ลอการิทึมเป็นค่าบวกเสมอ ลอการิทึม. คุณสมบัติของลอการิทึม (การบวกและการลบ)

อย่างที่คุณทราบ เมื่อนำนิพจน์ยกกำลังมาคูณกัน เลขยกกำลังจะรวมกันเสมอ (a b * a c = a b + c) กฎทางคณิตศาสตร์นี้ได้รับมาจากอาร์คิมิดีส และต่อมาในศตวรรษที่ 8 นักคณิตศาสตร์วิระเสนได้สร้างตารางตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม พวกเขาเป็นผู้ที่ทำหน้าที่ค้นพบลอการิทึมเพิ่มเติม ตัวอย่างของการใช้ฟังก์ชันนี้พบได้เกือบทุกที่ที่ต้องการลดความซับซ้อนของการคูณที่ยุ่งยากให้เป็นการบวกอย่างง่าย หากคุณใช้เวลา 10 นาทีในการอ่านบทความนี้ เราจะอธิบายให้คุณทราบว่าลอการิทึมคืออะไรและจะใช้งานอย่างไร ภาษาที่เรียบง่ายและเข้าถึงได้

ความหมายในคณิตศาสตร์

ลอการิทึมเป็นนิพจน์ในรูปแบบต่อไปนี้: log a b=c นั่นคือ ลอการิทึมของจำนวนใดๆ ที่ไม่เป็นลบ (นั่นคือค่าบวกใดๆ) "b" ตามฐาน "a" ถือเป็นกำลังของ "c " ซึ่งจำเป็นต้องเพิ่มฐาน "a" เพื่อให้ได้ค่า "b" ในท้ายที่สุด ลองวิเคราะห์ลอการิทึมโดยใช้ตัวอย่าง สมมติว่ามีนิพจน์ล็อก 2 8. จะหาคำตอบได้อย่างไร? มันง่ายมาก คุณต้องหาระดับที่ตั้งแต่ 2 ถึงระดับที่กำหนด คุณจะได้ 8 หลังจากคำนวณในใจแล้ว เราก็ได้เลข 3! และถูกต้อง เพราะ 2 ยกกำลัง 3 ให้เลข 8 ในคำตอบ

ความหลากหลายของลอการิทึม

สำหรับนักเรียนและนักเรียนหลายคน หัวข้อนี้ดูซับซ้อนและเข้าใจยาก แต่ในความเป็นจริง ลอการิทึมไม่ได้น่ากลัวนัก สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจความหมายทั่วไปและจดจำคุณสมบัติและกฎบางอย่าง มีสาม บางประเภทนิพจน์ลอการิทึม:

1. ลอการิทึมธรรมชาติ ln a โดยที่ฐานคือเลขออยเลอร์ (e = 2.7)
2. ทศนิยม a โดยที่ฐานคือ 10
3. ลอการิทึมของจำนวน b ใด ๆ กับฐาน a>1

แต่ละคนจะตัดสินใจ ด้วยวิธีมาตรฐานซึ่งรวมถึงการทำให้ง่าย การลดลง และการลดลงที่ตามมาเป็นลอการิทึมเดียวโดยใช้ทฤษฎีบทลอการิทึม เพื่อให้ได้ค่าลอการิทึมที่ถูกต้องเราควรจดจำคุณสมบัติและลำดับของการกระทำในการตัดสินใจ

กฎและข้อจำกัดบางประการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ มีกฎ-ข้อจำกัดหลายข้อที่ยอมรับได้ว่าเป็นสัจพจน์ กล่าวคือ กฎเหล่านี้ไม่ได้อยู่ภายใต้การอภิปรายและเป็นความจริง ตัวอย่างเช่น คุณไม่สามารถหารตัวเลขด้วยศูนย์ได้ และเป็นไปไม่ได้ที่จะถอดรากเลขคู่ออกจากกัน ตัวเลขติดลบ. ลอการิทึมยังมีกฎของตัวเอง ซึ่งคุณสามารถเรียนรู้วิธีการทำงานได้อย่างง่ายดาย แม้จะมีนิพจน์ลอการิทึมที่ยาวและกว้างขวาง:

• ฐาน "a" จะต้องมากกว่าศูนย์เสมอและในเวลาเดียวกันต้องไม่เท่ากับ 1 มิฉะนั้นนิพจน์จะสูญเสียความหมายเนื่องจาก "1" และ "0" ในระดับใด ๆ จะเท่ากับค่าของมันเสมอ
• ถ้า a > 0 แล้ว a b > 0 แสดงว่า "c" ต้องมากกว่าศูนย์

จะแก้ลอการิทึมได้อย่างไร?

ตัวอย่างเช่น งานได้รับมอบหมายให้หาคำตอบของสมการ 10 x \u003d 100 มันง่ายมาก คุณต้องเลือกกำลังดังกล่าวโดยเพิ่มจำนวนสิบที่เราได้ 100 แน่นอนว่านี่คือ 10 2 \u003d 100.

ทีนี้ลองแสดงนิพจน์นี้เป็นลอการิทึม เราได้รับล็อก 10 100 = 2 เมื่อแก้ลอการิทึม การดำเนินการทั้งหมดจะบรรจบกันเพื่อหาระดับที่ต้องป้อนฐานของลอการิทึมเพื่อให้ได้ตัวเลขที่กำหนด

ในการระบุค่าขององศาที่ไม่รู้จักอย่างแม่นยำ คุณต้องเรียนรู้วิธีการทำงานกับตารางองศา ดูเหมือนว่า:

อย่างที่คุณเห็น เลขชี้กำลังบางตัวสามารถเดาได้โดยสัญชาตญาณหากคุณมีความคิดเชิงเทคนิคและความรู้เกี่ยวกับสูตรคูณ อย่างไรก็ตามสำหรับ ค่ามากคุณต้องมีตารางองศา สามารถใช้ได้แม้กระทั่งผู้ที่ไม่เข้าใจอะไรเลยในหัวข้อทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน คอลัมน์ด้านซ้ายประกอบด้วยตัวเลข (ฐาน a) แถวบนสุดของตัวเลขคือค่าของเลขยกกำลัง c ซึ่งตัวเลข a จะถูกยกขึ้น ที่จุดตัดในเซลล์จะมีการกำหนดค่าของตัวเลขซึ่งเป็นคำตอบ (a c =b) ตัวอย่างเช่น เซลล์แรกสุดที่มีเลข 10 และยกกำลังสอง เราจะได้ค่า 100 ซึ่งระบุที่จุดตัดของสองเซลล์ ทุกอย่างเรียบง่ายและง่ายดายจนแม้แต่นักมนุษยนิยมที่แท้จริงที่สุดก็ยังเข้าใจ!

สมการและอสมการ

ปรากฎว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ เลขชี้กำลังคือลอการิทึม ดังนั้น นิพจน์ตัวเลขทางคณิตศาสตร์ใดๆ จึงสามารถเขียนเป็นสมการลอการิทึมได้ ตัวอย่างเช่น สามารถเขียน 3 4 =81 เป็นลอการิทึมของ 81 ถึงฐาน 3 ซึ่งเป็นสี่ (บันทึก 3 81 = 4) สำหรับพลังลบ กฎจะเหมือนกัน: 2 -5 = 1/32 เราเขียนเป็นลอการิทึม เราจะได้ล็อก 2 (1/32) = -5 หนึ่งในส่วนที่น่าสนใจที่สุดของคณิตศาสตร์คือหัวข้อของ "ลอการิทึม" เราจะพิจารณาตัวอย่างและคำตอบของสมการที่ลดลงเล็กน้อยทันทีหลังจากศึกษาคุณสมบัติของสมการ ทีนี้มาดูว่าอสมการมีลักษณะอย่างไรและจะแยกมันออกจากสมการได้อย่างไร

นิพจน์ของแบบฟอร์มต่อไปนี้จะได้รับ: log 2 (x-1) > 3 - เป็นอสมการลอการิทึม เนื่องจากค่าที่ไม่รู้จัก "x" อยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึม และในนิพจน์จะเปรียบเทียบปริมาณสองปริมาณ: ลอการิทึมของจำนวนที่ต้องการในฐานสองนั้นมากกว่าเลขสาม

ความแตกต่างที่สำคัญที่สุดระหว่างสมการลอการิทึมและอสมการคือสมการที่มีลอการิทึม (เช่น ลอการิทึมของ 2 x = √9) หมายถึงค่าตัวเลขเฉพาะหนึ่งค่าหรือมากกว่านั้นในคำตอบ ในขณะที่เมื่อแก้อสมการ ทั้งช่วงของ ค่าที่ยอมรับได้และจุดที่ทำลายฟังก์ชันนี้ ผลที่ตามมา คำตอบจึงไม่ใช่ชุดของตัวเลขเดี่ยวๆ อย่างในคำตอบของสมการ แต่เป็นชุดต่อเนื่องหรือชุดของตัวเลข

ทฤษฎีบทพื้นฐานเกี่ยวกับลอการิทึม

เมื่อแก้ไขงานดั้งเดิมในการค้นหาค่าของลอการิทึม คุณสมบัติอาจไม่เป็นที่รู้จัก อย่างไรก็ตาม เมื่อพูดถึงสมการลอการิทึมหรืออสมการ ก่อนอื่นจำเป็นต้องเข้าใจอย่างชัดเจนและนำไปใช้ในทางปฏิบัติเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานทั้งหมดของลอการิทึม เราจะทำความคุ้นเคยกับตัวอย่างสมการในภายหลัง ขั้นแรกให้วิเคราะห์แต่ละคุณสมบัติโดยละเอียด

1. ข้อมูลประจำตัวพื้นฐานมีลักษณะดังนี้: a logaB = B ใช้เฉพาะเมื่อ a มากกว่า 0 ไม่เท่ากับ 1 และ B มากกว่าศูนย์
2. ลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถแสดงได้ในสูตรต่อไปนี้: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2 ในกรณีนี้ ข้อกำหนดเบื้องต้นคือ: d, s 1 และ s 2 > 0; ก≠1 คุณสามารถพิสูจน์สูตรลอการิทึมนี้พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา ให้ล็อก a s 1 = f 1 และล็อก a s 2 = f 2 แล้ว a f1 = s 1 , a f2 = s 2 เราได้ว่า s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (คุณสมบัติระดับ ) และนิยามเพิ่มเติม: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2 ซึ่งจะต้องพิสูจน์
3. ลอการิทึมของผลหารมีลักษณะดังนี้: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2
4. ทฤษฎีบทในรูปแบบของสูตรใช้รูปแบบต่อไปนี้: log a q b n = n/q log a b

สูตรนี้เรียกว่า "คุณสมบัติของดีกรีของลอการิทึม" มันคล้ายกับคุณสมบัติขององศาธรรมดา และไม่น่าแปลกใจเพราะคณิตศาสตร์ทั้งหมดวางอยู่บนสมมุติฐานปกติ มาดูหลักฐานกันเลย

ให้บันทึก a b \u003d t ปรากฎว่า a t \u003d b หากคุณยกกำลังทั้งสองส่วน m: a tn = b n ;

แต่เนื่องจาก a tn = (a q) nt/q = b n ดังนั้น log a q b n = (n*t)/t จากนั้น log a q b n = n/q log a b ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่างปัญหาและอสมการ

ประเภทของปัญหาลอการิทึมที่พบบ่อยที่สุดคือตัวอย่างสมการและอสมการ พบได้ในหนังสือปัญหาเกือบทั้งหมดและยังรวมอยู่ในส่วนบังคับของการสอบในวิชาคณิตศาสตร์ เพื่อเข้าศึกษาต่อในมหาวิทยาลัยหรือสอบผ่าน การสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์คุณจำเป็นต้องรู้วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง

น่าเสียดายที่ไม่มีแผนหรือรูปแบบเดียวสำหรับการแก้และกำหนดค่าที่ไม่รู้จักของลอการิทึม อย่างไรก็ตาม กฎบางอย่างสามารถใช้กับอสมการทางคณิตศาสตร์หรือสมการลอการิทึมแต่ละรายการได้ ก่อนอื่น คุณควรค้นหาว่านิพจน์สามารถทำให้ง่ายขึ้นหรือลดลงเป็น ปริทัศน์. คุณสามารถลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึมแบบยาวได้หากคุณใช้คุณสมบัติอย่างถูกต้อง มาทำความรู้จักกับพวกเขากันเร็ว ๆ นี้

เมื่อแก้สมการลอการิทึม จำเป็นต้องพิจารณาว่าเรามีลอการิทึมชนิดใดอยู่ข้างหน้า ตัวอย่างของนิพจน์อาจมีลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม

นี่คือตัวอย่าง ln100, ln1026 วิธีแก้ปัญหาของพวกเขาคือความจริงที่ว่าคุณต้องกำหนดระดับที่ฐาน 10 จะเท่ากับ 100 และ 1,026 ตามลำดับ สำหรับแนวทางแก้ไข ลอการิทึมธรรมชาติต้องใช้เอกลักษณ์ลอการิทึมหรือคุณสมบัติของพวกเขา ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาลอการิทึมประเภทต่างๆ

วิธีใช้สูตรลอการิทึม: พร้อมตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหา

มาดูตัวอย่างการใช้ทฤษฎีบทหลักเกี่ยวกับลอการิทึมกัน

1. คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์สามารถใช้ในงานที่จำเป็นต้องขยาย ความสำคัญอย่างยิ่งจำนวน b เป็นตัวประกอบที่ง่ายกว่า ตัวอย่างเช่น บันทึก 2 4 + บันทึก 2 128 = บันทึก 2 (4*128) = บันทึก 2 512 คำตอบคือ 9
2. บันทึก 4 8 = บันทึก 2 2 2 3 = 3/2 บันทึก 2 2 = 1.5 - อย่างที่คุณเห็นโดยใช้คุณสมบัติที่สี่ของระดับของลอการิทึมเราสามารถแก้ไขนิพจน์ที่ซับซ้อนและแก้ไม่ได้ได้ในแวบแรก จำเป็นต้องแยกตัวประกอบฐานแล้วนำค่าเลขยกกำลังออกจากเครื่องหมายของลอการิทึม

งานจากการสอบ

ลอการิทึมมักพบในการสอบเข้า โดยเฉพาะปัญหาลอการิทึมจำนวนมากในการสอบ Unified State (การสอบของรัฐสำหรับผู้สำเร็จการศึกษาจากโรงเรียนทั้งหมด) โดยปกติงานเหล่านี้ไม่ได้มีอยู่เฉพาะในส่วน A (ที่ง่ายที่สุด ส่วนการทดสอบการสอบ) แต่ยังอยู่ในส่วน C (งานที่ยากและใหญ่โตที่สุด) การสอบแสดงถึงความรู้ที่ถูกต้องและสมบูรณ์แบบในหัวข้อ "ลอการิทึมธรรมชาติ"

ตัวอย่างและวิธีแก้ปัญหานำมาจากทางการ ใช้ตัวเลือก. มาดูกันว่างานดังกล่าวได้รับการแก้ไขอย่างไร

รับบันทึก 2 (2x-1) = 4 วิธีแก้ปัญหา:
ลองเขียนนิพจน์ใหม่โดยทำให้มันง่ายขึ้นเล็กน้อย log 2 (2x-1) = 2 2 , โดยนิยามของลอการิทึมเราจะได้ว่า 2x-1 = 2 4 ดังนั้น 2x = 17; x = 8.5

• ลอการิทึมทั้งหมดจะลดขนาดลงเป็นฐานเดียวกันได้ดีที่สุด เพื่อไม่ให้คำตอบยุ่งยากและสับสน
• นิพจน์ทั้งหมดภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมจะถูกระบุว่าเป็นค่าบวก ดังนั้น เมื่อนำเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลังของนิพจน์ซึ่งอยู่ภายใต้เครื่องหมายของลอการิทึมและเป็นฐานออก นิพจน์ที่เหลืออยู่ภายใต้ลอการิทึมจะต้องเป็นค่าบวก

ลอการิทึม เช่นเดียวกับตัวเลขใดๆ สามารถเพิ่ม ลบ และแปลงได้ในทุกวิถีทาง แต่เนื่องจากลอการิทึมไม่ใช่ตัวเลขธรรมดา จึงมีกฎที่เรียกว่า คุณสมบัติพื้นฐาน.

ต้องทราบกฎเหล่านี้ - หากไม่มีกฎเหล่านี้ไม่ใช่เรื่องร้ายแรงแม้แต่ข้อเดียว ปัญหาลอการิทึม. นอกจากนี้ยังมีน้อยมาก - ทุกอย่างสามารถเรียนรู้ได้ในหนึ่งวัน มาเริ่มกันเลย

การบวกและการลบลอการิทึม

พิจารณาลอการิทึมสองตัวที่มีฐานเดียวกัน: log ก xและเข้าสู่ระบบ ก ย. จากนั้นจึงนำมาบวกลบกันได้ และ

1. บันทึก ก x+ บันทึก ก ย= บันทึก ก (x · ย);
2. บันทึก ก x−log ก ย= บันทึก ก (x : ย).

ดังนั้น ผลรวมของลอการิทึมจะเท่ากับลอการิทึมของผลคูณ และผลต่างคือลอการิทึมของผลหาร บันทึก: ช่วงเวลาสำคัญที่นี่ - เหตุเดียวกัน. หากฐานแตกต่างกัน กฎเหล่านี้ใช้ไม่ได้!

สูตรเหล่านี้จะช่วยคุณคำนวณนิพจน์ลอการิทึมแม้ว่าจะไม่ได้พิจารณาแต่ละส่วนก็ตาม (ดูบทเรียน "ลอการิทึมคืออะไร") ดูตัวอย่างและดู:

บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9.

เนื่องจากฐานของลอการิทึมเหมือนกัน เราจึงใช้สูตรผลรวม:
บันทึก 6 4 + บันทึก 6 9 = บันทึก 6 (4 9) = บันทึก 6 36 = 2

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 2 48 − log 2 3

ฐานเหมือนกัน เราใช้สูตรความแตกต่าง:
บันทึก 2 48 - บันทึก 2 3 = บันทึก 2 (48: 3) = บันทึก 2 16 = 4

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 3 135 − log 3 5.

อีกครั้ง ฐานเหมือนกัน ดังนั้นเราจึงมี:
ล็อก 3 135 − ล็อก 3 5 = ล็อก 3 (135: 5) = ล็อก 3 27 = 3

อย่างที่คุณเห็น นิพจน์ดั้งเดิมประกอบด้วยลอการิทึมที่ "ไม่ดี" ซึ่งไม่ได้แยกพิจารณาต่างหาก แต่หลังจากการแปลงตัวเลขค่อนข้างปกติ จากข้อเท็จจริงนี้หลายคน เอกสารการทดสอบ. ใช่ การควบคุม - การแสดงออกที่คล้ายกันในทุกความจริงจัง (บางครั้ง - โดยแทบไม่มีการเปลี่ยนแปลง) มีให้ในการสอบ

การลบเลขยกกำลังออกจากลอการิทึม

ตอนนี้มาทำให้งานซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย เกิดอะไรขึ้นถ้ามีระดับฐานหรืออาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม? จากนั้นสามารถนำเลขชี้กำลังของระดับนี้ออกจากเครื่องหมายของลอการิทึมได้ตามกฎต่อไปนี้:

มันง่ายที่จะเห็นว่ากฎข้อสุดท้ายเป็นไปตามสองข้อแรก แต่จะดีกว่าที่จะจำไว้ - ในบางกรณีจะลดจำนวนการคำนวณลงอย่างมาก

แน่นอน กฎทั้งหมดเหล่านี้สมเหตุสมผลหากสังเกตลอการิทึม ODZ: ก > 0, ก ≠ 1, x> 0 และอีกสิ่งหนึ่ง: เรียนรู้การใช้สูตรทั้งหมด ไม่เพียงแต่จากซ้ายไปขวาเท่านั้น แต่ในทางกลับกันด้วย เช่น คุณสามารถป้อนตัวเลขหน้าเครื่องหมายของลอการิทึมลงในลอการิทึมได้ นี่คือสิ่งที่ต้องการบ่อยที่สุด

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 7 49 6

มากำจัดระดับในการโต้แย้งตามสูตรแรก:
บันทึก 7 49 6 = 6 บันทึก 7 49 = 6 2 = 12

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าตัวส่วนเป็นลอการิทึมที่มีฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นเลขยกกำลังที่แน่นอน: 16 = 2 4 ; 49 = 72. เรามี:

ฉันคิดว่าตัวอย่างสุดท้ายต้องการคำชี้แจง ลอการิทึมหายไปไหน? จนถึงวินาทีสุดท้าย เราทำงานกับตัวส่วนเท่านั้น พวกเขานำเสนอฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมที่ยืนอยู่ตรงนั้นในรูปแบบขององศาและนำตัวบ่งชี้ออกมา - พวกเขาได้เศษส่วน "สามชั้น"

ทีนี้มาดูเศษส่วนหลักกัน ตัวเศษและตัวส่วนมีตัวเลขเดียวกัน: บันทึก 2 7 เนื่องจากบันทึก 2 7 ≠ 0 เราสามารถลดเศษส่วนได้ - 2/4 จะยังคงอยู่ในตัวส่วน ตามกฎของเลขคณิตสี่สามารถโอนไปยังตัวเศษซึ่งทำเสร็จแล้ว ผลลัพธ์คือคำตอบ: 2.

เปลี่ยนไปสู่รากฐานใหม่

เมื่อพูดถึงกฎสำหรับการบวกและการลบลอการิทึม ฉันเน้นเป็นพิเศษว่ากฎเหล่านี้ใช้ได้กับฐานเดียวกันเท่านั้น แล้วถ้าฐานต่างกันล่ะ? เกิดอะไรขึ้นถ้าไม่ใช่พลังที่แน่นอนของจำนวนเดียวกัน

สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่มาช่วย เรากำหนดในรูปแบบของทฤษฎีบท:

ให้ลอการิทึมเข้าสู่ระบบ ก x. จากนั้นสำหรับหมายเลขใดๆ คดังนั้น ค> 0 และ ค≠ 1 ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

[คำบรรยายภาพ]

โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราใส่ ค = x, เราได้รับ:

[คำบรรยายภาพ]

ตามมาจากสูตรที่สองที่เป็นไปได้ที่จะแลกเปลี่ยนฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แต่ในกรณีนี้นิพจน์ทั้งหมดจะ "พลิกกลับ" นั่นคือ ลอการิทึมอยู่ในตัวส่วน

สูตรเหล่านี้ไม่ค่อยพบในนิพจน์ตัวเลขทั่วไป เป็นไปได้ที่จะประเมินว่าสะดวกเพียงใดเมื่อแก้สมการลอการิทึมและอสมการ

อย่างไรก็ตาม มีงานที่ไม่สามารถแก้ไขได้เลยนอกจากการย้ายไปยังรากฐานใหม่ ลองพิจารณาสิ่งเหล่านี้:

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 5 16 log 2 25

โปรดทราบว่าอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมทั้งสองเป็นเลขยกกำลังที่แน่นอน มาดูตัวชี้วัดกัน: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; บันทึก 2 25 = บันทึก 2 5 2 = 2 บันทึก 2 5;

ทีนี้ลองพลิกลอการิทึมที่สอง:

เนื่องจากผลิตภัณฑ์ไม่เปลี่ยนแปลงจากการเรียงสับเปลี่ยนของปัจจัย เราจึงคูณสี่และสองอย่างใจเย็น แล้วจึงหาลอการิทึม

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์: log 9 100 lg 3.

ฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมตัวแรกเป็นเลขยกกำลัง ลองเขียนและกำจัดตัวบ่งชี้:

ตอนนี้มากำจัดลอการิทึมทศนิยมโดยย้ายไปยังฐานใหม่:

เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

บ่อยครั้งในกระบวนการแก้ปัญหาจำเป็นต้องแสดงตัวเลขเป็นลอการิทึมของฐานที่กำหนด ในกรณีนี้ สูตรจะช่วยเรา:

ในกรณีแรกหมายเลข นกลายเป็นตัวแสดงของการโต้แย้ง ตัวเลข นจะเป็นอะไรก็ได้ เพราะมันเป็นแค่ค่าของลอการิทึม

สูตรที่สองเป็นคำจำกัดความที่ถอดความได้ เรียกว่าเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐาน

จะเกิดอะไรขึ้นถ้าตัวเลข ขยกกำลังให้เป็นอย่างนั้น ขในระดับนี้ให้ตัวเลข ก? ถูกต้อง: นี่คือหมายเลขเดียวกัน ก. อ่านย่อหน้านี้อย่างละเอียดอีกครั้ง - หลายคน "ค้าง" กับมัน

เช่นเดียวกับสูตรการแปลงฐานใหม่ บางครั้งเอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานก็เป็นทางออกเดียวที่เป็นไปได้

งาน. ค้นหาค่าของนิพจน์:

[คำบรรยายภาพ]

โปรดทราบว่าล็อก 25 64 = บันทึก 5 8 - เพิ่งนำกำลังสองออกจากฐานและอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม จากกฎสำหรับการคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน เราได้รับ:

หากใครไม่ทราบนี่เป็นงานจริงจากการสอบ :)

หน่วยลอการิทึมและศูนย์ลอการิทึม

โดยสรุป ฉันจะให้ข้อมูลประจำตัวสองอย่างที่ยากต่อการเรียกคุณสมบัติ - แต่สิ่งเหล่านี้เป็นผลมาจากคำจำกัดความของลอการิทึม พวกเขาพบปัญหาอยู่ตลอดเวลาและสร้างปัญหาให้กับนักเรียน "ขั้นสูง" อย่างน่าประหลาดใจ

1. บันทึก ก ก= 1 คือหน่วยลอการิทึม จำไว้ครั้งแล้วครั้งเล่า: ลอการิทึมของฐานใดๆ กจากฐานนี้เองเท่ากับหนึ่ง
2. บันทึก ก 1 = 0 เป็นศูนย์ลอการิทึม ฐาน กจะเป็นอะไรก็ได้ แต่ถ้าอาร์กิวเมนต์เป็นหนึ่ง ลอการิทึมจะเป็นศูนย์! เพราะ ก 0 = 1 เป็นผลโดยตรงจากนิยาม

นั่นคือคุณสมบัติทั้งหมด อย่าลืมฝึกฝนนำไปปฏิบัติ! ดาวน์โหลดเอกสารแนะนำที่จุดเริ่มต้นของบทเรียน พิมพ์ออกมาและแก้ปัญหา

ดังนั้นเราจึงมีกำลังสอง หากคุณใช้ตัวเลขจากบรรทัดล่างสุด คุณจะพบพลังที่คุณต้องยกกำลังสองเพื่อให้ได้ตัวเลขนี้ ตัวอย่างเช่น เพื่อให้ได้ 16 คุณต้องยกกำลังสองเป็นสี่ และเพื่อให้ได้ 64 คุณต้องยกกำลังสองยกกำลังหก สามารถดูได้จากตาราง

และตอนนี้ - ในความเป็นจริงคำจำกัดความของลอการิทึม:

ลอการิทึมของฐาน a ของอาร์กิวเมนต์ x คือกำลังที่ต้องยกกำลัง a เพื่อให้ได้จำนวน x

สัญลักษณ์: บันทึก a x \u003d b โดยที่ a คือฐาน x คืออาร์กิวเมนต์ b คือสิ่งที่ลอการิทึมเท่ากับ

ตัวอย่างเช่น 2 3 = 8 ⇒ ล็อก 2 8 = 3 (ลอการิทึมฐาน 2 ของ 8 คือ 3 เนื่องจาก 2 3 = 8) อาจเป็นบันทึก 2 64 = 6 เพราะ 2 6 = 64

การดำเนินการค้นหาลอการิทึมของตัวเลขไปยังฐานที่กำหนดเรียกว่าลอการิทึม ลองเพิ่มแถวใหม่ในตารางของเรา:

น่าเสียดายที่ไม่ใช่ว่าลอการิทึมทั้งหมดจะพิจารณาได้ง่าย เช่น ลองค้นหา log 2 5 เลข 5 ไม่ได้อยู่ในตาราง แต่ตรรกะบอกว่าลอการิทึมจะอยู่ที่ใดที่หนึ่งในเซ็กเมนต์ เพราะ 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าจำนวนอตรรกยะ: ตัวเลขหลังจุดทศนิยมสามารถเขียนได้เรื่อย ๆ และจะไม่เกิดซ้ำ หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ จะดีกว่าถ้าปล่อยไว้แบบนี้: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าลอการิทึมเป็นนิพจน์ที่มีตัวแปรสองตัว (ฐานและอาร์กิวเมนต์) ในตอนแรกหลายคนสับสนว่าฐานอยู่ที่ไหนและอาร์กิวเมนต์อยู่ที่ไหน เพื่อหลีกเลี่ยงความเข้าใจผิดที่น่ารำคาญ ลองดูรูปภาพ:

ก่อนหน้าเราไม่มีอะไรมากไปกว่าคำจำกัดความของลอการิทึม จดจำ: ลอการิทึมคือพลังซึ่งคุณต้องยกฐานเพื่อรับข้อโต้แย้ง เป็นฐานที่ยกกำลัง - ในภาพจะเน้นด้วยสีแดง ปรากฎว่าฐานอยู่ที่ด้านล่างเสมอ! ฉันบอกกฎที่ยอดเยี่ยมนี้กับนักเรียนในบทเรียนแรก และไม่มีความสับสน

เราพบคำจำกัดความ - ยังคงต้องเรียนรู้วิธีนับลอการิทึมเช่น กำจัดเครื่องหมาย "บันทึก" ในการเริ่มต้น เราทราบว่ามีข้อเท็จจริงสำคัญสองประการตามมาจากคำนิยาม:

1. อาร์กิวเมนต์และฐานต้องมากกว่าศูนย์เสมอ สิ่งนี้ตามมาจากคำจำกัดความของระดับโดยเลขยกกำลังตรรกยะ ซึ่งนิยามของลอการิทึมจะลดลง
2. ฐานจะต้องแตกต่างจากความสามัคคีเนื่องจากหน่วยต่ออำนาจใด ๆ ยังคงเป็นหน่วย ด้วยเหตุนี้ คำถามที่ว่า "ต้องยกกำลังใดจึงจะได้สอง" จึงไม่มีความหมาย ไม่มีปริญญา!

ข้อจำกัดดังกล่าวเรียกว่า ช่วงที่ถูกต้อง(อพดซ). ปรากฎว่า ODZ ของลอการิทึมมีลักษณะดังนี้: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1

โปรดทราบว่าไม่มีการจำกัดจำนวน b (ค่าของลอการิทึม) ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมอาจเป็นค่าลบ: log 2 0.5 \u003d -1 เนื่องจาก 0.5 = 2 −1 .

อย่างไรก็ตาม ตอนนี้เรากำลังพิจารณาอยู่เท่านั้น นิพจน์ตัวเลขโดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ ODZ ของลอการิทึม คอมไพเลอร์ของปัญหาได้คำนึงถึงข้อ จำกัด ทั้งหมดแล้ว แต่เมื่อพวกเขาไป สมการลอการิทึมและความไม่เท่าเทียมกัน ข้อกำหนด DHS จะกลายเป็นข้อบังคับ แท้จริงแล้วในพื้นฐานและการโต้แย้งอาจมีโครงสร้างที่แข็งแกร่งมาก ซึ่งไม่จำเป็นต้องสอดคล้องกับข้อจำกัดข้างต้น

พิจารณาโครงร่างทั่วไปสำหรับการคำนวณลอการิทึม ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

1. แสดงฐาน a และอาร์กิวเมนต์ x เป็นเลขยกกำลังที่มีฐานที่เล็กที่สุดที่เป็นไปได้มากกว่าหนึ่งฐาน ระหว่างทางควรกำจัดเศษส่วนทศนิยม
2. แก้สมการของตัวแปร b: x = a b ;
3. ผลลัพธ์ของหมายเลข b จะเป็นคำตอบ

นั่นคือทั้งหมด! หากลอการิทึมกลายเป็นอตรรกยะ สิ่งนี้จะถูกเห็นในขั้นตอนแรกแล้ว ข้อกำหนดที่ฐานมากกว่าหนึ่งมีความเกี่ยวข้องมาก: สิ่งนี้ช่วยลดโอกาสเกิดข้อผิดพลาดและทำให้การคำนวณง่ายขึ้นมาก คล้ายกับ ทศนิยม: หากคุณแปลเป็นภาษาธรรมดาทันทีจะมีข้อผิดพลาดน้อยลงหลายเท่า

มาดูกันว่าโครงร่างนี้ทำงานอย่างไรกับตัวอย่างเฉพาะ:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 5 25

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังห้า: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
บันทึก 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2 ;

2. ได้รับคำตอบ: 2.

งาน. คำนวณลอการิทึม:

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 4 64

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ;
3. ได้รับคำตอบ: 3.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 16 1

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังสอง: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. มาสร้างและแก้สมการกันเถอะ:
   บันทึก 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ;
3. ได้รับการตอบกลับ: 0.

งาน. คำนวณลอการิทึม: log 7 14

1. ลองแทนฐานและอาร์กิวเมนต์เป็นยกกำลังเจ็ด: 7 = 7 1 ; 14 ไม่ได้แสดงเป็นยกกำลังของเจ็ด เพราะ 7 1< 14 < 7 2 ;
2. ต่อจากย่อหน้าก่อนหน้านี้ว่าไม่มีการพิจารณาลอการิทึม
3. คำตอบคือไม่เปลี่ยนแปลง: บันทึก 7 14

หมายเหตุเล็กน้อยในตัวอย่างสุดท้าย จะแน่ใจได้อย่างไรว่าตัวเลขไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอน ง่ายมาก - เพียงแค่แยกย่อยมันเป็นปัจจัยสำคัญ หากมีตัวประกอบที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองตัวในการขยาย ตัวเลขนั้นไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอน

งาน. ค้นหาว่าพลังของตัวเลขคือ: 8; 48; 81; 35; 14 .

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - ระดับที่แน่นอนเพราะ มีตัวคูณเดียวเท่านั้น
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ไม่ใช่เลขยกกำลังที่แน่นอนเพราะมีตัวประกอบสองตัว: 3 และ 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - ระดับที่แน่นอน;
35 = 7 5 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง
14 \u003d 7 2 - ไม่ใช่ระดับที่แน่นอนอีกครั้ง

โปรดทราบว่าจำนวนเฉพาะนั้นเป็นพลังที่แน่นอนของตัวมันเองเสมอ

ลอการิทึมทศนิยม

ลอการิทึมบางตัวเป็นเรื่องธรรมดามากจนมีชื่อและการกำหนดพิเศษ

ลอการิทึมทศนิยมของอาร์กิวเมนต์ x คือลอการิทึมฐาน 10 นั่นคือ พลังที่คุณต้องยกเลข 10 เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: lg x .

ตัวอย่างเช่น บันทึก 10 = 1; บันทึก 100 = 2; lg 1,000 = 3 - เป็นต้น

จากนี้ไป เมื่อมีวลีเช่น “ค้นหา lg 0.01” ปรากฏในหนังสือเรียน โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่การพิมพ์ผิด นี่คือลอการิทึมทศนิยม อย่างไรก็ตาม หากคุณไม่คุ้นเคยกับการกำหนดดังกล่าว คุณสามารถเขียนใหม่ได้ตลอดเวลา:
ล็อก x = ล็อก 10 x

ทุกสิ่งที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมธรรมดาก็เป็นจริงสำหรับทศนิยมเช่นกัน

ลอการิทึมธรรมชาติ

มีลอการิทึมอื่นที่มีสัญกรณ์ของตัวเอง เรียกได้ว่ามีความสำคัญมากกว่าทศนิยมเสียอีก นี่คือลอการิทึมธรรมชาติ

ลอการิทึมธรรมชาติของ x คือลอการิทึมฐาน e นั่นคือ กำลังที่ต้องยกเลข e เพื่อให้ได้เลข x ชื่อ: ln x .

หลายคนจะถามว่า: หมายเลข e คืออะไร? นี่เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่สามารถหาค่าที่แน่นอนและเขียนลงไปได้ นี่เป็นเพียงตัวเลขแรก:
จ = 2.718281828459...

เราจะไม่เจาะลึกว่าหมายเลขนี้คืออะไรและทำไมจึงจำเป็น เพียงจำไว้ว่า e เป็นฐานของลอการิทึมธรรมชาติ:
ln x = บันทึก e x

ดังนั้น ln e = 1 ; บันทึก e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - เป็นต้น ในทางกลับกัน ln 2 เป็นจำนวนอตรรกยะ โดยทั่วไป ลอการิทึมธรรมชาติใดๆ จำนวนตรรกยะไม่มีเหตุผล ยกเว้นความสามัคคี: ln 1 = 0

สำหรับลอการิทึมธรรมชาติ กฎทั้งหมดที่เป็นจริงสำหรับลอการิทึมสามัญนั้นถูกต้อง

เริ่มต้นด้วย คุณสมบัติของลอการิทึมของเอกภาพ. สูตรของมันมีดังนี้: ลอการิทึมของความสามัคคีเท่ากับศูนย์นั่นคือ บันทึก 1=0สำหรับ a>0 , a≠1 ใดๆ การพิสูจน์นั้นตรงไปตรงมา: เนื่องจาก a 0 =1 สำหรับ a ใดๆ ที่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้น a>0 และ a≠1 ดังนั้นบันทึกความเท่าเทียมกันที่พิสูจน์แล้ว a 1=0 จะตามหลังนิยามของลอการิทึมทันที

ลองยกตัวอย่างการใช้งานคุณสมบัติที่พิจารณา: log 3 1=0 , lg1=0 และ

ไปที่คุณสมบัติถัดไป: ลอการิทึมของจำนวนเท่ากับฐานเท่ากับหนึ่ง, นั่นคือ, บันทึก a = 1สำหรับ a>0 , a≠1 แท้จริงแล้ว เนื่องจาก a 1 =a สำหรับ a ใดๆ แล้วตามนิยามของลอการิทึม log a a=1

ตัวอย่างของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมนี้คือ log 5 5=1 , log 5.6 5.6 และ lne=1

ตัวอย่างเช่น log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 และ .

ลอการิทึมของผลคูณสอง ตัวเลขที่เป็นบวก x และ y เท่ากับผลคูณของลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้: ล็อก a (x y)=ล็อก a x+ล็อก a y, a>0 , a≠1 . ให้เราพิสูจน์คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์ เนื่องจากคุณสมบัติของปริญญา a บันทึก x+บันทึก a y =a บันทึก x a บันทึก a yและเนื่องจากโดยเอกลักษณ์ลอการิทึมหลัก a log a x =x และ a log a y =y ดังนั้น a log a x a log a y =x y ดังนั้น a log a x+log a y =x y ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่ต้องการจึงตามด้วยนิยามของลอการิทึม

เรามาแสดงตัวอย่างการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 และ .

คุณสมบัติลอการิทึมผลคูณสามารถสรุปเป็นผลคูณของจำนวนจำกัด n ของจำนวนบวก x 1 , x 2 , …, xn เป็น บันทึก a (x 1 x 2 ... xn)= บันทึก a x 1 + บันทึก a x 2 +…+ บันทึก a x n . ความเท่าเทียมกันนี้พิสูจน์ได้ง่าย

ตัวอย่างเช่น ลอการิทึมธรรมชาติของผลคูณสามารถแทนที่ด้วยผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติสามตัวของตัวเลข 4 , e และ

ลอการิทึมของผลหารของจำนวนบวกสองตัว x และ y เท่ากับผลต่างระหว่างลอการิทึมของตัวเลขเหล่านี้ คุณสมบัติลอการิทึมผลหารสอดคล้องกับสูตรของรูปแบบ โดยที่ a>0 , a≠1 , x และ y เป็นจำนวนบวก ความถูกต้องของสูตรนี้ได้รับการพิสูจน์เช่นเดียวกับสูตรสำหรับลอการิทึมของผลิตภัณฑ์: ตั้งแต่ แล้วตามนิยามของลอการิทึม

นี่คือตัวอย่างการใช้คุณสมบัตินี้ของลอการิทึม: .

ไปที่ คุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี. ลอการิทึมของดีกรีจะเท่ากับผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมของโมดูลัสของฐานของดีกรีนี้ เราเขียนคุณสมบัติของลอการิทึมของระดับนี้ในรูปแบบของสูตร: บันทึก a b p =p บันทึก a |b|โดยที่ a>0 , a≠1 , b และ p เป็นตัวเลขที่ทำให้ระดับของ b p เหมาะสมและ b p >0

ก่อนอื่นเราจะพิสูจน์คุณสมบัตินี้สำหรับค่าบวก b เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแสดงจำนวน b เป็น log a b จากนั้น b p =(a log a b) p และนิพจน์ผลลัพธ์เนื่องจากคุณสมบัติยกกำลังจะเท่ากับ a p log a b ดังนั้นเราจึงมาถึงความเท่าเทียมกัน b p =a p log a b ซึ่งจากนิยามของลอการิทึม เราสรุปได้ว่า log a b p =p log a b .

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัตินี้สำหรับค่าลบ b ที่นี่เราทราบว่านิพจน์ล็อก a b p สำหรับค่าลบ b เหมาะสมสำหรับเลขยกกำลังเลขคู่ p เท่านั้น (เนื่องจากค่าของระดับ b p ต้องมากกว่าศูนย์ มิฉะนั้น ลอการิทึมจะไม่สมเหตุสมผล) และในกรณีนี้ b p =|b| พี แล้ว ข พี =|ข| p =(บันทึก a |b|) p =a p บันทึก a |b|ดังนั้น log a b p =p log a |b| .

ตัวอย่างเช่น, และ ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3

ต่อจากพร็อพเพอร์ตี้ก่อนหน้า คุณสมบัติของลอการิทึมจากราก: ลอการิทึมของรากระดับ n เท่ากับผลคูณของเศษส่วน 1/n และลอการิทึมของนิพจน์ราก นั่นคือ โดยที่ a>0 , a≠1 , n – จำนวนธรรมชาติ, มากกว่าหนึ่ง, b>0 .

การพิสูจน์ขึ้นอยู่กับความเท่าเทียมกัน (ดู ) ซึ่งใช้ได้กับผลบวก b ใดๆ และคุณสมบัติของลอการิทึมของดีกรี: .

นี่คือตัวอย่างของการใช้คุณสมบัตินี้: .

ทีนี้มาพิสูจน์กัน สูตรการแปลงเป็นฐานใหม่ของลอการิทึมใจดี . ในการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะพิสูจน์ความถูกต้องของบันทึกความเท่าเทียมกัน c b=log a b log c a เอกลักษณ์ลอการิทึมพื้นฐานช่วยให้เราสามารถแทนจำนวน b เป็น log a b จากนั้น log c b=log c a log a b ยังคงใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของระดับ: ล็อก c a ล็อก a b = ล็อก a b ล็อก c a. ดังนั้น บันทึกความเท่าเทียมกัน c b=บันทึก a b บันทึก c a จึงได้รับการพิสูจน์ ซึ่งหมายความว่าสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมก็ได้รับการพิสูจน์เช่นกัน

เรามาแสดงตัวอย่างของการใช้คุณสมบัติของลอการิทึมนี้: และ .

สูตรสำหรับการย้ายไปยังฐานใหม่ช่วยให้คุณสามารถทำงานกับลอการิทึมที่มีฐาน "สะดวก" ได้ ตัวอย่างเช่น สามารถใช้เพื่อสลับไปใช้ลอการิทึมธรรมชาติหรือทศนิยม เพื่อให้คุณสามารถคำนวณค่าของลอการิทึมจากตารางของลอการิทึม สูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมยังช่วยให้ในบางกรณีสามารถหาค่าของลอการิทึมที่กำหนดได้ เมื่อทราบค่าของลอการิทึมบางตัวที่มีฐานอื่น

มักใช้เป็นกรณีพิเศษของสูตรสำหรับการเปลี่ยนไปใช้ฐานใหม่ของลอการิทึมสำหรับ c=b ของแบบฟอร์ม . นี่แสดงให้เห็นว่า log a b และ log b a – เช่น, .

มักใช้เป็นสูตร ซึ่งมีประโยชน์สำหรับการค้นหาค่าลอการิทึม เพื่อยืนยันคำพูดของเรา เราจะแสดงวิธีการคำนวณค่าของลอการิทึมของแบบฟอร์ม เรามี . เพื่อพิสูจน์สูตร ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้สูตรการเปลี่ยนเป็นฐานใหม่ของลอการิทึม a: .

ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติการเปรียบเทียบของลอการิทึม

ให้เราพิสูจน์ว่าสำหรับจำนวนบวกใดๆ b 1 และ b 2 , b 1 บันทึก a b 2 และสำหรับ a>1 อสมการจะบันทึก a b 1

ในที่สุดก็ยังคงต้องพิสูจน์คุณสมบัติสุดท้ายของลอการิทึมที่ระบุไว้ เราจำกัดตัวเองให้พิสูจน์ส่วนแรกของมัน นั่นคือ เราพิสูจน์ว่า ถ้า a 1 >1 , a 2 >1 และ a 1 1 เป็นจริง log a 1 b>log a 2 b ข้อความที่เหลือของคุณสมบัติลอการิทึมนี้ได้รับการพิสูจน์ด้วยหลักการที่คล้ายกัน

ลองใช้วิธีตรงกันข้าม สมมติว่าสำหรับ a 1 >1 , a 2 >1 และ a 1 1 ล็อก a 1 b≤ ล็อก a 2 b เป็นจริง ด้วยคุณสมบัติของลอการิทึม อสมการเหล่านี้สามารถเขียนใหม่ได้เป็น และ ตามลำดับ และจากนั้นจะตามมาว่า log b a 1 ≤log b a 2 และ log b a 1 ≥log b a 2 ตามลำดับ จากนั้น โดยคุณสมบัติของเลขยกกำลังที่มีฐานเดียวกัน ความเท่าเทียมกันของ b log b a 1 ≥b log b a 2 และ b log b a 1 ≥b log b a 2 จะต้องเป็นไปตามที่กำหนด นั่นคือ a 1 ≥a 2 . ดังนั้นเราจึงมาถึงความขัดแย้งกับเงื่อนไข a 1

บรรณานุกรม.