Studenti dostávají spoustu matematických úkolů. Mezi nimi se velmi často vyskytují úlohy s následující formulací: existují dvě hodnoty. Jak najít nejmenší společný násobek daných čísel? Takové úkoly je nutné umět, protože získané dovednosti se používají k práci se zlomky, když různých jmenovatelů. V článku si rozebereme, jak najít LCM a základní pojmy.

Než najdete odpověď na otázku, jak najít LCM, musíte definovat pojem násobek. Nejčastěji je formulace tohoto pojmu následující: násobek nějaké hodnoty A je přirozené číslo, které bude beze zbytku dělitelné A. Tedy pro 4, 8, 12, 16, 20 atd. až do požadovaný limit.

V tomto případě může být počet dělitelů pro určitou hodnotu omezen a násobků je nekonečně mnoho. Stejnou hodnotu mají také přírodní hodnoty. Jedná se o ukazatel, který se jimi dělí beze zbytku. Poté, co jsme se zabývali konceptem nejmenší hodnoty pro určité ukazatele, přejděme k tomu, jak ji najít.

Hledání NOC

Nejmenší násobek dvou nebo více exponentů je nejmenší přirozené číslo, který je plně dělitelný všemi danými čísly.

Existuje několik způsobů, jak takovou hodnotu zjistit. Zvažme následující metody:

1. Pokud jsou čísla malá, napište do řádku všechna jím dělitelná. Pokračujte v tom, dokud mezi nimi nenajdete něco společného. V záznamu se označují písmenem K. Například pro 4 a 3 je nejmenší násobek 12.
2. Pokud jsou velké nebo potřebujete najít násobek pro 3 nebo více hodnot, měli byste zde použít jinou techniku, která zahrnuje rozklad čísel na prvočinitele. Nejprve rozložte největší z uvedených a poté všechny ostatní. Každý z nich má svůj vlastní počet násobitelů. Jako příklad si rozložme 20 (2*2*5) a 50 (5*5*2). U menšího z nich podtrhněte faktory a přidejte k největšímu. Výsledkem bude 100, což bude nejmenší společný násobek výše uvedených čísel.
3. Při hledání 3 čísel (16, 24 a 36) jsou principy stejné jako u ostatních dvou. Rozšiřme každý z nich: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Do rozšíření největšího nebyly zahrnuty pouze dvě dvojky z rozkladu čísla 16. Sečteme je a dostaneme 144, což je nejmenší výsledek pro dříve uvedené číselné hodnoty.

Nyní víme, jaká je obecná technika pro nalezení nejmenší hodnoty pro dvě, tři nebo více hodnot. Existují však i soukromé metody, pomáhající při hledání NOC, pokud předchozí nepomohou.

Jak najít GCD a NOC.

Soukromé způsoby hledání

Stejně jako u každé matematické sekce existují speciální případy hledání LCM, které pomáhají v konkrétních situacích:

• je-li jedno z čísel dělitelné ostatními beze zbytku, pak se mu rovná nejnižší násobek těchto čísel (NOC 60 a 15 se rovná 15);
• Dvojčísla nemají společné prvočísla. Jejich nejmenší hodnota je rovna součinu těchto čísel. Pro čísla 7 a 8 to tedy bude 56;
• stejné pravidlo funguje i pro další případy, včetně speciálních, o kterých se lze dočíst v odborné literatuře. Sem by měly patřit i případy rozkladu složených čísel, které jsou předmětem samostatných článků a dokonce i dizertací Ph.D.

Speciální případy jsou méně časté než standardní příklady. Ale díky nim se můžete naučit pracovat se zlomky různého stupně složitosti. To platí zejména pro zlomky., kde jsou různí jmenovatelé.

Nějaké příklady

Podívejme se na pár příkladů, díky kterým pochopíte princip hledání nejmenšího násobku:

1. Najdeme LCM (35; 40). Rozložíme nejprve 35 = 5*7, poté 40 = 5*8. K nejmenšímu číslu přidáme 8 a získáme NOC 280.
2. NOC (45; 54). Každý z nich rozložíme: 45 = 3*3*5 a 54 = 3*3*6. Přičteme číslo 6 ke 45. Dostaneme NOC rovné 270.
3. No, poslední příklad. Existuje 5 a 4. Neexistují pro ně jednoduché násobky, takže nejmenší společný násobek v tomto případě bude jejich součin rovný 20.

Díky příkladům můžete pochopit, jak se nachází NOC, jaké jsou nuance a jaký je význam takových manipulací.

Najít NOC je mnohem jednodušší, než by se na první pohled mohlo zdát. K tomu se používá jak jednoduchá expanze, tak násobení jednoduchých hodnot mezi sebou.. Schopnost pracovat s tímto úsekem matematiky pomáhá při dalším studiu matematických témat, zejména zlomků. různé míry potíže.

Nezapomeňte pravidelně řešit příklady různými metodami, rozvíjí se tím logický aparát a umožňuje vám zapamatovat si četné termíny. Naučte se metody pro nalezení takového ukazatele a budete umět dobře pracovat se zbytkem matematických částí. Hodně štěstí při učení matematiky!

Video

Toto video vám pomůže pochopit a zapamatovat si, jak najít nejmenší společný násobek.

Online kalkulačka vám umožní rychle najít největší společný dělitel a nejmenší společný násobek dvou i libovolného jiného počtu čísel.

Kalkulačka pro zjištění GCD a NOC

Najděte GCD a NOC

GCD a NOC nalezeno: 5806

Jak používat kalkulačku

• Do vstupního pole zadejte čísla
• V případě zadání nesprávných znaků bude vstupní pole zvýrazněno červeně
• stiskněte tlačítko "Najít GCD a NOC"

Jak zadávat čísla

• Čísla se zadávají oddělená mezerami, tečkami nebo čárkami
• Délka zadávaných čísel není omezena, takže nalezení gcd a lcm dlouhých čísel nebude obtížné

Co je NOD a NOK?

Největší společný dělitel z několika čísel je největší přirozené celé číslo, kterým jsou všechna původní čísla dělitelná beze zbytku. Největší společný dělitel je zkrácen jako GCD.
Nejmenší společný násobek několik čísel je nejmenší číslo, které je dělitelné každým z původních čísel beze zbytku. Nejmenší společný násobek je zkrácen jako NOC.

Jak zkontrolovat, zda je číslo dělitelné jiným číslem beze zbytku?

Chcete-li zjistit, zda je jedno číslo dělitelné druhým beze zbytku, můžete použít některé vlastnosti dělitelnosti čísel. Jejich kombinací pak lze ověřit dělitelnost některými z nich a jejich kombinacemi.

Některé znaky dělitelnosti čísel

1. Znaménko dělitelnosti čísla 2
K určení, zda je číslo dělitelné dvěma (zda je sudé), se stačí podívat na poslední číslici tohoto čísla: pokud se rovná 0, 2, 4, 6 nebo 8, pak je číslo sudé, což znamená, že je dělitelný 2.
Příklad: určete, zda je číslo 34938 dělitelné 2.
Řešení: podívejte se na poslední číslici: 8 znamená, že číslo je dělitelné dvěma.

2. Znaménko dělitelnosti čísla 3
Číslo je dělitelné 3, když součet jeho číslic je dělitelný 3. Chcete-li tedy určit, zda je číslo dělitelné 3, musíte vypočítat součet číslic a zkontrolovat, zda je dělitelné 3. I když se ukázalo, že součet číslic je velmi velký, můžete opakovat stejný postup znovu.
Příklad: určete, zda je číslo 34938 dělitelné 3.
Řešení: spočítáme součet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je dělitelné 3, což znamená, že číslo je dělitelné třemi.

3. Znaménko dělitelnosti čísla 5
Číslo je dělitelné 5, když jeho poslední číslice je nula nebo pět.
Příklad: určete, zda je číslo 34938 dělitelné 5.
Řešení: podívejte se na poslední číslici: 8 znamená, že číslo NENÍ dělitelné pěti.

4. Znaménko dělitelnosti čísla 9
Toto znaménko je velmi podobné znaménku dělitelnosti třemi: číslo je dělitelné 9, když je součet jeho číslic dělitelný 9.
Příklad: určete, zda je číslo 34938 dělitelné 9.
Řešení: vypočítáme součet číslic: 3+4+9+3+8 = 27. 27 je dělitelné 9, což znamená, že číslo je dělitelné devíti.

Jak najít GCD a LCM dvou čísel

Jak najít GCD dvou čísel

Většina jednoduchým způsobem výpočet největšího společného dělitele dvou čísel znamená najít všechny možné dělitele těchto čísel a vybrat největší z nich.

Zvažte tuto metodu pomocí příkladu hledání GCD(28, 36) :

1. Obě čísla rozkladáme na faktor: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Najdeme společné faktory, tedy ty, které mají obě čísla: 1, 2 a 2.
3. Vypočítáme součin těchto faktorů: 1 2 2 \u003d 4 - to je největší společný dělitel čísel 28 a 36.

Jak najít LCM dvou čísel

Existují dva nejběžnější způsoby, jak najít nejmenší násobek dvou čísel. První způsob je ten, že si můžete vypsat první násobky dvou čísel a z nich pak vybrat takové číslo, které bude oběma číslům společné a zároveň nejmenší. A druhým je najít GCD těchto čísel. Zvažme to.

Chcete-li vypočítat LCM, musíte vypočítat součin původních čísel a poté jej vydělit dříve nalezeným GCD. Pojďme najít LCM pro stejná čísla 28 a 36:

1. Najděte součin čísel 28 a 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) je již známo jako 4
3. LCM(28, 36) = 1008/4 = 252.

Hledání GCD a LCM pro více čísel

Největší společný dělitel lze nalézt pro několik čísel, nejen pro dvě. K tomu jsou čísla, která mají být nalezena pro největšího společného dělitele, rozložena na prvočinitele, pak je nalezen součin společných prvočinitelů těchto čísel. Chcete-li také najít GCD několika čísel, můžete použít následující vztah: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Podobný vztah platí i pro nejmenší společný násobek čísel: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Příklad: najděte GCD a LCM pro čísla 12, 32 a 36.

1. Nejprve rozložme čísla na faktor: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Pojďme najít společné faktory: 1, 2 a 2 .
3. Jejich součin dá gcd: 1 2 2 = 4
4. Nyní najdeme LCM: k tomu nejprve najdeme LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Chcete-li najít LCM všech tří čísel, musíte najít GCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2. 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Násobek je číslo, které je dělitelné dané číslo beze stopy. Nejmenší společný násobek (LCM) skupiny čísel je nejmenší číslo, které je rovnoměrně dělitelné každým číslem ve skupině. Chcete-li najít nejmenší společný násobek, musíte najít prvočinitele daných čísel. LCM lze také vypočítat pomocí řady dalších metod, které jsou použitelné pro skupiny dvou nebo více čísel.

Kroky

Řada násobků

Podívejte se na tato čísla. Zde popsaná metoda se nejlépe používá, když jsou zadána dvě čísla, která jsou obě menší než 10. Pokud jsou zadána velká čísla, použijte jinou metodu.

• Najděte například nejmenší společný násobek čísel 5 a 8. Jedná se o malá čísla, proto lze použít tuto metodu.

1. Násobek čísla je číslo, které je beze zbytku dělitelné daným číslem. Více čísel lze nalézt v násobilce.

   • Například čísla, která jsou násobky 5, jsou: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Napište řadu čísel, která jsou násobky prvního čísla. Udělejte to pod násobky prvního čísla pro porovnání dvou řad čísel.

   • Například čísla, která jsou násobky 8, jsou: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 a 64.

3. Najděte nejmenší číslo, které se vyskytuje v obou řadách násobků. Možná budete muset napsat dlouhé řady násobků, abyste našli součet. Nejmenší číslo, které se objeví v obou řadách násobků, je nejmenší společný násobek.

   • Například, nejmenší číslo, které se objevuje v řadě násobků 5 a 8, je číslo 40. Proto je 40 nejmenší společný násobek čísel 5 a 8.

   Prvočíselný rozklad

   1. Podívejte se na tato čísla. Zde popsaná metoda se nejlépe používá, když jsou zadána dvě čísla, která jsou obě větší než 10. Pokud jsou zadána menší čísla, použijte jinou metodu.

      • Najděte například nejmenší společný násobek čísel 20 a 84. Každé z čísel je větší než 10, lze tedy použít tuto metodu.

   2. Faktorizujte první číslo. To znamená, že potřebujete najít taková prvočísla, když vynásobíte, dostanete dané číslo. Po nalezení prvočinitelů je zapište jako rovnost.

      • Například, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) a 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Prvočísly čísla 20 jsou tedy čísla 2, 2 a 5. Zapište je jako výraz: .

   3. Rozložte druhé číslo na prvočinitele. Udělejte to stejným způsobem, jako jste rozložili první číslo, tedy najděte taková prvočísla, která po vynásobení dostanou toto číslo.

      • Například, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) a 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Prvočísly čísla 84 jsou tedy čísla 2, 7, 3 a 2. Zapište je jako výraz: .

   4. Zapište společné faktory pro obě čísla. Napište takové faktory jako operaci násobení. Až budete jednotlivé činitele zapisovat, škrtněte jej v obou výrazech (výrazy, které popisují rozklad čísel na prvočinitele).

      • Například společný faktor pro obě čísla je 2, tak pište 2 × (\displaystyle 2\times ) a škrtněte 2 v obou výrazech.
      • Společným činitelem pro obě čísla je další činitel 2, tak napište 2 × 2 (\displaystyle 2\krát 2) a v obou výrazech škrtněte druhé 2.

   5. Přidejte zbývající faktory do operace násobení. Jde o faktory, které nejsou v obou výrazech přeškrtnuté, tedy faktory, které nejsou společné pro obě čísla.

      • Například ve výrazu 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\krát 2\krát 5) obě dvojky (2) jsou přeškrtnuté, protože se jedná o společné faktory. Faktor 5 není přeškrtnutý, takže operaci násobení zapište následovně: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5)
      • Ve výrazu 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\krát 7\krát 3\krát 2) obě dvojky (2) jsou také přeškrtnuté. Faktory 7 a 3 nejsou přeškrtnuté, takže operaci násobení zapište následovně: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3).

   6. Vypočítejte nejmenší společný násobek. Chcete-li to provést, vynásobte čísla v operaci písemného násobení.

      • Například, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\krát 2\krát 5\krát 7\krát 3=420). Takže nejmenší společný násobek 20 a 84 je 420.

   Hledání společných dělitelů

   1. Nakreslete mřížku jako při hře piškvorky. Taková mřížka se skládá ze dvou rovnoběžných čar, které se protínají (v pravém úhlu) se dvěma dalšími rovnoběžnými čarami. Výsledkem budou tři řádky a tři sloupce (mřížka vypadá hodně jako znak #). Napište první číslo do prvního řádku a druhého sloupce. Napište druhé číslo do prvního řádku a třetího sloupce.

      • Najděte například nejmenší společný násobek 18 a 30. Napište 18 do prvního řádku a druhého sloupce a napište 30 do prvního řádku a třetího sloupce.

   2. Najděte dělitele společného oběma číslům. Napište to do prvního řádku a prvního sloupce. Je lepší hledat prvočíselníky, ale není to podmínkou.

      • Například 18 a 30 jsou sudá čísla, takže jejich společný dělitel je 2. Napište tedy 2 do prvního řádku a prvního sloupce.

   3. Každé číslo vydělte prvním dělitelem. Každý podíl zapište pod odpovídající číslo. Kvocient je výsledkem dělení dvou čísel.

      • Například, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), tak napište 9 pod 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), tak napište 15 pod 30.

   4. Najděte dělitele společného oběma kvocientům. Pokud takový dělitel neexistuje, přeskočte následující dva kroky. V opačném případě zapište dělitel do druhého řádku a prvního sloupce.

      • Například 9 a 15 jsou dělitelné 3, takže do druhého řádku a prvního sloupce napište 3.

   5. Vydělte každý podíl druhým dělitelem. Každý výsledek dělení zapište pod odpovídající podíl.

      • Například, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), tak napište 3 pod 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), tak napište 5 pod 15.

   6. V případě potřeby doplňte mřížku o další buňky. Opakujte výše uvedené kroky, dokud nebudou mít podíly společného dělitele.

   7. Zakroužkujte čísla v prvním sloupci a posledním řádku mřížky. Poté zapište zvýrazněná čísla jako operaci násobení.

      • Například čísla 2 a 3 jsou v prvním sloupci a čísla 3 a 5 jsou v posledním řádku, takže operaci násobení zapište takto: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5).

   8. Najděte výsledek násobení čísel. Tím se vypočítá nejmenší společný násobek dvou daných čísel.

      • Například, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\krát 3\krát 3\krát 5=90). Takže nejmenší společný násobek 18 a 30 je 90.

   Euklidův algoritmus

   1. Pamatujte na terminologii spojenou s operací dělení. Dividenda je číslo, které se dělí. Dělitel je číslo, kterým se má dělit. Kvocient je výsledkem dělení dvou čísel. Zbytek je číslo, které zbývá, když jsou dvě čísla rozdělena.

      • Například ve výrazu 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) odpočinek. 3:
        15 je dělitelné
        6 je dělitel
        2 je soukromý
        3 je zbytek.

Nejmenší společný násobek dvou čísel přímo souvisí s největším společným dělitelem těchto čísel. Tento spojení mezi GCD a NOC je definována následující větou.

Teorém.

Nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel aab se rovná součinu aab děleno největším společným dělitelem aab, tj. LCM(a, b)=a b: GCM(a, b).

Důkaz.

Nechat M je nějaký násobek čísel a a b. To znamená, že M je dělitelné a a podle definice dělitelnosti existuje nějaké celé číslo k takové, že rovnost M=a·k platí. Ale M je také dělitelné b, pak a k je dělitelné b.

Označte gcd(a, b) jako d . Pak můžeme zapsat rovnosti a=a 1 ·d a b=b 1 ·d a a 1 =a:dab 1 =b:d budou prvočísla. Proto podmínku získanou v předchozím odstavci, že a k je dělitelné b, lze přeformulovat následovně: a 1 d k je dělitelné b 1 d , a to je vzhledem k vlastnostem dělitelnosti ekvivalentní podmínce, že a 1 k je dělitelné b jedna .

Musíme si také zapsat dva důležité důsledky z uvažované věty.

Společné násobky dvou čísel jsou stejné jako násobky jejich nejmenšího společného násobku.

To je pravda, protože jakýkoli společný násobek M čísel aab je definován rovností M=LCM(a, b) t pro nějakou celočíselnou hodnotu t .

Nejmenší společný násobek kladných čísel aab se rovná jejich součinu.

Odůvodnění této skutečnosti je zcela zřejmé. Vzhledem k tomu, že a a b jsou dvojčíslo, pak gcd(a, b)=1 , proto, LCM(a,b)=ab: GCD(a,b)=a b:l=ab.

Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel

Hledání nejmenšího společného násobku tří nebo více čísel lze redukovat na postupné hledání LCM dvou čísel. Jak se to dělá, je naznačeno v následující větě: a 1 , a 2 , …, a k se shodují se společnými násobky čísel m k-1 a a k se tedy shodují s násobky m k . A protože nejmenší kladný násobek čísla m k je samotné číslo m k, pak nejmenší společný násobek čísel a 1 , a 2 , …, a k je m k .

Bibliografie.

• Vilenkin N.Ya. atd. Matematika. 6. třída: učebnice pro vzdělávací instituce.
• Vinogradov I.M. Základy teorie čísel.
• Mikhelovič Sh.Kh. Teorie čísel.
• Kulikov L.Ya. a další Sbírka úloh z algebry a teorie čísel: Učebnice pro studenty fiz.-mat. odbornosti pedagogických ústavů.

Níže uvedený materiál je logickým pokračováním teorie z článku pod hlavičkou LCM - nejmenší společný násobek, definice, příklady, vztah mezi LCM a GCD. Zde budeme mluvit o nalezení nejmenšího společného násobku (LCM), a Speciální pozornost Pojďme se podívat na příklady. Nejprve si ukažme, jak se počítá LCM dvou čísel z hlediska GCD těchto čísel. Dále zvažte nalezení nejmenšího společného násobku rozdělením čísel na prvočinitele. Poté se zaměříme na nalezení LCM tří a více čísel a také se budeme věnovat výpočtu LCM záporných čísel.

Navigace na stránce.

Výpočet nejmenšího společného násobku (LCM) pomocí gcd

Jeden způsob, jak najít nejmenší společný násobek, je založen na vztahu mezi LCM a GCD. Stávající vztah mezi LCM a GCD vám umožňuje vypočítat nejmenší společný násobek dvou kladných celých čísel prostřednictvím známého největšího společného dělitele. Odpovídající vzorec má tvar LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Zvažte příklady nalezení LCM podle výše uvedeného vzorce.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek dvou čísel 126 a 70 .

Řešení.

V tomto příkladu a=126, b=70. Použijme vztah mezi LCM a GCD vyjádřený vzorcem LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). To znamená, že nejprve musíme najít největšího společného dělitele čísel 70 a 126, poté můžeme vypočítat LCM těchto čísel podle napsaného vzorce.

Najděte gcd(126, 70) pomocí Euklidova algoritmu: 126=70 1+56 , 70=56 1+14, 56=14 4 , tedy gcd(126, 70)=14 .

Nyní najdeme požadovaný nejmenší společný násobek: LCM(126; 70)=126 70: GCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Odpovědět:

LCM(126,70)=630.

Příklad.

Co je LCM(68, 34)?

Řešení.

Protože 68 je rovnoměrně dělitelné 34 , pak gcd(68, 34)=34 . Nyní vypočítáme nejmenší společný násobek: LCM(68; 34)=68 34: LCM(68; 34)= 68 34:34=68.

Odpovědět:

LCM(68,34)=68.

Všimněte si, že předchozí příklad odpovídá následujícímu pravidlu pro nalezení LCM pro kladná celá čísla aab: je-li číslo a dělitelné b, pak nejmenší společný násobek těchto čísel je a .

Nalezení LCM rozdělením čísel na prvočinitele

Dalším způsobem, jak najít nejmenší společný násobek, je rozklad čísel na prvočinitele. Pokud uděláme součin všech prvočinitelů těchto čísel, načež z tohoto součinu vyloučíme všechny společné prvočinitele, které jsou přítomny v rozšířeních těchto čísel, pak se výsledný součin bude rovnat nejmenšímu společnému násobku těchto čísel.

Vyhlášené pravidlo pro nalezení LCM vyplývá z rovnosti LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Ve skutečnosti se součin čísel a a b rovná součinu všech faktorů podílejících se na expanzi čísel a a b. Gcd(a, b) se zase rovná součinu všech prvočinitelů, které jsou současně přítomny v expanzích čísel a a b (což je popsáno v části o nalezení gcd pomocí rozkladu čísel na prvočinitele ).

Vezměme si příklad. Víme, že 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . Sestavte součin všech faktorů těchto rozšíření: 2 3 3 5 5 5 7 . Nyní z tohoto součinu vyloučíme všechny faktory, které jsou přítomny jak v rozšíření čísla 75, tak v rozšíření čísla 210 (takovými faktory jsou 3 a 5), ​​pak bude mít součin tvar 2 3 5 5 7 . Hodnota tohoto součinu se rovná nejmenšímu společnému násobku čísel 75 a 210, tj. LCM(75; 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Příklad.

Po rozkladu čísel 441 a 700 na prvočinitele najděte nejmenší společný násobek těchto čísel.

Řešení.

Pojďme si čísla 441 a 700 rozložit na prvočinitele:

Dostaneme 441=3 3 7 7 a 700=2 2 5 5 7 .

Nyní udělejme součin všech faktorů podílejících se na rozšířeních těchto čísel: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Vynechme z tohoto produktu všechny faktory, které jsou současně přítomny v obou expanzích (takový faktor je pouze jeden - je to číslo 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Takto, LCM(441; 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Odpovědět:

LCM(441, 700) = 44100.

Pravidlo pro nalezení LCM pomocí rozkladu čísel na prvočinitele lze formulovat trochu jinak. Přičteme-li chybějící činitele z rozvoje čísla b k činitelům z rozvoje čísla a, bude hodnota výsledného součinu rovna nejmenšímu společnému násobku čísel a a b.

Vezměme například všechna stejná čísla 75 a 210, jejich expanze na prvočinitele jsou následující: 75=3 5 5 a 210=2 3 5 7 . K faktorům 3, 5 a 5 z rozkladu čísla 75 přičteme chybějící faktory 2 a 7 z rozkladu čísla 210, dostaneme součin 2 3 5 5 7, jehož hodnota je LCM(75 , 210).

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek 84 a 648.

Řešení.

Nejprve získáme rozklad čísel 84 a 648 na prvočinitele. Vypadají jako 84=2 2 3 7 a 648=2 2 2 3 3 3 3 . K činitelům 2 , 2 , 3 a 7 z rozkladu čísla 84 přičteme chybějící činitele 2 , 3 , 3 a 3 z rozkladu čísla 648 , dostaneme součin 2 2 2 3 3 3 3 7 , což se rovná 4 536 . Požadovaný nejmenší společný násobek čísel 84 a 648 je tedy 4 536.

Odpovědět:

LCM(84,648)=4536.

Nalezení LCM tří nebo více čísel

Nejmenší společný násobek tří nebo více čísel lze najít postupným hledáním LCM dvou čísel. Vybavte si odpovídající větu, která umožňuje najít LCM tří nebo více čísel.

Teorém.

Nechť jsou dána celá čísla kladná čísla a 1 , a 2 , …, a k , nejmenší společný násobek m k těchto čísel zjistíme sekvenčním výpočtem m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2, a 3), …, m k = LCM (mk-1, ak) .

Zvažte aplikaci této věty na příkladu hledání nejmenšího společného násobku čtyř čísel.

Příklad.

Najděte LCM čtyř čísel 140, 9, 54 a 250.

Řešení.

V tomto příkladu a1=140, a2=9, a3=54, a4=250.

Nejprve najdeme m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Abychom to udělali, pomocí euklidovského algoritmu určíme gcd(140, 9) , máme 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , tedy gcd( 140, 9)=1, odkud LCM(140; 9)=140 9: LCM(140; 9)= 140 9:1=1260. To znamená, m2=1260.

Nyní najdeme m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Spočítejme to pomocí gcd(1 260, 54) , které je také určeno Euklidovým algoritmem: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potom gcd(1 260, 54) = 18, odkud LCM(1 260, 54) = 1 260 54:gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780. To znamená m 3 \u003d 3 780.

Zbývá najít m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). K tomu najdeme GCD(3 780, 250) pomocí Euklidova algoritmu: 3 780=250 15+30, 250=30 8+10, 30=10 3 . Proto gcd(3 780, 250)=10 , odkud gcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500. To znamená, m 4 \u003d 94 500.

Nejmenší společný násobek původních čtyř čísel je tedy 94 500.

Odpovědět:

LCM(140, 9, 54, 250) = 94 500.

V mnoha případech lze nejmenší společný násobek tří nebo více čísel pohodlně nalézt pomocí prvočíselných rozkladů daných čísel. V tomto případě je třeba dodržet následující pravidlo. Nejmenší společný násobek několika čísel se rovná součinu, který se skládá takto: chybějící činitele z rozšíření druhého čísla se přičtou ke všem činitelům z rozšíření prvního čísla, chybějící činitele z rozšíření prvního čísla třetí číslo se přičte k získaným faktorům a tak dále.

Zvažte příklad nalezení nejmenšího společného násobku pomocí rozkladu čísel na prvočinitele.

Příklad.

Najděte nejmenší společný násobek pěti čísel 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Řešení.

Nejprve získáme rozšíření těchto čísel na prvočinitele: 84=2 2 3 7, 6=2 3, 48=2 2 2 2 3, 7 prvočinitelů) a 143=11 13 .

Chcete-li najít LCM těchto čísel, k faktorům prvního čísla 84 (jsou to 2 , 2 , 3 a 7 ) musíte přidat chybějící faktory z rozšíření druhého čísla 6 . Rozšíření čísla 6 neobsahuje chybějící faktory, protože jak 2, tak 3 jsou již přítomny v rozšíření prvního čísla 84 . Dále k faktorům 2 , 2 , 3 a 7 přidáme chybějící faktory 2 a 2 z rozšíření třetího čísla 48 , dostaneme množinu faktorů 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 . V dalším kroku není třeba do této sady přidávat faktory, protože 7 je v ní již obsaženo. Nakonec k faktorům 2 , 2 , 2 , 2 , 3 a 7 přidáme chybějící faktory 11 a 13 z rozšíření čísla 143 . Dostaneme součin 2 2 2 2 3 7 11 13 , který se rovná 48 048 .