eksponentinės lygtys. Kaip žinote, USE apima paprastas lygtis. Kai kuriuos jau apsvarstėme - tai logaritminiai, trigonometriniai, racionalūs. Čia yra eksponentinės lygtys.

Neseniai paskelbtame straipsnyje dirbome su eksponentinėmis išraiškomis, tai bus naudinga. Pačios lygtys išsprendžiamos paprastai ir greitai. Reikia tik žinoti eksponentų savybes ir ... Apie taiToliau.

Išvardijame eksponentų savybes:

Bet kurio skaičiaus nulinė galia yra lygi vienetui.

Šios savybės pasekmė:

Dar šiek tiek teorijos.

Eksponentinė lygtis yra lygtis, kurios eksponente yra kintamasis, tai yra, ši lygtis yra tokios formos:

f(x) išraiška, kurioje yra kintamasis

Sprendimo metodai eksponentinės lygtys

1. Dėl transformacijų lygtis gali būti sumažinta iki formos:

Tada taikome turtą:

2. Gavus formos lygtį a f (x) = b panaudojus logaritmo apibrėžimą, gauname:

3. Dėl transformacijų galite gauti formos lygtį:

Taikomas logaritmas:

Išreikškite ir suraskite x.

Užduotyse NAUDOTI parinktis pakaks naudoti pirmąjį metodą.

Tai yra, reikia pavaizduoti kairę ir dešinę dalis kaip laipsnius su ta pačia baze, o tada sulyginame rodiklius ir išsprendžiame įprastą tiesinę lygtį.

Apsvarstykite lygtis:

Raskite 4 lygties šaknį 1-2x = 64.

Būtina įsitikinti, kad kairioji ir dešinė dalys yra eksponentinės išraiškos su vienu pagrindu. 64 galime pavaizduoti kaip 4 laipsniu 3. Gauname:

4 1–2x = 4 3

1 - 2x = 3

– 2x = 2

x = - 1

Egzaminas:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

Atsakymas: -1

Raskite 3 lygties šaknį x-18 = 1/9.

Yra žinoma, kad

Taigi 3 x-18 = 3 -2

Bazės yra lygios, galime sulyginti rodiklius:

x – 18 \u003d – 2

x = 16

Egzaminas:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

Atsakymas: 16

Raskite lygties šaknį:

Pavaizduokime trupmeną 1/64 kaip ketvirtį nuo trečiojo laipsnio:

2x - 19 = 3

2x = 22

x = 11

Egzaminas:

Atsakymas: 11

Raskite lygties šaknį:

Pavaizduokime 1/3 kaip 3 -1, o 9 kaip 3 kvadratą, gausime:

(3–1) 8–2x = 3 2

3–1∙ (8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

Dabar galime sulyginti rodiklius:

– 8+2x = 2

2x = 10

x = 5

Egzaminas:

Atsakymas: 5

26654. Raskite lygties šaknį:

Sprendimas:

Atsakymas: 8.75

Iš tiesų, kad ir kokia galia pakeltume teigiamą skaičių a, neigiamo skaičiaus jokiu būdu negalime gauti.

Bet kuri eksponentinė lygtis po atitinkamų transformacijų redukuojasi iki vienos ar kelių paprastų.Šiame skyriuje taip pat apsvarstysime kai kurių lygčių sprendimą, nepraleiskite to!Tai viskas. Sėkmės tau!

Pagarbiai Aleksandras Krutitskichas.

P.S. Būčiau dėkingas, jei papasakotumėte apie svetainę socialiniuose tinkluose.

Pasiruošimo galutiniam testui etape aukštųjų mokyklų studentai turi patobulinti žinias tema „Eksponentinės lygtys“. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad tokios užduotys moksleiviams kelia tam tikrų sunkumų. Todėl gimnazistai, nepaisant jų pasirengimo lygio, turi atidžiai įsisavinti teoriją, įsiminti formules ir suprasti tokių lygčių sprendimo principą. Išmokę susidoroti su tokio tipo užduotimis, abiturientai, išlaikydami matematikos egzaminą, galės tikėtis aukštų balų.

Pasiruoškite egzamino testavimui kartu su Shkolkovo!

Kartodami nagrinėjamą medžiagą, daugelis mokinių susiduria su formulių, reikalingų lygtims išspręsti, paieška. Mokyklinis vadovėlis ne visada yra po ranka, o reikiamos informacijos tam tikra tema internete parinkimas užtrunka ilgai.

Švietimo portalas Shkolkovo kviečia studentus naudotis mūsų žinių baze. Visiškai įgyvendiname naujas metodas pasiruošimas paskutiniam testui. Studijuodami mūsų svetainėje galėsite atpažinti žinių spragas ir atkreipti dėmesį į tas užduotis, kurios sukelia daugiausiai sunkumų.

„Shkolkovo“ mokytojai surinko, susistemino ir pristatė viską, kas reikalinga sėkmingam pristatymui NAUDOKITE medžiagą pačiu paprasčiausiu ir prieinamiausiu būdu.

Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinė nuoroda“.

Norint geriau įsisavinti medžiagą, rekomenduojame atlikti užduotis. Atidžiai peržiūrėkite šiame puslapyje pateiktus eksponentinių lygčių su sprendiniais pavyzdžius, kad suprastumėte skaičiavimo algoritmą. Po to tęskite užduotis skyriuje „Katalogai“. Galite pradėti nuo paprasčiausių užduočių arba pereiti tiesiai prie sudėtingų eksponentinių lygčių su keliais nežinomaisiais arba . Mūsų svetainėje esanti pratimų duomenų bazė nuolat pildoma ir atnaujinama.

Tuos pavyzdžius su indikatoriais, kurie jums sukėlė sunkumų, galite įtraukti į „Mėgstamiausius“. Taigi galite greitai juos rasti ir aptarti sprendimą su mokytoju.

Norėdami sėkmingai išlaikyti egzaminą, kiekvieną dieną mokykitės Shkolkovo portale!

Ši pamoka skirta tiems, kurie tik pradeda mokytis eksponentinių lygčių. Kaip visada, pradėkime nuo apibrėžimo ir paprastų pavyzdžių.

Jeigu skaitote šią pamoką, tai įtariu, kad jau bent minimaliai suprantate paprasčiausias lygtis – tiesinę ir kvadratinę: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ ir pan. Mokėti spręsti tokias konstrukcijas būtina, kad „neužsikabintume“ temoje, apie kurią dabar bus kalbama.

Taigi, eksponentinės lygtys. Pateiksiu porą pavyzdžių:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Kai kurie iš jų jums gali pasirodyti sudėtingesni, kai kurie, atvirkščiai, yra pernelyg paprasti. Tačiau juos visus vienija viena svarbi savybė: juose yra eksponentinė funkcija $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Taigi pateikiame apibrėžimą:

Eksponentine lygtimi vadinama bet kuri lygtis, kurioje yra eksponentinė funkcija, t.y. $((a)^(x))$ formos išraiška. Be nurodytos funkcijos, tokiose lygtyse gali būti bet kokių kitų algebrinių konstrukcijų – polinomų, šaknų, trigonometrijos, logaritmų ir kt.

Gerai tada. Suprato apibrėžimą. Dabar kyla klausimas: kaip išspręsti visą šitą nesąmonę? Atsakymas yra paprastas ir sudėtingas tuo pačiu metu.

Pradėkime nuo gerų naujienų: iš savo patirties su daugeliu studentų galiu pasakyti, kad daugumai jų eksponentinės lygtys yra daug lengvesnės nei tie patys logaritmai, o juo labiau trigonometrija.

Tačiau yra ir blogų naujienų: kartais visokių vadovėlių ir egzaminų uždavinių rengėjus aplanko „įkvėpimas“, o jų nuo narkotikų užsidegusios smegenys ima gaminti tokias žiaurias lygtis, kad jas spręsti tampa problematiška ne tik mokiniams – net daugelis mokytojų užstringa dėl tokių problemų.

Tačiau nekalbėkime apie liūdnus dalykus. Ir grįžkime prie tų trijų lygčių, kurios buvo pateiktos pačioje istorijos pradžioje. Pabandykime išspręsti kiekvieną iš jų.

Pirmoji lygtis: $((2)^(x))=4$. Na, iki kokio laipsnio reikia pakelti skaičių 2, kad gautume skaičių 4? Galbūt antrasis? Juk $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ir gavome teisingą skaitinę lygybę, t.y. tikrai $x=2$. Na, ačiū, kepurė, bet ši lygtis buvo tokia paprasta, kad net mano katė galėjo ją išspręsti. :)

Pažvelkime į tokią lygtį:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Bet čia yra šiek tiek sunkiau. Daugelis mokinių žino, kad $((5)^(2))=25$ yra daugybos lentelė. Kai kurie taip pat įtaria, kad $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ iš esmės yra neigiamų eksponentų apibrėžimas (panašus į formulę $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Galiausiai tik keli atrinkti spėja, kad šiuos faktus galima sujungti, o rezultatas yra toks:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Taigi, mūsų pradinė lygtis bus perrašyta taip:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ir dabar tai jau visiškai išspręsta! Kairėje lygties pusėje yra eksponentinė funkcija, dešinėje lygties pusėje yra eksponentinė funkcija, niekur kitur nėra nieko, išskyrus juos. Todėl galima „išmesti“ pagrindus ir kvailai sutapatinti rodiklius:

Gavome paprasčiausią tiesinę lygtį, kurią bet kuris mokinys gali išspręsti vos per kelias eilutes. Gerai, keturiomis eilutėmis:

\[\begin(lygiuoti)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(lygiuoti)\]

Jei nesuprantate, kas atsitiko paskutinėse keturiose eilutėse, būtinai grįžkite į temą „tiesinės lygtys“ ir pakartokite. Nes be aiškaus šios temos įsisavinimo dar per anksti imtis eksponentinių lygčių.

\[((9)^(x)) = -3\]

Na, kaip jūs nuspręsite? Pirma mintis: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, todėl pradinę lygtį galima perrašyti taip:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Tada primename, kad didinant laipsnį iki galios, rodikliai dauginami:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rodyklė dešinėn ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(lygiuoti)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(lygiuoti)\]

Ir už tokį sprendimą gauname sąžiningai pelnytą dvikovą. Nes mes, kaip pokemonas, nusiuntėme minuso ženklą priešais tris būtent šio trijulio galia. Ir tu negali to padaryti. Ir todėl. Pažvelkite į skirtingas trigubo galias:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Sudarydamas šią planšetę kuo greičiau neiškrypau: svarsčiau ir teigiamus laipsnius, ir neigiamus, ir net trupmeninius... na, kur bent vienas neigiamas skaičius? Jis nėra! Ir negali būti, nes eksponentinė funkcija $y=((a)^(x))$, pirma, visada užima tik teigiamas vertes(nesvarbu, kiek padauginsite vieną ar padalysite iš dviejų, jis vis tiek bus teigiamas skaičius), o antra, tokios funkcijos pagrindas – skaičius $a$ – pagal apibrėžimą yra teigiamas skaičius!

Na, kaip tada išspręsti lygtį $((9)^(x))=-3$? Ne, šaknų nėra. Ir šia prasme eksponentinės lygtys labai panašios į kvadratines – šaknų taip pat gali nebūti. Bet jei į kvadratines lygtisšaknų skaičius nustatomas pagal diskriminantą (diskriminantas teigiamas - 2 šaknys, neigiamas - šaknų nėra), tada eksponentuose viskas priklauso nuo to, kas yra į dešinę nuo lygybės ženklo.

Taigi suformuluojame pagrindinę išvadą: paprasčiausia formos $((a)^(x))=b$ eksponentinė lygtis turi šaknį tada ir tik tada, kai $b>0$. Žinodami šį paprastą faktą, galite lengvai nustatyti, ar jums pasiūlyta lygtis turi šaknis, ar ne. Tie. ar verta apskritai tai spręsti ar iš karto parašyti, kad šaknų nėra.

Šios žinios padės mums daug kartų, kai turėsime išspręsti sudėtingesnes problemas. Tuo tarpu užteks dainų tekstų – laikas išstudijuoti pagrindinį eksponentinių lygčių sprendimo algoritmą.

Kaip išspręsti eksponentines lygtis

Taigi, suformuluokime problemą. Būtina išspręsti eksponentinę lygtį:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Pagal „naivų“ algoritmą, kurį naudojome anksčiau, skaičių $b$ reikia pavaizduoti kaip skaičiaus $a$ laipsnį:

Be to, jei vietoj kintamojo $x$ yra kokia nors išraiška, gausime naują lygtį, kurią jau galima išspręsti. Pavyzdžiui:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rodyklė dešinėn ((2)^(x))=((2)^(3))\Rodyklė dešinėn x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rodyklė dešinėn ((3)^(-x))=((3)^(4))\RightArrow -x=4\RightArrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\RightArrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\RightArrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Ir kaip bebūtų keista, ši schema veikia maždaug 90% atvejų. O kaip tada su kitais 10%? Likę 10% yra šiek tiek „šizofreniškos“ formos eksponentinės lygtys:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Kokia galia reikia pakelti 2, kad gautum 3? Pirmajame? Bet ne: $((2)^(1))=2$ nepakanka. Antroje? Nė vienas: $((2)^(2))=4$ yra per daug. Kas tada?

Išmanantys studentai tikriausiai jau atspėjo: tokiais atvejais, kai neįmanoma išspręsti „gražiai“, prie bylos prijungiama „sunkioji artilerija“ - logaritmai. Leiskite jums priminti, kad naudojant logaritmus, bet kuris teigiamas skaičius gali būti pavaizduotas kaip bet kurio kito laipsnis teigiamas skaičius(išskyrus vienetą):

Prisimeni šią formulę? Kai pasakoju savo mokiniams apie logaritmus, visada perspėju: ši formulė (tai taip pat yra pagrindinė logaritminė tapatybė arba, jei norite, logaritmo apibrėžimas) jus persekios labai ilgai ir „atsiras“ daugiausiai. netikėtų vietų. Na, ji pasirodė. Pažvelkime į mūsų lygtį ir šią formulę:

\[\begin(lygiuoti)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(lygiuoti) \]

Jei darysime prielaidą, kad $a=3$ yra mūsų pradinis skaičius dešinėje, o $b=2$ yra pats eksponentinės funkcijos, iki kurios norime sumažinti dešiniąją pusę, pagrindas, gausime:

\[\begin(lygiuoti)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rodyklė dešinėn 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rodyklė dešinėn ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rodyklė dešinėn x=( (\log )_(2))3. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Gavome šiek tiek keistą atsakymą: $x=((\log )_(2))3$. Atliekant kokią nors kitą užduotį, su tokiu atsakymu, daugelis suabejotų ir imtų dar kartą tikrinti savo sprendimą: o jei kur nors būtų klaida? Skubu jus įtikti: čia nėra jokios klaidos, o logaritmai eksponentinių lygčių šaknyse yra gana tipiška situacija. Taigi pripraskite. :)

Dabar pagal analogiją išsprendžiame likusias dvi lygtis:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x))=15\Rodyklė dešinėn ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rodyklė dešinėn ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rodyklė dešinėn 2x=( (\log )_(4))11\Rodyklė dešinėn x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Beje, paskutinį atsakymą galima parašyti kitaip:

Būtent mes įvedėme daugiklį į logaritmo argumentą. Tačiau niekas netrukdo mums pridėti šio faktoriaus į bazę:

Šiuo atveju visi trys variantai yra teisingi – tiesiog skirtingos formos to paties numerio įrašai. Kurį pasirinkti ir užsirašyti šiame sprendime, priklauso nuo jūsų.

Taigi mes išmokome išspręsti bet kokias formos $((a)^(x))=b$ eksponencines lygtis, kur skaičiai $a$ ir $b$ yra griežtai teigiami. Tačiau atšiauri mūsų pasaulio realybė yra ta, kad tokios paprastos užduotys sutiks labai labai retai. Dažniau susidursite su tokiais dalykais:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Na, kaip jūs nuspręsite? Ar tai apskritai galima išspręsti? Ir jei taip, kaip?

Jokios panikos. Visos šios lygtys greitai ir paprastai sumažinamos iki tų paprastų formulių, kurias jau svarstėme. Jums tereikia žinoti, kad prisimintumėte keletą gudrybių iš algebros kurso. Ir, žinoma, čia nėra jokių darbo su laipsniais taisyklių. Dabar apie visa tai papasakosiu. :)

Eksponentinių lygčių transformacija

Pirmiausia reikia atsiminti, kad bet kuri eksponentinė lygtis, kad ir kokia sudėtinga ji būtų, vienaip ar kitaip turi būti sumažinta iki paprasčiausių lygčių – tų, kurias jau svarstėme ir kurias žinome, kaip išspręsti. Kitaip tariant, bet kokios eksponentinės lygties sprendimo schema atrodo taip:

1. Užrašykite pradinę lygtį. Pavyzdžiui: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Padaryk kvailą šūdą. Ar net kažkoks mėšlas, vadinamas „pakeisk lygtį“;
3. Išvestyje gaukite paprasčiausias išraiškas, pvz., $((4)^(x))=4$ arba kažką panašaus. Be to, viena pradinė lygtis gali pateikti kelias tokias išraiškas vienu metu.

Su pirmu tašku viskas aišku – net mano katė gali užrašyti lygtį ant lapo. Atrodo, kad ir su trečiuoju punktu taip pat daugmaž aišku – aukščiau jau išsprendėme visą krūvą tokių lygčių.

Bet kaip su antruoju punktu? Kokios yra transformacijos? Ką konvertuoti į ką? Ir kaip?

Na, išsiaiškinkime. Pirmiausia norėčiau atkreipti dėmesį į šiuos dalykus. Visos eksponentinės lygtys skirstomos į du tipus:

1. Lygtis sudaryta iš eksponentinių funkcijų, turinčių tą pačią bazę. Pavyzdys: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formulėje yra eksponentinės funkcijos su skirtingais pagrindais. Pavyzdžiai: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ir $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Pradėkime nuo pirmojo tipo lygčių – jas lengviausia išspręsti. O jų sprendime mums padės tokia technika kaip stabilių posakių parinkimas.

Stabilios išraiškos paryškinimas

Dar kartą pažvelkime į šią lygtį:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ką mes matome? Keturi pakeliami skirtingais laipsniais. Bet visos šios galios yra paprastos kintamojo $x$ sumos su kitais skaičiais. Todėl būtina atsiminti darbo su laipsniais taisykles:

\[\begin(lygiuoti)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, eksponentų pridėjimas gali būti konvertuojamas į laipsnių sandaugą, o atimtis lengvai paverčiama padalijimu. Pabandykime pritaikyti šias formules mūsų lygties galioms:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\pabaiga (lygiuoti)\]

Atsižvelgdami į šį faktą perrašome pradinę lygtį, tada surenkame visus terminus kairėje:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -vienuolika; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pirmuosiuose keturiuose terminuose yra elementas $((4)^(x))$ – išimkime jį iš skliausto:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Belieka abi lygties dalis padalinti iš trupmenos $-\frac(11)(4)$, t.y. iš esmės padauginkite iš atvirkštinės trupmenos - $-\frac(4)(11)$. Mes gauname:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Pradinę lygtį sumažinome iki paprasčiausios ir gavome galutinį atsakymą.

Tuo pačiu metu, spręsdami, mes atradome (ir net išėmėme iš skliaustų) bendrą koeficientą $((4)^(x))$ - tai yra stabili išraiška. Jis gali būti nurodytas kaip naujas kintamasis arba tiesiog tiksliai jį išreikšti ir gauti atsakymą. Bet kuriuo atveju pagrindinis sprendimo principas yra toks:

Pradinėje lygtyje suraskite stabilią išraišką, kurioje yra kintamasis, kurį lengva atskirti nuo visų eksponentinių funkcijų.

Geros naujienos yra tai, kad beveik kiekviena eksponentinė lygtis pripažįsta tokią stabilią išraišką.

Tačiau yra ir blogų naujienų: tokie posakiai gali būti labai keblūs, o atskirti juos gali būti gana sunku. Taigi pažvelkime į kitą problemą:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Galbūt dabar kam nors kils klausimas: „Paša, tu užmėtyta akmenimis? Čia yra skirtingos bazės - 5 ir 0,2. Bet pabandykime konvertuoti galią su baze 0.2. Pavyzdžiui, atsikratykime dešimtainė trupmena, pereinant prie įprasto:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kaip matote, skaičius 5 vis tiek pasirodė, nors ir vardiklyje. Tuo pačiu metu rodiklis buvo perrašytas į neigiamą. Ir dabar primename vieną iš svarbiausių darbo su laipsniais taisyklių:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Čia, žinoma, šiek tiek apgavau. Kadangi norint visiškai suprasti, formulė, kaip atsikratyti neigiamų rodiklių, turėjo būti parašyta taip:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rodyklė dešinėn ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ dešinėje))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Kita vertus, niekas netrukdė mums dirbti tik su viena frakcija:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dešinė))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Bet šiuo atveju reikia mokėti pakelti laipsnį į kitą laipsnį (primenu: tokiu atveju rodikliai sumuojami). Bet man nereikėjo „vartyti“ trupmenų - galbūt kažkam bus lengviau. :)

Bet kokiu atveju pradinė eksponentinė lygtis bus perrašyta taip:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi pasirodo, kad pradinę lygtį išspręsti yra dar lengviau nei anksčiau svarstytą: čia net nereikia išskirti stabilios išraiškos - viskas sumažėjo savaime. Belieka tik atsiminti, kad $1=((5)^(0))$, iš kur gauname:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Štai visas sprendimas! Gavome galutinį atsakymą: $x=-2$. Tuo pat metu norėčiau atkreipti dėmesį į vieną triuką, kuris mums labai supaprastino visus skaičiavimus:

Eksponentinėse lygtyse būtinai atsikratykite dešimtainių trupmenų, išverskite jas į įprastas. Tai leis matyti tuos pačius laipsnių pagrindus ir labai supaprastins sprendimą.

Dabar pereikime prie sudėtingesnių lygčių, kuriose yra skirtingos bazės, kurios paprastai nėra redukuojamos viena į kitą naudojant galias.

Naudojant eksponento ypatybę

Leiskite jums priminti, kad turime dvi ypač griežtas lygtis:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pagrindinis sunkumas čia yra tas, kad neaišku, kuo ir kuo vadovautis. Kur nustatyti išraiškas? Kur yra bendri pagrindai? Šito nėra.

Bet pabandykime eiti kitu keliu. Jei nėra paruoštų identiškų bazių, galite pabandyti jas surasti faktorinuodami turimas bazes.

Pradėkime nuo pirmosios lygties:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Bet juk galima elgtis priešingai – iš skaičių 7 ir 3 sudaryti skaičių 21. Tai ypač lengva padaryti kairėje, nes abiejų laipsnių rodikliai yra vienodi:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\&x=3. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Jūs ištraukėte eksponentą iš gaminio ir iškart gavote gražią lygtį, kurią galima išspręsti keliomis eilutėmis.

Dabar panagrinėkime antrąją lygtį. Čia viskas daug sudėtingiau:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Šiuo atveju trupmenos pasirodė nesumažinamos, bet jei ką nors pavyko sumažinti, būtinai sumažinkite. Dėl to dažnai atsiras įdomių priežasčių, su kuriomis jau galite dirbti.

Deja, nieko nesugalvojome. Bet matome, kad rodikliai kairėje produkto pusėje yra priešingi:

Leiskite jums priminti: norint atsikratyti minuso ženklo eksponente, tereikia „apversti“ trupmeną. Taigi perrašykime pradinę lygtį:

\[\begin(lygiuoti)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Antroje eilutėje mes tiesiog suskaidėme bendrą produkto sumą pagal taisyklę $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, o pastarajame skaičių 100 jie tiesiog padaugino iš trupmenos.

Dabar atkreipkite dėmesį, kad skaičiai kairėje (apačioje) ir dešinėje yra šiek tiek panašūs. Kaip? Taip, aišku: tai to paties skaičiaus galios! Mes turime:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dešinė))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dešinėje))^(2)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi mūsų lygtis bus perrašyta taip:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \dešinė))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Tuo pačiu metu, dešinėje, taip pat galite gauti laipsnį su ta pačia baze, kuriai pakanka tik „apversti“ trupmeną:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Galiausiai mūsų lygtis bus tokia:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai yra visas sprendimas. Jo pagrindinė mintis yra ta, kad net jei skirtingi pagrindai mes bandome su kabliu ar suktu sumažinti šias priežastis į vieną ir tą patį. Tam mums padeda elementarios lygčių transformacijos ir darbo su galiomis taisyklės.

Bet kokias taisykles ir kada naudoti? Kaip suprasti, kad vienoje lygtyje reikia iš kažkuo padalyti abi puses, o kitoje – išskaidyti eksponentinės funkcijos bazę į veiksnius?

Atsakymas į šį klausimą ateis su patirtimi. Iš pradžių išbandykite savo jėgas paprastos lygtys, o tada palaipsniui apsunkinkite užduotis – ir labai greitai jūsų įgūdžių pakaks, kad išspręstumėte bet kokią eksponentinę lygtį iš to paties USE arba bet kokio nepriklausomo / bandomojo darbo.

Ir kad padėtų jums atlikti šią sudėtingą užduotį, siūlau į savo svetainę atsisiųsti lygčių rinkinį, kad gautumėte nepriklausomą sprendimą. Visos lygtys turi atsakymus, todėl visada galite pasitikrinti patys.

Kas yra eksponentinė lygtis? Pavyzdžiai.

Taigi, eksponentinė lygtis... Naujas unikalus eksponatas mūsų bendroje įvairiausių lygčių parodoje!) Kaip ir beveik visada, bet kurio naujo matematinio termino raktinis žodis yra atitinkamas jį apibūdinantis būdvardis. Taigi ir čia. raktažodį termine "eksponentinė lygtis" yra žodis "demonstracinis". Ką tai reiškia? Šis žodis reiškia, kad nežinomasis (x) yra bet kokio laipsnio atžvilgiu. Ir tik ten! Tai nepaprastai svarbu.

Pavyzdžiui, šios paprastos lygtys:

3 x +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

Ar net šie monstrai:

2 sin x = 0,5

Prašau nedelsiant atkreipti dėmesį į vieną svarbų dalyką: į pagrindu laipsniai (apačioje) - tik skaičiai. Bet į rodikliai laipsniai (viršuje) – daugybė išraiškų su x. Visiškai bet kokia.) Viskas priklauso nuo konkrečios lygties. Jei staiga, be rodiklio (tarkim, 3 x \u003d 18 + x 2), lygtyje kažkur kitur pasirodys x, tada tokia lygtis jau bus lygtis mišrus tipas. Tokios lygtys neturi aiškių sprendimo taisyklių. Todėl šioje pamokoje mes jų nenagrinėsime. Mokinių džiaugsmui.) Čia nagrinėsime tik „gryna“ formos eksponencines lygtis.

Paprastai tariant, net ir grynos eksponentinės lygtys ne visais atvejais ir ne visada yra aiškiai išsprendžiamos. Tačiau tarp daugybės eksponentinių lygčių yra tam tikrų tipų, kuriuos galima ir reikia išspręsti. Būtent šių tipų lygtis mes apsvarstysime kartu su jumis. O pavyzdžius būtinai išspręsime.) Taigi įsitaisome patogiai ir – kelyje! Kaip ir kompiuterinėse „šaulėse“, mūsų kelionė eis per lygius.) Nuo elementaraus iki paprasto, nuo paprasto iki vidutinio ir nuo vidutinio iki sudėtingo. Pakeliui jūsų lauks ir slaptas lygis – nestandartinių pavyzdžių sprendimo gudrybės ir metodai. Tokių, apie kuriuos neskaitysi daugumoje mokyklinių vadovėlių... Na, o pabaigoje, žinoma, laukia galutinis viršininkas namų darbų pavidalu.)

0 lygis. Kokia yra paprasčiausia eksponentinė lygtis? Paprasčiausių eksponentinių lygčių sprendimas.

Pirmiausia pažvelkime į kai kuriuos atvirus pradinius dalykus. Jūs turite kažkur pradėti, tiesa? Pavyzdžiui, ši lygtis:

2 x = 2 2

Net ir be jokių teorijų, remiantis paprasta logika ir sveiku protu, aišku, kad x = 2. Kitaip niekaip, tiesa? Jokia kita x reikšmė nėra gera... Dabar atkreipkime dėmesį sprendimo įrašasši nuostabi eksponentinė lygtis:

2 x = 2 2

X = 2

Kas mums atsitiko? Ir atsitiko taip. Mes, tiesą sakant, ėmėme ir ... tiesiog išmetėme tuos pačius pagrindus (du)! Visiškai išmestas. Ir, kas patinka, pataikyk tiesiai į akis!

Taip, iš tikrųjų, jei eksponentinės lygties kairėje ir dešinėje yra tas pats skaičiai bet kokiu laipsniu, tada šiuos skaičius galima atmesti ir tiesiog sulyginti eksponentus. Matematika leidžia.) Ir tada jūs galite dirbti atskirai su rodikliais ir išspręsti daug paprastesnę lygtį. Tai puiku, tiesa?

Čia yra pagrindinė bet kokios (taip, tiksliai bet kurios!) eksponentinės lygties sprendimo idėja: naudojant identiškas transformacijas, būtina užtikrinti, kad kairė ir dešinė lygtyje būtų tas pats įvairių laipsnių baziniai skaičiai. Ir tada jūs galite saugiai pašalinti tuos pačius pagrindus ir sulyginti eksponentus. Ir dirbkite su paprastesne lygtimi.

Ir dabar mes prisimename geležinę taisyklę: galima pašalinti tuos pačius pagrindus, jei ir tik tada, kai lygtyje kairėje ir dešinėje baziniai skaičiai yra išdidžioje vienatvėje.

Ką tai reiškia nuostabioje izoliacijoje? Tai reiškia be jokių kaimynų ir koeficientų. paaiškinu.

Pavyzdžiui, lygtyje

3 3 x-5 = 3 2 x +1

Jūs negalite pašalinti trynukų! Kodėl? Nes kairėje turime ne tik vienišus tris laipsnius, bet dirbti 3 3 x-5 . Papildomas trigubas trukdo: koeficientas, supranti.)

Tą patį galima pasakyti ir apie lygtį

5 3 x = 5 2 x +5 x

Čia irgi visos bazės vienodos – penkios. Bet dešinėje mes neturime nė vieno laipsnio penkių: yra laipsnių suma!

Trumpai tariant, mes turime teisę pašalinti tas pačias bazes tik tada, kai mūsų eksponentinė lygtis atrodo taip ir tik taip:

af (x) = a g (x)

Tokio tipo eksponentinė lygtis vadinama paprasčiausias. Arba moksliškai, kanoninis . Ir nesvarbu, kokia būtų priešais mus esanti iškreipta lygtis, vienaip ar kitaip, mes ją sumažinsime iki tokios paprastos (kanoninės) formos. Arba tam tikrais atvejais agregataišios rūšies lygtys. Tada mūsų paprasčiausia lygtis gali būti bendras vaizdas perrašyti taip:

F(x) = g(x)

Štai ir viskas. Tai bus lygiavertė transformacija. Tuo pačiu metu absoliučiai bet kokios išraiškos su x gali būti naudojamos kaip f(x) ir g(x). Nesvarbu.

Galbūt ypač smalsus studentas paklaus: kodėl mes taip lengvai ir paprastai atmetame tuos pačius pagrindus kairėje ir dešinėje ir sulyginame eksponentus? Intuicija yra intuicija, bet staiga, tam tikroje lygtyje ir dėl kokių nors priežasčių, šis požiūris pasirodys klaidingas? Ar visada legalu mėtyti tuos pačius pagrindus? Deja, už griežtą matematinį atsakymą į tai palūkanos Klausti reikia giliai ir rimtai įsigilinti į bendrą funkcijų struktūros ir elgesio teoriją. Ir kiek konkrečiau – reiškinyje griežtas monotoniškumas. Visų pirma, griežtas monotoniškumas eksponentinė funkcijay= a x. Kadangi būtent eksponentinė funkcija ir jos savybės yra pagrindas sprendžiant eksponenlines lygtis, taip.) Išsamus atsakymas į šį klausimą bus pateiktas atskiroje specialioje pamokoje, skirtoje sudėtingų nestandartinių lygčių sprendimui naudojant skirtingų funkcijų monotoniškumą.)

Išsamiai paaiškinti šį klausimą dabar reiškia tik ištraukti vidutinio moksleivio smegenis ir anksčiau laiko išgąsdinti sausa ir sunkia teorija. Aš šito nedarysiu.) Mūsų pagrindinis Šis momentas užduotis - Išmokite spręsti eksponentines lygtis! Pats paprasčiausias! Todėl tol, kol neprakaituosime ir drąsiai išmesime tas pačias priežastis. tai gali, laikykis mano žodžio!) Ir tada jau sprendžiame ekvivalentinę lygtį f (x) = g (x). Paprastai jis yra paprastesnis nei pradinis eksponentinis.

Žinoma, daroma prielaida, kad žmonės jau žino, kaip išspręsti bent , ir lygtis, jau be x rodikliuose.) Kas dar nežino kaip, drąsiai uždarykite šį puslapį, eikite atitinkamomis nuorodomis ir užpildykite senos spragos. Priešingu atveju jums bus sunku, taip ...

Aš tyliu apie neracionalias, trigonometrines ir kitas žiaurias lygtis, kurios taip pat gali atsirasti šalinant bazes. Tačiau neišsigąskite, kol kas atviro alavo laipsniais nesvarstysime: dar per anksti. Mes mokysime tik paprasčiausias lygtis.)

Dabar apsvarstykite lygtis, kurioms reikia papildomų pastangų, kad jas sumažintumėte iki paprasčiausių. Norėdami juos atskirti, pavadinkime juos paprastos eksponentinės lygtys. Taigi pereikime į kitą lygį!

1 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Atpažinkite laipsnius! natūralūs rodikliai.

Pagrindinės taisyklės sprendžiant bet kokias eksponentines lygtis yra laipsnio tvarkymo taisyklės. Be šių žinių ir įgūdžių niekas neveiks. Deja. Taigi, jei kyla problemų su laipsniais, pradžiai esate laukiami. Be to, mums taip pat reikia. Šios transformacijos (net dvi!) yra pagrindas sprendžiant visas matematikos lygtis apskritai. Ir ne tik vitrinos. Taigi, kas pamiršo, pasivaikščiokite ir nuorodoje: aš juos užsidėjau ne be priežasties.

Tačiau vien veiksmų su galiomis ir identiškų transformacijų neužtenka. Tai taip pat reikalauja asmeninio stebėjimo ir išradingumo. Mums reikia to paties pagrindo, ar ne? Taigi mes išnagrinėjame pavyzdį ir ieškome jų aiškia ar užmaskuota forma!

Pavyzdžiui, ši lygtis:

3 2x – 27x +2 = 0

Pirmas žvilgsnis pagrindu. Jie skirtingi! Treji ir dvidešimt septyneri. Tačiau panikuoti ir pulti į neviltį dar anksti. Laikas tai prisiminti

27 = 3 3

Skaičiai 3 ir 27 yra laipsnio giminės! Be to, artimieji.) Todėl mes turime visas teises užrašyti:

27 x +2 = (3 3) x+2

Ir dabar mes sujungiame savo žinias apie veiksmai su laipsniais(ir aš jus perspėjau!). Yra tokia labai naudinga formulė:

(am) n = a mn

Dabar, jei paleisite jį kurso metu, paprastai viskas gerai:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3 (x +2)

Pradinis pavyzdys dabar atrodo taip:

3 2 x – 3 3 (x +2) = 0

Puiku, laipsnių pagrindai susilygino. Ko mes siekėme. Pusė darbo atlikta.) O dabar pradedame pagrindinę tapatybės transformaciją – perkeliame 3 3 (x +2) į dešinę. Elementarių matematikos veiksmų niekas neatšaukė, taip.) Gauname:

3 2 x = 3 3 (x + 2)

Kas suteikia mums tokią lygtį? Ir tai, kad dabar mūsų lygtis yra sumažinta į kanoninę formą: kairėje ir dešinėje yra tie patys skaičiai (trigubai) laipsniais. Ir abu trynukai – puikioje izoliacijoje. Drąsiai pašaliname trynukus ir gauname:

2x = 3 (x+2)

Mes išsprendžiame tai ir gauname:

X=-6

Tai viskas. Tai yra teisingas atsakymas.)

Ir dabar mes suprantame sprendimo eigą. Kas mus išgelbėjo šiame pavyzdyje? Mus išgelbėjo žinios apie trigubo laipsnius. Kaip tiksliai? Mes nustatyta numeris 27 užšifruoti trys! Šis triukas (to paties pagrindo šifravimas pagal skirtingi skaičiai) yra viena populiariausių eksponentinėse lygtyse! Nebent pats populiariausias. Taip, ir taip pat, beje. Štai kodėl stebėjimas ir gebėjimas atpažinti kitų skaičių laipsnius skaičiais yra toks svarbus eksponentinėse lygtyse!

Praktinis patarimas:

Turite žinoti populiarių skaičių galias. Į veidą!

Žinoma, kiekvienas gali pakelti du į septintą laipsnį arba tris į penktą. Ne mano galvoje, tai bent juodraštyje. Bet eksponentinėse lygtyse daug dažniau reikia ne kelti iki laipsnio, o, priešingai, išsiaiškinti, koks skaičius ir kiek slepiasi už skaičiaus, tarkime, 128 ar 243. O tai jau daugiau suprantate, sudėtingesnis nei paprastas eksponentas. Pajuskite skirtumą, kaip sakoma!

Kadangi gebėjimas atpažinti laipsnius veide yra naudingas ne tik šiame, bet ir toliau nurodytuose lygiuose, štai jums nedidelė užduotis:

Nustatykite, kokios galios ir kokie skaičiai yra skaičiai:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

Atsakymai (žinoma, išsibarstę):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

Taip taip! Nenustebkite, kad atsakymų yra daugiau nei užduočių. Pavyzdžiui, 2 8, 4 4 ir 16 2 yra 256.

2 lygis. Paprastosios eksponentinės lygtys. Atpažinkite laipsnius! Neigiami ir trupmeniniai rodikliai.

Šiame lygyje mes jau iki galo panaudojame savo žinias apie laipsnius. Būtent į šį žavų procesą įtraukiame neigiamus ir trupmeninius rodiklius! Taip taip! Turime sukaupti galią, tiesa?

Pavyzdžiui, ši baisi lygtis:

Vėlgi, pirmiausia pažiūrėkite į pagrindus. Pagrindai skirtingi! Ir šį kartą jie nė iš tolo nepanašūs vienas į kitą! 5 ir 0,04... O bazėms panaikinti reikia tų pačių... Ką daryti?

Viskas gerai! Tiesą sakant, viskas tas pats, tik ryšys tarp penkių ir 0,04 vizualiai prastai matomas. Kaip mums išeiti? Ir pereikime prie įprastos trupmenos skaičiuje 0,04! Ir ten, matai, viskas susiformuoja.)

0,04 = 4/100 = 1/25

Oho! Pasirodo, 0,04 yra 1/25! Na, kas galėjo pagalvoti!)

Na, kaip? Dabar lengviau matyti ryšį tarp skaičių 5 ir 1/25? Tai štai kas...

O dabar pagal operacijų taisykles su įgaliojimais neigiamas rodiklis galima parašyti tvirta ranka:

Tai yra puiku. Taigi patekome į tą pačią bazę – penkias. Dabar nepatogų skaičių 0,04 lygtyje pakeičiame 5 -2 ir gauname:

Vėlgi, pagal operacijų su įgaliojimais taisykles dabar galime rašyti:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

Tik tuo atveju primenu (staiga, kas nežino). pagrindinės taisyklės veiksmai su įgaliojimais galioja bet koks rodikliai! Įskaitant ir neigiamus.) Taigi drąsiai imkite ir padauginkite rodiklius (-2) ir (x-1) pagal atitinkamą taisyklę. Mūsų lygtis vis gerėja:

Viskas! Be vienišų penketukų laipsniais kairėje ir dešinėje, nieko kito nėra. Lygtis sumažinama iki kanoninės formos. Ir tada - palei raižytą takelį. Išimame penketukus ir sulyginame rodiklius:

x 2 –6 x+5=-2(x-1)

Pavyzdys beveik baigtas. Lieka elementari viduriniųjų klasių matematika - atidarome (teisingai!) skliaustus ir surenkame viską kairėje:

x 2 –6 x+5 = -2 x+2

x 2 –4 x+3 = 0

Mes išsprendžiame tai ir gauname dvi šaknis:

x 1 = 1; x 2 = 3

Tai viskas.)

Dabar pagalvokime dar kartą. Šiame pavyzdyje vėl turėjome atpažinti tą patį skaičių įvairiais laipsniais! Būtent, norėdami pamatyti užšifruotą penketuką skaičiuje 0,04. Ir šį kartą į neigiamas laipsnis! Kaip mes tai padarėme? Judant – jokiu būdu. Tačiau po perėjimo nuo dešimtainės trupmenos 0,04 prie įprastos trupmenos 1/25 viskas buvo paryškinta! Ir tada visas sprendimas buvo kaip laikrodis.)

Todėl dar vienas žalias praktinis patarimas.

Jei eksponentinėje lygtyje yra dešimtainių trupmenų, tai nuo dešimtainių trupmenų pereiname prie įprastų. AT bendrosios trupmenos daug lengviau atpažinti daugelio populiarių skaičių galias! Po atpažinimo pereiname nuo trupmenų prie laipsnių su neigiamais eksponentais.

Turėkite omenyje, kad toks apgaulė eksponentinėse lygtyse pasitaiko labai, labai dažnai! Ir žmogus nėra temoje. Jis žiūri, pavyzdžiui, į skaičius 32 ir 0,125 ir susinervina. Jam nežinoma, kad tai yra ta pati deuce, tik in įvairaus laipsnio... Bet jūs jau kalbate apie temą!)

Išspręskite lygtį:

Į! Atrodo, tylus siaubas... Tačiau išvaizda apgauna. Tai pati paprasčiausia eksponentinė lygtis, nepaisant jos bauginančios išvaizda. Ir dabar aš jums tai parodysiu.)

Pirma, mes susiduriame su visais skaičiais, esančiais bazėse ir koeficientuose. Akivaizdu, kad jie skiriasi, taip. Bet vis tiek rizikuojame ir stengiamės juos padaryti tas pats! Pabandykime prieiti tą patį skaičių skirtingais laipsniais. Ir, pageidautina, mažiausio įmanomo skaičiaus. Taigi, pradėkime iššifruoti!

Na, su keturiais iš karto viskas aišku – tai 2 2 . Taigi, jau kažkas.)

Su trupmena 0,25 – dar neaišku. Reikia patikrinti. Mes naudojame praktinius patarimus – pereikite nuo dešimtainio į paprastą:

0,25 = 25/100 = 1/4

Jau daug geriau. Kol kas jau aiškiai matyti, kad 1/4 yra 2 -2. Puiku, o skaičius 0,25 taip pat panašus į dviženklį.)

Kol kas viskas gerai. Tačiau lieka pats blogiausias skaičius - kvadratinė šaknis iš dviejų! Ką daryti su šiuo pipiru? Ar tai taip pat gali būti pavaizduota kaip dviejų galia? Ir kas žino...

Na, ir vėl lipame į savo žinių apie laipsnius lobyną! Šį kartą papildomai susiejame savo žinias apie šaknis. Nuo 9 klasės jūs ir aš turėjome ištverti, kad bet kurią šaknį, jei norite, visada galima paversti laipsniu su trupmena.

Kaip šitas:

Mūsų atveju:

Kaip! Pasirodo, dviejų kvadratinė šaknis yra 2 1/2. Viskas!

Tai gerai! Visi mūsų nepatogūs skaičiai iš tikrųjų pasirodė esąs užšifruotas dvitaškis.) Nesiginčiju, kažkur labai sudėtingai užšifruota. Bet mes taip pat didiname savo profesionalumą spręsdami tokius šifrus! Ir tada jau viskas aišku. Skaičius 4, 0,25 ir dviejų šaknį savo lygtyje pakeičiame laipsniu du:

Viskas! Visų laipsnių pagrindai pavyzdyje tapo vienodi – du. Ir dabar naudojami standartiniai veiksmai su laipsniais:

esua n = esu + n

a m:a n = a m-n

(am) n = a mn

Kairėje pusėje gausite:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

Dešinėje pusėje bus:

Ir dabar mūsų blogio lygtis pradėjo atrodyti taip:

Tiems, kurie nesuprato, kaip tiksliai pasirodė ši lygtis, klausimas nėra susijęs su eksponentinėmis lygtimis. Klausimas apie veiksmus su galiomis. Aš skubiai paprašiau pakartoti tų, kurie turi problemų!

Čia yra finišo linija! Gaunama eksponentinės lygties kanoninė forma! Na, kaip? Ar aš jus įtikinau, kad tai nėra taip baisu? ;) Nuimame dvejetus ir sulyginame rodiklius:

Belieka tik išspręsti šią tiesinę lygtį. Kaip? Žinoma, identiškų transformacijų pagalba.) Išspręskite tai, kas jau yra! Abi dalis padauginkite iš dviejų (kad pašalintumėte trupmeną 3/2), perkelkite terminus su X į kairę, be X į dešinę, atveskite kaip vienetus, suskaičiuokite – ir būsite laimingi!

Viskas turėtų pasirodyti gražiai:

X=4

Dabar persvarstykime sprendimą. Šiame pavyzdyje mus išgelbėjo perėjimas iš kvadratinė šaknis į laipsnis su rodikliu 1/2. Be to, tik toks gudrus pakeitimas padėjo mums visur pasiekti tą patį pagrindą (deuce), kuris išgelbėjo situaciją! Ir jei ne tai, mes turėtume visas galimybes sustingti amžinai ir niekada nesusidoroti su šiuo pavyzdžiu, taip ...

Todėl nepamirštame ir kitų praktinių patarimų:

Jei eksponentinėje lygtyje yra šaknų, tada nuo šaknų pereiname prie laipsnių su trupmeniniais rodikliais. Labai dažnai tik tokia transformacija paaiškina tolesnę situaciją.

Žinoma, neigiamos ir trupmeninės galios jau yra daug sunkesnės. natūralūs laipsniai. Bent jau vizualinio suvokimo ir ypač atpažinimo iš dešinės į kairę prasme!

Akivaizdu, kad tiesiogiai pakelti, pavyzdžiui, du laipsniu -3 arba keturių laipsnį -3/2, nėra taip didelė problema. Tiems, kurie žino.)

Bet eik, pavyzdžiui, iškart supranti tai

0,125 = 2 -3

Arba

Čia galioja tik praktika ir turtinga patirtis, taip. Ir, žinoma, aiškus vaizdas, Kas yra neigiamas ir trupmeninis rodiklis. Taip pat - praktinių patarimų! Taip, taip, tie žalias.) Tikiuosi, kad jie vis dėlto padės jums geriau orientuotis visoje margoje laipsnių įvairovėje ir žymiai padidins jūsų sėkmės tikimybę! Taigi neapleiskime jų. Aš ne veltui žaliai Kartais rašau.)

Kita vertus, jei tapsite „tu“ net ir turėdami tokias egzotines galias kaip neigiamas ir trupmeninis, tuomet jūsų galimybės sprendžiant eksponenlines lygtis labai išsiplės ir jūs jau galėsite susidoroti su beveik bet kokio tipo eksponeninėmis lygtimis. Na, jei ne bet kokia, tai 80 procentų visų eksponentinių lygčių – tikrai! Taip, taip, aš nejuokauju!

Taigi, mūsų pirmoji pažinties su eksponentinėmis lygtimis dalis priėjo prie logiškos išvados. Ir kaip tarpinę treniruotę tradiciškai siūlau šiek tiek išspręsti savarankiškai.)

1 pratimas.

Kad mano žodžiai apie neigiamų ir trupmeninių laipsnių iššifravimą nebūtų veltui, siūlau žaisti nedidelį žaidimą!

Išreikškite skaičių kaip dviejų laipsnį:

Atsakymai (netvarkingai):

Įvyko? Puiku! Tada atliekame kovinę misiją – sprendžiame pačias paprasčiausias ir paprasčiausias eksponentines lygtis!

2 užduotis.

Išspręskite lygtis (visi atsakymai yra netvarka!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 – 16x+3 = 0

Atsakymai:

x=16

x 1 = -1; x 2 = 2

x = 5

Įvyko? Tiesa, daug lengviau!

Tada išsprendžiame tokį žaidimą:

(2 x +4) x -3 = 0,5 x 4 x -4

35 1-x = 0,2 - x 7 x

Atsakymai:

x 1 = -2; x 2 = 2

x = 0,5

x 1 = 3; x 2 = 5

Ir šie pavyzdžiai vieno liko? Puiku! Jūs augate! Tada čia yra dar keli pavyzdžiai, kuriais galite užkąsti:

Atsakymai:

x = 6

x = 13/31

x = -0,75

x 1 = 1; x 2 = 8/3

Ir ar tai nuspręsta? Na, pagarba! Nuimu kepurę.) Taigi pamoka nenuėjo veltui, o pradinį eksponentinių lygčių sprendimo lygį galima laikyti sėkmingai įvaldytu. Pirmyn – kiti lygiai ir sudėtingesnės lygtys! Ir naujos technikos bei požiūriai. Ir nestandartinių pavyzdžių. Ir naujų staigmenų.) Visa tai – kitoje pamokoje!

Kažkas neveikė? Taigi greičiausiai problemos yra . Arba į . Arba abu vienu metu. Čia aš bejėgis. Dar kartą galiu pasiūlyti tik viena – nepatingėkite ir pasivaikščiokite po nuorodas.)

Tęsinys.)