घातांक में अज्ञात होने पर समीकरण घातांक कहलाते हैं। सबसे सरल घातीय समीकरण का रूप है: a x \u003d a b, जहां a> 0, और 1, x अज्ञात है।

डिग्री के मुख्य गुण, जिनकी मदद से घातांक समीकरणों को रूपांतरित किया जाता है: a>0, b>0.

निर्णय लेते समय घातीय समीकरणवे घातांक फलन के निम्नलिखित गुणों का भी उपयोग करते हैं: y = a x , a > 0, a1:

किसी संख्या को घात के रूप में निरूपित करने के लिए, मूल लघुगणकीय पहचान का उपयोग किया जाता है: b = , a > 0, a1, b > 0.

"घातीय समीकरण" विषय पर कार्य और परीक्षण

• घातीय समीकरण

  पाठ: 4 कार्य: 21 परीक्षण: 1

• घातीय समीकरण - गणित में परीक्षा दोहराने के लिए महत्वपूर्ण विषय

  कार्य: 14

• घातीय और लघुगणक समीकरणों की प्रणाली - घातीय और लघुगणकीय कार्य ग्रेड 11

  पाठ: 1 कार्य: 15 टेस्ट: 1

• 2.1. घातांकीय समीकरणों का हल

  पाठ: 1 कार्य: 27

• 7 घातीय और लघुगणक समीकरण और असमानताएं - धारा 5. घातीय और लघुगणकीय कार्य ग्रेड 10

  पाठ: 1 कार्य: 17

घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको शक्तियों के मूल गुणों, एक घातांकीय फलन के गुणों और मूल लघुगणकीय पहचान को जानना होगा।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, दो मुख्य विधियों का उपयोग किया जाता है:

1. समीकरण a f(x) = a g(x) से समीकरण f(x) = g(x) में संक्रमण;
2. नई पंक्तियों की शुरूआत।

उदाहरण।

1. सरलतम को कम करने वाले समीकरण। समीकरण के दोनों पक्षों को समान आधार वाले घात पर लाकर उनका समाधान किया जाता है।

3x \u003d 9x - 2।

समाधान:

3 एक्स \u003d (3 2) एक्स - 2;
3x = 3 2x - 4;
एक्स = 2x -4;
एक्स = 4।

उत्तर: 4.

2. उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक में रखकर हल किए गए समीकरण।

समाधान:

3x - 3x - 2 = 24
3 एक्स - 2 (3 2 - 1) = 24
3 एक्स - 2 एक्स 8 = 24
3 एक्स - 2 = 3
एक्स - 2 = 1
एक्स = 3।

उत्तर: 3.

3. चर के परिवर्तन द्वारा हल किए गए समीकरण।

समाधान:

2 2x + 2 x - 12 = 0
हम 2 x \u003d y को निरूपित करते हैं।
वाई 2 + वाई - 12 = 0
वाई 1 = - 4; वाई2=3.
a) 2 x = - 4. समीकरण का कोई हल नहीं है, क्योंकि 2 एक्स> 0।
बी) 2 एक्स = 3; 2 x = 2 लघुगणक 2 3 ; एक्स = लॉग 2 3.

उत्तर:लॉग 2 3.

4. दो अलग-अलग (एक दूसरे को कम करने योग्य नहीं) आधार वाले घात वाले समीकरण।

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2।

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 एक्स - 2 × 23 = 5 एक्स - 2
×23
2 एक्स - 2 = 5 एक्स - 2
(5/2) x-2 = 1
एक्स - 2 = 0
एक्स = 2.

उत्तर: 2.

5. समीकरण जो a x और b x के सन्दर्भ में सजातीय हैं।

सामान्य फ़ॉर्म: ।

9 x + 4 x = 2.5 x 6 x।

समाधान:

3 2x - 2.5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2.5 × (3/2) x + 1 = 0।
निरूपित करें (3/2) x = y।
y 2 - 2.5y + 1 \u003d 0,
वाई 1 = 2; y2 = ½।

उत्तर:लॉग 3/2 2; - लॉग 3/2 2.

घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा...")

क्या घातीय समीकरण? यह एक समीकरण है जिसमें अज्ञात (x) और उनके साथ व्यंजक में हैं संकेतककुछ डिग्री। और केवल वहाँ! क्या यह महत्वपूर्ण है।

तुम यहां हो घातीय समीकरणों के उदाहरण:

3 x 2 x = 8 x + 3

टिप्पणी! डिग्री के आधार में (नीचे) - केवल संख्या. पर संकेतकडिग्री (ऊपर) - एक्स के साथ अभिव्यक्ति की एक विस्तृत विविधता। यदि, अचानक, संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में एक x दिखाई देता है, उदाहरण के लिए:

यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण होगा। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। हम अभी उन पर विचार नहीं करेंगे। यहां हम निपटेंगे घातीय समीकरणों का समाधानअपने शुद्धतम रूप में।

वास्तव में, यहां तक ​​​​कि शुद्ध घातीय समीकरण भी हमेशा स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं। लेकिन कुछ प्रकार के घातीय समीकरण हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और होना चाहिए। ये वे प्रकार हैं जिन्हें हम देख रहे हैं।

सरलतम घातांकीय समीकरणों का हल।

आइए कुछ बहुत ही बुनियादी से शुरू करें। उदाहरण के लिए:

बिना किसी सिद्धांत के भी सरल चयन से यह स्पष्ट हो जाता है कि x=2. और कुछ नहीं, है ना!? कोई अन्य x मान रोल नहीं। और अब आइए इस मुश्किल घातांक समीकरण के समाधान को देखें:

हमने क्या किया है? हमने, वास्तव में, बस उन्हीं बॉटम्स (ट्रिपल) को बाहर फेंक दिया। पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, निशान मारो!

वास्तव में, यदि घातीय समीकरण में बाईं और दाईं ओर हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्या, इन नंबरों को हटाया जा सकता है और बराबर घातांक। गणित अनुमति देता है। यह एक बहुत ही सरल समीकरण को हल करने के लिए बनी हुई है। यह अच्छा है, है ना?)

हालाँकि, आइए विडंबना याद रखें: आप आधारों को तभी हटा सकते हैं जब बाएँ और दाएँ आधार संख्याएँ शानदार अलगाव में हों!बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। आइए समीकरणों में कहें:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , या

आप डबल्स नहीं हटा सकते!

खैर, हमने सबसे महत्वपूर्ण चीज में महारत हासिल कर ली है। दुष्ट घातांकीय अभिव्यक्तियों से सरल समीकरणों की ओर कैसे बढ़ें।

"यहाँ वे समय हैं!" - तुम कहो। "नियंत्रण और परीक्षा पर ऐसा आदिम कौन देगा !?"

सहमत होने के लिए मजबूर। कोई नहीं होगा। लेकिन अब आप जानते हैं कि भ्रमित करने वाले उदाहरणों को हल करते समय कहाँ जाना है। इसे ध्यान में लाना आवश्यक है, जब समान आधार संख्या बाईं ओर - दाईं ओर हो। तब सब कुछ आसान हो जाएगा। दरअसल, यह गणित की क्लासिक्स है। हम मूल उदाहरण लेते हैं और इसे वांछित में बदलते हैं हममन। गणित के नियमों के अनुसार, बिल्कुल।

उन उदाहरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम में लाने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। चलो उन्हें बुलाते हैं सरल घातीय समीकरण।

सरल घातीय समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

घातीय समीकरणों को हल करते समय, मुख्य नियम हैं शक्तियों के साथ क्रिया।इन क्रियाओं के ज्ञान के बिना कुछ भी काम नहीं करेगा।

डिग्री के साथ कार्यों के लिए, व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता को जोड़ना होगा। क्या हमें समान आधार संख्याओं की आवश्यकता है? इसलिए हम उन्हें उदाहरण में स्पष्ट या एन्क्रिप्टेड रूप में ढूंढ रहे हैं।

आइए देखें कि यह व्यवहार में कैसे किया जाता है?

आइए हमें एक उदाहरण दें:

2 2x - 8 x+1 = 0

पहली नज़र मैदान।वे... वे अलग हैं! दो और आठ। लेकिन निराश होना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

दो और आठ डिग्री में रिश्तेदार हैं।) यह लिखना काफी संभव है:

8 x+1 = (2 3) x+1

यदि हम शक्तियों के साथ क्रियाओं के सूत्र को याद करते हैं:

(ए एन) एम = ए एनएम,

यह आम तौर पर बहुत अच्छा काम करता है:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

मूल उदाहरण इस तरह दिखता है:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

हम हस्तांतरण 2 3 (एक्स+1)दाईं ओर (गणित की प्राथमिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया!), हमें मिलता है:

2 2x \u003d 2 3 (एक्स + 1)

व्यावहारिक रूप से बस इतना ही। आधार हटाना:

हम इस राक्षस को हल करते हैं और प्राप्त करते हैं

यह सही जवाब है।

इस उदाहरण में, दो की शक्तियों को जानने से हमें मदद मिली। हम पहचान कीचित्र आठ में, एन्क्रिप्टेड ड्यूस। यह तकनीक (सामान्य आधारों का एन्क्रिप्शन) अलग संख्या) घातांकीय समीकरणों में एक बहुत लोकप्रिय तकनीक है! हाँ, लघुगणक में भी। संख्या में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने में सक्षम होना चाहिए। यह घातीय समीकरणों को हल करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है।

तथ्य यह है कि किसी भी संख्या को किसी भी शक्ति तक बढ़ाना कोई समस्या नहीं है। गुणा करें, यहां तक ​​कि कागज के एक टुकड़े पर भी, और बस इतना ही। उदाहरण के लिए, हर कोई 3 से पांचवीं शक्ति बढ़ा सकता है। यदि आप गुणन तालिका जानते हैं तो 243 निकलेगा।) लेकिन घातीय समीकरणों में, एक शक्ति को बढ़ाने के लिए नहीं, बल्कि इसके विपरीत बहुत अधिक आवश्यक है ... कितने नंबर से किस हद तकसंख्या 243, या कहें, 343... के पीछे कोई कैलकुलेटर आपकी मदद नहीं करेगा।

आपको कुछ संख्याओं की शक्तियों को दृष्टि से जानना होगा, हाँ ... क्या हम अभ्यास करेंगे?

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

उत्तर (एक गड़बड़ में, बिल्कुल!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

गौर से देखेंगे तो देख सकते हैं अजीब तथ्य. सवालों से ज्यादा जवाब हैं! खैर, ऐसा होता है... उदाहरण के लिए, 2 6 , 4 3 , 8 2 सभी 64 हैं।

आइए मान लें कि आपने संख्याओं से परिचित होने की जानकारी पर ध्यान दिया है।) मैं आपको यह भी याद दिला दूं कि घातीय समीकरणों को हल करने के लिए, हम आवेदन करते हैं पूरागणितीय ज्ञान का भंडार। जिनमें निम्न-मध्यम वर्ग शामिल हैं। आप सीधे हाई स्कूल नहीं गए, है ना?

उदाहरण के लिए, घातांकीय समीकरणों को हल करते समय, सामान्य गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर रखने से अक्सर मदद मिलती है (ग्रेड 7 को नमस्ते!)। आइए एक उदाहरण देखें:

3 2x+4 -11 9 x = 210

और फिर, पहली नज़र - मैदान पर! डिग्री के आधार अलग हैं ... तीन और नौ। और हम चाहते हैं कि वे वही हों। खैर, इस मामले में, इच्छा काफी संभव है!) क्योंकि:

9 x = (3 2) x = 3 2x

डिग्री के साथ कार्यों के लिए समान नियमों के अनुसार:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

यह बहुत अच्छा है, आप लिख सकते हैं:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

हमने उन्हीं कारणों से एक उदाहरण दिया। तो, आगे क्या है!? आप तीन गुना नहीं फेंक सकते ... एक मृत अंत?

बिल्कुल भी नहीं। सबसे सार्वभौमिक और शक्तिशाली निर्णय नियम को याद रखना सबगणित के कार्य:

यदि आप नहीं जानते कि क्या करना है, तो वह करें जो आप कर सकते हैं!

तुम देखो, सब कुछ बनता है)।

इस घातीय समीकरण में क्या है कर सकते हैंकरना? हाँ, बाईं ओर सीधे कोष्ठक के लिए पूछता है! 3 2x का उभयनिष्ठ गुणनखंड स्पष्ट रूप से इस ओर संकेत करता है। आइए कोशिश करें, और फिर हम देखेंगे:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

उदाहरण बेहतर और बेहतर होता जा रहा है!

हमें याद है कि क्षारकों को समाप्त करने के लिए हमें बिना किसी गुणांक के शुद्ध अंश की आवश्यकता होती है। 70 की संख्या हमें परेशान करती है। तो हम समीकरण के दोनों पक्षों को 70 से विभाजित करते हैं, हम प्राप्त करते हैं:

ओप-पा! सब ठीक हो गया!

यह अंतिम उत्तर है।

हालांकि, ऐसा होता है कि उसी आधार पर टैक्सी चलाना प्राप्त होता है, लेकिन उनका परिसमापन नहीं होता है। यह दूसरे प्रकार के घातीय समीकरणों में होता है। आइए इस प्रकार को प्राप्त करें।

घातांकीय समीकरणों को हल करने में चर का परिवर्तन। उदाहरण।

आइए समीकरण को हल करें:

4 एक्स - 3 2 एक्स +2 = 0

पहला - हमेशा की तरह। आइए आधार पर चलते हैं। ड्यूस को।

4 x = (2 2) x = 2 2x

हमें समीकरण मिलता है:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

और यहाँ हम लटकेंगे। पिछली तरकीबें काम नहीं करेंगी, चाहे आप इसे कैसे भी मोड़ लें। हमें एक और शक्तिशाली और बहुमुखी तरीके के शस्त्रागार से बाहर निकलना होगा। इसे कहते हैं परिवर्तनीय प्रतिस्थापन।

विधि का सार आश्चर्यजनक रूप से सरल है। एक जटिल आइकन (हमारे मामले में, 2 x) के बजाय, हम दूसरा लिखते हैं, सरल एक (उदाहरण के लिए, टी)। ऐसा प्रतीत होता है कि अर्थहीन प्रतिस्थापन आश्चर्यजनक परिणाम देता है!) सब कुछ बस स्पष्ट और समझने योग्य हो जाता है!

तो चलो

फिर 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2

हम अपने समीकरण में सभी शक्तियों को x द्वारा t से प्रतिस्थापित करते हैं:

ठीक है, यह हो गया?) अभी तक द्विघात समीकरणों को नहीं भूले हैं? हम विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:

यहाँ, मुख्य बात रुकना नहीं है, जैसा कि होता है ... यह अभी तक उत्तर नहीं है, हमें x की आवश्यकता है, t की नहीं। हम Xs पर लौटते हैं, अर्थात। एक प्रतिस्थापन कर रहा है। टी 1 के लिए पहला:

वह है,

एक जड़ मिली। हम दूसरे की तलाश कर रहे हैं, टी 2 से:

उम... बायां 2 x, दायां 1... एक अड़चन? हाँ, बिलकुल नहीं! यह याद रखने के लिए पर्याप्त है (डिग्री वाले कार्यों से, हाँ ...) कि एकता है कोईशून्य से संख्या। कोई। आपको जो चाहिए, हम डाल देंगे। हमें दो चाहिए। माध्यम:

अब बस इतना ही। 2 जड़ें मिलीं:

यही उत्तर है।

पर घातीय समीकरणों को हल करनाअंत में, कभी-कभी कुछ अजीब अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। टाइप:

सात से, एक साधारण डिग्री के माध्यम से एक ड्यूस काम नहीं करता है। वे रिश्तेदार नहीं हैं ... मैं यहाँ कैसे हो सकता हूँ? कोई भ्रमित हो सकता है ... लेकिन जो व्यक्ति इस साइट पर "लॉगरिदम क्या है?" विषय पढ़ता है। , केवल कम से कम मुस्कुराएं और एक दृढ़ हाथ से बिल्कुल सही उत्तर लिखें:

परीक्षा में कार्य "बी" में ऐसा कोई उत्तर नहीं हो सकता है। एक विशिष्ट संख्या की आवश्यकता है। लेकिन कार्यों में "सी" - आसानी से।

यह पाठ सबसे सामान्य घातीय समीकरणों को हल करने के उदाहरण प्रदान करता है। आइए मुख्य पर प्रकाश डालें।

व्यावहारिक सुझाव:

1. सबसे पहले, हम देखते हैं मैदानडिग्री। चलो देखते हैं कि क्या वे नहीं किया जा सकता वही।आइए सक्रिय रूप से उपयोग करके ऐसा करने का प्रयास करें शक्तियों के साथ क्रिया।यह मत भूलो कि एक्स के बिना संख्याएं भी शक्तियों में बदल सकती हैं!

2. हम बाएँ और दाएँ होने पर घातांकीय समीकरण को रूप में लाने का प्रयास कर रहे हैं वहीकिसी भी डिग्री के लिए संख्या। हम उपयोग करते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाईतथा गुणनखंडनसंख्याओं में क्या गिना जा सकता है - हम गिनते हैं।

3. यदि दूसरी सलाह काम नहीं करती है, तो हम परिवर्तनशील प्रतिस्थापन को लागू करने का प्रयास करते हैं। परिणाम एक समीकरण हो सकता है जिसे आसानी से हल किया जा सकता है। सबसे अधिक बार - वर्ग। या भिन्नात्मक, जो एक वर्ग में भी कम हो जाता है।

4. घातांकीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको कुछ संख्याओं की डिग्री "दृष्टि से" जानने की आवश्यकता है।

हमेशा की तरह, पाठ के अंत में आपको थोड़ा हल करने के लिए आमंत्रित किया जाता है।) अपने दम पर। सरल से जटिल तक।

घातीय समीकरणों को हल करें:

अधिक मुश्किल:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 एक्स - 2 0.5 एक्स + 1 - 8 = 0

जड़ों का उत्पाद खोजें:

2 3-एक्स + 2 एक्स = 9

हो गई?

खैर, फिर सबसे जटिल उदाहरण (यह हल हो गया है, हालांकि, दिमाग में ...):

7 0.13x + 13 0.7x+1 + 2 0.5x+1 = -3

अधिक दिलचस्प क्या है? तो यहाँ आपके लिए एक बुरा उदाहरण है। बढ़ी हुई कठिनाई पर काफी खींचना। मैं संकेत दूंगा कि इस उदाहरण में, सरलता और सबसे अधिक सार्वभौमिक नियमसभी गणित की समस्याएं।)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

एक उदाहरण सरल है, विश्राम के लिए):

9 2 x - 4 3 x = 0

और डेज़र्ट के लिए। समीकरण के मूलों का योग ज्ञात कीजिए:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

हाँ हाँ! यह एक मिश्रित प्रकार का समीकरण है! जिस पर हमने इस पाठ में विचार नहीं किया। और उन पर क्या विचार करें, उन्हें हल करने की आवश्यकता है!) यह पाठ समीकरण को हल करने के लिए काफी है। खैर, सरलता की जरूरत है ... और हां, सातवीं कक्षा आपकी मदद करेगी (यह एक संकेत है!)।

उत्तर (अव्यवस्था में, अर्धविराम से अलग):

एक; 2; 3; चार; कोई समाधान नहीं हैं; 2; -2; -5; चार; 0.

क्या सब कुछ सफल है? उत्कृष्ट।

एक समस्या है? कोई बात नहीं! विशेष धारा 555 में, इन सभी घातांकीय समीकरणों को विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ हल किया गया है। क्या, क्यों और क्यों। और, ज़ाहिर है, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों के साथ काम करने पर अतिरिक्त मूल्यवान जानकारी है। इनके साथ ही नहीं।)

विचार करने के लिए एक आखिरी मजेदार सवाल। इस पाठ में, हमने घातांकीय समीकरणों के साथ काम किया। मैंने यहाँ ODZ के बारे में एक शब्द भी क्यों नहीं कहा?समीकरणों में, यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण बात है, वैसे ...

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एक घातीय समीकरण क्या है? उदाहरण।

तो, एक घातांकीय समीकरण ... समीकरणों की एक विस्तृत विविधता की हमारी सामान्य प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) जैसा कि लगभग हमेशा होता है, किसी भी नए गणितीय शब्द का कीवर्ड संबंधित विशेषण होता है जो इसे दर्शाता है। तो यहाँ भी। कीवर्डशब्द "घातीय समीकरण" में शब्द है "प्रदर्शनकारी". इसका क्या मतलब है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) है किसी भी डिग्री के मामले में।और केवल वहाँ! यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, ऐसे सरल समीकरण:

3 एक्स +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

या ये राक्षस भी:

2 पाप x = 0.5

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण बात पर तुरंत ध्यान देने के लिए कहता हूं: में मैदानडिग्री (नीचे) - केवल संख्या. लेकीन मे संकेतकडिग्री (शीर्ष) - एक्स के साथ विभिन्न प्रकार के भाव। बिल्कुल कोई भी।) सब कुछ विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। यदि, अचानक, x संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में आता है (कहते हैं, 3 x \u003d 18 + x 2), तो ऐसा समीकरण पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार. ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। इसलिए, इस पाठ में हम उन पर विचार नहीं करेंगे। छात्रों की खुशी के लिए।) यहां हम केवल "शुद्ध" रूप में घातीय समीकरणों पर विचार करेंगे।

सामान्यतया, यहाँ तक कि शुद्ध घातांकीय समीकरण भी सभी मामलों में स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं और हमेशा नहीं। लेकिन घातीय समीकरणों की समृद्ध विविधता के बीच, कुछ निश्चित प्रकार हैं जिन्हें हल किया जा सकता है और होना चाहिए। इस प्रकार के समीकरणों पर हम आपके साथ विचार करेंगे। और हम निश्चित रूप से उदाहरणों को हल करेंगे।) तो हम आराम से और - सड़क पर बस जाते हैं! जैसा कि कंप्यूटर "शूटर" में होता है, हमारी यात्रा स्तरों से होकर गुजरेगी।) प्राथमिक से सरल तक, सरल से मध्यम और मध्यम से जटिल तक। रास्ते में, आप एक गुप्त स्तर की भी प्रतीक्षा कर रहे होंगे - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए तरकीबें और तरीके। जिनके बारे में आपने अधिकांश स्कूली पाठ्यपुस्तकों में नहीं पढ़ा होगा... खैर, अंत में, निश्चित रूप से, होमवर्क के रूप में एक अंतिम बॉस होता है।)

स्तर 0. सबसे सरल घातांक समीकरण क्या है? सरलतम घातांकीय समीकरणों का हल।

आरंभ करने के लिए, आइए कुछ स्पष्ट प्राथमिक बातों को देखें। आपको कहीं से शुरुआत करनी होगी, है ना? उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

2 एक्स = 2 2

बिना किसी सिद्धांत के भी, सरल तर्क और सामान्य ज्ञान से, यह स्पष्ट है कि x = 2. अन्यथा, कोई रास्ता नहीं है, है ना? x का कोई अन्य मान अच्छा नहीं है ... अब आइए अपना ध्यान इस ओर मोड़ें निर्णय प्रविष्टियह शांत घातीय समीकरण:

2 एक्स = 2 2

एक्स = 2

हमें क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ। हम, वास्तव में, ले गए और ... बस एक ही ठिकानों (दो) को बाहर फेंक दिया! पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, बैल की आंख मारो!

हाँ, वास्तव में, यदि बाएँ और दाएँ घातांकीय समीकरण में हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्याएँ, तो इन संख्याओं को त्याग दिया जा सकता है और बस घातांक की बराबरी कर सकते हैं। गणित अनुमति देता है।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और बहुत सरल समीकरण हल कर सकते हैं। यह बढ़िया है, है ना?

यहाँ किसी भी (हाँ, बिल्कुल कोई!) घातीय समीकरण को हल करने का मुख्य विचार है: समान परिवर्तनों की सहायता से, यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं वही विभिन्न डिग्री में आधार संख्या। और फिर आप समान आधारों को सुरक्षित रूप से हटा सकते हैं और घातांक की बराबरी कर सकते हैं। और एक सरल समीकरण के साथ काम करें।

और अब हम लौह नियम को याद करते हैं: समान आधारों को हटाना संभव है यदि और केवल यदि समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर आधार संख्याएं हैं गर्व अकेलेपन में।

इसका क्या मतलब है, शानदार अलगाव में? इसका अर्थ है बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। मैंने समझाया।

उदाहरण के लिए, समीकरण में

3 3 x-5 = 3 2 x +1

आप तीन गुना नहीं हटा सकते! क्यों? क्योंकि बाईं ओर हमारे पास केवल तीन डिग्री का अकेला नहीं है, बल्कि काम 3 3 एक्स-5। एक अतिरिक्त ट्रिपल रास्ते में आता है: एक गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 x = 5 2 x +5 x

यहाँ भी, सभी आधार समान हैं - पाँच। लेकिन दाईं ओर हमारे पास पांच की एक भी डिग्री नहीं है: डिग्री का योग है!

संक्षेप में, हमें समान आधारों को हटाने का अधिकार तभी है जब हमारा घातांक समीकरण इस तरह दिखता है और केवल यही:

एकएफ (एक्स) = एक जी (एक्स)

इस प्रकार के घातांकीय समीकरण को कहा जाता है सबसे साधारण. या वैज्ञानिक रूप से, कैनन का . और कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारे सामने मुड़ समीकरण क्या है, हम, एक तरह से या किसी अन्य, इसे इतने सरल (विहित) रूप में कम कर देंगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए समुच्चयइस तरह के समीकरण। तब हमारा सरलतम समीकरण हो सकता है सामान्य दृष्टि सेइस तरह फिर से लिखें:

एफ (एक्स) = जी (एक्स)

और बस। यह समकक्ष परिवर्तन होगा। साथ ही, एक्स के साथ बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति का उपयोग एफ (एक्स) और जी (एक्स) के रूप में किया जा सकता है। जो कुछ।

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र पूछेगा: पृथ्वी पर हम इतनी आसानी से और आसानी से बाएं और दाएं समान आधारों को क्यों छोड़ देते हैं और प्रतिपादकों की बराबरी करते हैं? अंतर्ज्ञान अंतर्ज्ञान है, लेकिन अचानक, किसी समीकरण में और किसी कारण से, यह दृष्टिकोण गलत हो जाएगा? क्या समान ठिकानों को फेंकना हमेशा कानूनी है?दुर्भाग्य से, इसके कठोर गणितीय उत्तर के लिए ब्याज पूछोआपको कार्यों की संरचना और व्यवहार के सामान्य सिद्धांत में गहराई से और गंभीरता से जाने की जरूरत है। और थोड़ा और विशेष रूप से - घटना में सख्त एकरसता।विशेष रूप से, सख्त एकरसता घातांक प्रकार्यआप= एक एक्स. चूँकि यह घातांकीय फलन और उसके गुण हैं जो घातांकीय समीकरणों के समाधान का आधार हैं, हाँ।) इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर एक अलग विशेष पाठ में दिया जाएगा जो विभिन्न कार्यों की एकरसता का उपयोग करके जटिल गैर-मानक समीकरणों को हल करने के लिए समर्पित है।)

इस बिंदु को विस्तार से समझाने के लिए अब केवल एक औसत स्कूली बच्चे के दिमाग को निकाल देना है और उसे सूखे और भारी सिद्धांत के साथ समय से पहले डराना है। मैं यह नहीं करूँगा।) हमारे मुख्य के लिए इस पलएक कार्य - घातीय समीकरणों को हल करना सीखें!सबसे सरल! इसलिए - जब तक हम पसीना नहीं बहाते और साहसपूर्वक उन्हीं कारणों को बाहर निकाल देते हैं। यह कर सकते हैं, इसके लिए मेरा शब्द लें!) और फिर हम पहले से ही समतुल्य समीकरण f (x) = g (x) को हल कर लेते हैं। एक नियम के रूप में, यह मूल घातांक की तुलना में सरल है।

यह निश्चित रूप से माना जाता है कि लोग पहले से ही कम से कम , और समीकरणों को हल करना जानते हैं, पहले से ही संकेतकों में x के बिना।) जो अभी भी नहीं जानते हैं, इस पृष्ठ को बंद करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, उचित लिंक के साथ चलें और भरें पुराने अंतराल। नहीं तो आपके लिए कठिन समय होगा, हाँ...

मैं तर्कहीन, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में चुप हूं जो आधारों को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकते हैं। लेकिन चिंता न करें, अभी के लिए हम डिग्री के संदर्भ में फ्रैंक टिन पर विचार नहीं करेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सरलतम समीकरणों पर ही प्रशिक्षण देंगे।)

अब उन समीकरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम करने के लिए उन्हें कम करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। उन्हें अलग करने के लिए, आइए उन्हें कॉल करें सरल घातीय समीकरण. तो चलिए अगले स्तर पर चलते हैं!

स्तर 1. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! प्राकृतिक संकेतक।

किसी भी घातांकीय समीकरण को हल करने के प्रमुख नियम हैं डिग्री से निपटने के नियम. इस ज्ञान और कौशल के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा। काश। इसलिए, अगर डिग्रियों को लेकर कोई समस्या है, तो शुरुआत के लिए आपका स्वागत है। इसके अलावा, हमें भी चाहिए। ये परिवर्तन (अधिक से अधिक दो!) सामान्य रूप से गणित के सभी समीकरणों को हल करने का आधार हैं। और न केवल दिखावा। तो, जो कोई भूल गया, वह भी लिंक पर टहलें: मैंने उन्हें एक कारण से लगाया।

लेकिन केवल शक्तियों और समान परिवर्तनों वाली क्रियाएं पर्याप्त नहीं हैं। इसके लिए व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता की भी आवश्यकता होती है। हमें वही आधार चाहिए, है ना? इसलिए हम उदाहरण की जांच करते हैं और उन्हें एक स्पष्ट या प्रच्छन्न रूप में ढूंढते हैं!

उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

3 2x - 27x +2 = 0

पहले देखो मैदान. वे भिन्न हैं! तीन और सत्ताईस। लेकिन घबराना और निराशा में पड़ना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

27 = 3 3

अंक 3 और 27 डिग्री में रिश्तेदार हैं! इसके अलावा, रिश्तेदार।) इसलिए, हमें लिखने का पूरा अधिकार है:

27 x +2 = (3 3) x+2

और अब हम अपने ज्ञान को के बारे में जोड़ते हैं शक्तियों के साथ कार्रवाई(और मैंने आपको चेतावनी दी थी!) ऐसा एक बहुत ही उपयोगी सूत्र है:

(एम) एन = एक एमएन

अब यदि आप इसे पाठ्यक्रम में चलाते हैं, तो यह आम तौर पर ठीक हो जाता है:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

मूल उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

3 2 एक्स - 3 3 (एक्स +2) = 0

बढ़िया, डिग्री के आधार संरेखित हैं। जिसके लिए हम प्रयास कर रहे थे। आधा काम हो चुका है।) और अब हम बुनियादी पहचान परिवर्तन शुरू करते हैं - हम 3 3 (x +2) को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया, हाँ।) हमें मिलता है:

3 2 एक्स = 3 3 (एक्स +2)

हमें इस तरह का समीकरण क्या देता है? और तथ्य यह है कि अब हमारा समीकरण कम हो गया है विहित रूप के लिए: बाईं ओर और दाईं ओर समान संख्याएँ (त्रिक) घातों में हैं। और दोनों त्रिगुण - शानदार अलगाव में। हम साहसपूर्वक त्रिगुणों को हटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2x = 3(x+2)

हम इसे हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स = -6

यही सब है इसके लिए। यह सही जवाब है।)

और अब हम निर्णय के पाठ्यक्रम को समझते हैं। इस उदाहरण में हमें क्या बचाया? हम त्रिगुणों की डिग्री के ज्ञान से बच गए थे। बिल्कुल कैसे? हम पहचान कीसंख्या 27 एन्क्रिप्टेड तीन! यह ट्रिक (एक ही आधार को अलग-अलग नंबरों के तहत एन्कोडिंग) घातीय समीकरणों में सबसे लोकप्रिय में से एक है! जब तक कि यह सबसे लोकप्रिय न हो। हाँ, और वैसे भी। यही कारण है कि घातीय समीकरणों में अवलोकन और संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने की क्षमता इतनी महत्वपूर्ण है!

प्रायोगिक उपकरण:

आपको लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को जानना होगा। चेहरे में!

बेशक, कोई भी दो से सातवीं या तीन से पांचवीं तक बढ़ा सकता है। मेरे दिमाग में नहीं, तो कम से कम एक मसौदे पर। लेकिन घातीय समीकरणों में, शक्ति को बढ़ाने के लिए नहीं, बल्कि, इसके विपरीत, यह पता लगाने के लिए कि संख्या 128 या 243 के पीछे कौन सी संख्या और किस हद तक छिपी हुई है, यह अधिक बार आवश्यक है। और यह पहले से ही अधिक है सरल घातांक की तुलना में जटिल, आप देखते हैं। अंतर महसूस करें, जैसा कि वे कहते हैं!

चूंकि चेहरे में डिग्री को पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर, बल्कि निम्नलिखित में भी उपयोगी होगी, यहां आपके लिए एक छोटा सा कार्य है:

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (बिखरे हुए, निश्चित रूप से):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हाँ हाँ! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों से अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक।

इस स्तर पर, हम पहले से ही डिग्री के अपने ज्ञान का पूरा उपयोग कर रहे हैं। अर्थात्, हम इस आकर्षक प्रक्रिया में नकारात्मक और भिन्नात्मक संकेतक शामिल करते हैं! हाँ हाँ! हमें शक्ति का निर्माण करने की आवश्यकता है, है ना?

उदाहरण के लिए, यह भयानक समीकरण:

फिर से, पहले नींव को देखें। आधार अलग हैं! और इस बार वे दूर-दूर तक एक-दूसरे से मिलते-जुलते भी नहीं हैं! 5 और 0.04... और आधारों को खत्म करने के लिए, वही चाहिए... क्या करें?

कोई बात नहीं! वास्तव में, सब कुछ समान है, बस पांच और 0.04 के बीच का संबंध नेत्रहीन खराब दिखाई देता है। हम कैसे निकलते हैं? और चलो 0.04 संख्या में सामान्य भिन्न पर चलते हैं! और वहां, आप देखते हैं, सब कुछ बनता है।)

0,04 = 4/100 = 1/25

बहुत खूब! यह पता चला है कि 0.04 1/25 है! अच्छा, किसने सोचा होगा!)

कितनी अच्छी तरह से? अब संख्या 5 और 1/25 के बीच संबंध देखना आसान है? यह वही है...

और अब, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार नकारात्मक संकेतकदृढ़ हाथ से लिखा जा सकता है:

यह बहुत बढ़िया बात है। तो हम एक ही आधार पर पहुँचे - पाँच। अब हम समीकरण में असहज संख्या 0.04 को 5 -2 से बदल देते हैं और प्राप्त करते हैं:

फिर से, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, अब हम लिख सकते हैं:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

बस मामले में, मैं याद दिलाता हूं (अचानक, कौन नहीं जानता) कि जमीन के नियमशक्तियों के साथ कार्रवाई के लिए मान्य हैं कोईसंकेतक! नकारात्मक सहित।) तो बेझिझक लें और संबंधित नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x-1) को गुणा करें। हमारा समीकरण बेहतर और बेहतर होता जाता है:

हर चीज़! बाएँ और दाएँ अंशों में एकाकी पाँचों के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। समीकरण को विहित रूप में घटाया गया है। और फिर - घुमावदार ट्रैक के साथ। हम फाइव को हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5=-2(एक्स-1)

उदाहरण लगभग पूरा हो गया है। मध्यम वर्ग का प्राथमिक गणित बना हुआ है - हम कोष्ठक खोलते हैं (सही ढंग से!) और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5 = -2 एक्स+2

एक्स 2 –4 एक्स+3 = 0

हम इसे हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 3

बस इतना ही।)

अब चलो फिर से सोचते हैं। इस उदाहरण में, हमें फिर से एक ही संख्या को अलग-अलग अंशों में पहचानना पड़ा! अर्थात्, एन्क्रिप्टेड पांच को संख्या 0.04 में देखने के लिए। और इस बार, में नकारात्मक डिग्री!हम इसे कैसे करेंगे? चलते-चलते - कोई रास्ता नहीं। लेकिन 0.04 के दशमलव अंश से 1/25 के साधारण अंश में संक्रमण के बाद, सब कुछ हाइलाइट किया गया था! और फिर पूरा निर्णय घड़ी की कल की तरह चला गया।)

इसलिए, एक और हरी व्यावहारिक सलाह।

यदि घातांकीय समीकरण में दशमलव भिन्न हैं, तो हम दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में चले जाते हैं। साधारण भिन्नों में, कई लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को पहचानना बहुत आसान है! मान्यता के बाद, हम भिन्नों से नकारात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं।

ध्यान रखें कि घातांकीय समीकरणों में इस तरह की हलचल बहुत, बहुत बार होती है! और व्यक्ति विषय में नहीं है। उदाहरण के लिए, वह 32 और 0.125 की संख्या में दिखता है और परेशान हो जाता है। उसके लिए यह अज्ञात है कि यह वही ड्यूस है, केवल में बदलती डिग्रियां... लेकिन आप पहले से ही इस विषय में हैं!)

प्रश्न हल करें:

में! यह एक शांत आतंक की तरह दिखता है ... हालांकि, दिखावे धोखा दे रहे हैं। यह भयानक होने के बावजूद सबसे सरल घातीय समीकरण है दिखावट. और अब मैं इसे आपको दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, हम आधारों और गुणांकों में बैठे सभी नंबरों से निपटते हैं। वे स्पष्ट रूप से भिन्न हैं, हाँ। लेकिन हम फिर भी जोखिम लेते हैं और उन्हें बनाने की कोशिश करते हैं वही! आइए जाने की कोशिश करें अलग-अलग डिग्री में एक ही संख्या. और, अधिमानतः, सबसे छोटी संभव की संख्या। तो, चलिए डिक्रिप्ट करना शुरू करते हैं!

खैर, एक बार में चारों के साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, पहले से ही कुछ।)

0.25 के अंश के साथ - यह अभी तक स्पष्ट नहीं है। देखने की जरूरत है। हम व्यावहारिक सलाह का उपयोग करते हैं - दशमलव से साधारण पर जाएं:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से काफी बेहतर। अभी के लिए यह पहले से ही स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि 1/4 2 -2 है। बढ़िया, और संख्या 0.25 भी एक ड्यूस के समान है।)

अब तक सब ठीक है। लेकिन सबसे खराब संख्या बनी हुई है - दो का वर्गमूल!इस मिर्च का क्या करें? क्या इसे दो की शक्ति के रूप में भी दर्शाया जा सकता है? और कौन जानता है...

खैर, हम फिर से डिग्री के बारे में अपने ज्ञान के खजाने में चढ़ते हैं! इस बार हम अपने ज्ञान को भी जोड़ते हैं जड़ों के बारे में. 9वीं कक्षा से ही आपको और मुझे यह सहना पड़ा कि कोई भी जड़ चाहे तो डिग्री में बदल सकती है। अंश के साथ।

ऐशे ही:

हमारे मामले में:

कैसे! यह पता चला है कि दो का वर्गमूल 2 1/2 है। इतना ही!

कोई बात नहीं! हमारे सभी असहज नंबर वास्तव में एक एन्क्रिप्टेड ड्यूस निकले।) मैं तर्क नहीं देता, कहीं बहुत परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम ऐसे सिफर्स को हल करने में अपना प्रोफेशनलिज्म भी बढ़ाते हैं! और फिर सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। हम अपने समीकरण में संख्या 4, 0.25 और दो के मूल को दो की घात से प्रतिस्थापित करते हैं:

हर चीज़! उदाहरण में सभी डिग्री के आधार समान हो गए हैं - दो। और अब डिग्री के साथ मानक क्रियाओं का उपयोग किया जाता है:

पूर्वाह्नएक = पूर्वाह्न + एन

ए एम: ए एन = ए एम-एन

(एम) एन = एक एमएन

बाईं ओर के लिए आपको मिलता है:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

दाईं ओर के लिए होगा:

और अब हमारा बुरा समीकरण इस तरह दिखने लगा:

उन लोगों के लिए जिन्होंने यह पता नहीं लगाया है कि यह समीकरण वास्तव में कैसे निकला, तो सवाल घातीय समीकरणों के बारे में नहीं है। प्रश्न शक्तियों के साथ कार्यों के बारे में है। मैंने तत्काल उन लोगों को दोहराने के लिए कहा जिन्हें समस्या है!

यहाँ फिनिश लाइन है! घातांकीय समीकरण का विहित रूप प्राप्त होता है! कितनी अच्छी तरह से? क्या मैंने आपको आश्वस्त किया है कि यह इतना डरावना नहीं है? ;) हम ड्यूस हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

यह केवल इस रैखिक समीकरण को हल करने के लिए रहता है। कैसे? निश्चित रूप से समान परिवर्तनों की सहायता से।) जो पहले से मौजूद है उसे हल करें! दोनों भागों को दो से गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), एक्स के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाएं, बिना एक्स के दाईं ओर, समान लाएं, गिनें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ खूबसूरती से निकलना चाहिए:

एक्स = 4

आइए अब निर्णय पर पुनर्विचार करें। इस उदाहरण में, हमें से संक्रमण द्वारा बचाया गया था वर्गमूल प्रति घातांक 1/2 . के साथ डिग्री. इसके अलावा, केवल इस तरह के एक चालाक परिवर्तन ने हमें हर जगह एक ही आधार (ड्यूस) तक पहुंचने में मदद की, जिससे स्थिति बच गई! और, यदि इसके लिए नहीं, तो हमारे पास हमेशा के लिए जमने और इस उदाहरण का सामना करने का हर मौका होगा, हाँ ...

इसलिए, हम अगली व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा नहीं करते हैं:

यदि घातांकीय समीकरण में जड़ें हैं, तो हम मूल से भिन्नात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं। बहुत बार, केवल ऐसा परिवर्तन ही आगे की स्थिति को स्पष्ट करता है।

बेशक, नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियां पहले से ही अधिक कठिन हैं। प्राकृतिक डिग्री. कम से कम दृश्य धारणा के संदर्भ में और, विशेष रूप से, दाएं से बाएं की पहचान!

यह स्पष्ट है कि सीधे ऊपर उठाना, उदाहरण के लिए, -3 की शक्ति के लिए दो या -3/2 की शक्ति के लिए एक चार ऐसा नहीं है बड़ी समस्या. जानने वालों के लिए।)

लेकिन जाओ, उदाहरण के लिए, तुरंत महसूस करो कि

0,125 = 2 -3

या

यहाँ केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव का नियम है, हाँ। और, ज़ाहिर है, एक स्पष्ट दृष्टिकोण, एक नकारात्मक और एक भिन्नात्मक घातांक क्या है।साथ ही - प्रायोगिक उपकरण! हाँ, हाँ, वो हरा।) मुझे आशा है कि वे फिर भी आपको सभी प्रकार की डिग्री में बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेंगे और आपकी सफलता की संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाएंगे! तो आइए उनकी उपेक्षा न करें। मैं व्यर्थ नहीं हूँ हरे मेंमैं कभी-कभी लिखता हूं।)

दूसरी ओर, यदि आप नकारात्मक और भिन्नात्मक जैसी विदेशी शक्तियों के साथ भी "आप" बन जाते हैं, तो घातीय समीकरणों को हल करने की आपकी संभावनाएं काफी बढ़ जाएंगी, और आप पहले से ही लगभग किसी भी प्रकार के घातीय समीकरणों को संभालने में सक्षम होंगे। ठीक है, यदि कोई नहीं है, तो सभी घातीय समीकरणों का 80 प्रतिशत - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ!

तो, घातीय समीकरणों के साथ परिचित होने का हमारा पहला भाग अपने तार्किक निष्कर्ष पर आ गया है। और, बीच में कसरत के रूप में, मैं परंपरागत रूप से अपने आप को थोड़ा सा हल करने का सुझाव देता हूं।)

अभ्यास 1।

ताकि नकारात्मक और भिन्नात्मक डिग्री को समझने के बारे में मेरे शब्द व्यर्थ न हों, मैं थोड़ा खेल खेलने का प्रस्ताव करता हूं!

संख्या को दो की शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

हो गई? उत्कृष्ट! फिर हम एक लड़ाकू मिशन करते हैं - हम सबसे सरल और सरल घातीय समीकरणों को हल करते हैं!

कार्य 2.

समीकरण हल करें (सभी उत्तर गड़बड़ हैं!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16x+3 = 0

उत्तर:

एक्स = 16

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 2

एक्स = 5

हो गई? वास्तव में, बहुत आसान!

फिर हम निम्नलिखित गेम को हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

उत्तर:

एक्स 1 = -2; एक्स 2 = 2

एक्स = 0,5

एक्स 1 = 3; एक्स 2 = 5

और एक के ये उदाहरण बचे हैं? उत्कृष्ट! तुम बढ़ रहे हो! फिर आपके लिए नाश्ता करने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

उत्तर:

एक्स = 6

एक्स = 13/31

एक्स = -0,75

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 8/3

और क्या यह तय है? अच्छा, सम्मान! मैं अपनी टोपी उतारता हूं।) तो, पाठ व्यर्थ नहीं था, और घातीय समीकरणों को हल करने के प्रारंभिक स्तर को सफलतापूर्वक महारत हासिल माना जा सकता है। आगे - अगले स्तर और अधिक जटिल समीकरण! और नई तकनीक और दृष्टिकोण। और गैर-मानक उदाहरण। और नए आश्चर्य।) यह सब - अगले पाठ में!

कुछ काम नहीं किया? तो, सबसे अधिक संभावना है, समस्याएं अंदर हैं। या में। या दोनों एक ही समय में। यहाँ मैं शक्तिहीन हूँ। मैं एक बार फिर केवल एक ही चीज की पेशकश कर सकता हूं - आलसी मत बनो और लिंक के माध्यम से चलो।)

जारी रहती है।)

घातीय समीकरण। जैसा कि आप जानते हैं, यूएसई में सरल समीकरण शामिल हैं। कुछ पर हम पहले ही विचार कर चुके हैं - ये लघुगणक, त्रिकोणमितीय, परिमेय हैं। यहाँ घातीय समीकरण हैं।

हाल के एक लेख में, हमने घातीय अभिव्यक्तियों के साथ काम किया, यह उपयोगी होगा। समीकरण स्वयं सरल और शीघ्रता से हल हो जाते हैं। केवल घातांक के गुणों को जानना आवश्यक है और ... इसके बारे मेंआगे।

हम घातांक के गुणों को सूचीबद्ध करते हैं:

किसी भी संख्या की शून्य घात एक के बराबर होती है।

इस संपत्ति का परिणाम:

थोड़ा और सिद्धांत।

एक घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में एक चर होता है, अर्थात यह समीकरण इस रूप का होता है:

एफ(एक्स) एक अभिव्यक्ति जिसमें एक चर होता है

घातांकीय समीकरणों को हल करने के तरीके

1. परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, समीकरण को रूप में घटाया जा सकता है:

फिर हम संपत्ति लागू करते हैं:

2. फॉर्म का समीकरण प्राप्त करते समय ए एफ (एक्स) = बीलघुगणक की परिभाषा का उपयोग किया जाता है, हम प्राप्त करते हैं:

3. परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, आप फॉर्म का समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

लघुगणक लागू होता है:

व्यक्त करें और x खोजें।

कार्यों में उपयोग के विकल्पयह पहली विधि का उपयोग करने के लिए पर्याप्त होगा।

यही है, एक ही आधार के साथ बाएं और दाएं भागों को डिग्री के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है, और फिर हम संकेतकों को समान करते हैं और सामान्य रैखिक समीकरण को हल करते हैं।

समीकरणों पर विचार करें:

समीकरण 4 1-2x = 64 का मूल ज्ञात कीजिए।

यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि बाएँ और दाएँ भाग हैं घातीय अभिव्यक्तिएक आधार के साथ। हम 64 को 4 के रूप में 3 की घात के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

4 1-2x = 4 3

1 - 2x = 3

- 2x = 2

एक्स \u003d - 1

इंतिहान:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

उत्तर 1

समीकरण 3 . का मूल ज्ञात कीजिएएक्स-18 = 1/9।

यह जाना जाता है कि

तो 3 x-18 = 3 -2

आधार समान हैं, हम संकेतकों की बराबरी कर सकते हैं:

एक्स - 18 \u003d - 2

एक्स = 16

इंतिहान:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

उत्तर: 16

समीकरण की जड़ खोजें:

आइए अंश 1/64 को तीसरी घात के एक चौथाई के रूप में निरूपित करें:

2x - 19 = 3

2x = 22

एक्स = 11

इंतिहान:

उत्तर: 11

समीकरण की जड़ खोजें:

आइए 1/3 को 3 -1 के रूप में और 9 को 3 वर्ग के रूप में निरूपित करें, हम प्राप्त करते हैं:

(3 -1) 8-2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

अब हम संकेतकों की बराबरी कर सकते हैं:

- 8+2x = 2

2x = 10

एक्स = 5

इंतिहान:

उत्तर: 5

26654. समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए:

समाधान:

उत्तर: 8.75

वास्तव में, हम जिस भी हद तक बढ़ाते हैं सकारात्मक संख्याए, ऐसा कोई तरीका नहीं है जिससे हम ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकें।

उपयुक्त परिवर्तनों के बाद कोई भी घातीय समीकरण एक या अधिक सरल समीकरणों को हल करने के लिए कम हो जाता है।इस भाग में हम कुछ समीकरणों के हल पर भी विचार करेंगे, चूकें नहीं!बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुत्सिख।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

इस लेख में, आप सभी प्रकार से परिचित होंगे घातीय समीकरणऔर उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम, किस प्रकार को पहचानना सीखें घातीय समीकरण, जिसे आपको हल करने की आवश्यकता है, और इसे हल करने के लिए उपयुक्त विधि लागू करें। उदाहरणों का विस्तृत समाधान घातीय समीकरणप्रत्येक प्रकार आप संबंधित वीडियो ट्यूटोरियल में देख सकते हैं।

एक घातीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में अज्ञात निहित होता है।

इससे पहले कि आप घातांकीय समीकरण को हल करना शुरू करें, कुछ करना उपयोगी है प्रारंभिक कार्रवाई , जो इसके समाधान के पाठ्यक्रम को बहुत सुविधाजनक बना सकता है। ये क्रियाएं हैं:

1. शक्तियों के सभी आधारों को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

2. जड़ों को एक डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें।

3. दशमलवसाधारण के रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं।

4. मिश्रित संख्याअनुचित भिन्नों के रूप में लिखें।

आप समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में इन क्रियाओं के लाभों को महसूस करेंगे।

मुख्य प्रकारों पर विचार करें घातीय समीकरणऔर उनके समाधान के लिए एल्गोरिदम।

1. समीकरण टाइप करें

यह समीकरण समीकरण के बराबर है

समीकरण हल करने के लिए देखें यह वीडियो इस प्रकार का।

2. समीकरण टाइप करें

इस प्रकार के समीकरणों में:

b) घातांक में अज्ञात के गुणांक बराबर होते हैं।

इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको गुणक को छोटी से छोटी डिग्री तक ब्रैकेट करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

वीडियो को देखो।

3. समीकरण टाइप करें

इस प्रकार के समीकरण इसमें भिन्न होते हैं

क) सभी अंशों का आधार समान होता है

b) घातांक में अज्ञात के गुणांक भिन्न होते हैं।

इस प्रकार के समीकरणों को चरों के परिवर्तन का उपयोग करके हल किया जाता है। प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, घातांक में मुक्त शर्तों से छुटकारा पाना वांछनीय है। (, , आदि)

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए VIDEO देखें:

4. सजातीय समीकरणमेहरबान

सजातीय समीकरणों की विशिष्ट विशेषताएं:

ए) सभी मोनोमियल्स की डिग्री समान होती है,

बी) मुक्त शब्द शून्य के बराबर है,

सी) समीकरण में दो अलग-अलग आधारों वाली शक्तियां होती हैं।

सजातीय समीकरणों को एक समान एल्गोरिथम द्वारा हल किया जाता है।

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को (द्वारा या द्वारा विभाजित किया जा सकता है)

ध्यान!समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों को अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित करते समय, आप मूल खो सकते हैं। इसलिए, यह जाँचना आवश्यक है कि क्या व्यंजक के मूल, जिससे हम समीकरण के दोनों भागों को विभाजित करते हैं, मूल समीकरण के मूल हैं।

हमारे मामले में, चूंकि अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है, हम इसे बिना किसी डर के विभाजित कर सकते हैं। हम समीकरण के बाईं ओर को इस व्यंजक पद से पद से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:

दूसरे और तीसरे अंश के अंश और हर को कम करें:

आइए एक प्रतिस्थापन पेश करें:

और शीर्षक = "(!LANG:t>0">при всех допустимых значениях неизвестного.!}

प्राप्त द्विघात समीकरण:

द्विघात समीकरण को हल करें, उन मानों को खोजें जो शर्त को पूरा करते हैं title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

सजातीय समीकरण के विस्तृत समाधान के लिए वीडियो पाठ देखें:

5. समीकरण टाइप करें

इस समीकरण को हल करते समय, हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि title="(!LANG:f(x)>0">!}

मूल समानता दो मामलों में है:

1. यदि , चूंकि 1 किसी भी घात के 1 के बराबर है,

2. दो शर्तों के तहत:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

समीकरण के विस्तृत समाधान के लिए वीडियो देखें