V matematice mohou být odmocniny čtvercové, kubické nebo mít jakýkoli jiný exponent (mocninu), který se píše vlevo nad kořenovým znaménkem. Výraz pod kořenovým znakem se nazývá kořenový výraz. Sčítání odmocnin je podobné sčítání termínu. algebraický výraz, to znamená, že vyžaduje definici podobných kořenů.

Kroky

Část 1 ze 2: Hledání kořenů

Označení kořene. Výraz pod kořenovým znakem () znamená, že je nutné z tohoto výrazu extrahovat kořen určitého stupně.

• Kořen je označen znaménkem.
• Index (stupeň) kořene se píše vlevo nad kořenovým znakem. Například odmocnina z 27 je zapsána jako: (27)
• Pokud exponent (stupeň) odmocniny chybí, pak se exponent považuje za rovný 2, to znamená, že je to odmocnina (nebo odmocnina druhého stupně).
• Číslo zapsané před kořenovým znakem se nazývá násobitel (to znamená, že toto číslo se násobí odmocninou), například 5 (2)
• Pokud před odmocninou není žádný faktor, pak se rovná 1 (připomeňme, že jakékoli číslo vynásobené 1 se rovná samo sobě).
• Pokud pracujete s odmocninou poprvé, udělejte si vhodné poznámky k násobiteli a exponentu odmocniny, abyste se nespletli a lépe porozuměli jejich účelu.

Pamatujte, které kořeny lze skládat a které ne. Stejně jako nemůžete přidat různé termíny výrazu, například 2a + 2b 4ab, nemůžete přidat různé kořeny.

Nemůžete přidat kořeny s různými kořenovými výrazy, například (2) + (3) (5). Ale můžete sčítat čísla pod stejnou odmocninou, například (2 + 3) = (5) (druhá odmocnina z 2 je přibližně 1,414, druhá odmocnina ze 3 je přibližně 1,732 a druhá odmocnina z 5 je přibližně 2,236).

Nemůžete sčítat kořeny se stejnými kořenovými výrazy, ale s různými exponenty, například (64) + (64) (tento součet není roven (64), protože druhá odmocnina z 64 je 8, odmocnina z 64 je 4, 8 + 4 = 12, což je mnohem větší než pátá odmocnina z 64, která se přibližně rovná 2,29).

Část 2 ze 2: Zjednodušení a přidání kořenů

Identifikujte a seskupte podobné kořeny. Podobné kořeny jsou kořeny, které mají stejné exponenty a stejné kořenové výrazy. Zvažte například výraz:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Nejprve přepište výraz tak, aby kořeny se stejným exponentem byly v řadě.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Poté výraz přepište tak, aby kořeny se stejným exponentem a stejným kořenovým výrazem byly v řadě.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Zjednodušte své kořeny. Chcete-li to provést, rozložte (pokud je to možné) radikální výrazy na dva faktory, z nichž jeden je vyjmut z kořene. V tomto případě se vykreslené číslo a kořenový faktor násobí.

Ve výše uvedeném příkladu faktor 50 na 2*25 a číslo 32 na 2*16. Z 25 a 16 můžete extrahovat odmocniny (respektive 5 a 4) a vyjmout 5 a 4 zpod odmocniny, respektive je vynásobit faktory 2 a 1. Získáte tak zjednodušený výraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Číslo 81 lze rozložit na 3 * 27 a odmocninu 3 lze vzít z čísla 27. Toto číslo 3 lze vyjmout z odmocniny. Získáte tak ještě zjednodušený výraz: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Přidejte faktory podobných kořenů. V našem příkladu jsou podobné odmocniny 2 (lze je sečíst) a podobné odmocniny 3 (lze je také sečíst). Na třetí odmocnina ze 3 takové kořeny nejsou.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Konečný zjednodušený výraz: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Neexistují žádná obecně uznávaná pravidla pro pořadí, ve kterém jsou kořeny zapsány ve výrazu. Proto můžete psát kořeny ve vzestupném pořadí jejich exponentů a ve vzestupném pořadí radikálních výrazů.

Pozor, pouze DNES!

Vše zajímavé

Číslo, které je pod kořenovým znaménkem, často narušuje řešení rovnice, je nepohodlné s ním pracovat. I když je umocněna, zlomková nebo nemůže být do určité míry reprezentována jako celé číslo, lze se ji pokusit odvodit z…

Odmocnina čísla x je číslo, které se po umocnění odmocniny bude rovnat x. Násobitel je číslo, které se násobí. To znamená, že ve výrazu jako x*ª-&radic-y musíte přidat x pod kořen. Pokyn 1 Určete stupeň...

Pokud kořenový výraz obsahuje množinu matematických operací s proměnnými, pak lze někdy v důsledku jeho zjednodušení získat relativně jednoduchou hodnotu, jejíž část lze vyjmout z pod kořenem. Toto zjednodušení je užitečné...

Aritmetické operace s kořeny různých stupňů mohou výrazně zjednodušit výpočty ve fyzice a technologii a zpřesnit je. Při násobení a dělení je výhodnější nevytahovat odmocninu z každého faktoru nebo děliče a dělitele, ale nejprve ...

Druhá odmocnina z čísla x je číslo a, které po vynásobení samo sebou dostane číslo x: a * a = a^2 = x, x = a. Stejně jako u každého čísla můžete provádět aritmetické operace sčítání a odčítání na odmocnině. Návod...

Kořen v matematice může mít dva významy: je to aritmetická operace a každé z řešení rovnice, algebraické, parametrické, diferenciální nebo jakékoli jiné. Instrukce 1Kořeninou n-tého stupně čísla a je takové číslo, které ...

Při provádění různých aritmetických operací s kořeny je často nutné umět radikální výrazy transformovat. Pro zjednodušení výpočtů může být nutné vyjmout faktor ze znaménka radikálu nebo jej umístit pod něj. Tato akce může...

Kořen je ikona, která označuje matematickou operaci nalezení takového čísla, jehož zvýšení na mocninu uvedenou před kořenovým znakem by mělo dát číslo uvedené pod tímto znakem. Často k řešení problémů, ve kterých jsou...

Znak kořene v matematických vědách je symbolem kořenů. Číslo pod kořenovým znakem se nazývá radikální výraz. V případě nepřítomnosti exponentu je odmocninou čtverec, jinak číslo označuje ...

aritmetický kořen n-tý stupeň z reálného čísla a se nazývá takové nezáporné číslo x, n-tá síla které se rovná číslu a. Tito. (n) a = x, x^n = a. Existovat různé cesty sčítání aritmetického kořene a racionálního čísla....

N-tá odmocnina reálného čísla a je číslo b, pro které platí rovnost b^n = a. Odmocniny lichého stupně existují pro záporné a kladná čísla a kořeny sudého stupně jsou pouze pro kladné.…

Obsah:

Sčítání a odečítání odmocnin je možné pouze v případě, že mají stejný výraz odmocniny, to znamená, že můžete sčítat nebo odečítat 2√3 a 4√3, ale ne 2√3 a 2√5. Můžete zjednodušit kořenový výraz a převést je na kořeny se stejným radikálním výrazem (a pak je přidat nebo odečíst).

Kroky

Část 1 Pochopení základů

1. 1 (výraz pod znaménkem kořene). Chcete-li to provést, rozložte číslo odmocniny na dva faktory, z nichž jeden je druhé číslo (číslo, ze kterého lze extrahovat celý kořen, například 25 nebo 9). Poté vezměte odmocninu z druhého čísla a zapište zjištěnou hodnotu před odmocninu (druhý faktor zůstane pod odmocninou). Například 6√50 – 2√8 + 5√12. Čísla před kořenovým znakem jsou faktory odpovídajících kořenů a čísla pod kořenovým znakem jsou radikální čísla (výrazy). Zde je návod, jak tento problém vyřešit:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Zde započítáte 50 do faktorů 25 a 2; pak z 25 vyjmete kořen rovný 5 a vyjmete 5 zpod kořene. Poté vynásobte 5 x 6 (faktor u kořene) a dostanete 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Zde započítáte 8 do faktorů 4 a 2; pak ze 4 vyjmete kořen rovný 2 a vyjmete 2 zpod kořene. Poté vynásobíte 2 x 2 (faktor u kořene) a dostanete 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Zde započítáte 12 do faktorů 4 a 3; pak ze 4 vyjmete kořen rovný 2 a vyjmete 2 zpod kořene. Poté vynásobíte 2 x 5 (faktor u kořene) a dostanete 10√3.
2. 2 Podtrhněte kořeny, jejichž kořenové výrazy jsou stejné. V našem příkladu je zjednodušený výraz: 30√2 - 4√2 + 10√3. V něm musíte podtrhnout první a druhý výraz ( 30√2 A 4√2 ), protože mají stejný kořen číslo 2. Pouze takové kořeny můžete sčítat a odečítat.
3. 3 Pokud dostanete výraz s velkým počtem výrazů, z nichž mnohé mají stejné radikální výrazy, použijte jednoduché, dvojité nebo trojité podtržení k označení takových výrazů, aby bylo snazší tento výraz vyřešit.
4. 4 U kořenů, jejichž radikální výrazy jsou stejné, přidejte nebo odečtěte faktory před kořenovým znaménkem a radikální výraz ponechte stejný (nepřidávejte ani neodečtete radikální čísla!). Cílem je ukázat, kolik kořenů s určitým radikálním výrazem je v tomto výrazu obsaženo.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

2. část Procvičování s příklady

1. 1 Příklad 1: √(45) + 4√5.
   • Zjednodušte √ (45). Faktor 45: √(45) = √(9 x 5).
   • Přesuňte 3 z pod odmocninu (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Nyní sečtěte faktory u kořenů: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Příklad 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Zjednodušte 6√ (40). Faktor 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Přesuňte 2 z pod odmocninu (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Vynásobte faktory před kořenem a získáte 12√10.
   • Nyní lze výraz zapsat jako 12√10 - 3√(10) + √5. Protože první dva členy mají stejná radikální čísla, můžete odečíst druhý člen od prvního a první ponechat beze změny.
   • Získáte: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Příklad 3 9√5 -2√3 - 4√5. Zde nelze žádný z radikálních výrazů faktorizovat, takže zjednodušení tohoto výrazu nebude fungovat. Třetí člen můžete odečíst od prvního (protože mají stejné kořenové číslo) a druhý člen ponechat beze změny. Získáte: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Příklad 4 √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Nyní stačí přidat 3 + 2 a získat 5.
   • Konečná odpověď: 5 - 3√2.
5. 5 Příklad 5 Vyřešte výraz obsahující odmocniny a zlomky. Můžete sčítat a počítat pouze zlomky, které mají společného (stejného) jmenovatele. Je dán výraz (√2)/4 + (√2)/2.
   • Najděte nejmenšího společného jmenovatele těchto zlomků. Jedná se o číslo, které je rovnoměrně dělitelné každým jmenovatelem. V našem příkladu je číslo 4 dělitelné 4 a 2.
   • Nyní vynásobte druhý zlomek 2/2 (aby se dostal na společného jmenovatele; první zlomek na něj již byl redukován): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Sečtěte čitatele a jmenovatele ponechte stejný: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Před přidáním nebo odečtením odmocnin nezapomeňte (pokud je to možné) zjednodušit radikální výrazy.

Varování

• Nikdy nepřidávejte ani neodečtete kořeny s různými kořenovými výrazy.
• Nikdy nepřidávejte ani neodečtete celé číslo a kořen, např. 3 + (2x) 1/2 .
  • Poznámka: "x" na druhou mocninu a druhá odmocnina z "x" jsou totéž (tj. x 1/2 = √x).

Kořenové vzorce. vlastnosti odmocnin.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří silně "ne moc..."
A pro ty, kteří „moc...“)

V předchozí lekci jsme přišli na to, co je odmocnina. Je čas zjistit, co to je vzorce pro kořeny, jaké jsou kořenové vlastnosti a co se s tím vším dá dělat.

Kořenové vzorce, vlastnosti kořene a pravidla pro akce s kořeny- je to v podstatě to samé. Vzorce pro odmocniny překvapivě málo. Což samozřejmě potěší! Spíš se dá napsat spousta všemožných vzorců, ale na praktickou a sebevědomou práci s kořeny stačí jen tři. Všechno ostatní plyne z těchto tří. Ačkoli mnozí bloudí ve třech vzorcích kořenů, ano ...

Začněme tím nejjednodušším. Tady je:

Pokud se vám tato stránka líbí...

Mimochodem, mám pro vás několik dalších zajímavých stránek.)

Můžete si procvičit řešení příkladů a zjistit svou úroveň. Testování s okamžitým ověřením. Učení – se zájmem!)

můžete se seznámit s funkcemi a derivacemi.

Obsah:

V matematice mohou být odmocniny čtvercové, kubické nebo mít jakýkoli jiný exponent (mocninu), který se píše vlevo nad kořenovým znaménkem. Výraz pod kořenovým znakem se nazývá kořenový výraz. Sčítání kořenů je podobné sčítání členů algebraického výrazu, to znamená, že vyžaduje definici podobných kořenů.

Kroky

Část 1 Hledání kořenů

1. 1 Označení kořene. Výraz pod kořenovým znaménkem (√) znamená, že je nutné z tohoto výrazu extrahovat kořen určitého stupně.
   • Kořen se značí znaménkem √.
   • Index (stupeň) kořene se píše vlevo nad kořenovým znakem. Například odmocnina čísla 27 je zapsána takto: 3 √(27)
   • Pokud exponent (stupeň) odmocniny chybí, pak se exponent považuje za rovný 2, to znamená, že je to odmocnina (nebo odmocnina druhého stupně).
   • Číslo zapsané před kořenovým znakem se nazývá faktor (to znamená, že toto číslo se násobí odmocninou), například 5√ (2)
   • Pokud před odmocninou není žádný faktor, pak se rovná 1 (připomeňme, že jakékoli číslo vynásobené 1 se rovná samo sobě).
   • Pokud pracujete s odmocninou poprvé, udělejte si vhodné poznámky k násobiteli a exponentu odmocniny, abyste se nespletli a lépe porozuměli jejich účelu.
2. 2 Pamatujte, které kořeny lze skládat a které ne. Stejně jako nemůžete přidat různé členy výrazu, například 2a + 2b ≠ 4ab, nemůžete přidat různé kořeny.
   • Nemůžete přidat kořeny s různými radikálními výrazy, například √(2) + √(3) ≠ √(5). Ale můžete sečíst čísla pod stejnou odmocninou, například √(2 + 3) = √(5) (druhá odmocnina z 2 je přibližně 1,414, druhá odmocnina ze 3 je přibližně 1,732 a druhá odmocnina z 5 je přibližně 2,236).
   • Nemůžete sčítat odmocniny se stejnými kořenovými výrazy, ale s různými exponenty, například √(64) + 3 √(64) (tento součet se nerovná 5 √(64), protože druhá odmocnina z 64 je 8, odmocnina z 64 je 4, 8 + 4 = 12, což je 2.2 97 přibližně větší než pátá odmocnina).

Část 2 Zjednodušení a přidání kořenů

1. 1 Identifikujte a seskupte podobné kořeny. Podobné kořeny jsou kořeny, které mají stejné exponenty a stejné kořenové výrazy. Zvažte například výraz:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Nejprve přepište výraz tak, aby kořeny se stejným exponentem byly v řadě.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Poté výraz přepište tak, aby kořeny se stejným exponentem a stejným kořenovým výrazem byly v řadě.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Zjednodušte své kořeny. Chcete-li to provést, rozložte (pokud je to možné) radikální výrazy na dva faktory, z nichž jeden je vyjmut z kořene. V tomto případě se vykreslené číslo a kořenový faktor násobí.
   • Ve výše uvedeném příkladu faktor 50 na 2*25 a číslo 32 na 2*16. Z 25 a 16 můžete vzít odmocniny (respektive 5 a 4) a vyjmout 5 a 4 zpod odmocniny, respektive je vynásobit faktory 2 a 1. Získáte tak zjednodušený výraz: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3) + 6√√(3)
   • Číslo 81 lze rozložit na 3 * 27 a odmocninu 3 lze vzít z čísla 27. Toto číslo 3 lze vyjmout z odmocniny. Získáte tak ještě zjednodušený výraz: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Přidejte faktory podobných kořenů. V našem příkladu jsou podobné odmocniny 2 (lze je sečíst) a podobné odmocniny 3 (lze je také sečíst). Krychlová odmocnina ze 3 takové kořeny nemá.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Konečný zjednodušený výraz: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Neexistují žádná obecně uznávaná pravidla pro pořadí, ve kterém jsou kořeny zapsány ve výrazu. Proto můžete psát kořeny ve vzestupném pořadí jejich exponentů a ve vzestupném pořadí radikálních výrazů.

Pozornost!
Existují další
materiál ve zvláštní sekci 555.
Pro ty, kteří jsou silní „ne moc. »
A pro ty, kteří „velmi vyrovnaní. "")

V předchozí lekci jsme přišli na to, co je odmocnina. Je čas zjistit, co to je vzorce pro kořeny, jaké jsou kořenové vlastnosti a co se s tím vším dá dělat.

Kořenové vzorce, vlastnosti kořene a pravidla pro akce s kořeny jsou v podstatě to samé. Vzorců pro odmocniny je překvapivě málo. Což samozřejmě potěší! Spíš se dá napsat spousta všemožných vzorců, ale na praktickou a sebevědomou práci s kořeny stačí jen tři. Všechno ostatní plyne z těchto tří. Ačkoli mnozí bloudí ve třech vzorcích kořenů, ano.

Začněme tím nejjednodušším. Tady je:

Připomínám (z předchozí lekce): a a b jsou nezáporná čísla! Jinak vzorec nedává smysl.

Tato vlastnost kořenů, jak vidíte, jednoduché, krátké a neškodné. Ale s tímto kořenovým vzorcem můžete dělat spoustu užitečných věcí! Pojďme se na to podívat příklady všechny tyto užitečné věci.

Užitečná věc První. Tento vzorec nám umožňuje množit kořeny.

Jak množit kořeny?

Ano, velmi jednoduché. Přímo do formule. Například:

Zdálo by se, že se přemnožili, no a co? Je tam hodně radosti? Souhlasím, trochu. Ale jak se vám to líbí příklad?

Kořeny nejsou přesně extrahovány z faktorů. A výsledek je skvělý! Už lepší, že? Pro jistotu vás budu informovat, že násobitelů může být tolik, kolik chcete. Vzorec pro násobení kořenů stále funguje. Například:

Takže s násobením je vše jasné, proč je to potřeba vlastnost kořenů- je také pochopitelné.

Užitečná věc druhá. Zadání čísla pod znaménkem kořene.

Jak zadat číslo pod kořen?

Řekněme, že máme tento výraz:

Je možné skrýt dvojku uvnitř kořene? Snadno! Pokud uděláte odmocninu ze dvou, bude fungovat vzorec pro násobení kořenů. A jak udělat kořen z dvojky? Ano, to také není otázka! Dvojka je odmocnina ze čtyř!

Mimochodem, kořen může být vytvořen z jakéhokoli nezáporného čísla! Toto bude druhá odmocnina druhé mocniny tohoto čísla. 3 je odmocnina z 9. 8 je odmocnina z 64. 11 je odmocnina ze 121. No a tak dále.

Samozřejmě není potřeba malovat tak detailně. Kromě toho, pro začátek. Stačí si uvědomit, že pod odmocninu lze přivést jakékoli nezáporné číslo vynásobené odmocninou. Ale nezapomeňte! - pod kořenem se toto číslo stane náměstí sám. Tuto akci – zadání čísla pod kořen – lze také nazvat vynásobením čísla kořenem. Obecně lze napsat:

Postup je jednoduchý, jak vidíte. Proč je potřeba?

Jako každá transformace i tento postup rozšiřuje naše možnosti. Příležitosti proměnit krutý a nepohodlný výraz v jemný a nadýchaný). Zde je pro vás jednoduchý příklad:

Jak můžete vidět vlastnost root, který umožňuje zavést faktor pod znaménkem kořene, je pro zjednodušení docela vhodný.

Přidání multiplikátoru pod kořen navíc usnadňuje a zjednodušuje porovnávání hodnot různých kořenů. Bez jakéhokoli výpočtu a kalkulačky! Třetí užitečná věc.

Jak porovnat kořeny?

Tato dovednost je velmi důležitá v solidních misích, při odemykání modulů a dalších skvělých věcech.

Porovnejte tyto výrazy. Který z nich je více? Bez kalkulačky! Každý s kalkulačkou. uh-uh. Zkrátka to zvládne každý!)

Neřekneš to hned. A pokud zadáte čísla pod znaménkem kořene?

Pamatujte si (najednou, nevěděli?): je-li číslo pod znaménkem kořene větší, pak je větší i samotný kořen! Proto okamžitě správná odpověď, bez složitých výpočtů a výpočtů:

Je to skvělé, že? Ale to není vše! Připomeňme, že všechny vzorce fungují jak zleva doprava, tak zprava doleva. Dosud jsme používali vzorec pro násobení kořenů zleva doprava. Spusťte tuto kořenovou vlastnost pozpátku, zprava doleva. Takhle:

A jaký je v tom rozdíl? Dává ti to něco!? Rozhodně! Nyní uvidíte sami.

Předpokládejme, že potřebujeme extrahovat (bez kalkulačky!) druhou odmocninu čísla 6561. Někteří lidé v této fázi padnou v nerovném boji s úkolem. Jsme ale tvrdohlaví, nevzdáváme se! Čtvrtá užitečná věc.

Jak extrahovat kořeny z velkých čísel?

Připomínáme vzorec pro extrakci kořenů z produktu. Ten, který jsem zveřejnil výše. Ale kde je naše práce? Máme obrovské číslo 6561 a to je vše. Ano, neexistuje žádné umění. Ale když to potřebujeme, tak my udělejme! Pojďme toto číslo vynásobit. máme právo.

Nejprve si ujasněme, čím je toto číslo přesně dělitelné? Cože, ty nevíš!? Zapomněli jste na znaky dělitelnosti!? Nadarmo. Přejděte do zvláštní sekce 555, předmět "Zlomky", tam jsou. Toto číslo je dělitelné 3 a 9. Protože součet číslic (6+5+6+1=18) je dělitelný těmito čísly. To je jeden ze znaků dělitelnosti. Nemusíme dělit třemi (teď pochopíte proč), ale budeme dělit 9. Alespoň v rohu. Dostáváme 729. Takže jsme našli dva faktory! První je devítka (vybrali jsme si ji sami) a druhá je 729 (dopadlo to tak). Už můžete napsat:

Získat nápad? Udělejme totéž s číslem 729. Je také dělitelné 3 a 9. Opět nedělíme 3, ale 9. Dostaneme 81. A toto číslo známe! Zapisujeme:

Všechno se ukázalo jako snadné a elegantní! Kořen musel být odstraněn kus po kusu, no, dobře. To lze provést s libovolnými velkými čísly. Vynásobte je a jděte!

Mimochodem, proč jste nemuseli dělit 3, uhodli jste? Ano, protože odmocnina ze tří není přesně extrahována! Má smysl rozkládat se na takové faktory, aby se dal dobře extrahovat alespoň jeden kořen. Je to 4, 9, 16 dobře a tak dále. Vydělte své obrovské číslo těmito čísly, uvidíte, a máte štěstí!

Ale ne nutně. Možná ne štěstí. Řekněme, že číslo 432, když se rozloží a použije kořenový vzorec pro produkt, dá následující výsledek:

Dobře. Stejně jsme zjednodušili výraz. V matematice je zvykem nechat nejvíc malý počet z možných. V procesu řešení vše závisí na příkladu (možná je vše zredukováno bez zjednodušení), ale v odpovědi je nutné uvést výsledek, který nelze dále zjednodušit.

Mimochodem, víte, co jsme teď udělali s kořenem 432?

My vyjmuté faktory pod znamením kořene ! Tak se tato operace nazývá. A pak padne úkol –“ vyjměte faktor zpod znamení kořene"Ale muži to ani nevědí.) Tady je další využití kořenové vlastnosti. Užitečná věc pátá.

Jak vyndat multiplikátor zpod kořene?

Snadno. Faktorizujte kořenový výraz a extrahujte extrahované kořeny. Díváme se:

Nic nadpřirozeného. Je důležité vybrat správné násobiče. Zde jsme rozložili 72 jako 36 2. A vše dobře dopadlo. Nebo to mohli rozložit jinak: 72 = 6 12. A co!? Ani z 6, ani z 12 se kořen nevytahuje. Co dělat?!

To je v pořádku. Nebo hledejte další možnosti rozkladu nebo pokračujte v rozložení všeho až na doraz! Takhle:

Jak vidíte, vše se povedlo. To mimochodem není nejrychlejší, ale nejspolehlivější způsob. Rozložte číslo na nejmenší faktory a ty samé pak sbírejte do hromádek. Metoda se také úspěšně aplikuje při množení nepohodlných kořenů. Například je třeba vypočítat:

Vynásobte vše - dostanete šílené číslo! A jak z toho potom extrahovat kořen?! Znovu násobit? Ne, nepotřebujeme práci navíc. Okamžitě se rozkládáme na faktory a shromažďujeme je v hromadách:

To je vše. Samozřejmě není nutné rozkládat až na doraz. Vše je určeno vašimi osobními schopnostmi. Přivedl příklad do stavu, kde vše je vám jasné takže už umíš počítat. Hlavní je nedělat chyby. Ne muž pro matematiku, ale matematika pro muže!)

Aplikujeme znalosti do praxe? Začněme jednoduchým:

Pravidlo pro sčítání odmocnin

Vlastnosti odmocnin

Dosud jsme s čísly provedli pět aritmetických operací: sčítání, odčítání, násobení, dělení a umocňování a různé vlastnosti těchto operací byly aktivně používány ve výpočtech, například a + b = b + a, a n -b n = (ab) n atd.

Tato kapitola představuje novou operaci – převzetí druhé odmocniny nezáporného čísla. Abyste ji úspěšně použili, musíte se seznámit s vlastnostmi této operace, což provedeme v této části.

Důkaz. Představme si následující zápis:
Musíme to dokázat záporná čísla x, y, z, x = yz.

Takže x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Potom x 2 \u003d y 2 z 2, tj. x 2 \u003d (yz) 2.

Li čtverce dvě nezáporná čísla jsou si rovna, pak se sama čísla rovnají, což znamená, že z rovnosti x 2 \u003d (yz) 2 vyplývá, že x \u003d yz, a to bylo nutné dokázat.

Uvádíme stručný záznam důkazu věty:

Poznámka 1. Věta zůstává platná pro případ, kdy je radikální výraz součinem více než dvou nezáporných faktorů.

Poznámka 2. Teorém 1 lze zapsat pomocí „pokud. , pak“ (jak je zvykem u vět v matematice). Dáme odpovídající formulaci: jsou-li a a b nezáporná čísla, pak rovnost .

Takto formulujeme následující větu.

(Krátká formulace, která je v praxi vhodnější: odmocnina zlomku se rovná zlomku odmocnin nebo odmocnina podílu se rovná podílu odmocnin.)

Tentokrát uvedeme pouze stručný záznam důkazu a můžete se pokusit o vhodné komentáře podobné těm, které tvořily podstatu důkazu Věty 1.

Příklad 1. Vypočítejte .
Řešení. Použití první vlastnosti odmocniny(Věta 1), dostáváme

Poznámka 3. Tento příklad lze samozřejmě vyřešit jinak, zvláště pokud máte po ruce kalkulačku: vynásobte čísla 36, ​​64, 9 a poté vezměte druhou odmocninu výsledného součinu. Souhlasíte však s tím, že výše navržené řešení vypadá kulturněji.

Poznámka 4. V první metodě jsme provedli přímé výpočty. Druhý způsob je elegantnější:
přihlásili jsme se vzorec a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) a použili vlastnost odmocnin.

Poznámka 5. Některé „horké hlavy“ někdy nabízejí následující „řešení“ příkladu 3:

To samozřejmě není pravda: vidíte - výsledek není stejný jako v našem příkladu 3. Faktem je, že neexistuje žádná vlastnost jako ne a vlastnosti Existují pouze vlastnosti týkající se násobení a dělení odmocnin. Buďte opatrní a opatrní, neberte si zbožná přání.

Příklad 4. Vypočítejte: a)
Řešení. Jakýkoli vzorec v algebře se používá nejen "zprava doleva", ale také "zleva doprava". První vlastnost odmocnin tedy znamená, že v případě potřeby ji lze reprezentovat jako , a naopak, kterou lze nahradit výrazem Totéž platí pro druhou vlastnost odmocnin. S ohledem na to vyřešme navrhovaný příklad.

Na závěr odstavce si všimneme ještě jedné poměrně jednoduché a zároveň důležité vlastnosti:
pokud a > 0 a n - přirozené číslo , Že

Příklad 5 Vypočítat , bez použití tabulky druhých mocnin čísel a kalkulačky.

Řešení. Rozložme kořenové číslo na prvočinitele:

Poznámka 6. Tento příklad lze vyřešit stejným způsobem jako podobný příklad v § 15. Je snadné uhodnout, že odpověď bude „80 s ocasem“, protože 80 2 2 . Najdeme "ocásek", tedy poslední číslici požadovaného čísla. Zatím víme, že pokud je odmocnina extrahována, pak odpověď může být 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 nebo 89. Je třeba zkontrolovat pouze dvě čísla: 84 a 86, protože pouze ta při kvadratuře dají výsledek čtyřmístnýčíslo končící 6, tzn. stejná číslice, která končí číslem 7056. Máme 84 2 \u003d 7056 - to je to, co potřebujeme. Prostředek,

Mordkovich A.G., Algebra. Třída 8: Proc. pro všeobecné vzdělání instituce - 3. vydání, dokončeno. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 s.: nemoc.

Knihy, učebnice matematiky ke stažení, abstrakt na pomoc učiteli a studentům, učte se online

Pokud máte opravy nebo návrhy k této lekci, napište nám.

Pokud chcete vidět další opravy a návrhy na lekce, podívejte se zde - Fórum vzdělávání.

Jak přidat odmocniny

Druhá odmocnina čísla X zavolal na číslo A, který se v procesu množení sám od sebe ( A*A) může dát číslo X.
Tito. A * A = A2 = X, A √X = A.

Přes odmocniny ( √x), stejně jako u jiných čísel, můžete provádět aritmetické operace, jako je odčítání a sčítání. Chcete-li odečíst a přidat kořeny, musí být spojeny pomocí znaků odpovídajících těmto akcím (např √x - √y ).
A pak k nim přivést kořeny nejjednodušší forma- pokud jsou mezi nimi podobné, je nutné udělat odlitek. Spočívá v tom, že koeficienty podobných členů jsou brány se znaménky odpovídajících členů, pak jsou uzavřeny v závorkách a společný kořen je zobrazen mimo závorky multiplikátoru. Koeficient, který jsme získali, je zjednodušen podle obvyklých pravidel.

Krok 1. Extrakce druhých odmocnin

Za prvé, chcete-li přidat druhé odmocniny, musíte tyto kořeny nejprve extrahovat. To lze provést, pokud čísla pod kořenovým znakem jsou dokonalé čtverce. Vezměte si například daný výraz √4 + √9 . První číslo 4 je druhá mocnina čísla 2 . Druhé číslo 9 je druhá mocnina čísla 3 . Lze tedy získat následující rovnost: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Vše, příklad je vyřešen. Ale ne vždy se to tak děje.

Krok 2. Vyjmutí násobitele čísla zpod odmocniny

Pokud pod kořenovým znakem nejsou žádné plné čtverce, můžete zkusit vyjmout násobitel čísla pod kořenovým znakem. Vezměte si například výraz √24 + √54 .

Rozložme čísla na faktor:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Mezi 24 máme násobitel 4 , lze jej vyjmout zpod znaménka druhé odmocniny. Mezi 54 máme násobitel 9 .

Dostaneme rovnost:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

V tomto příkladu dostaneme odstranění faktoru pod kořenovým znaménkem, čímž se daný výraz zjednoduší.

Krok 3. Snížení jmenovatele

Zvažte následující situaci: součet dvou odmocnin je jmenovatelem zlomku, např. A / (√a + √b).
Nyní stojíme před úkolem „zbavit se iracionality ve jmenovateli“.
Použijme následující metodu: vynásobíme čitatel a jmenovatel zlomku výrazem √a - √b.

Nyní dostáváme zkrácený vzorec pro násobení ve jmenovateli:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Podobně, pokud jmenovatel obsahuje rozdíl kořenů: √a - √b, čitatel a jmenovatel zlomku se násobí výrazem √a + √b.

Vezměme si jako příklad zlomek:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Příklad redukce komplexního jmenovatele

Nyní se podíváme na poměrně komplikovaný příklad, jak se zbavit iracionality ve jmenovateli.

Vezměme si jako příklad zlomek: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Musíte vzít jeho čitatel a jmenovatel a vynásobit výrazem √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Krok 4. Vypočítejte přibližnou hodnotu na kalkulačce

Pokud potřebujete pouze přibližnou hodnotu, lze to provést na kalkulačce výpočtem hodnoty odmocnin. Samostatně se pro každé číslo vypočítá a zaznamená hodnota s požadovanou přesností, která je určena počtem desetinných míst. Dále jsou provedeny všechny požadované operace jako u běžných čísel.

Příklad odhadovaného výpočtu

Je nutné vypočítat přibližnou hodnotu tohoto výrazu √7 + √5 .

V důsledku toho získáme:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Upozornění: za žádných okolností by neměly být přidávány odmocniny jako prvočísla, to je zcela nepřijatelné. To znamená, že když sečtete druhou odmocninu z pěti a tří, nemůžeme dostat druhou odmocninu z osmi.

Užitečná rada: pokud se rozhodnete faktorizovat číslo, abyste odvodili druhou mocninu pod znaménkem odmocniny, musíte provést zpětnou kontrolu, to znamená vynásobit všechny faktory, které vyplynuly z výpočtů, a konečným výsledkem tohoto matematického výpočtu by mělo být číslo, které jsme původně dostali.

Akce s odmocninami: sčítání a odčítání

Vyjmutí druhé odmocniny z čísla není jedinou operací, kterou lze s tímto matematickým jevem provést. Stejně jako běžná čísla lze sčítat a odečítat odmocniny.

Pravidla pro sčítání a odčítání odmocnin

Akce jako sčítání a odečítání druhé odmocniny jsou možné pouze v případě, že je výraz odmocniny stejný.

Můžete přidat nebo odečíst výrazy 2 3 a 63, ale ne 56 A 9 4 . Pokud je možné výraz zjednodušit a uvést jej do kořenů se stejným kořenovým číslem, pak zjednodušte a poté přidejte nebo odečtěte.

Kořenové akce: Základy

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Zjednodušte kořenový výraz. K tomu je nutné rozložit kořenový výraz na 2 faktory, z nichž jeden je druhé číslo (číslo, ze kterého se extrahuje celá druhá odmocnina, např. 25 nebo 9).
2. Pak musíte vzít odmocninu z druhého čísla a výslednou hodnotu zapište před znaménko kořene. Upozorňujeme, že druhý faktor se zadává pod kořenovým znakem.
3. Po procesu zjednodušení je nutné podtrhnout kořeny stejnými radikálními výrazy - pouze je lze sčítat a odečítat.
4. U kořenů se stejnými radikálními výrazy je nutné přidat nebo odečíst faktory, které předcházejí kořenovému znaku. Kořenový výraz zůstává nezměněn. Nepřidávejte ani neodečítajte kořenová čísla!

Pokud máte příklad se spoustou identických radikálních výrazů, podtrhněte takové výrazy jednoduchými, dvojitými a trojitými řádky, abyste proces výpočtu usnadnili.

Zkusme tento příklad:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Nejprve musíte rozložit 50 na 2 faktory 25 a 2, pak vzít odmocninu z 25, což je 5, a vyjmout 5 zpod odmocniny. Poté musíte vynásobit 5 x 6 (násobitel u kořene) a získat 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Nejprve musíte rozložit 8 na 2 faktory: 4 a 2. Poté ze 4 extrahujte kořen, který se rovná 2, a vyjměte 2 zpod kořene. Poté musíte vynásobit 2 x 2 (faktor u kořene) a získat 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Nejprve musíte rozložit 12 na 2 faktory: 4 a 3. Poté extrahujte kořen ze 4, což je 2, a vyjměte ho zpod kořene. Poté musíte vynásobit 2 x 5 (faktor u kořene) a získat 10 3 .

Výsledek zjednodušení: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

V důsledku toho jsme viděli, kolik identických radikálních výrazů obsahuje tento příklad. Nyní si procvičme s dalšími příklady.

• Zjednodušit (45) . Faktorizujeme 45: (45) = (9 × 5) ;
• Vyjmeme 3 z kořene (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Sečteme faktory v kořenech: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Zjednodušení 6 40 . Faktorizujeme 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Vyjmeme 2 z kořene (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Vynásobíme faktory, které jsou před kořenem: 12 10;
• Výraz píšeme ve zjednodušeném tvaru: 12 10 - 3 10 + 5;
• Protože první dva členy mají stejná kořenová čísla, můžeme je odečíst: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Jak vidíme, radikální čísla není možné zjednodušit, proto v příkladu hledáme členy se stejnými radikálovými čísly, provádíme matematické operace (sčítání, odečítání atd.) a zapisujeme výsledek:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Poraďte:

• Před přidáním nebo odečtením je nutné zjednodušit (pokud je to možné) radikální výrazy.
• Přidávání a odečítání kořenů s různými kořenovými výrazy je přísně zakázáno.
• Nepřidávejte ani neodečítajte celé číslo ani druhou odmocninu: 3 + (2 x) 1/2 .
• Při provádění akcí se zlomky musíte najít číslo, které je dělitelné každým jmenovatelem, pak přivést zlomky ke společnému jmenovateli, poté sečíst čitatele a ponechat jmenovatele beze změny.

Vlastnosti aritmetické odmocniny. Mocnina aritmetické odmocniny

Převod aritmetických odmocnin. Převod aritmetických odmocnin

K extrakci odmocnina z polynomu, je nutné vypočítat polynom a z výsledného čísla extrahovat kořen.

Pozornost! Je nemožné extrahovat kořen z každého členu (redukovaného a odečteného) samostatně.

Shchob vyhrát druhá odmocnina polynomu, požadavkem je vypočítat bohatý člen a z odečteného čísla odmocnit.

Respekt! Z kožního doplňku (změněného a viditelného) OKremo je nemožné extrahovat kořen.

Chcete-li extrahovat druhou odmocninu produktu (kvocient), můžete vypočítat druhou odmocninu každého faktoru (dividendy a dělitele) a vzít výsledné hodnoty podle součinu (kvocientu).

Vyhrát druhou odmocninu dobutka (dílů), můžete vypočítat druhou odmocninu kožního multiplikátoru (děleno a dilnik) a odstranit hodnotu tím, že si vezmete doplňkový (častý).

Chcete-li vzít druhou odmocninu zlomku, musíte extrahovat druhou odmocninu z čitatele a jmenovatele zvlášť a výsledné hodnoty ponechat jako zlomek nebo vypočítat jako podíl (pokud je to možné podle podmínky).

Vyhrát druhou odmocninu zlomku, musíte vzít druhou odmocninu číselné knihy a prapor okremo a zbavit hodnotu zlomku zlomkem nebo jej počítat jako součást (jak je to pro mysl možné).

Faktor lze vyjmout z kořenového znaku a faktor lze zavést pod kořenový znak. Když je faktor vyjmut, je z něj extrahován kořen, a když je zaveden, je zvýšen na odpovídající mocninu.

3. kořenový znak lze násobit a kořenový znak lze násobit. Vinou multiplikátoru jsou kořeny zkrouceny a se zavedením se kořeny staví u vyšších patek.

Příklady. Aplikovat

Pro převod součtu (rozdílu) odmocnin je potřeba přivést kořenové výrazy na jeden základ stupně, pokud je to možné, extrahovat kořeny ze stupňů a zapsat je před znaménka odmocnin a lze přidat zbývající odmocniny se stejnými odmocninami, pro které se koeficienty sečtou před znaménko odmocniny a přidá se stejná odmocnina.

Aby bylo možné předělat součet (náklady) odmocnin, je nutné přivést podkořen na jednu ze základen kroku, jak je to možné, vzít odmocniny a zapsat je před znaménka kořenů a odmocniny můžete řešit se součtem stejných odmocnin, pro které se koeficienty sečtou před znaménko odmocniny a přičtou stejnou odmocninu.

Všechny radikální výrazy přeneseme na základnu 2.

Od sudého stupně je kořen extrahován celý, od lichého stupně je kořen báze ve stupni 1 ponechán pod znaménkem kořene.

Dáme podobná celá čísla a sečteme koeficienty se stejnými kořeny. Binom zapisujeme jako součin čísla a binomu součtu.

Přeneste všechny kořeny virazi do základny 2.

Od párového stádia se kořeny kreslí v řadě, od nepárového stádia se pod znakem kořene vyplňují kořeny základny ve stádiu 1.

Navrhuje se, aby se ke stejným kořenům přidala podobná čísla a koeficienty. Binom zapisujeme jako doplněk čísla i sumi binomu.

Radikální výrazy přivádíme na nejmenší základ nebo součin mocnin s nejmenšími základy. Ze sudých stupňů radikálových výrazů vyjmeme kořen, zbytek ponecháme ve formě základu stupně s indikátorem 1 nebo součin takových základů pod znaménkem kořene. Dáme podobné členy (sečtěte koeficienty stejných kořenů).

Kořen virazi vedeme k nejmenšímu základu nebo přidávání stupňů s nejmenšími základy. Ze zapařených schůdků pod kořeny virazu se odebírají kořeny, přebytek na patě schůdku s indikátorem 1 nebo přídavek takových bází se plní pod znakem kořene. Navrhujeme podobné členy (sčítáme koeficienty stejných kořenů).

Nahrazme dělení zlomků násobením (s nahrazením druhého zlomku převráceným). Čitatele a jmenovatele vynásobte zvlášť. Pod každým znakem kořene zvýrazníme stupně. Zrušme stejné faktory v čitateli a jmenovateli. Extrahujeme kořeny ze sudých mocnin.

Dělení zlomků nahradíme násobením (s nahrazením jiného zlomku návratem). Vynásobte okremo čísla a bannery zlomků. Pod kožním znakem kořene jsou viditelné kroky. Zrychlíme stejné násobiče v číselníku a banneru. Obviňujte kořen dvojitých kroků.

Porovnat dvě odmocniny, jejich radikální výrazy musí být uvedeny na stupeň se stejným základem, pak čím více je stupeň radikálního výrazu zobrazen, tím více větší hodnotu odmocnina.

V tomto příkladu nelze radikální výrazy redukovat na jednu bázi, protože báze je 3 v prvním a 3 a 7 ve druhém.

Druhým způsobem srovnání je přidat kořenový faktor ke kořenovému výrazu a porovnat číselné hodnoty zakořeněné výrazy. Pro druhou odmocninu platí, že čím větší je výraz odmocniny, tím větší je hodnota odmocniny.

Aby odpovídaly dvě odmocniny, jejich podkořen musí být uveden na úroveň se stejným základem, přičemž čím větší je ukazatel stupně podkořen viru, tím větší je hodnota druhé odmocniny.

V tomto případě není možné přivést na jeden základ kořenové kořeny virazi, protože v prvním je základ 3 a ve druhém - 3 a 7.

Dalším způsobem, jak vyrovnat, je přidat kořenový koeficient ke kořenové viráze a vyrovnat číselné hodnoty kořenové virázy. Druhá odmocnina má více podkořenových virů, tím větší hodnotu má odmocnina.

Pomocí distributivního zákona násobení a pravidla pro násobení odmocnin se stejnými exponenty (v našem případě odmocniny) jsme dostali součet dvou odmocnin se součinem pod znaménkem odmocniny. Rozložíme 91 na prvočinitele a vyjmeme kořen ze závorek s běžnými radikálními faktory (13 * 5).

Získali jsme součin odmocniny a dvojčlenu, kde jedním z monočlenů je celé číslo (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny zákon násobení a pravidlo násobení kořenů se stejnými ukazateli (v našem případě - odmocniny), vzal součet dvou odmocnin s dodatečným znaménkem kořene. Můžeme jednoduše rozložit 91 multiplikátorů a vzít odmocninu pro oblouky z kořenových multiplikátorů (13 * 5).

Vzali jsme sečtení odmocniny a dvojhvězdy, která má jeden z mononomů v celém čísle (1).

Příklad 9:

V radikálních výrazech vybíráme faktorem čísla, ze kterých můžeme extrahovat celou druhou odmocninu. Z mocnin vyjmeme odmocniny a položíme čísla o koeficienty odmocnin.

Členy tohoto polynomu mají společný faktor √3, který lze vyjmout ze závorek. Představme si podobné pojmy.

V podkořenových virázách se na ni pohlíží jako na násobitele počtu, ze kterého lze vzít druhou odmocninu. Obviňujeme odmocniny kroků a klademe čísla koeficienty odmocnin.

Členy tohoto polynomu mají společný násobitel √3, který lze vinit z ramen. Navrhujeme podobné doplňky.

Součin součtu a rozdílu dvou stejných základů (3 a √5) lze zapsat pomocí zkráceného vzorce pro násobení jako rozdíl druhých mocnin základů.

Odmocnina na druhou je vždy rovna radikálnímu výrazu, zbavíme se tedy radikálu (odmocniny) ve výrazu.

Dobutok součet a rozdíl dvou stejných základen (3 і √5) ze vzorce rychlého násobení lze zapsat jako rozdíl čtvercových základen.

Druhá odmocnina čtverce zavzhd se rovná podkořenové viráze, proto budeme nazývat radikál (kořenové znamení) virázy.

Zpátky do školy. Přidání kořenů

V naší době moderních elektronických počítačů není výpočet odmocniny čísla obtížným úkolem. Například √2704=52, to vám spočítá jakákoliv kalkulačka. Kalkulačka naštěstí není jen ve Windows, ale i v obyčejném, byť nejjednodušším telefonu. Je pravda, že pokud se náhle (s malou mírou pravděpodobnosti, jejíž výpočet mimochodem zahrnuje přidání kořenů) ocitnete bez dostupných finančních prostředků, budete se bohužel muset spoléhat pouze na svůj mozek.

Trénink mysli nikdy nezklame. Zejména pro ty, kteří tak často nepracují s čísly a ještě více s odmocninami. Sčítání a odčítání odmocnin - dobré cvičení pro znuděnou mysl. A přidávání kořínků vám ukážu krok za krokem. Příklady výrazů mohou být následující.

Rovnice, kterou je třeba zjednodušit, je:

Toto je iracionální výraz. Abyste to zjednodušili, musíte všechny radikální výrazy omezit na obecný pohled. Děláme to ve fázích:

První číslo již nelze zjednodušit. Přejděme k druhému termínu.

3√48 faktorizujeme 48: 48=2×24 nebo 48=3×16. Druhá odmocnina z 24 není celé číslo, tzn. má zlomkový zbytek. Vzhledem k tomu, že potřebujeme přesnou hodnotu, nejsou pro nás vhodné přibližné kořeny. Druhá odmocnina z 16 je 4, vyjměte ji pod znaménkem odmocniny. Dostaneme: 3×4×√3=12×√3

Náš další výraz je zápor, tzn. psáno se znaménkem mínus -4×√(27.) Faktoring 27. Dostaneme 27=3×9. Nepoužíváme zlomkové faktory, protože je obtížnější vypočítat druhou odmocninu ze zlomků. Vyjmeme 9 zpod cedulky, tzn. vypočítat druhou odmocninu. Dostaneme následující výraz: -4×3×√3 = -12×√3

Další člen √128 vypočítá část, kterou lze vyjmout z kořene. 128=64×2, kde √64=8. Pokud vám to usnadní, můžete tento výraz znázornit takto: √128=√(8^2×2)

Výraz přepíšeme zjednodušenými výrazy:

Nyní sečteme čísla se stejným radikálním výrazem. Nelze sčítat ani odečítat výrazy s různými radikálními výrazy. Přidání kořenů vyžaduje dodržování tohoto pravidla.

Dostáváme následující odpověď:

√2=1×√2 - Doufám, že v algebře je zvykem takové prvky vynechávat, nebude pro vás novinkou.

Výrazy mohou být reprezentovány nejen odmocninami, ale také krychlovými nebo n-tými odmocninami.

Sčítání a odčítání kořenů s různými exponenty, ale s ekvivalentním výrazem kořene, probíhá následovně:

Pokud máme výraz jako √a+∛b+∜b, můžeme tento výraz zjednodušit takto:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Dva podobné členy jsme zredukovali na společný exponent odmocniny. Zde byla použita vlastnost kořenů, která říká: pokud se číslo stupně radikálního výrazu a číslo kořenového exponentu vynásobí stejným číslem, pak jeho výpočet zůstane nezměněn.

Poznámka: Exponenty se sčítají pouze při násobení.

Zvažte příklad, kde jsou ve výrazu přítomny zlomky.

Pojďme to vyřešit krok za krokem:

5√8=5*2√2 - vyjmeme vytaženou část zpod kořene.

Pokud je tělo odmocniny reprezentováno zlomkem, pak se tento zlomek často nezmění, pokud se vezme druhá odmocnina z dělitele a dělitele. V důsledku toho jsme získali výše popsanou rovnost.

Zde je odpověď.

Hlavní věc k zapamatování je, že odmocnina se sudým exponentem není extrahována ze záporných čísel. Pokud je radikální výraz sudého stupně záporný, pak je výraz neřešitelný.

Přidání kořenů je možné pouze tehdy, pokud se radikálové výrazy shodují, protože se jedná o podobné pojmy. Totéž platí pro rozdíl.

Sčítání odmocnin s různými číselnými exponenty se provádí redukcí obou členů na společný kořenový stupeň. Tento zákon funguje stejně jako redukce na společného jmenovatele při sčítání nebo odčítání zlomků.

Pokud radikální výraz obsahuje číslo umocněné, lze tento výraz zjednodušit za předpokladu, že mezi kořenem a exponentem existuje společný jmenovatel.

Druhá odmocnina produktu a zlomku

Druhá odmocnina z a je číslo, jehož druhá mocnina je a. Například čísla -5 a 5 jsou odmocniny z čísla 25. To znamená, že kořeny rovnice x^2=25 jsou odmocniny z čísla 25. Nyní se musíte naučit pracovat s operací odmocniny: nastudovat její základní vlastnosti.

Druhá odmocnina produktu

√(a*b)=√a*√b

Druhá odmocnina součinu dvou nezáporných čísel se rovná součinu odmocnin těchto čísel. Například √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Je důležité pochopit, že tato vlastnost platí také pro případ, kdy je radikální výraz součinem tří, čtyř atd. nezáporné multiplikátory.

Někdy existuje jiná formulace této vlastnosti. Jsou-li a a b nezáporná čísla, pak platí rovnost: √(a*b) =√a*√b. Není mezi nimi absolutně žádný rozdíl, můžete použít jedno nebo druhé znění (které je pohodlnější si zapamatovat).

Druhá odmocnina zlomku

Pokud a>=0 a b>0, platí následující rovnost:

√(a/b)=√a/√b.

Například √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Tato vlastnost má také jinou formulaci, podle mého názoru, pohodlnější k zapamatování.
Druhá odmocnina podílu se rovná podílu odmocnin.

Stojí za zmínku, že tyto vzorce fungují jak zleva doprava, tak zprava doleva. To znamená, že v případě potřeby můžeme produkt kořenů reprezentovat jako kořen produktu. Totéž platí pro druhou nemovitost.

Jak vidíte, tyto vlastnosti jsou velmi pohodlné a chtěl bych mít stejné vlastnosti pro sčítání a odčítání:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Ale bohužel takové vlastnosti jsou čtvercové nemají kořeny, a tak nelze provést ve výpočtech..

• 13. Projíždění křižovatkami 2018 s komentářem online 13.1. Při odbočování vpravo nebo vlevo musí dát řidič přednost přecházejícím chodcům a cyklistům vozovka silnici, na kterou se stáčí. Tento pokyn platí pro všechny […]
• Rodičovská schůzka "Práva, povinnosti a povinnosti rodičů" Prezentace k hodině Stáhnout prezentaci (536,6 kB) Pozor! Náhled snímku slouží pouze pro informační účely a nemusí představovat všechny […]
• Regionální mateřský kapitál v regionu Orel Regionální mateřské město (MK) v Orel a regionu Oryol bylo založeno v roce 2011. Nyní jde o dodatečné opatření sociální podpory. velké rodiny ve formě jednorázové hotovosti [...]
• Výše jednorázového příspěvku při registraci do raná data v roce 2018 Vámi požadovaná stránka nebyla nalezena. Možná jste zadali špatnou adresu nebo byla stránka odstraněna. Použijte […]
• Právník v ekonomických záležitostech Trestná činnost v ekonomické sféře je poměrně obsáhlý pojem. Mezi takové činy patří podvody, nezákonné podnikání, praní špinavých peněz, nezákonné bankovnictví […]
• Tisková služba centrální banky Ruská Federace(Banka Ruska) Tisková služba 107016, Moskva, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru O jmenování dočasné správy informuje odbor pro vnější a veřejné vztahy Ruské banky, že v souladu s odstavcem 2 […]
• obecné charakteristiky A krátká recenze vodní cesty Klasifikace vodních nádrží Klasifikace vodních nádrží pro plavbu rekreačních (malých) plavidel, pod dohledem GIMS Ruska, se provádí v závislosti na […]
• Kucherena = právník Viktora Tsoi A toto je exkluzivita: dnešní dopis od Anatolije Kuchereny. V pokračování tématu. Tento dopis zatím nikdo nezveřejnil. A mělo by, myslím. Prozatím 1. díl. Brzy zveřejním druhý díl podepsaný slavným právníkem. Proč je to důležité? […]