Matematikoje šaknys gali būti kvadratinės, kubinės arba turėti bet kokį kitą rodiklį (galią), kuris rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Išraiška po šaknies ženklu vadinama radikalia išraiška. Pridėti šaknis yra kaip pridėti galūnes algebrinė išraiška, tai yra, reikia nustatyti panašias šaknis.

Žingsniai

1 dalis iš 2: šaknų nustatymas

Šaknų žymėjimas. Posakis po šaknies ženklu () reiškia, kad iš šios išraiškos reikia išskirti tam tikro laipsnio šaknį.

• Šaknis nurodomas ženklu.
• Šaknies rodiklis (laipsnis) rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Pavyzdžiui, 27 kubo šaknis parašyta taip: (27)
• Jei šaknies indekso (laipsnio) nėra, tada eksponentas laikomas lygiu 2, tai yra, tai yra kvadratinė šaknis (arba antrojo laipsnio šaknis).
• Skaičius, parašytas prieš šaknies ženklą, vadinamas daugikliu (ty šis skaičius padauginamas iš šaknies), pavyzdžiui, 5 (2)
• Jei prieš šaknį nėra koeficiento, tada jis lygus 1 (atminkite, kad bet koks skaičius, padaugintas iš 1, yra lygus sau pačiam).
• Jei pirmą kartą dirbate su šaknimis, pasižymėkite daugiklį ir šaknies eksponentą, kad išvengtumėte painiavos ir geriau suprastumėte jų paskirtį.

Prisiminkite, kurios šaknys gali būti sulankstytos, o kurios ne. Kaip negalite pridėti skirtingų išraiškos terminų, pavyzdžiui, 2a + 2b 4ab, taip pat negalite pridėti skirtingų šaknų.

Negalite pridėti šaknų su skirtingomis radikalinėmis išraiškomis, pavyzdžiui, (2) + (3) (5). Bet jūs galite pridėti skaičius po ta pačia šaknimi, pavyzdžiui, (2 + 3) = (5) (2 kvadratinė šaknis yra maždaug 1,414, 3 kvadratinė šaknis yra maždaug 1,732, o 5 kvadratinė šaknis yra maždaug 2,236 ).

Negalite pridėti šaknų su tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis, bet skirtingais eksponentais, pavyzdžiui, (64) + (64) (ši suma nėra lygi (64), nes 64 kvadratinė šaknis yra 8, o 64 kubinė šaknis yra 4, 8 + 4 = 12, kuris yra daug didesnis nei penktoji 64 šaknis, kuri yra maždaug 2,297).

2 dalis iš 2: Supaprastinimas ir šaknų pridėjimas

Nustatykite ir sugrupuokite panašias šaknis. Panašios šaknys yra šaknys, turinčios tuos pačius rodiklius ir tas pačias radikalias išraiškas. Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Pirmiausia perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu indeksu būtų išdėstytos nuosekliai.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Tada perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu eksponentu ir ta pačia radikaline išraiška būtų išdėstytos nuosekliai.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Supaprastinkite šaknis. Norėdami tai padaryti, išskaidykite (kur įmanoma) radikaliąsias išraiškas į du veiksnius, iš kurių vienas išimamas iš po šaknies. Tokiu atveju pašalintas skaičius ir šaknies koeficientas padauginami.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje skaičių 50 padidinkite į 2*25, o skaičių 32 – į 2*16. Iš 25 ir 16 galite paimti kvadratines šaknis (atitinkamai 5 ir 4) ir iš po šaknies pašalinti 5 ir 4, padauginus juos atitinkamai iš koeficientų 2 ir 1. Taigi, gausite supaprastintą išraišką: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Skaičius 81 gali būti paskaičiuotas 3*27, o iš skaičiaus 27 galima paimti kubo šaknį iš 3. Šį skaičių 3 galima ištraukti iš po šaknies. Taigi, jūs gaunate dar labiau supaprastintą išraišką: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Pridėkite panašių šaknų veiksnius. Mūsų pavyzdyje yra panašios kvadratinės šaknys iš 2 (jas galima pridėti) ir panašios kvadratinės šaknys iš 3 (taip pat galima pridėti). U kubo šaknis iš 3 tokių šaknų nėra.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Galutinė supaprastinta išraiška: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Nėra visuotinai priimtų šaknų rašymo reiškinyje taisyklių. Todėl šaknis galite rašyti jų rodiklių didėjimo tvarka ir radikalių išraiškų didėjimo tvarka.

Dėmesio, tik ŠIANDIEN!

Viskas įdomu

Skaičius, esantis po šaknies ženklu, dažnai trukdo spręsti lygtį ir yra nepatogu dirbti. Net jei jis pakeltas iki laipsnio, trupmenos arba negali būti pavaizduotas kaip sveikas skaičius iki tam tikros laipsnio, galite pabandyti jį išvesti iš...

Skaičiaus x šaknis yra skaičius, kuris, padidintas iki šaknies laipsnio, yra lygus x. Daugiklis yra dauginamas skaičius. Tai reiškia, kad x*ª-&radic-y formos išraiškoje po šaknimi reikia įvesti x. Nurodymai 1 Nustatykite laipsnį...

Jei radikalioje išraiškoje yra matematinių operacijų su kintamaisiais rinkinys, tai kartais dėl jos supaprastinimo galima gauti gana paprastą reikšmę, kurios dalį galima išimti iš po šaknies. Šis supaprastinimas gali būti naudingas...

Aritmetiniai veiksmai su įvairaus laipsnio šaknimis gali žymiai supaprastinti fizikos ir technologijų skaičiavimus bei padaryti juos tikslesnius. Dauginant ir dalinant patogiau ne ištraukti kiekvieno koeficiento šaknį arba dividendą ir daliklį, o pirmiausia...

Skaičiaus x kvadratinė šaknis yra skaičius a, kurį padauginus iš savęs gaunamas skaičius x: a * a = a^2 = x, x = a. Kaip ir su bet kuriais skaičiais, su kvadratinėmis šaknimis galite atlikti sudėjimo ir atimties aritmetines operacijas. Instrukcijos...

Matematikos šaknis gali turėti dvi reikšmes: tai aritmetinis veiksmas ir kiekvienas lygties sprendinys, algebrinis, parametrinis, diferencialinis ar bet koks kitas. Instrukcijos 1N-oji a šaknis yra toks skaičius, kad...

Atliekant įvairias aritmetines operacijas su šaknimis, dažnai būtina turėti galimybę transformuoti radikaliąsias išraiškas. Norint supaprastinti skaičiavimus, gali tekti perkelti daugiklį už radikalo ženklo ribų arba pridėti jį po juo. Šis veiksmas gali...

Šaknis yra piktograma, nurodanti matematinę skaičiaus radimo operaciją, kurią padidinus iki galios, nurodytos prieš šaknies ženklą, turėtų būti gautas skaičius, nurodytas po šiuo ženklu. Dažnai norint išspręsti problemas, susijusias su...

Matematikos moksluose šaknies ženklas yra šaknų simbolis. Skaičius po šaknies ženklu vadinamas radikalia išraiška. Jei laipsnio nėra, šaknis yra kvadratinė šaknis, kitu atveju skaitmuo rodo...

Aritmetinė šaknis n-asis laipsnis iš tikrojo skaičiaus a vadinamas neneigiamu skaičiumi x, n-asis laipsnis kuris lygus skaičiui a. Tie. (n) a = x, x^n = a. Egzistuoti įvairių būdų pridedant aritmetinę šaknį ir racionalųjį skaičių...

Realiojo skaičiaus a n-oji šaknis yra skaičius b, kuriam galioja lygybė b^n = a. Egzistuoja nelyginės šaknys neigiamiems ir teigiami skaičiai, o lyginių laipsnių šaknys yra tik teigiamiems.…

Turinys:

Kvadratines šaknis galite pridėti ir atimti tik tuo atveju, jei jų radikalioji išraiška yra tokia pati, tai yra, galite pridėti arba atimti 2√3 ir 4√3, bet ne 2√3 ir 2√5. Galite supaprastinti radikaliąsias išraiškas, kad sumažintumėte jas iki šaknų su tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis (o tada jas pridėti arba atimti).

Žingsniai

1 dalis Pagrindai

1. 1 (išraiška po šaknies ženklu). Norėdami tai padaryti, padalykite radikalųjį skaičių į du veiksnius, iš kurių vienas yra kvadratinis skaičius (skaičius, iš kurio galite paimti visą šaknį, pavyzdžiui, 25 arba 9). Po to ištraukite kvadratinio skaičiaus šaknį ir rastą reikšmę parašykite prieš šaknies ženklą (antrasis veiksnys liks po šaknies ženklu). Pavyzdžiui, 6√50 – 2√8 + 5√12. Skaičiai prieš šaknies ženklą yra atitinkamų šaknų faktoriai, o po šaknies ženklu esantys skaičiai yra radikalieji skaičiai (išraiškos). Štai kaip išspręsti šią problemą:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Čia jūs koeficientą 50 į koeficientus 25 ir 2; tada iš 25 ištraukite šaknį, lygią 5, ir ištraukite 5 iš po šaknies. Tada padauginkite 5 iš 6 (daugiklis šaknyje) ir gaukite 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Čia koeficientas 8 į koeficientus 4 ir 2; tada iš 4 paimkite šaknį, lygią 2, ir išimkite 2 iš po šaknies. Tada padauginkite 2 iš 2 (daugiklis šaknyje) ir gaukite 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Čia koeficientas 12 yra 4 ir 3; tada iš 4 paimkite šaknį, lygią 2, ir išimkite 2 iš po šaknies. Tada padauginkite 2 iš 5 (daugiklis šaknyje) ir gaukite 10√3.
2. 2 Pabraukite šaknis, kurių radikalios išraiškos yra vienodos. Mūsų pavyzdyje supaprastinta išraiška atrodo taip: 30√2 - 4√2 + 10√3. Jame turite pabraukti pirmą ir antrą terminus ( 30√2 Ir 4√2 ), nes jie turi tą patį radikalinį skaičių 2. Tik tokias šaknis galite sudėti ir atimti.
3. 3 Jei jums pateikiama išraiška su daugybe terminų, iš kurių daugelis turi tokias pačias radikaliąsias išraiškas, naudokite vieną, dvigubą arba trigubą pabraukimą, kad žymėtumėte tokius terminus, kad būtų lengviau išspręsti išraišką.
4. 4 Šaknims, kurių radikalinės išraiškos yra vienodos, sudėkite arba atimkite veiksnius prieš šaknies ženklą, o radikaliąją išraišką palikite tokią pat (radikalių skaičių nepridėkite ir neatimkite!). Idėja yra parodyti, kiek šaknų su tam tikra radikalia išraiška yra duotoje išraiškoje.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

2 dalis Praktikuokime su pavyzdžiais

1. 1 1 pavyzdys: √(45) + 4√5.
   • Supaprastinkite √(45). 45 koeficientas: √(45) = √(9 x 5).
   • Iš po šaknies išimkite 3 (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Dabar pridėkite veiksnius prie šaknų: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 2 pavyzdys: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Supaprastinkite 6√(40). 40 koeficientas: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Išimkite 2 iš po šaknies (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Padauginkite veiksnius prieš šaknį ir gaukite 12√10.
   • Dabar išraišką galima parašyti kaip 12√10 - 3√(10) + √5. Kadangi pirmieji du terminai turi tą patį radikalą, galite atimti antrąjį terminą iš pirmojo ir palikti pirmąjį nepakeistą.
   • Gausite: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 3 pavyzdys. 9√5 -2√3 - 4√5. Čia nė viena iš radikalių išraiškų negali būti suskirstyta į faktorius, todėl šios išraiškos negalima supaprastinti. Galite atimti trečiąjį terminą iš pirmojo (nes jie turi tuos pačius radikalus) ir palikti antrąjį nepakeistą. Gausite: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 4 pavyzdys. √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Dabar galite tiesiog pridėti 3 + 2, kad gautumėte 5.
   • Galutinis atsakymas: 5 - 3√2.
5. 5 5 pavyzdys. Išspręskite išraišką, kurią sudaro šaknys ir trupmenos. Galite pridėti ir apskaičiuoti tik tas trupmenas, kurios turi bendrą (tą patį) vardiklį. Pateikta išraiška (√2)/4 + (√2)/2.
   • Raskite mažiausią bendrąjį šių trupmenų vardiklį. Tai skaičius, kuris tolygiai dalijasi iš kiekvieno vardiklio. Mūsų pavyzdyje skaičius 4 dalijasi iš 4 ir 2.
   • Dabar antrąją trupmeną padauginkite iš 2/2 (kad gautumėte bendrą vardiklį; pirmoji trupmena jau sumažinta): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Sudėkite trupmenų skaitiklius ir palikite vardiklį tą patį: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Prieš sudėdami arba atimdami šaknis, būtinai supaprastinkite (jei įmanoma) radikaliąsias išraiškas.

Įspėjimai

• Niekada nepridėkite ir neatimkite šaknų su skirtingomis radikaliomis išraiškomis.
• Niekada nesuminkite ir neatimkite sveikojo skaičiaus ir šaknies, pvz. 3 + (2x) 1/2 .
  • Pastaba: „x“ iki antrosios laipsnio ir „x“ kvadratinė šaknis yra tas pats (ty x 1/2 = √x).

Šakninės formulės. Kvadratinių šaknų savybės.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome, kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kurie iš jų egzistuoja šaknų formulės kas yra šaknų savybės, ir ką su visa tai galima padaryti.

Šaknų formulės, šaknų savybės ir darbo su šaknimis taisyklės- Iš esmės tai yra tas pats. Formulės, skirtos kvadratinės šaknys stebėtinai mažai. Kas mane tikrai džiugina! Tiksliau, galite parašyti daugybę skirtingų formulių, tačiau praktiškam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis pakanka tik trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis žmonių susipainioja trijose šaknies formulėse, taip...

Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai ji:

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Turinys:

Matematikoje šaknys gali būti kvadratinės, kubinės arba turėti bet kokį kitą rodiklį (galią), kuris rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Išraiška po šaknies ženklu vadinama radikalia išraiška. Šaknų pridėjimas yra panašus į algebrinės išraiškos terminų pridėjimą, tai yra, reikia nustatyti panašias šaknis.

Žingsniai

1 dalis Šaknų nustatymas

1. 1 Šaknų žymėjimas. Posakis po šaknies ženklu (√) reiškia, kad iš šios išraiškos reikia išskirti tam tikro laipsnio šaknį.
   • Šaknis žymima ženklu √.
   • Šaknies rodiklis (laipsnis) rašomas kairėje virš šaknies ženklo. Pavyzdžiui, 27 kubo šaknis parašyta taip: 3 √(27)
   • Jei šaknies indekso (laipsnio) nėra, tada eksponentas laikomas lygiu 2, tai yra, tai yra kvadratinė šaknis (arba antrojo laipsnio šaknis).
   • Skaičius, parašytas prieš šaknies ženklą, vadinamas daugikliu (ty šis skaičius padauginamas iš šaknies), pavyzdžiui, 5√(2)
   • Jei prieš šaknį nėra koeficiento, tada jis lygus 1 (atminkite, kad bet koks skaičius, padaugintas iš 1, yra lygus sau pačiam).
   • Jei pirmą kartą dirbate su šaknimis, pasižymėkite daugiklį ir šaknies eksponentą, kad išvengtumėte painiavos ir geriau suprastumėte jų paskirtį.
2. 2 Prisiminkite, kurios šaknys gali būti sulankstytos, o kurios ne. Kaip negalite pridėti skirtingų išraiškos terminų, pavyzdžiui, 2a + 2b ≠ 4ab, taip pat negalite pridėti skirtingų šaknų.
   • Negalite pridėti šaknų su skirtingomis radikalinėmis išraiškomis, pavyzdžiui, √(2) + √(3) ≠ √(5). Bet jūs galite pridėti skaičius po ta pačia šaknimi, pavyzdžiui, √(2 + 3) = √(5) (2 kvadratinė šaknis yra maždaug 1,414, 3 kvadratinė šaknis yra apytiksliai 1,732 ir 5 kvadratinė šaknis yra maždaug 2,236).
   • Negalite pridėti šaknų su tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis, bet skirtingais eksponentais, pavyzdžiui, √(64) + 3 √(64) (ši suma nėra lygi 5 √(64), nes 64 kvadratinė šaknis yra 8, 64 kubo šaknis yra 4, 8 + 4 = 12, o tai yra daug didesnė nei penktoji 64 šaknis, kuri yra maždaug 2,297).

2 dalis Supaprastinimas ir šaknų pridėjimas

1. 1 Nustatykite ir sugrupuokite panašias šaknis. Panašios šaknys yra šaknys, turinčios tuos pačius rodiklius ir tas pačias radikalias išraiškas. Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Pirmiausia perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu indeksu būtų išdėstytos nuosekliai.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Tada perrašykite išraišką taip, kad šaknys su tuo pačiu eksponentu ir ta pačia radikaline išraiška būtų išdėstytos nuosekliai.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Supaprastinkite šaknis. Norėdami tai padaryti, išskaidykite (kur įmanoma) radikaliąsias išraiškas į du veiksnius, iš kurių vienas išimamas iš po šaknies. Tokiu atveju pašalintas skaičius ir šaknies koeficientas padauginami.
   • Aukščiau pateiktame pavyzdyje skaičių 50 padidinkite į 2*25, o skaičių 32 – į 2*16. Iš 25 ir 16 galite paimti kvadratines šaknis (atitinkamai 5 ir 4) ir iš po šaknies išimti 5 ir 4, padauginus juos atitinkamai iš koeficientų 2 ir 1. Taigi gausite supaprastintą išraišką: 10√(2 ) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Skaičius 81 gali būti paskaičiuotas 3*27, o iš skaičiaus 27 galima paimti kubo šaknį iš 3. Šį skaičių 3 galima ištraukti iš po šaknies. Taigi, jūs gaunate dar labiau supaprastintą išraišką: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Pridėkite panašių šaknų veiksnius. Mūsų pavyzdyje yra panašios kvadratinės šaknys iš 2 (jas galima pridėti) ir panašios kvadratinės šaknys iš 3 (taip pat galima pridėti). 3 kubo šaknis tokių šaknų neturi.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Galutinė supaprastinta išraiška: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Nėra visuotinai priimtų šaknų rašymo reiškinyje taisyklių. Todėl šaknis galite rašyti jų rodiklių didėjimo tvarka ir radikalių išraiškų didėjimo tvarka.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai. »
Ir tiems, kurie „labai. “)

Ankstesnėje pamokoje išsiaiškinome, kas yra kvadratinė šaknis. Atėjo laikas išsiaiškinti, kurie iš jų egzistuoja šaknų formulės kas yra šaknų savybės, ir ką su visa tai galima padaryti.

Šaknų formulės, šaknų savybės ir darbo su šaknimis taisyklės- Iš esmės tai yra tas pats dalykas. Yra stebėtinai mažai kvadratinių šaknų formulių. Kas mane tikrai džiugina! Tiksliau, galite parašyti daugybę skirtingų formulių, tačiau praktiškam ir pasitikinčiam darbui su šaknimis pakanka tik trijų. Visa kita išplaukia iš šių trijų. Nors daugelis žmonių susipainioja trijose šaknies formulėse, taip.

Pradėkime nuo paprasčiausio. Štai ji:

Leiskite jums priminti (iš ankstesnės pamokos): a ir b yra neneigiami skaičiai! Kitaip formulė neturi prasmės.

Tai yra šaknų savybė, kaip matote, yra paprastas, trumpas ir nekenksmingas. Tačiau yra tiek daug puikių dalykų, kuriuos galite padaryti naudodami šią šaknies formulę! Pažiūrėkime pavyzdžių visi šie naudingi dalykai.

Naudingas dalykas Pirmas. Ši formulė mums leidžia padauginti šaknis.

Kaip padauginti šaknis?

Taip, labai paprasta. Tiesiai į formulę. Pavyzdžiui:

Atrodytų, kad jie tai padaugino, o kas? Ar daug džiaugsmo?! Sutinku, šiek tiek. Kaip jums tai patinka pavyzdys?

Šaknys nėra tiksliai išgaunamos iš veiksnių. Ir rezultatas puikus! Tai geriau, tiesa? Tik tuo atveju, leiskite man pasakyti, kad gali būti tiek daug kartų, kiek norite. Šaknų dauginimo formulė vis dar veikia. Pavyzdžiui:

Taigi, dauginant viskas aišku, kodėl tai reikalinga? šaknų savybė– irgi suprantama.

Antras naudingas dalykas. Įveskite skaičių po šaknies ženklu.

Kaip įvesti skaičių po šaknimi?

Tarkime, kad turime šią išraišką:

Ar įmanoma paslėpti dvikovą šaknies viduje? Lengvai! Jei padarysite šaknį iš dviejų, tiks šaknų dauginimo formulė. Kaip iš dviejų padaryti šaknį? Taip, nekyla klausimų! Du yra kvadratinė šaknis iš keturių!

Beje, šaknį galima padaryti iš bet kurio neneigiamo skaičiaus! Tai bus kvadratinė šaknis iš šio skaičiaus kvadrato. 3 yra 9 šaknis. 8 yra 64 šaknis. 11 yra 121 šaknis. Na, ir taip toliau.

Žinoma, nereikia taip išsamiai aprašyti. Na, pradžiai. Pakanka suvokti, kad po šaknimi galima pridėti bet kokį neneigiamą skaičių, padaugintą iš šaknies. Bet – nepamiršk! - pagal šaknį šis skaičius taps kvadratas save. Šis veiksmas – skaičiaus įvedimas po šaknimi – taip pat gali būti vadinamas skaičiaus padauginimu iš šaknies. Apskritai galime rašyti:

Procedūra yra paprasta, kaip matote. Kodėl to reikia?

Kaip ir bet kuri transformacija, ši procedūra išplečia mūsų galimybes. Galimybės žiaurią ir nepatogią išraišką paversti švelnia ir puria). Štai jums paprastas pavyzdys:

Kaip matai, šaknų savybė, kuris leidžia įvesti daugiklį po šaknies ženklu, yra gana tinkamas supaprastinimui.

Be to, prie šaknies pridėjus faktorių, lengva palyginti skirtingų šaknų reikšmes. Be jokių skaičiavimų ir skaičiuotuvo! Trečias naudingas dalykas.

Kaip palyginti šaknis?

Šis įgūdis labai svarbus atliekant rimtas užduotis, atskleidžiant modulius ir kitus šaunius dalykus.

Palyginkite šias išraiškas. Kuris didesnis? Be skaičiuoklės! Kiekvienas su skaičiuotuvu. oi. Trumpai tariant, kiekvienas gali tai padaryti!)

Jūs negalite to pasakyti iš karto. Ką daryti, jei įvesite skaičius po šaknies ženklu?

Prisiminkime (o jei nežinojote?): jei skaičius po šaknies ženklu didesnis, tai ir pati šaknis didesnė! Taigi iš karto teisingas atsakymas, be jokių sudėtingų skaičiavimų ir skaičiavimų:

Puiku, tiesa? Bet tai dar ne viskas! Atminkite, kad visos formulės veikia tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Iki šiol naudojome formulę šaknų dauginimui iš kairės į dešinę. Vykdykime šią šaknų savybę atvirkščiai, iš dešinės į kairę. Kaip šitas:

Ir koks skirtumas? Ar tai ką nors duoda? tikrai! Dabar pamatysite patys.

Tarkime, mums reikia išgauti (be skaičiuotuvo!) kvadratinę šaknį iš skaičiaus 6561. Kai kurie žmonės šiame etape kris nelygioje kovoje su užduotimi. Bet mes esame atkaklūs, nepasiduodame! Ketvirtas naudingas dalykas.

Kaip išgauti šaknis iš didelio skaičiaus?

Prisiminkime šaknų išgavimo iš produkto formulę. Ta, kurią parašiau aukščiau. Bet kur mūsų darbas!? Turime didžiulį skaičių 6561 ir viskas. Taip, darbo čia nėra. Bet jei prireiks, tai padarysime darykime tai! Suskaičiuokime šį skaičių. Mes turime teisę.

Pirmiausia išsiaiškinkime, iš ko tiksliai šis skaičius dalijasi? Ką, tu nežinai!? Ar pamiršote dalijimosi ženklus!? Veltui. Eikite į Specialųjį skyrių 555, temą „Trupmenos“, jos ten yra. Šis skaičius dalijasi iš 3 ir 9. Nes skaičių suma (6+5+6+1=18) dalinama iš šių skaičių. Tai vienas iš padalijimo požymių. Mums nereikia dalyti iš trijų (dabar jūs suprasite, kodėl), bet padalinsime iš 9. Bent jau kampe. Gauname 729. Taigi radome du veiksnius! Pirmas – devynios (patys išsirinkome), o antrasis – 729 (taip išėjo). Jau galite rašyti:

Ar supranti mintį? Tą patį padarysime su numeriu 729. Jis taip pat dalijasi iš 3 ir 9. Vėl nedaliname iš 3, dalijame iš 9. Gauname 81. Ir mes žinome šį skaičių! Užrašome:

Viskas pasirodė paprasta ir elegantiška! Šaknį reikėjo ištraukti po gabalėlį, bet gerai. Tai galima padaryti naudojant bet kokius didelius skaičius. Padauginkite juos ir pirmyn!

Beje, kodėl nereikėjo dalyti iš 3?Ar atspėjote? Taip, nes trijų šaknies negalima tiksliai išgauti! Tikslinga jį įtraukti į tokius veiksnius, kad šaknis būtų galima gerai išgauti bent iš vieno. Tai yra 4, 9, 16 šulinių ir pan. Padalinkite savo didžiulį skaičių iš šių skaičių po vieną ir jums pasiseks!

Bet nebūtinai. Jums gali nepasisekti. Tarkime, kad skaičius 432, paskaičiuotas ir naudojant produkto šaknies formulę, duos tokį rezultatą:

Na, gerai. Bet kokiu atveju mes supaprastinome išraišką. Matematikoje įprasta palikti daugiausia mažas skaičius iš galimų. Sprendžiant viskas priklauso nuo pavyzdžio (galbūt viską galima sutrumpinti be supaprastinimo), tačiau atsakyme reikia pateikti rezultatą, kurio negalima dar labiau supaprastinti.

Beje, ar žinote, ką mes padarėme su 432 šaknimi?

Mes paėmė veiksnius iš po šaknies ženklo ! Taip ši operacija vadinama. Priešingu atveju gausite užduotį - " pašalinkite faktorių iš po šaknies ženklo„Bet vyrai net nežino.) Štai tau dar viena paraiška šaknų savybės. Naudingas dalykas, penktas.

Kaip pašalinti daugiklį iš po šaknies?

Lengvai. Įvertinkite radikalią išraišką ir ištraukite išgautas šaknis. Pažiūrėkime:

Nieko antgamtiško. Svarbu pasirinkti tinkamus daugiklius. Čia mes išplėtėme 72 į 36·2. Ir viskas pasirodė gerai. Arba jie galėjo jį išplėsti kitaip: 72 = 6 · 12. Ir ką!? Šaknies negalima išgauti nei iš 6, nei iš 12. Ką daryti?!

Viskas gerai. Arba ieškokite kitų skaidymo variantų arba toliau skaidykite viską, kol sustos! Kaip šitas:

Kaip matote, viskas pavyko. Tai, beje, nėra greičiausias, bet patikimiausias būdas. Padalinkite skaičių į mažiausius veiksnius, o tada surinkite tuos pačius į krūvas. Metodas sėkmingai naudojamas ir dauginant nepatogias šaknis. Pavyzdžiui, reikia apskaičiuoti:

Padauginkite viską – gausite beprotišką skaičių! Ir kaip tada iš jo ištraukti šaknį?! Vėl faktorius? Ne, mums nereikia jokio papildomo darbo. Nedelsdami įtraukiame į veiksnius ir surenkame tuos pačius į grupes:

Tai viskas. Žinoma, nebūtina jo plėsti iki galo. Viską lemia jūsų asmeniniai sugebėjimai. Mes atnešėme pavyzdį iki taško, kur tau viskas aišku Tai reiškia, kad jau galime skaičiuoti. Svarbiausia nedaryti klaidų. Ne žmogus matematikai, o matematika žmogui!)

Pritaikykime žinias praktikoje? Pradėkime nuo kažko paprasto:

Kvadratinių šaknų pridėjimo taisyklė

Kvadratinių šaknų savybės

Iki šiol su skaičiais atlikome penkias aritmetines operacijas: sudėtį, atimtį, daugyba, dalyba ir eksponencija, o skaičiavimuose buvo aktyviai naudojamos įvairios šių operacijų savybės, pavyzdžiui, a + b = b + a, a n -b n = (ab) n ir kt.

Šiame skyriuje pristatoma nauja operacija – kvadratinės šaknies paėmimas iš neneigiamo skaičiaus. Norėdami sėkmingai jį naudoti, turite susipažinti su šios operacijos savybėmis, kurias mes atliksime šiame skyriuje.

Įrodymas. Įveskime tokį užrašą:
Turime įrodyti, kad ne neigiami skaičiai x, y, z galioja lygybė x = yz.

Taigi, x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Tada x 2 = y 2 z 2, t. y. x 2 = (yz) 2.

Jeigu kvadratai du neneigiami skaičiai yra lygūs, tada ir patys skaičiai yra lygūs, o tai reiškia, kad iš lygybės x 2 = (yz) 2 išplaukia, kad x = yz, ir tai reikėjo įrodyti.

Pateikiame trumpą teoremos įrodymo santrauką:

1 pastaba. Teorema galioja tuo atveju, kai radikalioji išraiška yra daugiau nei dviejų neneigiamų veiksnių sandauga.

Užrašas 2. Teorema 1 galima parašyti naudojant „if“ konstrukciją. , tada“ (kaip įprasta matematikos teoremoms). Pateikime atitinkamą formuluotę: jei a ir b yra neneigiami skaičiai, tai lygybė yra teisinga .

Būtent taip suformuluosime kitą teoremą.

(Trumpa formuluotė, kurią patogiau naudoti praktikoje: trupmenos šaknis yra lygi šaknų trupmenai, arba dalinio šaknis lygi šaknų daliai.)

Šį kartą pateiksime tik trumpą įrodymo santrauką, o jūs pabandykite pateikti atitinkamus komentarus, panašius į tuos, kurie sudarė 1 teoremos įrodymo esmę.

Pavyzdys 1. Apskaičiuokite .
Sprendimas. Pirmosios nuosavybės naudojimas kvadratinės šaknys(1 teorema), gauname

3 pastaba. Žinoma, šį pavyzdį galima išspręsti kitaip, ypač jei po ranka turite mikroskaičiuotuvą: padauginkite skaičius 36, 64, 9 ir tada paimkite gautos sandaugos kvadratinę šaknį. Tačiau sutiksite, kad aukščiau pasiūlytas sprendimas atrodo kultūringesnis.

4 pastaba. Pirmuoju metodu skaičiavimus atlikome „priešais“. Antrasis būdas yra elegantiškesnis:
kreipėmės formulę a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) ir panaudojo kvadratinių šaknų savybę.

5 pastaba. Kai kurios „karštos galvos“ kartais siūlo šį „sprendimą“ 3 pavyzdžiui:

Tai, žinoma, netiesa: matote - rezultatas nėra toks pat kaip 3 pavyzdyje. Faktas yra tas, kad nėra jokios nuosavybės , nes nėra savybių Yra tik savybės, susijusios su kvadratinių šaknų daugyba ir padalijimu. Būkite atsargūs ir atsargūs, negalvokite apie norus.

4 pavyzdys. Apskaičiuokite: a)
Sprendimas. Bet kuri algebros formulė naudojama ne tik „iš dešinės į kairę“, bet ir „iš kairės į dešinę“. Taigi pirmoji kvadratinių šaknų savybė reiškia, kad prireikus gali būti pavaizduota forma ir atvirkščiai, kurią galima pakeisti išraiška Tas pats pasakytina ir apie antrąją kvadratinių šaknų savybę. Atsižvelgdami į tai, išspręskime siūlomą pavyzdį.

Baigdami šį skyrių, atkreipkime dėmesį į dar vieną gana paprastą ir kartu svarbią savybę:
jei a > 0 ir n - natūralusis skaičius , Tai

5 pavyzdys. Apskaičiuoti nenaudojant skaičių kvadratų lentelės ir mikroskaičiuotuvo.

Sprendimas. Išskaidykime radikalųjį skaičių į pirminius veiksnius:

6 pastaba. Šį pavyzdį galima išspręsti taip pat, kaip ir panašų pavyzdį 15 §. Nesunku atspėti, kad atsakymas bus „80 su uodega“, nes 80 2 2 . Raskime „uodegą“, t.y. paskutinį norimo skaičiaus skaitmenį. Kol kas žinome, kad paėmus šaknį, atsakymas gali būti 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 arba 89. Mums tereikia patikrinti du skaičius: 84 ir 86, nes tik jie, kai kvadratas, duos kaip rezultatas keturių skaitmenų skaičius, kuris baigiasi 6, t.y. tas pats skaičius, kuris baigiasi skaičiumi 7056. Turime 84 2 = 7056 – štai ko mums reikia. Reiškia,

Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė: Vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijos.- 3 leidimas, pataisytas. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 p.: iliustr.

Knygų, matematikos vadovėlių atsisiuntimas, užrašai, padedantys mokytojui ir mokiniams, mokytis internetu

Jei turite pataisymų ar pasiūlymų šiai pamokai, rašykite mums.

Jei norite pamatyti kitus koregavimus ir pasiūlymus pamokoms, žiūrėkite čia – Edukacinis forumas.

Kaip pridėti kvadratines šaknis

Kvadratinė šaknis iš skaičiaus X skambino numeriu A, kuris dauginasi iš savęs ( A*A) gali pateikti skaičių X.
Tie. A * A = A 2 = X, Ir √X = A.

Virš kvadratinių šaknų ( √x), kaip ir kitus skaičius, galite atlikti aritmetines operacijas, pvz., atimti ir sudėti. Norėdami atimti ir pridėti šaknis, jas reikia sujungti naudojant šiuos veiksmus atitinkančius ženklus (pavyzdžiui √x — √y ).
Ir tada atneškite jiems šaknis paprasčiausia forma- jei tarp jų yra panašių, reikia sumažinti. Tai reiškia, kad panašių dėmenų koeficientai paimami su atitinkamų terminų ženklais, tada dedami į skliaustus ir išvedami bendroji šaknis už faktoriaus skliaustų. Mūsų gautas koeficientas yra supaprastintas pagal įprastas taisykles.

1 veiksmas: kvadratinių šaknų ištraukimas

Pirma, norėdami pridėti kvadratinių šaknų, pirmiausia turite išgauti šias šaknis. Tai galima padaryti, jei skaičiai po šaknies ženklu yra tobuli kvadratai. Pavyzdžiui, paimkite pateiktą išraišką √4 + √9 . Pirmas numeris 4 yra skaičiaus kvadratas 2 . Antras numeris 9 yra skaičiaus kvadratas 3 . Taigi galime gauti tokią lygybę: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Štai ir viskas, pavyzdys išspręstas. Tačiau tai ne visada nutinka taip lengvai.

2 veiksmas. Skaičiaus daugiklio ištraukimas iš po šaknies

Jei po šaknies ženklu nėra tobulų kvadratų, galite pabandyti pašalinti skaičiaus daugiklį iš po šaknies ženklo. Pavyzdžiui, paimkime išraišką √24 + √54 .

Suskaičiuokite skaičius:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Tarp 24 mes turime daugiklį 4 , jį galima išimti iš po kvadratinės šaknies ženklo. Tarp 54 mes turime daugiklį 9 .

Gauname lygybę:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Atsižvelgdami į šį pavyzdį, gauname daugiklio pašalinimą iš po šaknies ženklo, taip supaprastindami pateiktą išraišką.

3 veiksmas: vardiklio sumažinimas

Apsvarstykite tokią situaciją: dviejų kvadratinių šaknų suma yra trupmenos vardiklis, pavyzdžiui, A/(√a + √b).
Dabar mes susiduriame su užduotimi „atsikratyti neracionalumo vardiklyje“.
Naudokime tokį metodą: trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginkite iš išraiškos √a - √b.

Dabar vardiklyje gauname sutrumpintą daugybos formulę:
(√a + √b) * (√a – √b) = a – b.

Panašiai, jei vardiklis turi šaknų skirtumą: √a - √b, trupmenos skaitiklis ir vardiklis dauginami iš išraiškos √a + √b.

Paimkime trupmeną kaip pavyzdį:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Kompleksinio vardiklio mažinimo pavyzdys

Dabar mes apsvarstysime gana sudėtingą pavyzdį, kaip atsikratyti neracionalumo vardiklyje.

Pavyzdžiui, paimkime trupmeną: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Turite paimti jo skaitiklį ir vardiklį ir padauginti iš išraiškos √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

4 veiksmas. Skaičiuoklėje apskaičiuokite apytikslę vertę

Jei jums reikia tik apytikslės vertės, tai galima padaryti skaičiuotuvu, apskaičiuojant kvadratinių šaknų vertę. Reikšmė kiekvienam skaičiui apskaičiuojama atskirai ir užrašoma reikiamu tikslumu, kuris nustatomas pagal kablelio skaičių. Toliau atliekamos visos reikalingos operacijos, kaip ir su įprastais skaičiais.

Apytikslės vertės apskaičiavimo pavyzdys

Būtina apskaičiuoti apytikslę šios išraiškos reikšmę √7 + √5 .

Rezultate gauname:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Atkreipkite dėmesį: jokiu būdu nedėkite kvadratinių šaknų kaip pirminių skaičių; tai visiškai nepriimtina. Tai yra, jei pridėsime kvadratinę šaknį iš penkių ir kvadratinę šaknį iš trijų, negalėsime gauti kvadratinės šaknies iš aštuonių.

Naudingas patarimas: jei nuspręsite koeficientuoti skaičių, norėdami išvesti kvadratą iš po šaknies ženklo, turite atlikti atvirkštinį patikrinimą, ty padauginti visus veiksnius, gautus atlikus skaičiavimus, ir galutinį šio rezultato rezultatą. matematinis skaičiavimas turėtų būti iš pradžių mums suteiktas skaičius.

Operacija su šaknimis: sudėjimas ir atėmimas

Skaičiaus kvadranto šaknies ištraukimas nėra vienintelė operacija, kurią galima atlikti su šiuo matematiniu reiškiniu. Kaip ir įprasti skaičiai, kvadratinės šaknys sudėti ir atimti.

Kvadratinių šaknų pridėjimo ir atėmimo taisyklės

Tokios operacijos kaip kvadratinių šaknų sudėjimas ir atėmimas galimos tik tuo atveju, jei radikalioji išraiška yra tokia pati.

Galite pridėti arba atimti išraiškas 2 3 ir 6 3, bet ne 56 Ir 9 4. Jei įmanoma supaprastinti išraišką ir sumažinti ją iki šaknų su tuo pačiu radikalu, tada supaprastinkite ir pridėkite arba atimkite.

Veiksmai su šaknimis: pagrindai

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Supaprastinkite radikalią išraišką. Norėdami tai padaryti, radikaliąją išraišką reikia išskaidyti į 2 veiksnius, iš kurių vienas yra kvadratinis skaičius (skaičius, iš kurio išgaunama visa kvadratinė šaknis, pavyzdžiui, 25 arba 9).
2. Tada reikia paimti kvadratinio skaičiaus šaknį ir parašykite gautą reikšmę prieš šaknies ženklą. Atkreipkite dėmesį, kad antrasis veiksnys įvedamas po šaknies ženklu.
3. Pasibaigus supaprastinimo procesui, būtina pabrėžti šaknis tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis – tik jas galima pridėti ir atimti.
4. Šaknims su tomis pačiomis radikalinėmis išraiškomis būtina pridėti arba atimti veiksnius, kurie atsiranda prieš šaknies ženklą. Radikali išraiška išlieka nepakitusi. Negalite pridėti ar atimti radikalių skaičių!

Jei turite pavyzdį su daugybe identiškų radikalių išraiškų, pabraukite tokias išraiškas viengubomis, dvigubomis ir trigubomis eilutėmis, kad palengvintumėte skaičiavimo procesą.

Pabandykime išspręsti šį pavyzdį:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2. Pirmiausia reikia išskaidyti 50 į 2 faktorius 25 ir 2, tada paimti 25 šaknį, kuris yra lygus 5, ir paimti 5 iš po šaknies. Po to turite padauginti 5 iš 6 (koeficientas prie šaknies) ir gauti 30 2.

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2. Pirmiausia reikia išskaidyti 8 į 2 faktorius: 4 ir 2. Tada iš 4 ištraukite šaknį, kuri yra lygi 2, ir pašalinkite 2 iš po šaknies. Po to turite padauginti 2 iš 2 (daugiklis šaknyje) ir gauti 4 2.

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3. Pirmiausia reikia išskaidyti 12 į 2 faktorius: 4 ir 3. Tada ištraukite 4 šaknį, kuri yra lygi 2, ir pašalinkite ją iš po šaknies. Po to turite padauginti 2 iš 5 (koeficientas prie šaknies) ir gauti 10 3.

Supaprastinimo rezultatas: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Dėl to pamatėme, kiek identiškų radikalių išraiškų yra šiame pavyzdyje. Dabar atlikime praktiką su kitais pavyzdžiais.

• Supaprastinkime (45). 45 koeficientas: (45) = (9 × 5) ;
• Iš po šaknies išimame 3 (9 = 3): 45 = 3 5;
• Sudėkite veiksnius prie šaknų: 3 5 + 4 5 = 7 5.
• Supaprastinkime 6 40. Mes koeficientu 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Iš po šaknies išimame 2 (4 = 2): 6 40 = 6 (4 × 10) = (6 × 2) 10 ;
• Dauginame veiksnius, kurie atsiranda prieš šaknį: 12 10 ;
• Išraišką rašome supaprastinta forma: 12 10 - 3 10 + 5 ;
• Kadangi pirmieji du nariai turi tuos pačius radikalius skaičius, galime juos atimti: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Kaip matome, radikalių skaičių supaprastinti neįmanoma, todėl pavyzdyje ieškome terminų su tais pačiais radikaliais skaičiais, atliekame matematinius veiksmus (sudėti, atimti ir pan.) ir rašome rezultatą:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Patarimas:

• Prieš pridedant ar atimant, būtina supaprastinti (jei įmanoma) radikaliąsias išraiškas.
• Griežtai draudžiama pridėti ir atimti šaknis su skirtingomis radikaliomis išraiškomis.
• Neturėtumėte pridėti ar atimti sveikojo skaičiaus arba šaknies: 3 + (2 x) 1/2 .
• Atliekant veiksmus su trupmenomis, reikia rasti skaičių, kuris dalijasi iš kiekvieno vardiklio, tada suvesti trupmenas į bendrą vardiklį, tada sudėti skaitiklius, o vardiklius palikti nepakeistus.

Aritmetinės kvadratinės šaknies savybės. Aritmetinės kvadratinės šaknies galia

Aritmetinių kvadratinių šaknų konvertavimas. Aritmetinių kvadratinių šaknų apvertimas

Norėdami išgauti daugianario kvadratinė šaknis, reikia apskaičiuoti daugianarį ir iš gauto skaičiaus ištraukti šaknį.

Dėmesio! Negalite ištraukti šaknies iš kiekvieno termino (minėtų ir atimtų) atskirai.

Shchob vityagti daugianario kvadratinė šaknis, reikia apskaičiuoti turtingą terminą ir paimti šaknį iš pašalinto skaičiaus.

Pagarba! Neįmanoma ištraukti šaknies iš odos priedėlio (pakeisto ar pašalinto) okremo.

Paimti sandaugos kvadratinę šaknį (dalytuvą), galite apskaičiuoti kiekvieno koeficiento (daliklio ir daliklio) kvadratinę šaknį ir gautas vertes paimti kaip sandaugą (dalytuvą).

Norėdami atimti kvadratinę šaknį iš papildomos dalies (dalių), galite apskaičiuoti odos daugiklio kvadratinę šaknį (padalyti ir padalyti), o atimtą reikšmę paimti kaip papildomą dalį (dalį).

Išskirti trupmenos kvadratinę šaknį, turite atskirai išgauti skaitiklio ir vardiklio kvadratinę šaknį ir gautas reikšmes palikti kaip trupmeną arba apskaičiuoti jas kaip koeficientą (jei tai įmanoma pagal sąlygą).

Iš trupmenos atimti kvadratinę šaknį, iš skaičiaus ir ženklo ženklo reikia išskirti kvadratinę šaknį, o reikšmę iš trupmenos pašalinti arba apskaičiuoti kaip dalį (kaip tai įmanoma smegenims).

Galite išimti daugiklį iš po šaknies ženklo ir galite įdėti daugiklį po šaknies ženklu. Pašalinus faktorių, iš jo išgaunama šaknis, o pridėjus pakeliama iki atitinkamos galios.

Galite įvesti daugiklį už šaknies ženklo, o daugiklį galite įvesti po šaknies ženklu. Sudėjus daugiklį, iš jo traukiama šaknis, o sudėjus – iš jos.

Pavyzdžiai. Taikykite jį

Norėdami konvertuoti kvadratinių šaknų sumą (skirtumą), turite sumažinti radikaliąsias išraiškas iki tos pačios laipsnio bazės, jei įmanoma, ištraukite šaknis iš laipsnių ir parašykite jas prieš šaknų ženklus, o likusias galima pridėti kvadratines šaknis su tomis pačiomis radikaliomis išraiškomis, kurioms prieš ženklą esantys koeficientai pridedami prie šaknies ir pridedama ta pati kvadratinė šaknis.

Norint transformuoti kvadratinių šaknų sumą (rezultatą), reikia radikaliąsias išraiškas suvesti į vieną bazinį žingsnį, o tai įmanoma atimant žingsnių šaknis ir užrašant jas prieš šaknų ženklus, o kvadratinės šaknies sprendimas tais pačiais žingsniais Lankstymui gali būti naudojamos šaknies išraiškos, kurioms prieš šaknies ženklą pridedami koeficientai Ir pridedama ta pati kvadratinė šaknis.

Visas radikalias išraiškas sumažinkime iki 2 bazės.

Nuo lyginio laipsnio šaknis pašalinama visiškai, nuo nelyginio laipsnio 1 pagrindo šaknis paliekama po šaknies ženklu.

Pateikiame panašius sveikuosius skaičius ir pridedame koeficientus su tomis pačiomis šaknimis. Parašykime dvinarį kaip skaičiaus ir sumos dvinario sandaugą.

Nuveskime visas šaknis iki 2 pagrindo.

Iš suporuoto laiptelio šaknis ištraukiama į išorę, o iš nesuporuoto laiptelio 1 žingsnio pagrindo šaknis pašalinama po šaknies ženklu.

Panašūs skaičiai ir koeficientai pridedami prie tų pačių šaknų. Parašykime dvinarį kaip skaičiaus ir dvinarės sumos sudėjimą.

Radikaliąsias išraiškas sumažiname iki mažiausio pagrindo arba laipsnių su mažiausiomis bazėmis sandaugos. Iš lyginių radikalių išraiškų laipsnių išskiriame šaknį, o laipsnio pagrindo formos su eksponentu 1 arba tokių bazių sandauga paliekama po šaknies ženklu. Pateikiame panašius terminus (pridedame identiškų šaknų koeficientus).

Atliekame išraiškos įsišaknijimą iki mažiausio pagrindo arba žingsnelių kūrimą nuo mažiausio pagrindo. Šaknis imamas iš dviejų pakopinių veislių pakopų, perteklius laiptelio pagrindo pavidalu su indikatoriumi 1 arba tokių pagrindų pridėjimas pašalinamas po šaknies ženklu. Įvedame panašius narius (naujų šaknų koeficientas sumuojamas).

Pakeiskime trupmenų padalijimą daugyba (antrąją trupmeną pakeitę jos abipuse dalimi). Atskirai padauginkime trupmenų skaitiklius ir vardiklius. Po kiekvienu šaknies ženklu pažymime laipsnius. Sumažinkime tuos pačius skaitiklio ir vardiklio veiksnius. Paimkime lygių galių šaknis.

Trupmenų padalijimą pakeisti daugyba (kitą trupmeną pakeičiant trupmena). Padauginkime skaičius ir trupmenų reikšmes. Žingsniai matomi po šaknies odos ženklu. Tačiau greitai skaičių knygelėje ir ženklų knygoje atsiranda naujų daugiklių. Vinesemo šaknis iš vaikinų žingsnių.

Palyginti dvi kvadratines šaknis, jų radikalios išraiškos turi būti sumažintos iki laipsnių su ta pačia baze, tada kuo daugiau radikalios išraiškos laipsnių rodoma, tuo daugiau daugiau vertės kvadratinė šaknis.

Šiame pavyzdyje radikalių išraiškų sumažinti iki vienos bazės neįmanoma, nes pirmajame bazė yra 3, o antrajame - 3 ir 7.

Antrasis palyginimo būdas – į radikaliąją išraišką įvesti šaknies koeficientą ir lyginti skaitines reikšmes radikalios išraiškos. Kvadratinės šaknies atveju kuo didesnė radikali išraiška, tuo didesnė šaknies reikšmė.

Norėdami išlyginti dvi kvadratines šaknis, jų šaknies išraiškos turi būti lygios su tuo pačiu pagrindu, todėl kuo didesnis šaknies išraiškos laipsnis, tuo didesnė kvadratinės šaknies reikšmė.

Vienu atveju neįmanoma sumažinti išraiškos šaknies iki vienos bazės, nes pirmoje bazė yra 3, o kitu - 3 ir 7.

Kitas išlyginimo būdas yra įvesti šaknies koeficientą į šaknies išraišką ir išlyginti šakninių išraiškų skaitines reikšmes. Kvadratinėje šaknyje kuo didesnė šaknies viršūnė, tuo didesnė šaknies reikšmė.

Pasitelkę daugybos paskirstymo dėsnį ir šaknų dauginimo taisyklę su tais pačiais rodikliais (mūsų atveju – kvadratinėmis šaknimis), gavome dviejų kvadratinių šaknų sumą su sandauga po šaknies ženklu. Išskaidykime 91 į pirminius veiksnius ir išimkime šaknį iš skliaustų su bendrais radikaliais veiksniais (13*5).

Gavome šaknies ir dvinario sandaugą, kurios vienas iš mononario yra sveikas skaičius (1).

Vikoristo atskiras daugybos dėsnis ir šaknų dauginimo tais pačiais rodikliais taisyklė (mūsų atveju – kvadratinės šaknys), atėmė dviejų kvadratinių šaknų sumą su priedu po šaknies ženklu. Išdėliojame 91 ant paprastų daugintuvų ir pernešame šaknį už rankų iš pošakninių daugiklių (13*5).

Pridėjome šaknį ir dvinarį, kuriame vienas iš mononario turi sveikąjį skaičių (1).

9 užpakalis:

Radikaliose išraiškose pagal veiksnius parenkame skaičius, iš kurių galima išgauti visą kvadratinę šaknį. Išskirkime laipsnių kvadratines šaknis ir kvadratinių šaknų koeficientams priskirkime skaičius.

Šio daugianario sąlygos turi bendrą koeficientą √3, kurį galima išimti iš skliaustų. Pateiksime panašius terminus.

Šaknies išraiškose skaičiai matomi kaip daugikliai, iš kurių galima atimti visą kvadratinę šaknį. Iš pakopų paimame kvadratines šaknis ir įdedame skaičius kaip kvadratinių šaknų koeficientus.

Šio daugianario sąlygos turi daugiklį √3, kurį galima nešti rankomis. Mes darome panašius papildymus.

Dviejų vienodų bazių (3 ir √5) sumos ir skirtumo sandauga, naudojant sutrumpintą daugybos formulę, gali būti užrašoma kaip bazių kvadratų skirtumas.

Kvadratinė šaknis kvadratu visada lygi radikaliajai išraiškai, todėl reiškinyje atsikratysime radikalo (šaknies ženklo).

Dviejų naujų bazių (3 ir √5) sumos ir skirtumo pridėjimas naudojant trumpąją daugybos formulę gali būti parašytas kaip bazių kvadratų skirtumas.

Kvadratinė šaknis visada yra senesnė už viruso šaknį, todėl prisiminsime viruso radikalą (šaknies ženklą).

Atgal į mokyklą. Šaknų papildymas

Mūsų laikais, naudojant šiuolaikinius elektroninius kompiuterius, skaičiaus šaknies apskaičiavimas neatrodo sudėtinga užduotis. Pavyzdžiui, √2704=52, bet kuris skaičiuotuvas tai apskaičiuos už jus. Laimei, skaičiuoklė prieinama ne tik „Windows“, bet ir įprastame, net pačiame paprasčiausiame telefone. Tiesa, jei staiga (su nedidele tikimybe, kurios skaičiavimas, beje, įtrauktas ir šaknų pridėjimas) atsidursite be laisvų lėšų, tada, deja, teks pasikliauti tik savo smegenimis.

Proto lavinimas niekada nepasiseka. Ypač tiems, kurie ne taip dažnai dirba su skaičiais, o tuo labiau su šaknimis. Šaknų pridėjimas ir atėmimas - geras apšilimas nuobodžiam protui. Taip pat parodysiu, kaip žingsnis po žingsnio pridėti šaknis. Išraiškų pavyzdžiai gali būti tokie.

Supaprastinama lygtis:

Tai neracionali išraiška. Norėdami tai supaprastinti, turite sumažinti visas radikalias išraiškas iki bendra išvaizda. Mes tai darome žingsnis po žingsnio:

Pirmojo numerio nebegalima supaprastinti. Pereikime prie antrosios kadencijos.

3√48 koeficientas 48: 48=2×24 arba 48=3×16. Kvadratinė šaknis iš 24 nėra sveikasis skaičius, t.y. turi trupmeninę likutį. Kadangi mums reikia tikslios reikšmės, apytikslės šaknys mums netinka. Kvadratinė šaknis iš 16 yra 4, išimkite ją iš po šaknies ženklo. Gauname: 3×4×√3=12×√3

Kita mūsų išraiška yra neigiama, t.y. parašytas minuso ženklu -4×√(27.) Mes koeficientas 27. Gauname 27=3×9. Nenaudojame trupmeninių koeficientų, nes sunkiau apskaičiuoti trupmenų kvadratinę šaknį. Iš po ženklo išimame 9, t.y. apskaičiuokite kvadratinę šaknį. Gauname tokią išraišką: -4×3×√3 = -12×√3

Kitas narys √128 apskaičiuoja dalį, kurią galima ištraukti iš po šaknies. 128=64×2, kur √64=8. Jei jums tai palengvina, galite įsivaizduoti šią išraišką taip: √128=√(8^2×2)

Perrašome išraišką supaprastintais terminais:

Dabar sudedame skaičius naudodami tą pačią radikaliąją išraišką. Negalite pridėti ar atimti išraiškų su skirtingomis radikaliomis išraiškomis. Pridedant šaknis, reikia laikytis šios taisyklės.

Gauname tokį atsakymą:

√2=1×√2 – Tikiuosi, kad tai, kad algebroje yra įprasta tokius elementus praleisti, jums nebus naujiena.

Išraiškas galima pavaizduoti ne tik kvadratine šaknimi, bet ir kubine arba n-ąja šaknimi.

Šaknų su skirtingais rodikliais, bet su lygiaverte radikaliąja išraiška, sudėjimas ir atėmimas vyksta taip:

Jei turime formos √a+∛b+∜b išraišką, tada šią išraišką galime supaprastinti taip:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Mes sumažinome du panašius terminus į bendrą šaknies eksponentą. Čia buvo panaudota šaknų savybė, kuri teigia: jei radikalinės išraiškos laipsnio skaičius ir šaknies eksponento skaičius padauginamas iš to paties skaičiaus, tai jo skaičiavimas išliks nepakitęs.

Pastaba: eksponentai pridedami tik dauginant.

Panagrinėkime pavyzdį, kai reiškinyje yra trupmenos.

Mes nuspręsime etapais:

5√8=5*2√2 - ištrauktą dalį išimame iš po šaknies.

Jei šaknies kūnas pavaizduotas trupmena, dažnai ši trupmena nepasikeis, jei imsite dividendo ir daliklio kvadratinę šaknį. Dėl to gavome aukščiau aprašytą lygybę.

Štai atsakymas.

Svarbiausia atsiminti, kad šaknis su lyginiu rodikliu negali būti išskirta iš neigiamų skaičių. Jei lyginio laipsnio radikali išraiška yra neigiama, tada išraiška yra neišsprendžiama.

Šaknų pridėjimas galimas tik tuo atveju, jei radikalios išraiškos sutampa, nes tai yra panašūs terminai. Tas pats pasakytina ir apie skirtumą.

Šaknų su skirtingais skaitiniais rodikliais pridėjimas atliekamas sumažinant abu terminus iki bendro šaknies laipsnio. Šis dėsnis veikia taip pat, kaip ir sumažinimas iki bendro vardiklio, kai pridedama arba atimama trupmena.

Jei radikaliojoje išraiškoje yra skaičius, padidintas iki laipsnio, tada šią išraišką galima supaprastinti, jei yra bendras šaknies ir laipsnio rodiklis.

Kvadratinė sandaugos ir trupmenos šaknis

Skaičiaus kvadratinė šaknis yra skaičius, kurio kvadratas lygus a. Pavyzdžiui, skaičiai -5 ir 5 yra skaičiaus 25 kvadratinės šaknys. Tai yra, lygties x^2=25 šaknys yra skaičiaus 25 kvadratinės šaknys. Dabar reikia išmokti dirbti su kvadratu. šaknies operacija: išstudijuokite pagrindines jo savybes.

Kvadratinė produkto šaknis

√(a*b) =√a*√b

Dviejų neneigiamų skaičių sandaugos kvadratinė šaknis yra lygi šių skaičių kvadratinių šaknų sandaugai. Pavyzdžiui, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Svarbu suprasti, kad ši savybė galioja ir tuo atveju, kai radikali išraiška yra trijų, keturių ir kt. neneigiami veiksniai.

Kartais yra ir kita šios savybės formuluotė. Jeigu a ir b yra neneigiami skaičiai, tai teisinga tokia lygybė: √(a*b) =√a*√b. Tarp jų nėra jokio skirtumo, galite naudoti vieną ar kitą formulę (kurią jums patogiau atsiminti).

Kvadratinė trupmenos šaknis

Jei a>=0 ir b>0, tada yra teisinga ši lygybė:

√(a/b) =√a/√b.

Pavyzdžiui, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Ši savybė taip pat turi skirtingą formuluotę, kuri, mano nuomone, yra patogesnė įsiminti.
Dalinio kvadratinė šaknis yra lygi šaknų daliniui.

Verta paminėti, kad šios formulės veikia tiek iš kairės į dešinę, tiek iš dešinės į kairę. Tai yra, jei reikia, šaknų produktą galime pavaizduoti kaip produkto šaknį. Tas pats pasakytina ir apie antrąjį turtą.

Kaip galbūt pastebėjote, šios savybės yra labai patogios, todėl norėčiau turėti tas pačias sudėties ir atimties savybes:

√(a+b) =√a+√b;

√(a-b) =√a-√b;

Bet, deja, tokios savybės yra kvadratinės neturi šaknų, ir todėl taip yra negalima atlikti skaičiavimuose.

• 13. Važiavimas per kelių eismo taisyklių sankryžas 2018 m. su komentarais internete 13.1. Sukdamas į dešinę arba į kairę vairuotojas privalo duoti kelią perėjoje einantiems pėstiesiems ir dviratininkams važiuojamoji dalis kelias, į kurį jis pasuka. Ši instrukcija taikoma visiems [...]
• Tėvų susirinkimas "Tėvų teisės, pareigos ir atsakomybė" Pamokos pristatymas Parsisiųsti pristatymą (536,6 kB) Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų […]
• Regioninis motinos kapitalas Oryol regione Regioninė motinystės sostinė (MK) Oryol ir Oryol regione buvo įkurta 2011 m. Dabar tai yra papildoma socialinės paramos priemonė daugiavaikės šeimos vienkartine pinigine forma […]
• Vienkartinės išmokos dydis registruojantis ankstyvos datos 2018 m. Puslapis, kurio prašėte, nerastas. Galbūt įvedėte neteisingą adresą arba puslapis buvo ištrintas. Norėdami naršyti, naudokite [...]
• Ekonominių bylų advokatas Nusikaltimai ekonominėje srityje yra gana plati sąvoka. Tokie veiksmai apima sukčiavimą, neteisėtą verslumą, neteisėtai gautų lėšų legalizavimą, nelegalią bankininkystę […]
• Centrinio banko spaudos tarnyba Rusijos Federacija(Rusijos bankas) Spaudos tarnyba 107016, Maskva, g. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Dėl laikinosios administracijos paskyrimo Rusijos banko Išorės ir viešųjų ryšių departamentas praneša, kad pagal 2 dalį […]
• bendrosios charakteristikos Ir trumpa apžvalga vandens keliai.
• Kucherena = Viktoro Tsoi advokatas Ir tai išskirtinis dalykas: šiandieninis Anatolijaus Kučerenos laiškas. Tęsiant temą. Šio laiško dar niekas nepaskelbė. Ir tai būtina, manau. 1 dalis kol kas. Netrukus paskelbsiu antrąją dalį, kurią pasirašys garsus teisininkas. Kodėl tai svarbu? […]