Die Gleichung einer quadratischen Funktion. quadratische Funktion

die Schönheit

Nennen Sie die Koordinaten der Punkte, die symmetrisch zu den gegebenen Punkten sind
über die y-achse:
j
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
X

Das Diagramm zeigt, dass die OY-Achse die Parabel in symmetrische teilt
linker und rechter Teil (Parabeläste), am Punkt mit den Koordinaten (0; 0)
(oben auf der Parabel) ist der Wert der Funktion x 2 am kleinsten.
Die Funktion hat keinen Maximalwert. Die Spitze der Parabel ist
Schnittpunkt des Graphen mit der Symmetrieachse OY .
Auf dem Graphenabschnitt für x ∈ (– ∞; 0 ] nimmt die Funktion ab,
und für x ∈ [ 0; + ∞) steigt.

Der Graph der Funktion y \u003d x 2 + 3 ist dieselbe Parabel, aber seine
der Scheitelpunkt liegt an dem Punkt mit den Koordinaten (0; 3) .

Finden Sie den Wert einer Funktion
y = 5x + 4 wenn:
x=-1
y=-1 y=19
x=-2
y=-6
y=29
x=3
x=5

Angeben
Funktionsumfang:
y=16-5x
10
j
X
x - beliebig
Nummer
x≠0
1
j
x 7
4x 1
j
5
x≠7

Zeichnen Sie die Funktionsgraphen:
1) Y \u003d 2X + 3
2).U=-2X-1;
3).

10.

Mathematisch
lernen
Thema: Funktion y = x2

11.

Bauen
zeitlicher Ablauf
Funktionen
y=x2

12.

Algorithmus zur Konstruktion einer Parabel..
1. Füllen Sie die Tabelle mit den X- und Y-Werten aus.
2. Punkte in der Koordinatenebene markieren,
deren Koordinaten in der Tabelle aufgeführt sind.
3. Verbinden Sie diese Punkte mit einer glatten Linie.

13.

Unglaublich
aber eine Tatsache!
Parabelpass

14.

Wissen Sie?
Die Flugbahn eines untergeworfenen Steins
Winkel zum Horizont, wird mitfliegen
Parabel.

15. Eigenschaften der Funktion y = x2

*
Funktionseigenschaften
y=
2
x

16.

*Domain
Funktionen D(f):
x ist eine beliebige Zahl.
*Wertebereich
Funktionen E(f):
alle Werte von y ≥ 0.

17.

*Wenn ein
x = 0, dann y = 0.
Funktionsgraph
geht durch
Ursprung.

18.

II
ich
*Wenn ein
x ≠ 0,
dann ist y > 0.
Alle Diagrammpunkte
Funktionen außer Punkt
(0; 0), lokalisiert
über der x-Achse.

19.

*Gegenteil
x-Werte
entspricht einem
und den gleichen Wert.
Funktionsgraph
symmetrisch
um die Achse
Ordinate

20.

Geometrisch
Parabel Eigenschaften
* Besitzt Symmetrie
* Die Achse schneidet die Parabel hinein
zwei Teile: Äste
Parabeln
*Punkt (0; 0) – Spitze
Parabeln
*Die Parabel berührt die Achse
Abszisse
Achse
Symmetrie

21.

Finden Sie y, wenn:
„Wissen ist ein Werkzeug
kein Ziel“
L. N. Tolstoi
x = 1,4
- 1,4
y = 1,96
x = 2,6
-2,6
y = 6,76
x = 3,1
- 3,1
y = 9,61
Finden Sie x, wenn:
y=6
y=4
x ≈ 2,5 x ≈ -2,5
x=2 x=-2

22.

in einem einbauen
Koordinatensystem
Graphen zweier Funktionen
1. Anlass:
y=x2
Y=x+1
2. Fall:
Y=x2
y = -1

23.

Finden
mehrere Bedeutungen
x, wobei
Funktionswerte:
weniger als 4
über 4

24.

Gehört der Punkt zum Graphen der Funktion y \u003d x2:
P(-18; 324)
R(-99; -9081)
gehört
nicht gehören
S(17; 279)
nicht gehören
Bestimmen Sie ohne irgendwelche Berechnungen welche
Punkte gehören nicht zum Graphen der Funktion y = x2:
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
Für welche Werte von a gehört der Punkt P(a; 64) zum Graphen der Funktion y = x2.
a = 8; a = - 8
(16; 0)

25.

Algorithmus zum Lösen der Gleichung
grafisch
1. Bauen Sie in einem System ein
Koordinaten der Graphen der Funktionen stehen
auf der linken und rechten Seite der Gleichung.
2. Finde die Abszissen der Schnittpunkte
Grafiken. Das werden die Wurzeln sein.
Gleichungen.
3. Wenn es keine Schnittpunkte gibt, dann
Die Gleichung hat keine Wurzeln

Zuvor haben wir andere Funktionen untersucht, zum Beispiel eine lineare, erinnern wir uns an ihre Standardform:

daher der offensichtliche grundlegende Unterschied - in der linearen Funktion X steht im ersten Grad, und in dieser neuen Funktion, die wir zu studieren beginnen, X steht im zweiten Grad.

Denken Sie daran, dass der Graph einer linearen Funktion eine gerade Linie ist und der Graph einer Funktion, wie wir sehen werden, eine Kurve ist, die Parabel genannt wird.

Beginnen wir damit, herauszufinden, woher die Formel stammt. Die Erklärung ist folgende: Wenn uns ein Quadrat mit einer Seite gegeben wird a, dann können wir seine Fläche wie folgt berechnen:

Wenn wir die Länge der Seite des Quadrats ändern, ändert sich seine Fläche.

Damit ist einer der Gründe angegeben, warum die Funktion untersucht wird

Denken Sie daran, dass die Variable X ist eine unabhängige Variable oder ein Argument, in der physikalischen Interpretation kann es zum Beispiel die Zeit sein. Entfernung ist im Gegenteil eine abhängige Variable, sie hängt von der Zeit ab. Eine abhängige Variable oder Funktion ist eine Variable bei.

Das ist das Korrespondenzgesetz, nach dem jeder Wert X einem einzelnen Wert zugeordnet bei.

Jedes Korrespondenzgesetz muss die Anforderung der Eindeutigkeit von Argument zu Funktion erfüllen. In der physikalischen Deutung sieht das am Beispiel der Entfernungsabhängigkeit von der Zeit recht deutlich aus: Wir befinden uns zu jedem Zeitpunkt in einer bestimmten Entfernung vom Ausgangspunkt, und es ist unmöglich, beides gleichzeitig zur Zeit t zu sein 10 und 20 Kilometer ab Reisebeginn.

Dabei kann jeder Funktionswert mit mehreren Argumentwerten erreicht werden.

Wir müssen also einen Graphen der Funktion erstellen, um dies zu tun, erstellen Sie eine Tabelle. Untersuchen Sie dann gemäß dem Diagramm die Funktion und ihre Eigenschaften. Aber noch bevor wir den Graphen zeichnen, können wir durch die Form der Funktion etwas über seine Eigenschaften sagen: das ist offensichtlich bei kann keine negativen Werte annehmen, da

Also machen wir eine Tabelle:

Reis. eines

Es ist leicht, die folgenden Eigenschaften aus dem Diagramm zu entnehmen:

Achse bei die Symmetrieachse des Graphen ist;

Die Spitze der Parabel ist der Punkt (0; 0);

Wir sehen, dass die Funktion nur nicht negative Werte akzeptiert;

In der Pause wo die Funktion nimmt ab, aber in dem Intervall, in dem die Funktion zunimmt;

Die Funktion erhält den kleinsten Wert am Scheitelpunkt, ;

Es gibt keinen Maximalwert der Funktion;

Beispiel 1

Bedingung:

Lösung:

Weil die X sich bedingt in einem bestimmten Intervall ändert, können wir über die Funktion sagen, dass sie im Intervall zunimmt und sich ändert. Die Funktion hat in diesem Intervall einen Minimalwert und einen Maximalwert

Reis. 2. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈

Beispiel 2

Bedingung: Finden Sie den größten und kleinsten Wert einer Funktion:

Lösung:

Xändert sich über das Intervall, das heißt bei nimmt im Intervall while ab und steigt im Intervall while an.

Also die Grenzen der Veränderung X, und die Grenzen der Veränderung bei, was bedeutet, dass es in diesem Intervall sowohl einen Minimalwert der Funktion als auch ein Maximum gibt

Reis. 3. Graph der Funktion y = x 2 , x ∈ [-3; 2]

Lassen Sie uns die Tatsache veranschaulichen, dass der gleiche Wert einer Funktion mit mehreren Werten des Arguments erreicht werden kann.

Die Form y = kx + m mit zwei Variablen x, y. Zwar wurden die in dieser Gleichung (in diesem mathematischen Modell) vorkommenden Variablen x, y als ungleich angesehen: x ist eine unabhängige Variable (Argument), der wir beliebige Werte zuweisen könnten, unabhängig von irgendetwas; y ist die abhängige Variable, weil ihr Wert davon abhing, welcher Wert von x gewählt wurde. Aber dann stellt sich eine natürliche Frage: Gibt es welche? Mathematische Modelle des gleichen Plans, aber diejenigen, in denen y durch x ausgedrückt wird, nicht gemäß der Formel y \u003d kx + m, sondern auf andere Weise? Die Antwort ist klar: Natürlich tun sie das. Wenn zum Beispiel x die Seite eines Quadrats ist und y seine
Fläche, dann y - x 2 . Wenn x die Seite des Würfels und y sein Volumen ist, dann ist y gleich x 3 . Wenn x eine Seite eines Rechtecks mit einer Fläche von 100 cm 2 ist und y seine andere Seite ist, dann. Daher ist es natürlich, dass sie in der Mathematik nicht auf das Studium des Modells y-kx + m beschränkt sind, sondern dass man das Modell y \u003d x 2 und das Modell y \u003d x 3 sowie das Modell und viele andere untersuchen muss Modelle, die die gleiche Struktur haben: auf der linken Seite der Gleichheit ist die Variable y und auf der rechten Seite ein Ausdruck mit der Variablen x. Für solche Modelle wird der Begriff "Funktion" beibehalten, wobei das Adjektiv "linear" weggelassen wird.

In diesem Abschnitt betrachten wir die Funktion y = x 2 und konstruieren sie zeitlicher Ablauf.

Geben wir der unabhängigen Variablen x mehrere spezifische Werte und berechnen wir die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y (unter Verwendung der Formel y \u003d x 2):

wenn x \u003d 0, dann y \u003d O 2 \u003d 0;
wenn x \u003d 1, dann y \u003d ich 2 \u003d 1;
wenn x = 2, dann y = 2 2 = 4;
wenn x \u003d 3, dann y \u003d Z 2 \u003d 9;
wenn x \u003d - 1, dann y \u003d (- I 2) - 1;
wenn x \u003d - 2, dann y \u003d (- 2) 2 \u003d 4;
wenn x \u003d - 3, dann y \u003d (- Z) 2 \u003d 9;
Kurz zusammengefasst haben wir folgende Tabelle zusammengestellt:

X	0	1	2	3	-1	-2	-3
Bei	0	1	4	9	1	4	9

Konstruieren wir die gefundenen Punkte (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), auf der xOy-Koordinatenebene (Abb. 54, a).

Diese Punkte befinden sich auf einer bestimmten Linie, zeichnen wir sie (Abb. 54, b). Diese Gerade wird Parabel genannt.

Idealerweise müsste man dem Argument x natürlich alle möglichen Werte geben, die entsprechenden Werte der Variablen y berechnen und die resultierenden Punkte (x; y) plotten. Dann wäre der Zeitplan absolut genau, fehlerlos. Dies ist jedoch unrealistisch, da es unendlich viele solcher Punkte gibt. Deshalb tun Mathematiker Folgendes: Sie nehmen eine endliche Menge von Punkten und bauen darauf auf Koordinatenebene und sehen Sie, welche Linie durch diese Punkte gezogen wird. Erscheinen die Konturen dieser Linie ganz deutlich (wie wir es etwa in Beispiel 1 aus § 28 getan haben), dann ist diese Linie gezeichnet. Sind Fehler möglich? Nicht ohne. Daher ist es notwendig, Mathematik immer tiefer zu studieren, damit es Mittel gibt, Fehler zu vermeiden.

Versuchen wir anhand von Abbildung 54, die geometrischen Eigenschaften einer Parabel zu beschreiben.

Erstens, stellen wir fest, dass die Parabel ziemlich schön aussieht, weil sie Symmetrie hat. In der Tat, wenn wir eine Linie parallel zur x-Achse über der x-Achse zeichnen, dann schneidet diese Linie die Parabel an zwei Punkten, die sich in gleichen Abständen von der y-Achse befinden, aber entlang verschiedene Seiten davon (Abb. 55). Das Gleiche gilt übrigens auch für die in Abbildung 54 markierten Punkte, aber:

(1; 1) und (- 1; 1); (2; 4) und (-2; 4); C; 9) und (-3; 9).

Man sagt, dass die y-Achse die Symmetrieachse der Parabel y=x2 ist oder dass die Parabel symmetrisch zur y-Achse ist.

Zweitens, stellen wir fest, dass die Symmetrieachse die Parabel sozusagen in zwei Teile schneidet, die gewöhnlich die Äste der Parabel genannt werden.

Drittens stellen wir fest, dass die Parabel einen singulären Punkt hat, an dem sich beide Äste treffen und der auf der Symmetrieachse der Parabel liegt – dem Punkt (0; 0). Aufgrund seiner Besonderheit erhielt es einen besonderen Namen - die Spitze der Parabel.

Viertens wenn sich ein Ast der Parabel oben mit einem anderen Ast verbindet, geschieht dies glatt, ohne Unterbrechung; die Parabel "drückt" sozusagen gegen die Abszissenachse. Normalerweise sagt man: Die Parabel berührt die x-Achse.

Versuchen wir nun, anhand von Abbildung 54 einige Eigenschaften der Funktion y \u003d x 2 zu beschreiben.

Erstens, bemerken wir, dass y - 0 für x = 0, y > 0 für x > 0 und für x< 0.

Zweitens, Beachten Sie, dass y nam. = 0, während naib nicht existiert.

Drittens, stellen wir fest, dass die Funktion y \u003d x 2 auf dem Strahl abnimmt (-° °, 0] - für diese Werte von x, wenn wir uns entlang der Parabel von links nach rechts bewegen, „gehen wir den Hügel hinunter“ (siehe Abb 55) Funktion y \u003d x 2 erhöht sich auf dem Strahl ;
b) auf dem Segment [- 3, - 1,5];
c) auf dem Intervall [- 3, 2].

Lösung,

a) Bauen wir eine Parabel y \u003d x 2 und wählen Sie den Teil davon aus, der den Werten der Variablen x aus dem Segment entspricht (Abb. 56). Für den ausgewählten Teil der Grafik finden wir bei naim. = 1 (für x = 1), y max. = 9 (für x = 3).

b) Bauen wir eine Parabel y \u003d x 2 und wählen Sie den Teil davon aus, der den Werten der Variablen x aus dem Segment [-3, -1,5] entspricht (Abb. 57). Für den ausgewählten Teil des Diagramms finden wir den Namen y. \u003d 2,25 (bei x \u003d - 1,5), y max. = 9 (bei x = - 3).

c) Bauen wir eine Parabel y \u003d x 2 und wählen Sie den Teil davon aus, der den Werten der Variablen x aus dem Segment [-3, 2] entspricht (Abb. 58). Für den ausgewählten Teil des Diagramms finden wir y max = 0 (bei x = 0), y max. = 9 (bei x = - 3).

Rat. Um die Funktion y - x 2 nicht jedes Mal Punkt für Punkt zu zeichnen, schneiden Sie eine Parabelschablone aus dickem Papier aus. Damit können Sie sehr schnell eine Parabel zeichnen.

Kommentar. Wir bieten Ihnen an, eine Parabelvorlage vorzubereiten, und gleichen sozusagen die Rechte der Funktion y \u003d x 2 und aus lineare Funktion y = kx + m. Schließlich ist der Graph einer linearen Funktion eine gerade Linie, und ein gewöhnliches Lineal wird verwendet, um eine gerade Linie darzustellen - dies ist die Vorlage des Graphen der Funktion y \u003d kx + m. Lassen Sie sich also auch eine Diagrammvorlage für die Funktion y \u003d x 2 geben.

Beispiel 2 Finden Sie die Schnittpunkte der Parabel y \u003d x 2 und der Linie y - x + 2.

Lösung. Konstruieren wir eine Parabel y \u003d x 2 in einem Koordinatensystem, eine gerade Linie y \u003d x + 2 (Abb. 59). Sie schneiden sich an den Punkten A und B, und gemäß der Zeichnung ist es nicht schwierig, die Koordinaten dieser Punkte A und B zu finden: Für Punkt A haben wir: x \u003d - 1, y \u003d 1 und für Punkt B wir haben: x - 2, y \u003d 4.

Antwort: Die Parabel y \u003d x 2 und die gerade Linie y \u003d x + 2 schneiden sich an zwei Punkten: A (-1; 1) und B (2; 4).

Wichtiger Hinweis. Bisher haben wir eher mutige Schlüsse mit Hilfe einer Zeichnung gezogen. Allerdings vertrauen Mathematiker Zeichnungen nicht allzu sehr. Hat ein Mathematiker in Abbildung 59 zwei Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden gefunden und anhand der Figur die Koordinaten dieser Punkte bestimmt, prüft er meist selbst: Liegt der Punkt (-1; 1) tatsächlich sowohl auf der Geraden als auch auf die Parabel; liegt der Punkt (2; 4) wirklich sowohl auf der Geraden als auch auf der Parabel?

Dazu müssen Sie die Koordinaten der Punkte A und B in der Gleichung einer geraden Linie und in der Gleichung einer Parabel ersetzen und dann sicherstellen, dass in beiden Fällen die richtige Gleichheit erreicht wird. In Beispiel 2 werden in beiden Fällen die korrekten Gleichheiten erhalten. Eine solche Überprüfung wird besonders häufig vorgenommen, wenn Zweifel an der Genauigkeit der Zeichnung bestehen.

Abschließend bemerken wir eine merkwürdige Eigenschaft der Parabel, die gemeinsam von Physikern und Mathematikern entdeckt und bewiesen wurde.

Wenn wir die Parabel y \u003d x 2 als Bildschirm, als reflektierende Oberfläche betrachten und eine Lichtquelle an einem Punkt platzieren, bilden die von der Parabel des Bildschirms reflektierten Strahlen einen parallelen Lichtstrahl (Abb. 60 ). Der Punkt wird Brennpunkt der Parabel genannt. Diese Idee wird in Autos verwendet: Die reflektierende Oberfläche des Scheinwerfers ist parabelförmig, und die Glühbirne wird in einem Brennpunkt platziert – dann reicht das Licht des Scheinwerfers weit genug.

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Wie baut man eine Parabel? Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine quadratische Funktion grafisch darzustellen. Jeder von ihnen hat seine Vor- und Nachteile. Betrachten wir zwei Möglichkeiten.

Beginnen wir mit dem Plotten einer quadratischen Funktion wie y=x²+bx+c und y= -x²+bx+c.

Beispiel.

Zeichnen Sie die Funktion y=x²+2x-3.

Lösung:

y=x²+2x-3 ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit Ästen nach oben. Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

Aus dem Scheitelpunkt (-1;-4) bauen wir einen Graphen der Parabel y=x² (wie vom Ursprung. Statt (0;0) - den Scheitelpunkt (-1;-4). Aus (-1;- 4) wir gehen um 1 Einheit nach rechts und um 1 nach oben, dann um 1 nach links und um 1 nach oben, dann: 2 - rechts, 4 - nach oben, 2 - links, 4 - nach oben, 3 - rechts, 9 - nach oben, 3 - links, 9 - oben. Diese 7 Punkte reichen nicht aus, dann - 4 nach rechts, 16 - oben usw.).

Der Graph der quadratischen Funktion y= -x²+bx+c ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind. Um einen Graphen zu bauen, suchen wir die Koordinaten des Scheitelpunkts und bauen daraus eine Parabel y= -x².

Beispiel.

Zeichnen Sie die Funktion y= -x²+2x+8.

Lösung:

y= -x²+2x+8 ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit Zweigen nach unten. Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

Von oben bauen wir eine Parabel y = -x² (1 - rechts, 1 - runter; 1 - links, 1 - runter; 2 - rechts, 4 - runter; 2 - links, 4 - runter usw.):

Mit dieser Methode können Sie schnell eine Parabel bauen und verursachen keine Schwierigkeiten, wenn Sie wissen, wie man die Funktionen y=x² und y= -x² zeichnet. Nachteil: Wenn die Scheitelpunktkoordinaten Bruchzahlen sind, ist das Plotten nicht sehr bequem. Wenn Sie die genauen Werte der Schnittpunkte des Diagramms mit der x-Achse wissen möchten, müssen Sie zusätzlich die Gleichung x² + bx + c = 0 (oder -x² + bx + c = 0) lösen. auch wenn diese Punkte direkt aus der Figur bestimmt werden können.

Eine andere Möglichkeit, eine Parabel zu erstellen, ist durch Punkte, das heißt, Sie können mehrere Punkte auf dem Diagramm finden und eine Parabel durch sie zeichnen (unter Berücksichtigung, dass die Linie x = xₒ ihre Symmetrieachse ist). Normalerweise nehmen sie dazu die Spitze der Parabel, die Schnittpunkte des Diagramms mit den Koordinatenachsen und 1-2 zusätzliche Punkte.

Zeichnen Sie die Funktion y=x²+5x+4.

Lösung:

y=x²+5x+4 ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit Ästen nach oben. Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

Das heißt, die Spitze der Parabel ist der Punkt (-2,5; -2,25).

Sind auf der Suche nach . Am Schnittpunkt mit der Ox-Achse y=0: x²+5x+4=0. Wurzeln quadratische Gleichung x1=-1, x2=-4, das heißt, wir haben zwei Punkte auf dem Graphen (-1; 0) und (-4; 0).

Am Schnittpunkt des Graphen mit der Oy-Achse x=0: y=0²+5∙0+4=4. Habe einen Punkt (0; 4).

Um die Grafik zu verfeinern, können Sie einen zusätzlichen Punkt finden. Nehmen wir x=1, dann y=1²+5∙1+4=10, also einen weiteren Punkt des Graphen - (1; 10). Wir markieren diese Punkte auf der Koordinatenebene. Unter Berücksichtigung der Symmetrie der Parabel in Bezug auf die durch ihren Scheitelpunkt verlaufende Gerade markieren wir zwei weitere Punkte: (-5; 6) und (-6; 10) und zeichnen eine Parabel durch sie:

Zeichnen Sie die Funktion y= -x²-3x.

Lösung:

y= -x²-3x ist eine quadratische Funktion. Der Graph ist eine Parabel mit Zweigen nach unten. Scheitelpunktkoordinaten der Parabel

Die Spitze (-1,5; 2,25) ist der erste Punkt der Parabel.

An den Schnittpunkten des Graphen mit der x-Achse y=0, also lösen wir die Gleichung -x²-3x=0. Seine Wurzeln sind x=0 und x=-3, d. h. (0; 0) und (-3; 0) sind zwei weitere Punkte im Diagramm. Der Punkt (o; 0) ist auch der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse.

Bei x=1 ist y=-1²-3∙1=-4, d.h. (1; -4) ist ein zusätzlicher Punkt zum Plotten.

Das Erstellen einer Parabel aus Punkten ist eine zeitaufwändigere Methode als die erste. Wenn die Parabel die Ox-Achse nicht schneidet, sind weitere zusätzliche Punkte erforderlich.

Bevor Sie mit der Konstruktion von Graphen quadratischer Funktionen der Form y=ax²+bx+c fortfahren, betrachten Sie die Konstruktion von Funktionsgraphen unter Verwendung geometrischer Transformationen. Graphen von Funktionen der Form y=x²+c lassen sich auch am bequemsten mit einer dieser Transformationen erstellen - der parallelen Übersetzung.

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