Sveikųjų skaičių daugyba, taisyklės, pavyzdžiai. Natūraliųjų skaičių daugyba ir jo savybės

Išanalizuokime daugybos sąvoką pavyzdžiu:

Turistai kelyje išbuvo tris dienas. Kasdien jie nueidavo tuo pačiu 4200 m taku Kiek nuėjo per tris dienas? Išspręskite problemą dviem būdais.

Sprendimas:
Panagrinėkime problemą išsamiai.

Pirmą dieną žygeiviai įveikė 4200 m. Antrą dieną tuo pačiu keliu turistai įveikė 4200m ir trečią dieną - 4200m. Parašykime matematine kalba:
4200+4200+4200=12600m.
Matome, kad skaičiaus 4200 modelis kartojasi tris kartus, todėl sumą galime pakeisti daugyba:
4200⋅3=12600m.
Atsakymas: turistai per tris dienas įveikė 12 600 metrų.

Apsvarstykite pavyzdį:

Kad nerašytume ilgo įrašo, galime jį parašyti kaip daugybą. Skaičius 2 kartojamas 11 kartų, todėl daugybos pavyzdys atrodytų taip:
2⋅11=22

Apibendrinti. Kas yra daugyba?

Daugyba yra veiksmas, pakeičiantis termino kartojimą m n kartų.

Žymėjimas m⋅n ir šios išraiškos rezultatas vadinamas skaičių sandauga, ir vadinami skaičiai m ir n daugikliai.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
7⋅12=84
Išreiškiama 7⋅12 ir rezultatas 84 skaičių sandauga.
Skaičiai 7 ir 12 vadinami daugikliai.

Matematikoje galioja keli daugybos dėsniai. Apsvarstykite juos:

Komutacinis daugybos dėsnis.

Apsvarstykite problemą:

5 draugams padovanojome du obuolius. Matematiškai įrašas atrodys taip: 2⋅5.
Arba dviem savo draugams padovanojome 5 obuolius. Matematiškai įrašas atrodys taip: 5⋅2.
Pirmuoju ir antruoju atveju išdalinsime tiek pat obuolių, lygių 10 vienetų.

Jei padauginsime 2⋅5=10 ir 5⋅2=10, tai rezultatas nepasikeis.

Komutacinio daugybos dėsnio savybė:
Produktas nesikeičia keičiantis veiksnių vietoms.
m⋅ n=n⋅m

Asociacinis daugybos dėsnis.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

(2⋅3)⋅4=6⋅4=24 arba 2⋅(3⋅4)=2⋅12=24 gauname,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(a⋅ b) ⋅ c= a⋅(b⋅ c)

Asociatyvinio daugybos dėsnio savybė:
Norėdami padauginti skaičių iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite padauginti jį iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo.

Pakeitus kelis veiksnius ir įrašius juos į skliaustus, rezultatas ar produktas nepasikeičia.

Šie įstatymai galioja bet kuriam natūraliuosius skaičius.

Bet kurio natūraliojo skaičiaus padauginimas iš vieneto.

Apsvarstykite pavyzdį:
7⋅1=7 arba 1⋅7=7
a⋅1=a arba 1⋅a= a
Padauginus bet kurį natūralųjį skaičių iš vieneto, sandauga visada bus tokia pati.

Bet kurio natūraliojo skaičiaus padauginimas iš nulio.

6⋅0=0 arba 0⋅6=0
a⋅0=0 arba 0⋅a=0
Padauginus bet kurį natūralųjį skaičių iš nulio, sandauga bus lygi nuliui.

Klausimai tema „Daugyba“:

Kas yra skaičių sandauga?
Atsakymas: skaičių sandauga arba skaičių sandauga yra išraiška m⋅n, kur m yra narys, o n yra šio termino pasikartojimų skaičius.

Kam skirtas dauginimas?
Atsakymas: kad nerašytume ilgo skaičių pridėjimo, o rašome sutrumpintai. Pavyzdžiui, 3+3+3+3+3+3=3⋅6=18

Koks daugybos rezultatas?
Atsakymas: darbo prasmė.

Ką reiškia daugyba iš 3⋅5?
Atsakymas: 3⋅5=5+5+5=3+3+3+3+3=15

Jei milijoną padauginsite iš nulio, kas yra produktas?
Atsakymas: 0

1 pavyzdys:
Pakeiskite sumą sandauga: a) 12+12+12+12+12 b) 3+3+3+3+3+3+3+3+3
Atsakymas: a) 12⋅5=60 b) 3⋅9=27

2 pavyzdys:
Produkto forma parašykite: a) a + a + a + a b) c + c + c + c + c + c + c
Sprendimas:
a)a+a+a+a=4⋅a
b) s+s+s+s+s+s+s=7⋅s

1 užduotis:
Mama nupirko 3 dėžutes šokoladinių saldainių. Kiekvienoje dėžutėje yra 8 saldainiai. Kiek saldumynų nupirko mama?
Sprendimas:
Vienoje dėžutėje yra 8 saldainiai, o mes turime 3 tokias dėžutes.
8+8+8=8⋅3=24 saldainiai
Atsakymas: 24 saldainiai.

2 užduotis:
Dailės mokytoja savo aštuoniems mokiniams liepė paruošti septynis pieštukus per pamoką. Kiek pieštukų iš viso turėjo vaikai?
Sprendimas:
Galite apskaičiuoti užduoties sumą. Pirmas mokinys turėjo 7 pieštukus, antrasis – 7 pieštukus ir t.t.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Įrašas pasirodė nepatogus ir ilgas, sumą pakeisime preke.
7⋅8=56
Atsakymas yra 56 pieštukai.

1.2 užduotis
Duoti du sveikieji skaičiai X ir T. Jei jie turi skirtingi ženklai, tada X priskirkite šių skaičių sandaugos reikšmę, o T – jų modulinio skirtumo reikšmę. Jei skaičiai turi tuos pačius ženklus, tada X priskirkite skirtumo reikšmę pradiniams skaičiams, o T - šių skaičių sandaugos reikšmę. Rodyti naujas X ir T reikšmes ekrane.

Užduotis taip pat lengva. „Nesusipratimų“ gali kilti tik pamiršus, koks yra modulio skirtumas (tikiuosi, kad tai dviejų sveikųjų skaičių sandauga, vis tiek atsimeni))).

Dviejų skaičių modulio skirtumas

Dviejų sveikųjų skaičių modulinis skirtumas (nors nebūtinai sveikieji skaičiai - nesvarbu, tiesiog mūsų uždavinyje skaičiai yra sveikieji skaičiai) - tai, kalbant paprastai, kai skaičiavimo rezultatas yra skirtumo modulis iš dviejų skaičių.

Tai yra, pirmiausia atliekama vieno skaičiaus atėmimo iš kito operacija. Ir tada apskaičiuojamas šios operacijos rezultato modulis.

Matematiškai tai galima parašyti taip:

Jei kas nors pamiršo, kas yra modulis arba kaip jį apskaičiuoti Pascal, tada žr.

Dviejų skaičių ženklų nustatymo algoritmas

Paprastai problemos sprendimas yra gana paprastas. Pradedantiesiems sunkumų gali sukelti tik dviejų skaičių ženklų apibrėžimas. Tai yra, reikia atsakyti į klausimą: kaip sužinoti, ar skaičiai turi tuos pačius ženklus, ar skirtingus.

Pirma, tai reikalauja alternatyvaus skaičių palyginimo su nuliu. Tai priimtina. Tačiau šaltinio kodas bus gana didelis. Todėl teisingiau naudoti šį algoritmą:

1. Padauginkite skaičius vienas su kitu
2. Jei rezultatas yra mažesnis už nulį, tada skaičiai turi skirtingus ženklus.
3. Jei rezultatas yra nulis arba didesnis už nulį, tada skaičiai turi tuos pačius ženklus

Šį algoritmą atlikau kaip atskirą . Ir pati programa pasirodė tokia pati, kaip parodyta toliau pateiktuose Pascal ir C++ pavyzdžiuose.

1.2 uždavinio sprendimas Pascal programos kontroliniai skaičiai; var A, X, T: sveikasis skaičius; //**************************************************** ** **************** // Patikrina, ar skaičiai N1 ir N2 turi tą patį ženklą. Jei taip, tada // grąžina TRUE, kitu atveju - FALSE //************************************ **** *************************** funkcija ZnakSkaičiai(N1, N2: sveikasis skaičius) : loginis; pradėti := (N1 * N2) >= 0; pabaiga; //**************************************************** ** **************** // PAGRINDINĖ PROGRAMA //****************************** ****************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakSkaičiai(X, T) tada //Jei skaičiai turi tuos pačius ženklus, prasideda A:= (X - T); //Gaukite skirtumą modulo pradinius skaičius T:= X * T; end else //Jei skaičiai turi skirtingus ženklus, prasideda A:= X * T; T:= Abs(X - T); pabaiga; X:=A; //Įrašyti reikšmę A į X WriteLn("X = ", X); //Išvestis X WriteLn("T = ", T); //Išvestis T WriteLn("Pabaiga. Paspauskite ENTER..."); ReadLn; pabaiga.

1.2 uždavinio sprendimas C++ kalboje#include #include naudojant vardų erdvę std; int A, X, T; //**************************************************** ** **************** // Patikrina, ar skaičiai N1 ir N2 turi tą patį ženklą. Jei taip, tada // grąžina TRUE, kitu atveju - FALSE //************************************ **** ******************************* bool ZnakSkaičiai(int N1, int N2) ( grįžti ((N1 * N2 ) >= 0); ) //************************************************ *********** ***************** // PAGRINDINĖ PROGRAMA //**************** ***************************************************** * int main(int argc, char *argv) ( cout > X; cout > T; if (ZnakSkaičiai(X, T)) //Jei skaičiai turi tuos pačius ženklus ( A = abs(X - T); // Gauti skirtumą modulo pradiniai skaičiai T = X * T; ) else // Jei skaičiai turi skirtingus ženklus ( A = X * T; T = abs(X - T); ) X = A; // Parašykite reikšmę A pereiti iki X

Optimizavimas

Šią paprastą programą galima dar labiau supaprastinti nenaudojant funkcijos ir šiek tiek modifikuojant šaltinio kodą. Tai šiek tiek sumažins bendrą šaltinio kodo eilučių skaičių. Kaip tai padaryti – pagalvokite patys.

Suma yra sudėjimo rezultatas, o žodis gali reikšti ne tik skaičius.

Skirtumas yra tas, ką gausite atėmę skaičius.

Produktas – tai, kas gaunama padauginus, žodis turi kitą reikšmę.

Dalinys yra tai, kas gaunama padalijus.

aš. Matematinės sąvokos SUMA, SKIRTUMAS, PRODUKTAS, DALINIS susiję su matematiniais terminais SUDĖTIS, ATĖMIMAS, daugyba, DALYMAS.

Visi apibrėžimai čia pateikti natūraliųjų skaičių aibėje.

Kiekvienai skaičių porai priskiriamas skaičius, vadinamas jais SUMA.

Suma susideda iš tiek vienetų, kiek yra duotosios poros skaičių (dėmenų).

SUMA yra suvestinių pridėjimo rezultatas.

Atimtis yra atvirkštinė sudėjimo operacija. Tai susideda iš vieno iš terminų suradimo pagal sumą, o kitą -. Ši suma vadinama sumažinta, ši dalis vadinama atimta, o norima dalis vadinama SKIRTUMAS.

SKIRTUMAS yra skaičius, kuris yra atimties rezultatas, likusi atimties dalis.

Kiekvienai skaičių porai galima priskirti skaičių, kuris susideda iš tiek vienetų, kiek yra pirmame poros skaičiuje, paimamų tiek kartų, kiek vienetų yra antrajame poros skaičiuje. Šis skaičius, tokiu būdu atitinkantis skaičių porą (jie vadinami faktoriais), vadinamas DARBAS.

DARBAS yra daugybos rezultatas.

Dalyba yra atvirkštinė daugybos vertė.

Padalijimas yra vieno iš veiksnių suradimas pagal produktą ir kitas veiksnys. Šis sandauga vadinamas dalijamuoju, šis koeficientas vadinamas dalikliu, o norimas koeficientas yra PRIVATUS, tai yra skaičius, gautas padalijus vieną skaičių iš kito.

II. KITOS ŽODŽIŲ SUMMA, SKIRTUMAS, PRODUKTAS, KIETOS DALELĖS REIKŠMĖS.

Visi žodžiai, naudojami kaip matematinės sąvokos, gali turėti kitas leksines reikšmes.

SUMA perkeltine prasme reiškia visumą, bendrą kažko kiekį.

Pavyzdžiui. Mokytojo profesionalumas slypi žinių, įgūdžių ir gebėjimų kiekyje, kurį jis perduoda savo mokiniams. Reikalingos pinigų sumos trūkumas privertė atsisakyti pirkimo.

SKIRTUMAS turi kažko skirtumo, nepanašumo, skirtumų reikšmę.

Pavyzdžiui. Interesų skirtumas yra daug blogesnis nei amžiaus skirtumas. Draugystė gali prasidėti nuo požiūrių bendrumo idėjos, o priešiškumas - nuo pažiūrų skirtumo.

DARBAS reiškia kažką, pagamintą darbo procese, ką nors kuriant, darbo, kūrybos, meno ir pan.

Pavyzdžiui. aukštas meno kūrinys verčia žmogų susimąstyti apie savo gyvenimą. Jaunųjų pianistų konkurse berniukas grojo P.I. Čaikovskis. Ši dėžutė yra tikras meno kūrinys.

PRIVATUS- tai kažkas asmeniško, asmeniško, priklausančio tik vienam žmogui, tai jo nuosavybė, jo ir tik jo nuosavybė. Ir ar tai būtų asmeninės mintys, ar turtas, ar dar kas nors, bet tai priklauso tik jam, privačiam asmeniui.

Pavyzdžiui. Draugas davė man sąsiuvinį su užrašu Privatequot ;. Ar gerai supriešinti privatų ir viešą?

Tiesą sakant, visi keturi klausimo žodžiai, ty suma, skirtumas, sandauga ir koeficientas, atspindi keturias pagrindines matematines operacijas, kurios yra pagrindai. Išmokus šiuos veiksmus prasideda žavi kelionė į matematikos pasaulį. Šiuo būdu,

Suma, skirtumas, sandauga, koeficientas – tai matematinių veiksmų, nuo kurių mes visi pradėjome pažintį su matematika, rezultatas. Gyvenime mes taip pat vartojame šiuos žodžius, bet įdedame į juos daugiau matematinės reikšmės, nors galime pridėti ne skaičių. Kūrinys gali būti ir meninis. Tai visiškai kitokia žodžio, kurį vartojame gyvenime, reikšmė.

Visi keturi šie terminai pirmiausia naudojami matematikoje.

Suma yra tada, kai du skaičiai sumuojami;

Skirtumas yra vieno skaičiaus atėmimas iš kito;

koeficientas yra vieno skaičiaus padalijimas iš kito;

Produktas yra vieno skaičiaus padauginimas iš kito.

Dalinys yra skaičių padalijimo rezultatas, sandauga yra skaičių dauginimo rezultatas, suma yra skaičių sudėjimo rezultatas, skirtumas yra atėmimo rezultatas. Tai elementarios matematinės operacijos, kurias galima atlikti su skaičiais.

Tai matematinės sąvokos.

Suma yra pridėjimo rezultatas. Sumuojami skaičiai vadinami pirmuoju ir antruoju nariu. Jis žymimas tokiu ženklu: +.

Skirtumas yra atimties rezultatas. Skaičiai, kurie yra atimami, vadinami minuend (tas, kuris yra didesnis) ir subtrahend (tas, kuris yra mažesnis). Jis žymimas tokiu ženklu: -.

Produktas yra daugybos rezultatas. Skaičiai, kurie dauginasi, vadinami pirmuoju ir antruoju daugikliu. Jis žymimas tokiu ženklu: *.

Dalinys yra padalijimo rezultatas. Skaičiai, kurie dalijasi, vadinami dividendu (tas, kuris didesnis), dalikliu (tas, kuris yra mažesnis). Jis žymimas šiuo ženklu: :.

Visų šių sąvokų mokoma pradinėje mokykloje.

Matematikoje yra keturios paprastos operacijos, kurias galima pritaikyti dviem skaičiams ir gauti tokius rezultatus:

suma yra skaičių sudėjimo rezultatas,

skirtumas yra vieno skaičiaus atėmimo iš kito rezultatas,

sandauga yra skaičių padauginimo rezultatas,

koeficientas jau yra skaičių dalybos rezultatas.

Suma matematikoje yra skaičius, kurį gauname pridėję vieną skaičių prie kito. Skirtumas yra priešingas pridėjimui, kai iš didesnio skaičiaus atimate mažesnį skaičių. Produktas yra skaičius, gaunamas padauginus vieną skaičių iš kito. Skirtumas yra priešingas gaminio skaičius. Skirtumą gauname taip: vieną skaičių padalijame iš kito.

Esu matematikas pagal išsilavinimą, specialybę: matematikos mokytojas. Ji visą gyvenimą dirbo matematikos mokytoja pedagoginiame universitete.

Būtina rezervuoti. Ateityje kalbėsime apie sumą, skirtumą, sandaugą, koeficientą numeriai.

Atsakymai į šiuos klausimus, nors ir paprasti, mokiniams kelia sunkumų. Kad galėčiau išsamiau apsvarstyti šią apibendrinančią temą, atkreipiu jūsų dėmesį į naudingą medžiagą. Užrašas vadinamas Matematika blondinėmsquot ;.

Man patiko mokymo metodas.

Užduodamas provokuojantis klausimas:

Ar skirtumas dalinamas ar dauginamas?

Jie bando sudominti (nė viena iš siūlomų versijų nėra teisinga!)))

Tada jie atsako:

Skirtumas yra pasiimti. Atimties rezultatas vadinamas skirtumu.

Gaukite tą patį:

Sumuojama suma. Sudėjimo rezultatas vadinamas suma.

Produktas turi daugintis. Daugybos rezultatas vadinamas sandauga.

Privatus yra padalijimas. Dalybos rezultatas vadinamas koeficientu.

Taigi paprasta kalba paaiškinamos teisingos matematikos sumos, skirtumo, sandaugos ir koeficiento sąvokos. Tik frazės rašomos kiek supaprastintai: skirtumas – atimti, suma – sudėti, sandauga – dauginti, koeficientas – padalinti. Tiksliau sakant, jie taip nesako.

Taigi, skaičių pridėjimo rezultatas(terminai) – tai jų suma, skaičių atėmimo rezultatas(sumažinta ir atimta) yra skirtumas, skaičių padauginimo rezultatas(veiksniai) yra dirbti, a skaičių padalijimo rezultatas(daliklis dalijasi iš daliklio), o daliklis neturi būti lygus nuliui, antraip dalybos atlikti negalima, yra privatusšiuos skaičius.

Apie kitas šių žodžių reikšmes negalvoju, matematika viską užgožia.)))

Žodžiai Suma, Skirtumas, Produktas ir Dalis yra labai žinomi mokyklų ir kitų ugdymo įstaigų mokiniams, šiuos apibrėžimus jiems tenka vartoti kiekvienoje matematikos pamokoje.

1) Suma

Suma yra rezultatas, gautas sudėjus (+) du ar daugiau skaičių.

Suma taip pat yra galutinė prekės kaina (mokėtina suma), bendras žinių, įspūdžių ir daug daugiau.

2) Skirtumas

Matematikoje tai reiškia skaičiaus (-) atėmimo rezultatą.

Žodis skirtumas taip pat gali būti naudojamas kaip kažko skirtumo žodis. Pavyzdžiui, nuomonių skirtumai, požiūrių skirtumai, rodiklių skirtumai ir pan.

3) Darbas

Produktas yra rezultatas, gautas padauginus skaičius (*).

Be matematikos, šis žodis taip pat vartojamas kaip kūrybinio proceso rezultato (meno kūrinio) pavadinimas, kaip veiksmažodis iš producequot ;.

4) nuoširdus

Šis žodis reiškia dviejų skaičių padalijimo (:) rezultatą.

Žodis private galime girdėti ir žymint kažko priklausymą vienam savininkui (privatus asmuo, privati ​​nuosavybė, privatus daiktas).