Programm zur Lösung linearer, quadratischer und gebrochene Ungleichungen gibt nicht nur die Antwort auf das Problem, sondern liefert auch eine detaillierte Lösung mit Erläuterungen, d.h. Zeigt den Lösungsprozess zum Testen von Kenntnissen in Mathematik und/oder Algebra an.

Wenn außerdem im Prozess der Lösung einer der Ungleichungen beispielsweise Folgendes gelöst werden muss: quadratische Gleichung, dann wird auch die detaillierte Lösung angezeigt (sie enthält einen Spoiler).

Dieses Programm kann für Gymnasiasten bei der Vorbereitung nützlich sein Tests, an Eltern, um die Lösungen ihrer Kinder für Ungleichheiten zu überwachen.

Dieses Programm kann für Oberstufenschüler nützlich sein Weiterführende Schulen zur Vorbereitung auf Prüfungen und Prüfungen, bei der Wissensprüfung vor dem Einheitlichen Staatsexamen, damit Eltern die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra kontrollieren können. Oder ist es für Sie vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder möchten Sie es einfach so schnell wie möglich erledigen? Hausaufgaben in Mathematik oder Algebra? Auch in diesem Fall können Sie unsere Programme mit Detaillösungen nutzen.

Auf diese Weise können Sie Ihr eigenes Training und/oder Ihr eigenes Training durchführen. jüngere Brüder oder Schwestern, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Probleme steigt.

Regeln für die Eingabe von Ungleichungen

Als Variable kann jeder lateinische Buchstabe fungieren.
Zum Beispiel: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) usw.

Zahlen können als ganze oder gebrochene Zahlen eingegeben werden.
Darüber hinaus können Bruchzahlen nicht nur in Form einer Dezimalzahl, sondern auch in Form eines gewöhnlichen Bruchs eingegeben werden.

Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil entweder durch einen Punkt oder ein Komma vom ganzen Teil getrennt werden.
Sie können beispielsweise eintreten Dezimalstellen so: 2,5x - 3,5x^2

Regeln für die Eingabe gewöhnlicher Brüche.
Nur eine ganze Zahl kann als Zähler, Nenner und ganzzahliger Teil eines Bruchs fungieren.

Der Nenner darf nicht negativ sein.

Bei der Eingabe eines Zahlenbruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Ganzer Teil durch ein kaufmännisches Und vom Bruch getrennt: &
Eingabe: 3&1/3 - 5&6/5J +1/7J^2
Ergebnis: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) y + \frac(1)(7)y^2 \)

Bei der Eingabe von Ausdrücken können Sie Klammern verwenden. In diesem Fall werden beim Lösen von Ungleichungen zunächst die Ausdrücke vereinfacht.
Zum Beispiel: 5(a+1)^2+2&3/5+a > 0,6(a-2)(a+3)

Wählen Sie das gewünschte Ungleichheitszeichen aus und geben Sie die Polynome in die Felder darunter ein.

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Eine kleine Theorie.

Ungleichungssysteme mit einer Unbekannten. Numerische Intervalle

In der 7. Klasse haben Sie sich mit dem Konzept eines Systems vertraut gemacht und gelernt, lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten zu lösen. Als nächstes betrachten wir Systeme Lineare Ungleichungen mit einem Unbekannten. Lösungsmengen für Ungleichungssysteme können mithilfe von Intervallen (Intervalle, Halbintervalle, Segmente, Strahlen) geschrieben werden. Außerdem werden Sie mit der Notation von Zahlenintervallen vertraut gemacht.

Wenn in den Ungleichungen \(4x > 2000\) und \(5x \leq 4000\) die unbekannte Zahl x gleich ist, dann werden diese Ungleichungen zusammen betrachtet und sie bilden ein System von Ungleichungen: $$ \left\ (\begin( array)(l) 4x > 2000 \\ 5x \leq 4000 \end(array)\right. $$

Die geschweifte Klammer zeigt, dass Sie Werte von x finden müssen, für die beide Ungleichungen des Systems zu korrekten numerischen Ungleichungen werden. Dieses System ist ein Beispiel für ein System linearer Ungleichungen mit einer Unbekannten.

Die Lösung eines Ungleichungssystems mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, bei dem sich alle Ungleichungen des Systems in echte numerische Ungleichungen verwandeln. Ein System von Ungleichheiten zu lösen bedeutet, alle Lösungen für dieses System zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Die Ungleichungen \(x \geq -2 \) und \(x \leq 3 \) können als doppelte Ungleichung geschrieben werden: \(-2 \leq x \leq 3 \).

Die Lösungen für Ungleichungssysteme mit einer Unbekannten sind unterschiedlich Zahlensätze. Diese Sets haben Namen. Somit wird auf der Zahlenachse die Menge der Zahlen x mit \(-2 \leq x \leq 3 \) durch ein Segment dargestellt, dessen Enden an den Punkten -2 und 3 liegen.

Wenn \(a ein Segment ist und mit [a; b] bezeichnet wird

Wenn \(a ein Intervall ist und mit (a; b) bezeichnet wird

Mengen von Zahlen \(x\), die die Ungleichungen \(a \leq x erfüllen, sind Halbintervalle und werden jeweils mit [a; b) und (a; b] bezeichnet.

Es werden Segmente, Intervalle, Halbintervalle und Strahlen genannt numerische Intervalle.

Somit können numerische Intervalle in Form von Ungleichungen angegeben werden.

Die Lösung einer Ungleichung in zwei Unbekannten ist ein Zahlenpaar (x; y), das die gegebene Ungleichung in eine echte numerische Ungleichung umwandelt. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, die Menge aller ihrer Lösungen zu finden. Somit sind die Lösungen der Ungleichung x > y beispielsweise Zahlenpaare (5; 3), (-1; -1), da \(5 \geq 3 \) und \(-1 \geq - 1\)

Ungleichheitssysteme lösen

Sie haben bereits gelernt, wie man lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten löst. Wissen Sie, was ein System von Ungleichheiten und eine Lösung für das System ist? Daher wird Ihnen die Lösung von Ungleichungssystemen mit einer Unbekannten keine Schwierigkeiten bereiten.

Und dennoch möchten wir Sie daran erinnern: Um ein System von Ungleichungen zu lösen, müssen Sie jede Ungleichung einzeln lösen und dann den Schnittpunkt dieser Lösungen finden.

Beispielsweise wurde das ursprüngliche Ungleichungssystem auf die Form reduziert:
$$ \left\(\begin(array)(l) x \geq -2 \\ x \leq 3 \end(array)\right. $$

Um dieses Ungleichungssystem zu lösen, markieren Sie die Lösung für jede Ungleichung auf der Zahlengeraden und finden Sie deren Schnittpunkt:

Der Schnittpunkt ist das Segment [-2; 3] – das ist die Lösung des ursprünglichen Ungleichheitssystems.

ist eine beliebige Menge von zwei oder mehr linearen Ungleichungen, die dieselbe unbekannte Größe enthalten

Hier sind Beispiele für solche Systeme:

Das Schnittintervall zweier Strahlen ist unsere Lösung. Daher ist die Lösung dieser Ungleichung alles X liegt zwischen zwei und acht.

Antwort: X

Die Verwendung dieser Art der Abbildung zur Lösung eines Systems von Ungleichungen wird manchmal als Dachmethode.

Definition: Der Schnittpunkt zweier Mengen A Und IN heißt die dritte Menge, die alle darin enthaltenen Elemente enthält A und in IN. Dies ist die Bedeutung des Schnittpunkts von Mengen beliebiger Natur. Wir betrachten nun numerische Mengen im Detail. Wenn wir also lineare Ungleichungen finden, sind solche Mengen Strahlen – gleichgerichtet, gegenläufig und so weiter.

Finden wir es im echten Leben heraus Beispiele Finden linearer Ungleichungssysteme, wie man die Schnittpunkte von Lösungsmengen für einzelne im System enthaltene Ungleichungen bestimmt.

Rechnen wir System der Ungleichheiten:

Lassen Sie uns zwei Kraftlinien untereinander platzieren. Oben zeichnen wir diese Werte auf X, die die erste Ungleichung erfüllen X>7 , und unten – die als Lösung für die zweite Ungleichung dienen X>10 Vergleichen wir die Ergebnisse der Zahlengeraden und finden wir heraus, dass beide Ungleichungen erfüllt sein werden, wenn X>10.

Antwort: (10;+∞).

Wir machen es analog zur ersten Probe. Auf einer gegebenen Zahlenachse tragen wir alle diese Werte ein X wofür das erste existiert Ungleichheitssystem und auf der zweiten numerischen Achse, die sich unter der ersten befindet, alle diese Werte X, für die die zweite Ungleichung des Systems erfüllt ist. Vergleichen wir diese beiden Ergebnisse und stellen wir fest, dass beide Ungleichungen für alle Werte gleichzeitig erfüllt sind X liegt zwischen 7 und 10, unter Berücksichtigung der Vorzeichen erhalten wir 7<x≤10

Antwort: (7; 10].

Die folgenden Probleme werden auf ähnliche Weise gelöst. Ungleichheitssysteme.

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Ungleichheiten lösen. Es gibt verschiedene Arten von Ungleichheiten und erfordern unterschiedliche Lösungsansätze. Wenn Sie keine Zeit und Mühe mit dem Lösen von Ungleichungen verbringen oder die Ungleichung selbst lösen möchten und überprüfen möchten, ob Sie die richtige Antwort erhalten haben, empfehlen wir Ihnen, Ungleichungen online zu lösen und dafür unseren Service Math24.su zu nutzen. Es löst sowohl lineare als auch quadratische Ungleichungen, einschließlich irrationaler und gebrochener Ungleichungen. Geben Sie unbedingt beide Seiten der Ungleichung in die entsprechenden Felder ein, wählen Sie das Ungleichheitszeichen zwischen ihnen aus und klicken Sie dann auf die Schaltfläche „Lösung“. Um zu demonstrieren, wie der Dienst die Lösung von Ungleichungen umsetzt, können Sie verschiedene Arten von Beispielen und deren Lösungen anzeigen (ausgewählt rechts neben der Schaltfläche „Lösen“). Der Dienst stellt sowohl Lösungsintervalle als auch ganzzahlige Werte bereit. Benutzer, die Math24.su zum ersten Mal besuchen, bewundern die hohe Geschwindigkeit des Dienstes, da Sie Ungleichungen online in Sekundenschnelle lösen können und den Dienst völlig kostenlos und unbegrenzt oft nutzen können. Die Arbeit des Dienstes ist automatisiert; die Berechnungen werden von einem Programm und nicht von einer Person durchgeführt. Sie müssen keine Software auf Ihrem Computer installieren, sich registrieren, keine persönlichen Daten eingeben oder eine E-Mail senden. Tipp- und Rechenfehler sind ebenfalls ausgeschlossen; dem erzielten Ergebnis kann zu 100 % vertraut werden. Vorteile der Online-Lösung von Ungleichheiten. Dank seiner hohen Geschwindigkeit und Benutzerfreundlichkeit ist der Dienst Math24.su für viele Schüler und Studenten zu einem zuverlässigen Helfer geworden. In den Lehrplänen von Schulen und Institutskursen in höherer Mathematik gibt es häufig Ungleichheiten, und diejenigen, die unseren Online-Service nutzen, erhalten große Vorteile gegenüber anderen. Math24.su ist rund um die Uhr verfügbar, erfordert keine Registrierung oder Gebühren für die Nutzung und ist zudem mehrsprachig. Wer auf eigene Faust nach Lösungen für Ungleichheiten sucht, sollte den Online-Dienst nicht vernachlässigen. Schließlich ist Math24.su eine hervorragende Gelegenheit, die Richtigkeit Ihrer Berechnungen zu überprüfen, herauszufinden, wo der Fehler gemacht wurde, und zu sehen, wie verschiedene Arten von Ungleichungen gelöst werden. Ein weiterer Grund, warum es effizienter sein wird, Ungleichheiten online zu lösen, liegt darin, dass die Lösung von Ungleichheiten nicht die Hauptaufgabe, sondern nur ein Teil davon ist. In diesem Fall macht es einfach keinen Sinn, viel Zeit und Mühe in Berechnungen zu investieren, und es ist besser, sie einem Online-Dienst anzuvertrauen, während man sich auf die Lösung des Hauptproblems konzentriert. Wie Sie sehen, ist der Online-Dienst zur Lösung von Ungleichungen sowohl für diejenigen nützlich, die diese Art von mathematischen Problemen selbstständig lösen, als auch für diejenigen, die keine Zeit und Mühe mit langwierigen Berechnungen verschwenden möchten, sondern schnell eine Antwort benötigen. Wenn Sie also auf Ungleichungen stoßen, vergessen Sie nicht, unseren Service zur Online-Lösung aller Ungleichungen zu nutzen: linear, quadratisch, irrational, trigonometrisch, logarithmisch. Was sind Ungleichheiten und wie werden sie bezeichnet? Ungleichheit ist die Kehrseite der Gleichheit und als Begriff mit dem Vergleich zweier Objekte verbunden. Abhängig von den Eigenschaften der zu vergleichenden Objekte sagen wir größer, niedriger, kürzer, länger, dicker, dünner usw. In der Mathematik geht die Bedeutung von Ungleichungen nicht verloren, aber hier sprechen wir über Ungleichungen mathematischer Objekte: Zahlen, Ausdrücke, Mengenwerte, Figuren usw. Es ist üblich, mehrere Ungleichheitszeichen zu verwenden: , ≤, ≥. Mathematische Ausdrücke mit solchen Vorzeichen werden Ungleichungen genannt. Zwischen größeren und kleineren Objekten wird das Zeichen > (größer als) gesetzt. Das Zeichen bezeichnet strikte Ungleichungen. Nichtstrikte Ungleichungen beschreiben die Situation, in der ein Ausdruck „nicht mehr“ („nicht weniger“) als ein anderer ist. „Nicht mehr“ bedeutet weniger oder das Gleiche, und „nicht weniger“ bedeutet mehr oder das Gleiche.

In dieser Lektion beginnen wir mit der Untersuchung von Ungleichheitssystemen. Zunächst betrachten wir Systeme linearer Ungleichungen. Zu Beginn der Lektion werden wir darüber nachdenken, wo und warum Ungleichheitssysteme entstehen. Als nächstes werden wir untersuchen, was es bedeutet, ein System zu lösen, und uns an die Vereinigung und den Durchschnitt von Mengen erinnern. Am Ende werden wir konkrete Beispiele für Systeme linearer Ungleichungen lösen.

Thema: DiätAlle Ungleichheiten und ihre Systeme

Lektion:HauptsächlichKonzepte, Lösung von Systemen linearer Ungleichungen

Bisher haben wir einzelne Ungleichungen gelöst und die Intervallmethode darauf angewendet, diese könnten sein Lineare Ungleichungen, sowohl quadratisch als auch rational. Kommen wir nun zunächst zur Lösung von Ungleichheitssystemen lineare Systeme. Schauen wir uns ein Beispiel an, woher die Notwendigkeit kommt, Ungleichheitssysteme zu berücksichtigen.

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Eine Funktion existiert, wenn beide Quadratwurzeln existieren, d. h.

Wie löst man ein solches System? Es müssen alle x gefunden werden, die sowohl die erste als auch die zweite Ungleichung erfüllen.

Lassen Sie uns auf der Ochsenachse die Menge der Lösungen für die erste und zweite Ungleichung darstellen.

Das Schnittintervall zweier Strahlen ist unsere Lösung.

Diese Methode zur Darstellung der Lösung eines Ungleichungssystems wird manchmal als Dachmethode bezeichnet.

Die Lösung des Systems ist der Durchschnitt zweier Mengen.

Lassen Sie uns dies grafisch darstellen. Wir haben eine Menge A beliebiger Natur und eine Menge B beliebiger Natur, die sich schneiden.

Definition: Der Schnittpunkt zweier Mengen A und B ist die dritte Menge, die aus allen Elementen besteht, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Betrachten wir anhand spezifischer Beispiele zur Lösung linearer Ungleichungssysteme, wie man Schnittpunkte von Lösungsmengen für einzelne im System enthaltene Ungleichungen findet.

Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Antwort: (7; 10].

4. Lösen Sie das System

Woher kann die zweite Ungleichheit des Systems kommen? Zum Beispiel aus der Ungleichheit

Lassen Sie uns die Lösungen für jede Ungleichung grafisch bezeichnen und das Intervall ihres Schnittpunkts ermitteln.

Wenn wir also ein System haben, in dem eine der Ungleichungen einen beliebigen Wert von x erfüllt, kann sie eliminiert werden.

Antwort: Das System ist widersprüchlich.

Wir haben typische Unterstützungsprobleme untersucht, auf die sich die Lösung jedes linearen Ungleichungssystems reduzieren lässt.

Betrachten Sie das folgende System.

7.

Manchmal ist ein lineares System durch eine doppelte Ungleichung gegeben; betrachten Sie diesen Fall.

8.

Wir haben uns Systeme linearer Ungleichungen angesehen, verstanden, woher sie kommen, haben uns die Standardsysteme angesehen, auf die alle linearen Systeme reduziert werden können, und einige davon gelöst.

1. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina usw. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9.Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Stunden. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. Portal der Naturwissenschaften ().

2. Elektronischer pädagogischer und methodischer Komplex zur Vorbereitung der Klassen 10-11 auf Aufnahmeprüfungen in Informatik, Mathematik, Russisch ().

4. Bildungszentrum „Teaching Technology“ ().

5. College.ru-Abschnitt über Mathematik ().

1. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina usw. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 53; 54; 56; 57.