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Algebra Klasse 11

Thema: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen"

Unterrichtsziele:

pädagogisch: die Bildung von Wissen über verschiedene Wege Lösen von logarithmischen Gleichungen, die Fähigkeit, sie in jeder spezifischen Situation anzuwenden und eine beliebige Lösungsmethode zu wählen;

Entwickeln: Entwicklung von Fähigkeiten zum Beobachten, Vergleichen, Anwenden von Wissen in einer neuen Situation, Erkennen von Mustern, Verallgemeinern; Bildung von Fähigkeiten zur gegenseitigen Kontrolle und Selbstkontrolle;

pädagogisch: Erziehung zu einem verantwortungsbewussten Umgang mit pädagogischer Arbeit, sorgfältige Wahrnehmung des Unterrichtsstoffs, Genauigkeit der Aufzeichnungen.

Unterrichtsart: eine Lektion zur Einarbeitung in neues Material.

"Die Erfindung des Logarithmus hat die Arbeit des Astronomen verkürzt und sein Leben verlängert."
Der französische Mathematiker und Astronom P.S. Laplace

Während des Unterrichts

I. Festlegung des Unterrichtsziels

Die untersuchte Definition des Logarithmus, die Eigenschaften von Logarithmen und die logarithmische Funktion ermöglichen es uns, logarithmische Gleichungen zu lösen. Alle logarithmischen Gleichungen, egal wie komplex sie sind, werden mit denselben Algorithmen gelöst. Wir werden diese Algorithmen heute in der Lektion betrachten. Es gibt wenige von ihnen. Wenn Sie sie beherrschen, ist jede Gleichung mit Logarithmen für jeden von Ihnen machbar.

Schreiben Sie das Thema der Lektion in Ihr Notizbuch: "Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen". Ich lade alle zur Zusammenarbeit ein.

II. Aktualisierung des Grundwissens

Machen wir uns bereit, das Thema der Lektion zu studieren. Sie lösen jede Aufgabe und schreiben die Antwort auf, Sie können die Bedingung nicht schreiben. Partnerarbeit.

1) Für welche Werte von x macht die Funktion Sinn:

(Antworten werden für jede Folie überprüft und Fehler werden aussortiert)

2) Stimmen die Funktionsgraphen überein?

3) Schreiben Sie die Gleichungen in logarithmische Gleichungen um:

4) Schreiben Sie die Zahlen als Logarithmen zur Basis 2:

5) Berechnen:

6) Versuchen Sie, die fehlenden Elemente in diesen Gleichheiten wiederherzustellen oder zu ergänzen.

III. Einführung in neues Material

Die Anweisung wird auf dem Bildschirm angezeigt:

"Die Gleichung ist der goldene Schlüssel, der alles mathematische Sesam aufschließt."
Der moderne polnische Mathematiker S. Koval

Versuchen Sie, die Definition einer logarithmischen Gleichung zu formulieren. (Eine Gleichung, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen des Logarithmus enthält).

In Betracht ziehen die einfachste logarithmische Gleichung:Protokollax = b(wobei a>0, a ≠ 1). Da die logarithmische Funktion am Set zunimmt (oder abnimmt). positive Zahlen und nimmt alle reellen Werte an, so folgt aus dem Wurzelsatz, dass diese Gleichung für jedes b und zwar nur eine Lösung hat, und zwar eine positive.

Erinnere dich an die Definition eines Logarithmus. (Der Logarithmus der Zahl x zur Basis a ist der Exponent, mit dem die Basis a erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten). Aus der Definition des Logarithmus folgt sofort, dass ain ist so eine Lösung.

Schreiben Sie den Titel auf: Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen

1. Per Definition des Logarithmus.

So werden einfache Gleichungen der Form gelöst.

In Betracht ziehen Nr. 514 (a): Löse die Gleichung

Wie schlagen Sie vor, es zu lösen? (Nach Definition des Logarithmus)

Lösung. , Also 2x - 4 = 4; x = 4.

In dieser Aufgabe ist 2x - 4 > 0, da > 0, daher können keine fremden Wurzeln auftreten, und es besteht keine Notwendigkeit zur Überprüfung. Die Bedingung 2x - 4 > 0 muss in dieser Aufgabe nicht ausgeschrieben werden.

2. Potenzierung(Übergang vom Logarithmus des angegebenen Ausdrucks zu diesem Ausdruck selbst).

In Betracht ziehen Nr. 519(g): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

Welche Funktion ist Ihnen aufgefallen? (Die Basen sind gleich und die Logarithmen der beiden Ausdrücke sind gleich). Was kann getan werden? (potenzieren).

Dabei ist zu berücksichtigen, dass jede Lösung unter allen x enthalten ist, für die die Logarithmusausdrücke positiv sind.

Lösung: ODZ:

X2+8>0 zusätzliche Ungleichheit

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

Potenzieren Sie die ursprüngliche Gleichung

wir erhalten die Gleichung x2+8= 8x+8

Wir lösen es: x2-8x=0

Antwort: 0; acht

BEI Gesamtansicht Übergang zu einem gleichwertigen System:

Die gleichung

(Das System enthält eine redundante Bedingung - eine der Ungleichungen kann ignoriert werden).

Frage an die Klasse: Welche dieser drei Lösungen hat Ihnen am besten gefallen? (Methodendiskussion).

Sie haben das Recht, in irgendeiner Weise zu entscheiden.

3. Einführung einer neuen Variablen.

In Betracht ziehen Nr. 520(g). .

Was haben Sie bemerkt? (Das quadratische Gleichung bezüglich log3x) Irgendwelche Vorschläge? (Neue Variable einführen)

Lösung. ODZ: x > 0.

Sei , dann nimmt die Gleichung die Form an:. Diskriminante D > 0. Wurzeln nach Satz von Vieta:.

Kehren wir zum Ersatz zurück: oder .

Lösen wir die einfachsten logarithmischen Gleichungen, erhalten wir:

Antwort: 27;

4. Logarithmus beider Seiten der Gleichung.

Löse die Gleichung:.

Lösung: ODZ: x>0, beide Seiten der Gleichung zur Basis 10 logarithmieren:

Wenden Sie die Eigenschaft des Logarithmus des Grades an:

(lgx + 3) lgx = 4

Sei lgx = y, dann ist (y + 3)y = 4

, (D > 0) die Nullstellen nach dem Satz von Vieta: y1 = -4 und y2 = 1.

Kehren wir zur Ersetzung zurück, wir erhalten: lgx = -4,; log x = 1, .

Antwort: 0,0001; zehn.

5. Reduktion auf eine Base.

Nr. 523(c). Löse die Gleichung:

Lösung: ODZ: x>0. Kommen wir zu Basis 3.

6. Funktional-grafische Methode.

№ 509(d). Lösen Sie grafisch die Gleichung: = 3 - x.

Wie schlägst du vor zu lösen? (Erstellen Sie Graphen von zwei Funktionen y \u003d log2x und y \u003d 3 - x nach Punkten und suchen Sie nach der Abszisse der Schnittpunkte der Graphen).

Sehen Sie Ihre Lösung auf der Folie.

Gibt es eine Möglichkeit, das Plotten zu vermeiden? . Es ist wie folgt : wenn eine der Funktionen y = f(x) erhöht und die andere y = g(x) auf dem Intervall X abnimmt, dann die Gleichung f(x)=g(x) hat höchstens eine Nullstelle auf dem Intervall X.

Wenn es eine Wurzel gibt, dann kann sie erraten werden.

In unserem Fall steigt die Funktion für x>0 und die Funktion y \u003d 3 - x nimmt für alle Werte von x ab, einschließlich x>0, was bedeutet, dass die Gleichung nicht mehr als eine Wurzel hat. Beachten Sie, dass sich die Gleichung für x = 2 in eine echte Gleichheit verwandelt, da .

„Die richtige Anwendung von Methoden ist erlernbar,
nur indem man sie auf verschiedene Beispiele anwendet.
Dänischer Mathematikhistoriker G. G. Zeiten

ichv. Hausaufgaben

S. 39 Betrachte Beispiel 3, löse Nr. 514 (b), Nr. 529 (b), Nr. 520 (b), Nr. 523 (b)

V. Zusammenfassung der Lektion

Welche Methoden zum Lösen logarithmischer Gleichungen haben wir in der Lektion betrachtet?

In den nächsten Lektionen werden wir uns komplexere Gleichungen ansehen. Um sie zu lösen, sind die untersuchten Methoden nützlich.

Anzeige der letzten Folie:

„Was ist mehr als alles andere auf der Welt?
Platz.
Was ist am klügsten?
Zeit.
Was macht am meisten Spaß?
Erreiche, was du willst."
Thales

Ich möchte, dass jeder das erreicht, was er will. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit und Ihr Verständnis.

Logarithmische Gleichung wird eine Gleichung aufgerufen, in der die Unbekannte (x) und Ausdrücke damit unter dem Vorzeichen einer logarithmischen Funktion stehen. Das Lösen von logarithmischen Gleichungen setzt voraus, dass Sie bereits mit und vertraut sind.
Wie löst man logarithmische Gleichungen?

Die einfachste Gleichung ist Loga x = b, wobei a und b Zahlen sind, x eine Unbekannte ist.
Lösen der logarithmischen Gleichung ist x = a b vorausgesetzt: a > 0, a 1.

Es sollte beachtet werden, dass, wenn x irgendwo außerhalb des Logarithmus liegt, zum Beispiel log 2 x \u003d x-2, eine solche Gleichung bereits als gemischt bezeichnet wird und ein spezieller Ansatz erforderlich ist, um sie zu lösen.

Der Idealfall ist, wenn Sie auf eine Gleichung stoßen, in der nur Zahlen unter dem Vorzeichen des Logarithmus stehen, zum Beispiel x + 2 \u003d log 2 2. Hier reicht es aus, die Eigenschaften von Logarithmen zu kennen, um sie zu lösen. Aber diese Art von Glück passiert nicht oft, also machen Sie sich bereit für schwierigere Sachen.

Aber fangen wir doch erstmal mit einfachen Gleichungen an. Um sie zu lösen, ist es wünschenswert, die allgemeinste Vorstellung vom Logarithmus zu haben.

Lösen einfacher logarithmischer Gleichungen

Dazu gehören Gleichungen wie log 2 x \u003d log 2 16. Mit bloßem Auge ist zu erkennen, dass wir durch Weglassen des Vorzeichens des Logarithmus x \u003d 16 erhalten.

Um eine komplexere logarithmische Gleichung zu lösen, wird üblicherweise zur Lösung einer gewöhnlichen algebraischen Gleichung oder zur Lösung der einfachsten logarithmischen Gleichung log a x = b geführt. Bei den einfachsten Gleichungen geschieht dies in einer Bewegung, weshalb sie die einfachsten genannt werden.

Die obige Methode zum Löschen von Logarithmen ist eine der Hauptmethoden zum Lösen von logarithmischen Gleichungen und Ungleichungen. In der Mathematik nennt man diese Operation Potenzierung. Es gibt bestimmte Regeln oder Einschränkungen für diese Art von Operationen:

• Logarithmen haben die gleiche Zahlenbasis
• Logarithmen in beiden Teilen der Gleichung sind frei, d.h. ohne irgendwelche Koeffizienten und andere verschiedene Arten von Ausdrücken.

Nehmen wir an, in der Gleichung log 2 x \u003d 2log 2 (1- x), Potenzierung ist nicht anwendbar - der Koeffizient 2 auf der rechten Seite erlaubt dies nicht. Im folgenden Beispiel ist log 2 x + log 2 (1 - x) = log 2 (1 + x) eine der Einschränkungen ebenfalls nicht erfüllt - es gibt zwei Logarithmen auf der linken Seite. Das wäre eine - eine ganz andere Sache!

Im Allgemeinen können Sie Logarithmen nur entfernen, wenn die Gleichung die Form hat:

log a(...) = log a(...)

Es können absolut beliebige Ausdrücke in Klammern stehen, dies hat absolut keinen Einfluss auf die Potenzierungsoperation. Und nach der Eliminierung von Logarithmen bleibt eine einfachere Gleichung übrig - linear, quadratisch, exponentiell usw., die Sie hoffentlich bereits lösen können.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (2x-5) = log 3 x

Durch Potenzieren erhalten wir:

log 3 (2x-1) = 2

Basierend auf der Definition des Logarithmus, nämlich dass der Logarithmus die Zahl ist, zu der die Basis erhoben werden muss, um einen Ausdruck zu erhalten, der unter dem Vorzeichen des Logarithmus steht, also (4x-1) erhalten wir:

Wieder bekamen wir eine nette Antwort. Hier haben wir auf die Eliminierung von Logarithmen verzichtet, aber Potenzierung ist auch hier anwendbar, denn der Logarithmus kann aus jeder Zahl gemacht werden, und zwar genau aus der, die wir brauchen. Diese Methode ist sehr hilfreich beim Lösen von logarithmischen Gleichungen und insbesondere von Ungleichungen.

Lösen wir unsere logarithmische Gleichung log 3 (2x-1) = 2 mit Potenzierung:

Stellen wir die Zahl 2 beispielsweise als Logarithmus dar, also log 3 9, denn 3 2 = 9.

Dann log 3 (2x-1) = log 3 9 und wieder bekommen wir die gleiche Gleichung 2x-1 = 9. Ich hoffe, alles ist klar.

Also haben wir uns angesehen, wie man die einfachsten logarithmischen Gleichungen löst, die eigentlich sehr wichtig sind, weil Lösung logarithmischer Gleichungen, selbst die schrecklichsten und verdrehtesten, läuft am Ende immer darauf hinaus, die einfachsten Gleichungen zu lösen.

Bei allem, was wir oben getan haben, haben wir eines sehr übersehen wichtiger Punkt die in Zukunft eine entscheidende Rolle spielen werden. Tatsache ist, dass die Lösung jeder logarithmischen Gleichung, selbst der elementarsten, aus zwei äquivalenten Teilen besteht. Das erste ist die Lösung der Gleichung selbst, das zweite ist die Arbeit mit dem Bereich der zulässigen Werte (ODV). Das ist nur der erste Teil, den wir gemeistert haben. In den obigen Beispielen beeinflusst die UNGERADE die Antwort in keiner Weise, daher haben wir sie nicht berücksichtigt.

Nehmen wir ein anderes Beispiel:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Äußerlich unterscheidet sich diese Gleichung nicht von der elementaren, die sehr erfolgreich gelöst wird. Aber es ist nicht so. Nein, natürlich werden wir es lösen, aber höchstwahrscheinlich wird es falsch sein, denn es ist ein kleiner Hinterhalt drin, in den sowohl C-Studenten als auch Honours-Studenten sofort hineinfallen. Schauen wir es uns genauer an.

Angenommen, Sie müssen die Wurzel der Gleichung oder die Summe der Wurzeln finden, wenn es mehrere gibt:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wir wenden Potenzierung an, hier ist es zulässig. Als Ergebnis erhalten wir die übliche quadratische Gleichung.

Wir finden die Wurzeln der Gleichung:

Es gibt zwei Wurzeln.

Antwort: 3 und -1

Auf den ersten Blick stimmt alles. Aber lassen Sie uns das Ergebnis überprüfen und es in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.

Beginnen wir mit x 1 = 3:

Log 3 6 = Log 3 6

Die Prüfung war erfolgreich, jetzt ist die Warteschlange x 2 = -1:

Log 3 (-2) = Log 3 (-2)

Ja, halt! Äußerlich ist alles perfekt. Einen Moment - es gibt keine Logarithmen von negativen Zahlen! Und das bedeutet, dass die Wurzel x \u003d -1 nicht zur Lösung unserer Gleichung geeignet ist. Und deshalb ist die richtige Antwort 3, nicht 2, wie wir geschrieben haben.

Hier spielte die ODZ ihre fatale Rolle, die wir vergessen haben.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass unter dem Bereich der zulässigen Werte solche Werte von x akzeptiert werden, die für das ursprüngliche Beispiel zulässig oder sinnvoll sind.

Ohne ODZ wird jede Lösung, selbst eine absolut korrekte, einer beliebigen Gleichung zu einer Lotterie - 50/50.

Wie könnten wir beim Lösen eines scheinbar elementaren Beispiels erwischt werden? Und hier ist es im Moment der Potenzierung. Die Logarithmen sind weg und mit ihnen alle Einschränkungen.

Was tun in einem solchen Fall? Sich weigern, Logarithmen zu eliminieren? Und die Lösung dieser Gleichung ganz aufgeben?

Nein, wir werden einfach wie echte Helden aus einem berühmten Song herumlaufen!

Bevor wir mit der Lösung einer logarithmischen Gleichung fortfahren, schreiben wir die ODZ auf. Aber danach kannst du mit unserer Gleichung machen, was dein Herz begehrt. Nachdem wir die Antwort erhalten haben, werfen wir einfach die Wurzeln weg, die nicht in unserer ODZ enthalten sind, und schreiben die endgültige Version auf.

Lassen Sie uns nun entscheiden, wie die ODZ geschrieben werden soll. Dazu untersuchen wir die ursprüngliche Gleichung genau und suchen darin nach verdächtigen Stellen, wie z. B. Division durch x, Wurzel eines geraden Grades usw. Bis wir die Gleichung gelöst haben, wissen wir nicht, was x gleich ist, aber wir wissen sicher, dass ein solches x, das beim Ersetzen eine Division durch 0 oder eine Extraktion ergibt Quadratwurzel aus negative Zahl, offensichtlich in der Antwort sind nicht geeignet. Daher sind solche x nicht akzeptabel, während der Rest die ODZ darstellt.

Lassen Sie uns die gleiche Gleichung noch einmal verwenden:

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

log 3 (x 2 -3) = log 3 (2x)

Wie Sie sehen können, gibt es keine Division durch 0, Quadratwurzeln auch nicht, aber es gibt Ausdrücke mit x im Hauptteil des Logarithmus. Wir erinnern uns sofort daran, dass der Ausdruck innerhalb des Logarithmus immer > 0 sein muss. Diese Bedingung wird in Form von ODZ geschrieben:

Diese. Wir haben noch nichts gelöst, aber wir haben bereits eine zwingende Bedingung für den gesamten sublogarithmischen Ausdruck aufgeschrieben. Die geschweifte Klammer bedeutet, dass diese Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen.

Die ODZ wird aufgeschrieben, aber es ist auch notwendig, das resultierende Ungleichungssystem zu lösen, was wir tun werden. Wir erhalten die Antwort x > v3. Jetzt wissen wir sicher, welches x nicht zu uns passt. Und dann fangen wir an, die logarithmische Gleichung selbst zu lösen, was wir oben getan haben.

Nachdem wir die Antworten x 1 \u003d 3 und x 2 \u003d -1 erhalten haben, ist leicht zu erkennen, dass nur x1 \u003d 3 für uns geeignet ist, und wir schreiben es als endgültige Antwort auf.

Für die Zukunft ist es sehr wichtig, sich an Folgendes zu erinnern: Wir lösen jede logarithmische Gleichung in 2 Stufen. Das erste - wir lösen die Gleichung selbst, das zweite - wir lösen die Bedingung der ODZ. Beide Schritte werden unabhängig voneinander durchgeführt und erst beim Schreiben der Antwort verglichen, d.h. wir verwerfen alles Unnötige und schreiben die richtige Antwort auf.

Zur Festigung des Materials empfehlen wir dringend, sich das Video anzusehen:

Im Video weitere Beispiele zum Lösen des Protokolls. Gleichungen und Ausarbeitung der Methode der Intervalle in der Praxis.

Dazu zum Thema wie man logarithmische gleichungen löst bis alles. Wenn etwas nach der Entscheidung des Protokolls. Gleichungen unklar oder unverständlich geblieben sind, schreiben Sie Ihre Fragen in die Kommentare.

Hinweis: Die Akademie für Sozialpädagogik (KSUE) ist bereit, neue Studierende aufzunehmen.

Lösung logarithmischer Gleichungen. Teil 1.

Logarithmische Gleichung wird eine Gleichung genannt, in der die Unbekannte unter dem Vorzeichen des Logarithmus (insbesondere in der Basis des Logarithmus) enthalten ist.

Protozoen logarithmische Gleichung sieht aus wie:

Lösen einer beliebigen logarithmischen Gleichung beinhaltet den Übergang von Logarithmen zu Ausdrücken unter dem Vorzeichen von Logarithmen. Diese Aktion erweitert jedoch den Bereich gültiger Werte der Gleichung und kann zum Auftreten von Fremdwurzeln führen. Um das Auftreten von Fremdwurzeln zu vermeiden Sie können dies auf drei Arten tun:

1. Machen Sie einen äquivalenten Übergang von der ursprünglichen Gleichung zu einem System einschließlich

je nachdem, welche Ungleichheit oder einfacher.

Wenn die Gleichung eine Unbekannte an der Basis des Logarithmus enthält:

Dann gehen wir zum System:

2. Finden Sie separat den Bereich der zulässigen Werte der Gleichung, lösen Sie dann die Gleichung und prüfen Sie, ob die gefundenen Lösungen die Gleichung erfüllen.

3. Lösen Sie die Gleichung, und dann einen Check machen: Setzen Sie die gefundenen Lösungen in die ursprüngliche Gleichung ein und überprüfen Sie, ob wir die richtige Gleichheit erhalten.

Eine logarithmische Gleichung beliebiger Komplexität reduziert sich schließlich immer auf die einfachste logarithmische Gleichung.

Alle logarithmischen Gleichungen können in vier Typen unterteilt werden:

1 . Gleichungen, die nur Logarithmen zur ersten Potenz enthalten. Mit Hilfe von Transformationen und Gebrauch werden sie auf die Form reduziert

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Setzen Sie die Ausdrücke unter dem Vorzeichen des Logarithmus gleich:

Lassen Sie uns prüfen, ob unsere Wurzel der Gleichung erfüllt:

Ja, es befriedigt.

Antwort: x=5

2 . Gleichungen, die Logarithmen mit einer anderen Potenz als 1 enthalten (insbesondere im Nenner eines Bruchs). Diese Gleichungen werden mit gelöst Einführung einer Variablenänderung.

Beispiel. Lösen wir die Gleichung:

Lassen Sie uns die ODZ-Gleichung finden:

Die Gleichung enthält Logarithmen zum Quadrat, also wird sie mit einer Variablenänderung gelöst.

Wichtig! Bevor Sie einen Ersatz einführen, müssen Sie die Logarithmen, die Teil der Gleichung sind, mithilfe der Eigenschaften von Logarithmen in „Ziegel“ „ziehen“.

Beim "Ziehen" von Logarithmen ist es wichtig, die Eigenschaften von Logarithmen sehr sorgfältig anzuwenden:

Außerdem gibt es hier noch eine subtilere Stelle, und um einen häufigen Fehler zu vermeiden, verwenden wir eine Zwischengleichung: Wir schreiben den Grad des Logarithmus in dieser Form:

Ebenfalls,

Wir setzen die erhaltenen Ausdrücke in die ursprüngliche Gleichung ein. Wir bekommen:

Nun sehen wir, dass die Unbekannte in der Gleichung als Teil von enthalten ist. Wir stellen den Ersatz vor: . Da sie jeden realen Wert annehmen kann, legen wir der Variablen keine Beschränkungen auf.

Logarithmische Gleichungen. Wir berücksichtigen weiterhin Aufgaben aus Teil B der Einheitlichen Staatsprüfung in Mathematik. Die Lösungen einiger Gleichungen haben wir bereits in den Artikeln "", "" betrachtet. In diesem Artikel werden wir logarithmische Gleichungen betrachten. Ich muss gleich sagen, dass es beim Lösen solcher Gleichungen bei der USE keine komplexen Transformationen geben wird. Sie sind einfach.

Es reicht aus, die grundlegende logarithmische Identität zu kennen und zu verstehen, um die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen. Beachten Sie, dass nach der Entscheidung eine Überprüfung zwingend erforderlich ist - ersetzen Sie den erhaltenen Wert in die ursprüngliche Gleichung und berechnen Sie, als Ergebnis sollte die korrekte Gleichheit erhalten werden.

Definition:

Der Logarithmus der Zahl a zur Basis b ist der Exponent,zu dem b erhoben werden muss, um a zu erhalten.

Zum Beispiel:

Log 3 9 = 2 seit 3 ​​2 = 9

Eigenschaften von Logarithmen:

Spezialfälle von Logarithmen:

Wir lösen Probleme. Im ersten Beispiel führen wir eine Überprüfung durch. Führen Sie die folgende Überprüfung selbst durch.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 3 (4–x) = 4

Da log b a = x b x = a, dann

3 4 \u003d 4 - x

x = 4 - 81

x = -77

Untersuchung:

log 3 (4–(–77)) = 4

Log 3 81 = 4

3 4 = 81 Richtig.

Antwort: - 77

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 2 (4 - x) = 7

Finden Sie die Wurzel der Log-5-Gleichung(4 + x) = 2

Wir verwenden die grundlegende logarithmische Identität.

Da log a b = x b x = a, dann

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x=21

Untersuchung:

log 5 (4 + 21) = 2

Protokoll 5 25 = 2

5 2 = 25 Richtig.

Antwort: 21

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 3 (14 - x) = log 3 5.

Die folgende Eigenschaft tritt auf, ihre Bedeutung ist wie folgt: Wenn wir auf der linken und rechten Seite der Gleichung Logarithmen mit derselben Basis haben, können wir die Ausdrücke unter den Vorzeichen der Logarithmen gleichsetzen.

14 - x = 5

x=9

Machen Sie einen Scheck.

Antwort: 9

Entscheide dich selbst:

Finde die Wurzel der Gleichung log 5 (5 - x) = log 5 3.

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 4 (x + 3) = log 4 (4x - 15).

Wenn log c a = log c b, dann a = b

x + 3 = 4x - 15

3x = 18

x=6

Machen Sie einen Scheck.

Antwort: 6

Finden Sie die Wurzel der Gleichung log 1/8 (13 - x) = - 2.

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

x = 13 - 64

x = -51

Machen Sie einen Scheck.

Eine kleine Ergänzung - hier wird das Grundstück genutzt

Grad().

Antwort: - 51

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 1/7 (7 - x) = - 2

Finde die Wurzel der Gleichung log 2 (4 - x) = 2 log 2 5.

Lassen Sie uns die rechte Seite umwandeln. Nutzung der Immobilie:

log a b m = m∙ log a b

log 2 (4 - x) = log 2 5 2

Wenn log c a = log c b, dann a = b

4 – x = 5 2

4 - x = 25

x = -21

Machen Sie einen Scheck.

Antwort: - 21

Entscheide dich selbst:

Finden Sie die Wurzel der Gleichung: log 5 (5 - x) = 2 log 5 3

Lösen Sie die Gleichung log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Wenn log c a = log c b, dann a = b

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

x = 2,75

Machen Sie einen Scheck.

Antwort: 2,75

Entscheide dich selbst:

Finde die Wurzel der Gleichung log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Lösen Sie die Gleichung log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) +1.

Auf der rechten Seite der Gleichung müssen Sie einen Ausdruck der Form erhalten:

Protokoll 2 (......)

Darstellung von 1 als Logarithmus zur Basis 2:

1 = Protokoll 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 - x) = log 2 (2 - 3x) + log 2 2

Wir bekommen:

log 2 (2 - x) = log 2 2 (2 - 3x)

Wenn log c a = log c b, dann a = b, dann

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0,4

Machen Sie einen Scheck.

Antwort: 0,4

Entscheide dich selbst: Als nächstes müssen Sie eine quadratische Gleichung lösen. Übrigens,

die Wurzeln sind 6 und -4.

Wurzel "-4" ist keine Lösung, da die Basis des Logarithmus größer als Null sein muss und mit "– 4" ist gleich " – 5". Die Lösung ist root 6.Machen Sie einen Scheck.

Antwort: 6.

R alleine essen:

Lösen Sie die Gleichung log x –5 49 = 2. Wenn die Gleichung mehr als eine Wurzel hat, beantworten Sie die kleinere.

Wie Sie sehen können, keine komplexen Transformationen mit logarithmischen GleichungenNein. Es genügt, die Eigenschaften des Logarithmus zu kennen und anwenden zu können. In den Aufgaben der USE im Zusammenhang mit der Transformation logarithmische Ausdrücke, werden ernsthaftere Transformationen durchgeführt und es sind tiefere Fähigkeiten in der Lösung erforderlich. Wir werden solche Beispiele betrachten, verpassen Sie es nicht!Ich wünsche Ihnen Erfolg!!!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

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