दिए गए बिंदुओं के सममित बिंदुओं के निर्देशांकों को नाम दें
y-अक्ष के बारे में:
आप
(- 2; 6)
(2; 6)
(- 1; 4)
(1; 4)
(0; 0)
(0; 0)
(- 3; - 5)
(3; - 5)
एक्स

ग्राफ से पता चलता है कि ओए अक्ष परवलय को सममित में विभाजित करता है
निर्देशांक के साथ बिंदु पर बाएँ और दाएँ भाग (परवलय की शाखाएँ) (0; 0)
(परवलय के ऊपर) फलन x 2 का मान सबसे छोटा है।
फ़ंक्शन का कोई अधिकतम मान नहीं है। परवलय का शीर्ष है
समरूपता की धुरी के साथ ग्राफ के चौराहे का बिंदु ओए।
x (- ; 0 ] के लिए ग्राफ के भाग पर फलन घटता है,
और x [0; + ) बढ़ता है।

फ़ंक्शन y \u003d x 2 + 3 का ग्राफ एक ही परवलय है, लेकिन इसका
शीर्ष निर्देशांक (0; 3) के साथ बिंदु पर है।

किसी फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें
वाई = 5x + 4 अगर:
एक्स = -1
वाई=-1 वाई=19
एक्स = -2
वाई=-6
वाई = 29
एक्स = 3
एक्स = 5

उल्लिखित करना
कार्य क्षेत्र:
वाई = 16-5x
10
आप
एक्स
एक्स - कोई भी
संख्या
x≠0
1
आप
एक्स 7
4x 1
आप
5
x≠7

फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट करें:
1)। वाई \u003d 2X + 3
2).यू=-2X-1;
3).

10.

गणितीय
अध्ययन
विषय: फंक्शन y = x2

11.

बनाना
अनुसूची
कार्यों
वाई = x2

12.

एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथ्म ..
1. X और Y मानों की तालिका भरें।
2. निर्देशांक तल में बिंदुओं को चिह्नित करें,
जिनके निर्देशांक तालिका में दिखाए गए हैं।
3. इन बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़िए।

13.

अविश्वसनीय
लेकिन एक तथ्य!
परबोला दर्रा

14.

क्या तुम्हें पता था?
नीचे फेंके गए पत्थर का प्रक्षेपवक्र
क्षितिज के कोण, साथ उड़ जाएगा
परवलय

15. फलन के गुण y = x2

*
समारोह गुण
वाई =
2
एक्स

16.

*कार्यक्षेत्र
कार्य डी (एफ):
x कोई संख्या है।
*मूल्यों की श्रृंखला
कार्य ई (एफ):
y 0 के सभी मान।

17.

*यदि एक
एक्स = 0, फिर वाई = 0।
फंक्शन ग्राफ
के माध्यम से चला जाता है
मूल।

18.

द्वितीय
मैं
*यदि एक
एक्स 0,
फिर वाई> 0।
सभी ग्राफ अंक
डॉट को छोड़कर कार्य
(0; 0), स्थित
एक्स अक्ष के ऊपर।

19.

*विलोम
एक्स मान
एक से मेल खाता है
और एक ही मूल्य।
फंक्शन ग्राफ
सममित
अक्ष के बारे में
तालमेल

20.

ज्यामितिक
परवलय गुण
*समरूपता रखता है
* अक्ष परवलय को काटती है
दो भाग: शाखाएँ
परवलय
*बिंदु (0; 0) – शिखर
परवलय
*परवलय अक्ष को छूता है
सूच्याकार आकृति का भुज
एक्सिस
समरूपता

21.

वाई खोजें अगर:
"ज्ञान एक उपकरण है
लक्ष्य नहीं"
एल. एन. टॉल्स्टॉय
एक्स = 1.4
- 1,4
वाई = 1.96
एक्स = 2.6
-2,6
वाई = 6.76
एक्स = 3.1
- 3,1
वाई = 9.61
एक्स खोजें अगर:
वाई = 6
वाई = 4
एक्स ≈ 2.5 एक्स ≈ -2.5
एक्स = 2 एक्स = -2

22.

एक में निर्माण
निर्देशांक तरीका
दो कार्यों के रेखांकन
1. अवसर:
वाई = x2
वाई = एक्स + 1
2.केस:
वाई = x2
वाई = -1

23.

पाना
कई अर्थ
एक्स, जिस पर
फ़ंक्शन मान:
4 . से कम
4 . से अधिक

24.

क्या बिंदु फ़ंक्शन y \u003d x2 के ग्राफ से संबंधित है:
पी (-18; 324)
आर (-99; -9081)
अंतर्गत आता है
ताल्लुक नहीं
एस(17; 279)
ताल्लुक नहीं
कोई गणना किए बिना, निर्धारित करें कि कौन सा
अंक फलन y = x2 के ग्राफ से संबंधित नहीं हैं:
(-1; 1)
*
(-2; 4)
(0; 8)
(3; -9)
(1,8; 3,24)
बिंदु P(a; 64) किस मान के लिए फ़ंक्शन y = x2 के ग्राफ़ से संबंधित है।
ए = 8; ए = - 8
(16; 0)

25.

समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदम
रेखांकन
1. एक प्रणाली में बनाएँ
खड़े कार्यों के रेखांकन के निर्देशांक
समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्ष पर।
2. प्रतिच्छेद बिन्दुओं के भुज ज्ञात कीजिए
रेखांकन। यह जड़ें होंगी।
समीकरण
3. यदि कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं हैं, तो
समीकरण की कोई जड़ नहीं है

पहले, हमने अन्य कार्यों का अध्ययन किया, उदाहरण के लिए, एक रैखिक, आइए हम इसके मानक रूप को याद करें:

इसलिए स्पष्ट मौलिक अंतर - रैखिक कार्य में एक्सपहली डिग्री में खड़ा है, और उस नए कार्य में, जिसका हम अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, एक्सदूसरी डिग्री में खड़ा है।

याद रखें कि एक रेखीय फलन का आलेख एक सीधी रेखा है, और एक फलन का आलेख, जैसा कि हम देखेंगे, एक वक्र है जिसे परवलय कहा जाता है।

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि सूत्र कहां से आया है। व्याख्या यह है: यदि हमें एक भुजा वाला वर्ग दिया जाता है एक, तो हम इसके क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

यदि हम वर्ग की भुजा की लंबाई बदल दें, तो उसका क्षेत्रफल बदल जाएगा।

तो, फ़ंक्शन का अध्ययन करने का एक कारण दिया गया है

याद रखें कि चर एक्सएक स्वतंत्र चर या तर्क है, भौतिक व्याख्या में यह हो सकता है, उदाहरण के लिए, समय। दूरी, इसके विपरीत, एक आश्रित चर है, यह समय पर निर्भर करता है। आश्रित चर या फलन एक चर है पर.

यह पत्राचार का नियम है, जिसके अनुसार प्रत्येक मान एक्सएकल मान के लिए मैप किया गया पर.

किसी भी पत्राचार कानून को तर्क से कार्य करने के लिए विशिष्टता की आवश्यकता को पूरा करना चाहिए। एक भौतिक व्याख्या में, यह समय पर दूरी की निर्भरता के उदाहरण पर बिल्कुल स्पष्ट दिखता है: समय के प्रत्येक क्षण में हम प्रारंभिक बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं, और एक ही समय में t दोनों होना असंभव है यात्रा की शुरुआत से 10 और 20 किलोमीटर।

उसी समय, प्रत्येक फ़ंक्शन मान को कई तर्क मानों के साथ पहुँचा जा सकता है।

तो, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाने की आवश्यकता है, ऐसा करने के लिए, एक तालिका बनाएं। फिर, ग्राफ के अनुसार, फ़ंक्शन और उसके गुणों की जांच करें। लेकिन ग्राफ को प्लॉट करने से पहले भी, हम इसके गुणों के बारे में फ़ंक्शन के रूप में कुछ कह सकते हैं: यह स्पष्ट है कि परऋणात्मक मान नहीं ले सकते, क्योंकि

तो चलिए एक टेबल बनाते हैं:

चावल। एक

ग्राफ से निम्नलिखित गुणों को नोट करना आसान है:

एक्सिस परग्राफ की समरूपता की धुरी है;

परवलय का शीर्ष बिंदु (0; 0) है;

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन केवल गैर-ऋणात्मक मान स्वीकार करता है;

अंतराल में जहां फ़ंक्शन कम हो रहा है, लेकिन अंतराल पर जहां फ़ंक्शन बढ़ रहा है;

फ़ंक्शन शीर्ष पर सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, ;

फ़ंक्शन का कोई अधिकतम मान नहीं है;

उदाहरण 1

स्थि‍ति:

समाधान:

क्यों कि एक्सएक विशिष्ट अंतराल पर सशर्त रूप से बदलता है, हम फ़ंक्शन के बारे में कह सकते हैं कि यह बढ़ता है और अंतराल पर बदलता है। इस अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम मान होता है

चावल। 2. फलन y = x 2 , x . का आलेख

उदाहरण 2

स्थि‍ति:किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

समाधान:

एक्सअंतराल में परिवर्तन, जिसका अर्थ है परअंतराल पर घटता है जबकि अंतराल पर बढ़ता है।

तो परिवर्तन की सीमा एक्स, और परिवर्तन की सीमा पर, जिसका अर्थ है कि इस अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम दोनों होता है

चावल। 3. फलन का ग्राफ y = x 2 , x [-3; 2]

आइए हम इस तथ्य को स्पष्ट करें कि एक फ़ंक्शन का समान मान तर्क के कई मानों के साथ प्राप्त किया जा सकता है।

फॉर्म y = kx + m दो चर x, y के साथ। सच है, इस समीकरण (इस गणितीय मॉडल में) में प्रदर्शित होने वाले चर x, y को असमान माना जाता था: x एक स्वतंत्र चर (तर्क) है, जिसके लिए हम किसी भी चीज़ की परवाह किए बिना कोई भी मान संलग्न कर सकते हैं; y आश्रित चर है क्योंकि इसका मान निर्भर करता है कि x के किस मान को चुना गया था। लेकिन फिर एक स्वाभाविक सवाल उठता है: क्या कोई है? गणितीय मॉडलउसी योजना के, लेकिन जिनमें y को x के माध्यम से व्यक्त किया जाता है, सूत्र y \u003d kx + m के अनुसार नहीं, बल्कि किसी अन्य तरीके से? उत्तर स्पष्ट है: बेशक वे करते हैं। यदि, उदाहरण के लिए, x एक वर्ग की भुजा है और y उसका है
क्षेत्र, फिर y - x 2 । यदि x घन की भुजा है और y इसका आयतन है, तो y x 3 है। यदि x एक आयत की एक भुजा है जिसका क्षेत्रफल 100 सेमी 2 है, और y इसकी दूसरी भुजा है, तो। इसलिए, यह स्वाभाविक है कि गणित में वे मॉडल y-kx + m का अध्ययन करने तक सीमित नहीं हैं, किसी को मॉडल y \u003d x 2, और मॉडल y \u003d x 3, और मॉडल, और कई दोनों का अध्ययन करना होगा। अन्य मॉडल जिनकी संरचना समान है: समानता के बाईं ओर चर y है, और दाईं ओर - चर x के साथ कुछ अभिव्यक्ति। ऐसे मॉडलों के लिए, विशेषण "रैखिक" को छोड़कर, "फ़ंक्शन" शब्द को बरकरार रखा जाता है।

इस भाग में, हम फलन y = x 2 पर विचार करते हैं और इसकी रचना करते हैं अनुसूची.

आइए स्वतंत्र चर x को कई विशिष्ट मान दें और आश्रित चर y के संगत मानों की गणना करें (सूत्र y \u003d x 2 का उपयोग करके):

यदि x \u003d 0, तो y \u003d O 2 \u003d 0;
यदि x \u003d 1, तो y \u003d मैं 2 \u003d 1;
यदि x = 2, तो y = 2 2 = 4;
यदि x \u003d 3, तो y \u003d Z 2 \u003d 9;
यदि x \u003d - 1, तो y \u003d (- I 2) - 1;
यदि x \u003d - 2, तो y \u003d (- 2) 2 \u003d 4;
यदि x \u003d - 3, तो y \u003d (- Z) 2 \u003d 9;
संक्षेप में, हमने निम्नलिखित तालिका संकलित की है:

एक्स	0	1	2	3	-1	-2	-3
पर	0	1	4	9	1	4	9

आइए पाए गए बिंदुओं (0; 0), (1; 1), (2; 4), 93; 9), (-1; 1), (- 2; 4), (- 3; 9), xOy निर्देशांक तल पर (चित्र 54, a)।

ये बिंदु एक निश्चित रेखा पर स्थित हैं, आइए इसे खींचते हैं (चित्र 54, बी)। इस रेखा को परवलय कहते हैं।

बेशक, आदर्श रूप से, किसी को तर्क x को सभी संभावित मान देना होगा, चर y के संगत मानों की गणना करनी होगी, और परिणामी बिंदुओं (x; y) को प्लॉट करना होगा। तब शेड्यूल बिल्कुल सटीक, त्रुटिरहित होगा। हालांकि, यह अवास्तविक है, क्योंकि असीम रूप से ऐसे कई बिंदु हैं। इसलिए, गणितज्ञ ऐसा करते हैं: वे अंकों का एक सीमित सेट लेते हैं, उन्हें बनाते हैं कार्तिकये निर्देशांकऔर देखें कि इन बिंदुओं से कौन सी रेखा खींची जाती है। यदि इस रेखा की रूपरेखा स्पष्ट रूप से दिखाई देती है (जैसा कि हमने किया, उदाहरण के लिए, उदाहरण 1 से 28), तो यह रेखा खींची जाती है। क्या गलतियाँ संभव हैं? इसके बिना नहीं। इसलिए जरूरी है कि गणित का गहराई से और गहराई से अध्ययन किया जाए ताकि गलतियों से बचने के साधन हों।

आइए एक परवलय के ज्यामितीय गुणों का वर्णन करने के लिए, चित्र 54 को देखने का प्रयास करें।

पहले तो, हम देखते हैं कि परवलय काफी सुंदर दिखता है, क्योंकि इसमें समरूपता होती है। वास्तव में, यदि हम x-अक्ष के समांतर x-अक्ष के ऊपर कोई रेखा खींचते हैं, तो यह रेखा परवलय को y-अक्ष से समान दूरी पर स्थित दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेगी, लेकिन साथ में विभिन्न पक्षइससे (चित्र। 55)। वैसे, चित्र 54 में चिह्नित बिंदुओं के बारे में भी यही कहा जा सकता है, लेकिन:

(1; 1) और (- 1; 1); (2; 4) और (-2; 4); सी; 9) और (-3; 9)।

ऐसा कहा जाता है कि y-अक्ष परवलय की सममिति की धुरी है y=x2, या यह कि परवलय y-अक्ष के बारे में सममित है।

दूसरे, हम देखते हैं कि समरूपता की धुरी, जैसा कि थी, परवलय को दो भागों में काटती है, जिन्हें आमतौर पर परवलय की शाखाएँ कहा जाता है।

तीसरे, हम देखते हैं कि परवलय में एक विलक्षण बिंदु होता है जिस पर दोनों शाखाएं मिलती हैं और जो परवलय की सममिति के अक्ष पर स्थित होती है - बिंदु (0; 0)। इसकी ख़ासियत को देखते हुए, इसे एक विशेष नाम दिया गया - परवलय का शीर्ष।

चौथी, जब परवलय की एक शाखा शीर्ष पर दूसरी शाखा से जुड़ती है, तो यह बिना किसी रुकावट के सुचारू रूप से होता है; परवलय, जैसा कि यह था, एब्सिस्सा अक्ष के खिलाफ "दबाता"। आमतौर पर वे कहते हैं: परवलय x-अक्ष को छूता है।

अब आइए फ़ंक्शन y \u003d x 2 के कुछ गुणों का वर्णन करने के लिए चित्र 54 को देखने का प्रयास करें।

पहले तो, हम देखते हैं कि x = 0 के लिए y - 0, x > 0 के लिए y > 0 और x . के लिए< 0.

दूसरी बात,ध्यान दें कि y nam. = 0, जबकि नायब मौजूद नहीं है।

तीसरे, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y \u003d x 2 बीम पर घटता है (- ° °, 0] - x के इन मानों के लिए, परवलय के साथ बाएं से दाएं चलते हुए, हम "पहाड़ी से नीचे जाते हैं" (चित्र देखें। 55) फ़ंक्शन y \u003d x 2 बीम पर बढ़ता है;
बी) खंड पर [- 3, - 1.5];
ग) अंतराल पर [- 3, 2]।

समाधान,

a) आइए एक परवलय y \u003d x 2 का निर्माण करें और इसके उस भाग का चयन करें जो खंड से चर x के मानों से मेल खाता हो (चित्र 56)। ग्राफ के चयनित भाग के लिए, हम naim पर पाते हैं। = 1 (x = 1 के लिए), y अधिकतम। = 9 (x = 3 के लिए)।

ख) आइए एक परवलय y \u003d x 2 का निर्माण करें और उसके उस भाग का चयन करें जो खंड [-3, -1.5] (चित्र 57) से चर x के मानों से मेल खाता हो। ग्राफ के चयनित भाग के लिए, हम y नाम पाते हैं। \u003d 2.25 (x \u003d - 1.5 पर), y अधिकतम। = 9 (x = - 3 पर)।

ग) आइए एक परवलय y \u003d x 2 का निर्माण करें और इसके उस भाग का चयन करें जो खंड [-3, 2] (चित्र 58) से चर x के मानों से मेल खाता हो। ग्राफ के चयनित भाग के लिए, हम y अधिकतम = 0 (x = 0 पर), y अधिकतम पाते हैं। = 9 (x = - 3 पर)।

सलाह। हर बार फंक्शन y - x 2 पॉइंट बाय पॉइंट प्लॉट न करने के लिए, मोटे कागज से एक परवलय टेम्पलेट काट लें। इसके साथ, आप बहुत जल्दी एक परवलय बना पाएंगे।

टिप्पणी। आपको एक परवलय टेम्पलेट तैयार करने की पेशकश करते हुए, हम, जैसे थे, फ़ंक्शन y \u003d x 2 और के अधिकारों की बराबरी करते हैं रैखिक प्रकार्यवाई = केएक्स + एम। आखिरकार, एक रैखिक फ़ंक्शन का ग्राफ एक सीधी रेखा है, और एक साधारण शासक का उपयोग एक सीधी रेखा को चित्रित करने के लिए किया जाता है - यह फ़ंक्शन y \u003d kx + m के ग्राफ़ का टेम्पलेट है। तो चलिए आपके पास फंक्शन y \u003d x 2 के लिए एक ग्राफ टेम्प्लेट भी है।

उदाहरण 2परवलय y \u003d x 2 और रेखा y - x + 2 के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।

समाधान। आइए हम एक समन्वय प्रणाली में एक परवलय y \u003d x 2 का निर्माण करें, एक सीधी रेखा y \u003d x + 2 (चित्र। 59)। वे बिंदु A और B पर प्रतिच्छेद करते हैं, और ड्राइंग के अनुसार इन बिंदुओं A और B के निर्देशांक खोजना मुश्किल नहीं है: बिंदु A के लिए हमारे पास है: x \u003d - 1, y \u003d 1, और बिंदु B के लिए हम है: एक्स - 2, वाई \u003d 4.

उत्तर: परवलय y \u003d x 2 और सीधी रेखा y \u003d x + 2 दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं: A (-1; 1) और B (2; 4)।

महत्वपूर्ण लेख।अब तक, हमने ड्राइंग की मदद से साहसपूर्वक निष्कर्ष निकाला है। हालांकि, गणितज्ञ ड्रॉइंग पर ज्यादा भरोसा नहीं करते हैं। आकृति 59 में एक परवलय और एक रेखा के प्रतिच्छेदन के दो बिंदु पाए जाने और आकृति का उपयोग करके इन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करने के बाद, एक गणितज्ञ आमतौर पर खुद की जांच करता है: क्या बिंदु (-1; 1) वास्तव में रेखा और रेखा दोनों पर स्थित है परवलय; क्या बिंदु (2; 4) वास्तव में रेखा और परवलय दोनों पर स्थित है?

ऐसा करने के लिए, आपको एक सीधी रेखा के समीकरण में और एक परवलय के समीकरण में बिंदु ए और बी के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता है, और फिर सुनिश्चित करें कि दोनों मामलों में सही समानता प्राप्त की जाएगी। उदाहरण 2 में, दोनों स्थितियों में, सही समानताएँ प्राप्त होंगी। इस तरह की जांच विशेष रूप से अक्सर तब की जाती है जब ड्राइंग की सटीकता संदेह में हो।

अंत में, हम परवलय की एक जिज्ञासु संपत्ति पर ध्यान देते हैं, जिसे भौतिकविदों और गणितज्ञों द्वारा संयुक्त रूप से खोजा और सिद्ध किया गया है।

यदि हम परवलय y \u003d x 2 को एक स्क्रीन के रूप में, एक परावर्तक सतह के रूप में मानते हैं, और एक बिंदु पर एक प्रकाश स्रोत रखते हैं, तो स्क्रीन के परवलय से परावर्तित किरणें, प्रकाश की एक समानांतर किरण बनाती हैं (चित्र। 60) ) बिंदु को परवलय का फोकस कहा जाता है। इस विचार का उपयोग ऑटोमोबाइल में किया जाता है: हेडलाइट की परावर्तक सतह परवलयिक होती है, और प्रकाश बल्ब को फोकस में रखा जाता है - तब हेडलाइट से प्रकाश काफी दूर तक जाता है।

गणित में कैलेंडर-विषयगत योजना, वीडियोगणित में ऑनलाइन, स्कूल में गणित डाउनलोड

ए वी पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षणिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

पाठ सामग्री पाठ सारांशसमर्थन फ्रेम पाठ प्रस्तुति त्वरक विधियां इंटरैक्टिव प्रौद्योगिकियां अभ्यास कार्य और अभ्यास स्व-परीक्षा कार्यशालाएं, प्रशिक्षण, मामले, quests होमवर्क चर्चा प्रश्न छात्रों से अलंकारिक प्रश्न रेखांकन ऑडियो, वीडियो क्लिप और मल्टीमीडियातस्वीरें, चित्र ग्राफिक्स, टेबल, योजनाएं हास्य, उपाख्यान, चुटकुले, कॉमिक्स दृष्टांत, बातें, वर्ग पहेली, उद्धरण ऐड-ऑन एब्सट्रैक्टजिज्ञासु चीट शीट के लिए लेख चिप्स पाठ्यपुस्तकें अन्य शब्दों की बुनियादी और अतिरिक्त शब्दावली पाठ्यपुस्तकों और पाठों में सुधारपाठ्यपुस्तक में त्रुटियों को सुधारनापाठ में नवाचार के पाठ्यपुस्तक तत्वों में एक टुकड़ा अद्यतन करना अप्रचलित ज्ञान को नए के साथ बदलना केवल शिक्षकों के लिए सही सबकवर्ष के लिए कैलेंडर योजना चर्चा कार्यक्रम की पद्धतिगत सिफारिशें एकीकृत पाठ

परवलय का निर्माण कैसे करें? द्विघात फलन को रेखांकन करने के कई तरीके हैं। उनमें से प्रत्येक के अपने पेशेवरों और विपक्ष हैं। आइए दो तरीकों पर विचार करें।

आइए y=x²+bx+c और y= -x²+bx+c जैसे द्विघात फलन को आलेखित करके प्रारंभ करें।

उदाहरण।

फलन y=x²+2x-3 प्लॉट करें।

समाधान:

y=x²+2x-3 एक द्विघात फलन है। ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1;-4) से हम परवलय का एक ग्राफ बनाते हैं y=x² (मूल से। इसके बजाय (0;0) - शीर्ष (-1;-4)। से (-1;- 4) हम 1 इकाई से दाईं ओर और 1 से ऊपर जाते हैं, फिर 1 से बाएँ और 1 से ऊपर, फिर: 2 - दाएँ, 4 - ऊपर, 2 - बाएँ, 4 - ऊपर, 3 - दाएँ, 9 - ऊपर, 3 - बाएं, 9 - ऊपर। ये 7 अंक पर्याप्त नहीं हैं, फिर - 4 से दाएं, 16 - ऊपर, आदि)।

द्विघात फलन का आलेख y= -x²+bx+c एक परवलय है जिसकी शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं। एक ग्राफ बनाने के लिए, हम शीर्ष के निर्देशांक की तलाश कर रहे हैं और इससे हम एक परवलय y= -x² बनाते हैं।

उदाहरण।

फलन y= -x²+2x+8 आलेखित करें।

समाधान:

y= -x²+2x+8 एक द्विघात फलन है। ग्राफ नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

ऊपर से हम एक परवलय y = -x² (1 - दाएँ, 1 - नीचे; 1 - बाएँ, 1 - नीचे; 2 - दाएँ, 4 - नीचे; 2 - बाएँ, 4 - नीचे, आदि) बनाते हैं:

यह विधि आपको जल्दी से एक परवलय का निर्माण करने की अनुमति देती है और यदि आप जानते हैं कि y=x² और y= -x² कार्यों को कैसे प्लॉट करना है, तो इससे कोई कठिनाई नहीं होती है। नुकसान: यदि शीर्ष निर्देशांक भिन्नात्मक संख्याएं हैं, तो प्लॉटिंग बहुत सुविधाजनक नहीं है। यदि आप x-अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का सटीक मान जानना चाहते हैं, तो आपको अतिरिक्त रूप से समीकरण x² + bx + c = 0 (या -x² + bx + c = 0) हल करना होगा। भले ही इन बिंदुओं को सीधे आंकड़े से निर्धारित किया जा सकता है।

परवलय बनाने का एक अन्य तरीका बिंदुओं द्वारा है, अर्थात, आप ग्राफ़ पर कई बिंदु ढूंढ सकते हैं और उनके माध्यम से एक परवलय खींच सकते हैं (इस बात को ध्यान में रखते हुए कि रेखा x=xₒ इसकी सममिति की धुरी है)। आमतौर पर, इसके लिए वे परवलय के शीर्ष, निर्देशांक अक्षों के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु और 1-2 अतिरिक्त बिंदु लेते हैं।

फलन y=x²+5x+4 प्लॉट करें।

समाधान:

y=x²+5x+4 एक द्विघात फलन है। ग्राफ एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर हैं। परवलय शीर्ष निर्देशांक

यानी परवलय का शीर्ष बिंदु (-2.5; -2.25) है।

की तलाश में । ऑक्स अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु पर y=0: x²+5x+4=0. जड़ों द्विघात समीकरण x1=-1, x2=-4, यानी हमें ग्राफ (-1; 0) और (-4; 0) पर दो बिंदु मिले हैं।

ओए अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे बिंदु पर x=0: y=0²+5∙0+4=4. एक अंक मिला (0; 4)।

ग्राफ़ को परिष्कृत करने के लिए, आप एक अतिरिक्त बिंदु ढूंढ सकते हैं। आइए x=1 लें, फिर y=1²+5∙1+4=10, यानी ग्राफ का एक और बिंदु - (1; 10)। हम निर्देशांक तल पर इन बिंदुओं को चिह्नित करते हैं। इसके शीर्ष से गुजरने वाली सीधी रेखा के संबंध में परवलय की समरूपता को ध्यान में रखते हुए, हम दो और बिंदुओं को चिह्नित करते हैं: (-5; 6) और (-6; 10) और उनके माध्यम से एक परवलय खींचते हैं:

फलन y= -x²-3x आलेखित करें।

समाधान:

y= -x²-3x एक द्विघात फलन है। ग्राफ नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय है। परवलय शीर्ष निर्देशांक

शीर्ष (-1.5; 2.25) परवलय का पहला बिंदु है।

एक्स-अक्ष y=0 के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदुओं पर, यानी, हम समीकरण -x²-3x=0 हल करते हैं। इसके मूल x=0 और x=-3 हैं, अर्थात, (0; 0) और (-3; 0) ग्राफ़ पर दो और बिंदु हैं। बिंदु (o; 0) भी y-अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

x=1 y=-1²-3∙1=-4 पर, यानी (1; -4) प्लॉटिंग के लिए एक अतिरिक्त बिंदु है।

बिंदुओं से परवलय बनाना पहले वाले की तुलना में अधिक समय लेने वाला तरीका है। यदि परवलय ऑक्स अक्ष को नहीं काटता है, तो अधिक अतिरिक्त बिंदुओं की आवश्यकता होगी।

फॉर्म y=ax²+bx+c के द्विघात कार्यों के ग्राफ़ के निर्माण को जारी रखने से पहले, ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग करके फ़ंक्शन के ग्राफ़ के निर्माण पर विचार करें। इन परिवर्तनों में से एक - समानांतर अनुवाद का उपयोग करके y=x²+c फॉर्म के कार्यों के ग्राफ भी सबसे सुविधाजनक हैं।

रूब्रिक: |

पहले, हमने अन्य कार्यों का अध्ययन किया, उदाहरण के लिए, एक रैखिक, आइए हम इसके मानक रूप को याद करें:

इसलिए स्पष्ट मौलिक अंतर - रैखिक कार्य में एक्सपहली डिग्री में खड़ा है, और उस नए कार्य में, जिसका हम अध्ययन करना शुरू कर रहे हैं, एक्सदूसरी डिग्री में खड़ा है।

याद रखें कि एक रेखीय फलन का आलेख एक सीधी रेखा है, और एक फलन का आलेख, जैसा कि हम देखेंगे, एक वक्र है जिसे परवलय कहा जाता है।

आइए यह पता लगाकर शुरू करें कि सूत्र कहां से आया है। व्याख्या यह है: यदि हमें एक भुजा वाला वर्ग दिया जाता है एक, तो हम इसके क्षेत्रफल की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

यदि हम वर्ग की भुजा की लंबाई बदल दें, तो उसका क्षेत्रफल बदल जाएगा।

तो, फ़ंक्शन का अध्ययन करने का एक कारण दिया गया है

याद रखें कि चर एक्सएक स्वतंत्र चर या तर्क है, भौतिक व्याख्या में यह हो सकता है, उदाहरण के लिए, समय। दूरी, इसके विपरीत, एक आश्रित चर है, यह समय पर निर्भर करता है। आश्रित चर या फलन एक चर है पर.

यह पत्राचार का नियम है, जिसके अनुसार प्रत्येक मान एक्सएकल मान के लिए मैप किया गया पर.

किसी भी पत्राचार कानून को तर्क से कार्य करने के लिए विशिष्टता की आवश्यकता को पूरा करना चाहिए। एक भौतिक व्याख्या में, यह समय पर दूरी की निर्भरता के उदाहरण पर बिल्कुल स्पष्ट दिखता है: समय के प्रत्येक क्षण में हम प्रारंभिक बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं, और एक ही समय में t दोनों होना असंभव है यात्रा की शुरुआत से 10 और 20 किलोमीटर।

उसी समय, प्रत्येक फ़ंक्शन मान को कई तर्क मानों के साथ पहुँचा जा सकता है।

तो, हमें फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाने की आवश्यकता है, ऐसा करने के लिए, एक तालिका बनाएं। फिर, ग्राफ के अनुसार, फ़ंक्शन और उसके गुणों की जांच करें। लेकिन ग्राफ को प्लॉट करने से पहले भी, हम इसके गुणों के बारे में फ़ंक्शन के रूप में कुछ कह सकते हैं: यह स्पष्ट है कि परऋणात्मक मान नहीं ले सकते, क्योंकि

तो चलिए एक टेबल बनाते हैं:

चावल। एक

ग्राफ से निम्नलिखित गुणों को नोट करना आसान है:

एक्सिस परग्राफ की समरूपता की धुरी है;

परवलय का शीर्ष बिंदु (0; 0) है;

हम देखते हैं कि फ़ंक्शन केवल गैर-ऋणात्मक मान स्वीकार करता है;

अंतराल में जहां फ़ंक्शन कम हो रहा है, लेकिन अंतराल पर जहां फ़ंक्शन बढ़ रहा है;

फ़ंक्शन शीर्ष पर सबसे छोटा मान प्राप्त करता है, ;

फ़ंक्शन का कोई अधिकतम मान नहीं है;

उदाहरण 1

स्थि‍ति:

समाधान:

क्यों कि एक्सएक विशिष्ट अंतराल पर सशर्त रूप से बदलता है, हम फ़ंक्शन के बारे में कह सकते हैं कि यह बढ़ता है और अंतराल पर बदलता है। इस अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम मान होता है

चावल। 2. फलन y = x 2 , x . का आलेख

उदाहरण 2

स्थि‍ति:किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात करें:

समाधान:

एक्सअंतराल में परिवर्तन, जिसका अर्थ है परअंतराल पर घटता है जबकि अंतराल पर बढ़ता है।

तो परिवर्तन की सीमा एक्स, और परिवर्तन की सीमा पर, जिसका अर्थ है कि इस अंतराल पर फ़ंक्शन का न्यूनतम मान और अधिकतम दोनों होता है

चावल। 3. फलन का ग्राफ y = x 2 , x [-3; 2]

आइए हम इस तथ्य को स्पष्ट करें कि एक फ़ंक्शन का समान मान तर्क के कई मानों के साथ प्राप्त किया जा सकता है।