जड़ के व्युत्पन्न के लिए सूत्र। पावर फ़ंक्शन व्युत्पन्न (शक्तियां और जड़ें)
एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति (x की शक्ति के लिए a)। x से जड़ों के व्युत्पन्न माने जाते हैं। उच्च कोटि के पावर फंक्शन के व्युत्पन्न के लिए सूत्र। डेरिवेटिव की गणना के उदाहरण।
x से a की घात का व्युत्पन्न माइनस वन की घात का x गुना है:
(1)
.
x के nवें मूल से mth घात का अवकलज है:
(2)
.
एक शक्ति समारोह के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति
केस x > 0
घातांक a के साथ चर x के घात फलन पर विचार करें:
(3)
.
यहाँ a एक मनमाना वास्तविक संख्या है। आइए पहले मामले पर विचार करें।
फ़ंक्शन (3) के व्युत्पन्न को खोजने के लिए, हम पावर फ़ंक्शन के गुणों का उपयोग करते हैं और इसे निम्न रूप में बदलते हैं:
.
अब हम लागू करके व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
यहां ।
सूत्र (1) सिद्ध होता है।
x की डिग्री n से डिग्री m . के मूल के व्युत्पन्न के लिए सूत्र की व्युत्पत्ति
अब एक फ़ंक्शन पर विचार करें जो निम्न रूप का मूल है:
(4)
.
व्युत्पन्न खोजने के लिए, हम रूट को पावर फ़ंक्शन में परिवर्तित करते हैं:
.
सूत्र (3) की तुलना में, हम देखते हैं कि
.
फिर
.
सूत्र (1) द्वारा हम व्युत्पन्न पाते हैं:
(1)
;
;
(2)
.
व्यवहार में, सूत्र (2) को याद करने की कोई आवश्यकता नहीं है। पहले रूट्स को पावर फंक्शन में बदलना और फिर फॉर्मूला (1) (पृष्ठ के अंत में उदाहरण देखें) का उपयोग करके उनके डेरिवेटिव्स को खोजना अधिक सुविधाजनक है।
केस x = 0
यदि , तो घातांकीय फलन को चर x = . के मान के लिए भी परिभाषित किया जाता है 0
. आइए x = . के लिए फलन (3) का अवकलज ज्ञात करें 0
. ऐसा करने के लिए, हम व्युत्पन्न की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
.
स्थानापन्न x = 0
:
.
इस मामले में, व्युत्पन्न से हमारा तात्पर्य दाहिने हाथ की सीमा से है जिसके लिए .
तो हमने पाया:
.
इससे यह देखा जा सकता है कि पर.
पर , ।
पर , ।
यह परिणाम सूत्र (1) द्वारा भी प्राप्त किया जाता है:
(1)
.
इसलिए, x = . के लिए सूत्र (1) भी मान्य है 0
.
केस x< 0
फ़ंक्शन (3) पर फिर से विचार करें:
(3)
.
स्थिरांक a के कुछ मानों के लिए, इसे चर x के ऋणात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है। अर्थात्, एक होने दो परिमेय संख्या. तब इसे एक इरेड्यूसबल अंश के रूप में दर्शाया जा सकता है:
,
जहाँ m और n बिना के पूर्णांक हैं सामान्य भाजक.
यदि n विषम है, तो चर x के ऋणात्मक मानों के लिए घातांकीय फलन भी परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, n = के लिए 3
और एम = 1
अपने पास घनमूलएक्स से:
.
इसे x के ऋणात्मक मानों के लिए भी परिभाषित किया गया है।
आइए हम स्थिरांक a के परिमेय मानों के लिए और उसके लिए घात फलन (3) का व्युत्पन्न ज्ञात करें, जिसके लिए इसे परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए, हम निम्नलिखित रूप में x का प्रतिनिधित्व करते हैं:
.
फिर ,
.
हम अवकलज के चिह्न से अचर को निकालकर और एक जटिल फलन के विभेदन के नियम को लागू करके अवकलज पाते हैं:
.
यहां । परंतु
.
तब से
.
फिर
.
अर्थात्, सूत्र (1) इसके लिए भी मान्य है:
(1)
.
उच्च आदेशों के डेरिवेटिव
अब हम घात फलन के उच्च कोटि के अवकलज पाते हैं
(3)
.
हमने पहले ही ऑर्डर व्युत्पन्न पाया है:
.
व्युत्पन्न के संकेत से स्थिरांक निकालते हुए, हम दूसरे क्रम के व्युत्पन्न पाते हैं:
.
इसी तरह, हम तीसरे और चौथे क्रम के व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
यहाँ से यह स्पष्ट है कि एक मनमाना nवें क्रम का व्युत्पन्ननिम्नलिखित रूप है:
.
नोटिस जो अगर एक है प्राकृतिक संख्या
, , तो n वां व्युत्पन्न स्थिर है:
.
फिर सभी बाद के डेरिवेटिव शून्य के बराबर हैं:
,
पर ।
व्युत्पन्न उदाहरण
उदाहरण
फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
.
समाधान
आइए जड़ों को शक्तियों में बदलें:
;
.
तब मूल कार्य रूप लेता है:
.
हम डिग्री के व्युत्पन्न पाते हैं:
;
.
एक स्थिरांक का व्युत्पन्न शून्य है:
.
व्युत्पन्न और इसकी गणना के तरीकों के बारे में ज्ञान के बिना गणित में भौतिक समस्याओं या उदाहरणों को हल करना बिल्कुल असंभव है। व्युत्पन्न में से एक है सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाएँगणितीय विश्लेषण। हमने आज के लेख को इस मौलिक विषय पर समर्पित करने का निर्णय लिया। व्युत्पन्न क्या है, इसका भौतिक और ज्यामितीय अर्थ क्या है, किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना कैसे करें? इन सभी प्रश्नों को एक में जोड़ा जा सकता है: व्युत्पन्न को कैसे समझें?
व्युत्पन्न का ज्यामितीय और भौतिक अर्थ
एक समारोह होने दें एफ (एक्स) , कुछ अंतराल में दिया गया (ए, बी) . बिंदु x और x0 इसी अंतराल के हैं। जब x बदलता है, तो फ़ंक्शन स्वयं बदल जाता है। तर्क परिवर्तन - इसके मूल्यों का अंतर x-x0 . यह अंतर इस प्रकार लिखा जाता है डेल्टा x और तर्क वृद्धि कहा जाता है। किसी फ़ंक्शन का परिवर्तन या वृद्धि दो बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों के बीच का अंतर है। व्युत्पन्न परिभाषा:
एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के वेतन वृद्धि के अनुपात की सीमा है जब तर्क की वृद्धि शून्य हो जाती है।
अन्यथा इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ऐसी सीमा खोजने का क्या मतलब है? पर कौनसा:
किसी बिंदु पर किसी फलन का अवकलज OX अक्ष के बीच के कोण की स्पर्शरेखा और दिए गए बिंदु पर फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के बराबर होता है।
व्युत्पन्न का भौतिक अर्थ: पथ का समय व्युत्पन्न सरल रेखीय गति की गति के बराबर होता है।
दरअसल, स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं कि गति एक निजी रास्ता है। एक्स = एफ (टी) और समय टी . औसत गतिकुछ समय के लिए:
एक बार में गति की गति का पता लगाने के लिए t0 आपको सीमा की गणना करने की आवश्यकता है:
नियम एक: स्थिरांक निकालें
स्थिरांक को व्युत्पन्न के चिन्ह से निकाला जा सकता है। इसके अलावा, यह किया जाना चाहिए। गणित में उदाहरण हल करते समय, एक नियम के रूप में लें - यदि आप व्यंजक को सरल बना सकते हैं, तो सरल करना सुनिश्चित करें .
उदाहरण। आइए व्युत्पन्न की गणना करें:
नियम दो: कार्यों के योग का व्युत्पन्न
दो कार्यों के योग का व्युत्पन्न इन कार्यों के व्युत्पन्न के योग के बराबर है। कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के लिए भी यही सच है।
हम इस प्रमेय का प्रमाण नहीं देंगे, बल्कि एक व्यावहारिक उदाहरण पर विचार करेंगे।
किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं:
नियम तीन: कार्यों के उत्पाद का व्युत्पन्न
दो अलग-अलग कार्यों के उत्पाद के व्युत्पन्न की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
उदाहरण: किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें:
समाधान: 
यहां जटिल कार्यों के डेरिवेटिव की गणना के बारे में कहना महत्वपूर्ण है। एक जटिल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न द्वारा मध्यवर्ती तर्क के संबंध में इस फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर है।
उपरोक्त उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति का सामना करते हैं:
इस मामले में, मध्यवर्ती तर्क पांचवीं शक्ति के लिए 8x है। ऐसी अभिव्यक्ति के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले मध्यवर्ती तर्क के संबंध में बाहरी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न पर विचार करते हैं, और फिर स्वतंत्र चर के संबंध में मध्यवर्ती तर्क के व्युत्पन्न से गुणा करते हैं।
नियम चार: दो कार्यों के भागफल का व्युत्पन्न
दो कार्यों के भागफल के व्युत्पन्न को निर्धारित करने का सूत्र:
हमने शुरुआत से डमी के लिए डेरिवेटिव के बारे में बात करने की कोशिश की। यह विषय उतना सरल नहीं है जितना लगता है, इसलिए सावधान रहें: उदाहरणों में अक्सर नुकसान होते हैं, इसलिए डेरिवेटिव की गणना करते समय सावधान रहें।
इस और अन्य विषयों पर किसी भी प्रश्न के लिए, आप छात्र सेवा से संपर्क कर सकते हैं। थोड़े समय में, हम आपको सबसे कठिन नियंत्रण को हल करने और कार्यों से निपटने में मदद करेंगे, भले ही आपने पहले कभी डेरिवेटिव की गणना नहीं की हो।
परिभाषा।मान लें कि फ़ंक्शन \(y = f(x) \) को कुछ अंतराल में परिभाषित किया जाता है जिसमें बिंदु \(x_0 \) अंदर होता है। आइए तर्क में वृद्धि \(\Delta x \) करें ताकि इस अंतराल को न छोड़ें। फ़ंक्शन की संगत वृद्धि खोजें \(\Delta y \) (बिंदु \(x_0 \) से बिंदु \(x_0 + \Delta x \) तक जाते समय) और संबंध बनाएं \(\frac(\Delta y) ) (\ डेल्टा एक्स) \)। यदि इस संबंध की सीमा \(\Delta x \rightarrow 0 \) पर है, तो निर्दिष्ट सीमा कहलाती है व्युत्पन्न कार्य\(y=f(x) \) बिंदु \(x_0 \) पर और \(f"(x_0) \) को निरूपित करें।
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
प्रतीक y अक्सर व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाता है। ध्यान दें कि y" = f(x) एक नया फ़ंक्शन है, लेकिन स्वाभाविक रूप से फ़ंक्शन y = f(x) से जुड़ा हुआ है, जो सभी बिंदुओं x पर परिभाषित है जहां उपरोक्त सीमा मौजूद है। इस फ़ंक्शन को इस तरह कहा जाता है: फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y \u003d f (x).
व्युत्पन्न का ज्यामितीय अर्थनिम्नलिखित से मिलकर बनता है। यदि एक स्पर्शरेखा जो y अक्ष के समानांतर नहीं है, को फ़ंक्शन y \u003d f (x) के एक बिंदु पर भुज x \u003d a के साथ खींचा जा सकता है, तो f (a) स्पर्शरेखा के ढलान को व्यक्त करता है:
\(के = एफ"(ए)\)
चूँकि \(k = tg(a) \), समानता \(f"(a) = tg(a) \) सत्य है।
और अब हम व्युत्पन्न की परिभाषा की व्याख्या सन्निकट समानता के रूप में करते हैं। मान लें कि फलन \(y = f(x) \) का एक विशेष बिंदु \(x \) पर एक अवकलज है:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
इसका मतलब है कि बिंदु x के पास, लगभग समानता \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), यानी \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Deltax\)। प्राप्त अनुमानित समानता का सार्थक अर्थ इस प्रकार है: फ़ंक्शन की वृद्धि तर्क की वृद्धि के लिए "लगभग आनुपातिक" है, और आनुपातिकता का गुणांक किसी दिए गए बिंदु x पर व्युत्पन्न का मान है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(y = x^2 \) के लिए अनुमानित समानता \(\Delta y \लगभग 2x \cdot \Delta x \) सत्य है। यदि हम व्युत्पन्न की परिभाषा का ध्यानपूर्वक विश्लेषण करते हैं, तो हम पाएंगे कि इसमें इसे खोजने के लिए एक एल्गोरिथम शामिल है।
आइए इसे तैयार करें।
फ़ंक्शन y \u003d f (x) का व्युत्पन्न कैसे खोजें?
1. मान स्थिर करें \(x \), \(f(x) \) खोजें
2. वृद्धि \(x \) तर्क \(\Delta x \), एक नए बिंदु \(x+ \Delta x \) पर जाएं, \(f(x+ \Delta x) \) खोजें
3. फलन वृद्धि ज्ञात कीजिए: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. संबंध लिखें \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$ की गणना करें
यह सीमा x पर फलन का अवकलज है।
यदि फलन y = f(x) का व्युत्पन्न बिंदु x पर है, तो इसे बिंदु x पर अवकलनीय कहा जाता है। फ़ंक्शन y \u003d f (x) के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया को कहा जाता है भेदभावफलन y = f(x)।
आइए हम निम्नलिखित प्रश्न पर चर्चा करें: एक बिंदु पर एक फलन की निरंतरता और भिन्नता कैसे संबंधित हैं?
मान लीजिए फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है। फिर बिंदु M (x; f (x)) पर फ़ंक्शन के ग्राफ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है और, याद रखें, स्पर्शरेखा का ढलान f "(x) के बराबर है। ऐसा ग्राफ "ब्रेक" नहीं कर सकता है बिंदु M, अर्थात् फलन x पर सतत होना चाहिए।
यह "उंगलियों पर" तर्क कर रहा था। आइए हम एक और कठोर तर्क प्रस्तुत करें। यदि फलन y = f(x) बिंदु x पर अवकलनीय है, तो सन्निकट समानता \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x \) शून्य है, फिर \(\Delta y \ ) भी शून्य हो जाएगा, और यह एक बिंदु पर फ़ंक्शन की निरंतरता के लिए शर्त है।
इसलिए, यदि कोई फलन बिंदु x पर अवकलनीय है, तो वह उस बिंदु पर भी सतत होता है.
इसका उलट सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन y = |x| हर जगह निरंतर है, विशेष रूप से बिंदु x = 0 पर, लेकिन "संयुक्त बिंदु" (0; 0) पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा खींचना असंभव है, तो इस बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है।
एक और उदाहरण। फ़ंक्शन \(y=\sqrt(x) \) बिंदु x = 0 सहित संपूर्ण संख्या रेखा पर निरंतर है। और फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा बिंदु x = 0 सहित किसी भी बिंदु पर मौजूद है। । लेकिन इस बिंदु पर स्पर्शरेखा y-अक्ष के साथ मेल खाती है, अर्थात यह भुज अक्ष के लंबवत है, इसके समीकरण का रूप x \u003d 0 है। ऐसी सीधी रेखा के लिए कोई ढलान नहीं है, जिसका अर्थ है कि \ ( f "(0) \) या तो मौजूद नहीं है
इस प्रकार, हम एक फलन के एक नए गुण - अवकलनीयता से परिचित हुए। आप कैसे बता सकते हैं कि कोई फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से भिन्न है या नहीं?
उत्तर वास्तव में ऊपर दिया गया है। यदि किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा खींची जा सकती है जो x-अक्ष के लंबवत नहीं है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन भिन्न होता है। यदि किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा मौजूद नहीं है या यह x-अक्ष के लंबवत है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन अवकलनीय नहीं है।
विभेदन नियम
अवकलज ज्ञात करने की क्रिया कहलाती है भेदभाव. इस ऑपरेशन को करते समय, आपको अक्सर भागफल, योग, कार्यों के उत्पादों के साथ-साथ "फ़ंक्शन ऑफ़ फ़ंक्शंस", यानी जटिल फ़ंक्शंस के साथ काम करना पड़ता है। व्युत्पन्न की परिभाषा के आधार पर, हम इस कार्य को सुविधाजनक बनाने वाले विभेदन नियम प्राप्त कर सकते हैं। यदि सी एक स्थिर संख्या है और f=f(x), g=g(x) कुछ अलग-अलग कार्य हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं भेदभाव नियम:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
कुछ कार्यों के डेरिवेटिव की तालिका
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) "= a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \बाएं(ई^x \दाएं) " = ई^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) "= \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) "= \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $नमस्कार प्रिय पाठकों। लेख पढ़ने के बाद, आपके पास शायद एक तार्किक प्रश्न होगा: "वास्तव में, यह क्यों आवश्यक है?"। इस कारण से, मैं पहले यह सूचित करना आवश्यक समझता हूं कि द्विघात समीकरणों को हल करने की वांछित विधि व्यावहारिक शुष्क अनुप्रयोग की तुलना में गणित के नैतिक और सौंदर्य पक्ष से अधिक प्रस्तुत की जाती है। मैं उन पाठकों से भी अग्रिम रूप से माफी मांगता हूं, जिन्हें मेरी शौकिया बातें अस्वीकार्य लगती हैं। तो, आइए माइक्रोस्कोप से नाखूनों पर हथौड़ा मारना शुरू करें।
हमारे पास सामान्य रूप में दूसरी डिग्री (यह भी द्विघात है) का बीजीय समीकरण है:
से आगे बढ़ते हैं द्विघात समीकरणद्विघात समारोह के लिए:
जहां, जाहिर है, फ़ंक्शन तर्क के ऐसे मूल्यों को खोजना आवश्यक है जिसमें यह शून्य लौटाएगा।
ऐसा लगता है कि विएटा के प्रमेय का उपयोग करके या विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण को हल करना है। लेकिन हम यहां इसलिए नहीं हैं। चलो व्युत्पन्न लेते हैं! 
प्रथम-क्रम व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ की परिभाषा के आधार पर, यह स्पष्ट है कि ऊपर प्राप्त फ़ंक्शन में तर्क को प्रतिस्थापित करके, हम (विशेष रूप से) प्राप्त करते हैं रफ़्तारइस तर्क द्वारा दिए गए बिंदु पर कार्य बदलता है।
इस बार हमें फ़ंक्शन परिवर्तन की "गति की दर" मिली (अर्थात। त्वरण) एक विशेष बिंदु पर। परिणाम का थोड़ा विश्लेषण करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि "त्वरण" एक स्थिरांक है जो फ़ंक्शन तर्क पर निर्भर नहीं करता है - इसे याद रखें।
अब थोड़ा भौतिकी और समान रूप से त्वरित गति (RUD) को याद करते हैं। हमारे शस्त्रागार में हमारे पास क्या है? यह सही है, वांछित आंदोलन के दौरान अक्ष के साथ आंदोलन के समन्वय को निर्धारित करने के लिए एक सूत्र है:
कहाँ - समय, - प्रारंभिक गति, - त्वरण।
यह देखना आसान है कि हमारा मूल कार्य सिर्फ एक RUD है।
क्या थ्रॉटल के लिए विस्थापन सूत्र द्विघात समीकरण को हल करने का परिणाम नहीं है?
नहीं। उपरोक्त थ्रॉटल का सूत्र वास्तव में पीओआरडी के लिए गति सूत्र का अभिन्न अंग लेने का परिणाम है। या ग्राफ से आप आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। एक ट्रेपोजॉइड निकलेगा।
थ्रॉटल के लिए विस्थापन सूत्र किसी द्विघात समीकरण के समाधान से अनुसरण नहीं करता है। यह बहुत महत्वपूर्ण है, अन्यथा लेख का कोई मतलब नहीं होगा।
अब यह पता लगाना बाकी है कि क्या है और हम क्या खो रहे हैं।
हमारे पास पहले से ही "त्वरण" है - यह दूसरा क्रम व्युत्पन्न है, जो ऊपर व्युत्पन्न है। लेकिन प्रारंभिक गति प्राप्त करने के लिए, हमें सामान्य रूप से, कोई भी (चलो इसे इस रूप में निरूपित करते हैं) लेने की आवश्यकता है और इसे पहले क्रम के व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें - क्योंकि यह वांछित होगा।
ऐसे में सवाल उठता है कि किसे लेना चाहिए? जाहिर है, प्रारंभिक गति शून्य के बराबर है, ताकि "थ्रॉटल पर विस्थापन" का सूत्र बन जाए:
इस मामले में, हम खोज के लिए एक समीकरण बनाते हैं:
[पहले आदेश के व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित]
के संबंध में ऐसे समीकरण का मूल होगा:
और इस तरह के तर्क के साथ मूल फ़ंक्शन का मान होगा: 
अब यह स्पष्ट हो जाता है कि:
पहेली के सभी टुकड़ों को एक साथ रखकर:
यहां हमारे पास समस्या का अंतिम समाधान है। सामान्य तौर पर, हमने अमेरिका की खोज नहीं की - हम बस एक चौराहे के तरीके से विवेचक के माध्यम से एक द्विघात समीकरण को हल करने के सूत्र पर आए। इसका व्यावहारिक अर्थ नहीं है (लगभग उसी तरह, किसी भी (जरूरी नहीं कि सामान्य) रूप की पहली / दूसरी डिग्री के समीकरण हल किए जा सकते हैं)।
इस लेख का उद्देश्य, विशेष रूप से, मैट के विश्लेषण में रुचि जगाना है। सामान्य रूप से कार्य और गणित।
पीटर आपके साथ था, आपका ध्यान देने के लिए धन्यवाद!
