यह लेख चर्चा करता है कि गणितीय अभिव्यक्तियों के मूल्यों को कैसे खोजा जाए। आइए सरल संख्यात्मक अभिव्यक्तियों से शुरू करें और फिर हम मामलों पर विचार करेंगे क्योंकि उनकी जटिलता बढ़ जाती है। अंत में, हम अक्षर पदनामों, कोष्ठकों, मूलों, विशेष गणितीय चिह्नों, अंशों, कार्यों आदि से युक्त व्यंजक देते हैं। परंपरा के अनुसार पूरे सिद्धांत को प्रचुर और विस्तृत उदाहरण प्रदान किए जाएंगे।

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संख्यात्मक अभिव्यक्ति का मूल्य कैसे प्राप्त करें?

अंकीय व्यंजक, अन्य बातों के अलावा, गणितीय भाषा में समस्या की स्थिति का वर्णन करने में मदद करते हैं। सामान्य तौर पर, गणितीय व्यंजक या तो बहुत सरल हो सकते हैं, जिसमें संख्याओं और अंकगणितीय चिह्नों की एक जोड़ी होती है, या बहुत जटिल, जिसमें फ़ंक्शन, डिग्री, मूल, कोष्ठक आदि होते हैं। कार्य के भाग के रूप में, अभिव्यक्ति का मूल्य ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है। यह कैसे करें नीचे चर्चा की जाएगी।

सबसे सरल मामले

ये ऐसे मामले हैं जहां व्यंजक में संख्याओं और अंकगणित के अलावा कुछ नहीं होता है। इस तरह के भावों के मूल्यों को सफलतापूर्वक खोजने के लिए, आपको उस क्रम के ज्ञान की आवश्यकता होगी जिसमें बिना कोष्ठक के अंकगणितीय संचालन किया जाता है, साथ ही विभिन्न संख्याओं के साथ संचालन करने की क्षमता भी।

यदि व्यंजक में केवल संख्याएँ और अंकगणितीय चिह्न "+" , " · " , " - " , " " हैं, तो संचालन निम्न क्रम में बाएं से दाएं किया जाता है: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव। आइए उदाहरण देते हैं।

उदाहरण 1. एक अंकीय व्यंजक का मान

मान लीजिए कि अभिव्यक्ति 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 के मान ज्ञात करना आवश्यक है।

आइए पहले गुणा और भाग करें। हम पाते हैं:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3।

अब हम घटाते हैं और अंतिम परिणाम प्राप्त करते हैं:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

उदाहरण 2. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए गणना करें: 0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 11 12।

सबसे पहले, हम भिन्न, भाग और गुणा का रूपांतरण करते हैं:

0 , 5 - 2 - 7 + 2 3 2 3 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9।

अब हम जोड़ और घटाव करते हैं। आइए भिन्नों को समूहित करें और उन्हें एक सामान्य हर में लाएं:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

वांछित मूल्य पाया जाता है।

कोष्ठक के साथ व्यंजक

यदि किसी व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो वे इस व्यंजक में क्रियाओं का क्रम निर्धारित करते हैं। सबसे पहले, कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं, और फिर बाकी सभी। आइए इसे एक उदाहरण के साथ दिखाते हैं।

उदाहरण 3. एक सांख्यिक व्यंजक का मान

व्यंजक 0 . 5 · (0 . 76 - 0 . 06) का मान ज्ञात कीजिए।

व्यंजक में कोष्ठक होते हैं, इसलिए पहले हम कोष्ठक में घटाव संक्रिया करते हैं, और उसके बाद ही गुणा करते हैं।

0.5 (0.76 - 0.06) = 0.5 0.7 = 0.35।

कोष्ठक में कोष्ठक वाले व्यंजकों का मान उसी सिद्धांत के अनुसार पाया जाता है।

उदाहरण 4. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 - 1 4 के मान की गणना करें।

हम अंतरतम कोष्ठक से शुरू होकर बाहरी कोष्ठक की ओर बढ़ते हुए कार्य करेंगे।

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2 , 5 = 1 + 2 6 = 13।

कोष्ठक के साथ भावों के मूल्यों को खोजने में, मुख्य बात क्रियाओं के अनुक्रम का पालन करना है।

जड़ों के साथ अभिव्यक्ति

गणितीय व्यंजक जिनके मान हमें खोजने हैं, उनमें मूल चिह्न हो सकते हैं। इसके अलावा, अभिव्यक्ति स्वयं जड़ के संकेत के तहत हो सकती है। ऐसे में कैसे हो? पहले आपको मूल के नीचे व्यंजक का मान ज्ञात करना होगा, और फिर परिणामी संख्या से मूल निकालना होगा। यदि संभव हो, तो संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में जड़ों से छुटकारा पाने के लिए, संख्यात्मक मानों से प्रतिस्थापित करना बेहतर है।

उदाहरण 5. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए, 2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2 , 2 + 0 , 1 0 , 5 के साथ व्यंजक के मान की गणना करें।

सबसे पहले, हम कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों की गणना करते हैं।

2 3 - 1 + 60 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5।

अब हम संपूर्ण व्यंजक के मान की गणना कर सकते हैं।

2 3 - 1 + 60 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

अक्सर, मूल अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने के लिए, मूल अभिव्यक्ति को बदलने के लिए अक्सर आवश्यक होता है। इसे एक और उदाहरण से समझाते हैं।

उदाहरण 6. एक अंकीय व्यंजक का मान

3 + 1 3 - 1 - 1 क्या है?

जैसा कि आप देख सकते हैं, हमारे पास रूट को सटीक मान से बदलने की क्षमता नहीं है, जो गिनती प्रक्रिया को जटिल बनाता है। हालाँकि, इस मामले में, आप संक्षिप्त गुणन सूत्र लागू कर सकते हैं।

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

इस तरह:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

शक्तियों के साथ अभिव्यक्ति

यदि अभिव्यक्ति में शक्तियां हैं, तो अन्य सभी कार्यों के साथ आगे बढ़ने से पहले उनके मूल्यों की गणना की जानी चाहिए। ऐसा होता है कि घातांक स्वयं या अंश का आधार व्यंजक हैं। इस मामले में, इन अभिव्यक्तियों के मूल्य की गणना पहले की जाती है, और फिर डिग्री के मूल्य की गणना की जाती है।

उदाहरण 7. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक 2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 का मान ज्ञात कीजिए।

हम क्रम में गणना करना शुरू करते हैं।

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 1 8 = 2।

यह केवल जोड़ ऑपरेशन करने और अभिव्यक्ति के मूल्य का पता लगाने के लिए बनी हुई है:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6।

डिग्री के गुणों का उपयोग करके अभिव्यक्ति को सरल बनाना भी अक्सर उचित होता है।

उदाहरण 8. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए निम्नलिखित व्यंजक के मान की गणना करें: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6।

घातांक फिर से ऐसे हैं कि उनके सटीक संख्यात्मक मान प्राप्त नहीं किए जा सकते हैं। मूल व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए उसे सरल कीजिए।

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

भिन्नों के साथ व्यंजक

यदि किसी व्यंजक में भिन्न हैं, तो ऐसे व्यंजक की गणना करते समय, उसके सभी भिन्नों को इस प्रकार दर्शाया जाना चाहिए साधारण अंशऔर उनके मूल्यों की गणना करें।

यदि अंश के अंश और हर में भाव हैं, तो इन भावों के मूल्यों की गणना पहले की जाती है, और अंश का अंतिम मूल्य स्वयं दर्ज किया जाता है। अंकगणितीय संचालन मानक क्रम में किए जाते हैं। आइए एक उदाहरण समाधान पर विचार करें।

उदाहरण 9. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए भिन्नों वाले व्यंजक का मान ज्ञात करें: 3 , 2 2 - 3 7 - 2 3 6 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2।

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल व्यंजक में तीन भिन्न हैं। आइए पहले उनके मूल्यों की गणना करें।

3 , 2 2 = 3 , 2 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1।

आइए अपनी अभिव्यक्ति को फिर से लिखें और इसके मूल्य की गणना करें:

1 , 6 - 3 1 6 1 = 1 , 6 - 0 , 5 1 = 1 , 1

अक्सर, भावों के मूल्यों को खोजने पर, अंशों को कम करना सुविधाजनक होता है। एक अस्पष्ट नियम है: इसका मूल्य खोजने से पहले, किसी भी अभिव्यक्ति को अधिकतम करने के लिए सरल बनाना सबसे अच्छा है, सभी गणनाओं को सरलतम मामलों में कम करना।

उदाहरण 10. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए व्यंजक 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 परिकलित करें।

हम पांच के मूल को पूरी तरह से नहीं निकाल सकते हैं, लेकिन हम रूपांतरण के माध्यम से मूल अभिव्यक्ति को सरल बना सकते हैं।

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

मूल अभिव्यक्ति रूप लेती है:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

आइए इस अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

लघुगणक के साथ व्यंजक

जब व्यंजक में लघुगणक मौजूद होते हैं, तो उनका मान, यदि संभव हो, तो शुरुआत से ही परिकलित किया जाता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक लॉग 2 4 + 2 4 में, आप तुरंत लॉग 2 4 के बजाय इस लघुगणक का मान लिख सकते हैं और फिर सभी क्रियाएं कर सकते हैं। हमें प्राप्त होता है: लघुगणक 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10।

लघुगणक के चिन्ह के नीचे और उसके आधार पर संख्यात्मक व्यंजक भी पाए जा सकते हैं। इस मामले में, पहला कदम उनके मूल्यों को खोजना है। आइए व्यंजक लॉग 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 लें। हमारे पास है:

लघुगणक 5 - 6 3 5 2 + 2 + 7 = लघुगणक 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10।

यदि लघुगणक के सटीक मान की गणना करना असंभव है, तो व्यंजक को सरल बनाने से उसका मान ज्ञात करने में सहायता मिलती है।

उदाहरण 11. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए लॉग 2 लॉग 2 256 + लॉग 6 2 + लॉग 6 3 + लॉग 5 729 लॉग 0, 2 27।

लॉग 2 लॉग 2 256 = लॉग 2 8 = 3।

लघुगणक की संपत्ति के अनुसार:

लघुगणक 6 2 + लघुगणक 6 3 = लघुगणक 6 (2 3) = लघुगणक 6 6 = 1 .

लघुगणक के गुणों को पुन: लागू करने पर, व्यंजक में अंतिम भिन्न के लिए हमें प्राप्त होता है:

लॉग 5 729 लॉग 0 , 2 27 = लॉग 5 729 लॉग 1 5 27 = लॉग 5 729 - लॉग 5 27 = - लॉग 27 729 = - लॉग 27 27 2 = - 2।

अब आप मूल अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

लॉग 2 लॉग 2 256 + लॉग 6 2 + लॉग 6 3 + लॉग 5 729 लॉग 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2।

त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ व्यंजक

ऐसा होता है कि अभिव्यक्ति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट के त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं, साथ ही साथ उनके विपरीत कार्य भी होते हैं। अन्य सभी अंकगणितीय कार्यों को करने से पहले मूल्य की गणना की जाती है। अन्यथा, अभिव्यक्ति सरल है।

उदाहरण 12. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ।

सबसे पहले, हम अभिव्यक्ति में शामिल त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना करते हैं।

पाप - 5 2 \u003d - 1

व्यंजक में मानों को रखिए और इसके मान की गणना कीजिए:

टी जी 2 4 3 - पाप - 5 2 + कोसπ \u003d 3 2 - (- 1) + (- 1) \u003d 3 + 1 - 1 \u003d 3।

अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जाता है।

अक्सर, त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ एक व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए, इसे पहले रूपांतरित करना होगा। आइए एक उदाहरण के साथ समझाते हैं।

उदाहरण 13. एक अंकीय व्यंजक का मान

व्यंजक का मान ज्ञात करना आवश्यक है क्योंकि 2 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 36 sin π 9 - 1.

परिवर्तन के लिए, हम दोहरे कोण की कोज्या और योग की कोज्या के लिए त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करेंगे।

cos 2 8 - sin 2 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos 4 cos 4 - 1 = 1 - 1 = 0।

संख्यात्मक अभिव्यक्ति का सामान्य मामला

सामान्य स्थिति में, एक त्रिकोणमितीय व्यंजक में ऊपर वर्णित सभी तत्व शामिल हो सकते हैं: कोष्ठक, अंश, मूल, लघुगणक, कार्य। आइए तैयार करें सामान्य नियमऐसे भावों के मूल्यों का पता लगाना।

व्यंजक का मान कैसे ज्ञात करें

1. जड़ें, शक्तियाँ, लघुगणक, आदि। उनके मूल्यों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
2. कोष्ठक में क्रियाएं की जाती हैं।
3. शेष चरणों को बाएं से दाएं क्रम में किया जाता है। पहले - गुणा और भाग, फिर - जोड़ और घटाव।

आइए एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 14. एक अंकीय व्यंजक का मान

आइए गणना करें कि व्यंजक का मान क्या है - 2 sin 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 ।

अभिव्यक्ति काफी जटिल और बोझिल है। यह कोई संयोग नहीं है कि हमने ऊपर वर्णित सभी मामलों में फिट होने की कोशिश करते हुए ऐसा ही एक उदाहरण चुना है। ऐसी अभिव्यक्ति का मूल्य कैसे ज्ञात करें?

यह ज्ञात है कि एक जटिल भिन्नात्मक रूप के मूल्य की गणना करते समय, अंश के अंश और हर के मान क्रमशः अलग-अलग पाए जाते हैं। हम इस अभिव्यक्ति को क्रमिक रूप से रूपांतरित और सरल करेंगे।

सबसे पहले, हम रेडिकल एक्सप्रेशन 2 sin 6 + 2 2 π 5 + 3 5 + 3 के मान की गणना करते हैं। ऐसा करने के लिए, आपको साइन का मान और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क है कि अभिव्यक्ति खोजने की आवश्यकता है।

6 + 2 2 5 + 3 π 5 = 6 + 2 2 + 3 5 = 6 + 2 5 5 = 6 + 2

अब आप ज्या का मान ज्ञात कर सकते हैं:

पाप 6 + 2 2 5 + 3 5 = पाप 6 + 2 = पाप 6 = 1 2।

हम कट्टरपंथी अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करते हैं:

2 पाप π 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 पाप 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 = 4 = 2

भिन्न के हर के साथ, सब कुछ आसान है:

अब हम पूर्ण भिन्न का मान लिख सकते हैं:

2 पाप 6 + 2 2 5 + 3 5 + 3 एलएन ई 2 = 2 2 = 1।

इसे ध्यान में रखते हुए, हम पूरी अभिव्यक्ति लिखते हैं:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

अंतिम परिणाम:

2 पाप 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 एलएन ई 2 + 1 + 3 9 = 27.

इस मामले में, हम जड़ों, लघुगणक, ज्या आदि के लिए सटीक मानों की गणना करने में सक्षम थे। यदि यह संभव नहीं है, तो आप गणितीय परिवर्तनों द्वारा उनसे छुटकारा पाने का प्रयास कर सकते हैं।

परिमेय तरीकों से अभिकलन व्यंजक

संख्यात्मक मानों की गणना लगातार और सटीक रूप से की जानी चाहिए। संख्याओं के साथ संचालन के विभिन्न गुणों का उपयोग करके इस प्रक्रिया को युक्तिसंगत और तेज किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि उत्पाद शून्य के बराबर है यदि कारकों में से कम से कम एक शून्य के बराबर है। इस गुण को देखते हुए, हम तुरंत कह सकते हैं कि व्यंजक 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 4 0 शून्य के बराबर है। इस मामले में, उपरोक्त लेख में वर्णित क्रम में चरणों का पालन करना बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है।

घटाव गुण का उपयोग करना भी सुविधाजनक है समान संख्या. कोई क्रिया किए बिना, यह आदेश देना संभव है कि व्यंजक का मान 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3 , 789 ln e 2 भी शून्य के बराबर है।

एक अन्य तकनीक जो आपको प्रक्रिया को तेज करने की अनुमति देती है, वह समान परिवर्तनों का उपयोग है जैसे कि शब्दों और कारकों को समूहीकृत करना और सामान्य कारक को कोष्ठक से बाहर निकालना। भिन्नों के साथ व्यंजकों की गणना करने के लिए एक तर्कसंगत दृष्टिकोण अंश और हर में समान भावों को कम करना है।

उदाहरण के लिए, आइए व्यंजक 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 लें। कोष्ठक में क्रिया किए बिना, लेकिन भिन्न को कम करके, हम कह सकते हैं कि व्यंजक का मान 1 3 है।

चर के साथ भावों का मान ढूँढना

अक्षर और चर के विशिष्ट दिए गए मानों के लिए एक शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ एक अभिव्यक्ति का मूल्य पाया जाता है।

चर के साथ भावों का मान ढूँढना

एक शाब्दिक अभिव्यक्ति और चर के साथ एक अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने के लिए, आपको अक्षरों और चर के दिए गए मूल्यों को मूल अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, और फिर परिणामी संख्यात्मक अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें।

उदाहरण 15. चरों वाले व्यंजक का मान

दिए गए x = 2 , 4 और y = 5 दिए गए व्यंजक 0 , 5 x - y के मान की गणना कीजिए।

हम चर के मूल्यों को अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

0 . 5 x - y = 0 . 5 2 . 4 - 5 = 1 . 2 - 5 = - 3 . 8.

कभी-कभी किसी अभिव्यक्ति को इस तरह से बदलना संभव होता है कि उसमें शामिल अक्षरों और चर के मूल्यों की परवाह किए बिना उसका मूल्य प्राप्त किया जा सके। ऐसा करने के लिए, यदि संभव हो तो, समान परिवर्तनों, अंकगणितीय संक्रियाओं के गुणों और सभी संभावित अन्य विधियों का उपयोग करके, अभिव्यक्ति में अक्षरों और चर से छुटकारा पाना आवश्यक है।

उदाहरण के लिए, व्यंजक x + 3 - x का स्पष्ट रूप से मान 3 है, और इस मान की गणना करने के लिए x का मान जानना आवश्यक नहीं है। इस व्यंजक का मान इसके मान्य मानों की सीमा से चर x के सभी मानों के लिए तीन के बराबर है।

एक और उदाहरण। व्यंजक x x का मान सभी धनात्मक x के लिए एक के बराबर है।

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प्रथम स्तर

अभिव्यक्ति रूपांतरण। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्ति रूपांतरण

अक्सर हम यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर, इस मामले में, हमारे पास इस तरह का कोई राक्षस होता है:

"हाँ, बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊँगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक (सिर्फ!) सामान्य संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक में) के लिए सरल बना देंगे।

लेकिन इससे पहले कि आप इस पाठ को शुरू करें, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होने की आवश्यकता है। इसलिए, पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

पढ़ना? अगर हां, तो आप तैयार हैं।

बुनियादी सरलीकरण संचालन

अब हम उन मुख्य तकनीकों का विश्लेषण करेंगे जिनका प्रयोग व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

उनमें से सबसे सरल है

1. समान लाना

समान क्या हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में पढ़ा था, जब पहली बार गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर दिखाई देते थे। समान अक्षर वाले भाग वाले शब्द (मोनोमियल) समान हैं। उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

याद आया?

समान पदों को लाने का अर्थ है कई समान शब्दों को एक दूसरे से जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

लेकिन हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - आप पूछना।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करते हैं कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, पत्र एक कुर्सी है। फिर अभिव्यक्ति क्या है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति का प्रयास करें:

भ्रमित न होने के लिए, अलग-अलग अक्षर अलग-अलग वस्तुओं को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, - यह (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - यह एक मेज है। फिर:

कुर्सियाँ मेज़ कुर्सियाँ मेज़ कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेज़

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और वह बराबर है।

तो, समान लाने का नियम:

उदाहरण:

समान लाओ:

उत्तर:

2. (और समान हैं, इसलिए, इन शब्दों में एक ही अक्षर भाग है)।

2. गुणनखंड

भावों को सरल बनाने में यह आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यह अंशों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: आखिरकार, एक अंश को कम करने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में व्यंजकों के गुणनखंडन की विस्तृत विधियों का अध्ययन किया है, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा है। ऐसा करने के लिए, कुछ हल करें उदाहरण(गुणन करने के लिए):

समाधान:

3. अंश में कमी।

खैर, अंश और हर के एक हिस्से को काटकर और उन्हें अपने जीवन से बाहर फेंकने से अच्छा और क्या हो सकता है?

यही संक्षेप की सुंदरता है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें घटाया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

यानी कमी ऑपरेशन का सार यह है कि हम एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही व्यंजक) से विभाजित करते हैं।

एक अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें हटाया जा सकता है।

सिद्धांत, मुझे लगता है, स्पष्ट है?

मैं संक्षेप में एक सामान्य गलती की ओर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। हालाँकि यह विषय सरल है, लेकिन बहुत से लोग सब कुछ गलत करते हैं, यह महसूस नहीं करते हैं कट गया- इसका मतलब है की विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या से।

यदि अंश या हर योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं है।

उदाहरण के लिए: आपको सरल बनाने की आवश्यकता है।

कुछ ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है।

एक और उदाहरण: कम करें।

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गलत है? ऐसा प्रतीत होता है: - यह एक गुणक है, इसलिए आप इसे कम कर सकते हैं।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन अंश स्वयं समग्र रूप से कारकों में विघटित नहीं होता है।

यहाँ एक और उदाहरण है:।

यह अभिव्यक्ति कारकों में विघटित हो जाती है, जिसका अर्थ है कि आप कम कर सकते हैं, अर्थात अंश और हर को विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप तुरंत विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए याद रखें आसान तरीकायह निर्धारित करने के लिए कि कोई अभिव्यक्ति कारक है या नहीं:

व्यंजक के मान की गणना करते समय अंतिम बार किया गया अंकगणितीय ऑपरेशन "मुख्य" है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई) संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, और व्यंजक के मान की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक गुणनफल होता है (व्यंजक गुणनखंडों में विघटित होता है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए कम नहीं किया जा सकता)।

इसे ठीक करने के लिए, इसे स्वयं कुछ हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने के लिए नहीं गए और? यह अभी भी इस तरह की इकाइयों को "कम" करने के लिए पर्याप्त नहीं था:

कारक बनाने के लिए पहला कदम होना चाहिए:

4. भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों को एक सामान्य हर में लाना।

साधारण अंशों का जोड़ और घटाव एक प्रसिद्ध ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और सह अभाज्य हैं, अर्थात् उनके समान गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर है। यह आम भाजक होगा:

2. यहाँ सार्व भाजक है:

3. यहां, सबसे पहले, हम मिश्रित अंशों को अनुचित अंशों में बदलते हैं, और फिर - सामान्य योजना के अनुसार:

उदाहरण के लिए, भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल दूसरी बात है:

आइए सरल शुरू करें:

क) हर में अक्षर नहीं होते हैं

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक अंशों के समान है: हम एक सामान्य भाजक पाते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं:

अब अंश में आप समान अंश ला सकते हैं, यदि कोई हो, और उनका गुणनखंड करें:

इसे स्वयं आज़माएं:

b) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य भाजक खोजने का सिद्धांत याद रखें:

सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं;

और उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करें, सामान्य नहीं।

हर के सामान्य कारकों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं:

हम सामान्य कारकों पर जोर देते हैं:

अब हम सामान्य गुणनखंडों को एक बार लिखते हैं और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारक जोड़ते हैं:

यह सामान्य भाजक है।

आइए पत्रों पर वापस जाएं। भाजक बिल्कुल उसी तरह दिए गए हैं:

हम भाजक को कारकों में विघटित करते हैं;

सामान्य (समान) गुणक निर्धारित करें;

सभी सामान्य कारकों को एक बार लिख लें;

हम उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करते हैं, सामान्य नहीं।

तो, क्रम में:

1) हर को कारकों में विघटित करें:

2) सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (रेखांकित नहीं) कारकों से गुणा करें:

तो आम भाजक यहाँ है। पहले अंश को इससे गुणा किया जाना चाहिए, दूसरा - इससे:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान कारक देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। आम भाजक होगा:

सीमा तक

सीमा तक

सीमा तक

डिग्री में।

आइए कार्य को जटिल करें:

भिन्नों को एक ही भाजक कैसे बनाते हैं?

आइए एक भिन्न का मूल गुण याद रखें:

यह कहीं नहीं कहा गया है कि भिन्न के अंश और हर में से एक ही संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

अपने लिए देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए, . क्या सीखा है?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप एक सामान्य हर में भिन्न लाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन पाने के लिए आपको गुणा करने की क्या ज़रूरत है?

यहां पर और गुणा करें। और इससे गुणा करें:

जिन व्यंजकों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें "प्राथमिक कारक" कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक कारक है। - बहुत। लेकिन - नहीं: यह कारकों में विघटित हो जाता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही "" विषय में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, प्राथमिक कारक जिनमें आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे साधारण कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनके साथ भी ऐसा ही करेंगे।

हम देखते हैं कि दोनों हरों में एक गुणनखंड होता है। यह सत्ता में आम भाजक के पास जाएगा (याद रखें क्यों?)

गुणक प्राथमिक है, और उनके पास यह सामान्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

समाधान:

पैनिक में इन हरों को गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे फ़ैक्टर किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

उत्कृष्ट! फिर:

एक और उदाहरण:

समाधान:

हमेशा की तरह, हम भाजक का गुणनखंड करते हैं। पहले हर में, हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा लगता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप करीब से देखें, तो वे पहले से ही बहुत समान हैं ... और सच्चाई यह है:

तो चलिए लिखते हैं:

यही है, यह इस तरह निकला: ब्रैकेट के अंदर, हमने शर्तों की अदला-बदली की, और साथ ही, अंश के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल गया। ध्यान दें, आपको ऐसा अक्सर करना होगा।

अब हम एक सामान्य भाजक को लाते हैं:

समझ गया? अब चलो जाँच करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी चाहिए - क्यूब्स का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे भिन्न के हर में "योग का वर्ग" सूत्र नहीं है! योग का वर्ग इस तरह दिखेगा:

A योग का तथाकथित अधूरा वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोगुना गुणनफल। योग का अधूरा वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

क्या होगा यदि पहले से ही तीन अंश हैं?

हाँ वही! सबसे पहले इसे बनाते हैं ताकि अधिकतम राशिहर में कारक समान थे:

ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिन्ह बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह फिर से उलट जाता है। नतीजतन, वह (अंश के सामने का चिन्ह) नहीं बदला है।

हम सामान्य हर में पहले हर को पूर्ण रूप से लिखते हैं, और फिर हम इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक अंश हैं)। यानी यह इस प्रकार है:

हम्म ... भिन्नों के साथ, यह स्पष्ट है कि क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह आसान है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि ड्यूस एक अंश बन जाए! याद रखें: एक अंश एक विभाजन ऑपरेशन है (अंश को हर से विभाजित किया जाता है, यदि आप अचानक भूल गए हैं)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस मामले में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, लेकिन एक अंश में बदल जाएगी:

आख़िर ज़रूरत क्या है!

5. भिन्नों का गुणा और भाग।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल है, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण है:

प्रक्रिया

अंकीय व्यंजक की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? याद रखें, ऐसी अभिव्यक्ति के मूल्य को देखते हुए:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिलाता हूं।

डिग्री की गणना करने के लिए पहला कदम है।

दूसरा गुणन और भाग है। यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हैं, तो आप उन्हें किसी भी क्रम में कर सकते हैं।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर से, किसी भी क्रम में।

लेकिन: कोष्ठक की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन क्रम से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

क्या होगा यदि कोष्ठक के अंदर अन्य कोष्ठक हैं? अच्छा, आइए सोचते हैं: कोष्ठक के अंदर कुछ व्यंजक लिखे गए हैं। किसी व्यंजक का मूल्यांकन करते समय सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सब कुछ।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूँ):

ठीक है, यह सब आसान है।

लेकिन यह अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है, है ना?

नहीं, यह वही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय बीजगणितीय संक्रियाएँ करना आवश्यक है, अर्थात् पिछले भाग में वर्णित संक्रियाएँ: समान लाना, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को घटाना, इत्यादि। फर्क सिर्फ इतना है कि बहुपदों को फैक्टरिंग करने की क्रिया होगी (हम अक्सर इसका इस्तेमाल भिन्नों के साथ काम करते समय करते हैं)। बहुधा, गुणनखंडन के लिए, आपको i का उपयोग करना होगा या सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य किसी व्यंजक को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले हम कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाना असंभव है, यहाँ सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी इसका अर्थ याद है?)

2) हमें मिलता है:

भिन्नों का गुणन: क्या आसान हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान देखें।

सबसे पहले, आइए प्रक्रिया को परिभाषित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, दो भिन्नों के बजाय, एक निकलेगा। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, हम परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ते हैं। मैं योजनाबद्ध रूप से चरणों की संख्या दूंगा:

अब मैं वर्तमान क्रिया को लाल रंग से रंगते हुए पूरी प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी टिप्स दूंगा:

1. यदि समान हैं, तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे पास जो भी क्षण हैं, उन्हें तुरंत लाने की सलाह दी जाती है।

2. भिन्नों को कम करने के लिए भी यही होता है: जैसे ही कम करने का अवसर आता है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए। अपवाद वे अंश हैं जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि उनके पास अब समान भाजक हैं, तो कटौती को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं:

और शुरुआत में ही वादा किया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना किया है, तो विचार करें कि आपने इस विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने के लिए!

अभिव्यक्ति रूपांतरण। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

• समान लाना: समान पदों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
• गुणनखंडन:कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना, आवेदन करना आदि।
• अंश में कमी: किसी भिन्न के अंश और हर को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
  1) अंश और हर खंड करना
  2) यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हैं, तो उन्हें काट दिया जा सकता है।

  महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को कम किया जा सकता है!

• भिन्नों का जोड़ और घटाव:
  ;
• भिन्नों का गुणन और विभाजन:
  ;

अंकगणितीय व्यंजक अंकगणितीय संक्रियाओं और कोष्ठकों के संयोजन में संख्याओं का एक अभिलेख है। जब किसी व्यंजक में संख्याओं के साथ चरों का प्रयोग किया जाता है और पूरा व्यंजक अर्थ से बना होता है तो उसे बीजगणितीय (शाब्दिक) व्यंजक कहते हैं। यदि व्यंजक में प्रत्यक्ष, व्युत्पन्न, प्रतिलोम और अन्य त्रिकोणमितीय फलन हों, तो व्यंजक त्रिकोणमितीय कहलाता है। स्कूल गणित पाठ्यक्रम में विभिन्न अभिव्यक्तियों का उपयोग करते हुए बड़ी संख्या में उदाहरण और कार्यों का विवरण दिया गया है।

याद रखने वाली मुख्य बातें:

1. एक सांख्यिक व्यंजक का मानइस व्यंजक में अंकगणितीय संक्रियाओं को करने से प्राप्त संख्या होगी। मुख्य बात लगातार अंकगणितीय संचालन करना है। पूरे ऑपरेशन की सादगी के लिए, चरणों को गिना जा सकता है। यदि व्यंजक में कोष्ठक हैं, तो सबसे पहले हम कोष्ठक में वर्ण के अनुरूप क्रिया करते हैं। घातांक अगला चरण होगा। प्राथमिकता में अगला, हम गुणा या भाग करते हैं, और केवल बहुत अंत में, जोड़ और घटाव करते हैं।

आइए अब संख्यात्मक व्यंजक 5+20*(60-45) का मान ज्ञात करें। आइए पहले कोष्ठक से छुटकारा पाएं। क्रिया करने पर हमें 60-45=15 प्राप्त होता है। अब हमारे पास 5+20*15 है। अगली क्रिया गुणन 20*15=300 है। और अंतिम क्रिया जोड़ होगी, हम इसे करते हैं और अंतिम परिणाम 5 + 300 = 305 प्राप्त करते हैं।

2. एक ज्ञात कोण पर?त्रिकोणमितीय व्यंजकों के साथ कार्य करने के लिए, आपको मूलभूत ज्ञान की आवश्यकता होगी त्रिकोणमितीय सूत्रअभिव्यक्ति को सरल बनाने में मदद करने के लिए। आइए व्यंजक cos 12 का मान ज्ञात करें? कॉस 18? - पाप 12? पाप 18?. इस व्यंजक को सरल बनाने के लिए हम सूत्र cos (? +?) = cos? का प्रयोग करते हैं। क्योंकि? - पाप? पाप ?, तो हमें कॉस 12 मिलता है? कॉस 18? - पाप 12? sin 18?= cos(12? +18?)=cos30? =v3?2।

3. चर के साथ व्यंजक।यह याद रखना चाहिए कि बीजीय व्यंजक का मान सीधे चर पर निर्भर करता है। चर को ग्रीक या लैटिन वर्णमाला के अक्षरों द्वारा निरूपित किया जा सकता है। जब हमारे पास बीजीय व्यंजक के दिए गए पैरामीटर हों, तो हमें पहले इसे सरल बनाना होगा। उसके बाद, दिए गए चरों को प्रतिस्थापित करना और अंकगणितीय संचालन करना आवश्यक है। परिणामस्वरूप, दिए गए चरों के साथ, हमें एक संख्या प्राप्त होगी, जो बीजीय व्यंजक का मान होगा। एक उदाहरण पर विचार करें जहां आपको व्यंजक 3(a+y)+2(3a+2y) का मान a=4 और y=5 के साथ ज्ञात करने की आवश्यकता है। इस व्यंजक को सरल कीजिए और प्राप्त कीजिए 3a+3y+6a+4y=9a+7y. अब आपको चरों के मान को प्रतिस्थापित करने और गणना करने की आवश्यकता है, प्राप्त परिणाम व्यंजक का मान होगा। तो हमारे पास 9a+7y है a=4 और y=5 के साथ हमें 36+35=71 मिलता है। ध्यान दें कि बीजीय व्यंजकों का हमेशा कोई अर्थ नहीं होता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक 15:(b-4) b =4 के अलावा किसी भी b के लिए अर्थपूर्ण है।

अब जब हमने अलग-अलग भिन्नों को जोड़ना और गुणा करना सीख लिया है, तो हम और अधिक पर विचार कर सकते हैं जटिल संरचनाएं. उदाहरण के लिए, क्या होगा यदि भिन्नों का जोड़, घटाव और गुणा एक ही समस्या में होता है?

सबसे पहले, आपको सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलने की आवश्यकता है। फिर हम क्रमिक रूप से आवश्यक क्रियाएं करते हैं - उसी क्रम में जैसे सामान्य संख्याओं के लिए। अर्थात्:

1. सबसे पहले, घातांक किया जाता है - घातांक वाले सभी भावों से छुटकारा पाएं;
2. फिर - विभाजन और गुणा;
3. अंतिम चरण जोड़ और घटाव है।

बेशक, यदि अभिव्यक्ति में कोष्ठक हैं, तो क्रियाओं का क्रम बदल जाता है - कोष्ठक के अंदर जो कुछ भी है, उसे पहले माना जाना चाहिए। और अनुचित भिन्नों के बारे में याद रखें: आपको पूरे भाग का चयन तभी करना होगा जब अन्य सभी क्रियाएं पहले ही पूरी हो चुकी हों।

आइए पहले व्यंजक से सभी भिन्नों का अनुचित अंशों में अनुवाद करें, और फिर निम्नलिखित क्रियाएं करें:

आइए अब दूसरे व्यंजक का मान ज्ञात करें। यहाँ भिन्न के साथ पूरा भागनहीं, लेकिन कोष्ठक हैं, इसलिए हम पहले जोड़ करते हैं, और उसके बाद ही विभाजन करते हैं। ध्यान दें कि 14 = 7 2 । फिर:

अंत में, तीसरे उदाहरण पर विचार करें। यहां कोष्ठक और डिग्री हैं - उन्हें अलग से गिनना बेहतर है। दिया गया है कि 9 = 3 3 , हमारे पास है:

अंतिम उदाहरण पर ध्यान दें। एक अंश को एक घात तक बढ़ाने के लिए, आपको अलग से अंश को इस घात और हर को अलग से उठाना होगा।

आप अलग तरीके से फैसला कर सकते हैं। यदि हम डिग्री की परिभाषा को याद करते हैं, तो समस्या भिन्नों के सामान्य गुणन तक कम हो जाएगी:

बहुमंजिला भिन्न

अब तक, हमने केवल "शुद्ध" भिन्नों पर विचार किया है, जब अंश और हर साधारण संख्याएँ हैं। यह पहले पाठ में दी गई संख्यात्मक भिन्न की परिभाषा के अनुरूप है।

लेकिन क्या होगा यदि अंश या हर में अधिक जटिल वस्तु रखी जाए? उदाहरण के लिए, एक और संख्यात्मक अंश? इस तरह के निर्माण अक्सर होते हैं, खासकर जब लंबी अभिव्यक्तियों के साथ काम करते हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

बहु-मंजिला अंशों के साथ काम करने का केवल एक नियम है: आपको तुरंत उनसे छुटकारा पाना चाहिए। "अतिरिक्त" फर्श को हटाना काफी सरल है, अगर आपको याद है कि भिन्नात्मक बार का मतलब मानक विभाजन ऑपरेशन है। इसलिए, किसी भी अंश को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

इस तथ्य का उपयोग करके और प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम आसानी से किसी भी बहु-मंजिला अंश को नियमित रूप से कम कर सकते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें:

एक कार्य। बहुमंजिला भिन्नों को सामान्य अंशों में बदलें:

प्रत्येक मामले में, हम मुख्य अंश को फिर से लिखते हैं, विभाजन रेखा को एक विभाजन चिह्न से बदलते हैं। यह भी याद रखें कि किसी भी पूर्णांक को 1 के हर के साथ भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है। 12 = 12/1; 3 = 3/1. हम पाते हैं:

अंतिम उदाहरण में, अंतिम गुणन से पहले भिन्नों को घटाया गया था।

बहु-मंजिला अंशों के साथ काम करने की बारीकियां

बहु-मंजिला अंशों में एक सूक्ष्मता है जिसे हमेशा याद रखना चाहिए, अन्यथा आप गलत उत्तर प्राप्त कर सकते हैं, भले ही सभी गणनाएं सही हों। नज़र रखना:

1. अंश में एक अलग संख्या 7 है, और हर में - अंश 12/5;
2. अंश अंश 7/12 है, और हर एक संख्या 5 है।

तो, एक रिकॉर्ड के लिए, हमें दो पूरी तरह से अलग व्याख्याएं मिलीं। यदि आप गिनती करते हैं, तो उत्तर भी भिन्न होंगे:

यह सुनिश्चित करने के लिए कि रिकॉर्ड हमेशा स्पष्ट रूप से पढ़ा जाता है, एक साधारण नियम का उपयोग करें: मुख्य अंश की विभाजन रेखा नेस्टेड रेखा से अधिक लंबी होनी चाहिए। अधिमानतः कई बार।

यदि आप इस नियम का पालन करते हैं, तो उपरोक्त भिन्नों को इस प्रकार लिखा जाना चाहिए:

हाँ, यह शायद बदसूरत है और बहुत अधिक जगह लेता है। लेकिन आप सही गिनती करेंगे। अंत में, कुछ उदाहरण जहां बहु-स्तरीय भिन्न वास्तव में होते हैं:

एक कार्य। अभिव्यक्ति मान खोजें:

तो, चलिए पहले उदाहरण के साथ काम करते हैं। आइए सभी भिन्नों को अनुचित अंशों में बदलें, और फिर जोड़ और भाग की संक्रियाएँ करें:

आइए दूसरे उदाहरण के साथ भी ऐसा ही करें। सभी भिन्नों को अनुचित में बदलें और आवश्यक संचालन करें। पाठक को बोर न करने के लिए, मैं कुछ स्पष्ट गणनाओं को छोड़ दूंगा। हमारे पास है:

इस तथ्य के कारण कि मुख्य अंशों के अंश और हर में योग होते हैं, बहु-मंजिला भिन्न लिखने का नियम स्वचालित रूप से मनाया जाता है। साथ ही, पिछले उदाहरण में, हमने विभाजन करने के लिए जानबूझकर संख्या 46/1 को भिन्न के रूप में छोड़ दिया था।

मैं यह भी नोट करता हूं कि दोनों उदाहरणों में, भिन्नात्मक बार वास्तव में कोष्ठक को प्रतिस्थापित करता है: सबसे पहले, हमने योग पाया, और उसके बाद ही - भागफल।

कोई कहेगा कि दूसरे उदाहरण में अनुचित भिन्नों में संक्रमण स्पष्ट रूप से बेमानी था। शायद यही तरीका है। लेकिन इस तरह हम गलतियों के खिलाफ खुद का बीमा करते हैं, क्योंकि अगली बार उदाहरण बहुत अधिक जटिल हो सकता है। अपने लिए चुनें कि क्या अधिक महत्वपूर्ण है: गति या विश्वसनीयता।

मैं। वे व्यंजक जिनमें अक्षरों के साथ-साथ अंकगणितीय संक्रियाओं और कोष्ठकों का प्रयोग किया जा सकता है, बीजगणितीय व्यंजक कहलाते हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के उदाहरण:

2एम-एन; 3 · (2ए+बी); 0.24x; 0.3a-बी · (4ए + 2बी); ए 2 - 2ab;

चूँकि बीजगणितीय व्यंजक में एक अक्षर को कुछ भिन्न संख्याओं से बदला जा सकता है, अक्षर को एक चर कहा जाता है, और अक्षर को ही बीजगणतीय अभिव्यक्ति- एक चर के साथ एक अभिव्यक्ति।

द्वितीय. यदि किसी बीजीय व्यंजक में अक्षरों (चर) को उनके मानों से बदल दिया जाता है और निर्दिष्ट क्रियाएं की जाती हैं, तो परिणामी संख्या को बीजीय व्यंजक का मान कहा जाता है।

उदाहरण। एक व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5।

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; जेड = 6.

समाधान.

1) a + 2b -c a = -2 के लिए; बी = 10; सी = -3.5। चर के बजाय, हम उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

— 2+ 2 · 10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|जेड| एक्स = -8 पर; वाई = -5; z = 6. हम संकेतित मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। याद रखें कि मॉड्यूल ऋणात्मक संख्याइसकी विपरीत संख्या के बराबर है, और मापांक सकारात्मक संख्याउस संख्या के बराबर। हम पाते हैं:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.एक अक्षर (चर) के वे मान जिनके लिए बीजीय व्यंजक समझ में आता है, अक्षर के मान्य मान (चर) कहलाते हैं।

उदाहरण। चर के किन मूल्यों पर अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है?

समाधान।हम जानते हैं कि शून्य से विभाजित करना असंभव है, इसलिए, इनमें से प्रत्येक अभिव्यक्ति का उस अक्षर (चर) के मान से कोई मतलब नहीं होगा जो भिन्न के हर को शून्य में बदल देता है!

उदाहरण 1 में, यह मान a = 0 है। वास्तव में, यदि हम 0 को प्रतिस्थापित करते हैं, तो संख्या 6 को 0 से विभाजित करने की आवश्यकता होगी, लेकिन ऐसा नहीं किया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 1) का कोई अर्थ नहीं है जब a = 0.

उदाहरण 2) में x = 4 पर हर x - 4 = 0 है, इसलिए यह मान x = 4 है और इसे नहीं लिया जा सकता है। उत्तर: व्यंजक 2) x = 4 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।

उदाहरण 3) में x = -2 के लिए हर x + 2 = 0 है। उत्तर: व्यंजक 3) x = -2 पर कोई अर्थ नहीं रखता।

उदाहरण 4 में हर 5 -|x| . है = 0 |x| . के लिए = 5. और चूंकि |5| = 5 और |-5| \u003d 5, तो आप x \u003d 5 और x \u003d -5 नहीं ले सकते। उत्तर: व्यंजक 4) x = -5 और x = 5 के लिए कोई अर्थ नहीं रखता है।
चतुर्थ। दो अभिव्यक्तियों को समान रूप से समान कहा जाता है यदि, चर के किसी भी स्वीकार्य मान के लिए, इन अभिव्यक्तियों के संबंधित मान समान हैं।

उदाहरण: 5 (ए - बी) और 5 ए - 5 बी समान हैं, क्योंकि समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी ए और बी के किसी भी मूल्य के लिए सही होगी। समानता 5 (ए - बी) = 5 ए - 5 बी एक पहचान है।

पहचान इसमें शामिल चर के सभी स्वीकार्य मूल्यों के लिए एक समानता मान्य है। आप पहले से ही ज्ञात सर्वसमिकाओं के उदाहरण हैं, उदाहरण के लिए, जोड़ और गुणा के गुण, वितरण गुण।

एक व्यंजक के स्थान पर दूसरे व्यंजक के स्थान पर, समान रूप से उसके समान, समरूप रूपांतरण या केवल व्यंजक का रूपांतरण कहलाता है। संख्याओं पर संक्रियाओं के गुणों के आधार पर चरों के साथ व्यंजकों के समान परिवर्तन किए जाते हैं।

उदाहरण।

एक)गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में परिवर्तित करें:

1) 10 (1.2x + 2.3y); 2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी); 3) ए · (6 मी -2 एन + के)।

समाधान. गुणन की वितरण संपत्ति (कानून) को याद करें:

(ए+बी) सी=ए सी+बी सी(जोड़ के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के योग को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप प्रत्येक पद को इस संख्या से गुणा कर सकते हैं और परिणाम जोड़ सकते हैं)।
(ए-बी) सी=ए सी-बी सी(घटाव के संबंध में गुणन का वितरण नियम: दो संख्याओं के अंतर को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप इस संख्या को अलग-अलग घटा और घटाकर गुणा कर सकते हैं और पहले परिणाम से दूसरे को घटा सकते हैं)।

1) 10 (1.2x + 2.3y) \u003d 10 1.2x + 10 2.3y \u003d 12x + 23y।

2) 1.5 (ए -2 बी + 4 सी) = 1.5 ए -3 बी + 6 सी।

3) a (6m -2n + k) = 6am -2an +ak।

बी)जोड़ के कम्यूटेटिव और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके अभिव्यक्ति को समान रूप से समान में बदलना:

4) x + 4.5 + 2x + 6.5; 5) (3ए + 2.1) + 7.8; 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s।

समाधान।हम जोड़ के कानून (गुण) लागू करते हैं:

ए+बी=बी+ए(विस्थापन: योग शर्तों की पुनर्व्यवस्था से नहीं बदलता है)।
(ए+बी)+सी=ए+(बी+सी)(सहयोगी: दो पदों के योग में तीसरी संख्या जोड़ने के लिए, आप पहली संख्या में दूसरे और तीसरे का योग जोड़ सकते हैं)।

4) x + 4.5 + 2x + 6.5 = (x + 2x) + (4.5 + 6.5) = 3x + 11.

5) (3a + 2.1) + 7.8 = 3a + (2.1 + 7.8) = 3a + 9.9।

6) 6) 5.4s -3 -2.5 -2.3s = (5.4s -2.3s) + (-3 -2.5) = 3.1s -5.5।

में)गुणन के क्रमविनिमेय और साहचर्य गुणों (कानूनों) का उपयोग करके व्यंजक को समान रूप से समान में बदलना:

7) 4 · एक्स · (-2,5); 8) -3,5 · 2 वर्ष · (-एक); 9) 3ए · (-3) · 2एस.

समाधान।आइए गुणन के नियम (गुण) लागू करें:

ए बी = बी ए(विस्थापन: कारकों का क्रमपरिवर्तन उत्पाद को नहीं बदलता है)।
(ए बी) सी = ए (बी सी)(संयुक्त: दो संख्याओं के गुणनफल को तीसरी संख्या से गुणा करने के लिए, आप पहली संख्या को दूसरी और तीसरी संख्या के गुणनफल से गुणा कर सकते हैं)।

7) 4 · एक्स · (-2,5) = -4 · 2,5 · एक्स = -10x।

8) -3,5 · 2 वर्ष · (-1) = 7y।

9) 3ए · (-3) · 2s = -18as।

यदि एक बीजीय व्यंजक को अपचयनीय भिन्न के रूप में दिया जाता है, तो भिन्न अपचयन नियम का उपयोग करके इसे सरल बनाया जा सकता है, अर्थात्। समान रूप से इसके बराबर एक सरल व्यंजक द्वारा प्रतिस्थापित करें।

उदाहरण। भिन्न अपचयन का उपयोग करके सरल कीजिए।

समाधान।किसी भिन्न को कम करने का अर्थ है उसके अंश और हर को शून्य के अलावा उसी संख्या (व्यंजक) से विभाजित करना। भिन्न 10) से कम हो जाएगा 3 बी; भिन्न 11) से कम करें एकऔर भिन्न 12) से कम करें 7एन. हम पाते हैं:

बीजीय व्यंजकों का प्रयोग सूत्र बनाने के लिए किया जाता है।

सूत्र एक बीजीय व्यंजक है जिसे समानता के रूप में लिखा जाता है जो दो या दो से अधिक चरों के बीच संबंध को व्यक्त करता है।उदाहरण: पथ सूत्र जिसे आप जानते हैं एस = वी टी(s तय की गई दूरी है, v गति है, t समय है)। याद रखें कि आप कौन से अन्य सूत्र जानते हैं।

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