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बीजगणित ग्रेड 11

विषय: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके"

पाठ मकसद:

शैक्षिक: ज्ञान के गठन के बारे में विभिन्न तरीकेलॉगरिदमिक समीकरणों को हल करना, प्रत्येक विशिष्ट स्थिति में उन्हें लागू करने की क्षमता और हल करने के लिए कोई भी तरीका चुनना;

विकासशील: एक नई स्थिति में ज्ञान का निरीक्षण करने, तुलना करने, लागू करने, पैटर्न की पहचान करने, सामान्यीकरण करने के कौशल का विकास; आपसी नियंत्रण और आत्म-नियंत्रण के कौशल का गठन;

शैक्षिक: शैक्षिक कार्य के लिए एक जिम्मेदार रवैये की शिक्षा, पाठ में सामग्री की सावधानीपूर्वक धारणा, रिकॉर्ड रखने की सटीकता।

पाठ प्रकार: नई सामग्री से परिचित होने का पाठ।

"खगोलविद के काम को छोटा करके लघुगणक के आविष्कार ने उनके जीवन को लंबा कर दिया है।"
फ्रांसीसी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री पी.एस. लाप्लास

कक्षाओं के दौरान

I. पाठ का लक्ष्य निर्धारित करना

लॉगरिदम की अध्ययन की गई परिभाषा, लॉगरिदम के गुण और लॉगरिदमिक फ़ंक्शन हमें लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करने की अनुमति देंगे। सभी लघुगणक समीकरण, चाहे वे कितने भी जटिल क्यों न हों, समान एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किए जाते हैं। हम आज पाठ में इन एल्गोरिदम पर विचार करेंगे। उनमें से कुछ हैं। यदि आप उनमें महारत हासिल कर लेते हैं, तो आप में से प्रत्येक के लिए लघुगणक के साथ कोई भी समीकरण संभव होगा।

अपनी नोटबुक में पाठ का विषय लिखें: "लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके।" मैं सभी को सहयोग के लिए आमंत्रित करता हूं।

द्वितीय. बुनियादी ज्ञान का अद्यतन

आइए पाठ के विषय का अध्ययन करने के लिए तैयार हो जाएं। आप प्रत्येक कार्य को हल करते हैं और उत्तर लिखते हैं, आप शर्त नहीं लिख सकते। जोड़े में काम।

1) x के किन मूल्यों के लिए फ़ंक्शन समझ में आता है:

(प्रत्येक स्लाइड के लिए उत्तरों की जाँच की जाती है और त्रुटियों को दूर किया जाता है)

2) क्या फ़ंक्शन ग्राफ़ मेल खाते हैं?

3) समानता को लघुगणकीय समानता के रूप में फिर से लिखें:

4) संख्याओं को आधार 2 के साथ लघुगणक के रूप में लिखें:

5) गणना करें:

6) इन समानताओं में लापता तत्वों को पुनर्स्थापित करने या पूरा करने का प्रयास करें।

III. नई सामग्री का परिचय

बयान स्क्रीन पर दिखाया गया है:

"समीकरण वह सुनहरी कुंजी है जो सभी गणितीय तिलों को खोलती है।"
आधुनिक पोलिश गणितज्ञ एस. कोवल

एक लघुगणकीय समीकरण की परिभाषा तैयार करने का प्रयास करें। (एक समीकरण जिसमें लघुगणक के चिह्न के तहत अज्ञात होता है)।

विचार करना सबसे सरल लघुगणक समीकरण:लकड़ी का लट्ठाएकएक्स = बी(जहां ए> 0, ए ≠ 1)। चूंकि लॉगरिदमिक फ़ंक्शन सेट पर बढ़ रहा है (या घट रहा है) सकारात्मक संख्याऔर सभी वास्तविक मान लेता है, फिर मूल प्रमेय द्वारा यह अनुसरण करता है कि किसी भी बी के लिए, इस समीकरण में, और इसके अलावा, केवल एक समाधान है, और इसके अलावा, एक सकारात्मक है।

लघुगणक की परिभाषा याद रखें। (संख्या x से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे संख्या x प्राप्त करने के लिए आधार a को ऊपर उठाया जाना चाहिए)। यह लघुगणक की परिभाषा से तुरंत अनुसरण करता है कि एकमेंऐसा समाधान है।

शीर्षक लिखें: लघुगणक समीकरणों को हल करने के तरीके

1. लघुगणक की परिभाषा के अनुसार.

इस प्रकार फॉर्म के सरल समीकरण हल किए जाते हैं।

विचार करना संख्या 514 (ए): प्रश्न हल करें

आप इसे कैसे हल करने का प्रस्ताव करते हैं? (लघुगणक की परिभाषा के अनुसार)

समाधान। , इसलिए 2x - 4 = 4; एक्स = 4.

इस कार्य में, 2x - 4> 0, क्योंकि> 0, इसलिए, बाहरी जड़ें प्रकट नहीं हो सकती हैं, और जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इस कार्य में लिखने के लिए शर्त 2x - 4 > 0 आवश्यक नहीं है।

2. क्षमता(दिए गए व्यंजक के लघुगणक से इस व्यंजक में ही संक्रमण)।

विचार करना संख्या 519 (जी): log5(x2+8)-log5(x+1)=3log5 2

आपने किस विशेषता पर ध्यान दिया? (आधार समान हैं और दो व्यंजकों के लघुगणक समान हैं)। क्या किया जा सकता है? (शक्तिशाली)।

इस मामले में, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि कोई भी समाधान सभी x के बीच निहित है जिसके लिए लॉगरिदम अभिव्यक्ति सकारात्मक हैं।

समाधान: ओडीजेड:

X2+8>0 अतिरिक्त असमानता

log5(x2+8) = log5 23+ log5(x+1)

log5(x2+8)=log5(8x+8)

मूल समीकरण को प्रबल कीजिए

हमें समीकरण मिलता है x2+8= 8x+8

हम इसे हल करते हैं: x2-8x=0

उत्तर: 0; आठ

पर सामान्य दृष्टि से एक समान प्रणाली में संक्रमण:

समीकरण

(सिस्टम में एक अनावश्यक शर्त है - असमानताओं में से एक को अनदेखा किया जा सकता है)।

कक्षा के लिए प्रश्न: आपको इन तीनों में से कौन सा समाधान सबसे ज्यादा पसंद आया? (विधियों की चर्चा)।

आपको किसी भी तरह से निर्णय लेने का अधिकार है।

3. एक नए चर का परिचय.

विचार करना नंबर 520 (जी). .

आपने क्या नोटिस किया? (यह द्विघात समीकरण log3x के संबंध में) कोई सुझाव? (नए चर का परिचय दें)

समाधान। ओडीजेड: एक्स> 0।

मान लीजिए, तब समीकरण का रूप लेगा:। विभेदक डी > 0. वियत के प्रमेय द्वारा जड़ें:।

आइए प्रतिस्थापन पर लौटते हैं: या ।

सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

उत्तर: 27;

4. समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक।

प्रश्न हल करें:।

हल: ODZ: x>0, आधार 10 में समीकरण के दोनों पक्षों का लघुगणक लें:

डिग्री के लघुगणक की संपत्ति लागू करें:

(एलजीएक्स + 3) एलजीएक्स = 4

माना lgx = y, तब (y + 3)y = 4

, (डी > 0) वियत प्रमेय के अनुसार जड़ें: y1 = -4 और y2 = 1।

आइए प्रतिस्थापन पर लौटते हैं, हमें मिलता है: lgx = -4,; लॉगएक्स = 1,।

उत्तर: 0.0001; दस।

5. एक आधार में कमी।

संख्या 523 (सी)। प्रश्न हल करें:

समाधान: ओडीजेड: x>0। आइए आधार 3 पर चलते हैं।

6. कार्यात्मक-ग्राफिकल विधि।

№ 509 (डी)।समीकरण को आलेखीय रूप से हल करें: = 3 - x।

आप कैसे हल करने का प्रस्ताव करते हैं? (दो कार्यों y \u003d log2x और y \u003d 3 - x के ग्राफ़ की रचना करें और ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज की तलाश करें)।

स्लाइड पर देखें अपना समाधान।

क्या साजिश से बचने का कोई उपाय है . यह इस प्रकार है : यदि कार्यों में से एकवाई = एफ (एक्स) बढ़ता है और अन्यवाई = जी (एक्स) अंतराल X पर घटता है, तो समीकरणएफ (एक्स) = जी (एक्स) अंतराल X . पर अधिक से अधिक एक जड़ होती है.

यदि कोई जड़ है, तो इसका अनुमान लगाया जा सकता है।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन x>0 के लिए बढ़ता है, और फ़ंक्शन y \u003d 3 - x x> 0 सहित x के सभी मानों के लिए घटता है, जिसका अर्थ है कि समीकरण में एक से अधिक रूट नहीं हैं। ध्यान दें कि x = 2 के लिए, समीकरण वास्तविक समानता में बदल जाता है, क्योंकि .

"विधियों का सही अनुप्रयोग सीखा जा सकता है,
केवल उन्हें विभिन्न उदाहरणों पर लागू करके।
गणित के डेनिश इतिहासकार जी. जी. ज़ितेन

मैंवी गृहकार्य

पी। 39 उदाहरण 3 पर विचार करें, नंबर 514 (बी), नंबर 529 (बी), नंबर 520 (बी), नंबर 523 (बी) को हल करें।

V. पाठ को सारांशित करना

पाठ में हमने लघुगणकीय समीकरणों को हल करने की किन विधियों पर विचार किया?

अगले पाठों में, हम अधिक जटिल समीकरणों को देखेंगे। उन्हें हल करने के लिए, अध्ययन की गई विधियाँ उपयोगी हैं।

आखिरी स्लाइड दिखा रहा है:

"दुनिया में किसी भी चीज़ से बढ़कर क्या है?
अंतरिक्ष।
सबसे बुद्धिमान क्या है?
समय।
सबसे सुखद क्या है?
आप जो चाहते हैं उसे हासिल करें।"
थेल्स

मैं चाहता हूं कि हर कोई वह हासिल करे जो वह चाहता है। आपके सहयोग और समझ के लिए धन्यवाद।

लघुगणक समीकरणएक समीकरण कहलाता है जिसमें अज्ञात (x) और उसके साथ व्यंजक एक लघुगणकीय फलन के चिह्न के अधीन होते हैं। लॉगरिदमिक समीकरणों को हल करना यह मानता है कि आप पहले से ही और से परिचित हैं।
लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करें?

सबसे सरल समीकरण है लॉग ए एक्स = बी, जहाँ a और b कुछ संख्याएँ हैं, x अज्ञात है।
लघुगणक समीकरण को हल करना x = a b प्रदान किया गया है: a > 0, a 1.

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि x लॉगरिदम के बाहर कहीं है, उदाहरण के लिए लॉग 2 x \u003d x-2, तो इस तरह के समीकरण को पहले से ही मिश्रित कहा जाता है और इसे हल करने के लिए एक विशेष दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है।

आदर्श स्थिति तब होती है जब आप एक ऐसे समीकरण का सामना करते हैं जिसमें केवल संख्याएँ लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत होती हैं, उदाहरण के लिए x + 2 \u003d लॉग 2 2. यहाँ इसे हल करने के लिए लघुगणक के गुणों को जानना पर्याप्त है। लेकिन ऐसा भाग्य अक्सर नहीं होता है, इसलिए अधिक कठिन चीजों के लिए तैयार हो जाइए।

लेकिन सबसे पहले, आइए सरल समीकरणों से शुरू करें। उन्हें हल करने के लिए, लघुगणक का सबसे सामान्य विचार होना वांछनीय है।

सरल लघुगणकीय समीकरणों को हल करना

इनमें लॉग 2 x \u003d लॉग 2 16 जैसे समीकरण शामिल हैं। इसे नग्न आंखों से देखा जा सकता है कि लॉगरिदम के संकेत को छोड़कर हमें x \u003d 16 मिलता है।

एक अधिक जटिल लघुगणकीय समीकरण को हल करने के लिए, यह आमतौर पर एक साधारण बीजगणितीय समीकरण के समाधान के लिए या सबसे सरल लघुगणकीय समीकरण लॉग a x = b के समाधान की ओर ले जाता है। सरलतम समीकरणों में, यह एक गति में होता है, इसलिए उन्हें सरलतम कहा जाता है।

लॉगरिदम छोड़ने की उपरोक्त विधि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करने के मुख्य तरीकों में से एक है। गणित में, इस ऑपरेशन को पोटेंशिएशन कहा जाता है। इस तरह के संचालन के लिए कुछ नियम या प्रतिबंध हैं:

• लघुगणक के समान संख्यात्मक आधार होते हैं
• समीकरण के दोनों भागों में लघुगणक स्वतंत्र हैं, अर्थात्। बिना किसी गुणांक और अन्य विभिन्न प्रकार के भावों के।

मान लें कि समीकरण में लॉग 2 x \u003d 2log 2 (1- x), पोटेंशिएशन लागू नहीं है - दाईं ओर गुणांक 2 की अनुमति नहीं है। निम्नलिखित उदाहरण में, लॉग 2 x + लॉग 2 (1 - x) = लॉग 2 (1 + x) प्रतिबंधों में से एक भी संतुष्ट नहीं है - बाईं ओर दो लघुगणक हैं। वह एक होगा - एक पूरी तरह से अलग मामला!

सामान्य तौर पर, आप लघुगणक को तभी हटा सकते हैं जब समीकरण का रूप हो:

लॉग ए (...) = लॉग ए (...)

बिल्कुल कोई भी भाव कोष्ठक में हो सकता है, यह पूरी तरह से पोटेंशिएशन ऑपरेशन को प्रभावित नहीं करता है। और लघुगणक के उन्मूलन के बाद, एक सरल समीकरण बना रहेगा - रैखिक, द्विघात, घातीय, आदि, जिसे आप पहले से ही, मुझे आशा है, हल करना जानते हैं।

आइए एक और उदाहरण लें:

लघुगणक 3 (2x-5) = लघुगणक 3 x

पोटेंशिएशन को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

लघुगणक 3 (2x-1) = 2

लॉगरिदम की परिभाषा के आधार पर, अर्थात्, लॉगरिदम वह संख्या है जिस पर लॉगरिदम के संकेत के तहत एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए आधार को ऊपर उठाया जाना चाहिए, यानी। (4x-1), हम प्राप्त करते हैं:

फिर से, हमें एक अच्छा जवाब मिला। यहां हमने लॉगरिदम को खत्म किए बिना किया, लेकिन यहां भी पोटेंशिएशन लागू है, क्योंकि लॉगरिदम किसी भी संख्या से बनाया जा सकता है, और ठीक वही जिसकी हमें आवश्यकता है। यह विधि लघुगणकीय समीकरणों और विशेष रूप से असमानताओं को हल करने में बहुत सहायक है।

आइए हमारे लघुगणकीय समीकरण को हल करें लॉग 3 (2x-1) = 2 पोटेंशिएशन का उपयोग करके:

आइए संख्या 2 को लघुगणक के रूप में निरूपित करें, उदाहरण के लिए, ऐसा लघुगणक 3 9, क्योंकि 3 2 =9।

फिर लॉग 3 (2x-1) = लॉग 3 9 और फिर से हमें वही समीकरण 2x-1 = 9 मिलता है। मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है।

इसलिए हमने देखा कि सबसे सरल लघुगणकीय समीकरणों को कैसे हल किया जाए, जो वास्तव में बहुत महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि लघुगणक समीकरणों का हल, यहां तक ​​​​कि सबसे भयानक और मुड़ वाले, अंत में हमेशा सरलतम समीकरणों को हल करने के लिए नीचे आते हैं।

हमने ऊपर जो कुछ भी किया है, उसमें हमने एक की बहुत अनदेखी की है महत्वपूर्ण बिंदुजो भविष्य में निर्णायक भूमिका निभाएगा। तथ्य यह है कि किसी भी लघुगणकीय समीकरण का समाधान, यहां तक ​​​​कि सबसे प्राथमिक एक, में दो समकक्ष भाग होते हैं। पहला समीकरण का समाधान है, दूसरा स्वीकार्य मूल्यों (ओडीवी) के क्षेत्र के साथ काम करता है। बस यही पहला भाग है जिसमें हमने महारत हासिल की है। उपरोक्त उदाहरणों में, ODD किसी भी तरह से उत्तर को प्रभावित नहीं करता है, इसलिए हमने इस पर विचार नहीं किया।

आइए एक और उदाहरण लें:

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

बाह्य रूप से, यह समीकरण प्राथमिक से अलग नहीं है, जिसे बहुत सफलतापूर्वक हल किया गया है। लेकिन यह वैसा नहीं है। नहीं, निश्चित रूप से हम इसे हल करेंगे, लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि यह गलत होगा, क्योंकि इसमें एक छोटा सा घात है, जिसमें सी छात्र और सम्मान दोनों छात्र तुरंत गिर जाते हैं। आइए इसे करीब से देखें।

मान लीजिए कि आपको समीकरण का मूल या मूलों का योग ज्ञात करना है, यदि कई हैं:

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

हम पोटेंशिएशन लागू करते हैं, यहां इसकी अनुमति है। नतीजतन, हमें सामान्य द्विघात समीकरण मिलता है।

हम समीकरण की जड़ें पाते हैं:

दो जड़ें हैं।

उत्तर: 3 और -1

पहली नज़र में सब कुछ सही है। लेकिन आइए परिणाम की जांच करें और इसे मूल समीकरण में बदलें।

आइए x 1 = 3 से शुरू करें:

लघुगणक 3 6 = लघुगणक 3 6

जाँच सफल रही, अब कतार x 2 = -1:

लघुगणक 3 (-2) = लघुगणक 3 (-2)

हाँ रुको! बाह्य रूप से, सब कुछ परिपूर्ण है। एक क्षण - ऋणात्मक संख्याओं से कोई लघुगणक नहीं होते हैं! और इसका मतलब है कि रूट x \u003d -1 हमारे समीकरण को हल करने के लिए उपयुक्त नहीं है। और इसलिए सही उत्तर 3 होगा, 2 नहीं, जैसा कि हमने लिखा है।

यहीं पर ODZ ने अपनी घातक भूमिका निभाई, जिसके बारे में हम भूल गए।

मैं आपको याद दिला दूं कि स्वीकार्य मूल्यों के क्षेत्र में, x के ऐसे मान स्वीकार किए जाते हैं जिनकी अनुमति है या मूल उदाहरण के लिए समझ में आता है।

ODZ के बिना, किसी भी समीकरण का कोई भी समाधान, यहां तक ​​कि बिल्कुल सही समाधान, लॉटरी में बदल जाता है - 50/50।

प्रतीत होता है कि प्राथमिक उदाहरण को हल करते हुए हम कैसे पकड़े जा सकते हैं? और यहाँ यह पोटेंशिएशन के क्षण में है। लघुगणक समाप्त हो गए हैं, और उनके साथ सभी सीमाएं हैं।

ऐसे में क्या करें? लॉगरिदम को खत्म करने से इंकार? और इस समीकरण के हल को पूरी तरह से त्याग दें?

नहीं, हम बस, एक प्रसिद्ध गीत के असली नायकों की तरह, घूमेंगे!

किसी भी लघुगणकीय समीकरण के हल के साथ आगे बढ़ने से पहले, हम ODZ लिखेंगे। लेकिन उसके बाद आप हमारे समीकरण से जो चाहें वो कर सकते हैं। उत्तर प्राप्त करने के बाद, हम केवल उन जड़ों को बाहर निकाल देते हैं जो हमारे ODZ में शामिल नहीं हैं, और अंतिम संस्करण लिख लें।

अब हम तय करते हैं कि ODZ कैसे लिखना है। ऐसा करने के लिए, हम मूल समीकरण की सावधानीपूर्वक जांच करते हैं और इसमें संदिग्ध स्थानों की तलाश करते हैं, जैसे कि x से भाग, सम अंश का मूल, आदि। जब तक हम समीकरण को हल नहीं कर लेते, हम नहीं जानते कि x किसके बराबर है, लेकिन हम निश्चित रूप से जानते हैं कि ऐसा x, जो प्रतिस्थापित करते समय, 0 या निष्कर्षण से भाग देगा वर्गमूलसे ऋणात्मक संख्या, स्पष्ट रूप से उत्तर में उपयुक्त नहीं हैं। इसलिए, ऐसे x अस्वीकार्य हैं, जबकि शेष ODZ का गठन करेंगे।

आइए फिर से उसी समीकरण का उपयोग करें:

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

लघुगणक 3 (x 2 -3) = लघुगणक 3 (2x)

जैसा कि आप देख सकते हैं, 0 से कोई विभाजन नहीं है, वर्गमूलभी नहीं, लेकिन लघुगणक के शरीर में x के साथ व्यंजक हैं। हमें तुरंत याद आता है कि लघुगणक के अंदर का व्यंजक हमेशा> 0 होना चाहिए। यह शर्त ODZ के रूप में लिखी जाती है:

वे। हमने अभी तक कुछ भी हल नहीं किया है, लेकिन हमने पहले ही संपूर्ण सबलॉगरिदमिक एक्सप्रेशन के लिए एक अनिवार्य शर्त लिख दी है। घुंघराले ब्रेस का मतलब है कि इन शर्तों को एक ही समय में पूरा किया जाना चाहिए।

ODZ लिख दिया गया है, लेकिन असमानताओं की परिणामी प्रणाली को हल करना भी आवश्यक है, जो हम करेंगे। हमें उत्तर x > v3 मिलता है। अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि कौन सा x हमें सूट नहीं करेगा। और फिर हम स्वयं लघुगणकीय समीकरण को हल करना शुरू करते हैं, जो हमने ऊपर किया था।

उत्तर x 1 \u003d 3 और x 2 \u003d -1 प्राप्त करने के बाद, यह देखना आसान है कि केवल x1 \u003d 3 हमारे लिए उपयुक्त है, और हम इसे अंतिम उत्तर के रूप में लिखते हैं।

भविष्य के लिए, निम्नलिखित को याद रखना बहुत महत्वपूर्ण है: हम किसी भी लघुगणकीय समीकरण को 2 चरणों में हल करते हैं। पहला - हम समीकरण को स्वयं हल करते हैं, दूसरा - हम ODZ की स्थिति को हल करते हैं। दोनों चरणों को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से किया जाता है और केवल उत्तर लिखते समय तुलना की जाती है, अर्थात। हम सभी अनावश्यक को त्याग देते हैं और सही उत्तर लिख देते हैं।

सामग्री को समेकित करने के लिए, हम वीडियो देखने की दृढ़ता से अनुशंसा करते हैं:

वीडियो में, लॉग को हल करने के अन्य उदाहरण। समीकरणों और अभ्यास में अंतराल की विधि को काम करना।

इस विषय पर, लॉगरिदमिक समीकरणों को कैसे हल करेंसब कुछ तक। अगर लॉग के निर्णय के अनुसार कुछ। समीकरण अस्पष्ट या समझ से बाहर रहे, अपने प्रश्न टिप्पणियों में लिखें।

नोट: सामाजिक शिक्षा अकादमी (KSUE) नए छात्रों को स्वीकार करने के लिए तैयार है।

लॉगरिदमिक समीकरणों का समाधान। भाग 1।

लघुगणक समीकरणएक समीकरण कहा जाता है जिसमें अज्ञात लॉगरिदम के संकेत के तहत निहित होता है (विशेष रूप से, लॉगरिदम के आधार में)।

प्रोटोजोआ लघुगणक समीकरणकी तरह लगता है:

किसी भी लघुगणक समीकरण को हल करनालॉगरिदम के संकेत के तहत लॉगरिदम से अभिव्यक्तियों में संक्रमण शामिल है। हालांकि, यह क्रिया समीकरण के मान्य मूल्यों की सीमा का विस्तार करती है और बाहरी जड़ों की उपस्थिति का कारण बन सकती है। बाहरी जड़ों की उपस्थिति से बचने के लिएआप इसे तीन तरीकों में से एक में कर सकते हैं:

1. एक समान संक्रमण करेंमूल समीकरण से एक प्रणाली सहित

जिसके आधार पर असमानता या आसान।

यदि समीकरण में लघुगणक के आधार पर अज्ञात है:

फिर हम सिस्टम में जाते हैं:

2. समीकरण के स्वीकार्य मानों की सीमा अलग से ज्ञात कीजिए, फिर समीकरण को हल करें और जांचें कि क्या समाधान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

3. समीकरण को हल करें, और फिर एक जाँच करें:मूल समीकरण में पाए गए समाधानों को प्रतिस्थापित करें, और जांचें कि क्या हमें सही समानता मिलती है।

जटिलता के किसी भी स्तर का लघुगणकीय समीकरण अंततः सरलतम लघुगणकीय समीकरण में बदल जाता है।

सभी लघुगणकीय समीकरणों को चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है:

1 . वे समीकरण जिनमें केवल प्रथम घात के लघुगणक होते हैं। परिवर्तनों और उपयोग की सहायता से, वे रूप में कम हो जाते हैं

उदाहरण. आइए समीकरण को हल करें:

लघुगणक के चिह्न के तहत भावों की बराबरी करें:

आइए देखें कि क्या समीकरण का हमारा मूल संतुष्ट होता है:

हाँ, यह संतुष्ट करता है।

उत्तर: x=5

2 . वे समीकरण जिनमें 1 के अलावा किसी अन्य घात के लघुगणक होते हैं (विशेषकर, भिन्न के हर में)। इन समीकरणों को का उपयोग करके हल किया जाता है चर के परिवर्तन का परिचय.

उदाहरण।आइए समीकरण को हल करें:

आइए ODZ समीकरण खोजें:

समीकरण में लघुगणक वर्ग होते हैं, इसलिए इसे चर के परिवर्तन का उपयोग करके हल किया जाता है।

महत्वपूर्ण! एक प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, आपको लॉगरिदम के गुणों का उपयोग करके "ईंटों" में समीकरण का हिस्सा वाले लॉगरिदम को "खींचना" होगा।

लॉगरिदम को "खींच" करते समय, लॉगरिदम के गुणों को बहुत सावधानी से लागू करना महत्वपूर्ण है:

इसके अलावा, यहां एक और सूक्ष्म स्थान है, और एक सामान्य गलती से बचने के लिए, हम एक मध्यवर्ती समानता का उपयोग करेंगे: हम इस रूप में लघुगणक की डिग्री लिखते हैं:

वैसे ही,

हम प्राप्त व्यंजकों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। हम पाते हैं:

अब हम देखते हैं कि अज्ञात समीकरण में के भाग के रूप में समाहित है। हम प्रतिस्थापन का परिचय देते हैं: . चूंकि यह कोई वास्तविक मान ले सकता है, इसलिए हम चर पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाते हैं।

लॉगरिदमिक समीकरण। हम गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग बी से कार्यों पर विचार करना जारी रखते हैं। हम पहले ही "", "" लेखों में कुछ समीकरणों के समाधान पर विचार कर चुके हैं। इस लेख में, हम लघुगणकीय समीकरणों पर विचार करेंगे। मुझे तुरंत कहना होगा कि यूएसई में ऐसे समीकरणों को हल करते समय कोई जटिल परिवर्तन नहीं होगा। वे सरल हैं।

लॉगरिदम के गुणों को जानने के लिए, बुनियादी लघुगणकीय पहचान को जानना और समझना पर्याप्त है। इस तथ्य पर ध्यान दें कि निर्णय के बाद, एक चेक करना अनिवार्य है - प्राप्त मूल्य को मूल समीकरण में बदलें और गणना करें, परिणामस्वरूप, सही समानता प्राप्त की जानी चाहिए।

परिभाषा:

संख्या a का आधार b का लघुगणक घातांक है,जिसमें b को a प्राप्त करने के लिए उठाया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए:

लॉग 3 9 = 2 क्योंकि 3 2 = 9

लघुगणक के गुण:

लघुगणक के विशेष मामले:

हम समस्याओं का समाधान करते हैं। पहले उदाहरण में, हम एक जाँच करेंगे। निम्नलिखित जांचें स्वयं करें।

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 (4–x) = 4

चूँकि log b a = x b x = a, तो

3 4 \u003d 4 - एक्स

एक्स = 4 - 81

एक्स = -77

इंतिहान:

लघुगणक 3 (4–(–77)) = 4

लॉग 3 81 = 4

3 4 = 81 सही।

उत्तर :- 77

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 (4 - x) = 7

लघुगणक 5 समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए(4 + एक्स) = 2

हम मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग करते हैं।

चूँकि log a b = x b x = a, तो

5 2 = 4 + x

एक्स = 5 2 - 4

एक्स = 21

इंतिहान:

लॉग 5 (4 + 21) = 2

लॉग 5 25 = 2

5 2 = 25 सही।

उत्तर: 21

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 3 (14 - x) = लघुगणक 3 5.

निम्नलिखित गुण होता है, इसका अर्थ इस प्रकार है: यदि समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर हमारे पास समान आधार वाले लघुगणक हैं, तो हम लघुगणक के चिह्नों के अंतर्गत व्यंजकों की बराबरी कर सकते हैं।

14 - एक्स = 5

एक्स = 9

एक चेक बनाओ।

उत्तर: 9

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 5 (5 - x) = लॉग 5 3।

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 4 (x + 3) = लघुगणक 4 (4x - 15)।

अगर लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

एक्स + 3 = 4x - 15

3x = 18

एक्स = 6

एक चेक बनाओ।

उत्तर: 6

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 1/8 (13 - x) = - 2।

(1/8) -2 = 13 - x

8 2 \u003d 13 - x

एक्स = 13 - 64

एक्स = -51

एक चेक बनाओ।

एक छोटा सा जोड़ - यहाँ संपत्ति का उपयोग किया जाता है

डिग्री()।

उत्तर :- 51

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लॉग 1/7 (7 - x) = - 2

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 2 (4 - x) = 2 लॉग 2 5।

आइए दाईं ओर रूपांतरित करें। संपत्ति का उपयोग करें:

लॉग ए बी एम = एम∙ लॉग ए बी

लघुगणक 2 (4 - x) = लघुगणक 2 5 2

अगर लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

4 - एक्स = 5 2

4 - एक्स = 25

एक्स = -21

एक चेक बनाओ।

उत्तर :- 21

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 (5 - x) = 2 लघुगणक 5 3

समीकरण को हल करें लॉग 5 (x 2 + 4x) = लॉग 5 (x 2 + 11)

अगर लॉग सी ए = लॉग सी बी, तो ए = बी

x2 + 4x = x2 + 11

4x = 11

एक्स = 2.75

एक चेक बनाओ।

उत्तर: 2.75

अपने लिए तय करें:

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 5 (x 2 + x) = लघुगणक 5 (x 2 + 10)।

समीकरण को हल करें लॉग 2 (2 - x) = लॉग 2 (2 - 3x) +1।

समीकरण के दाईं ओर, आपको फॉर्म की अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

लॉग 2 (......)

आधार 2 लघुगणक के रूप में 1 का प्रतिनिधित्व करना:

1 = लॉग 2 2

लॉग सी (एबी) = लॉग सी ए + लॉग सी बी

लघुगणक 2 (2 - x) = लघुगणक 2 (2 - 3x) + लघुगणक 2 2

हम पाते हैं:

लघुगणक 2 (2 - x) = लघुगणक 2 2 (2 - 3x)

अगर लॉग सी ए = लॉग सी बी, फिर ए = बी, तो

2 - x = 4 - 6x

5x = 2

एक्स = 0.4

एक चेक बनाओ।

उत्तर: 0.4

अपने लिए तय करें: इसके बाद, आपको एक द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है। वैसे,

जड़ें 6 और -4 हैं।

जड़ "-4" कोई हल नहीं है, क्योंकि लघुगणक का आधार शून्य से बड़ा होना चाहिए, और "– 4" के बराबर है" – 5"। समाधान रूट 6 है।एक चेक बनाओ।

उत्तर : 6.

आर खुद खाओ:

समीकरण को हल करें लॉग x -5 49 = 2। यदि समीकरण में एक से अधिक मूल हैं, तो छोटे वाले का उत्तर दें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदमिक समीकरणों के साथ कोई जटिल परिवर्तन नहीं हैना। लघुगणक के गुणों को जानना और उन्हें लागू करने में सक्षम होना ही पर्याप्त है। परिवर्तन से संबंधित USE के कार्यों में लघुगणक व्यंजक, अधिक गंभीर परिवर्तन किए जाते हैं और समाधान में गहन कौशल की आवश्यकता होती है। हम ऐसे उदाहरणों पर विचार करेंगे, इसे याद मत करो!मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!!!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुत्सिख।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।