Šiame straipsnyje aptariama, kaip rasti matematinių išraiškų reikšmes. Pradėkime nuo paprastų skaitinių išraiškų, o tada nagrinėsime atvejus, kai jų sudėtingumas didėja. Pabaigoje pateikiame išraišką su raidžių žymėjimais, skliaustais, šaknimis, specialiais matematiniais ženklais, laipsniais, funkcijomis ir kt. Visa teorija, pagal tradiciją, bus pateikta gausiais ir išsamiais pavyzdžiais.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kaip rasti skaitinės išraiškos reikšmę?

Skaitmeninės išraiškos, be kita ko, padeda apibūdinti problemos būklę matematine kalba. Apskritai matematinės išraiškos gali būti labai paprastos, sudarytos iš skaičių ir aritmetinių ženklų poros, arba labai sudėtingos, turinčios funkcijų, laipsnių, šaknų, skliaustų ir kt. Vykdant užduotį dažnai reikia rasti išraiškos reikšmę. Kaip tai padaryti, bus aptarta toliau.

Paprasčiausi atvejai

Tai atvejai, kai išraiškoje yra tik skaičiai ir aritmetika. Norint sėkmingai rasti tokių išraiškų reikšmes, jums reikės žinių apie aritmetinių veiksmų atlikimo tvarką be skliaustų, taip pat gebėjimo atlikti operacijas su skirtingais skaičiais.

Jei reiškinyje yra tik skaičiai ir aritmetiniai ženklai " + " , " · " , " - " , " ÷ " , tai operacijos atliekamos iš kairės į dešinę tokia tvarka: pirmiausia daugyba ir dalyba, tada sudėjimas ir atėmimas. Pateikime pavyzdžių.

1 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Tegul reikia rasti išraiškos reikšmes 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 .

Pirmiausia atlikime daugybą ir padalijimą. Mes gauname:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3 .

Dabar atimame ir gauname galutinį rezultatą:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

2 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 .

Pirmiausia atliekame trupmenų konvertavimą, padalijimą ir daugybą:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9 .

Dabar atlikime sudėjimą ir atimtį. Sugrupuokime trupmenas ir suveskime jas į bendrą vardiklį:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Rasta norima vertė.

Išraiškos su skliaustais

Jei išraiškoje yra skliaustų, jie nustato veiksmų tvarką šioje išraiškoje. Pirmiausia atliekami veiksmai skliausteliuose, o tada visi kiti. Parodykime tai pavyzdžiu.

3 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Raskite reiškinio reikšmę 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) .

Išraiškoje yra skliaustų, todėl pirmiausia skliausteliuose atliekame atėmimo operaciją, o tik tada daugybą.

0,5 (0,76–0,06) = 0,5 0,7 = 0,35.

Posakių, kurių skliausteliuose yra skliausteliuose, reikšmė randama pagal tą patį principą.

4 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime reikšmę 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 .

Veiksmus atliksime pradedant nuo vidinių skliaustų, pereinant prie išorinių.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13 .

Ieškant posakių su skliausteliuose reikšmes, svarbiausia sekti veiksmų seką.

Išraiškos su šaknimis

Matematinėse išraiškose, kurių reikšmes turime rasti, gali būti šaknies ženklų. Be to, pati išraiška gali būti po šaknies ženklu. Kaip tokiu atveju buti? Pirmiausia turite rasti išraiškos reikšmę po šaknimi, o tada iš gauto skaičiaus ištraukti šaknį. Jei įmanoma, skaitinėse išraiškose geriau atsikratyti šaknų, pakeičiant iš skaitinėmis reikšmėmis.

5 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime išraiškos reikšmę su šaknimis - 2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 .

Pirmiausia apskaičiuojame radikaliąsias išraiškas.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Dabar galime apskaičiuoti visos išraiškos reikšmę.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Dažnai norint rasti išraiškos reikšmę su šaknimis, dažnai pirmiausia reikia transformuoti pradinę išraišką. Paaiškinkime tai kitu pavyzdžiu.

6 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Kas yra 3 + 1 3 - 1 - 1

Kaip matote, mes neturime galimybės pakeisti šaknies tikslia reikšme, o tai apsunkina skaičiavimo procesą. Tačiau šiuo atveju galite taikyti sutrumpintą daugybos formulę.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Šiuo būdu:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Išraiškos su galiomis

Jei išraiškoje yra galių, jų reikšmės turi būti apskaičiuotos prieš atliekant visus kitus veiksmus. Pasitaiko, kad pats rodiklis arba laipsnio bazė yra išraiškos. Tokiu atveju pirmiausia apskaičiuojama šių išraiškų reikšmė, o po to laipsnio reikšmė.

7 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Raskite reiškinio reikšmę 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 .

Pradedame skaičiuoti eilės tvarka.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2.

Belieka tik atlikti pridėjimo operaciją ir sužinoti išraiškos reikšmę:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3 , 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Taip pat dažnai patartina supaprastinti išraišką naudojant laipsnio savybes.

8 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime šios išraiškos reikšmę: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Rodikliai vėlgi tokie, kad negalima gauti tikslių jų skaitinių verčių. Supaprastinkite pradinę išraišką, kad surastumėte jos vertę.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Išraiškos su trupmenomis

Jei išraiškoje yra trupmenų, tada skaičiuojant tokią išraišką visos joje esančios trupmenos turi būti pavaizduotos kaip paprastosios trupmenos ir apskaičiuoti jų vertes.

Jei trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra išraiškų, pirmiausia apskaičiuojamos šių išraiškų reikšmės ir įrašoma galutinė pačios trupmenos vertė. Aritmetiniai veiksmai atliekami standartine tvarka. Panagrinėkime sprendimo pavyzdį.

9 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Raskime išraiškos, turinčios trupmenas, reikšmę: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 .

Kaip matote, pradinėje išraiškoje yra trys trupmenos. Pirmiausia apskaičiuokime jų vertes.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1 .

Perrašykime savo išraišką ir apskaičiuokime jos reikšmę:

1 , 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 - 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Dažnai ieškant išraiškų reikšmes patogu sumažinti trupmenas. Egzistuoja neišsakyta taisyklė: prieš surandant jo reikšmę, geriausia bet kurią išraišką maksimaliai supaprastinti, sumažinant visus skaičiavimus iki paprasčiausių atvejų.

10 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime išraišką 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Negalime visiškai išgauti penkių šaknų, bet galime supaprastinti pradinę išraišką per transformacijas.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

Pradinė išraiška yra tokia:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Apskaičiuokime šios išraiškos reikšmę:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Išraiškos su logaritmais

Kai reiškinyje yra logaritmų, jų reikšmė, jei įmanoma, skaičiuojama nuo pat pradžių. Pavyzdžiui, reiškinyje log 2 4 + 2 4 galite iš karto įrašyti šio logaritmo reikšmę vietoj log 2 4 ir tada atlikti visus veiksmus. Gauname: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10 .

Skaitmenines išraiškas taip pat galima rasti po logaritmo ženklu ir jo pagrindu. Tokiu atveju pirmiausia reikia surasti jų vertybes. Paimkime išraišką log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Mes turime:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Jei neįmanoma apskaičiuoti tikslios logaritmo reikšmės, išraiškos supaprastinimas padeda rasti jo reikšmę.

11 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Raskite išraiškos log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 reikšmę.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Pagal logaritmų savybę:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1 .

Vėlgi, taikant logaritmų savybes, paskutinei išraiškos trupmenai gauname:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2 .

Dabar galite pereiti prie pradinės išraiškos vertės skaičiavimo.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Išraiškos su trigonometrinėmis funkcijomis

Taip atsitinka, kad išraiškoje yra sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento trigonometrinės funkcijos, taip pat funkcijos, kurios yra joms atvirkštinės. Iš vertės apskaičiuojamos prieš atliekant visas kitas aritmetines operacijas. Priešingu atveju išraiška supaprastinama.

12 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Raskite išraiškos reikšmę: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Pirmiausia apskaičiuojame į išraišką įtrauktų trigonometrinių funkcijų reikšmes.

nuodėmė - 5 π 2 \u003d - 1

Pakeiskite reikšmes išraiškoje ir apskaičiuokite jos reikšmę:

t g 2 4 π 3 - nuodėmė - 5 π 2 + cosπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3.

Rasta išraiškos reikšmė.

Dažnai norint rasti išraiškos reikšmę su trigonometrinėmis funkcijomis, pirmiausia ją reikia konvertuoti. Paaiškinkime pavyzdžiu.

13 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Reikia rasti išraiškos cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 reikšmę.

Transformacijai naudosime dvigubo kampo kosinuso ir sumos kosinuso trigonometrines formules.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos 1 π = cos π 4 - 1 π 1-1 = 0.

Bendras skaitinės išraiškos atvejis

Bendruoju atveju trigonometrinėje išraiškoje gali būti visi aukščiau aprašyti elementai: skliaustai, laipsniai, šaknys, logaritmai, funkcijos. Suformuluokime Pagrindinė taisyklė rasti tokių posakių reikšmes.

Kaip rasti išraiškos vertę

1. Šaknys, laipsniai, logaritmai ir kt. pakeičiamos jų vertybėmis.
2. Atliekami skliausteliuose nurodyti veiksmai.
3. Likę veiksmai atliekami eilės tvarka iš kairės į dešinę. Pirmiausia – daugyba ir dalyba, paskui – sudėjimas ir atėmimas.

Paimkime pavyzdį.

14 pavyzdys. Skaitinės išraiškos reikšmė

Apskaičiuokime, kokia yra išraiškos reikšmė - 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Išraiška yra gana sudėtinga ir sudėtinga. Neatsitiktinai pasirinkome būtent tokį pavyzdį, stengdamiesi sutalpinti į jį visus aukščiau aprašytus atvejus. Kaip rasti tokios išraiškos vertę?

Yra žinoma, kad skaičiuojant sudėtingos trupmeninės formos reikšmę, pirmiausia atitinkamai randamos trupmenos skaitiklio ir vardiklio reikšmės. Mes paeiliui transformuosime ir supaprastinsime šią išraišką.

Pirmiausia apskaičiuojame radikalios išraiškos 2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 reikšmę. Norėdami tai padaryti, turite rasti sinuso reikšmę ir išraišką, kuri yra trigonometrinės funkcijos argumentas.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Dabar galite sužinoti sinuso vertę:

sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Apskaičiuojame radikalios išraiškos reikšmę:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Su trupmenos vardikliu viskas lengviau:

Dabar galime užrašyti visos trupmenos vertę:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.

Turėdami tai omenyje, rašome visą išraišką:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Galutinis rezultatas:

2 sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

Šiuo atveju galėjome apskaičiuoti tikslias šaknų, logaritmų, sinusų ir tt reikšmes. Jei tai neįmanoma, galite pabandyti jų atsikratyti matematinėmis transformacijomis.

Išraiškų skaičiavimas racionaliais būdais

Skaitinės reikšmės turi būti skaičiuojamos nuosekliai ir tiksliai. Šį procesą galima racionalizuoti ir pagreitinti naudojant įvairias operacijų su skaičiais savybes. Pavyzdžiui, žinoma, kad sandauga yra lygi nuliui, jei bent vienas iš veiksnių yra lygus nuliui. Atsižvelgdami į šią savybę, galime iš karto pasakyti, kad išraiška 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 yra lygi nuliui. Tokiu atveju visai nebūtina atlikti veiksmų tokia tvarka, kokia aprašyta aukščiau esančiame straipsnyje.

Taip pat patogu naudoti atimties savybę lygiais skaičiais. Neatlikus jokių veiksmų, galima nurodyti, kad reiškinio 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 reikšmė taip pat lygi nuliui.

Kitas būdas, leidžiantis pagreitinti procesą, yra identiškų transformacijų naudojimas, pvz., terminų ir veiksnių grupavimas ir bendro veiksnio išėmimas iš skliaustų. Racionalus būdas skaičiuoti išraiškas su trupmenomis yra sumažinti tas pačias išraiškas skaitiklyje ir vardiklyje.

Pavyzdžiui, paimkime išraišką 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 . Neatlikdami veiksmų skliausteliuose, o sumažinę trupmeną, galime pasakyti, kad išraiškos reikšmė yra 1 3 .

Išraiškų su kintamaisiais reikšmių radimas

Pažodinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais reikšmė randama konkrečioms nurodytoms raidžių ir kintamųjų reikšmėms.

Išraiškų su kintamaisiais reikšmių radimas

Norėdami rasti pažodinės išraiškos ir išraiškos su kintamaisiais reikšmę, turite pakeisti nurodytas raidžių ir kintamųjų reikšmes į pradinę išraišką, o tada apskaičiuoti gautos skaitinės išraiškos reikšmę.

15 pavyzdys. Išraiškos su kintamaisiais reikšmė

Apskaičiuokite išraiškos 0, 5 x-y reikšmę, kai x = 2, 4 ir y = 5.

Keičiame kintamųjų reikšmes į išraišką ir apskaičiuojame:

0. 5 x - y = 0. 5 2. 4 - 5 = 1. 2 - 5 = - 3. 8 .

Kartais galima transformuoti išraišką taip, kad būtų gauta jos vertė, nepaisant į ją įtrauktų raidžių ir kintamųjų reikšmių. Norėdami tai padaryti, reiškinyje būtina atsikratyti raidžių ir kintamųjų, jei įmanoma, naudojant identiškas transformacijas, aritmetinių operacijų savybes ir visus kitus galimus metodus.

Pavyzdžiui, išraiška x + 3 - x akivaizdžiai turi reikšmę 3, o norint apskaičiuoti šią reikšmę, nebūtina žinoti x reikšmės. Šios išraiškos reikšmė yra lygi trims visoms kintamojo x reikšmėms iš jo galiojančių verčių diapazono.

Dar vienas pavyzdys. Išraiškos x x reikšmė yra lygi vienetui visiems teigiamiems x.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Pirmas lygis

Išraiškos konvertavimas. Išsami teorija (2019 m.)

Išraiškos konvertavimas

Dažnai girdime šią nemalonią frazę: „supaprastink posakį“. Paprastai šiuo atveju turime tokį monstrą:

„Taip, daug lengviau“, - sakome, bet toks atsakymas paprastai neveikia.

Dabar aš išmokysiu jus nebijoti tokių užduočių. Be to, pamokos pabaigoje jūs pats supaprastinsite šį pavyzdį iki (tiesiog!) įprasto skaičiaus (taip, po velnių su šiomis raidėmis).

Tačiau prieš pradėdami šią pamoką turite mokėti tvarkyti trupmenas ir koeficientų polinomus. Todėl pirmiausia, jei to dar nepadarėte, būtinai įsisavinkite temas „“ ir „“.

Skaityti? Jei taip, tuomet esate pasiruošę.

Pagrindinės supaprastinimo operacijos

Dabar analizuosime pagrindinius metodus, kurie naudojami išraiškoms supaprastinti.

Paprasčiausias iš jų yra

1. Panašių atnešimas

Kas yra panašūs? Jūs tai patyrėte 7 klasėje, kai matematikoje vietoj skaičių pirmą kartą pasirodė raidės. Panašūs yra terminai (monomilai), turintys tą pačią raidžių dalį. Pavyzdžiui, sumoje kaip terminai yra ir.

Prisiminė?

Pateikti panašius terminus reiškia pridėti kelis panašius terminus ir gauti vieną terminą.

Bet kaip mes galime sujungti raides? - Jūs klausiate.

Tai labai lengva suprasti, jei įsivaizduojate, kad raidės yra kažkokie objektai. Pavyzdžiui, laiškas yra kėdė. Tada kokia yra išraiška? Dvi kėdės plius trys kėdės, kiek kainuos? Teisingai, kėdės: .

Dabar išbandykite šią išraišką:

Kad nesusipainiotumėte, skirtingos raidės žymi skirtingus objektus. Pavyzdžiui, - tai (kaip įprasta) kėdė ir - tai stalas. Tada:

kėdės stalai kėdės stalai kėdės kėdės stalai

Skaičiai, iš kurių dauginamos tokių terminų raidės, yra vadinami koeficientai. Pavyzdžiui, monomijoje koeficientas yra lygus. Ir jis lygus.

Taigi, panašaus atnešimo taisyklė:

Pavyzdžiai:

Atsineškite panašių:

Atsakymai:

2. (ir yra panašūs, nes todėl šie terminai turi tą pačią raidinę dalį).

2. Faktorizavimas

Paprastai tai yra svarbiausia dalis supaprastinant išraiškas. Pateikus panašius, dažniausiai gauta išraiška turi būti faktorinuojama, tai yra, pateikiama kaip produktas. Tai ypač svarbu trupmenose: juk norint sumažinti trupmeną, skaitiklis ir vardiklis turi būti vaizduojami kaip sandauga.

Išsamius faktoringo išraiškų metodus išnagrinėjote temoje "", todėl čia tereikia prisiminti, ką išmokote. Norėdami tai padaryti, išspręskite keletą pavyzdžių(turi būti atimta):

Sprendimai:

3. Frakcijų mažinimas.

Na, o kas gali būti gražiau, nei išbraukti dalį skaitiklio ir vardiklio ir išmesti juos iš savo gyvenimo?

Tai yra santrumpos grožis.

Tai paprasta:

Jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tie patys veiksniai, juos galima sumažinti, tai yra, pašalinti iš trupmenos.

Ši taisyklė išplaukia iš pagrindinės trupmenos savybės:

Tai yra, redukcijos operacijos esmė yra ta Trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalijame iš to paties skaičiaus (arba iš tos pačios išraiškos).

Norėdami sumažinti dalį, jums reikia:

1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti

2) jeigu skaitiklyje ir vardiklyje yra bendri veiksniai, juos galima ištrinti.

Principas, manau, aiškus?

Norėčiau atkreipti jūsų dėmesį į vieną tipišką sutrumpinimo klaidą. Nors ši tema ir paprasta, tačiau daug kas viską daro ne taip, to nesuvokdami supjaustyti- tai reiškia padalinti skaitiklis ir vardiklis tuo pačiu skaičiumi.

Santrumpų nėra, jei skaitiklis arba vardiklis yra suma.

Pavyzdžiui: reikia supaprastinti.

Kai kurie tai daro: tai visiškai neteisinga.

Kitas pavyzdys: sumažinti.

„Protingiausi“ padarys tai:.

Pasakyk man, kas čia negerai? Atrodytų: - tai daugiklis, todėl galite sumažinti.

Bet ne: - tai tik vieno skaitiklio nario koeficientas, bet pats skaitiklis kaip visuma nėra išskaidytas į veiksnius.

Štai dar vienas pavyzdys:.

Ši išraiška suskaidoma į veiksnius, o tai reiškia, kad galite sumažinti, ty padalyti skaitiklį ir vardiklį iš, o tada iš:

Galite iš karto padalyti iš:

Kad išvengtumėte tokių klaidų, atsiminkite lengvas kelias kaip nustatyti, ar išraiška yra faktoriuota:

Aritmetinė operacija, kuri atliekama paskutinė skaičiuojant išraiškos reikšmę, yra „pagrindinė“. Tai yra, jei vietoj raidžių pakeičiate kai kuriuos (bet kokius) skaičius ir bandote apskaičiuoti išraiškos reikšmę, tada, jei paskutinis veiksmas yra daugyba, tada turime sandaugą (išraiška išskaidoma į veiksnius). Jei paskutinis veiksmas yra sudėjimas arba atėmimas, tai reiškia, kad išraiška neskaičiuojama (todėl negali būti sumažinta).

Norėdami tai išspręsti, keletą išspręskite patys pavyzdžių:

Atsakymai:

1. Tikiuosi iš karto nepuolei kirpti ir? Vis tiek nepakako „sumažinti“ vienetų, tokių kaip:

Pirmas žingsnis turėtų būti faktorizavimas:

4. Trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Trupmenų suvedimas į bendrą vardiklį.

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas yra gerai žinoma operacija: ieškome bendro vardiklio, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame / atimame skaitiklius. Prisiminkime:

Atsakymai:

1. Vardikliai ir yra koprime, tai yra, jie neturi bendrų veiksnių. Todėl šių skaičių LCM yra lygus jų sandaugai. Tai bus bendras vardiklis:

2. Čia yra bendras vardiklis:

3. Čia pirmiausia mišrias frakcijas paverčiame netinkamomis, o tada - pagal įprastą schemą:

Visai kas kita, jei trupmenose yra raidžių, pavyzdžiui:

Pradėkime nuo paprasto:

a) Vardikliuose nėra raidžių

Čia viskas taip pat, kaip ir su įprastomis skaitinėmis trupmenomis: randame bendrą vardiklį, kiekvieną trupmeną padauginame iš trūkstamo koeficiento ir pridedame / atimame skaitiklius:

dabar skaitiklyje galite pateikti panašius, jei tokių yra, ir suskaičiuoti:

Išbandykite patys:

b) Vardikliuose yra raidės

Prisiminkime principą rasti bendrą vardiklį be raidžių:

Pirmiausia nustatome bendrus veiksnius;

Tada vieną kartą užrašome visus bendruosius veiksnius;

ir padauginkite juos iš visų kitų veiksnių, o ne įprastų.

Norėdami nustatyti bendrus vardiklių veiksnius, pirmiausia juos išskaidome į paprastus veiksnius:

Mes pabrėžiame bendrus veiksnius:

Dabar vieną kartą užrašome bendruosius veiksnius ir pridedame prie jų visus neįprastus (nepabrauktus) veiksnius:

Tai yra bendras vardiklis.

Grįžkime prie raidžių. Vardikliai pateikiami lygiai taip pat:

Vardiklius išskaidome į veiksnius;

nustatyti bendrus (identiškus) daugiklius;

vieną kartą surašykite visus bendrus veiksnius;

Juos dauginame iš visų kitų faktorių, o ne iš įprastų.

Taigi, eilės tvarka:

1) išskaidykite vardiklius į veiksnius:

2) nustatyti bendrus (identiškus) veiksnius:

3) vieną kartą surašykite visus bendruosius veiksnius ir padauginkite iš visų kitų (nepabrauktų) koeficientų:

Taigi bendras vardiklis yra čia. Pirmoji trupmena turi būti padauginta iš, antroji - iš:

Beje, yra vienas triukas:

Pavyzdžiui: .

Vardikliuose matome tuos pačius veiksnius, tik visi su skirtingais rodikliais. Bendras vardiklis bus:

tiek, kiek

tiek, kiek

tiek, kiek

laipsniu.

Sudėtinkite užduotį:

Kaip padaryti, kad trupmenos turėtų tą patį vardiklį?

Prisiminkime pagrindinę trupmenos savybę:

Niekur nesakoma, kad tą patį skaičių galima atimti (arba pridėti) iš trupmenos skaitiklio ir vardiklio. Nes tai netiesa!

Pažiūrėkite patys: paimkite, pavyzdžiui, bet kurią trupmeną ir prie skaitiklio ir vardiklio pridėkite tam tikrą skaičių, pavyzdžiui, . Kas išmokta?

Taigi, dar viena nepalaužiama taisyklė:

Suvedę trupmenas į bendrą vardiklį, naudokite tik daugybos operaciją!

Bet ką reikia padauginti, kad gautum?

Čia ir padauginkite. Ir padauginkite iš:

Išraiškos, kurių negalima suskaidyti į faktorius, bus vadinamos „elementariais veiksniais“. Pavyzdžiui, yra elementarus veiksnys. - irgi. Bet – ne: ji suskaidoma į veiksnius.

O išraiška? Ar tai elementaru?

Ne, nes jis gali būti koeficientas:

(apie faktorizavimą jau skaitėte temoje "").

Taigi, elementarieji veiksniai, į kuriuos išskaidote išraišką raidėmis, yra paprastų veiksnių, į kuriuos skaidote skaičius, analogas. Ir mes tą patį padarysime su jais.

Matome, kad abu vardikliai turi veiksnį. Tai atiteks bendram vardikliui valdžioje (prisimeni kodėl?).

Daugiklis yra elementarus, ir jie neturi jo bendro, o tai reiškia, kad pirmąją trupmeną tiesiog reikės padauginti iš jo:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Prieš paniškai padaugindami šiuos vardiklius, turite pagalvoti, kaip juos apskaičiuoti? Abu jie atstovauja:

Puiku! Tada:

Kitas pavyzdys:

Sprendimas:

Kaip įprasta, vardiklius skirstome į faktorius. Pirmajame vardiklyje mes jį tiesiog ištraukiame iš skliaustų; antroje - kvadratų skirtumas:

Atrodytų, kad nėra bendrų veiksnių. Bet jei gerai pažiūrėsi, jie jau tokie panašūs... O tiesa tokia:

Taigi rašykime:

Tai yra, viskas pasirodė taip: skliausteliuose mes sukeitėme terminus, o tuo pačiu metu ženklas prieš trupmeną pasikeitė į priešingą. Atminkite, kad turėsite tai daryti dažnai.

Dabar pateikiame bendrą vardiklį:

Supratau? Dabar patikrinkime.

Užduotys savarankiškam sprendimui:

Atsakymai:

Čia turime prisiminti dar vieną dalyką - kubelių skirtumą:

Atkreipkite dėmesį, kad antrosios trupmenos vardiklyje nėra formulės „sumos kvadratas“! Sumos kvadratas atrodytų taip:

A yra vadinamasis nepilnas sumos kvadratas: antrasis narys jame yra pirmojo ir paskutinio sandauga, o ne jų padvigubintas sandauga. Nepilnas sumos kvadratas yra vienas iš kubelių skirtumo didėjimo veiksnių:

O jei jau yra trys trupmenos?

Taip, tas pats! Visų pirma, padarykime taip maksimali suma vardiklių veiksniai buvo tokie patys:

Atkreipkite dėmesį: jei pakeičiate ženklus viename skliaustelyje, ženklas prieš trupmeną pasikeičia į priešingą. Kai pakeičiame ženklus antrajame skliauste, ženklas prieš trupmeną vėl apverčiamas. Dėl to jis (ženklas prieš trupmeną) nepasikeitė.

Pirmąjį vardiklį pilnai išrašome bendrame vardiklyje, o tada pridedame prie jo visus dar neparašytus veiksnius, nuo antrojo, o po to nuo trečiojo (ir taip toliau, jei trupmenų yra daugiau). Tai yra, viskas vyksta taip:

Hmm... Su trupmenomis aišku, ką daryti. Bet kaip su dviem?

Tai paprasta: jūs žinote, kaip sudėti trupmenas, tiesa? Taigi, jūs turite įsitikinti, kad deuce tampa trupmena! Atminkite: trupmena yra padalijimo operacija (skaitiklis dalijamas iš vardiklio, jei staiga pamiršote). Ir nėra nieko lengviau, kaip padalyti skaičių iš. Tokiu atveju pats skaičius nepasikeis, o pavirs trupmena:

Būtent tai, ko reikia!

5. Trupmenų daugyba ir dalyba.

Na, dabar sunkiausia dalis baigėsi. O prieš mus yra paprasčiausias, bet kartu ir svarbiausias:

Procedūra

Kokia yra skaitmeninės išraiškos apskaičiavimo procedūra? Atsiminkite, atsižvelgiant į tokios išraiškos vertę:

Ar skaičiavai?

Turėtų veikti.

Taigi, primenu.

Pirmasis žingsnis yra apskaičiuoti laipsnį.

Antrasis yra daugyba ir padalijimas. Jei vienu metu atliekami keli daugybos ir dalybos procesai, galite juos atlikti bet kokia tvarka.

Ir galiausiai atliekame sudėjimą ir atimtį. Vėlgi, bet kokia tvarka.

Bet: skliausteliuose esanti išraiška vertinama ne pagal eilę!

Jei keli skliaustai padauginami arba dalijami vienas iš kito, pirmiausia įvertiname kiekvieno iš skliaustų esančią išraišką, o tada padauginame arba padalijame.

Ką daryti, jei skliausteliuose yra kitų skliaustų? Na, pagalvokime: skliaustuose įrašyta kokia nors išraiška. Ką pirmiausia reikia padaryti vertinant išraišką? Teisingai, apskaičiuokite skliaustus. Na, mes supratome: pirmiausia apskaičiuojame vidinius skliaustus, tada visa kita.

Taigi, aukščiau pateiktos išraiškos veiksmų tvarka yra tokia (dabartinis veiksmas paryškintas raudonai, tai yra veiksmas, kurį dabar atlieku):

Gerai, viskas paprasta.

Bet tai ne tas pats, kas išraiška su raidėmis, ar ne?

Ne, tai tas pats! Tik vietoj aritmetinių operacijų reikia atlikti algebrines operacijas, tai yra operacijas, aprašytas ankstesniame skyriuje: atneša panašius, frakcijų pridėjimas, frakcijų mažinimas ir pan. Vienintelis skirtumas bus faktoringo daugianario veiksmas (dažnai jį naudojame dirbdami su trupmenomis). Dažniausiai faktorizavimui reikia naudoti i arba tiesiog iš skliaustų išimti bendrą koeficientą.

Paprastai mūsų tikslas yra pateikti išraišką kaip produktą arba koeficientą.

Pavyzdžiui:

Supaprastinkime išraišką.

1) Pirmiausia supaprastiname išraišką skliausteliuose. Ten mes turime trupmenų skirtumą, o mūsų tikslas yra pavaizduoti jį kaip sandaugą arba koeficientą. Taigi, sujungiame trupmenas į bendrą vardiklį ir pridedame:

Neįmanoma toliau supaprastinti šios išraiškos, visi veiksniai čia yra elementarūs (ar vis dar prisimenate, ką tai reiškia?).

2) Mes gauname:

Trupmenų daugyba: kas gali būti lengviau.

3) Dabar galite sutrumpinti:

Gerai, dabar viskas. Nieko sudėtingo, tiesa?

Kitas pavyzdys:

Supaprastinkite išraišką.

Pirmiausia pabandykite tai išspręsti patys, o tik tada žiūrėkite į sprendimą.

Visų pirma, apibrėžkime procedūrą. Pirmiausia sudėkime trupmenas skliausteliuose, vietoj dviejų trupmenų pasirodys viena. Tada padalysime trupmenas. Na, o rezultatą pridedame su paskutine trupmena. Aš schematiškai sunumeruosiu veiksmus:

Dabar parodysiu visą procesą, nuspalvindamas dabartinį veiksmą raudona spalva:

Galiausiai pateiksiu du naudingus patarimus:

1. Jei yra panašių, reikia nedelsiant atvežti. Kad ir kurią akimirką turėtume panašių, patartina iš karto atsinešti.

2. Tas pats pasakytina ir apie trupmenų mažinimą: kai tik atsiranda galimybė sumažinti, reikia ja pasinaudoti. Išimtis yra trupmenos, kurias pridedate arba atimate: jei jos dabar turi tuos pačius vardiklius, sumažinimas turėtų būti paliktas vėlesniam laikui.

Štai keletas užduočių, kurias galite išspręsti patys:

Ir pažadėjo pačioje pradžioje:

Sprendimai (trumpai):

Jei susidorojote su bent trimis pirmaisiais pavyzdžiais, tada, manote, įvaldėte temą.

Dabar į mokymąsi!

IŠRAIKOS KONVERSIJA. SANTRAUKA IR PAGRINDINĖ FORMULĖ

Pagrindinės supaprastinimo operacijos:

• Atveža panašiai: norint pridėti (sumažinti) panašius terminus, reikia pridėti jų koeficientus ir priskirti raidės dalį.
• faktorizavimas: bendro faktoriaus išėmimas iš skliaustų, pritaikymas ir pan.
• Frakcijų mažinimas: trupmenos skaitiklį ir vardiklį galima padauginti arba padalyti iš to paties ne nulio skaičiaus, nuo kurio trupmenos reikšmė nekinta.
  1) skaitiklis ir vardiklis faktorizuoti
  2) jei skaitiklyje ir vardiklyje yra bendrų veiksnių, juos galima perbraukti.

  SVARBU: galima sumažinti tik daugiklius!

• Trupmenų sudėjimas ir atėmimas:
  ;
• Trupmenų daugyba ir dalyba:
  ;

Skaitinė išraiška yra skaičių įrašas kartu su aritmetinėmis operacijomis ir skliaustais. Kai kintamieji reiškinyje naudojami kartu su skaičiais, o visa išraiška sudaroma su reikšme, tai vadinama algebrine (pažodine) išraiška. Jei išraiškoje yra tiesioginės, išvestinės, atvirkštinės ir kitos trigonometrinės funkcijos, tada išraiška vadinama trigonometrine. Daug pavyzdžių ir užduočių, naudojant įvairias išraiškas, detalizuojama mokykliniame matematikos kurse.

Pagrindiniai dalykai, kuriuos reikia atsiminti:

1. Skaitinės išraiškos reikšmė bus skaičius, gautas atliekant aritmetines operacijas šioje išraiškoje. Svarbiausia yra nuosekliai atlikti aritmetines operacijas. Dėl visos operacijos paprastumo žingsniai gali būti sunumeruoti. Jei išraiškoje yra skliaustų, tada pirmiausia atliekame veiksmą, atitinkantį skliausteliuose esantį simbolį. Eksponentiškumas bus kitas žingsnis. Toliau pagal prioritetą atliekame daugybą arba padalijimą, o tik pačioje pabaigoje – sudėjimą ir atimtį.

Dabar suraskime skaitinės išraiškos reikšmę 5+20*(60-45). Pirmiausia atsikratykime skliaustų. Atlikdami veiksmą gauname 60-45=15. Dabar turime 5+20*15. Kitas veiksmas yra daugyba iš 20*15=300. Ir paskutinis veiksmas bus papildymas, mes jį atliekame ir gauname galutinį rezultatą 5 + 300 = 305.

2. Žinomu kampu? Dirbant su trigonometrinėmis išraiškomis, jums reikės pagrindinių žinių trigonometrines formules padėti supaprastinti išraišką. Raskime išraiškos cos 12 reikšmę? cos 18? - nuodėmė 12? nuodėmė 18?. Norėdami supaprastinti šią išraišką, naudojame formulę cos (? +?) = cos? cos? - nuodėmė? nuodėmė?, tada mes gauname cos 12? cos 18? - nuodėmė 12? sin 18?= cos(12? +18?)= cos30? =v3?2.

3. Išraiškos su kintamaisiais. Reikia atsiminti, kad algebrinės išraiškos reikšmė tiesiogiai priklauso nuo kintamojo. Kintamieji gali būti žymimi graikiškos arba lotyniškos abėcėlės raidėmis. Kai turime duotus algebrinės išraiškos parametrus, pirmiausia turime ją supaprastinti. Po to reikia pakeisti duotus kintamuosius ir atlikti aritmetinius veiksmus. Dėl to su duotais kintamaisiais gausime skaičių, kuris bus algebrinės išraiškos reikšmė. Apsvarstykite pavyzdį, kuriame reikia rasti reiškinio 3(a+y)+2(3a+2y) reikšmę su a=4 ir y=5. Supaprastinkite šią išraišką ir gaukite 3a+3y+6a+4y=9a+7y. Dabar reikia pakeisti kintamųjų reikšmes ir apskaičiuoti, gautas rezultatas bus išraiškos reikšmė. Taigi turime 9a+7y su a=4 ir y=5 gauname 36+35=71. Atminkite, kad algebrinės išraiškos ne visada turi prasmę. Pavyzdžiui, išraiška 15:(b-4) yra prasminga bet kuriam b, išskyrus b =4.

Dabar, kai išmokome sudėti ir padauginti atskiras trupmenas, galime apsvarstyti daugiau sudėtingos struktūros. Pavyzdžiui, ką daryti, jei vienoje užduotyje įvyksta trupmenų sudėtis, atimtis ir daugyba?

Visų pirma, visas trupmenas reikia konvertuoti į netinkamas. Tada paeiliui atliekame reikiamus veiksmus – ta pačia tvarka, kaip ir paprastiems skaičiams. Būtent:

1. Pirma, atliekamas eksponentas - atsikratykite visų išraiškų, kuriose yra eksponentų;
2. Tada – dalyba ir daugyba;
3. Paskutinis žingsnis yra sudėjimas ir atėmimas.

Žinoma, jei posakyje yra skliaustų, veiksmų tvarka pasikeičia – pirmiausia reikia atsižvelgti į viską, kas yra skliaustuose. Ir atminkite apie netinkamas trupmenas: reikia pasirinkti visą dalį tik tada, kai visi kiti veiksmai jau atlikti.

Išverskime visas pirmosios išraiškos trupmenas į netinkamas ir atlikime šiuos veiksmus:

Dabar suraskime antrosios išraiškos reikšmę. Čia trupmenos su visa dalis ne, bet yra skliausteliuose, todėl pirmiausia darome sudėjimą, o tik tada skirstymą. Atkreipkite dėmesį, kad 14 = 7 2 . Tada:

Galiausiai apsvarstykite trečiąjį pavyzdį. Čia yra skliaustai ir laipsnis - geriau juos skaičiuoti atskirai. Atsižvelgiant į tai, kad 9 = 3 3 , turime:

Atkreipkite dėmesį į paskutinį pavyzdį. Norėdami padidinti trupmeną iki laipsnio, turite atskirai pakelti skaitiklį iki šios laipsnio ir atskirai vardiklį.

Galite nuspręsti kitaip. Jei prisiminsime laipsnio apibrėžimą, problema bus sumažinta iki įprasto trupmenų dauginimo:

Daugiaaukštės trupmenos

Iki šiol mes svarstėme tik „grynąsias“ trupmenas, kai skaitiklis ir vardiklis yra įprasti skaičiai. Tai atitinka skaitinės trupmenos apibrėžimą, pateiktą pačioje pirmoje pamokoje.

Bet ką daryti, jei į skaitiklį arba vardiklį dedamas sudėtingesnis objektas? Pavyzdžiui, kita skaitinė trupmena? Tokios konstrukcijos pasitaiko gana dažnai, ypač dirbant su ilgomis išraiškomis. Štai keletas pavyzdžių:

Yra tik viena taisyklė dirbant su kelių aukštų frakcijomis: turite nedelsdami jų atsikratyti. "Papildomų" grindų pašalinimas yra gana paprastas, jei prisimenate, kad trupmenos juosta reiškia standartinę padalijimo operaciją. Todėl bet kurią trupmeną galima perrašyti taip:

Naudodamiesi šiuo faktu ir vadovaudamiesi procedūra, bet kurią kelių aukštų frakciją galime nesunkiai sumažinti iki įprastos. Pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Konvertuoti daugiaaukštes trupmenas į įprastas:

Kiekvienu atveju perrašome pagrindinę trupmeną, skiriamąją liniją pakeisdami dalybos ženklu. Taip pat atminkite, kad bet koks sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1. Tai yra, 12 = 12/1; 3 = 3/1. Mes gauname:

Paskutiniame pavyzdyje trupmenos buvo sumažintos prieš galutinį dauginimą.

Darbo su daugiaaukštėmis trupmenomis specifika

Kelių aukštų trupmenose yra viena subtilybė, kurią visada reikia atsiminti, kitaip galite gauti neteisingą atsakymą, net jei visi skaičiavimai buvo teisingi. Pažiūrėk:

1. Skaitiklyje yra atskiras skaičius 7, o vardiklyje - trupmena 12/5;
2. Skaitiklis yra trupmena 7/12, o vardiklis yra vienas skaičius 5.

Taigi vienam įrašui gavome dvi visiškai skirtingas interpretacijas. Jei suskaičiuosite, atsakymai taip pat skirsis:

Norėdami užtikrinti, kad įrašas visada būtų skaitomas vienareikšmiškai, naudokite paprastą taisyklę: pagrindinės trupmenos skiriamoji linija turi būti ilgesnė už įdėtą eilutę. Pageidautina kelis kartus.

Jei laikysitės šios taisyklės, aukščiau pateiktos trupmenos turėtų būti parašytos taip:

Taip, tikriausiai jis negražus ir užima per daug vietos. Bet jūs skaičiuosite teisingai. Galiausiai, keli pavyzdžiai, kai tikrai pasitaiko kelių lygių trupmenos:

Užduotis. Rasti išraiškos reikšmes:

Taigi, dirbkime su pirmuoju pavyzdžiu. Paverskime visas trupmenas į netinkamas, o tada atlikime sudėjimo ir padalijimo operacijas:

Padarykime tą patį su antruoju pavyzdžiu. Paverskite visas trupmenas į netinkamas ir atlikite reikiamas operacijas. Kad skaitytojui nebūtų nuobodu, praleisiu keletą akivaizdžių skaičiavimų. Mes turime:

Kadangi pagrindinių trupmenų skaitiklyje ir vardiklyje yra sumos, kelių aukštų trupmenų rašymo taisyklės laikomasi automatiškai. Be to, paskutiniame pavyzdyje, norėdami atlikti padalijimą, sąmoningai palikome skaičių 46/1 trupmenos pavidalu.

Taip pat atkreipiu dėmesį, kad abiejuose pavyzdžiuose trupmeninė juosta iš tikrųjų pakeičia skliaustus: pirmiausia radome sumą, o tik tada - koeficientą.

Kažkas pasakys, kad perėjimas prie netinkamų trupmenų antrajame pavyzdyje buvo aiškiai nereikalingas. Galbūt taip ir yra. Bet taip apsidraudžiame nuo klaidų, nes kitą kartą pavyzdys gali pasirodyti daug sudėtingesnis. Pasirinkite patys, kas svarbiau: greitis ar patikimumas.

aš. Išraiškos, kuriose kartu su raidėmis gali būti naudojami skaičiai, aritmetinių operacijų ženklai ir skliaustai, vadinamos algebrinėmis išraiškomis.

Algebrinių išraiškų pavyzdžiai:

2m-n; 3 · (2a+b); 0,24x; 0.3a-b · (4a + 2b); a 2 - 2ab;

Kadangi raidė algebrinėje išraiškoje gali būti pakeista skirtingais skaičiais, raidė vadinama kintamuoju, o pati raidė algebrinė išraiška- išraiška su kintamuoju.

II. Jei algebrinėje išraiškoje raidės (kintamieji) pakeičiamos jų reikšmėmis ir atliekami nurodyti veiksmai, tada gautas skaičius vadinamas algebrinės išraiškos reikšme.

Pavyzdžiai. Raskite išraiškos reikšmę:

1) a + 2b -c, kai a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| kai x = -8; y = -5; z = 6.

Sprendimas.

1) a + 2b -c, kai a = -2; b = 10; c = -3,5. Vietoj kintamųjų pakeičiame jų reikšmes. Mes gauname:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| kai x = -8; y = -5; z = 6. Pakeičiame nurodytas reikšmes. Atminkite, kad modulis neigiamas skaičius yra lygus jo priešingam skaičiui ir moduliui teigiamas skaičius lygus tam skaičiui. Mes gauname:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III. Raidės (kintamojo), kuriai turi prasmę algebrinė išraiška, reikšmės vadinamos galiojančiomis raidės (kintamojo) reikšmėmis.

Pavyzdžiai. Kokiomis kintamojo reikšmėmis išraiška neturi prasmės?

Sprendimas.Žinome, kad padalyti iš nulio neįmanoma, todėl kiekviena iš šių išraiškų neturės prasmės su raidės (kintamojo), kuri trupmenos vardiklį paverčia nuliu, reikšme!

1 pavyzdyje) tai yra reikšmė a = 0. Iš tiesų, jei vietoj a pakeičiame 0, tada skaičių 6 reikės padalyti iš 0, bet to padaryti negalima. Atsakymas: 1) išraiška neturi prasmės, kai a = 0.

2 pavyzdyje vardiklis x - 4 = 0, kai x = 4, todėl ši reikšmė x = 4 ir negali būti imta. Atsakymas: 2) išraiška neturi prasmės, kai x = 4.

3 pavyzdyje vardiklis yra x + 2 = 0, kai x = -2. Atsakymas: 3) išraiška neturi prasmės, kai x = -2.

4 pavyzdyje vardiklis yra 5 -|x| = 0 |x| = 5. Ir kadangi |5| = 5 ir |-5| \u003d 5, tada negalite imti x \u003d 5 ir x \u003d -5. Atsakymas: 4) išraiška neturi prasmės, kai x = -5 ir x = 5.
IV. Dvi išraiškos laikomos identiškomis, jei bet kurioms leistinoms kintamųjų reikšmėms atitinkamos šių išraiškų reikšmės yra lygios.

Pavyzdys: 5 (a - b) ir 5a - 5b yra identiški, nes lygybė 5 (a - b) = 5a - 5b bus teisinga bet kurioms a ir b reikšmėms. Lygybė 5 (a - b) = 5a - 5b yra tapatybė.

Tapatybė yra lygybė, kuri galioja visoms leistinoms į ją įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Jau žinomų tapatybių pavyzdžiai yra, pavyzdžiui, sudėties ir daugybos savybės, paskirstymo ypatybės.

Vienos išraiškos pakeitimas kita, identiškai jai lygiaverte, vadinamas identiška transformacija arba tiesiog išraiškos transformacija. Identiškos išraiškų transformacijos su kintamaisiais atliekamos remiantis operacijų su skaičiais savybėmis.

Pavyzdžiai.

a) konvertuoti išraišką į identiškai lygią naudojant daugybos skirstomąją savybę:

1) 10 (1,2x + 2,3m); 2) 1,5 (a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Sprendimas. Prisiminkite daugybos skirstomąją savybę (dėsnį):

(a+b) c=a c+b c(susimovės daugybos skirstymo dėsnis: norėdami dviejų skaičių sumą padauginti iš trečiojo skaičiaus, galite padauginti kiekvieną narį iš šio skaičiaus ir sudėti rezultatus).
(a-b) c=a c-b c(skirstymo dėsnis atimties atžvilgiu: norėdami dviejų skaičių skirtumą padauginti iš trečiojo skaičiaus, galite padauginti iš šio skaičiaus, sumažinto ir atimto atskirai, ir atimti antrąjį iš pirmojo rezultato).

1) 10 (1,2x + 2,3m) \u003d 10 1,2x + 10 2,3m = 12x + 23m.

2) 1,5 (a -2b + 4c) = 1,5a -3b + 6c.

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

b) paverskite išraišką identiškai lygia, naudodami komutacines ir asociatyvines sudėties savybes (dėsnius):

4) x + 4,5 + 2x + 6,5; 5) (3a + 2,1) + 7,8; 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s.

Sprendimas. Taikome papildymo dėsnius (savybes):

a+b=b+a(poslinkis: suma nesikeičia dėl sąlygų pertvarkymo).
(a+b)+c=a+(b+c)(asociatyvus: norėdami pridėti trečią skaičių prie dviejų narių sumos, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių).

4) x + 4,5 + 2x + 6,5 = (x + 2x) + (4,5 + 6,5) = 3x + 11.

5) (3a + 2,1) + 7,8 = 3a + (2,1 + 7,8) = 3a + 9,9.

6) 6) 5,4 s -3 -2,5 -2,3 s = (5,4 s -2,3 s) + (-3 -2,5) = 3,1 s -5,5.

in) paverskite išraišką identiškai lygia, naudodami daugybos komutacines ir asociatyvines savybes (dėsnius):

7) 4 · X · (-2,5); 8) -3,5 · 2m · (-vienas); 9) 3a · (-3) · 2s.

Sprendimas. Taikykime daugybos dėsnius (savybes):

a b=b a(poslinkis: faktorių permutacija gaminio nekeičia).
(a b) c=a (b c)(kombinantinis: norėdami padauginti dviejų skaičių sandaugą iš trečiojo skaičiaus, pirmąjį skaičių galite padauginti iš antrojo ir trečiojo sandaugos).

7) 4 · X · (-2,5) = -4 · 2,5 · x = -10x.

8) -3,5 · 2m · (-1) = 7 m.

9) 3a · (-3) · 2s = -18as.

Jei algebrinė išraiška pateikiama kaip redukuojama trupmena, tai naudojant trupmenos mažinimo taisyklę, ją galima supaprastinti, t.y. identiškai lygų jai pakeisti paprastesne išraiška.

Pavyzdžiai. Supaprastinkite naudodami frakcijų mažinimą.

Sprendimas. Sumažinti trupmeną reiškia padalyti jos skaitiklį ir vardiklį iš to paties skaičiaus (išraiškos), išskyrus nulį. 10 trupmena) bus sumažinta 3b; trupmena 11) sumažinti a ir trupmeną 12) sumažinti 7n. Mes gauname:

Formulėms suformuluoti naudojamos algebrinės išraiškos.

Formulė yra algebrinė išraiška, parašyta kaip lygybė, išreiškianti ryšį tarp dviejų ar daugiau kintamųjų. Pavyzdys: jums žinoma kelio formulė s=v t(s – nuvažiuotas atstumas, v – greitis, t – laikas). Prisiminkite, kokias kitas formules žinote.

1 puslapis iš 1 1