Didžiausias natūralusis skaičius, kuriais skaičiai a ir b dalijami be liekanos, vadinami didžiausias bendras daliklisšiuos skaičius. Pažymėkite GCD(a, b).

Apsvarstykite galimybę rasti GCD naudodami dviejų natūraliųjų skaičių 18 ir 60 pavyzdį:

1 Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

2 Iš pirmojo skaičiaus išplėtimo išbraukę visus veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą, gauname 2×3×3 .

3 Likusius pirminius koeficientus padauginame po nubraukimo ir gauname didžiausią bendrąjį skaičių daliklį: gcd ( 18 , 60 )=2×3= 6 .

4 Atkreipkite dėmesį, kad nesvarbu, nuo pirmojo ar antrojo skaičiaus išbrauksime veiksnius, rezultatas bus toks pat:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5

324 , 111 ir 432

Išskaidykime skaičius į pirminius veiksnius:

324 = 2×2×3×3×3×3

111 = 3×37

432 = 2×2×2×2×3×3×3

Išbraukus iš pirmojo skaičiaus, kurio faktoriai nėra antrame ir trečiame skaičiais, gauname:

2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3

Dėl GCD ( 324 , 111 , 432 )=3

GCD paieška naudojant Euklido algoritmą

Antrasis būdas rasti didžiausią bendrą daliklį naudojant Euklido algoritmas. Euklido algoritmas yra labiausiai efektyvus būdas radimas GCD, naudojant jį reikia nuolat rasti skaičių padalijimo likutį ir taikyti pasikartojanti formulė.

Pasikartojanti formulė GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kur a mod b yra a dalijimo iš b liekana.

Euklido algoritmas

Pavyzdys Raskite didžiausią bendrąjį skaičių daliklį 7920 ir 594

Raskime GCD( 7920 , 594 ) naudodamiesi Euklido algoritmu, skaičiuotuvu apskaičiuosime likusią dalybos dalį.

GCD( 7920 , 594 )

GCD( 594 , 7920 mod 594 ) = gcd( 594 , 198 )

GCD( 198 , 594 mod 198 ) = gcd( 198 , 0 )

GCD( 198 , 0 ) = 198

• 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
• 594 mod 198 = 594 – 3 × 198 = 0

Dėl to gauname GCD ( 7920 , 594 ) = 198

Mažiausias bendras kartotinis

Bendro vardiklio radimas sudedant ir atimant trupmenas skirtingus vardiklius reikia žinoti ir mokėti skaičiuoti mažiausias bendras kartotinis(NOC).

Skaičiaus „a“ kartotinis yra skaičius, kuris pats dalijasi iš skaičiaus „a“ be liekanos.

Skaičiai, kurie yra 8 kartotiniai (tai yra, šie skaičiai bus padalyti iš 8 be likučio): tai skaičiai 16, 24, 32 ...

9 kartotiniai: 18, 27, 36, 45…

Tam tikro skaičiaus a kartotinių yra be galo daug, priešingai nei to paties skaičiaus dalikliai. Dalikliai – baigtinis skaičius.

Bendrasis dviejų natūraliųjų skaičių kartotinis yra skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš abiejų šių skaičių..

Mažiausias bendras kartotinis Dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris pats dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.

Kaip rasti NOC

LCM galima rasti ir parašyti dviem būdais.

Pirmasis būdas rasti LCM

Šis metodas dažniausiai naudojamas mažiems skaičiams.

1. Rašome kiekvieno skaičiaus kartotinius į eilutę, kol gaunamas vienodas abiejų skaičių kartotinis.
2. Skaičiaus „a“ kartotinis žymimas didžiąja raide „K“.

Pavyzdys. Raskite LCM 6 ir 8.

Antrasis būdas rasti LCM

Šį metodą patogu naudoti norint rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Skaičių plėtimosi identiškų veiksnių skaičius gali būti skirtingas.

Išplėsdami mažesnį skaičių (mažesni skaičiai), pabraukite veiksnius, kurie nebuvo įtraukti į didesnio skaičiaus išplėtimą (mūsų pavyzdyje tai yra 2), ir pridėkite šiuos veiksnius prie didesnio skaičiaus išplėtimo.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2

Atsakydami įrašykite gautą darbą.
Atsakymas: LCM (24, 60) = 120

Mažiausiojo kartotinio (LCM) radimą taip pat galite formalizuoti taip. Raskime LCM (12, 16, 24) .

24 = 2 2 2 3

Kaip matome iš skaičių išplėtimo, visi 12 faktoriai yra įtraukti į 24 išplėtimą (didžiausias iš skaičių), todėl prie LCM pridedame tik vieną 2 iš skaičiaus 16 išplėtimo.

LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48

Atsakymas: LCM (12, 16, 24) = 48

Ypatingi NOC radimo atvejai

Jei vienas iš skaičių tolygiai dalijasi iš kitų, tai mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra lygus šiam skaičiui.

Pavyzdžiui, LCM(60, 15) = 60
Kadangi pirminiai skaičiai neturi bendrų pirminių daliklių, jų mažiausias bendras kartotinis yra lygus šių skaičių sandaugai.

Mūsų svetainėje taip pat galite naudoti specialų skaičiuotuvą, kad internete rastumėte rečiausią kartotinį ir patikrintumėte savo skaičiavimus.

Jei natūralusis skaičius dalijasi tik iš 1 ir savęs, tada jis vadinamas pirminiu.

Bet kuris natūralusis skaičius visada dalijasi iš 1 ir savęs.

Skaičius 2 yra mažiausias pirminis skaičius. Tai vienintelis lyginis pirminis skaičius, likusieji pirminiai skaičiai yra nelyginiai.

Yra daug pirminių skaičių, o pirmasis iš jų yra skaičius 2. Tačiau paskutinio pirminio skaičiaus nėra. Skiltyje „Studijuoti“ galite atsisiųsti pirminių skaičių lentelę iki 997.

Tačiau daugelis natūraliųjų skaičių dalijasi tolygiai iš kitų natūraliųjų skaičių.

• skaičius 12 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12;
• 36 dalijasi iš 1, iš 2, iš 3, iš 4, iš 6, iš 12, iš 18, iš 36.

Skaičiai, iš kurių skaičius dalijasi tolygiai (12 atveju tai yra 1, 2, 3, 4, 6 ir 12), vadinami skaičiaus dalikliais.

Natūralaus skaičiaus a daliklis yra natūralusis skaičius, kuris dalijasi duotas numeris„a“ be likučio.

Natūralusis skaičius, turintis daugiau nei du veiksnius, vadinamas sudėtiniu skaičiumi.

Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 12 ir 36 turi bendrus daliklius. Tai yra skaičiai: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Didžiausias šių skaičių daliklis yra 12.

Dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ bendras daliklis yra skaičius, iš kurio abu duoti skaičiai „a“ ir „b“ dalijami be liekanos.

Didžiausias bendras daliklis(GCD) iš dviejų nurodytų skaičių „a“ ir „b“ yra didžiausias skaičius, iš kurio abu skaičiai „a“ ir „b“ dalijasi be liekanos.

Trumpai tariant, didžiausias bendras skaičių „a“ ir „b“ daliklis parašytas taip:

Pavyzdys: gcd (12; 36) = 12 .

Skaičių dalikliai sprendimo įraše žymimi didžiąja raide „D“.

Skaičiai 7 ir 9 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami pirminiai skaičiai.

Kopirminiai skaičiai yra natūralūs skaičiai, turintys tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Jų GCD yra 1.

Kaip rasti didžiausią bendrą daliklį

Norėdami rasti dviejų ar daugiau natūraliųjų skaičių gcd, jums reikia:

• išskaidyti skaičių daliklius į pirminius veiksnius;

Skaičiavimai patogiai rašomi naudojant vertikalią juostą. Kairėje eilutės pusėje pirmiausia užrašykite dividendą, dešinėje - daliklį. Toliau kairiajame stulpelyje užrašome privačias reikšmes.

Iš karto paaiškinkime pavyzdžiu. Suskaidykime skaičius 28 ir 64 į pirminius koeficientus.

Abiejuose skaičiuose pabraukite tuos pačius pirminius veiksnius.
28 = 2 2 7

64 = 2 2 2 2 2 2
Randame identiškų pirminių veiksnių sandaugą ir užrašome atsakymą;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4

Atsakymas: GCD (28; 64) = 4

GCD vietą galite išdėstyti dviem būdais: stulpelyje (kaip buvo padaryta aukščiau) arba „eilėje“.

Pirmasis būdas rašyti GCD

Raskite GCD 48 ir 36.

GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12

Antrasis GCD rašymo būdas

Dabar parašykime GCD paieškos sprendimą eilutėje. Raskite GCD 10 ir 15.

Mūsų informacinėje svetainėje taip pat galite rasti didžiausią bendrą daliklį internete naudodami pagalbinę programą, kad patikrintumėte savo skaičiavimus.

Mažiausio bendro kartotinio radimas, LCM radimo metodai, pavyzdžiai.

Žemiau pateikta medžiaga yra logiškas teorijos tęsinys iš straipsnio, pavadinto LCM – Mažiausias dažnas kartotinis, apibrėžimas, pavyzdžiai, LCM ir GCD ryšys. Čia mes kalbėsime apie rasti mažiausią bendrą kartotinį (LCM), ir Ypatingas dėmesys Pažvelkime į pavyzdžius. Pirmiausia parodykime, kaip apskaičiuojamas dviejų skaičių LCM pagal šių skaičių GCD. Tada apsvarstykite galimybę rasti mažiausią bendrą kartotinį, įtraukdami skaičius į pirminius veiksnius. Po to mes sutelksime dėmesį į trijų ar daugiau skaičių LCM suradimą, taip pat atkreipsime dėmesį į neigiamų skaičių LCM apskaičiavimą.

Puslapio naršymas.

Mažiausio bendro kartotinio (LCM) apskaičiavimas per gcd

Vienas iš būdų rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas LCM ir GCD ryšiu. Esamas ryšys tarp LCM ir GCD leidžia apskaičiuoti mažiausią bendrą dviejų teigiamų sveikųjų skaičių kartotinį per žinomą didžiausią bendrą daliklį. Atitinkama formulė turi formą LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Apsvarstykite pavyzdžius, kaip rasti LCM pagal aukščiau pateiktą formulę.

Raskite mažiausią bendrąjį dviejų skaičių 126 ir 70 kartotinį.

Šiame pavyzdyje a=126 , b=70 . Naudokime LCM sąsają su GCD, kuri išreiškiama formule LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Tai yra, pirmiausia turime rasti didžiausią skaičių 70 ir 126 bendrąjį daliklį, po kurio pagal parašytą formulę galime apskaičiuoti šių skaičių LCM.

Raskite gcd(126, 70) naudodami Euklido algoritmą: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , taigi gcd(126, 70)=14 .

Dabar randame reikalingą mažiausią bendrąjį kartotinį: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .

Kas yra LCM(68, 34)?

Kadangi 68 tolygiai dalijasi iš 34 , tada gcd(68, 34)=34 . Dabar apskaičiuojame mažiausią bendrą kartotinį: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .

Atkreipkite dėmesį, kad ankstesnis pavyzdys atitinka šią taisyklę, kaip rasti teigiamų sveikųjų skaičių a ir b LCM: jei skaičius a dalijasi iš b , tada mažiausias bendras šių skaičių kartotinis yra a .

LCM radimas faktorinuojant skaičius į pirminius veiksnius

Kitas būdas rasti mažiausią bendrą kartotinį yra pagrįstas skaičių padalijus į pirminius veiksnius. Jei padarysime visų pirminių šių skaičių sandaugą, po kurios iš šios sandaugos išskirsime visus bendruosius pirminius veiksnius, kurie yra šių skaičių plėtiniuose, tada gauta sandauga bus lygi mažiausiam bendrajam šių skaičių kartotiniui.

Paskelbta LCM radimo taisyklė išplaukia iš lygybės LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . Iš tikrųjų skaičių a ir b sandauga yra lygi visų veiksnių, dalyvaujančių skaičių a ir b plėtime, sandaugai. Savo ruožtu gcd(a, b) yra lygus visų pirminių faktorių sandaugai, kurie vienu metu yra skaičių a ir b plėtiniuose (kuris aprašytas skyriuje apie gcd radimą naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius ).

Paimkime pavyzdį. Žinokime, kad 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Sudarykite visų šių plėtimų faktorių sandaugą: 2 3 3 5 5 5 7 . Dabar iš šio produkto išskiriame visus veiksnius, kurie yra tiek išplečiant skaičių 75, tiek išplečiant skaičių 210 (tokie veiksniai yra 3 ir 5), tada produktas įgis 2 3 5 5 7 formą. Šio sandaugos vertė lygi mažiausiam bendrajam 75 ir 210 kartotiniui, ty LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .

Suskaičiavę skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus, raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Išskaidykime skaičius 441 ir 700 į pirminius koeficientus:

Gauname 441=3 3 7 7 ir 700=2 2 5 5 7 .

Dabar padarykime sandaugą iš visų veiksnių, susijusių su šių skaičių išplėtimu: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Išskirkime iš šio produkto visus veiksnius, kurie vienu metu yra abiejuose plėtiniuose (tokių yra tik vienas - tai skaičius 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Taigi LCM(441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100 .

LCM(441; 700) = 44 100 .

Taisyklė, kaip rasti LCM naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius, gali būti suformuluota šiek tiek kitaip. Jei trūkstamus koeficientus iš skaičiaus b išplėtimo pridėsime prie faktorių iš skaičiaus a išplėtimo, tai gautos sandaugos reikšmė bus lygi mažiausiam skaičių a ir b bendrajam kartotiniui.

Pavyzdžiui, paimkime visus tuos pačius skaičius 75 ir 210, jų išplėtimai į pirminius koeficientus yra tokie: 75=3 5 5 ir 210=2 3 5 7 . Prie faktorių 3, 5 ir 5 iš skaičiaus 75 išplėtimo pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 7 iš skaičiaus 210 išplėtimo, gauname sandaugą 2 3 5 5 7 , kurios reikšmė LCM(75 , 210).

Raskite mažiausią bendrą skaičių 84 ir 648 kartotinį.

Pirmiausia gauname skaičių 84 ir 648 išskaidymą į pirminius veiksnius. Jie atrodo taip: 84=2 2 3 7 ir 648=2 2 2 3 3 3 3. Prie faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 iš skaičiaus 84 skaidymo pridedame trūkstamus koeficientus 2 , 3 , 3 ir 3 iš skaičiaus 648 skaidymo , gauname sandaugą 2 2 2 3 3 3 3 7 , kuri lygi 4 536 . Taigi norimas mažiausias bendras skaičių 84 ir 648 kartotinis yra 4536.

Raskite trijų ar daugiau skaičių LCM

Mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį galima rasti paeiliui suradus dviejų skaičių LCM. Prisiminkite atitinkamą teoremą, kuri leidžia rasti trijų ar daugiau skaičių LCM.

Teigiami sveikieji skaičiai a 1 , a 2 , …, a k, šių skaičių mažiausias bendras kartotinis m k randamas nuosekliame skaičiavime m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Apsvarstykite šios teoremos taikymą pavyzdyje, kaip rasti mažiausią bendrą keturių skaičių kartotinį.

Raskite keturių skaičių 140, 9, 54 ir 250 LCM.

Pirmiausia randame m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Norėdami tai padaryti, naudodami Euklido algoritmą, nustatome gcd(140, 9) , turime 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , todėl gcd( 140, 9) = 1 , iš kur LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9:1 = 1 260 . Tai yra, m 2 =1 260 .

Dabar randame m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Apskaičiuokime jį per gcd(1 260, 54) , kuris taip pat nustatomas pagal Euklido algoritmą: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Tada gcd(1 260, 54) = 18 , iš kur LCM(1 260, 54) = 1 260 54: gcd(1 260, 54) = 1 260 54:18 = 3 780 . Tai yra, m 3 \u003d 3 780.

Belieka rasti m 4 = LCM (m 3, a 4) = LCM (3 780, 250). Norėdami tai padaryti, randame GCD(3 780, 250) naudodami Euklido algoritmą: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Todėl gcd(3 780, 250) = 10, taigi LCM(3 780, 250) = 3 780 250:gcd(3 780, 250) = 3 780 250:10 = 94 500. Tai yra, m 4 \u003d 94 500.

Taigi mažiausias bendras pradinių keturių skaičių kartotinis yra 94 500.

LCM(140, 9, 54, 250)=94500 .

Daugeliu atvejų mažiausias bendras trijų ar daugiau skaičių kartotinis yra patogiai randamas naudojant nurodytų skaičių pirminius faktorius. Tokiu atveju reikia laikytis šios taisyklės. Mažiausias kelių skaičių bendras kartotinis yra lygus sandaugai, kuri sudaryta taip: trūkstami veiksniai iš antrojo skaičiaus išplėtimo pridedami prie visų faktorių iš pirmojo skaičiaus išplėtimo, trūkstami veiksniai iš plėtimosi iš antrojo skaičiaus. prie gautų faktorių pridedamas trečiasis skaičius ir pan.

Apsvarstykite pavyzdį, kaip rasti mažiausią bendrą kartotinį, naudojant skaičių skaidymą į pirminius veiksnius.

Raskite mažiausią bendrą penkių skaičių 84, 6, 48, 7, 143 kartotinį.

Pirmiausia gauname šių skaičių skaidymus į pirminius veiksnius: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 yra pirminis skaičius, jis sutampa su jo išskaidymu į pirminius veiksnius) ir 143=11 13 .

Norint rasti šių skaičių LCM, prie pirmojo skaičiaus 84 faktorių (jie yra 2 , 2 , 3 ir 7) reikia pridėti trūkstamus veiksnius iš antrojo skaičiaus 6 skaidymo. Skaičiaus 6 išplėtimas neturi trūkstamų veiksnių, nes tiek 2, tiek 3 jau yra pirmojo skaičiaus 84 išplėtime. Be faktorių 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš trečiojo skaičiaus 48 išplėtimo , gauname aibę faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 . Kitame veiksme prie šio rinkinio nereikia pridėti veiksnių, nes 7 jau yra jame. Galiausiai prie faktorių 2 , 2 , 2 , 2 , 3 ir 7 pridedame trūkstamus koeficientus 11 ir 13 iš skaičiaus 143 išplėtimo. Gauname sandaugą 2 2 2 2 3 7 11 13, kuri yra lygi 48 048.

Todėl LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .

LCM(84; 6; 48; 7; 143)=48048 .

Raskite mažiausią bendrą neigiamų skaičių kartotinį

Kartais yra užduočių, kuriose reikia rasti mažiausią bendrą skaičių kartotinį, tarp kurių vienas, keli arba visi skaičiai yra neigiami. Tokiais atvejais visi neigiami skaičiai turite pakeisti juos priešingais skaičiais ir rasti teigiamų skaičių LCM. Taip galima rasti neigiamų skaičių LCM. Pavyzdžiui, LCM(54, -34) = LCM(54, 34) ir LCM(-622, -46, -54, -888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Tai galime padaryti, nes a kartotinių aibė yra tokia pati kaip −a kartotinių aibė (a ir −a yra priešingi skaičiai). Iš tiesų, tegul b yra koks nors a kartotinis, tada b dalijasi iš a, o dalijimosi sąvoka teigia, kad egzistuoja toks sveikasis skaičius q, kad b=a q . Tačiau bus teisinga ir lygybė b=(−a)·(−q), kuri, remiantis ta pačia dalijimosi samprata, reiškia, kad b dalijasi iš −a , tai yra, b yra −a kartotinis. Teisingas ir atvirkštinis teiginys: jei b yra koks nors −a kartotinis, tai b taip pat yra a kartotinis.

Raskite neigiamų skaičių –145 ir –45 mažiausiąjį bendrąjį kartotinį.

Neigiamus skaičius −145 ir −45 pakeiskime jiems priešingais skaičiais 145 ir 45 . Turime LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Nustačius gcd(145, 45)=5 (pavyzdžiui, naudojant Euklido algoritmą), apskaičiuojame LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Taigi mažiausias bendras neigiamų sveikųjų skaičių –145 ir –45 kartotinis yra 1,305 .

www.cleverstudents.ru

Mes ir toliau studijuojame skyrių. Šioje pamokoje apžvelgsime tokias sąvokas kaip GCD ir NOC.

GCD yra didžiausias bendras daliklis.

NOC yra mažiausias bendras kartotinis.

Tema gana nuobodi, bet būtina ją suprasti. Nesuprasdami šios temos, negalėsite efektyviai dirbti su trupmenomis, kurios yra tikra kliūtis matematikoje.

Didžiausias bendras daliklis

Apibrėžimas. Didžiausias bendras skaičių daliklis a ir b a ir b padalintas be liekanos.

Norėdami gerai suprasti šį apibrėžimą, vietoj kintamųjų pakeičiame a ir b bet kokie du skaičiai, pavyzdžiui, vietoj kintamojo a pakeiskite skaičių 12, o vietoj kintamojo b skaičius 9. Dabar pabandykime perskaityti šį apibrėžimą:

Didžiausias bendras skaičių daliklis 12 ir 9 yra didžiausias skaičius, kuriuo 12 ir 9 padalintas be liekanos.

Iš apibrėžimo aišku, kad kalbame apie bendrą skaičių 12 ir 9 daliklį, o šis daliklis yra didžiausias iš visų esamų daliklių. Reikia rasti šį didžiausią bendrą daliklį (gcd).

Norint rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį, naudojami trys metodai. Pirmasis metodas yra gana daug laiko reikalaujantis, tačiau leidžia gerai suprasti temos esmę ir pajusti visą jos prasmę.

Antrasis ir trečiasis metodai yra gana paprasti ir leidžia greitai rasti GCD. Mes apsvarstysime visus tris būdus. O ką pritaikyti praktiškai – renkatės jūs.

Pirmasis būdas – surasti visus galimus dviejų skaičių daliklius ir pasirinkti didžiausią iš jų. Panagrinėkime šį metodą šiame pavyzdyje: Raskite didžiausią skaičių 12 ir 9 bendrąjį daliklį.

Pirmiausia randame visus galimus skaičiaus 12 daliklius. Norėdami tai padaryti, 12 padalijame į visus daliklius diapazone nuo 1 iki 12. Jei daliklis leidžia padalyti 12 be liekanos, tada paryškinsime jį mėlyna spalva ir skliausteliuose pateikite atitinkamą paaiškinimą.

12: 1 = 12
(12 padalintas iš 1 be liekanos, todėl 1 yra 12 daliklis)

12: 2 = 6
(12 padalintas iš 2 be liekanos, todėl 2 yra 12 daliklis)

12: 3 = 4
(12 padalintas iš 3 be liekanos, todėl 3 yra 12 daliklis)

12: 4 = 3
(12 padalintas iš 4 be liekanos, todėl 4 yra 12 daliklis)

12:5 = 2 (2 liko)
(12 nėra padalintas iš 5 be liekanos, todėl 5 nėra 12 daliklis)

12: 6 = 2
(12 padalintas iš 6 be liekanos, todėl 6 yra 12 daliklis)

12: 7 = 1 (likę 5)
(12 nėra padalintas iš 7 be liekanos, todėl 7 nėra 12 daliklis)

12: 8 = 1 (liko 4)
(12 nėra padalintas iš 8 be liekanos, todėl 8 nėra 12 daliklis)

12:9 = 1 (likę 3)
(12 nėra padalintas iš 9 be liekanos, todėl 9 nėra 12 daliklis)

12: 10 = 1 (2 liko)
(12 nėra padalintas iš 10 be liekanos, todėl 10 nėra 12 daliklis)

12:11 = 1 (1 liko)
(12 nėra padalintas iš 11 be liekanos, todėl 11 nėra 12 daliklis)

12: 12 = 1
(12 padalintas iš 12 be liekanos, todėl 12 yra 12 daliklis)

Dabar suraskime skaičiaus 9 daliklius. Norėdami tai padaryti, patikrinkite visus daliklius nuo 1 iki 9

9: 1 = 9
(9 padalintas iš 1 be liekanos, todėl 1 yra 9 daliklis)

9: 2 = 4 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 2 be liekanos, todėl 2 nėra 9 daliklis)

9: 3 = 3
(9 padalintas iš 3 be liekanos, todėl 3 yra 9 daliklis)

9: 4 = 2 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 4 be liekanos, todėl 4 nėra 9 daliklis)

9:5 = 1 (likę 4)
(9 nėra padalintas iš 5 be liekanos, todėl 5 nėra 9 daliklis)

9: 6 = 1 (likę 3)
(9 nepadalijo iš 6 be liekanos, todėl 6 nėra 9 daliklis)

9:7 = 1 (2 liko)
(9 nėra padalintas iš 7 be liekanos, todėl 7 nėra 9 daliklis)

9:8 = 1 (1 liko)
(9 nėra padalintas iš 8 be liekanos, todėl 8 nėra 9 daliklis)

9: 9 = 1
(9 padalintas iš 9 be liekanos, todėl 9 yra 9 daliklis)

Dabar užrašykite abiejų skaičių daliklius. Mėlyna spalva pažymėti skaičiai yra dalikliai. Išrašykime juos:

Išrašę daliklius, galite iš karto nustatyti, kuris iš jų yra didžiausias ir labiausiai paplitęs.

Pagal apibrėžimą didžiausias bendras 12 ir 9 daliklis yra skaičius, iš kurio 12 ir 9 dalijasi tolygiai. Didžiausias ir bendras skaičių 12 ir 9 daliklis yra skaičius 3

Ir skaičius 12, ir skaičius 9 dalijasi iš 3 be liekanos:

Taigi gcd (12 ir 9) = 3

Antrasis būdas rasti GCD

Dabar apsvarstykite antrąjį būdą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. esmė šis metodas yra sudėti abu skaičius į pirminius veiksnius ir padauginti bendruosius.

1 pavyzdys. Raskite skaičių 24 ir 18 GCD

Pirma, suskirstykime abu skaičius į pirminius veiksnius:

Dabar padauginame jų bendrus veiksnius. Kad nesusipainiotumėte, galima pabrėžti bendrus veiksnius.

Mes žiūrime į skaičiaus 24 skaidymą. Jo pirmasis koeficientas yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu:

Vėlgi žiūrime į skaičiaus 24 skaidymą. Jo antrasis koeficientas taip pat yra 2. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad antrą kartą jo nėra. Tada nieko neryškiname.

Kitų dviejų skaičiaus 24 išplėtime taip pat trūksta ir skaičiaus 18 plėtinyje.

Pereiname prie paskutinio skaičiaus 24 skaidymo veiksnio. Tai yra koeficientas 3. To paties koeficiento ieškome skaičiaus 18 skaidyme ir matome, kad jis taip pat yra. Mes pabrėžiame abu tris:

Taigi, bendrieji skaičių 24 ir 18 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Norint gauti GCD, šiuos veiksnius reikia padauginti:

Taigi gcd (24 ir 18) = 6

Trečias būdas rasti GCD

Dabar apsvarstykite trečiąjį būdą, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį. Šio metodo esmė slypi tame, kad skaičiai, kurių reikia ieškoti didžiausio bendro daliklio, yra išskaidomi į pirminius veiksnius. Tada iš pirmojo skaičiaus dekompozicijos išbraukiami veiksniai, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus skaidymą. Likę pirmojo išplėtimo skaičiai padauginami ir gaunamas GCD.

Pavyzdžiui, tokiu būdu suraskime skaičių 28 ir 16 GCD. Pirmiausia šiuos skaičius išskaidome į pirminius veiksnius:

Gavome du išplėtimus: ir

Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo numerio išplėtimas neapima septynių. Ištrinsime jį iš pirmojo išplėtimo:

Dabar padauginame likusius veiksnius ir gauname GCD:

Skaičius 4 yra didžiausias bendras skaičių 28 ir 16 daliklis. Abu šie skaičiai dalijasi iš 4 be liekanos:

2 pavyzdys Raskite skaičių 100 ir 40 GCD

Apskaičiuojant skaičių 100

Apskaičiuojant skaičių 40

Gavome du išplėtimus:

Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima vieno penketuko (yra tik vienas penketas). Ištriname jį iš pirmojo skaidymo

Padauginkite likusius skaičius:

Gavome atsakymą 20. Taigi skaičius 20 yra didžiausias bendras skaičių 100 ir 40 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 20 be liekanos:

GCD (100 ir 40) = 20.

3 pavyzdys Raskite skaičių 72 ir 128 gcd

Apskaičiuojant skaičių 72

Apskaičiuojant skaičių 128

2×2×2×2×2×2×2

Dabar iš pirmojo skaičiaus išplėtimo pašaliname veiksnius, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą. Antrojo skaičiaus išplėtimas neapima dviejų trigubų (jų visai nėra). Ištriname juos iš pirmojo išplėtimo:

Gavome atsakymą 8. Taigi skaičius 8 yra didžiausias bendras skaičių 72 ir 128 daliklis. Šie du skaičiai dalijasi iš 8 be liekanos:

GCD (72 ir 128) = 8

Kelių skaičių GCD paieška

Didžiausią bendrą daliklį galima rasti keliems skaičiams, o ne tik dviems. Tam didžiausio bendrojo daliklio skaičiai išskaidomi į pirminius veiksnius, tada randama šių skaičių bendrųjų pirminių koeficientų sandauga.

Pavyzdžiui, suraskime skaičių 18, 24 ir 36 GCD

Skaičiaus 18 faktorius

Skaičiaus 24 faktorius

Faktoringas skaičius 36

Gavome tris išplėtimus:

Dabar pasirenkame ir pabrėžiame bendrus šių skaičių veiksnius. Į visus tris skaičius turi būti įtraukti bendri veiksniai:

Matome, kad bendri skaičių 18, 24 ir 36 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Padauginus šiuos veiksnius, gauname ieškomą GCD:

Gavome atsakymą 6. Taigi skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 18, 24 ir 36 daliklis. Šie trys skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:

GCD (18, 24 ir 36) = 6

2 pavyzdys Raskite gcd skaičiams 12, 24, 36 ir 42

Išskaidykime kiekvieną skaičių. Tada randame šių skaičių bendrųjų veiksnių sandaugą.

Skaičiaus 12 faktorius

Skaičiaus 42 faktorius

Gavome keturis išplėtimus:

Dabar pasirenkame ir pabrėžiame bendrus šių skaičių veiksnius. Į visus keturis skaičius turi būti įtraukti bendri veiksniai:

Matome, kad bendri skaičių 12, 24, 36 ir 42 faktoriai yra faktoriai 2 ir 3. Padauginę šiuos veiksnius, gauname ieškomą GCD:

Gavome atsakymą 6. Taigi skaičius 6 yra didžiausias bendras skaičių 12, 24, 36 ir 42 daliklis. Šie skaičiai dalijasi iš 6 be liekanos:

gcd(12, 24, 36 ir 42) = 6

Iš ankstesnės pamokos žinome, kad jei koks nors skaičius padalytas iš kito be liekanos, jis vadinamas šio skaičiaus kartotiniu.

Pasirodo, kartotinis gali būti bendras keliems skaičiams. O dabar mus domina dviejų skaičių kartotinis, nors jis turėtų būti kuo mažesnis.

Apibrėžimas. Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). a ir b- a ir b a ir numeris b.

Apibrėžime yra du kintamieji a ir b. Šiuos kintamuosius pakeiskime bet kuriais dviem skaičiais. Pavyzdžiui, vietoj kintamojo a vietoj kintamojo pakeiskite skaičių 9 ir b pakeiskime skaičių 12. Dabar pabandykime perskaityti apibrėžimą:

Mažiausias skaičių kartotinis (LCM). 9 ir 12 - tai yra mažiausias skaičius, kuris yra kartotinis 9 ir 12 . Kitaip tariant, tai yra toks mažas skaičius, kuris dalijasi iš skaičiaus be liekanos 9 ir ant numerio 12 .

Iš apibrėžimo aišku, kad LCM yra mažiausias skaičius, kuris be likučio dalijasi iš 9 ir 12. Šį LCM reikia rasti.

Yra du būdai rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM). Pirmasis būdas yra tai, kad galite užrašyti pirmuosius dviejų skaičių kartotinius, o tada iš šių kartotinių pasirinkti tokį skaičių, kuris bus bendras ir skaičiams, ir mažas. Taikykime šį metodą.

Visų pirma, suraskime pirmuosius skaičiaus 9 kartotinius. Norėdami rasti 9 kartotinius, turite padauginti šį devynis paeiliui iš skaičių nuo 1 iki 9. Gauti atsakymai bus skaičiaus 9 kartotiniai. Taigi , Pradėkime. Keletas bus paryškintas raudonai:

Dabar randame skaičiaus 12 kartotinius. Norėdami tai padaryti, 12 padauginame iš visų skaičių nuo 1 iki 12.

Apibrėžimas. Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklis (gcd)šiuos skaičius.

Raskime didžiausią skaičių 24 ir 35 bendrąjį daliklį.
24 dalikliai bus skaičiai 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, o dalikliai iš 35 bus skaičiai 1, 5, 7, 35.
Matome, kad skaičiai 24 ir 35 turi tik vieną bendrą daliklį – skaičių 1. Tokie skaičiai vadinami koprime.

Apibrėžimas. Natūralūs skaičiai vadinami koprime jei jų didžiausias bendras daliklis (gcd) yra 1.

Didžiausias bendras daliklis (GCD) galima rasti neišrašant visų pateiktų skaičių daliklių.

Apskaičiavę skaičius 48 ir 36, gauname:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iš veiksnių, įtrauktų į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, išbraukiame tuos, kurie neįtraukti į antrojo skaičiaus išplėtimą (t. y. du dvejetus).
Lieka koeficientai 2 * 2 * 3. Jų sandauga yra 12. Šis skaičius yra didžiausias skaičių 48 ir 36 bendras daliklis. Taip pat randamas didžiausias trijų ar daugiau skaičių bendras daliklis.

Rasti didžiausias bendras daliklis

2) iš veiksnių, įtrauktų į vieno iš šių skaičių išplėtimą, išbraukti tuos, kurie neįtraukti į kitų skaičių išplėtimą;
3) rasti likusių veiksnių sandaugą.

Jei visi pateikti skaičiai dalijasi iš vieno iš jų, tai šis skaičius yra didžiausias bendras daliklis duotus skaičius.
Pavyzdžiui, didžiausias bendras 15, 45, 75 ir 180 daliklis yra 15, nes jis padalija visus kitus skaičius: 45, 75 ir 180.

Mažiausias kartotinis (LCM)

Apibrėžimas. Mažiausias kartotinis (LCM) Natūralūs skaičiai a ir b yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris yra ir a, ir b kartotinis. Mažiausią skaičių 75 ir 60 kartotinį (LCM) galima rasti neišrašant šių skaičių kartotinių iš eilės. Norėdami tai padaryti, išskaidome 75 ir 60 į paprastus veiksnius: 75 \u003d 3 * 5 * 5 ir 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Išrašome veiksnius, įtrauktus į pirmojo iš šių skaičių išplėtimą, ir pridedame prie jų trūkstamus koeficientus 2 ir 2 iš antrojo skaičiaus išplėtimo (tai yra, sujungiame veiksnius).
Gauname penkis koeficientus 2 * 2 * 3 * 5 * 5, kurių sandauga yra 300. Šis skaičius yra mažiausias bendras skaičių 75 ir 60 kartotinis.

Taip pat suraskite mažiausią bendrą trijų ar daugiau skaičių kartotinį.

Į rasti mažiausią bendrą kartotinį kelių natūraliųjų skaičių, jums reikia:
1) išskaidyti juos į pirminius veiksnius;
2) surašykite veiksnius, įtrauktus į vieno iš skaičių išplėtimą;
3) pridėti prie jų trūkstamus veiksnius iš likusių skaičių išplėtimų;
4) rasti gautų veiksnių sandaugą.

Atkreipkite dėmesį, kad jei vienas iš šių skaičių dalijasi iš visų kitų skaičių, tai šis skaičius yra mažiausias bendras šių skaičių kartotinis.
Pavyzdžiui, mažiausias bendras 12, 15, 20 ir 60 kartotinis būtų 60, nes jis dalijasi iš visų nurodytų skaičių.

Pitagoras (VI a. pr. Kr.) ir jo mokiniai nagrinėjo skaičių dalijimosi klausimą. Skaičius, lygus visų jo daliklių sumai (be paties skaičiaus), jie vadino tobulą skaičių. Pavyzdžiui, skaičiai 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) yra tobuli. Kiti tobuli skaičiai yra 496, 8128, 33 550 336. Pitagoriečiai žinojo tik pirmuosius tris tobuluosius skaičius. Ketvirtasis – 8128 – tapo žinomas I a. n. e. Penktasis – 33 550 336 – rastas XV a. 1983 metais jau buvo žinomi 27 tobuli skaičiai. Tačiau iki šiol mokslininkai nežino, ar yra nelyginių tobulųjų skaičių, ar yra didžiausias tobulasis skaičius.
Senovės matematikų susidomėjimas pirminiais skaičiais kyla dėl to, kad bet kuris skaičius yra pirminis arba gali būti pavaizduotas kaip pirminių skaičių sandauga, tai yra, pirminiai skaičiai yra tarsi plytos, iš kurių pastatyti likusieji natūralieji skaičiai.
Tikriausiai pastebėjote, kad pirminiai skaičiai natūraliųjų skaičių eilutėje atsiranda netolygiai – vienose eilučių dalyse jų daugiau, kitose – mažiau. Tačiau kuo toliau einame skaičių eilėmis, tuo pirminiai skaičiai tampa retesni. Kyla klausimas: ar egzistuoja paskutinis (didžiausias) pirminis skaičius? Senovės graikų matematikas Euklidas (III a. pr. Kr.) savo knygoje „Pradžia“, kuri du tūkstančius metų buvo pagrindinis matematikos vadovėlis, įrodė, kad pirminių skaičių yra be galo daug, tai yra, už kiekvieno pirminio skaičiaus slypi lyginis. didesnis pirminis skaičius.
Pirminiams skaičiams surasti tokį metodą sugalvojo kitas to paties laiko graikų matematikas Eratostenas. Jis surašė visus skaičius nuo 1 iki tam tikro skaičiaus, tada nubraukė vienetą, kuris nėra nei pirminis, nei sudėtinis skaičius, tada per vieną perbraukė visus skaičius po 2 (skaičius, kurie yra 2 kartotiniai, t. y. 4, 6, 8 ir kt.). Pirmasis likęs skaičius po 2 buvo 3. Tada po dviejų buvo perbraukti visi skaičiai po 3 (skaičiai, kurie yra 3 kartotiniai, t. y. 6, 9, 12 ir kt.). pabaigoje liko neperbraukti tik pirminiai skaičiai.

Viena iš užduočių, keliančių problemų šiuolaikiniams moksleiviams, įpratusiems naudoti programėlėse įmontuotus skaičiuotuvus vietoje ir ne vietoje, – rasti didžiausią bendrąjį dviejų ar daugiau skaičių daliklį (GCD).

Neįmanoma išspręsti jokios matematinės problemos, jei nežinoma, ko iš tikrųjų klausiama. Norėdami tai padaryti, turite žinoti, ką reiškia tas ar kitas posakis. naudojamas matematikoje.

Reikia žinoti:

1. Jei tam tikru skaičiumi galima suskaičiuoti įvairius objektus, pavyzdžiui, devynis stulpus, šešiolika namų, tai natūralu. Mažiausias iš jų bus vienas.
2. Kai natūralusis skaičius dalijasi iš kito natūraliojo skaičiaus, sakoma, kad mažesnis skaičius yra didesnio skaičiaus daliklis.
3. Jei du ar daugiau skirtingų skaičių dalijasi iš tam tikro skaičiaus be liekanos, tada jie sako, kad pastarasis bus jų bendras daliklis (OD).
4. Didžiausias iš OD vadinamas didžiausiu bendruoju dalikliu (GCD).
5. Tokiu atveju, kai skaičius turi tik du natūraliuosius daliklius (savą ir vieną), jis vadinamas pirminiu. Mažiausias iš jų yra dvivietis, be to, tai vienintelis lyginis skaičius jų serijoje.
6. Jei dviejų skaičių didžiausias bendras daliklis yra vienas, tada jie bus pirminiai.
7. Skaičius, turintis daugiau nei du daliklius, vadinamas sudėtiniu skaičiumi.
8. Procesas, kai randami visi pirminiai veiksniai, kuriuos padauginus vienas su kitu, matematikoje bus gauta pradinė sandaugos vertė, vadinamas skaidymu į pirminius veiksnius. Be to, tie patys plėtros veiksniai gali atsirasti daugiau nei vieną kartą.

Matematikoje priimamos šios žymos:

1. Dalikliai D (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
2. OD (8;18) = (1;2).
3. GCD (8;18) = 2.

Įvairūs būdai rasti GCD

Lengviausia atsakyti į klausimą kaip rasti NOD kai mažesnis skaičius yra didesniojo daliklis. Šiuo atveju tai bus didžiausias bendras daliklis.

Pavyzdžiui, GCD (15;45) = 15, GCD (48;24) = 24.

Tačiau tokie atvejai matematikoje yra labai reti, todėl norint rasti GCD, naudojami sudėtingesni metodai, nors prieš pradedant darbą vis tiek rekomenduojama patikrinti šią parinktį.

Skaidymo į pirminius veiksnius metodas

Jei reikia rasti dviejų ar daugiau skirtingų skaičių GCD, pakanka išskaidyti kiekvieną iš jų į paprastus veiksnius, o tada padauginti tuos iš jų, kurie yra kiekviename iš skaičių.

1 pavyzdys

Apsvarstykite, kaip rasti GCD 36 ir 90:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

GCD (36; 90) = 1 * 2 * 3 * 3 = 18.

Dabar pažiūrėkime, kaip rasti tą patį jei yra trys skaičiai, paimkite, pavyzdžiui, 54; 162; 42.

Mes jau žinome, kaip išskaidyti 36, pabandykime su likusiais:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Taigi, GCD (36; 162; 42) = 1 * 2 * 3 = 6.

Reikėtų pažymėti, kad vienetą įrašyti išplėtime yra visiškai neprivaloma.

Apsvarstykite būdą kaip lengva faktorizuoti, tam kairėje parašysime mums reikalingą skaičių, o dešinėje – paprastus daliklius.

Stulpelius galima atskirti padalijimo ženklu arba paprasta vertikalia juosta.

1. 36/2 tęsime savo padalijimo procesą;
2. 18/2 toliau;
3. 9/3 ir vėl;
4. 3/3 dabar yra gana elementarus;
5. 1 - rezultatas paruoštas.

Norimas 36 \u003d 2 * 2 * 3 * 3.

Euklido kelias

Ši parinktis žmonijai žinoma nuo senovės Graikijos civilizacijos laikų, ji yra daug paprastesnė ir priskiriama didžiajam matematikui Euklidui, nors ir anksčiau buvo naudojami labai panašūs algoritmai. Šis metodas yra naudojant šį algoritmą, didesnį skaičių su likučiu padalijame iš mažesnio. Tada padalijame daliklį iš likusios dalies ir toliau taip elgiamės ratu, kol padalijimas bus baigtas. Paskutinė reikšmė pasirodys kaip norimas didžiausias bendras daliklis.

Pateikiame šio algoritmo naudojimo pavyzdį:

Pabandykime išsiaiškinti, kuris GCD skirtas 816 ir 252:

1. 816 / 252 = 3, o likusioji dalis yra 60. Dabar 252 padalijame iš 60;
2. 252 / 60 = 4 likusi dalis šį kartą bus 12. Tęskime žiedinį procesą, padalykite šešiasdešimt iš dvylikos;
3. 60 / 12 = 5. Kadangi šį kartą negavome likučio, rezultatas yra paruoštas, dvylika bus mūsų ieškoma reikšmė.

Taigi, mūsų proceso pabaigoje mes gavome NOD (816;252) = 12.

Veiksmai, jei reikia nustatyti GCD, jei nurodytos daugiau nei dvi reikšmės

Mes jau supratome, ką daryti tuo atveju, kai yra du skirtingi skaičiai, dabar sužinosime, kaip elgtis, jei tokių yra. 3 ar daugiau.

Nepaisant akivaizdaus sudėtingumo, duota užduotis daugiau mums problemų. Dabar pasirenkame bet kuriuos du skaičius ir nustatome jų ieškomą reikšmę. Kitas žingsnis – surasti gauto rezultato GCD ir trečiąją iš pateiktų verčių. Tada vėl elgiamės pagal mums jau žinomą ketvirtą penktą principą ir pan.

Išvada

Taigi, iš pradžių mums atrodo labai sudėtinga užduotis, iš tikrųjų viskas paprasta, svarbiausia, kad padalijimo procesas būtų atliktas be klaidų ir laikykitės bet kurio iš dviejų aukščiau aprašytų algoritmų.

Nors abu metodai yra visiškai priimtini, in bendrojo lavinimo mokykla pirmasis metodas naudojamas daug dažniau.. Taip yra dėl to, kad studijuojant kitą edukacinę temą - didžiausio bendro kartotinio (LCM) apibrėžimą, reikės skaidyti į pirminius veiksnius. Tačiau vis tiek verta dar kartą pažymėti, kad Euklido algoritmo naudojimas jokiu būdu negali būti laikomas klaidingu.

Vaizdo įrašas

Vaizdo įrašo pagalba galite sužinoti, kaip rasti didžiausią bendrą daliklį.

Negavai atsakymo į savo klausimą? Siūlykite temą autoriams.

Antras numeris: b=

Skaitmenų skyriklis Nėra tarpo skyriklio " "

Rezultatas:

Didžiausias bendras daliklis gcd( a,b)=6

Mažiausias LCM( a,b)=468

Vadinamas didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio skaičiai a ir b dalijasi be liekanos didžiausias bendras daliklis(gcd) iš šių skaičių. Žymima gcd(a,b), (a,b), gcd(a,b) arba hcf(a,b).

Mažiausias bendras kartotinis Dviejų sveikųjų skaičių a ir b (LCM) yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš a ir b be liekanos. Žymima LCM(a,b) arba lcm(a,b).

Vadinami sveikieji skaičiai a ir b koprime jei jie neturi bendrų daliklių, išskyrus +1 ir –1.

Didžiausias bendras daliklis

Duok du teigiami skaičiai a 1 ir a 2 1). Reikia rasti bendrą šių skaičių daliklį, t.y. rasti tokį skaičių λ , kuris dalija skaičius a 1 ir a 2 tuo pačiu metu. Apibūdinkime algoritmą.

1) Šiame straipsnyje žodis skaičius reiškia sveikąjį skaičių.

Leisti a 1 ≥ a 2 ir leiskite

kur m 1 , a 3 yra keli sveikieji skaičiai, a 3 <a 2 (likusi dalis iš skyriaus a 1 ant a 2 turėtų būti mažiau a 2).

Apsimeskime tai λ dalijasi a 1 ir a 2, tada λ dalijasi m 1 a 2 ir λ dalijasi a 1 −m 1 a 2 =a 3 (straipsnio „Skaičių dalijamumas. Dalyvavimo ženklas“ 2 teiginys). Iš to išplaukia, kad kiekvienas bendras daliklis a 1 ir a 2 yra bendras daliklis a 2 ir a 3 . Ir atvirkščiai, jei λ bendras daliklis a 2 ir a 3, tada m 1 a 2 ir a 1 =m 1 a 2 +a 3 taip pat skirstomi į λ . Taigi bendras daliklis a 2 ir a 3 taip pat yra bendras daliklis a 1 ir a 2. Nes a 3 <a 2 ≤a 1 , tada galime pasakyti, kad bendro skaičių daliklio radimo problemos sprendimas a 1 ir a 2 redukuota į paprastesnę užduotį rasti bendrą skaičių daliklį a 2 ir a 3 .

Jeigu a 3 ≠0, tada galime padalinti a 2 ant a 3 . Tada

,

kur m 1 ir a 4 yra keli sveikieji skaičiai, ( a 4 likusios padalijimo dalys a 2 ant a 3 (a 4 <a 3)). Panašiai samprotaudami prieiname prie išvados, kad bendrieji skaičių dalikliai a 3 ir a 4 yra tas pats, kas bendrieji skaičių dalikliai a 2 ir a 3 , taip pat su bendrais dalikliais a 1 ir a 2. Nes a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , ... skaičiai, kurie nuolat mažėja ir kadangi yra baigtinis sveikųjų skaičių tarp a 2 ir 0, tada tam tikru žingsniu n, likusi dalis a n įjungta a n+1 bus lygus nuliui ( a n+2=0).

.

Kiekvienas bendras daliklis λ numeriai a 1 ir a 2 taip pat yra skaičių daliklis a 2 ir a 3 , a 3 ir a 4 , .... a n ir a n+1 . Ir atvirkščiai, bendrieji skaičių dalikliai a n ir a n+1 taip pat yra skaičių dalikliai a n−1 ir a n , .... , a 2 ir a 3 , a 1 ir a 2. Tačiau bendras daliklis a n ir a n+1 yra skaičius a n+1 , nes a n ir a n+1 dalijasi iš a n+1 (prisiminkite tai a n+2=0). Vadinasi a n+1 taip pat yra skaičių daliklis a 1 ir a 2 .

Atkreipkite dėmesį, kad skaičius a n+1 yra didžiausias skaičių daliklis a n ir a n+1 , nes didžiausias daliklis a n+1 yra pats savaime a n+1 . Jeigu a n + 1 gali būti pavaizduotas kaip sveikųjų skaičių sandauga, tada šie skaičiai taip pat yra bendrieji skaičių dalikliai a 1 ir a 2. Skaičius a n+1 vadinami didžiausias bendras daliklis numeriai a 1 ir a 2 .

Skaičiai a 1 ir a 2 gali būti ir teigiami, ir neigiami skaičiai. Jei vienas iš skaičių lygus nuliui, tai didžiausias bendras šių skaičių daliklis bus lygus kito skaičiaus absoliučiai reikšmei. Didžiausias bendras nulinių skaičių daliklis nėra apibrėžtas.

Aukščiau pateiktas algoritmas vadinamas Euklido algoritmas rasti didžiausią bendrą dviejų sveikųjų skaičių daliklį.

Pavyzdys, kaip rasti didžiausią bendrą dviejų skaičių daliklį

Raskite didžiausią bendrą dviejų skaičių 630 ir 434 daliklį.

• 1 veiksmas. Padalinkite skaičių 630 iš 434. Likutis yra 196.
• 2 veiksmas. Padalinkite skaičių 434 iš 196. Likutis yra 42.
• 3 veiksmas. Padalinkite skaičių 196 iš 42. Likutis yra 28.
• 4 veiksmas. Padalinkite skaičių 42 iš 28. Likutis yra 14.
• 5 veiksmas. Padalinkite skaičių 28 iš 14. Likutis yra 0.

5 veiksme dalybos likutis yra 0. Todėl didžiausias bendras skaičių 630 ir 434 daliklis yra 14. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai 2 ir 7 taip pat yra skaičių 630 ir 434 dalikliai.

Kopirminiai skaičiai

Apibrėžimas 1. Tegul didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2 yra lygus vienam. Tada šie numeriai vadinami pirminiai skaičiai kurie neturi bendro daliklio.

Teorema 1. Jeigu a 1 ir a 2 santykinai pirminiai skaičiai ir λ tam tikrą skaičių, tada bet kurį bendrą skaičių daliklį λa 1 ir a 2 taip pat yra bendras skaičių daliklis λ ir a 2 .

Įrodymas. Apsvarstykite Euklido algoritmą didžiausiam bendrajam skaičių dalikliui rasti a 1 ir a 2 (žr. aukščiau).

.

Iš teoremos sąlygų išplaukia, kad didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2, todėl a n ir a n+1 yra 1. T.y. a n+1=1.

Padauginkime visas šias lygybes iš λ , tada

.

Tegul bendras daliklis a 1 λ ir a 2 yra δ . Tada δ įeina kaip veiksnys a 1 λ , m 1 a 2 λ ir į a 1 λ -m 1 a 2 λ =a 3 λ (Žr. „Skaičių dalijamumas“, 2 teiginys). Toliau δ įeina kaip veiksnys a 2 λ ir m 2 a 3 λ , todėl įvedamas kaip veiksnys a 2 λ -m 2 a 3 λ =a 4 λ .

Taip samprotaudami mes tuo įsitikiname δ įeina kaip veiksnys a n−1 λ ir m n−1 a n λ , taigi ir į a n−1 λ −m n−1 a n λ =a n+1 λ . Nes a n+1 =1, tada δ įeina kaip veiksnys λ . Taigi skaičius δ yra bendras skaičių daliklis λ ir a 2 .

Apsvarstykite specialius 1 teoremos atvejus.

Pasekmė 1. Leisti a ir c pirminiai skaičiai yra santykinai b. Tada jų produktas ak atžvilgiu yra pirminis skaičius b.

Tikrai. Iš 1 teoremos ak ir b turi tuos pačius bendrus daliklius kaip c ir b. Bet skaičiai c ir b koprime, t.y. turi vieną bendrą daliklį 1. Tada ak ir b taip pat turi vieną bendrą daliklį 1. Vadinasi ak ir b abipusiai paprasta.

Pasekmė 2. Leisti a ir b kopirminiai skaičiai ir tegul b dalijasi ak. Tada b dalijasi ir k.

Tikrai. Iš tvirtinimo sąlygos ak ir b turi bendrą daliklį b. Pagal 1 teoremą, b turi būti bendras daliklis b ir k. Vadinasi b dalijasi k.

1 išvadą galima apibendrinti.

Pasekmė 3. 1. Tegul skaičiai a 1 , a 2 , a 3 , ..., a m yra pirminiai skaičiaus atžvilgiu b. Tada a 1 a 2 , a 1 a 2 · a 3 , ..., a 1 a 2 a 3 ··· a m , šių skaičių sandauga yra pirminė skaičiaus atžvilgiu b.

2. Tegu turime dvi skaičių eilutes

taip, kad kiekvienas skaičius pirmoje eilutėje būtų pirminis kiekvieno antrosios eilutės skaičiaus atžvilgiu. Tada produktas

Reikia rasti tokius skaičius, kurie dalijasi iš kiekvieno iš šių skaičių.

Jei skaičius dalijasi iš a 1, tada atrodo sa 1, kur s kažkoks skaičius. Jeigu q yra didžiausias bendras skaičių daliklis a 1 ir a 2, tada

kur s 1 yra tam tikras sveikasis skaičius. Tada

yra mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 ir a 2 .

a 1 ir a 2 koprime, tada mažiausias bendras skaičių kartotinis a 1 ir a 2:

Raskite mažiausią bendrą šių skaičių kartotinį.

Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad bet kuris skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 turi būti skaičių kartotinis ε ir a 3 ir atvirkščiai. Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε ir a 3 yra ε vienas . Be to, skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 , a 4 turi būti skaičių kartotinis ε 1 ir a keturi . Tegul mažiausias bendrasis skaičių kartotinis ε 1 ir a 4 yra ε 2. Taigi mes išsiaiškinome, kad visi skaičių kartotiniai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m sutampa su kokio nors konkretaus skaičiaus kartotiniais ε n , kuris vadinamas mažiausiu bendruoju duotųjų skaičių kartotiniu.

Konkrečiu atveju, kai skaičiai a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m koprime, tada mažiausias bendrasis skaičių kartotinis a 1 , a 2, kaip parodyta aukščiau, turi formą (3). Be to, nuo a 3 pirminis skaičius skaičių atžvilgiu a 1 , a 2, tada a 3 yra pirminis santykinis skaičius a vienas · a 2 (1 išvada). Taigi mažiausias bendras skaičių kartotinis a 1 ,a 2 ,a 3 yra skaičius a vienas · a 2 · a 3 . Ginčiuodami panašiai, prieiname prie tokių teiginių.

pareiškimas 1. Mažiausias bendras kopirminių skaičių kartotinis a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m yra lygus jų sandaugai a vienas · a 2 · a 3 ··· a m .

pareiškimas 2. Bet koks skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno pirminio skaičiaus a 1 , a 2 , a 3 ,...,a m taip pat dalijasi iš jų sandaugos a vienas · a 2 · a 3 ··· a m .