका अर्थ है कि आधार शून्य से कम है। यानी हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर से हम डिग्री की परिभाषा का उपयोग करते हैं:

सब कुछ हमेशा की तरह है - हम डिग्री की परिभाषा लिखते हैं और उन्हें एक दूसरे में विभाजित करते हैं, उन्हें जोड़े में विभाजित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

अंतिम नियम का विश्लेषण करने से पहले, आइए कुछ उदाहरण हल करें।

भावों के मूल्यों की गणना करें:

समाधान :

अगर हम आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? आइए एक नजर डालते हैं सातवीं कक्षा के कार्यक्रम पर। तो, याद है? यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है, अर्थात् वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

हम भाजक को ध्यान से देखते हैं। यह बहुत कुछ अंश कारकों में से एक जैसा दिखता है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों का गलत क्रम। यदि उन्हें उलट दिया जाता, तो नियम 3 लागू किया जा सकता था, लेकिन यह कैसे करें? यह पता चला है कि यह बहुत आसान है: यहां हर की डिग्री भी हमारी मदद करती है।

यदि आप इसे गुणा करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलता है, है ना? लेकिन अब ऐसा दिखता है:

शब्दों ने जादुई रूप से स्थान बदल दिए हैं। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति पर एक समान डिग्री तक लागू होती है: हम कोष्ठक में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदलते हैं!इसे हमारे लिए केवल एक आपत्तिजनक माइनस बदलकर नहीं बदला जा सकता है!

आइए उदाहरण पर वापस जाएं:

और फिर सूत्र:

तो अब आखिरी नियम:

हम इसे कैसे साबित करने जा रहे हैं? बेशक, हमेशा की तरह: आइए डिग्री की अवधारणा का विस्तार करें और सरल करें:

खैर, अब कोष्ठक खोलते हैं। कितने अक्षर होंगे? गुणक द्वारा बार - यह कैसा दिखता है? यह कुछ और नहीं बल्कि एक ऑपरेशन की परिभाषा है गुणा: कुल गुणक निकले। अर्थात्, यह परिभाषा के अनुसार, एक घातांक वाली संख्या की घात है:

उदाहरण:

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम एक अपरिमेय संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल उसी तरह हैं जैसे कि एक परिमेय घातांक के साथ एक डिग्री के लिए, अपवाद के साथ - आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्याएं वे संख्याएं हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और पूर्णांक हैं (अर्थात , अपरिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं)।

एक प्राकृतिक, पूर्णांक और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हर बार हमने एक निश्चित "छवि", "सादृश्य" या अधिक परिचित शब्दों में विवरण बनाया। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक घातांक एक संख्या है जो अपने आप से कई बार गुणा होती है; शून्य डिग्री के लिए एक संख्या है, जैसा कि यह था, एक संख्या को एक बार अपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, जिसका अर्थ है कि संख्या अभी तक प्रकट नहीं हुई है - इसलिए, परिणाम केवल एक है निश्चित "एक संख्या की तैयारी", अर्थात् एक संख्या; एक पूर्णांक नकारात्मक संकेतक के साथ एक डिग्री - ऐसा लगता है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी संख्या को स्वयं से गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

एक अपरिमेय घातांक के साथ एक डिग्री की कल्पना करना बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान की कल्पना करना मुश्किल है)। बल्कि, यह एक विशुद्ध रूप से गणितीय वस्तु है जिसे गणितज्ञों ने एक डिग्री की अवधारणा को संख्याओं के पूरे स्थान तक विस्तारित करने के लिए बनाया है।

वैसे, विज्ञान अक्सर एक जटिल घातांक के साथ एक डिग्री का उपयोग करता है, अर्थात एक घातांक एक वास्तविक संख्या भी नहीं है। लेकिन स्कूल में, हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो अगर हम एक अपरिमेय घातांक देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इससे छुटकारा पाने की पूरी कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने लिए तय करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. वर्ग सूत्र का अंतर याद रखें। उत्तर: ।
2. हम भिन्नों को एक ही रूप में लाते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए: .
3. कुछ खास नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों को लागू करते हैं:

खंड सारांश और बुनियादी सूत्र

डिग्रीप्रपत्र का व्यंजक कहलाता है: , जहाँ:

पूर्णांक घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका घातांक एक प्राकृत संख्या (अर्थात पूर्णांक और धनात्मक) है।

तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री

डिग्री, जिसका सूचक ऋणात्मक और भिन्नात्मक संख्याएँ हैं।

अपरिमेय घातांक के साथ डिग्री

घातांक जिसका घातांक एक अनंत दशमलव अंश या मूल है।

डिग्री गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई यहाँ तक कीडिग्री, - संख्या सकारात्मक.
• ऋणात्मक संख्या तक बढ़ाई गई अजीबडिग्री, - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी घात के लिए एक धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या होती है।
• शून्य किसी भी शक्ति के बराबर है।
• कोई भी संख्या शून्य घात के बराबर होती है।

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भाव, अभिव्यक्ति रूपांतरण

शक्ति अभिव्यक्ति (शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति) और उनका परिवर्तन

इस लेख में, हम भावों को शक्तियों के साथ बदलने के बारे में बात करेंगे। सबसे पहले, हम उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो किसी भी प्रकार के भावों के साथ किए जाते हैं, जिसमें शक्ति अभिव्यक्तियाँ शामिल हैं, जैसे कि कोष्ठक खोलना, समान शब्दों को कम करना। और फिर हम शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों में निहित परिवर्तनों का विश्लेषण करेंगे: आधार और घातांक के साथ काम करना, शक्तियों के गुणों का उपयोग करना, आदि।

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पावर एक्सप्रेशन क्या हैं?

शब्द "शक्ति अभिव्यक्ति" व्यावहारिक रूप से गणित की स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पाया जाता है, लेकिन यह अक्सर कार्यों के संग्रह में प्रकट होता है, विशेष रूप से एकीकृत राज्य परीक्षा और ओजीई के लिए तैयार करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, उदाहरण के लिए,। उन कार्यों का विश्लेषण करने के बाद जिनमें शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ किसी भी क्रिया को करने की आवश्यकता होती है, यह स्पष्ट हो जाता है कि शक्ति अभिव्यक्तियों को उनकी प्रविष्टियों में डिग्री वाले भावों के रूप में समझा जाता है। इसलिए, अपने लिए, आप निम्नलिखित परिभाषा ले सकते हैं:

परिभाषा।

शक्ति अभिव्यक्तिवे अभिव्यक्तियाँ हैं जिनमें शक्तियाँ हैं।

चलो लाते हैं शक्ति अभिव्यक्ति के उदाहरण. इसके अलावा, हम उनका प्रतिनिधित्व इस अनुसार करेंगे कि एक प्राकृतिक संकेतक के साथ एक डिग्री से एक वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री पर विचारों का विकास कैसे होता है।

जैसा कि आप जानते हैं, पहले एक प्राकृतिक घातांक के साथ एक संख्या की डिग्री के साथ एक परिचित होता है, इस स्तर पर 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0, 1) 4 , 3 a 2 −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 आदि।

थोड़ी देर बाद, एक पूर्णांक घातांक वाली संख्या की घात का अध्ययन किया जाता है, जो ऋणात्मक पूर्णांक घातों के साथ घात व्यंजकों की उपस्थिति की ओर ले जाती है, जैसे कि: 3 −2, , a −2 +2 b −3 + c 2 ।

वरिष्ठ कक्षाओं में, वे फिर से डिग्रियों में लौट आते हैं। वहां, एक तर्कसंगत घातांक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो संबंधित शक्ति अभिव्यक्तियों की उपस्थिति की ओर ले जाती है: , , आदि। अंत में, अपरिमेय घातांकों वाली डिग्रियों और उनमें समाविष्ट व्यंजकों पर विचार किया जाता है: , .

मामला सूचीबद्ध शक्ति अभिव्यक्तियों तक सीमित नहीं है: आगे चर घातांक में प्रवेश करता है, और उदाहरण के लिए, ऐसे भाव 2 x 2 +1 या हैं . और परिचित होने के बाद, घातों और लघुगणक वाले व्यंजक प्रकट होने लगते हैं, उदाहरण के लिए, x 2 lgx −5 x lgx।

इसलिए, हमने इस प्रश्न का पता लगाया कि शक्ति के भाव क्या हैं। इसके बाद, हम सीखेंगे कि उन्हें कैसे बदलना है।

शक्ति अभिव्यक्तियों के मुख्य प्रकार के परिवर्तन

शक्ति अभिव्यक्तियों के साथ, आप अभिव्यक्तियों के किसी भी मूल पहचान परिवर्तन को निष्पादित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आप कोष्ठक खोल सकते हैं, प्रतिस्थापित कर सकते हैं संख्यात्मक भावउनके मूल्य, समान पद, आदि लाते हैं। स्वाभाविक रूप से, इस मामले में कार्रवाई करने के लिए स्वीकृत प्रक्रिया का पालन करना आवश्यक है। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण।

घात व्यंजक 2 3 ·(4 2 −12) के मान की गणना करें।

समाधान।

क्रियाओं के क्रम के अनुसार, हम पहले क्रियाओं को कोष्ठक में करते हैं। वहां, सबसे पहले, हम 4 2 की शक्ति को इसके मान 16 से बदलते हैं (यदि आवश्यक हो तो देखें), और दूसरी बात, हम अंतर की गणना करते हैं 16−12=4 । हमारे पास है 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

परिणामी व्यंजक में, हम 2 3 की घात को इसके मान 8 से प्रतिस्थापित करते हैं, जिसके बाद हम गुणनफल 8·4=32 की गणना करते हैं। यह वांछित मूल्य है।

इसलिए, 2 3 (4 2 -12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

उत्तर:

2 3 (4 2 -12)=32।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.

समाधान।

जाहिर है, इस व्यंजक में समान पद 3 · a 4 · b - 7 और 2 · a 4 · b - 7 हैं, और हम उन्हें कम कर सकते हैं: ।

उत्तर:

3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.

उदाहरण।

एक उत्पाद के रूप में शक्तियों के साथ एक अभिव्यक्ति व्यक्त करें।

समाधान।

कार्य से निपटने के लिए संख्या 9 को 3 2 की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करने और संक्षिप्त गुणन सूत्र के बाद के उपयोग, वर्गों के अंतर की अनुमति देता है:

उत्तर:

शक्ति अभिव्यक्तियों में निहित कई समान परिवर्तन भी हैं। अगला, हम उनका विश्लेषण करेंगे।

आधार और घातांक के साथ कार्य करना

कुछ अंश ऐसे होते हैं जिनके आधार और/या संकेतक केवल संख्या या चर नहीं होते, बल्कि कुछ भाव होते हैं। उदाहरण के तौर पर, आइए (2+0.3 7) 5−3.7 और (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) लिखें।

इस तरह के भावों के साथ काम करते समय, डिग्री के आधार में अभिव्यक्ति और संकेतक में अभिव्यक्ति दोनों को इसके चर के डीपीवी पर समान रूप से समान अभिव्यक्ति के साथ बदलना संभव है। दूसरे शब्दों में, हमें ज्ञात नियमों के अनुसार, हम डिग्री के आधार को अलग से और अलग से - सूचक को परिवर्तित कर सकते हैं। यह स्पष्ट है कि इस परिवर्तन के परिणामस्वरूप, एक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है जो मूल रूप से समान रूप से समान होती है।

इस तरह के परिवर्तन हमें शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाने या अन्य लक्ष्यों को प्राप्त करने की अनुमति देते हैं जिनकी हमें आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित घात व्यंजक (2+0.3 7) 5−3.7 में, आप आधार और घातांक में संख्याओं के साथ संक्रियाएँ कर सकते हैं, जो आपको 4.1 1.3 की घात तक जाने की अनुमति देगा। और कोष्ठकों को खोलने और डिग्री के आधार में समान पदों को लाने के बाद (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) हमें एक सरल रूप a 2·(x+1) का घातांक व्यंजक प्राप्त होता है ) .

शक्ति गुणों का उपयोग करना

अभिव्यक्तियों को शक्तियों के साथ बदलने के लिए मुख्य उपकरणों में से एक समानताएं हैं जो प्रतिबिंबित करती हैं। आइए मुख्य लोगों को याद करें। किसी भी सकारात्मक संख्या ए और बी और मनमानी वास्तविक संख्या आर और एस के लिए, निम्नलिखित शक्ति गुण धारण करते हैं:

• a r a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (ए बी) आर = ए आर बी आर;
• (ए: बी) आर = ए आर: बी आर;
• (ए आर) एस = ए आर एस।

ध्यान दें कि प्राकृतिक, पूर्णांक और सकारात्मक घातांक के लिए, संख्या a और b पर प्रतिबंध इतने सख्त नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं m और n के लिए, समानता a m ·a n =a m+n न केवल सकारात्मक a के लिए, बल्कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए भी, और a=0 के लिए भी सत्य है।

स्कूल में, शक्ति अभिव्यक्तियों के परिवर्तन में मुख्य रूप से चुनने की क्षमता पर ध्यान केंद्रित किया जाता है उपयुक्त संपत्तिऔर इसे सही तरीके से लागू करें। इस मामले में, डिग्री के आधार आमतौर पर सकारात्मक होते हैं, जो आपको बिना किसी प्रतिबंध के डिग्री के गुणों का उपयोग करने की अनुमति देता है। डिग्री के आधार में चर वाले भावों के परिवर्तन पर भी यही लागू होता है - चर के अनुमेय मूल्यों का क्षेत्र आमतौर पर ऐसा होता है कि उस पर केवल आधार ही लेते हैं सकारात्मक मूल्य, जो आपको डिग्री के गुणों का स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की अनुमति देता है। सामान्य तौर पर, आपको अपने आप से लगातार यह पूछने की ज़रूरत है कि क्या इस मामले में डिग्री की किसी भी संपत्ति को लागू करना संभव है, क्योंकि गुणों के गलत उपयोग से ओडीजेड और अन्य परेशानियों का संकुचन हो सकता है। इन बिंदुओं पर विस्तार से चर्चा की गई है और उदाहरण के साथ डिग्री के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति के परिवर्तन के लेख में। यहां हम खुद को कुछ सरल उदाहरणों तक सीमित रखते हैं।

उदाहरण।

व्यंजक a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 को आधार a के साथ घात के रूप में व्यक्त करें।

समाधान।

सबसे पहले, हम दूसरे कारक (ए 2) -3 को एक शक्ति को शक्ति में बढ़ाने की संपत्ति से बदलते हैं: (a 2) −3 =a 2 (−3) =a −6. इस मामले में, प्रारंभिक शक्ति अभिव्यक्ति 2.5 ·a −6:a −5.5 का रूप लेगी। जाहिर है, यह एक ही आधार के साथ गुणा और शक्तियों के विभाजन के गुणों का उपयोग करने के लिए बनी हुई है, हमारे पास है
ए 2.5 ए -6: ए -5.5 =
एक 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a −3.5−(−5.5) =a 2 ।

उत्तर:

ए 2.5 (ए 2) -3: ए -5.5 \u003d ए 2.

पावर एक्सप्रेशन को बाएँ से दाएँ और दाएँ से बाएँ दोनों में बदलते समय शक्ति गुणों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण।

घात व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए।

समाधान।

समानता (a·b) r =a r ·b r , जिसे दाएं से बाएं लागू किया जाता है, आपको मूल व्यंजक से प्रपत्र के गुणनफल तक और आगे जाने की अनुमति देता है। और जब एक ही आधार के साथ शक्तियों को गुणा करते हैं, तो संकेतक जोड़ते हैं: .

मूल अभिव्यक्ति के परिवर्तन को दूसरे तरीके से करना संभव था:

उत्तर:

.

उदाहरण।

1.5 −a 0.5 −6 घात व्यंजक को देखते हुए, एक नया चर t=a 0.5 दर्ज करें।

समाधान।

डिग्री a 1.5 को 0.5 3 के रूप में दर्शाया जा सकता है और आगे डिग्री (a r) s =a r s में डिग्री की संपत्ति के आधार पर दाएं से बाएं लागू किया जा सकता है, इसे फॉर्म (a 0.5) 3 में परिवर्तित करें। इस तरह, ए 1.5 -ए 0.5 -6=(ए 0.5) 3 -ए 0.5 -6. अब एक नया चर t=a 0.5 पेश करना आसान है, हमें t 3 −t−6 मिलता है।

उत्तर:

टी 3 −टी−6 .

घातांक वाले भिन्नों को परिवर्तित करना

पावर एक्सप्रेशन में घात वाले भिन्न हो सकते हैं या ऐसे भिन्नों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। किसी भी प्रकार के भिन्नों में निहित मूल भिन्न रूपांतरणों में से कोई भी ऐसे भिन्नों पर पूरी तरह से लागू होता है। अर्थात्, अंशों में अंशों को कम किया जा सकता है, एक नए हर में घटाया जा सकता है, उनके अंश के साथ अलग से और हर के साथ अलग से काम किया जा सकता है, आदि। उपरोक्त शब्दों को स्पष्ट करने के लिए, कई उदाहरणों के हलों पर विचार करें।

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

समाधान।

यह शक्ति अभिव्यक्ति एक अंश है। आइए इसके अंश और हर के साथ काम करें। अंश में, हम कोष्ठक खोलते हैं और उसके बाद प्राप्त व्यंजक को घातों के गुणों का उपयोग करके सरल करते हैं, और हर में हम समान शब्द प्रस्तुत करते हैं:

और हम भिन्न के सामने माइनस लगाकर हर का चिन्ह भी बदलते हैं: .

उत्तर:

.

एक नए हर के लिए शक्तियों वाले अंशों को कम करना उसी तरह किया जाता है जैसे तर्कसंगत अंशों को एक नए हर में कम करना। साथ ही, एक अतिरिक्त गुणनखंड भी मिलता है और भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा किया जाता है। यह क्रिया करते समय, यह याद रखने योग्य है कि एक नए हर में कमी करने से DPV का संकुचन हो सकता है। ऐसा होने से रोकने के लिए, यह आवश्यक है कि मूल अभिव्यक्ति के लिए ODZ चर से चर के किसी भी मान के लिए अतिरिक्त कारक गायब न हो।

उदाहरण।

भिन्नों को एक नए हर में लाएँ: a) हर a, b) भाजक को।

समाधान।

ए) इस मामले में, यह पता लगाना काफी आसान है कि वांछित परिणाम प्राप्त करने में कौन सा अतिरिक्त कारक मदद करता है। यह 0.7 a 0.3 = a 0.7+0.3 = a के बाद से एक गुणक 0.3 है। ध्यान दें कि चर के स्वीकार्य मानों की श्रेणी में (यह सभी सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है), डिग्री 0.3 गायब नहीं होती है, इसलिए, हमें दिए गए अंश के अंश और हर को गुणा करने का अधिकार है इस अतिरिक्त कारक द्वारा:

ख) हर को अधिक बारीकी से देखने पर, हम पाते हैं कि

और इस व्यंजक को इससे गुणा करने पर घनों का योग मिलेगा और , अर्थात् , । और यह नया हर है जिसमें हमें मूल भिन्न लाने की आवश्यकता है।

तो हमें एक अतिरिक्त कारक मिला। चर x और y के स्वीकार्य मानों की सीमा पर व्यंजक लुप्त नहीं होता है, इसलिए, हम भिन्न के अंश और हर को इससे गुणा कर सकते हैं:

उत्तर:

एक) , बी) .

अंशों वाले अंशों की कमी में भी कोई नई बात नहीं है: अंश और हर को एक निश्चित संख्या में कारकों के रूप में दर्शाया जाता है, और अंश और हर के समान कारक कम हो जाते हैं।

उदाहरण।

अंश कम करें: ए) , बी)।

समाधान।

क) सबसे पहले, अंश और हर को संख्या 30 और 45 से घटाया जा सकता है, जो कि 15 के बराबर है। साथ ही, जाहिर है, आप x 0.5 +1 और by . तक कम कर सकते हैं . यहाँ हमारे पास क्या है:

बी) इस मामले में, अंश और हर में समान कारक तुरंत दिखाई नहीं देते हैं। उन्हें प्राप्त करने के लिए, आपको प्रारंभिक परिवर्तन करने होंगे। इस मामले में, वे वर्ग सूत्र के अंतर के अनुसार भाजक को कारकों में विघटित करते हैं:

उत्तर:

एक)

बी) .

भिन्नों को एक नए हर में कम करना और भिन्नों को कम करना मुख्य रूप से भिन्नों पर संचालन करने के लिए उपयोग किया जाता है। ज्ञात नियमों के अनुसार क्रियाएं की जाती हैं। अंशों को जोड़ते (घटाना) करते समय, वे एक सामान्य हर में कम हो जाते हैं, जिसके बाद अंश जोड़े (घटाए) जाते हैं, और हर समान रहता है। परिणाम एक अंश है जिसका अंश अंशों का गुणनफल है, और हर हर का गुणनफल है। भिन्न से भाग उसके व्युत्क्रम से गुणा है।

उदाहरण।

चरणों का पालन करें .

समाधान।

सबसे पहले, हम अंशों को कोष्ठक में घटाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम उन्हें एक सामान्य भाजक के पास लाते हैं, जो है , फिर अंशों को घटाएं:

अब हम भिन्नों को गुणा करते हैं:

जाहिर है, शक्ति x 1/2 से कमी संभव है, जिसके बाद हमारे पास है .

आप वर्ग अंतर के सूत्र का उपयोग करके हर में घात व्यंजक को भी सरल बना सकते हैं: .

उत्तर:

उदाहरण।

पावर एक्सप्रेशन को सरल बनाएं .

समाधान।

जाहिर है, इस भिन्न को (x 2.7 +1) 2 से घटाया जा सकता है, इससे भिन्न मिलता है . यह स्पष्ट है कि x की शक्तियों के साथ कुछ और करने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, हम परिणामी अंश को एक उत्पाद में परिवर्तित करते हैं। यह हमें समान आधारों के साथ शक्तियों को विभाजित करने की संपत्ति का उपयोग करने का अवसर देता है: . और प्रक्रिया के अंत में, हम अंतिम उत्पाद से भिन्न तक जाते हैं।

उत्तर:

.

और हम जोड़ते हैं कि यह संभव है और कई मामलों में घातांक के चिह्न को बदलकर अंश से हर या हर से अंश में ऋणात्मक घातांक वाले कारकों को स्थानांतरित करना वांछनीय है। इस तरह के परिवर्तन अक्सर आगे की कार्रवाइयों को सरल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, एक शक्ति अभिव्यक्ति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

भावों को जड़ों और शक्तियों के साथ परिवर्तित करना

अक्सर उन अभिव्यक्तियों में जिनमें कुछ परिवर्तनों की आवश्यकता होती है, भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री के साथ, जड़ें भी होती हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति को वांछित रूप में बदलने के लिए, ज्यादातर मामलों में यह केवल जड़ों तक या केवल शक्तियों तक जाने के लिए पर्याप्त है। लेकिन चूंकि डिग्री के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक है, वे आमतौर पर जड़ों से डिग्री तक जाते हैं। हालांकि, इस तरह के एक संक्रमण को अंजाम देने की सलाह दी जाती है जब मूल अभिव्यक्ति के लिए चर के ओडीजेड आपको मॉड्यूल तक पहुंचने या ओडीजेड को कई अंतरालों में विभाजित करने की आवश्यकता के बिना जड़ों को डिग्री से बदलने की अनुमति देता है (हमने इस पर विस्तार से चर्चा की है लेख, जड़ों से शक्तियों में संक्रमण और इसके विपरीत एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री से परिचित होने के बाद एक तर्कहीन संकेतक के साथ एक डिग्री पेश की जाती है, जो एक मनमानी वास्तविक संकेतक के साथ एक डिग्री की बात करना संभव बनाता है। इस स्तर पर, स्कूल पढ़ना शुरू करता है घातांक प्रकार्य, जो विश्लेषणात्मक रूप से डिग्री द्वारा दिया जाता है, जिसके आधार पर एक संख्या होती है, और संकेतक में - एक चर। इसलिए हमें डिग्री के आधार में संख्याओं वाले घातीय अभिव्यक्तियों का सामना करना पड़ता है, और एक्सपोनेंट में - चर के साथ अभिव्यक्ति, और स्वाभाविक रूप से ऐसे अभिव्यक्तियों के परिवर्तन करने की आवश्यकता उत्पन्न होती है।

यह कहा जाना चाहिए कि संकेतित प्रकार के भावों का परिवर्तन आमतौर पर हल करते समय करना पड़ता है घातीय समीकरणतथा घातीय असमानताएँ, और ये परिवर्तन काफी सरल हैं। अधिकांश मामलों में, वे डिग्री के गुणों पर आधारित होते हैं और ज्यादातर भविष्य में एक नए चर को पेश करने के उद्देश्य से होते हैं। समीकरण हमें उन्हें प्रदर्शित करने की अनुमति देगा 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

सबसे पहले, घातांक, जिनके घातांक में कुछ चर (या चर के साथ व्यंजक) और एक संख्या का योग पाया जाता है, को उत्पादों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह बाईं ओर के व्यंजक के पहले और अंतिम पदों पर लागू होता है:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x -2 7 2 x =0.

इसके बाद, समानता के दोनों हिस्सों को अभिव्यक्ति 7 2 x से विभाजित किया जाता है, जो मूल समीकरण के लिए चर x के ODZ पर केवल सकारात्मक मान लेता है (यह इस तरह के समीकरणों को हल करने के लिए एक मानक तकनीक है, हम नहीं हैं इसके बारे में अभी बात कर रहे हैं, इसलिए शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों के बाद के परिवर्तनों पर ध्यान दें):

अब घातांक वाले भिन्नों को रद्द कर दिया जाता है, जो देता है .

अंत में, समान घातांक वाली घातों के अनुपात को अनुपातों की घातों से बदल दिया जाता है, जो समीकरण की ओर ले जाता है , जो के बराबर है . किए गए परिवर्तन हमें एक नया चर पेश करने की अनुमति देते हैं, जो मूल घातीय समीकरण के समाधान को द्विघात समीकरण के समाधान तक कम कर देता है

आई. वी. बोइकोव, एल.डी. रोमानोवापरीक्षा की तैयारी के लिए कार्यों का संग्रह। भाग 1. पेन्ज़ा 2003।

जाहिर है, शक्तियों वाली संख्याओं को अन्य मात्राओं की तरह जोड़ा जा सकता है , उन्हें एक-एक करके उनके चिन्हों के साथ जोड़कर.

अत: a 3 और b 2 का योग a 3 + b 2 है।
a 3 - b n और h 5 -d 4 का योग a 3 - b n + h 5 - d 4 है।

कठिनाइयाँ समान चर की समान शक्तियांजोड़ा या घटाया जा सकता है।

तो, 2a 2 और 3a 2 का योग 5a 2 है।

यह भी स्पष्ट है कि यदि हम दो वर्ग a, या तीन वर्ग a, या पाँच वर्ग a लेते हैं।

लेकिन डिग्री विभिन्न चरतथा विभिन्न डिग्री समान चर, उन्हें उनके चिन्हों में जोड़कर जोड़ा जाना चाहिए।

अत: a 2 और a 3 का योग a 2 + a 3 का योग होता है।

यह स्पष्ट है कि a का वर्ग और a का घन, न तो a के वर्ग का दोगुना है, बल्कि a के घन का दोगुना है।

a 3 b n और 3a 5 b 6 का योग a 3 b n + 3a 5 b 6 है।

घटावशक्तियों को जोड़ के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि सबट्रेंड के संकेतों को तदनुसार बदला जाना चाहिए।

या:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3एच 2 बी 6 - 4एच 2 बी 6 = -एच 2 बी 6
5 (ए - एच) 6 - 2 (ए - एच) 6 = 3 (ए - एच) 6

शक्ति गुणन

घातों वाली संख्याओं को उनके बीच गुणन चिह्न के साथ या उसके बिना एक के बाद एक लिखकर अन्य राशियों की तरह गुणा किया जा सकता है।

तो, a 3 को b 2 से गुणा करने का परिणाम a 3 b 2 या aaabb है।

या:
एक्स -3 ए एम = ए एम एक्स -3
3a 6 y 2 (-2x) = -6a 6 xy 2
ए 2 बी 3 वाई 2 ⋅ ए 3 बी 2 वाई = ए 2 बी 3 वाई 2 ए 3 बी 2 वाई

अंतिम उदाहरण में परिणाम समान चर जोड़कर आदेश दिया जा सकता है।
व्यंजक रूप लेगा: a 5 b 5 y 3 ।

कई संख्याओं (चर) की घातों से तुलना करके, हम देख सकते हैं कि यदि उनमें से किन्हीं दो को गुणा किया जाता है, तो परिणाम एक संख्या (चर) होता है जिसकी घात बराबर होती है जोड़शर्तों की डिग्री।

तो, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 ।

यहाँ 5 गुणन के परिणाम की घात है, 2 + 3 के बराबर, पदों की घातों का योग।

तो, a n .a m = a m+n ।

a n के लिए, a को n की घात जितनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है;

और a m को उतनी बार गुणनखंड के रूप में लिया जाता है, जितनी बार घात m के बराबर होता है;

इसीलिए, समान आधार वाली घातों को घातांक जोड़कर गुणा किया जा सकता है।

तो, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 । और x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6।

या:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
बी 2 वाई 3 ⋅ बी 4 वाई = बी 6 वाई 4
(बी + एच - वाई) एन ⋅ (बी + एच - वाई) = (बी + एच - वाई) एन + 1

गुणा करें (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y)।
उत्तर: x 4 - y 4।
गुणा करें (x 3 + x - 5) (2x 3 + x + 1)।

यह नियम उन संख्याओं के लिए भी सत्य है जिनके घातांक हैं - नकारात्मक.

1. तो, a -2 .a -3 = a -5 । इसे (1/आ) के रूप में लिखा जा सकता है। (1/आआ) = 1/आआ।

2. y-n .y-m = y-n-m ।

3. ए -एन .ए एम = ए एम-एन।

यदि a + b को a - b से गुणा किया जाता है, तो परिणाम a 2 - b 2 होगा, अर्थात

दो संख्याओं के योग या अंतर को गुणा करने का परिणाम उनके वर्गों के योग या अंतर के बराबर होता है।

यदि दो संख्याओं का योग और अंतर बढ़ा दिया जाए वर्ग, परिणाम इन संख्याओं के योग या अंतर के बराबर होगा चौथीडिग्री।

तो, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2 ।
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4 ।
(ए 4 - वाई 4)⋅(ए 4 + वाई 4) = ए 8 - वाई 8।

शक्तियों का विभाजन

घातों वाली संख्याओं को भाजक से घटाकर या भिन्न के रूप में रखकर अन्य संख्याओं की तरह विभाजित किया जा सकता है।

तो a 3 b 2 को b 2 से भाग देने पर a 3 होता है।

या:
$\frac(9a^3y^4)(-3a^3) = -3y^4$
$\frac(a^2b + 3a^2)(a^2) = \frac(a^2(b+3))(a^2) = b + 3$
$\frac(d\cdot (a - h + y)^3)((a - h + y)^3) = d$

5 को 3 से विभाजित करना $\frac(a^5)(a^3)$ जैसा दिखता है। लेकिन यह 2 के बराबर है। संख्याओं की एक श्रृंखला में
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 ।
किसी भी संख्या को दूसरे से विभाजित किया जा सकता है, और घातांक बराबर होगा अंतरविभाज्य संख्याओं के संकेतक।

एक ही आधार के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, उनके घातांक घटाए जाते हैं।.

तो, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1 । यानी $\frac(yyy)(yy) = y$।

और a n+1:a = a n+1-1 = a n । यानी, $\frac(aa^n)(a) = a^n$।

या:
y2m: ym = ym
8a n+m: 4a m = 2a n
12 (बी + वाई) एन: 3 (बी + वाई) 3 = 4 (बी + वाई) एन -3

नियम संख्याओं के लिए भी मान्य है नकारात्मकडिग्री मान।
-5 को -3 से विभाजित करने का परिणाम एक -2 है।
साथ ही, $\frac(1)(aaaaa) : \frac(1)(aaa) = \frac(1)(aaaaa).\frac(aaa)(1) = \frac(aaa)(aaaaa) = \frac (1) (एए) $।

एच 2: एच -1 = एच 2+1 = एच 3 या $ एच ^ 2: \ फ्रैक (1) (एच) = एच ^ 2। \ फ्रैक (एच) (1) = एच ^ 3 $

शक्तियों के गुणन और विभाजन में बहुत अच्छी तरह से महारत हासिल करना आवश्यक है, क्योंकि इस तरह के ऑपरेशन बीजगणित में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं।

घातांक वाली संख्याओं वाले भिन्नों वाले उदाहरणों को हल करने के उदाहरण

1. घातांक को $\frac(5a^4)(3a^2)$ में कम करें उत्तर: $\frac(5a^2)(3)$।

2. घातांक को $\frac(6x^6)(3x^5)$ में घटाएं। उत्तर: $\frac(2x)(1)$ या 2x।

3. घातांक a 2 / a 3 और a -3 / a -4 घटाएं और एक सामान्य हर में लाएं।
a 2 .a -4 एक -2 प्रथम अंश है।
a 3 .a -3 एक 0 = 1 है, दूसरा अंश।
a 3 .a -4 एक -1 है, जो सामान्य अंश है।
सरलीकरण के बाद: a -2 /a -1 और 1/a -1 ।

4. घातांक 2a 4/5a 3 और 2/a 4 को घटाकर एक उभयनिष्ठ हर पर लाएँ।
उत्तर: 2a 3/5a 7 और 5a 5/5a 7 या 2a 3/5a 2 और 5/5a 2.

5. (a 3 + b)/b 4 को (a - b)/3 से गुणा करें।

6. (a 5 + 1)/x 2 को (b 2 - 1)/(x + a) से गुणा करें।

7. b 4 /a -2 को h -3 /x और a n /y -3 से गुणा करें।

8. 4 /y 3 को 3 /y 2 से भाग दें। उत्तर: ए / वाई।

9. (h 3 - 1)/d 4 को (d n + 1)/h से भाग दें।