Entfernungs- und Längeneinheiten-Umrechner Flächeneinheiten-Umrechner Beitreten © 2011-2017 Mikhail Dovzhik Das Kopieren von Materialien ist verboten. Im Online-Rechner können Sie Werte in den gleichen Maßeinheiten verwenden! Wenn Sie Probleme beim Umrechnen von Maßeinheiten haben, verwenden Sie den Umrechner für Entfernungs- und Längeneinheiten und den Umrechner für Flächeneinheiten. Zusätzliche Funktionen des Vierecksflächenrechners

• Sie können zwischen den Eingabefeldern wechseln, indem Sie die rechte und linke Taste auf der Tastatur drücken.

Theorie. Fläche eines Vierecks Ein Viereck ist eine geometrische Figur, die aus vier Punkten (Eckpunkten), von denen keine drei auf derselben Geraden liegen, und vier Segmenten (Seiten), die diese Punkte paarweise verbinden, besteht. Ein Viereck heißt konvex, wenn das Segment, das zwei beliebige Punkte dieses Vierecks verbindet, darin liegt.

Wie finde ich die Fläche eines Polygons?

Die Formel zur Bestimmung der Fläche wird bestimmt, indem man jede Kante des Polygons AB nimmt und die Fläche des Dreiecks ABO mit einem Scheitelpunkt im Ursprung O durch die Koordinaten der Scheitelpunkte berechnet. Beim Umrunden eines Polygons werden Dreiecke gebildet, einschließlich der Innenseite des Polygons und außerhalb davon. Die Differenz zwischen der Summe dieser Flächen ist die Fläche des Polygons selbst.

Daher wird die Formel die Formel des Vermessers genannt, da der "Kartograph" am Ursprung steht; Wenn es die Fläche gegen den Uhrzeigersinn abläuft, wird die Fläche hinzugefügt, wenn sie sich in Bezug auf den Ursprung links befindet, und subtrahiert, wenn sie sich rechts befindet. Die Flächenformel gilt für jedes sich nicht schneidende (einfache) Polygon, das konvex oder konkav sein kann. Inhalt

• 1 Definition
• 2 Beispiele
• 3 Komplexeres Beispiel
• 4 Namenserklärung
• 5 Siehe

Polygonbereich

Aufmerksamkeit

Das kann sein:

• Dreieck;
• Viereck;
• Fünf- oder Sechseck und so weiter.

Eine solche Figur wird sicherlich durch zwei Positionen gekennzeichnet sein:

1. Benachbarte Seiten gehören nicht zu derselben Linie.
2. Nicht benachbarte haben keine gemeinsamen Punkte, das heißt, sie schneiden sich nicht.

Um zu verstehen, welche Eckpunkte benachbart sind, müssen Sie sehen, ob sie zur selben Seite gehören. Wenn ja, dann Nachbar. Andernfalls können sie durch ein Segment verbunden werden, das als Diagonale bezeichnet werden muss. Sie können nur in Polygonen gezeichnet werden, die mehr als drei Scheitelpunkte haben.

Welche Arten davon gibt es? Ein Polygon mit mehr als vier Ecken kann konvex oder konkav sein. Der Unterschied des letzteren besteht darin, dass einige seiner Eckpunkte auf verschiedenen Seiten einer geraden Linie liegen können, die durch eine beliebige Seite des Polygons gezogen wird.

Wie findet man die Fläche eines regelmäßigen und unregelmäßigen Sechsecks?

• Wenn Sie die Länge der Seite kennen, multiplizieren Sie sie mit 6 und erhalten Sie den Umfang des Sechsecks: 10 cm x 6 \u003d 60 cm
• Setzen Sie die Ergebnisse in unsere Formel ein:
Fläche \u003d 1/2 * Umfang * Apothema Fläche \u003d ½ * 60 cm * 5√3 Lösung: Jetzt bleibt es, die Antwort zu vereinfachen, um Quadratwurzeln loszuwerden, und das Ergebnis in Quadratzentimetern anzugeben: ½ * 60 cm * 5 √3 cm \u003d 30 * 5√3 cm =150 √3 cm =259,8 cm² Video zum Ermitteln der Fläche eines regelmäßigen Sechsecks Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Fläche eines unregelmäßigen Sechsecks zu bestimmen:

• Trapezmethode.
• Eine Methode zur Berechnung der Fläche unregelmäßiger Polygone anhand der Koordinatenachse.
• Eine Methode zum Teilen eines Sechsecks in andere Formen.

Abhängig von den Ausgangsdaten, die Sie kennen, wird die geeignete Methode ausgewählt.

Wichtig

Einige unregelmäßige Sechsecke bestehen aus zwei Parallelogrammen. Um die Fläche eines Parallelogramms zu bestimmen, multiplizierst du seine Länge mit seiner Breite und addierst dann die beiden bereits bekannten Flächen. Video zum Ermitteln der Fläche eines Vielecks Ein gleichseitiges Sechseck hat sechs gleiche Seiten und ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Fläche eines gleichseitigen Sechsecks entspricht 6 Flächen der Dreiecke, in die eine regelmäßige sechseckige Figur unterteilt ist. Alle Dreiecke in einem regelmäßigen Sechseck sind gleich. Um also die Fläche eines solchen Sechsecks zu ermitteln, reicht es aus, die Fläche mindestens eines Dreiecks zu kennen. Um die Fläche eines gleichseitigen Sechsecks zu finden, wird natürlich die oben beschriebene Formel für die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks verwendet.

404 Nicht gefunden

Das Dekorieren eines Hauses, Kleidung, Zeichnen von Bildern trugen zum Prozess der Bildung und Anhäufung von Informationen auf dem Gebiet der Geometrie bei, die die Menschen jener Zeit Stück für Stück empirisch erlangten und von Generation zu Generation weitergaben. Heutzutage sind Kenntnisse der Geometrie für einen Schneider, einen Baumeister, einen Architekten und jeden gewöhnlichen Menschen im täglichen Leben notwendig. Daher müssen Sie lernen, wie man die Fläche verschiedener Figuren berechnet, und sich daran erinnern, dass jede der Formeln später in der Praxis nützlich sein kann, einschließlich der Formel für ein regelmäßiges Sechseck.
Ein Sechseck ist eine solche polygonale Figur, deren Gesamtzahl der Winkel sechs beträgt. Ein regelmäßiges Sechseck ist eine sechseckige Figur mit gleichen Seiten. Auch die Winkel eines regelmäßigen Sechsecks sind einander gleich.
Im Alltag finden wir oft Gegenstände, die die Form eines regelmäßigen Sechsecks haben.

Rechner für unregelmäßige Polygonflächen nach Seiten

Du wirst brauchen

• - Roulette;
• — elektronischer Entfernungsmesser;
• - ein Blatt Papier und einen Bleistift;
• - Taschenrechner.

Anweisung 1 Wenn Sie die Gesamtfläche einer Wohnung oder eines separaten Raums benötigen, lesen Sie einfach den technischen Pass für die Wohnung oder das Haus, er zeigt die Aufnahmen jedes Raums und die Gesamtaufnahme der Wohnung. 2 Um die Fläche eines rechteckigen oder quadratischen Raums zu messen, nehmen Sie ein Maßband oder einen elektronischen Entfernungsmesser und messen Sie die Länge der Wände. Achten Sie beim Messen von Entfernungen mit einem Entfernungsmesser darauf, die Strahlrichtung senkrecht zu halten, da sonst die Messergebnisse verfälscht werden können. 3 Multiplizieren Sie dann die resultierende Länge (in Metern) des Raums mit der Breite (in Metern). Der resultierende Wert ist die Grundfläche, sie wird in Quadratmetern gemessen.

Gaußsche Flächenformel

Wenn Sie die Grundfläche einer komplexeren Struktur berechnen müssen, z. B. eines fünfeckigen Raums oder eines Raums mit Rundbogen, skizzieren Sie eine schematische Skizze auf einem Blatt Papier. Teilen Sie dann die komplexe Form in mehrere einfache Formen auf, z. B. ein Quadrat und ein Dreieck oder ein Rechteck und einen Halbkreis. Verwenden Sie ein Maßband oder einen Entfernungsmesser, um die Größe aller Seiten der resultierenden Figuren zu messen (für einen Kreis müssen Sie den Durchmesser kennen) und tragen Sie die Ergebnisse in Ihre Zeichnung ein.

5 Berechnen Sie nun die Fläche jeder Form separat. Die Fläche von Rechtecken und Quadraten wird durch Multiplikation der Seiten berechnet. Um die Fläche eines Kreises zu berechnen, teilen Sie den Durchmesser durch zwei und ein Quadrat (multiplizieren Sie ihn mit sich selbst) und multiplizieren Sie dann das Ergebnis mit 3,14.
Wenn Sie nur die Hälfte des Kreises möchten, teilen Sie die resultierende Fläche in zwei Hälften. Um die Fläche eines Dreiecks zu berechnen, finden Sie P, indem Sie die Summe aller Seiten durch 2 teilen.

Formel zur Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Polygons

Wenn die Punkte gegen den Uhrzeigersinn fortlaufend nummeriert werden, sind die Determinanten in der obigen Formel positiv und der darin enthaltene Modul kann weggelassen werden; wenn sie im Uhrzeigersinn nummeriert werden, sind die Determinanten negativ. Dies liegt daran, dass die Formel als Spezialfall des Satzes von Green angesehen werden kann. Um die Formel anzuwenden, müssen Sie die Koordinaten der Polygonspitzen in der kartesischen Ebene kennen.

Nehmen wir zum Beispiel ein Dreieck mit den Koordinaten ((2, 1), (4, 5), (7, 8)). Nehmen Sie die erste x-Koordinate des ersten Scheitelpunkts und multiplizieren Sie sie mit der y-Koordinate des zweiten Scheitelpunkts, und multiplizieren Sie dann die x-Koordinate des zweiten Scheitelpunkts mit der y-Koordinate des dritten. Wir wiederholen diesen Vorgang für alle Knoten. Das Ergebnis kann nach folgender Formel ermittelt werden: A tri.

Die Formel zur Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Vierecks

A) _(\text(tri.))=(1 \über 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(1)-x_(2) y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(1)y_(3)|) wobei xi und yi die entsprechende Koordinate bezeichnen. Diese Formel erhalten Sie, indem Sie die Klammern in der allgemeinen Formel für den Fall n = 3 öffnen. Mit dieser Formel können Sie feststellen, dass die Fläche eines Dreiecks gleich der Hälfte der Summe von 10 + 32 + 7 - 4 - ist. 35 - 16, was 3 ergibt. Die Anzahl der Variablen in der Formel hängt von der Anzahl der Seiten des Polygons ab. Beispielsweise verwendet die Formel für die Fläche eines Fünfecks Variablen bis zu x5 und y5: Ein Pent. = 1 2 | x 1 y 2 + x 2 y 3 + x 3 y 4 + x 4 y 5 + x 5 y 1 − x 2 y 1 − x 3 y 2 − x 4 y 3 − x 5 y 4 − x 1 y 5 | (\displaystyle \mathbf (A) _(\text(pent.))=(1 \over 2)|x_(1)y_(2)+x_(2)y_(3)+x_(3)y_(4 )+x_(4)y_(5)+x_(5)y_(1)-x_(2)y_(1)-x_(3)y_(2)-x_(4)y_(3)-x_(5 )y_(4)-x_(1)y_(5)|) A für ein Quad - Variablen bis x4 und y4: Ein Quad.

Ein Sechseck oder Sechseck ist ein regelmäßiges Polygon, dessen Seiten gleich sind und jeder Winkel genau 120 Grad beträgt. Ein Sechseck kommt manchmal im menschlichen Alltag vor, daher müssen Sie seine Fläche möglicherweise nicht nur bei Schulproblemen, sondern auch im wirklichen Leben berechnen.

konvexes Sechseck

Heskagon ist ein regelmäßiges konvexes Polygon, alle seine Winkel sind gleich, alle Seiten sind gleich, und wenn Sie ein Segment durch zwei benachbarte Eckpunkte zeichnen, befindet sich die gesamte Figur auf einer Seite dieses Segments. Wie bei jedem regulären n-Eck kann ein Kreis um das Sechseck herum beschrieben oder darin eingeschrieben werden. Das Hauptmerkmal eines Sechsecks ist, dass die Länge des Radius des umschriebenen Kreises mit der Länge der Seite des Polygons übereinstimmt. Dank dieser Eigenschaft können Sie die Fläche eines Sechsecks leicht mit der Formel finden:

S \u003d 2,59 R 2 \u003d 2,59 a 2.

Außerdem bezieht sich der Radius des einbeschriebenen Kreises auf die Seite der Figur wie folgt:

Daraus folgt, dass die Fläche eines Sechsecks mit einer von drei Variablen zur Auswahl berechnet werden kann.

Hexagramm

Das sternförmige regelmäßige Sechseck erscheint vor uns in Form eines sechszackigen Sterns. Eine solche Figur entsteht durch Übereinanderlegen zweier gleichseitiger Dreiecke. Das berühmteste echte Hexagramm ist der Davidstern - das Symbol des jüdischen Volkes.

Hexagonale Zahlen

In der Zahlentheorie gibt es figurative Zahlen, die bestimmten geometrischen Formen zugeordnet sind. Am weitesten verbreitet sind dreieckige und quadratische sowie tetraedrische und pyramidenförmige Zahlen, mit denen sich geometrische Formen mit realen Objekten leicht anordnen lassen. Zum Beispiel sagen dir Pyramidenzahlen, wie man Kanonenkugeln zu einer stabilen Pyramide stapelt. Es gibt auch sechseckige Zahlen, die die Anzahl der Punkte bestimmen, die zum Bau eines Sechsecks erforderlich sind.

Sechseck in Wirklichkeit

Sechsecke werden oft im wirklichen Leben gesehen. Zum Beispiel sind die Abschnitte von Nüssen oder Stiften sechseckig, was einen bequemen Halt auf dem Objekt bietet. Das Sechseck ist eine effektive geometrische Figur, die eine Ebene ohne Lücken oder Überlappungen kacheln kann. Deshalb haben dekorative Veredelungsmaterialien, zum Beispiel Fliesen und Gehwegplatten oder Gipskartonplatten, oft eine sechseckige Form.

Die Effizienz des Sechsecks macht es auch in der Natur beliebt. Waben haben genau eine sechseckige Form, wodurch der Raum des Bienenstocks lückenlos ausgefüllt wird. Ein weiteres Beispiel für eine sechseckige Kachelung eines Flugzeugs ist der Giant's Trail, ein Wildtierdenkmal, das während eines Vulkanausbruchs entstanden ist. Vulkanasche wurde zu sechseckigen Säulen gepresst, die die Oberfläche der Küste Nordirlands pflasterten.

Packkreise in einem Flugzeug

Und ein bisschen mehr über die Wirksamkeit des Sechsecks. Das Packen von Bällen ist ein klassisches kombinatorisches Geometrieproblem, bei dem es erforderlich ist, den besten Weg zum Packen von sich nicht schneidenden Bällen zu finden. In der Praxis wird diese Aufgabe zu einem logistischen Problem beim Verpacken von Orangen, Äpfeln, Kanonenkugeln oder anderen kugelförmigen Objekten, die so dicht wie möglich gepackt werden müssen. Heskagon ist die Lösung für dieses Problem.

Es ist bekannt, dass die effizienteste Anordnung von Kreisen im zweidimensionalen Raum darin besteht, die Mittelpunkte der Kreise auf die Ecken von Sechsecken zu legen, die die Ebene lückenlos ausfüllen. In der 3D-Realität wird das Problem des Platzierens von Bällen gelöst, indem Objekte sechseckig gestapelt werden.

Mit unserem Rechner können Sie die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks berechnen, indem Sie seine Seite oder die Radien der entsprechenden Kreise kennen. Versuchen wir, die Flächen von Sechsecken anhand realer Beispiele zu berechnen.

Beispiele aus dem wirklichen Leben

riesiges Sechseck

Das riesige Sechseck ist ein einzigartiges atmosphärisches Phänomen auf dem Saturn, das wie ein grandioser Wirbelwind in Form eines regelmäßigen Sechsecks aussieht. Es ist bekannt, dass die Seite des riesigen Sechsecks 13.800 km beträgt, wodurch wir die Fläche der "Wolke" bestimmen können. Geben Sie dazu einfach den Wert der Seite in das Rechnerformular ein und erhalten Sie das Ergebnis:

Somit beträgt die Fläche des atmosphärischen Wirbels auf dem Saturn ungefähr 494.777.633 Quadratkilometer. Wirklich beeindruckend.

Sechseckiges Schach

Wir sind alle an das Schachfeld gewöhnt, das in 64 quadratische Felder unterteilt ist. Es gibt aber auch Sechseckschach, dessen Spielfeld in 91 regelmäßige Sechsecke unterteilt ist. Lassen Sie uns den Bereich des Spielbretts für die sechseckige Version des berühmten Spiels bestimmen. Lassen Sie die Seite der Zelle 2 Zentimeter betragen. Die Fläche einer Spielzelle wird sein:

Dann beträgt die Fläche des gesamten Bretts 91 × 10,39 = 945,49 Quadratzentimeter.

Fazit

Das Sechseck findet sich oft in der Realität, obwohl wir es nicht bemerken. Verwenden Sie unseren Online-Rechner, um die Fläche von Sechsecken für alltägliche oder schulische Probleme zu berechnen.

Ein Sechseck ist ein Vieleck mit 6 Seiten und 6 Winkeln. Abhängig davon, ob ein Sechseck regelmäßig ist oder nicht, gibt es mehrere Methoden, um seine Fläche zu bestimmen. Wir werden alles überprüfen.

So finden Sie die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks

Formeln zur Berechnung der Fläche eines regelmäßigen Sechsecks - eines konvexen Polygons mit sechs identischen Seiten.

Gegebene Seitenlänge:

• Flächenformel: S = (3√3*a²)/2
• Wenn die Länge der Seite a bekannt ist und wir sie in die Formel einsetzen, können wir leicht die Fläche der Figur finden.
• Andernfalls kann die Länge der Seite durch den Umfang und das Apothem gefunden werden.
• Wenn der Umfang gegeben ist, teilen wir ihn einfach durch 6 und erhalten die Länge einer Seite. Wenn der Umfang beispielsweise 24 beträgt, beträgt die Seitenlänge 24/6 = 4.
• Apothem ist eine Senkrechte, die von der Mitte zu einer der Seiten gezogen wird. Um die Länge einer Seite zu finden, setzen wir die Länge des Apothems in die Formel a = 2*m/√3 ein. Das heißt, wenn der Apothem m = 2√3 ist, dann ist die Seitenlänge a = 2*2√3/√3 = 4.

Gegeben ein Apothem:

• Flächenformel: S = 1/2*p*m, wobei p der Umfang und m der Apothem ist.
• Finden wir den Umfang des Sechsecks durch das Apothem. Im vorherigen Absatz haben wir gelernt, wie man die Länge einer Seite durch ein Apothem findet: a \u003d 2 * m / √3. Es bleibt nur noch, dieses Ergebnis mit 6 zu multiplizieren. Wir erhalten die Umfangsformel: p \u003d 12 * m / √3.

Gegeben ist der Radius des umschriebenen Kreises:

• Der Radius eines um ein regelmäßiges Sechseck umschriebenen Kreises ist gleich der Seite dieses Sechsecks.
  Flächenformel: S = (3√3*a²)/2

Gegeben ist der Radius des einbeschriebenen Kreises:

• Flächenformel: S = 3√3*r², wobei r = √3*a/2 (a ist eine der Seiten des Polygons).

So finden Sie die Fläche eines unregelmäßigen Sechsecks

Formeln zur Berechnung der Fläche eines unregelmäßigen Sechsecks - eines Polygons, dessen Seiten nicht gleich sind.

Trapezmethode:

• Wir teilen das Sechseck in beliebige Trapeze, berechnen die Fläche von jedem von ihnen und addieren sie.
• Grundformeln für die Fläche eines Trapezes: S = 1/2*(a + b)*h, wobei a und b die Basen des Trapezes sind, h die Höhe ist.
  S = h*m, wobei h die Höhe ist, m ​​ist die Mittellinie.

Die Koordinaten der Ecken des Sechsecks sind bekannt:

• Lassen Sie uns zunächst die Koordinaten der Punkte aufschreiben und sie nicht in einer chaotischen Reihenfolge, sondern nacheinander anordnen. Zum Beispiel:
  A: (-3, -2)
  B: (-1, 4)
  C: (6, 1)
  D: (3, 10)
  E: (-4, 9)
  F: (-5, 6)
• Als nächstes multiplizieren Sie vorsichtig die x-Koordinate jedes Punktes mit der y-Koordinate des nächsten Punktes:
  -3*4 = -12
  -1*1 = -1
  6*10 = 60
  3*9 = 27
  -4*6 = -24
  -5*(-2) = 10
  Addieren Sie die Ergebnisse:
  -12 – 1 + 60 + 27 – 24 + 10 = 60
  Als nächstes multiplizieren Sie die y-Koordinate jedes Punktes mit der x-Koordinate des nächsten Punktes.
  -2*(-1) = 2
  4*6 = 24
  1*3 = 3
  10*(-4) = -40
  9*(-5) = -45
  6*(-3) = -18
  Addieren Sie die Ergebnisse:
  2 + 24 + 3 – 40 – 45 – 18 = -74
  Subtrahiere das zweite vom ersten Ergebnis:
  60 -(-74) = 60 + 74 = 134
  Die resultierende Zahl wird durch zwei geteilt:
  134/2 = 67
  Antwort: 67 Quadrateinheiten.

• Um die Fläche eines Sechsecks zu finden, können Sie es auch in Dreiecke, Quadrate, Rechtecke, Parallelogramme usw. aufteilen. Finden Sie die Flächen seiner konstituierenden Figuren und addieren Sie sie.

Daher wurden die Methoden zum Ermitteln der Fläche eines Sechsecks für alle Gelegenheiten untersucht. Gehen Sie jetzt voran und wenden Sie an, was Sie gelernt haben! Viel Glück!

Das Thema Polygone wird zwar im Schullehrplan behandelt, aber zu wenig beachtet. Mittlerweile ist es interessant, und das gilt besonders für ein regelmäßiges Sechseck oder Hexagon – schließlich haben viele natürliche Objekte diese Form. Dazu gehören Waben und mehr. Diese Form wird in der Praxis sehr gut angewendet.

Definition und Konstruktion

Ein regelmäßiges Sechseck ist eine ebene Figur, die sechs gleich lange Seiten und die gleiche Anzahl gleicher Winkel hat.

Erinnern wir uns an die Formel für die Summe der Winkel eines Polygons

es stellt sich heraus, dass es in dieser Figur gleich 720 ° ist. Nun, da alle Winkel der Figur gleich sind, ist es einfach zu berechnen, dass jeder von ihnen gleich 120 ° ist.

Das Zeichnen eines Sechsecks ist sehr einfach, alles, was Sie brauchen, ist ein Kompass und ein Lineal.

Die Schritt-für-Schritt-Anleitung sieht folgendermaßen aus:

Wenn Sie möchten, können Sie auf eine Linie verzichten, indem Sie fünf Kreise mit gleichem Radius zeichnen.

Die so erhaltene Figur wird ein regelmäßiges Sechseck sein, und dies kann unten bewiesen werden.

Eigenschaften sind einfach und interessant

Um die Eigenschaften eines regelmäßigen Sechsecks zu verstehen, ist es sinnvoll, es in sechs Dreiecke zu zerlegen:

Dies wird in Zukunft helfen, seine Eigenschaften klarer darzustellen, von denen die wichtigsten sind:

1. umschriebener Kreisdurchmesser;
2. Durchmesser des Inkreises;
3. Quadrat;
4. Umfang.

Der umschriebene Kreis und die Möglichkeit der Konstruktion

Um ein Sechseck kann man einen Kreis beschreiben, und zwar nur einen. Da diese Figur stimmt, kannst du es ganz einfach machen: Zeichne aus zwei benachbarten Winkeln eine Winkelhalbierende nach innen. Sie schneiden sich im Punkt O und bilden zusammen mit der Seite zwischen ihnen ein Dreieck.

Die Winkel zwischen der Seite des Sechsecks und den Winkelhalbierenden betragen jeweils 60°, sodass wir definitiv sagen können, dass ein Dreieck, zum Beispiel AOB, gleichschenklig ist. Und da der dritte Winkel ebenfalls gleich 60° sein wird, ist er auch gleichseitig. Daraus folgt, dass die Segmente OA und OB gleich sind, was bedeutet, dass sie als Radius des Kreises dienen können.

Danach können Sie zur nächsten Seite gehen und auch eine Winkelhalbierende aus dem Winkel bei Punkt C zeichnen. Es wird sich ein weiteres gleichseitiges Dreieck herausstellen, und die Seite AB wird zwei gleichzeitig gemeinsam sein, und OS wird der nächste Radius sein, durch den derselbe Kreis geht. Es wird insgesamt sechs solcher Dreiecke geben, und sie werden einen gemeinsamen Scheitelpunkt am Punkt O haben. Es stellt sich heraus, dass es möglich sein wird, den Kreis zu beschreiben, und es ist nur einer, und sein Radius ist gleich der Seite des Sechsecks :

Deshalb ist es möglich, diese Figur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals zu konstruieren.

Nun, die Fläche dieses Kreises ist Standard:

Eingeschriebener Kreis

Der Mittelpunkt des umschriebenen Kreises fällt mit dem Mittelpunkt des einbeschriebenen zusammen. Um dies zu überprüfen, können wir Senkrechte vom Punkt O zu den Seiten des Sechsecks ziehen. Sie werden die Höhen jener Dreiecke sein, die das Sechseck bilden. Und in einem gleichschenkligen Dreieck ist die Höhe der Median in Bezug auf die Seite, auf der es ruht. Diese Höhe ist also nichts anderes als die Mittelsenkrechte, also der Radius des einbeschriebenen Kreises.

Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks wird einfach berechnet:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Und da R=a und r=h, stellt sich heraus, dass

r=R(√3)/2.

Der einbeschriebene Kreis verläuft also durch die Mittelpunkte der Seiten eines regelmäßigen Sechsecks.

Sein Bereich wird sein:

S=3πa²/4,

das heißt, drei Viertel der beschriebenen.

Umfang und Fläche

Mit dem Umfang ist alles klar, das ist die Summe der Seitenlängen:

P=6a, oder P=6R

Aber die Fläche ist gleich der Summe aller sechs Dreiecke, in die das Sechseck unterteilt werden kann. Da die Fläche eines Dreiecks als halbes Produkt aus Grundfläche und Höhe berechnet wird, gilt:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 oder

S=3R²(√3)/2

Wer diese Fläche durch den Radius des Inkreises berechnen möchte, kann das so machen:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Unterhaltsame Konstruktionen

In ein Sechseck kann ein Dreieck eingeschrieben werden, dessen Seiten die Eckpunkte durch eins verbinden:

Es wird insgesamt zwei von ihnen geben, und ihre gegenseitige Auferlegung wird den Davidstern geben. Jedes dieser Dreiecke ist gleichseitig. Dies ist leicht zu überprüfen. Wenn Sie sich die AC-Seite ansehen, gehört sie gleichzeitig zu zwei Dreiecken - BAC und AEC. Wenn im ersten von ihnen AB \u003d BC ist und der Winkel zwischen ihnen 120 ° beträgt, beträgt jeder der verbleibenden 30 °. Daraus können wir logische Schlüsse ziehen:

1. Die Höhe von ABC vom Scheitelpunkt B ist gleich der halben Seite des Sechsecks, da sin30°=1/2. Wer das überprüfen möchte, dem sei empfohlen, nach dem Satz des Pythagoras nachzurechnen, hier passt es perfekt.
2. Die AC-Seite ist gleich zwei Radien des einbeschriebenen Kreises, der wiederum unter Verwendung des gleichen Theorems berechnet wird. Das heißt, AC=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Die Dreiecke ABC, CDE und AEF sind in zwei Seiten und dem Winkel zwischen ihnen gleich, und daher folgt die Gleichheit der Seiten AC, CE und EA.

Die Dreiecke kreuzen sich und bilden ein neues Sechseck, das ebenfalls regelmäßig ist. Es ist leicht zu beweisen:

Somit entspricht die Figur den Zeichen eines regelmäßigen Sechsecks - sie hat sechs gleiche Seiten und Winkel. Aus der Gleichheit der Dreiecke an den Ecken lässt sich leicht die Seitenlänge des neuen Sechsecks ableiten:

d=a(√3)/3

Es wird auch der Radius des um ihn herum beschriebenen Kreises sein. Der Radius der Inschrift ist die Hälfte der Seite des großen Sechsecks, was bei der Betrachtung des Dreiecks ABC bewiesen wurde. Seine Höhe ist genau die Hälfte der Seite, daher ist die zweite Hälfte der Radius des Kreises, der in das kleine Sechseck eingeschrieben ist:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(a(√3)/3)²=a(√3)/2

Es stellt sich heraus, dass die Fläche des Sechsecks im Inneren des Davidsterns dreimal kleiner ist als die des großen Sechsecks, in das der Stern eingeschrieben ist.

Von der Theorie zur Praxis

Die Eigenschaften des Sechsecks werden sowohl in der Natur als auch in verschiedenen Bereichen der menschlichen Tätigkeit sehr aktiv genutzt. Dies gilt zunächst für Schrauben und Muttern - die Hüte der ersten und zweiten sind nichts anderes als ein regelmäßiges Sechseck, wenn Sie die Fasen nicht berücksichtigen. Die Größe der Schraubenschlüssel entspricht dem Durchmesser des Inkreises - also dem Abstand zwischen gegenüberliegenden Flächen.

Hat seine Anwendung gefunden und sechseckige Fliesen. Es ist viel seltener als ein viereckiges, aber es ist bequemer, es zu verlegen: Drei Fliesen treffen sich an einem Punkt, nicht vier. Kompositionen können sehr interessant sein:

Es werden auch Betonpflastersteine ​​hergestellt.

Die Verbreitung des Sechsecks in der Natur ist einfach erklärt. Daher ist es am einfachsten, Kreise und Kugeln eng auf einer Ebene anzubringen, wenn sie den gleichen Durchmesser haben. Aus diesem Grund haben Waben eine solche Form.

Mathematische Eigenschaften

Ein Merkmal eines regelmäßigen Sechsecks ist die Gleichheit seiner Seite und des Radius des umschriebenen Kreises, da

Alle Winkel sind 120°.

Der Radius des Inkreises ist:

Der Umfang eines regelmäßigen Sechsecks ist:

Die Fläche eines regelmäßigen Sechsecks wird nach den Formeln berechnet:

Sechsecke kacheln die Ebene, dh sie können die Ebene ohne Lücken und Überlappungen füllen und bilden das sogenannte Parkett.

Sechseckparkett (Sechseckparkett)- Tessellation der Ebene mit gleichen regelmäßigen Sechsecken, die Seite an Seite angeordnet sind.

Sechseckiges Parkett ist dual zu dreieckigem Parkett: Wenn Sie die Mittelpunkte benachbarter Sechsecke verbinden, ergeben die gezeichneten Segmente ein dreieckiges Parkett. Das Schläfli-Symbol eines sechseckigen Parketts ist (6,3), was bedeutet, dass an jeder Ecke des Parketts drei Sechsecke zusammenlaufen.

Hexagonales Parkett ist die dichteste Packung von Kreisen in der Ebene. Im zweidimensionalen euklidischen Raum besteht die beste Füllung darin, die Mittelpunkte der Kreise an den Ecken eines Parketts zu platzieren, das aus regelmäßigen Sechsecken besteht, in denen jeder Kreis von sechs anderen umgeben ist. Die Dichte dieser Packung beträgt . 1940 wurde bewiesen, dass diese Packung die dichteste ist.

Ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seite ist eine universelle Überdeckung, dh jeder Durchmessersatz kann von einem regelmäßigen Sechseck mit einer Seite überdeckt werden (Lemma von Pal).

Mit Zirkel und Lineal lässt sich ein regelmäßiges Sechseck konstruieren. Unten ist die von Euklid in den Elementen, Buch IV, Theorem 15 vorgeschlagene Konstruktionsmethode.

Regelmäßiges Sechseck in Natur, Technik und Kultur

zeigen die Aufteilung der Ebene in regelmäßige Sechsecke. Die sechseckige Form mehr als die anderen ermöglicht es Ihnen, an den Wänden zu sparen, das heißt, mit solchen Zellen wird weniger Wachs für Waben ausgegeben.

Einige komplexe Kristalle und Moleküle, wie Graphit, haben ein hexagonales Kristallgitter.

Entstehen, wenn mikroskopisch kleine Wassertröpfchen in Wolken von Staubpartikeln angezogen werden und gefrieren. Die dabei entstehenden Eiskristalle, die zunächst einen Durchmesser von 0,1 mm nicht überschreiten, fallen herunter und wachsen durch Kondensation von Luftfeuchtigkeit an ihnen. In diesem Fall werden sechszackige kristalline Formen gebildet. Aufgrund der Struktur der Wassermoleküle sind zwischen den Strahlen des Kristalls nur Winkel von 60° und 120° möglich. Der Hauptwasserkristall hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks in der Ebene. Auf den Spitzen eines solchen Sechsecks werden dann neue Kristalle abgelagert, neue werden darauf abgelagert, und so werden verschiedene Formen von Schneeflockensternen erhalten.

Wissenschaftler der Universität Oxford konnten die Entstehung eines solchen Sechsecks im Labor simulieren. Um herauszufinden, wie eine solche Entstehung zustande kommt, stellten die Forscher eine 30-Liter-Flasche Wasser auf einen Drehteller. Sie modellierte die Atmosphäre des Saturn und seine übliche Rotation. Im Inneren platzierten die Wissenschaftler kleine Ringe, die sich schneller drehen als der Behälter. Dadurch entstanden Miniaturwirbel und Jets, die die Experimentatoren mit grüner Farbe sichtbar machten. Je schneller sich der Ring drehte, desto größer wurden die Wirbel, was dazu führte, dass der nahegelegene Strom von einer Kreisform abwich. So gelang es den Autoren des Experiments, verschiedene Formen zu erhalten - Ovale, Dreiecke, Quadrate und natürlich das gewünschte Sechseck.

Ein Naturdenkmal aus etwa 40.000 miteinander verbundenen Basaltsäulen (selten aus Andesit), die als Ergebnis eines alten Vulkanausbruchs entstanden sind. Im Nordosten Nordirlands gelegen, 3 km nördlich der Stadt Bushmills.

Die Spitzen der Säulen bilden eine Art Sprungbrett, das am Fuß der Klippe beginnt und unter der Meeresoberfläche verschwindet. Die meisten Säulen sind sechseckig, obwohl einige vier, fünf, sieben oder acht Ecken haben. Die höchste Säule ist etwa 12 Meter hoch.

Vor etwa 50-60 Millionen Jahren, während der Paläogenzeit, war der Standort Antrim intensiver vulkanischer Aktivität ausgesetzt, als geschmolzener Basalt durch die Ablagerungen drang und ausgedehnte Lavaplateaus bildete. Bei schneller Abkühlung nahm das Volumen der Substanz ab (dies wird beobachtet, wenn der Schlamm trocknet). Durch horizontale Verdichtung entstand die charakteristische Struktur sechseckiger Pfeiler.

Der Querschnitt der Mutter hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks.