बीजगणित ग्रेड 11

विषय: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके"

पाठ मकसद:

शैक्षिक: के बारे में ज्ञान निर्माण विभिन्न तरीकेलॉगरिदमिक समीकरणों को हल करना, प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में उन्हें लागू करने की क्षमता और हल करने के लिए किसी भी विधि का चयन करना;

विकसित होना: एक नई स्थिति में ज्ञान का निरीक्षण करने, तुलना करने, लागू करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास; आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल का गठन;

शैक्षिक: शैक्षिक कार्य के लिए एक जिम्मेदार रवैये की शिक्षा, पाठ में सामग्री की सावधानीपूर्वक धारणा, रिकॉर्ड रखने की सटीकता।

पाठ प्रकार : नई सामग्री से परिचित होने का पाठ।

"खगोलविद के काम को छोटा करके लघुगणक के आविष्कार ने उनके जीवन को लंबा कर दिया है।"
फ्रांसीसी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री पी.एस. लाप्लास

कक्षाओं के दौरान

I. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना

लॉगरिदम की अध्ययन की गई परिभाषा, लॉगरिदम के गुण और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन हमें हल करने की अनुमति देंगे लघुगणक समीकरण. सभी लघुगणक समीकरण, चाहे वे कितने भी जटिल क्यों न हों, समान एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किए जाते हैं। हम आज पाठ में इन एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। उनमें से कुछ हैं। यदि आप उनमें महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप में से प्रत्येक के लिए लघुगणक के साथ कोई भी समीकरण संभव होगा।

अपनी नोटबुक में पाठ का विषय लिखें: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके।" मैं सभी को सहयोग के लिए आमंत्रित करता हूं।

द्वितीय. बुनियादी ज्ञान का अद्यतन

आइए पाठ के विषय का अध्ययन करने के लिए तैयार हो जाएं। आप प्रत्येक कार्य को हल करते हैं और उत्तर लिखते हैं, आप शर्त नहीं लिख सकते। जोड़े में काम।

1) x के किन मूल्यों के लिए फ़ंक्शन समझ में आता है:

एक)

बी)

में)

इ)

(प्रत्येक स्लाइड के लिए उत्तरों की जाँच की जाती है और त्रुटियों को सुलझाया जाता है)

2) क्या फ़ंक्शन ग्राफ़ मेल खाते हैं?

ए) वाई = एक्स और

बी)तथा

3) समानता को लघुगणकीय समानता के रूप में फिर से लिखें:

4) संख्याओं को आधार 2 के साथ लघुगणक के रूप में लिखें:

4 =

2 =

0,5 =

1 =

5) गणना करें :

6) इन समानताओं में लापता तत्वों को पुनर्स्थापित करने या पूरा करने का प्रयास करें।

III. नई सामग्री का परिचय

बयान स्क्रीन पर दिखाया गया है:

"समीकरण वह सुनहरी कुंजी है जो सभी गणितीय तिलों को खोलती है।"
आधुनिक पोलिश गणितज्ञ एस. कोवल

एक लघुगणकीय समीकरण की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें। (एक समीकरण जिसमें लघुगणक के चिह्न के तहत अज्ञात होता है ).

विचार करनासबसे सरल लघुगणक समीकरण: लकड़ी का लट्ठा एक एक्स = बी (जहां ए> 0, ए 1)। चूंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन सेट पर बढ़ रहा है (या घट रहा है) सकारात्मक संख्याऔर सभी वास्तविक मान लेता है, फिर मूल प्रमेय द्वारा यह अनुसरण करता है कि किसी भी बी के लिए, इस समीकरण में, और इसके अलावा, केवल एक समाधान है, और इसके अलावा, एक सकारात्मक है।

लघुगणक की परिभाषा याद रखें। (संख्या x से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिस पर संख्या x प्राप्त करने के लिए आधार a को ऊपर उठाया जाना चाहिए ) यह लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है किएक में ऐसा समाधान है।

शीर्षक लिखें:लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके

1. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार .

इस प्रकार फॉर्म के सबसे सरल समीकरण हैं.

विचार करनासंख्या 514 (ए ): प्रश्न हल करें

आप इसे कैसे हल करने का प्रस्ताव करते हैं? (लघुगणक की परिभाषा के अनुसार )

समाधान . , इसलिए 2x - 4 = 4; एक्स = 4.

उत्तर - 4।

इस कार्य में, 2x - 4 > 0, चूँकि> 0, इसलिए कोई बाहरी जड़ें दिखाई नहीं दे सकतीं, औरसत्यापन आवश्यक नहीं है . इस कार्य में शर्त 2x - 4> 0 लिखना आवश्यक नहीं है।

2. क्षमता (दिए गए व्यंजक के लघुगणक से इस व्यंजक में ही संक्रमण)।

विचार करनासंख्या 519 (जी): लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स 2 +8)- लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स+1)=3 लकड़ी का लट्ठा 5 2

आपने किस विशेषता पर ध्यान दिया?(आधार समान हैं और दोनों व्यंजकों के लघुगणक समान हैं) . क्या किया जा सकता है?(शक्तिशाली)।

इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कोई भी समाधान सभी x के बीच निहित है जिसके लिए लॉगरिदम अभिव्यक्ति सकारात्मक हैं।

समाधान: ओडीजेड:

एक्स 2 +8>0 अतिरिक्त असमानता

लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स 2 +8) = लकड़ी का लट्ठा 5 2 3 + लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स+1)

लकड़ी का लट्ठा 5 ( एक्स 2 +8)= लकड़ी का लट्ठा 5 (8 एक्स+8)

मूल समीकरण को प्रबल कीजिए

एक्स 2 +8= 8 एक्स+8

हमें समीकरण मिलता हैएक्स 2 +8= 8 एक्स+8

आइए इसे हल करें:एक्स 2 -8 एक्स=0

एक्स = 0, एक्स = 8

उत्तर: 0; आठ

सामान्य रूप मेंएक समान प्रणाली के लिए संक्रमण :

समीकरण

(सिस्टम में एक बेमानी शर्त है - असमानताओं में से एक को अनदेखा किया जा सकता है)।

कक्षा के लिए प्रश्न : आपको इन तीनों में से कौन सा समाधान सबसे ज्यादा पसंद आया? (विधियों की चर्चा)।

आपको किसी भी तरह से निर्णय लेने का अधिकार है।

3. एक नए चर का परिचय .

विचार करनानंबर 520 (जी) . .

आपने क्या नोटिस किया? (यह द्विघात समीकरण log3x के सापेक्ष) आपके सुझाव? (नए चर का परिचय दें)

समाधान . ओडीजेड: एक्स> 0।

होने देना, तो समीकरण रूप लेगा:. विभेदक डी > 0. वियत के प्रमेय द्वारा जड़ें:.

प्रतिस्थापन पर वापस:या.

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

; .

उत्तर : 27;

4. समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक।

प्रश्न हल करें:.

समाधान : ODZ: x>0, हम आधार 10 में समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लेते हैं:

. डिग्री के लघुगणक की संपत्ति लागू करें:

(एलजीएक्स + 3) एलजीएक्स =

(एलजीएक्स + 3) एलजीएक्स = 4

माना lgx = y, तब (y + 3)y = 4

, (डी > 0) वियत प्रमेय के अनुसार जड़ें: y1 = -4 और y2 = 1।

आइए प्रतिस्थापन पर वापस जाएं, हमें मिलता है: lgx = -4,; लॉगएक्स = 1,. . यह इस प्रकार है: यदि कार्यों में से एक वाई = एफ (एक्स) बढ़ता है और अन्य वाई = जी (एक्स) अंतराल X पर घटता है, तो समीकरण एफ (एक्स) = जी (एक्स) अंतराल X . पर अधिकतम एक जड़ होती है .

यदि कोई जड़ है, तो इसका अनुमान लगाया जा सकता है। .

उत्तर : 2

"विधियों का सही अनुप्रयोग सीखा जा सकता है,
केवल उन्हें विभिन्न उदाहरणों पर लागू करके।
गणित के डेनिश इतिहासकार जी. जी. ज़ितेन

मैं वी गृहकार्य

पी। 39 उदाहरण 3 पर विचार करें, नंबर 514 (बी), नंबर 529 (बी), नंबर 520 (बी), नंबर 523 (बी) को हल करें।

V. पाठ को सारांशित करना

पाठ में हमने लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की किन विधियों पर विचार किया?

अगले पाठों में, हम अधिक जटिल समीकरणों को देखेंगे। उन्हें हल करने के लिए, अध्ययन की गई विधियाँ उपयोगी हैं।

आखिरी स्लाइड दिखा रहा है:

"दुनिया में किसी भी चीज़ से बढ़कर क्या है?
अंतरिक्ष।
सबसे बुद्धिमान क्या है?
समय।
सबसे सुखद क्या है?
आप जो चाहते हैं उसे हासिल करें।"
थेल्स

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लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने पर पाठों की एक लंबी श्रृंखला के अंतिम वीडियो। इस बार हम मुख्य रूप से लॉगरिदम ओडीजेड के साथ काम करेंगे - यह परिभाषा के क्षेत्र के गलत लेखांकन (या यहां तक ​​​​कि अनदेखी) के कारण है कि ऐसी समस्याओं को हल करते समय अधिकांश त्रुटियां होती हैं।

इस लघु वीडियो ट्यूटोरियल में, हम लघुगणक के लिए जोड़ और घटाव फ़ार्मुलों के अनुप्रयोग का विश्लेषण करेंगे, साथ ही भिन्नात्मक तर्कसंगत समीकरणों से निपटेंगे, जिससे कई छात्रों को समस्या भी होती है।

क्या चर्चा की जाएगी? मैं जिस मुख्य सूत्र से निपटना चाहता हूं वह इस तरह दिखता है:

लॉग ए (एफ जी) = लॉग ए एफ + लॉग ए जी

यह उत्पाद से लघुगणक के योग और इसके विपरीत मानक संक्रमण है। आप शायद इस सूत्र को लघुगणक के अध्ययन की शुरुआत से ही जानते हैं। हालाँकि, यहाँ एक अड़चन है।

जब तक चर a , f और g सामान्य संख्याएँ हैं, तब तक कोई समस्या नहीं है। यह सूत्र बहुत अच्छा काम करता है।

हालाँकि, जैसे ही f और g के बजाय फ़ंक्शन दिखाई देते हैं, परिभाषा के क्षेत्र के विस्तार या संकुचन की समस्या उत्पन्न होती है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि किस तरह से परिवर्तित किया जाए। अपने लिए जज करें: बाईं ओर लिखे लघुगणक में, परिभाषा का क्षेत्र इस प्रकार है:

एफजी> 0

लेकिन दाईं ओर लिखे योग में, परिभाषा का क्षेत्र पहले से ही कुछ अलग है:

च > 0

जी > 0

आवश्यकताओं का यह सेट मूल की तुलना में अधिक कठोर है। पहले मामले में, हम विकल्प f . से संतुष्ट होंगे< 0, g < 0 (ведь их произведение положительное, поэтому неравенство fg >0 निष्पादित किया जा रहा है)।

इस प्रकार, बाएं निर्माण से दाएं निर्माण में जाने पर, परिभाषा का क्षेत्र संकुचित हो जाता है। यदि पहले हमारे पास एक योग था, और हम इसे एक उत्पाद के रूप में फिर से लिखते हैं, तो परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार होता है।

दूसरे शब्दों में, पहले मामले में, हम जड़ें खो सकते हैं, और दूसरे में, हम अतिरिक्त प्राप्त कर सकते हैं। वास्तविक लघुगणकीय समीकरणों को हल करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए।

तो पहला कार्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

बाईं ओर हम एक ही आधार में लघुगणक का योग देखते हैं। इसलिए, इन लघुगणकों को जोड़ा जा सकता है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

जैसा कि आप देख सकते हैं, दाईं ओर, हमने शून्य को सूत्र से बदल दिया है:

ए = लॉग बी बी ए

आइए अपने समीकरण को थोड़ा और पुनर्व्यवस्थित करें:

लघुगणक 4 (x - 5) 2 = लघुगणक 4 1

लॉगरिदमिक समीकरण का विहित रूप होने से पहले, हम लॉग साइन को पार कर सकते हैं और तर्कों को समान कर सकते हैं:

(एक्स - 5) 2 = 1

|x−5| = 1

ध्यान दें: मॉड्यूल कहां से आया? मैं आपको याद दिला दूं कि सटीक वर्ग की जड़ बिल्कुल मापांक के बराबर होती है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

फिर हम मापांक के साथ शास्त्रीय समीकरण को हल करते हैं:

|च| = जी (जी> 0) f = ±g

x - 5 = ±1 ⇒ x 1 = 5 - 1 = 4; एक्स 2 = 5 + 1 = 6

उत्तर के लिए यहां दो उम्मीदवार हैं। क्या वे मूल लघुगणकीय समीकरण के समाधान हैं? बिल्कुल नहीं!

हमें सब कुछ यूं ही छोड़कर उत्तर लिखने का कोई अधिकार नहीं है। उस चरण पर एक नज़र डालें जहां हम तर्कों के उत्पाद के एक लघुगणक के साथ लघुगणक के योग को प्रतिस्थापित करते हैं। समस्या यह है कि मूल भावों में हमारे पास कार्य हैं। इसलिए, इसकी आवश्यकता होनी चाहिए:

एक्स (एक्स - 5) > 0; (एक्स - 5)/एक्स > 0.

जब हमने एक सटीक वर्ग प्राप्त करने के बाद उत्पाद को बदल दिया, तो आवश्यकताएं बदल गईं:

(एक्स - 5) 2 > 0

यह आवश्यकता कब पूरी होती है? हाँ, लगभग हमेशा! उस स्थिति को छोड़कर जब x - 5 = 0. अर्थात्, असमानता को एक पंचर बिंदु तक कम कर दिया जाएगा:

एक्स -5 ≠ 0 एक्स ≠ 5

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार हुआ है, जिसके बारे में हमने पाठ की शुरुआत में ही बात की थी। इसलिए, अतिरिक्त जड़ें भी दिखाई दे सकती हैं।

इन अतिरिक्त जड़ों के उद्भव को कैसे रोका जाए? यह बहुत आसान है: हम अपने प्राप्त मूलों को देखते हैं और उनकी तुलना मूल समीकरण के प्रांत से करते हैं। गिनती करते हैं:

एक्स (एक्स - 5) > 0

हम अंतराल विधि का उपयोग करके हल करेंगे:

एक्स (एक्स - 5) = 0 ⇒ एक्स = 0; एक्स = 5

हम प्राप्त संख्याओं को एक सीधी रेखा पर चिह्नित करते हैं। सभी बिंदु पंचर हैं क्योंकि असमानता सख्त है। हम 5 से बड़ी कोई भी संख्या लेते हैं और प्रतिस्थापित करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम अंतरालों (−∞; 0) (5; ) में रुचि रखते हैं। यदि हम खंड पर अपनी जड़ें अंकित करते हैं, तो हम देखेंगे कि x = 4 हमें सूट नहीं करता है, क्योंकि यह मूल मूल लघुगणक समीकरण के क्षेत्र से बाहर है।

हम जनसंख्या पर लौटते हैं, रूट x \u003d 4 को पार करते हैं और उत्तर लिखते हैं: x \u003d 6. यह मूल लघुगणक समीकरण का अंतिम उत्तर है। सब कुछ, कार्य हल हो गया है।

हम दूसरे लॉगरिदमिक समीकरण को पास करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम इसे हल करते हैं। ध्यान दें कि पहला पद एक भिन्न है, और दूसरा वही भिन्न है, लेकिन उलटा है। एलजीएक्स अभिव्यक्ति से डरो मत - यह सिर्फ एक आधार 10 लघुगणक है, हम लिख सकते हैं:

एलजीएक्स = लॉग 10 x

चूंकि हमारे पास दो उल्टे अंश हैं, इसलिए मैं एक नया चर पेश करने का प्रस्ताव करता हूं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

इसलिए, हमारे समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

टी + 1/टी = 2;

टी + 1/टी - 2 = 0;

(टी 2 - 2टी + 1)/टी = 0;

(टी -1) 2 / टी = 0।

जैसा कि आप देख सकते हैं, भिन्न का अंश एक सटीक वर्ग है। एक अंश शून्य होता है जब उसका अंश शून्य होता है और इसका हर शून्य नहीं होता है:

(टी - 1) 2 = 0; टी 0

हम पहले समीकरण को हल करते हैं:

टी - 1 = 0;

टी = 1.

यह मान दूसरी आवश्यकता को पूरा करता है। इसलिए, यह तर्क दिया जा सकता है कि हमने अपने समीकरण को पूरी तरह से हल कर लिया है, लेकिन केवल चर t के संबंध में। आइए अब याद करते हैं कि t क्या है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हमें अनुपात मिला:

एलजीएक्स = 2 एलजीएक्स + 1

2 एलजीएक्स - एलजीएक्स = -1

लॉगएक्स = -1

हम इस समीकरण को विहित रूप में लाते हैं:

एलजीएक्स = एलजी 10 −1

एक्स = 10 -1 = 0.1

नतीजतन, हमें एकमात्र जड़ मिला, जो सिद्धांत रूप में, मूल समीकरण का समाधान है। हालाँकि, आइए इसे अभी भी सुरक्षित रखें और मूल समीकरण के डोमेन को लिखें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

इसलिए, हमारी जड़ सभी आवश्यकताओं को पूरा करती है। हमें मूल लघुगणक समीकरण का हल मिल गया है। उत्तर: एक्स = 0.1। समस्या हल हो गई।

आज के पाठ में केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है: उत्पाद से योग में संक्रमण के लिए सूत्र का उपयोग करते समय और इसके विपरीत, यह ध्यान रखना सुनिश्चित करें कि परिभाषा का क्षेत्र संक्रमण की दिशा के आधार पर संकीर्ण या विस्तारित हो सकता है।

कैसे समझें कि क्या हो रहा है: संकुचन या विस्तार? बहुत आसान। यदि पहले कार्य एक साथ थे, और अब वे अलग हो गए हैं, तो परिभाषा का दायरा संकुचित हो गया है (क्योंकि अधिक आवश्यकताएं हैं)। यदि पहले कार्य अलग थे, और अब वे एक साथ हैं, तो परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार किया जाता है (व्यक्तिगत कारकों की तुलना में उत्पाद पर कम आवश्यकताएं लगाई जाती हैं)।

इस टिप्पणी को ध्यान में रखते हुए, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि दूसरे लघुगणक समीकरण में इन परिवर्तनों की बिल्कुल भी आवश्यकता नहीं है, अर्थात हम तर्कों को कहीं भी जोड़ते या गुणा नहीं करते हैं। हालाँकि, यहाँ मैं आपका ध्यान एक और अद्भुत तरकीब की ओर आकर्षित करना चाहूंगा जो आपको समाधान को काफी सरल बनाने की अनुमति देता है। यह एक चर बदलने के बारे में है।

हालांकि, याद रखें कि कोई भी प्रतिस्थापन हमें दायरे से मुक्त नहीं करता है। यही कारण है कि सभी जड़ें मिल जाने के बाद, हम बहुत आलसी नहीं थे और इसके ODZ को खोजने के लिए मूल समीकरण पर लौट आए।

अक्सर एक चर बदलते समय, एक कष्टप्रद गलती तब होती है जब छात्र t का मान पाते हैं और सोचते हैं कि समाधान समाप्त हो गया है। बिल्कुल नहीं!

जब आपको t का मान मिल जाता है, तो आपको मूल समीकरण पर वापस लौटना होगा और देखना होगा कि हमने इस अक्षर से वास्तव में क्या दर्शाया है। नतीजतन, हमें एक और समीकरण हल करना होगा, हालांकि, मूल समीकरण की तुलना में बहुत आसान होगा।

यह ठीक एक नए चर को पेश करने का बिंदु है। हम मूल समीकरण को दो मध्यवर्ती में विभाजित करते हैं, जिनमें से प्रत्येक को बहुत आसानी से हल किया जाता है।

"नेस्टेड" लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करें

आज हम लघुगणकीय समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और निर्माणों का विश्लेषण करते हैं जब एक लघुगणक दूसरे लघुगणक के चिह्न के अधीन होता है। हम विहित रूप का उपयोग करके दोनों समीकरणों को हल करेंगे।

आज हम लघुगणकीय समीकरणों का अध्ययन करना जारी रखते हैं और निर्माणों का विश्लेषण करते हैं जब एक लघुगणक दूसरे के चिह्न के अधीन होता है। हम विहित रूप का उपयोग करके दोनों समीकरणों को हल करेंगे। मैं आपको याद दिला दूं कि यदि हमारे पास लॉग ए एफ (एक्स) \u003d बी फॉर्म का सबसे सरल लॉगरिदमिक समीकरण है, तो हम इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं। सबसे पहले, हमें संख्या b को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है:

बी = लॉग ए ए बी

ध्यान दें कि a b एक तर्क है। इसी तरह, मूल समीकरण में, तर्क फलन f(x) है। फिर हम समीकरण को फिर से लिखते हैं और यह निर्माण प्राप्त करते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

उसके बाद, हम तीसरा चरण कर सकते हैं - लघुगणक के संकेत से छुटकारा पाएं और बस लिखें:

एफ (एक्स) = एक बी

नतीजतन, हमें एक नया समीकरण मिलता है। इस मामले में, फ़ंक्शन f(x) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, इसके स्थान पर एक लघुगणकीय कार्य भी हो सकता है। और फिर हमें फिर से एक लघुगणकीय समीकरण मिलता है, जिसे हम फिर से सरलतम में कम करते हैं और विहित रूप के माध्यम से हल करते हैं।

लेकिन गाने के बोल काफी हैं। आइए असली समस्या का समाधान करें। तो कार्य संख्या 1:

लघुगणक 2 (1 + 3 लघुगणक 2 x ) = 2

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास एक साधारण लघुगणकीय समीकरण है। एफ (एक्स) की भूमिका निर्माण 1 + 3 लॉग 2 एक्स है, और संख्या बी संख्या 2 है (ए की भूमिका भी दो है)। आइए इन दोनों को इस प्रकार फिर से लिखें:

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लॉगरिदम के आधार से पहले दो ड्यूज हमारे पास आए, यानी यदि मूल समीकरण में 5 थे, तो हमें वह 2 = लॉग 5 5 2 मिलेगा। सामान्य तौर पर, आधार पूरी तरह से लघुगणक पर निर्भर करता है, जो शुरू में समस्या में दिया गया है। और हमारे मामले में यह संख्या 2 है।

इसलिए, हम अपने लॉगरिदमिक समीकरण को फिर से लिखते हैं, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि दो, जो दाईं ओर है, वास्तव में एक लघुगणक भी है। हम पाते हैं:

लघुगणक 2 (1 + 3 लघुगणक 2 x ) = लघुगणक 2 4

हम अपनी योजना के अंतिम चरण से गुजरते हैं - हमें विहित रूप से छुटकारा मिलता है। हम कह सकते हैं, बस लॉग के संकेतों को पार करें। हालाँकि, गणित के दृष्टिकोण से, "लॉग आउट करना" असंभव है - यह कहना अधिक सही है कि हम केवल तर्कों की बराबरी करते हैं:

1 + 3 लघुगणक 2 x = 4

यहां से 3 लॉग 2 x खोजना आसान है:

3 लॉग 2 x = 3

लॉग 2 एक्स = 1

हमें फिर से सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण मिला, आइए इसे विहित रूप में वापस लाते हैं। ऐसा करने के लिए, हमें निम्नलिखित परिवर्तन करने की आवश्यकता है:

1 = लघुगणक 2 2 1 = लघुगणक 2 2

आधार पर एक ड्यूस क्यों है? क्योंकि बाईं ओर हमारे विहित समीकरण में ठीक आधार 2 में लघुगणक है। हम इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए समस्या को फिर से लिखते हैं:

लॉग 2 एक्स = लॉग 2 2

फिर से, हम लघुगणक के चिह्न से छुटकारा पाते हैं, अर्थात, हम केवल तर्कों की बराबरी करते हैं। हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि आधार समान हैं, और कोई और अतिरिक्त क्रिया न तो दाईं ओर या बाईं ओर की गई है:

बस इतना ही! समस्या हल हो गई। हमें लघुगणकीय समीकरण का हल मिल गया है।

टिप्पणी! यद्यपि चर x तर्क में है (अर्थात, दायरे के लिए आवश्यकताएं हैं), हम कोई अतिरिक्त आवश्यकता नहीं बनाएंगे।

जैसा कि मैंने ऊपर कहा, यह जाँच निरर्थक है यदि चर केवल एक लघुगणक के केवल एक तर्क में होता है। हमारे मामले में, x वास्तव में केवल तर्क में है और केवल एक लॉग चिह्न के नीचे है। इसलिए, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है।

हालाँकि, यदि आप इस पद्धति पर भरोसा नहीं करते हैं, तो आप आसानी से सत्यापित कर सकते हैं कि x = 2 वास्तव में एक मूल है। इस संख्या को मूल समीकरण में बदलने के लिए पर्याप्त है।

आइए दूसरे समीकरण पर चलते हैं, यह थोड़ा और दिलचस्प है:

लॉग 2 (लॉग 1/2 (2x -1) + लॉग 2 4) = 1

यदि हम फ़ंक्शन f (x) द्वारा बड़े लघुगणक के अंदर के व्यंजक को निरूपित करते हैं, तो हमें सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण मिलता है जिसके साथ हमने आज का वीडियो पाठ शुरू किया। इसलिए, कैनोनिकल फॉर्म को लागू करना संभव है, जिसके लिए फॉर्म में इकाई का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक है लॉग 2 2 1 = लॉग 2 2।

हमारे बड़े समीकरण को फिर से लिखना:

लॉग 2 (लॉग 1/2 (2x -1) + लॉग 2 4) = लॉग 2 2

हम तर्कों की बराबरी करते हुए लघुगणक के चिन्ह से छुटकारा पाते हैं। हमें ऐसा करने का अधिकार है, क्योंकि आधार बाईं ओर और दाईं ओर समान हैं। साथ ही, ध्यान दें कि लघुगणक 2 4 = 2 :

लॉग 1/2 (2x - 1) + 2 = 2

लॉग 1/2 (2x - 1) = 0

हमारे सामने फिर से फॉर्म का सबसे सरल लॉगरिदमिक समीकरण है लॉग a f (x) \u003d b। हम विहित रूप में जाते हैं, यानी हम फॉर्म में शून्य का प्रतिनिधित्व करते हैं लॉग 1/2 (1/2)0 = लॉग 1/2 1.

हम अपने समीकरण को फिर से लिखते हैं और तर्कों की बराबरी करके लॉग साइन से छुटकारा पाते हैं:

लॉग 1/2 (2x -1) = लॉग 1/2 1

2x - 1 = 1

फिर से, हमें तत्काल प्रतिक्रिया मिली। कोई अतिरिक्त जाँच की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि मूल समीकरण में, तर्क में केवल एक लघुगणक में फ़ंक्शन होता है।

इसलिए, कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है। हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि x = 1 इस समीकरण का एकमात्र मूल है।

लेकिन अगर दूसरे लघुगणक में चार के बजाय x का कुछ कार्य होगा (या 2x तर्क में नहीं, बल्कि आधार में होगा) - तो परिभाषा के डोमेन की जांच करना आवश्यक होगा। अन्यथा, अतिरिक्त जड़ों में दौड़ने का एक बड़ा मौका है।

ये अतिरिक्त जड़ें कहाँ से आती हैं? इस बिंदु को बहुत स्पष्ट रूप से समझने की जरूरत है। मूल समीकरणों को देखें: हर जगह फ़ंक्शन x लघुगणक के चिह्न के नीचे है। इसलिए, चूंकि हमने लॉग 2 x लिखा है, हम स्वचालित रूप से आवश्यकता x> 0 सेट करते हैं। अन्यथा, इस रिकॉर्ड का कोई मतलब नहीं है।

हालांकि, जैसे ही हम लॉगरिदमिक समीकरण को हल करते हैं, हम लॉग के सभी संकेतों से छुटकारा पाते हैं और सरल निर्माण प्राप्त करते हैं। यहां, कोई प्रतिबंध पहले से ही निर्धारित नहीं है, क्योंकि रैखिक फ़ंक्शन को x के किसी भी मान के लिए परिभाषित किया गया है।

यह समस्या है, जब अंतिम कार्य हर जगह और हमेशा परिभाषित किया जाता है, और प्रारंभिक एक हर जगह और हमेशा नहीं होता है, यही कारण है कि लॉगरिदमिक समीकरणों के समाधान में अतिरिक्त जड़ें अक्सर दिखाई देती हैं।

लेकिन मैं एक बार फिर दोहराता हूं: यह केवल उस स्थिति में होता है जहां फ़ंक्शन या तो कई लघुगणक में होता है, या उनमें से किसी एक के आधार पर होता है। आज हम जिन समस्याओं पर विचार कर रहे हैं, उनमें सैद्धांतिक रूप से परिभाषा के क्षेत्र के विस्तार में कोई समस्या नहीं है।

विभिन्न आधारों के मामले

यह पाठ समर्पित है जटिल संरचनाएं. आज के समीकरणों में लघुगणक अब "रिक्त" हल नहीं होंगे - पहले आपको कुछ परिवर्तन करने की आवश्यकता है।

हम लॉगरिदमिक समीकरणों को पूरी तरह से अलग-अलग आधारों के साथ हल करना शुरू करते हैं, जो एक दूसरे की सटीक शक्तियां नहीं हैं। ऐसे कार्यों से डरो मत - वे हल किए गए सबसे सरल डिजाइनों की तुलना में अधिक कठिन नहीं हैं जिनका हमने ऊपर विश्लेषण किया है।

लेकिन सीधे समस्याओं पर आगे बढ़ने से पहले, मैं आपको विहित रूप का उपयोग करके सरलतम लघुगणक समीकरणों को हल करने के सूत्र की याद दिलाता हूं। इस तरह की समस्या पर विचार करें:

लॉग ए एफ (एक्स) = बी

यह महत्वपूर्ण है कि फ़ंक्शन f (x) केवल एक फ़ंक्शन है, और यह संख्याएं हैं जो संख्याओं a और b (बिना किसी चर x) के रूप में कार्य करना चाहिए। बेशक, शाब्दिक रूप से एक मिनट में हम ऐसे मामलों पर भी विचार करेंगे जब चर ए और बी के बजाय कार्य होते हैं, लेकिन यह अब उसके बारे में नहीं है।

जैसा कि हमें याद है, संख्या b को उसी आधार a में एक लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जो बाईं ओर है। यह बहुत सरलता से किया जाता है:

बी = लॉग ए ए बी

बेशक, शब्द "कोई भी संख्या बी" और "कोई भी संख्या ए" का अर्थ ऐसे मान हैं जो परिभाषा के क्षेत्र को संतुष्ट करते हैं। विशेष रूप से, यह समीकरण केवल आधार a > 0 और a 1 से संबंधित है।

हालांकि, यह आवश्यकता स्वचालित रूप से पूरी होती है, क्योंकि मूल समस्या में पहले से ही आधार के लिए एक लघुगणक होता है - यह निश्चित रूप से 0 से अधिक होगा और 1 के बराबर नहीं होगा। इसलिए, हम लॉगरिदमिक समीकरण का समाधान जारी रखते हैं:

लॉग a f(x) = लॉग a a b

इस तरह के एक संकेतन को विहित रूप कहा जाता है। इसकी सुविधा यह है कि हम तर्कों की बराबरी करके तुरंत लॉग साइन से छुटकारा पा सकते हैं:

एफ (एक्स) = एक बी

यह वह तकनीक है जिसका उपयोग अब हम चर आधार वाले लघुगणकीय समीकरणों को हल करने के लिए करेंगे। तो चलते हैं!

लॉग 2 (x 2 + 4x + 11) = लॉग 0.5 0.125

आगे क्या होगा? कोई अब कहेगा कि आपको सही लघुगणक की गणना करने की आवश्यकता है, या उन्हें एक आधार, या कुछ और तक कम करने की आवश्यकता है। और वास्तव में, अब आपको दोनों आधारों को एक ही रूप में लाने की आवश्यकता है - या तो 2 या 0.5। लेकिन आइए एक बार और सभी के लिए निम्नलिखित नियम सीखें:

यदि लघुगणक समीकरण में शामिल है दशमलव, इन भिन्नों को दशमलव से साधारण में बदलना सुनिश्चित करें। ऐसा परिवर्तन समाधान को काफी सरल बना सकता है।

इस तरह के एक संक्रमण को तुरंत किया जाना चाहिए, इससे पहले कि कोई भी क्रिया और परिवर्तन किया जाए। आइए देखते हैं:

लॉग 2 (x 2 + 4x + 11) = लॉग 1/2 1/8

ऐसा रिकॉर्ड हमें क्या देता है? हम 1/2 और 1/8 को ऋणात्मक घातांक के रूप में निरूपित कर सकते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हमारे पास विहित रूप है। तर्कों को समान करें और शास्त्रीय द्विघात समीकरण प्राप्त करें:

एक्स 2 + 4x + 11 = 8

एक्स 2 + 4x + 3 = 0

हमारे सामने एक दिया गया द्विघात समीकरण है, जिसे Vieta सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जाता है। आपको हाई स्कूल में मौखिक रूप से इसी तरह की गणना देखनी चाहिए:

(एक्स + 3)(एक्स + 1) = 0

एक्स 1 = -3

एक्स 2 = -1

बस इतना ही! मूल लघुगणक समीकरण हल हो गया है। हमारी दो जड़ें हैं।

मैं आपको याद दिला दूं कि इस मामले में दायरे को परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि चर x वाला फ़ंक्शन केवल एक तर्क में मौजूद है। इसलिए, दायरा स्वचालित रूप से किया जाता है।

तो पहला समीकरण हल हो गया है। आइए दूसरे पर चलते हैं:

लॉग 0.5 (5x 2 + 9x + 2) = लॉग 3 1/9

लघुगणक 1/2 (5x 2 + 9x + 2) = लघुगणक 3 9 -1

अब ध्यान दें कि पहले लघुगणक के तर्क को एक ऋणात्मक घातांक वाली घात के रूप में भी लिखा जा सकता है: 1/2 = 2 -1। फिर आप समीकरण के दोनों पक्षों की शक्तियों को निकाल सकते हैं और सब कुछ -1 से विभाजित कर सकते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

और अब हमने लघुगणक समीकरण को हल करने में एक बहुत ही महत्वपूर्ण कदम पूरा कर लिया है। शायद किसी ने कुछ नोटिस नहीं किया, तो मैं समझाता हूं।

हमारे समीकरण पर एक नज़र डालें: लॉग बाईं और दाईं ओर है, लेकिन आधार 2 लघुगणक बाईं ओर है, और आधार 3 लघुगणक दाईं ओर है। डिग्री।

इसलिए, ये विभिन्न आधारों वाले लघुगणक हैं, जो साधारण घातांक द्वारा एक-दूसरे से कम नहीं होते हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने का एकमात्र तरीका इन लघुगणकों में से किसी एक से छुटकारा पाना है। इस मामले में, चूंकि हम अभी भी काफी सरल समस्याओं पर विचार कर रहे हैं, दाईं ओर लघुगणक की गणना की गई थी, और हमें सबसे सरल समीकरण मिला - ठीक उसी के बारे में जिसके बारे में हमने आज के पाठ की शुरुआत में बात की थी।

आइए लॉग 2 2 2 = लॉग 2 4 के रूप में दाईं ओर संख्या 2 का प्रतिनिधित्व करें। और फिर लॉगरिदम के संकेत से छुटकारा पाएं, जिसके बाद हमारे पास केवल एक द्विघात समीकरण रह जाता है:

लघुगणक 2 (5x 2 + 9x + 2) = लघुगणक 2 4

5x2 + 9x + 2 = 4

5x2 + 9x - 2 = 0

हमारे सामने सामान्य द्विघात समीकरण है, लेकिन इसे कम नहीं किया गया है, क्योंकि x 2 पर गुणांक एकता से अलग है। इसलिए, हम इसे विवेचक का उपयोग करके हल करेंगे:

डी = 81 − 4 5 (−2) = 81 + 40 = 121

x 1 = (−9 + 11)/10 = 2/10 = 1/5

x 2 \u003d (−9 - 11) / 10 \u003d -2

बस इतना ही! हमें दोनों मूल मिले, जिसका अर्थ है कि हमें मूल लघुगणक समीकरण का हल मिल गया है। दरअसल, मूल समस्या में, चर x वाला फ़ंक्शन केवल एक तर्क में मौजूद होता है। नतीजतन, परिभाषा के क्षेत्र पर कोई अतिरिक्त जांच की आवश्यकता नहीं है - दोनों जड़ें जो हमने पाई हैं, निश्चित रूप से सभी संभावित प्रतिबंधों को पूरा करती हैं।

यह आज के वीडियो ट्यूटोरियल का अंत हो सकता है, लेकिन निष्कर्ष में मैं फिर से कहना चाहूंगा: लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय सभी दशमलव अंशों को सामान्य में परिवर्तित करना सुनिश्चित करें। ज्यादातर मामलों में, यह उनके समाधान को बहुत सरल करता है।

विरले ही, बहुत कम ही, ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें दशमलव भिन्नों से छुटकारा पाना केवल गणनाओं को जटिल बनाता है। हालांकि, ऐसे समीकरणों में, एक नियम के रूप में, शुरू में यह स्पष्ट है कि दशमलव अंशों से छुटकारा पाना आवश्यक नहीं है।

अधिकांश अन्य मामलों में (विशेषकर यदि आप लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने के लिए प्रशिक्षण लेना शुरू कर रहे हैं), तो बेझिझक दशमलव अंशों से छुटकारा पाएं और उन्हें सामान्य अंशों में अनुवाद करें। क्योंकि अभ्यास से पता चलता है कि इस तरह आप बाद के समाधान और गणनाओं को बहुत सरल कर देंगे।

समाधान की सूक्ष्मताएं और तरकीबें

आज हम अधिक जटिल समस्याओं की ओर बढ़ रहे हैं और एक लघुगणकीय समीकरण को हल करेंगे, जो किसी संख्या पर नहीं, बल्कि एक फलन पर आधारित है।

और भले ही यह फ़ंक्शन रैखिक हो, समाधान योजना में छोटे परिवर्तन करने होंगे, जिसका अर्थ लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र पर लगाए गए अतिरिक्त आवश्यकताओं तक कम हो जाता है।

कठिन कार्य

यह पाठ काफी लंबा होगा। इसमें, हम दो बल्कि गंभीर लघुगणकीय समीकरणों का विश्लेषण करेंगे, जिसके समाधान में कई छात्र गलतियाँ करते हैं। गणित में एक शिक्षक के रूप में अपने अभ्यास के दौरान, मुझे लगातार दो प्रकार की त्रुटियों का सामना करना पड़ा:

1. लघुगणक की परिभाषा के क्षेत्र के विस्तार के कारण अतिरिक्त जड़ों का प्रकट होना। ऐसी आपत्तिजनक गलतियाँ करने से बचने के लिए, बस प्रत्येक परिवर्तन पर कड़ी नज़र रखें;
2. जड़ों का नुकसान इस तथ्य के कारण है कि छात्र कुछ "सूक्ष्म" मामलों पर विचार करना भूल गया - यह ऐसी स्थितियों पर है जिस पर हम आज ध्यान केंद्रित करेंगे।

लॉगरिदमिक समीकरणों पर यह अंतिम पाठ है। यह लंबा होगा, हम जटिल लघुगणकीय समीकरणों का विश्लेषण करेंगे। अपने आप को सहज बनाएं, अपने लिए कुछ चाय बनाएं, और हम शुरू करेंगे।

पहला समीकरण काफी मानक दिखता है:

लघुगणक x + 1 (x - 0.5) = लघुगणक x - 0.5 (x + 1)

तुरंत, हम देखते हैं कि दोनों लघुगणक एक दूसरे की उलटी प्रतियाँ हैं। आइए याद करें अद्भुत सूत्र:

लॉग ए बी = 1/लॉग बी ए

हालाँकि, इस सूत्र की कई सीमाएँ हैं जो तब उत्पन्न होती हैं जब संख्या a और b के बजाय चर x के कार्य होते हैं:

बी > 0

1 ए > 0

इन आवश्यकताओं को लघुगणक के आधार पर लगाया जाता है। दूसरी ओर, एक भिन्न में, हमारे पास 1 ≠ a > 0 होना आवश्यक है, क्योंकि लघुगणक के तर्क में न केवल चर a है (इसलिए, a > 0), बल्कि लघुगणक स्वयं के हर में है अंश। लेकिन लॉग बी 1 = 0, और भाजक गैर-शून्य होना चाहिए, इसलिए 1।

इसलिए, चर a पर प्रतिबंध संरक्षित हैं। लेकिन चर b का क्या होता है? एक ओर, b > 0 आधार से, दूसरी ओर, चर b ≠ 1 का अनुसरण करता है, क्योंकि लघुगणक का आधार 1 से भिन्न होना चाहिए। कुल मिलाकर, यह सूत्र के दाईं ओर से अनुसरण करता है कि 1 ≠ बी > 0.

लेकिन यहाँ समस्या है: दूसरी आवश्यकता (बी ≠ 1) बाएं लघुगणक पर पहली असमानता से गायब है। दूसरे शब्दों में, इस परिवर्तन को करते समय, हमें अवश्य करना चाहिए अलग से जांचेंकि तर्क b एक से अलग है!

यहां, आइए इसकी जांच करें। आइए अपना सूत्र लागू करें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

1 एक्स - 0.5> 0; 1 एक्स + 1 > 0

तो हमने पाया कि पहले से ही मूल लघुगणक समीकरण से यह निम्नानुसार है कि ए और बी दोनों 0 से अधिक और 1 के बराबर नहीं होना चाहिए। इसका मतलब है कि हम लॉगरिदमिक समीकरण को आसानी से फ्लिप कर सकते हैं:

मैं एक नया चर पेश करने का प्रस्ताव करता हूं:

लॉग एक्स + 1 (एक्स - 0.5) = टी

इस मामले में, हमारे निर्माण को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

(टी 2 - 1)/टी = 0

ध्यान दें कि अंश में हमारे पास वर्गों का अंतर है। हम संक्षिप्त गुणन सूत्र का उपयोग करके वर्गों के अंतर को प्रकट करते हैं:

(टी -1)(टी + 1)/टी = 0

एक भिन्न शून्य होती है जब उसका अंश शून्य होता है और उसका हर शून्य नहीं होता है। लेकिन अंश में उत्पाद होता है, इसलिए हम प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करते हैं:

t1 = 1;

t2 = -1;

टी 0.

जैसा कि आप देख सकते हैं, चर t के दोनों मान हमें सूट करते हैं। हालाँकि, समाधान वहाँ समाप्त नहीं होता है, क्योंकि हमें t नहीं, बल्कि x का मान ज्ञात करने की आवश्यकता है। हम लघुगणक पर लौटते हैं और प्राप्त करते हैं:

लॉग एक्स + 1 (एक्स - 0.5) = 1;

लॉग एक्स + 1 (एक्स - 0.5) = -1।

आइए इनमें से प्रत्येक समीकरण को विहित रूप में लाएं:

लघुगणक x + 1 (x - 0.5) = लघुगणक x + 1 (x + 1) 1

लघुगणक x + 1 (x - 0.5) = लघुगणक x + 1 (x + 1) −1

हम पहले मामले में लघुगणक के संकेत से छुटकारा पाते हैं और तर्कों की बराबरी करते हैं:

एक्स - 0.5 = एक्स + 1;

एक्स - एक्स \u003d 1 + 0.5;

इस तरह के समीकरण की कोई जड़ें नहीं होती हैं, इसलिए पहले लघुगणकीय समीकरण की भी कोई जड़ें नहीं होती हैं। लेकिन दूसरे समीकरण के साथ, सब कुछ बहुत अधिक दिलचस्प है:

(x - 0.5)/1 = 1/(x + 1)

हम अनुपात को हल करते हैं - हमें मिलता है:

(एक्स - 0.5) (एक्स + 1) = 1

मैं आपको याद दिलाता हूं कि लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करते समय, सभी सामान्य दशमलव अंशों को देना अधिक सुविधाजनक होता है, तो आइए अपने समीकरण को इस प्रकार फिर से लिखें:

(x - 1/2)(x + 1) = 1;

x 2 + x - 1/2x - 1/2 - 1 = 0;

एक्स 2 + 1/2x - 3/2 = 0।

इससे पहले कि हम दिए गए द्विघात समीकरण हैं, इसे Vieta सूत्रों का उपयोग करके आसानी से हल किया जाता है:

(एक्स + 3/2) (एक्स - 1) = 0;

एक्स 1 \u003d -1.5;

x2 = 1.

हमें दो जड़ें मिलीं - वे मूल लघुगणक समीकरण को हल करने के लिए उम्मीदवार हैं। यह समझने के लिए कि उत्तर में वास्तव में क्या जड़ें होंगी, आइए मूल समस्या पर वापस जाएं। अब हम यह देखने के लिए अपनी प्रत्येक जड़ की जांच करेंगे कि क्या वे दायरे से मेल खाते हैं:

1.5 x > 0.5; 0 ≠ एक्स > -1.

ये आवश्यकताएं दोहरी असमानता के समान हैं:

1 एक्स > 0.5

यहाँ से हम तुरंत देखते हैं कि मूल x = −1.5 हमें सूट नहीं करता है, लेकिन x = 1 काफी संतुष्ट है। इसलिए x = 1 लघुगणकीय समीकरण का अंतिम हल है।

आइए दूसरे कार्य पर चलते हैं:

लॉग x 25 + लॉग 125 x 5 = लॉग 25 x 625

पहली नज़र में ऐसा लग सकता है कि सभी लघुगणक अलग आधारऔर विभिन्न तर्क। ऐसी संरचनाओं का क्या करें? सबसे पहले, ध्यान दें कि संख्याएँ 25, 5 और 625 5 की घात हैं:

25 = 5 2 ; 625 = 5 4

और अब हम लघुगणक के उल्लेखनीय गुण का उपयोग करेंगे। तथ्य यह है कि आप कारकों के रूप में तर्क से डिग्री निकाल सकते हैं:

लॉग ए बी एन = एन ∙ लॉग ए बी

इस परिवर्तन पर प्रतिबंध तब भी लगाया जाता है जब b के स्थान पर कोई फ़ंक्शन होता है। लेकिन हमारे साथ b सिर्फ एक संख्या है, और कोई अतिरिक्त प्रतिबंध नहीं है। आइए अपने समीकरण को फिर से लिखें:

2 लॉग x 5 + लॉग 125 x 5 = 4 ∙ लॉग 25 x 5

हमें लॉग साइन वाले तीन पदों वाला एक समीकरण मिला है। इसके अलावा, तीनों लघुगणक के तर्क समान हैं।

अब समय आ गया है कि लघुगणक को एक ही आधार पर लाया जाए - 5. चूंकि चर b एक स्थिरांक है, इसलिए कार्यक्षेत्र में कोई परिवर्तन नहीं होता है। हम बस फिर से लिखते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

जैसा कि अपेक्षित था, वही लघुगणक हर में "क्रॉल आउट" हो गए। मैं चर बदलने का सुझाव देता हूं:

लॉग 5 एक्स = टी

इस मामले में, हमारे समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिखा जाएगा:

आइए अंश लिखें और कोष्ठक खोलें:

2 (टी + 3) (टी + 2) + टी (टी + 2) - 4 टी (टी + 3) = 2 (टी 2 + 5 टी + 6) + टी 2 + 2 टी - 4 टी 2 - 12 टी = 2 टी 2 + 10 टी + 12 + टी 2 + 2t -4t 2 -12t = −t 2 + 12

हम अपने अंश पर लौटते हैं। अंश शून्य होना चाहिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

और भाजक शून्य से भिन्न है:

टी 0; टी -3; टी -2

अंतिम आवश्यकताएं स्वचालित रूप से पूरी होती हैं, क्योंकि वे सभी पूर्णांकों से "बंधे" हैं, और सभी उत्तर तर्कहीन हैं।

तो, भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरण हल किया जाता है, चर t के मान पाए जाते हैं। हम लघुगणकीय समीकरण के हल पर लौटते हैं और याद करते हैं कि t क्या है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हम इस समीकरण को विहित रूप में लाते हैं, हमें एक अपरिमेय डिग्री के साथ एक संख्या मिलती है। इसे आप भ्रमित न होने दें - ऐसे तर्कों की भी बराबरी की जा सकती है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

हमारी दो जड़ें हैं। अधिक सटीक रूप से, उत्तर के लिए दो उम्मीदवार - आइए उन्हें दायरे के अनुपालन के लिए जांचें। चूँकि लघुगणक का आधार चर x है, हमें निम्नलिखित की आवश्यकता है:

1 एक्स > 0;

उसी सफलता के साथ, हम दावा करते हैं कि x 1/125, अन्यथा दूसरे लघुगणक का आधार एक में बदल जाएगा। अंत में, तीसरे लघुगणक के लिए x 1/25।

कुल मिलाकर, हमें चार प्रतिबंध मिले:

1 एक्स > 0; एक्स 1/125; एक्स 1/25

और अब सवाल यह है कि क्या हमारी जड़ें इन आवश्यकताओं को पूरा करती हैं? निश्चित रूप से संतुष्ट! क्योंकि किसी भी घात के लिए 5 शून्य से अधिक होगा, और आवश्यकता x > 0 स्वतः पूरी हो जाती है।

दूसरी ओर, 1 \u003d 5 0, 1/25 \u003d 5 −2, 1/125 \u003d 5 −3, जिसका अर्थ है कि हमारी जड़ों के लिए ये प्रतिबंध (जो, मैं आपको याद दिला दूं, में एक अपरिमेय संख्या है संकेतक) भी मिले हैं, और दोनों उत्तर समस्या का समाधान हैं।

तो हमें अंतिम उत्तर मिल गया है। प्रमुख बिंदुइस एक में दो कार्य हैं:

1. तर्क और आधार के उलट होने पर लघुगणक को उलटते समय सावधान रहें। इस तरह के परिवर्तन परिभाषा के क्षेत्र पर अनावश्यक प्रतिबंध लगाते हैं।
2. लॉगरिदम को बदलने से डरो मत: आप न केवल उन्हें फ्लिप कर सकते हैं, बल्कि उन्हें योग सूत्र का उपयोग करके भी खोल सकते हैं और आम तौर पर लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों को हल करते समय आपके द्वारा पढ़े गए किसी भी फॉर्मूले का उपयोग करके उन्हें बदल सकते हैं। हालांकि, हमेशा याद रखें कि कुछ परिवर्तन दायरे का विस्तार करते हैं, और कुछ इसे कम करते हैं।

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अनुदेश

दिए गए को लिखिए लघुगणक व्यंजक. यदि व्यंजक 10 के लघुगणक का उपयोग करता है, तो उसका अंकन छोटा हो जाता है और ऐसा दिखता है: lg b दशमलव लघुगणक है। यदि लघुगणक का आधार संख्या e है, तो व्यंजक लिखा जाता है: ln b - प्राकृतिक. यह समझा जाता है कि किसी का परिणाम वह शक्ति है जिसके लिए संख्या b प्राप्त करने के लिए आधार संख्या को ऊपर उठाना होगा।

योग से दो फ़ंक्शन ढूंढते समय, आपको बस उन्हें एक-एक करके अलग करना होगा, और परिणाम जोड़ना होगा: (u+v)" = u"+v";

दो कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न को खोजने पर, पहले फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को दूसरे से गुणा करना और दूसरे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पहले फ़ंक्शन से गुणा करना आवश्यक है: (u*v)" = u"* वी+वी"*यू;

दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, यह आवश्यक है, भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किए गए लाभांश के व्युत्पन्न के उत्पाद से, भाजक के व्युत्पन्न के उत्पाद को भाजक फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाए, और विभाजित किया जाए यह सब भाजक फलन द्वारा चुकता किया जाता है। (यू/वी)" = (यू"*वी-वी"*यू)/वी^2;

यदि एक जटिल कार्य दिया जाता है, तो आंतरिक कार्य के व्युत्पन्न और बाहरी के व्युत्पन्न को गुणा करना आवश्यक है। चलो y=u(v(x)), फिर y"(x)=y"(u)*v"(x)।

ऊपर प्राप्त का उपयोग करके, आप लगभग किसी भी फ़ंक्शन को अलग कर सकते हैं। तो आइए कुछ उदाहरण देखें:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *एक्स));
एक बिंदु पर व्युत्पन्न की गणना के लिए कार्य भी हैं। फ़ंक्शन y=e^(x^2+6x+5) दिए जाने दें, आपको बिंदु x=1 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना होगा।
1) फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)।

2) दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें y"(1)=8*e^0=8

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उपयोगी सलाह

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स्रोत:

• निरंतर व्युत्पन्न

तो एक अपरिमेय समीकरण और एक परिमेय समीकरण में क्या अंतर है? यदि अज्ञात चर चिह्न के नीचे है वर्गमूल, तो समीकरण को अपरिमेय माना जाता है।

अनुदेश

ऐसे समीकरणों को हल करने की मुख्य विधि दोनों पक्षों को ऊपर उठाने की विधि है समीकरणएक वर्ग में। हालांकि। यह स्वाभाविक है, पहला कदम संकेत से छुटकारा पाना है। तकनीकी रूप से, यह तरीका मुश्किल नहीं है, लेकिन कभी-कभी यह परेशानी का कारण बन सकता है। उदाहरण के लिए, समीकरण v(2x-5)=v(4x-7)। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, आपको 2x-5=4x-7 प्राप्त होता है। इस तरह के समीकरण को हल करना मुश्किल नहीं है; एक्स = 1। लेकिन नंबर 1 नहीं दिया जाएगा समीकरण. क्यों? समीकरण में इकाई को x मान के स्थान पर रखें। और दाएँ और बाएँ पक्षों में ऐसे भाव होंगे जिनका कोई मतलब नहीं है, अर्थात्। ऐसा मान वर्गमूल के लिए मान्य नहीं है। इसलिए, 1 एक बाह्य मूल है, और इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

अत: अपरिमेय समीकरण को इसके दोनों भागों का वर्ग करने की विधि द्वारा हल किया जाता है। और समीकरण को हल करने के बाद, बाहरी जड़ों को काटना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल समीकरण में पाए गए जड़ों को प्रतिस्थापित करें।

दूसरे पर विचार करें।
2x+vx-3=0
बेशक, इस समीकरण को पिछले वाले के समान समीकरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। स्थानांतरण यौगिक समीकरण, जिसका वर्गमूल नहीं है, दाईं ओर और फिर वर्गमूल विधि का उपयोग करें। परिणामी परिमेय समीकरण और जड़ों को हल करें। लेकिन एक और, अधिक सुरुचिपूर्ण। एक नया चर दर्ज करें; वीएक्स = वाई। तदनुसार, आपको 2y2+y-3=0 जैसा समीकरण मिलेगा। यह सामान्य द्विघात समीकरण है। इसकी जड़ें खोजें; y1=1 और y2=-3/2. अगला, दो हल करें समीकरणवीएक्स = 1; वीएक्स \u003d -3/2। दूसरे समीकरण की कोई जड़ नहीं है, पहले से हम पाते हैं कि x=1. जड़ों की जांच करने की आवश्यकता के बारे में मत भूलना।

सर्वसमिका को सुलझाना बहुत आसान है। लक्ष्य प्राप्त होने तक इसके लिए समान परिवर्तन करने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार, सरलतम अंकगणितीय संक्रियाओं की सहायता से, कार्य हल हो जाएगा।

आपको चाहिये होगा

• - कागज़;
• - एक कलम।

अनुदेश

इस तरह के सबसे सरल परिवर्तन बीजीय संक्षिप्त गुणन (जैसे योग का वर्ग (अंतर), वर्गों का अंतर, योग (अंतर), योग का घन (अंतर)) हैं। इसके अलावा, कई हैं त्रिकोणमितीय सूत्र, जो अनिवार्य रूप से एक ही पहचान हैं।

दरअसल, दो पदों के योग का वर्ग पहले जोड़ के वर्ग के बराबर होता है जो पहले और दूसरे के गुणनफल का दुगुना होता है और दूसरे का वर्ग, यानी (a+b)^2= (a+b) )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

दोनों को सरल बनाएं

समाधान के सामान्य सिद्धांत

गणितीय विश्लेषण या उच्च गणित पर एक पाठ्यपुस्तक से दोहराएं, जो एक निश्चित अभिन्न अंग है। जैसा कि आप जानते हैं, समाधान समाकलन परिभाषित करेंएक फ़ंक्शन है जिसका व्युत्पन्न एक इंटीग्रैंड देगा। इस फ़ंक्शन को एंटीडेरिवेटिव कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, बुनियादी इंटीग्रल का निर्माण किया जाता है।
इंटीग्रैंड के रूप से निर्धारित करें कि इस मामले में कौन सा टेबल इंटीग्रल उपयुक्त है। इसे तुरंत निर्धारित करना हमेशा संभव नहीं होता है। अक्सर, एकीकृत को सरल बनाने के लिए कई परिवर्तनों के बाद ही सारणीबद्ध रूप ध्यान देने योग्य हो जाता है।

परिवर्तनीय प्रतिस्थापन विधि

यदि समाकलन एक त्रिकोणमितीय फलन है जिसका तर्क कुछ बहुपद है, तो परिवर्तन विधि का प्रयोग करके देखें। ऐसा करने के लिए, समाकलन के तर्क में बहुपद को कुछ नए चर से बदलें। नए और पुराने चर के अनुपात के आधार पर एकीकरण की नई सीमा निर्धारित करें। इस व्यंजक को विभेदित करके, में एक नया अवकलन ज्ञात कीजिए। इस प्रकार आप प्राप्त करेंगे नया प्रकारपूर्व समाकलन, किसी सारणी के निकट या समरूपी।

दूसरी तरह के इंटीग्रल का समाधान

यदि इंटीग्रल दूसरी तरह का इंटीग्रल है, इंटीग्रैंड का सदिश रूप है, तो आपको इन इंटीग्रल से स्केलर वाले में संक्रमण के लिए नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी। ऐसा ही एक नियम है ओस्ट्रोग्रैडस्की-गॉस अनुपात। यह कानून किसी वेक्टर फ़ंक्शन के रोटर प्रवाह से किसी दिए गए वेक्टर क्षेत्र के विचलन पर ट्रिपल इंटीग्रल में पारित करना संभव बनाता है।

एकीकरण की सीमाओं का प्रतिस्थापन

प्रतिअवकलन खोजने के बाद, एकीकरण की सीमाओं को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। सबसे पहले, ऊपरी सीमा के मान को प्रतिपदार्थ के लिए व्यंजक में प्रतिस्थापित करें। आपको कुछ नंबर मिलेगा। इसके बाद, परिणामी संख्या से दूसरी संख्या घटाएं, परिणामी निचली सीमा प्रतिअवकलन से। यदि एकीकरण सीमाओं में से एक अनंत है, तो इसे में प्रतिस्थापित करना विरोधी व्युत्पन्न कार्ययह आवश्यक है कि सीमा तक जाकर यह पता लगाया जाए कि अभिव्यक्ति किस ओर जाती है।
यदि समाकल द्वि-आयामी या त्रि-आयामी है, तो आपको समाकलन की ज्यामितीय सीमाओं को निरूपित करना होगा ताकि आप यह समझ सकें कि समाकलन की गणना कैसे की जाती है। दरअसल, एक त्रि-आयामी अभिन्न के मामले में, एकीकरण की सीमाएं पूरे विमान हो सकती हैं जो मात्रा को एकीकृत करने के लिए सीमित करती हैं।