In der Mathematik können Wurzeln quadratisch oder kubisch sein oder einen beliebigen anderen Exponenten (Potenz) haben, der links über dem Wurzelzeichen steht. Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird Wurzelausdruck genannt. Die Wurzeladdition ähnelt der Termaddition. Algebraischer Ausdruck, das heißt, es erfordert die Definition ähnlicher Wurzeln.

Schritte

Teil 1 von 2: Wurzeln finden

Wurzelbezeichnung. Ein Ausdruck unter dem Wurzelzeichen () bedeutet, dass aus diesem Ausdruck eine Wurzel eines bestimmten Grades gezogen werden muss.

• Die Wurzel wird durch ein Zeichen gekennzeichnet.
• Der Index (Grad) der Wurzel steht links über dem Wurzelzeichen. Die Kubikwurzel von 27 wird beispielsweise wie folgt geschrieben: (27)
• Wenn der Exponent (Grad) der Wurzel fehlt, wird der Exponent als gleich 2 betrachtet, d. h. er ist die Quadratwurzel (oder die Wurzel zweiten Grades).
• Die vor dem Wurzelzeichen geschriebene Zahl wird als Multiplikator bezeichnet (d. h. diese Zahl wird mit der Wurzel multipliziert), zum Beispiel 5 (2)
• Wenn vor der Wurzel kein Faktor steht, ist sie gleich 1 (denken Sie daran, dass jede mit 1 multiplizierte Zahl sich selbst entspricht).
• Wenn Sie zum ersten Mal mit Wurzeln arbeiten, machen Sie sich entsprechende Notizen zum Multiplikator und Exponenten der Wurzel, um Verwirrung zu vermeiden und deren Zweck besser zu verstehen.

Denken Sie daran, welche Wurzeln gefaltet werden können und welche nicht. So wie Sie keine unterschiedlichen Begriffe eines Ausdrucks hinzufügen können, wie z. B. 2a + 2b 4ab, können Sie auch keine unterschiedlichen Wurzeln hinzufügen.

Sie können keine Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelausdrücken hinzufügen, zum Beispiel (2) + (3) (5). Sie können jedoch Zahlen unter derselben Wurzel addieren, zum Beispiel (2 + 3) = (5) (die Quadratwurzel von 2 beträgt ungefähr 1,414, die Quadratwurzel von 3 beträgt ungefähr 1,732 und die Quadratwurzel von 5 beträgt ungefähr 2,236). ).

Sie können keine Wurzeln mit denselben Wurzelausdrücken, aber unterschiedlichen Exponenten addieren, zum Beispiel (64) + (64) (diese Summe ist nicht gleich (64), da die Quadratwurzel von 64 8 ist, die Kubikwurzel von 64 4, 8 + 4 = 12, was viel größer ist als die fünfte Wurzel von 64, die ungefähr 2,297 beträgt).

Teil 2 von 2: Wurzeln vereinfachen und hinzufügen

Identifizieren und gruppieren Sie ähnliche Wurzeln.Ähnliche Wurzeln sind Wurzeln, die denselben Exponenten und dieselben Wurzelausdrücke haben. Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)

• Schreiben Sie zunächst den Ausdruck so um, dass Wurzeln mit demselben Exponenten in Reihe liegen.
  2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81)
• Schreiben Sie dann den Ausdruck so um, dass Wurzeln mit demselben Exponenten und demselben Wurzelausdruck in Reihe liegen.
  2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Vereinfachen Sie Ihre Wurzeln. Zerlegen Sie dazu (wo möglich) die Wurzelausdrücke in zwei Faktoren, von denen einer unter der Wurzel herausgenommen wird. In diesem Fall werden die gerenderte Zahl und der Wurzelfaktor multipliziert.

Faktorisieren Sie im obigen Beispiel 50 in 2*25 und die Zahl 32 in 2*16. Aus 25 und 16 können Sie Quadratwurzeln (5 bzw. 4) ziehen und 5 und 4 unter der Wurzel herausziehen, indem Sie sie jeweils mit den Faktoren 2 und 1 multiplizieren. Somit erhalten Sie einen vereinfachten Ausdruck: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + (81)

Die Zahl 81 kann in 3 * 27 zerlegt werden und die Kubikwurzel aus 3 kann aus der Zahl 27 gezogen werden. Diese Zahl 3 kann unter der Wurzel gezogen werden. Somit erhalten Sie einen noch einfacheren Ausdruck: 10 (2) + 4 (2) + 2 (3) + 6 (3) + 3 (3)

Addieren Sie die Faktoren ähnlicher Wurzeln. In unserem Beispiel gibt es ähnliche Quadratwurzeln von 2 (sie können addiert werden) und ähnliche Quadratwurzeln von 3 (sie können auch addiert werden). Bei Kubikwurzel Von 3 gibt es keine solchen Wurzeln.

10 (2) + 4 (2) = 14 (2).

2 (3)+ 6 (3) = 8 (3).

Endgültiger vereinfachter Ausdruck: 14 (2) + 8 (3) + 3 (3)

• Es gibt keine allgemein anerkannten Regeln für die Reihenfolge, in der Wurzeln in einem Ausdruck geschrieben werden. Daher können Sie Wurzeln in aufsteigender Reihenfolge ihrer Exponenten und in aufsteigender Reihenfolge ihrer Wurzelausdrücke schreiben.

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Inhalt:

Das Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln ist nur möglich, wenn sie denselben Wurzelausdruck haben, d. h. Sie können 2√3 und 4√3 addieren oder subtrahieren, nicht jedoch 2√3 und 2√5. Sie können den Wurzelausdruck vereinfachen, indem Sie sie in Wurzeln mit demselben Wurzelausdruck umwandeln (und sie dann addieren oder subtrahieren).

Schritte

Teil 1: Die Grundlagen verstehen

1. 1 (Ausdruck im Zeichen der Wurzel). Zerlegen Sie dazu die Wurzelzahl in zwei Faktoren, von denen einer eine Quadratzahl ist (eine Zahl, aus der eine ganze Wurzel gezogen werden kann, zum Beispiel 25 oder 9). Ziehen Sie anschließend die Wurzel aus der Quadratzahl und schreiben Sie den gefundenen Wert vor das Wurzelzeichen (der zweite Faktor bleibt unter dem Wurzelzeichen). Zum Beispiel 6√50 - 2√8 + 5√12. Die Zahlen vor dem Wurzelzeichen sind die Faktoren der entsprechenden Wurzeln und die Zahlen unter dem Wurzelzeichen sind die Wurzelzahlen (Ausdrücke). So lösen Sie dieses Problem:
   • 6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Hier faktorisieren Sie 50 in die Faktoren 25 und 2; Dann ziehen Sie aus 25 die Wurzel gleich 5 und ziehen 5 unter der Wurzel hervor. Dann multiplizieren Sie 5 mit 6 (Faktor an der Wurzel) und erhalten 30√2.
   • 2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. Hier faktorisieren Sie 8 in die Faktoren 4 und 2; Dann ziehen Sie aus 4 die Wurzel gleich 2 und ziehen 2 unter der Wurzel hervor. Dann multipliziert man 2 mit 2 (Faktor an der Wurzel) und erhält 4√2.
   • 5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Hier faktorisieren Sie 12 in die Faktoren 4 und 3; Dann ziehen Sie aus 4 die Wurzel gleich 2 und ziehen 2 unter der Wurzel hervor. Dann multipliziert man 2 mit 5 (Faktor an der Wurzel) und erhält 10√3.
2. 2 Unterstreichen Sie die Wurzeln, deren Wurzelausdrücke gleich sind. In unserem Beispiel lautet der vereinfachte Ausdruck: 30√2 - 4√2 + 10√3. Darin müssen Sie den ersten und zweiten Begriff unterstreichen ( 30√2 Und 4√2 ), da sie die gleiche Wurzelzahl 2 haben. Nur solche Wurzeln können addiert und subtrahiert werden.
3. 3 Wenn Sie einen Ausdruck mit einer großen Anzahl von Begriffen erhalten, von denen viele die gleichen Wurzelausdrücke haben, verwenden Sie einfache, doppelte oder dreifache Unterstriche, um solche Begriffe zu kennzeichnen, um die Lösung dieses Ausdrucks zu erleichtern.
4. 4 Addieren oder subtrahieren Sie bei Wurzeln, deren Wurzelausdrücke gleich sind, die Faktoren vor dem Wurzelzeichen und lassen Sie den Wurzelausdruck gleich (addieren oder subtrahieren Sie keine Wurzelzahlen!). Die Idee besteht darin, zu zeigen, wie viele Wurzeln mit einem bestimmten Wurzelausdruck in diesem Ausdruck enthalten sind.
   • 30√2 - 4√2 + 10√3 =
   • (30 - 4)√2 + 10√3 =
   • 26√2 + 10√3

Teil 2 Üben mit Beispielen

1. 1 Beispiel 1: √(45) + 4√5.
   • Vereinfachen Sie √(45). Faktor 45: √(45) = √(9 x 5).
   • Bewegen Sie 3 unter der Wurzel hervor (√9 = 3): √(45) = 3√5.
   • Addieren Sie nun die Faktoren an den Wurzeln: 3√5 + 4√5 = 7√5
2. 2 Beispiel 2: 6√(40) - 3√(10) + √5.
   • Vereinfachen Sie 6√(40). Faktor 40: 6√(40) = 6√(4 x 10).
   • Bewegen Sie 2 unter der Wurzel hervor (√4 = 2): 6√(40) = 6√(4 x 10) = (6 x 2)√10.
   • Multiplizieren Sie die Faktoren vor der Wurzel und erhalten Sie 12√10.
   • Jetzt kann der Ausdruck als 12√10 - 3√(10) + √5 geschrieben werden. Da die ersten beiden Terme die gleichen Wurzelzahlen haben, können Sie den zweiten Term vom ersten subtrahieren und den ersten unverändert lassen.
   • Sie erhalten: (12-3)√10 + √5 = 9√10 + √5.
3. 3 Beispiel 3 9√5 -2√3 - 4√5. Hier kann keiner der Wurzelausdrücke faktorisiert werden, sodass eine Vereinfachung dieses Ausdrucks nicht funktioniert. Sie können den dritten Term vom ersten subtrahieren (da beide die gleiche Wurzelzahl haben) und den zweiten Term unverändert lassen. Sie erhalten: (9-4)√5 -2√3 = 5√5 - 2√3.
4. 4 Beispiel 4 √9 + √4 - 3√2.
   • √9 = √(3 x 3) = 3.
   • √4 = √(2 x 2) = 2.
   • Jetzt können Sie einfach 3 + 2 addieren, um 5 zu erhalten.
   • Endgültige Antwort: 5 - 3√2.
5. 5 Beispiel 5 Lösen Sie einen Ausdruck, der Wurzeln und Brüche enthält. Sie können nur Brüche addieren und berechnen, die einen gemeinsamen (gleichen) Nenner haben. Gegeben ist der Ausdruck (√2)/4 + (√2)/2.
   • Finden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner dieser Brüche. Dies ist eine Zahl, die durch jeden Nenner gleichmäßig teilbar ist. In unserem Beispiel ist die Zahl 4 durch 4 und 2 teilbar.
   • Multiplizieren Sie nun den zweiten Bruch mit 2/2 (um ihn auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen; der erste Bruch wurde bereits darauf reduziert): (√2)/2 x 2/2 = (2√2)/4.
   • Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner gleich: (√2)/4 + (2√2)/4 = (3√2)/4 .

• Stellen Sie vor dem Addieren oder Subtrahieren von Wurzeln sicher, dass Sie die Wurzelausdrücke (wenn möglich) vereinfachen.

Warnungen

• Addieren oder subtrahieren Sie niemals Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelausdrücken.
• Addieren oder subtrahieren Sie niemals eine ganze Zahl und eine Wurzel, zum Beispiel 3 + (2x) 1/2 .
  • Hinweis: „x“ in der zweiten Potenz und die Quadratwurzel von „x“ sind dasselbe (d. h. x 1/2 = √x).

Wurzelformeln. Eigenschaften von Quadratwurzeln.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Material im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die stark „nicht sehr…“ sind
Und für diejenigen, die „sehr ...“

In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, was das ist Formeln für Wurzeln, was sind Root-Eigenschaften und was man dagegen tun kann.

Wurzelformeln, Wurzeleigenschaften und Regeln für Aktionen mit Wurzeln- Es ist im Wesentlichen dasselbe. Formeln für Quadratwurzelnüberraschend wenig. Was natürlich gefällt! Vielmehr können Sie viele Formeln aller Art schreiben, aber nur drei reichen für eine praktische und sichere Arbeit mit Wurzeln. Alles Weitere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl viele in den drei Formeln der Wurzeln verirren, ja ...

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

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Inhalt:

In der Mathematik können Wurzeln quadratisch oder kubisch sein oder einen beliebigen anderen Exponenten (Potenz) haben, der links über dem Wurzelzeichen steht. Der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen wird Wurzelausdruck genannt. Das Addieren von Wurzeln ähnelt dem Addieren der Terme eines algebraischen Ausdrucks, das heißt, es erfordert die Definition ähnlicher Wurzeln.

Schritte

Teil 1: Wurzeln finden

1. 1 Wurzelbezeichnung. Ein Ausdruck unter dem Wurzelzeichen (√) bedeutet, dass aus diesem Ausdruck eine Wurzel eines bestimmten Grades gezogen werden muss.
   • Die Wurzel wird mit dem Zeichen √ bezeichnet.
   • Der Index (Grad) der Wurzel steht links über dem Wurzelzeichen. Die Kubikwurzel von 27 wird beispielsweise so geschrieben: 3 √(27)
   • Wenn der Exponent (Grad) der Wurzel fehlt, wird der Exponent als gleich 2 betrachtet, d. h. er ist die Quadratwurzel (oder die Wurzel zweiten Grades).
   • Die Zahl vor dem Wurzelzeichen wird Faktor genannt (d. h. diese Zahl wird mit der Wurzel multipliziert), zum Beispiel 5√ (2)
   • Wenn vor der Wurzel kein Faktor steht, ist sie gleich 1 (denken Sie daran, dass jede mit 1 multiplizierte Zahl sich selbst entspricht).
   • Wenn Sie zum ersten Mal mit Wurzeln arbeiten, machen Sie sich entsprechende Notizen zum Multiplikator und Exponenten der Wurzel, um Verwirrung zu vermeiden und deren Zweck besser zu verstehen.
2. 2 Denken Sie daran, welche Wurzeln gefaltet werden können und welche nicht. So wie Sie keine unterschiedlichen Terme eines Ausdrucks hinzufügen können, zum Beispiel 2a + 2b ≠ 4ab, können Sie auch keine unterschiedlichen Wurzeln hinzufügen.
   • Sie können keine Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelausdrücken hinzufügen, zum Beispiel √(2) + √(3) ≠ √(5). Aber Sie können die Zahlen unter derselben Wurzel addieren, wie zum Beispiel √(2 + 3) = √(5) (die Quadratwurzel von 2 beträgt etwa 1,414, die Quadratwurzel von 3 beträgt etwa 1,732 und die Quadratwurzel von 5 beträgt etwa 2.236) .
   • Sie können keine Wurzeln mit denselben Wurzelausdrücken, aber unterschiedlichen Exponenten addieren, zum Beispiel √ (64) + 3 √ (64) (diese Summe ist nicht gleich 5 √ (64), da die Quadratwurzel von 64 8 ist). Die Kubikwurzel von 64 ist 4 , 8 + 4 = 12, was viel größer ist als die fünfte Wurzel von 64, die ungefähr 2,297 beträgt.

Teil 2 Vereinfachen und Hinzufügen von Wurzeln

1. 1 Identifizieren und gruppieren Sie ähnliche Wurzeln.Ähnliche Wurzeln sind Wurzeln, die denselben Exponenten und dieselben Wurzelausdrücke haben. Betrachten Sie zum Beispiel den Ausdruck:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Schreiben Sie zunächst den Ausdruck so um, dass Wurzeln mit demselben Exponenten in Reihe liegen.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Schreiben Sie dann den Ausdruck so um, dass Wurzeln mit demselben Exponenten und demselben Wurzelausdruck in Reihe liegen.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Vereinfachen Sie Ihre Wurzeln. Zerlegen Sie dazu (wo möglich) die Wurzelausdrücke in zwei Faktoren, von denen einer unter der Wurzel herausgenommen wird. In diesem Fall werden die gerenderte Zahl und der Wurzelfaktor multipliziert.
   • Faktorisieren Sie im obigen Beispiel 50 in 2*25 und die Zahl 32 in 2*16. Aus 25 und 16 können Sie Quadratwurzeln (5 bzw. 4) ziehen und 5 und 4 unter der Wurzel herausziehen, indem Sie sie jeweils mit den Faktoren 2 und 1 multiplizieren. Somit erhalten Sie einen vereinfachten Ausdruck: 10√(2) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Die Zahl 81 kann in 3 * 27 zerlegt werden und die Kubikwurzel aus 3 kann aus der Zahl 27 gezogen werden. Diese Zahl 3 kann unter der Wurzel gezogen werden. Somit erhalten Sie einen noch einfacheren Ausdruck: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Addieren Sie die Faktoren ähnlicher Wurzeln. In unserem Beispiel gibt es ähnliche Quadratwurzeln von 2 (sie können addiert werden) und ähnliche Quadratwurzeln von 3 (sie können auch addiert werden). Eine Kubikwurzel aus 3 hat keine solchen Wurzeln.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Endgültiger vereinfachter Ausdruck: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Es gibt keine allgemein anerkannten Regeln für die Reihenfolge, in der Wurzeln in einem Ausdruck geschrieben werden. Daher können Sie Wurzeln in aufsteigender Reihenfolge ihrer Exponenten und in aufsteigender Reihenfolge ihrer Wurzelausdrücke schreiben.

Aufmerksamkeit!
Es gibt noch weitere
Material im Sonderabschnitt 555.
Für diejenigen, die stark sind, „nicht sehr“. »
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In der vorherigen Lektion haben wir herausgefunden, was eine Quadratwurzel ist. Es ist Zeit herauszufinden, was das ist Formeln für Wurzeln, was sind Root-Eigenschaften und was man dagegen tun kann.

Wurzelformeln, Wurzeleigenschaften und Regeln für Aktionen mit Wurzeln sind im Wesentlichen dasselbe. Es gibt überraschend wenige Formeln für Quadratwurzeln. Was natürlich gefällt! Vielmehr können Sie viele Formeln aller Art schreiben, aber nur drei reichen für eine praktische und sichere Arbeit mit Wurzeln. Alles Weitere ergibt sich aus diesen dreien. Obwohl viele in den drei Formeln der Wurzeln verirren, ja.

Beginnen wir mit dem Einfachsten. Da ist sie:

Ich erinnere Sie (aus der vorherigen Lektion): a und b sind nicht negative Zahlen! Ansonsten ergibt die Formel keinen Sinn.

Diese Eigenschaft von Wurzeln, wie Sie sehen, einfach, kurz und harmlos. Aber mit dieser Wurzelformel können Sie viele nützliche Dinge tun! Werfen wir einen Blick darauf Beispiele all diese nützlichen Dinge.

Nützliches Ding Erste. Diese Formel ermöglicht es uns Wurzeln vermehren.

Wie vermehre ich Wurzeln?

Ja, ganz einfach. Direkt zur Formel. Zum Beispiel:

Es scheint, dass sie sich vervielfacht haben, na und? Gibt es viel Freude? Ich stimme ein wenig zu. Aber wie gefällt dir das? Beispiel?

Wurzeln werden nicht unbedingt aus Faktoren gezogen. Und das Ergebnis ist großartig! Schon besser, oder? Für alle Fälle teile ich Ihnen mit, dass es beliebig viele Multiplikatoren geben kann. Die Wurzelmultiplikationsformel funktioniert immer noch. Zum Beispiel:

Mit der Multiplikation ist also alles klar, warum dies notwendig ist Eigenschaft der Wurzeln- ist auch verständlich.

Nützliche Sache die zweite. Eingabe einer Zahl unter dem Vorzeichen der Wurzel.

Wie gebe ich eine Zahl unter der Wurzel ein?

Nehmen wir an, wir haben diesen Ausdruck:

Ist es möglich, die Zwei in der Wurzel zu verstecken? Leicht! Wenn Sie aus zwei eine Wurzel bilden, funktioniert die Formel zum Multiplizieren der Wurzeln. Und wie macht man aus einer Zwei eine Wurzel? Ja, das ist auch keine Frage! Das Doppelte ist Quadratwurzel aus vier!

Die Wurzel kann übrigens aus jeder nicht negativen Zahl gebildet werden! Dies ist die Quadratwurzel des Quadrats dieser Zahl. 3 ist die Wurzel von 9. 8 ist die Wurzel von 64. 11 ist die Wurzel von 121. Nun, und so weiter.

Natürlich ist es nicht nötig, so detailliert zu malen. Außer für den Anfang. Es genügt zu erkennen, dass jede nicht negative Zahl, multipliziert mit der Wurzel, unter die Wurzel gebracht werden kann. Aber vergessen Sie nicht! - Unter der Wurzel wird diese Nummer Quadrat sich selbst. Diese Aktion – das Eingeben einer Zahl unter der Wurzel – kann auch als Multiplikation einer Zahl mit der Wurzel bezeichnet werden. Allgemein kann man schreiben:

Der Vorgang ist einfach, wie Sie sehen können. Warum wird sie gebraucht?

Wie jede Transformation erweitert auch dieses Verfahren unsere Möglichkeiten. Möglichkeiten, einen grausamen und unangenehmen Ausdruck in einen weichen und flauschigen Ausdruck zu verwandeln. Hier ist eine einfache Lösung für Sie Beispiel:

Wie du sehen kannst Root-Eigenschaft, was die Einführung eines Faktors unter dem Vorzeichen der Wurzel ermöglicht, eignet sich durchaus zur Vereinfachung.

Darüber hinaus erleichtert das Hinzufügen eines Multiplikators unter der Wurzel den Vergleich der Werte verschiedener Wurzeln. Ganz ohne Berechnung und Taschenrechner! Die dritte nützliche Sache.

Wie vergleiche ich Wurzeln?

Diese Fähigkeit ist in soliden Missionen, beim Freischalten von Modulen und anderen coolen Dingen sehr wichtig.

Vergleichen Sie diese Ausdrücke. Welches ist mehr? Ohne Taschenrechner! Jeweils mit Taschenrechner. Äh-äh. Kurz gesagt, jeder kann es schaffen!)

Das sagt man nicht gleich. Und wenn Sie Zahlen unter dem Vorzeichen der Wurzel eingeben?

Denken Sie daran (plötzlich wussten Sie es nicht mehr?): Wenn die Zahl unter dem Vorzeichen der Wurzel größer ist, dann ist die Wurzel selbst größer! Daher die sofort richtige Antwort, ohne komplizierte Berechnungen und Berechnungen:

Es ist großartig, oder? Aber das ist nicht alles! Denken Sie daran, dass alle Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Bisher haben wir die Formel zum Multiplizieren von Wurzeln von links nach rechts verwendet. Lassen Sie uns diese Root-Eigenschaft rückwärts ausführen, von rechts nach links. So:

Und was ist der Unterschied? Gibt es dir etwas!? Sicherlich! Jetzt werden Sie es selbst sehen.

Angenommen, wir müssen (ohne Taschenrechner!) die Quadratwurzel der Zahl 6561 extrahieren. Einige Menschen geraten in diesem Stadium in einen ungleichen Kampf mit der Aufgabe. Aber wir sind hartnäckig, wir geben nicht auf! Nützliche Sache viertens.

Wie zieht man Wurzeln aus großen Zahlen?

Wir erinnern uns an die Formel zum Extrahieren von Wurzeln aus einem Produkt. Die, die ich oben gepostet habe. Aber wo ist unsere Arbeit? Wir haben eine riesige Nummer 6561 und das war's. Ja, es gibt keine Kunst. Aber wenn wir es brauchen, dann wir Lass es uns tun! Faktorisieren wir diese Zahl. Wir haben das Recht.

Lassen Sie uns zunächst herausfinden, durch was genau diese Zahl teilbar ist. Was, du weißt es nicht!? Haben Sie die Zeichen der Teilbarkeit vergessen!? Vergeblich. Gehen Sie zum Sonderteil 555, Betreff „Brüche“, dort sind sie. Diese Zahl ist durch 3 und 9 teilbar. Denn die Summe der Ziffern (6+5+6+1=18) ist durch diese Zahlen teilbar. Dies ist eines der Zeichen der Teilbarkeit. Wir müssen nicht durch drei dividieren (jetzt werden Sie verstehen, warum), sondern wir werden durch 9 dividieren. Zumindest in einer Ecke. Wir erhalten 729. Wir haben also zwei Faktoren gefunden! Die erste ist eine Neun (wir haben sie selbst gewählt) und die zweite ist 729 (es ist so geworden). Sie können bereits schreiben:

Bekomme eine Vorstellung? Machen wir dasselbe mit der Nummer 729. Sie ist auch durch 3 und 9 teilbar. Auch hier teilen wir nicht durch 3, sondern durch 9. Wir erhalten 81. Und diese Zahl kennen wir! Wir schreiben auf:

Alles ist einfach und elegant geworden! Die Wurzel musste Stück für Stück entfernt werden, na ja, okay. Dies ist mit beliebig großen Zahlen möglich. Multipliziere sie und los geht’s!

Übrigens, warum musstest du nicht durch 3 dividieren, hast du es erraten? Ja, weil die Wurzel aus drei nicht genau gezogen wird! Es ist sinnvoll, in solche Faktoren zu zerlegen, dass mindestens eine Wurzel gut extrahiert werden kann. Es ist 4, 9, 16 und so weiter. Teilen Sie Ihre riesige Zahl der Reihe nach durch diese Zahlen, und Sie haben Glück!

Aber nicht unbedingt. Vielleicht kein Glück. Nehmen wir an, dass die Zahl 432, wenn man sie faktorisiert und die Wurzelformel für das Produkt verwendet, das folgende Ergebnis liefert:

Na ja, okay. Wir haben den Ausdruck trotzdem vereinfacht. In der Mathematik ist es üblich, die meisten zu verlassen kleine Nummer des Möglichen. Im Lösungsprozess hängt alles vom Beispiel ab (vielleicht wird alles ohne Vereinfachung reduziert), aber in der Antwort muss ein Ergebnis angegeben werden, das nicht weiter vereinfacht werden kann.

Wissen Sie übrigens, was wir jetzt mit der Wurzel von 432 gemacht haben?

Wir Faktoren aus dem Zeichen der Wurzel herausgenommen ! So wird dieser Vorgang genannt. Und dann wird die Aufgabe fallen – „ Nehmen Sie den Faktor unter dem Zeichen der Wurzel heraus„Aber die Männer wissen es nicht einmal.) Hier ist eine andere Verwendung für Sie Root-Eigenschaften. Nützliche Sache Fünfter.

Wie kann man den Multiplikator unter der Wurzel hervorholen?

Leicht. Faktorisieren Sie den Wurzelausdruck und extrahieren Sie die extrahierten Wurzeln. Wir schauen:

Nichts Übernatürliches. Es ist wichtig, die richtigen Multiplikatoren zu wählen. Hier haben wir 72 als 36 2 zerlegt. Und es hat alles gut geklappt. Oder sie hätten es anders zerlegen können: 72 = 6 · 12. Na und!? Weder aus 6 noch aus 12 wird die Wurzel gezogen. Was zu tun ist?!

Macht nichts. Oder suchen Sie nach anderen Zerlegungsmöglichkeiten oder legen Sie alles bis zum Anschlag weiter aus! So:

Wie Sie sehen, hat alles geklappt. Dies ist übrigens nicht der schnellste, aber der zuverlässigste Weg. Zerlegen Sie die Zahl in die kleinsten Faktoren und sammeln Sie diese dann in Stapeln. Die Methode wird auch bei der Multiplikation unbequemer Wurzeln erfolgreich angewendet. Sie müssen beispielsweise Folgendes berechnen:

Multiplizieren Sie alles – Sie erhalten eine verrückte Zahl! Und wie kann man dann die Wurzel daraus extrahieren?! Nochmals multiplizieren? Nein, wir brauchen keine zusätzliche Arbeit. Wir zerlegen sofort in Faktoren und sammeln diese in Stapeln:

Das ist alles. Natürlich ist es nicht notwendig, bis zum Anschlag auszulegen. Alles wird von Ihren persönlichen Fähigkeiten bestimmt. Habe das Beispiel in einen Zustand gebracht, in dem Dir ist alles klar Sie können also schon zählen. Die Hauptsache ist, keine Fehler zu machen. Kein Mann für Mathematik, sondern Mathematik für einen Mann!)

Lassen Sie uns das Wissen in die Praxis umsetzen? Beginnen wir mit einem einfachen:

Regel zum Addieren von Quadratwurzeln

Eigenschaften von Quadratwurzeln

Bisher haben wir fünf arithmetische Operationen mit Zahlen durchgeführt: Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Potenzierung sowie verschiedene Eigenschaften dieser Operationen wurden aktiv in Berechnungen verwendet, zum Beispiel a + b = b + a und n -b n = (ab) n usw.

In diesem Kapitel wird eine neue Operation vorgestellt – das Ziehen der Quadratwurzel aus einer nicht negativen Zahl. Um es erfolgreich nutzen zu können, müssen Sie sich mit den Eigenschaften dieser Operation vertraut machen, was wir in diesem Abschnitt tun werden.

Nachweisen. Führen wir die folgende Notation ein:
Wir müssen das beweisen negative Zahlen x, y, z, x = yz.

Also x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Dann ist x 2 \u003d y 2 z 2, d. h. x 2 \u003d (yz) 2.

Wenn Quadrate zwei nichtnegative Zahlen gleich sind, dann sind die Zahlen selbst gleich, was bedeutet, dass aus der Gleichheit x 2 \u003d (yz) 2 folgt, dass x \u003d yz, und dies musste bewiesen werden.

Wir geben einen kurzen Überblick über den Beweis des Satzes:

Bemerkung 1. Der Satz bleibt auch dann gültig, wenn der Wurzelausdruck das Produkt von mehr als zwei nichtnegativen Faktoren ist.

Bemerkung 2. Satz 1 kann mit dem Befehl „if“ geschrieben werden. , dann“ (wie es für Theoreme in der Mathematik üblich ist). Wir geben die entsprechende Formulierung an: Wenn a und b nicht negative Zahlen sind, dann gilt die Gleichheit .

So formulieren wir den folgenden Satz.

(Eine kurze Formulierung, die in der Praxis bequemer zu verwenden ist: Die Wurzel eines Bruchs ist gleich dem Bruch der Wurzeln, oder die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.)

Diesmal geben wir nur einen kurzen Überblick über den Beweis, und Sie können versuchen, entsprechende Kommentare zu machen, die denen ähneln, die den Kern des Beweises von Satz 1 ausmachen.

Beispiel 1. Berechnen Sie .
Lösung. Verwendung der ersten Eigenschaft Quadratwurzeln(Satz 1) erhalten wir

Bemerkung 3. Dieses Beispiel lässt sich natürlich auch anders lösen, insbesondere wenn Sie einen Taschenrechner zur Hand haben: Multiplizieren Sie die Zahlen 36, 64, 9 und ziehen Sie dann die Quadratwurzel aus dem resultierenden Produkt. Sie werden jedoch zustimmen, dass die oben vorgeschlagene Lösung kultureller aussieht.

Bemerkung 4. Bei der ersten Methode führten wir direkte Berechnungen durch. Der zweite Weg ist eleganter:
wir haben uns beworben Formel a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) und nutzte die Eigenschaft der Quadratwurzeln.

Bemerkung 5. Einige „Hitzköpfe“ bieten zu Beispiel 3 manchmal folgende „Lösung“ an:

Das stimmt natürlich nicht: Sie sehen – das Ergebnis ist nicht das gleiche wie in unserem Beispiel 3. Fakt ist, dass es keine Eigenschaft gibt als Nr. und Eigenschaften Es gibt nur Eigenschaften bezüglich der Multiplikation und Division von Quadratwurzeln. Seien Sie vorsichtig und vorsichtig, lassen Sie sich nicht von Wunschdenken leiten.

Beispiel 4. Berechnen Sie: a)
Lösung. Jede Formel in der Algebra wird nicht nur „von rechts nach links“, sondern auch „von links nach rechts“ verwendet. Die erste Eigenschaft von Quadratwurzeln bedeutet also, dass sie bei Bedarf dargestellt werden kann als , und umgekehrt, die durch den Ausdruck ersetzt werden kann. Gleiches gilt für die zweite Eigenschaft von Quadratwurzeln. Lassen Sie uns vor diesem Hintergrund das vorgeschlagene Beispiel lösen.

Zum Abschluss des Absatzes stellen wir noch eine weitere recht einfache und zugleich wichtige Eigenschaft fest:
wenn a > 0 und n - natürliche Zahl , Das

Beispiel 5 Berechnung , ohne eine Tabelle mit Zahlenquadraten und einen Taschenrechner zu verwenden.

Lösung. Zerlegen wir die Wurzelzahl in Primfaktoren:

Bemerkung 6. Dieses Beispiel könnte auf die gleiche Weise gelöst werden wie das ähnliche Beispiel in § 15. Es ist leicht zu erraten, dass die Antwort „80 mit Schwanz“ lauten wird, da 80 2 2 . Suchen wir den „Schwanz“, also die letzte Ziffer der gewünschten Zahl. Пока мы знаем, что если корень извлекается, то в ответе может получиться 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 или 89. Проверить надо только два числа: 84 и 86, поскольку только они при возведении в квадрат дадут ergebend vierstellig eine Zahl, die auf 6 endet, d.h. dieselbe Ziffer, die mit der Zahl 7056 endet. Wir haben 84 2 \u003d 7056 - das ist, was wir brauchen. Bedeutet,

Mordkovich A. G., Algebra. Note 8: Proc. für die Allgemeinbildung Institutionen. - 3. Auflage, abgeschlossen. - M.: Mnemosyne, 2001. - 223 S.: Abb.

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So addieren Sie Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel einer Zahl X eine Nummer angerufen A, das sich dabei mit sich selbst multipliziert ( A*A) kann eine Zahl angeben X.
Diese. A * A = A 2 = X, Und √X = A.

Über Quadratwurzeln ( √x) können Sie wie bei anderen Zahlen arithmetische Operationen wie Subtraktion und Addition durchführen. Um Wurzeln zu subtrahieren und zu addieren, müssen sie mit Zeichen verbunden werden, die diesen Aktionen entsprechen (z. B √x - √y ).
Und dann bringen Sie die Wurzeln zu ihnen Einfachste Form- Wenn es ähnliche gibt, muss ein Abguss gemacht werden. Es besteht darin, dass die Koeffizienten ähnlicher Terme mit den Vorzeichen der entsprechenden Terme genommen werden, diese dann in Klammern gesetzt werden und die gemeinsame Wurzel außerhalb der Multiplikatorklammern angezeigt wird. Der von uns erhaltene Koeffizient wird nach den üblichen Regeln vereinfacht.

Schritt 1. Quadratwurzeln ziehen

Um Quadratwurzeln zu bilden, müssen Sie zunächst diese Wurzeln ziehen. Dies ist möglich, wenn die Zahlen unter dem Wurzelzeichen perfekte Quadrate sind. Nehmen Sie zum Beispiel den angegebenen Ausdruck √4 + √9 . Erste Nummer 4 ist das Quadrat der Zahl 2 . Zweite Nummer 9 ist das Quadrat der Zahl 3 . Somit kann die folgende Gleichheit erhalten werden: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Alles, das Beispiel ist gelöst. Aber das passiert nicht immer so.

Schritt 2. Den Multiplikator einer Zahl unter der Wurzel herausziehen

Wenn unter dem Wurzelzeichen keine vollständigen Quadrate vorhanden sind, können Sie versuchen, den Multiplikator der Zahl unter dem Wurzelzeichen herauszunehmen. Nehmen Sie zum Beispiel den Ausdruck √24 + √54 .

Lassen Sie uns die Zahlen faktorisieren:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Unter 24 Wir haben einen Multiplikator 4 , es kann unter dem Quadratwurzelzeichen herausgezogen werden. Unter 54 Wir haben einen Multiplikator 9 .

Wir erhalten die Gleichheit:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Wenn wir dieses Beispiel betrachten, entfernen wir den Faktor unter dem Wurzelzeichen und vereinfachen so den gegebenen Ausdruck.

Schritt 3. Den Nenner reduzieren

Stellen Sie sich die folgende Situation vor: Die Summe zweier Quadratwurzeln ist der Nenner eines Bruchs, zum Beispiel: A / (√a + √b).
Nun stehen wir vor der Aufgabe, „die Irrationalität im Nenner loszuwerden“.
Verwenden wir die folgende Methode: Multiplizieren Sie Zähler und Nenner des Bruchs mit dem Ausdruck √a - √b.

Wir erhalten nun die abgekürzte Multiplikationsformel im Nenner:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Ähnlich verhält es sich, wenn der Nenner die Differenz der Wurzeln enthält: √a - √b, Zähler und Nenner des Bruchs werden mit dem Ausdruck multipliziert √a + √b.

Nehmen wir als Beispiel einen Bruch:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Ein Beispiel für eine komplexe Nennerreduktion

Nun betrachten wir ein ziemlich kompliziertes Beispiel für die Beseitigung der Irrationalität im Nenner.

Nehmen wir als Beispiel einen Bruch: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Sie müssen Zähler und Nenner nehmen und mit dem Ausdruck multiplizieren √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Schritt 4. Berechnen Sie den ungefähren Wert mit dem Taschenrechner

Wenn Sie nur einen ungefähren Wert benötigen, können Sie dies mit einem Taschenrechner tun, indem Sie den Wert aus Quadratwurzeln berechnen. Für jede Zahl wird der Wert separat berechnet und mit der erforderlichen Genauigkeit, die durch die Anzahl der Dezimalstellen bestimmt wird, aufgezeichnet. Darüber hinaus werden alle erforderlichen Operationen wie bei gewöhnlichen Zahlen ausgeführt.

Beispiel für eine geschätzte Berechnung

Es ist notwendig, den ungefähren Wert dieses Ausdrucks zu berechnen √7 + √5 .

Als Ergebnis erhalten wir:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Bitte beachten Sie: Auf keinen Fall dürfen Quadratwurzeln als Primzahlen addiert werden, das ist völlig inakzeptabel. Das heißt, wenn man die Quadratwurzel aus fünf und drei addiert, können wir nicht die Quadratwurzel aus acht erhalten.

Nützlicher Rat: Wenn Sie sich entscheiden, eine Zahl zu faktorisieren, müssen Sie zur Ableitung eines Quadrats unter dem Wurzelzeichen eine umgekehrte Prüfung durchführen, d Die mathematische Berechnung sollte die Zahl sein, die uns ursprünglich gegeben wurde.

Aktion mit Wurzeln: Addition und Subtraktion

Das Extrahieren der Quadratwurzel einer Zahl ist nicht die einzige Operation, die mit diesem mathematischen Phänomen durchgeführt werden kann. Genau wie gewöhnliche Zahlen können Quadratwurzeln addiert und subtrahiert werden.

Regeln zum Addieren und Subtrahieren von Quadratwurzeln

Aktionen wie das Addieren und Subtrahieren einer Quadratwurzel sind nur möglich, wenn der Wurzelausdruck derselbe ist.

Sie können Ausdrücke 2 3 addieren oder subtrahieren und 6 3, aber nicht 5 6 Und 9 4 . Wenn es möglich ist, den Ausdruck zu vereinfachen und ihn mit derselben Wurzelzahl auf Wurzeln zu bringen, vereinfachen Sie ihn und addieren oder subtrahieren Sie dann.

Root-Aktionen: Die Grundlagen

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Vereinfachen Sie den Stammausdruck. Dazu ist es notwendig, den Wurzelausdruck in zwei Faktoren zu zerlegen, von denen einer eine Quadratzahl ist (die Zahl, aus der die ganze Quadratwurzel gezogen wird, zum Beispiel 25 oder 9).
2. Dann müssen Sie die Wurzel der Quadratzahl ziehen und schreiben Sie den resultierenden Wert vor das Wurzelzeichen. Bitte beachten Sie, dass der zweite Faktor unter dem Wurzelzeichen eingetragen wird.
3. Nach dem Vereinfachungsprozess ist es notwendig, die Wurzeln mit denselben Grundausdrücken zu unterstreichen – nur sie können addiert und subtrahiert werden.
4. Für Wurzeln mit denselben Wurzelausdrücken ist es notwendig, die Faktoren zu addieren oder zu subtrahieren, die dem Wurzelzeichen vorangehen. Der Stammausdruck bleibt unverändert. Addieren oder subtrahieren Sie keine Wurzelzahlen!

Wenn Sie ein Beispiel mit vielen identischen Wurzelausdrücken haben, unterstreichen Sie diese Ausdrücke mit einfachen, doppelten und dreifachen Linien, um den Berechnungsprozess zu erleichtern.

Versuchen wir es mit diesem Beispiel:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Zuerst müssen Sie 50 in die beiden Faktoren 25 und 2 zerlegen, dann die Wurzel aus 25 ziehen, also 5, und 5 unter der Wurzel herausziehen. Danach müssen Sie 5 mit 6 (den Multiplikator an der Wurzel) multiplizieren und erhalten 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Zuerst müssen Sie 8 in zwei Faktoren zerlegen: 4 und 2. Ziehen Sie dann aus 4 die Wurzel, die gleich 2 ist, und ziehen Sie 2 unter der Wurzel hervor. Danach müssen Sie 2 mit 2 (dem Faktor an der Wurzel) multiplizieren und erhalten 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Zuerst müssen Sie 12 in zwei Faktoren zerlegen: 4 und 3. Ziehen Sie dann die Wurzel aus 4, also 2, und ziehen Sie sie unter der Wurzel hervor. Danach müssen Sie 2 mit 5 (dem Faktor an der Wurzel) multiplizieren und erhalten 10 3 .

Ergebnis der Vereinfachung: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Als Ergebnis haben wir gesehen, wie viele identische Wurzelausdrücke in diesem Beispiel enthalten sind. Jetzt üben wir mit anderen Beispielen.

• Vereinfachen Sie (45) . Wir faktorisieren 45: (45) = (9 × 5) ;
• Wir ziehen 3 unter der Wurzel heraus (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Wir addieren die Faktoren an den Wurzeln: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Vereinfachen 6 40 . Wir faktorisieren 40: 6 40 = 6 (4 × 10) ;
• Wir ziehen 2 unter der Wurzel heraus (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Wir multiplizieren die Faktoren, die vor der Wurzel stehen: 12 10;
• Wir schreiben den Ausdruck in vereinfachter Form: 12 10 - 3 10 + 5;
• Da die ersten beiden Terme die gleichen Wurzelzahlen haben, können wir sie subtrahieren: (12 - 3) 10 = 9 · 10 + 5.

Wie wir sehen, ist es nicht möglich, die Wurzelzahlen zu vereinfachen. Deshalb suchen wir im Beispiel nach Mitgliedern mit den gleichen Wurzelzahlen, führen mathematische Operationen durch (Addieren, Subtrahieren usw.) und schreiben das Ergebnis:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Hinweis:

• Vor dem Addieren oder Subtrahieren ist es unbedingt erforderlich, die Wurzelausdrücke (wenn möglich) zu vereinfachen.
• Das Addieren und Subtrahieren von Wurzeln mit unterschiedlichen Wurzelausdrücken ist strengstens untersagt.
• Addieren oder subtrahieren Sie keine ganze Zahl oder Quadratwurzel: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Wenn Sie Aktionen mit Brüchen ausführen, müssen Sie eine Zahl finden, die durch jeden Nenner teilbar ist, dann die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, dann die Zähler addieren und die Nenner unverändert lassen.

Eigenschaften der arithmetischen Quadratwurzel. Potenz der arithmetischen Quadratwurzel

Arithmetische Quadratwurzeln umrechnen. Umrechnung arithmetischer Quadratwurzeln

Extrahieren Quadratwurzel eines Polynoms, ist es notwendig, das Polynom zu berechnen und die Wurzel aus der resultierenden Zahl zu ziehen.

Aufmerksamkeit! Es ist unmöglich, die Wurzel aus jedem Term (reduziert und subtrahiert) separat zu ziehen.

Shchob gewinnt Quadratwurzel des Polynoms Die Anforderung besteht darin, den Rich-Term zu berechnen und aus der subtrahierten Zahl die Wurzel zu ziehen.

Respektieren! Es ist unmöglich, die Wurzel aus der Hautergänzung (verändert und sichtbar) OKremo zu extrahieren.

So ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Produkt (Quotienten) können Sie die Quadratwurzel jedes Faktors (Dividende und Divisor) berechnen und die resultierenden Werte durch das Produkt (Quotient) bilden.

Um die Quadratwurzel der Dobutka (Teile) zu gewinnen, können Sie die Quadratwurzel des Skin-Multiplikators (dividiert und dilnik) berechnen und den Wert durch Bildung einer Ergänzung (häufig) entfernen.

Die Quadratwurzel aus einem Bruch ziehen, müssen Sie die Quadratwurzel aus Zähler und Nenner getrennt ziehen und die resultierenden Werte als Bruch belassen oder als Quotienten berechnen (wenn durch Bedingung möglich).

Um die Quadratwurzel des Bruchs zu gewinnen, Sie müssen die Quadratwurzel aus dem Zahlenbuch und dem Banner des Okremo ziehen und den Wert des Bruchs mit einem Bruch berauben oder ihn als Teil zählen (wie es dem Verstand möglich ist).

Unter dem Wurzelzeichen kann ein Faktor herausgenommen und unter dem Wurzelzeichen ein Faktor eingeführt werden. Wenn ein Faktor entfernt wird, wird die Wurzel daraus gezogen, und wenn er eingeführt wird, wird er auf die entsprechende Potenz erhöht.

Das 3. Wurzelzeichen kann multipliziert werden und das Wurzelzeichen kann multipliziert werden. Durch das Verschulden des Multiplikators werden die Wurzeln verdreht und durch die Einführung werden die Wurzeln an den höheren Füßen aufgebaut.

Beispiele. Anwenden

Um die Summe (Differenz) von Quadratwurzeln umzuwandeln, müssen Sie die Wurzelausdrücke auf eine Basis des Grades bringen. Wenn möglich, ziehen Sie die Wurzeln aus den Graden und schreiben Sie sie vor die Vorzeichen der Wurzeln und die verbleibenden Quadratwurzeln mit Es können die gleichen Wurzelausdrücke addiert werden, bei denen die Koeffizienten vor der Vorzeichenwurzel addiert werden und die gleiche Quadratwurzel addiert wird.

Um die Summe (Kosten) der Quadratwurzeln neu zu bilden, ist es notwendig, Unterwurzelwurzeln zu einer der Basen des Schritts zu ziehen, da dies möglich ist, indem man die Wurzelschritte nimmt und sie vor den Zeichen des Schritts aufschreibt Wurzeln, und Sie können die Quadratwurzeln mit der gleichen Wurzel lösen, Wurzeln addieren, für die die Koeffizienten vor dem Wurzelzeichen addiert werden und die gleiche Quadratwurzel addieren.

Wir bringen alle radikalen Ausdrücke zur Basis 2.

Ab einem geraden Grad wird die Wurzel vollständig gezogen, ab einem ungeraden Grad wird die Wurzel der Basis im Grad 1 unter dem Vorzeichen der Wurzel belassen.

Wir geben ähnliche ganze Zahlen an und addieren die Koeffizienten mit den gleichen Wurzeln. Wir schreiben das Binomial als Produkt einer Zahl und dem Binomial der Summe.

Bringen Sie alle Unterwurzeln des Virazi zur Basis 2.

Ab der gepaarten Stufe werden die Wurzeln in einer Reihe gezogen, ab der ungepaarten Stufe werden die Wurzeln der Basis in Stufe 1 unter dem Vorzeichen der Wurzel aufgefüllt.

Es wird vorgeschlagen, ähnliche Zahlen und Koeffizienten zu denselben Wurzeln zu addieren. Wir schreiben das Binomial als Ergänzung zur Zahl i des Sumi-Binoms.

Wir bringen die radikalen Ausdrücke auf die kleinste Basis oder das Potenzenprodukt mit den kleinsten Basen. Wir extrahieren die Wurzel aus geraden Graden radikaler Ausdrücke und belassen die Reste in Form einer Basis eines Grades mit einem Indikator von 1 oder dem Produkt solcher Basen unter dem Vorzeichen der Wurzel. Wir geben ähnliche Terme an (addieren Sie die Koeffizienten derselben Wurzeln).

Wir führen die Wurzel des Virazi zur kleinsten Basis oder fügen Stufen mit den kleinsten Basen hinzu. Aus den dampfenden Stufen unter den Wurzeln des Viraz werden die Wurzeln entnommen, der Überschuss an der Basis der Stufe mit dem Indikator 1 oder der Zugabe solcher Basen wird unter dem Zeichen der Wurzel aufgefüllt. Wir schlagen ähnliche Begriffe vor (wir addieren die Koeffizienten derselben Wurzeln).

Ersetzen wir die Division von Brüchen durch Multiplikation (mit Ersetzung des zweiten Bruchs durch den Kehrwert). Multiplizieren Sie Zähler und Nenner getrennt. Unter jedem Zeichen der Wurzel markieren wir die Grade. Lassen Sie uns die gleichen Faktoren im Zähler und Nenner streichen. Wir ziehen Wurzeln aus gleichmäßigen Kräften.

Wir ersetzen die Division von Brüchen durch eine Multiplikation (mit der Ersetzung eines anderen Bruchs durch eine Rückführung). Multiplizieren Sie Okremo-Zahlen und Banner von Brüchen. Unter dem Hautzeichen der Wurzel sind Stufen sichtbar. Wir werden die gleichen Multiplikatoren im Zahlenbuch und im Banner beschleunigen. Geben Sie der Wurzel der Zwillingsschritte die Schuld.

Um zwei Quadratwurzeln zu vergleichen, ihre radikalen Ausdrücke müssen auf einen Grad mit der gleichen Basis gebracht werden, dann je mehr der Grad des radikalen Ausdrucks gezeigt wird, desto mehr Wert Quadratwurzel.

In diesem Beispiel können radikale Ausdrücke nicht auf eine Basis reduziert werden, da die Basis 3 im ersten und 3 und 7 im zweiten ist.

Die zweite Möglichkeit zum Vergleichen besteht darin, den Wurzelfaktor zum Wurzelausdruck hinzuzufügen und zu vergleichen Zahlenwerte verwurzelte Ausdrücke. Bei einer Quadratwurzel gilt: Je größer der Wurzelausdruck, desto größer der Wert der Wurzel.

Um zwei Quadratwurzeln zu bilden, ihre Unterwurzeln müssen auf ein Niveau mit der gleichen Basis gebracht werden, wobei je größer der Indikator für den Grad der Unterwurzel des Virus ist, desto größer ist der Wert der Quadratwurzel.

In diesem Fall ist es nicht möglich, die Wurzelwurzeln des Virazi auf eine Basis zu bringen, da in der ersten die Basis 3 und in der anderen 3 und 7 ist.

Eine andere Möglichkeit zum Ausgleich besteht darin, den Wurzelkoeffizienten zur Wurzelvirase zu addieren und die numerischen Werte der Wurzelvirase auszugleichen. Die Quadratwurzel hat mehr Unterwurzel-Viraz, je höher der Wert der Wurzel.

Unter Verwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation und der Regel zum Multiplizieren von Wurzeln mit denselben Exponenten (in unserem Fall Quadratwurzeln) haben wir die Summe zweier Quadratwurzeln mit dem Produkt unter dem Wurzelzeichen erhalten. Wir zerlegen 91 in Primfaktoren und ziehen die Wurzel aus Klammern mit gemeinsamen Wurzelfaktoren (13 * 5).

Wir haben das Produkt einer Wurzel und eines Binomials erhalten, wobei eines der Monome eine ganze Zahl (1) ist.

Vikoristovuyuchi rozpodilny Gesetz der Multiplikation und die Regel der Multiplikation von Wurzeln mit den gleichen Indikatoren (in unserem Fall - Quadratwurzeln), bildete die Summe zweier Quadratwurzeln mit einem zusätzlichen Vorzeichen der Wurzel. Wir können in einfachen Worten 91 Multiplikatoren auslegen und aus den Wurzelmultiplikatoren (13 * 5) die Wurzel für die Bögen ziehen.

Wir haben eine Wurzel und eine Binärzahl addiert, die eines der Mononome in der ganzen Zahl (1) hat.

Beispiel 9:

In den Wurzelausdrücken wählen wir durch Faktoren die Zahlen aus, aus denen wir die ganze Quadratwurzel ziehen können. Wir ziehen die Quadratwurzeln aus den Potenzen und setzen die Zahlen durch die Koeffizienten der Quadratwurzeln.

Die Terme dieses Polynoms haben einen gemeinsamen Faktor √3, der aus den Klammern entnommen werden kann. Lassen Sie uns ähnliche Begriffe vorstellen.

In Unterwurzelvirasen wird es als Multiplikator der Zahl angesehen, aus der man die Quadratwurzel ziehen kann. Wir ziehen die Quadratwurzeln der Schritte und setzen die Zahlen durch die Koeffizienten der Quadratwurzeln.

Die Terme dieses Polynoms haben einen gemeinsamen Multiplikator √3, der auf die Arme zurückzuführen ist. Wir schlagen ähnliche Ergänzungen vor.

Das Produkt aus Summe und Differenz zweier identischer Basen (3 und √5) kann mit der abgekürzten Multiplikationsformel als Differenz der Quadrate der Basen geschrieben werden.

Das Quadratwurzelquadrat ist immer gleich dem Wurzelausdruck, daher werden wir das Wurzelzeichen (Wurzelzeichen) im Ausdruck entfernen.

Dobutok-Summe und Differenz zweier identischer Basen (3 і √5) aus der Formel der schnellen Multiplikation können als Differenz quadratischer Basen geschrieben werden.

Die Quadratwurzel des Quadrats zavzhd ist gleich der Unterwurzelvirase, daher nennen wir das Radikal (Wurzelzeichen) der Virase.

Zurück zur Schule. Hinzufügen von Wurzeln

In unserer Zeit moderner elektronischer Computer ist die Berechnung der Wurzel einer Zahl keine schwierige Aufgabe. Zum Beispiel √2704=52, das kann jeder Taschenrechner für Sie berechnen. Glücklicherweise gibt es den Rechner nicht nur in Windows, sondern auch in einem gewöhnlichen, sogar dem einfachsten Telefon. Wenn Sie jedoch plötzlich (mit einer geringen Wahrscheinlichkeit, deren Berechnung übrigens die Addition von Wurzeln beinhaltet) keine verfügbaren Mittel mehr haben, müssen Sie sich leider nur auf Ihr Gehirn verlassen.

Geistestraining scheitert nie. Besonders für diejenigen, die nicht so oft mit Zahlen und noch mehr mit Wurzeln arbeiten. Addition und Subtraktion von Wurzeln - gutes Training für einen gelangweilten Geist. Und ich zeige Ihnen Schritt für Schritt das Hinzufügen von Wurzeln. Beispiele für Ausdrücke können die folgenden sein.

Die zu vereinfachende Gleichung lautet:

Das ist ein irrationaler Ausdruck. Um es zu vereinfachen, müssen Sie alle radikalen Ausdrücke auf reduzieren Gesamtansicht. Wir machen es in Etappen:

Die erste Zahl kann nicht mehr vereinfacht werden. Kommen wir zur zweiten Amtszeit.

3√48 wir faktorisieren 48: 48=2×24 oder 48=3×16. Die Quadratwurzel aus 24 ist keine ganze Zahl, d. h. hat einen gebrochenen Rest. Da wir einen genauen Wert benötigen, sind Näherungswurzeln für uns nicht geeignet. Die Quadratwurzel aus 16 ist 4, ziehen Sie sie unter dem Wurzelzeichen hervor. Wir erhalten: 3×4×√3=12×√3

Unser nächster Ausdruck ist negativ, d.h. geschrieben mit einem Minuszeichen -4×√(27.) Faktorisierung 27. Wir erhalten 27=3×9. Wir verwenden keine gebrochenen Faktoren, da es schwieriger ist, die Quadratwurzel aus Brüchen zu berechnen. Wir nehmen 9 unter dem Schild hervor, d.h. Berechnen Sie die Quadratwurzel. Wir erhalten den folgenden Ausdruck: -4×3×√3 = -12×√3

Der nächste Term √128 berechnet den Teil, der unter der Wurzel entnommen werden kann. 128=64×2 wobei √64=8. Wenn es Ihnen leichter fällt, können Sie diesen Ausdruck auch so darstellen: √128=√(8^2×2)

Wir schreiben den Ausdruck mit vereinfachten Begriffen um:

Jetzt addieren wir die Zahlen mit demselben Wurzelausdruck. Sie können Ausdrücke mit unterschiedlichen Wurzelausdrücken nicht addieren oder subtrahieren. Das Hinzufügen von Wurzeln erfordert die Einhaltung dieser Regel.

Wir bekommen folgende Antwort:

√2=1×√2 – Ich hoffe, dass es für Sie nichts Neues ist, dass es in der Algebra üblich ist, solche Elemente wegzulassen.

Ausdrücke können nicht nur durch Quadratwurzeln, sondern auch durch Kubik- oder n-te Wurzeln dargestellt werden.

Die Addition und Subtraktion von Wurzeln mit unterschiedlichen Exponenten, aber einem äquivalenten Wurzelausdruck erfolgt wie folgt:

Wenn wir einen Ausdruck wie √a+∛b+∜b haben, können wir diesen Ausdruck wie folgt vereinfachen:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Wir haben zwei ähnliche Terme auf den gemeinsamen Exponenten der Wurzel reduziert. Hier wurde die Eigenschaft der Wurzeln genutzt, die besagt: Wenn die Zahl des Grades des Wurzelausdrucks und die Zahl des Wurzelexponenten mit derselben Zahl multipliziert werden, bleibt die Berechnung unverändert.

Hinweis: Exponenten werden nur addiert, wenn sie multipliziert werden.

Betrachten Sie ein Beispiel, in dem Brüche in einem Ausdruck vorkommen.

Lassen Sie es uns Schritt für Schritt lösen:

5√8=5*2√2 – wir nehmen den extrahierten Teil unter der Wurzel hervor.

Wenn der Wurzelkörper durch einen Bruch dargestellt wird, ändert sich dieser Bruch häufig nicht, wenn die Quadratwurzel aus Dividend und Divisor gezogen wird. Als Ergebnis haben wir die oben beschriebene Gleichheit erhalten.

Hier ist die Antwort.

Das Wichtigste ist, dass man aus negativen Zahlen keine Wurzel mit einem geraden Exponenten ziehen kann. Wenn ein Radikalausdruck geraden Grades negativ ist, dann ist der Ausdruck unlösbar.

Die Addition der Wurzeln ist nur möglich, wenn die Wurzelausdrücke übereinstimmen, da es sich um ähnliche Begriffe handelt. Dasselbe gilt auch für die Differenz.

Die Addition von Wurzeln mit unterschiedlichen numerischen Exponenten erfolgt durch Reduktion beider Terme auf einen gemeinsamen Wurzelgrad. Dieses Gesetz funktioniert auf die gleiche Weise wie die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner beim Addieren oder Subtrahieren von Brüchen.

Wenn der Wurzelausdruck eine potenzierte Zahl enthält, kann dieser Ausdruck vereinfacht werden, vorausgesetzt, dass Wurzel und Exponent einen gemeinsamen Nenner haben.

Die Quadratwurzel eines Produkts und eines Bruchs

Die Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat a ist. Beispielsweise sind die Zahlen -5 und 5 die Quadratwurzeln der Zahl 25. Das heißt, die Wurzeln der Gleichung x^2=25 sind die Quadratwurzeln der Zahl 25. Jetzt müssen Sie lernen, wie man damit arbeitet Quadratwurzeloperation: Studieren Sie ihre grundlegenden Eigenschaften.

Die Quadratwurzel des Produkts

√(a*b)=√a*√b

Die Quadratwurzel des Produkts zweier nicht negativer Zahlen ist gleich dem Produkt der Quadratwurzeln dieser Zahlen. Zum Beispiel: √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Eigenschaft auch für den Fall gilt, dass der Wurzelausdruck das Produkt von drei, vier usw. ist. nicht negative Multiplikatoren.

Manchmal gibt es eine andere Formulierung dieser Eigenschaft. Wenn a und b nicht negative Zahlen sind, dann gilt die folgende Gleichheit: √(a*b) =√a*√b. Es gibt absolut keinen Unterschied zwischen ihnen, Sie können entweder die eine oder die andere Formulierung verwenden (welche besser zu merken ist).

Die Quadratwurzel eines Bruchs

Wenn a>=0 und b>0, dann gilt die folgende Gleichung:

√(a/b)=√a/√b.

Zum Beispiel: √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Diese Eigenschaft hat meiner Meinung nach auch eine andere Formulierung, die leichter zu merken ist.
Die Quadratwurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Es ist erwähnenswert, dass diese Formeln sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links funktionieren. Das heißt, wir können das Produkt der Wurzeln bei Bedarf als Wurzel des Produkts darstellen. Das Gleiche gilt für die zweite Immobilie.

Wie Sie sehen, sind diese Eigenschaften sehr praktisch und ich hätte gerne dieselben Eigenschaften für Addition und Subtraktion:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Aber leider sind solche Eigenschaften quadratisch keine Wurzeln haben, und so ist in Berechnungen nicht möglich..

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