Ausrüstung:

• Computer,
• Multimedia-Projektor,
• Bildschirm,
• Anhang 1(Folienpräsentation in PowerPoint) „Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen“
• Anlage 2(Die Lösung der Gleichung vom Typ „Drei verschiedene Basen Grad" in Word)
• Anhang 3(Handzettel in Word für praktische Arbeit).
• Anhang 4(Handzettel in Word für Hausaufgaben).

Während des Unterrichts

1. Organisationsphase

• Botschaft des Unterrichtsthemas (an die Tafel geschrieben),
• die Notwendigkeit eines verallgemeinernden Unterrichts in den Klassen 10-11:

Die Phase der Vorbereitung der Schüler auf die aktive Aneignung von Wissen

Wiederholung

Definition.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Variable im Exponenten enthält (der Schüler antwortet).

Anmerkung des Lehrers. Die Exponentialgleichungen gehören zur Klasse der transzendentalen Gleichungen. Dieser schwer auszusprechende Name deutet darauf hin, dass solche Gleichungen im Allgemeinen nicht in Form von Formeln gelöst werden können.

Sie können nur durch näherungsweise numerische Verfahren auf Computern gelöst werden. Aber was ist mit Prüfungsfragen? Der ganze Trick besteht darin, dass der Prüfer die Aufgabe so formuliert, dass sie gerade noch eine analytische Lösung zulässt. Mit anderen Worten, Sie können (und sollten!) solche identischen Transformationen durchführen, die das Gegebene reduzieren Exponentialgleichung auf die einfachste Exponentialgleichung. Dies ist die einfachste Gleichung und heißt: die einfachste Exponentialgleichung. Es ist gelöst Logarithmus.

Die Situation bei der Lösung einer Exponentialgleichung ähnelt einer Reise durch ein Labyrinth, das eigens vom Ersteller des Problems erfunden wurde. Aus diesen sehr allgemeinen Überlegungen folgen ganz konkrete Empfehlungen.

Um Exponentialgleichungen erfolgreich zu lösen, müssen Sie:

1. Kennen Sie nicht nur aktiv alle exponentiellen Identitäten, sondern finden Sie auch Wertesätze der Variablen, auf denen diese Identitäten definiert sind, damit Sie bei Verwendung dieser Identitäten keine unnötigen Wurzeln erwerben und vor allem nicht verlieren Lösungen der Gleichung.

2. Kenne aktiv alle exponentiellen Identitäten.

3. Führen Sie mathematische Transformationen von Gleichungen klar, detailliert und fehlerfrei durch (übertragen Sie Terme von einem Teil der Gleichung in einen anderen, vergessen Sie nicht, das Vorzeichen zu ändern, reduzieren Sie den Bruch auf einen gemeinsamen Nenner usw.). Das nennt man mathematische Kultur. Gleichzeitig sollten die Berechnungen selbst automatisch von Hand erfolgen und der Kopf über den allgemeinen roten Faden der Lösung nachdenken. Es ist notwendig, Transformationen so sorgfältig und detailliert wie möglich vorzunehmen. Nur so ist eine korrekte und fehlerfreie Lösung gewährleistet. Und denken Sie daran: Ein kleiner Rechenfehler kann einfach eine transzendente Gleichung erzeugen, die im Prinzip nicht analytisch gelöst werden kann. Es stellt sich heraus, dass Sie sich verirrt haben und gegen die Wand des Labyrinths gelaufen sind.

4. Kennen Sie die Methoden zur Lösung von Problemen (dh kennen Sie alle Wege durch das Labyrinth der Lösung). Für die richtige Orientierung in jeder Phase müssen Sie (bewusst oder intuitiv!):

• definieren Gleichungstyp;
• Merken Sie sich den entsprechenden Typ Lösungsmethode Aufgaben.

Das Stadium der Verallgemeinerung und Systematisierung des untersuchten Materials.

Der Lehrer führt zusammen mit den Schülern unter Einbeziehung eines Computers eine Übersichtswiederholung aller Arten von Exponentialgleichungen und Methoden zu ihrer Lösung durch und erstellt ein allgemeines Schema. (Das Trainingscomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Course of Mathematics - 2000" wird verwendet, der Autor der PowerPoint-Präsentation ist T. N. Kuptsova.)

Reis. eines. Die Abbildung zeigt ein allgemeines Schema aller Arten von Exponentialgleichungen.

Wie aus diesem Diagramm ersichtlich ist, besteht die Strategie zum Lösen von Exponentialgleichungen darin, diese Exponentialgleichung zunächst auf die Gleichung zu reduzieren, mit den gleichen Grundlagen , und dann - und mit denselben Exponenten.

Nachdem Sie eine Gleichung mit denselben Basen und Exponenten erhalten haben, ersetzen Sie diesen Grad durch eine neue Variable und erhalten eine einfache algebraische Gleichung (normalerweise gebrochen rational oder quadratisch) in Bezug auf diese neue Variable.

Indem Sie diese Gleichung lösen und eine umgekehrte Substitution vornehmen, erhalten Sie am Ende eine Reihe einfacher Exponentialgleichungen, die gelöst werden Gesamtansicht Logarithmen verwenden.

Abseits stehen Gleichungen, in denen nur Produkte (privater) Potenzen vorkommen. Mit Hilfe von Exponentialidentitäten ist es möglich, diese Gleichungen sofort auf eine Basis zu bringen, insbesondere auf die einfachste Exponentialgleichung.

Überlegen Sie, wie eine Exponentialgleichung mit drei verschiedenen Gradbasen gelöst wird.

(Wenn der Lehrer ein Lehrcomputerprogramm von L. Ya. Borevsky "Kurs für Mathematik - 2000" hat, dann arbeiten wir natürlich mit der Diskette, wenn nicht, können Sie diese Art von Gleichung für jeden Tisch daraus ausdrucken, wie unten dargestellt .)

Reis. 2. Gleichungslösungsplan.

Reis. 3. Beginnen Sie, die Gleichung zu lösen

Reis. vier. Das Ende der Lösung der Gleichung.

Praktische Arbeit leisten

Bestimme die Art der Gleichung und löse sie.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Zusammenfassung der Lektion

Eine Unterrichtsstunde benoten.

Ende des Unterrichts

Für den Lehrer

Schema der praktischen Arbeitsantworten.

Übung: Wählen Sie aus der Liste der Gleichungen die Gleichungen des angegebenen Typs aus (geben Sie die Nummer der Antwort in die Tabelle ein):

1. Drei verschiedene Basen
2. Zwei verschiedene Basen - verschiedene Exponenten
3. Potenzbasen - Potenzen einer Zahl
4. Gleiche Basen, unterschiedliche Exponenten
5. Gleiche Exponentenbasen - gleiche Exponenten
6. Produkt der Kräfte
7. Zwei verschiedene Abschlussbasen - dieselben Indikatoren
8. Die einfachsten Exponentialgleichungen

1. (Produkt der Potenzen)

2. (gleiche Basen - unterschiedliche Exponenten)

Vorlesung: "Methoden zum Lösen von Exponentialgleichungen."

1 . Exponentialgleichungen.

Gleichungen, die Unbekannte im Exponenten enthalten, heißen Exponentialgleichungen. Die einfachste davon ist die Gleichung ax = b, wobei a > 0 und a ≠ 1.

1) Für b< 0 и b = 0 это уравнение, согласно свойству 1 показательной функции, не имеет решения.

2) Für b > 0 hat die Gleichung unter Verwendung der Monotonie der Funktion und des Wurzelsatzes eine einzelne Wurzel. Um es zu finden, muss b als b = añ, ax = bс ó x = c oder x = logab dargestellt werden.

Exponentialgleichungen durch algebraische Transformationen führen zu Standardgleichungen, die mit folgenden Methoden gelöst werden:

1) Methode der Reduktion auf eine Base;

2) Bewertungsmethode;

3) grafische Methode;

4) die Methode zur Einführung neuer Variablen;

5) Faktorisierungsmethode;

6) Exponential - Potenzgleichungen;

7) Exponential mit einem Parameter.

2 . Methode der Reduktion auf eine Basis.

Das Verfahren basiert auf folgender Eigenschaft von Graden: Wenn zwei Grade gleich sind und ihre Basen gleich sind, dann sind ihre Exponenten gleich, d.h. es sollte versucht werden, die Gleichung auf die Form zu bringen

Beispiele. Löse die Gleichung:

1 . 3x=81;

Lassen Sie uns die rechte Seite der Gleichung in der Form 81 = 34 darstellen und die Gleichung schreiben, die dem Original 3 x = 34 entspricht; x = 4. Antwort: 4.

2. https://pandia.ru/text/80/142/images/image004_8.png" width="52" height="49"> und gehe zur Gleichung für Exponenten 3x+1 = 3 – 5x; 8x = 4; x = 0,5 Antwort: 0,5

3. https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_8.png" width="105" height="47">

Beachten Sie, dass die Zahlen 0,2, 0,04, √5 und 25 Potenzen von 5 sind. Machen wir uns das zunutze und wandeln die ursprüngliche Gleichung wie folgt um:

, woher 5-x-1 = 5-2x-2 ó - x - 1 = - 2x - 2, woraus wir die Lösung x = -1 finden. Antwort 1.

5. 3x = 5. Nach Definition des Logarithmus ist x = log35. Antwort: log35.

6. 62x+4 = 33x. 2x+8.

Schreiben wir die Gleichung um als 32x+4.22x+4 = 32x.2x+8, d.h..png" width="181" height="49 src="> Also x - 4 =0, x = 4. Antwort: vier.

7 . 2∙3x+1 - 6∙3x-2 - 3x = 9. Unter Verwendung der Eigenschaften von Potenzen schreiben wir die Gleichung in der Form zB x+1 = 2, x =1. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 1.

Löse die Gleichung:

Versuch Nummer 1.

	1) 0 2) 4 3) -2 4) -4
A2 32x-8 = √3.	1)17/4 2) 17 3) 13/2 4) -17/4
A3	1) 3;1 2) -3;-1 3) 0;2 4) keine Wurzeln
	1) 7;1 2) keine Wurzeln 3) -7;1 4) -1;-7
A5	1) 0;2; 2) 0;2;3 3) 0 4) -2;-3;0
A6	1) -1 2) 0 3) 2 4) 1

Test Nr. 2

A1	1) 3 2) -1;3 3) -1;-3 4) 3;-1
A2	1) 14/3 2) -14/3 3) -17 4) 11
A3	1) 2;-1 2) keine Wurzeln 3) 0 4) -2;1
A4	1) -4 2) 2 3) -2 4) -4;2
A5	1) 3 2) -3;1 3) -1 4) -1;3

3 Bewertungsmethode.

Der Wurzelsatz: Wenn die Funktion f (x) auf dem Intervall I zunimmt (abnimmt), die Zahl a ein beliebiger Wert ist, der von f in diesem Intervall angenommen wird, dann hat die Gleichung f (x) = a eine einzelne Wurzel auf dem Intervall I.

Beim Lösen von Gleichungen durch das Schätzverfahren werden dieses Theorem und die Monotonieeigenschaften der Funktion verwendet.

Beispiele. Gleichungen lösen: 1. 4x = 5 - x.

Lösung. Schreiben wir die Gleichung um als 4x + x = 5.

1. Wenn x \u003d 1, dann 41 + 1 \u003d 5, 5 \u003d 5 wahr ist, dann ist 1 die Wurzel der Gleichung.

Die Funktion f(x) = 4x wächst auf R und g(x) = x wächst auf R => h(x)= f(x)+g(x) wächst auf R als Summe der steigenden Funktionen, x = 1 ist also die einzige Wurzel der Gleichung 4x = 5 – x. Antwort 1.

2.

Lösung. Wir schreiben die Gleichung in die Form um .

1. wenn x = -1, dann , 3 = 3-wahr, also ist x = -1 die Wurzel der Gleichung.

2. beweisen, dass es einzigartig ist.

3. Die Funktion f(x) = - nimmt mit R ab, und g(x) = - x - nimmt mit R ab => h(x) = f(x) + g(x) - nimmt mit R ab, als Summe von abnehmenden Funktionen. Nach dem Wurzelsatz ist also x = -1 die einzige Wurzel der Gleichung. Antwort 1.

Aufgabenbank Nr. 2. löse die Gleichung

a) 4x + 1 = 6 - x;

b)

c) 2x – 2 =1 – x;

4. Verfahren zur Einführung neuer Variablen.

Die Methode ist in Abschnitt 2.1 beschrieben. Die Einführung einer neuen Variablen (Substitution) erfolgt in der Regel nach Transformationen (Vereinfachung) der Terme der Gleichung. Betrachten Sie Beispiele.

Beispiele. R Essensgleichung: 1. .

Schreiben wir die Gleichung anders um: https://pandia.ru/text/80/142/images/image030_0.png" width="128" height="48 src="> i.e..png" width="210" height = "45">

Lösung. Schreiben wir die Gleichung anders um:

Bezeichnen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image035_0.png" width="245" height="57"> - nicht geeignet.

t = 4 => https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_0.png" width="268" height="51"> ist eine irrationale Gleichung. Beachten Sie das

Die Lösung der Gleichung ist x = 2,5 ≤ 4, also ist 2,5 die Wurzel der Gleichung. Antwort: 2.5.

Lösung. Lassen Sie uns die Gleichung in der Form umschreiben und beide Seiten durch 56x+6 ≠ 0 teilen. Wir erhalten die Gleichung

2x2-6x-7 = 2x2-6x-8 +1 = 2(x2-3x-4)+1, also..png" width="118" height="56">

Die Wurzeln der quadratischen Gleichung - t1 = 1 und t2<0, т. е..png" width="200" height="24">.

Lösung . Wir schreiben die Gleichung in die Form um

und beachten Sie, dass es sich um eine homogene Gleichung zweiten Grades handelt.

Teilen Sie die Gleichung durch 42x, erhalten wir

Ersetzen Sie https://pandia.ru/text/80/142/images/image049_0.png" width="16" height="41 src="> .

Antwort: 0; 0,5.

Aufgabenbank Nr. 3. löse die Gleichung

b)

G)

Prüfung Nr. 3 mit Antwortauswahl. Mindestniveau.

A1	1) -0,2;2 2) log52 3) –log52 4) 2
À2 0,52x – 3 0,5x +2 = 0.	1) 2;1 2) -1;0 3) keine Wurzeln 4) 0
	1) 0 2) 1; -1/3 3) 1 4) 5
A4 52x-5x - 600 = 0.	1) -24;25 2) -24,5; 25,5 3) 25 4) 2
	1) keine Wurzeln 2) 2;4 3) 3 4) -1;2

Prüfung Nr. 4 mit Antwortauswahl. Allgemeine Ebene.

A1	1) 2;1 2) ½;0 3)2;0 4) 0
À2 2x – (0,5)2x – (0,5)x + 1 = 0	1) -1;1 2) 0 3) -1;0;1 4) 1
	1) 64 2) -14 3) 3 4) 8
	1)-1 2) 1 3) -1;1 4) 0
A5	1) 0 2) 1 3) 0;1 4) keine Wurzeln

5. Methode der Faktorisierung.

1. Löse die Gleichung: 5x+1 - 5x-1 = 24.

Lösung..png" width="169" height="69"> , woher

2. 6x + 6x+1 = 2x + 2x+1 + 2x+2.

Lösung. Nehmen wir 6x auf der linken Seite der Gleichung heraus und 2x auf der rechten Seite. Wir erhalten die Gleichung 6x(1+6) = 2x(1+2+4) ó 6x = 2x.

Da 2x >0 für alle x ist, können wir beide Seiten dieser Gleichung durch 2x dividieren, ohne befürchten zu müssen, Lösungen zu verlieren. Wir erhalten 3x = 1ó x = 0.

3.

Lösung. Wir lösen die Gleichung durch Faktorisieren.

Wir wählen das Quadrat des Binoms

4. https://pandia.ru/text/80/142/images/image067_0.png" width="500" height="181">

x = -2 ist die Wurzel der Gleichung.

Gleichung x + 1 = 0 " style="border-collapse:collapse;border:none">

A1 5x-1 +5x -5x+1 = -19.

1) 1 2) 95/4 3) 0 4) -1

A2 3x+1 +3x-1 =270.

1) 2 2) -4 3) 0 4) 4

A3 32x + 32x+1 -108 = 0. x=1,5

1) 0,2 2) 1,5 3) -1,5 4) 3

1) 1 2) -3 3) -1 4) 0

A5 2x -2x-4 = 15.x=4

1) -4 2) 4 3) -4;4 4) 2

Test Nr. 6 Allgemeine Ebene.

A1 (22x-1)(24x+22x+1)=7.	1) ½ 2) 2 3) -1;3 4) 0,2
A2	1) 2,5 2) 3;4 3) log43/2 4) 0
A3 2x-1-3x=3x-1-2x+2.	1) 2 2) -1 3) 3 4) -3
A4	1) 1,5 2) 3 3) 1 4) -4
A5	1) 2 2) -2 3) 5 4) 0

6. Exponential - Potenzgleichungen.

An die Exponentialgleichungen schließen sich die sogenannten Exponentialgleichungen an, also Gleichungen der Form (f(x))g(x) = (f(x))h(x).

Wenn bekannt ist, dass f(x) > 0 und f(x) ≠ 1, dann wird die Gleichung, wie die Exponentialgleichung, durch Gleichsetzen der Exponenten g(x) = f(x) gelöst.

Wenn die Bedingung die Möglichkeit von f(x)=0 und f(x)=1 nicht ausschließt, müssen wir diese Fälle beim Lösen der Potenzgleichung berücksichtigen.

1..png" width="182" height="116 src=">

2.

Lösung. x2 +2x-8 - macht für jedes x Sinn, weil ein Polynom, also die Gleichung äquivalent zur Menge ist

https://pandia.ru/text/80/142/images/image078_0.png" width="137" height="35">

b)

7. Exponentialgleichungen mit Parametern.

1. Für welche Werte des Parameters p hat die Gleichung 4 (5 – 3)2 +4p2–3p = 0 (1) eine eindeutige Lösung?

Lösung. Führen wir die Änderung 2x = t, t > 0 ein, dann nimmt Gleichung (1) die Form t2 – (5p – 3)t + 4p2 – 3p = 0 an. (2)

Die Diskriminante von Gleichung (2) ist D = (5p – 3)2 – 4(4p2 – 3p) = 9(p – 1)2.

Gleichung (1) hat eine eindeutige Lösung, wenn Gleichung (2) eine positive Wurzel hat. Dies ist in folgenden Fällen möglich.

1. Wenn D = 0, also p = 1, dann hat Gleichung (2) die Form t2 – 2t + 1 = 0, also t = 1, daher hat Gleichung (1) eine eindeutige Lösung x = 0.

2. Wenn p1, dann 9(p – 1)2 > 0, dann hat Gleichung (2) zwei verschiedene Wurzeln t1 = p, t2 = 4p – 3. Die Menge der Systeme erfüllt die Bedingung des Problems

Wenn wir t1 und t2 in die Systeme einsetzen, haben wir

https://pandia.ru/text/80/142/images/image084_0.png" alt="(!LANG:no35_11" width="375" height="54"> в зависимости от параметра a?!}

Lösung. Lassen dann nimmt Gleichung (3) die Form t2 – 6t – a = 0 an. (4)

Lassen Sie uns die Werte des Parameters a finden, für die mindestens eine Wurzel der Gleichung (4) die Bedingung t > 0 erfüllt.

Führen wir die Funktion f(t) = t2 – 6t – a ein. Folgende Fälle sind möglich.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image087.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_14.gif" align="left" width="215" height="73 src=">где t0 - абсцисса вершины параболы и D - дискриминант квадратного трехчлена f(t);!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image089.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_16.gif" align="left" width="60" height="51 src=">!}

Fall 2. Gleichung (4) hat eine eindeutige positive Lösung, wenn

D = 0, wenn a = – 9, dann nimmt Gleichung (4) die Form an (t – 3)2 = 0, t = 3, x = – 1.

Fall 3. Gleichung (4) hat zwei Wurzeln, aber eine davon erfüllt nicht die Ungleichung t > 0. Dies ist möglich, wenn

https://pandia.ru/text/80/142/images/image092.png" alt="(!LANG:no35_17" width="267" height="63">!}

Somit hat Gleichung (4) bei a 0 eine einzige positive Wurzel . Dann hat Gleichung (3) eine eindeutige Lösung

Für ein< – 9 уравнение (3) корней не имеет.

wenn ein< – 9, то корней нет; если – 9 < a < 0, то
wenn a = – 9, dann x = – 1;

wenn a  0, dann

Vergleichen wir die Methoden zum Lösen der Gleichungen (1) und (3). Beachten Sie, dass beim Lösen von Gleichung (1) auf eine quadratische Gleichung reduziert wurde, deren Diskriminante ein volles Quadrat ist; somit wurden die Wurzeln von Gleichung (2) sofort durch die Formel der Wurzeln der quadratischen Gleichung berechnet, und dann wurden Schlussfolgerungen bezüglich dieser Wurzeln gezogen. Gleichung (3) wurde auf eine quadratische Gleichung (4) reduziert, deren Diskriminante kein perfektes Quadrat ist. Daher ist es ratsam, beim Lösen von Gleichung (3) Theoreme über die Position der Wurzeln eines quadratischen Trinoms und zu verwenden ein grafisches Modell. Beachten Sie, dass Gleichung (4) unter Verwendung des Vieta-Theorems gelöst werden kann.

Lassen Sie uns komplexere Gleichungen lösen.

Aufgabe 3. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. ODZ: x1, x2.

Lassen Sie uns einen Ersatz einführen. Sei 2x = t, t > 0, dann nimmt die Gleichung als Ergebnis der Transformationen die Form t2 + 2t – 13 – a = 0 an. (*) Lassen Sie uns die Werte von a finden, für die mindestens eine Wurzel von die Gleichung (*) erfüllt die Bedingung t > 0.

https://pandia.ru/text/80/142/images/image098.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_23.gif" align="left" width="71" height="68 src=">где t0 - абсцисса вершины f(t) = t2 + 2t – 13 – a, D - дискриминант квадратного трехчлена f(t).!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image100.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_25.gif" align="left" width="360" height="32 src=">!}

https://pandia.ru/text/80/142/images/image102.png" alt="(!LANG:http://1september.ru/ru/mat/2002/35/no35_27.gif" align="left" width="218" height="42 src=">!}

Antwort: wenn a > - 13, a  11, a  5, dann wenn a - 13,

a = 11, a = 5, dann gibt es keine Wurzeln.

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Was ist eine Exponentialgleichung? Beispiele.

Also eine Exponentialgleichung... Ein neues einzigartiges Exponat auf unserer allgemeinen Ausstellung der verschiedensten Gleichungen!) Wie fast immer ist das Schlüsselwort eines neuen mathematischen Begriffs das entsprechende Adjektiv, das ihn charakterisiert. Also auch hier. Stichwort in dem Begriff "Exponentialgleichung" ist das Wort "demonstrativ". Was bedeutet das? Dieses Wort bedeutet, dass das Unbekannte (x) ist in Bezug auf jeden Abschluss. Und nur dort! Das ist extrem wichtig.

Zum Beispiel diese einfachen Gleichungen:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Oder sogar diese Monster:

2 Sünde x = 0,5

Ich bitte Sie, sofort auf eine wichtige Sache zu achten: in Gründen Grad (unten) - nur Zahlen. Aber in Indikatoren Grad (oben) - eine Vielzahl von Ausdrücken mit x. Absolut beliebig.) Alles hängt von der spezifischen Gleichung ab. Wenn x plötzlich irgendwo anders in der Gleichung auftaucht, zusätzlich zum Indikator (z. B. 3 x \u003d 18 + x 2), ist eine solche Gleichung bereits eine Gleichung gemischter Typ. Solche Gleichungen haben keine klaren Regeln zum Lösen. Daher werden wir sie in dieser Lektion nicht berücksichtigen. Zur Freude der Schüler.) Wir betrachten hier nur Exponentialgleichungen in "reiner" Form.

Generell werden auch reine Exponentialgleichungen nicht in allen Fällen und nicht immer eindeutig gelöst. Aber unter der reichen Vielfalt von Exponentialgleichungen gibt es bestimmte Arten, die gelöst werden können und sollten. Es sind diese Arten von Gleichungen, die wir mit Ihnen betrachten werden. Und die Beispiele werden wir auf jeden Fall lösen.) Also richten wir uns gemütlich ein und - on the road! Wie bei Computer-"Shootern" führt unsere Reise durch die Levels.) Von elementar bis einfach, von einfach bis mittel und von mittel bis komplex. Unterwegs warten Sie auch auf ein geheimes Level - Tricks und Methoden zum Lösen von nicht standardmäßigen Beispielen. Diejenigen, von denen Sie in den meisten Schulbüchern nicht lesen werden ... Na, am Ende erwartet Sie natürlich der Endgegner in Form von Hausaufgaben.)

Level 0. Was ist die einfachste Exponentialgleichung? Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen.

Schauen wir uns zunächst einige offene Grundkenntnisse an. Irgendwo muss man ja anfangen, oder? Zum Beispiel diese Gleichung:

2 x = 2 2

Auch ohne Theorien, mit einfacher Logik und gesundem Menschenverstand ist klar, dass x = 2 ist. Sonst gibt es keinen Weg, oder? Kein anderer Wert von x ist gut ... Wenden wir uns nun dem zu Entscheidungsprotokoll diese coole Exponentialgleichung:

2 x = 2 2

X = 2

Was ist mit uns passiert? Und folgendes geschah. Wir haben tatsächlich die gleichen Basen (Zweier) genommen und ... einfach weggeworfen! Völlig rausgeschmissen. Und, was gefällt, ins Schwarze treffen!

Ja, allerdings, wenn in der Exponentialgleichung links und rechts stehen das Gleiche Zahlen in beliebigem Grad, dann können diese Zahlen verworfen werden und die Exponenten einfach gleichgesetzt werden. Mathematik erlaubt.) Und dann können Sie separat mit Indikatoren arbeiten und eine viel einfachere Gleichung lösen. Es ist großartig, oder?

Hier ist die Schlüsselidee, um jede (ja, genau jede!) Exponentialgleichung zu lösen: Mit Hilfe identischer Transformationen muss sichergestellt werden, dass Links und Rechts in der Gleichung stehen das Gleiche Basiszahlen in verschiedenen Graden. Und dann können Sie dieselben Basen sicher entfernen und die Exponenten gleichsetzen. Und arbeite mit einer einfacheren Gleichung.

Und jetzt erinnern wir uns an die eiserne Regel: Es ist möglich, dieselben Basen genau dann zu entfernen, wenn in der Gleichung links und rechts die Basenzahlen stehen in stolzer Einsamkeit.

Was bedeutet es, in herrlicher Isolation? Das heißt ohne Nachbarn und Koeffizienten. Ich erkläre.

Zum Beispiel in der Gleichung

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Sie können keine Drillinge entfernen! Wieso den? Denn auf der linken Seite haben wir nicht nur eine einsame Drei im Grad, sondern Arbeit 3 3 x-5 . Ein zusätzliches Tripel kommt in die Quere: ein Koeffizient, verstehen Sie.)

Dasselbe kann über die Gleichung gesagt werden

5 3 x = 5 2 x +5 x

Auch hier sind alle Basen gleich – fünf. Aber auf der rechten Seite haben wir keinen einzigen Grad von fünf: es gibt die Summe der Grade!

Kurz gesagt, wir haben das Recht, dieselben Basen nur dann zu entfernen, wenn unsere Exponentialgleichung so und nur so aussieht:

af (x) = ein g (x)

Diese Art von Exponentialgleichung wird aufgerufen das einfachste. Oder wissenschaftlich, kanonisch . Und egal, wie die verdrehte Gleichung vor uns aussieht, auf die eine oder andere Weise werden wir sie auf eine so einfache (kanonische) Form bringen. Oder in einigen Fällen zu Aggregate Gleichungen dieser Art. Dann kann unsere einfachste Gleichung in allgemeiner Form wie folgt umgeschrieben werden:

F(x) = g(x)

Und alle. Dies wird die äquivalente Transformation sein. Dabei können als f(x) und g(x) absolut beliebige Ausdrücke mit x verwendet werden. Wie auch immer.

Vielleicht wird sich ein besonders neugieriger Schüler fragen: Warum um alles in der Welt verwerfen wir so einfach und einfach die gleichen Basen links und rechts und setzen die Exponenten gleich? Intuition ist Intuition, aber plötzlich stellt sich dieser Ansatz in irgendeiner Gleichung und aus irgendeinem Grund als falsch heraus? Ist es immer legal, die gleichen Bases zu werfen? Leider für eine strenge mathematische Antwort darauf Interesse fragen Sie müssen sich tief und ernsthaft mit der allgemeinen Theorie der Struktur und des Verhaltens von Funktionen befassen. Und ein bisschen genauer - im Phänomen strenge Monotonie. Insbesondere die strikte Monotonie Exponentialfunktionj= ein x. Da es die Exponentialfunktion und ihre Eigenschaften sind, die der Lösung von Exponentialgleichungen zugrunde liegen, ja.) Eine detaillierte Antwort auf diese Frage wird in einer separaten Speziallektion gegeben, die sich mit der Lösung komplexer nicht standardmäßiger Gleichungen unter Verwendung der Monotonie verschiedener Funktionen befasst.)

Diesen Punkt jetzt im Detail zu erklären, bedeutet nur, einem durchschnittlichen Schulkind das Gehirn herauszunehmen und ihm mit einer trockenen und schweren Theorie vor der Zeit Angst zu machen. Ich werde das nicht tun.) Für unsere Hauptsache dieser Moment eine Aufgabe - lernen, Exponentialgleichungen zu lösen! Das einfachste! Deshalb, bis wir schwitzen und die gleichen Gründe mutig wegwerfen. Das kann, nehmen Sie mich beim Wort!) Und dann lösen wir auch schon die äquivalente Gleichung f (x) = g (x). Sie ist in der Regel einfacher als die ursprüngliche Exponentialfunktion.

Es wird natürlich davon ausgegangen, dass die Leute bereits wissen, wie man mindestens , und Gleichungen schon ohne x in Indikatoren löst.) Wer immer noch nicht weiß, wie, kann diese Seite gerne schließen, die entsprechenden Links entlanggehen und ausfüllen die alten Lücken. Sonst wirst du es schwer haben, ja ...

Ich schweige über irrationale, trigonometrische und andere brutale Gleichungen, die auch bei der Eliminierung von Basen auftauchen können. Aber seien Sie nicht beunruhigt, denn jetzt werden wir Frank Tin nicht in Graden betrachten: Es ist zu früh. Wir werden nur die einfachsten Gleichungen üben.)

Betrachten Sie nun Gleichungen, die zusätzlichen Aufwand erfordern, um sie auf die einfachsten zu reduzieren. Um sie zu unterscheiden, nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen. Gehen wir also weiter zum nächsten Level!

Stufe 1. Einfache Exponentialgleichungen. Abschlüsse anerkennen! natürliche Indikatoren.

Die Schlüsselregeln beim Lösen von Exponentialgleichungen sind Regeln für den Umgang mit Abschlüssen. Ohne dieses Wissen und Können geht nichts. Ach. Also, wenn es Probleme mit den Abschlüssen gibt, dann bist du erstmal herzlich willkommen. Außerdem brauchen wir auch. Diese Transformationen (bis zu zwei!) sind die Grundlage für die Lösung aller mathematischen Gleichungen im Allgemeinen. Und nicht nur Vitrinen. Also, wer es vergessen hat, macht auch einen Spaziergang auf dem Link: Ich habe sie aus einem bestimmten Grund angelegt.

Aber nur Aktionen mit Kräften und identischen Transformationen reichen nicht aus. Es erfordert auch persönliche Beobachtung und Einfallsreichtum. Wir brauchen die gleichen Gründe, nicht wahr? Also untersuchen wir das Beispiel und suchen sie in expliziter oder getarnter Form!

Zum Beispiel diese Gleichung:

3 2x – 27x +2 = 0

Erstmal anschauen Gründen. Sie sind anders! Drei und siebenundzwanzig. Aber es ist zu früh, um in Panik zu verfallen und zu verzweifeln. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

27 = 3 3

Die Nummern 3 und 27 sind graduell verwandt! Außerdem Verwandte.) Daher haben wir das Recht, Folgendes aufzuschreiben:

27 x +2 = (3 3) x+2

Und jetzt verbinden wir unser Wissen über Aktionen mit Befugnissen(und ich habe dich gewarnt!). Es gibt so eine sehr nützliche Formel:

(am) n = ein mn

Wenn Sie es jetzt im Kurs ausführen, wird es im Allgemeinen gut:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

Das ursprüngliche Beispiel sieht nun so aus:

3 2 x – 3 3(x +2) = 0

Toll, die Basen der Abschlüsse haben sich ausgerichtet. Was wir anstrebten. Die Hälfte der Arbeit ist erledigt.) Und jetzt starten wir die grundlegende Identitätstransformation - wir übertragen 3 3 (x +2) nach rechts. Niemand hat die elementaren Aktionen der Mathematik gestrichen, ja.) Wir erhalten:

3 2 x = 3 3(x +2)

Was gibt uns diese Art von Gleichung? Und die Tatsache, dass jetzt unsere Gleichung reduziert wird zur kanonischen Form: Links und rechts sind die gleichen Zahlen (Tripel) in Potenzen. Und beide Drillinge - in herrlicher Isolation. Wir entfernen mutig die Drillinge und erhalten:

2x = 3(x+2)

Wir lösen dies und erhalten:

X=-6

Das ist alles dazu. Das ist die richtige Antwort.)

Und jetzt verstehen wir den Verlauf der Entscheidung. Was hat uns in diesem Beispiel gerettet? Wir wurden durch das Wissen um die Grade des Tripels gerettet. Wie genau? Wir identifiziert Nummer 27 verschlüsselt drei! Dieser Trick (Verschlüsselung der gleichen Basis unter verschiedene Nummern) ist eine der beliebtesten in Exponentialgleichungen! Es sei denn, es ist das beliebteste. Ja, übrigens auch. Deshalb ist Beobachtung und die Fähigkeit, Potenzen anderer Zahlen in Zahlen zu erkennen, bei Exponentialgleichungen so wichtig!

Praktische Ratschläge:

Sie müssen die Macht populärer Zahlen kennen. Ins Gesicht!

Natürlich kann jeder zwei zur siebten Potenz oder drei zur fünften Potenz erheben. Nicht in meinen Gedanken, also zumindest auf einem Entwurf. Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger notwendig, nicht zu potenzieren, sondern im Gegenteil herauszufinden, welche Zahl und in welchem ​​​​Umfang sich hinter der Zahl verbirgt, sagen wir 128 oder 243. Und das ist schon mehr komplizierter als einfache Potenzierung, sehen Sie. Spüren Sie den Unterschied, wie sie sagen!

Da die Fähigkeit, Grad im Gesicht zu erkennen, nicht nur auf dieser Stufe, sondern auch auf den folgenden nützlich ist, hier eine kleine Aufgabe für dich:

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen Zahlen sind:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Antworten (natürlich verstreut):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Ja Ja! Wundern Sie sich nicht, dass es mehr Antworten als Aufgaben gibt. Zum Beispiel sind 2 8 , 4 4 und 16 2 alle 256.

Stufe 2. Einfache Exponentialgleichungen. Abschlüsse anerkennen! Negative und gebrochene Exponenten.

Auf dieser Stufe setzen wir unser Wissen über Abschlüsse bereits voll ein. Wir beziehen nämlich negative und gebrochene Indikatoren in diesen faszinierenden Prozess ein! Ja Ja! Wir müssen Macht aufbauen, richtig?

Zum Beispiel diese schreckliche Gleichung:

Schauen Sie sich auch hier zuerst die Fundamente an. Die Grundlagen sind unterschiedlich! Und dieses Mal sind sie einander nicht einmal im Entferntesten ähnlich! 5 und 0,04 ... Und um die Basen zu eliminieren, werden die gleichen benötigt ... Was tun?

Macht nichts! Eigentlich ist alles beim Alten, nur die Verbindung zwischen der Fünf und 0,04 ist optisch schlecht sichtbar. Wie kommen wir raus? Und weiter zum üblichen Bruch in der Zahl 0,04! Und dort, sehen Sie, ist alles geformt.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Wow! Es stellt sich heraus, dass 0,04 1/25 ist! Na wer hätte das gedacht!)

Und wie? Jetzt ist die Verbindung zwischen den Zahlen 5 und 1/25 besser zu erkennen? Das ist es...

Und jetzt, nach den Regeln des Betriebs mit Befugnissen mit negativer Indikator lässt sich mit fester Hand schreiben:

Das ist großartig. Also kamen wir zur selben Basis – fünf. Wir ersetzen nun die unbequeme Zahl 0,04 in der Gleichung durch 5 -2 und erhalten:

Wiederum können wir gemäß den Regeln für Operationen mit Potenzen jetzt schreiben:

(5 -2) x -1 = 5 -2(x -1)

Für alle Fälle erinnere ich (plötzlich, wer kennt das nicht) daran Grundregeln Aktionen mit Befugnissen gelten für irgendein Indikatoren! Einschließlich für negative.) Sie können also die Indikatoren (-2) und (x-1) gemäß der entsprechenden Regel nehmen und multiplizieren. Unsere Gleichung wird immer besser:

Alles! Außer den einsamen Fünfen in den Abschlüssen links und rechts gibt es nichts weiter. Die Gleichung wird auf die kanonische Form reduziert. Und dann - entlang der Rändelspur. Wir entfernen die Fünfer und setzen die Indikatoren gleich:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Das Beispiel ist fast fertig. Bleibt die elementare Mathematik des Mittelstandes – wir öffnen (richtig!) die Klammern und sammeln links alles:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Wir lösen dies und erhalten zwei Wurzeln:

x 1 = 1; x 2 = 3

Das ist alles.)

Jetzt denken wir noch einmal nach. In diesem Beispiel mussten wir wieder dieselbe Zahl in unterschiedlichem Maße erkennen! Nämlich die verschlüsselte Fünf in der Zahl 0,04 zu sehen. Und diesmal drin negativer Grad! Wie haben wir es gemacht? Unterwegs - auf keinen Fall. Aber nach dem Übergang von Dezimalbruch 0,04 bis zum gewöhnlichen Bruch 1/25 wurde alles hervorgehoben! Und dann lief die ganze Entscheidung wie am Schnürchen.)

Daher noch ein grüner Praxistipp.

Wenn die Exponentialgleichung Dezimalbrüche enthält, gehen wir von Dezimalbrüchen zu gewöhnlichen Brüchen über. BEI gemeinsame Brüche Es ist viel einfacher, die Potenzen vieler beliebter Zahlen zu erkennen! Nach der Erkennung gehen wir von Brüchen zu Potenzen mit negativen Exponenten über.

Denken Sie daran, dass eine solche Täuschung in Exponentialgleichungen sehr, sehr oft vorkommt! Und die Person ist nicht im Thema. Er schaut zum Beispiel auf die Zahlen 32 und 0,125 und regt sich auf. Es ist ihm nicht bekannt, dass dies dieselbe Zwei ist, nur in unterschiedliche Grade… Aber Sie sind schon im Thema!)

Löse die Gleichung:

Im! Es sieht aus wie ein stiller Horror ... Doch der Schein trügt. Dies ist die einfachste Exponentialgleichung, trotz ihrer Furcht einflößenden Aussehen. Und jetzt zeige ich es dir.)

Zuerst beschäftigen wir uns mit allen Zahlen, die in den Basen und in den Koeffizienten sitzen. Sie sind offensichtlich verschieden, ja. Aber wir gehen trotzdem das Risiko ein und versuchen sie zu machen das Gleiche! Versuchen wir, dorthin zu gelangen die gleiche Anzahl in unterschiedlichen Graden. Und am besten die Anzahl so klein wie möglich. Also, fangen wir an zu entschlüsseln!

Nun, mit den Vieren ist auf einmal alles klar - es ist 2 2 . Also schon etwas.)

Mit einem Bruchteil von 0,25 - es ist noch nicht klar. Muss geprüft werden. Wir verwenden praktische Ratschläge - gehen Sie von der Dezimalzahl zur Normalzahl:

0,25 = 25/100 = 1/4

Schon viel besser. Fürs Erste ist bereits klar ersichtlich, dass 1/4 2 -2 ist. Großartig, und die Zahl 0,25 ähnelt auch einer Zwei.)

So weit, ist es gut. Aber die schlimmste Zahl von allen bleibt - die Quadratwurzel aus zwei! Was tun mit diesem Pfeffer? Lässt es sich auch als Zweierpotenz darstellen? Und wer weiß...

Na, da steigen wir mal wieder in unsere Wissensschatzkiste zum Thema Abschlüsse! Diesmal verbinden wir zusätzlich unser Wissen über die Wurzeln. Ab dem Verlauf der 9. Klasse mussten Sie und ich es ertragen, dass jede Wurzel, wenn gewünscht, immer in einen Grad umgewandelt werden kann mit einem Bruchteil.

So:

In unserem Fall:

Wie! Es stellt sich heraus, dass die Quadratwurzel aus zwei 2 1/2 ist. Das ist es!

Das ist gut! Alle unsere unbequemen Zahlen stellten sich tatsächlich als verschlüsselte Zweien heraus.) Ich behaupte nicht, irgendwo sehr raffiniert verschlüsselt. Aber wir steigern auch unsere Professionalität beim Lösen solcher Chiffren! Und dann ist schon alles klar. Wir ersetzen die Zahlen 4, 0,25 und die Wurzel aus zwei in unserer Gleichung durch eine Zweierpotenz:

Alles! Die Basen aller Grade im Beispiel sind gleich geworden - zwei. Und jetzt werden die Standardaktionen mit Graden verwendet:

binein = bin + n

ein m: ein n = ein m-n

(am) n = ein mn

Für die linke Seite erhält man:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2+2(5 x -16)

Für die rechte Seite gilt:

Und jetzt begann unsere böse Gleichung so auszusehen:

Für diejenigen, die nicht herausgefunden haben, wie genau diese Gleichung ausgegangen ist, dann geht es hier nicht um Exponentialgleichungen. Die Frage bezieht sich auf Aktionen mit Befugnissen. Ich bat dringend um Wiederholung für diejenigen, die Probleme haben!

Hier ist die Ziellinie! Man erhält die kanonische Form der Exponentialgleichung! Und wie? Habe ich Sie überzeugt, dass es nicht so beängstigend ist? ;) Wir entfernen die Zweien und setzen die Indikatoren gleich:

Es bleibt nur noch, diese lineare Gleichung zu lösen. Wie? Natürlich mit Hilfe identischer Transformationen.) Löse, was schon da ist! Multiplizieren Sie beide Teile mit zwei (um den Bruch 3/2 zu entfernen), verschieben Sie die Terme mit Xs nach links, ohne Xs nach rechts, bringen Sie ähnliche Einsen, zählen Sie - und Sie werden glücklich sein!

Alles soll schön werden:

X=4

Jetzt überdenken wir die Entscheidung. In diesem Beispiel wurden wir durch den Übergang aus gerettet Quadratwurzel zu Grad mit Exponent 1/2. Außerdem hat uns nur eine solche raffinierte Transformation geholfen, überall die gleiche Basis (deuce) zu erreichen, was die Situation gerettet hat! Und wenn es nicht so wäre, hätten wir jede Chance, für immer einzufrieren und dieses Beispiel niemals zu bewältigen, ja ...

Deshalb lassen wir den nächsten Praxistipp nicht außer Acht:

Wenn es Wurzeln in der Exponentialgleichung gibt, gehen wir von Wurzeln zu Potenzen mit gebrochenen Exponenten über. Sehr oft klärt erst eine solche Transformation die weitere Situation.

Natürlich sind negative und gebrochene Potenzen schon viel schwieriger. natürliche Abschlüsse. Zumindest was die visuelle Wahrnehmung und vor allem die Wiedererkennung von rechts nach links betrifft!

Es ist klar, dass es nicht so ist, zum Beispiel eine Zwei hoch -3 oder eine Vier hoch -3/2 zu potenzieren ein großes Problem. Für Kenner.)

Aber gehen Sie zum Beispiel sofort damit klar

0,125 = 2 -3

Oder

Hier regieren nur Übung und reiche Erfahrung, ja. Und natürlich freie Sicht, Was ist ein negativer und ein gebrochener exponent. Und auch - praktische Ratschläge! Ja, ja, die grün.) Ich hoffe, dass sie dir trotzdem dabei helfen, dich in der ganzen bunten Studienvielfalt besser zurechtzufinden und deine Erfolgschancen deutlich zu erhöhen! Vernachlässigen wir sie also nicht. Ich bin nicht umsonst in grün Ich schreibe manchmal.)

Wenn Sie andererseits selbst mit solch exotischen Potenzen wie negativ und gebrochen „Sie“ werden, dann werden Ihre Möglichkeiten beim Lösen von Exponentialgleichungen enorm erweitert, und Sie werden bereits in der Lage sein, mit fast jeder Art von Exponentialgleichungen umzugehen. Nun, wenn nicht, dann 80 Prozent aller Exponentialgleichungen – ganz sicher! Ja, ja, ich scherze nicht!

Damit ist unser erster Teil der Bekanntschaft mit Exponentialgleichungen zu seinem logischen Abschluss gekommen. Und als Training zwischendurch schlage ich traditionell vor, ein bisschen alleine zu lösen.)

Übung 1.

Damit meine Worte über das Entschlüsseln negativer und gebrochener Grade nicht umsonst sind, schlage ich vor, ein kleines Spiel zu spielen!

Drücken Sie die Zahl als Zweierpotenz aus:

Antworten (durcheinander):

Passiert? Exzellent! Dann machen wir einen Kampfeinsatz - wir lösen die einfachsten und einfachsten Exponentialgleichungen!

Aufgabe 2.

Gleichungen lösen (alle Antworten sind ein Durcheinander!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Antworten:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Passiert? Tatsächlich viel einfacher!

Dann lösen wir folgendes Spiel:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Antworten:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Und diese Beispiele von einem links? Exzellent! Du wächst! Dann haben wir hier noch ein paar Beispiele für Sie zum Naschen:

Antworten:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Und ist es entschieden? Na, Respekt! Ich nehme meinen Hut ab.) Die Lektion war also nicht umsonst, und das anfängliche Niveau der Lösung von Exponentialgleichungen kann als erfolgreich gemeistert angesehen werden. Ahead - die nächsten Level und komplexere Gleichungen! Und neue Techniken und Ansätze. Und nicht standardmäßige Beispiele. Und neue Überraschungen.) All dies - in der nächsten Lektion!

Etwas hat nicht funktioniert? Die Probleme liegen also höchstwahrscheinlich in . Oder im . Oder beides gleichzeitig. Hier bin ich machtlos. Ich kann mal wieder nur eines anbieten - sei nicht faul und stöbere durch die Links.)

Fortsetzung folgt.)

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Erinnern wir uns zunächst an die Grundformeln der Grade und ihre Eigenschaften.

Produkt einer Zahl a n mal auf sich selbst passiert, können wir diesen Ausdruck als a a … a=a n schreiben

1. a 0 = 1 (a ≠ 0)

3. ein n ein m = ein n + m

4. (ein n) m = ein nm

5. ein n b n = (ab) n

7. ein n / ein m \u003d ein n - m

Potenz- oder Exponentialgleichungen- Dies sind Gleichungen, in denen die Variablen Potenzen (oder Exponenten) sind und die Basis eine Zahl ist.

Beispiele für Exponentialgleichungen:

In diesem Beispiel ist die Zahl 6 die Basis, sie steht immer ganz unten, und die Variable x Grad oder Maß.

Lassen Sie uns weitere Beispiele für Exponentialgleichungen geben.
2 x *5=10
16x-4x-6=0

Schauen wir uns nun an, wie Exponentialgleichungen gelöst werden.

Nehmen wir eine einfache Gleichung:

2 x = 2 3

Ein solches Beispiel kann sogar im Kopf gelöst werden. Es ist ersichtlich, dass x = 3 ist. Damit die linke und die rechte Seite gleich sind, müssen Sie schließlich die Zahl 3 anstelle von x eingeben.
Sehen wir uns nun an, wie diese Entscheidung getroffen werden sollte:

2 x = 2 3
x = 3

Um diese Gleichung zu lösen, haben wir entfernt gleiche Gründe(das heißt Zweien) und schrieb auf, was übrig blieb, das sind Grade. Wir haben die Antwort bekommen, nach der wir gesucht haben.

Lassen Sie uns nun unsere Lösung zusammenfassen.

Algorithmus zur Lösung der Exponentialgleichung:
1. Muss überprüft werden das Gleiche ob die Basen der Gleichung rechts und links sind. Wenn die Gründe nicht dieselben sind, suchen wir nach Optionen, um dieses Beispiel zu lösen.
2. Nachdem die Basen gleich sind, gleichsetzen Grad und lösen Sie die resultierende neue Gleichung.

Lassen Sie uns nun einige Beispiele lösen:

Fangen wir einfach an.

Die Basen auf der linken und rechten Seite sind gleich der Zahl 2, was bedeutet, dass wir die Basis verwerfen und ihre Grade gleichsetzen können.

x+2=4 Die einfachste Gleichung hat sich herausgestellt.
x=4 - 2
x=2
Antwort: x=2

Im folgenden Beispiel sehen Sie, dass die Basen unterschiedlich sind, das sind 3 und 9.

3 3x - 9x + 8 = 0

Zunächst übertragen wir die Neun auf die rechte Seite, wir erhalten:

Jetzt müssen Sie die gleichen Basen herstellen. Wir wissen, dass 9=3 2 . Verwenden wir die Potenzformel (a n) m = a nm .

3 3x \u003d (3 2) x + 8

Wir erhalten 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2 x + 16

3 3x \u003d 3 2x + 16 jetzt ist klar, dass die Basen auf der linken und rechten Seite gleich und gleich drei sind, was bedeutet, dass wir sie verwerfen und die Grade gleichsetzen können.

3x=2x+16 hat die einfachste Gleichung
3x-2x=16
x=16
Antwort: x=16.

Schauen wir uns das folgende Beispiel an:

2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4

Zuerst schauen wir uns die Basen an, die Basen sind zwei und vier unterschiedlich. Und wir müssen gleich sein. Wir transformieren das Quadrupel nach der Formel (a n) m = a nm .

4 x = (2 2) x = 2 2x

Und wir verwenden auch eine Formel a n a m = a n + m:

2 2x+4 = 2 2x 2 4

Ergänze die Gleichung:

2 2x 2 4 - 10 2 2x = 24

Wir haben aus den gleichen Gründen ein Beispiel gegeben. Aber andere Nummern 10 und 24 stören uns. Was tun mit ihnen? Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen, dass wir auf der linken Seite 2 2x wiederholen, hier ist die Antwort - wir können 2 2x aus Klammern setzen:

2 2x (2 4 - 10) = 24

Lassen Sie uns den Ausdruck in Klammern berechnen:

2 4 — 10 = 16 — 10 = 6

Wir teilen die ganze Gleichung durch 6:

Stellen Sie sich 4=2 2 vor:

2 2x \u003d 2 2 Basen sind gleich, verwerfen Sie sie und setzen Sie die Grade gleich.
2x \u003d 2 erwies sich als die einfachste Gleichung. Wir teilen es durch 2, wir bekommen
x = 1
Antwort: x = 1.

Lösen wir die Gleichung:

9x - 12*3x +27= 0

Lassen Sie uns transformieren:
9 x = (3 2) x = 3 2x

Wir erhalten die Gleichung:
3 2x - 12 3x +27 = 0

Unsere Basen sind die gleichen, gleich 3. In diesem Beispiel ist klar, dass das erste Tripel einen doppelten (2x) Grad hat als das zweite (nur x). In diesem Fall können Sie entscheiden Substitutionsmethode. Die Zahl mit dem kleinsten Grad wird ersetzt durch:

Dann 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen alle Grade durch x in der Gleichung mit t:

t 2 - 12 t + 27 \u003d 0
Wir erhalten eine quadratische Gleichung. Wir lösen durch die Diskriminante, wir erhalten:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3

Zurück zu Variable x.

Wir nehmen t 1:
t 1 \u003d 9 \u003d 3 x

Das ist,

3 x = 9
3 x = 3 2
x 1 = 2

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten, ab t 2:
t 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x = 3 1
x 2 = 1
Antwort: x 1 \u003d 2; x 2 = 1.

Auf der Website können Sie im Abschnitt HILFE ENTSCHEIDEN, um interessante Fragen zu stellen, wir werden Ihnen auf jeden Fall antworten.

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Lösung von Exponentialgleichungen. Beispiele.

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Und für diejenigen, die "sehr viel...")

Was Exponentialgleichung? Dies ist eine Gleichung, in der die Unbekannten (x) und Ausdrücke mit ihnen enthalten sind Indikatoren einige Grade. Und nur dort! Es ist wichtig.

Da bist du ja Beispiele für Exponentialgleichungen:

3 x 2 x = 8 x + 3

Beachten Sie! In den Grundlagen der Abschlüsse (unten) - nur Zahlen. BEI Indikatoren Grad (oben) - eine Vielzahl von Ausdrücken mit x. Wenn plötzlich ein x in der Gleichung an einer anderen Stelle als dem Indikator erscheint, zum Beispiel:

Dies wird eine Gleichung vom gemischten Typ sein. Solche Gleichungen haben keine klaren Regeln zum Lösen. Wir werden sie vorerst nicht berücksichtigen. Hier werden wir uns beschäftigen Lösung von Exponentialgleichungen in seiner reinsten Form.

Tatsächlich werden sogar reine Exponentialgleichungen nicht immer eindeutig gelöst. Aber es gibt bestimmte Arten von Exponentialgleichungen, die gelöst werden können und sollten. Dies sind die Typen, die wir uns ansehen werden.

Lösung der einfachsten Exponentialgleichungen.

Beginnen wir mit etwas sehr Grundlegendem. Zum Beispiel:

Auch ohne Theorie ist durch einfache Auswahl klar, dass x = 2 ist. Mehr nicht, oder!? Kein anderer X-Wert würfelt. Und jetzt schauen wir uns die Lösung dieser kniffligen Exponentialgleichung an:

Was haben wir getan? Wir haben tatsächlich nur die gleichen Unterteile (Triples) weggeworfen. Völlig rausgeschmissen. Und, was gefällt, treffen Sie ins Schwarze!

Allerdings, wenn in der Exponentialgleichung links und rechts stehen das Gleiche Zahlen in jedem Grad, diese Zahlen können entfernt werden und gleich Exponenten. Mathematik erlaubt. Es bleibt eine viel einfachere Gleichung zu lösen. Es ist gut, oder?)

Erinnern wir uns jedoch ironisch: Sie können die Basen nur entfernen, wenn die Basennummern links und rechts in hervorragender Isolation sind! Ohne Nachbarn und Koeffizienten. Sagen wir in den Gleichungen:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , oder

Du kannst keine Dubletten entfernen!

Nun, das Wichtigste haben wir gemeistert. Wie man sich vom Bösen entfernt Exponentialausdrücke zu einfacheren Gleichungen.

"Hier sind diese Zeiten!" - du sagst. "Wer gibt so ein Primitiv auf die Kontrolle und Prüfungen!?"

Gezwungen zuzustimmen. Niemand wird. Aber jetzt wissen Sie, wohin Sie gehen müssen, wenn Sie verwirrende Beispiele lösen. Es ist notwendig, sich daran zu erinnern, wenn die gleiche Basisnummer links - rechts ist. Dann wird alles einfacher. Eigentlich sind das die Klassiker der Mathematik. Wir nehmen das ursprüngliche Beispiel und transformieren es in das gewünschte uns Geist. Natürlich nach den Regeln der Mathematik.

Betrachten Sie Beispiele, die zusätzlichen Aufwand erfordern, um sie so einfach wie möglich zu machen. Nennen wir sie einfache Exponentialgleichungen.

Lösung einfacher Exponentialgleichungen. Beispiele.

Beim Lösen von Exponentialgleichungen sind die Hauptregeln Aktionen mit Befugnissen. Ohne Kenntnis dieser Aktionen wird nichts funktionieren.

Zu Aktionen mit Grad muss man persönliche Beobachtung und Einfallsreichtum hinzufügen. Brauchen wir die gleichen Basiszahlen? Wir suchen sie also im Beispiel in expliziter oder verschlüsselter Form.

Mal sehen, wie das in der Praxis gemacht wird?

Geben wir uns ein Beispiel:

2 2x - 8x+1 = 0

Erster Blick auf Gründen. Sie... Sie sind anders! Zwei und acht. Aber es ist zu früh, um sich entmutigen zu lassen. Es ist Zeit, sich daran zu erinnern

Zwei und acht sind graduell verwandt.) Es ist durchaus möglich aufzuschreiben:

8x+1 = (2 3)x+1

Erinnern wir uns an die Formel von Handlungen mit Kräften:

(ein n) m = ein nm ,

es funktioniert im Allgemeinen super:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Das ursprüngliche Beispiel sieht so aus:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Wir überweisen 2 3 (x+1) nach rechts (niemand hat die elementaren Aktionen der Mathematik gestrichen!) erhalten wir:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Das ist praktisch alles. Basen entfernen:

Wir lösen dieses Monster und bekommen

Dies ist die richtige Antwort.

In diesem Beispiel hat uns die Kenntnis der Zweierpotenzen geholfen. Wir identifiziert in der Acht die verschlüsselte Zwei. Diese Technik (Kodierung gemeinsamer Basen unter verschiedenen Zahlen) ist ein sehr beliebter Trick bei Exponentialgleichungen! Ja, sogar in Logarithmen. Man muss die Potenzen anderer Zahlen in Zahlen erkennen können. Dies ist äußerst wichtig, um Exponentialgleichungen zu lösen.

Tatsache ist, dass es kein Problem ist, eine beliebige Zahl zu potenzieren. Multiplizieren, sogar auf einem Blatt Papier, und das ist alles. Zum Beispiel kann jeder 3 hoch fünf potenzieren. 243 wird sich herausstellen, wenn Sie das Einmaleins kennen.) Aber in Exponentialgleichungen ist es viel häufiger notwendig, nicht zu potenzieren, sondern umgekehrt ... welche Anzahl in welchem ​​Umfang verbirgt sich hinter der Zahl 243, oder sagen wir 343... Hier hilft Ihnen kein Taschenrechner weiter.

Sie müssen die Potenzen einiger Zahlen vom Sehen kennen, ja ... Sollen wir üben?

Bestimmen Sie, welche Potenzen und welche Zahlen Zahlen sind:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Antworten (natürlich in einem Durcheinander!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Wenn Sie genau hinsehen, können Sie sehen seltsame Tatsache. Es gibt mehr Antworten als Fragen! Nun, es passiert ... Zum Beispiel ist 2 6 , 4 3 , 8 2 alles 64.

Nehmen wir an, Sie haben die Informationen zur Bekanntschaft mit Zahlen zur Kenntnis genommen.) Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir zum Lösen von Exponentialgleichungen gelten das Ganze Vorrat an mathematischem Wissen. Auch aus der unteren Mittelschicht. Du bist nicht direkt auf die High School gegangen, oder?

Beim Lösen von Exponentialgleichungen hilft es beispielsweise sehr oft, den gemeinsamen Teiler aus Klammern zu setzen (Hallo Klasse 7!). Sehen wir uns ein Beispiel an:

3 2x+4 -11 9 x = 210

Und wieder der erste Blick - auf das Gelände! Die Grundlagen der Abschlüsse sind unterschiedlich ... Drei und neun. Und wir wollen, dass sie gleich sind. Nun, in diesem Fall ist der Wunsch durchaus machbar!) Denn:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Nach den gleichen Regeln für Aktionen mit Grad:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Das ist toll, du kannst schreiben:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Wir haben aus den gleichen Gründen ein Beispiel gegeben. Und was dann!? Dreier kann man nicht rauswerfen ... Sackgasse?

Gar nicht. Erinnern Sie sich an die universellste und mächtigste Entscheidungsregel alle mathematische Aufgaben:

Wenn Sie nicht wissen, was Sie tun sollen, tun Sie, was Sie können!

Du siehst, alles ist geformt).

Was ist in dieser Exponentialgleichung kann tun? Ja, die linke Seite fragt direkt nach Klammern! Der gemeinsame Faktor von 3 2x deutet dies deutlich an. Probieren wir es aus und dann sehen wir weiter:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Das Beispiel wird immer besser!

Wir erinnern daran, dass wir zur Eliminierung von Basen einen reinen Grad ohne Koeffizienten benötigen. Die Zahl 70 stört uns. Teilen wir also beide Seiten der Gleichung durch 70, erhalten wir:

Op-pa! Alles ist in Ordnung!

Dies ist die endgültige Antwort.

Es kommt jedoch vor, dass das Ausrollen aus denselben Gründen erwirkt wird, ihre Liquidation jedoch nicht. Dies geschieht in Exponentialgleichungen anderer Art. Nehmen wir diesen Typ.

Änderung der Variablen beim Lösen von Exponentialgleichungen. Beispiele.

Lösen wir die Gleichung:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Zuerst - wie immer. Kommen wir zur Basis. Zur Zwei.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Wir erhalten die Gleichung:

2 2x - 3 2x +2 = 0

Und hier werden wir hängen. Die vorherigen Tricks werden nicht funktionieren, egal wie Sie es drehen. Wir müssen aus dem Arsenal einen anderen mächtigen und vielseitigen Weg finden. Es heißt variable Substitution.

Das Wesen der Methode ist überraschend einfach. Anstelle eines komplexen Symbols (in unserem Fall 2 x) schreiben wir ein anderes, einfacheres (z. B. t). So ein scheinbar bedeutungsloser Ersatz führt zu erstaunlichen Ergebnissen!) Alles wird einfach klar und verständlich!

Also lass

Dann 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

Wir ersetzen in unserer Gleichung alle Potenzen mit x durch t:

Nun, es dämmert?) Quadratische Gleichungen noch nicht vergessen? Wir lösen durch die Diskriminante, wir erhalten:

Hier ist die Hauptsache, nicht aufzuhören, wie es passiert ... Das ist noch nicht die Antwort, wir brauchen x, nicht t. Wir kehren zu Xs zurück, d.h. Ersatz machen. Zuerst für t 1:

Das ist,

Eine Wurzel wurde gefunden. Wir suchen den zweiten, ab t 2:

Ähm... 2 x links, 1 x rechts... Ein Problem? Ja, überhaupt nicht! Es reicht, sich daran zu erinnern (von Aktionen mit Grad, ja ...), dass eine Einheit besteht irgendein Zahl auf Null. Irgendein. Was auch immer Sie brauchen, wir stellen es bereit. Wir brauchen eine Zwei. Meint:

Jetzt ist das alles. Habe 2 Wurzeln:

Das ist die Antwort.

Bei Exponentialgleichungen lösen am Ende erhält man manchmal einen unbeholfenen Ausdruck. Typ:

Von den Sieben funktioniert eine Zwei durch einen einfachen Abschluss nicht. Sie sind keine Verwandten ... Wie kann ich hier sein? Jemand mag verwirrt sein ... Aber die Person, die auf dieser Seite das Thema "Was ist ein Logarithmus?" gelesen hat. , lächeln Sie nur sparsam und schreiben Sie mit fester Hand die absolut richtige Antwort auf:

In den Aufgaben „B“ der Prüfung darf es keine solche Antwort geben. Es ist eine bestimmte Nummer erforderlich. Aber in Aufgaben "C" - leicht.

Diese Lektion enthält Beispiele zum Lösen der gängigsten Exponentialgleichungen. Lassen Sie uns das wichtigste hervorheben.

Praktische Tipps:

1. Zunächst schauen wir uns an Gründen Grad. Mal sehen, ob sie nicht getan werden können das Gleiche. Versuchen wir dies durch aktive Nutzung Aktionen mit Befugnissen. Vergiss nicht, dass Zahlen ohne x auch in Potenzen umgewandelt werden können!

2. Wir versuchen, die Exponentialgleichung auf die Form zu bringen, wenn links und rechts gleich sind das Gleiche Zahlen in irgendeiner Weise. Wir gebrauchen Aktionen mit Befugnissen und Faktorisierung. Was in Zahlen gezählt werden kann – wir zählen.

3. Wenn der zweite Ratschlag nicht funktioniert hat, versuchen wir, die Variablensubstitution anzuwenden. Das Ergebnis kann eine einfach zu lösende Gleichung sein. Meistens - quadratisch. Oder gebrochen, was sich ebenfalls auf ein Quadrat reduziert.

4. Um Exponentialgleichungen erfolgreich lösen zu können, müssen Sie die Grade einiger Zahlen "vom Sehen" kennen.

Wie üblich sind Sie am Ende der Lektion eingeladen, ein wenig zu lösen.) Auf eigene Faust. Von einfach bis komplex.

Exponentialgleichungen lösen:

Schwieriger:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Wurzelprodukt finden:

2 3-x + 2 x = 9

Passiert?

Nun, dann das komplizierteste Beispiel (es wird jedoch im Kopf gelöst ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Was ist interessanter? Dann ist hier ein schlechtes Beispiel für Sie. Ziemlich ziehend bei erhöhtem Schwierigkeitsgrad. Ich werde darauf hinweisen, dass in diesem Beispiel Einfallsreichtum und die meisten universelle Regel alle Matheaufgaben.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Ein einfacheres Beispiel zur Entspannung):

9 2 x - 4 3 x = 0

Und zum Dessert. Finden Sie die Summe der Wurzeln der Gleichung:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Ja Ja! Dies ist eine Gleichung vom gemischten Typ! Was wir in dieser Lektion nicht berücksichtigt haben. Und was sie zu beachten haben, sie müssen gelöst werden!) Diese Lektion reicht völlig aus, um die Gleichung zu lösen. Nun, Einfallsreichtum ist gefragt ... Und ja, die siebte Klasse hilft dir (das ist ein Hinweis!).

Antworten (ungeordnet, durch Semikolon getrennt):

eines; 2; 3; vier; es gibt keine Lösungen; 2; -2; -5; vier; 0.

Ist alles gelungen? Exzellent.

Es gibt ein Problem? Kein Problem! Im Sonderteil 555 werden alle diese Exponentialgleichungen mit ausführlichen Erläuterungen gelöst. Was, warum und warum. Und natürlich gibt es zusätzliche wertvolle Informationen zum Arbeiten mit allen möglichen Exponentialgleichungen. Nicht nur mit diesen.)

Eine letzte lustige Frage zum Nachdenken. In dieser Lektion haben wir mit Exponentialgleichungen gearbeitet. Warum habe ich hier kein Wort über ODZ gesagt? In Gleichungen ist das übrigens eine sehr wichtige Sache ...

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Übrigens habe ich noch ein paar interessantere Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lernen - mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.