Problem B7 gibt einen Ausdruck an, der vereinfacht werden muss. Das Ergebnis sollte eine regelmäßige Zahl sein, die auf den Antwortbogen geschrieben werden kann. Alle Ausdrücke werden bedingt in drei Typen unterteilt:

1. logarithmisch,
2. Demonstration,
3. Kombiniert.

Exponential- und Logarithmusausdrücke in ihrer reinen Form werden fast nie gefunden. Es ist jedoch wichtig zu wissen, wie sie berechnet werden.

Im Allgemeinen ist Problem B7 recht einfach zu lösen und liegt durchaus in der Macht des durchschnittlichen Absolventen. Das Fehlen klarer Algorithmen wird durch seinen Standard und seine Einheitlichkeit kompensiert. Sie können lernen, wie Sie solche Probleme einfach lösen können eine große Anzahl Trainingseinheiten.

Logarithmische Ausdrücke

Die überwiegende Mehrheit der B7-Aufgaben enthält Logarithmen in der einen oder anderen Form. Dieses Thema gilt traditionell als schwierig, da es meist in der 11. Klasse – der Ära der Massenvorbereitung auf Abschlussprüfungen – studiert wird. Infolgedessen haben viele Absolventen eine sehr vage Vorstellung von Logarithmen.

Aber bei dieser Aufgabe braucht niemand tiefes theoretisches Wissen. Wir werden nur den einfachsten Ausdrücken begegnen, die eine einfache Argumentation erfordern und gut unabhängig beherrscht werden können. Nachfolgend finden Sie die grundlegenden Formeln, die Sie kennen müssen, um mit Logarithmen umzugehen:

Außerdem muss man Wurzeln und Brüche durch Potenzen mit rationalem Exponenten ersetzen können, sonst gibt es in manchen Ausdrücken einfach nichts unter dem Vorzeichen des Logarithmus herauszunehmen. Ersatzformeln:

Aufgabe. Ausdruckswerte finden:
log 6 270 − log 6 7,5
Protokoll 5 775 − Protokoll 5 6.2

Die ersten beiden Ausdrücke werden als Differenz von Logarithmen umgewandelt:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Um den dritten Ausdruck zu berechnen, müssen Sie Grade auswählen - sowohl in der Basis als auch im Argument. Lassen Sie uns zuerst den internen Logarithmus finden:

Dann - extern:

Konstruktionen wie log a log b x erscheinen vielen kompliziert und missverstanden. Inzwischen ist dies nur der Logarithmus des Logarithmus, d.h. log a (log b x ). Zuerst wird der innere Logarithmus berechnet (setze log b x = c ), dann der äußere: log a c .

Exponentialausdrücke

Als Exponentialausdruck bezeichnen wir jede Konstruktion der Form a k , bei der die Zahlen a und k willkürliche Konstanten und a > 0 sind. Methoden zur Arbeit mit solchen Ausdrücken sind recht einfach und werden im Algebraunterricht der 8. Klasse behandelt.

Unten sind die grundlegenden Formeln, die Sie kennen müssen. Die Anwendung dieser Formeln in der Praxis bereitet in der Regel keine Probleme.

1. ein n ein m = ein n + m ;
2. ein n / ein m = ein n - - m ;
3. (ein n ) m = ein n m ;
4. (ein b) n = ein n b n ;
5. (a : b ) n = ein n : b n .

Wenn erfüllt zusammengesetzter Ausdruck mit Graden, und es ist nicht klar, wie man es angeht, verwenden sie eine universelle Technik - die Zerlegung in Primfaktoren. Infolgedessen werden große Zahlen in den Studiengrundlagen durch einfache und verständliche Elemente ersetzt. Dann müssen nur noch die obigen Formeln angewendet werden - und das Problem wird gelöst.

Aufgabe. Ausdruckswerte finden: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Lösung. Wir zerlegen alle Potenzbasen in Primfaktoren:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinierte Aufgaben

Wenn Sie die Formeln kennen, werden alle Exponential- und Logarithmusausdrücke buchstäblich in einer Zeile gelöst. In Aufgabe B7 können Potenzen und Logarithmen jedoch zu ziemlich starken Kombinationen kombiniert werden.

Eines der Elemente der primitiven Algebra ist der Logarithmus. Der Name kommt aus der griechischen Sprache von dem Wort „Zahl“ oder „Grad“ und bedeutet den Grad, um den es notwendig ist, die Zahl an der Basis zu erhöhen, um die endgültige Zahl zu finden.

Arten von Logarithmen

• log a b ist der Logarithmus der Zahl b zur Basis a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - dezimaler Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10, a = 10);
• ln b - natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis e, a = e).

Wie löst man Logarithmen?

Der Logarithmus der Zahl b zur Basis a ist ein Exponent, der erfordert, dass die Basis a zur Zahl b erhoben wird. Das Ergebnis wird so ausgesprochen: „Logarithmus von b zur Basis von a“. Die Lösung für logarithmische Probleme besteht darin, dass Sie den angegebenen Grad durch die Zahlen durch die angegebenen Zahlen bestimmen müssen. Es gibt einige Grundregeln, um den Logarithmus zu bestimmen oder zu lösen, sowie die Notation selbst umzuwandeln. Mit ihnen werden logarithmische Gleichungen gelöst, Ableitungen gefunden, Integrale gelöst und viele andere Operationen durchgeführt. Grundsätzlich ist die Lösung des Logarithmus selbst seine vereinfachte Schreibweise. Nachfolgend sind die wichtigsten Formeln und Eigenschaften aufgeführt:

Für ein ; a > 0; a ≠ 1 und für jedes x ; y > 0.

• a log a b = b ist die grundlegende logarithmische Identität
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , für k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - Formel für den Übergang zu einer neuen Basis
• log a x = 1/log x a

Logarithmen lösen - Schritt-für-Schritt-Anleitung zum Lösen

• Schreiben Sie zuerst die benötigte Gleichung auf.

Bitte beachten Sie: Wenn der Basislogarithmus 10 ist, wird der Datensatz gekürzt, es wird ein Dezimallogarithmus erhalten. Wenn wert natürliche Zahl e, dann schreiben wir auf und reduzieren auf einen natürlichen Logarithmus. Das bedeutet, dass das Ergebnis aller Logarithmen die Potenz ist, mit der die Basiszahl potenziert wird, um die Zahl b zu erhalten.

Die Lösung liegt direkt in der Berechnung dieses Grades. Bevor ein Ausdruck mit einem Logarithmus gelöst wird, muss er gemäß der Regel vereinfacht werden, dh mit Formeln. Sie können die wichtigsten Identitäten finden, indem Sie im Artikel ein wenig zurückgehen.

Wenn Sie Logarithmen mit zwei verschiedenen Zahlen, aber mit derselben Basis addieren und subtrahieren, ersetzen Sie sie durch einen einzelnen Logarithmus mit dem Produkt oder der Division der Zahlen b bzw. c. In diesem Fall können Sie die Übergangsformel auf eine andere Basis anwenden (siehe oben).

Wenn Sie Ausdrücke verwenden, um den Logarithmus zu vereinfachen, müssen Sie einige Einschränkungen beachten. Und das ist: die Basis des Logarithmus a - nur positive Zahl, aber nicht gleich eins. Die Zahl b muss wie a größer als Null sein.

Es gibt Fälle, in denen Sie nach Vereinfachung des Ausdrucks den Logarithmus nicht in numerischer Form berechnen können. Es kommt vor, dass ein solcher Ausdruck keinen Sinn ergibt, weil viele Grade irrationale Zahlen sind. Belassen Sie unter dieser Bedingung die Potenz der Zahl als Logarithmus.

Wie Sie wissen, addieren sich beim Multiplizieren von Ausdrücken mit Potenzen ihre Exponenten immer (a b * a c = a b + c). Dieses mathematische Gesetz wurde von Archimedes abgeleitet, und später, im 8. Jahrhundert, erstellte der Mathematiker Virasen eine Tabelle mit ganzzahligen Indikatoren. Sie dienten der weiteren Entdeckung der Logarithmen. Anwendungsbeispiele für diese Funktion finden sich fast überall dort, wo es darum geht, umständliche Multiplikationen zu einfachen Additionen zu vereinfachen. Wenn Sie diesen Artikel 10 Minuten lang lesen, erklären wir Ihnen, was Logarithmen sind und wie Sie damit arbeiten. Einfache und zugängliche Sprache.

Definition in der Mathematik

Der Logarithmus ist ein Ausdruck der folgenden Form: log a b=c, d. h. der Logarithmus jeder nicht negativen Zahl (d. h. jeder positiven Zahl) „b“ gemäß ihrer Basis „a“ wird als Potenz von „c“ betrachtet “, zu dem es notwendig ist, die Basis „a“ zu erhöhen, damit am Ende der Wert „b“ erhalten wird. Analysieren wir den Logarithmus anhand von Beispielen, sagen wir, es gibt einen Ausdruck log 2 8. Wie finde ich die Antwort? Es ist sehr einfach, Sie müssen einen solchen Abschluss finden, dass Sie von 2 bis zum erforderlichen Abschluss 8 erhalten. Nachdem Sie einige Berechnungen im Kopf durchgeführt haben, erhalten wir die Zahl 3! Und das zu Recht, denn 2 hoch 3 ergibt die Zahl 8 in der Antwort.

Sorten von Logarithmen

Für viele Schüler und Studenten scheint dieses Thema kompliziert und unverständlich zu sein, aber tatsächlich sind Logarithmen nicht so beängstigend, die Hauptsache ist, ihre allgemeine Bedeutung zu verstehen und sich an ihre Eigenschaften und einige Regeln zu erinnern. Dort sind drei bestimmte Typen logarithmische Ausdrücke:

1. Natürlicher Logarithmus ln a, dessen Basis die Euler-Zahl ist (e = 2,7).
2. Dezimal a, wobei die Basis 10 ist.
3. Der Logarithmus einer beliebigen Zahl b zur Basis a>1.

Jeder von ihnen ist entschieden auf übliche Weise, die Vereinfachung, Reduzierung und anschließende Reduzierung auf einen Logarithmus unter Verwendung von logarithmischen Theoremen umfasst. Um die korrekten Werte von Logarithmen zu erhalten, sollte man sich bei seinen Entscheidungen deren Eigenschaften und die Reihenfolge der Aktionen merken.

Regeln und einige Einschränkungen

In der Mathematik gibt es mehrere Regelbeschränkungen, die als Axiom akzeptiert werden, das heißt, sie sind nicht diskussionswürdig und wahr. Zum Beispiel können Sie Zahlen nicht durch Null teilen, und es ist auch unmöglich, eine gerade Wurzel daraus zu ziehen negative Zahlen. Logarithmen haben auch ihre eigenen Regeln, nach denen Sie leicht lernen können, auch mit langen und umfangreichen logarithmischen Ausdrücken zu arbeiten:

• die Basis "a" muss immer größer als Null und gleichzeitig ungleich 1 sein, sonst verliert der Ausdruck seine Bedeutung, weil "1" und "0" in jedem Grad immer gleich ihren Werten sind;
• wenn a > 0, dann a b > 0, stellt sich heraus, dass "c" größer als Null sein muss.

Wie löst man Logarithmen?

Zum Beispiel wurde die Aufgabe gestellt, die Antwort auf die Gleichung 10 x \u003d 100 zu finden. Es ist sehr einfach, Sie müssen eine solche Potenz wählen und die Zahl zehn auf 100 erhöhen. Dies ist natürlich 10 2 \u003d 100.

Lassen Sie uns diesen Ausdruck nun logarithmisch darstellen. Wir erhalten log 10 100 = 2. Beim Lösen von Logarithmen konvergieren praktisch alle Aktionen darauf, den Grad zu finden, in dem die Basis des Logarithmus eingegeben werden muss, um eine bestimmte Zahl zu erhalten.

Um den Wert eines unbekannten Grads genau zu bestimmen, müssen Sie lernen, mit einer Gradtabelle umzugehen. Es sieht aus wie das:

Wie Sie sehen können, können einige Exponenten intuitiv erraten werden, wenn Sie über eine technische Denkweise und Kenntnisse des Einmaleins verfügen. Allerdings z große Werte Sie brauchen eine Gradtabelle. Es kann sogar von denen verwendet werden, die in komplexen mathematischen Themen überhaupt nichts verstehen. Die linke Spalte enthält Zahlen (Basis a), die obere Zahlenreihe ist der Wert der Potenz c, zu der die Zahl a erhoben wird. An der Kreuzung in den Zellen werden die Werte der Zahlen ermittelt, die die Antwort sind (a c = b). Nehmen wir zum Beispiel die allererste Zelle mit der Zahl 10 und quadrieren sie, erhalten wir den Wert 100, der am Schnittpunkt unserer beiden Zellen angezeigt wird. Alles ist so einfach und leicht, dass selbst der echteste Humanist es verstehen wird!

Gleichungen und Ungleichungen

Es stellt sich heraus, dass unter bestimmten Bedingungen der Exponent der Logarithmus ist. Daher können alle mathematischen Zahlenausdrücke als logarithmische Gleichung geschrieben werden. Zum Beispiel kann 3 4 = 81 als Logarithmus von 81 zur Basis 3 geschrieben werden, was vier ist (log 3 81 = 4). Für negative Potenzen gelten die gleichen Regeln: 2 -5 = 1/32 schreiben wir als Logarithmus, wir erhalten log 2 (1/32) = -5. Einer der faszinierendsten Bereiche der Mathematik ist das Thema "Logarithmen". Wir werden Beispiele und Lösungen von Gleichungen etwas weiter unten betrachten, unmittelbar nachdem wir ihre Eigenschaften untersucht haben. Schauen wir uns nun an, wie Ungleichungen aussehen und wie man sie von Gleichungen unterscheidet.

Gegeben ist ein Ausdruck folgender Form: log 2 (x-1) > 3 - es handelt sich um eine logarithmische Ungleichung, da der unbekannte Wert "x" unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht. Und auch im Ausdruck werden zwei Größen verglichen: Der Logarithmus der gesuchten Zahl zur Basis zwei ist größer als die Zahl drei.

Der wichtigste Unterschied zwischen logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen besteht darin, dass Gleichungen mit Logarithmen (z. B. der Logarithmus von 2 x = √9) einen oder mehrere bestimmte numerische Werte in der Antwort implizieren, während beim Lösen der Ungleichung sowohl der Bereich von akzeptable Werte und die Punkte, die diese Funktion brechen. Folglich ist die Antwort keine einfache Menge einzelner Zahlen, wie bei der Lösung der Gleichung, sondern eine fortlaufende Reihe oder Menge von Zahlen.

Grundlegende Sätze über Logarithmen

Beim Lösen primitiver Aufgaben zum Ermitteln der Werte des Logarithmus sind seine Eigenschaften möglicherweise nicht bekannt. Wenn es jedoch um logarithmische Gleichungen oder Ungleichungen geht, ist es zunächst notwendig, alle grundlegenden Eigenschaften von Logarithmen klar zu verstehen und in der Praxis anzuwenden. Wir werden uns später mit Beispielen für Gleichungen vertraut machen, lassen Sie uns zuerst jede Eigenschaft genauer analysieren.

1. Die grundlegende Identität sieht so aus: a logaB =B. Es gilt nur, wenn a größer als 0, ungleich eins, und B größer als null ist.
2. Der Logarithmus des Produkts lässt sich in folgender Formel darstellen: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Voraussetzung ist in diesem Fall: d, s 1 und s 2 > 0; a≠1. Du kannst einen Beweis für diese Logarithmenformel geben, mit Beispielen und einer Lösung. Seien log a s 1 = f 1 und log a s 2 = f 2 , dann a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Wir erhalten, dass s 1 * s 2 = a f1 * a f2 = a f1+f2 (Gradeigenschaften ) und weiter per Definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, was zu beweisen war.
3. Der Logarithmus des Quotienten sieht so aus: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Der Satz in Form einer Formel hat folgende Form: log a q b n = n/q log a b.

Diese Formel wird "Eigenschaft des Grades des Logarithmus" genannt. Es ähnelt den Eigenschaften gewöhnlicher Grade, und es ist nicht überraschend, da alle Mathematik auf regelmäßigen Postulaten beruht. Schauen wir uns den Beweis an.

Lassen Sie log a b \u003d t, es stellt sich heraus, dass a t \u003d b. Potenziert man beide Teile mit m: a tn = b n ;

aber da a tn = (a q) nt/q = b n , also log a q b n = (n*t)/t, dann log a q b n = n/q log a b. Der Satz ist bewiesen.

Beispiele für Probleme und Ungleichheiten

Die häufigsten Arten von Logarithmusproblemen sind Beispiele für Gleichungen und Ungleichungen. Sie sind in fast allen Aufgabenheften zu finden und gehören auch zum Pflichtteil von Klausuren in Mathematik. Für die Zulassung zur Universität oder das Bestehen Aufnahmeprüfungen in Mathematik muss man wissen, wie man solche Aufgaben richtig löst.

Leider ist ein einziger Plan oder Schema zu behandeln und zu bestimmen unbekannter Wert Es gibt keinen Logarithmus, jedoch können bestimmte Regeln auf jede mathematische Ungleichung oder logarithmische Gleichung angewendet werden. Zunächst sollten Sie herausfinden, ob der Ausdruck vereinfacht oder reduziert werden kann Gesamtansicht. Sie können lange logarithmische Ausdrücke vereinfachen, wenn Sie ihre Eigenschaften richtig verwenden. Lernen wir sie bald kennen.

Beim Lösen von logarithmischen Gleichungen muss festgestellt werden, welche Art von Logarithmus wir vor uns haben: Ein Beispiel für einen Ausdruck kann einen natürlichen Logarithmus oder einen Dezimallogarithmus enthalten.

Hier sind Beispiele ln100, ln1026. Ihre Lösung läuft darauf hinaus, dass Sie bestimmen müssen, inwieweit die Basis 10 gleich 100 bzw. 1026 ist. Für Lösungen Natürliche Logarithmen man muss logarithmische Identitäten oder deren Eigenschaften anwenden. Schauen wir uns Beispiele für die Lösung logarithmischer Probleme verschiedener Typen an.

So verwenden Sie Logarithmusformeln: Mit Beispielen und Lösungen

Schauen wir uns also Beispiele für die Anwendung der Hauptsätze auf Logarithmen an.

1. Die Eigenschaft des Logarithmus des Produkts kann bei Aufgaben verwendet werden, bei denen eine Erweiterung erforderlich ist sehr wichtig Zahlen b in einfachere Faktoren. Beispiel: log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Die Antwort ist 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - wie Sie sehen können, ist es uns mit der vierten Eigenschaft des Grads des Logarithmus gelungen, auf den ersten Blick einen komplexen und unlösbaren Ausdruck zu lösen. Es muss lediglich die Basis faktorisiert werden und anschließend die Exponentenwerte aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden.

Aufgaben aus der Klausur

Logarithmen finden sich oft in Aufnahmeprüfungen, besonders viele logarithmische Aufgaben im Einheitlichen Staatsexamen (Staatsexamen für alle Schulabgänger). Normalerweise sind diese Aufgaben nicht nur in Teil A (dem einfachsten Testteil Prüfung), sondern auch in Teil C (die schwierigsten und umfangreichsten Aufgaben). Die Prüfung setzt eine genaue und perfekte Kenntnis des Themas "Natürliche Logarithmen" voraus.

Beispiele und Problemlösungen sind amtlichen entnommen USE-Optionen. Mal sehen, wie solche Aufgaben gelöst werden.

Gegeben sei log 2 (2x-1) = 4. Lösung:
schreiben wir den Ausdruck um und vereinfachen ihn ein wenig log 2 (2x-1) = 2 2 , durch die Definition des Logarithmus erhalten wir, dass 2x-1 = 2 4 , also 2x = 17; x = 8,5.

• Alle Logarithmen werden am besten auf dieselbe Basis reduziert, damit die Lösung nicht umständlich und verwirrend wird.
• Alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus werden als positiv angezeigt. Wenn Sie also den Exponenten des Exponenten des Ausdrucks herausnehmen, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht und als Basis dient, muss der unter dem Logarithmus verbleibende Ausdruck positiv sein.

Mit diesem Video beginne ich eine lange Reihe von Lektionen über logarithmische Gleichungen. Jetzt haben Sie drei Beispiele auf einmal, anhand derer wir lernen, die einfachsten Aufgaben zu lösen, die so genannt werden - Protozoen.

log 0,5 (3x - 1) = -3

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachste logarithmische Gleichung die folgende ist:

loga f(x) = b

Wichtig ist, dass die Variable x nur innerhalb des Arguments vorhanden ist, also nur in der Funktion f(x). Und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und keinesfalls Funktionen, die die Variable x enthalten.

Grundlegende Lösungsmethoden

Es gibt viele Möglichkeiten, solche Strukturen zu lösen. Zum Beispiel schlagen die meisten Lehrer in der Schule diesen Weg vor: Drücken Sie die Funktion f ( x ) sofort mit der Formel aus F( x) = ein b . Das heißt, wenn Sie auf die einfachste Konstruktion treffen, können Sie ohne zusätzliche Aktionen und Konstruktionen sofort zur Lösung übergehen.

Ja, natürlich wird sich die Entscheidung als richtig herausstellen. Das Problem mit dieser Formel ist jedoch, dass die meisten Studenten verstehen nicht, wo kommt es her und warum genau erhöhen wir den Buchstaben a auf den Buchstaben b.

Infolgedessen beobachte ich oft sehr anstößige Fehler, wenn zum Beispiel diese Buchstaben vertauscht werden. Diese Formel muss entweder verstanden oder auswendig gelernt werden, und die zweite Methode führt zu Fehlern in den unpassendsten und entscheidendsten Momenten: in Prüfungen, Tests usw.

Deshalb empfehle ich allen meinen Schülern, die Standard-Schulformel aufzugeben und den zweiten Ansatz zum Lösen von logarithmischen Gleichungen zu verwenden, der, wie Sie wahrscheinlich anhand des Namens erraten haben, heißt kanonische Form.

Idee kanonische Form einfach. Schauen wir uns noch einmal unsere Aufgabe an: Links haben wir log a , wobei der Buchstabe a genau die Zahl bedeutet und auf keinen Fall die Funktion, die die Variable x enthält. Daher unterliegt dieser Buchstabe allen Beschränkungen, die der Basis des Logarithmus auferlegt werden. nämlich:

1 ≠ a > 0

Andererseits sehen wir aus derselben Gleichung, dass der Logarithmus sein muss ist gleich der Zahl b , und diesem Buchstaben sind keine Einschränkungen auferlegt, da er jeden Wert annehmen kann - sowohl positiv als auch negativ. Es hängt alles davon ab, welche Werte die Funktion f(x) annimmt.

Und hier erinnern wir uns an unsere wunderbare Regel, dass jede Zahl b als Logarithmus zur Basis a von a hoch b dargestellt werden kann:

b = log a a b

Wie kann man sich diese Formel merken? Ja, ganz einfach. Schreiben wir folgende Konstruktion:

b = b 1 = b log a a

Natürlich gelten in diesem Fall alle Einschränkungen, die wir eingangs aufgeschrieben haben. Und jetzt nutzen wir die Grundeigenschaft des Logarithmus und geben den Faktor b als Potenz von a ein. Wir bekommen:

b = b 1 = b log a a = log a a b

Als Ergebnis wird die ursprüngliche Gleichung in der folgenden Form umgeschrieben:

log a f (x) = log a a b → f (x) = a b

Das ist alles. Die neue Funktion enthält keinen Logarithmus mehr und wird mit Standardalgebratechniken gelöst.

Natürlich wird jetzt jemand einwenden: Warum musste man sich überhaupt eine Art kanonische Formel einfallen lassen, warum zwei zusätzliche unnötige Schritte durchführen, wenn es möglich war, sofort von der ursprünglichen Konstruktion zur endgültigen Formel zu gelangen? Ja, schon allein deshalb, weil die meisten Studierenden nicht verstehen, woher diese Formel kommt und sich dadurch regelmäßig Fehler bei der Anwendung machen.

Aber eine solche Abfolge von Aktionen, die aus drei Schritten besteht, ermöglicht es Ihnen, die ursprüngliche logarithmische Gleichung zu lösen, auch wenn Sie nicht verstehen, woher diese endgültige Formel kommt. Dieser Eintrag heißt übrigens die kanonische Formel:

log a f(x) = log a a b

Die Bequemlichkeit der kanonischen Form liegt auch in der Tatsache, dass sie verwendet werden kann, um eine sehr breite Klasse von logarithmischen Gleichungen zu lösen, und nicht nur die einfachsten, die wir heute betrachten.

Lösungsbeispiele

Und jetzt überlegen wir echte Beispiele. Entscheiden wir also:

log 0,5 (3x - 1) = -3

Schreiben wir es so um:

log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3

Viele Schüler haben es eilig und versuchen, die Zahl 0,5 sofort mit der Potenz zu potenzieren, die uns aus der ursprünglichen Aufgabe zugekommen ist. Und tatsächlich, wenn Sie bereits gut darin trainiert sind, solche Probleme zu lösen, können Sie diesen Schritt sofort ausführen.

Wenn Sie jedoch gerade erst anfangen, sich mit diesem Thema zu befassen, ist es besser, sich nirgendwohin zu beeilen, um keine beleidigenden Fehler zu machen. Wir haben also die kanonische Form. Wir haben:

3x - 1 = 0,5 -3

Dies ist keine logarithmische Gleichung mehr, sondern eine lineare bezüglich der Variablen x. Um es zu lösen, beschäftigen wir uns zunächst mit der Zahl 0,5 hoch −3. Beachten Sie, dass 0,5 1/2 ist.

(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8

Alle Dezimalstellen Konvertieren Sie in Normal, wenn Sie eine logarithmische Gleichung lösen.

Wir schreiben um und erhalten:

3x − 1 = 8
3x=9
x=3

Alles, was wir haben, ist die Antwort. Die erste Aufgabe ist gelöst.

Zweite Aufgabe

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Wie Sie sehen können, ist diese Gleichung nicht mehr die einfachste. Schon allein deshalb, weil die Differenz links ist und nicht ein einziger Logarithmus in einer Basis.

Daher müssen Sie diesen Unterschied irgendwie beseitigen. In diesem Fall ist alles sehr einfach. Schauen wir uns die Basen genauer an: Links steht die Zahl unter der Wurzel:

Generelle Empfehlung: Versuchen Sie bei allen logarithmischen Gleichungen, Radikale, also Einträge mit Wurzeln, loszuwerden, und gehen Sie weiter zu Machtfunktionen, einfach weil die Exponenten dieser Potenzen leicht aus dem Vorzeichen des Logarithmus genommen werden, und eine solche Schreibweise die Berechnungen am Ende stark vereinfacht und beschleunigt. Schreiben wir es so:

Jetzt erinnern wir uns an die bemerkenswerte Eigenschaft des Logarithmus: Sowohl aus dem Argument als auch aus der Basis kann man Grade ableiten. Bei Basen passiert folgendes:

log a k b = 1/k loga b

Mit anderen Worten, die Zahl, die im Grad der Basis stand, wird vorgezogen und dreht sich gleichzeitig um, d.h. wird umgekehrte Nummer. In unserem Fall gab es einen Basengrad mit einem Indikator von 1/2. Daher können wir es als 2/1 herausnehmen. Wir bekommen:

5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18

Bitte beachten Sie: Auf keinen Fall sollten Sie bei diesem Schritt auf Logarithmen verzichten. Denken Sie an Mathematik der 4. bis 5. Klasse und die Reihenfolge der Operationen zurück: Zuerst wird multipliziert, und erst dann werden Addition und Subtraktion durchgeführt. In diesem Fall subtrahieren wir eines der gleichen Elemente von 10 Elementen:

9 log 5 x = 18
log 5 x = 2

Jetzt sieht unsere Gleichung so aus, wie sie sollte. Das einfachste Konstruktion, und wir lösen es mit der kanonischen Form:

log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25

Das ist alles. Das zweite Problem ist gelöst.

Drittes Beispiel

Kommen wir zur dritten Aufgabe:

lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5

Erinnern Sie sich an die folgende Formel:

log b = log 10 b

Wenn Sie aus irgendeinem Grund durch das Schreiben von lg b verwirrt sind, können Sie bei allen Berechnungen einfach log 10 b schreiben. Du kannst mit dezimalen Logarithmen genauso arbeiten wie mit anderen: Potenzen ziehen, addieren und jede Zahl als lg 10 darstellen.

Genau diese Eigenschaften werden wir nun zur Lösung des Problems verwenden, da es nicht das einfachste ist, das wir ganz am Anfang unserer Lektion aufgeschrieben haben.

Beachten Sie zunächst, dass der Faktor 2 vor lg 5 eingesetzt werden kann und zu einer Potenz zur Basis 5 wird. Außerdem kann der freie Term 3 auch als Logarithmus dargestellt werden – dies lässt sich anhand unserer Notation sehr gut beobachten.

Überzeugen Sie sich selbst: Jede Zahl kann als Logarithmus zur Basis 10 dargestellt werden:

3 = Protokoll 10 10 3 = Protokoll 10 3

Schreiben wir das ursprüngliche Problem unter Berücksichtigung der erhaltenen Änderungen um:

lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000

Vor uns liegt wieder die kanonische Form, und wir haben sie erhalten, indem wir die Stufe der Transformationen umgangen haben, d. H. Die einfachste logarithmische Gleichung ist bei uns nirgendwo aufgetaucht.

Das war es, worüber ich ganz am Anfang der Lektion gesprochen habe. Die kanonische Form ermöglicht die Lösung einer größeren Klasse von Problemen als die Standardschulformel, die von den meisten Schullehrern gegeben wird.

Das ist alles, wir entfernen das Vorzeichen des Dezimallogarithmus und erhalten eine einfache lineare Konstruktion:

x + 3 = 25.000
x = 24997

Alle! Problem gelöst.

Eine Anmerkung zum Umfang

Hier möchte ich eine wichtige Bemerkung zum Definitionsbereich machen. Sicherlich gibt es jetzt Schüler und Lehrer, die sagen werden: „Wenn wir Ausdrücke mit Logarithmen lösen, müssen wir unbedingt daran denken, dass das Argument f (x) größer als Null sein muss!“ In diesem Zusammenhang stellt sich eine logische Frage: Warum haben wir bei keinem der betrachteten Probleme gefordert, dass diese Ungleichung erfüllt ist?

Machen Sie sich keine Sorgen. In diesen Fällen werden keine zusätzlichen Wurzeln angezeigt. Und dies ist ein weiterer großartiger Trick, mit dem Sie die Lösung beschleunigen können. Wisse nur, dass, wenn in der Aufgabe die Variable x nur an einer Stelle vorkommt (genauer gesagt, im einzigen Argument des einen und einzigen Logarithmus), und nirgendwo sonst in unserem Fall die Variable x vorkommt, dann schreibe den Definitionsbereich nicht nötig weil es automatisch läuft.

Überzeugen Sie sich selbst: In der ersten Gleichung haben wir 3x - 1 erhalten, d.h. das Argument sollte gleich 8 sein. Dies bedeutet automatisch, dass 3x - 1 größer als Null ist.

Mit gleichem Erfolg können wir schreiben, dass im zweiten Fall x gleich 5 2 sein muss, also auf jeden Fall größer als Null ist. Und im dritten Fall, wo x + 3 = 25.000, also wieder offensichtlich größer als Null. Mit anderen Worten, der Geltungsbereich ist automatisch, aber nur, wenn x nur im Argument von nur einem Logarithmus vorkommt.

Das ist alles, was Sie wissen müssen, um einfache Probleme zu lösen. Allein diese Regel zusammen mit den Transformationsregeln ermöglicht es Ihnen, eine sehr breite Klasse von Problemen zu lösen.

Aber seien wir ehrlich: um uns endlich mit dieser Technik auseinanderzusetzen, um zu lernen, wie man die kanonische Form anwendet logarithmische Gleichung Es reicht nicht aus, nur ein Video-Tutorial anzusehen. Laden Sie daher jetzt die Optionen für eine unabhängige Lösung herunter, die diesem Video-Tutorial beigefügt sind, und beginnen Sie mit der Lösung mindestens einer dieser beiden unabhängigen Arbeiten.

Es dauert nur ein paar Minuten. Aber der Effekt eines solchen Trainings wird viel größer sein, als wenn Sie sich nur dieses Video-Tutorial angesehen hätten.

Ich hoffe, diese Lektion wird Ihnen helfen, logarithmische Gleichungen zu verstehen. Wenden Sie die kanonische Form an, vereinfachen Sie Ausdrücke mit den Regeln für die Arbeit mit Logarithmen - und Sie werden keine Angst vor Aufgaben haben. Und das ist alles, was ich für heute habe.

Scope-Betrachtung

Lassen Sie uns nun über den Definitionsbereich der logarithmischen Funktion sprechen und wie sich dies auf die Lösung logarithmischer Gleichungen auswirkt. Betrachten Sie eine Konstruktion des Formulars

loga f(x) = b

Ein solcher Ausdruck wird als der einfachste bezeichnet - er hat nur eine Funktion, und die Zahlen a und b sind nur Zahlen und auf keinen Fall eine Funktion, die von der Variablen x abhängt. Es ist ganz einfach gelöst. Sie müssen nur die Formel verwenden:

b = log a a b

Diese Formel ist eine der Schlüsseleigenschaften des Logarithmus, und wenn wir sie in unseren ursprünglichen Ausdruck einsetzen, erhalten wir Folgendes:

log a f(x) = log a a b

f(x) = ein b

Das ist bereits eine bekannte Formel aus Schulbüchern. Viele Studenten werden wahrscheinlich eine Frage haben: Da die Funktion f ( x ) im ursprünglichen Ausdruck unter dem Log-Zeichen steht, werden ihr folgende Einschränkungen auferlegt:

f(x) > 0

Diese Einschränkung gilt, weil der Logarithmus negativer Zahlen nicht existiert. Vielleicht sollten Sie aufgrund dieser Einschränkung eine Überprüfung auf Antworten einführen? Vielleicht müssen sie in der Quelle ersetzt werden?

Nein, bei den einfachsten logarithmischen Gleichungen erübrigt sich eine zusätzliche Prüfung. Und deshalb. Werfen Sie einen Blick auf unsere endgültige Formel:

f(x) = ein b

Tatsache ist, dass die Zahl a in jedem Fall größer als 0 ist - diese Anforderung wird auch durch den Logarithmus auferlegt. Die Zahl a ist die Basis. In diesem Fall werden der Anzahl b keine Beschränkungen auferlegt. Aber das spielt keine Rolle, denn egal wie stark wir eine positive Zahl erhöhen, wir werden immer noch eine positive Zahl am Ausgang erhalten. Damit ist die Bedingung f (x) > 0 automatisch erfüllt.

Was sich wirklich lohnt, ist der Funktionsumfang unter dem Log-Zeichen. Es kann ziemlich komplexe Designs geben, und bei der Lösung müssen Sie ihnen unbedingt folgen. Werfen wir einen Blick darauf.

Erste Aufgabe:

Erster Schritt: Wandle den rechten Bruch um. Wir bekommen:

Wir werden das Vorzeichen des Logarithmus los und erhalten die übliche irrationale Gleichung:

Von den erhaltenen Wurzeln passt nur die erste zu uns, da die zweite Wurzel kleiner als Null ist. Die einzige Antwort wird die Nummer 9 sein. Das war's, das Problem ist gelöst. Es sind keine zusätzlichen Überprüfungen erforderlich, ob der Ausdruck unter dem Logarithmuszeichen größer als 0 ist, da er nicht nur größer als 0 ist, sondern durch die Bedingung der Gleichung gleich 2 ist. Daher ist die Anforderung "größer als Null" automatisch befriedigt.

Kommen wir zur zweiten Aufgabe:

Alles ist hier das gleiche. Wir schreiben die Konstruktion um und ersetzen das Tripel:

Wir werden die Vorzeichen des Logarithmus los und erhalten eine irrationale Gleichung:

Wir quadrieren beide Teile unter Berücksichtigung der Restriktionen und erhalten:

4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2

4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16

x2 + 8x + 16 −4 + ​​6x + x2 = 0

2x2 + 14x + 12 = 0 |:2

x2 + 7x + 6 = 0

Wir lösen die resultierende Gleichung durch die Diskriminante:

D \u003d 49 - 24 \u003d 25

x 1 = –1

x 2 \u003d -6

Aber x = −6 passt nicht zu uns, denn wenn wir diese Zahl in unsere Ungleichung einsetzen, erhalten wir:

−6 + 4 = −2 < 0

In unserem Fall ist es erforderlich, dass es größer als 0 oder im Extremfall gleich ist. Aber x = −1 passt zu uns:

−1 + 4 = 3 > 0

Die einzige Antwort in unserem Fall ist x = −1. Das ist die Lösung. Gehen wir zurück zum Anfang unserer Berechnungen.

Die wichtigste Schlussfolgerung aus dieser Lektion ist, dass es nicht erforderlich ist, die Grenzwerte für eine Funktion in den einfachsten logarithmischen Gleichungen zu überprüfen. Denn im Prozess der Lösung werden alle Constraints automatisch ausgeführt.

Dies bedeutet jedoch keineswegs, dass Sie die Verifizierung ganz vergessen können. Bei der Arbeit an einer logarithmischen Gleichung kann daraus eine irrationale werden, die ihre eigenen Einschränkungen und Anforderungen für die rechte Seite hat, wie wir heute an zwei verschiedenen Beispielen gesehen haben.

Fühlen Sie sich frei, solche Probleme zu lösen, und seien Sie besonders vorsichtig, wenn das Argument eine Wurzel hat.

Logarithmische Gleichungen mit verschiedenen Basen

Wir studieren weiterhin logarithmische Gleichungen und analysieren zwei weitere ziemlich interessante Tricks, mit denen es in Mode ist, mehr zu lösen komplexe Strukturen. Aber erinnern wir uns zuerst, wie die einfachsten Aufgaben gelöst werden:

loga f(x) = b

In dieser Notation sind a und b nur Zahlen, und in der Funktion f (x) muss die Variable x vorhanden sein, und nur dort, dh x darf nur im Argument stehen. Wir werden solche logarithmischen Gleichungen in die kanonische Form umwandeln. Dafür merken wir das an

b = log a a b

Und a b ist nur ein Argument. Schreiben wir diesen Ausdruck wie folgt um:

log a f(x) = log a a b

Genau das versuchen wir zu erreichen, sodass sowohl links als auch rechts ein Logarithmus zur Basis a steht. In diesem Fall können wir bildlich gesprochen die Vorzeichen von log durchstreichen und aus mathematischer Sicht können wir sagen, dass wir die Argumente einfach gleichsetzen:

f(x) = ein b

Als Ergebnis erhalten wir einen neuen Ausdruck, der viel einfacher gelöst werden kann. Wenden wir diese Regel heute auf unsere Aufgaben an.

Also der erste Entwurf:

Zunächst stelle ich fest, dass rechts ein Bruch steht, dessen Nenner log ist. Wenn Sie einen Ausdruck wie diesen sehen, sollten Sie sich an die wunderbare Eigenschaft von Logarithmen erinnern:

Ins Russische übersetzt bedeutet dies, dass jeder Logarithmus als Quotient zweier Logarithmen mit beliebiger Basis c dargestellt werden kann. Natürlich 0< с ≠ 1.

Also: Diese Formel hat einen wunderbaren Spezialfall, wenn die Variable c gleich der Variablen ist B. In diesem Fall erhalten wir eine Konstruktion der Form:

Es ist diese Konstruktion, die wir anhand des Vorzeichens rechts in unserer Gleichung beobachten. Ersetzen wir diese Konstruktion durch log a b , erhalten wir:

Das heißt, wir haben im Vergleich zur ursprünglichen Aufgabe das Argument und die Basis des Logarithmus vertauscht. Stattdessen mussten wir den Bruch umdrehen.

Wir erinnern daran, dass jeder Abschluss gemäß der folgenden Regel aus der Basis genommen werden kann:

Mit anderen Worten, der Koeffizient k, der der Grad der Basis ist, wird als umgekehrter Bruch herausgenommen. Nehmen wir es als umgekehrten Bruch heraus:

Der Bruchfaktor kann nicht vorangestellt werden, da wir in diesem Fall diesen Eintrag nicht als kanonische Form darstellen können (schließlich gibt es in der kanonischen Form keinen zusätzlichen Faktor vor dem zweiten Logarithmus). Setzen wir also den Bruch 1/4 als Potenz in das Argument ein:

Jetzt setzen wir die Argumente gleich, deren Basen gleich sind (und wir haben wirklich die gleichen Basen) und schreiben:

x + 5 = 1

x = −4

Das ist alles. Wir haben die Antwort auf die erste logarithmische Gleichung. Achtung: In der ursprünglichen Aufgabe kommt die Variable x nur in einem Protokoll vor, und zwar in ihrem Argument. Daher ist es nicht nötig, den Definitionsbereich zu überprüfen, und unsere Zahl x = −4 ist tatsächlich die Antwort.

Kommen wir nun zum zweiten Ausdruck:

log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)

Hier müssen wir zusätzlich zu den üblichen Logarithmen mit lg f (x) arbeiten. Wie löst man eine solche Gleichung? Es mag einem unvorbereiteten Schüler scheinen, dass dies eine Art Zinn ist, aber tatsächlich ist alles elementar gelöst.

Sehen Sie sich den Begriff lg 2 log 2 7 genau an. Was können wir dazu sagen? Die Grundlagen und Argumente von log und lg sind gleich, und dies sollte einige Hinweise geben. Erinnern wir uns noch einmal daran, wie die Grade unter dem Vorzeichen des Logarithmus herausgenommen werden:

log a b n = n log a b

Mit anderen Worten, die Potenz der Zahl b im Argument wird zu einem Faktor vor log selbst. Wenden wir diese Formel auf den Ausdruck lg 2 log 2 7 an. Keine Angst vor lg 2 – das ist der gebräuchlichste Ausdruck. Du kannst es so umschreiben:

Für ihn gelten alle Regeln, die für jeden anderen Logarithmus gelten. Insbesondere kann der Faktor in front in die Kraft des Arguments eingebracht werden. Lass uns schreiben:

Sehr oft sehen die Schüler diese Aktion nicht, weil es nicht gut ist, ein Protokoll unter dem Zeichen eines anderen einzugeben. Tatsächlich ist daran nichts Kriminelles. Außerdem erhalten wir eine Formel, die leicht zu berechnen ist, wenn Sie sich an eine wichtige Regel erinnern:

Diese Formel kann sowohl als Definition als auch als eine ihrer Eigenschaften betrachtet werden. Wenn Sie eine logarithmische Gleichung umrechnen, sollten Sie diese Formel auf jeden Fall genauso kennen wie die Darstellung einer beliebigen Zahl in Form von log.

Wir kehren zu unserer Aufgabe zurück. Wir schreiben es unter Berücksichtigung der Tatsache um, dass der erste Term rechts vom Gleichheitszeichen einfach gleich lg 7 ist. Wir haben:

lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)

Bewegen wir lg 7 nach links, erhalten wir:

lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)

Wir subtrahieren die Ausdrücke auf der linken Seite, weil sie dieselbe Basis haben:

lg (56/7) = -3 lg (x + 4)

Schauen wir uns nun die Gleichung, die wir haben, genauer an. Es ist praktisch die kanonische Form, aber rechts steht ein Faktor −3. Setzen wir es in das richtige lg-Argument:

lg 8 = lg (x + 4) −3

Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, also streichen wir die Zeichen von lg und setzen die Argumente gleich:

(x + 4) -3 = 8

x + 4 = 0,5

Das ist alles! Wir haben die zweite logarithmische Gleichung gelöst. In diesem Fall sind keine zusätzlichen Prüfungen erforderlich, da x im ursprünglichen Problem nur in einem Argument vorhanden war.

Ich werde nochmal auflisten Schlüsselpunkte diese Lektion.

Die Hauptformel, die in allen Lektionen auf dieser Seite zum Lösen logarithmischer Gleichungen studiert wird, ist die kanonische Form. Und lassen Sie sich nicht davon abschrecken, dass die meisten Schulbücher Ihnen beibringen, wie Sie diese Art von Problemen anders lösen können. Dieses Werkzeug arbeitet sehr effizient und ermöglicht es Ihnen, eine viel breitere Klasse von Problemen zu lösen als die einfachsten, die wir zu Beginn unserer Lektion studiert haben.

Um logarithmische Gleichungen zu lösen, ist es außerdem hilfreich, die grundlegenden Eigenschaften zu kennen. Nämlich:

1. Die Formel für das Bewegen zu einer Basis und ein Sonderfall, wenn wir das Protokoll umdrehen (dies war für uns bei der ersten Aufgabe sehr nützlich);
2. Die Formel zum Einbringen und Herausnehmen von Potenzen unter dem Vorzeichen des Logarithmus. Hier bleiben viele Studenten stecken und sehen nicht sofort, dass die entnommene und eingebrachte Leistung selbst log f (x) enthalten kann. Daran ist nichts auszusetzen. Wir können ein Protokoll nach dem Vorzeichen eines anderen einführen und gleichzeitig die Lösung des Problems erheblich vereinfachen, was wir im zweiten Fall beobachten.

Abschließend möchte ich hinzufügen, dass es nicht erforderlich ist, in jedem dieser Fälle den Gültigkeitsbereich zu überprüfen, da die Variable x überall nur in einem Vorzeichen von log und gleichzeitig in ihrem Argument vorhanden ist. Dadurch werden alle Domain-Anforderungen automatisch erfüllt.

Probleme mit variabler Basis

Heute werden wir logarithmische Gleichungen betrachten, die vielen Schülern nicht standardmäßig, wenn nicht gar unlösbar erscheinen. Wir sprechen von Ausdrücken, die nicht auf Zahlen basieren, sondern auf Variablen und sogar Funktionen. Wir werden solche Konstruktionen mit unserer Standardtechnik lösen, nämlich durch die kanonische Form.

Erinnern wir uns zunächst daran, wie die einfachsten Probleme gelöst werden, die auf gewöhnlichen Zahlen basieren. So heißt die einfachste Konstruktion

loga f(x) = b

Um solche Probleme zu lösen, können wir die folgende Formel verwenden:

b = log a a b

Wir schreiben unseren ursprünglichen Ausdruck um und erhalten:

log a f(x) = log a a b

Dann setzen wir die Argumente gleich, d.h. wir schreiben:

f(x) = ein b

Somit werden wir das Protokollzeichen los und lösen das übliche Problem. In diesem Fall sind die in der Lösung erhaltenen Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen logarithmischen Gleichung. Außerdem wird die Aufzeichnung, wenn sowohl links als auch rechts auf demselben Logarithmus mit derselben Basis stehen, als kanonische Form bezeichnet. Auf diese Aufzeichnung werden wir versuchen, die heutigen Konstruktionen zu reduzieren. So lass uns gehen.

Erste Aufgabe:

log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1

Ersetze 1 durch log x − 2 (x − 2) 1 . Der Grad, den wir in dem Argument beobachten, ist tatsächlich die Zahl b , die rechts vom Gleichheitszeichen stand. Schreiben wir also unseren Ausdruck um. Wir bekommen:

log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)

Was sehen wir? Vor uns liegt die kanonische Form der logarithmischen Gleichung, sodass wir die Argumente sicher gleichsetzen können. Wir bekommen:

2x2 - 13x + 18 = x - 2

Aber die Lösung endet hier nicht, weil diese Gleichung nicht der ursprünglichen entspricht. Schließlich besteht die resultierende Konstruktion aus Funktionen, die auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert sind, und unsere ursprünglichen Logarithmen sind nicht überall und nicht immer definiert.

Daher müssen wir den Definitionsbereich separat aufschreiben. Seien wir nicht klüger und schreiben zuerst alle Anforderungen auf:

Erstens muss das Argument jedes Logarithmus größer als 0 sein:

2x 2 − 13x + 18 > 0

x − 2 > 0

Zweitens muss die Basis nicht nur größer als 0, sondern auch ungleich 1 sein:

x − 2 ≠ 1

Als Ergebnis erhalten wir das System:

Aber keine Sorge: Bei der Verarbeitung von logarithmischen Gleichungen kann ein solches System stark vereinfacht werden.

Überzeugen Sie sich selbst: Einerseits wird von uns verlangt, dass die quadratische Funktion größer als Null ist, und andererseits wird diese quadratische Funktion einem linearen Ausdruck gleichgesetzt, der ebenfalls erforderlich ist, dass sie größer als Null ist.

Wenn wir in diesem Fall fordern, dass x − 2 > 0, dann ist die Bedingung 2x 2 − 13x + 18 > 0 automatisch erfüllt, daher können wir die enthaltende Ungleichung bedenkenlos streichen quadratische Funktion. Somit wird die Anzahl der in unserem System enthaltenen Ausdrücke auf drei reduziert.

Natürlich können wir auch durchstreichen lineare Ungleichheit, d.h. streichen Sie x − 2 > 0 und fordern Sie, dass 2x 2 − 13x + 18 > 0. Aber Sie müssen zustimmen, dass es viel schneller und einfacher ist, die einfachste lineare Ungleichung zu lösen, als dieses System, wir bekommen die gleichen Wurzeln.

Versuchen Sie im Allgemeinen, Berechnungen nach Möglichkeit zu optimieren. Und bei logarithmischen Gleichungen streichen Sie die schwierigsten Ungleichungen durch.

Schreiben wir unser System um:

Hier ist ein solches System von drei Ausdrücken, von denen wir tatsächlich zwei bereits herausgefunden haben. Schreiben wir getrennt quadratische Gleichung und löse es:

2x2 - 14x + 20 = 0

x2 − 7x + 10 = 0

Vor uns liegt ein reduziertes quadratisches Trinom und daher können wir die Vieta-Formeln verwenden. Wir bekommen:

(x − 5)(x − 2) = 0

x 1 = 5

x2 = 2

Nun, zurück zu unserem System, stellen wir fest, dass x = 2 nicht zu uns passt, da x strikt größer als 2 sein muss.

Aber x \u003d 5 passt ganz gut zu uns: Die Zahl 5 ist größer als 2 und gleichzeitig ist 5 nicht gleich 3. Daher ist x \u003d 5 die einzige Lösung für dieses System.

Alles, die Aufgabe ist gelöst, einschließlich der Berücksichtigung der ODZ. Kommen wir zur zweiten Gleichung. Hier warten wir auf weitere interessante und aussagekräftige Berechnungen:

Der erste Schritt: Wie auch beim letzten Mal bringen wir all diese Geschäfte in eine kanonische Form. Dazu können wir die Zahl 9 wie folgt schreiben:

Die Basis mit der Wurzel kann nicht berührt werden, aber es ist besser, das Argument umzuwandeln. Gehen wir von der Wurzel zur Potenz mit einem rationalen Exponenten. Lass uns schreiben:

Lassen Sie mich nicht unsere ganze große logarithmische Gleichung umschreiben, sondern gleich die Argumente gleichsetzen:

x 3 + 10 x 2 + 31 x + 30 = x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27

x 2 + 4x + 3 = 0

Vor uns liegt das wieder reduzierte quadratische Trinom, wir verwenden die Vieta-Formeln und schreiben:

(x + 3)(x + 1) = 0

x 1 = -3

x 2 = -1

Also haben wir die Wurzeln bekommen, aber niemand hat uns garantiert, dass sie auf die ursprüngliche logarithmische Gleichung passen würden. Immerhin bringen Logzeichen zusätzliche Einschränkungen mit sich (hier müssten wir das System aufschreiben, aber aufgrund der Umständlichkeit der ganzen Konstruktion habe ich mich entschieden, den Definitionsbereich separat zu berechnen).

Denken Sie zunächst daran, dass die Argumente größer als 0 sein müssen, nämlich:

Dies sind die Anforderungen, die der Definitionsbereich auferlegt.

Wir bemerken sofort, dass wir, da wir die ersten beiden Ausdrücke des Systems miteinander gleichsetzen, jeden von ihnen streichen können. Lassen Sie uns das erste durchstreichen, weil es bedrohlicher aussieht als das zweite.

Beachten Sie außerdem, dass die Lösungen der zweiten und dritten Ungleichung dieselben Mengen sind (der Würfel einer Zahl ist größer als Null, wenn diese Zahl selbst größer als Null ist; ähnlich wie bei der Wurzel dritten Grades - diese Ungleichungen sind völlig ähnlich, also können wir eine davon streichen).

Aber mit der dritten Ungleichung wird das nicht funktionieren. Lassen Sie uns das Zeichen des Radikals auf der linken Seite los, für das wir beide Teile zu einem Würfel erheben. Wir bekommen:

Wir erhalten also folgende Anforderungen:

−2 ≠ x > −3

Welche unserer Wurzeln: x 1 = -3 oder x 2 = -1 erfüllt diese Anforderungen? Offensichtlich nur x = −1, weil x = −3 die erste Ungleichung nicht erfüllt (weil unsere Ungleichung streng ist). Insgesamt erhalten wir, zurück zu unserem Problem, eine Wurzel: x = −1. Das ist es, Problem gelöst.

Noch einmal die Kernpunkte dieser Aufgabe:

1. Fühlen Sie sich frei, logarithmische Gleichungen in kanonischer Form anzuwenden und zu lösen. Studenten, die eine solche Aufzeichnung machen und nicht direkt von der ursprünglichen Aufgabe zu einer Konstruktion wie log a f ( x ) = b übergehen, machen viel weniger Fehler als diejenigen, die irgendwo in Eile sind und Zwischenschritte bei Berechnungen überspringen;
2. Sobald im Logarithmus eine variable Basis auftritt, ist das Problem nicht mehr das einfachste. Daher muss bei der Lösung der Definitionsbereich berücksichtigt werden: Die Argumente müssen größer als Null sein, und die Basen dürfen nicht nur größer als 0, sondern auch nicht gleich 1 sein.

Sie können die letzten Anforderungen an die endgültigen Antworten auf verschiedene Arten stellen. Beispielsweise ist es möglich, ein ganzes System zu lösen, das alle Domänenanforderungen enthält. Andererseits können Sie zuerst das Problem selbst lösen und sich dann an den Definitionsbereich erinnern, es in Form eines Systems separat ausarbeiten und auf die erhaltenen Wurzeln anwenden.

Welchen Weg Sie beim Lösen einer bestimmten logarithmischen Gleichung wählen, liegt ganz bei Ihnen. In jedem Fall wird die Antwort dieselbe sein.

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