Kaip ir trupmenų su skirtingais vardikliais dauginimas. Lygčių sistemos sudarymas
Trupmenų daugyba ir dalyba.
Dėmesio!
Yra papildomų
medžiaga specialiajame 555 skyriuje.
Tiems, kurie stipriai "nelabai..."
Ir tiems, kurie „labai...“)
Ši operacija yra daug malonesnė nei sudėjimas-atimtis! Nes taip lengviau. Primenu: norint padauginti trupmeną iš trupmenos, reikia padauginti skaitiklius (tai bus rezultato skaitiklis) ir vardiklius (tai bus vardiklis). Tai yra:
Pavyzdžiui:
Viskas nepaprastai paprasta. Ir prašau neieškoti bendro vardiklio! Nereikia čia...
Norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite apversti antra(tai svarbu!) trupmeną ir jas padauginkite, t.y.:
Pavyzdžiui:
Jei pagaunama daugyba arba dalyba su sveikaisiais skaičiais ir trupmenomis, viskas gerai. Kaip ir sudėjus, iš sveikojo skaičiaus sudarome trupmeną, kurios vardiklyje yra vienetas – ir pirmyn! Pavyzdžiui:
Vidurinėje mokykloje dažnai tenka susidurti su triaukštėmis (ar net keturaukštėmis!) trupmenomis. Pavyzdžiui:
Kaip šią trupmeną padaryti tinkamą formą? Taip, labai lengva! Naudokite padalijimą iš dviejų taškų:
Tačiau nepamirškite apie padalijimo tvarką! Skirtingai nuo daugybos, tai čia labai svarbu! Žinoma, nepainiosime nei 4:2, nei 2:4. Tačiau trijų aukštų frakcijoje lengva suklysti. Atkreipkite dėmesį, pavyzdžiui:
Pirmuoju atveju (išraiška kairėje):
Antroje (išraiška dešinėje):
Jausti skirtumą? 4 ir 1/9!
Kokia yra padalijimo tvarka? Arba skliausteliuose, arba (kaip čia) horizontalių brūkšnių ilgis. Ugdykite akį. O jei nėra skliaustų ar brūkšnių, pvz.:
tada dalyti-dauginti tvarka, iš kairės į dešinę!
Ir dar vienas labai paprastas ir svarbus triukas. Veiksmuose su laipsniais tai jums pravers! Padalinkime vienetą iš bet kurios trupmenos, pavyzdžiui, iš 13/15:
Kadras apsivertė! Ir tai visada atsitinka. Padalijus 1 iš bet kurios trupmenos, gaunama ta pati trupmena, tik apversta.
Tai visi veiksmai su trupmenomis. Dalykas yra gana paprastas, tačiau klaidų yra daugiau nei pakankamai. Pastaba praktinių patarimų, ir jų (klaidų) bus mažiau!
Praktiniai patarimai:
1. Svarbiausia dirbant su trupmeninėmis išraiškomis – tikslumas ir atidumas! Tai nėra įprasti žodžiai, ne geri norai! Tai didžiulis poreikis! Atlikite visus egzamino skaičiavimus kaip visavertę užduotį, susikaupę ir aiškiai. Geriau juodraštyje parašyti dvi papildomas eilutes, nei suktis skaičiuojant mintyse.
2. Pavyzdžiuose su skirtingi tipai trupmenos - eikite į paprastas trupmenas.
3. Sumažiname visas trupmenas iki galo.
4. Daugiapakopes trupmenines išraiškas redukuojame į įprastas, naudodami padalijimą per du taškus (laikomės dalybos tvarkos!).
5. Vienetą mintyse padalijame į trupmeną, tiesiog trupmeną apversdami.
Štai užduotys, kurias turite atlikti. Atsakymai pateikiami po visų užduočių. Pasinaudokite šios temos medžiaga ir praktiniais patarimais. Įvertinkite, kiek pavyzdžių galėtumėte teisingai išspręsti. Pirmasis kartas! Be skaičiuoklės! Ir padaryti teisingas išvadas...
Prisiminkite teisingą atsakymą gautas iš antro (ypač trečio) karto – nesiskaito! Toks tas atšiaurus gyvenimas.
Taigi, išspręsti egzamino režimu ! Tai, beje, yra pasiruošimas egzaminui. Išsprendžiame pavyzdį, patikriname, išsprendžiame šiuos dalykus. Viską nusprendėme – dar kartą patikrinome nuo pirmos iki paskutinės. Bet tik po to pažiūrėk atsakymus.
Apskaičiuoti:
Ar nusprendei?
Ieškote atsakymų, atitinkančių jūsų. Specialiai juos surašiau netvarkoje, atokiau nuo pagundos, taip sakant... Štai jie, atsakymai, užrašyti kabliataškiu.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
O dabar darome išvadas. Jei viskas pavyko - džiaugiuosi už jus! Elementarūs skaičiavimai su trupmenomis nėra jūsų problema! Galite užsiimti rimtesniais dalykais. Jei ne...
Taigi jūs turite vieną iš dviejų problemų. Arba abu iš karto.) Žinių trūkumas ir (ar) neatidumas. Tačiau tai išsprendžiamas Problemos.
Jei jums patinka ši svetainė...
Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)
Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokymasis – su susidomėjimu!)
galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.
Šiame straipsnyje mes analizuosime mišrių skaičių daugyba. Pirmiausia išsakysime mišrių skaičių dauginimo taisyklę ir apsvarstysime šios taisyklės taikymą spręsdami pavyzdžius. Toliau kalbėsime apie mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus dauginimą. Galiausiai išmoksime padauginti mišrų skaičių ir paprastąją trupmeną.
Puslapio naršymas.
Mišriųjų skaičių daugyba.
Mišriųjų skaičių daugyba gali būti sumažintas iki paprastųjų trupmenų dauginimo. Norėdami tai padaryti, pakanka mišrius skaičius konvertuoti į netinkamas trupmenas.
Užsirašykime mišrių skaičių daugybos taisyklė:
- Pirma, sumaišyti skaičiai, kuriuos reikia padauginti, turi būti pakeisti netinkamomis trupmenomis;
- Antra, reikia naudoti trupmenos padauginimo iš trupmenos taisyklę.
Apsvarstykite šios taisyklės taikymo pavyzdžius, kai mišrus skaičius dauginamas iš mišraus skaičiaus.
Atlikite mišrų skaičių daugybą ir .
Pirma, padaugintus mišrius skaičius pateikiame kaip netinkamas trupmenas: 
ir 
. Dabar mišrių skaičių dauginimą galime pakeisti paprastųjų trupmenų dauginimu: 
. Taikydami trupmenų daugybos taisyklę, gauname 
. Gauta trupmena yra neredukuojama (žr. redukuojamąsias ir neredukcines trupmenas), tačiau ji yra neteisinga (žr. reguliariąsias ir netinkamąsias trupmenas), todėl norint gauti galutinį atsakymą, belieka iš netinkamos trupmenos išskirti sveikąją dalį: .
Visą sprendimą parašykime vienoje eilutėje: .
.
Norėdami sustiprinti mišrių skaičių dauginimo įgūdžius, apsvarstykite kito pavyzdžio sprendimą.
Atlikite dauginimą.
Juokingi skaičiai ir yra lygūs trupmenoms 13/5 ir 10/9, atitinkamai. Tada 
. Šiame etape laikas prisiminti trupmenos mažinimą: visus trupmenos skaičius pakeisime jų išplėtimais į pirminius veiksnius ir atliksime tų pačių faktorių redukciją.
Mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus daugyba
Pakeitus mišrų skaičių netinkama trupmena, padauginus mišrųjį skaičių iš natūraliojo skaičiaus redukuojama iki paprastosios trupmenos ir natūraliojo skaičiaus daugybos.
Padauginkite mišrųjį skaičių iš natūraliojo skaičiaus 45 .
Taigi mišrus skaičius yra trupmena 
. Pakeiskime gautoje trupmenoje esančius skaičius jų išplėtimais į pirminius veiksnius, padarome redukciją, po kurios pasirenkame sveikąją dalį: .
.
Mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus daugyba kartais patogiai atliekama naudojant daugybos paskirstymo savybę sudėjimo atžvilgiu. Šiuo atveju mišraus skaičiaus ir natūraliojo skaičiaus sandauga yra lygi sveikosios dalies sandaugų sumai iš duoto natūraliojo skaičiaus ir trupmeninės dalies iš duotojo natūraliojo skaičiaus, ty 
.
Apskaičiuokite produktą.
Sumaišytą skaičių pakeičiame sveikųjų ir trupmeninių dalių suma, po to taikome daugybos skirstomąją savybę: .
Mišraus skaičiaus ir bendrosios trupmenos dauginimas patogiausia redukuoti iki paprastųjų trupmenų daugybos, padaugintą mišrų skaičių pavaizduojant kaip netinkamą trupmeną.
Sumaišytą skaičių padauginkite iš bendrosios trupmenos 4/15.
Pakeitę mišrų skaičių trupmena, gauname 
.
www.cleverstudents.ru
Trupmeninių skaičių daugyba
§ 140. Sąvokos. 1) Trupmeninio skaičiaus dauginimas iš sveikojo skaičiaus apibrėžiamas taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių dauginimas, būtent: padauginti kokį nors skaičių (daugiklį) iš sveikojo skaičiaus (daugiklis) reiškia padaryti identiškų narių sumą, kurioje kiekvienas narys yra lygus dauginimui, o narių skaičius lygus daugikliui.
Taigi, padauginus iš 5, reikia rasti sumą:
2) Padauginti kokį nors skaičių (daugiklį) iš trupmenos (daugiklio) reiškia rasti šią daugiklio trupmeną.
Taigi, radę tam tikro skaičiaus trupmeną, kurią mes svarstėme anksčiau, dabar vadinsime daugyba iš trupmenos.
3) Padauginti kurį nors skaičių (daugiklį) iš mišraus skaičiaus (koeficiento) reiškia, kad daugiklį pirmiausia reikia padauginti iš sveikojo koeficiento skaičiaus, tada iš koeficiento trupmenos ir sudėti šių dviejų dauginimo rezultatus.
Pavyzdžiui:
Visais šiais atvejais vadinamas skaičius, gautas padauginus dirbti, t.y., taip pat, kaip ir dauginant sveikuosius skaičius.
Iš šių apibrėžimų aišku, kad trupmeninių skaičių dauginimas yra veiksmas, kuris visada įmanomas ir visada nedviprasmiškas.
§ 141. Šių apibrėžimų tikslingumas. Kad suprastume dviejų paskutinių daugybos apibrėžimų įvedimo į aritmetiką tikslingumą, paimkime šią problemą:
Užduotis. Traukinys, judėdamas tolygiai, važiuoja 40 km per valandą; kaip sužinoti, kiek kilometrų šis traukinys nuvažiuos per tam tikrą valandų skaičių?
Jei liktume prie to paties daugybos apibrėžimo, kuris nurodytas sveikųjų skaičių aritmetikoje (lygių narių pridėjimas), tada mūsų uždavinys turėtų tris skirtingus sprendimus, būtent:
Jei nurodytas valandų skaičius yra sveikasis skaičius (pavyzdžiui, 5 valandos), tai norint išspręsti problemą, 40 km reikia padauginti iš šio valandų skaičiaus.
Jei tam tikras valandų skaičius išreiškiamas trupmena (pavyzdžiui, valandomis), tada šios trupmenos vertę turėsite rasti iš 40 km.
Galiausiai, jei nurodytas valandų skaičius yra sumaišytas (pavyzdžiui, valandos), tada 40 km reikės padauginti iš sveikojo skaičiaus, esančio mišraus skaičiaus, ir pridėti prie rezultato tokią trupmeną nuo 40 km, kuri yra mišrus skaičius.
Pateikti apibrėžimai leidžia mums pateikti vieną bendrą atsakymą į visus šiuos galimus atvejus:
40 km reikia padauginti iš nurodyto valandų skaičiaus, kad ir koks jis būtų.
Taigi, jei užduotis pateikiama bendras vaizdas Taigi:
Tolygiai judantis traukinys važiuoja v km per valandą. Kiek kilometrų traukinys nuvažiuos per t valandas?
tada, kad ir kokie būtų skaičiai v ir t, galime išreikšti vieną atsakymą: norimas skaičius išreiškiamas formule v · t.
Pastaba. Pagal mūsų apibrėžimą rasti tam tikrą tam tikro skaičiaus trupmeną reiškia tą patį, kaip padauginti tam tikrą skaičių iš šios trupmenos; todėl, pavyzdžiui, rasti 5 % (t. y. penkias šimtąsias) tam tikro skaičiaus reiškia tą patį, kaip duotą skaičių padauginti iš arba iš; rasti 125 % tam tikro skaičiaus yra tas pats, kas padauginti tą skaičių iš arba iš ir t.t.
§ 142. Pastaba apie tai, kada skaičius didėja, o kada mažėja nuo daugybos.
Padauginus iš tinkamos trupmenos skaičius mažėja, o padauginus iš netinkamosios trupmenos, skaičius didėja, jei ši neteisingoji trupmena yra didesnė už vienetą, ir lieka nepakitusi, jei ji lygi vienetui.
komentuoti. Dauginant trupmeninius skaičius, taip pat sveikuosius skaičius, sandauga laikoma lygi nuliui, jei kuris nors iš veiksnių yra lygus nuliui, taigi,.
§ 143. Daugybos taisyklių išvedimas.
1) trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Tegul trupmena padauginama iš 5. Tai reiškia padidinti 5 kartus. Norint padidinti trupmeną 5, pakanka padidinti jos skaitiklį arba sumažinti vardiklį 5 kartus (§ 127).
Štai kodėl:
1 taisyklė. Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, turite padauginti skaitiklį iš šio sveikojo skaičiaus, o vardiklį palikti tą patį; vietoj to taip pat galite padalyti trupmenos vardiklį iš pateikto sveikojo skaičiaus (jei įmanoma), o skaitiklį palikti tą patį.
komentuoti. Trupmenos ir jos vardiklio sandauga yra lygi jos skaitikliui.
Taigi:
2 taisyklė. Norėdami padauginti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti sveikąjį skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o vardikliu pažymėti nurodytos trupmenos vardiklį.
3 taisyklė. Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį - sandaugos vardikliu.
komentuoti. Šią taisyklę taip pat galima taikyti trupmenos dauginimui iš sveikojo skaičiaus ir sveikojo skaičiaus iš trupmenos, jei tik sveikąjį skaičių laikysime trupmena, kurios vardiklis yra vienetas. Taigi:
Taigi, trys dabar nurodytos taisyklės yra vienoje, kurią bendrai galima išreikšti taip:
4) Mišrių skaičių daugyba.
4 taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas ir tada padauginti pagal trupmenų dauginimo taisykles. Pavyzdžiui:
§ 144. Daugybos sumažinimas. Dauginant trupmenas, jei įmanoma, reikia atlikti preliminarų sumažinimą, kaip matyti iš šių pavyzdžių:
Tokį sumažinimą galima padaryti, nes trupmenos reikšmė nepasikeis, jei skaitiklis ir vardiklis bus sumažinti tiek pat kartų.
§ 145. Prekės keitimas keičiantis faktoriams. Pasikeitus veiksniams, trupmeninių skaičių sandauga keisis lygiai taip pat, kaip ir sveikųjų skaičių sandauga (§ 53), būtent: jei kurį nors koeficientą padidinsite (arba sumažinsite) kelis kartus, sandauga padidės (arba sumažės) ta pačia suma.
Taigi, jei pavyzdyje:
norint padauginti kelias trupmenas, reikia padauginti jų skaitiklius tarpusavyje ir vardiklius tarpusavyje ir padaryti pirmąjį sandaugą sandaugos skaitikliu, o antrąjį – sandaugos vardikliu.
komentuoti. Šią taisyklę galima taikyti ir tokiems sandaugams, kuriuose kai kurie skaičiaus veiksniai yra sveikieji arba mišrūs, jei tik sveikąjį skaičių laikysime trupmena, kurios vardiklis yra vienas, o mišrius skaičius paverčiame netinkamomis trupmenomis. Pavyzdžiui:
§ 147. Pagrindinės daugybos savybės. Tos daugybos savybės, kurias nurodėme sveikiesiems skaičiams (§ 56, 57, 59), taip pat priklauso trupmeninių skaičių daugybai. Nurodykime šias savybes.
1) Produktas nesikeičia keičiantis veiksnių vietoms.
Pavyzdžiui:
Iš tiesų, pagal ankstesnės pastraipos taisyklę, pirmasis sandaugas yra lygus trupmenai, o antrasis yra lygus trupmenai. Bet šios trupmenos yra vienodos, nes jų nariai skiriasi tik sveikųjų skaičių eilės tvarka, o sveikųjų skaičių sandauga nesikeičia, kai keičiasi veiksnių vietos.
2) Produktas nepasikeis, jei kuri nors veiksnių grupė bus pakeista jų produktu.
Pavyzdžiui:
Rezultatai tokie patys.
Iš šios daugybos savybės galima padaryti tokią išvadą:
norėdami padauginti skaičių iš sandaugos, galite padauginti šį skaičių iš pirmojo koeficiento, gautą skaičių padauginti iš antrojo ir pan.
Pavyzdžiui:
3) Daugybos skirstymo dėsnis (sudėties atžvilgiu). Norėdami padauginti sumą iš kurio nors skaičiaus, galite padauginti kiekvieną terminą iš šio skaičiaus atskirai ir pridėti rezultatus.
Šį įstatymą mes paaiškinome (§ 59) kaip taikomą sveikiesiems skaičiams. Tai išlieka teisinga be jokių pakeitimų trupmeniniams skaičiams.
Iš tikrųjų parodykime, kad lygybė
(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .
(daugybos dėsnis sudėjimo atžvilgiu) išlieka teisingas net tada, kai raidės reiškia trupmeninius skaičius. Panagrinėkime tris atvejus.
1) Pirmiausia tarkime, kad veiksnys m yra sveikas skaičius, pavyzdžiui, m = 3 (a, b, c yra bet kokie skaičiai). Pagal daugybos iš sveikojo skaičiaus apibrėžimą, galima rašyti (paprastumo dėlei apsiribojama trimis terminais):
(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).
Remdamiesi asociatyviniu sudėjimo dėsniu, galime praleisti visus skliaustus dešinėje pusėje; taikydami komutacinį sudėjimo dėsnį, o tada dar kartą kombinacijos dėsnį, akivaizdu, kad dešinę pusę galime perrašyti taip:
(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).
(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.
Vadinasi, paskirstymo įstatymas šiuo atveju yra patvirtintas.
Trupmenų daugyba ir dalyba
Praėjusį kartą mokėmės sudėti ir atimti trupmenas (žr. pamoką „Trupmenų pridėjimas ir atėmimas“). Sunkiausias momentas tuose veiksmuose buvo trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį.
Dabar atėjo laikas spręsti daugybos ir dalybos klausimus. Geros naujienos yra tai, kad šios operacijos yra dar lengvesnės nei sudėjimas ir atėmimas. Pirmiausia apsvarstykite paprasčiausią atvejį, kai yra dvi teigiamos trupmenos be atskiros sveikojo skaičiaus dalies.
Norėdami padauginti dvi trupmenas, jų skaitiklius ir vardiklius turite padauginti atskirai. Pirmasis skaičius bus naujos trupmenos skaitiklis, o antrasis – vardiklis.
Norėdami padalyti dvi trupmenas, turite padauginti pirmąją trupmeną iš "apverstos" sekundės.
Iš apibrėžimo matyti, kad trupmenų padalijimas sumažinamas iki daugybos. Norėdami apversti trupmeną, tiesiog pakeiskite skaitiklį ir vardiklį. Todėl visą pamoką daugiausia svarstysime daugyba.
Dėl dauginimo gali atsirasti (ir dažnai atsiranda) sumažinta trupmena – žinoma, ją reikia sumažinti. Jei po visų sumažinimų trupmena pasirodė neteisinga, joje reikia atskirti visą dalį. Tačiau tai, ko tiksliai nenutiks dauginant, yra sumažinimas iki bendro vardiklio: jokių kryžminių metodų, didžiausių koeficientų ir mažiausiųjų bendrų kartotinių.
Pagal apibrėžimą mes turime:
Trupmenų su sveikąja dalimi ir neigiamomis trupmenomis dauginimas
Jei yra trupmenomis visa dalis, jie turi būti konvertuojami į neteisingus ir tik tada padauginami pagal aukščiau pateiktas schemas.
Jei trupmenos skaitiklyje, vardiklyje arba prieš jį yra minusas, jį galima išimti iš daugybos ribų arba iš viso pašalinti pagal šias taisykles:
- Plius kartus minusas duoda minusą;
- Du neigiami dalykai daro teigiamą.
Iki šiol su šiomis taisyklėmis susidurdavo tik sudėjus ir atimant neigiamas trupmenas, kai reikėdavo atsikratyti visos dalies. Produkto atveju jie gali būti apibendrinti, kad iš karto „sudegintų“ kelis minusus:
- Minusus braukiame poromis, kol jie visiškai išnyksta. Kraštutiniu atveju gali išlikti vienas minusas – tas, kuris nerado atitikmens;
- Jei minusų neliks, operacija baigta – galima pradėti dauginti. Jei paskutinis minusas nėra perbrauktas, nes jis nerado poros, išimame jį iš daugybos ribų. Gaunate neigiamą trupmeną.
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:
Visas trupmenas paverčiame netinkamomis, o tada minusus išimame už daugybos ribų. Tai, kas lieka, dauginama pagal įprastas taisykles. Mes gauname:
Leiskite dar kartą priminti, kad minusas, esantis prieš trupmeną su paryškinta sveikojo skaičiaus dalimi, konkrečiai reiškia visą trupmeną, o ne tik jos sveikąją dalį (tai taikoma dviem paskutiniams pavyzdžiams).
Taip pat atkreipkite dėmesį į neigiami skaičiai: Padauginus, jie yra skliausteliuose. Tai daroma siekiant atskirti minusus nuo daugybos ženklų ir padaryti visą žymėjimą tikslesnį.
Dalių mažinimas skrydžio metu
Daugyba yra labai varginanti operacija. Skaičiai čia yra gana dideli, o norėdami supaprastinti užduotį, galite pabandyti dar labiau sumažinti trupmeną prieš dauginimą. Iš tiesų, iš esmės trupmenų skaitikliai ir vardikliai yra įprasti veiksniai, todėl juos galima sumažinti naudojant pagrindinę trupmenos savybę. Pažvelkite į pavyzdžius:
Užduotis. Raskite išraiškos reikšmę:
Pagal apibrėžimą mes turime:
Visuose pavyzdžiuose raudonai pažymėti skaičiai, kurie buvo sumažinti ir kas iš jų liko.
Atkreipkite dėmesį: pirmuoju atveju daugikliai buvo visiškai sumažinti. Vienetai liko savo vietose, kurių, paprastai kalbant, galima ir praleisti. Antrame pavyzdyje nebuvo įmanoma pasiekti visiško sumažinimo, tačiau bendra skaičiavimų suma vis tiek sumažėjo.
Tačiau jokiu būdu nenaudokite šios technikos pridėdami ir atimdami trupmenas! Taip, kartais būna panašių skaičių, kuriuos tiesiog norisi sumažinti. Štai, žiūrėk:
Jūs negalite to padaryti!
Klaida atsiranda dėl to, kad pridedant trupmeną, trupmenos skaitiklyje atsiranda suma, o ne skaičių sandauga. Todėl neįmanoma taikyti pagrindinės trupmenos savybės, nes ši savybė konkrečiai susijusi su skaičių daugyba.
Tiesiog nėra jokios kitos priežasties mažinti trupmenas, todėl teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:
Kaip matote, teisingas atsakymas pasirodė ne toks gražus. Apskritai būkite atsargūs.
Trupmenų daugyba.
Norėdami teisingai padauginti trupmeną iš trupmenos arba trupmeną iš skaičiaus, turite žinoti paprastos taisyklės. Dabar mes išsamiai išanalizuosime šias taisykles.
Trupmenos padauginimas iš trupmenos.
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite apskaičiuoti skaitiklių sandaugą ir šių trupmenų vardiklių sandaugą.
Apsvarstykite pavyzdį:
Pirmosios trupmenos skaitiklį padauginame iš antrosios trupmenos skaitiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį taip pat padauginame iš antrosios trupmenos vardiklio.
Trupmenos padauginimas iš skaičiaus.
Pradėkime nuo taisyklės bet kurį skaičių galima pavaizduoti kaip trupmeną \(\bf n = \frac \) .
Naudokime šią taisyklę dauginimui.
Netinkama trupmena \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) buvo konvertuota į mišri frakcija.
Kitaip tariant, Padaugindami skaičių iš trupmenos, padauginkite skaičių iš skaitiklio ir palikite vardiklį nepakeistą. Pavyzdys:
Mišrių trupmenų dauginimas.
Norėdami padauginti mišrias trupmenas, pirmiausia turite pateikti kiekvieną mišrią trupmeną kaip netinkamą trupmeną, o tada naudoti daugybos taisyklę. Skaitiklis dauginamas iš skaitiklio, vardiklis dauginamas iš vardiklio.
Atvirkštinių trupmenų ir skaičių daugyba.
Susiję klausimai:
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Atsakymas: paprastųjų trupmenų sandauga yra skaitiklio daugyba iš skaitiklio, vardiklio iš vardiklio. Norėdami gauti mišrių frakcijų sandaugą, turite jas konvertuoti į netinkamą trupmeną ir padauginti pagal taisykles.
Kaip padauginti trupmenas su skirtingais vardikliais?
Atsakymas: nesvarbu, ar trupmenų vardikliai yra vienodi, ar skirtingi, daugyba vyksta pagal skaitiklio sandaugos su skaitikliu, vardiklio su vardikliu radimo taisyklę.
Kaip padauginti mišrias frakcijas?
Atsakymas: pirmiausia reikia mišrią trupmeną konvertuoti į netinkamą trupmeną ir tada rasti sandaugą pagal daugybos taisykles.
Kaip padauginti skaičių iš trupmenos?
Atsakymas: Padauginame skaičių iš skaitiklio, o vardiklį paliekame tą patį.
1 pavyzdys:
Apskaičiuokite sandaugą: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)
2 pavyzdys:
Apskaičiuokite skaičiaus ir trupmenos sandaugą: a) \(3 \times \frac \) b) \(\frac \times 11\)
3 pavyzdys:
Parašykite trupmenos \(\frac \) atvirkštinį skaičių?
Atsakymas: \(\frac = 3\)
4 pavyzdys:
Apskaičiuokite dviejų atvirkštinių dydžių sandaugą: a) \(\frac \times \frac \)
5 pavyzdys:
Abipusiai atvirkštinės trupmenos gali būti:
a) abi tinkamos trupmenos;
b) tuo pačiu metu netinkamos trupmenos;
c) tuo pačiu metu natūraliuosius skaičius?
Sprendimas:
a) Atsakydami į pirmąjį klausimą, naudokime pavyzdį. Trupmena \(\frac \) yra teisinga, jos atvirkštinė vertė bus lygi \(\frac \) - netinkama trupmena. Atsakymas: ne.
b) beveik visuose trupmenų sąrašuose ši sąlyga netenkinama, tačiau yra keletas skaičių, kurie tuo pat metu atitinka sąlygą būti netinkama trupmena. Pavyzdžiui, netinkama trupmena yra \(\frac \) , jos grįžtamoji vertė yra \(\frac \). Gauname dvi netinkamas trupmenas. Atsakymas: ne visada tam tikromis sąlygomis, kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs.
c) natūralūs skaičiai yra skaičiai, kuriuos naudojame skaičiuodami, pavyzdžiui, 1, 2, 3, .... Jei imsime skaičių \(3 = \frac \), tada jo atvirkštinė vertė bus \(\frac \). Trupmena \(\frac \) nėra natūralusis skaičius. Jei einame per visus skaičius, atvirkštinė vertė visada yra trupmena, išskyrus 1. Jei imsime skaičių 1, tai jo atvirkštinė vertė bus \(\frac = \frac = 1\). Skaičius 1 yra natūralusis skaičius. Atsakymas: jie vienu metu gali būti natūralieji skaičiai tik vienu atveju, jei šis skaičius yra 1.
6 pavyzdys:
Atlikite mišrių trupmenų sandaugą: a) \(4 \times 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)
Sprendimas:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)
7 pavyzdys:
Ar du abipusiai skaičiai vienu metu gali būti mišrūs skaičiai?
Pažiūrėkime į pavyzdį. Paimkime mišrią trupmeną \(1\frac \), suraskime jos abipusę vertę, todėl ją paverčiame netinkama trupmena \(1\frac = \frac \) . Jo atvirkštinė vertė bus lygi \(\frac \) . Trupmena \(\frac \) yra tinkama trupmena. Atsakymas: Dvi viena kitai atvirkštinės trupmenos negali būti mišrių skaičių vienu metu.
Dešimtainės dalies dauginimas iš natūraliojo skaičiaus
Pamokos pristatymas
Dėmesio! Skaidrės peržiūra skirta tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visos pristatymo apimties. Jeigu tu susidomėjai Šis darbas atsisiųskite pilną versiją.
- Smagiai supažindinkite mokinius su dešimtainės trupmenos dauginimo iš natūraliojo skaičiaus, iš bitų vieneto taisykle ir dešimtainės trupmenos išreiškimo procentais taisykle. Ugdyti gebėjimus pritaikyti įgytas žinias sprendžiant pavyzdžius ir problemas.
- Kurti ir aktyvuoti loginis mąstymas mokiniai, gebėjimas atpažinti dėsningumus ir juos apibendrinti, stiprinti atmintį, gebėjimą bendradarbiauti, teikti pagalbą, vertinti savo ir vienas kito darbą.
- Ugdyti domėjimąsi matematika, aktyvumą, mobilumą, gebėjimą bendrauti.
Įranga: interaktyvi lenta, plakatas su šifruote, plakatai su matematikų teiginiais.
- Laiko organizavimas.
- Skaičiavimas žodžiu – tai anksčiau studijuotos medžiagos apibendrinimas, pasirengimas naujos medžiagos studijoms.
- Naujos medžiagos paaiškinimas.
- Namų darbų užduotis.
- Matematinis fizinis lavinimas.
- Įgytų žinių apibendrinimas ir sisteminimas in žaidimo forma naudojant kompiuterį.
- Įvertinimas.
2. Vaikinai, šiandien turėsime kiek neįprastą pamoką, nes praleisiu ją ne viena, o su drauge. Ir mano draugas taip pat neįprastas, dabar jūs jį pamatysite. (Ekrane pasirodo animacinis kompiuteris.) Mano draugas turi vardą ir gali kalbėti. Koks tavo vardas, drauge? Kompoša atsako: „Mano vardas Kompoša“. Ar esate pasirengęs man padėti šiandien? TAIP! Na, tada pradėkime pamoką.
Šiandien gavau užšifruotą šifruotę, vaikinai, kurią turime kartu išspręsti ir iššifruoti. (Lentoje yra plakatas su žodinis skaičius dešimtainėms trupmenoms sudėti ir atimti, todėl vaikinai gauna šį kodą 523914687. )
Komposha padeda iššifruoti gautą kodą. Dėl dekodavimo gaunamas žodis MULTIPLICATION. Daugyba yra raktažodįšios dienos pamokos temos. Pamokos tema rodoma monitoriuje: „Dešimtainės trupmenos dauginimas iš natūraliojo skaičiaus“
Vaikinai, mes žinome, kaip dauginama natūraliuosius skaičius. Šiandien mes apsvarstysime dešimtainių skaičių padauginimą iš natūraliojo skaičiaus. Dešimtainės trupmenos padauginimas iš natūraliojo skaičiaus gali būti laikomas narių, kurių kiekvienas yra lygus šiai dešimtainei trupmenai, suma, o narių skaičius yra lygus šiam natūraliajam skaičiui. Pavyzdžiui: 5,21 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63 Taigi 5,21 3 = 15,63. Pateikdami 5,21 kaip paprastąją natūraliojo skaičiaus trupmeną, gauname
Ir šiuo atveju gavome tą patį rezultatą 15,63. Dabar, nekreipdami dėmesio į kablelį, vietoj skaičiaus 5,21 imkime skaičių 521 ir padauginkite iš pateikto natūraliojo skaičiaus. Čia turime prisiminti, kad viename iš daugiklių kablelis perkeliamas dviem vietomis į dešinę. Padauginus skaičius 5, 21 ir 3, gauname sandaugą, lygią 15,63. Dabar šiame pavyzdyje kablelį perkelsime į kairę dviem skaitmenimis. Taigi, kiek kartų buvo padidintas vienas iš veiksnių, produktas sumažėjo tiek kartų. Remdamiesi panašiais šių metodų punktais, darome išvadą.
Padauginti dešimtainis iki natūraliojo skaičiaus, jums reikia:
1) nepaisydami kablelio, atlikti natūraliųjų skaičių daugybą;
2) gautoje sandaugoje kableliu dešinėje atskirkite tiek simbolių, kiek yra dešimtainėje trupmenoje.
Monitoriuje rodomi šie pavyzdžiai, kuriuos analizuojame kartu su Komposha ir vaikinais: 5,21 3 = 15,63 ir 7,624 15 = 114,34. Kai parodysiu daugybą iš apvalaus skaičiaus 12,6 50 \u003d 630. Tada aš pereinu prie dešimtainės trupmenos padauginimo iš bitų vieneto. Pateikiu šiuos pavyzdžius: 7,423 100 \u003d 742,3 ir 5,2 1000 \u003d 5200. Taigi, pristatau dešimtainės trupmenos padauginimo iš bitų vieneto taisyklę:
Norint padauginti dešimtainę trupmeną iš bitų vienetų 10, 100, 1000 ir kt., šioje trupmenoje kablelį reikia perkelti į dešinę tiek skaitmenų, kiek bitų vieneto įraše yra nulių.
Paaiškinimą baigiu dešimtainės trupmenos išraiška procentais. Įvedu taisyklę:
Norėdami išreikšti dešimtainį skaičių procentais, padauginkite jį iš 100 ir pridėkite % ženklą.
Pateikiu pavyzdį kompiuteryje 0,5 100 = 50 arba 0,5 = 50%.
4. Paaiškinimo pabaigoje duodu vaikinams namų darbai, kuris taip pat rodomas kompiuterio monitoriuje: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Kad vaikinai šiek tiek pailsėtų, užtvirtintume temą, kartu su Komposha darome matematinį kūno kultūros užsiėmimą. Visi atsistoja, aš parodau klasei išspręstus pavyzdžius ir jie turi atsakyti, ar pavyzdys buvo išspręstas teisingai, ar ne. Jei pavyzdys išspręstas teisingai, jie pakelia rankas virš galvų ir ploja delnais. Jei pavyzdys neišspręstas teisingai, vaikinai ištiesia rankas į šonus ir minko pirštus.
6. O dabar šiek tiek pailsi, gali spręsti užduotis. Atidarykite savo vadovėlį į 205 puslapį, № 1029. šioje užduotyje reikia apskaičiuoti išraiškų reikšmę:
Kompiuteryje pasirodo užduotys. Jas išsprendus, atsiranda paveikslėlis su valties atvaizdu, kuris, pilnai surinktas, išplaukia.
Sprendžiant šią užduotį kompiuteryje, raketa palaipsniui vystosi, išsprendus paskutinį pavyzdį raketa nuskrenda. Mokytojas pateikia šiek tiek informacijos mokiniams: erdvėlaivių. Netoli Baikonūro, Kazachstanas stato savo naują Baiterek kosmodromą.
Kiek toli automobilis nuvažiuos per 4 valandas, jei automobilio greitis yra 74,8 km/val.
Dovanų kuponas Nežinote ką padovanoti savo antrajai pusei, draugams, darbuotojams, artimiesiems? Pasinaudokite mūsų specialiu pasiūlymu: „Blue Osoka Country Hotel dovanų kuponas“. Sertifikatas […]
Kita operacija, kurią galima atlikti su paprastosiomis trupmenomis, yra daugyba. Bandysime paaiškinti pagrindines jo taisykles spręsdami uždavinius, parodysime, kaip paprastoji trupmena dauginama iš natūraliojo skaičiaus ir kaip teisingai padauginti tris ar daugiau paprastųjų trupmenų.
Pirmiausia užsirašykime pagrindinę taisyklę:
1 apibrėžimas
Jei padauginsime vieną paprastąją trupmeną, tai gautos trupmenos skaitiklis bus lygus pradinių trupmenų skaitiklių sandaugai, o vardiklis – jų vardikų sandaugai. Tiesiogine forma dviem trupmenoms a / b ir c / d tai gali būti išreikšta kaip a b · c d = a · c b · d.
Pažvelkime į pavyzdį, kaip teisingai taikyti šią taisyklę. Tarkime, kad turime kvadratą, kurio kraštinė lygi vienam skaitiniam vienetui. Tada figūros plotas bus 1 kvadratas. vienetas. Jei kvadratą padalinsime į lygius stačiakampius, kurių kraštinės lygios skaitinio vieneto 1 4 ir 1 8, gausime, kad dabar jis susideda iš 32 stačiakampių (nes 8 4 = 32). Atitinkamai, kiekvieno iš jų plotas bus lygus 1 32 visos figūros ploto, t.y. 132 kv. vienetų.
Turime nuspalvintą fragmentą, kurio kraštinės yra lygios 5 8 skaitiniams vienetams ir 3 4 skaitiniams vienetams. Atitinkamai, norint apskaičiuoti jo plotą, pirmąją dalį reikia padauginti iš antrosios. Jis bus lygus 5 8 3 4 kvadratiniams metrams. vienetų. Bet galime tiesiog suskaičiuoti, kiek stačiakampių įtraukta į fragmentą: jų yra 15, o tai reiškia, kad bendras plotas yra 1532 kvadratiniai vienetai.
Kadangi 5 3 = 15 ir 8 4 = 32, galime parašyti tokią lygtį:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Tai patvirtina mūsų suformuluotą paprastųjų trupmenų dauginimo taisyklę, kuri išreiškiama kaip a b · c d = a · c b · d. Jis veikia vienodai tinkamas ir netinkamas trupmenas; Jis gali būti naudojamas trupmenoms su skirtingais ir tais pačiais vardikliais padauginti.
Išanalizuokime kelių paprastųjų trupmenų daugybos uždavinių sprendimus.
1 pavyzdys
Padauginkite 7 11 iš 9 8 .
Sprendimas
Pirmiausia apskaičiuojame nurodytų trupmenų skaitiklių sandaugą, padaugindami 7 iš 9. Turime 63. Tada apskaičiuojame vardiklių sandaugą ir gauname: 11 8 = 88 . Sudarykime atsakymą iš dviejų skaičių: 63 88.
Visą sprendimą galima parašyti taip:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Atsakymas: 7 11 9 8 = 63 88 .
Jei atsakyme gavome redukuojamą trupmeną, turime užbaigti skaičiavimą ir atlikti jo sumažinimą. Jei gauname netinkamą trupmeną, turime iš jos atrinkti visą dalį.
2 pavyzdys
Apskaičiuokite trupmenų sandaugą 4 15 ir 55 6 .
Sprendimas
Pagal aukščiau išnagrinėtą taisyklę turime padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį iš vardiklio. Sprendimo įrašas atrodys taip:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Gavome sumažintą frakciją, t.y. tas, kuris turi dalijimosi iš 10 ženklą.
Sumažinkime trupmeną: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. Dėl to gavome netinkamą trupmeną, iš kurios pasirenkame visą dalį ir gauname mišrų skaičių: 22 9 \u003d 2 4 9.
Atsakymas: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Skaičiavimo patogumui taip pat galime sumažinti pradines trupmenas prieš atlikdami daugybos operaciją, kuriai reikia trupmeną sumažinti iki formos a · c b · d. Kintamųjų reikšmes išskaidome į paprastus veiksnius ir tuos pačius atšaukiame.
Paaiškinkime, kaip tai atrodo, naudodami konkrečios problemos duomenis.
3 pavyzdys
Apskaičiuokite sandaugą 4 15 55 6 .
Sprendimas
Parašykime skaičiavimus pagal daugybos taisyklę. Mes galėsime:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Kadangi 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 ir 6 = 2 3 , tada 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Atsakymas: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Skaitinė išraiška, kuriame vyksta paprastųjų trupmenų dauginimas, turi komutacinę savybę, tai yra, jei reikia, galime pakeisti veiksnių eilę:
a b c d = c d a b = a c b d
Kaip padauginti trupmeną iš natūraliojo skaičiaus
Iš karto užsirašykime pagrindinę taisyklę, o tada pabandykime tai paaiškinti praktiškai.
2 apibrėžimas
Norėdami padauginti paprastąją trupmeną iš natūraliojo skaičiaus, šios trupmenos skaitiklį turite padauginti iš šio skaičiaus. Šiuo atveju galutinės trupmenos vardiklis bus lygus pradinės paprastosios trupmenos vardikliui. Kai kurios trupmenos a b padauginimas iš natūraliojo skaičiaus n gali būti parašytas kaip formulė a b · n = a · n b .
Šią formulę nesunku suprasti, jei atsimenate, kad bet kuris natūralusis skaičius gali būti pavaizduotas kaip įprasta trupmena, kurios vardiklis lygus vienetui, tai yra:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Paaiškinkime savo idėją konkrečiais pavyzdžiais.
4 pavyzdys
Apskaičiuokite sandaugą iš 2 27 iš 5 .
Sprendimas
Pradinės trupmenos skaitiklį padauginę iš antrojo koeficiento, gauname 10. Pagal aukščiau pateiktą taisyklę gausime 10 27. Visas sprendimas pateiktas šiame įraše:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Atsakymas: 2 27 5 = 10 27
Kai dauginame natūralųjį skaičių iš bendrosios trupmenos, dažnai turime sumažinti rezultatą arba pateikti jį kaip mišrų skaičių.
5 pavyzdys
Sąlyga: Apskaičiuokite sandaugą iš 8 kartų 5 12 .
Sprendimas
Pagal aukščiau pateiktą taisyklę natūralųjį skaičių padauginame iš skaitiklio. Dėl to gauname, kad 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Galutinė trupmena turi dalijimosi iš 2 ženklų, todėl turime ją sumažinti:
LCM (40, 12) \u003d 4, taigi 40 12 \u003d 40:4 12:4 \u003d 10 3
Dabar tereikia pasirinkti sveikąją dalį ir užrašyti baigtą atsakymą: 10 3 = 3 1 3.
Šiame įraše galite pamatyti visą sprendimą: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Taip pat galėtume sumažinti trupmeną, suskirstydami skaitiklį ir vardiklį į pirminius veiksnius, ir rezultatas būtų visiškai toks pat.
Atsakymas: 5 12 8 = 3 1 3 .
Skaitinė išraiška, kurioje natūralusis skaičius padauginamas iš trupmenos, taip pat turi poslinkio savybę, tai yra, veiksnių tvarka neturi įtakos rezultatui:
a b n = n a b = a n b
Kaip padauginti tris ar daugiau bendrųjų trupmenų
Paprastųjų trupmenų dauginimui galime išplėsti tas pačias savybes, kurios būdingos natūraliųjų skaičių daugybai. Tai išplaukia iš paties šių sąvokų apibrėžimo.
Dėl žinių apie asociatyvines ir komutacines savybes galima padauginti tris ar daugiau paprastųjų trupmenų. Leidžiama perstatyti veiksnius į vietas, kad būtų patogiau arba išdėstyti skliaustus taip, kad būtų lengviau skaičiuoti.
Parodykime pavyzdį, kaip tai daroma.
6 pavyzdys
Padauginkite keturias bendrąsias trupmenas iš 1 20 , 12 5 , 3 7 ir 5 8 .
Sprendimas: Pirma, įrašykime darbą. Gauname 1 20 12 5 3 7 5 8 . Turime padauginti visus skaitiklius ir visus vardiklius kartu: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Prieš pradėdami dauginti, galime šiek tiek palengvinti sau ir kai kuriuos skaičius išskaidyti į pirminius veiksnius, kad būtų galima toliau mažinti. Tai bus lengviau nei sumažinti gatavą frakciją.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Atsakymas: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
7 pavyzdys
Padauginkite 5 skaičius 7 8 12 8 5 36 10 .
Sprendimas
Kad būtų patogiau, trupmeną 78 galime sugrupuoti su skaičiumi 8 ir skaičių 12 su trupmena 536, nes taip būsimos santrumpos mums bus aiškios. Dėl to gausime:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 = 5 3 10 116 2 3
Atsakymas: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter
§ 87. Trupmenų sudėjimas.
Trupmenų pridėjimas turi daug panašumų su sveikųjų skaičių pridėjimu. Trupmenų sudėjimas yra veiksmas, susidedantis iš to, kad keli nurodyti skaičiai (dėmenys) sujungiami į vieną skaičių (sumą), kuriame yra visi terminų vienetų vienetai ir trupmenos.
Mes iš eilės nagrinėsime tris atvejus:
1. Trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
3. Mišrių skaičių pridėjimas.
1. Trupmenų su tais pačiais vardikliais sudėjimas.
Apsvarstykite pavyzdį: 1/5 + 2/5 .
Paimkite atkarpą AB (17 pav.), paimkite kaip vienetą ir padalinkite į 5 lygias dalis, tada šio atkarpos dalis AC bus lygi 1/5 atkarpos AB, o to paties atkarpos CD dalis. bus lygus 2/5 AB.
Iš brėžinio matyti, kad jei imsime atkarpą AD, tai ji bus lygi 3/5 AB; bet segmentas AD yra būtent atkarpų AC ir CD suma. Taigi, galime rašyti:
1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5
Įvertinus šiuos terminus ir gautą sumą, matome, kad sumos skaitiklis gautas sudėjus terminų skaitiklius, o vardiklis liko nepakitęs.
Iš to gauname tokią taisyklę: Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius ir palikti tą patį vardiklį.
Apsvarstykite pavyzdį:
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas.
Sudėkime trupmenas: 3/4 + 3/8 Pirmiausia jas reikia sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio:
Tarpinė nuoroda 6/8 + 3/8 negalėjo būti parašyta; mes tai parašėme čia, kad būtų aiškiau.
Taigi, norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas perkelti į mažiausią bendrą vardiklį, pridėti jų skaitiklius ir pasirašyti bendrąjį vardiklį.
Apsvarstykite pavyzdį (virš atitinkamų trupmenų parašysime papildomus veiksnius):
3. Mišrių skaičių pridėjimas.
Sudėkime skaičius: 2 3 / 8 + 3 5 / 6.
Pirmiausia suveskime savo skaičių trupmenines dalis į bendrą vardiklį ir dar kartą perrašykime:
Dabar iš eilės pridėkite sveikąsias ir trupmenines dalis:
§ 88. Trupmenų atėmimas.
Trupmenų atėmimas apibrėžiamas taip pat, kaip sveikųjų skaičių atėmimas. Tai veiksmas, kuriuo, atsižvelgiant į dviejų ir vieno iš jų sumą, randamas kitas terminas. Iš eilės panagrinėkime tris atvejus:
1. Trupmenų su vienodais vardikliais atėmimas.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.
1. Trupmenų su vienodais vardikliais atėmimas.
Apsvarstykite pavyzdį:
13 / 15 - 4 / 15
Paimkime atkarpą AB (18 pav.), imkime kaip vienetą ir padalinkime į 15 lygių dalių; tada šio segmento AC dalis bus 1/15 AB, o to paties atkarpos AD dalis atitiks 13/15 AB. Atidėkime kitą atkarpą ED, lygią 4/15 AB.
Turime atimti 4/15 iš 13/15. Brėžinyje tai reiškia, kad atkarpa ED turi būti atimta iš atkarpos AD. Dėl to išliks segmentas AE, kuris sudaro 9/15 segmento AB. Taigi galime parašyti:
Mūsų pateiktame pavyzdyje matyti, kad skirtumo skaitiklis gautas atėmus skaitiklius, o vardiklis liko toks pat.
Todėl, norint atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, reikia atimti mažmeninės dalies skaitiklį iš mažmeninės dalies skaitiklio ir palikti tą patį vardiklį.
2. Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.
Pavyzdys. 3/4 - 5/8
Pirmiausia sumažinkime šias trupmenas iki mažiausio bendro vardiklio:
Aiškumo dėlei čia parašyta tarpinė nuoroda 6 / 8 - 5 / 8, tačiau ateityje ją galima praleisti.
Taigi, norėdami iš trupmenos atimti trupmeną, pirmiausia turite juos suvesti iki mažiausio bendro vardiklio, tada iš mažiausios dalies skaitiklio atimti poskyrio skaitiklį ir pasirašyti bendrąjį vardiklį pagal jų skirtumą.
Apsvarstykite pavyzdį:
3. Mišriųjų skaičių atėmimas.
Pavyzdys. 10 3/4 - 7 2/3.
Mažiausio bendro vardiklio trupmenines minuend ir subtrahend dalis prikelkime:
Iš visumos atėmėme visumą, o iš trupmenos – trupmeną. Tačiau yra atvejų, kai trupmeninė poskyrio dalis yra didesnė už trupmeninę minuend dalį. Tokiais atvejais reikia paimti vieną vienetą iš sveikosios redukcinės dalies, padalyti į tas dalis, kuriose išreikšta trupmeninė dalis, ir pridėti prie mažosios dalies. Tada atimimas bus atliktas taip pat, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:
§ 89. Trupmenų daugyba.
Tirdami trupmenų dauginimą, apsvarstysime šiuos klausimus:
1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas.
3. Sveikojo skaičiaus dauginimas iš trupmenos.
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos.
5. Mišrių skaičių daugyba.
6. Susidomėjimo samprata.
7. Duoto skaičiaus procentų radimas. Panagrinėkime juos paeiliui.
1. Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus.
Trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus turi tą pačią reikšmę kaip ir sveikojo skaičiaus padauginimas iš sveikojo skaičiaus. Trupmenos (daugiklio) padauginimas iš sveikojo skaičiaus (daugiklio) reiškia identiškų narių sumos sudarymą, kai kiekvienas narys yra lygus daugikliui, o narių skaičius lygus daugikliui.
Taigi, jei jums reikia padauginti 1/9 iš 7, tai galima padaryti taip:
Rezultatą gavome nesunkiai, nes veiksmas buvo sumažintas iki trupmenų su tais pačiais vardikliais pridėjimo. Vadinasi,
Atsižvelgus į šį veiksmą, matyti, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus prilygsta šios trupmenos padidinimui tiek kartų, kiek sveikajame skaičiuje yra vienetų. Ir kadangi trupmenos padidėjimas pasiekiamas arba padidinus jos skaitiklį
arba sumažinant jo vardiklį 
, tada galime arba padauginti skaitiklį iš sveikojo skaičiaus, arba padalyti iš jo vardiklį, jei toks padalijimas įmanomas.
Iš čia gauname taisyklę:
Norėdami padauginti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, turite padauginti skaitiklį iš šio sveikojo skaičiaus ir vardiklį palikti tą patį arba, jei įmanoma, padalyti vardiklį iš šio skaičiaus, palikdami skaitiklį nepakeistą.
Dauginant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
2. Duoto skaičiaus trupmenos radimas. Yra daug problemų, kai reikia rasti arba apskaičiuoti tam tikro skaičiaus dalį. Skirtumas tarp šių užduočių ir kitų yra tas, kad jose nurodomas kai kurių objektų skaičius arba matavimo vienetai ir reikia rasti šio skaičiaus dalį, kuri čia taip pat nurodoma tam tikra trupmena. Kad būtų lengviau suprasti, pirmiausia pateiksime tokių problemų pavyzdžių, o tada supažindinsime su jų sprendimo būdu.
1 užduotis. Aš turėjau 60 rublių; 1/3 šių pinigų išleidau knygoms pirkti. Kiek kainavo knygos?
2 užduotis. Traukinys turi įveikti atstumą tarp miestų A ir B, lygų 300 km. Jis jau įveikė 2/3 tos distancijos. Kiek tai kilometrų?
3 užduotis. Kaime yra 400 namų, 3/4 jų mūriniai, likusieji mediniai. Kiek yra mūrinių namų?
Štai keletas iš daugelio problemų, kurias turime išspręsti norėdami rasti tam tikro skaičiaus dalį. Paprastai jie vadinami tam tikro skaičiaus trupmenos radimo problemomis.
1 problemos sprendimas. Nuo 60 rublių. 1/3 išleidau knygoms; Taigi, norėdami sužinoti knygų kainą, skaičių 60 turite padalyti iš 3:
2 problemos sprendimas. Problemos prasmė ta, kad reikia rasti 2/3 iš 300 km. Apskaičiuokite pirmą 1/3 iš 300; tai pasiekiama 300 km padalijus iš 3:
300: 3 = 100 (tai yra 1/3 iš 300).
Norėdami rasti du trečdalius iš 300, turite padvigubinti gautą koeficientą, ty padauginti iš 2:
100 x 2 = 200 (tai yra 2/3 iš 300).
3 uždavinio sprendimas.Čia reikia nustatyti mūrinių namų skaičių, kuris yra 3/4 iš 400. Pirmiausia suraskime 1/4 iš 400,
400: 4 = 100 (tai yra 1/4 iš 400).
Suskaičiuoti trys ketvirtadaliai nuo 400 gautas koeficientas turi būti patrigubinamas, ty padauginamas iš 3:
100 x 3 = 300 (tai yra 3/4 iš 400).
Remdamiesi šių problemų sprendimu, galime išvesti tokią taisyklę:
Norėdami rasti tam tikro skaičiaus trupmenos reikšmę, turite padalyti šį skaičių iš trupmenos vardiklio ir gautą koeficientą padauginti iš jo skaitiklio.
3. Sveikojo skaičiaus dauginimas iš trupmenos.
Anksčiau (§ 26) buvo nustatyta, kad sveikųjų skaičių daugyba turėtų būti suprantama kaip identiškų terminų pridėjimas (5 x 4 \u003d 5 + 5 + 5 + 5 \u003d 20). Šioje pastraipoje (1 pastraipa) nustatyta, kad trupmenos padauginimas iš sveikojo skaičiaus reiškia, kad reikia rasti identiškų narių sumą, lygią šiai trupmenai.
Abiem atvejais dauginant buvo rasta identiškų terminų suma.
Dabar pereiname prie sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos. Čia susidursime su tokiu, pavyzdžiui, dauginimu: 9 2/3. Visiškai akivaizdu, kad ankstesnis daugybos apibrėžimas šiuo atveju negalioja. Tai akivaizdu iš to, kad tokio daugybos negalime pakeisti pridėdami vienodus skaičius.
Dėl to turėsime pateikti naują daugybos apibrėžimą, t.y., kitaip tariant, atsakyti į klausimą, ką reikėtų suprasti dauginant iš trupmenos, kaip suprasti šį veiksmą.
Sveikojo skaičiaus padauginimo iš trupmenos prasmė yra aiški iš šio apibrėžimo: sveikąjį skaičių (daugiklį) padauginti iš trupmenos (daugiklio) reiškia rasti šią daugiklio trupmeną.
Būtent, padauginti 9 iš 2/3 reiškia rasti 2/3 iš devynių vienetų. Ankstesnėje pastraipoje tokios problemos buvo išspręstos; todėl nesunku suprasti, kad baigiame 6.
Tačiau dabar yra įdomus ir svarbus klausimas: kodėl tokie iš pažiūros skirtingi veiksmai kaip sumos radimas lygiais skaičiais ir rasti skaičiaus trupmeną, aritmetikoje vadinami tuo pačiu žodžiu "daugyba"?
Taip atsitinka todėl, kad ankstesnis veiksmas (skaičiaus su terminais kartojimas kelis kartus) ir naujas veiksmas (skaičiaus trupmenos radimas) duoda atsakymą į vienarūšius klausimus. Tai reiškia, kad čia mes vadovaujamės samprotavimais, kad vienarūšiai klausimai ar uždaviniai išsprendžiami vienu ir tuo pačiu veiksmu.
Norėdami tai suprasti, apsvarstykite šią problemą: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 4 m tokio audinio?
Ši problema išspręsta padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (4), ty 50 x 4 = 200 (rublių).
Paimkime tą pačią problemą, bet joje audinio kiekis bus išreikštas trupmeniniu skaičiumi: „1 m audinio kainuoja 50 rublių. Kiek kainuos 3/4 m tokio audinio?
Šią problemą taip pat reikia išspręsti padauginus rublių skaičių (50) iš metrų (3/4).
Taip pat galite keletą kartų pakeisti jame esančius skaičius nekeisdami uždavinio reikšmės, pavyzdžiui, paimkite 9/10 m arba 2 3/10 m ir pan.
Kadangi šios problemos yra vienodo turinio ir skiriasi tik skaičiais, jas sprendžiant naudojamus veiksmus vadiname tuo pačiu žodžiu – daugyba.
Kaip sveikasis skaičius padauginamas iš trupmenos?
Paimkime skaičius, su kuriais susiduriama paskutinėje užduotyje:
Pagal apibrėžimą turime rasti 3/4 iš 50. Pirmiausia randame 1/4 iš 50, o paskui 3/4.
1/4 iš 50 yra 50/4;
3/4 iš 50 yra.
Vadinasi.
Apsvarstykite kitą pavyzdį: 12 5 / 8 = ?
1/8 iš 12 yra 12/8,
5/8 skaičiaus 12 yra .
Vadinasi,
Iš čia gauname taisyklę:
Norėdami padauginti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti sveikąjį skaičių iš trupmenos skaitiklio ir padaryti šį sandaugą skaitikliu, o vardikliu pažymėti nurodytos trupmenos vardiklį.
Šią taisyklę rašome raidėmis:
Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus dauginimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38
Reikia atsiminti, kad prieš atlikdami daugybą, turėtumėte padaryti (jei įmanoma) pjūviai, pavyzdžiui:
4. Trupmenos dauginimas iš trupmenos. Trupmenos dauginimas iš trupmenos turi tą pačią reikšmę kaip sveikojo skaičiaus padauginimas iš trupmenos, tai yra, dauginant trupmeną iš trupmenos, daugikliu reikia rasti trupmeną nuo pirmosios trupmenos (daugiklio).
Būtent, padauginti 3/4 iš 1/2 (pusės), reiškia rasti pusę 3/4.
Kaip padauginti trupmeną iš trupmenos?
Paimkime pavyzdį: 3/4 karto 5/7. Tai reiškia, kad reikia rasti 5/7 iš 3/4. Pirmiausia raskite 1/7 iš 3/4, o paskui 5/7
1/7 iš 3/4 būtų išreikšta taip:
5/7 skaičiai 3/4 bus išreikšti taip:
Šiuo būdu,
Kitas pavyzdys: 5/8 karto 4/9.
1/9 iš 5/8 yra ,
4/9 skaičiai 5/8 yra .
Šiuo būdu, 
Iš šių pavyzdžių galima padaryti tokią taisyklę:
Norėdami padauginti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti skaitiklį iš skaitiklio, o vardiklį iš vardiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu, o antrąjį sandaugą - sandaugos vardikliu.
Šią taisyklę apskritai galima parašyti taip:
Dauginant, būtina (jei įmanoma) sumažinti. Apsvarstykite pavyzdžius:
5. Mišrių skaičių daugyba. Kadangi mišrūs skaičiai gali būti lengvai pakeisti netinkamomis trupmenomis, ši aplinkybė dažniausiai naudojama dauginant mišrius skaičius. Tai reiškia, kad tais atvejais, kai daugiklis, daugiklis arba abu veiksniai išreiškiami mišriais skaičiais, jie pakeičiami netinkamomis trupmenomis. Padauginkite, pavyzdžiui, mišrius skaičius: 2 1/2 ir 3 1/5. Kiekvieną iš jų paverčiame netinkama trupmena ir gautas trupmenas padauginsime pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę:
Taisyklė. Norėdami padauginti mišrius skaičius, pirmiausia turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas, o tada padauginti pagal trupmenos dauginimo iš trupmenos taisyklę.
Pastaba. Jei vienas iš veiksnių yra sveikasis skaičius, tada daugyba gali būti atliekama pagal paskirstymo dėsnį taip:
6. Susidomėjimo samprata. Spręsdami uždavinius ir atlikdami įvairius praktinius skaičiavimus, naudojame visokias trupmenas. Tačiau reikia nepamiršti, kad daugelis kiekių jiems suteikia ne bet kokius, o natūralius poskyrius. Pavyzdžiui, galite paimti vieną šimtąją (1/100) rublio dalį, tai bus centas, dvi šimtosios yra 2 kapeikos, trys šimtosios yra 3 kapeikos. Galite paimti 1/10 rublio, tai bus "10 kapeikų arba centas. Galite paimti ketvirtadalį rublio, t.y. 25 kapeikas, pusę rublio, t.y. 50 kapeikų (penkiasdešimt kapeikų). Bet jie praktiškai nedaro. Neimkite, pavyzdžiui, 2/7 rublių, nes rublis nėra padalintas į septintąsias dalis.
Svorio matavimo vienetas, t.y., kilogramas, leidžia visų pirma dalyti po kablelio dešimtainę dalį, pavyzdžiui, 1/10 kg arba 100 g. Ir tokias kilogramo dalis kaip 1/6, 1/11, 1/ 13 yra nedažni.
Paprastai mūsų (metriniai) matai yra dešimtainiai ir leidžia dalyti po kablelio.
Tačiau reikia pastebėti, kad itin naudinga ir patogu pačiais įvairiausiais atvejais naudoti tą patį (vienodą) kiekių padalijimo būdą. Ilgametė patirtis parodė, kad toks gerai pagrįstas padalijimas yra „šimtosios“ dalybos. Panagrinėkime keletą pavyzdžių, susijusių su pačiomis įvairiausiomis žmogaus praktikos sritimis.
1. Knygų kaina sumažėjo 12/100 ankstesnės kainos.
Pavyzdys. Ankstesnė knygos kaina – 10 rublių. Ji sumažėjo 1 rubliu. 20 kop.
2. Taupomosios kasos per metus indėlininkams išmoka 2/100 sumos, kuri dedama į santaupas.
Pavyzdys. Į kasą įdedama 500 rublių, pajamos iš šios sumos per metus yra 10 rublių.
3. Vieną mokyklą baigė 5/100 visų mokinių.
PAVYZDYS Mokykloje mokėsi tik 1200 mokinių, iš jų 60 baigė mokyklą.
Skaičiaus šimtoji dalis vadinama procentais..
Žodis „procentas“ yra pasiskolintas iš lotynų kalba o jo šaknis „centas“ reiškia šimtą. Kartu su prielinksniu (pro centum) šis žodis reiškia „už šimtą“. Šio posakio reikšmė išplaukia iš to, kad iš pradžių m senovės Roma palūkanos buvo pinigai, kuriuos skolininkas mokėjo skolintojui „už kiekvieną šimtą“. Žodis „centas“ girdimas tokiais pažįstamais žodžiais: centneris (šimtas kilogramų), centimetras (sakoma centimetras).
Pavyzdžiui, užuot sakę, kad gamykla pagamino 1/100 visos per pastarąjį mėnesį pagamintos produkcijos, pasakysime taip: per pastarąjį mėnesį gamykla pagamino vieną procentą atliekų. Užuot sakę: gamykla pagamino 4/100 produkcijos daugiau nei numatytas planas, sakysime: gamykla planą viršijo 4 procentais.
Aukščiau pateikti pavyzdžiai gali būti išreikšti skirtingai:
1. Knygų kaina sumažėjo 12 procentų nuo ankstesnės kainos.
2. Taupomosios kasos indėlininkams moka 2 procentus per metus nuo į santaupas įdėtos sumos.
3. Vienos mokyklos absolventų skaičius sudarė 5 procentus visų mokyklos mokinių skaičiaus.
Norint sutrumpinti raidę, vietoj žodžio „procentas“ įprasta rašyti % ženklą.
Tačiau reikia atsiminti, kad skaičiuojant % ženklas dažniausiai nerašomas, jis gali būti rašomas problemos teiginyje ir galutiniame rezultate. Atliekant skaičiavimus, su šia piktograma reikia parašyti trupmeną, kurios vardiklis yra 100, o ne sveikasis skaičius.
Turite turėti galimybę pakeisti sveikąjį skaičių nurodyta piktograma trupmena, kurios vardiklis yra 100:
Ir atvirkščiai, reikia priprasti prie sveikojo skaičiaus rašymo su nurodyta piktograma, o ne trupmena, kurios vardiklis yra 100:
7. Duoto skaičiaus procentų radimas.
1 užduotis. Mokykla gavo 200 kub. m malkų, beržinėms malkoms tenka 30 proc. Kiek ten buvo beržo medienos?
Šios problemos prasmė ta, kad beržinės malkos buvo tik dalis malkų, kurios buvo pristatytos į mokyklą, ir ši dalis išreiškiama dalimi 30/100. Taigi, mes susiduriame su užduotimi rasti skaičiaus trupmeną. Norėdami ją išspręsti, turime padauginti 200 iš 30 / 100 (skaičiaus trupmenos radimo užduotys išsprendžiamos skaičių padauginus iš trupmenos.).
Taigi 30% iš 200 yra lygus 60.
Dalis 30 / 100, su kuria susiduriama šioje problemoje, gali būti sumažinta 10. Šį sumažinimą būtų galima atlikti nuo pat pradžių; problemos sprendimas nepasikeistų.
2 užduotis. Stovykloje buvo 300 įvairaus amžiaus vaikų. 11 metų vaikai – 21 proc., 12 metų vaikai – 61 proc., galiausiai 13 metų – 18 proc. Kiek kiekvieno amžiaus vaikų buvo stovykloje?
Šioje užduotyje turite atlikti tris skaičiavimus, tai yra, paeiliui rasti 11 metų, tada 12 metų ir galiausiai 13 metų vaikų skaičių.
Taigi, čia reikės tris kartus rasti skaičiaus trupmeną. Padarykime tai:
1) Kiek vaikų buvo 11 metų?
2) Kiek vaikų buvo 12 metų?
3) Kiek vaikų buvo 13 metų?
Išsprendus uždavinį, pravartu sudėti rastus skaičius; jų suma turėtų būti 300:
63 + 183 + 54 = 300
Taip pat turėtumėte atkreipti dėmesį į tai, kad problemos sąlygoje nurodytų procentų suma yra 100:
21% + 61% + 18% = 100%
Tai rodo, kad iš viso vaikų, kurie buvo stovykloje, buvo paimti 100 proc.
3 ir da cha 3. Darbininkas gaudavo 1200 rublių per mėnesį. Iš jų 65% jis išleido maistui, 6% butui ir šildymui, 4% dujoms, elektrai ir radijui, 10% kultūros reikmėms ir 15% taupė. Kiek pinigų buvo išleista užduotyje nurodytiems poreikiams?
Norint išspręsti šią problemą, reikia 5 kartus rasti trupmeną iš skaičiaus 1 200. Padarykime tai.
1) Kiek pinigų išleidžiama maistui? Užduotyje sakoma, kad šios išlaidos sudaro 65% visų uždarbių, t.y. 65/100 iš skaičiaus 1200. Paskaičiuokime:
2) Kiek sumokėta pinigų už butą su šildymu? Ginčydami kaip ir ankstesnį, gauname tokį skaičiavimą:
3) Kiek pinigų sumokėjote už dujas, elektrą ir radiją?
4) Kiek pinigų išleidžiama kultūros reikmėms?
5) Kiek pinigų darbuotojas sutaupė?
Patvirtinimui naudinga pridėti šiuose 5 klausimuose rastus skaičius. Suma turėtų būti 1200 rublių. Visas uždarbis laikomas 100%, o tai lengva patikrinti sudėjus problemos pareiškime nurodytus procentus.
Išsprendėme tris problemas. Nepaisant to, kad šios užduotys buvo apie skirtingus dalykus (malkų pristatymas mokyklai, įvairaus amžiaus vaikų skaičius, darbuotojo išlaidos), jos buvo sprendžiamos vienodai. Taip atsitiko todėl, kad visose užduotyse reikėjo rasti kelis procentus pateiktų skaičių.
§ 90. Trupmenų skirstymas.
Tirdami trupmenų padalijimą, apsvarstysime šiuos klausimus:
1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.
2. Trupmenos dalyba iš sveikojo skaičiaus
3. Sveikojo skaičiaus dalyba iš trupmenos.
4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
6. Skaičiaus su jo trupmena radimas.
7. Skaičiaus radimas procentais.
Panagrinėkime juos paeiliui.
1. Padalinkite sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus.
Kaip buvo nurodyta skyriuje apie sveikuosius skaičius, dalyba yra veiksmas, susidedantis iš to, kad, atsižvelgiant į dviejų veiksnių sandaugą (dividentas) ir vieną iš šių veiksnių (daliklį), randamas kitas veiksnys.
Sveikojo skaičiaus padalijimas iš sveikojo skaičiaus, kurį svarstėme sveikųjų skaičių skyriuje. Ten sutikome du padalijimo atvejus: padalijimą be likučio arba „visiškai“ (150: 10 = 15) ir padalijimą su likusia dalimi (100: 9 = 11 ir 1 likusioje dalyje). Todėl galime sakyti, kad sveikųjų skaičių srityje tikslus padalijimas ne visada įmanomas, nes dividendas ne visada yra daliklio ir sveikojo skaičiaus sandauga. Įvedus daugybą iš trupmenos, galime svarstyti bet kokį sveikųjų skaičių padalijimo atvejį (tik dalyba iš nulio neįtraukiama).
Pavyzdžiui, 7 dalijimas iš 12 reiškia, kad reikia rasti skaičių, kurio sandauga padauginus 12 būtų 7. Šis skaičius yra trupmena 7/12, nes 7/12 12 = 7. Kitas pavyzdys: 14:25 = 14/25, nes 14/25 25 = 14.
Taigi, norint padalyti sveikąjį skaičių iš sveikojo skaičiaus, reikia sudaryti trupmeną, kurios skaitiklis yra lygus dividendui, o vardiklis yra daliklis.
2. Trupmenos dalyba iš sveikojo skaičiaus.
Padalinkite trupmeną 6/7 iš 3. Pagal aukščiau pateiktą padalijimo apibrėžimą, čia gauname sandaugą (6/7) ir vieną iš faktorių (3); reikia rasti tokį antrąjį koeficientą, kurį padauginus iš 3 gauta sandauga būtų 6/7. Akivaizdu, kad jis turėtų būti tris kartus mažesnis nei šis produktas. Tai reiškia, kad mūsų užduotis buvo sumažinti trupmeną 6/7 3 kartus.
Jau žinome, kad trupmeną galima sumažinti sumažinant jos skaitiklį arba padidinant vardiklį. Todėl galite rašyti:
Šiuo atveju skaitiklis 6 dalijasi iš 3, todėl skaitiklis turėtų būti sumažintas 3 kartus.
Paimkime kitą pavyzdį: 5 / 8 padalintas iš 2. Čia skaitiklis 5 nesidalija iš 2, tai reiškia, kad vardiklį reikės padauginti iš šio skaičiaus:
Remdamiesi tuo, galime pasakyti taisyklę: Norėdami padalyti trupmeną iš sveikojo skaičiaus, turite padalyti trupmenos skaitiklį iš to sveikojo skaičiaus(jei įmanoma), paliekant tą patį vardiklį, arba padauginkite trupmenos vardiklį iš šio skaičiaus, palikdami tą patį skaitiklį.
3. Sveikojo skaičiaus dalyba iš trupmenos.
Tegul reikia padalyti 5 iš 1/2, t.y. rasti skaičių, kurį padauginus iš 1/2, sandauga būtų 5. Akivaizdu, kad šis skaičius turi būti didesnis nei 5, nes 1/2 yra tinkama trupmena, o dauginant skaičių iš tinkamos trupmenos sandauga turi būti mažesnė už daugiklį. Kad būtų aiškiau, parašykime savo veiksmus taip: 5: 1 / 2 = X , taigi x 1/2 \u003d 5.
Turime rasti tokį skaičių X , kurį padauginus iš 1/2 gautume 5. Kadangi padauginus tam tikrą skaičių iš 1/2, reikia rasti 1/2 šio skaičiaus, vadinasi, 1/2 nežinomo skaičiaus X yra 5 ir visas skaičius X dvigubai daugiau, t. y. 5 2 \u003d 10.
Taigi 5: 1/2 = 5 2 = 10
Patikrinkime: 
Panagrinėkime dar vieną pavyzdį. Tegul reikalaujama 6 padalyti iš 2/3. Pirmiausia pabandykime rasti norimą rezultatą, naudodami piešinį (19 pav.).
19 pav
Nubrėžkite atkarpą AB, lygią 6 kai kurių vienetų, ir kiekvieną vienetą padalinkite į 3 lygias dalis. Kiekviename vienete trys trečdaliai (3/3) visame segmente AB yra 6 kartus didesnis, t.y. e. 18/3. Mažų skliaustų pagalba sujungiame 18 gautų segmentų po 2; Bus tik 9 segmentai. Tai reiškia, kad trupmena 2/3 yra b vienetuose 9 kartus, arba, kitaip tariant, trupmena 2/3 yra 9 kartus mažesnė už 6 sveikųjų skaičių vienetus. Vadinasi,
Kaip gauti šį rezultatą be brėžinio naudojant tik skaičiavimus? Ginčysime taip: reikia padalyti 6 iš 2/3, t.y., reikia atsakyti į klausimą, kiek kartų 6 yra 2/3. Pirmiausia išsiaiškinkime: kiek kartų yra 1/3 yra 6? Visame vienete - 3 trečdaliai, o 6 vienetuose - 6 kartus daugiau, t.y. 18 trečdalių; Norėdami rasti šį skaičių, turime padauginti 6 iš 3. Vadinasi, 1/3 yra b vienetuose 18 kartų, o 2/3 yra b ne 18 kartų, o perpus tiek kartų, ty 18: 2 = 9. Todėl dalydami 6 iš 2/3 padarėme taip:
Iš čia gauname sveikojo skaičiaus dalijimo iš trupmenos taisyklę. Norėdami padalyti sveikąjį skaičių iš trupmenos, turite padauginti šį sveikąjį skaičių iš nurodytos trupmenos vardiklio ir, padarydami šį sandaugą skaitikliu, padalykite jį iš nurodytos trupmenos skaitiklio.
Taisyklę rašome raidėmis:
Kad ši taisyklė būtų visiškai aiški, reikia atsiminti, kad trupmeną galima laikyti koeficientu. Todėl naudinga rastą taisyklę palyginti su skaičiaus padalijimo iš koeficiento taisykle, kuri buvo išdėstyta § 38. Atkreipkite dėmesį, kad ten buvo gauta ta pati formulė.
Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
4. Trupmenos dalijimas iš trupmenos.
Tegul reikalaujama padalinti 3/4 iš 3/8. Kas žymės skaičių, kuris bus gautas padalijus? Jis atsakys į klausimą, kiek kartų trupmena 3/8 yra trupmenoje 3/4. Norėdami suprasti šią problemą, padarykite brėžinį (20 pav.).
Paimkite atkarpą AB, paimkite kaip vienetą, padalinkite į 4 lygias dalis ir pažymėkite 3 tokias dalis. Segmentas AC bus lygus 3/4 segmento AB. Dabar kiekvieną iš keturių pradinių atkarpų padalinkime per pusę, tada atkarpa AB bus padalinta į 8 lygias dalis ir kiekviena tokia dalis bus lygi 1/8 atkarpos AB. 3 tokius segmentus sujungiame lankais, tada kiekvienas iš AD ir DC segmentų bus lygus 3/8 atkarpos AB. Brėžinyje parodyta, kad atkarpa, lygi 3/8, lygiai 2 kartus yra lygiai 3/4 atkarpoje; Taigi padalijimo rezultatą galima parašyti taip:
3 / 4: 3 / 8 = 2
Panagrinėkime dar vieną pavyzdį. Tegul reikia padalyti 15/16 iš 3/32:
Galime samprotauti taip: turime rasti skaičių, kurį padauginus iš 3/32 gautume sandaugą, lygią 15/16. Parašykime skaičiavimus taip:
15 / 16: 3 / 32 = X
3 / 32 X = 15 / 16
3/32 nežinomas numeris X makiažas 15/16
1/32 nežinomas numeris X yra ,
32/32 skaičiai X makiažas .
Vadinasi,
Taigi, norėdami padalyti trupmeną iš trupmenos, turite padauginti pirmosios trupmenos skaitiklį iš antrosios vardiklio, o pirmosios trupmenos vardiklį padauginti iš antrosios trupmenos skaitiklio ir padaryti pirmąjį sandaugą skaitikliu ir antrasis vardiklis.
Parašykime taisyklę raidėmis:
Skirstant galimos santrumpos, pavyzdžiui:
5. Mišriųjų skaičių dalyba.
Dalijant mišrius skaičius, pirmiausia juos reikia paversti netinkamosiomis trupmenomis, o tada gautas trupmenas padalinti pagal trupmeninių skaičių padalijimo taisykles. Apsvarstykite pavyzdį:
Konvertuoti mišrius skaičius į netinkamas trupmenas:
Dabar padalinkime:
Taigi, norėdami padalyti mišrius skaičius, turite juos konvertuoti į netinkamas trupmenas ir tada padalinti pagal trupmenų padalijimo taisyklę.
6. Skaičiaus su jo trupmena radimas.
Tarp įvairios užduotys trupmenose kartais yra tokių, kuriose nurodoma kokios nors nežinomo skaičiaus trupmenos reikšmė ir reikia rasti šį skaičių. Šio tipo uždaviniai bus atvirkščiai nei duoto skaičiaus trupmenos radimo problema; ten buvo duotas skaičius ir reikėjo rasti tam tikrą šio skaičiaus trupmeną, čia pateikiama skaičiaus trupmena ir reikia rasti patį šį skaičių. Ši mintis taps dar aiškesnė, jei pažvelgsime į tokio tipo problemų sprendimą.
1 užduotis. Pirmą dieną stiklintojai įstiklino 50 langų, tai yra 1/3 visų pastatyto namo langų. Kiek langų yra šiame name?
Sprendimas. Problema sako, kad 50 įstiklintų langų sudaro 1/3 visų namo langų, vadinasi, iš viso yra 3 kartus daugiau langų, t.y.
Namas turėjo 150 langų.
2 užduotis. Parduotuvėje buvo parduota 1500 kg miltų, tai yra 3/8 visos parduotuvės miltų atsargų. Koks buvo pradinis miltų tiekimas parduotuvėje?
Sprendimas. Iš problemos būklės matyti, kad parduoti 1500 kg miltų sudaro 3/8 visų atsargų; tai reiškia, kad 1/8 šios atsargos bus 3 kartus mažesnės, t.y. norint ją apskaičiuoti, reikia 1500 sumažinti 3 kartus:
1500: 3 = 500 (tai yra 1/8 akcijų).
Akivaizdu, kad visa atsarga bus 8 kartus didesnė. Vadinasi,
500 8 \u003d 4000 (kg).
Pradinė miltų atsarga parduotuvėje buvo 4000 kg.
Apsvarsčius šią problemą, galima išvesti tokią taisyklę.
Norint rasti skaičių pagal tam tikrą jo trupmenos reikšmę, pakanka šią reikšmę padalyti iš trupmenos skaitiklio ir rezultatą padauginti iš trupmenos vardiklio.
Išsprendėme dvi problemas, kaip rasti skaičių, atsižvelgiant į jo trupmeną. Tokios problemos, kaip ypač gerai matyti iš paskutiniojo, sprendžiamos dviem veiksmais: dalyba (kai randama viena dalis) ir daugyba (kai randamas visas skaičius).
Tačiau ištyrus trupmenų padalijimą, aukščiau pateiktos problemos gali būti išspręstos vienu veiksmu, būtent: padalijimas iš trupmenos.
Pavyzdžiui, paskutinę užduotį galima išspręsti vienu tokiu veiksmu:
Ateityje skaičių rasti pagal trupmeną išspręsime vienu veiksmu – padalijimu.
7. Skaičiaus radimas procentais.
Vykdydami šias užduotis turėsite rasti skaičių, žinodami kelis procentus šio skaičiaus.
1 užduotis. Pradžioje šie metai Iš taupyklos gavau 60 rublių. pajamų iš sumos, kurią prieš metus įdėjau į santaupas. Kiek pinigų įdėjau į taupomąją kasą? (Kasos indėlininkams suteikia 2% pajamų per metus.)
Problemos esmė ta, kad tam tikrą pinigų sumą įdėjau į taupyklę ir ten gulėjau metus. Po metų iš jos gavau 60 rublių. pajamų, tai yra 2/100 mano įdėtų pinigų. Kiek pinigų įnešiau?
Todėl žinant šių pinigų dalį, išreikštą dviem būdais (rubliais ir trupmenomis), turime rasti visą, dar nežinomą, sumą. Tai įprasta skaičiaus, atsižvelgiant į jo trupmeną, radimo problema. Šios užduotys sprendžiamos padalijimu:
Taigi į taupyklę buvo įdėta 3000 rublių.
2 užduotis. Per dvi savaites žvejai mėnesio planą įvykdė 64 proc., paruošę 512 tonų žuvies. Koks buvo jų planas?
Iš problemos būklės žinoma, kad dalį plano žvejai įvykdė. Ši dalis lygi 512 tonų, tai yra 64% plano. Kiek tonų žuvies reikia sugauti pagal planą, nežinome. Užduotis bus išspręsta ieškant šio skaičiaus.
Tokios užduotys išsprendžiamos dalijant:
Taigi pagal planą reikia paruošti 800 tonų žuvies.
3 užduotis. Traukinys išvyko iš Rygos į Maskvą. Kai jis pravažiavo 276-ąjį kilometrą, vienas iš keleivių pravažiuojančio konduktoriaus paklausė, kiek kelio jie jau nuvažiavo. Į tai dirigentas atsakė: „Mes jau įveikėme 30% visos kelionės“. Koks atstumas nuo Rygos iki Maskvos?
Iš problemos būklės matyti, kad 30% kelionės iš Rygos į Maskvą yra 276 km. Turime rasti visą atstumą tarp šių miestų, t. y. šiai daliai rasti visumą:
§ 91. Abipusiai skaičiai. Dalybos pakeitimas daugyba.
Paimkite trupmeną 2/3 ir perstatykite skaitiklį į vardiklio vietą, gausime 3/2. Gavome trupmeną, šios vienos reciproką.
Norint gauti duotosios trupmenos atvirkštinį koeficientą, į vardiklio vietą reikia įdėti jo skaitiklį, o vietoj skaitiklio – vardiklį. Tokiu būdu galime gauti trupmeną, kuri yra bet kurios trupmenos atvirkštinė vertė. Pavyzdžiui:
3/4, atvirkštinis 4/3; 5/6, atvirkščiai 6/5
Dvi trupmenos, turinčios savybę, kad pirmosios skaitiklis yra antrojo vardiklis, o pirmosios vardiklis yra antrosios, vadinamos abipusiai atvirkštinis.
Dabar pagalvokime, kokia trupmena bus 1/2 atvirkštinė vertė. Akivaizdu, kad tai bus 2/1 arba tik 2. Ieškodami šio atsako, gavome sveikąjį skaičių. Ir šis atvejis nėra pavienis; priešingai, visų trupmenų, kurių skaitiklis yra 1 (vienas), atvirkštiniai skaičiai bus sveikieji skaičiai, pavyzdžiui:
1/3, atvirkštinis 3; 1/5, atvirkštinis 5
Kadangi ieškodami reciprokų susitikdavome ir su sveikaisiais skaičiais, tai ateityje kalbėsime ne apie reciprokus, o apie abipusiai.
Išsiaiškinkime, kaip parašyti sveikojo skaičiaus atvirkštinį skaičių. Trupmenoms tai išspręsta paprastai: į skaitiklio vietą reikia įdėti vardiklį. Lygiai taip pat galite gauti sveikojo skaičiaus atvirkštinę vertę, nes bet kurio sveikojo skaičiaus vardiklis gali būti 1. Taigi 7 atvirkštinė vertė bus 1/7, nes 7 \u003d 7 / 1; skaičiui 10 atvirkščiai yra 1/10, nes 10 = 10/1
Šią mintį galima išreikšti ir kitaip: duoto skaičiaus atvirkštinė vertė gaunama padalijus vieną iš nurodyto skaičiaus. Šis teiginys galioja ne tik sveikiesiems skaičiams, bet ir trupmenoms. Iš tiesų, jei norite parašyti skaičių, kuris yra 5/9 atvirkštinis dydis, tada galime paimti 1 ir padalyti iš 5/9, t.y.
Dabar atkreipkime dėmesį į vieną nuosavybė abipusiai abipusiai skaičiai, kurie mums bus naudingi: abipusių abipusių skaičių sandauga lygi vienetui. Iš tikrųjų:
Naudodami šią savybę, galime rasti abipusius koeficientus tokiu būdu. Raskime 8 atvirkštinį koeficientą.
Pažymėkime tai raide X , tada 8 X = 1, vadinasi X = 1/8. Raskime kitą skaičių, atvirkštinį 7/12, pažymėkite jį raide X , tada 7/12 X = 1, vadinasi X = 1:7 / 12 arba X = 12 / 7 .
Siekdami šiek tiek papildyti informaciją apie trupmenų padalijimą, čia pristatėme abipusių abipusių skaičių sąvoką.
Padalinę skaičių 6 iš 3/5, darome taip:
Mokėti Ypatingas dėmesys prie išraiškos ir palyginkite ją su duotuoju: .
Jei paimtume išraišką atskirai, be ryšio su ankstesne, tai neįmanoma išspręsti klausimo, iš kur ji atsirado: padalijus 6 iš 3/5 arba padauginus 6 iš 5/3. Abiem atvejais rezultatas yra tas pats. Taigi galime pasakyti kad vieno skaičiaus dalijimas iš kito gali būti pakeistas dividendą padauginus iš daliklio atvirkštinio skaičiaus.
Toliau pateikti pavyzdžiai visiškai patvirtina šią išvadą.
Sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos yra paprasta užduotis. Tačiau yra subtilybių, kurias tikriausiai supratote mokykloje, bet vėliau pamiršote.
Kaip padauginti sveikąjį skaičių iš trupmenos – keli terminai
Jei prisimenate, kas yra skaitiklis ir vardiklis ir kuo tinkama trupmena skiriasi nuo netinkamos, praleiskite šią pastraipą. Jis skirtas tiems, kurie visiškai pamiršo teoriją.
Skaitiklis yra viršutinė trupmenos dalis – tai, ką padaliname. Vardiklis yra apatinis. Tuo mes dalijamės.
Tinkama trupmena yra ta, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Netinkama trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus.
Kaip sveikąjį skaičių padauginti iš trupmenos
Sveikojo skaičiaus dauginimo iš trupmenos taisyklė labai paprasta – skaitiklį dauginame iš sveikojo skaičiaus, o vardiklio neliečiame. Pavyzdžiui: du padauginus iš penktadalio – gauname du penktadalius. Keturis kartus trys šešioliktosios yra dvylika šešioliktosios.
Sumažinimas
Antrame pavyzdyje gautą frakciją galima sumažinti.
Ką tai reiškia? Atkreipkite dėmesį, kad šios trupmenos skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš keturių. Padalinkite abu skaičius iš bendras daliklis ir vadinamas – sumažinti trupmeną. Mes gauname tris ketvirtadalius.
Netinkamos trupmenos
Bet tarkime, kad padauginame keturis kartus du penktadalius. Gavo aštuonis penktadalius. Tai neteisinga trupmena.
Jis turi būti suformuotas į tinkamą formą. Norėdami tai padaryti, turite iš jo pasirinkti visą dalį.
Čia reikia naudoti padalijimą su likusia dalimi. Mes gauname vieną ir tris likusią dalį.
Viena visuma ir trys penktadaliai yra mūsų tinkama trupmena.
Trisdešimt penkias aštuntąsias pataisyti yra šiek tiek sunkiau. Artimiausias skaičius trisdešimt septyniems, dalijantis iš aštuonių, yra trisdešimt du. Padalinus gauname keturis. Iš trisdešimt penkių atimame trisdešimt du – gauname tris. Rezultatas: keturios sveikos ir trys aštuntosios.
Skaitiklio ir vardiklio lygybė. O čia viskas labai paprasta ir gražu. Kai skaitiklis ir vardiklis yra lygūs, rezultatas yra tik vienas.
