के संबंध

दिए गए अन्य दो में से तीन संख्याओं में से किसी एक को खोजने का कार्य निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया है और फिर घातांक द्वारा N पाया जाता है। यदि N दिया जाता है और फिर घात x (या घातांक) का मूल निकालकर a पाया जाता है। अब उस स्थिति पर विचार करें, जब a और N दिए जाने पर x ज्ञात करना आवश्यक हो।

मान लीजिए कि संख्या N धनात्मक है: संख्या a धनात्मक है और एक के बराबर नहीं है: ।

परिभाषा। संख्या N से आधार a का लघुगणक वह घातांक है जिससे आपको संख्या N प्राप्त करने के लिए a को ऊपर उठाने की आवश्यकता होती है; लघुगणक द्वारा निरूपित किया जाता है

इस प्रकार, समानता (26.1) में, घातांक N के आधार a के लघुगणक के रूप में पाया जाता है। प्रविष्टियां

एक ही अर्थ रखते हैं। समानता (26.1) को कभी-कभी लघुगणक के सिद्धांत की मूल पहचान कहा जाता है; वास्तव में, यह लघुगणक की अवधारणा की परिभाषा को व्यक्त करता है। द्वारा यह परिभाषालघुगणक का आधार हमेशा सकारात्मक होता है और एकता से अलग होता है; लघुगणकीय संख्या N धनात्मक है। ऋणात्मक संख्याओं और शून्य में लघुगणक नहीं होते हैं। यह सिद्ध किया जा सकता है कि दिए गए आधार वाली किसी भी संख्या का एक सुपरिभाषित लघुगणक होता है। इसलिए समानता जरूरी है। ध्यान दें कि यहां शर्त आवश्यक है, अन्यथा निष्कर्ष उचित नहीं होगा, क्योंकि समानता x और y के किसी भी मान के लिए सत्य है।

उदाहरण 1. खोजें

समाधान। संख्या प्राप्त करने के लिए, आपको आधार 2 को शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है।

आप ऐसे उदाहरणों को निम्नलिखित रूप में हल करते समय रिकॉर्ड कर सकते हैं:

उदाहरण 2. खोजें।

समाधान। हमारे पास है

उदाहरण 1 और 2 में, हमने तर्कसंगत घातांक के साथ आधार की डिग्री के रूप में लघुगणकीय संख्या का प्रतिनिधित्व करके वांछित लघुगणक को आसानी से पाया। सामान्य स्थिति में, उदाहरण के लिए, आदि के लिए, ऐसा नहीं किया जा सकता, क्योंकि लघुगणक का एक अपरिमेय मान होता है। आइए इस कथन से संबंधित एक प्रश्न पर ध्यान दें। 12 में हमने किसी दी गई धनात्मक संख्या की वास्तविक घात ज्ञात करने की संभावना की अवधारणा दी है। लॉगरिदम की शुरूआत के लिए यह आवश्यक था, जो सामान्य रूप से, अपरिमेय संख्याएं हो सकती हैं।

लघुगणक के कुछ गुणों पर विचार करें।

संपत्ति 1. यदि संख्या और आधार समान हैं, तो लघुगणक एक के बराबर है, और, इसके विपरीत, यदि लघुगणक एक के बराबर है, तो संख्या और आधार समान हैं।

सबूत। चलो लघुगणक की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है और कहां से

इसके विपरीत, फिर परिभाषा के अनुसार

गुण 2. किसी भी आधार से एकता का लघुगणक शून्य के बराबर होता है।

सबूत। लघुगणक की परिभाषा के अनुसार (किसी भी धनात्मक आधार की शून्य घात एक के बराबर होती है, देखें (10.1))। यहाँ से

क्यू.ई.डी.

विलोम कथन भी सत्य है: यदि , तो N = 1. वास्तव में, हमारे पास .

लघुगणक के निम्नलिखित गुण बताने से पहले, हम यह कहने के लिए सहमत हैं कि दो संख्याएँ a और b तीसरी संख्या c के एक ही तरफ स्थित हैं यदि वे दोनों या तो c से बड़ी हैं या c से कम हैं। यदि इनमें से एक संख्या c से बड़ी है, और दूसरी c से छोटी है, तो हम कहेंगे कि वे साथ में स्थित हैं विभिन्न पक्षएस से

संपत्ति 3. यदि संख्या और आधार एकता के एक ही तरफ हैं, तो लघुगणक धनात्मक है; यदि संख्या और आधार एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं, तो लघुगणक ऋणात्मक होता है।

गुण 3 का प्रमाण इस तथ्य पर आधारित है कि यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक धनात्मक है या आधार है तो a की घात एक से अधिक है एक से कमऔर स्कोर नकारात्मक है। यदि आधार एक से बड़ा है और घातांक ऋणात्मक है, या आधार एक से कम है और घातांक धनात्मक है तो अंश एक से कम है।

विचार करने के लिए चार मामले हैं:

हम उनमें से पहले के विश्लेषण के लिए खुद को सीमित रखते हैं, पाठक बाकी पर विचार करेगा।

मान लीजिए कि समानता में घातांक न तो ऋणात्मक है और न ही शून्य के बराबर है, इसलिए, यह सकारात्मक है, अर्थात, जिसे सिद्ध करना आवश्यक था।

उदाहरण 3. ज्ञात कीजिए कि निम्नलिखित में से कौन-से लघुगणक धनात्मक हैं और कौन-से ऋणात्मक हैं:

हल, क) क्योंकि संख्या 15 और आधार 12 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं;

बी) , चूंकि 1000 और 2 इकाई के एक ही तरफ स्थित हैं; साथ ही, यह आवश्यक नहीं है कि आधार लघुगणक संख्या से बड़ा हो;

सी), चूंकि 3.1 और 0.8 एकता के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं;

जी) ; क्यों?

इ) ; क्यों?

निम्नलिखित गुण 4-6 को अक्सर लघुगणक के नियम कहा जाता है: वे अनुमति देते हैं, कुछ संख्याओं के लघुगणक को जानने के लिए, उनके उत्पाद के लघुगणक, भागफल, उनमें से प्रत्येक की डिग्री का पता लगाने के लिए।

गुण 4 (उत्पाद के लघुगणक के लिए नियम)। किसी दिए गए आधार में कई धनात्मक संख्याओं के गुणनफल का लघुगणक एक ही आधार में इन संख्याओं के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

सबूत। धनात्मक अंक दिए जाने दें।

उनके उत्पाद के लघुगणक के लिए, हम लघुगणक को परिभाषित करते हुए समानता (26.1) लिखते हैं:

यहाँ से हम पाते हैं

प्रथम और अंतिम व्यंजकों के घातांकों की तुलना करने पर हमें अपेक्षित समानता प्राप्त होती है:

ध्यान दें कि शर्त आवश्यक है; दो के गुणनफल का लघुगणक ऋणात्मक संख्यासमझ में आता है, लेकिन इस मामले में हमें मिलता है

सामान्य तौर पर, यदि कई कारकों का गुणनफल सकारात्मक होता है, तो इसका लघुगणक इन कारकों के मॉड्यूल के लघुगणक के योग के बराबर होता है।

गुण 5 (भागफल लघुगणक नियम)। धनात्मक संख्याओं के भागफल का लघुगणक समान आधार में लिए गए लाभांश और भाजक के लघुगणक के बीच के अंतर के बराबर होता है। सबूत। लगातार खोजें

क्यू.ई.डी.

संपत्ति 6 ​​(डिग्री के लघुगणक का नियम)। किसी भी धनात्मक संख्या की घात का लघुगणक उस संख्या के घातांक के गुणा के लघुगणक के बराबर होता है।

सबूत। हम संख्या के लिए फिर से मुख्य पहचान (26.1) लिखते हैं:

क्यू.ई.डी.

परिणाम। एक धनात्मक संख्या के मूल का लघुगणक मूल संख्या के लघुगणक के बराबर होता है जो मूल के घातांक से विभाजित होता है:

हम गुण 6 को कैसे और किस प्रकार उपयोग करके प्रस्तुत करते हैं, हम इस उपफल की वैधता को सिद्ध कर सकते हैं।

उदाहरण 4. आधार का लघुगणक a:

ए) (यह माना जाता है कि सभी मान बी, सी, डी, ई सकारात्मक हैं);

बी) (ऐसा माना जाता है)।

हल, क) इस व्यंजक में भिन्नात्मक घातों को पारित करना सुविधाजनक है:

समानता के आधार पर (26.5)-(26.7) अब हम लिख सकते हैं:

हम देखते हैं कि संख्याओं के लघुगणक पर स्वयं संख्याओं की तुलना में सरल संचालन किया जाता है: संख्याओं को गुणा करते समय, उनके लघुगणक जोड़े जाते हैं, विभाजित होने पर उन्हें घटाया जाता है, आदि।

इसीलिए अभिकलनात्मक अभ्यास में लघुगणक का उपयोग किया गया है (देखें भाग 29)।

लघुगणक के विपरीत क्रिया को पोटेंशिएशन कहा जाता है, अर्थात्: पोटेंशिएशन वह क्रिया है जिसके द्वारा यह संख्या स्वयं किसी संख्या के दिए गए लघुगणक द्वारा पाई जाती है। संक्षेप में, पोटेंशिएशन कोई विशेष क्रिया नहीं है: यह आधार को एक शक्ति (संख्या के लघुगणक के बराबर) तक बढ़ाने के लिए नीचे आता है। शब्द "पोटेंशिएशन" को "एक्सपोनेंटिएशन" शब्द का पर्याय माना जा सकता है।

पोटेंशियेटिंग करते समय, उन नियमों का उपयोग करना आवश्यक है जो लघुगणक के नियमों के विपरीत हैं: लघुगणक के योग को उत्पाद के लघुगणक से बदलें, भागफल के लघुगणक के साथ लघुगणक का अंतर, आदि। विशेष रूप से, यदि वहाँ है लॉगरिदम के संकेत के सामने कोई भी कारक, फिर पोटेंशिएशन के दौरान इसे लघुगणक के संकेत के तहत संकेतक डिग्री में स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

उदाहरण 5. यदि ज्ञात हो कि N ज्ञात कीजिए

समाधान। अभी बताए गए पोटेंशिएशन नियम के संबंध में, कारक 2/3 और 1/3, जो इस समानता के दाईं ओर लघुगणक के संकेतों के सामने हैं, इन लघुगणक के संकेतों के तहत घातांक को स्थानांतरित कर दिए जाएंगे; हम पाते हैं

अब हम लघुगणक के अंतर को भागफल के लघुगणक से बदलते हैं:

समानता की इस श्रृंखला में अंतिम अंश प्राप्त करने के लिए, हमने पिछले अंश को हर में अपरिमेयता से मुक्त किया (धारा 25)।

संपत्ति 7. यदि आधार एक से बड़ा है, तो बड़ी संख्या में एक बड़ा लघुगणक होता है (और छोटे वाले का एक छोटा होता है), यदि आधार एक से कम होता है, तो बड़ी संख्या में एक छोटा लघुगणक होता है (और छोटा होता है) एक के पास एक बड़ा है)।

यह गुण असमानताओं के लघुगणक के लिए एक नियम के रूप में भी तैयार किया गया है, जिसके दोनों भाग धनात्मक हैं:

असमानताओं के लघुगणक को एक से अधिक आधार पर ले जाने पर, असमानता का चिन्ह संरक्षित रहता है, और जब एक लघुगणक को एक से कम के आधार पर ले जाया जाता है, तो असमानता का चिन्ह उलट जाता है (आइटम 80 भी देखें)।

सबूत गुण 5 और 3 पर आधारित है। उस स्थिति पर विचार करें जब यदि, तो और, लघुगणक लेते हुए, हम प्राप्त करते हैं

(ए और एन/एम एकता के एक ही तरफ स्थित हैं)। यहाँ से

केस ए इस प्रकार है, पाठक इसे अपने लिए समझ लेगा।

एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास मत करो? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें लघुगणक क्या है?.

2. पूरी कक्षा को हल करना सीखें घातीय समीकरण. भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका को जानना होगा, और किसी संख्या को घात में कैसे बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... ठीक है, समय रखो! जाओ!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

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वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

जैसा कि आप जानते हैं, जब व्यंजकों को घातों से गुणा किया जाता है, तो उनके घातांक हमेशा जोड़ते हैं (a b * a c = a b + c)। यह गणितीय नियम आर्किमिडीज द्वारा प्राप्त किया गया था, और बाद में, 8 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ विरासेन ने पूर्णांक संकेतकों की एक तालिका बनाई। यह वे थे जिन्होंने लघुगणक की आगे की खोज के लिए कार्य किया। इस फ़ंक्शन का उपयोग करने के उदाहरण लगभग हर जगह पाए जा सकते हैं जहां सरल जोड़ के लिए बोझिल गुणा को सरल बनाने की आवश्यकता होती है। यदि आप इस लेख को पढ़ने में 10 मिनट का समय लगाते हैं, तो हम आपको समझाएंगे कि लघुगणक क्या हैं और उनके साथ कैसे कार्य करें। सरल और सुलभ भाषा।

गणित में परिभाषा

लॉगरिदम निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति है: लॉग ए बी = सी, यानी, किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का लघुगणक (यानी कोई भी सकारात्मक) "बी" इसके आधार "ए" द्वारा "सी" की शक्ति माना जाता है। , जिससे आधार "ए" उठाया जाना चाहिए, ताकि अंत में "बी" मान प्राप्त हो। आइए उदाहरणों का उपयोग करते हुए लघुगणक का विश्लेषण करें, मान लें कि एक व्यंजक है लॉग 2 8. उत्तर कैसे खोजें? यह बहुत आसान है, आपको इतनी डिग्री ढूंढनी होगी कि 2 से आवश्यक डिग्री तक आपको 8 मिले। अपने दिमाग में कुछ गणना करने के बाद, हमें नंबर 3 मिलता है! और ठीक ही है, क्योंकि 2 का घात 3 उत्तर में 8 अंक देता है।

लघुगणक की किस्में

कई विद्यार्थियों और छात्रों के लिए, यह विषय जटिल और समझ से बाहर लगता है, लेकिन वास्तव में, लघुगणक इतने डरावने नहीं हैं, मुख्य बात यह है कि उनके सामान्य अर्थ को समझना और उनके गुणों और कुछ नियमों को याद रखना। वहाँ तीन हैं ख़ास तरह केलघुगणक अभिव्यक्तियाँ:

1. प्राकृतिक लघुगणक ln a, जहां आधार यूलर संख्या (e = 2.7) है।
2. दशमलव a, जहां आधार 10 है।
3. आधार a>1 से किसी भी संख्या b का लघुगणक।

उनमें से प्रत्येक तय है एक मानक तरीके से, जिसमें लॉगरिदमिक प्रमेयों का उपयोग करते हुए सरलीकरण, कमी और बाद में एक लघुगणक में कमी शामिल है। लघुगणक के सही मान प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को उनके गुणों और उनके निर्णयों में क्रियाओं के क्रम को याद रखना चाहिए।

नियम और कुछ प्रतिबंध

गणित में, कई नियम-सीमाएँ हैं जिन्हें एक स्वयंसिद्ध के रूप में स्वीकार किया जाता है, अर्थात वे चर्चा के अधीन नहीं हैं और सत्य हैं। उदाहरण के लिए, संख्याओं को शून्य से विभाजित करना असंभव है, और ऋणात्मक संख्याओं से सम अंश का मूल निकालना भी असंभव है। लॉगरिदम के भी अपने नियम होते हैं, जिनका पालन करके आप आसानी से सीख सकते हैं कि लंबी और विशाल लॉगरिदमिक अभिव्यक्तियों के साथ भी कैसे काम किया जाए:

• आधार "ए" हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए, और साथ ही 1 के बराबर नहीं होना चाहिए, अन्यथा अभिव्यक्ति अपना अर्थ खो देगी, क्योंकि "1" और "0" किसी भी डिग्री तक हमेशा उनके मूल्यों के बराबर होते हैं;
• यदि a > 0, तो a b > 0, यह पता चलता है कि "c" शून्य से बड़ा होना चाहिए।

लघुगणक कैसे हल करें?

उदाहरण के लिए, समीकरण 10 x \u003d 100 का उत्तर खोजने का कार्य दिया गया है। यह बहुत आसान है, आपको दस की संख्या बढ़ाकर ऐसी शक्ति चुनने की आवश्यकता है जिससे हमें 100 मिले। यह निश्चित रूप से 10 2 है। \u003d 100.

अब इस व्यंजक को लघुगणक के रूप में निरूपित करते हैं। हमें लॉग 10 100 = 2 मिलता है। लॉगरिदम को हल करते समय, सभी क्रियाएं व्यावहारिक रूप से उस डिग्री को खोजने के लिए अभिसरण करती हैं जिस पर किसी दिए गए नंबर को प्राप्त करने के लिए लॉगरिदम का आधार दर्ज किया जाना चाहिए।

किसी अज्ञात डिग्री के मूल्य को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको यह सीखना होगा कि डिग्री की तालिका के साथ कैसे काम किया जाए। यह इस तरह दिख रहा है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ घातांक का सहज रूप से अनुमान लगाया जा सकता है यदि आपके पास तकनीकी मानसिकता और गुणन तालिका का ज्ञान है। हालांकि, के लिए बड़े मूल्यआपको डिग्री की एक तालिका चाहिए। इसका उपयोग उनके द्वारा भी किया जा सकता है जो जटिल गणितीय विषयों में कुछ भी नहीं समझते हैं। संख्याएँ बाएँ स्तंभ (आधार a) में दी गई हैं, संख्याओं की शीर्ष पंक्ति उस घात c का मान है जिससे संख्या a उठाई गई है। कोशिकाओं में प्रतिच्छेदन पर, संख्याओं के मान निर्धारित किए जाते हैं, जो उत्तर (a c =b) हैं। आइए, उदाहरण के लिए, संख्या 10 के साथ बहुत पहले सेल को लें और इसे वर्ग करें, हमें 100 का मान मिलता है, जो हमारे दो कोशिकाओं के चौराहे पर इंगित किया गया है। सब कुछ इतना सरल और आसान है कि सबसे वास्तविक मानवतावादी भी समझ जाएगा!

समीकरण और असमानता

यह पता चला है कि कुछ शर्तों के तहत, घातांक लघुगणक है। इसलिए, किसी भी गणितीय संख्यात्मक व्यंजक को लघुगणक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3 4 =81 को आधार 3 के 81 के लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है, जो चार है (लॉग 3 81 = 4)। नकारात्मक शक्तियों के लिए, नियम समान हैं: 2 -5 = 1/32 हम लघुगणक के रूप में लिखते हैं, हमें लॉग 2 (1/32) = -5 मिलता है। गणित के सबसे आकर्षक वर्गों में से एक "लघुगणक" का विषय है। समीकरणों के गुणों का अध्ययन करने के तुरंत बाद, हम समीकरणों के उदाहरणों और समाधानों पर थोड़ा कम विचार करेंगे। अब आइए देखें कि असमानताएँ कैसी दिखती हैं और उन्हें समीकरणों से कैसे अलग किया जाए।

निम्नलिखित रूप की अभिव्यक्ति दी गई है: लॉग 2 (x-1)> 3 - यह एक लॉगरिदमिक असमानता है, क्योंकि अज्ञात मान "x" लॉगरिदम के संकेत के तहत है। और व्यंजक में भी दो मात्राओं की तुलना की जाती है: आधार दो में वांछित संख्या का लघुगणक संख्या तीन से अधिक है।

लघुगणकीय समीकरणों और असमानताओं के बीच सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लघुगणक वाले समीकरण (उदाहरण के लिए, 2 x = 9 का लघुगणक) उत्तर में एक या अधिक विशिष्ट संख्यात्मक मान दर्शाते हैं, जबकि असमानता को हल करते समय, दोनों की सीमा स्वीकार्य मान और इस फ़ंक्शन को तोड़ने वाले बिंदु। एक परिणाम के रूप में, उत्तर व्यक्तिगत संख्याओं का एक सरल सेट नहीं है, जैसा कि समीकरण के उत्तर में है, बल्कि एक सतत श्रृंखला या संख्याओं का सेट है।

लघुगणक के बारे में मूल प्रमेय

लॉगरिदम के मूल्यों को खोजने पर आदिम कार्यों को हल करते समय, इसके गुणों का पता नहीं चल सकता है। हालांकि, जब लॉगरिदमिक समीकरणों या असमानताओं की बात आती है, तो सबसे पहले, लॉगरिदम के सभी बुनियादी गुणों को स्पष्ट रूप से समझना और व्यवहार में लागू करना आवश्यक है। हम बाद में समीकरणों के उदाहरणों से परिचित होंगे, आइए पहले प्रत्येक गुण का अधिक विस्तार से विश्लेषण करें।

1. मूल पहचान इस तरह दिखती है: a logaB =B. यह केवल तभी लागू होता है जब a 0 से बड़ा हो, एक के बराबर न हो और B शून्य से बड़ा हो।
2. उत्पाद के लघुगणक को निम्न सूत्र में दर्शाया जा सकता है: लॉग डी (एस 1 * एस 2) = लॉग डी एस 1 + लॉग डी एस 2. इस मामले में, पूर्वापेक्षा है: डी, ​​एस 1 और एस 2> 0; ए≠1. आप लघुगणक के इस सूत्र के लिए उदाहरण और समाधान के साथ एक प्रमाण दे सकते हैं। मान लीजिए a s 1 = f 1 लॉग करें और a s 2 = f 2 लॉग करें, फिर a f1 = s 1 , a f2 = s 2. हम पाते हैं कि s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (डिग्री गुण) ), और आगे परिभाषा के अनुसार: लॉग a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, जिसे सिद्ध किया जाना था।
3. भागफल का लघुगणक इस तरह दिखता है: लॉग ए (एस 1 / एस 2) = लॉग ए एस 1 - लॉग ए एस 2।
4. सूत्र के रूप में प्रमेय निम्नलिखित रूप लेता है: log a q b n = n/q log a b।

इस सूत्र को "लघुगणक की डिग्री का गुण" कहा जाता है। यह सामान्य डिग्री के गुणों जैसा दिखता है, और यह आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि सभी गणित नियमित पदों पर टिकी हुई है। आइए सबूत देखें।

लॉग a b \u003d t दें, यह a t \u003d b निकलता है। यदि आप दोनों भागों को घात m: a tn = b n तक बढ़ाते हैं;

लेकिन चूँकि a tn = (a q) nt/q = b n , इसलिए a q b n = (n*t)/t लॉग करें, फिर a q b n = n/q log a b लॉग करें। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समस्याओं और असमानताओं के उदाहरण

सबसे आम प्रकार की लघुगणक समस्याएं समीकरणों और असमानताओं के उदाहरण हैं। वे लगभग सभी समस्या पुस्तकों में पाए जाते हैं, और गणित में परीक्षा के अनिवार्य भाग में भी शामिल हैं। विश्वविद्यालय में प्रवेश या उत्तीर्ण होने के लिए प्रवेश परीक्षागणित में, आपको यह जानना होगा कि ऐसी समस्याओं को सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

दुर्भाग्य से, एक ही योजना या योजना को संबोधित करने और निर्धारित करने के लिए अज्ञात मूल्यकोई लघुगणक नहीं है, हालांकि, प्रत्येक गणितीय असमानता या लघुगणक समीकरण पर कुछ नियम लागू किए जा सकते हैं। सबसे पहले, आपको यह पता लगाना चाहिए कि व्यंजक को सरल बनाया जा सकता है या घटाकर सामान्य दृष्टि से. यदि आप उनके गुणों का सही उपयोग करते हैं, तो आप लंबे लघुगणकीय व्यंजकों को सरल बना सकते हैं। आइए जल्द ही उन्हें जान लेते हैं।

निर्णय लेते समय लघुगणक समीकरण, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि हमारे सामने किस प्रकार का लघुगणक है: एक व्यंजक के उदाहरण में एक प्राकृतिक लघुगणक या एक दशमलव हो सकता है।

यहाँ उदाहरण ln100, ln1026 हैं। उनका समाधान इस तथ्य तक उबाल जाता है कि आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि आधार 10 क्रमशः 100 और 1026 के बराबर होगा। समाधान के लिए प्राकृतिक लघुगणकलॉगरिदमिक पहचान या उनके गुणों को लागू करना चाहिए। आइए विभिन्न प्रकार की लघुगणकीय समस्याओं को हल करने के उदाहरण देखें।

लघुगणक सूत्रों का उपयोग कैसे करें: उदाहरणों और समाधानों के साथ

तो, आइए लघुगणक पर मुख्य प्रमेयों के उपयोग के उदाहरण देखें।

1. उत्पाद के लघुगणक की संपत्ति का उपयोग उन कार्यों में किया जा सकता है जहां विस्तार करना आवश्यक है बहुत महत्वसंख्या बी सरल कारकों में। उदाहरण के लिए, लॉग 2 4 + लॉग 2 128 = लॉग 2 (4*128) = लॉग 2 512। उत्तर 9 है।
2. लॉग 4 8 = लॉग 2 2 2 3 = 3/2 लॉग 2 2 = 1.5 - जैसा कि आप देख सकते हैं, लॉगरिदम की डिग्री की चौथी संपत्ति को लागू करके, हम पहली नज़र में एक जटिल और असफल अभिव्यक्ति को हल करने में कामयाब रहे। केवल आधार को गुणनखंड करना और फिर घातांक मानों को लघुगणक के चिह्न से बाहर निकालना आवश्यक है।

परीक्षा से कार्य

लॉगरिदम अक्सर प्रवेश परीक्षाओं में पाए जाते हैं, विशेष रूप से यूनिफाइड स्टेट परीक्षा (सभी स्कूल स्नातकों के लिए राज्य परीक्षा) में बहुत सारी लॉगरिदमिक समस्याएं। आमतौर पर ये कार्य न केवल भाग ए (सबसे आसान .) में मौजूद होते हैं परीक्षण भागपरीक्षा), लेकिन भाग सी (सबसे कठिन और भारी कार्य) में भी। परीक्षा का तात्पर्य "प्राकृतिक लघुगणक" विषय का सटीक और सही ज्ञान है।

उदाहरण और समस्या समाधान आधिकारिक से लिए गए हैं उपयोग विकल्प. आइए देखें कि ऐसे कार्यों को कैसे हल किया जाता है।

दिया गया लघुगणक 2 (2x-1) = 4. हल:
आइए व्यंजक को फिर से लिखें, इसे थोड़ा सा सरल करते हुए लॉग 2 (2x-1) = 2 2, लघुगणक की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं कि 2x-1 = 2 4, इसलिए 2x = 17; एक्स = 8.5।

• सभी लघुगणक को एक ही आधार पर सबसे अच्छा कम किया जाता है ताकि समाधान बोझिल और भ्रमित न हो।
• लघुगणक के चिह्न के तहत सभी भाव सकारात्मक के रूप में इंगित किए जाते हैं, इसलिए, अभिव्यक्ति के घातांक के घातांक को निकालते समय, जो लघुगणक के संकेत के तहत होता है और इसके आधार के रूप में, लघुगणक के तहत शेष अभिव्यक्ति सकारात्मक होनी चाहिए।

तो, हमारे पास दो की शक्तियां हैं। यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिसके लिए आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से चौथी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x के आधार a का लघुगणक वह शक्ति है जिस पर संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए।

नोटेशन: लॉग a x \u003d b, जहां a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लॉगरिदम के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 लॉग 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। 2 64 = 6 को भी लॉग कर सकते हैं क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार से किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहते हैं। तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, log 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क यह बताता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लॉगरिदम अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक व्यंजक है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित करते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद है: लघुगणक शक्ति है, जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की आवश्यकता है। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - चित्र में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं यह अद्भुत नियम अपने छात्रों को पहले ही पाठ में बताता हूं - और कोई भ्रम नहीं है।

हमने परिभाषा का पता लगाया - यह सीखना बाकी है कि लॉगरिदम कैसे गिनें, यानी। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य अनुसरण करते हैं:

1. तर्क और आधार हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा का अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक इकाई से किसी भी शक्ति तक अभी भी एक इकाई है। इस वजह से, "दो प्राप्त करने के लिए किसी को किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" का प्रश्न व्यर्थ है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधों को कहा जाता है मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 ।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, लघुगणक अच्छी तरह से नकारात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 \u003d -1, क्योंकि 0.5 = 2 -1।

हालाँकि, अब हम केवल संख्यात्मक व्यंजकों पर विचार कर रहे हैं, जहाँ लघुगणक के ODZ को जानना आवश्यक नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब लॉगरिदमिक समीकरण और असमानताएं चलन में आती हैं, तो डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। वास्तव में, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना पर विचार करें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b: x = a b के लिए समीकरण हल करें;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। आधार के एक से अधिक होने की आवश्यकता बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को बहुत सरल करता है। के समान दशमलव: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य में अनुवाद करते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियां होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

1. आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. उत्तर प्राप्त हुआ: 2.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 b = 3;
3. उत्तर मिला: 3.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 16 = 2 4; 1 = 20;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. प्रतिक्रिया मिली: 0.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

1. आइए आधार और तर्क को सात की घात के रूप में निरूपित करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या दूसरी संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

एक कार्य। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक शक्तियाँ हैं: 8; 48; 81; 35; चौदह ।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ स्वयं हमेशा स्वयं की सटीक शक्तियाँ होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

x तर्क का दशमलव लघुगणक आधार 10 लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे आपको संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 बढ़ाने की आवश्यकता है। पदनाम: एलजी एक्स।

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब आप पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश देखते हैं, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में यह दशमलव से भी ज्यादा महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

x का प्राकृतिक लघुगणक आधार e लघुगणक है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या ई को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

कई लोग पूछेंगे: ई नंबर और क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सटीक मान नहीं खोजा और लिखा जा सकता है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459...

हम यह नहीं समझेंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी का प्राकृतिक लघुगणक परिमेय संख्यातर्कहीन। बेशक, एकता को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सामान्य लघुगणक के लिए सत्य सभी नियम मान्य हैं।

लॉगरिदम, किसी भी संख्या की तरह, हर संभव तरीके से जोड़ा, घटाया और परिवर्तित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लॉगरिदम बिल्कुल सामान्य संख्या नहीं हैं, इसलिए यहां नियम हैं, जिन्हें कहा जाता है बुनियादी गुण.

इन नियमों को अवश्य जानना चाहिए - इनके बिना कोई भी गंभीर लघुगणकीय समस्या हल नहीं हो सकती है। इसके अलावा, उनमें से बहुत कम हैं - एक दिन में सब कुछ सीखा जा सकता है। तो चलो शुरू करते है।

लघुगणक का जोड़ और घटाव

समान आधार वाले दो लघुगणक पर विचार करें: log एक एक्सऔर लॉग एक आप. फिर उन्हें जोड़ा और घटाया जा सकता है, और:

1. लकड़ी का लट्ठा एक एक्स+लोग एक आप= लॉग एक (एक्स · आप);
2. लकड़ी का लट्ठा एक एक्स-log एक आप= लॉग एक (एक्स : आप).

तो, लघुगणक का योग उत्पाद के लघुगणक के बराबर है, और अंतर भागफल का लघुगणक है। टिप्पणी: महत्वपूर्ण क्षणयहां - एक ही आधार. यदि आधार भिन्न हैं, तो ये नियम काम नहीं करते हैं!

ये सूत्र आपको गणना करने में मदद करेंगे लघुगणकीय व्यंजकतब भी जब इसके अलग-अलग हिस्सों पर विचार नहीं किया जाता है (पाठ "एक लघुगणक क्या है" देखें)। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और देखें:

लॉग 6 4 + लॉग 6 9.

चूंकि लघुगणक के आधार समान हैं, इसलिए हम योग सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 6 4 + लॉग 6 9 = लॉग 6 (4 9) = लॉग 6 36 = 2।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 2 48 - लघुगणक 2 3।

आधार समान हैं, हम अंतर सूत्र का उपयोग करते हैं:
लॉग 2 48 - लॉग 2 3 = लॉग 2 (48: 3) = लॉग 2 16 = 4।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5.

फिर से, आधार समान हैं, इसलिए हमारे पास है:
लघुगणक 3 135 - लघुगणक 3 5 = लघुगणक 3 (135: 5) = लघुगणक 3 27 = 3.

जैसा कि आप देख सकते हैं, मूल भाव "खराब" लघुगणक से बने होते हैं, जिन्हें अलग से नहीं माना जाता है। लेकिन परिवर्तनों के बाद काफी सामान्य संख्याएँ निकलती हैं। इस तथ्य के आधार पर अनेक टेस्ट पेपर. हां, नियंत्रण - पूरी गंभीरता से समान भाव (कभी-कभी - वस्तुतः कोई बदलाव नहीं) परीक्षा में पेश किए जाते हैं।

घातांक को लघुगणक से हटाना

अब कार्य को थोड़ा जटिल करते हैं। क्या होगा यदि लघुगणक के आधार या तर्क में कोई डिग्री हो? तब इस डिग्री के घातांक को निम्न नियमों के अनुसार लघुगणक के चिह्न से निकाला जा सकता है:

यह देखना आसान है कि अंतिम नियम उनके पहले दो का अनुसरण करता है। लेकिन इसे वैसे भी याद रखना बेहतर है - कुछ मामलों में यह गणना की मात्रा को काफी कम कर देगा।

बेशक, ये सभी नियम समझ में आते हैं यदि ODZ लघुगणक मनाया जाता है: एक > 0, एक ≠ 1, एक्स> 0. और एक और बात: न केवल बाएं से दाएं, बल्कि इसके विपरीत, सभी सूत्रों को लागू करना सीखें। आप लघुगणक के चिह्न से पहले संख्याओं को लघुगणक में ही दर्ज कर सकते हैं। यह वही है जो सबसे अधिक बार आवश्यक होता है।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 7 49 6 ।

आइए पहले सूत्र के अनुसार तर्क में डिग्री से छुटकारा पाएं:
लघुगणक 7 49 6 = 6 लघुगणक 7 49 = 6 2 = 12

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि हर एक लघुगणक है जिसका आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं: 16 = 2 4; 49 = 72। हमारे पास है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मुझे लगता है कि अंतिम उदाहरण को स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। लघुगणक कहाँ चले गए हैं? अंतिम क्षण तक, हम केवल हर के साथ काम करते हैं। उन्होंने वहां खड़े लघुगणक के आधार और तर्क को डिग्री के रूप में प्रस्तुत किया और संकेतक निकाले - उन्हें "तीन मंजिला" अंश मिला।

अब आइए मुख्य अंश को देखें। अंश और हर की संख्या समान है: लॉग 2 7. चूंकि लॉग 2 7 0, हम भिन्न को कम कर सकते हैं - 2/4 हर में रहेगा। अंकगणित के नियमों के अनुसार, चार को अंश में स्थानांतरित किया जा सकता है, जो किया गया था। परिणाम उत्तर है: 2.

एक नई नींव में संक्रमण

लॉगरिदम जोड़ने और घटाने के नियमों के बारे में बोलते हुए, मैंने विशेष रूप से जोर दिया कि वे केवल एक ही आधार के साथ काम करते हैं। क्या होगा यदि आधार अलग हैं? क्या होगा यदि वे एक ही संख्या की सटीक शक्तियां नहीं हैं?

एक नए आधार पर संक्रमण के लिए सूत्र बचाव के लिए आते हैं। हम उन्हें एक प्रमेय के रूप में तैयार करते हैं:

लघुगणक को लॉग करने दें एक एक्स. फिर किसी भी संख्या के लिए सीऐसा है कि सी> 0 और सी 1, समानता सत्य है:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

विशेष रूप से, अगर हम डालते हैं सी = एक्स, हम पाते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

यह दूसरे सूत्र से इस प्रकार है कि आधार और लघुगणक के तर्क को बदलना संभव है, लेकिन इस मामले में पूरी अभिव्यक्ति "उलट" है, यानी। लघुगणक हर में है।

ये सूत्र सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तियों में बहुत कम पाए जाते हैं। यह मूल्यांकन करना संभव है कि लॉगरिदमिक समीकरणों और असमानताओं को हल करते समय ही वे कितने सुविधाजनक होते हैं।

हालाँकि, ऐसे कार्य हैं जिन्हें एक नई नींव में जाने के अलावा हल नहीं किया जा सकता है। आइए इनमें से कुछ पर विचार करें:

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: लघुगणक 5 16 लघुगणक 2 25.

ध्यान दें कि दोनों लघुगणक के तर्क सटीक घातांक हैं। आइए संकेतक निकालें: लॉग 5 16 = लॉग 5 2 4 = 4लॉग 5 2; लघुगणक 2 25 = लघुगणक 2 5 2 = 2 लघुगणक 2 5;

अब दूसरा लघुगणक पलटें:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

चूंकि उत्पाद कारकों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हमने शांति से चार और दो को गुणा किया, और फिर लघुगणक का पता लगाया।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए: log 9 100 lg 3.

पहले लघुगणक का आधार और तर्क सटीक शक्तियाँ हैं। आइए इसे लिख लें और संकेतकों से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

आइए अब एक नए आधार पर जाकर दशमलव लघुगणक से छुटकारा पाएं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

मूल लघुगणकीय पहचान

अक्सर हल करने की प्रक्रिया में किसी दिए गए आधार के लिए एक संख्या को लघुगणक के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक होता है। इस मामले में, सूत्र हमारी मदद करेंगे:

पहले मामले में, संख्या एनतर्क का प्रतिपादक बन जाता है। संख्या एनबिल्कुल कुछ भी हो सकता है, क्योंकि यह केवल लघुगणक का मान है।

दूसरा सूत्र वास्तव में एक व्याख्यात्मक परिभाषा है। इसे मूल लघुगणकीय पहचान कहते हैं।

वास्तव में, क्या होगा यदि संख्या बीसत्ता में वृद्धि ताकि बीइस हद तक एक संख्या देता है एक? यह सही है: यह वही संख्या है एक. इस पैराग्राफ को फिर से ध्यान से पढ़ें - बहुत से लोग इसे "लटका" देते हैं।

नए आधार रूपांतरण फ़ार्मुलों की तरह, मूल लघुगणकीय पहचान कभी-कभी एकमात्र संभव समाधान होता है।

एक कार्य। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

ध्यान दें कि लॉग 25 64 = लॉग 5 8 - बस वर्ग को आधार और लॉगरिदम के तर्क से निकाल दिया। समान आधार से घातों को गुणा करने के नियमों को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

[आंकड़ा अनुशीर्षक]

अगर किसी को पता नहीं है, तो परीक्षा से यह एक वास्तविक कार्य था :)

लघुगणक इकाई और लघुगणक शून्य

अंत में, मैं दो पहचान दूंगा जिन्हें गुणों को कॉल करना मुश्किल है - बल्कि, ये लॉगरिदम की परिभाषा से परिणाम हैं। वे लगातार समस्याओं में पाए जाते हैं और आश्चर्यजनक रूप से, "उन्नत" छात्रों के लिए भी समस्याएं पैदा करते हैं।

1. लकड़ी का लट्ठा एक एक= 1 लघुगणक इकाई है। एक बार और सभी के लिए याद रखें: किसी भी आधार का लघुगणक एकइस आधार से ही एक के बराबर है।
2. लकड़ी का लट्ठा एक 1 = 0 लघुगणकीय शून्य है। आधार एककुछ भी हो सकता है, लेकिन अगर तर्क एक है, तो लघुगणक शून्य है! इसलिये एक 0 = 1 परिभाषा का प्रत्यक्ष परिणाम है।

वह सब गुण है। उन्हें अभ्यास में लाने का अभ्यास करना सुनिश्चित करें! पाठ की शुरुआत में चीट शीट डाउनलोड करें, उसका प्रिंट आउट लें और समस्याओं का समाधान करें।