Herleitung der Formel zur Ableitung einer Potenzfunktion (x hoch a). Ableitungen von Wurzeln von x werden betrachtet. Die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion höherer Ordnung. Beispiele zur Berechnung von Derivaten.

Die Ableitung von x hoch a ist a mal x hoch a minus eins:
(1) .

Die Ableitung der n-ten Wurzel von x zur m-ten Potenz ist:
(2) .

Herleitung der Formel zur Ableitung einer Potenzfunktion

Fall x > 0

Betrachten Sie eine Potenzfunktion der Variablen x mit dem Exponenten a :
(3) .
Dabei ist a eine beliebige reelle Zahl. Betrachten wir zunächst den Fall.

Um die Ableitung der Funktion (3) zu finden, verwenden wir die Eigenschaften der Potenzfunktion und transformieren sie in die folgende Form:
.

Jetzt finden wir die Ableitung, indem wir anwenden:
;
.
Hier .

Formel (1) ist bewiesen.

Herleitung der Formel für die Ableitung der Wurzel vom Grad n von x zum Grad m

Betrachten Sie nun eine Funktion, die die Wurzel der folgenden Form ist:
(4) .

Um die Ableitung zu finden, wandeln wir die Wurzel in eine Potenzfunktion um:
.
Im Vergleich mit Formel (3) sehen wir das
.
Dann
.

Durch Formel (1) finden wir die Ableitung:
(1) ;
;
(2) .

In der Praxis besteht keine Notwendigkeit, Formel (2) auswendig zu lernen. Es ist viel bequemer, zuerst die Wurzeln in Potenzfunktionen umzuwandeln und dann ihre Ableitungen mit Formel (1) zu finden (siehe Beispiele am Ende der Seite).

Fall x = 0

Wenn , dann ist die Exponentialfunktion auch für den Wert der Variablen x = definiert 0 . Finden wir die Ableitung der Funktion (3) für x = 0 . Dazu verwenden wir die Definition eines Derivats:
.

Ersetze x = 0 :
.
In diesem Fall meinen wir mit Ableitung die rechte Grenze, für die .

Also fanden wir:
.
Daraus ist ersichtlich, dass bei , .
Bei , .
Bei , .
Dieses Ergebnis wird auch durch Formel (1) erhalten:
(1) .
Daher gilt Formel (1) auch für x = 0 .

Fall x< 0

Betrachten Sie noch einmal die Funktion (3):
(3) .
Für einige Werte der Konstanten a ist sie auch für negative Werte der Variablen x definiert. Lassen Sie nämlich a sein Rationale Zahl. Dann kann es als irreduzibler Bruch dargestellt werden:
,
wobei m und n ganze Zahlen ohne sind gemeinsamer Teiler.

Ist n ungerade, dann ist die Exponentialfunktion auch für negative Werte der Variablen x definiert. Zum Beispiel für n = 3 und m = 1 wir haben Kubikwurzel von x:
.
Es ist auch für negative Werte von x definiert.

Lassen Sie uns die Ableitung der Potenzfunktion (3) für und für rationale Werte der Konstanten a finden, für die sie definiert ist. Dazu stellen wir x in folgender Form dar:
.
Dann ,
.
Wir finden die Ableitung, indem wir die Konstante aus dem Vorzeichen der Ableitung nehmen und die Ableitungsregel einer komplexen Funktion anwenden:

.
Hier . Aber
.
Weil dann
.
Dann
.
Das heißt, Formel (1) gilt auch für:
(1) .

Ableitungen höherer Ordnung

Jetzt finden wir die Ableitungen höherer Ordnung der Potenzfunktion
(3) .
Wir haben bereits die Ableitung erster Ordnung gefunden:
.

Wenn wir die Konstante a aus dem Vorzeichen der Ableitung nehmen, finden wir die Ableitung zweiter Ordnung:
.
Ebenso finden wir Ableitungen dritter und vierter Ordnung:
;

.

Ab hier ist das klar Ableitung beliebiger n-ter Ordnung hat folgende Form:
.

beachte das wenn a ist natürliche Zahl , , dann ist die n-te Ableitung konstant:
.
Dann sind alle nachfolgenden Ableitungen gleich Null:
,
bei .

Abgeleitete Beispiele

Beispiel

Finden Sie die Ableitung der Funktion:
.

Lösung

Wandeln wir die Wurzeln in Potenzen um:
;
.
Dann nimmt die ursprüngliche Funktion die Form an:
.

Wir finden Ableitungen von Graden:
;
.
Die Ableitung einer Konstanten ist Null:
.

Es ist absolut unmöglich, physikalische Probleme oder Beispiele in der Mathematik zu lösen, ohne die Ableitung und Methoden zu ihrer Berechnung zu kennen. Die Ableitung ist eine von die wichtigsten Begriffe mathematische Analyse. Wir haben uns entschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen können zu einer kombiniert werden: Wie versteht man die Ableitung?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Es gebe eine Funktion f(x) , gegeben in einem gewissen Intervall (a,b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich die Funktion selbst. Argumentänderung - Unterschied seiner Werte x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Die Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten der Funktion an zwei Punkten. Ableitungsdefinition:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem gegebenen Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn letzteres gegen Null geht.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Was bringt es, eine solche Grenze zu finden? Aber welcher:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Die physikalische Bedeutung der Ableitung: die zeitliche Ableitung des Weges ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein Privatweg ist. x=f(t) und Zeit t . Durchschnittsgeschwindigkeit seit einiger Zeit:

Um die Geschwindigkeit der Bewegung zu einem Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen die Grenze berechnen:

Regel eins: Nimm die Konstante heraus

Die Konstante kann aus dem Vorzeichen der Ableitung herausgenommen werden. Außerdem muss es gemacht werden. Nehmen Sie beim Lösen von Beispielen in Mathematik in der Regel - Wenn Sie den Ausdruck vereinfachen können, vereinfachen Sie ihn unbedingt .

Beispiel. Lassen Sie uns die Ableitung berechnen:

Regel zwei: Ableitung der Summe von Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Differenz von Funktionen.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Regel drei: die Ableitung des Produkts von Funktionen

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Hier ist es wichtig, über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument durch die Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel begegnen wir dem Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, betrachten wir zuerst die Ableitung der externen Funktion in Bezug auf das Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst in Bezug auf die unabhängige Variable.

Regel 4: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint, seien Sie also gewarnt: Es gibt oft Fallstricke in den Beispielen, also seien Sie vorsichtig bei der Berechnung von Derivaten.

Bei allen Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. In kurzer Zeit helfen wir Ihnen, die schwierigsten Steuerungs- und Aufgabenstellungen zu lösen, auch wenn Sie sich noch nie mit der Berechnung von Derivaten beschäftigt haben.

Definition. Die Funktion \(y = f(x) \) sei in einem Intervall definiert, das den Punkt \(x_0 \) enthält. Lassen Sie uns \(\Delta x \) zum Argument erhöhen, um dieses Intervall nicht zu verlassen. Finde das entsprechende Inkrement der Funktion \(\Delta y \) (beim Übergang vom Punkt \(x_0 \) zum Punkt \(x_0 + \Delta x \)) und bilde die Beziehung \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Gibt es einen Grenzwert dieser Relation bei \(\Delta x \rightarrow 0 \), so wird der angegebene Grenzwert aufgerufen Ableitungsfunktion\(y=f(x) \) am Punkt \(x_0 \) und bezeichnen \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Das Symbol y wird oft verwendet, um die Ableitung zu bezeichnen. Beachten Sie, dass y" = f(x) eine neue Funktion ist, aber natürlich mit der Funktion y = f(x) verbunden ist, die an allen Punkten x definiert ist, an denen die obige Grenze existiert. Diese Funktion wird wie folgt aufgerufen: Ableitung der Funktion y \u003d f (x).

Die geometrische Bedeutung der Ableitung besteht aus folgendem. Wenn eine Tangente, die nicht parallel zur y-Achse ist, an einem Punkt mit der Abszisse x \u003d a in den Graphen der Funktion y \u003d f (x) gezeichnet werden kann, dann drückt f (a) die Steigung der Tangente aus:
\(k = f"(a)\)

Da \(k = tg(a) \), ist die Gleichheit \(f"(a) = tg(a) \) wahr.

Und jetzt interpretieren wir die Definition der Ableitung in Bezug auf ungefähre Gleichheiten. Die Funktion \(y = f(x) \) habe an einem bestimmten Punkt \(x \) eine Ableitung:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Das bedeutet, dass in der Nähe des Punktes x die ungefähre Gleichheit \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), also \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta\). Die sinnvolle Bedeutung der erhaltenen ungefähren Gleichheit ist wie folgt: Das Inkrement der Funktion ist „fast proportional“ zum Inkrement des Arguments, und der Proportionalitätskoeffizient ist der Wert der Ableitung an einem bestimmten Punkt x. Beispielsweise gilt für die Funktion \(y = x^2 \) die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \). Wenn wir die Definition der Ableitung sorgfältig analysieren, werden wir feststellen, dass sie einen Algorithmus enthält, um sie zu finden.

Formulieren wir es.

Wie finde ich die Ableitung der Funktion y \u003d f (x) ?

1. Wert \(x \) fixieren, \(f(x) \) finden
2. Erhöhe \(x \) Argument \(\Delta x \), gehe zu einem neuen Punkt \(x+ \Delta x \), finde \(f(x+ \Delta x) \)
3. Finden Sie das Funktionsinkrement: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Bilden Sie die Beziehung \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Berechne $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Diese Grenze ist die Ableitung der Funktion bei x.

Wenn die Funktion y = f(x) an der Stelle x eine Ableitung hat, dann heißt sie an der Stelle x differenzierbar. Das Verfahren zum Ermitteln der Ableitung der Funktion y \u003d f (x) wird aufgerufen Unterscheidung Funktionen y = f(x).

Diskutieren wir folgende Frage: Wie hängen Stetigkeit und Differenzierbarkeit einer Funktion an einem Punkt zusammen?

Die Funktion y = f(x) sei an der Stelle x differenzierbar. Dann kann eine Tangente an den Graphen der Funktion am Punkt M (x; f (x)) gezogen werden, und, erinnern Sie sich, die Steigung der Tangente ist gleich f "(x). Ein solcher Graph kann nicht "brechen". Punkt M, d.h. die Funktion muss bei x stetig sein.

Es war Argumentation "an den Fingern". Lassen Sie uns ein strengeres Argument präsentieren. Wenn die Funktion y = f(x) im Punkt x differenzierbar ist, dann gilt die ungefähre Gleichheit \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \). Null, dann ist \(\Delta y \ ) wird ebenfalls gegen Null gehen, und dies ist die Bedingung für die Stetigkeit der Funktion in einem Punkt.

So, Wenn eine Funktion an einem Punkt x differenzierbar ist, dann ist sie dort auch stetig.

Die Umkehrung ist nicht wahr. Zum Beispiel: Funktion y = |x| ist überall stetig, insbesondere im Punkt x = 0, aber die Tangente an den Graphen der Funktion im „Gelenkpunkt“ (0; 0) existiert nicht. Wenn es an einer Stelle unmöglich ist, eine Tangente an den Funktionsgraphen zu ziehen, dann gibt es an dieser Stelle keine Ableitung.

Noch ein Beispiel. Die Funktion \(y=\sqrt(x) \) ist stetig auf dem gesamten Zahlenstrahl, auch am Punkt x = 0. Und die Tangente an den Graphen der Funktion existiert an jedem Punkt, auch am Punkt x = 0 . An diesem Punkt fällt die Tangente jedoch mit der y-Achse zusammen, dh sie steht senkrecht auf der Abszissenachse, ihre Gleichung hat die Form x \u003d 0. Für eine solche gerade Linie gibt es keine Steigung, was bedeutet, dass \ ( f "(0) \) existiert auch nicht

Wir haben also eine neue Eigenschaft einer Funktion kennengelernt - die Differenzierbarkeit. Wie können Sie feststellen, ob eine Funktion vom Graphen einer Funktion differenzierbar ist?

Die Antwort ist eigentlich oben gegeben. Lässt sich an irgendeiner Stelle eine Tangente an den Graphen einer Funktion ziehen, die nicht senkrecht zur x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle differenzierbar. Wenn an einer Stelle die Tangente an den Graphen der Funktion nicht existiert oder senkrecht auf der x-Achse steht, dann ist die Funktion an dieser Stelle nicht differenzierbar.

Abgrenzungsregeln

Die Operation zum Finden der Ableitung wird aufgerufen Unterscheidung. Bei dieser Operation müssen Sie häufig mit Quotienten, Summen, Produkten von Funktionen sowie mit „Funktionen von Funktionen“, also komplexen Funktionen, arbeiten. Aus der Definition der Ableitung lassen sich Ableitungsregeln ableiten, die diese Arbeit erleichtern. Wenn C eine konstante Zahl ist und f=f(x), g=g(x) einige differenzierbare Funktionen sind, dann gilt Folgendes Unterscheidungsregeln:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Ableitung zusammengesetzter Funktionen:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabelle der Ableitungen einiger Funktionen

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $

Hallo liebe Leser. Nachdem Sie den Artikel gelesen haben, werden Sie wahrscheinlich eine logische Frage haben: „Warum ist das eigentlich notwendig?“. Aus diesem Grund halte ich es zunächst für notwendig, vorab darüber zu informieren, dass die gewünschte Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen eher von der moralischen und ästhetischen Seite der Mathematik als von der Seite der praktischen trockenen Anwendung vorgestellt wird. Ich entschuldige mich auch im Voraus bei jenen Lesern, die meine dilettantischen Sprüche inakzeptabel finden. Fangen wir also an, Nägel mit einem Mikroskop einzuschlagen.

Wir haben eine algebraische Gleichung zweiten Grades (sie ist auch quadratisch) in allgemeiner Form:

Gehen wir weiter von quadratische Gleichung zu einer quadratischen Funktion:

Wobei es offensichtlich notwendig ist, solche Werte des Funktionsarguments zu finden, bei denen es Null zurückgeben würde.

Es scheint nur die quadratische Gleichung mit dem Satz von Vieta oder durch die Diskriminante zu lösen. Aber dafür sind wir nicht hier. Nehmen wir die Ableitung!

Basierend auf der Definition der physikalischen Bedeutung der Ableitung erster Ordnung ist klar, dass wir (insbesondere) durch Einsetzen des Arguments in die oben erhaltene Funktion erhalten Geschwindigkeit Die Funktion ändert sich an dem durch dieses Argument angegebenen Punkt.

Dieses Mal haben wir die "Geschwindigkeitsrate" der Funktionsänderung (d.h. Beschleunigung) an einem bestimmten Punkt. Nachdem wir das Ergebnis ein wenig analysiert haben, können wir schlussfolgern, dass die "Beschleunigung" eine Konstante ist, die nicht vom Funktionsargument abhängt - denken Sie daran.

Erinnern wir uns nun an ein wenig Physik und gleichmäßig beschleunigte Bewegung (RUD). Was haben wir in unserem Arsenal? Richtig, es gibt eine Formel zur Bestimmung der Bewegungskoordinate entlang der Achse während der gewünschten Bewegung:

Wobei - Zeit, - Anfangsgeschwindigkeit, - Beschleunigung.
Es ist leicht zu erkennen, dass unsere ursprüngliche Funktion nur ein RUD ist.

Ist die Verschiebungsformel für Drosseln nicht eine Folge der Lösung einer quadratischen Gleichung?

Nein. Die obige Formel für die Drosselklappe ist tatsächlich das Ergebnis des Integrals der Geschwindigkeitsformel für die PORD. Oder aus der Grafik können Sie den Bereich der Abbildung ermitteln. Es wird ein Trapez herauskommen.
Die Verschiebungsformel für die Drosselklappe folgt nicht aus der Lösung irgendwelcher quadratischer Gleichungen. Das ist sehr wichtig, sonst hätte der Artikel keinen Sinn.

Jetzt müssen wir herausfinden, was was ist und was uns fehlt.

Wir haben bereits "Beschleunigung" - es ist die oben abgeleitete Ableitung zweiter Ordnung. Aber um die Anfangsgeschwindigkeit zu erhalten, müssen wir im Allgemeinen irgendeinen nehmen (nennen wir ihn als ) und ihn in die Ableitung jetzt der ersten Ordnung einsetzen – weil es der gewünschte sein wird.

In diesem Fall stellt sich die Frage, welche genommen werden soll? Offensichtlich so, dass die Anfangsgeschwindigkeit gleich Null ist, sodass die Formel für "Verdrängung am Gas" lautet:

In diesem Fall stellen wir eine Gleichung für die Suche auf:

[substituiert in der Ableitung erster Ordnung]

Die Wurzel einer solchen Gleichung in Bezug auf wird sein:

Und der Wert der ursprünglichen Funktion mit einem solchen Argument ist:

Jetzt wird deutlich:

Alle Puzzleteile zusammensetzen:

Hier haben wir die endgültige Lösung des Problems. Im Allgemeinen haben wir Amerika nicht entdeckt – wir sind einfach auf Umwegen auf die Formel zum Lösen einer quadratischen Gleichung durch die Diskriminante gekommen. Dies hat keine praktische Bedeutung (in ungefähr der gleichen Weise können Gleichungen ersten / zweiten Grades beliebiger (nicht unbedingt allgemeiner) Form gelöst werden).

Ziel dieses Artikels ist es insbesondere, das Interesse an der Analyse von Mat. zu wecken. Funktionen und Mathematik im Allgemeinen.

Peter war bei dir, danke für deine Aufmerksamkeit!