एक बच्चे को कैसे समझाएं कि अभिव्यक्ति का मूल्य कैसे पता करें। भिन्नों के साथ जटिल व्यंजक। प्रक्रिया

घर और परिवार

(34∙10+(489–296)∙8):4–410। कार्रवाई के पाठ्यक्रम का निर्धारण करें। पहली क्रिया भीतरी कोष्ठकों में करें 489–296=193। फिर, 193∙8=1544 और 34∙10=340 गुणा करें। अगली क्रिया: 340+1544=1884। इसके बाद, 1884:4=461 को विभाजित करें और फिर 461–410=60 घटाएं। आपने इस अभिव्यक्ति का मूल्य पाया है।

उदाहरण। व्यंजक 2sin 30º∙cos 30º∙tg 30º∙ctg 30º का मान ज्ञात कीजिए। इस अभिव्यक्ति को सरल कीजिए। ऐसा करने के लिए, सूत्र tg α∙ctg α=1 का उपयोग करें। प्राप्त करें: 2sin 30º∙cos 30º∙1=2sin 30º∙cos 30º। यह ज्ञात है कि sin 30º=1/2 तथा cos 30º=√3/2. इसलिए, 2sin 30º∙cos 30º=2∙1/2∙√3/2=√3/2. आपने इस अभिव्यक्ति का मूल्य पाया है।

से बीजीय व्यंजक का मान . दिए गए चरों वाले बीजीय व्यंजक का मान ज्ञात करने के लिए व्यंजक को सरल कीजिए। चर के लिए विशिष्ट मान बदलें। आवश्यक कदम उठाएं। परिणामस्वरूप, आपको एक संख्या प्राप्त होगी, जो दिए गए चरों के लिए बीजीय व्यंजक का मान होगा।

उदाहरण। व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए 7(a+y)-3(2a+3y) साथ में a=21 तथा y=10. इस व्यंजक को सरल कीजिए, प्राप्त कीजिए: a-2y. वेरिएबल्स के उपयुक्त मानों में प्लग करें और गणना करें: a–2y=21–2∙10=1. यह व्यंजक 7(a+y)–3(2a+3y) का मान a=21 और y=10 के साथ है।

टिप्पणी

अस्तित्व बीजीय व्यंजक, जो चर के कुछ मूल्यों के लिए समझ में नहीं आता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक x/(7–a) का कोई अर्थ नहीं है यदि a=7, क्योंकि भिन्न का हर गायब हो जाता है।

स्रोत:

व्यंजक का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए
s 14 . पर व्यंजकों का मान ज्ञात कीजिए

समस्याओं, विभिन्न समीकरणों को सही ढंग से और जल्दी से हल करने के लिए गणित में अभिव्यक्तियों को सरल बनाना सीखना आवश्यक है। एक व्यंजक को सरल बनाने का अर्थ है चरणों की संख्या को कम करना, जिससे गणना आसान हो जाती है और समय की बचत होती है।

अनुदेश

के साथ शक्तियों की गणना करना सीखें। c की घातों को गुणा करने पर, आपको संख्याएँ मिलती हैं जिनका आधार समान होता है, और घातांक b^m+b^n=b^(m+n) जोड़ते हैं। समान आधारों के साथ शक्तियों को विभाजित करते समय, संख्या की शक्ति प्राप्त होती है, जिसका आधार समान रहता है, और घातांक घटाए जाते हैं, और भाजक सूचकांक b ^ m: b ^ n \u003d b ^ (m-n) घटाया जाता है लाभांश सूचकांक से जब किसी घात को घात तक बढ़ाया जाता है, तो संख्या की घात प्राप्त होती है, जिसका आधार वही रहता है, और घातांक को गुणा किया जाता है (b^m)^n=b^(mn) जब एक घात तक बढ़ाया जाता है, तो प्रत्येक इस शक्ति के लिए कारक उठाया जाता है। (abc)^m=a^m *b^m*c^m

बहुपदों का गुणनखंड करें, अर्थात्। कई कारकों के उत्पाद के रूप में उनका प्रतिनिधित्व करते हैं - और मोनोमियल। सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालें। संक्षिप्त गुणन के मूल सूत्र सीखें: वर्गों का अंतर, अंतर का वर्ग, योग, घन का अंतर, योग का घन और अंतर। उदाहरण के लिए, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. यह ये सूत्र हैं जो सरलीकरण में मुख्य हैं। ax^2+bx+c रूप के त्रिपद में पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करने की विधि का उपयोग करें।

जितनी बार संभव हो भिन्नों को कम करें। उदाहरण के लिए, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c)। लेकिन याद रखें कि केवल गुणकों को ही कम किया जा सकता है। यदि किसी बीजीय भिन्न के अंश और हर को एक ही गैर-शून्य संख्या से गुणा किया जाता है, तो भिन्न का मान नहीं बदलेगा। भावों को रूपांतरित करने के दो तरीके हैं: श्रृंखला द्वारा और क्रियाओं द्वारा। दूसरी विधि बेहतर है, क्योंकि। मध्यवर्ती क्रियाओं के परिणामों की जाँच करना आसान है।

अक्सर भावों में जड़ों को निकालना आवश्यक होता है। यहाँ तक कि मूल भी केवल अऋणात्मक व्यंजकों या संख्याओं से ही लिए जाते हैं। विषम कोटि के मूल किसी व्यंजक से निकाले जाते हैं।

स्रोत:

शक्तियों के साथ अभिव्यक्तियों का सरलीकरण

त्रिकोणमितीय कार्य सबसे पहले में न्यून कोणों के परिमाण की निर्भरता की अमूर्त गणितीय गणना के लिए उपकरण के रूप में उत्पन्न हुए सही त्रिकोणइसके किनारों की लंबाई से। अब वे मानव गतिविधि के वैज्ञानिक और तकनीकी दोनों क्षेत्रों में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। दिए गए तर्कों से त्रिकोणमितीय कार्यों की व्यावहारिक गणना के लिए, आप विभिन्न उपकरणों का उपयोग कर सकते हैं - उनमें से कुछ सबसे सुलभ नीचे वर्णित हैं।

अनुदेश

उदाहरण के लिए, ऑपरेटिंग सिस्टम के साथ डिफ़ॉल्ट रूप से स्थापित कैलकुलेटर प्रोग्राम का उपयोग करें। यह "सभी कार्यक्रम" अनुभाग में रखे गए "मानक" उपखंड से "उपयोगिताएँ" फ़ोल्डर में "कैलकुलेटर" आइटम का चयन करके खुलता है। ऑपरेटिंग रूम के मेन मेन्यू पर "स्टार्ट" बटन पर क्लिक करके इस सेक्शन को खोला जा सकता है। यदि आप विंडोज 7 संस्करण का उपयोग कर रहे हैं, तो आप मुख्य मेनू पर "खोज कार्यक्रम और फ़ाइलें" बॉक्स में "कैलकुलेटर" टाइप कर सकते हैं, और फिर खोज परिणामों में संबंधित लिंक पर क्लिक कर सकते हैं।

आवश्यक चरणों की संख्या गिनें और सोचें कि उन्हें किस क्रम में किया जाना चाहिए। यदि यह प्रश्न आपके लिए कठिन बनाता है, तो ध्यान दें कि कोष्ठक में संलग्न क्रियाएं पहले की जाती हैं, फिर विभाजन और गुणा; और घटाव अंतिम किया जाता है। किए गए कार्यों के एल्गोरिदम को याद रखना आसान बनाने के लिए, प्रत्येक क्रिया ऑपरेटर चिह्न (+, -, *, :) के ऊपर की अभिव्यक्ति में, एक पतली पेंसिल के साथ, क्रियाओं के निष्पादन के अनुरूप संख्याएं लिखें।

पहले चरण के साथ आगे बढ़ें, स्थापित आदेश का पालन करें। मानसिक रूप से गिनें यदि क्रियाओं को मौखिक रूप से करना आसान हो। यदि गणना की आवश्यकता है (एक कॉलम में), उन्हें अभिव्यक्ति के तहत रिकॉर्ड करें, कार्रवाई की अनुक्रम संख्या का संकेत दें।

किए गए कार्यों के अनुक्रम को स्पष्ट रूप से ट्रैक करें, मूल्यांकन करें कि क्या घटाना है, क्या विभाजित करना है, आदि। बहुत बार, इस स्तर पर की गई त्रुटियों के कारण अभिव्यक्ति में उत्तर गलत हो जाता है।

विशेष फ़ीचरअभिव्यक्ति गणितीय कार्यों की उपस्थिति है। यह कुछ संकेतों (गुणा, भाग, घटाव या जोड़) द्वारा इंगित किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं को करने का क्रम, यदि आवश्यक हो, कोष्ठक के साथ ठीक किया जाता है। गणितीय संक्रियाओं को करने का अर्थ है खोजना।

अभिव्यक्ति क्या नहीं है

प्रत्येक गणितीय संकेतन को व्यंजक के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

समान भाव अभिव्यक्ति नहीं हैं। समीकरण में गणितीय संक्रियाएँ मौजूद हैं या नहीं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। उदाहरण के लिए, a=5 एक समानता है, व्यंजक नहीं, लेकिन 8+6*2=20 को भी व्यंजक नहीं माना जा सकता, हालांकि इसमें गुणन मौजूद है। यह उदाहरण भी समानता की श्रेणी का है।

अभिव्यक्ति और समानता की अवधारणाएं परस्पर अनन्य नहीं हैं, पूर्व उत्तरार्द्ध का हिस्सा है। समान चिह्न दो भावों को जोड़ता है:
5+7=24:2

इस समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:
5+7=12

एक व्यंजक हमेशा यह मानता है कि यह जिस गणितीय संक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करता है उसे किया जा सकता है। 9+:-7 एक व्यंजक नहीं है, हालांकि गणितीय संक्रियाओं के संकेत हैं, क्योंकि इन संक्रियाओं को करना असंभव है।

ऐसे गणितीय भी हैं जो औपचारिक रूप से अभिव्यक्ति हैं, लेकिन इसका कोई मतलब नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति का एक उदाहरण:
46:(5-2-3)

संख्या 46 को कोष्ठक में क्रियाओं के परिणाम से विभाजित किया जाना चाहिए, और यह शून्य के बराबर है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते, क्रिया निषिद्ध मानी जाती है।

संख्यात्मक और बीजीय व्यंजक

गणितीय व्यंजक दो प्रकार के होते हैं।

यदि किसी व्यंजक में गणितीय संक्रियाओं के केवल अंक और चिह्न हों, तो ऐसे व्यंजक को अंकीय व्यंजक कहा जाता है। यदि, संख्याओं के साथ, व्यंजक में अक्षरों द्वारा निरूपित चर हैं, या बिल्कुल भी संख्याएँ नहीं हैं, व्यंजक में केवल चर और गणितीय संक्रियाओं के चिह्न होते हैं, तो इसे बीजगणितीय कहा जाता है।

मौलिक अंतर अंकीय मूल्यबीजीय से यह है कि संख्यात्मक अभिव्यक्ति का केवल एक मान होता है। उदाहरण के लिए, सांख्यिक व्यंजक 56–2*3 का मान हमेशा 50 होगा, कुछ भी नहीं बदला जा सकता है। एक बीजीय व्यंजक के कई मान हो सकते हैं, क्योंकि इसके स्थान पर किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित किया जा सकता है। अतः, यदि व्यंजक b-7 में b स्थानापन्न 9 है, तो व्यंजक का मान 2 होगा, और यदि 200 है, तो यह 193 होगा।

स्रोत:

संख्यात्मक और बीजीय व्यंजक

एक नियम के रूप में, बच्चे पहले से ही प्राथमिक कक्षाओं में बीजगणित का अध्ययन करना शुरू करते हैं। संख्याओं के साथ काम करने के बुनियादी सिद्धांतों में महारत हासिल करने के बाद, वे एक या अधिक अज्ञात चर के साथ समस्याओं का समाधान करते हैं। इस तरह की अभिव्यक्ति का अर्थ खोजना काफी कठिन हो सकता है, लेकिन यदि आप प्राथमिक विद्यालय के ज्ञान का उपयोग करके इसे सरल बनाते हैं, तो सब कुछ आसानी से और जल्दी से निकल जाएगा।

अभिव्यक्ति का मूल्य क्या है

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति एक बीजगणितीय संकेतन है जिसमें संख्या, कोष्ठक और संकेत शामिल होते हैं यदि यह समझ में आता है।

दूसरे शब्दों में, यदि किसी अभिव्यक्ति का अर्थ खोजना संभव है, तो अभिलेख अर्थहीन नहीं है, और इसके विपरीत।

निम्नलिखित प्रविष्टियों के उदाहरण मान्य संख्यात्मक निर्माण हैं:

3*8-2;
15/3+6;
0,3*8-4/2;
3/1+15/5;

एक एकल संख्या भी एक सांख्यिक व्यंजक होगी, जैसे उपरोक्त उदाहरण से संख्या 18।
गलत संख्यात्मक निर्माणों के उदाहरण जिनका कोई मतलब नहीं है:

*7-25);
16/0-;
(*-5;

गलत संख्यात्मक उदाहरण केवल गणितीय प्रतीकों का एक सेट है और इसका कोई मतलब नहीं है।

व्यंजक का मान कैसे ज्ञात करें

चूंकि ऐसे उदाहरणों में अंकगणितीय चिह्न हैं, इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे अंकगणितीय गणनाओं की अनुमति देते हैं। संकेतों की गणना करने के लिए या, दूसरे शब्दों में, अभिव्यक्ति के मूल्य को खोजने के लिए, उपयुक्त अंकगणितीय जोड़तोड़ करना आवश्यक है।

एक उदाहरण के रूप में, निम्नलिखित निर्माण पर विचार करें: (120-30)/3=30। संख्या 30 अंकीय व्यंजक (120-30)/3 का मान होगी।

निर्देश:

संख्यात्मक समानता की अवधारणा

संख्यात्मक समानता वह स्थिति है जब उदाहरण के दो भागों को "=" चिह्न द्वारा अलग किया जाता है। यानी एक हिस्सा दूसरे के बराबर (समान) है, भले ही वह प्रतीकों और संख्याओं के अन्य संयोजनों के रूप में प्रदर्शित हो।
उदाहरण के लिए, 2+2=4 प्रकार के किसी भी निर्माण को संख्यात्मक समानता कहा जा सकता है, क्योंकि यदि भागों की अदला-बदली भी की जाती है, तो अर्थ नहीं बदलेगा: 4=2+2। वही अधिक के लिए जाता है जटिल संरचनाएं, कोष्ठक, विभाजन, गुणा, भिन्न संचालन, आदि सहित।

व्यंजक का मान सही तरीके से कैसे ज्ञात करें

अभिव्यक्ति के मूल्य को सही ढंग से खोजने के लिए, क्रियाओं के एक निश्चित क्रम के अनुसार गणना करना आवश्यक है। यह क्रम गणित के पाठों में पढ़ाया जाता है, और बाद में बीजगणित की कक्षाओं में प्राथमिक स्कूल. इसे अंकगणितीय संक्रियाओं के चरणों के रूप में भी जाना जाता है।

अंकगणितीय संचालन के चरण:

पहला कदम संख्याओं को जोड़ना और घटाना है।
दूसरा चरण विभाजन और गुणा है।
तीसरा चरण - संख्याएँ चुकता या घन होती हैं।

निम्नलिखित नियमों का पालन करके, आप किसी व्यंजक का अर्थ हमेशा सही ढंग से निर्धारित कर सकते हैं:

यदि उदाहरण में कोई कोष्ठक नहीं है, तो तीसरे चरण से पहले चरण तक के चरणों का पालन करें। यानी पहले वर्ग या घन, फिर विभाजित या गुणा करें, और उसके बाद ही जोड़ें और घटाएं।
कोष्ठक में दिए गए निर्माणों के लिए, पहले कोष्ठक में दिए गए चरणों को करें, और फिर उपरोक्त क्रम में आगे बढ़ें। यदि कई कोष्ठक हैं, तो पहले पैराग्राफ की प्रक्रिया का भी उपयोग करें।
भिन्न के उदाहरणों में, पहले अंश में परिणाम ज्ञात करें, फिर हर में, फिर पहले को दूसरे से विभाजित करें।

यदि आप बीजगणित और गणित में प्रारंभिक पाठ्यक्रमों के प्रारंभिक ज्ञान में महारत हासिल करते हैं, तो व्यंजक का अर्थ खोजना मुश्किल नहीं है। उपरोक्त जानकारी द्वारा निर्देशित, आप किसी भी समस्या का समाधान कर सकते हैं, यहां तक कि बढ़ी हुई जटिलता का भी।

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कार्य निरूपण:व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (अंशों के साथ क्रिया)।

यह कार्य ग्रेड 11 के लिए नंबर 1 (अंशों के साथ क्रिया) के लिए बुनियादी स्तर पर गणित में USE का हिस्सा है।

आइए देखें कि उदाहरणों के साथ ऐसी समस्याओं को कैसे हल किया जाता है।

कार्य 1 उदाहरण:

व्यंजक 5/4 + 7/6: 2/3 का मान ज्ञात कीजिए।

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम संचालन के क्रम को परिभाषित करते हैं: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव। और हम आवश्यक क्रियाओं को सही क्रम में करेंगे:

उत्तर: 3

कार्य 2 उदाहरण:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (3.9 - 2.4) 8.2

उत्तर: 12.3

कार्य 3 उदाहरण:

व्यंजक 27 (1/3 - 4/9 - 5/27) का मान ज्ञात कीजिए।

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम संचालन के क्रम को परिभाषित करते हैं: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव। इस मामले में, कोष्ठक में क्रियाओं को कोष्ठक के बाहर की क्रियाओं से पहले निष्पादित किया जाता है। और हम आवश्यक क्रियाओं को सही क्रम में करेंगे:

उत्तर: -8

टास्क 4 उदाहरण:

व्यंजक 2.7 / (1.4 + 0.1) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 1.8

कार्य 5 उदाहरण:

व्यंजक 1 / (1/9 - 1/12) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 36

कार्य 6 उदाहरण:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (0.24 10^6) / (0.6 ∙ 10^4)।

उत्तर: 40

टास्क 7 उदाहरण:

व्यंजक (1.23 45.7) / (12.3 ∙ 0.457) का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर: 10

कार्य 8 उदाहरण:

व्यंजक का मान ज्ञात कीजिए (728^2 - 26^2) : 754।

आइए अभिव्यक्ति के मूल्य की गणना करें। ऐसा करने के लिए, हम संचालन के क्रम को परिभाषित करते हैं: पहले गुणा और भाग, फिर जोड़ और घटाव। इस मामले में, कोष्ठक में क्रियाओं को कोष्ठक के बाहर की क्रियाओं से पहले निष्पादित किया जाता है। और हम आवश्यक कार्रवाई सही क्रम में करेंगे। साथ ही इस मामले में, आपको वर्गों के अंतर के सूत्र को लागू करने की आवश्यकता है।

प्रथम स्तर

अभिव्यक्ति रूपांतरण। विस्तृत सिद्धांत (2019)

अभिव्यक्ति रूपांतरण

अक्सर हम यह अप्रिय वाक्यांश सुनते हैं: "अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।" आमतौर पर, इस मामले में, हमारे पास इस तरह का कोई राक्षस होता है:

"हाँ, बहुत आसान है," हम कहते हैं, लेकिन ऐसा उत्तर आमतौर पर काम नहीं करता है।

अब मैं तुम्हें सिखाऊंगा कि ऐसे किसी भी काम से मत डरो। इसके अलावा, पाठ के अंत में, आप स्वयं इस उदाहरण को एक (सिर्फ!) सामान्य संख्या (हाँ, इन अक्षरों के साथ नरक में) के लिए सरल बना देंगे।

लेकिन इससे पहले कि आप इस पाठ को शुरू करें, आपको भिन्नों और गुणनखंड बहुपदों को संभालने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए, पहले, यदि आपने पहले ऐसा नहीं किया है, तो "" और "" विषयों में महारत हासिल करना सुनिश्चित करें।

पढ़ना? अगर हां, तो आप तैयार हैं।

बुनियादी सरलीकरण संचालन

अब हम उन मुख्य तकनीकों का विश्लेषण करेंगे जिनका प्रयोग व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है।

उनमें से सबसे सरल है

1. समान लाना

समान क्या हैं? आपने इसे 7वीं कक्षा में पढ़ा था, जब पहली बार गणित में संख्याओं के बजाय अक्षर दिखाई देते थे। समान अक्षर वाले भाग वाले शब्द (मोनोमियल) समान हैं। उदाहरण के लिए, योग में, समान पद हैं और।

याद आया?

समान पदों को लाने का अर्थ है कई समान पदों को एक दूसरे से जोड़ना और एक पद प्राप्त करना।

लेकिन हम अक्षरों को एक साथ कैसे रख सकते हैं? - आप पूछना।

यह समझना बहुत आसान है यदि आप कल्पना करते हैं कि अक्षर किसी प्रकार की वस्तुएं हैं। उदाहरण के लिए, पत्र एक कुर्सी है। फिर अभिव्यक्ति क्या है? दो कुर्सियाँ और तीन कुर्सियाँ, कितनी होगी? यह सही है, कुर्सियाँ: .

अब इस अभिव्यक्ति का प्रयास करें:

भ्रमित न होने के लिए, अलग-अलग अक्षर अलग-अलग वस्तुओं को दर्शाते हैं। उदाहरण के लिए, - यह (हमेशा की तरह) एक कुर्सी है, और - यह एक मेज है। फिर:

कुर्सियाँ मेजें कुर्सी मेज़ कुर्सियाँ कुर्सियाँ मेज़

वे संख्याएँ जिनसे ऐसे पदों के अक्षरों को गुणा किया जाता है, कहलाती हैं गुणांकों. उदाहरण के लिए, एकपदी में गुणांक बराबर होता है। और वह बराबर है।

तो, समान लाने का नियम:

उदाहरण:

समान लाओ:

उत्तर:

2. (और समान हैं, इसलिए, इन शब्दों में एक ही अक्षर भाग है)।

2. गुणनखंड

भावों को सरल बनाने में यह आमतौर पर सबसे महत्वपूर्ण हिस्सा है। आपके द्वारा समान दिए जाने के बाद, अक्सर परिणामी अभिव्यक्ति को गुणनखंडित किया जाना चाहिए, अर्थात उत्पाद के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। यह भिन्नों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है: आखिरकार, एक अंश को कम करने के लिए, अंश और हर को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जाना चाहिए।

आपने "" विषय में व्यंजकों के गुणनखंडन की विस्तृत विधियों का अध्ययन किया है, इसलिए यहां आपको केवल यह याद रखना है कि आपने क्या सीखा है। ऐसा करने के लिए, कुछ हल करें उदाहरण(गुणन करने के लिए):

समाधान:

3. अंश में कमी।

खैर, अंश और हर के एक हिस्से को काटकर अपने जीवन से बाहर निकालने से अच्छा और क्या हो सकता है?

यही संक्षेप की सुंदरता है।

यह आसान है:

यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हों, तो उन्हें घटाया जा सकता है, अर्थात भिन्न से हटाया जा सकता है।

यह नियम भिन्न के मूल गुण से अनुसरण करता है:

यानी कमी ऑपरेशन का सार यह है कि हम एक भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या (या एक ही व्यंजक) से विभाजित करते हैं।

अंश को कम करने के लिए, आपको चाहिए:

1) अंश और हर खंड करना

2) यदि अंश और हर में शामिल हैं सामान्य तथ्य, उन्हें हटाया जा सकता है।

सिद्धांत, मुझे लगता है, स्पष्ट है?

मैं संक्षेप में एक सामान्य गलती की ओर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। हालाँकि यह विषय सरल है, लेकिन बहुत से लोग सब कुछ गलत करते हैं, यह महसूस नहीं करते हैं कट गया- इसका मतलब है की विभाजित करनाअंश और हर एक ही संख्या से।

यदि अंश या हर योग है तो कोई संक्षिप्ताक्षर नहीं है।

उदाहरण के लिए: आपको सरल बनाने की आवश्यकता है।

कुछ ऐसा करते हैं: जो बिल्कुल गलत है।

एक और उदाहरण: कम करें।

"सबसे चतुर" यह करेगा:।

मुझे बताओ यहाँ क्या गलत है? ऐसा प्रतीत होता है: - यह एक गुणक है, इसलिए आप कम कर सकते हैं।

लेकिन नहीं: - यह अंश में केवल एक पद का गुणनखंड है, लेकिन अंश स्वयं समग्र रूप से कारकों में विघटित नहीं होता है।

यहाँ एक और उदाहरण है:।

यह अभिव्यक्ति कारकों में विघटित हो जाती है, जिसका अर्थ है कि आप कम कर सकते हैं, अर्थात अंश और हर को विभाजित कर सकते हैं, और फिर:

आप तुरंत विभाजित कर सकते हैं:

ऐसी गलतियों से बचने के लिए याद रखें आसान तरीकायह निर्धारित करने के लिए कि कोई अभिव्यक्ति कारक है या नहीं:

व्यंजक के मान की गणना करते समय अंतिम बार किया गया अंकगणितीय ऑपरेशन "मुख्य" है। अर्थात्, यदि आप अक्षरों के स्थान पर कुछ (कोई भी) संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, और व्यंजक के मान की गणना करने का प्रयास करते हैं, तो यदि अंतिम क्रिया गुणन है, तो हमारे पास एक गुणनफल होता है (व्यंजक गुणनखंडों में विघटित होता है)। यदि अंतिम क्रिया जोड़ या घटाव है, तो इसका अर्थ है कि व्यंजक गुणनखंडित नहीं है (और इसलिए कम नहीं किया जा सकता)।

इसे ठीक करने के लिए, इसे स्वयं कुछ हल करें उदाहरण:

उत्तर:

1. मुझे आशा है कि आप तुरंत काटने के लिए नहीं गए और? यह अभी भी इस तरह की इकाइयों को "कम" करने के लिए पर्याप्त नहीं था:

कारक बनाने के लिए पहला कदम होना चाहिए:

4. भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों को एक सामान्य भाजक में लाना।

साधारण अंशों को जोड़ना और घटाना एक प्रसिद्ध ऑपरेशन है: हम एक सामान्य हर की तलाश करते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं। चलो याद करते हैं:

उत्तर:

1. हर और सह अभाज्य हैं, अर्थात् उनके समान गुणनखंड नहीं हैं। इसलिए, इन संख्याओं का एलसीएम उनके उत्पाद के बराबर है। यह आम भाजक होगा:

2. यहाँ सार्व भाजक है:

3. पहली बात यहाँ मिश्रित भिन्नउन्हें गलत में बदल दें, और फिर - सामान्य योजना के अनुसार:

उदाहरण के लिए, भिन्नों में अक्षर हों तो यह बिल्कुल दूसरी बात है:

आइए सरल शुरू करें:

a) हर में अक्षर नहीं होते हैं

यहां सब कुछ सामान्य संख्यात्मक अंशों के समान है: हम एक सामान्य भाजक पाते हैं, प्रत्येक अंश को लापता कारक से गुणा करते हैं और अंशों को जोड़ते / घटाते हैं:

अब अंश में आप समान अंश ला सकते हैं, यदि कोई हो, और उनका गुणनखंड करें:

इसे स्वयं आज़माएं:

b) हर में अक्षर होते हैं

आइए अक्षरों के बिना एक सामान्य भाजक खोजने का सिद्धांत याद रखें:

सबसे पहले, हम सामान्य कारकों का निर्धारण करते हैं;

फिर हम सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखते हैं;

और उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करें, सामान्य नहीं।

हर के सामान्य गुणनखंडों को निर्धारित करने के लिए, हम पहले उन्हें सरल कारकों में विघटित करते हैं:

हम सामान्य कारकों पर जोर देते हैं:

अब हम सामान्य गुणनखंडों को एक बार लिखते हैं और उनमें सभी गैर-सामान्य (रेखांकित नहीं) कारक जोड़ते हैं:

यह सामान्य भाजक है।

आइए पत्रों पर वापस जाएं। भाजक ठीक उसी तरह दिए गए हैं:

हम भाजक को कारकों में विघटित करते हैं;

सामान्य (समान) गुणक निर्धारित करें;

सभी सामान्य कारकों को एक बार लिख लें;

हम उन्हें अन्य सभी कारकों से गुणा करते हैं, सामान्य नहीं।

तो, क्रम में:

1) हर को कारकों में विघटित करें:

2) सामान्य (समान) कारकों का निर्धारण करें:

3) सभी सामान्य कारकों को एक बार लिखें और उन्हें अन्य सभी (रेखांकित नहीं) कारकों से गुणा करें:

तो आम भाजक यहाँ है। पहले अंश से गुणा किया जाना चाहिए, दूसरा - द्वारा:

वैसे, एक तरकीब है:

उदाहरण के लिए: ।

हम हर में समान कारक देखते हैं, केवल सभी अलग-अलग संकेतकों के साथ। आम भाजक होगा:

सीमा तक

डिग्री में।

आइए कार्य को जटिल करें:

भिन्नों को एक ही भाजक कैसे बनाते हैं?

आइए एक भिन्न का मूल गुण याद रखें:

यह कहीं नहीं कहा गया है कि भिन्न के अंश और हर में से एक ही संख्या को घटाया (या जोड़ा) जा सकता है। क्योंकि यह सच नहीं है!

अपने लिए देखें: उदाहरण के लिए, कोई भिन्न लें, और अंश और हर में कुछ संख्या जोड़ें, उदाहरण के लिए, . क्या सीखा है?

तो, एक और अटल नियम:

जब आप एक सामान्य हर में भिन्न लाते हैं, तो केवल गुणन संक्रिया का उपयोग करें!

लेकिन प्राप्त करने के लिए आपको गुणा करने की क्या आवश्यकता है?

यहां पर और गुणा करें। और इससे गुणा करें:

जिन व्यंजकों को गुणनखंडित नहीं किया जा सकता उन्हें "प्राथमिक कारक" कहा जाएगा। उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक कारक है। - बहुत। लेकिन - नहीं: यह कारकों में विघटित हो जाता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या? क्या यह प्राथमिक है?

नहीं, क्योंकि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है:

(आप पहले ही "" विषय में गुणनखंडन के बारे में पढ़ चुके हैं)।

तो, प्राथमिक कारक जिनमें आप अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति को विघटित करते हैं, वे साधारण कारकों के अनुरूप होते हैं जिनमें आप संख्याओं को विघटित करते हैं। और हम उनके साथ भी ऐसा ही करेंगे।

हम देखते हैं कि दोनों हरों में एक गुणनखंड होता है। यह सत्ता में आम भाजक के पास जाएगा (याद रखें क्यों?)

गुणक प्राथमिक है, और उनके पास यह सामान्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि पहले अंश को बस इससे गुणा करना होगा:

एक और उदाहरण:

समाधान:

पैनिक में इन हरों को गुणा करने से पहले, आपको यह सोचने की ज़रूरत है कि उन्हें कैसे फ़ैक्टर किया जाए? वे दोनों प्रतिनिधित्व करते हैं:

उत्कृष्ट! फिर:

एक और उदाहरण:

समाधान:

हमेशा की तरह, हम भाजक का गुणनखंड करते हैं। पहले हर में, हम इसे केवल कोष्ठक से बाहर रखते हैं; दूसरे में - वर्गों का अंतर:

ऐसा लगता है कि कोई सामान्य कारक नहीं हैं। लेकिन अगर आप करीब से देखें, तो वे पहले से ही बहुत समान हैं ... और सच्चाई यह है:

तो चलिए लिखते हैं:

यही है, यह इस तरह निकला: ब्रैकेट के अंदर, हमने शर्तों की अदला-बदली की, और साथ ही, अंश के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल गया। ध्यान दें, आपको ऐसा अक्सर करना होगा।

अब हम एक सामान्य भाजक को लाते हैं:

समझ गया? अब चलो जाँच करते हैं।

स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य:

उत्तर:

यहां हमें एक और बात याद रखनी चाहिए - क्यूब्स का अंतर:

कृपया ध्यान दें कि दूसरे भिन्न के हर में "योग का वर्ग" सूत्र नहीं है! योग का वर्ग इस तरह दिखेगा:

ए योग का तथाकथित अपूर्ण वर्ग है: इसमें दूसरा पद पहले और अंतिम का गुणनफल है, न कि उनका दोगुना गुणनफल। योग का अधूरा वर्ग घनों के अंतर के विस्तार के कारकों में से एक है:

क्या होगा यदि पहले से ही तीन अंश हैं?

हाँ वही! सबसे पहले इसे बनाते हैं ताकि अधिकतम राशिहर में कारक समान थे:

ध्यान दें: यदि आप एक कोष्ठक के अंदर के चिन्हों को बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह विपरीत में बदल जाता है। जब हम दूसरे कोष्ठक में चिन्ह बदलते हैं, तो भिन्न के सामने का चिन्ह फिर से उलट जाता है। नतीजतन, वह (अंश के सामने का चिन्ह) नहीं बदला है।

हम सामान्य हर में पहले हर को पूर्ण रूप से लिखते हैं, और फिर हम इसमें उन सभी कारकों को जोड़ते हैं जो अभी तक नहीं लिखे गए हैं, दूसरे से, और फिर तीसरे से (और इसी तरह, यदि अधिक अंश हैं)। यानी यह इस प्रकार है:

हम्म ... भिन्नों के साथ, यह स्पष्ट है कि क्या करना है। लेकिन दोनों का क्या?

यह आसान है: आप भिन्नों को जोड़ना जानते हैं, है ना? तो, आपको यह सुनिश्चित करने की ज़रूरत है कि ड्यूस एक अंश बन जाए! याद रखें: एक अंश एक विभाजन ऑपरेशन है (अंश को हर से विभाजित किया जाता है, यदि आप अचानक भूल जाते हैं)। और किसी संख्या को विभाजित करने से आसान कुछ भी नहीं है। इस मामले में, संख्या स्वयं नहीं बदलेगी, लेकिन एक अंश में बदल जाएगी:

आख़िर ज़रूरत क्या है!

5. भिन्नों का गुणा और भाग।

खैर, सबसे कठिन हिस्सा अब खत्म हो गया है। और हमारे आगे सबसे सरल है, लेकिन साथ ही सबसे महत्वपूर्ण है:

प्रक्रिया

अंकीय व्यंजक की गणना करने की प्रक्रिया क्या है? याद रखें, ऐसी अभिव्यक्ति के मूल्य को देखते हुए:

क्या आपने गिनती की?

यह काम करना चाहिए।

तो, मैं आपको याद दिलाता हूं।

डिग्री की गणना करने के लिए पहला कदम है।

दूसरा गुणन और भाग है। यदि एक ही समय में कई गुणा और भाग हैं, तो आप उन्हें किसी भी क्रम में कर सकते हैं।

और अंत में, हम जोड़ और घटाव करते हैं। फिर से, किसी भी क्रम में।

लेकिन: कोष्ठक की अभिव्यक्ति का मूल्यांकन क्रम से किया जाता है!

यदि कई कोष्ठकों को एक दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो हम पहले प्रत्येक कोष्ठक में व्यंजक का मूल्यांकन करते हैं, और फिर उन्हें गुणा या विभाजित करते हैं।

क्या होगा यदि कोष्ठक के अंदर अन्य कोष्ठक हैं? अच्छा, आइए सोचते हैं: कोष्ठक के अंदर कुछ व्यंजक लिखे गए हैं। किसी व्यंजक का मूल्यांकन करते समय सबसे पहले क्या करना चाहिए? यह सही है, कोष्ठक की गणना करें। खैर, हमने इसका पता लगा लिया: पहले हम आंतरिक कोष्ठक की गणना करते हैं, फिर बाकी सब कुछ।

तो, उपरोक्त अभिव्यक्ति के लिए क्रियाओं का क्रम इस प्रकार है (वर्तमान क्रिया को लाल रंग में हाइलाइट किया गया है, अर्थात वह क्रिया जो मैं अभी कर रहा हूँ):

ठीक है, यह सब आसान है।

लेकिन यह अक्षरों के साथ एक अभिव्यक्ति के समान नहीं है, है ना?

नहीं, यह वही है! केवल अंकगणितीय संक्रियाओं के बजाय बीजगणितीय संक्रियाएँ करना आवश्यक है, अर्थात् पिछले भाग में वर्णित संक्रियाएँ: समान लाना, भिन्नों को जोड़ना, भिन्नों को घटाना, इत्यादि। फर्क सिर्फ इतना है कि बहुपदों को फैक्टरिंग करने की क्रिया होगी (अक्सर हम इसका इस्तेमाल भिन्नों के साथ काम करते समय करते हैं)। बहुधा, गुणनखंडन के लिए, आपको i का उपयोग करना होगा या सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना होगा।

आमतौर पर हमारा लक्ष्य किसी व्यंजक को उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना होता है।

उदाहरण के लिए:

आइए अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

1) सबसे पहले हम कोष्ठक में व्यंजक को सरल बनाते हैं। वहां हमारे पास भिन्नों का अंतर है, और हमारा लक्ष्य इसे उत्पाद या भागफल के रूप में प्रस्तुत करना है। इसलिए, हम भिन्नों को एक सामान्य हर में लाते हैं और जोड़ते हैं:

इस अभिव्यक्ति को और सरल बनाना असंभव है, यहाँ सभी कारक प्राथमिक हैं (क्या आपको अभी भी इसका अर्थ याद है?)

2) हमें मिलता है:

भिन्नों का गुणन: क्या आसान हो सकता है।

3) अब आप छोटा कर सकते हैं:

ठीक है अब सब खत्म हो गया है। कुछ भी जटिल नहीं है, है ना?

एक और उदाहरण:

अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

सबसे पहले, इसे स्वयं हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही समाधान देखें।

सबसे पहले, आइए प्रक्रिया को परिभाषित करें। सबसे पहले, आइए भिन्नों को कोष्ठकों में जोड़ें, दो भिन्नों के बजाय, एक निकलेगा। फिर हम भिन्नों का विभाजन करेंगे। खैर, हम परिणाम को अंतिम भिन्न के साथ जोड़ते हैं। मैं योजनाबद्ध रूप से चरणों की संख्या दूंगा:

अब मैं वर्तमान क्रिया को लाल रंग से रंगते हुए पूरी प्रक्रिया दिखाऊंगा:

अंत में, मैं आपको दो उपयोगी टिप्स दूंगा:

1. यदि समान हैं, तो उन्हें तुरंत लाया जाना चाहिए। हमारे पास जो भी क्षण हैं, उन्हें तुरंत लाने की सलाह दी जाती है।

2. भिन्नों को कम करने के लिए भी यही होता है: जैसे ही कम करने का अवसर आता है, इसका उपयोग किया जाना चाहिए। अपवाद वे अंश हैं जिन्हें आप जोड़ते या घटाते हैं: यदि उनके पास अब समान भाजक हैं, तो कटौती को बाद के लिए छोड़ दिया जाना चाहिए।

यहां कुछ कार्य दिए गए हैं जिन्हें आप स्वयं हल कर सकते हैं:

और शुरुआत में ही वादा किया था:

समाधान (संक्षिप्त):

यदि आपने कम से कम पहले तीन उदाहरणों का सामना किया है, तो विचार करें कि आपने इस विषय में महारत हासिल कर ली है।

अब सीखने के लिए!

अभिव्यक्ति रूपांतरण। सारांश और बुनियादी सूत्र

बुनियादी सरलीकरण संचालन:

समान लाना: समान पदों को जोड़ने (घटाने) के लिए, आपको उनके गुणांक जोड़ने और अक्षर भाग निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है।
गुणनखंडन:कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालना, आवेदन करना आदि।
अंश में कमी: किसी भिन्न के अंश और हर को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा या भाग किया जा सकता है, जिससे भिन्न का मान नहीं बदलता है।
1) अंश और हर खंड करना
2) यदि अंश और हर में समान गुणनखंड हैं, तो उन्हें काट दिया जा सकता है।
महत्वपूर्ण: केवल गुणकों को कम किया जा सकता है!
भिन्नों का जोड़ और घटाव:
;
भिन्नों का गुणन और विभाजन:
;

संख्यात्मक और बीजीय व्यंजक। अभिव्यक्ति रूपांतरण।

गणित में एक अभिव्यक्ति क्या है? अभिव्यक्ति रूपांतरणों की आवश्यकता क्यों है?

सवाल, जैसा कि वे कहते हैं, दिलचस्प है ... तथ्य यह है कि ये अवधारणाएं सभी गणित का आधार हैं। सभी गणित में भाव और उनके परिवर्तन होते हैं। बहुत स्पष्ट नहीं है? मुझे समझाने दो।

मान लीजिए कि आपके पास एक बुरा उदाहरण है। बहुत बड़ा और बहुत जटिल। मान लीजिए कि आप गणित में अच्छे हैं और आप किसी भी चीज़ से डरते नहीं हैं! क्या आप तुरंत जवाब दे सकते हैं?

आप के लिए होगा तय करनायह उदाहरण। क्रमिक रूप से, चरण दर चरण, यह उदाहरण सरल. कुछ नियमों के अनुसार, बिल्कुल। वे। करना अभिव्यक्ति रूपांतरण. आप इन परिवर्तनों को कितनी सफलतापूर्वक अंजाम देते हैं, इसलिए आप गणित में मजबूत हैं। यदि आप नहीं जानते कि सही परिवर्तन कैसे करें, तो गणित में आप ऐसा नहीं कर सकते कुछ नहीं...

इस तरह के असहज भविष्य (या वर्तमान ...) से बचने के लिए, इस विषय को समझने में कोई दिक्कत नहीं है।)

आरंभ करने के लिए, आइए जानें गणित में एक अभिव्यक्ति क्या है. क्या संख्यात्मक अभिव्यक्तिऔर क्या है बीजगणतीय अभिव्यक्ति।

गणित में एक अभिव्यक्ति क्या है?

गणित में अभिव्यक्तिएक बहुत व्यापक अवधारणा है। गणित में हम जो कुछ भी करते हैं वह लगभग गणितीय अभिव्यक्तियों का एक समूह है। कोई भी उदाहरण, सूत्र, भिन्न, समीकरण, और इसी तरह - इसमें सभी शामिल हैं गणितीय अभिव्यक्ति.

3+2 एक गणितीय व्यंजक है। सी 2 - डी 2एक गणितीय अभिव्यक्ति भी है। और एक स्वस्थ भिन्न, और एक भी संख्या - ये सभी गणितीय व्यंजक हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण है:

5x + 2 = 12

एक समान चिह्न द्वारा जुड़े दो गणितीय व्यंजकों से मिलकर बना है। एक अभिव्यक्ति बाईं ओर है, दूसरी दाईं ओर है।

पर सामान्य दृष्टि सेशर्त " गणितीय अभिव्यक्ति" का उपयोग अक्सर, गड़गड़ाहट न करने के लिए किया जाता है। वे आपसे पूछेंगे कि एक साधारण अंश क्या है, उदाहरण के लिए? और कैसे उत्तर दें?!

उत्तर 1: "यह है ... एम-एम-एम-एम... ऐसी चीज ... जिसमें ... क्या मैं भिन्न को बेहतर तरीके से लिख सकता हूं? आप कौन सा चाहते है?"

दूसरा उत्तर विकल्प: "एक साधारण अंश है (खुशी और खुशी से!) गणितीय अभिव्यक्ति , जिसमें एक अंश और एक हर होता है!"

दूसरा विकल्प किसी तरह अधिक प्रभावशाली है, है ना?)

इस प्रयोजन के लिए, वाक्यांश " गणितीय अभिव्यक्ति "बहुत अच्छा। सही और ठोस दोनों। लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोग के लिए, आपको अच्छी तरह से वाकिफ होना चाहिए गणित में विशिष्ट प्रकार के व्यंजक .

विशिष्ट प्रकार एक और मामला है। यह बिलकुल दूसरी बात!प्रत्येक प्रकार के गणितीय व्यंजक में होता है मेरानियमों और तकनीकों का एक सेट जिसका उपयोग निर्णय में किया जाना चाहिए। भिन्नों के साथ काम करने के लिए - एक सेट। त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए - दूसरा। लघुगणक के साथ काम करने के लिए - तीसरा। और इसी तरह। कहीं ये नियम मेल खाते हैं, कहीं वे तेजी से भिन्न होते हैं। लेकिन इनसे डरो मत भयानक शब्द. लघुगणक, त्रिकोणमिति और अन्य रहस्यमय चीजें हम संबंधित वर्गों में महारत हासिल करेंगे।

यहां हम दो मुख्य प्रकार के गणितीय व्यंजकों में महारत हासिल करेंगे (या - जैसा आप चाहें, दोहराएं)। संख्यात्मक व्यंजक और बीजीय व्यंजक।

संख्यात्मक भाव।

क्या संख्यात्मक अभिव्यक्ति? यह एक बहुत ही सरल अवधारणा है। नाम से ही संकेत मिलता है कि यह संख्याओं के साथ एक व्यंजक है। ऐसा ही है। अंकगणितीय संक्रियाओं के अंकों, कोष्ठकों और चिह्नों से बने गणितीय व्यंजक को अंकीय व्यंजक कहते हैं।

7-3 एक अंकीय व्यंजक है।

(8+3.2) 5.4 भी एक अंकीय व्यंजक है।

और यह राक्षस:

एक सांख्यिक व्यंजक भी, हाँ...

एक साधारण संख्या, एक अंश, बिना एक्स और अन्य अक्षरों के कोई भी गणना उदाहरण - ये सभी संख्यात्मक अभिव्यक्ति हैं।

मुख्य विशेषता संख्यात्मकइसमें भाव कोई पत्र नहीं. कोई भी नहीं। केवल संख्याएं और गणितीय चिह्न (यदि आवश्यक हो)। यह आसान है, है ना?

और संख्यात्मक अभिव्यक्तियों के साथ क्या किया जा सकता है? संख्यात्मक अभिव्यक्तियों को आमतौर पर गिना जा सकता है। ऐसा करने के लिए, कभी-कभी आपको कोष्ठक खोलने, संकेत बदलने, संक्षिप्त करने, शब्दों को स्वैप करने की आवश्यकता होती है - अर्थात। करना अभिव्यक्ति रूपांतरण. लेकिन उस पर और नीचे।

यहाँ हम ऐसे मज़ेदार मामले से निपटेंगे जब एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति के साथ आपको कुछ नहीं करना है।खैर, कुछ भी नहीं! यह अच्छा ऑपरेशन कुछ भी नहीं करने के लिए)- निष्पादित किया जाता है जब अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं है.

एक संख्यात्मक अभिव्यक्ति कब समझ में नहीं आती है?

निःसंदेह यदि हम अपने सामने किसी प्रकार का अब्रकद्र देखते हैं, जैसे

तो हम कुछ नहीं करेंगे। चूंकि यह स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या करना है। कुछ बकवास। जब तक, प्लसस की संख्या गिनने के लिए ...

लेकिन बाहरी तौर पर काफी अच्छे भाव हैं। उदाहरण के लिए यह:

(2+3) : (16 - 2 8)

हालाँकि, यह अभिव्यक्ति भी है कोई मतलब नहीं है! साधारण कारण के लिए कि दूसरे कोष्ठक में - यदि आप गिनते हैं - तो आपको शून्य मिलता है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते! यह गणित में निषिद्ध ऑपरेशन है। इसलिए, इस अभिव्यक्ति के साथ भी कुछ करने की आवश्यकता नहीं है। ऐसी अभिव्यक्ति वाले किसी भी कार्य के लिए, उत्तर हमेशा एक ही होगा: "अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है!"

ऐसा उत्तर देने के लिए, निश्चित रूप से, मुझे यह गणना करनी थी कि कोष्ठक में क्या होगा। और कभी-कभी कोष्ठकों में ऐसा मोड़ ... ठीक है, इसके बारे में करने के लिए कुछ नहीं है।

गणित में इतने सारे निषिद्ध ऑपरेशन नहीं हैं। इस धागे में केवल एक ही है। शून्य से विभाजन। प्रासंगिक विषयों में जड़ों और लघुगणक में उत्पन्न होने वाले अतिरिक्त निषेधों पर चर्चा की गई है।

तो, एक विचार क्या है संख्यात्मक अभिव्यक्ति- प्राप्त। संकल्पना संख्यात्मक अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है- एहसास हुआ। चलिए और आगे बढ़ते हैं।

बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ।

यदि संख्यात्मक व्यंजक में अक्षर प्रकट होते हैं, तो यह व्यंजक बन जाता है... व्यंजक बन जाता है... हाँ! यह हो जाता है बीजगणतीय अभिव्यक्ति. उदाहरण के लिए:

5ए 2; 3x-2y; 3 (जेड-2); 3.4 मीटर/एन; एक्स 2 +4x-4; (ए + बी) 2; ...

ऐसे भावों को भी कहा जाता है शाब्दिक अभिव्यक्तियाँ।या चर के साथ अभिव्यक्ति।यह व्यावहारिक रूप से वही बात है। अभिव्यक्ति 5ए +सी, उदाहरण के लिए - शाब्दिक और बीजीय दोनों, और चर के साथ व्यंजक।

संकल्पना बीजगणतीय अभिव्यक्ति -संख्यात्मक से अधिक व्यापक। यह शामिलऔर सभी संख्यात्मक भाव। वे। एक संख्यात्मक व्यंजक भी एक बीजीय व्यंजक है, केवल अक्षरों के बिना। हर हेरिंग एक मछली है, लेकिन हर मछली एक हेरिंग नहीं है...)

क्यों शाब्दिक- स्पष्ट। खैर, चूंकि पत्र हैं ... वाक्यांश चर के साथ अभिव्यक्तिभी बहुत हैरान करने वाला नहीं है। अगर आप समझते हैं कि अक्षरों के नीचे अंक छिपे होते हैं। अक्षरों के नीचे सभी प्रकार की संख्याएँ छिपाई जा सकती हैं ... और 5, और -18, और जो भी आपको पसंद हो। यानी एक पत्र कर सकते हैं बदलने केपर अलग संख्या. इसलिए अक्षरों को कहा जाता है चर.

अभिव्यक्ति में वाई+5, उदाहरण के लिए, पर- चर। या यूँ ही कहो " चर", "मूल्य" शब्द के बिना। पांच के विपरीत, जो एक स्थिर मूल्य है। या केवल - लगातार.

शर्त बीजगणतीय अभिव्यक्तिइसका मतलब है कि इस अभिव्यक्ति के साथ काम करने के लिए, आपको कानूनों और नियमों का उपयोग करने की आवश्यकता है बीजगणित. यदि एक अंकगणितविशिष्ट संख्याओं के साथ काम करता है, तब बीजगणित- एक ही बार में सभी नंबरों के साथ। स्पष्टीकरण के लिए एक सरल उदाहरण।

अंकगणित में, कोई यह लिख सकता है कि

लेकिन अगर हम बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के माध्यम से समान समानता लिखते हैं:

ए + बी = बी + ए

हम तुरंत फैसला करेंगे सबप्रशन। के लिये सभी नंबरआघात। अनंत चीजों के लिए। क्योंकि अक्षरों के नीचे एकतथा बीगर्भित सबसंख्याएं। और न केवल संख्याएँ, बल्कि अन्य गणितीय व्यंजक भी। इस तरह बीजगणित काम करता है।

बीजीय व्यंजक का कब कोई अर्थ नहीं होता?

संख्यात्मक अभिव्यक्ति के बारे में सब कुछ स्पष्ट है। आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते। और अक्षरों से, क्या यह पता लगाना संभव है कि हम किससे भाग कर रहे हैं?!

आइए निम्नलिखित चर अभिव्यक्ति को एक उदाहरण के रूप में लें:

2: (एक - 5)

क्या इसका अर्थ बनता है? लेकिन उसे कौन जानता है? एक- कोई संख्या...

कोई भी, कोई भी... लेकिन इसका एक अर्थ है एक, जिसके लिए यह अभिव्यक्ति बिल्कुलकोई मतलब नहीं है! और वह संख्या क्या है? हाँ! यह 5 है! यदि चर एकप्रतिस्थापित करें (वे कहते हैं - "विकल्प") संख्या 5 के साथ, कोष्ठक में, शून्य निकलेगा। जिसे विभाजित नहीं किया जा सकता है। तो यह पता चलता है कि हमारी अभिव्यक्ति कोई मतलब नहीं है, यदि ए = 5. लेकिन अन्य मूल्यों के लिए एकक्या इसका अर्थ बनता है? क्या आप अन्य संख्याओं को स्थानापन्न कर सकते हैं?

बेशक। ऐसे मामलों में, यह केवल कहा जाता है कि अभिव्यक्ति

2: (एक - 5)

किसी भी मूल्य के लिए समझ में आता है एक, a = 5 . को छोड़कर .

संख्याओं का पूरा सेट कर सकते हैंदिए गए व्यंजक के स्थानापन्न को कहते हैं मान्य रेंजयह अभिव्यक्ति।

जैसा कि आप देख सकते हैं, कुछ भी मुश्किल नहीं है। हम चर के साथ अभिव्यक्ति को देखते हैं, और सोचते हैं: चर के किस मूल्य पर निषिद्ध ऑपरेशन प्राप्त होता है (शून्य से विभाजन)?

और फिर असाइनमेंट के प्रश्न को देखना सुनिश्चित करें। वे क्या पूछ रहे हैं?

कोई मतलब नहीं है, हमारी निषिद्ध अर्थऔर उत्तर होगा।

यदि वे पूछते हैं कि चर के किस मूल्य पर अभिव्यक्ति अर्थ है(अंतर महसूस करो!), जवाब होगा अन्य सभी नंबरनिषिद्ध को छोड़कर।

हमें अभिव्यक्ति के अर्थ की आवश्यकता क्यों है? वह वहाँ है, वह नहीं है... क्या फर्क है?! तथ्य यह है कि हाई स्कूल में यह अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण हो जाती है। अत्यंत महत्वपूर्ण! यह ऐसी ठोस अवधारणाओं का आधार है जैसे मान्य मानों की सीमा या किसी फ़ंक्शन का दायरा। इसके बिना आप गंभीर समीकरणों या असमानताओं को बिल्कुल भी हल नहीं कर पाएंगे। इस प्रकार सं.

अभिव्यक्ति रूपांतरण। पहचान परिवर्तन।

हम संख्यात्मक और बीजीय व्यंजकों से परिचित हुए। समझें कि "अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है" वाक्यांश का क्या अर्थ है। अब हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि क्या अभिव्यक्ति रूपांतरण।उत्तर सरल है, अपमानजनक।) यह एक अभिव्यक्ति के साथ कोई भी क्रिया है। और बस। आप ये परिवर्तन प्रथम श्रेणी से करते आ रहे हैं।

शांत संख्यात्मक व्यंजक 3+5 लें। इसे कैसे परिवर्तित किया जा सकता है? हाँ, बहुत आसान! गणना करें:

यह गणना व्यंजक का रूपांतरण होगी। आप एक ही एक्सप्रेशन को दूसरे तरीके से लिख सकते हैं:

हमने यहां कुछ भी नहीं गिना। बस व्यंजक लिखिए एक अलग रूप में।यह भी अभिव्यक्ति का रूपांतरण होगा। इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

और यह भी एक अभिव्यक्ति का रूपांतरण है। आप इनमें से जितने चाहें उतने परिवर्तन कर सकते हैं।

कोईएक अभिव्यक्ति पर कार्रवाई कोईइसे भिन्न रूप में लिखने को व्यंजक रूपान्तरण कहते हैं। और सभी चीजें। सब कुछ बहुत सरल है। लेकिन यहाँ एक बात है बहुत महत्वपूर्ण नियम।इतना महत्वपूर्ण है कि इसे सुरक्षित रूप से कहा जा सकता है मुख्य नियमसभी गणित। इस नियम को तोड़ना अनिवार्य रूप सेत्रुटियों की ओर ले जाता है। क्या हम समझते हैं?)

मान लें कि हमने अपनी अभिव्यक्ति को मनमाने ढंग से इस तरह बदल दिया है:

परिवर्तन? बेशक। हमने व्यंजक को भिन्न रूप में लिखा, यहाँ गलत क्या है?

ऐसा नहीं है।) तथ्य यह है कि परिवर्तन "जो भी हो"गणित की बिल्कुल भी दिलचस्पी नहीं है।) सभी गणित उन परिवर्तनों पर निर्मित होते हैं जिनमें दिखावट, लेकिन अभिव्यक्ति का सार नहीं बदलता है।थ्री प्लस फाइव किसी भी रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन यह आठ होना चाहिए।

परिवर्तन, भाव जो सार को नहीं बदलतेबुलाया सदृश।

बिल्कुल समान परिवर्तनऔर हमें, कदम दर कदम, एक जटिल उदाहरण को एक सरल अभिव्यक्ति में बदलने की अनुमति देते हैं उदाहरण का सार।यदि हम परिवर्तनों की श्रृंखला में कोई गलती करते हैं, हम एक समान परिवर्तन नहीं करेंगे, तो हम निर्णय लेंगे दूसराउदाहरण। अन्य उत्तरों के साथ जो सही से संबंधित नहीं हैं।)

यहां किसी भी कार्य को हल करने का मुख्य नियम है: परिवर्तनों की पहचान का अनुपालन।

मैंने स्पष्टता के लिए संख्यात्मक अभिव्यक्ति 3 + 5 के साथ एक उदाहरण दिया। बीजीय व्यंजकों में समान रूपान्तरण सूत्रों और नियमों द्वारा दिए जाते हैं। मान लीजिए कि बीजगणित में एक सूत्र है:

ए (बी + सी) = एबी + एसी

तो, किसी भी उदाहरण में, हम अभिव्यक्ति के बजाय कर सकते हैं ए (बी + सी)अभिव्यक्ति लिखने के लिए स्वतंत्र महसूस करें एबी+एसी. और इसके विपरीत। यह समान परिवर्तन।गणित हमें इन दो भावों का विकल्प देता है। और कौन सा लिखना है यह विशिष्ट उदाहरण पर निर्भर करता है।

एक और उदाहरण। सबसे महत्वपूर्ण और आवश्यक परिवर्तनों में से एक अंश की मूल संपत्ति है। आप लिंक पर अधिक विवरण देख सकते हैं, लेकिन यहां मैं केवल नियम को याद दिलाता हूं: यदि किसी भिन्न के अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा (विभाजित) किया जाता है, या एक व्यंजक जो शून्य के बराबर नहीं है, तो भिन्न नहीं बदलेगा।इस संपत्ति के लिए समान परिवर्तनों का एक उदाहरण यहां दिया गया है:

जैसा कि आपने शायद अनुमान लगाया था, इस श्रृंखला को अनिश्चित काल तक जारी रखा जा सकता है...) एक बहुत ही महत्वपूर्ण संपत्ति। यह वह है जो आपको सभी प्रकार के राक्षसों को सफेद और शराबी में बदलने की अनुमति देता है।)

समान परिवर्तनों को परिभाषित करने वाले कई सूत्र हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण - काफी उचित राशि। बुनियादी परिवर्तनों में से एक कारककरण है। इसका उपयोग सभी गणित में किया जाता है - प्राथमिक से उन्नत तक। आइए उसके साथ शुरू करते हैं। अगले पाठ में।)

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