तो, हमारे पास दो की शक्तियां हैं। यदि आप नीचे की रेखा से संख्या लेते हैं, तो आप आसानी से उस शक्ति का पता लगा सकते हैं जिसके लिए आपको इस संख्या को प्राप्त करने के लिए दो को उठाना होगा। उदाहरण के लिए, 16 प्राप्त करने के लिए, आपको दो से चौथी शक्ति बढ़ाने की आवश्यकता है। और 64 प्राप्त करने के लिए, आपको दो को छठी शक्ति तक बढ़ाने की आवश्यकता है। इसे तालिका से देखा जा सकता है।

और अब - वास्तव में, लघुगणक की परिभाषा:

तर्क x के आधार a का लघुगणक वह शक्ति है जिस पर संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या को उठाया जाना चाहिए।

नोटेशन: लॉग a x \u003d b, जहां a आधार है, x तर्क है, b वास्तव में लॉगरिदम के बराबर है।

उदाहरण के लिए, 2 3 = 8 लॉग 2 8 = 3 (8 का आधार 2 लघुगणक तीन है क्योंकि 2 3 = 8)। 2 64 = 6 को भी लॉग कर सकते हैं क्योंकि 2 6 = 64।

किसी दिए गए आधार से किसी संख्या का लघुगणक ज्ञात करने की क्रिया को लघुगणक कहते हैं। तो चलिए अपनी तालिका में एक नई पंक्ति जोड़ते हैं:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
लॉग 2 2 = 1	लॉग 2 4 = 2	लॉग 2 8 = 3	लॉग 2 16 = 4	लॉग 2 32 = 5	लॉग 2 64 = 6

दुर्भाग्य से, सभी लघुगणक को इतनी आसानी से नहीं माना जाता है। उदाहरण के लिए, log 2 5 खोजने का प्रयास करें। संख्या 5 तालिका में नहीं है, लेकिन तर्क यह बताता है कि लघुगणक खंड पर कहीं स्थित होगा। क्योंकि 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है: दशमलव बिंदु के बाद की संख्याएँ अनिश्चित काल तक लिखी जा सकती हैं, और वे कभी भी दोहराई नहीं जाती हैं। यदि लॉगरिदम अपरिमेय हो जाता है, तो इसे इस तरह छोड़ना बेहतर है: लॉग 2 5, लॉग 3 8, लॉग 5 100।

यह समझना महत्वपूर्ण है कि लघुगणक दो चर (आधार और तर्क) के साथ एक व्यंजक है। सबसे पहले, बहुत से लोग भ्रमित करते हैं कि आधार कहाँ है और तर्क कहाँ है। कष्टप्रद गलतफहमी से बचने के लिए, बस तस्वीर पर एक नज़र डालें:

हमारे सामने लघुगणक की परिभाषा से ज्यादा कुछ नहीं है। याद है: लघुगणक शक्ति है, जिसके लिए आपको तर्क प्राप्त करने के लिए आधार बढ़ाने की आवश्यकता है। यह आधार है जिसे एक शक्ति तक बढ़ाया जाता है - चित्र में इसे लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। यह पता चला है कि आधार हमेशा सबसे नीचे होता है! मैं अपने छात्रों को यह अद्भुत नियम पहले पाठ में बताता हूं - और कोई भ्रम नहीं है।

हमने परिभाषा का पता लगा लिया - यह सीखना बाकी है कि लघुगणक कैसे गिनें, अर्थात। "लॉग" चिह्न से छुटकारा पाएं। आरंभ करने के लिए, हम ध्यान दें कि परिभाषा से दो महत्वपूर्ण तथ्य अनुसरण करते हैं:

1. तर्क और आधार हमेशा शून्य से बड़ा होना चाहिए। यह एक तर्कसंगत घातांक द्वारा डिग्री की परिभाषा का अनुसरण करता है, जिससे लघुगणक की परिभाषा कम हो जाती है।
2. आधार एकता से अलग होना चाहिए, क्योंकि एक इकाई से किसी भी शक्ति तक अभी भी एक इकाई है। इस वजह से, "दो प्राप्त करने के लिए किसी को किस शक्ति को उठाया जाना चाहिए" का प्रश्न व्यर्थ है। ऐसी कोई डिग्री नहीं है!

ऐसे प्रतिबंधों को कहा जाता है मान्य रेंज(ओडीजेड)। यह पता चला है कि लघुगणक का ODZ इस तरह दिखता है: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 ।

ध्यान दें कि संख्या b (लघुगणक का मान) पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया है। उदाहरण के लिए, लघुगणक अच्छी तरह से नकारात्मक हो सकता है: लॉग 2 0.5 \u003d -1, क्योंकि 0.5 = 2 -1।

हालाँकि, अभी के लिए हम केवल विचार कर रहे हैं संख्यात्मक भाव, जहां लघुगणक के ODZ को जानना आवश्यक नहीं है। समस्याओं के संकलनकर्ताओं द्वारा सभी प्रतिबंधों को पहले ही ध्यान में रखा जा चुका है। लेकिन जब वे जाते हैं लघुगणक समीकरणऔर असमानताएं, डीएचएस आवश्यकताएं अनिवार्य हो जाएंगी। वास्तव में, आधार और तर्क में बहुत मजबूत निर्माण हो सकते हैं जो जरूरी नहीं कि उपरोक्त प्रतिबंधों के अनुरूप हों।

अब लघुगणक की गणना के लिए सामान्य योजना पर विचार करें। इसमें तीन चरण होते हैं:

1. आधार a और तर्क x को एक घात के रूप में व्यक्त करें जिसका आधार एक से अधिक हो। साथ ही, दशमलव अंशों से छुटकारा पाना बेहतर है;
2. चर b: x = a b के लिए समीकरण हल करें;
3. परिणामी संख्या b उत्तर होगी।

बस इतना ही! यदि लघुगणक अपरिमेय निकलता है, तो यह पहले चरण में ही दिखाई देगा। आधार के एक से अधिक होने की आवश्यकता बहुत प्रासंगिक है: यह त्रुटि की संभावना को कम करता है और गणना को बहुत सरल करता है। के समान दशमलव: यदि आप उन्हें तुरंत सामान्य में अनुवाद करते हैं, तो कई गुना कम त्रुटियां होंगी।

आइए देखें कि यह योजना विशिष्ट उदाहरणों के साथ कैसे काम करती है:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 5 25

1. आइए आधार और तर्क को पांच की शक्ति के रूप में प्रस्तुत करें: 5 = 5 1 ; 25 = 52;

आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
लॉग 5 25 = बी ⇒ (5 1) बी = 5 2 ⇒ 5 बी = 5 2 ⇒ बी = 2;

2. उत्तर प्राप्त हुआ: 2.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें:

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 4 64

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 b = 3;
3. उत्तर मिला: 3.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 16 1

1. आइए आधार और तर्क को दो की घात के रूप में निरूपित करें: 16 = 2 4; 1 = 20;
2. आइए समीकरण बनाएं और हल करें:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 2 4b = 2 0 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. प्रतिक्रिया मिली: 0.

एक कार्य। लघुगणक की गणना करें: लॉग 7 14

1. आइए आधार और तर्क को सात की घात के रूप में निरूपित करें: 7 = 7 1 ; 14 को सात की शक्ति के रूप में नहीं दर्शाया गया है, क्योंकि 7 1< 14 < 7 2 ;
2. यह पिछले पैराग्राफ से इस प्रकार है कि लघुगणक पर विचार नहीं किया जाता है;
3. उत्तर कोई परिवर्तन नहीं है: लॉग 7 14.

अंतिम उदाहरण पर एक छोटा सा नोट। कैसे सुनिश्चित करें कि एक संख्या दूसरी संख्या की सटीक शक्ति नहीं है? बहुत आसान - बस इसे प्रमुख कारकों में विघटित करें। यदि विस्तार में कम से कम दो अलग-अलग कारक हैं, तो संख्या एक सटीक शक्ति नहीं है।

एक कार्य। पता लगाएँ कि क्या संख्या की सटीक शक्तियाँ हैं: 8; 48; 81; 35; चौदह ।

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - सटीक डिग्री, क्योंकि केवल एक गुणक है;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 एक सटीक शक्ति नहीं है क्योंकि दो कारक हैं: 3 और 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - सटीक डिग्री;
35 = 7 5 - फिर से एक सटीक डिग्री नहीं;
14 \u003d 7 2 - फिर से सटीक डिग्री नहीं;

यह भी ध्यान दें कि अभाज्य संख्याएँ स्वयं हमेशा स्वयं की सटीक शक्तियाँ होती हैं।

दशमलव लघुगणक

कुछ लघुगणक इतने सामान्य होते हैं कि उनका एक विशेष नाम और पदनाम होता है।

x तर्क का दशमलव लघुगणक आधार 10 लघुगणक है, अर्थात। वह शक्ति जिससे आपको संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या 10 बढ़ाने की आवश्यकता है। पदनाम: एलजी एक्स।

उदाहरण के लिए, लॉग 10 = 1; लॉग 100 = 2; एलजी 1000 = 3 - आदि।

अब से, जब पाठ्यपुस्तक में "फाइंड एलजी 0.01" जैसा वाक्यांश दिखाई दे, तो जान लें कि यह टाइपो नहीं है। यह दशमलव लघुगणक है। हालाँकि, यदि आप इस तरह के पदनाम के अभ्यस्त नहीं हैं, तो आप इसे हमेशा फिर से लिख सकते हैं:
लॉग एक्स = लॉग 10 एक्स

साधारण लघुगणक के लिए जो कुछ भी सत्य है वह दशमलव के लिए भी सत्य है।

प्राकृतिक

एक और लघुगणक है जिसका अपना अंकन है। एक मायने में यह दशमलव से भी ज्यादा महत्वपूर्ण है। यह प्राकृतिक लघुगणक है।

प्राकृतिक x तर्क का लॉग आधार e है, अर्थात। संख्या x प्राप्त करने के लिए संख्या ई को जिस शक्ति तक बढ़ाया जाना चाहिए। पदनाम: एलएन एक्स।

कई लोग पूछेंगे: ई नंबर और क्या है? यह एक अपरिमेय संख्या है, इसका सटीक मान नहीं खोजा और लिखा जा सकता है। यहाँ केवल पहली संख्याएँ हैं:
ई = 2.718281828459...

हम यह नहीं समझेंगे कि यह संख्या क्या है और इसकी आवश्यकता क्यों है। बस याद रखें कि ई प्राकृतिक लघुगणक का आधार है:
एलएन एक्स = लॉग ई एक्स

इस प्रकार एलएन ई = 1; लॉग ई 2 = 2; एलएन ई 16 = 16 - आदि। दूसरी ओर, ln 2 एक अपरिमेय संख्या है। सामान्य तौर पर, किसी का प्राकृतिक लघुगणक परिमेय संख्यातर्कहीन। बेशक, एकता को छोड़कर: एलएन 1 = 0।

प्राकृतिक लघुगणक के लिए, सामान्य लघुगणक के लिए सत्य सभी नियम मान्य हैं।

प्राकृतिक

प्राकृतिक लघुगणक फलन का ग्राफ। फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है: एक्सऔर तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है जब एक्सकिसी की तुलना में 0 ("धीमा" और "तेज" हो जाता है ऊर्जा समीकरणसे एक्स).

प्राकृतिकआधार लघुगणक है , कहाँ पे इएक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 2.718281 828 के बराबर है। प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर ln के रूप में दर्शाया जाता है ( एक्स), लकड़ी का लट्ठा इ (एक्स) या कभी-कभी बस लॉग ( एक्स) यदि आधार इनिहित।

किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्स(के रूप में लिखा लॉग (एक्स)) वह घातांक है जिस पर आप संख्या बढ़ाना चाहते हैं इ, प्राप्त होना एक्स. उदाहरण के लिए, एलएन(7,389...) 2 के बराबर है क्योंकि इ 2 =7,389... . स्वयं संख्या का प्राकृतिक लघुगणक इ (एलएन (ई)) 1 के बराबर है क्योंकि इ 1 = इ, और प्राकृतिक लघुगणक 1 ( लॉग(1)) 0 है क्योंकि इ 0 = 1.

प्राकृतिक लघुगणक को किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में आप = 1/एक्स 1 से . तक एक. इस परिभाषा की सादगी, जो प्राकृतिक लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य फ़ार्मुलों के अनुरूप है, ने "प्राकृतिक" नाम को जन्म दिया है। इस परिभाषा को सम्मिश्र संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है, जिसकी चर्चा नीचे की जाएगी।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर के वास्तविक फलन के रूप में मानते हैं, तो यह घातांकीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

सभी लॉगरिदम की तरह, प्राकृतिक लॉगरिदम गुणा को जोड़ने के लिए मानचित्र करता है:

इस प्रकार, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं के समूह द्वारा गुणा के संबंध में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के समूह का एक समरूपता है, जिसे एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है:

लघुगणक को 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक आधार के लिए परिभाषित किया जा सकता है, न कि केवल इ, लेकिन अन्य आधारों के लिए लघुगणक केवल एक स्थिर कारक द्वारा प्राकृतिक लघुगणक से भिन्न होते हैं, और आमतौर पर प्राकृतिक लघुगणक के संदर्भ में परिभाषित किए जाते हैं। लॉगरिदम उन समीकरणों को हल करने के लिए उपयोगी होते हैं जिनमें अज्ञात एक घातांक के रूप में मौजूद होते हैं। उदाहरण के लिए, लघुगणक का उपयोग ज्ञात अर्ध-आयु के लिए क्षय स्थिरांक ज्ञात करने के लिए या रेडियोधर्मिता की समस्याओं को हल करने में क्षय समय ज्ञात करने के लिए किया जाता है। वे गणित और अनुप्रयुक्त विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, वित्त के क्षेत्र में चक्रवृद्धि ब्याज खोजने सहित कई समस्याओं को हल करने के लिए उपयोग किया जाता है।

कहानी

प्राकृतिक लघुगणक का पहला उल्लेख निकोलस मर्केटर ने अपने काम में किया था लॉगरिदमोटेक्निया, 1668 में प्रकाशित हुआ, हालांकि गणित के शिक्षक जॉन स्पाईडेल ने 1619 में प्राकृतिक लघुगणक की एक तालिका तैयार की। पहले, इसे अतिपरवलयिक लघुगणक कहा जाता था क्योंकि यह अतिपरवलय के अंतर्गत क्षेत्र से मेल खाती है। इसे कभी-कभी नेपियर लघुगणक कहा जाता है, हालांकि इस शब्द का मूल अर्थ कुछ अलग था।

संकेतन सम्मेलन

प्राकृतिक लघुगणक को आमतौर पर "ln( एक्स)", आधार 10 लघुगणक के माध्यम से "lg( एक्स)", और यह अन्य आधारों को स्पष्ट रूप से "लॉग" प्रतीक के साथ इंगित करने के लिए प्रथागत है।

असतत गणित, साइबरनेटिक्स, कंप्यूटर विज्ञान पर कई पत्रों में, लेखक "लॉग" संकेतन का उपयोग करते हैं। एक्स)" आधार 2 के लघुगणक के लिए, लेकिन इस सम्मेलन को सार्वभौमिक रूप से स्वीकार नहीं किया गया है और स्पष्टीकरण की आवश्यकता है, या तो इस्तेमाल किए गए नोटेशन की सूची में या (यदि ऐसी कोई सूची मौजूद नहीं है) एक फुटनोट या पहले उपयोग पर टिप्पणी द्वारा।

लघुगणक के तर्क के आसपास के कोष्ठक (यदि इससे सूत्र का गलत पठन नहीं होता है) आमतौर पर छोड़े जाते हैं, और जब लघुगणक को एक शक्ति में बढ़ाते हैं, तो घातांक को सीधे लघुगणक के संकेत के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है: ln 2 ln 3 4 एक्स 5 = [ एलएन ( 3 )] 2 .

एंग्लो-अमेरिकन प्रणाली

गणितज्ञ, सांख्यिकीविद और कुछ इंजीनियर आमतौर पर या तो "लॉग ( एक्स)", या "एलएन ( एक्स)" , और लघुगणक को आधार 10 - "लॉग 10 ( एक्स)».

कुछ इंजीनियर, जीवविज्ञानी और अन्य पेशेवर हमेशा "ln( एक्स)" (या कभी-कभी "लॉग ई ( एक्स)") जब उनका मतलब प्राकृतिक लघुगणक, और संकेतन "लॉग ( एक्स)" का अर्थ है लॉग 10 ( एक्स).

लकड़ी का लट्ठा इ"प्राकृतिक" लघुगणक है क्योंकि यह स्वचालित रूप से होता है और गणित में बहुत बार प्रकट होता है। उदाहरण के लिए, लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की समस्या पर विचार करें:

यदि आधार बीबराबरी इ, तो व्युत्पन्न केवल 1/ एक्स, और जब एक्स= 1 यह व्युत्पन्न 1 के बराबर है। एक अन्य औचित्य जिसके लिए आधार इलघुगणक सबसे स्वाभाविक है, यह है कि इसे एक साधारण अभिन्न या टेलर श्रृंखला के संदर्भ में काफी सरलता से परिभाषित किया जा सकता है, जिसे अन्य लघुगणक के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

स्वाभाविकता के और प्रमाण संख्या से जुड़े नहीं हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, प्राकृतिक लघुगणक के साथ कई सरल श्रृंखलाएँ हैं। पिएत्रो मेंगोली और निकोलस मर्केटर ने उन्हें बुलाया लॉगरिदमस नेचुरलिसकई दशकों तक जब तक न्यूटन और लाइबनिज ने अंतर और अभिन्न कलन विकसित नहीं किया।

परिभाषा

औपचारिक रूप से ln( एक) को ग्राफ 1/ के वक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है एक्स 1 से . तक एक, यानी एक अभिन्न के रूप में:

यह वास्तव में एक लघुगणक है क्योंकि यह लघुगणक की मूलभूत संपत्ति को संतुष्ट करता है:

इसे निम्नलिखित मानकर प्रदर्शित किया जा सकता है:

अंकीय मूल्य

किसी संख्या के प्राकृतिक लघुगणक के संख्यात्मक मान की गणना करने के लिए, आप टेलर श्रृंखला में इसके विस्तार का उपयोग इस रूप में कर सकते हैं:

अभिसरण की सर्वोत्तम दर प्राप्त करने के लिए, आप निम्नलिखित पहचान का उपयोग कर सकते हैं:

उसे उपलब्ध कराया आप = (एक्स−1)/(एक्स+1) और एक्स > 0.

एलएन के लिए ( एक्स), कहाँ पे एक्स> 1, मूल्य जितना करीब होगा एक्स 1 करने के लिए, तेज गतिअभिसरण। लघुगणक से जुड़ी पहचान का उपयोग लक्ष्य प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:

कैलकुलेटर के आगमन से पहले भी इन विधियों का उपयोग किया जाता था, जिसके लिए संख्यात्मक तालिकाओं का उपयोग किया जाता था और ऊपर वर्णित लोगों के समान जोड़तोड़ किए जाते थे।

उच्च सटीकता

सटीक के कई अंकों के साथ प्राकृतिक लघुगणक की गणना के लिए, टेलर श्रृंखला कुशल नहीं है क्योंकि इसका अभिसरण धीमा है। एक विकल्प यह है कि न्यूटन की विधि का उपयोग एक घातीय फ़ंक्शन में उलटा करने के लिए किया जाए, जिसकी श्रृंखला तेजी से परिवर्तित होती है।

बहुत अधिक गणना सटीकता के लिए एक विकल्प सूत्र है:

कहाँ पे एम 1 और 4/s के अंकगणितीय-ज्यामितीय माध्य को दर्शाता है, और

एमचुना ताकि पीसटीकता के निशान प्राप्त होते हैं। (ज्यादातर मामलों में, m के लिए 8 का मान पर्याप्त होता है।) वास्तव में, यदि इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, तो न्यूटन के प्राकृतिक लघुगणक के व्युत्क्रम को घातीय फ़ंक्शन की कुशलता से गणना करने के लिए लागू किया जा सकता है। (स्थिरांक ln 2 और pi किसी भी ज्ञात तेजी से अभिसरण श्रृंखला का उपयोग करके वांछित सटीकता के लिए पूर्व-गणना की जा सकती है।)

अभिकलनात्मक जटिलता

प्राकृतिक लघुगणक की कम्प्यूटेशनल जटिलता (अंकगणित-ज्यामितीय माध्य का उपयोग करके) O है ( एम(एन)एलएन एन) यहां एनसटीकता के अंकों की संख्या है जिसके लिए प्राकृतिक लघुगणक का मूल्यांकन किया जाना है, और एम(एन) दो गुणा करने की कम्प्यूटेशनल जटिलता है एन-अंकीय संख्याएँ।

निरंतर भिन्न

यद्यपि लघुगणक का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई सरल निरंतर अंश नहीं हैं, कई सामान्यीकृत निरंतर अंशों का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें शामिल हैं:

जटिल लघुगणक

घातीय फ़ंक्शन को एक ऐसे फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है जो फॉर्म की एक जटिल संख्या देता है इ एक्सकिसी भी मनमाना सम्मिश्र संख्या के लिए एक्स, एक जटिल के साथ एक अनंत श्रृंखला का उपयोग करते समय एक्स. इस घातीय फ़ंक्शन को एक जटिल लॉगरिदम बनाने के लिए उलटा किया जा सकता है जिसमें सामान्य लॉगरिदम के अधिकांश गुण होंगे। हालाँकि, दो कठिनाइयाँ हैं: कोई नहीं है एक्स, जिसके लिए इ एक्स= 0, और यह पता चला है कि इ 2अनुकरणीय = 1 = इ 0. चूंकि गुणक गुण एक जटिल घातांक फलन के लिए मान्य है, तो इ जेड = इ जेड+2एनपीआईसभी परिसर के लिए जेडऔर संपूर्ण एन.

लघुगणक को पूरे जटिल तल पर परिभाषित नहीं किया जा सकता है, और फिर भी यह बहुमूल्यवान है - किसी भी जटिल लघुगणक को 2 के किसी भी पूर्णांक गुणज को जोड़कर "समतुल्य" लघुगणक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है अनुकरणीय. जटिल लघुगणक केवल जटिल तल के एक टुकड़े पर एकल-मूल्यवान हो सकता है। उदाहरण के लिए ln मैं = 1/2 अनुकरणीयया 5/2 अनुकरणीयया -3/2 अनुकरणीय, आदि, और यद्यपि मैं 4 = 1.4लोग मैं 2 . के रूप में परिभाषित किया जा सकता है अनुकरणीय, या 10 अनुकरणीयया -6 अनुकरणीय, और इसी तरह।

यह सभी देखें

• जॉन नेपियर - लघुगणक के आविष्कारक

टिप्पणियाँ

1. भौतिक रसायन विज्ञान के लिए गणित। - 3. - अकादमिक प्रेस, 2005. - पी. 9. - आईएसबीएन 0-125-08347-5, पृष्ठ 9 का उद्धरण
2. जे जे ओ "कॉनर और ई एफ रॉबर्टसनसंख्या ई। द मैकट्यूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स आर्काइव (सितंबर 2001)। संग्रहीत
3. काजोरी फ्लोरियनगणित का इतिहास, 5वां संस्करण। - एएमएस बुकस्टोर, 1991. - पी. 152. - आईएसबीएन 0821821024
4. फ्लैशमैन, मार्टिनबहुपदों का उपयोग करके समाकलनों का अनुमान लगाना। मूल से 12 फरवरी, 2012 को संग्रहीत किया गया।

एक लघुगणक क्या है?

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

एक लघुगणक क्या है? लघुगणक कैसे हल करें? ये प्रश्न कई स्नातकों को भ्रमित करते हैं। परंपरागत रूप से, लघुगणक का विषय जटिल, समझ से बाहर और डरावना माना जाता है। विशेष रूप से - लघुगणक के साथ समीकरण।

यह बिल्कुल सच नहीं है। बिल्कुल! विश्वास मत करो? अच्छा। अब, कुछ 10 - 20 मिनट के लिए आप:

1. समझें लघुगणक क्या है?.

2. पूरी कक्षा को हल करना सीखें घातीय समीकरण. भले ही आपने उनके बारे में नहीं सुना हो।

3. सरल लघुगणक की गणना करना सीखें।

इसके अलावा, इसके लिए आपको केवल गुणन तालिका को जानना होगा, और किसी संख्या को घात में कैसे बढ़ाया जाता है ...

मुझे लगता है कि आपको संदेह है ... ठीक है, समय रखो! जाओ!

सबसे पहले, निम्नलिखित समीकरण को अपने दिमाग में हल करें:

अगर आपको यह साइट पसंद है...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

आप कार्यों और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

यह, उदाहरण के लिए, विंडोज ऑपरेटिंग सिस्टम के कार्यक्रमों के मूल सेट से एक कैलकुलेटर हो सकता है। इसे लॉन्च करने का लिंक ओएस के मुख्य मेनू में काफी छिपा हुआ है - इसे "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करके खोलें, फिर इसके "प्रोग्राम्स" सेक्शन को खोलें, "एक्सेसरीज" सब-सेक्शन पर जाएं, और फिर "यूटिलिटीज" पर जाएं। अनुभाग और, अंत में, "कैलकुलेटर" आइटम पर क्लिक करें। आप माउस और मेनू नेविगेशन के बजाय कीबोर्ड और प्रोग्राम लॉन्च डायलॉग का उपयोग कर सकते हैं - विन + आर कुंजी संयोजन दबाएं, कैल्क टाइप करें (यह कैलकुलेटर निष्पादन योग्य फ़ाइल का नाम है) और एंटर कुंजी दबाएं।

कैलकुलेटर के इंटरफ़ेस को उन्नत मोड पर स्विच करें, जिससे आप . डिफ़ॉल्ट रूप से, यह "सामान्य" रूप में खुलता है, और आपको "इंजीनियरिंग" या "" (आपके द्वारा उपयोग किए जा रहे OS के संस्करण के आधार पर) की आवश्यकता होती है। मेनू में "दृश्य" अनुभाग का विस्तार करें और उपयुक्त पंक्ति का चयन करें।

वह तर्क दर्ज करें जिसके प्राकृतिक मूल्य की गणना की जानी है। यह कीबोर्ड से और ऑन-स्क्रीन कैलकुलेटर इंटरफेस में संबंधित बटन पर क्लिक करके दोनों किया जा सकता है।

ln लेबल वाले बटन पर क्लिक करें - प्रोग्राम ई के आधार पर लघुगणक की गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

प्राकृतिक लघुगणक के मूल्य की गणना के लिए एक विकल्प के रूप में -कैलकुलेटर का उपयोग करें। उदाहरण के लिए, जो . पर स्थित है http://calc.org.ua. इसका इंटरफ़ेस अत्यंत सरल है - एक एकल इनपुट फ़ील्ड है जहाँ आपको संख्या का मान टाइप करने की आवश्यकता होती है, जिसका लघुगणक आप गणना करना चाहते हैं। बटनों के बीच, ln कहने वाले को ढूंढें और क्लिक करें। इस कैलकुलेटर की स्क्रिप्ट को सर्वर पर डेटा भेजने और प्रतिक्रिया की आवश्यकता नहीं है, इसलिए आपको गणना का परिणाम लगभग तुरंत प्राप्त होगा। विचार करने की एकमात्र विशेषता भिन्नात्मक और . के बीच विभाजक है पूरा भागदर्ज की गई संख्या यहां एक बिंदु होनी चाहिए, नहीं।

शब्द " लोगारित्म" दो ग्रीक शब्दों से आया है, जिनमें से एक का अर्थ है "संख्या" और दूसरा - "रिश्ता"। वे एक चर (घातांक) की गणना के गणितीय संचालन को निरूपित करते हैं, जिसके लिए संकेत के तहत संकेतित संख्या प्राप्त करने के लिए एक स्थिर मूल्य (आधार) उठाया जाना चाहिए। लोगारित्मएक। यदि आधार गणितीय स्थिरांक के बराबर है, जिसे "ई" संख्या कहा जाता है, तो लोगारित्म"प्राकृतिक" कहा जाता है।

आपको चाहिये होगा

• इंटरनेट एक्सेस, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल या कैलकुलेटर।

अनुदेश

इंटरनेट पर प्रस्तुत कई कैलकुलेटरों का उपयोग करें - यह, शायद, प्राकृतिक गणना करने का एक आसान तरीका है। आपको उपयुक्त सेवा की तलाश नहीं करनी होगी, क्योंकि कई खोज इंजनों में स्वयं निर्मित कैलकुलेटर होते हैं जो काम करने के लिए काफी उपयुक्त होते हैं। लोगारित्मअमी उदाहरण के लिए, सबसे बड़े ऑनलाइन सर्च इंजन - गूगल के होम पेज पर जाएं। यहां मान दर्ज करने और कार्यों का चयन करने के लिए किसी बटन की आवश्यकता नहीं है, बस क्वेरी इनपुट फ़ील्ड में वांछित गणितीय क्रिया टाइप करें। आइए गणना करने के लिए कहें लोगारित्मऔर आधार "ई" में संख्या 457 एलएन 457 दर्ज करें - यह Google के लिए सर्वर को अनुरोध भेजने के लिए बटन दबाए बिना भी आठ दशमलव स्थानों (6.12468339) की सटीकता के साथ प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त होगा।

यदि आपको प्राकृतिक के मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है, तो उपयुक्त अंतर्निहित फ़ंक्शन का उपयोग करें लोगारित्मलेकिन तब होता है जब लोकप्रिय स्प्रेडशीट संपादक माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल में डेटा के साथ काम करते हैं। इस फ़ंक्शन को यहां पारंपरिक संकेतन का उपयोग करके कहा जाता है जैसे लोगारित्मऔर ऊपरी मामले में - एलएन। उस सेल का चयन करें जिसमें गणना का परिणाम प्रदर्शित किया जाना चाहिए, और एक समान चिह्न दर्ज करें - इस प्रकार मुख्य मेनू के "सभी कार्यक्रम" अनुभाग के "मानक" उपखंड वाले कक्षों में प्रविष्टियां इस तालिका में शुरू होनी चाहिए संपादक। कीबोर्ड शॉर्टकट Alt + 2 दबाकर कैलकुलेटर को अधिक कार्यात्मक मोड पर स्विच करें। फिर मान दर्ज करें, प्राकृतिक लोगारित्मजिसे आप परिकलित करना चाहते हैं, और प्रोग्राम इंटरफ़ेस में बटन पर क्लिक करें, जो प्रतीकों ln के साथ चिह्नित है। आवेदन गणना करेगा और परिणाम प्रदर्शित करेगा।

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प्राकृतिक लघुगणक फलन का ग्राफ। फ़ंक्शन धीरे-धीरे सकारात्मक अनंत तक पहुंचता है: एक्सऔर तेजी से नकारात्मक अनंत तक पहुंचता है जब एक्सके किसी भी पावर फंक्शन की तुलना में 0 ("धीरे" और "तेज" की ओर जाता है) एक्स).

प्राकृतिकआधार लघुगणक है , कहाँ पे ई (\ डिस्प्लेस्टाइल ई)एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 2.72 के बराबर है। इसे के रूप में नामित किया गया है ln x (\displaystyle \ln x), लॉग ई एक्स (\displaystyle \लॉग _(ई) एक्स)या कभी कभी बस लॉग एक्स (\displaystyle \लॉग एक्स)अगर आधार ई (\ डिस्प्लेस्टाइल ई)निहित। दूसरे शब्दों में, किसी संख्या का प्राकृतिक लघुगणक एक्सवह घातांक है जिस पर संख्या बढ़ाई जानी है इ, प्राप्त होना एक्स. इस परिभाषा को सम्मिश्र संख्याओं तक भी बढ़ाया जा सकता है।

एलएन ⁡ ई = 1 (\displaystyle \ln ई=1), इसलिये ई 1 = ई (\displaystyle ई^(1)=ई); एलएन ⁡ 1 = 0 (\displaystyle \ln 1=0), इसलिये ई 0 = 1 (\displaystyle ई^(0)=1).

किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए प्राकृतिक लघुगणक को ज्यामितीय रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है एकवक्र के नीचे के क्षेत्र के रूप में y = 1 x (\displaystyle y=(\frac (1)(x)))के बीच में [ एक ; ए] (\ डिस्प्लेस्टाइल). इस परिभाषा की सादगी, जो इस लघुगणक का उपयोग करने वाले कई अन्य फ़ार्मुलों के अनुरूप है, "प्राकृतिक" नाम की उत्पत्ति की व्याख्या करती है।

यदि हम प्राकृतिक लघुगणक को वास्तविक चर के वास्तविक फलन के रूप में मानते हैं, तो यह घातांकीय फलन का व्युत्क्रम फलन है, जो सर्वसमिकाओं की ओर ले जाता है:

ई लॉग ⁡ ए = ए (ए> 0); (\displaystyle e^(\ln a)=a\quad (a>0);) लॉग ई ए = ए (ए> 0)। (\displaystyle \ln e^(a)=a\quad (a>0).)

सभी लॉगरिदम की तरह, प्राकृतिक लॉगरिदम गुणा को जोड़ने के लिए मानचित्र करता है:

एलएन ⁡ एक्स वाई = एलएन ⁡ एक्स + एलएन ⁡ वाई। (\displaystyle \ln xy=\ln x+\ln y.)