Šios pamokos pagalba sužinosite apie racionalias nelygybes ir jų sistemas. Racionaliųjų nelygybių sistema sprendžiama lygiaverčių transformacijų pagalba. Nagrinėjamas lygiavertiškumo apibrėžimas, trupmeninės-racionalinės nelygybės pakeitimo kvadratine metodas, taip pat suprantama, kuo skiriasi nelygybė nuo lygties ir kaip atliekamos ekvivalentinės transformacijos.

Algebra 9 klasė

9 klasės algebros kurso baigiamasis kartojimas

Racionalios nelygybės ir jų sistemos. Racionaliųjų nelygybių sistemos.

1.1 Abstraktus.

1. Racionaliųjų nelygybių ekvivalentinės transformacijos.

Nuspręskite racionalioji nelygybė reiškia rasti visus jos sprendimus. Skirtingai nuo lygties, sprendžiant nelygybę, paprastai yra begalinis sprendinių skaičius. Begalinis sprendimų skaičius negali būti patikrintas pakeičiant. Todėl pradinę nelygybę reikia transformuoti taip, kad kiekvienoje kitoje eilutėje būtų gauta nelygybė su ta pačia sprendinių aibe.

Racionalios nelygybės sprendžiama tik su lygiavertis arba lygiavertės transformacijos. Tokios transformacijos neiškreipia sprendinių aibės.

Apibrėžimas. Racionalios nelygybės paskambino lygiavertis jei jų sprendinių aibės yra vienodos.

Norėdami paskirti lygiavertiškumas naudoti ženklą

2. Nelygybių sistemos sprendimas

Pirmoji ir antroji nelygybė yra trupmeninės racionalios nelygybės. Jų sprendimo metodai yra natūrali tiesinių ir kvadratinių nelygybių sprendimo metodų tąsa.

Dešinėje pusėje esančius skaičius perkelkime į kairę su priešingu ženklu.

Dėl to dešinėje pusėje liks 0. Ši transformacija yra lygiavertė. Tai rodo ženklas

Atlikime veiksmus, kuriuos nurodo algebra. Atimkite "1" pirmoje nelygybėje ir "2" antroje.

3. Nelygybės sprendimas intervalų metodu

1) Įveskime funkciją. Turime žinoti, kada ši funkcija yra mažesnė nei 0.

2) Raskite funkcijos sritį: vardiklis neturi būti 0. "2" yra lūžio taškas. Jei x = 2, funkcija yra neapibrėžta.

3) Raskite funkcijos šaknis. Funkcija yra 0, jei skaitiklis yra 0.

Nustatyti taškai padalija skaitinę ašį į tris intervalus – tai pastovumo intervalai. Kiekviename intervale funkcija išlaiko savo ženklą. Nustatykime pirmojo intervalo ženklą. Pakeiskite tam tikrą vertę. Pavyzdžiui, 100. Aišku, kad ir skaitiklis, ir vardiklis yra didesni už 0. Tai reiškia, kad visa trupmena yra teigiama.

Nustatykime likusių intervalų ženklus. Einant per tašką x=2, ženklą keičia tik vardiklis. Tai reiškia, kad visa trupmena pakeis ženklą ir bus neigiama. Padarykime panašią diskusiją. Einant per tašką x=-3, tik skaitiklis keičia ženklą. Tai reiškia, kad trupmena pakeis ženklą ir bus teigiama.

Pasirenkame intervalą, atitinkantį nelygybės sąlygą. Nuspalvinkite jį ir parašykite kaip nelygybę

4. Nelygybės sprendimas naudojant kvadratinę nelygybę

Svarbus faktas.

Lyginant su 0 (griežtos nelygybės atveju), trupmeną galima pakeisti skaitiklio ir vardiklio sandauga arba sukeisti skaitiklį ar vardiklį.

Taip yra todėl, kad galioja visos trys nelygybės, jei u ir v skirtingas ženklas. Šios trys nelygybės yra lygiavertės.

Mes naudojame šį faktą ir pakeičiame trupmeninę-racionaliąją nelygybę kvadratine.

Išspręskime kvadratinę nelygybę.

Supažindinkime kvadratinė funkcija. Raskime jo šaknis ir sukurkime jo grafiko eskizą.

Taigi parabolės šakos yra aukštyn. Šaknų intervale funkcija išsaugo ženklą. Ji neigiama.

Už šaknų intervalo funkcija yra teigiama.

Pirmosios nelygybės sprendimas:

5. Nelygybės sprendimas

Pristatykime funkciją:

Raskime jo pastovumo intervalus:

Norėdami tai padaryti, randame funkcijos srities šaknis ir pertrūkių taškus. Mes visada pašaliname pertraukos taškus. (x \u003d 3/2) Atsižvelgdami į nelygybės ženklą, išpjauname šaknis. Mūsų nelygybė griežta. Todėl išpjauname šaknį.

Padėkime ženklus:

Parašykime sprendimą:

Užbaikime sistemos sprendimą. Raskime pirmosios nelygybės sprendinių aibės ir antrosios nelygybės sprendinių aibės sankirtą.

Išspręsti nelygybių sistemą reiškia rasti pirmosios nelygybės sprendinių aibės ir antrosios nelygybės sprendinių aibės sankirtą. Todėl išsprendus pirmą ir antrą nelygybes atskirai, gautus rezultatus reikia surašyti į vieną sistemą.

Pavaizduokime pirmosios nelygybės sprendinį virš x ašies.

>>Matematika: racionalioji nelygybė

Racionalioji nelygybė su vienu kintamuoju x yra formos nelygybė – racionalios išraiškos, t.y. algebrinės išraiškos, sudarytas iš skaičių ir kintamojo x, naudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir didinimo iki natūraliosios laipsnio operacijas. Žinoma, kintamasis gali būti žymimas bet kuria kita raide, tačiau matematikoje dažniausiai pirmenybė teikiama raidei x.

Sprendžiant racionaliąsias nelygybes, naudojamos trys taisyklės, kurios buvo suformuluotos aukščiau § 1. Šių taisyklių pagalba duotoji racionalioji nelygybė paprastai paverčiama į formą / (x) > 0, kur / (x) yra algebrinė trupmena (arba daugianario). Tada išskaidykite trupmenos f (x) skaitiklį ir vardiklį į x - a formos veiksnius (jei, žinoma, tai įmanoma) ir pritaikykite intervalo metodą, kurį jau minėjome aukščiau (žr. 3 pavyzdį ankstesniame). pastraipą).

1 pavyzdys Išspręskite nelygybę (x - 1) (x + 1) (x - 2) > 0.

Sprendimas. Apsvarstykite išraišką f(x) = (x-1)(x + 1)(x-2).

1,-1,2 taškuose jis virsta 0; pažymėkite šiuos taškus skaičių eilutėje. Skaičių eilutė nurodytais taškais padalinama į keturis intervalus (6 pav.), kurių kiekviename išraiška f (x) išlaiko pastovų ženklą. Norėdami tai patikrinti, atliksime keturis argumentus (kiekvienam iš šių intervalų atskirai).

Paimkite bet kurį tašką x iš intervalo (2, Šis taškas yra skaičių eilutėje į dešinę nuo taško -1, į dešinę nuo taško 1 ir į dešinę nuo taško 2. Tai reiškia, kad x> -1, x> 1, x> 2 (7 pav.). Bet tada x-1>0, x+1>0, x - 2> 0, taigi f (x)> 0 (kaip racionalios trijų teigiamų nelygybės sandauga skaičiai).Taigi, nelygybė f (x ) > 0.

Paimkite bet kurį tašką x iš intervalo (1,2). Šis taškas yra skaičių eilutėje į dešinę nuo taško-1, į dešinę nuo taško 1, bet į kairę nuo taško 2. Vadinasi, x\u003e -1, x\u003e 1, bet x< 2 (рис. 8), а потому x + 1>0.x-1>0.x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Paimkite bet kurį tašką x iš intervalo (-1,1). Šis taškas yra skaičių eilutėje į dešinę nuo taško -1, į kairę nuo taško 1 ir į kairę nuo taško 2. Taigi x > -1, bet x< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 >0, x -1<0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) >0 (kaip dviejų neigiamų ir vieno teigiamo skaičiaus sandauga). Taigi intervale (-1,1) galioja nelygybė f (x)> 0.

Galiausiai paimkite bet kurį tašką x iš atvirojo spindulio (-oo, -1). Šis taškas yra skaičių eilutėje į kairę nuo taško -1, į kairę nuo taško 1 ir į kairę nuo taško 2. Tai reiškia, kad x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Apibendrinkime. Išraiškos f (x) ženklai pasirinktuose intervaluose yra tokie, kaip parodyta pav. 11. Mus domina tie iš jų, ant kurių tenkinama nelygybė f (x) > 0. Naudojant geometrinį modelį, pateiktą pav. 11, nustatome, kad nelygybė f (x) > 0 tenkinama intervale (-1, 1) arba atvirame pluošte
Atsakymas: -1 < х < 1; х > 2.

2 pavyzdys Išspręskite nelygybę
Sprendimas. Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, reikiamą informaciją paimsime iš Fig. 11, bet su dviem pakeitimais, palyginti su 1 pavyzdžiu. Pirma, kadangi mus domina, kokios x reikšmės tenkina nelygybę f(x)< 0, нам придется выбрать промежутки Antra, mus tenkina ir tie taškai, kuriuose tenkinama lygybė f (x) = 0. Tai taškai -1, 1, 2, juos paveikslėlyje pažymime tamsiais apskritimais ir įtraukiame į atsakymą. Ant pav. 12 parodytas geometrinis atsako modelis, iš kurio nesunku pereiti į analitinį įrašą.
Atsakymas:
3 PAVYZDYS. Išspręskite nelygybę
Sprendimas. Suskaičiuokime kairėje nelygybės pusėje esančios algebrinės trupmenos fx skaitiklį ir vardiklį. Skaitiklyje turime x 2 - x \u003d x (x - 1).

Norėdami koeficientuoti kvadratinį trinarį x 2 - bx ~ 6, esantį trupmenos vardiklyje, randame jo šaknis. Iš lygties x 2 - 5x - 6 \u003d 0 randame x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 6. Taigi, (naudojome kvadratinio trinalio faktoriaus formulę: ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1 - x 2)).
Taigi mes transformavome pateiktą nelygybę į formą

Apsvarstykite išraišką:

Šios trupmenos skaitiklis taškuose 0 ir 1 pasisuka į 0, o taškuose -1 ir 6. Pažymėkime šiuos taškus skaičių tiesėje (13 pav.). Skaičių eilutė nurodytais taškais padalinama į penkis intervalus, o kiekviename intervale išraiška fx) išlaiko pastovų ženklą. Argumentuodami taip pat, kaip ir 1 pavyzdyje, prieiname prie išvados, kad raiškos fx) ženklai pasirinktuose intervaluose yra tokie, kaip parodyta pav. 13. Mus domina, kur yra nelygybė f (x)< 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0 atsakymas: -1

4 pavyzdys Išspręskite nelygybę

Sprendimas. Spręsdami racionaliąsias nelygybes, kaip taisyklė, dešinėje nelygybės pusėje nori palikti tik skaičių 0. Todėl nelygybę transformuojame į formą

Toliau:

Kaip rodo patirtis, jei dešinėje nelygybės pusėje yra tik skaičius 0, patogiau samprotauti, kai tiek skaitiklis, tiek vardiklis kairėje turi teigiamą vyresniojo koeficientą. O ką mes turime? trupmenos vardiklis šia prasme eilės tvarka (didžiausias koeficientas, t. y. koeficientas ties x 2, yra 6 - teigiamas skaičius), bet skaitiklyje ne viskas tvarkoje - pirmaujantis koeficientas (koeficientas ties x) yra -4 ( neigiamas skaičius). Abi nelygybės dalis padauginus iš -1 ir nelygybės ženklą pakeitus į priešingą, gauname jai lygiavertę nelygybę

Suskaičiuokime algebrinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Skaitiklyje viskas paprasta:
Išskaidyti kvadratinį trinarį, esantį trupmenos vardiklyje

(vėl panaudojome kvadratinio trinario faktoriaus formulę).
Taigi mes sumažinome pateiktą nelygybę iki formos

Apsvarstykite išraišką

Šios trupmenos skaitiklis taške pasisuka į 0, o vardiklis - taškuose. Šiuos taškus pažymime skaičių tiesėje (14 pav.), kurią iš nurodytų taškų padaliname į keturis intervalus, o ant kiekvieno intervalo – išraiška. f (x) išlaiko pastovų ženklą (šie ženklai nurodyti 14 pav.). Mus domina tie intervalai, kuriuose nelygybė fх< 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose duotą nelygybę transformavome į ekvivalentinę nelygybę, kurios formos f (x) > 0 arba f (x)<0,где
Šiuo atveju trupmenos skaitiklio ir vardiklio veiksnių skaičius gali būti bet koks. Tada skaičių tiesėje buvo pažymėti taškai a, b, c, e. ir nustatė reiškinio f (x) ženklus pasirinktuose intervaluose. Pastebėjome, kad pasirinktų intervalų pačioje dešinėje tenkinama nelygybė f (x) > 0, tada išilgai intervalų kaitaliojasi išraiškos f (x) ženklai (žr. 16a pav.). Šį kaitą patogiai iliustruoja banguota kreivė, kuri brėžiama iš dešinės į kairę ir iš viršaus į apačią (166 pav.). Tuose intervaluose, kur ši kreivė (ji kartais vadinama ženklų kreive) yra virš x ašies, tenkinama nelygybė f (x) > 0; kur ši kreivė yra žemiau x ašies, nelygybė f (x)< 0.

5 pavyzdys Išspręskite nelygybę

Sprendimas. Mes turime

(abi ankstesnės nelygybės dalys buvo padaugintos iš 6).
Norėdami naudoti intervalų metodą, pažymėkite taškus skaičių eilutėje (šiuose taškuose išnyksta kairėje nelygybės pusėje esančios trupmenos skaitiklis) ir taškai (šiuose taškuose išnyksta nurodytos trupmenos vardiklis). Paprastai taškai žymimi schematiškai, atsižvelgiant į sekimo eiliškumą (kas į dešinę, kas į kairę) ir nekreipiant ypatingo dėmesio į mastelį. Tai aišku Su skaičiais situacija yra sudėtingesnė, pirmas įvertinimas rodo, kad abu skaičiai yra šiek tiek didesni nei 2,6, iš kurių negalima spręsti, kuris iš nurodytų skaičių didesnis, o kuris mažesnis. Tarkime (atsitiktinai), kad Tada
Paaiškėjo teisinga nelygybė, o tai reiškia, kad mūsų spėjimas buvo patvirtintas: iš tikrųjų
Taigi,

Nurodytus 5 taškus pažymime nurodyta tvarka skaičių eilutėje (17a pav.). Išdėstykite išraiškos ženklus
ant gautų intervalų: pačioje dešinėje - ženklas +, o tada ženklai pakaitomis (176 pav.). Nubraižykime ženklų kreivę ir parinksime (užspalvindami) tuos intervalus, kuriuose tenkinama mus dominanti nelygybė f (x) > 0 (17c pav.). Galiausiai atsižvelgiame į tai, kad kalbame apie negriežtą nelygybę f (x) > 0, o tai reiškia, kad mus domina ir tie taškai, kuriuose išnyksta išraiška f (x). Tai trupmenos f (x) skaitiklio šaknys, t.y. taškų pažymime juos pav. 17 tamsiuose apskritimuose (ir, žinoma, įtraukite į atsakymą). Dabar čia nuotrauka. 17c pateiktas visas geometrinis modelis duotosios nelygybės sprendimams.

Tarpų nustatymo metodas- tai universalus būdas išspręsti beveik visas nelygybes, atsirandančias mokyklos algebros kurse. Jis pagrįstas šiomis funkcijų savybėmis:

1. Tęstinė funkcija g(x) gali pakeisti ženklą tik taške, kur ji lygi 0. Grafiškai tai reiškia, kad tolydžios funkcijos grafikas gali judėti iš vienos pusės plokštumos į kitą tik tada, kai kerta x- ašis (atsimename, kad bet kurio taško, esančio ant OX ašies (abscisių ašies), ordinatės lygi nuliui, tai yra, funkcijos reikšmė šiame taške yra 0):

Matome, kad grafike parodyta funkcija y=g(x) kerta OX ašį taškuose x= -8, x=-2, x=4, x=8. Šie taškai vadinami funkcijos nuliais. Ir tuose pačiuose taškuose funkcija g(x) keičia ženklą.

2. Funkcija taip pat gali pakeisti ženklą vardiklio nuliais - paprasčiausias pavyzdys gerai žinoma savybė:

Matome, kad funkcija keičia ženklą vardiklio šaknyje, taške, bet neišnyksta jokiame taške. Taigi, jei funkcijoje yra trupmena, ji gali pakeisti ženklą vardiklio šaknyse.

2. Tačiau funkcija ne visada pakeičia ženklą skaitiklio arba vardiklio šaknyje. Pavyzdžiui, funkcija y=x 2 nekeičia ženklo taške x=0:

Nes lygtis x 2 \u003d 0 turi dvi lygias šaknis x \u003d 0, taške x \u003d 0 funkcija tarsi du kartus virsta 0. Tokia šaknis vadinama antrojo dauginio šaknimi.

Funkcija pakeičia ženklą ties skaitiklio nuliu, bet nekeičia ženklo ties vardiklio nuliu: , nes šaknis yra antrojo dauginio šaknis, tai yra, lyginio dauginio:

Svarbu! Lyginio daugumo šaknyse funkcija ženklo nekeičia.

Pastaba! Bet koks nelinijinis mokyklinio algebros kurso nelygybė, kaip taisyklė, sprendžiama naudojant intervalų metodą.

Siūlau jums išsamų, kuriuo vadovaudamiesi galėsite išvengti klaidų sprendimas ne tiesinės nelygybės .

1. Pirmiausia reikia įvesti nelygybę į formą

P(x)V0,

kur V yra nelygybės ženklas:<,>,≤ arba ≥. Tam jums reikia:

a) perkelkite visus terminus į kairę nelygybės pusę,

b) suraskite gautos išraiškos šaknis,

c) koeficientuoti kairiąją nelygybės pusę

d) parašykite tuos pačius veiksnius kaip laipsnį.

Dėmesio! Paskutinis veiksmas turi būti atliktas, kad nesuklystumėte su šaknų daugybe - jei rezultatas yra lyginio laipsnio daugiklis, tada atitinkama šaknis turi tolygų daugumą.

2. Rastas šaknis įdėkite į skaičių eilutę.

3. Jei nelygybė griežta, tai apskritimai, žymintys šaknis skaitinėje ašyje, paliekami „tušti“, jei nelygybė nėra griežta, tai apskritimai dažomi.

4. Atrenkame lyginio daugumo šaknis – jose P(x)ženklas nesikeičia.

5. Nustatykite ženklą P(x) dešinėje tarpo pusėje. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką reikšmę x 0, kuri yra didesnė už didžiausią šaknį, ir pakeiskite į P(x).

Jei P(x 0)>0 (arba ≥0), tada dešiniajame intervale dedame „+“ ženklą.

Jei P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Einant per tašką, žymintį lyginio dauginio šaknį, ženklas NEKEITA.

7. Dar kartą žiūrime į pradinės nelygybės ženklą ir pasirenkame mums reikalingus ženklo intervalus.

8. Dėmesio! Jei mūsų nelygybė NĖRA GRIEŽTA, tada lygybės sąlygą nuliui tikriname atskirai.

9. Užsirašykite atsakymą.

Jei originalas nelygybės vardiklyje yra nežinomasis, tada visus terminus taip pat perkeliame į kairę, o kairę nelygybės pusę sumažiname į formą

(kur V yra nelygybės ženklas:< или >)

Griežta tokio pobūdžio nelygybė prilygsta nelygybei

NĖRA griežtas formos nelygybė

yra tolygus sistema:

Praktiškai, jei funkcija turi formą , tada elgiamės taip:

1. Raskite skaitiklio ir vardiklio šaknis.
2. Mes dedame juos ant ašies. Visi apskritimai paliekami tušti. Tada, jei nelygybė nėra griežta, tada perbraukiame skaitiklio šaknis, o vardiklio šaknis visada paliekame tuščias.
3. Toliau vadovaujamės bendruoju algoritmu:
4. Parenkame lyginio dauginio šaknis (jei skaitiklyje ir vardiklyje yra tos pačios šaknys, tada skaičiuojame, kiek kartų pasitaiko tos pačios šaknys). Lyginio daugialypiškumo šaknyse ženklo pokytis nėra.
5. Išsiaiškiname ženklą dešiniajame intervale.
6. Mes pastatome ženklus.
7. Esant negriežtai nelygybei, lygybės sąlyga, lygybės sąlyga nuliui, tikrinama atskirai.
8. Parenkame reikiamus intervalus ir atskirai stovinčias šaknis.
9. Užrašome atsakymą.

Kad geriau suprastum nelygybių sprendimo intervalų metodu algoritmas, žiūrėkite VAIZDO PAMOKA, kurioje detaliai analizuojamas pavyzdys nelygybės sprendimas intervalų metodu.

Mes ir toliau analizuojame būdus, kaip išspręsti nelygybes, kurių sudėtis turi vieną kintamąjį. Mes jau ištyrėme tiesines ir kvadratines nelygybes, kurios yra ypatingi racionalių nelygybių atvejai. Šiame straipsnyje išsiaiškinsime, kokio tipo nelygybės yra racionalios, pasakysime, į kokius tipus jos skirstomos (sveikasis ir trupmeniniai). Po to parodysime, kaip teisingai jas išspręsti, pateiksime reikiamus algoritmus ir analizuosime konkrečias problemas.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalių lygybių samprata

Kai mokykloje nagrinėjama nelygybių sprendimo tema, iš karto imamasi racionalių nelygybių. Jie įgyja ir tobulina darbo su tokio tipo išraiškomis įgūdžius. Suformuluosime šios sąvokos apibrėžimą:

1 apibrėžimas

Racionalioji nelygybė yra nelygybė su kintamaisiais, kurios abiejose dalyse yra racionalios išraiškos.

Atkreipkite dėmesį, kad apibrėžimas neturi jokios įtakos kintamųjų skaičiui, o tai reiškia, kad jų gali būti savavališkai daug. Todėl galimos racionalios nelygybės su 1, 2, 3 ar daugiau kintamųjų. Dažniausiai tenka susidurti su išraiškomis, turinčiomis tik vieną kintamąjį, rečiau du, o nelygybės su dideliu kintamųjų skaičiumi mokyklinio kurso rėmuose dažniausiai visai nenagrinėjamos.

Taigi racionalią nelygybę galime sužinoti žiūrėdami į jos žymėjimą. Tiek dešinėje, tiek kairėje pusėje turi būti racionalios išraiškos. Štai keletas pavyzdžių:

x > 4 x 3 + 2 y ≤ 5 (y − 1) (x 2 + 1) 2 x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 x 2

Ir čia yra 5 + x + 1 formos nelygybė< x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Visos racionalios nelygybės skirstomos į sveikąsias ir trupmenines.

2 apibrėžimas

Sveikųjų skaičių racionalioji lygybė susideda iš sveikųjų skaičių racionaliųjų išraiškų (abiejose dalyse).

3 apibrėžimas

Dalinė racionali lygybė- tai lygybė, kurios vienoje arba abiejose dalyse yra trupmeninė išraiška.

Pavyzdžiui, 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 1 3 x - 1 > 4 - x 4 ir 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 nelygybės yra trupmeninis racionalus ir 0,5 x ≤ 3 (2–5 m.) ir 1: x + 3 > 0- visas.

Išanalizavome, kas yra racionalios nelygybės, ir nustatėme pagrindinius jų tipus. Galime pereiti prie jų sprendimo apžvalgos.

Tarkime, kad turime rasti sveikųjų skaičių racionalios nelygybės sprendimus r(x)< s (x) , kuris apima tik vieną kintamąjį x . Kuriame r(x) ir s(x) yra bet kokia visuma racionalūs numeriai arba išraiškas, o nelygybės ženklas gali būti skirtingas. Norėdami išspręsti šią užduotį, turime ją transformuoti ir gauti lygiavertę lygybę.

Pradėkime perkeldami išraišką iš dešinės pusės į kairę. Gauname šiuos dalykus:

formos r (x) − s (x)< 0 (≤ , > , ≥)

Mes tai žinome r(x) − s(x) bus sveikasis skaičius, o bet kuri sveikojo skaičiaus išraiška gali būti konvertuojama į daugianarį. Transformuokime r(x) − s(x) h(x) . Ši išraiška bus identiškai lygus daugianario. Atsižvelgiant į tai, kad r (x) − s (x) ir h (x) turi tą patį galimų x reikšmių diapazoną, galime pereiti prie nelygybių h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , kuris bus lygiavertis pradiniam.

Dažnai tokios paprastos transformacijos pakaks nelygybei išspręsti, nes rezultatas gali būti tiesinė arba kvadratinė nelygybė, kurios reikšmę nesunku apskaičiuoti. Pažvelkime į šias problemas.

1 pavyzdys

Būklė: išspręskite sveikųjų skaičių racionaliąją nelygybę x (x + 3) + 2 x ≤ (x + 1) 2 + 1.

Sprendimas

Pradėkime perkeldami išraišką iš dešinės pusės į kairę pusę su priešingu ženklu.

x (x + 3) + 2 x − (x + 1) 2 - 1 ≤ 0

Dabar, kai baigėme visas operacijas su polinomais kairėje, galime pereiti prie tiesinės nelygybės 3 x − 2 ≤ 0, atitinka tai, kas buvo pateikta sąlygoje. Tai lengva išspręsti:

3 x ≤ 2 x ≤ 2 3

Atsakymas: x ≤ 2 3 .

2 pavyzdys

Būklė: rasti nelygybės sprendimą (x 2 + 1) 2 - 3 x 2 > (x 2 - x) (x 2 + x).

Sprendimas

Perkeliame išraišką iš kairės į dešinę ir atliekame tolimesnes transformacijas naudodamiesi sutrumpintomis daugybos formulėmis.

(x 2 + 1) 2 - 3 x 2 - (x 2 - x) (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 x 2 + 1 - 3 x 2 - x 4 + x 2 > 0 1 > 0

Dėl mūsų transformacijų gavome nelygybę, kuri bus teisinga bet kurioms x reikšmėms, todėl bet koks realusis skaičius gali būti pradinės nelygybės sprendimas.

Atsakymas: bet koks tikrasis skaičius.

3 pavyzdys

Būklė: išspręsti nelygybę x + 6 + 2 x 3 - 2 x (x 2 + x - 5) > 0.

Sprendimas

Iš dešinės pusės nieko neperkelsime, nes yra 0 . Iš karto pradėkime kairiąją pusę konvertuodami į daugianarį:

x + 6 + 2 x 3 - 2 x 3 - 2 x 2 + 10 x > 0 - 2 x 2 + 11 x + 6 > 0 .

Išvedėme kvadratinę nelygybę, lygiavertę pradinei, kurią galima lengvai išspręsti keliais metodais. Naudokime grafinį metodą.

Pradėkime nuo kvadratinio trinalio šaknų apskaičiavimo – 2 x 2 + 11 x + 6:

D \u003d 11 2 - 4 (- 2) 6 = 169 x 1 \u003d - 11 + 169 2 - 2, x 2 \u003d - 11 - 169 2 - 2 x 1 \u003d, - 2, \u003d u003d 6

Dabar diagramoje pažymime visus reikiamus nulius. Kadangi pirmaujantis koeficientas yra mažesnis už nulį, parabolės šakos grafike atrodys žemyn.

Mums reikės parabolės srities, esančios virš abscisių ašies, nes nelygybėje turime > ženklą. Norimas intervalas yra (− 0 , 5 , 6) , todėl šis verčių diapazonas bus mums reikalingas sprendimas.

Atsakymas: (− 0 , 5 , 6) .

Yra ir sudėtingesnių atvejų, kai kairėje gauname trečdalio ar daugiau daugianario aukštas laipsnis. Norint išspręsti tokią nelygybę, rekomenduojama naudoti intervalų metodą. Pirmiausia apskaičiuojame visas daugianario šaknis h(x), o tai dažniausiai daroma faktorinuojant daugianarį.

4 pavyzdys

Būklė: apskaičiuoti (x 2 + 2) (x + 4)< 14 − 9 · x .

Sprendimas

Pradėkime, kaip visada, perkeldami išraišką į kairę pusę, po to reikės atidaryti skliaustus ir sumažinti panašius terminus.

(x 2 + 2) (x + 4) − 14 + 9 x< 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

Transformacijų rezultate gavome lygybę, lygiavertę pradinei, kurios kairėje yra trečiojo laipsnio daugianario. Jai išspręsti taikome intervalų metodą.

Pirmiausia apskaičiuojame daugianario šaknis, kurioms reikia išspręsti kubinę lygtį x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 = 0. Ar tai turi racionalias šaknis? Jie gali būti tik tarp laisvojo termino daliklių, t.y. tarp skaičių ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Mes juos paeiliui pakeičiame pradine lygtimi ir išsiaiškiname, kad skaičiai 1, 2 ir 3 bus jos šaknys.

Taigi daugianario x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6 galima apibūdinti kaip produktą (x - 1) (x - 2) (x - 3), ir nelygybė x 3 + 4 x 2 + 11 x - 6< 0 galima pateikti kaip (x - 1) (x - 2) (x - 3)< 0 . Esant tokiai nelygybei, mums bus lengviau nustatyti intervalų ženklus.

Toliau atliekame likusius intervalinio metodo veiksmus: nubrėžiame skaičių tiesę ir joje taškus su koordinatėmis 1 , 2 , 3 . Jie padalija tiesę į 4 intervalus, kuriuose reikia nustatyti ženklus. Spragas nuspalviname minusu, nes pradinė nelygybė turi ženklą < .

Tereikia užsirašyti paruoštą atsakymą: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) ​​.

Atsakymas: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Kai kuriais atvejais atlikite perėjimą iš nelygybės r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) iki h (x)< 0 (≤ , >, ≥) , kur h(x)– daugianaris, didesnis nei 2, yra netinkamas. Tai taikoma tais atvejais, kai r(x) − s(x) lengviau pavaizduoti kaip tiesinių dvinarių ir kvadratinių trinarių sandaugą, nei padalyti h(x) į atskirus veiksnius. Pažvelkime į šią problemą.

5 pavyzdys

Būklė: rasti nelygybės sprendimą (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) ≥ 2 x (x 2 - 2 x - 1).

Sprendimas

Ši nelygybė taikoma sveikiesiems skaičiams. Jei išraišką perkelsime iš dešinės į kairę, atidarysime skliaustus ir atliksime terminų redukciją, gausime x 4 - 4 x 3 - 16 x 2 + 40 x + 19 ≥ 0 .

Išspręsti tokią nelygybę nėra lengva, nes reikia ieškoti ketvirtojo laipsnio daugianario šaknų. Jis neturi jokios racionalios šaknies (pavyzdžiui, 1, −1, 19 arba − 19 netelpa), o kitų šaknų ieškoti sunku. Taigi mes negalime naudoti šio metodo.

Tačiau yra ir kitų sprendimų. Jei išraiškas perkelsime iš dešinės pradinės nelygybės pusės į kairę, tada galime atlikti bendrojo koeficiento skliaustus. x 2 – 2 x – 1:

(x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 19) - 2 x (x 2 - 2 x - 1) ≥ 0 (x 2 - 2 x - 1) (x 2 - 2 · x - 19) ≥ 0 .

Gavome nelygybę, lygiavertę pradinei, ir jos sprendimas duos mums reikiamą atsakymą. Kairėje pusėje raskite išraiškos nulius, dėl kurių mes nusprendžiame kvadratines lygtis x 2 − 2 x − 1 = 0 ir x 2 - 2 x - 19 = 0. Jų šaknys yra 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Mes kreipiamės į lygybę x - 1 + 2 x - 1 - 2 x - 1 + 2 5 x - 1 - 2 5 ≥ 0 , kurią galima išspręsti intervalo metodu:

Pagal paveikslėlį atsakymas yra - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Atsakymas: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Priduriame, kad kartais nepavyksta rasti visų daugianario šaknų h(x), todėl negalime jo pavaizduoti kaip tiesinių dvinarių ir kvadratinių trinarių sandaugos. Tada išspręskite formos h (x) nelygybę< 0 (≤ , >, ≥) negalime, todėl taip pat neįmanoma išspręsti pirminės racionalios nelygybės.

Tarkime, kad reikia išspręsti r (x) formos trupmenines racionaliąsias nelygybes< s (x) (≤ , >, ≥) , kur r (x) ir s(x) yra racionalios išraiškos, x yra kintamasis. Bent viena iš nurodytų išraiškų bus trupmeninė. Sprendimo algoritmas šiuo atveju bus toks:

1. Mes nustatome priimtinų kintamojo x verčių diapazoną.
2. Perkeliame išraišką iš dešinės nelygybės pusės į kairę ir gautą išraišką r(x) − s(x) vaizduojama kaip trupmena. Tuo tarpu kur p(x) ir q(x) bus sveikųjų skaičių išraiškos, kurios yra tiesinių dvinarių, neskaidomų kvadratinių trinarių ir laipsnių su natūraliaisiais rodikliais sandaugai.
3. Toliau gautą nelygybę išsprendžiame intervalo metodu.
4. Paskutinis žingsnis yra neįtraukti taškų, gautų sprendimo metu, iš priimtinų x kintamojo verčių diapazono, kurį apibrėžėme pradžioje.

Tai yra trupmeninės racionalios nelygybės sprendimo algoritmas. Didžioji dalis aišku, nedideli paaiškinimai reikalingi tik 2 pastraipai. Perkėlėme išraišką iš dešinės pusės į kairę ir gavome r (x) − s (x)< 0 (≤ , >, ≥) , o tada kaip jį pateikti į formą p (x) q (x)< 0 (≤ , > , ≥) ?

Pirmiausia nustatome, ar tam tikrą transformaciją visada galima atlikti. Teoriškai tokia galimybė visada yra, nes bet kuri racionali išraiška gali būti paversta racionalia trupmena. Čia mes turime trupmeną su polinomais skaitiklyje ir vardiklyje. Prisiminkite pagrindinę algebros ir Bezout teoremą ir nustatykite, kad bet kuris n-ojo laipsnio daugianomas, turintis vieną kintamąjį, gali būti paverstas tiesinių dvinarių sandauga. Todėl teoriškai išraišką visada galime transformuoti tokiu būdu.

Praktiškai daugianario faktoringo nustatymas yra gana sudėtinga užduotis, ypač jei laipsnis yra didesnis nei 4. Jeigu mes negalime atlikti išplėtimo, tada šios nelygybės neišspręsime, tačiau tokios problemos dažniausiai nėra nagrinėjamos mokyklinio kurso rėmuose.

Toliau turime nuspręsti, ar gauta nelygybė p (x) q (x)< 0 (≤ , >, ≥) ekvivalentas r (x) − s (x) atžvilgiu< 0 (≤ , >, ≥) ir į pradinį. Yra tikimybė, kad jis gali pasirodyti nelygus.

Nelygybės lygiavertiškumas bus užtikrintas, kai leistinų reikšmių diapazonas p(x) q(x) atitinka išraiškos diapazoną r(x) − s(x). Tada paskutine trupmeninių racionaliųjų nelygybių sprendimo instrukcijų pastraipa vadovautis nereikia.

Tačiau diapazonas p(x) q(x) gali būti platesnis nei r(x) − s(x), pavyzdžiui, mažinant trupmenas. Pavyzdys galėtų būti nuo x x - 1 3 x - 1 2 x + 3 iki x x - 1 x + 3 . Arba taip gali nutikti pridedant panašių terminų, pavyzdžiui, čia:

x + 5 x - 2 2 x - x + 5 x - 2 2 x + 1 x + 3 iki 1 x + 3

Tokiais atvejais pridedamas paskutinis algoritmo žingsnis. Jį vykdydami atsikratysite pašalinių kintamojo reikšmių, atsirandančių dėl galiojančių verčių diapazono išplėtimo. Paimkime keletą pavyzdžių, kad būtų aiškiau, apie ką kalbame.

6 pavyzdys

Būklė: rasti racionalios lygybės x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 x x - 3 2 x + 1 sprendimus.

Sprendimas

Mes veikiame pagal aukščiau nurodytą algoritmą. Pirmiausia nustatome priimtinų verčių diapazoną. Šiuo atveju jis nustatomas pagal nelygybių sistemą x + 1 x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 (x + 1) ≠ 0 , kurios sprendinys yra aibė (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) ≥ 0

Po to turime jį transformuoti taip, kad būtų patogu taikyti intervalo metodą. Visų pirma, algebrines trupmenas perkeliame į mažiausią bendrą vardiklį (x – 3) 2 (x + 1):

x x + 1 x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 x (x - 3) 2 (x + 1) = = x x - 3 + 4 x + 1 + 3 x x - 3 2 x + 1 = x 2 + 4 x + 4 (x - 3) 2 (x + 1)

Sutraukiame išraišką skaitiklyje, taikydami sumos kvadrato formulę:

x 2 + 4 x + 4 x - 3 2 x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 x + 1

Gautos išraiškos galiojančių reikšmių diapazonas yra (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) . Matome, kad ji yra panaši į tą, kuri buvo apibrėžta pradinei lygybei. Darome išvadą, kad nelygybė x + 2 2 x - 3 2 x + 1 ≥ 0 yra lygiavertė pradinei, tai reiškia, kad mums nereikia paskutinio algoritmo žingsnio.

Mes naudojame intervalų metodą:

Matome sprendinį ( − 2 ) ∪ (− 1 , 3) ​​∪ (3 , + ∞) , kuris bus pradinės racionalios nelygybės x x + 1 x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 sprendimas. x (x - 3 ) 2 · (x + 1) .

Atsakymas: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

7 pavyzdys

Būklė: apskaičiuokite sprendinį x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 .

Sprendimas

Mes nustatome leistinų verčių sritį. Šios nelygybės atveju ji bus lygi visiems realiesiems skaičiams, išskyrus −2 , −1 , 0 ir 1 .

Perkeliame išraiškas iš dešinės į kairę:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Atsižvelgdami į rezultatą, rašome:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 x + 2 (x + 1) x - 1 = = - x - 1 (x + 1) x - 1 = - x + 1 (x + 1) x - 1 = - 1 x - 1

Išraiškai - 1 x - 1 galiojančių reikšmių diapazonas bus visų realiųjų skaičių, išskyrus vieną, rinkinys. Matome, kad reikšmių diapazonas išsiplėtė: − 2 , − 1 ir 0 . Taigi, turime atlikti paskutinį algoritmo žingsnį.

Kadangi priėjome nelygybę - 1 x - 1 > 0 , galime parašyti jos atitikmenį 1 x - 1< 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Neįtraukiame taškų, kurie neįtraukti į priimtinų pradinės lygybės verčių diapazoną. Iš (− ∞ , 1) turime išskirti skaičius − 2 , − 1 ir 0 . Taigi racionalios nelygybės x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 x + 2 x 2 - 1 sprendinys bus reikšmės (− ∞ , − 2 ) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Atsakymas: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Pabaigoje pateikiame dar vieną problemos pavyzdį, kai galutinis atsakymas priklauso nuo leistinų verčių diapazono.

8 pavyzdys

Būklė: raskite nelygybės 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 sprendimą.

Sprendimas

Sąlygoje nurodytos nelygybės leistinų verčių plotas nustatomas pagal sistemą x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 – x 2 – 1 x – 1 ≠ 0.

Ši sistema neturi sprendimų, nes

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) x + 1 x - 1 = = x + 1 – (x + 1) = 0

Tai reiškia, kad pradinė lygybė 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 neturi sprendimo, nes nėra tokių kintamojo reikšmių, kurioms ji būtų prasminga.

Atsakymas: sprendimų nėra.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

At sprendžiant tiesines nelygybes yra tik vienas didelis triukas: dalijant (arba dauginant) nelygybę iš neigiamo skaičiaus reikia pakeisti nelygybės ženklą. Pakeisti nelygybės ženklą reiškia pakeisti ženklą „mažiau nei“ į ženklą „didesnis nei“ arba atvirkščiai. Tuo pačiu metu minuso pliuso ženklų, apeinant anksčiau ištirtas matematikos taisykles, niekur keisti nereikia. Jei nelygybę padalinsime arba padauginsime iš teigiamo skaičiaus, nelygybės ženklo keisti nereikia. Priešingu atveju tiesinių nelygybių sprendimas yra visiškai identiškas tiesinių lygčių sprendiniui.

Tiesinėse ir bet kokiose kitose racionaliosiose nelygybėse jokiu būdu negalima dauginti ar dalyti kairiosios ar dešiniosios nelygybės dalių iš išraiškų, turinčių kintamąjį (išskyrus atvejus, kai ši išraiška yra teigiama arba neigiama visoje skaitinėje ašyje, tokiu atveju dalijant visada neigiama išraiška turi būti pakeistas nelygybės ženklas, o dalijant visada teigiama išraiška, nelygybės ženklas turi būti išsaugotas).

Formos nelygybių sprendimas:

Atlikta naudojant intervalo metodas, kuris yra toks:

1. Pavaizduojame koordinačių liniją, ant kurios dedame visus skaičius a i. Šie skaičiai, išdėstyti didėjančia tvarka, padalins koordinačių liniją į ( n+1) funkcijos pastovumo intervalai f(x).
2. Taigi, apibrėžiant ženklą f(x) bet kuriame kiekvieno intervalo taške (dažniausiai šis taškas pasirenkamas dėl aritmetinių operacijų patogumo), kiekviename intervale nustatome funkcijos ženklą. Svarbiausia nepakeisti pačių intervalų ribų į funkciją.
3. Atsakydami išrašome visus tuos intervalus, kurių funkcijos ženklas atitinka pagrindinę nelygybės sąlygą.

Taip pat reikia pažymėti, kad nebūtina tirti funkcijos ženklo kiekviename intervale, pakeičiant tam tikrą reikšmę iš šio intervalo. Pakanka tokiu būdu nustatyti funkcijos ženklą tik viename intervale (dažniausiai dešinėje), o tada judėdami iš šio intervalo į kairę išilgai skaitinės ašies, galite kaitalioti intervalų ženklus pagal principas:

• Jei skliaustelyje, iš kurio paimtas skaičius, per kurį praeiname, yra nelyginis keičiasi.
• Ir jei atitinkami skliaustai yra net laipsnis, tada einant per atitinkamą tašką, nelygybės ženklas nesikeičia.

Šiuo atveju taip pat reikėtų atsižvelgti į šias pastabas:

• Griežtose nelygybėse (ženkluose „mažesnis nei“ arba „didesnis nei“) spragų ribos niekada neįtraukiamos į atsakymą, o tikrojoje ašyje jos vaizduojamos kaip pradurti taškai.
• Negriežtose nelygybėse (ženkluose "mažesnis arba lygus" arba "didesnis nei arba lygus") tos intervalo ribos, kurios paimtos iš skaitiklio visada įtraukiamas į atsakymą ir rodomi kaip užpildyti taškai (nes šiuose taškuose funkcija tikrai išnyksta, o tai atitinka sąlygą).
• Tačiau ribos, paimtos iš vardiklio ne griežtose nelygybėse, visada vaizduojamos kaip pradurti taškai ir atsakymas niekada neįtrauktas(nes šiuose taškuose vardiklis išnyksta, o tai nepriimtina).
• Visose nelygybėse, jei tas pats skliaustas yra ir skaitiklyje, ir vardiklyje, tai neįmanoma sumažinti šiuo skliaustu. Būtina pavaizduoti atitinkamą tašką, išmuštą ant ašies, ir nepamirškite pašalinti iš atsakymo. Šiuo atveju kaitaliojant intervalų ženklus, einant per šį tašką, ženklo keisti nereikia.

Taigi dar kartą svarbiausia: rašydami galutinį atsakymą nelygybėse, nepraraskite atskirų taškų, kurie tenkina nelygybę (tai yra skaitiklio šaknys negriežtose nelygybėse), ir nepamirškite iš atsakymo neįtraukti visų vardiklio šaknų visose nelygybėse. .

Sprendžiant sudėtingesnės formos, nei nurodyta aukščiau, racionalias nelygybes, pirmiausia reikia jas redukuoti iki šios formos algebrinėmis transformacijomis, o tada taikyti intervalų metodą, atsižvelgiant į visas jau aprašytas subtilybes. Taigi, galima pasiūlyti tokį racionaliųjų nelygybių sprendimo algoritmą:

1. Visi terminai, trupmenos ir kiti posakiai turi būti perkelti į kairę nelygybės pusę.
2. Jei reikia, trupmenas sumažinkite iki bendro vardiklio.
3. Išskaidykite gautos trupmenos skaitiklį ir vardiklį.
4. Išspręskite gautą nelygybę intervalo metodu.

Tuo pačiu metu, val racionaliųjų nelygybių spręsti neleidžiama:

1. Padauginkite trupmenas skersai.
2. Kaip ir lygčių atveju, negalite sumažinti faktorių naudodami kintamąjį abiejose nelygybės pusėse. Jei yra tokių veiksnių, tada perkėlus visas išraiškas į kairę nelygybės pusę, jas reikia išimti iš skliaustų, o tada atsižvelgti į taškus, kuriuos jie duoda galutinai išskaidžius gautą išraišką į veiksnius.
3. Atskirai apsvarstykite trupmenos skaitiklį ir vardiklį.

Kaip ir kitose matematikos temose, sprendžiant racionaliąsias nelygybes galima taikytis kintamasis pakeitimo metodas. Svarbiausia nepamiršti, kad įvedus pakeitimą nauja išraiška turėtų tapti paprastesnė ir joje neturėtų būti senojo kintamojo. Taip pat nepamirškite atlikti atvirkštinio pakeitimo.

Sprendžiant racionaliosios nelygybės sistemos reikia išspręsti visas sistemos nelygybes po vieną. Sistema reikalauja įvykdyti dvi ar daugiau sąlygų, ir mes ieškome tų nežinomo dydžio reikšmių, kurios iš karto tenkintų visas sąlygas. Todėl nelygybių sistemos atsakyme būtina nurodyti visų atskirų nelygybių sprendinių bendrąsias dalis (arba visų nuspalvintų spragų bendrąsias dalis, vaizduojančias kiekvienos individualios nelygybės atsakymus).

Sprendžiant racionaliųjų nelygybių aibės taip pat išspręskite kiekvieną nelygybę paeiliui. Populiacijai reikia rasti visas kintamojo reikšmes, kurios atitinka bent vieną iš sąlygų. Tai yra, bet kuri iš sąlygų, kelios sąlygos arba visos sąlygos kartu. Atsakyme į nelygybių aibę nurodykite visas atskirų nelygybių sprendinių dalis (arba visas paspalvintų spragų dalis, vaizduojančias kiekvienos individualios nelygybės atsakymus).

Kai kurių tipų nelygybių sprendimas moduliais

Nelygybes su moduliais galima ir reikia išspręsti nuosekliai plečiant modulius jų pastovaus ženklo intervalais. Taigi, reikia elgtis maždaug taip pat, kaip ir sprendžiant lygtis moduliais (apie tai plačiau žemiau). Tačiau yra keletas gana paprastų atvejų, kai modulio nelygybės sprendimas redukuojamas į paprastesnį algoritmą. Pavyzdžiui, formos nelygybės sprendimas:

Ateina iki sprendimo sistemos:

Visų pirma, nelygybė:

sistema:

Na, jei panašioje nelygybėje ženklą „mažiau nei“ pakeisime „didesniu nei“:

Tada jo sprendimas susiveda į sprendimą agregatų:

Visų pirma, nelygybė:

Galima pakeisti lygiaverčiu visuma:

Taigi reikia atsiminti, kad nelygybei „modulis mažiau“ gauname sistemą, kurioje abi sąlygos turi būti tenkinamos vienu metu, o nelygybei „modulis didesnis už“ gauname aibę, kurioje turi būti bet kuri iš sąlygų. patenkintas.

Sprendžiant racionalias nelygybes su formos moduliu:

Patartina pereiti prie šios ekvivalentinės racionalios nelygybės be modulio:

Tokios nelygybės negalima išspręsti ištraukiant šaknį (jei sąžiningai ištraukiate šaknį, reikia vėl įdėti modulius ir grįšite į pradžią, jei pamiršite apie modulius, tai tolygu tiesiog pamiršti apie juos pačioje pradžioje, ir tai, žinoma, yra klaida). Visi skliaustai turi būti perkelti į kairę ir jokiu būdu neatidarant skliaustų, taikyti kvadratų skirtumo formulę.

Dar kartą tai kartojame visų kitų tipų nelygybių sprendiniai su moduliais be aukščiau nurodytų, reikia atidaryti visus į nelygybę įtrauktus modulius jų pastovaus ženklo intervalais ir išspręsti gautas nelygybes. Išsamiau prisiminkime bendrą šio algoritmo prasmę:

• Pirmiausia randame skaitinės ašies taškus, kuriuose išnyksta kiekviena žemiau modulio esanti išraiška.
• Toliau visą skaitinę ašį padaliname į intervalus tarp gautų taškų ir išnagrinėjame kiekvienos submodulio išraiškos ženklą kiekviename intervale. Atkreipkite dėmesį, kad norėdami nustatyti išraiškos ženklą, į jį turite pakeisti bet kurią kintamojo reikšmę iš intervalo, išskyrus ribinius taškus. Pasirinkite kintamąsias reikšmes, kurias lengva pakeisti.
• Be to, kiekviename gautame intervale atskleidžiame visus pradinės nelygybės modulius pagal jų ženklus šiame intervale ir išsprendžiame gautą įprastą racionalią nelygybę, atsižvelgdami į visas įprastų nelygybių be modulių sprendimo taisykles ir subtilybes.
• Kiekvienos iš nelygybių, gautų konkrečiame intervale, sprendimas sujungiamas į sistemą su pačiu intervalu, o visos tokios sistemos sujungiamos į aibę. Taigi iš visų nelygybių sprendinių atrenkame tik tas dalis, kurios yra įtrauktos į intervalą, kuriame ši nelygybė buvo gauta, ir visas šias dalis įrašome į galutinį atsakymą.