Ši pamoka skirta tiems, kurie tik pradeda mokytis eksponentinių lygčių. Kaip visada, pradėkime nuo apibrėžimo ir paprastų pavyzdžių.

Jeigu skaitote šią pamoką, tai įtariu, kad jau bent minimaliai suprantate paprasčiausias lygtis – tiesinę ir kvadratinę: $56x-11=0$; $((x)^(2))+5x+4=0$; $((x)^(2))-12x+32=0$ ir pan. Mokėti spręsti tokias konstrukcijas būtina, kad „neužsikabintume“ temoje, apie kurią dabar bus kalbama.

Taigi, eksponentinės lygtys. Pateiksiu porą pavyzdžių:

\[((2)^(x))=4;\quad ((5)^(2x-3))=\frac(1)(25);\quad ((9)^(x))=- 3\]

Kai kurie iš jų jums gali pasirodyti sudėtingesni, kai kurie, atvirkščiai, yra pernelyg paprasti. Tačiau juos visus vienija viena svarbi savybė: juose yra eksponentinė funkcija $f\left(x \right)=((a)^(x))$. Taigi pateikiame apibrėžimą:

Eksponentine lygtimi vadinama bet kuri lygtis, kurioje yra eksponentinė funkcija, t.y. $((a)^(x))$ formos išraiška. Be nurodytos funkcijos, tokiose lygtyse gali būti bet kokių kitų algebrinių konstrukcijų – polinomų, šaknų, trigonometrijos, logaritmų ir kt.

Gerai tada. Suprato apibrėžimą. Dabar kyla klausimas: kaip išspręsti visą šitą nesąmonę? Atsakymas yra paprastas ir sudėtingas tuo pačiu metu.

Pradėkime nuo gerų naujienų: iš savo patirties su daugeliu studentų galiu pasakyti, kad daugumai jų eksponentinės lygtys yra daug lengvesnės nei tie patys logaritmai, o juo labiau trigonometrija.

Tačiau yra ir blogų naujienų: kartais visokių vadovėlių ir egzaminų uždavinių rengėjus aplanko „įkvėpimas“, o jų nuo narkotikų užsidegusios smegenys ima gaminti tokias žiaurias lygtis, kad jas spręsti tampa problematiška ne tik mokiniams – net daugelis mokytojų užstringa dėl tokių problemų.

Tačiau nekalbėkime apie liūdnus dalykus. Ir grįžkime prie tų trijų lygčių, kurios buvo pateiktos pačioje istorijos pradžioje. Pabandykime išspręsti kiekvieną iš jų.

Pirmoji lygtis: $((2)^(x))=4$. Na, iki kokio laipsnio reikia pakelti skaičių 2, kad gautume skaičių 4? Galbūt antrasis? Juk $((2)^(2))=2\cdot 2=4$ — ir gavome teisingą skaitinę lygybę, t.y. tikrai $x=2$. Na, ačiū, kepurė, bet ši lygtis buvo tokia paprasta, kad net mano katė galėjo ją išspręsti. :)

Pažvelkime į tokią lygtį:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\]

Bet čia yra šiek tiek sunkiau. Daugelis mokinių žino, kad $((5)^(2))=25$ yra daugybos lentelė. Kai kurie taip pat įtaria, kad $((5)^(-1))=\frac(1)(5)$ iš esmės yra neigiamų eksponentų apibrėžimas (panašus į formulę $((a)^(-n))= \ frac(1)(((a)^(n)))$).

Galiausiai tik keli atrinkti spėja, kad šiuos faktus galima sujungti, o rezultatas yra toks:

\[\frac(1)(25)=\frac(1)(((5)^(2)))=((5)^(-2))\]

Taigi, mūsų pradinė lygtis bus perrašyta taip:

\[((5)^(2x-3))=\frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(2x-3))=((5)^(-2))\]

Ir dabar tai jau visiškai išspręsta! Kairėje lygties pusėje yra eksponentinė funkcija, dešinėje lygties pusėje yra eksponentinė funkcija, niekur kitur nėra nieko, išskyrus juos. Todėl galima „išmesti“ pagrindus ir kvailai sutapatinti rodiklius:

Gavome paprasčiausią tiesinę lygtį, kurią bet kuris mokinys gali išspręsti vos per kelias eilutes. Gerai, keturiomis eilutėmis:

\[\begin(lygiuoti)& 2x-3=-2 \\& 2x=3-2 \\& 2x=1 \\& x=\frac(1)(2) \\\end(lygiuoti)\]

Jei nesuprantate, kas atsitiko paskutinėse keturiose eilutėse, būtinai grįžkite į temą „tiesinės lygtys“ ir pakartokite. Nes be aiškaus šios temos įsisavinimo dar per anksti imtis eksponentinių lygčių.

\[((9)^(x)) = -3\]

Na, kaip jūs nuspręsite? Pirma mintis: $9=3\cdot 3=((3)^(2))$, todėl pradinę lygtį galima perrašyti taip:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=-3\]

Tada primename, kad didinant laipsnį iki galios, rodikliai dauginami:

\[((\left(((3)^(2)) \right))^(x))=((3)^(2x))\Rodyklė dešinėn ((3)^(2x))=-(( 3)^(1))\]

\[\begin(lygiuoti)& 2x=-1 \\& x=-\frac(1)(2) \\\end(lygiuoti)\]

Ir už tokį sprendimą gauname sąžiningai pelnytą dvikovą. Nes mes, kaip pokemonas, nusiuntėme minuso ženklą priešais tris būtent šio trijulio galia. Ir tu negali to padaryti. Ir todėl. Pažiūrėk į skirtingi laipsniai trynukai:

\[\begin(matrica) ((3)^(1))=3& ((3)^(-1))=\frac(1)(3)& ((3)^(\frac(1)( 2)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(2))=9& ((3)^(-2))=\frac(1)(9)& ((3)^(\ frac(1)(3)))=\sqrt(3) \\ ((3)^(3))=27& ((3)^(-3))=\frac(1)(27)& (( 3)^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(\sqrt(3)) \\\end(matrica)\]

Sudarydamas šią planšetę aš neiškrypau iš karto, kaip tai padariau: svarsčiau ir teigiamus laipsnius, ir neigiamus, ir net trupmeninius... na, kur čia bent vienas neigiamas skaičius? Jis nėra! Ir negali būti, nes eksponentinė funkcija $y=((a)^(x))$, pirma, visada užima tik teigiamas vertes(kiek nepadaugins vieno ar nedalys iš dviejų - vis tiek bus teigiamas skaičius), ir, antra, tokios funkcijos pagrindas, skaičius $a$, pagal apibrėžimą yra teigiamas skaičius!

Na, kaip tada išspręsti lygtį $((9)^(x))=-3$? Ne, šaknų nėra. Ir šia prasme eksponentinės lygtys labai panašios į kvadratines – šaknų taip pat gali nebūti. Bet jei kvadratinėse lygtyse šaknų skaičių lemia diskriminantas (diskriminantas teigiamas – 2 šaknys, neigiamas – šaknų nėra), tai eksponentinėse lygtyse viskas priklauso nuo to, kas yra į dešinę nuo lygybės ženklo.

Taigi suformuluojame pagrindinę išvadą: paprasčiausia formos $((a)^(x))=b$ eksponentinė lygtis turi šaknį tada ir tik tada, kai $b>0$. Žinodami šį paprastą faktą, galite lengvai nustatyti, ar jums pasiūlyta lygtis turi šaknis, ar ne. Tie. ar verta apskritai tai spręsti ar iš karto parašyti, kad šaknų nėra.

Šios žinios padės mums daug kartų, kai turėsime išspręsti sudėtingesnes problemas. Tuo tarpu užteks dainų tekstų – laikas išstudijuoti pagrindinį eksponentinių lygčių sprendimo algoritmą.

Kaip išspręsti eksponentines lygtis

Taigi, suformuluokime problemą. Būtina išspręsti eksponentinę lygtį:

\[((a)^(x))=b,\quad a,b>0\]

Pagal „naivų“ algoritmą, kurį naudojome anksčiau, skaičių $b$ reikia pavaizduoti kaip skaičiaus $a$ laipsnį:

Be to, jei vietoj kintamojo $x$ yra kokia nors išraiška, gausime naują lygtį, kurią jau galima išspręsti. Pavyzdžiui:

\[\begin(align)& ((2)^(x))=8\Rodyklė dešinėn ((2)^(x))=((2)^(3))\Rodyklė dešinėn x=3; \\& ((3)^(-x))=81\Rodyklė dešinėn ((3)^(-x))=((3)^(4))\RightArrow -x=4\RightArrow x=-4; \\& ((5)^(2x))=125\RightArrow ((5)^(2x))=((5)^(3))\RightArrow 2x=3\Rightarrow x=\frac(3)( 2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Ir kaip bebūtų keista, ši schema veikia maždaug 90% atvejų. O kaip tada su kitais 10%? Likę 10% yra šiek tiek „šizofreniškos“ formos eksponentinės lygtys:

\[((2)^(x))=3;\quad ((5)^(x))=15;\quad ((4)^(2x))=11\]

Kokia galia reikia pakelti 2, kad gautum 3? Pirmajame? Bet ne: $((2)^(1))=2$ nepakanka. Antroje? Nė vienas: $((2)^(2))=4$ yra per daug. Kas tada?

Išmanantys studentai tikriausiai jau atspėjo: tokiais atvejais, kai neįmanoma išspręsti „gražiai“, prie bylos prijungiama „sunkioji artilerija“ - logaritmai. Leiskite jums priminti, kad naudojant logaritmus, bet kuris teigiamas skaičius gali būti pavaizduotas kaip bet kurio kito teigiamo skaičiaus laipsnis (išskyrus vieną):

Prisimeni šią formulę? Kai pasakoju savo mokiniams apie logaritmus, visada perspėju: ši formulė (tai taip pat yra pagrindinė logaritminė tapatybė arba, jei norite, logaritmo apibrėžimas) jus persekios labai ilgai ir „atsiras“ daugiausiai. netikėtų vietų. Na, ji pasirodė. Pažvelkime į mūsų lygtį ir šią formulę:

\[\begin(lygiuoti)& ((2)^(x))=3 \\& a=((b)^(((\log )_(b))a)) \\\end(lygiuoti) \]

Jei darysime prielaidą, kad $a=3$ yra mūsų pradinis skaičius dešinėje, o $b=2$ yra pats eksponentinės funkcijos, iki kurios norime sumažinti dešiniąją pusę, pagrindas, gausime:

\[\begin(lygiuoti)& a=((b)^(((\log )_(b))a))\Rodyklė dešinėn 3=((2)^(((\log )_(2))3 )); \\& ((2)^(x))=3\Rodyklė dešinėn ((2)^(x))=((2)^(((\log )_(2))3))\Rodyklė dešinėn x=( (\log )_(2))3. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Gavome šiek tiek keistą atsakymą: $x=((\log )_(2))3$. Atliekant kokią nors kitą užduotį, su tokiu atsakymu, daugelis suabejotų ir imtų dar kartą tikrinti savo sprendimą: o jei kur nors būtų klaida? Skubu jus įtikti: čia nėra jokios klaidos, o logaritmai eksponentinių lygčių šaknyse yra gana tipiška situacija. Taigi pripraskite. :)

Dabar pagal analogiją išsprendžiame likusias dvi lygtis:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x))=15\Rodyklė dešinėn ((5)^(x))=((5)^(((\log )_(5))15)) \Rightarrow x=((\log )_(5))15; \\& ((4)^(2x))=11\Rodyklė dešinėn ((4)^(2x))=((4)^(((\log )_(4))11))\Rodyklė dešinėn 2x=( (\log )_(4))11\Rodyklė dešinėn x=\frac(1)(2)((\log )_(4))11. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Beje, paskutinį atsakymą galima parašyti kitaip:

Būtent mes įvedėme daugiklį į logaritmo argumentą. Tačiau niekas netrukdo mums pridėti šio faktoriaus į bazę:

Šiuo atveju visi trys variantai yra teisingi – tiesiog skirtingos formos to paties numerio įrašai. Kurį pasirinkti ir užsirašyti šiame sprendime, priklauso nuo jūsų.

Taigi mes išmokome išspręsti bet kokias formos $((a)^(x))=b$ eksponencines lygtis, kur skaičiai $a$ ir $b$ yra griežtai teigiami. Tačiau atšiauri mūsų pasaulio realybė yra ta, kad tokios paprastos užduotys sutiks labai labai retai. Dažniau susidursite su tokiais dalykais:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11; \\& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Na, kaip jūs nuspręsite? Ar tai apskritai galima išspręsti? Ir jei taip, kaip?

Jokios panikos. Visos šios lygtys greitai ir paprastai sumažinamos iki tų paprastų formulių, kurias jau svarstėme. Jums tereikia žinoti, kad prisimintumėte keletą gudrybių iš algebros kurso. Ir, žinoma, čia nėra jokių darbo su laipsniais taisyklių. Dabar apie visa tai papasakosiu. :)

Eksponentinių lygčių transformacija

Pirmiausia reikia atsiminti, kad bet kuri eksponentinė lygtis, kad ir kokia sudėtinga ji būtų, vienaip ar kitaip turi būti sumažinta iki paprasčiausių lygčių – tų, kurias jau svarstėme ir kurias žinome, kaip išspręsti. Kitaip tariant, bet kokios eksponentinės lygties sprendimo schema atrodo taip:

1. Užrašykite pradinę lygtį. Pavyzdžiui: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Daryk kvailą šūdą. Ar net kažkoks mėšlas, vadinamas „pakeisk lygtį“;
3. Išvestyje gaukite paprasčiausias išraiškas, pvz., $((4)^(x))=4$ arba kažką panašaus. Be to, viena pradinė lygtis gali pateikti kelias tokias išraiškas vienu metu.

Su pirmu tašku viskas aišku – net mano katė gali užrašyti lygtį ant lapo. Atrodo, kad ir su trečiuoju punktu taip pat daugmaž aišku – aukščiau jau išsprendėme visą krūvą tokių lygčių.

Bet kaip su antruoju punktu? Kokios yra transformacijos? Ką konvertuoti į ką? Ir kaip?

Na, išsiaiškinkime. Pirmiausia norėčiau atkreipti dėmesį į šiuos dalykus. Visos eksponentinės lygtys skirstomos į du tipus:

1. Lygtis sudaryta iš eksponentinių funkcijų, turinčių tą pačią bazę. Pavyzdys: $((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11$;
2. Formulėje yra eksponentinės funkcijos su skirtingais pagrindais. Pavyzdžiai: $((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x))$ ir $((100)^(x-1) )\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09 $.

Pradėkime nuo pirmojo tipo lygčių – jas lengviausia išspręsti. O jų sprendime mums padės tokia technika kaip stabilių posakių parinkimas.

Stabilios išraiškos paryškinimas

Dar kartą pažvelkime į šią lygtį:

\[((4)^(x))+((4)^(x-1))=((4)^(x+1))-11\]

Ką mes matome? Keturi pakeliami skirtingais laipsniais. Bet visos šios galios yra paprastos kintamojo $x$ sumos su kitais skaičiais. Todėl būtina atsiminti darbo su laipsniais taisykles:

\[\begin(lygiuoti)& ((a)^(x+y))=((a)^(x))\cdot ((a)^(y)); \\& ((a)^(x-y))=((a)^(x)):((a)^(y))=\frac(((a)^(x)))(((a) )^(y))). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Paprasčiau tariant, eksponentų pridėjimas gali būti konvertuojamas į laipsnių sandaugą, o atimtis lengvai paverčiama padalijimu. Pabandykime pritaikyti šias formules mūsų lygties galioms:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x-1))=\frac(((4)^(x)))(((4)^(1)))=((4)^ (x))\cdot \frac(1)(4); \\& ((4)^(x+1))=((4)^(x))\cdot ((4)^(1))=((4)^(x))\cdot 4. \ \\pabaiga (lygiuoti)\]

Atsižvelgdami į šį faktą perrašome pradinę lygtį, tada surenkame visus terminus kairėje:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)=((4)^(x))\cdot 4 -vienuolika; \\& ((4)^(x))+((4)^(x))\cdot \frac(1)(4)-((4)^(x))\cdot 4+11=0. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pirmuosiuose keturiuose terminuose yra elementas $((4)^(x))$ – išimkime jį iš skliausto:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))\cdot \left(1+\frac(1)(4)-4 \right)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \frac(4+1-16)(4)+11=0; \\& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)=-11. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Belieka abi lygties dalis padalinti iš trupmenos $-\frac(11)(4)$, t.y. iš esmės padauginkite iš atvirkštinės trupmenos - $-\frac(4)(11)$. Mes gauname:

\[\begin(lygiuoti)& ((4)^(x))\cdot \left(-\frac(11)(4) \right)\cdot \left(-\frac(4)(11) \right )=-11\cdot \left(-\frac(4)(11) \right); \\& ((4)^(x))=4; \\& ((4)^(x))=((4)^(1)); \\&x=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Pradinę lygtį sumažinome iki paprasčiausios ir gavome galutinį atsakymą.

Tuo pačiu metu, spręsdami, mes atradome (ir net išėmėme iš skliausto) bendrą koeficientą $((4)^(x))$ - tai yra stabili išraiška. Jis gali būti nurodytas kaip naujas kintamasis arba tiesiog tiksliai jį išreikšti ir gauti atsakymą. Bet kuriuo atveju pagrindinis sprendimo principas yra toks:

Pradinėje lygtyje suraskite stabilią išraišką, kurioje yra kintamasis, kurį lengva atskirti nuo visų eksponentinių funkcijų.

Geros naujienos yra tai, kad beveik kiekviena eksponentinė lygtis pripažįsta tokią stabilią išraišką.

Tačiau yra ir blogų naujienų: tokie posakiai gali būti labai keblūs, o atskirti juos gali būti gana sunku. Taigi pažvelkime į kitą problemą:

\[((5)^(x+2))+((0,2)^(-x-1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2\]

Galbūt dabar kam nors kils klausimas: „Paša, tu užmėtyta akmenimis? Čia yra skirtingos bazės - 5 ir 0,2. Bet pabandykime konvertuoti galią su baze 0.2. Pavyzdžiui, atsikratykime dešimtainės trupmenos, pakeisdami ją į įprastą:

\[((0,2)^(-x-1))=((0,2)^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(2)(10) ) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)) )\]

Kaip matote, skaičius 5 vis tiek pasirodė, nors ir vardiklyje. Tuo pačiu metu rodiklis buvo perrašytas į neigiamą. Ir dabar primename vieną iš svarbiausių darbo su laipsniais taisyklių:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))\Rightarrow ((\left(\frac(1)(5) \right))^( -\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \right))^(x+1))=((5)^(x+1))\ ]

Čia, žinoma, šiek tiek apgavau. Kadangi norint visiškai suprasti, formulė, kaip atsikratyti neigiamų rodiklių, turėjo būti parašyta taip:

\[((a)^(-n))=\frac(1)(((a)^(n)))=((\left(\frac(1)(a) \right))^(n ))\Rodyklė dešinėn ((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(\frac(5)(1) \ dešinėje))^(x+1))=((5)^(x+1))\]

Kita vertus, niekas netrukdė mums dirbti tik su viena frakcija:

\[((\left(\frac(1)(5) \right))^(-\left(x+1 \right)))=((\left(((5)^(-1)) \ dešinė))^(-\left(x+1 \right)))=((5)^(\left(-1 \right)\cdot \left(-\left(x+1 \right) \right) ))=((5)^(x+1))\]

Bet šiuo atveju reikia mokėti pakelti laipsnį į kitą laipsnį (primenu: tokiu atveju rodikliai sumuojami). Bet man nereikėjo „vartyti“ trupmenų - galbūt kažkam bus lengviau. :)

Bet kokiu atveju pradinė eksponentinė lygtis bus perrašyta taip:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))+4\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+5\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(1))\cdot ((5)^(x+1))=2; \\& ((5)^(x+2))+((5)^(x+2))=2; \\& 2\cdot ((5)^(x+2))=2; \\& ((5)^(x+2))=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi pasirodo, kad pradinę lygtį išspręsti yra dar lengviau nei anksčiau svarstytą: čia net nereikia išskirti stabilios išraiškos - viskas sumažėjo savaime. Belieka tik atsiminti, kad $1=((5)^(0))$, iš kur gauname:

\[\begin(lygiuoti)& ((5)^(x+2))=((5)^(0)); \\&x+2=0; \\&x=-2. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Štai visas sprendimas! Gavome galutinį atsakymą: $x=-2$. Tuo pat metu norėčiau atkreipti dėmesį į vieną triuką, kuris mums labai supaprastino visus skaičiavimus:

Eksponentinėse lygtyse būtinai atsikratykite dešimtainės trupmenos, konvertuokite juos į įprastas. Tai leis matyti tuos pačius laipsnių pagrindus ir labai supaprastins sprendimą.

Dabar pereikime prie sudėtingesnių lygčių, kuriose yra skirtingos bazės, kurios paprastai nėra redukuojamos viena į kitą naudojant galias.

Naudojant eksponento ypatybę

Leiskite jums priminti, kad turime dvi ypač griežtas lygtis:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& ((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Pagrindinis sunkumas čia yra tas, kad neaišku, kuo ir kuo vadovautis. Kur nustatyti išraiškas? Kur yra bendri pagrindai? Šito nėra.

Bet pabandykime eiti kitu keliu. Jei nėra paruoštų identiškų bazių, galite pabandyti jas surasti faktorinuodami turimas bazes.

Pradėkime nuo pirmosios lygties:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((21)^(3x)); \\& 21=7\cdot 3\Rightarrow ((21)^(3x))=((\left(7\cdot 3 \right))^(3x))=((7)^(3x))\ cdot ((3)^(3x)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Bet juk galima elgtis priešingai – iš skaičių 7 ir 3 sudaryti skaičių 21. Tai ypač lengva padaryti kairėje, nes abiejų laipsnių rodikliai yra vienodi:

\[\begin(lygiuoti)& ((7)^(x+6))\cdot ((3)^(x+6))=((\left(7\cdot 3 \right))^(x+ 6) ))=((21)^(x+6)); \\& ((21)^(x+6))=((21)^(3x)); \\&x+6=3x; \\& 2x=6; \\& x=3. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai viskas! Jūs ištraukėte eksponentą iš gaminio ir iškart gavote gražią lygtį, kurią galima išspręsti keliomis eilutėmis.

Dabar panagrinėkime antrąją lygtį. Čia viskas daug sudėtingiau:

\[((100)^(x-1))\cdot ((2,7)^(1-x))=0,09\]

\[((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(27)(10) \right))^(1-x))=\frac(9)(100)\]

Šiuo atveju trupmenos pasirodė nesumažinamos, bet jei ką nors pavyko sumažinti, būtinai sumažinkite. Dėl to dažnai atsiras įdomių priežasčių, su kuriomis jau galite dirbti.

Deja, nieko nesugalvojome. Bet matome, kad rodikliai kairėje produkto pusėje yra priešingi:

Leiskite jums priminti: norint atsikratyti minuso ženklo eksponente, tereikia „apversti“ trupmeną. Taigi perrašykime pradinę lygtį:

\[\begin(lygiuoti)& ((100)^(x-1))\cdot ((\left(\frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9 )(100); \\& ((\left(100\cdot \frac(10)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100); \\& ((\left(\frac(1000)(27) \right))^(x-1))=\frac(9)(100). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Antroje eilutėje mes tiesiog suskaidėme bendrą produkto sumą pagal taisyklę $((a)^(x))\cdot ((b)^(x))=((\left(a\cdot b \right) ))^ (x))$, o pastarajame skaičių 100 jie tiesiog padaugino iš trupmenos.

Dabar atkreipkite dėmesį, kad skaičiai kairėje (apačioje) ir dešinėje yra šiek tiek panašūs. Kaip? Taip, aišku: tai to paties skaičiaus galios! Mes turime:

\[\begin(align)& \frac(1000)(27)=\frac(((10)^(3)))(((3)^(3)))=((\left(\frac() 10)(3) \dešinė))^(3)); \\& \frac(9)(100)=\frac(((3)^(2)))(((10)^(3)))=((\left(\frac(3)(10)) \dešinėje))^(2)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Taigi mūsų lygtis bus perrašyta taip:

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(3) )(10) \dešinė))^(2))\]

\[((\left(((\left(\frac(10)(3) \right))^(3)) \right))^(x-1))=((\left(\frac(10) )(3) \right))^(3\left(x-1 \right)))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))\]

Tuo pačiu metu, dešinėje, taip pat galite gauti laipsnį su ta pačia baze, kuriai pakanka tik „apversti“ trupmeną:

\[((\left(\frac(3)(10) \right))^(2))=((\left(\frac(10)(3) \right))^(-2))\]

Galiausiai mūsų lygtis bus tokia:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(\frac(10)(3) \right))^(3x-3))=((\left(\frac(10)(3) \right)) ^(-2)); \\& 3x-3=-2; \\& 3x=1; \\& x=\frac(1)(3). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tai yra visas sprendimas. Jo pagrindinė mintis yra ta, kad net jei skirtingos bazės x mes bandome su kabliu ar suktu sumažinti šias priežastis į vieną ir tą patį. Tam mums padeda elementarios lygčių transformacijos ir darbo su galiomis taisyklės.

Bet kokias taisykles ir kada naudoti? Kaip suprasti, kad vienoje lygtyje reikia iš kažkuo padalyti abi puses, o kitoje – išskaidyti eksponentinės funkcijos bazę į veiksnius?

Atsakymas į šį klausimą ateis su patirtimi. Iš pradžių išbandykite savo jėgas paprastos lygtys, o tada palaipsniui apsunkinkite užduotis – ir labai greitai jūsų įgūdžių pakaks, kad išspręstumėte bet kokią eksponentinę lygtį iš to paties USE arba bet kokio nepriklausomo / bandomojo darbo.

Ir kad padėtų jums atlikti šią sudėtingą užduotį, siūlau į savo svetainę atsisiųsti lygčių rinkinį, kad gautumėte nepriklausomą sprendimą. Visos lygtys turi atsakymus, todėl visada galite pasitikrinti patys.

Įranga:

• kompiuteris,
• multimedijos projektorius,
• ekranas,
• 1 priedas(skaidrių pristatymas programoje „PowerPoint“) „Eksponentinių lygčių sprendimo metodai“
• 2 priedas(Lygties sprendimas, pvz., „Trys skirtingos laipsnių bazės“ programoje „Word“)
• 3 priedas(dalomoji medžiaga Word programoje praktiniam darbui).
• 4 priedas(namų darbams skirta dalomoji medžiaga Word programoje).

Per užsiėmimus

1. Organizacinis etapas

• pamokos temos žinutė (užrašyta lentoje),
• apibendrinamosios pamokos poreikis 10–11 klasėse:

Mokinių rengimo aktyviam žinių įsisavinimui etapas

Kartojimas

Apibrėžimas.

Eksponentinė lygtis – tai lygtis, kurios rodiklyje yra kintamasis (atsako studentas).

Mokytojo pastaba. Eksponentinės lygtys priklauso transcendentinių lygčių klasei. Šis sunkiai ištariamas pavadinimas rodo, kad tokios lygtys, paprastai kalbant, negali būti išspręstos formulių pavidalu.

Kompiuteriuose juos galima išspręsti tik apytiksliai skaitiniais metodais. Bet kaip su egzamino klausimais? Visa gudrybė yra ta, kad egzaminuotojas sukomponuoja problemą taip, kad ji tiesiog priimtų analitinį sprendimą. Kitaip tariant, jūs galite (ir turėtumėte!) atlikti tokias identiškas transformacijas, kurios sumažina pateiktą eksponentinę lygtį iki paprasčiausios eksponentinės lygties. Tai yra paprasčiausia lygtis ir vadinama: paprasčiausia eksponentinė lygtis. Tai išspręsta logaritmas.

Situacija su eksponentinės lygties sprendimu primena kelionę labirintu, kurią specialiai sugalvojo problemos sudarytojas. Iš šių labai bendrų svarstymų išplaukia gana konkrečios rekomendacijos.

Norėdami sėkmingai išspręsti eksponentines lygtis, turite:

1. Ne tik aktyviai žinokite visas eksponentines tapatybes, bet ir suraskite kintamojo reikšmių rinkinius, kuriuose šios tapatybės yra apibrėžtos, kad naudojant šias tapatybes neįgytumėte nereikalingų šaknų, o juo labiau - neprarastumėte lygties sprendiniai.

2. Aktyviai žinoti visas eksponentines tapatybes.

3. Aiškiai, detaliai ir be klaidų atlikti matematines lygčių transformacijas (perkelti terminus iš vienos lygties dalies į kitą, nepamirštant pakeisti ženklo, sumažinti trupmeną į bendrą vardiklį ir pan.). Tai vadinama matematine kultūra. Tuo pačiu metu patys skaičiavimai turėtų būti atliekami automatiškai rankomis, o galva turėtų galvoti apie bendrą sprendimo kreipiamąją giją. Būtina kuo kruopščiau ir detaliau atlikti transformacijas. Tik tai garantuos teisingą, be klaidų sprendimą. Ir atminkite: maža aritmetinė klaida gali tiesiog sukurti transcendentinę lygtį, kurios iš principo analitiškai išspręsti neįmanoma. Pasirodo, pasiklydote ir įlėkėte į labirinto sieną.

4. Žinoti uždavinių sprendimo būdus (tai yra žinoti visus sprendimo labirinto kelius). Norėdami teisingai orientuotis kiekviename etape, turėsite (sąmoningai arba intuityviai!):

• apibrėžti lygties tipas;
• prisiminti atitinkamą tipą sprendimo metodas užduotys.

Studijuojamos medžiagos apibendrinimo ir sisteminimo etapas.

Mokytojas kartu su mokiniais, naudodamas kompiuterį, atlieka apžvalginį visų tipų eksponentinių lygčių ir jų sprendimo metodų pakartojimą bei sudaro bendrą schemą. (Naudojama L.Ya. Borevskio mokomoji kompiuterinė programa „Matematikos kursas – 2000“, PowerPoint pristatymo autorė T.N.Kupcova.)

Ryžiai. vienas. Paveiksle parodyta bendra visų tipų eksponentinių lygčių schema.

Kaip matyti iš šios diagramos, eksponentinių lygčių sprendimo strategija yra sumažinti šią eksponentinę lygtį į lygtį, pirmiausia, su tais pačiais pagrindais , o tada - ir su tais pačiais rodikliais.

Gavę lygtį su tomis pačiomis bazėmis ir eksponentais, pakeisite šį laipsnį nauju kintamuoju ir gausite paprastą algebrinę lygtį (dažniausiai racionaliąją arba kvadratinę) šio naujo kintamojo atžvilgiu.

Išspręsdami šią lygtį ir atlikdami atvirkštinį pakaitalą, gausite paprastų eksponentinių lygčių rinkinį, kuris išsprendžiamas bendras vaizdas naudojant logaritmus.

Išsiskiria lygtys, kuriose atsiranda tik (privačių) galių produktai. Naudojant eksponentinę tapatybę, galima šias lygtis nedelsiant perkelti į vieną bazę, ypač į paprasčiausią eksponentinę lygtį.

Apsvarstykite, kaip sprendžiama eksponentinė lygtis su trimis skirtingomis laipsnių bazėmis.

(Jei mokytojas turi L.Ya. Borevskio mokymo kompiuterinę programą „Matematikos kursas - 2000“, tada natūraliai dirbame su disku, jei ne, galite iš jo išspausdinti tokio tipo lygtį kiekvienam stalui, pateikta žemiau .)

Ryžiai. 2. Lygčių sprendimo planas.

Ryžiai. 3. Pradedama spręsti lygtį

Ryžiai. keturi. Lygties sprendinio pabaiga.

Dirba praktinius darbus

Nustatykite lygties tipą ir išspręskite.

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

Apibendrinant pamoką

Pamokos įvertinimas.

pamokos pabaiga

Dėl mokytojo

Praktinių darbų atsakymų schema.

Pratimas: iš lygčių sąrašo pasirinkite nurodyto tipo lygtis (atsakymo numerį įrašykite į lentelę):

1. Trys skirtingos bazės
2. Dvi skirtingos bazės – skirtingi eksponentai
3. Galių bazės – vieno skaičiaus laipsniai
4. Tos pačios bazės, skirtingi eksponentai
5. Tos pačios laipsnio bazės – tie patys rodikliai
6. Galių produktas
7. Du skirtingi laipsnių pagrindai – tie patys rodikliai
8. Paprasčiausios eksponentinės lygtys

1. (jėgų sandauga)

2. (tos pačios bazės - skirtingi eksponentai)

Pasiruošimo galutiniam testui etape aukštųjų mokyklų studentai turi patobulinti savo žinias šia tema “ eksponentinės lygtys“. Pastarųjų metų patirtis rodo, kad tokios užduotys moksleiviams kelia tam tikrų sunkumų. Todėl gimnazistai, nepaisant jų pasirengimo lygio, turi atidžiai įsisavinti teoriją, įsiminti formules ir suprasti tokių lygčių sprendimo principą. Išmokę susidoroti su tokio tipo užduotimis, abiturientai, išlaikydami matematikos egzaminą, galės tikėtis aukštų balų.

Pasiruoškite egzamino testavimui kartu su Shkolkovo!

Kartodami nagrinėjamą medžiagą, daugelis mokinių susiduria su formulių, reikalingų lygtims išspręsti, paieška. Mokyklinis vadovėlis ne visada yra po ranka, o reikiamos informacijos tam tikra tema internete parinkimas užtrunka ilgai.

Švietimo portalas Shkolkovo kviečia studentus naudotis mūsų žinių baze. Visiškai įgyvendiname naujas metodas pasiruošimas paskutiniam testui. Studijuodami mūsų svetainėje galėsite atpažinti žinių spragas ir atkreipti dėmesį į tas užduotis, kurios sukelia daugiausiai sunkumų.

„Shkolkovo“ mokytojai surinko, susistemino ir pristatė viską, kas reikalinga sėkmingam pristatymui NAUDOKITE medžiagą pačiu paprasčiausiu ir prieinamiausiu būdu.

Pagrindiniai apibrėžimai ir formulės pateikiami skyriuje „Teorinė nuoroda“.

Norint geriau įsisavinti medžiagą, rekomenduojame atlikti užduotis. Atidžiai peržiūrėkite šiame puslapyje pateiktus eksponentinių lygčių su sprendiniais pavyzdžius, kad suprastumėte skaičiavimo algoritmą. Po to tęskite užduotis skyriuje „Katalogai“. Galite pradėti nuo paprasčiausių užduočių arba pereiti tiesiai prie sudėtingų eksponentinių lygčių su keliais nežinomaisiais arba . Mūsų svetainėje esanti pratimų duomenų bazė nuolat pildoma ir atnaujinama.

Tuos pavyzdžius su indikatoriais, kurie jums sukėlė sunkumų, galite įtraukti į „Mėgstamiausius“. Taigi galite greitai juos rasti ir aptarti sprendimą su mokytoju.

Norėdami sėkmingai išlaikyti egzaminą, kiekvieną dieną mokykitės Shkolkovo portale!

Pavyzdžiai:

\(4^x=32\)
\(5^(2x-1)-5^(2x-3)=4,8\)
\((\sqrt(7))^(2x+2)-50\cdot(\sqrt(7))^(x)+7=0\)

Kaip išspręsti eksponentines lygtis

Sprendžiant bet kurią eksponentinę lygtį, mes stengiamės ją pateikti į formą \(a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \), tada pereiname prie rodiklių lygybės, tai yra:

\(a^(f(x))=a^(g(x))\) \(⇔\) \(f(x)=g(x)\)

Pavyzdžiui:\(2^(x+1)=2^2\) \(⇔\) \(x+1=2\)

Svarbu! Remiantis ta pačia logika, tokiam perėjimui keliami du reikalavimai:
- numeris in kairė ir dešinė turi būti vienodi;
- laipsniai į kairę ir į dešinę turi būti „gryni“, tai yra, neturi būti daugybos, dalybos ir pan.

Pavyzdžiui:

Norėdami pateikti lygtį į formą \(a^(f(x))=a^(g(x))\) ir naudojami.

Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)
Sprendimas:

\(\sqrt(27) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Žinome, kad \(27 = 3^3\). Turėdami tai omenyje, mes transformuojame lygtį.
\(\sqrt(3^3) 3^(x-1)=((\frac(1)(3)))^(2x)\)		Pagal šaknies savybę \(\sqrt[n](a)=a^(\frac(1)(n))\) gauname, kad \(\sqrt(3^3)=((3^3) )^( \frac(1)(2))\). Be to, naudojant laipsnio savybę \((a^b)^c=a^(bc)\, gauname \(((3^3))^(\frac(1)(2))=3^( 3 \ cdot \frac(1)(2))=3^(\frac(3)(2))\).
\(3^(\frac(3)(2))\cdot 3^(x-1)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Taip pat žinome, kad \(a^b a^c=a^(b+c)\). Pritaikius tai kairėje pusėje, gauname: \(3^(\frac(3)(2)) 3^(x-1)=3^(\frac(3)(2)+ x-1)=3 ^ (1,5 + x-1) = 3^ (x + 0,5)\).
\(3^(x+0,5)=(\frac(1)(3))^(2x)\)		Dabar atsiminkite, kad: \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\). Ši formulė taip pat gali būti naudojama atvirkščiai: \(\frac(1)(a^n) =a^(-n)\). Tada \(\frac(1)(3)=\frac(1)(3^1) =3^(-1)\).
\(3^(x+0,5)=(3^(-1))^(2x)\)		Pritaikę savybę \((a^b)^c=a^(bc)\) dešinėje pusėje, gauname: \((3^(-1))^(2x)=3^((-1) 2x) =3^(-2x)\).
\(3^(x+0,5)=3^(-2x)\)		O dabar mes turime lygias bazes ir nėra trukdančių koeficientų ir pan. Taigi galime pereiti.
		Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(4^(x+0.5)-5 2^x+2=0\) Sprendimas: \(4^(x+0,5)-5 2^x+2=0\) Mes vėl naudojame laipsnio savybę \(a^b \cdot a^c=a^(b+c)\) atvirkštinė kryptis. \(4^x4^(0,5)-5 2^x+2=0\) Dabar atsiminkite, kad \(4=2^2\). \((2^2)^x (2^2)^(0,5)-5 2^x+2=0\) Naudodami laipsnio savybes transformuojame: \((2^2)^x=2^(2x)=2^(x 2)=(2^x)^2\) \((2^2)^(0,5)=2^(2 0,5)=2^1=2.\) \(2 (2^x)^2-5 2^x+2=0\) Atidžiai žiūrime į lygtį ir matome, kad pakeitimas \(t=2^x\) siūlo save čia. \(t_1=2\) \(t_2=\frac(1)(2)\) Tačiau radome reikšmes \(t\) ir mums reikia \(x\). Grįžtame prie X, atlikdami atvirkštinį pakeitimą. \(2^x=2\) \(2^x=\frac(1)(2)\) Transformuokite antrąją lygtį naudodami neigiamos galios savybę... \(2^x=2^1\) \(2^x=2^(-1)\) ...ir spręskite iki atsakymo. \(x_1=1\) \(x_2=-1\) Atsakymas : \(-1; 1\). Lieka klausimas – kaip suprasti, kada kurį metodą taikyti? Tai ateina su patirtimi. Tuo tarpu jūs to neišsprendėte, naudokite bendrą rekomendaciją sudėtingoms problemoms spręsti – „jei nežinai, ką daryti – daryk, ką gali“. Tai yra, paieškokite, kaip iš principo galite transformuoti lygtį, ir pabandykite tai padaryti – o jei ji pasirodys? Svarbiausia yra atlikti tik matematiškai pagrįstas transformacijas. eksponentinės lygtys be sprendinių Pažvelkime į dar dvi situacijas, kurios dažnai glumina studentus: - teigiamas laipsnio skaičius lygus nuliui, pavyzdžiui, \(2^x=0\); - teigiamas skaičius laipsniui lygus neigiamas skaičius, pavyzdžiui, \(2^x=-4\). Pabandykime tai išspręsti brutalia jėga. Jei x yra teigiamas skaičius, tada, kai x auga, visa galia \(2^x\) tik augs: \(x=1\); \(2^1=2\) \(x=2\); \(2^2=4\) \(x=3\); \(2^3=8\). \(x=0\); \(2^0=1\) Taip pat praeityje. Yra neigiami x. Prisimindami savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a^n)\), patikriname: \(x=-1\); \(2^(-1)=\frac(1)(2^1) =\frac(1)(2)\) \(x=-2\); \(2^(-2)=\frac(1)(2^2) =\frac(1)(4)\) \(x=-3\); \(2^(-3)=\frac(1)(2^3) =\frac(1)(8)\) Nepaisant to, kad su kiekvienu žingsniu skaičius mažėja, jis niekada nepasieks nulio. Taigi mūsų neišgelbėjo ir neigiamas laipsnis. Mes darome logišką išvadą: Teigiamas bet kurios laipsnio skaičius išliks teigiamu skaičiumi. Taigi abi aukščiau pateiktos lygtys neturi sprendinių. eksponentinės lygtys su skirtingais pagrindais Praktikoje kartais yra eksponentinės lygtys su skirtingais pagrindais, kurios nėra redukuojamos viena į kitą, ir tuo pačiu su tais pačiais eksponentais. Jie atrodo taip: \(a^(f(x))=b^(f(x))\), kur \(a\) ir \(b\) yra teigiami skaičiai. Pavyzdžiui: \(7^(x)=11^(x)\) \(5^(x+2)=3^(x+2)\) \(15^(2x-1)=(\frac(1)(7))^(2x-1)\) Tokias lygtis galima nesunkiai išspręsti padalijus iš bet kurios lygties dalių (dažniausiai dalijant iš dešinės pusės, tai yra iš \ (b ^ (f (x)) \). Taip galite padalyti, nes a teigiamas skaičius yra teigiamas bet kokiu laipsniu (tai yra, mes nedalijame iš nulio.) Gauname: \(\frac(a^(f(x)))(b^(f(x)))\) \(=1\) Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Sprendimas: \(5^(x+7)=3^(x+7)\) Čia mes negalime paversti penkių į tris arba atvirkščiai (bent jau nenaudodami). Taigi negalime pasiekti formos \(a^(f(x))=a^(g(x))\). Tuo pačiu metu rodikliai yra vienodi. Padalinkime lygtį iš dešinės pusės, tai yra iš \(3^(x+7)\) (galime tai padaryti, nes žinome, kad trigubas jokiu laipsniu nebus lygus nuliui). \(\frac(5^(x+7))(3^(x+7))\) \(=\)\(\frac(3^(x+7))(3^(x+7) )\) Dabar atsiminkite savybę \((\frac(a)(b))^c=\frac(a^c)(b^c)\) ir naudokite ją iš kairės priešinga kryptimi. Dešinėje mes tiesiog sumažiname trupmeną. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=1\) Atrodė, kad negerėjo. Tačiau atminkite kitą laipsnio savybę: \(a^0=1\), kitaip tariant: "bet koks skaičius iki nulio laipsnio yra lygus \(1\)". Taip pat yra priešingai: „vienetą galima pavaizduoti kaip bet kurį skaičių, padidintą iki nulio laipsnio“. Mes naudojame tai, kad pagrindas dešinėje būtų toks pat kaip ir kairėje. \((\frac(5)(3))^(x+7)\) \(=\) \((\frac(5)(3))^0\) Voila! Atsikratome pamatų. Rašome atsakymą. Atsakymas : \(-7\). Kartais rodiklių „vienodumas“ nėra akivaizdus, ​​tačiau sumaniai panaudojus laipsnio savybes ši problema išsprendžiama. Pavyzdys . Išspręskite eksponentinę lygtį \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Sprendimas: \(7^( 2x-4)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Lygtis atrodo gan liūdnai... Ne tik bazių nesumažės iki vienodo skaičiaus (septyni nebus lygūs \(\frac(1)(3)\)), taigi skiriasi ir rodikliai... Tačiau naudokime kairiojo laipsnio deuce eksponentą. \(7^( 2(x-2))=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Turėdami omenyje savybę \((a^b)^c=a^(b c)\) , transformuokite kairėje: \(7^(2(x-2))=7^(2 (x-2))=(7^2)^(x-2)=49^(x-2)\). \(49^(x-2)=(\frac(1)(3))^(-x+2)\) Dabar, prisimindami neigiamos galios savybę \(a^(-n)=\frac(1)(a)^n\), transformuojame dešinėje: \((\frac(1)(3))^(- x+2) =(3^(-1))^(-x+2)=3^(-1(-x+2))=3^(x-2)\) \(49^(x-2)=3^(x-2)\) Aleliuja! Taškai vienodi! Veikdami pagal mums jau pažįstamą schemą, nusprendžiame prieš atsakymą. Atsakymas : \(2\).

Pirmas lygis

eksponentinės lygtys. Išsamus vadovas (2019)

Sveiki! Šiandien su jumis aptarsime, kaip išspręsti lygtis, kurios gali būti ir elementarios (ir tikiuosi, kad perskaičius šį straipsnį beveik visos tokios bus jums), ir tas, kurioms paprastai suteikiamas „užpildymas“. Matyt, visiškai užmigti. Bet aš pasistengsiu padaryti viską, kad dabar jūs nepatektumėte į bėdą susidūrę su tokio tipo lygtimis. Nebeplaksiu, bet iš karto išduosiu mažą paslaptį: šiandien mes mokysimės eksponentinės lygtys.

Prieš pradėdamas analizuoti jų sprendimo būdus, iš karto pateiksiu jums klausimų ratą (gana nedidelį), kurį turėtumėte pakartoti prieš skubėdami šturmuoti šią temą. Taigi, norint gauti geriausias rezultatas, Prašau, kartoti:

1. savybės ir
2. Sprendimas ir lygtys

Pasikartojo? Nuostabu! Tada jums nebus sunku pastebėti, kad lygties šaknis yra skaičius. Ar tikrai supranti, kaip aš tai padariau? Tiesa? Tada tęsiame. Dabar atsakykite man į klausimą, kas yra lygus trečiajai galiai? Tu esi visiškai teisus: . Kokia dviejų galia yra aštuoni? Teisingai – trečia! Nes. Na, o dabar pabandykime išspręsti šią problemą: Leiskite man vieną kartą padauginti skaičių iš savęs ir gauti rezultatą. Kyla klausimas, kiek kartų aš padauginau iš savęs? Žinoma, galite tai patikrinti tiesiogiai:

\begin(lygiuoti) & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end( lygiuoti)

Tada galite padaryti išvadą, kad aš padauginau kartų iš savęs. Kaip dar galima tai patikrinti? Ir štai kaip: tiesiogiai pagal laipsnio apibrėžimą: . Bet, pripažink, jei paklausčiau, kiek kartų du reikia padauginti iš savęs, kad gautum, tarkime, tu man atsakytum: aš savęs neapgausiu ir dauginsiu iš savęs tol, kol pamėlynuosiu. Ir jis būtų visiškai teisus. Nes kaip tu gali trumpai surašykite visus veiksmus(o trumpumas yra talento sesuo)

kur – tai labai "laikai" kai padaugini iš savęs.

Manau, kad žinote (o jei nežinote, skubiai, labai skubiai pakartokite laipsnius!), kad tada mano problema bus parašyta tokia forma:

Kaip galite pagrįstai daryti išvadą, kad:

Taigi tyliai užsirašiau paprasčiausią eksponentinė lygtis:

Ir netgi rado šaknis. Ar nemanote, kad viskas yra gana menka? Aš irgi būtent taip galvoju. Štai jums dar vienas pavyzdys:

Bet ką daryti? Juk jo negalima parašyti kaip (protingo) skaičiaus laipsnio. Nenusiminkime ir pastebėkime, kad abu šie skaičiai puikiai išreikšti to paties skaičiaus galia. Ką? Teisingai:. Tada pradinė lygtis transformuojama į formą:

Iš kur, kaip jau supratote,. Netraukime ir užsirašykime apibrėžimas:

Mūsų atveju su jumis: .

Šios lygtys išsprendžiamos redukuojant jas į formą:

su vėlesniu lygties sprendimu

Iš tikrųjų mes tai padarėme ankstesniame pavyzdyje: gavome tai. Ir mes su jumis išsprendėme paprasčiausią lygtį.

Atrodo, kad nieko sudėtingo, tiesa? Pirmiausia pasitreniruokime paprasčiausius dalykus. pavyzdžiai:

Dar kartą matome, kad dešinė ir kairė lygties pusės turi būti pavaizduotos kaip vieno skaičiaus laipsnis. Tiesa, tai jau buvo padaryta kairėje, bet dešinėje yra skaičius. Bet galų gale viskas gerai, ir mano lygtis stebuklingai virsta tokia:

Ką aš čia turėjau daryti? Kokia taisykle? Galios į galią taisyklė kuriame rašoma:

Kas, jeigu:

Prieš atsakydami į šį klausimą, užpildykime su jumis šią lentelę:

Mums nesunku pastebėti, kad kuo mažesnė, tuo mažesnė reikšmė, tačiau nepaisant to, visos šios reikšmės yra didesnės už nulį. IR TAIP VISADA BUS!!! Ta pati savybė galioja VISIEMS BAZEMS SU JOKIU INDEKSU!! (bet kuriai ir). Tada ką galime padaryti apie lygtį? Ir štai vienas: tai neturi šaknų! Kaip ir bet kuri lygtis neturi šaknų. Dabar pasitreniruokime ir Išspręskime keletą paprastų pavyzdžių:

Patikrinkime:

1. Čia nieko iš jūsų nereikalaujama, išskyrus galių savybių žinojimą (ką, beje, ir prašiau pakartoti!) Paprastai viskas veda į mažiausią bazę: , . Tada pradinė lygtis bus lygiavertė tokiai: Viskas, ko man reikia, yra naudoti galių savybes: dauginant skaičius su ta pačia baze, rodikliai pridedami, o dalinant – atimami. Tada gausiu: Na, dabar ramia sąžine pereisiu nuo eksponentinės lygties prie tiesinės: \begin(align)
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
&x=0. \\
\end(lygiuoti)

2. Antrame pavyzdyje reikia būti atsargesniems: bėda ta, kad kairėje pusėje negalėsime pavaizduoti to paties skaičiaus kaip laipsnio. Šiuo atveju kartais tai naudinga vaizduoja skaičius kaip laipsnių sandaugą su skirtingais pagrindais, bet tais pačiais eksponentais:

Kairioji lygties pusė bus tokia: Ką tai mums davė? Ir štai kas: Skaičiai su skirtingais pagrindais, bet tuo pačiu rodikliu gali būti dauginami.Šiuo atveju bazės dauginamos, tačiau eksponentas nesikeičia:

Taikant mano situaciją, tai duos:

\begin (lygiuoti)
& 4\cdot ((64)^(x))((25)^(x))=6400, \\
& 4\cdot (((64\cdot 25))^(x))=6400, \\
& ((1600)^(x))=\frac(6400)(4), \\
& ((1600)^(x))=1600, \\
&x=1. \\
\end(lygiuoti)

Neblogai, tiesa?

3. Man nepatinka, kai vienoje lygties pusėje turiu du terminus, o kitoje – nė vieno (kartais, žinoma, tai pateisinama, bet dabar taip nėra). Perkelkite minuso terminą į dešinę:

Dabar, kaip ir anksčiau, viską parašysiu per trigubo galias:

Pridedu galias kairėje ir gaunu lygiavertę lygtį

Galite lengvai rasti jo šaknį:

4. Kaip ir trečiame pavyzdyje, terminas su minusu – vieta dešinėje pusėje!

Kairėje su manimi beveik viskas gerai, išskyrus ką? Taip, „neteisingas laipsnis“ mane trikdo. Bet aš galiu lengvai tai išspręsti parašydamas: . Eureka - kairėje visos bazės skirtingos, bet visi laipsniai vienodi! Greitai dauginamės!

Čia vėl viskas aišku: (jei nesupratote, kaip stebuklingai gavau paskutinę lygybę, padarykite minutės pertraukėlę, padarykite pertraukėlę ir dar kartą labai atidžiai perskaitykite laipsnio savybes. Kas sakė, kad galite praleisti laipsnis su neigiamu rodikliu? Na, čia aš beveik toks pat kaip niekas). Dabar gausiu:

\begin (lygiuoti)
& ((2)^(4\left((x) -9 \right)))=((2)^(-1)) \\
&4((x) -9) = -1 \\
&x=\frac(35)(4). \\
\end(lygiuoti)

Štai jums užduotys praktikuotis, į kurias pateiksiu tik atsakymus (bet „mišria“ forma). Išspręskite juos, patikrinkite ir mes tęsime savo tyrimus!

Pasiruošę? Atsakymai kaip šie:

1. bet koks skaičius

Gerai, gerai, aš juokavau! Čia pateikiami sprendimų kontūrai (kai kurie yra gana trumpi!)

Ar nemanote, kad neatsitiktinai viena trupmena kairėje yra „apversta“ kita? Būtų nuodėmė to nenaudoti:

Ši taisyklė labai dažnai naudojama sprendžiant eksponentines lygtis, gerai atsiminkite!

Tada pradinė lygtis tampa tokia:

Jį išsprendus kvadratinė lygtis, gausite šias šaknis:

2. Kitas sprendimas: padalyti abi lygties dalis kairėje (arba dešinėje) esančia išraiška. Padalinsiu iš to, kas yra dešinėje, tada gausiu:

Kur (kodėl?!)

3. Net nenoriu kartotis, viskas jau tiek daug "sukramtyta".

4. lygiavertis kvadratinei lygčiai, šaknys

5. Turite naudoti formulę, pateiktą pirmoje užduotyje, tada gausite:

Lygtis virto trivialia tapatybe, kuri tinka bet kuriai. Tada atsakymas yra bet koks tikrasis skaičius.

Na, štai jūs ir įpratote apsispręsti paprasčiausios eksponentinės lygtys. Dabar noriu pateikti keletą gyvenimiškų pavyzdžių, kurie padės suprasti, kam jie iš principo reikalingi. Pateiksiu du pavyzdžius. Vienas iš jų yra gana kasdienis, bet kitas yra labiau mokslinis nei praktinis.

1 pavyzdys (prekybos) Tegul turi rublius, bet nori juos paversti rubliais. Bankas siūlo iš jūsų paimti šiuos pinigus už metinę palūkanų normą su mėnesinių palūkanų kapitalizavimu (mėnesio kaupimas). Kyla klausimas, kiek mėnesių reikia atidaryti indėlį, kad surinktum norimą galutinę sumą? Gana kasdieniška užduotis, ar ne? Nepaisant to, jos sprendimas yra susijęs su atitinkamos eksponentinės lygties sudarymu: Tegul - pradinė suma, - galutinė suma, - laikotarpio palūkanų norma, - laikotarpių skaičius. Tada:

Mūsų atveju (jei norma yra per metus, tai ji skaičiuojama per mėnesį). Kodėl ji skirstoma į? Jei nežinote atsakymo į šį klausimą, prisiminkite temą ""! Tada gauname tokią lygtį:

Šią eksponentinę lygtį jau galima išspręsti tik skaičiuotuvu (jo išvaizda užuominos apie tai, o tam reikia logaritmų išmanymo, su kuriais susipažinsime šiek tiek vėliau), ką ir padarysiu:... Taigi, norint gauti milijoną, reikės įnešti mėnesiui ( ne labai greitai, tiesa?).

2 pavyzdys (gana mokslinis). Nepaisant jo, tam tikros „izoliacijos“, rekomenduoju atkreipti į jį dėmesį: jis reguliariai „paslysta į egzaminą!! (užduotis paimta iš „tikrosios“ versijos) Radioaktyvaus izotopo skilimo metu jo masė mažėja pagal dėsnį, kur (mg) – pradinė izotopo masė, (min.) – laikas, praėjęs nuo pradinis momentas (min.) yra pusinės eliminacijos laikas. Pradiniu laiko momentu izotopo masė yra mg. Jo pusinės eliminacijos laikas yra min. Per kiek minučių izotopo masė bus lygi mg? Viskas gerai: mes tiesiog paimame ir pakeičiame visus mums pasiūlytos formulės duomenis:

Padalinkime abi dalis „tikėkimės“, kad kairėje gausime ką nors virškinamo:

Na, mums labai pasisekė! Jis stovi kairėje, tada pereikime prie lygiavertės lygties:

Kur min.

Kaip matote, eksponentinės lygtys praktiškai pritaikomos. Dabar noriu su jumis aptarti kitą (paprastą) būdą, kaip išspręsti eksponenlines lygtis, pagrįstą bendro koeficiento išėmimu iš skliaustų ir terminų grupavimu. Nebijokite mano žodžių, su šiuo metodu jau susidūrėte 7 klasėje, kai studijavote daugianarius. Pvz., jei jums reikėjo faktorinuoti išraišką:

Sugrupuokime: pirmą ir trečią terminus, taip pat antrą ir ketvirtą. Akivaizdu, kad pirmasis ir trečiasis yra kvadratų skirtumas:

o antrasis ir ketvirtasis turi bendrą koeficientą iš trijų:

Tada pradinė išraiška yra lygiavertė šiai:

Iš kur paimti bendrą veiksnį nebėra sunku:

Vadinasi,

Apytiksliai taip elgsimės spręsdami eksponentines lygtis: tarp terminų ieškokite „bendrumo“ ir išimkite jį iš skliaustų, o tada - kad ir kaip būtų, tikiu, kad mums pasiseks =)) Pavyzdžiui:

Dešinėje yra toli nuo septynių galios (patikrinau!) O kairėje - šiek tiek geriau, žinoma, galite „nupjauti“ faktorių a nuo pirmojo ir antrojo termino, o tada spręsti ką gavote, bet darykime su jumis apdairiau. Nenoriu susidurti su trupmenomis, kurios neišvengiamai susidaro „atrankos“ metu, tad ar neturėčiau geriau ištverti? Tada aš neturėsiu frakcijų: kaip sakoma, ir vilkai sotūs, ir avys saugios:

Suskaičiuokite išraišką skliausteliuose. Stebuklingai, stebuklingai taip išeina (keista, nors ko dar galime tikėtis?).

Tada šiuo koeficientu sumažiname abi lygties puses. Gauname: kur.

Čia yra sudėtingesnis pavyzdys (tikrai gana):

Štai ir bėda! Mes čia neturime bendro pagrindo! Nelabai aišku, ką dabar daryti. Ir darykime, ką galime: pirma, „keturiukus“ perkelsime viena kryptimi, o „penkiukus“ – kita:

Dabar išimkime „bendrą“ kairėje ir dešinėje:

Tai kas dabar? Kokia nauda iš tokio kvailo grupavimo? Iš pirmo žvilgsnio jo visai nesimato, bet pažiūrėkime giliau:

Na, o dabar padarykime taip, kad kairėje būtų tik išraiška c, o dešinėje – visa kita. Kaip mes galime tai padaryti? Ir štai kaip: pirma padalykite abi lygties puses iš (taip atsikratytume eksponento dešinėje), o tada abi puses padalinkite iš (taip atsikratytume skaitinio koeficiento kairėje). Galiausiai gauname:

Neįtikėtina! Kairėje turime išraišką, o dešinėje - tiesiog. Tada iš karto darome tokią išvadą

Štai dar vienas pavyzdys, kaip sustiprinti:

Pateiksiu trumpą jo sprendimą (labai nesivargindamas aiškinti), pabandyk pats išsiaiškinti visas sprendimo „subtibas“.

Dabar baigiamas galutinis apimtos medžiagos konsolidavimas. Pabandykite patys išspręsti šias problemas. Pateiksiu tik trumpas rekomendacijas ir patarimus, kaip jas išspręsti:

1. Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų:
2. Pirmąją išraišką pavaizduojame formoje: , padalykite abi dalis iš ir gaukite tai
3. , tada pradinė lygtis konvertuojama į formą: Na, o dabar užuomina – paieškokite, kur mes su jumis jau išsprendėme šią lygtį!
4. Įsivaizduokite, kaip, kaip, ah, gerai, tada padalinkite abi dalis iš, kad gautumėte paprasčiausią eksponentinę lygtį.
5. Išimkite jį iš skliaustų.
6. Išimkite jį iš skliaustų.

EKSPOZICINĖS LYGTYBĖS. VIDUTINIS LYGIS

Manau, kad perskaičius pirmąjį straipsnį, kuriame buvo pasakyta kas yra eksponentinės lygtys ir kaip jas išspręsti, įsisavinote būtiną žinių minimumą, reikalingą paprasčiausiems pavyzdžiams išspręsti.

Dabar analizuosiu kitą eksponentinių lygčių sprendimo būdą, tai yra

„naujo kintamojo įvedimo metodas“ (arba pakeitimas). Jis sprendžia daugumą „sudėtingų“ uždavinių eksponentinių lygčių (ir ne tik lygčių) tema. Šis metodas yra vienas iš dažniausiai naudojamų praktikoje. Pirmiausia rekomenduoju susipažinti su tema.

Kaip jau supratote iš pavadinimo, šio metodo esmė yra įvesti tokį kintamojo pakeitimą, kad jūsų eksponentinė lygtis stebuklingai transformuotųsi į tokią, kurią jau galite lengvai išspręsti. Išsprendus šią labai „supaprastintą lygtį“, jums belieka atlikti „atvirkštinį pakeitimą“: tai yra, grįžti iš pakeisto į pakeistą. Iliustruojame tai, ką ką tik pasakėme, labai paprastu pavyzdžiu:

1 pavyzdys:

Ši lygtis išspręsta „paprastu pakaitalu“, kaip matematikai ją niekinamai vadina. Iš tiesų, pakeitimas čia yra akivaizdžiausias. Tiesiog tai reikia pamatyti

Tada pradinė lygtis tampa tokia:

Jei papildomai įsivaizduosime kaip, tada visiškai aišku, ką reikia pakeisti: žinoma, . Kas tada tampa pradine lygtimi? Ir štai kas:

Jo šaknis galite lengvai rasti patys:. Ką dabar turėtume daryti? Atėjo laikas grįžti prie pradinio kintamojo. Ką pamiršau įtraukti? Būtent: pakeičiant tam tikrą laipsnį nauju kintamuoju (ty pakeičiant tipą), man bus įdomu tik teigiamos šaknys! Jūs pats galite lengvai atsakyti kodėl. Taigi, jūs nesame suinteresuoti, bet antroji šaknis mums tinka:

Tada kur.

Atsakymas:

Kaip matote, ankstesniame pavyzdyje pakaitalas prašė mūsų rankų. Deja, taip būna ne visada. Tačiau nepereikime tiesiai į liūdną, o praktikuokite dar vieną pavyzdį su gana paprastu pakeitimu

2 pavyzdys

Akivaizdu, kad greičiausiai reikės pakeisti (tai yra mažiausia iš mūsų lygtyje esančių laipsnių), tačiau prieš įvedant pakeitimą, mūsų lygtis turi būti tam „paruošta“, būtent: , . Tada galite pakeisti, todėl gausiu tokią išraišką:

O siaubas: kubinė lygtis su absoliučiai baisiomis jos sprendimo formulėmis (na, kalbant bendrais bruožais). Tačiau iš karto nenusiminkim, o pagalvokime, ką turėtume daryti. Siūlysiu sukčiauti: žinome, kad norint gauti „gražų“ atsakymą, reikia gauti tam tikrą trijų galią (kodėl taip būtų, a?). Ir pabandykime atspėti bent vieną mūsų lygties šaknį (pradėsiu spėlioti nuo trijų galių).

Pirmas spėjimas. Ar ne šaknis. Deja ir ak...

.
Kairė pusė lygi.
Dešinė dalis: !
Yra! Atspėjo pirmą šaknį. Dabar viskas bus lengviau!

Ar žinote apie "kampo" padalijimo schemą? Žinoma, jūs naudojate jį, kai dalijate vieną skaičių iš kito. Tačiau mažai žmonių žino, kad tą patį galima padaryti ir su daugianariais. Yra viena nuostabi teorema:

Taikoma mano situacijai, ji man nurodo, kas dalijasi be likučio iš. Kaip vyksta padalijimas? Štai taip:

Žiūriu, kurį monomį turėčiau padauginti, kad gaučiau Clear, tada:

Gautą išraišką atėmiau iš, gaunu:

Dabar ką man reikia padauginti, kad gaučiau? Aišku, kad tada aš gausiu:

ir vėl atimkite gautą išraišką iš likusios:

Na, paskutinis žingsnis, aš padauginu iš ir atimsiu iš likusios išraiškos:

Oho, dalyba baigėsi! Ką sukaupėme privačiai? Savaime: .

Tada gavome tokį pradinio daugianario išplėtimą:

Išspręskime antrąją lygtį:

Jis turi šaknis:

Tada pradinė lygtis:

turi tris šaknis:

Mes, žinoma, atmetame paskutinę šaknį, nes ji yra mažesnė už nulį. Ir pirmieji du po atvirkštinio pakeitimo suteiks mums dvi šaknis:

Atsakymas: ..

Šiuo pavyzdžiu visai nenorėjau jūsų išgąsdinti, veikiau užsibrėžiau tikslą parodyti, kad nors ir turėjome gana paprastą pakeitimą, vis dėlto tai lėmė gana sudėtingą lygtį, kurios sprendimas pareikalavo tam tikrų specialių įgūdžių. mus. Na, niekas nuo to neapsaugotas. Tačiau pokytis šiuo atveju buvo gana akivaizdus.

Štai pavyzdys su šiek tiek mažiau akivaizdžiu pakeitimu:

Visiškai neaišku, ką turėtume daryti: problema ta, kad mūsų lygtyje yra dvi skirtingos bazės ir vienos bazės negalima gauti iš kitos, pakeliant ją į bet kokį (protingą, natūraliai) laipsnį. Tačiau ką mes matome? Abi bazės skiriasi tik ženklu, o jų sandauga yra kvadratų skirtumas, lygus vienetui:

Apibrėžimas:

Taigi, mūsų pavyzdyje esantys skaičiai yra konjuguoti.

Tokiu atveju būtų protingas žingsnis padauginkite abi lygties puses iš konjuguoto skaičiaus.

Pavyzdžiui, įjungta, tada kairioji lygties pusė taps lygi, o dešinioji. Jei pakeisime, mūsų pradinė lygtis su jumis taps tokia:

tada jos šaknys, bet prisiminę tai, mes tai suprantame.

Atsakymas: ,.

Paprastai pakeitimo metodo pakanka daugumai „mokyklinių“ eksponentinių lygčių išspręsti. Šios užduotys paimtos iš USE C1 ( pakeltas lygis sunkumai). Jūs jau esate pakankamai raštingas, kad galėtumėte savarankiškai išspręsti šiuos pavyzdžius. Duosiu tik reikiamą pakaitalą.

1. Išspręskite lygtį:
2. Raskite lygties šaknis:
3. Išspręskite lygtį: . Raskite visas šios lygties šaknis, priklausančias segmentui:

Dabar trumpi paaiškinimai ir atsakymai:

1. Čia pakanka pažymėti, kad ir. Tada pradinė lygtis bus lygiavertė šiai: Ši lygtis išspręsta pakeičiant. Atlikite šiuos skaičiavimus patys. Galų gale jūsų užduotis bus sumažinta iki paprasčiausio trigonometrinio sprendimo (priklausomai nuo sinuso ar kosinuso). Tokių pavyzdžių sprendimą aptarsime kituose skyriuose.
2. Čia netgi galite apsieiti be pakeitimo: tiesiog perkelkite subtraheną į dešinę ir pavaizduokite abi bazes per dviejų laipsnius: tada iškart pereikite prie kvadratinės lygties.
3. Trečioji lygtis taip pat išspręsta gana standartiniu būdu: įsivaizduokite, kaip. Tada, pakeisdami, gauname kvadratinę lygtį: tada,

   Ar jau žinai, kas yra logaritmas? Ar ne? Tada skubiai perskaitykite temą!

   Akivaizdu, kad pirmoji šaknis nepriklauso segmentui, o antroji yra nesuprantama! Bet mes sužinosime labai greitai! Nuo tada (tai yra logaritmo savybė!) Palyginkime:

   Atimkite iš abiejų dalių, tada gausime:

   Kairė pusė gali būti pavaizduota taip:

   padauginkite abi puses iš:

   tada galima padauginti iš

   Tada palyginkime:

   nuo tada:

   Tada antra šaknis priklauso norimam intervalui

   Atsakymas:

Kaip tu matai, eksponentinių lygčių šaknų parinkimas reikalauja gana gilių logaritmų savybių žinių, todėl patariu būti kiek įmanoma atsargesniems sprendžiant eksponentines lygtis. Kaip žinote, matematikoje viskas yra tarpusavyje susiję! Kaip sakydavo mano matematikos mokytojas: „Negalite skaityti matematikos taip, kaip istorijos per vieną naktį“.

Kaip taisyklė, visi sunkumas sprendžiant uždavinius C1 yra būtent lygties šaknų parinkimas. Praktikuokime su kitu pavyzdžiu:

Akivaizdu, kad pati lygtis išspręsta gana paprastai. Pakeitę pradinę lygtį sumažiname iki šios:

Pirmiausia pažvelkime į pirmąją šaknį. Palyginkite ir: nuo tada. (logaritminės funkcijos savybė, at). Tada aišku, kad mūsų intervalui nepriklauso ir pirmoji šaknis. Dabar antroji šaknis: . Tai aišku (kadangi funkcija didėja). Belieka palyginti ir

nuo tada, tuo pačiu metu. Taigi, galiu „suvaryti“ tarp ir. Šis kaištis yra skaičius. Pirmoji išraiška yra mažesnė už, o antroji yra didesnė už. Tada antroji išraiška yra didesnė už pirmąją, o šaknis priklauso intervalui.

Atsakymas:.

Pabaigoje pažvelkime į kitą lygties pavyzdį, kai pakeitimas yra gana nestandartinis:

Pradėkime iš karto nuo to, ką galite padaryti, o ką – iš principo galite, bet geriau to nedaryti. Galima – viską reprezentuoti per trijų, dviejų ir šešių galias. Kur tai veda? Taip, ir nieko neprives: laipsnių maišas, kurio kai kurių bus gana sunku atsikratyti. Ko tada reikia? Atkreipkime dėmesį, kad a Ir ką tai mums duos? Ir tai, kad šio pavyzdžio sprendimą galime redukuoti iki gana paprastos eksponentinės lygties! Pirma, perrašykime savo lygtį taip:

Dabar padalijame abi gautos lygties puses į:

Eureka! Dabar galime pakeisti, gauname:

Na, dabar jūsų eilė spręsti demonstracijų problemas, o aš tik jas atnešiu trumpi komentarai kad nepasiklystum teisingu keliu! Sėkmės!

1. Sunkiausia! Matyti čia pakaitalą, oi, kaip negražu! Nepaisant to, šis pavyzdys gali būti visiškai išspręstas naudojant pilno kvadrato pasirinkimas. Norėdami tai išspręsti, pakanka atkreipti dėmesį, kad:

Taigi čia yra jūsų pakaitalas:

(Atkreipkite dėmesį, kad su mūsų pakeitimu mes negalime atmesti neigiamos šaknies!!! Ir kodėl, ką jūs manote?)

Dabar, norėdami išspręsti pavyzdį, turite išspręsti dvi lygtis:

Abu jie išsprendžiami naudojant „standartinį pakeitimą“ (bet antrasis viename pavyzdyje!)

2. Pastebėkite tai ir pakeiskite.

3. Išplėskite skaičių į kopirminius veiksnius ir supaprastinkite gautą išraišką.

4. Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš (arba jei norite) ir pakeiskite arba.

5. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai ir yra konjuguoti.

EKSPOZICINĖS LYGTYBĖS. PAŽEIDĖJANTIS LYGIS

Be to, pažiūrėkime kitu būdu - eksponentinių lygčių sprendimas logaritmo metodu. Negaliu sakyti, kad eksponentinių lygčių sprendimas šiuo metodu yra labai populiarus, tačiau kai kuriais atvejais tik tai gali padėti mums rasti teisingą mūsų lygties sprendimą. Ypač dažnai jis naudojamas sprendžiant vadinamuosius " mišrios lygtys“: tai yra tie, kuriuose yra skirtingų tipų funkcijos.

Pavyzdžiui, tokia lygtis:

bendruoju atveju ją galima išspręsti tik imant abiejų dalių logaritmą (pavyzdžiui, pagal bazę), kuriame pradinė lygtis virsta tokia:

Panagrinėkime tokį pavyzdį:

Aišku, kad mus domina tik logaritminės funkcijos ODZ. Tačiau tai išplaukia ne tik iš logaritmo ODZ, bet ir dėl kitos priežasties. Manau, jums nebus sunku atspėti, kuris iš jų.

Paimkime abiejų lygties pusių logaritmą į bazę:

Kaip matote, mūsų pradinės lygties logaritmas greitai atvedė mus prie teisingo (ir gražaus!) atsakymo. Praktikuokime su kitu pavyzdžiu:

Čia taip pat nėra ko jaudintis: imame abiejų lygties pusių logaritmą pagal bazę, tada gauname:

Pakeiskime:

Tačiau mes kažko praleidome! Ar pastebėjote, kur aš padariau klaidą? Juk tada:

kuris neatitinka reikalavimo (pagalvokite, iš kur jis atsirado!)

Atsakymas:

Pabandykite užrašyti toliau pateiktų eksponentinių lygčių sprendimą:

Dabar patikrinkite savo sprendimą šiuo:

1. Abi dalis logarituojame iki pagrindo, atsižvelgiant į tai, kad:

(antra šaknis mums netinka dėl pakeitimo)

2. Logaritmas iki pagrindo:

Pakeiskime gautą išraišką į tokią formą:

EKSPOZICINĖS LYGTYBĖS. TRUMPAS APRAŠYMAS IR PAGRINDINĖ FORMULĖ

eksponentinė lygtis

Tipo lygtis:

paskambino paprasčiausia eksponentinė lygtis.

Laipsnio savybės

Sprendimo būdai

• Sumažinimas iki tos pačios bazės
• Sumažinimas iki to paties laipsnio
• Kintamasis pakeitimas
• Supaprastinkite išraišką ir pritaikykite vieną iš aukščiau pateiktų dalykų.