(34∙10+(489–296)∙8):4–410. Bestimmen Sie die Vorgehensweise. Führen Sie die erste Aktion in den inneren Klammern 489–296=193 aus. Multipliziere dann 193∙8=1544 und 34∙10=340. Nächste Aktion: 340+1544=1884. Als nächstes dividiere 1884:4=461 und subtrahiere dann 461–410=60. Sie haben den Wert dieses Ausdrucks gefunden.

Beispiel. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º. Vereinfachen Sie diesen Ausdruck. Verwenden Sie dazu die Formel tg α∙ctg α=1. Erhalte: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º. Es ist bekannt, dass sin 30º=1/2 und cos 30º=√3/2. Daher ist 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. Sie haben den Wert dieses Ausdrucks gefunden.

Der Wert eines algebraischen Ausdrucks von . Um den Wert eines algebraischen Ausdrucks bei gegebenen Variablen zu finden, vereinfachen Sie den Ausdruck. Variablen durch bestimmte Werte ersetzen. Ergreifen Sie die notwendigen Schritte. Als Ergebnis erhalten Sie eine Zahl, die der Wert des algebraischen Ausdrucks für die angegebenen Variablen ist.

Beispiel. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 7(a+y)–3(2a+3y) mit a=21 und y=10. Vereinfachen Sie diesen Ausdruck, erhalten Sie: a–2y. Setzen Sie die entsprechenden Werte der Variablen ein und berechnen Sie: a–2y=21–2∙10=1. Dies ist der Wert des Ausdrucks 7(a+y)–3(2a+3y) mit a=21 und y=10.

beachten Sie

Existieren algebraische Ausdrücke, die für einige Werte der Variablen keinen Sinn machen. Beispielsweise macht der Ausdruck x/(7–a) keinen Sinn, wenn a=7, weil der Nenner des Bruchs verschwindet.

Quellen:

• Finde den kleinsten Wert des Ausdrucks
• Finden Sie die Werte der Ausdrücke bei s 14

Das Erlernen der Vereinfachung von mathematischen Ausdrücken ist einfach notwendig, um Probleme und verschiedene Gleichungen richtig und schnell zu lösen. Das Vereinfachen eines Ausdrucks bedeutet, die Anzahl der Schritte zu reduzieren, was die Berechnungen vereinfacht und Zeit spart.

Anweisung

Lerne Potenzen zu berechnen mit . Wenn man die Potenzen von c multipliziert, erhält man Zahlen, deren Basis gleich ist, und die Exponenten addieren sich zu b^m+b^n=b^(m+n). Beim Teilen von Potenzen mit denselben Basen wird die Potenz der Zahl erhalten, deren Basis gleich bleibt, und die Exponenten werden subtrahiert, und der Teilerindikator b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) wird subtrahiert aus dem Dividendenindex. Wenn eine Potenz potenziert wird, erhält man die Potenz der Zahl, deren Basis gleich bleibt, und die Exponenten werden multipliziert (b^m)^n=b^(mn)Bei Potenzierung jeweils Faktor wird in diese Potenz erhoben (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Polynome faktorisieren, d.h. stellen sie als Produkt mehrerer Faktoren dar - und Monome. Nimm den gemeinsamen Teiler aus der Klammer. Lernen Sie die Grundformeln für abgekürzte Multiplikationen: Differenz von Quadraten, Differenzquadrat, Summe, Differenz von Kubikzahlen, Kubikzahl von Summe und Differenz. Beispiel: m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Es sind diese Formeln, die bei der Vereinfachung am wichtigsten sind. Verwenden Sie die Methode, das vollständige Quadrat in einem Trinom der Form ax^2+bx+c hervorzuheben.

Brüche so oft wie möglich kürzen. Beispiel: (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Aber denken Sie daran, dass nur Multiplikatoren reduziert werden können. Wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert werden, ändert sich der Wert des Bruchs nicht. Es gibt zwei Möglichkeiten, Ausdrücke umzuwandeln: durch Kette und durch Aktionen. Die zweite Methode ist vorzuziehen, weil. Es ist einfacher, die Ergebnisse von Zwischenaktionen zu überprüfen.

In Ausdrücken ist es oft notwendig, Wurzeln zu extrahieren. Gerade Wurzeln werden nur aus nicht negativen Ausdrücken oder Zahlen gezogen. Wurzeln ungeraden Grades werden aus allen Ausdrücken extrahiert.

Quellen:

• Vereinfachung von Ausdrücken mit Potenzen

Trigonometrische Funktionen entstanden zunächst als Hilfsmittel für abstrakte mathematische Berechnungen der Abhängigkeiten der Beträge spitzer Winkel in rechtwinkliges Dreieck von den Längen seiner Seiten. Jetzt werden sie sowohl in wissenschaftlichen als auch in technischen Bereichen der menschlichen Tätigkeit sehr häufig eingesetzt. Für praktische Berechnungen trigonometrischer Funktionen aus gegebenen Argumenten können Sie verschiedene Werkzeuge verwenden – einige der am besten zugänglichen davon werden unten beschrieben.

Anweisung

Verwenden Sie beispielsweise das standardmäßig mit dem Betriebssystem installierte Taschenrechnerprogramm. Es öffnet sich durch Auswahl des Elements "Rechner" im Ordner "Dienstprogramme" aus dem Unterabschnitt "Standard", der sich im Abschnitt "Alle Programme" befindet. Dieser Abschnitt kann durch Klicken auf die Schaltfläche "Start" im Hauptmenü des Operationssaals geöffnet werden. Wenn Sie die Windows 7-Version verwenden, können Sie einfach „Rechner“ in das Feld „Programme und Dateien durchsuchen“ des Hauptmenüs eingeben und dann auf den entsprechenden Link in den Suchergebnissen klicken.

Zählen Sie die Anzahl der erforderlichen Schritte und überlegen Sie sich, in welcher Reihenfolge sie ausgeführt werden sollten. Wenn Ihnen diese Frage Schwierigkeiten bereitet, beachten Sie, dass die in Klammern eingeschlossenen Aktionen zuerst ausgeführt werden, dann die Division und die Multiplikation; und die Subtraktion wird zuletzt durchgeführt. Um sich den Algorithmus der ausgeführten Aktionen leichter merken zu können, notieren Sie im Ausdruck über jedem Aktionsoperatorzeichen (+, -, *, :) mit einem dünnen Stift die Zahlen, die der Ausführung der Aktionen entsprechen.

Fahren Sie mit dem ersten Schritt fort und halten Sie sich an die festgelegte Reihenfolge. Zählen Sie im Kopf, wenn die Aktionen leicht verbal auszuführen sind. Wenn Berechnungen (in einer Spalte) erforderlich sind, erfassen Sie diese unter dem Ausdruck und geben Sie die Sequenznummer der Aktion an.

Verfolgen Sie eindeutig die Abfolge der durchgeführten Aktionen, bewerten Sie, was von was abgezogen werden muss, was in was aufgeteilt werden muss usw. Sehr oft stellt sich die Antwort im Ausdruck aufgrund von Fehlern in dieser Phase als falsch heraus.

Unterscheidungsmerkmal Ausdruck ist das Vorhandensein mathematischer Operationen. Sie wird durch bestimmte Zeichen (Multiplikation, Division, Subtraktion oder Addition) angezeigt. Die Reihenfolge der Durchführung mathematischer Operationen wird gegebenenfalls mit Klammern korrigiert. Mathematische Operationen durchführen heißt finden.

Was ist kein Ausdruck

Nicht jede mathematische Notation kann als Ausdruck klassifiziert werden.

Gleiche sind keine Ausdrücke. Ob mathematische Operationen in der Gleichung vorhanden sind oder nicht, spielt keine Rolle. Beispielsweise ist a=5 eine Gleichheit, kein Ausdruck, aber 8+6*2=20 kann auch nicht als Ausdruck betrachtet werden, obwohl darin eine Multiplikation enthalten ist. Auch dieses Beispiel gehört in die Kategorie der Gleichheiten.

Die Begriffe Ausdruck und Gleichheit schließen sich nicht gegenseitig aus, ersteres gehört zu letzterem. Das Gleichheitszeichen verbindet zwei Ausdrücke:
5+7=24:2

Diese Gleichung lässt sich vereinfachen:
5+7=12

Ein Ausdruck setzt immer voraus, dass die mathematischen Operationen, die er darstellt, ausgeführt werden können. 9+:-7 ist kein Ausdruck, obwohl es Anzeichen für mathematische Operationen gibt, weil es unmöglich ist, diese Operationen durchzuführen.

Es gibt auch mathematische, die zwar formale Ausdrücke sind, aber keinen Sinn ergeben. Ein Beispiel für einen solchen Ausdruck:
46:(5-2-3)

Die Zahl 46 muss durch das Ergebnis der Aktionen in Klammern dividiert werden und ist gleich Null. Sie können nicht durch Null teilen, die Aktion gilt als verboten.

Numerische und algebraische Ausdrücke

Es gibt zwei Arten von mathematischen Ausdrücken.

Wenn ein Ausdruck nur Zahlen und Vorzeichen mathematischer Operationen enthält, wird ein solcher Ausdruck als numerischer Ausdruck bezeichnet. Wenn der Ausdruck neben Zahlen auch mit Buchstaben bezeichnete Variablen oder gar keine Zahlen enthält, besteht der Ausdruck nur aus Variablen und Zeichen mathematischer Operationen, wird er als algebraisch bezeichnet.

Grundlegender Unterschied numerischer Wert vom algebraischen ist, dass der numerische Ausdruck nur einen Wert hat. Beispielsweise ist der Wert des numerischen Ausdrucks 56–2*3 immer 50, nichts kann geändert werden. Ein algebraischer Ausdruck kann viele Werte haben, da stattdessen jede beliebige Zahl eingesetzt werden kann. Wenn also im Ausdruck b–7 anstelle von b 9 ersetzt wird, ist der Wert des Ausdrucks 2, und wenn 200, ist er 193.

Quellen:

• Numerische und algebraische Ausdrücke

In der Regel beginnen Kinder bereits in der Grundschule mit Algebra. Nachdem sie die Grundprinzipien der Arbeit mit Zahlen beherrscht haben, lösen sie Aufgaben mit einer oder mehreren unbekannten Variablen. Die Bedeutung eines solchen Ausdrucks zu finden, kann ziemlich schwierig sein, aber wenn Sie es mit Grundschulwissen vereinfachen, wird alles leicht und schnell klappen.

Welchen Wert hat der Ausdruck

Ein numerischer Ausdruck ist eine algebraische Schreibweise, die aus Zahlen, Klammern und Vorzeichen besteht, sofern sinnvoll.

Mit anderen Worten, wenn es möglich ist, die Bedeutung eines Ausdrucks zu finden, dann ist die Aufzeichnung nicht ohne Bedeutung und umgekehrt.

Beispiele für die folgenden Einträge sind gültige numerische Konstrukte:

• 3*8-2;
• 15/3+6;
• 0,3*8-4/2;
• 3/1+15/5;

Eine einzelne Zahl ist auch ein numerischer Ausdruck, wie die Zahl 18 aus dem obigen Beispiel.
Beispiele für falsche numerische Konstrukte, die keinen Sinn ergeben:

• *7-25);
• 16/0-;
• (*-5;

Falsche Zahlenbeispiele sind nur eine Reihe mathematischer Symbole und ergeben keinen Sinn.

So finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Da in solchen Beispielen Rechenzeichen vorkommen, können wir daraus schließen, dass sie arithmetische Berechnungen zulassen. Um die Vorzeichen zu berechnen oder mit anderen Worten den Wert des Ausdrucks zu finden, müssen die entsprechenden arithmetischen Manipulationen durchgeführt werden.

Betrachten Sie als Beispiel die folgende Konstruktion: (120-30)/3=30. Die Zahl 30 ist der Wert des numerischen Ausdrucks (120-30)/3.

Anweisung:

Das Konzept der numerischen Gleichheit

Numerische Gleichheit liegt vor, wenn die beiden Teile des Beispiels durch das Zeichen "=" getrennt sind. Das heißt, ein Teil ist dem anderen völlig gleich (identisch), auch wenn er in Form anderer Kombinationen von Symbolen und Zahlen angezeigt wird.
Beispielsweise kann jede Konstruktion vom Typ 2+2=4 als numerische Gleichheit bezeichnet werden, denn selbst wenn die Teile vertauscht werden, ändert sich die Bedeutung nicht: 4=2+2. Dasselbe gilt für mehr komplexe Strukturen, einschließlich Klammern, Division, Multiplikation, Bruchoperationen usw.

So finden Sie den Wert eines Ausdrucks richtig

Um den Wert eines Ausdrucks richtig zu finden, müssen Berechnungen gemäß einer bestimmten Reihenfolge von Aktionen durchgeführt werden. Diese Ordnung wird im Mathematikunterricht und später im Algebraunterricht vermittelt Grundschule. Sie wird auch als Schritte arithmetischer Operationen bezeichnet.

Rechenschritte:

1. Der erste Schritt besteht darin, Zahlen zu addieren und zu subtrahieren.
2. Die zweite Stufe ist Division und Multiplikation.
3. Die dritte Stufe - Zahlen werden quadriert oder gewürfelt.

Wenn Sie die folgenden Regeln beachten, können Sie die Bedeutung eines Ausdrucks immer richtig bestimmen:

1. Befolgen Sie die Schritte vom dritten bis zum ersten Schritt, wenn das Beispiel keine Klammern enthält. Das heißt, zuerst Quadrat oder Würfel, dann dividieren oder multiplizieren und erst dann addieren und subtrahieren.
2. Führen Sie für Konstrukte in Klammern zuerst die Schritte in den Klammern aus und fahren Sie dann in der obigen Reihenfolge fort. Bei mehreren Klammern verwenden Sie ebenfalls die Vorgehensweise aus dem ersten Absatz.
3. Finde in den Bruchbeispielen zuerst das Ergebnis im Zähler, dann im Nenner heraus und dividiere dann das erste durch das zweite.

Die Bedeutung eines Ausdrucks zu finden ist nicht schwierig, wenn Sie die Grundkenntnisse der Grundkurse in Algebra und Mathematik beherrschen. Anhand der obigen Informationen können Sie jedes Problem lösen, auch wenn es komplexer ist.

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Aufgabenstellung: Ermitteln Sie den Wert des Ausdrucks (Aktionen mit Brüchen).

Die Aufgabe ist Teil des USE in Mathematik auf der Grundstufe für Klasse 11 bei Nummer 1 (Aktionen mit Brüchen).

Sehen wir uns anhand von Beispielen an, wie solche Probleme gelöst werden.

Beispiel Aufgabe 1:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 5/4 + 7/6: 2/3.

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen. Dazu legen wir die Reihenfolge der Operationen fest: Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. Und wir werden die notwendigen Aktionen in der richtigen Reihenfolge ausführen:

Antwort: 3

Beispiel Aufgabe 2:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (3,9 - 2,4) ∙ 8,2

Antwort: 12.3

Beispiel Aufgabe 3:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 27 ∙ (1/3 - 4/9 - 5/27).

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen. Dazu legen wir die Reihenfolge der Operationen fest: Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. In diesem Fall werden die Aktionen in den Klammern vor den Aktionen außerhalb der Klammern ausgeführt. Und wir werden die notwendigen Aktionen in der richtigen Reihenfolge ausführen:

Antwort: -8

Beispiel für Aufgabe 4:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 2,7 / (1,4 + 0,1)

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen. Dazu legen wir die Reihenfolge der Operationen fest: Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. In diesem Fall werden die Aktionen in den Klammern vor den Aktionen außerhalb der Klammern ausgeführt. Und wir werden die notwendigen Aktionen in der richtigen Reihenfolge ausführen:

Antwort: 1.8

Beispiel für Aufgabe 5:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 1 / (1/9 - 1/12).

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen. Dazu legen wir die Reihenfolge der Operationen fest: Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. In diesem Fall werden die Aktionen in den Klammern vor den Aktionen außerhalb der Klammern ausgeführt. Und wir werden die notwendigen Aktionen in der richtigen Reihenfolge ausführen:

Antwort: 36

Beispiel für Aufgabe 6:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (0,24 ∙ 10^6) / (0,6 ∙ 10^4).

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen. Dazu legen wir die Reihenfolge der Operationen fest: Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. In diesem Fall werden die Aktionen in den Klammern vor den Aktionen außerhalb der Klammern ausgeführt. Und wir werden die notwendigen Aktionen in der richtigen Reihenfolge ausführen:

Antwort: 40

Beispiel für Aufgabe 7:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (1,23 ∙ 45,7) / (12,3 ∙ 0,457).

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen. Dazu legen wir die Reihenfolge der Operationen fest: Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. In diesem Fall werden die Aktionen in den Klammern vor den Aktionen außerhalb der Klammern ausgeführt. Und wir werden die notwendigen Aktionen in der richtigen Reihenfolge ausführen:

Antwort: 10

Beispiel für Aufgabe 8:

Finden Sie den Wert des Ausdrucks (728^2 - 26^2): 754.

Lassen Sie uns den Wert des Ausdrucks berechnen. Dazu legen wir die Reihenfolge der Operationen fest: Erst Multiplikation und Division, dann Addition und Subtraktion. In diesem Fall werden die Aktionen in den Klammern vor den Aktionen außerhalb der Klammern ausgeführt. Und wir werden die notwendigen Aktionen in der richtigen Reihenfolge ausführen. Auch in diesem Fall müssen Sie die Differenz der Quadrate anwenden.

Erste Ebene

Ausdruckskonvertierung. Detaillierte Theorie (2019)

Ausdruckskonvertierung

Oft hören wir diesen unangenehmen Satz: "Vereinfachen Sie den Ausdruck." Normalerweise haben wir in diesem Fall eine Art Monster wie dieses:

„Ja, viel einfacher“, sagen wir, aber eine solche Antwort funktioniert meistens nicht.

Jetzt werde ich dich lehren, keine Angst vor solchen Aufgaben zu haben. Außerdem werden Sie am Ende der Lektion dieses Beispiel selbst zu einer (nur!) gewöhnlichen Zahl vereinfachen (ja, zum Teufel mit diesen Buchstaben).

Aber bevor Sie mit dieser Lektion beginnen, müssen Sie in der Lage sein, mit Brüchen und Faktorpolynomen umzugehen. Wenn Sie dies noch nicht getan haben, sollten Sie daher zunächst die Themen "" und "" beherrschen.

Lesen? Wenn ja, dann sind Sie bereit.

Grundlegende Vereinfachungsoperationen

Jetzt werden wir die wichtigsten Techniken analysieren, die zur Vereinfachung von Ausdrücken verwendet werden.

Die einfachste von ihnen ist

1. Ähnliches mitbringen

Was ist ähnlich? Sie haben das in der 7. Klasse durchgemacht, als in der Mathematik erstmals Buchstaben statt Zahlen auftauchten. Ähnlich sind Begriffe (Monome) mit gleichem Buchstabenteil. Zum Beispiel sind in der Summe gleiche Terme und.

Fiel ein?

Gleiche Begriffe bringen bedeutet, mehrere ähnliche Begriffe miteinander zu addieren und einen Begriff zu erhalten.

Aber wie können wir Buchstaben zusammensetzen? - du fragst.

Dies ist sehr leicht zu verstehen, wenn Sie sich vorstellen, dass die Buchstaben eine Art Objekte sind. Der Buchstabe ist zum Beispiel ein Stuhl. Was ist dann der Ausdruck? Zwei Stühle plus drei Stühle, wie viel wird es sein? Richtig, Stühle: .

Versuchen Sie nun diesen Ausdruck:

Um nicht verwirrt zu werden, lassen Sie unterschiedliche Buchstaben unterschiedliche Objekte bezeichnen. Zum Beispiel - das ist (wie üblich) ein Stuhl und - das ist ein Tisch. Dann:

Stühle Tische Stuhl Tische Stühle Stühle Tische

Die Zahlen, mit denen die Buchstaben in solchen Begriffen multipliziert werden, werden aufgerufen Koeffizienten. Zum Beispiel ist im Monom der Koeffizient gleich. Und er ist gleich.

Also, die Regel für das Bringen von ähnlichem:

Beispiele:

Ähnliches mitbringen:

Antworten:

2. (und sind ähnlich, da diese Begriffe daher den gleichen Buchstabenteil haben).

2. Faktorisierung

Dies ist normalerweise der wichtigste Teil beim Vereinfachen von Ausdrücken. Nachdem Sie ähnliche angegeben haben, muss der resultierende Ausdruck meistens faktorisiert, dh als Produkt dargestellt werden. Das ist besonders wichtig bei Brüchen, denn um einen Bruch zu kürzen, müssen Zähler und Nenner als Produkt dargestellt werden.

Sie haben die detaillierten Methoden zum Faktorisieren von Ausdrücken im Thema "" durchgearbeitet, also müssen Sie sich hier nur daran erinnern, was Sie gelernt haben. Lösen Sie dazu ein paar Beispiele(auszurechnen):

Lösungen:

3. Fraktionsreduktion.

Nun, was gibt es Schöneres, als einen Teil des Zählers und Nenners durchzustreichen und aus seinem Leben zu werfen?

Das ist die Schönheit der Abkürzung.

Es ist einfach:

Wenn Zähler und Nenner die gleichen Faktoren enthalten, können sie gekürzt, also aus dem Bruch entfernt werden.

Diese Regel folgt aus der Grundeigenschaft eines Bruchs:

Das heißt, die Essenz der Reduktionsoperation ist dies Wir dividieren Zähler und Nenner eines Bruchs durch dieselbe Zahl (oder durch denselben Ausdruck).

Um einen Bruch zu kürzen, benötigen Sie:

1) Zähler und Nenner faktorisieren

2) wenn Zähler und Nenner enthalten übliche Faktoren, sie können gelöscht werden.

Das Prinzip, denke ich, ist klar?

Auf einen typischen Abkürzungsfehler möchte ich aufmerksam machen. Dieses Thema ist zwar einfach, aber viele Menschen machen alles falsch, ohne sich dessen bewusst zu sein schneiden- das heisst teilen Zähler und Nenner durch die gleiche Zahl.

Keine Abkürzungen, wenn Zähler oder Nenner die Summe ist.

Zum Beispiel: Sie müssen vereinfachen.

Einige tun dies: was absolut falsch ist.

Anderes Beispiel: Reduzieren.

"Die Klügsten" werden dies tun:.

Sag mir, was ist hier falsch? Es scheint: - Dies ist ein Multiplikator, also können Sie reduzieren.

Aber nein: - Dies ist ein Faktor von nur einem Term im Zähler, aber der Zähler selbst als Ganzes wird nicht in Faktoren zerlegt.

Hier ist ein weiteres Beispiel: .

Dieser Ausdruck wird in Faktoren zerlegt, was bedeutet, dass Sie Zähler und Nenner reduzieren können, dh durch und dann durch dividieren:

Sie können sofort dividieren durch:

Denken Sie daran, solche Fehler zu vermeiden einfacher Weg So bestimmen Sie, ob ein Ausdruck faktorisiert ist:

Die arithmetische Operation, die zuletzt ausgeführt wird, wenn der Wert des Ausdrucks berechnet wird, ist die "Hauptoperation". Das heißt, wenn Sie einige (beliebige) Zahlen anstelle von Buchstaben einsetzen und versuchen, den Wert des Ausdrucks zu berechnen, dann haben wir ein Produkt, wenn die letzte Aktion eine Multiplikation ist (der Ausdruck wird in Faktoren zerlegt). Wenn die letzte Aktion eine Addition oder Subtraktion ist, bedeutet dies, dass der Ausdruck nicht faktorisiert wird (und daher nicht reduziert werden kann).

Um es zu beheben, lösen Sie es selbst ein paar Beispiele:

Antworten:

1. Ich hoffe, Sie haben sich nicht sofort zum Schneiden beeilt und? Es war immer noch nicht genug Einheiten wie diese zu „reduzieren“:

Der erste Schritt sollte sein, zu faktorisieren:

4. Addition und Subtraktion von Brüchen. Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Das Addieren und Subtrahieren gewöhnlicher Brüche ist eine bekannte Operation: Wir suchen nach einem gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler. Lass uns erinnern:

Antworten:

1. Die Nenner und sind teilerfremd, das heißt, sie haben keine gemeinsamen Teiler. Daher ist das LCM dieser Zahlen gleich ihrem Produkt. Dies wird der gemeinsame Nenner sein:

2. Hier ist der gemeinsame Nenner:

3. Als erstes hier gemischte Fraktionen in falsche umwandeln, und dann - nach dem üblichen Schema:

Anders sieht es aus, wenn die Brüche Buchstaben enthalten, zum Beispiel:

Fangen wir einfach an:

a) Nenner enthalten keine Buchstaben

Hier ist alles wie bei gewöhnlichen Zahlenbrüchen: Wir finden einen gemeinsamen Nenner, multiplizieren jeden Bruch mit dem fehlenden Faktor und addieren / subtrahieren die Zähler:

Jetzt können Sie in den Zähler ähnliche bringen, falls vorhanden, und sie faktorisieren:

Versuch es selber:

b) Nenner enthalten Buchstaben

Erinnern wir uns an das Prinzip, einen gemeinsamen Nenner ohne Buchstaben zu finden:

Zunächst ermitteln wir die gemeinsamen Faktoren;

Dann schreiben wir alle Gemeinsamkeiten einmal auf;

und multipliziere sie mit allen anderen Faktoren, nicht den üblichen.

Um die gemeinsamen Faktoren der Nenner zu bestimmen, zerlegen wir diese zunächst in einfache Faktoren:

Wir betonen die gemeinsamen Faktoren:

Jetzt schreiben wir die gemeinsamen Faktoren einmal aus und fügen ihnen alle nicht gemeinsamen (nicht unterstrichenen) Faktoren hinzu:

Das ist der gemeinsame Nenner.

Kommen wir zurück zu den Buchstaben. Die Nenner werden genauso angegeben:

Wir zerlegen die Nenner in Faktoren;

gemeinsame (gleiche) Multiplikatoren ermitteln;

alle Gemeinsamkeiten einmal aufschreiben;

Wir multiplizieren sie mit allen anderen Faktoren, nicht mit gewöhnlichen.

Also der Reihe nach:

1) die Nenner in Faktoren zerlegen:

2) Bestimmen Sie die gemeinsamen (identischen) Faktoren:

3) Schreibe alle gemeinsamen Faktoren einmal auf und multipliziere sie mit allen anderen (nicht unterstrichenen) Faktoren:

Der gemeinsame Nenner ist also da. Der erste Bruch muss multipliziert werden mit, der zweite - mit:

Übrigens gibt es einen Trick:

Zum Beispiel: .

Wir sehen die gleichen Faktoren in den Nennern, nur alle mit unterschiedlichen Indikatoren. Der gemeinsame Nenner wird sein:

soweit

soweit

soweit

im Grad.

Lassen Sie uns die Aufgabe erschweren:

Wie bringt man Brüche dazu, denselben Nenner zu haben?

Erinnern wir uns an die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs:

Nirgendwo steht, dass dieselbe Zahl vom Zähler und Nenner eines Bruchs subtrahiert (oder addiert) werden kann. Weil es nicht wahr ist!

Überzeugen Sie sich selbst: Nehmen Sie zum Beispiel einen beliebigen Bruch und addieren Sie zu Zähler und Nenner eine Zahl, zum Beispiel . Was wurde gelernt?

Also, eine weitere unerschütterliche Regel:

Wenn Sie Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, verwenden Sie nur die Multiplikationsoperation!

Aber was müssen Sie multiplizieren, um zu erhalten?

Hier auf und multiplizieren. Und multipliziere mit:

Ausdrücke, die nicht faktorisiert werden können, werden "Elementarfaktoren" genannt. Zum Beispiel ist ein elementarer Faktor. - zu. Aber - nein: es wird in Faktoren zerlegt.

Was ist mit dem Ausdruck? Ist es elementar?

Nein, denn es kann faktorisiert werden:

(Über Faktorisierung haben Sie bereits im Thema "" gelesen).

Die elementaren Faktoren, in die Sie einen Ausdruck mit Buchstaben zerlegen, sind also ein Analogon zu den einfachen Faktoren, in die Sie Zahlen zerlegen. Und wir werden dasselbe mit ihnen tun.

Wir sehen, dass beide Nenner einen Faktor haben. Es wird zum gemeinsamen Nenner in der Macht gehen (erinnern Sie sich, warum?).

Der Multiplikator ist elementar und sie haben ihn nicht gemeinsam, was bedeutet, dass der erste Bruch einfach damit multipliziert werden muss:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Bevor Sie diese Nenner in Panik multiplizieren, müssen Sie darüber nachdenken, wie Sie sie faktorisieren können. Beide vertreten:

Exzellent! Dann:

Ein anderes Beispiel:

Lösung:

Wie üblich faktorisieren wir die Nenner. Den ersten Nenner setzen wir einfach aus Klammern; im zweiten - die Differenz der Quadrate:

Es scheint, dass es keine gemeinsamen Faktoren gibt. Aber wenn man genau hinschaut, sind sie sich schon so ähnlich ... Und die Wahrheit ist:

Schreiben wir also:

Das heißt, es stellte sich so heraus: Innerhalb der Klammer haben wir die Terme vertauscht, und gleichzeitig änderte sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Beachten Sie, dass Sie dies oft tun müssen.

Nun bringen wir auf einen gemeinsamen Nenner:

Ich habs? Lassen Sie uns jetzt überprüfen.

Aufgaben zur selbstständigen Lösung:

Antworten:

Hier müssen wir uns noch an eine Sache erinnern - den Unterschied der Würfel:

Bitte beachten Sie, dass der Nenner des zweiten Bruchs nicht die Formel "Quadrat der Summe" enthält! Das Quadrat der Summe würde so aussehen:

A ist das sogenannte unvollständige Quadrat der Summe: Der zweite Term darin ist das Produkt des ersten und des letzten und nicht ihr verdoppeltes Produkt. Das unvollständige Quadrat der Summe ist einer der Faktoren bei der Erweiterung der Differenz von Kubikzahlen:

Was ist, wenn es bereits drei Brüche gibt?

Ja das Gleiche! Machen wir es erstmal so Höchstbetrag Faktoren in den Nennern waren die gleichen:

Achtung: Wenn Sie die Vorzeichen innerhalb einer Klammer ändern, ändert sich das Vorzeichen vor dem Bruch ins Gegenteil. Wenn wir die Vorzeichen in der zweiten Klammer ändern, wird das Vorzeichen vor dem Bruch wieder umgekehrt. Infolgedessen hat er (das Zeichen vor dem Bruch) sich nicht geändert.

Wir schreiben den ersten Nenner vollständig in den gemeinsamen Nenner und fügen dann alle noch nicht geschriebenen Faktoren hinzu, vom zweiten und dann vom dritten (und so weiter, wenn es mehr Brüche gibt). Das heißt, es geht so:

Hmm ... Mit Brüchen ist klar, was zu tun ist. Aber was ist mit den beiden?

Es ist ganz einfach: Sie wissen, wie man Brüche addiert, oder? Sie müssen also sicherstellen, dass die Zwei ein Bruch wird! Denken Sie daran: Ein Bruch ist eine Divisionsoperation (der Zähler wird durch den Nenner dividiert, falls Sie es plötzlich vergessen haben). Und es gibt nichts Einfacheres, als eine Zahl durch zu dividieren. In diesem Fall ändert sich die Zahl selbst nicht, sondern wird zu einem Bruch:

Genau das, was gebraucht wird!

5. Multiplikation und Division von Brüchen.

Nun, der schwierigste Teil ist jetzt vorbei. Und vor uns liegt das Einfachste, aber gleichzeitig das Wichtigste:

Verfahren

Wie wird ein numerischer Ausdruck berechnet? Denken Sie in Anbetracht des Wertes eines solchen Ausdrucks daran:

Hast du gezählt?

Es sollte funktionieren.

Also, ich erinnere dich.

Der erste Schritt ist die Berechnung des Abschlusses.

Die zweite ist Multiplikation und Division. Wenn es mehrere Multiplikationen und Divisionen gleichzeitig gibt, kannst du sie in beliebiger Reihenfolge durchführen.

Und schließlich führen wir Addition und Subtraktion durch. Wieder in beliebiger Reihenfolge.

Aber: der eingeklammerte Ausdruck wird falsch ausgewertet!

Wenn mehrere Klammern miteinander multipliziert oder dividiert werden, werten wir zuerst den Ausdruck in jeder der Klammern aus und multiplizieren oder dividieren sie dann.

Was ist, wenn es andere Klammern in den Klammern gibt? Nun, stellen wir uns vor: In die Klammern steht irgendein Ausdruck. Was ist das erste, was zu tun ist, wenn ein Ausdruck ausgewertet wird? Richtig, Klammern berechnen. Nun, wir haben es herausgefunden: Zuerst berechnen wir die inneren Klammern, dann alles andere.

Die Reihenfolge der Aktionen für den obigen Ausdruck ist also wie folgt (die aktuelle Aktion ist rot hervorgehoben, d. h. die Aktion, die ich gerade ausführe):

Okay, es ist alles einfach.

Aber das ist nicht dasselbe wie ein Ausdruck mit Buchstaben, oder?

Nein, es ist dasselbe! Nur anstelle von arithmetischen Operationen müssen algebraische Operationen durchgeführt werden, dh die im vorherigen Abschnitt beschriebenen Operationen: Ähnliches bringen, Brüche addieren, Brüche kürzen usw. Der einzige Unterschied besteht in der Faktorisierung von Polynomen (wir verwenden dies häufig bei der Arbeit mit Brüchen). Meistens müssen Sie für die Faktorisierung i verwenden oder einfach den gemeinsamen Faktor aus Klammern nehmen.

Normalerweise ist es unser Ziel, einen Ausdruck als Produkt oder Quotient darzustellen.

Zum Beispiel:

Vereinfachen wir den Ausdruck.

1) Zuerst vereinfachen wir den Ausdruck in Klammern. Da haben wir die Differenz von Brüchen, und unser Ziel ist es, sie als Produkt oder Quotient darzustellen. Also bringen wir die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner und addieren:

Es ist unmöglich, diesen Ausdruck weiter zu vereinfachen, alle Faktoren hier sind elementar (erinnern Sie sich noch, was das bedeutet?).

2) Wir erhalten:

Multiplikation von Brüchen: was einfacher sein könnte.

3) Jetzt können Sie kürzen:

OK, jetzt ist alles vorbei. Nichts kompliziertes, oder?

Ein anderes Beispiel:

Den Ausdruck vereinfachen.

Versuchen Sie zuerst, es selbst zu lösen, und schauen Sie sich erst dann die Lösung an.

Lassen Sie uns zunächst das Verfahren definieren. Fügen wir zuerst die Brüche in Klammern hinzu, statt zwei Brüche wird einer herauskommen. Dann machen wir die Division von Brüchen. Nun, wir addieren das Ergebnis mit dem letzten Bruch. Ich werde die Schritte schematisch nummerieren:

Jetzt zeige ich den gesamten Prozess und färbe die aktuelle Aktion rot:

Abschließend möchte ich Ihnen zwei nützliche Tipps geben:

1. Wenn es ähnliche gibt, müssen sie sofort gebracht werden. In jedem Moment, in dem wir ähnliche haben, ist es ratsam, sie sofort mitzubringen.

2. Gleiches gilt für die Kürzung von Brüchen: Sobald sich eine Möglichkeit zur Kürzung ergibt, muss diese genutzt werden. Die Ausnahme sind Brüche, die du addierst oder subtrahierst: Wenn sie jetzt den gleichen Nenner haben, sollte die Kürzung für später aufgehoben werden.

Hier sind einige Aufgaben, die Sie selbst lösen können:

Und gleich zu Beginn versprochen:

Lösungen (kurz):

Wenn Sie zumindest die ersten drei Beispiele bewältigt haben, dann haben Sie, bedenken Sie, das Thema gemeistert.

Jetzt geht es ans Lernen!

AUSDRUCKKONVERTIERUNG. ZUSAMMENFASSUNG UND GRUNDFORMEL

Grundlegende Vereinfachungsoperationen:

• Ähnliches mitbringen: Um ähnliche Terme hinzuzufügen (zu reduzieren), müssen Sie ihre Koeffizienten addieren und den Buchstabenteil zuweisen.
• Faktorisierung: Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern, Anwenden usw.
• Fraktionsreduktion: Zähler und Nenner eines Bruchs können mit derselben Zahl ungleich Null multipliziert oder dividiert werden, ab der sich der Wert des Bruchs nicht ändert.
  1) Zähler und Nenner faktorisieren
  2) Wenn Zähler und Nenner gemeinsame Teiler haben, können sie durchgestrichen werden.

  WICHTIG: Es können nur Multiplikatoren reduziert werden!

• Addition und Subtraktion von Brüchen:
  ;
• Multiplikation und Division von Brüchen:
  ;

Numerische und algebraische Ausdrücke. Ausdruckskonvertierung.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik? Warum sind Ausdruckskonvertierungen erforderlich?

Die Frage ist, wie sie sagen, interessant... Tatsache ist, dass diese Konzepte die Grundlage aller Mathematik sind. Alle Mathematik besteht aus Ausdrücken und ihren Transformationen. Nicht sehr klar? Lassen Sie mich erklären.

Nehmen wir an, Sie haben ein böses Beispiel. Sehr groß und sehr komplex. Angenommen, Sie sind gut in Mathe und haben vor nichts Angst! Können Sie gleich antworten?

Du musst sich entscheiden dieses Beispiel. Nacheinander, Schritt für Schritt, dieses Beispiel vereinfachen. Natürlich nach bestimmten Regeln. Diese. machen Ausdruckskonvertierung. Wie erfolgreich Sie diese Transformationen durchführen, so stark sind Sie in Mathematik. Wenn Sie nicht wissen, wie man die richtigen Transformationen durchführt, können Sie es in Mathematik nicht nichts...

Um solch eine unbequeme Zukunft (oder Gegenwart ...) zu vermeiden, schadet es nicht, dieses Thema zu verstehen.)

Finden wir es zunächst heraus was ist ein ausdruck in mathe. Was numerischer Ausdruck und was ist Algebraischer Ausdruck.

Was ist ein Ausdruck in der Mathematik?

Ausdruck in der Mathematik ist ein sehr weit gefasster Begriff. Fast alles, womit wir uns in der Mathematik befassen, ist eine Reihe mathematischer Ausdrücke. Alle Beispiele, Formeln, Brüche, Gleichungen und so weiter - alles besteht aus mathematische Ausdrücke.

3+2 ist ein mathematischer Ausdruck. c 2 - d 2 ist auch ein mathematischer Ausdruck. Und ein gesunder Bruchteil und sogar eine Zahl - das sind alles mathematische Ausdrücke. Die Gleichung lautet zum Beispiel:

5x + 2 = 12

besteht aus zwei mathematischen Ausdrücken, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind. Ein Ausdruck steht links, der andere rechts.

BEI Gesamtansicht Begriff " mathematischer Ausdruck" wird meistens verwendet, um nicht zu murmeln. Sie werden Sie zum Beispiel fragen, was ein gewöhnlicher Bruch ist? Und wie soll man antworten?!

Antwort 1: „Es ist … m-m-m-m... so etwas ... in dem ... Kann ich einen Bruch besser schreiben? Welches willst du?"

Die zweite Antwortmöglichkeit: „Ein gewöhnlicher Bruch ist (fröhlich und freudig!) mathematischer Ausdruck , die aus Zähler und Nenner besteht!"

Die zweite Option ist irgendwie beeindruckender, oder?)

Dazu ist der Satz „ mathematischer Ausdruck "sehr gut. Sowohl richtig als auch solide. Aber für die praktische Anwendung muss man sich gut auskennen bestimmte Arten von Ausdrücken in der Mathematik .

Der genaue Typ ist eine andere Sache. Das ganz was anderes! Jede Art von mathematischem Ausdruck hat Mine eine Reihe von Regeln und Techniken, die bei der Entscheidung verwendet werden müssen. Mit Brüchen arbeiten - ein Satz. Für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken - die zweite. Für die Arbeit mit Logarithmen - der dritte. Usw. Irgendwo stimmen diese Regeln überein, irgendwo unterscheiden sie sich stark. Aber keine Angst vor diesen schreckliche Worte. Logarithmen, Trigonometrie und andere mysteriöse Dinge werden wir in den entsprechenden Abschnitten beherrschen.

Hier werden wir zwei Haupttypen von mathematischen Ausdrücken beherrschen (oder - wiederholen Sie, wie Sie möchten ...). Numerische Ausdrücke und algebraische Ausdrücke.

Numerische Ausdrücke.

Was numerischer Ausdruck? Dies ist ein sehr einfaches Konzept. Der Name selbst deutet darauf hin, dass es sich um einen Ausdruck mit Zahlen handelt. So ist es. Ein mathematischer Ausdruck, der sich aus Zahlen, Klammern und Vorzeichen arithmetischer Operationen zusammensetzt, wird als numerischer Ausdruck bezeichnet.

7-3 ist ein numerischer Ausdruck.

(8+3.2) 5.4 ist auch ein numerischer Ausdruck.

Und dieses Monster:

auch ein numerischer Ausdruck, ja...

Eine gewöhnliche Zahl, ein Bruch, irgendein Rechenbeispiel ohne x und andere Buchstaben – all das sind numerische Ausdrücke.

Hauptmerkmal numerisch Ausdrücke darin keine Buchstaben. Keiner. Nur Zahlen und mathematische Symbole (falls erforderlich). Es ist einfach, oder?

Und was kann man mit numerischen Ausdrücken machen? Numerische Ausdrücke können normalerweise gezählt werden. Dafür muss man manchmal Klammern öffnen, Vorzeichen wechseln, abkürzen, Begriffe vertauschen – also machen Ausdruckskonvertierungen. Aber dazu weiter unten mehr.

Hier behandeln wir solch einen lustigen Fall bei einem numerischen Ausdruck Sie müssen nichts tun. Nun, gar nichts! Diese schöne Aktion nichts tun)- wird ausgeführt, wenn der Ausdruck Es ist nicht sinnvoll.

Wann macht ein numerischer Ausdruck keinen Sinn?

Wenn wir natürlich eine Art Abrakadabra vor uns sehen, wie z

dann machen wir nichts. Da ist nicht klar, was damit zu tun ist. Etwas Unsinn. Es sei denn, um die Anzahl der Pluspunkte zu zählen ...

Aber es gibt äußerlich ganz anständige Ausdrücke. Zum Beispiel das:

(2+3): (16 - 2 8)

Allerdings ist dieser Ausdruck auch Es ist nicht sinnvoll! Aus dem einfachen Grund, dass man in der zweiten Klammer – wenn man mitzählt – Null bekommt. Du kannst nicht durch Null dividieren! Dies ist eine verbotene Operation in der Mathematik. Daher brauchen Sie auch mit diesem Ausdruck nichts zu tun. Für jede Aufgabe mit einem solchen Ausdruck ist die Antwort immer dieselbe: "Der Ausdruck ergibt keinen Sinn!"

Um eine solche Antwort zu geben, musste ich natürlich berechnen, was in Klammern stehen würde. Und manchmal in Klammern so eine Wendung ... Naja, dagegen ist nichts zu machen.

Es gibt nicht so viele verbotene Operationen in der Mathematik. In diesem Thread gibt es nur einen. Durch Null teilen. Zusätzliche Verbote, die bei Wurzeln und Logarithmen auftreten, werden in den entsprechenden Themen behandelt.

Also, eine Vorstellung davon, was ist numerischer Ausdruck- habe. Konzept Numerischer Ausdruck macht keinen Sinn- erkannte. Gehen wir weiter.

Algebraische Ausdrücke.

Wenn Buchstaben in einem numerischen Ausdruck vorkommen, wird dieser Ausdruck zu... Der Ausdruck wird zu... Ja! Es wird Algebraischer Ausdruck. Zum Beispiel:

5a 2 ; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x2+4x-4; (a + b) 2; ...

Solche Ausdrücke werden auch genannt wörtliche Ausdrücke. Oder Ausdrücke mit Variablen. Es ist praktisch dasselbe. Ausdruck 5a+c, zum Beispiel - sowohl wörtlich als auch algebraisch und Ausdruck mit Variablen.

Konzept Algebraischer Ausdruck - breiter als numerisch. Es beinhaltet und alle numerischen Ausdrücke. Diese. ein numerischer Ausdruck ist auch ein algebraischer Ausdruck, nur ohne die Buchstaben. Jeder Hering ist ein Fisch, aber nicht jeder Fisch ist ein Hering...)

Warum wörtlich- klar. Nun, da gibt es Buchstaben ... Phrase Ausdruck mit Variablen auch nicht sehr verwirrend. Wenn Sie verstehen, dass Zahlen unter den Buchstaben versteckt sind. Unter den Buchstaben können alle möglichen Zahlen versteckt werden ... Und 5 und -18 und was immer Sie wollen. Das heißt, ein Brief kann ersetzen auf der verschiedene Nummern. Deshalb heißen die Buchstaben Variablen.

Im Ausdruck j+5, zum Beispiel, bei- variabel. Oder sag einfach " Variable", ohne das Wort "Wert". Anders als die Fünf, die ein konstanter Wert ist. Oder einfach - Konstante.

Begriff Algebraischer Ausdruck bedeutet, dass Sie die Gesetze und Regeln verwenden müssen, um mit diesem Ausdruck zu arbeiten Algebra. Wenn ein Arithmetik arbeitet dann mit bestimmten Nummern Algebra- mit allen Zahlen auf einmal. Ein einfaches Beispiel zur Verdeutlichung.

In der Arithmetik kann man das schreiben

Aber wenn wir eine ähnliche Gleichheit durch algebraische Ausdrücke schreiben:

a + b = b + a

wir entscheiden sofort alle Fragen. Zum alle Nummern streicheln. Für unendlich viele Dinge. Denn unter den Buchstaben a und b impliziert alle Zahlen. Und nicht nur Zahlen, sondern auch andere mathematische Ausdrücke. So funktioniert Algebra.

Wann macht ein algebraischer Ausdruck keinen Sinn?

Über den numerischen Ausdruck ist alles klar. Du kannst nicht durch Null teilen. Und mit Buchstaben ist es möglich herauszufinden, durch was wir dividieren?!

Nehmen wir als Beispiel den folgenden Variablenausdruck:

2: (a - 5)

Macht das Sinn? Aber wer kennt ihn? a- irgendeine Nummer...

Irgendein, irgendein... Aber es gibt eine Bedeutung a, für die dieser Ausdruck exakt Es ist nicht sinnvoll! Und was ist diese Zahl? Ja! Es ist 5! Wenn die Variable a ersetzen (sie sagen - "ersetzen") durch die Zahl 5, in Klammern wird sich herausstellen, dass Null ist. die nicht geteilt werden können. Es stellt sich also heraus, dass unser Ausdruck Es ist nicht sinnvoll, wenn a = 5. Aber für andere Werte a macht das Sinn? Können Sie andere Nummern ersetzen?

Na sicher. In solchen Fällen wird einfach gesagt, dass der Ausdruck

2: (a - 5)

macht für jeden Wert Sinn a, außer a = 5 .

Das ganze Zahlenwerk kann substituieren in den gegebenen Ausdruck wird aufgerufen gültiger Bereich dieser Ausdruck.

Wie Sie sehen können, ist nichts schwierig. Wir betrachten den Ausdruck mit Variablen und denken: Bei welchem ​​Wert der Variablen erhält man die verbotene Operation (Division durch Null)?

Und dann schauen Sie sich unbedingt die Frage der Zuordnung an. Was fragen sie?

Es ist nicht sinnvoll, unser verbotene Bedeutung und wird die Antwort sein.

Wenn sie fragen, bei welchem ​​​​Wert der Variablen der Ausdruck ist hat die bedeutung(Fühlen Sie den Unterschied!), lautet die Antwort alle anderen Zahlen außer dem Verbotenen.

Warum brauchen wir die Bedeutung des Ausdrucks? Er ist da, er ist nicht... Was ist der Unterschied?! Tatsache ist, dass dieses Konzept in der High School sehr wichtig wird. Extrem wichtig! Dies ist die Grundlage für so solide Konzepte wie den Bereich gültiger Werte oder den Umfang einer Funktion. Ohne dies werden Sie überhaupt nicht in der Lage sein, schwerwiegende Gleichungen oder Ungleichungen zu lösen. So.

Ausdruckskonvertierung. Identitätstransformationen.

Wir haben uns mit numerischen und algebraischen Ausdrücken vertraut gemacht. Verstehe, was der Satz „der Ausdruck ergibt keinen Sinn“ bedeutet. Jetzt müssen wir herausfinden, was Ausdruckskonvertierung. Die Antwort ist einfach, unverschämt.) Dies ist jede Aktion mit einem Ausdruck. Und alle. Sie haben diese Transformationen seit der ersten Klasse durchgeführt.

Nehmen Sie den coolen numerischen Ausdruck 3+5. Wie kann es umgewandelt werden? Ja, ganz einfach! Berechnung:

Diese Berechnung wird die Transformation des Ausdrucks sein. Sie können denselben Ausdruck auch anders schreiben:

Wir haben hier nichts gezählt. Schreiben Sie einfach den Ausdruck auf in anderer Form. Dies wird auch eine Transformation des Ausdrucks sein. Es kann so geschrieben werden:

Und auch dies ist die Transformation eines Ausdrucks. Sie können so viele dieser Transformationen vornehmen, wie Sie möchten.

Irgendein Aktion auf einen Ausdruck irgendein Das Schreiben in einer anderen Form wird als Ausdruckstransformation bezeichnet. Und alle Dinge. Alles ist sehr einfach. Aber hier gibt es eine Sache sehr wichtige Regel. So wichtig, dass es sicher angerufen werden kann Hauptregel alles Mathematik. Diese Regel brechen zwangsläufig führt zu Fehlern. Verstehen wir?)

Nehmen wir an, wir haben unseren Ausdruck willkürlich transformiert, wie folgt:

Transformation? Na sicher. Wir haben den Ausdruck in einer anderen Form geschrieben, was ist hier falsch?

So ist es nicht.) Tatsache ist, dass die Transformationen "wie auch immer" Mathematik interessiert das überhaupt nicht.) Alle Mathematik baut auf Transformationen auf, in denen die Aussehen, aber das Wesen des Ausdrucks ändert sich nicht. Drei plus fünf kann in jeder Form geschrieben werden, aber es muss acht sein.

Transformationen, Ausdrücke, die nichts an der Essenz ändern genannt identisch.

Exakt identische Transformationen und erlauben Sie uns, Schritt für Schritt ein komplexes Beispiel in einen einfachen Ausdruck zu verwandeln, indem Sie es beibehalten Essenz des Beispiels. Wenn wir einen Fehler in der Transformationskette machen, machen wir eine NICHT identische Transformation, dann werden wir entscheiden Ein weiterer Beispiel. Mit anderen Antworten, die nicht mit den richtigen zusammenhängen.)

Hier ist die Hauptregel für die Lösung aller Aufgaben: Einhaltung der Identität von Transformationen.

Ich habe zur Verdeutlichung ein Beispiel mit einem numerischen Ausdruck 3 + 5 gegeben. In algebraischen Ausdrücken sind identische Transformationen durch Formeln und Regeln gegeben. Nehmen wir an, es gibt eine Formel in der Algebra:

a(b+c) = ab + ac

In jedem Beispiel können wir also anstelle des Ausdrucks a(b+c) Fühlen Sie sich frei, einen Ausdruck zu schreiben ab+ac. Umgekehrt. Das identische Verwandlung. Die Mathematik gibt uns die Wahl zwischen diesen beiden Ausdrücken. Und welche zu schreiben ist, hängt vom konkreten Beispiel ab.

Ein anderes Beispiel. Eine der wichtigsten und notwendigen Transformationen ist die grundlegende Eigenschaft eines Bruchs. Sie können weitere Details unter dem Link sehen, aber hier erinnere ich nur an die Regel: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl oder einem Ausdruck ungleich Null multipliziert (dividiert) werden, ändert sich der Bruch nicht. Hier ist ein Beispiel für identische Transformationen für diese Eigenschaft:

Wie Sie wahrscheinlich erraten haben, kann diese Kette unendlich fortgesetzt werden ...) Eine sehr wichtige Eigenschaft. Dadurch können Sie alle möglichen Beispielmonster in weiß und flauschig verwandeln.)

Es gibt viele Formeln, die identische Transformationen definieren. Aber das Wichtigste - eine ziemlich vernünftige Menge. Eine der grundlegenden Transformationen ist die Faktorisierung. Es wird in der gesamten Mathematik verwendet - von der Grundstufe bis zur Fortgeschrittenen. Beginnen wir mit ihm. in der nächsten Lektion.)

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